Raciocinio Lógico Moraes Júnior Aula 07

Curso Online - Raciocnio Lgico-Quantitativo Teoria e Exerccios p/ Receita Federal do Brasil

Prof. Moraes Junior

Prof. Jos Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 1

Aula 07: Teoria e Exerccios Comentados e Resolvidos 11. Parte 1: Compreenso e elaborao da lgica das situaes por meio de: raciocnio matemtico (que envolvam, entre outros, conjuntos numricos racionais e reais - operaes, propriedades, problemas envolvendo as quatro operaes nas formas fracionria e decimal; conjuntos numricos complexos; nmeros e grandezas proporcionais; razo e proporo; diviso proporcional; regra de trs simples e composta; porcentagem); raciocnio sequencial; orientao espacial e temporal; formao de conceitos; discriminao de elementos.

Introduo Primeiramente, a pedidos, vou abandonar, nos exerccios, Alfeu, Alceu e suas respectivas famlias. Risos. Por outro lado, para prestigiar meu filho de cinco anos, os exerccios e exemplos criados/adaptados tero novos personagens: Ben 10, Gwen, Vov Max, Kevin, XRL8, Quatro-Braos, Chamas, Diamante, Massa Cinzenta, Aqutico, Fantasmtico, Insectide, entre outros. No basta ser pai, tem que participar e ver os desenhos do Ben 10. Se voc no sabe quem so estas figuras, no se preocupe, pois no cai na prova. Alm disso, voc no tem tempo de ver televiso, pois precisa estudar. Mas, para matar a sua curiosidade Ben 10 um desenho que passa no Cartoon Network e que a garotada adora. Ele possui um relgio, mais conhecido como Omnitrix, que permite que se transforme em vrios aliengenas do bem. isso. Risos. Vamos aos nossos problemas especiais: Problema 1: Massa Cinzenta, que, pelo nome, nem precisa falar que profundo conhecedor de Raciocnio-Lgico Matemtico, observa dez sacos, cada um com dezenas de moedas, enfileirados sua frente. Somente um dos sacos contm moedas de ouro; os outros nove sacos esto cheios de moedas que, na aparncia, so idnticas s de ouro, mas, na verdade, so falsas e sem valor. Uma moeda de ouro pesa 20 gramas, ao passo que cada moeda falsa pesa apenas 10 gramas. Massa Cinzenta deve identificar qual dos sacos contm moedas de ouro autnticas. Para isso, dispe de uma balana eletrnica de grande preciso e de um assistente, chamado Quatro-Braos, para manusear as moedas. Todos os sacos esto abertos e Massa Cinzenta pode deles retirar quantas moedas quiser. Fazendo uma nica pesagem, como Massa Cinzenta pode identificar, com certeza, em que saco esto as moedas de ouro?


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Problema 2: O famoso Chamas possui uma caixa de fsforos e dois pavios. Se Chamas acender qualquer das extremidades desses pavios, eles levaro exatamente 1 minuto para queimar at a outra extremidade. Chamas no pode quebrar e nem dobrar os pavios. Utilizando somente esses materiais, de que modo Chamas pode medir 45 segundos? ============================================== ERRATA Aula 5 (aula atualizada no site)

Pgina 65: corrigir o item 8.1.9.2, pois esta como terceiro momento e quarto momento. 8.1.9.2 ndice Momento de Curtose

44

mCs

=

m4 = quarto momento centrado na mdia aritmtica s4 = desvio-padro elevado quarta potncia

Quarto Momento Centrado na Mdia (distribuio de freqncias):

( )44

.i mPm X fim

n

=

C > 3 => a distribuio leptocrtica C = 3 => a distribuio mesocrtica C < 3 => a distribuio platicrtica =============================================== ERRATA Aula 6 (aula atualizada no site)

1. Pgina 1: corrigir conforme abaixo: Problema 2: .... Chegando sala do antigo Egito, o guia falou o seguinte.... 2. Pgina 17: corrigir conforme abaixo (retirar o s das palavras litros e gramas): Decilitro (dl) = 0,1 litro Centilitro (cl) = 0,01 litro Mililitro (ml) = 0,001 litro Decigrama (dg) = 0,1 grama Centigrama (cg) = 0,01 grama Miligrama (mg) = 0,001 grama 3. Pgina 18: No tem aquele ltimo termo na frmula (-48.500):

48.500 gramas + Peso de Alcia = 90.200 4. Pgina 19: corrigir conforme abaixo Diagonais: AC=CA, AD=DA, BD=DB, BE=EB, CE=EC


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5. Pgina 22: corrigir conforme abaixo Losango: quatro lados iguais (a) => rea = (D x d)/2; 6. Pgina 24: corrigir conforme abaixo Circunferncia inscrita em um quadrado: o lado do quadrado igual ao dimetro da circunferncia. a = 2R Circunferncia circunscrita a um quadrado: a diagonal do quadrado igual

ao dimetro da circunferncia. d = 2a = 2R 7. Pgina 32: corrigir conforme abaixo: Primeiro Ms => 25% => fator = 1,25 8. Pgina 33: corrigir conforme abaixo: Exemplo: Se R$ 1.000,00 foram aplicados de 10/04/03 at 22/06/03, taxa de juros simples de 60% ao ano, calcule o montante considerando os juros simples exatos.

9. Pgina 36: corrigir conforme abaixo: N = 2.000 i = 6% ao ms t = 30 dias = 1 ms D = N.i.t = 2.000 . 6% . 1 = 120 AD = N D = 2.000 120 = 1.880 N = X i = 6% ao ms t = 90 dias = 3 meses D = N.i.t = X . 6% . 3 = 0,18X ADx = N D = X 0,18X = 0,82X No momento 0 (referncia):

600 + 0,82X = 1.880 => 0,82X = 1.280 => X = R$ 1.560,98

Item 10.4 Exemplo: (*) As tabelas utilizadas esto no final da teoria.

10. Pgina 41: No enunciado do segundo exemplo, tem que tirar o primeiro "APS".

11. Pgina 42: No tem o ltimo termo da frmula (R/(1+i)n)

2 1...(1 ) (1 ) (1 )nR R RA R

i i i = + + + +

+ + +


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12. Pgina 47: corrigir conforme abaixo: - Pagamentos uniformes e peridicos (anuidades), que podem ser

antecipada, postecipada ou diferida.

13. Pgina 63: Tem dois sinais de = na frmula da regra de trs.

14. Pgina 76: Tem um "m" do "em" que ficou em vermelho.

15. Pgina 78: Faltaram os colchetes do saldo devedor nmero 2. Saldo Devedor (Perodo 2) = [200.000 x (1 + i)2 150] x (1 + i) 150

16. Pgina 79: Faltou a palavra "TENDER" depois de "Quando n...". Quando n tender ao prazo estabelecido....

17. Pgina 83: Faltou o verbo "" depois da palavra "que" no segundo pargrafo.A sala A tem 40 m, a sala B tem 80 m, que 2 vezes o tamanho de A, e a sala C tem 120 m que 3 vezes a de A.

18. Pginas 77 e 85: No quadro, faltou indicar que a segunda seta vermelha corresponde ao "M" (montante). 19. Pgina 88: O "i" elevado ficou em vermelho (temos 2 casos nessa pgina). 20. Pgina 91: corrigir conforme abaixo (retirar o o): Obs:.... ou seja, no deram tabela...

Na parte em negrito, no centro da pgina, corrigir a parte que fala " mais vantajoso".

21. Pgina 101:: Questo 31: no enunciado, tem um ".," (aps 60 dias). Precisa tirar o ponto. 22. Pgina 106:: Questo 33: alterar gabarito para letra C. ==============================================


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Coluna Dvidas Interessantes

1. Testes de Hipteses: recebi alguns e-mails de dvidas sobre testes de hipteses. Por isso, disponibilizo mais algumas questes com explicaes:

Primeiramente, vamos relembrar as regras que definem qual distribuio ser utilizada:

Para que seja possvel realizar o teste, preciso conhecer o valor tabelado das distribuies (Z para Distribuio Normal e T para Distribuio t-Student) e calcular os valores, conforme descrito abaixo:

1) Se o nmero de elementos da amostra grande (n 30), ser utilizada a

Distribuio Normal, independentemente se a varincia populacional ( 2 ) for conhecida ou no. Distribuio Normal (n 30):

Xz

n

=

=> Desvio-padro da populao conhecido ( ) = mdia da populao n = nmero de elementos da populao

Xz

s

n

=

=> Desvio-padro da populao desconhecido, sendo utilizado o valor do desvio-padro da amostra (s). 2) Se o nmero de elementos da amostra pequeno (n < 30), ser utilizada a

Distribuio Normal, se a varincia populacional ( 2 ) for conhecida; ou a Distribuio t-Student, se a varincia populacional ( 2 ) no for conhecida. Distribuio t-Student (n < 30 e desconhecido): ressalto que, como a varincia amostral desconhecida, devemos utilizar o fator de correo para entrar na tabela n-1 graus de liberdade.

Xt

s

n

=


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Nota: Tanto os valores da Distribuio Normal, quanto da Distribuio t-Student so tabelados.

Testes de Hipteses considerando a Distribuio Normal Padro (Z): Z => valor tabelado

1) Teste Bilateral ou Bicaudal: -Z< z (calculado) < Z => Aceita H0 z (calculado) < -Z ou z (calculado) > Z => Rejeita H0

2) Teste Unilateral Direita: z (calculado) < Z => Aceita H0 z (calculado) > Z => Rejeita H0

-Z Z

Rejeita H0 Rejeita H0

Aceita H0

Z

Rejeita H0

Aceita H0


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3) Teste Unilateral Esquerda: z (calculado) > -Z => Aceita H0 z (calculado) < -Z => Rejeita H0

Testes de Hipteses considerando a Distribuio t-Student (T): T => valor tabelado

1) Teste Bilateral ou Bicaudal: -T< t (calculado) < T => Aceita H0 t (calculado) < -T ou t (calculado) > T => Rejeita H0

2) Teste Unilateral Direita: t (calculado) < T => Aceita H0 t (calculado) > T => Rejeita H0 3) Teste Unilateral Esquerda: t (calculado) > -T => Aceita H0 t (calculado) < -T => Rejeita H0

Exemplo 1: Uma amostra de tamanho n = 20 de populao normal tem mdia Xm = 42 e desvio padro s = 4. Ao nvel de significncia de 5%, determinar se a mdia populacional maior que 40.

O que o nvel de significncia? Nvel de significncia: a probabilidade de cometer o erro de tipo I, ou seja, rejeitar a hiptese nula (H0), quando ela verdadeira. Primeiramente, vamos montar nosso teste de hipteses: Hipteses:

0

1

4040

HH

=

>=> teste unilateral direita

-Z

Rejeita H0

Aceita H0


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(*) H0 => repare que o enunciado da questo pede que determinemos se a mdia populacional maior que 40. Logo, a hiptese H0 ser igual a 40 (hiptese nula). Bom, com as hipteses definidas, precisamos verificar qual distribuio utilizar. Repare que n = 20, que menor que 30. Deste modo, pode ser utilizada a distribuio normal ou t-student, a depender se a varincia populacional ou no conhecida. H que se ressaltar que a questo s fornece o desvio-padro da amostra (s). Logo, somente conhecemos a varincia da amostra (s2). Ou seja, a varincia populacional no conhecida. Portanto, para n < 30 e varincia populacional no conhecida => t-student.

Clculos: Como n = 20, temos que subtrair 1, para achar o nmero de graus de liberdade. Graus de Liberdade: esto relacionados ao nmero de dados disponveis (livres) para o clculo da estatstica. Por exemplo, ao estimarmos a mdia populacional, com a mdia amostral perdemos um grau de liberdade, assim a estatstica t-student ter n-1 graus de liberdade. Alm disso, como o teste unilateral e a tabela bilateral, devemos utilizar duas vezes o nvel de significncia:

2 0,05 0,10x = = n = 20 => grau de liberdade ( )= 20 1 = 19

0,10 = e = 19 => T (tabelado) = 1,729 (vide tabela da aula 05). Desenhando a curva, teramos:

T = 1,729

Rejeita H0

Aceita H0

0,95

0,05 =


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Pergunta: O que a rea sob a curva representa? A rea sob a curva probabilidade do evento certo, que igual a 1 (ou 100%), ou 0,500 (50%) para cada lado da curva. Contudo, na nossa questo, estamos calculando a probabilidade de que a mdia da populao seja maior que 40 a um nvel de significncia de 5%, ou seja, somente aceitaremos que a mdia maior que 40 se o tcalculado for maior que 1,729. Xm = mdia amostral = 42 (dado da questo) s = desvio-padro amostral = 4 (dado da questo)

42 40 2( ) 2,244 4 4,4720

Xt calculado

s

n

= = = =

Como t(calculado) > T(tabelado) => rejeita H0 => 40 > , ou seja, a mdia da populao, no teste de hipteses realizado, maior que 40. Exemplo 2: Uma amostra de tamanho n = 29 de populao normal tem mdia Xm = 31 e desvio padro s = 4. Ao nvel de significncia de 2,5%, determinar se a mdia populacional maior que 30.

Primeiramente, vamos montar nosso teste de hipteses: Hipteses:

0

1

3030

HH

=


(*) H0 => repare que o enunciado da questo pede que determinemos se a mdia populacional maior que 30. Logo, a hiptese H0 ser igual a 30 (hiptese nula). Bom, com as hipteses definidas, precisamos verificar qual distribuio utilizar. Repare que n = 29, que menor que 30. Deste modo, pode ser utilizada a distribuio normal ou t-student, a depender se a varincia populacional ou no conhecida. H que se ressaltar que a questo s fornece o desvio-padro da amostra (s). Logo, somente conhecemos a varincia da amostra (s2). Ou seja, a varincia populacional no conhecida. Portanto, para n < 30 e varincia populacional no conhecida => t-student.

Clculos: Como n = 29, temos que subtrair 1, para achar o nmero de graus de liberdade.


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Alm disso, como o teste unilateral e a tabela bilateral, devemos utilizar 2 0,025 0,05x = =

n = 29 => grau de liberdade ( )= 29 1 = 28 0,05 = e = 28 => T (tabelado) = 2,048 (vide tabela da aula 05).

Desenhando a curva, teramos:

Xm = mdia amostral = 31 (dado da questo) s = desvio-padro amostral = 4 (dado da questo)

31 30 1( ) 1,354 4 5,3829

Xt calculado

s

n

= = = =

Como t(calculado) < T(tabelado) => aceita H0 => 30 = , ou seja, para este teste de hipteses, a mdia populacional igual a 30.

Exemplo 3: Suponha que, em pessoas normais quanto capacidade respiratria, a presso arterial seja uma varivel aleatria normalmente distribuda com mdia 12 e varincia 4. Kevin, um renomado cardiologista brasileiro, querendo provar que o diabetes causa aumento da presso arterial, observou a presso arterial de 20 pacientes portadores de diabetes, obtendo uma mdia igual a 16. A hiptese de Kevin ou no vlida, ao nvel de significncia de 0,005? Primeiramente, vamos montar nosso teste de hipteses: Hipteses:

0

1

1212

HH

=


T = 2,048

Rejeita H0

Aceita H0

0,975

0,025 =


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Bom, com as hipteses definidas, precisamos verificar qual distribuio utilizar. Repare que n = 20, que menor que 30. Deste modo, pode ser utilizada a distribuio normal ou t-student, a depender se a varincia populacional ou no conhecida. H que se ressaltar que a questo fornece a varincia populacional (varincia = 4) . Portanto, para n < 30 e varincia populacional conhecida => distribuio normal.

Clculos: 0,005 = (nvel de significncia)

rea da Curva = 0,500 (*) 0,005 => rea sob a curva = 0,495 => Z (tabelado) = 2,58 ( esquerda) (*) lembre que 0,500 (50%) para cada lado da curva. Desenhando a curva, teramos:

Clculos: n = 20 Xm = 16 (mdia amostral)

12 = (mdia populacional) 2 4 2 = = (desvio-padro populacional)

0,005 = (nvel de significncia)

16 12( ) 8,94220

Xz calculado

n

= = =

Como z(calculado) > Z(tabelado) => rejeita H0 => 12 > , ou seja, Kevin est correto ao dizer que o diabetes aumenta a presso arterial.

Z = 2,58

Rejeita H0

Aceita H0

0,995

0,005 =


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Exemplo 4: Suponha que Vov Max, um conhecido professor de Raciocnio- Lgico Quantitativo, aplicou um simulado para seus alunos, visando preparao para o concurso de Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil. As notas dos alunos, em um simulado de 20 questes, ficaram com mdia 11 e desvio-padro 2. Vov Max, ento, preocupado com o rendimento dos alunos, forneceu um curso online no site do Ponto dos Concursos e, entre os 50 alunos que se matricularam no curso, a mdia em relao a outro simulado aplicado, no mesmo nvel de cobrana do primeiro, foi de 14. Determine se, ao nvel de significncia de 5%, o curso online do Vov Max foi eficiente. Primeiramente, vamos montar nosso teste de hipteses: Hipteses:

0

1

1111

H H

=


Bom, com as hipteses definidas, precisamos verificar qual distribuio utilizar. Repare que n = 50, que maior que 30. Deste modo, deve ser utilizada a distribuio normal, independentemente se a varincia populacional conhecida ou no. Clculos:

5% 0,05 = = (nvel de significncia) rea da Curva = 0,500 0,05 =>rea sob a curva = 0,45 => Z (tabelado) = 1,65 ( esquerda) Desenhando a curva, teramos:

Clculos: n = 50 Xm = 14 (mdia amostral)

11 = (mdia populacional)

Z = 1,65

Rejeita H0

Aceita H0

0,95

0,05 =


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2 = (desvio-padro populacional) 0,005 = (nvel de significncia)

14 11( ) 10,60250

Xz calculado

n

= = =

Como z(calculado) > Z(tabelado) => rejeita H0 => 11 > , ou seja, o curso do Vov Max foi eficiente. Nota: Ressalto, novamente, que, para n > 30, sempre ser utilizada a distribuio normal.

2. Resoluo de Questo Parte 1: foi solicitada a resoluo do exerccio 13 da aula 01 por Diagrama de Venn. 13. (Analista Administrativo-ANEEL-2006-Esaf) Das premissas: Nenhum A B. Alguns C so B, segue, necessariamente, que: a) nenhum A C. b) alguns A so C. c) alguns C so A. d) alguns C no so A. e) nenhum C A. Resoluo

Premissa 1: Nenhum A B.

Premissa 2: Alguns C so B. Hiptese 1: alguns C so B e no h interseo de C com A.

A B

A B C


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Hiptese 2: alguns C so B e h interseo de C com A.

Repare que a questo pede: ... segue, necessariamente, que: Deste modo, considerando as duas possveis hipteses, chega-se concluso, com certeza (necessariamente) que alguns C no so A.

As alternativas B (alguns A so C) e C (alguns C so A) s so vlidas para a segunda hiptese; e as alternativas A (nenhum A C) e E (nenhum C A) s so vlidas para a primeira hiptese. Portanto, a nica alternativa que necessariamente vlida, independentemente das hipteses, a D (alguns C no so A).

GABARITO: D 3. Resoluo de Questo Parte 2: solicitaram mais questes de anlise combinatria. Seguem mais duas: 1. (AFC-STN-2002-Esaf) Na Mega-Sena so sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possveis (as dezenas sorteveis so 01, 02, ... , 60). Uma aposta simples (ou aposta mnima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que sero sorteadas no prximo concurso da Mega-Sena estaro entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O nmero mnimo de apostas simples para o prximo concurso da Mega- Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemtica que ser um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto : a) 8 b) 28 c) 40 d) 60 e) 84 Resoluo Repare que Pedro sonhou com 8 nmeros. Logo, o nmero mnimo de apostas simples que ele poder fazer ser uma combinao dos 8 nmeros em grupos de 6 (tomados 6 a 6).

A B C


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H que se ressaltar que, nesta questo, a ordem no importa, pois, por exemplo, a aposta 01, 02, 05, 10, 18, 32 igual a aposta 02, 01, 05, 10, 18, 32. S importa a natureza dos elementos (01 diferente de 02 que diferente de 05, e assim por diante). Portanto, teramos:

8,68! 8.7.6! 8.7 28

6!.(8 6)! 6!.2! 2C = = = = GABARITO: B

2. Suponha que o cdigo de barras de uma grande loja de departamentos, cujo dono um famoso empresrio, Sr. Ben 10, seja formado por nmeros de 2 a 6 algarismos distintos. Caso sejam utilizados apenas os algarismos 1, 2, 4, 5, 7 e 8, quantos destes nmeros so mpares e comeam com um dgito mpar? a) 390 b) 288 c) 102 d) 360 e) 246 Resoluo I Nmeros de 2 Algarismos: Algarismo 1: 3 possibilidades (no pode ser par => possibilidades: 1, 5 e 7) Algarismo 2: 3 1 = 2 possibilidades (nmero mpar termina com 1, 5 ou 7 - e algarismo distinto do anterior) Total (2 algarismos) = 3 x 2 = 6 II Nmeros de 3 Algarismos: Algarismo 1: 3 possibilidades (no pode ser par => possibilidades: 1, 5 e 7) Algarismo 2: 6 2 = 4 possibilidades (algarismo diferente do primeiro e do ltimo) Algarismo 3: 2 possibilidades (nmero mpar termina com 1, 5 ou 7 - e algarismo distinto do primeiro algarismo) Total (3 algarismos) = 3 x 4 x 2 = 24 III Nmeros de 4 Algarismos: Algarismo 1: 3 possibilidades (no pode ser par => possibilidades: 1, 5 e 7) Algarismo 2: 6 2 = 4 possibilidades (algarismo diferente do primeiro e do ltimo) Algarismo 3: 6 3 = 3 possibilidades (algarismo diferente do primeiro, do segundo e do ltimo)


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Algarismo 4: 2 possibilidades (nmero mpar termina com 1, 5 ou 7 - e algarismo distinto do primeiro algarismo) Total (4 algarismos) = 3 x 4 x 3 x 2 = 72 IV Nmeros de 5 Algarismos: Algarismo 1: 3 possibilidades (no pode ser par => possibilidades: 1, 5 e 7) Algarismo 2: 6 2 = 4 possibilidades (algarismo diferente do primeiro e do ltimo) Algarismo 3: 6 3 = 3 possibilidades (algarismo diferente do primeiro, do segundo e do ltimo) Algarismo 4: 6 4 = 2 possibilidades (algarismo diferente do primeiro, do segundo, do terceiro e do ltimo) Algarismo 5: 2 possibilidades (nmero mpar termina com 1, 5 ou 7 - e algarismo distinto do primeiro algarismo) Total (5 algarismos) = 3 x 4 x 3 x 2 x 2 = 144 V Nmeros de 6 Algarismos: Algarismo 1: 3 possibilidades (no pode ser par => possibilidades: 1, 5 e 7) Algarismo 2: 6 2 = 4 possibilidades (algarismo diferente do primeiro e do ltimo) Algarismo 3: 6 3 = 3 possibilidades (algarismo diferente do primeiro, do segundo e do ltimo) Algarismo 4: 6 4 = 2 possibilidades (algarismo diferente do primeiro, do segundo, do terceiro e do ltimo) Algarismo 5: 6 5 = 1 possibilidades (algarismo diferente do primeiro, do segundo, do terceiro, do quarto e do ltimo) Algarismo 6: 2 possibilidades (nmero mpar termina com 1, 5 ou 7 - e algarismo distinto do primeiro algarismo) Total (6 algarismos) = 3 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 = 144 Total de Possibilidades = 6 + 24 + 72 + 144 + 144 = 390 GABARITO: A 4. Resoluo de Questo Parte 3: pediram que eu resolvesse a questo abaixo: (ATM-RN-2008-Esaf) A coleta de dados do municpio, relativa ao ensino fundamental, apresentou a seguinte composio etria: Composio Etria dos Alunos do Ensino Fundamental:

Faixa Etria Masc. Fem. At 06 anos 9.000 10.200 De 07 a 08 anos 10.000 9.300 De 09 a 10 anos 8.000 8.500


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De 11 a 12 anos 7.000 5.500 De 12 a 14 anos 5.000 3.500 De 15 a 18 anos 3.000 2.500 Acima de 18 anos 1.000 1.500 Total 43.200 40.800 Com base nos dados acima, temos as seguintes sentenas: I. A Moda est na faixa etria at os 06 anos. II. A Mdia de alunos est na faixa etria de 12 a 14 anos. III. A Mediana superior mdia. Apontando nos 3 (trs) itens acima como V Verdadeiro e F Falso, a opo correta : a) V, V, V b) V, F, V c) F, V, F d) F, F, F e) V, V, F Resoluo Nesta questo, precisamos identificar a moda, a mdia e a mediana da distribuio acima. Repare que a questo no faz distino entre alunos do sexo masculino ou feminino. Logo, devemos somar os valores (coluna Alunos):

Faixa Etria Masc. Fem. AlunosAt 06 anos 9.000 10.200 19.200 De 07 a 08 anos 10.000 9.300 19.300 De 09 a 10 anos 8.000 8.500 16.500 De 11 a 12 anos 7.000 5.500 12.500 De 12 a 14 anos 5.000 3.500 8.500 De 15 a 18 anos 3.000 2.500 5.500 Acima de 18 anos 1.000 1.500 2.500 Total 43.200 40.800 84.000 Para simplificar, vamos dividir tudo por mil:

Faixa Etria Alunos (em mil)

Pm

At 06 anos 19,2 6 De 07 a 08 anos 19,3 7,5 De 09 a 10 anos 16,5 9,5 De 11 a 12 anos 12,5 11,5 De 12 a 14 anos 8,5 13 De 15 a 18 anos 5,5 16,5 Acima de 18 anos 2,5 18 Total 84


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Repare que as classes possuem amplitudes diferentes e, nas primeira e ltima classes, a questo somente fala at 6 e acima 18. Para estas classes, considerei o ponto de clculo no prprio limite da classe. Vamos analisar as alternativas: I. A Moda est na faixa etria at os 06 anos. A Moda est na classe de maior freqncia. No caso temos:


At 06 anos 19,2 De 07 a 08 anos 19,3 => Maior freqncia

=> Classe Modal De 09 a 10 anos 16,5 De 11 a 12 anos 12,5 De 12 a 14 anos 8,5 De 15 a 18 anos 5,5 Acima de 18 anos 2,5 Total 84 Logo, a moda est na faixa de 07 a 08 anos. A assertiva FALSA. II. A Mdia de alunos est na faixa etria de 12 a 14 anos.


Pm Z = (Xm-11,5) Alunos x Z

At 06 anos 19,2 6 -5,5 -105,6 De 07 a 08 anos 19,3 7,5 -4,0 -77,20 De 09 a 10 anos 16,5 9,5 -2,0 -33 De 11 a 12 anos 12,5 11,5 0 0 De 12 a 14 anos 8,5 13 1,5 12,75 De 15 a 18 anos 5,5 16,5 5 27,5 Acima de 18 anos 2,5 18 6,5 16,25 Total 84 159,3

. 159,3 1,9084

11,5 1,90 11,5 9,6

Z AlunosZ

n

Z X X X

= = =

= = =

Ou seja, a mdia est na faixa etria de 9 a 10 anos. A assertiva FALSA. III. A Mediana superior mdia. n/2 = 84/2 = 42


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Frequncia Acumulada

(fac) At 06 anos 19,2 19,2 De 07 a 08 anos 19,3 38,5 De 09 a 10 anos 16,5 55 fac > n/2

Classe Mediana De 11 a 12 anos 12,5 67,5 De 12 a 14 anos 8,5 76 De 15 a 18 anos 5,5 81,5 Acima de 18 anos 2,5 84 Total 84 linf = 9 facant = 38,5 fi = 16,5 h = 10 9 = 1

42 38,5 3,52inf . 9 .1 9 9,2116,5 16,5

ant

n facMd l hfi

= + = + = + =

Logo, a mediana inferior mdia. A assertiva FALSA. GABARITO: D 5. Resoluo de Questo Parte 4: pediram que eu resolvesse a questo abaixo: (AFRF-2003-Esaf) Considere a tabela de freqncias seguinte correspondente a uma amostra da varivel X. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Classes Freqncias Acumuladas (%)2.000 - 4.000 5 4.000 - 6.000 16 6.000 - 8.000 42 8.000 - 10.000 77 10.000 - 12.000 89 12.000 - 14.000 100 Assinale a opo que corresponde ao valor do coeficiente de assimetria percentlico da amostra de X, baseado no 1, 5 e 9 decis.


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a) 0,024 b) 0,300 c) 0,010 d) -0,300 e) -0,028 Resoluo Na aula terica sobre o assunto, ns vimos o coeficiente quartlico de assimetria:

3 1 2 3 1

Q Q MdA Q Q+

=

Este coeficiente obtido da seguinte maneira:

( 3 ) ( 1) 3 1 2( 3 ) ( 1) 3 1Q Md Md Q Q Q MdA Q Md Md Q Q Q

+ = =

+

Para o coeficiente percentlico de assimetria, baseado no primeiro decil (D1 = P10), no quinto decil (D5 = P50 = Md) e no nono decil (D9 = P90), adotaremos o mesmo procedimento:

( 9 ) ( 1) 9 1 2( 9 ) ( 1) 9 1D Md Md D D D MdA D Md Md D D D

+ = =

+

1010 1 inf .ant

n facP D l hfi

= = +

9. 1090 9 inf .

ant

n facP D l hfi

= = +


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Supondo n = 100, teramos:

Classes Fac(%) Fac fi fi 2.000 - 4.000 5 5 5 4.000 - 6.000 16 16 = 16 5 = 11 => n/10 = 100/10 = 10 < fac = 16

=> fi = 11 => linf = 4.000 => fac ant = 5 => Classe do Primeiro Decil

6.000 - 8.000 42 42 = 42 16 = 26 8.000 - 10.000 77 77 = 77 42 = 35 => n/2 = 100/2 = 50 < fac = 77

=> fi = 35 => linf = 8.000 => fac ant = 42 => Classe Mediana

10.000 - 12.000 89 89 = 89 77 = 12 12.000 - 14.000 100 100 100 - 89 = 11 => 9n/10 = 900/10 = 90 < fac=100

=> fi = 11 => linf = 12.000 => fac ant = 89 => Classe do Nono Decil

h = amplitude de classe = 4.000 2.000 = 2.000

10 5 5101 inf . 4.000 .2.000 4.000 .2.000 4.909,0911 11

ant

n facD l hfi

= + = + = + =

9.90 89 1109 inf . 12.000 .2.000 12.000 .2.000 12.181,82

11 11ant

n facD l hfi

= + = + = + =

5.50 42 810inf . 8.000 .2.000 8.000 .2.000 8.457,14

35 35ant

n facMd l hfi

= + = + = + =

9 1 2 12.181,82 4.909,09 2 8.457,14 176,62 0,024

9 1 12.181,82 4.909,09 7.272,73D D Md xA

D D+ +

= = = =

GABARITO: A


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6. Resoluo de Questo Parte 5: pediram que eu resolvesse mais questes de matemtica financeira. Seguem mais quatro: (AFRF-2005-Esaf) Em janeiro de 2005, uma empresa assumiu uma dvida no regime de juros compostos que deveria ser quitada em duas parcelas, todas com vencimento durante o ano de 2005. Uma parcela de R$ 2.000,00 com vencimento no final de junho e outra de R$ 5.000,00 com vencimento no final de setembro. A taxa de juros cobrada pelo credor de 5% ao ms. No final de fevereiro, a empresa decidiu pagar 50% do total da dvida e o restante no final de dezembro do mesmo ano. Assim, desconsiderando os centavos, o valor que a empresa dever pagar no final de dezembro igual a: a) R$ 4.634,00 b) R$ 4.334,00 c) R$ 4.434,00 d) R$ 4.234,00 e) R$ 5.234,00

Resoluo

Juros Compostos => i = 5% ao ms Dvida em Janeiro Opo 1: R$ 2.000,00 em junho e R% 5.000,00 em setembro Em empresa, no final de fevereiro, pagou metade da dvida e o restante (a outra metade) seria pago em dezembro.

Primeiramente, preciso calcular a dvida em fevereiro, para saber quanto vale a sua metade:

4 4 3 4 72.000 5.000 2.000 5.000 5.198,81(1,05) (1,05) (1,05) (1,05)Dvida += + = + =

Lembrando que os valores (1,05)4 e (1,05)7 so retirados da tabela fornecida.

Junho Setembro

Janeiro

Dvida (D)

Fevereiro

50% . D

Dezembro

Restante da dvida

2.000

5000

4 meses 3 meses 3 meses


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Metade da Dvida = Valor pago em fevereiro = 5.198,81/2 = 2.599,41 Clculo do valor pago em dezembro (trazendo o valor para fevereiro):

4 3 3 10

10

5.198,81 2.599,41 2.599,40(1,05) (1,05)2.599,40.(1,05) 4.234,16

P P

P

+ += + => = =>

=> = =

GABARITO: D

(AFRF-2005-Esaf) Edgar precisa resgatar dois ttulos. Um no valor de R$ 50.000,00 com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ 100.000,00 com prazo de vencimento de trs meses. No tendo condies de resgat-los nos respectivos vencimentos, Edgar prope ao credor substituir os dois ttulos por um nico, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples de 4% ao ms, o valor nominal do novo ttulo, sem considerar os centavos, ser igual a: a) R$ 159.523,00 b) R$ 159.562,00 c) R$ 162.240,00 d) R$ 162.220,00 e) R$ 163.230,00

Resoluo

Desconto Comercial Simples (D) => i = 4% ao ms D = N.iD.t = N AD AD = N D = N N.iD.t = N.(1 iD.t) Dois ttulos => R$ 50.000,00 (dois meses) e R$ 100.000,00 (3 meses) => substituir por um nico com vencimento em 4 meses.

3 meses2 meses

50.000 100.000

4 meses

N

0


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Como a questo no informou sobre a data focal (data de referncia), adotarei o momento 0: 50.000.(1 4%.2) 100.000.(1 4%.3) .(1 4%.4)

50.000.0,92 100.00.0,88 0,84.0,84. 46.000 88.000 134.000

159.523,80

NN

N N

+ = =>

=> + = =>

=> = + = =>

=> =

GABARITO: A

(AFRF-2005-Esaf) Paulo aplicou pelo prazo de um ano a quantia total de R$ 50.000,00 em dois bancos diferentes. Uma parte dessa quantia foi aplicada no Banco A, taxa de 3% ao ms. O restante dessa quantia foi aplicado no Banco B a taxa de 4% ao ms. Aps um ano, Paulo verificou que os valores finais de cada uma das aplicaes eram iguais. Deste modo, o valor aplicado no Banco A e no Banco B, sem considerar os centavos, foram, respectivamente iguais a: a) R$ 21.948,00 e R$ 28.052,00 b) R$ 23.256,00 e R$ 26.744,00 c) R$ 26.589,00 e R$ 23.411,00 d) R$ 27.510,00 e R$ 22.490,00 e) R$ 26.477,00 e R$ 23.552,00

Resoluo

A Esaf no informou o regime de capitalizao e adotou o regime de capitalizao composto. Portanto, quando a banca no informar, o mais prudente adotar o regime composto. Paulo: Aplicou uma quantia total de R$ 50.000,00 por 1 ano, em dois bancos diferentes. Banco A = 3% ao ms Banco B = 4% ao ms C = R$ 50.000,00 = CA + CB (I)

MA = CA.(1 + 0,03)12 = CA.(1,03)12 = 1,425761.CA MB = CB.(1 + 0,04)12 = CB.(1,04)12 = 1,601032.CB Aps um ano, Paulo verificou que os valores finais de cada uma das aplicaes eram iguais: MA = MB

MA = 1,425761.CA = MB = 1,601032.CB => CA = 1,122932.CB (II)


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Substituindo (II) em (I): 50.000 = 1,122932.CB + CB = 2,122932.CB => CB = 50.000/2,122932 =>

CB = 23.552,33

50.000,00 = CA + CB = CA + 23.552,33 => CA = 50.000 23.552,33 => CA = 26.447,67

No h alternativa correta. GABARITO: ANULADA

(AFRF-2005-Esaf) Um banco deseja operar a uma taxa efetiva de juros simples de 24% ao trimestre para operaes de cinco meses. Deste modo, o valor mais prximo da taxa de desconto comercial trimestral que o banco dever cobrar em suas operaes de cinco meses dever ser igual a: a) 19 % b) 18,24 % c) 17,14 % d) 22 % e) 24 % Resoluo Taxa Efetiva de Juros Simples = 24% ao trimestre para operaes de 5 meses => Taxa Efetiva de Juros Simples = 24%/3 = 8% ao ms Taxa de Desconto Comercial Trimestral = ? Vou aproveitar para deduzir a relao entre a taxa de juros efetiva e a taxa de desconto comercial: Desconto Comercial: D = N.iD.t = N AD AD = N D = N N.iD.t = N.(1 iD.t) (I) Taxa efetiva: taxa que utilizamos para partir do valor atual e chegar ao valor nominal ( a mesma taxa do desconto racional): N = AD.(1 + ief.t) => AD = N/(1 + ief.t) (II) Substituindo (II) em (I):

N/(1 + ief.t) = N.(1 iD.t) => (1 iD.t).(1 + ief.t) = 1 t = 5 meses; ief = 8% ao ms: (1 iD.5).(1 + 8%.5) = 1 => 1,4. (1 iD.5) = 1 => 1 5.iD = 1/1,4 = 0,7143 => 5.iD = 1 0,7143 = 0,2857 => => iD = 0,05714 = 5,714% ao ms = 5,714 x 3 = 17,143% ao trimestre

GABARITO: C


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5. Curiosidades matemticas: Demonstrao de que 2 + 2 = 5. Prova:

0 = 0 4 4 = 10 10 => 22 22 = 2.5 2.5 => 22 22 = 2.(2 + 3) 2.(2 + 3) =>

Lembrando que: a2 b2 = (a + b).(a b) => 22 22 = (2 + 2).(2 2)

(2 + 2).(2 2) = 2.(2 + 3) 2.(2 + 3) (2 + 2).(2 2) = (2 + 3).(2 2)

Dividindo ambos os membros da equao por (2 2), temos:

(2 + 2) = (2 + 3) 2 + 2 = 2 + 3 2 + 2 = 5

E voc? Sabe explicar o que aconteceu? Onde est o erro? Ou ser que, realmente, 2 + 2 = 5? (resposta no final da aula) Ufa! Terminamos a sesso de dvidas. Vamos a parte principal da aula de hoje? ==============================================


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Muitos dos conceitos desta aula j foram vistos no decorrer do curso. Portanto, nesta aula, estudaremos os conceitos no tratados at aqui e, posteriormente, faremos exerccios, tanto nesta, como na ltima aula, que ser somente de exerccios e de reviso da matria, como havia prometido.

11. Compreenso e elaborao da lgica das situaes por meio de: raciocnio matemtico

11.1 Conjuntos numricos racionais e reais: conceitos vistos na aula 03 (lgebra).

11.2. Operaes, propriedades, problemas envolvendo as quatro operaes nas formas fracionria e decimal: conceitos vistos na aula 03 (lgebra).

11.3. Conjuntos numricos complexos

11.3.1. Operaes com Pares Ordenados

Seja o conjunto dos nmeros reais. Consideremos o produto cartesiano 2 = .

}{2 ( , ) | ;x y x y= 2 = conjunto dos pares ordenados (x,y), em que x e y so nmeros reais. Propriedades dos Pares Ordenados:

1) Igualdade: (a,b) = (c,d) a = c e b =d 2) Adio: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) 3) Multiplicao: (a,b) . (c,d) = (ac bd, ad + bc)

11.3.2. Conjuntos Numricos Complexos

representado por e corresponde ao conjunto dos pares ordenados de nmeros reais para os quais esto definidas as propriedades do item 11.3.1.

( , ); ,z z x y x y =

Exemplos: 1) z1 = (3,2) e z2 = (4,0). Calcule z1 + z2; z1 . z2 e z12. z1 + z2 = (3 + 4, 2 + 0) = (7,2) z1 . z2 = (3.4 2.0, 3.0 + 2.4) = (12,8)


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z12 = (3,2).(3,2) = (3.3 2.2, 3.2 + 2.3) = (5,12) 2) z1 = (1,2) e z2 = (3,4). Calcule z, tal que z1 + z = z2. z = (x,y) => (1,2) + (x,y) = (3,4) => (1 + x, 2 + y) = (3,4) 1 + x = 3 => x = 3 1 = 2 2 + y = 4 => y = 4 2 = 2 z = (2,2) 3) z1 = (1,-1) e z2 = (2,3). Calcule z, tal que z1.z = z2. z = (x,y) => (1,-1) + (x,y) = (2,3) => (x.1 (-1).y, 1.y + (-1).x) = (2,3) => => (x + y, y x) = (2,3) x + y = 2 (I) y x = 3 (II) (I) + (II) => 2y = 5 => y = 5/2 x + y = 2 => x + 5/2 = 2 => x = 2 5/2 = -1/2 z = (-1/2, 5/2) Propriedades (continuao): I. Adio: Associativa: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) Comutativa: z1 + z2 = z2 + z1 Elemento Neutro: z = (0,0) = elemento neutro => z1 + z = z1 Elemento Simtrico: z + z= (0,0). Logo, se z = (x,y), ento z= (-x,-y) II. Multiplicao: Associativa: (z1 . z2) . z3 = z1 . (z2 . z3) Comutativa: z1 . z2 = z2 . z1 Distributiva: z1 . (z2 + z3) = z1 . z2 + z1 . z3 Elemento Neutro: z = (1,0) = elemento neutro => z1 . z = z1 Exemplo: (2,3).(1,0) = (2.1 3.0, 2.0 + 3.1) = (2,3)

Elemento Inverso: z . z = (1,0).

Logo, se z = (x,y), ento z = 2 2 2 2,x y

x y x y + +

=> inverso ou inverso

multiplicativo.


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Exemplo: Supondo que z1 = (1,2) e z2 = (3,4), calcule o resultado da diviso de z1 por z2. Fazer a diviso de z1 por z2 o mesmo que multiplicar z1 pelo inverso de z2.

11 2 2 2 2 2

2

1

2

3 4 3 4. (1,2).( , ) (1,2).( , )

3 4 3 4 25 253 4 4 3 11 2(1. 2.( ),1.( ) 2. ) ,25 25 25 25 25 25

z z z

z

z

z

= = =

+ +

= + =

Nota: Unidade Imaginria (i) corresponde ao nmero complexo (0,1).

i2 = (0,1).(0,1) = (0.0 1.1, 0.1 + 1.0) = (-1,0) => i2 = -1 i3 = i2.i = (-1).i = -i i4 = i2.i2 = (-1).(-1) = 1 Normalmente, para todo n : i4n = 1 i4n+1 = i i4n+2 = -1 i4n+3 = -i Dado um nmero complexo qualquer z = (x,y), temos: z = (x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + (y.0 0.1, y.1 + 0.0) = (x,0) + (0,y).(0,1)

z = x + y.i => forma algbrica de escrever o nmero complexo. x (nmero real) = denominado parte real de z. y (nmero real) = denominado parte imaginria de z.

x = Re(z) y = Im(z)

Nota: Chama-se real todo nmero complexo cuja parte imaginria nula e chama-se imaginrio puro todo nmero complexo cuja parte real nula e a imaginria no. z = x + 0.i => z = x real z = 0 + y.i => z = y.i imaginrio puro A forma algbrica muito mais prtica que o par ordenado, pois facilita as operaes. Veja: Igualdade: a + b.i = c + d.i => a = c e b = d.


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Adio: (a + b.i) + (c + d.i) = (a + c) + (b + d).i Multiplicao: (a + b.i) . (c + d.i) = a.c + a.d.i + b.c.i + b.d.i2 Como i2 = -1 (a + b.i) . (c + d.i) = a.c + a.d.i + b.c.i + b.d.(-1) = (a.c b.d) + (a.d + b.c).i Exemplo: Dados z1 = 1 + 2.i e z2 = 2 i e z3 = 3 + i, calcule z1.z2.z3. z1.z2.z3 = (1 + 2.i).(2 i).(3 + i) = (1.2 1.i + 2.2.i 2.i2).(3 + i) =>

z1.z2.z3 = (2 1.i + 4.i 2.(-1)). (3 + i) = (4 + 3.i).(3 + i) => z1.z2.z3 = (4.3 + 4.i + 3.3.i + 3.i2) = (12 + 4.i + 9.i + 3.(-1)) => z1.z2.z3 = 9 + 13.i

Exemplo: Calcule 101 50

100 49(2 ) .(2 )

( 2 ) .( 2)i ii i

+

.

101 50 101 50

100 49 100 49

2

(2 ) .(2 ) (2 ) .(2 ) (2 ).(2 )( 2 ) .( 2) ( 1).(2 ) .(2 ) 1

2.2 2. 2. 4 ( 1) 51 1

i i i i i ii i i i

i i i

+ + + = = =

+

+ = = =

Nota: (a + b) = (-1).(-a b) (a b) = (-1).(-a + b)

Exemplo: Calcule 80 82

96(1 ) (1 )i i

i+ +

.

(1 + i)2 = (1 + i). (1 + i) = 1.1 + 1.i + 1.i + i2 = 1 + 2.i + (-1) = 2.i

( )( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

40 41 40 412 280 82

48 4896 2

20 2040 2 41 220 2040 41 40 41

(1 ) (1 ) 2. 2.(1 ) (1 )1

2 . 2 . .2 . 1 2 . . 1 2 2 .

1

i i i ii ii i

i i ii i

+ + + + = = =

= = =

Nota: Complexo Conjugado

Se z = x + y.i, o seu complexo conjugado : .z x y i=


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Logo, pode-se deduzir que o conjugado de .z x y i= z = x + y.i. . .z x y i z x y i= + =

Propriedades do Conjugado:

I) z + z = 2.Re(z)

II) z - z = 2.Im(z).i

III) z = z z IV) 1 2 1 2z z z z+ = +

V) 1 2 1 2. .z z z z=

Exemplos: z = 1 + 2.i. Logo, z = 1 2.i

I) z + z = 1 + 2.i + 1 2.i = 2 = 2.Re(z)

II) z - z = 1 + 2.i (1 - 2.i) = 1 + 2.i 1 + 2.i = 4.i = 2.Im(z).i Exemplo: z1 = x1 + y1.i e z2 = x2 + y2.i z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2).i

1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2( ) ( ). ( . ) ( . )z z x x y y i x y i x y i z z+ = + + = + = +

Exemplo: z1 = x1 + y1.i e z2 = x2 + y2.i z1 . z2 = x1.x2 + x1.y2.i + y1.x2.i + y1.y2.i2 = (x1.x2 - y1.y2) + (x1.y2 + y1.x2).i

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2

. ( . . ) ( . . ). .( . ) . .( . ). ( . ).( . ) .

z z x x y y x y y x i x x y i y i x y i

z z x y i x y i z z

= =

= =

Nota: Utilizao do conjugado na diviso: para calcular z2/z1, basta multiplicar o denominador e o numerador pelo conjugado do denominador. Exemplo:

2

23 2. (3 2. ).(1 ) (3.1 3. 2. 2. ) 5 5 1

.

1 (1 ).(1 ) (1 ) 2 2 2i i i i i i i i

i i i i i i+ + +

= = = = + + +


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11.4. Nmeros e grandezas proporcionais: conceitos vistos na aula 06 (Geometria Bsica e Matemtica Financeira).

11.5. Razo, proporo e diviso proporcional

Razo: o quociente entre dois nmeros racionais, sendo que o denominador deve ser diferente de zero. Exemplos: 7/13, 3/5, 8/20, etc. Equivalncias entre Razes: duas razes so equivalentes quando o resultado da diviso do numerador pelo denominador igual.

Exemplo: 1 2 3 4 5

...

3 6 9 12 15= = = = =

Proporo: a igualdade entre duas razes. Exemplo: 1 53 15=

Propriedades da Proporo: Considere a proporo a c

b d=

I) a.d = b.c

II)

a c a b c d a b c d a b c dou ou

b d a c b d a ca b c d a c a c a c a c

ou ou oub d b d b d b d b d

+ + + + = = = =

+ = = = = =

+

Exemplo: Gwen deseja calcular a altura do prdio onde mora. Para isso, cravou uma vara de 2 metros, verticalmente ao solo. Esta vara, no horrio da medio, produziu uma sombra de 3 metros. No mesmo momento, Gwen mediu a sombra de seu prdio e verificou que era de 30 metros. Determine a altura do prdio. 2 3. 2.30 2.10 203 30

metros xx x metros

metros metros= => = => = =

Nmeros Diretamente Proporcionais:

Se x y za b c= = , ento x, y e z so diretamente proporcionais (a, b e c so

nmeros racionais). Sempre que uma grandeza for diretamente proporcional outra, o aumento ou diminuio de uma grandeza provocar, respectivamente, o aumento ou diminuio da outra grandeza.


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Exemplo: combustvel gasto e quilmetros percorridos => quando mais quilmetros percorremos com nosso carro, mais combustvel gastamos; quanto menos quilmetros percorremos com nosso carro, menos combustvel gastamos. Nmeros Inversamente Proporcionais: Se x.a = y.b = z.c, ento x, y e z so inversamente proporcionais (a, b e c so nmeros racionais). Sempre que uma grandeza for inversamente proporcional outra, o aumento ou diminuio de uma grandeza provocar, respectivamente, a diminuio ou aumento da outra grandeza.

Exemplo: tempo de viagem e velocidade do percurso => quando maior velocidade de nosso carro, menor ser o tempo de viagem; quanto menor a velocidade de nosso carro, maior ser o tempo de viagem. Exemplos Prticos: 1. Sabendo-se que 5 kg de arroz custam R$ 10,00, qual ser o preo de 13 kg do mesmo arroz? Grandezas: quilos de arroz e preo (diretamente proporcionais => quanto maior a quantidade de arroz, maior o preo). 5 $10,00 5. 13.10 13.2 $26,00

13kg R

x x Rkg x

= => = => = =

2. Duas torneiras completamente abertas enchem um tanque em 90 minutos. Em quanto tempo 9 torneiras semelhantes s primeiras, tambm completamente abertas, encheriam esse mesmo tanque? Nesta questo, torneiras e tempo so grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior o nmero de torneiras, menos o tempo gasto para encher o tanque. Deste modo, temos: 2 .90min 9 . 2.90 9.

2.10 20min

9 90min 9. 2.90 20min2

torneiras torneiras x xx

ou

torneiras x x

torneiras x

= => = =>

=> = =

= => = => =


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11.6. Regra de Trs Simples e Regra de Trs Composta (*) J vimos muitas regras de trs no decorrer do curso, mas vou comentar aqui os conceitos.

Regra de Trs Simples: so formadas por uma igualdade entre duas razes (proporo). Regra de Trs Composta: so formadas por uma igualdade entre mais de duas razes (proporo). Exemplos Prticos: 1. Como 10 kg de farinha possvel fazer 100 pes. Quantos quilogramas farinha so necessrios para produzir 5.000 pes? As grandezas quantidade de farinha e quantidades de pes so diretamente proporcionais, pois quanto maior a quantidade de pes, maior a quantidade farinha. 10 kg de farinha ===== 100 pes x ===== 5.000 pes 100.x = 10 . 5.000 => x = 10 . 50 = 500 kg de farinha 2. Vov Max, conhecido professor de Raciocnio Lgico-Quantitativo, demora 30 minutos para digitar uma pgina de seu curso online. Quantos dias Vov Max levar para digitar uma aula de seu curso online, que possui 120 pginas? As grandezas tempo de digitao e nmero de pginas so diretamente proporcionais, tendo que vista que, quanto maior o nmero de pginas, maior o tempo para digit-las. 30 minutos ===== 1 pgina x ===== 120 pginas x = 120 . 30 = 3.600 minutos = 3.600/60 minutos = 60 horas/24 horas => => x = 2,5 dias 3. Em uma fbrica, 25 mquinas produzem 15.000 peas de automvel em 12 dias, trabalhando 10 horas por dia. Quantas horas por dia devero trabalhar 30

dessas mquinas para produzir 18.000 peas em 15 dias? Relaes: I. Quanto mais horas por dia forem trabalhadas, menos mquinas sero necessrias (grandezas inversamente proporcionais).


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II. Quanto mais horas por dia forem trabalhadas, menos dias sero necessrios (grandezas inversamente proporcionais). III. Quanto mais horas por dia forem trabalhadas, mais peas sero produzidas (grandezas diretamente proporcionais). Horas/Dia Mquinas Dias Nmero de Peas

10 25 12 15.000 X 30 15 18.000

10 30 15 15.000 10 6 5 5 10 5

. . . .

25 12 18.000 5 4 6 42 1 8 /

4

x x x

x horas diax

= => = => = =>

=> = => =

11.7. Porcentagem: conceito visto na aula 06 (Geometria Bsica e Matemtica Financeira).

12. Raciocnio seqencial, orientao espacial e temporal, formao de conceitos e discriminao de elementos

Neste tpico, sero cobradas aquelas questes estilo psicotcnico, ou seja, so questes para testar, efetivamente e literalmente, o seu raciocnio lgico. Vamos ver alguns exemplos:

Exemplo 1: Assinale a alternativa que completa a seguinte seqncia: 1/2, 2/3, 3/5, 5/7, 7/11, 11/13, .... a) 11/15 b) 13/15 c) 13/17 d) 15/17 e) 15/19 Resoluo

Repare a seqncia: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13 => ela corresponde a uma seqncia de nmeros primos. Na seqncia da questo, o numerador da frao anterior igual ao denominador da frao seguinte. Repare: 1/2, 2/3, 3/5, 5/7, 7/11, 11/13, ....


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Logo, o prximo numerador 13 e o denominador o nmero primo aps 13 (17) => 13/17. GABARITO: C

Exemplo 2: Assinale a alternativa que completa a seqncia abaixo: a) 40 b) 49 c) 44 d) 81 e) 64 Resoluo

Repare que a seqncia corresponde aos nmeros, em ordem crescente, a partir do zero, elevados ao quadrado: 02 = 0; 12 = 1; 22 = 2; 32 = 9; 42 = 16; 52 = 25; 62 = 36; 72 = 49; ... GABARITO: B

Exemplo 3: Assinale a alternativa que contm as letras que completam a seqncia abaixo:

. . . .

. . ........

C J E P N MA H C

=

a) M.N.J b) N.L.J c) J.H.G d) N.M.I e) N.M.J Resoluo

As letras do denominador ocupam duas posies a menos no alfabeto que suas correspondentes no numerador.

4 36

25 16 9

0


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C => menos duas letras => A J => menos duas letras => H E => menos duas letras => C P => menos duas letras => N N => menos duas letras => L M => menos duas letras => J

N.L.J

GABARITO: B Exemplo 4: Assinale a alternativa que completa a seqncia de domins abaixo: a) b) c) d) e) Resoluo

Repare que somando 2 a cada nmero obtm-se o nmero seguinte (lembrando que, no domin, os nmeros variam de 0 a 6). Seqncia de nmeros no domin: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.


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0 + 2 = 2 + 2 = 4 + 2 = 6 + 2 = 1 + 2 = 3 + 2 = 5 + 2 = 0

GABARITO: C Exemplo 5: Assinale a alternativa que completa a seqncia abaixo: a)

b) c) d) e) Resoluo

A figura gira 900 no sentido horrio e o trao, que comea no meio, vai alternando a sua posio. Logo, a prxima figura da seqncia ser: c)

GABARITO: C

?


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13. Outros Assuntos que Podem Cair em Prova

13.1. Progresso Aritmtica (PA)

toda seqncia numrica cujos termos, a partir do segundo, so iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razo. Exemplos: PA1 = (1, 5, 9, 13, 17, 21, ...) => razo = 4 (PA crescente) PA2 = (15,15, 15, 15, 15, 15, 15, ...) => razo = 0 (PA constante) PA3 = (100, 90, 80, 70, 60, 50, ...) => razo = -10 (PA decrescente)

Seja a PA (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razo r. De acordo com a definio: a2 = a1 + 1.r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r (...) an = a1 + (n 1) . r => Termo Geral da PA n => termo de ordem n (n-simo termo) r => razo a1 => primeiro termo

Exemplo: Determine o milsimo da PA abaixo. PA = (1, 3, 5, 7, 9, ...) a1= 1 r = 3 1 = 2 a1000 (n = 1.000) = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999 Considere: aj => termo de ordem j (j-simo termo) da PA ak => termo de ordem k (k-simo termo) da PA aj = ak + (j - k).r

Exemplo: Se numa PA, o quinto termo 30 e o vigsimo termo 60, qual a sua razo? a5 = 30 a20 = 60 a20 = a5 + (20 - 5) . r => 60 = 30 + (20 - 5).r =>

60 - 30 = 15.r => r = 2


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Propriedades:

I. Cada termo (a partir do segundo) a mdia aritmtica dos termos vizinhos deste. Exemplo: PA : (x, y, z) => y = (x + z) / 2 Sabe-se que: x = y r e z = y + r => (x + z)/2 = (y - r + y + r)/2 = 2y/2 = y

II. A soma dos termos eqidistantes dos extremos constante. Exemplo: PA : (m, n, r, s, t) => m + t = n + s = r + r = 2r

Soma dos n primeiros termos de uma PA Considere a seguinte PA = (a1, a2, a3, ..., an-1, an)

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an = 1 .2na a n

+

Exemplo: Calcule a soma dos 200 primeiros termos da PA abaixo. PA= (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ...) a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399

Sn = 1 1 399

. .200 40.0002 2

na a n+ +

= =

13.2. Progresso Geomtrica

toda seqncia numrica cujos termos, a partir do segundo, so iguais ao anterior multiplicado com um valor constante denominado razo (q). Exemplos: PG1 = (1, 3, 9, 27, 81,...) => razo = 3 (PG crescente) PG2 = (15,15, 15, 15, 15, ...) => razo = 1 (PG constante ou estacionria) PG3 = (128, 64, 32, 16, 8, 4, ...) => razo = 1/2 (PG decrescente) PG4 = (1, -3, 9, -27, 81,...) => razo = -3 (PG alternante)

Seja a PG (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razo r. De acordo com a definio: a2 = a1 . q a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2

a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3 (...) an = a1 . qn-1 => Termo Geral da PG


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n => termo de ordem n (n-simo termo) q => razo a1 => primeiro termo Exemplo: Determine o milsimo da PG abaixo. PA = (1, 3, 9, 27, 81, ...) a1= 1 r = 3/1 = 3 a1000 (n = 1.000) = a1 .qn-1 = 1.31000-1 = 3999

Considere: aj => termo de ordem j (j-simo termo) da PA ak => termo de ordem k (k-simo termo) da PA aj = ak . q(j-k)

Exemplo: Se numa PA, o segundo termo 3 e o sexto termo 243, qual a sua razo? a2 = 3 a6 = 243 a6 = a2 . q6-2 => 243 = 3 . q4 =>

81 = q4=> q = 3

Propriedades:

I. Cada termo (a partir do segundo) a mdia geomtrica dos termos vizinhos deste. Exemplo:

PG: (x, y, z) => y = .x z

Sabe-se que: x = y/q e z = y . q => 2. . .y

x z y q y yq

= = =

II. O produto dos termos eqidistantes dos extremos constante. Exemplo: PG : (m, n, r, s, t) => m . t = n . s = r . r = r2

Soma dos n primeiros termos de uma PG Considere a seguinte PG = (a1, a2, a3, ..., an-1, an)


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Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an = 1.(1 )

, 11

na q q

q

Exemplo: Calcule a soma dos 200 primeiros termos da PG abaixo. PA= (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1.024, ... )

Sn = 200

2001.(1 ) 1.(1 2 ) 2 11 1 2

na q

q

= =

Nota: 1) Se q = 1 => Sn = n.a1

2) Se 0 < q < 1 e a PG for crescente e infinita: Sn (n muito grande) = 11

a

q

3) ( )1.n

n nP a a= => produto dos n primeiros termos de uma PG.

13.3. Movimento Uniforme

o movimento que se caracteriza pela velocidade constante em qualquer instante ou intervalo de tempo. Podemos dizer ainda que o mvel percorre distncias iguais em intervalos de tempos iguais.

a = acelerao = zero v = velocidade = constante e diferente de zero s = posio no instante t s0 = posio no instante t0

s = s0 + v.t Velocidade = Distncia Percorrida/Variao do Tempo

S0

v

S

Instante t0 Instante t v


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Questes Comentadas e Resolvidas 1. (Assistente Tcnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Com 50 trabalhadores, com a mesmo produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta? a) 24 b) 16 c) 30 d) 15 e) 20 Resoluo I O nmero de dias para terminar a obra inversamente proporcional ao nmero de trabalhadores, ou seja, quanto maior o nmero de trabalhadores, menor o nmero de dias, e vice-versa. II O nmero de dias para terminar a obra inversamente proporcional jornada de trabalho, ou seja, quanto maior a jornada de trabalho, menor o nmero de dias, e vice-versa. III O nmero de dias para terminar a obra inversamente proporcional jornada de trabalho, ou seja, quanto maior produtividade, menor o nmero de dias, e vice-versa.

Dias Trabalhadores Jornada Produtividade 24 50 8 P X 40 10 (P 20%.P) = 0,8P

24 40 10 0,8. 5.0,8

. . 0,8 0,8. 2450 8 5

24 300,8

P XX P

X dias

= = = =

= =

GABARITO: C


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2. (Assistente Tcnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao mximo, o tanque encher em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao mximo, o tanque encher em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao mximo, em quanto tempo o tanque encher? a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas Resoluo

I. Torneira 1 aberta (T1)=> Tanque enche em 24 horas II. Torneira 2 aberta (T2) => Tanque enche em 48 horas

O tempo de para encher o tanque com as duas torneiras juntas ser sempre calculado da seguinte maneira:

2 1

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 1 1

24 48 1.152 1624 48 72

T TT T T T T T

T T xT horasT T

+= + =

= = = =

+ +

GABARITO: E 3. (Analista em Planejamento, Oramento e Finanas Pblicas-Sefaz/SP-2009-Esaf) Num acampamento escolar com crianas que supostamente comem a mesma quantidade de comida por dia, havia comida suficiente para exatamente 60 dias. Passados 20 dias, chegaram inesperadamente mais vinte crianas que supostamente comiam a mesma quantidade de comida por dia que as que estavam acampadas e que ficaram 10 dias no local antes de seguirem viagem. Se, ao fim de 50 dias, a contar do incio do acampamento, as crianas tiveram que ir embora porque a comida havia acabado, quantas eram elas? a) 120 b) 20 c) 30 d) 60 e) 10


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Resoluo

I. Nmero de crianas inicial: X Tempo de Consumo da Comida = 60 dias Quantidade de Comida Total = Q Quantidade de Comida Consumida por Dia = Q/60 Quantidade de Comida Consumida por Criana por Dia = Q/(X.60) II. Passados 20 dias: mais 20 crianas, que ficaram 10 dias no local. Nmero de Crianas = X + 20 Tempo de Consumo Restante = 60 20 = 40 dias Quantidade de Comida Consumida por Criana por Dia (no foi alterada) = Q/(X.60) III. Trmino da Comida => 50 dias aps o incio do acampamento Clculo: Primeiros 20 dias: Quantidade de Comida Consumida (Q1) Q1 = 20 dias x X crianas x Q/(X.60) = Q/3 Do dia 21 ao dia 30 (10 dias): Quantidade de Comida Consumida (Q2) Q2 = 10 dias x (X + 20) crianas x Q/(X.60) = Q.(X + 20)/(6.X) Do dia 31 ao dia 50 (20 dias): as 20 crianas foram embora. Quantidade de Comida Consumida (Q3) Q3 = 20 dias x X crianas x Q/(X.60) = Q/3 Q1 + Q2 + Q3 = Q

.( 20)3 6. 3

1 ( 20) 1 20 2 11 13 6. 3 6. 3 33. 60 6. 3. 60 20

Q Q X Q QX

X XX X

X X X X crianas

++ + =

+ + + + = = =

+ = => = => =

(

GABARITO: B 4. (Analista em Planejamento, Oramento e Finanas Pblicas-Sefaz/SP-2009-Esaf) Suponha que um carro perde por ano 20% de seu valor em relao ao ano anterior, uma moto perde por ano 30% de seu valor em relao ao ano anterior e uma bicicleta perde por ano 10% de seu valor em relao ao ano anterior. Alm disso, suponha que o carro custa o dobro de uma moto e uma moto o dobro de uma bicicleta. Sendo assim, ao final de 5 anos:


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a) a bicicleta valer mais que a moto. b) o carro valer mais que a moto e a moto valer mais que a bicicleta. c) nenhum dos 3 valer nada. d) a bicicleta valer mais que o carro. e) apenas a bicicleta valer algo. Resoluo

Preo do Carro (Pc) = 2.Preo da Moto (Pm) => Pc = 2.Pm Preo da Moto (Pm) = 2.Preo da Bicicleta (Pb) => Pm = 2.Pb Pc = 2.Pm = 2. 2.Pb = 4.Pb (I) Carro => perde 20% de seu valor em relao ao ano anterior Moto => perde 30% de seu valor em relao ao ano anterior Bicicleta => perde 10% de seu valor em relao ao ano anterior Ao final de 5 anos: I. Carro: Pc (ano 1) = Pc(ano 0) 20%. Pc(ano 0) = 0,8. Pc(ano 0) Pc (ano 2) = Pc(ano 1) 20%. Pc(ano 1) = 0,8. Pc(ano 0) 20%.0,8. Pc(ano 0) Pc (ano 2) = 0,8. Pc (ano 0).(1 20%) = 0,8. Pc (ano 0).0,8 = 0,82.Pc(ano 0) Logo, por deduo, ao final de 5 anos: Pc(ano 5) = 0,85.Pc(ano 0) II. Moto: Pm (ano 1) = Pm(ano 0) 30%. Pm(ano 0) = 0,7. Pm(ano 0) Pm (ano 2) = Pm(ano 1) 30%.Pm(ano 1) = 0,7.Pm(ano 0) 30%.0,7.Pm(ano 0) Pm (ano 2) = 0,7. Pm (ano 0).(1 30%) = 0,7. Pm (ano 0).0,7 = 0,72.Pm(ano 0) Logo, por deduo, ao final de 5 anos: Pm(ano 5) = 0,75.Pm(ano 0) III. Bicicleta: Pb (ano 1) = Pb(ano 0) 10%. Pb(ano 0) = 0,9. Pb(ano 0) Pb (ano 2) = Pb(ano 1) 10%.Pb(ano 1) = 0,9.Pb(ano 0) 10%.0,9.Pb(ano 0) Pb (ano 2) = 0,9. Pb (ano 0).(1 10%) = 0,9. Pb (ano 0).0,9 = 0,92.Pb(ano 0) Logo, por deduo, ao final de 5 anos: Pb(ano 5) = 0,95.Pb(ano 0)


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Portanto, temos: Pc(ano 5) = 0,85.Pc(ano 0) Pm(ano 5) = 0,75.Pm(ano 0) Pb(ano 5) = 0,95.Pb(ano 0) Relaes

5 5 5

5 5 5( 5) 0,8 . ( 0) 0,8 .2. ( 0) 0,8 .2 3,90( 5) 0,7 . ( 0) 0,7 . ( 0) 0,7

c c m

m m m

P ano P ano P anoP ano P ano P ano

= = = =

O preo do carro no ano 5 maior que o preo da moto no ano 5.

5 5 5

5 5 5( 5) 0,8 . ( 0) 0,8 .4. ( 0) 0,8 .4 2,22( 5) 0,9 . ( 0) 0,9 . ( 0) 0,9

c c b

b b b


= = = =

O preo do carro no ano 5 maior que o preo da bicicleta no ano 5.

5 5 5

5 5 5( 5) 0,7 . ( 0) 0,7 .2. ( 0) 0,7 .2 0,57( 5) 0,9 . ( 0) 0,9 . ( 0) 0,9

m m m

b b b


= = = =

O preo da moto no ano 5 menor que o preo da bicicleta no ano 5. GABARITO: A 5. (Analista em Planejamento, Oramento e Finanas Pblicas-Sefaz/SP-2009-Esaf) Em uma cidade, s 15 horas, a sombra de um poste de 10 metros de altura mede 20 metros e, s 16 horas do mesmo dia, a sombra deste mesmo poste mede 25 m. Por interpolao e extrapolao lineares, calcule quanto mediria a sombra de um poste de 20 metros, na mesma cidade, s 15h30min do mesmo dia. a) 45m b) 35m c) 20m d) 50m e) 65m

Resoluo

15 horas ===== Sombra de Poste de 10 metros = 20 metros 16 horas ===== Sombra de Poste de 10 metros = 25 metros Interpolao Linear: Sombra de um Poste de 10 metros s 15h30min (16 15) horas = 1 hora ===== (25 20) metros = 5 metros (15h30min 15) horas = 0,5 hora ===== X 1.X = 0,5 . 5 => X = 2,5 metros


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Logo, s 15 h e 30 min, a sombra de um poste de 10 metros seria: S = 20 metros + 2,5 metros = 22,5 metros Contudo a questo pede a sombra de um poste de 20 metros s 15h30min. Extrapolao Linear: 22,5 metros ===== 10 metros S ===== 20 metros S= (22,5 . 20)/10 = 45 metros GABARITO: A 6. (EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Se a idade de uma criana hoje a diferena entre a metade da idade que ela teria daqui a dez anos e a metade da idade que ela tinha h dois anos, qual a sua idade hoje? a) 3 anos. b) 2 anos. c) 4 anos. d) 5 anos. e) 6 anos. Resoluo

Idade Hoje = X Idade Daqui a 10 anos = X + 10 Idade H 2 anos = X 2

Pelo enunciado: 10 2 10 2 12 6

2 2 2 2X X X XX X anos+ + += = = =

GABARITO: E 7. (EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Uma picape para ir da cidade A para a cidade B gasta dois tanques e meio de leo diesel. Se a distncia entre a cidade A e a cidade B de 500 km e neste percurso ele faz 100 km com 25 litros de leo diesel, quantos litros de leo diesel cabem no tanque da picape? a) 60 b) 50 c) 40 d) 70 e) 80


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Resoluo

Picape Distncia de A para B = 500 km Gasto = 2,5 tanques de leo diesel Consumo = 100 km com 25 litros = 100/25 = 4 km/l A distncia percorrida e o gasto de combustvel so grandezas diretamente proporcionais. 4 km ==== 1litro 500 km ==== X 4.X = 500.1 => X = 500/4 = 125 litros 125 litros ==== 2,5 tanques Y ==== 1 tanque 2,5.Y = 125 => Y = 125/2,5 => Y = 50 litros GABARITO: B 8. (EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Dois pintores com habilidade padro conseguem pintar um muro na velocidade de 5 metros quadrados por hora. Se fossem empregados, em vez de dois, trs pintores com habilidade padro, os trs pintariam: a) 15 metros quadrados em 3 horas. b) 7,5 metros quadrados em 50 minutos. c) 6 metros quadrados em 50 minutos. d) 7,5 metros quadrados em 30 minutos. e) 5 metros quadrados em 40 minutos. Resoluo

O nmero de pintores e o nmero de metros quadrados pintados so grandezas diretamente proporcionais.

Pintores Velocidade 2 5 metros quadrados por hora 3 X

2 5 152. 3.5 7,53 2

X XX

= = = = metros quadrados por hora


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7,5 metros quadrados ==== 1 hora X ==== 50 minutos Y ==== 40 minutos Z ==== 30 minutos T ==== 3 horas T = 3 x 7,5 = 22,5 metros quadrados em 3 horas X = 7,5 x 50/60 = 6,25 metros quadrados em 50 minutos Y = 7,5 x 40/60 = 5 metros quadrados em 40 minutos Z = 7,5 x 30/60 = 3,75 metros quadrados em 30 minutos GABARITO: E 9. (EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Uma empresa de turismo fechou um pacote para um grupo de 80 pessoas, com o qual ficou acordado que cada pessoa que participasse pagaria R$ 1.000,00 e cada pessoa que desistisse pagaria apenas uma taxa de R$ 150,00. Se a empresa de turismo arrecadou um total de R$ 59.600,00, qual a porcentagem das pessoas que desistiram do pacote? a) 20% b) 24% c) 30% d) 42% e) 36% Resoluo

Pacote de Turismo: Pessoa Participante (Pp) = R$ 1.000,00 Pessoa Desistente (Pd) = R$ 150,00 Total de Pessoas (P) = 80 = Pp + Pd => Pp = 80 - Pd Arrecadao Total = R$ 59.600,00 = 1.000.Pp + 150.Pd =>

59.600 = 1.000.(80 - Pd) + 150.Pd => 59.600 = 80.000 1.000.Pd + 150.Pd => 59.600 = 80.000 850.Pd => 850.Pd = 80.000 59.600 = 20.400 => Pd = 20.400/850 = 24 pessoas

Percentual de Pessoas Desistentes = 24/80 = 30% GABARITO: C


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10. (EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Um passageiro, para viajar de A para C, deve ir de nibus de A at B e de trem de B at C, sendo que B est na metade do caminho entre A e C. Os nibus, de A para B, e os trens, de B para C, saem sempre no mesmo horrio, a cada 20 minutos. Sabendo-se que a velocidade mdia do nibus para ir de A at B de 60 km/h, que a distncia entre A e C de 100 km e que o passageiro chegou em B, pegou o primeiro trem que partia para C e chegou em C exatamente uma hora e meia aps partir de A, qual a velocidade mdia do trem para ir de B at C? a) 100 km/h b) 90 km/h c) 70 km/h d) 80 km/h e) 60 km/h Resoluo

Passageiro => Viagem de A para C nibus => de A at B Trem => de B at C (B metade do caminho de A para C) Distncia entre A e C = 2X = 100 km Distncia entre A e B = Distncia entre B e C = X = 100/2 = 50 km nibus e Trens => saem no mesmo horrio, a cada 20 minutos. Velocidade Mdia do nibus (para ir de A at B) = 60 km/h Passageiro chegou em B e pegou o primeiro trem que partia de C Tempo de Viagem entre A e C = 1 hora e meia = 90 minutos I Tempo de viagem de A para B: Distncia (entre A e B) = 50 km s0 = 0 s = 50 km Velocidade (vo) = 60 km/h Movimento Uniforme: s = s0 + v.tAB => 50 = 0 + 60.tAB => tAB = 50/60 hora =>

TAB = 50 minutos Como os trens saem de 20 e 20 minutos, como ele chegou em B com 50 minutos, ter que esperar mais 10 minutos para pegar o trem.

tespera = 10 minutos

A B C

X X s0 s s


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II Tempo Total: tAC = tAB + tespera + tBC => 90 = 50 + 10 + tBC => tBC = 30 minutos

III Velocidade Mdia do Trem: Distncia (entre B e C) = 50 km s = 50 s = 100 km Velocidade do Trem = vt tBC = 30 minutos = 0,5 hora Movimento Uniforme: s = s0 + v.tAB => 100 = 50 + vt.0,5 =>

0,5.vt = 50 vt = 100 km/h

GABARITO: A 11. (ANA-2009-Esaf) Um rio principal tem, ao passar em determinado ponto, 20% de guas turvas e 80% de guas claras, que no se misturam. Logo abaixo desse ponto desemboca um afluente, que tem um volume dgua 30% menor que o rio principal e que, por sua vez, tem 70% de guas turvas e 30% de guas claras, que no se misturam nem entre si nem com as do rio principal. Obtenha o valor mais prximo da porcentagem de guas turvas que os dois rios tero logo apos se encontrarem. a) 41% b) 35% c) 45% d) 49% e) 55% Resoluo

Rio Principal = 20% de guas turvas (T) + 80% de guas claras (C) Volume do Rio Principal = V Afluente = 70% guas turvas (T) + 30% de guas claras (C) Volume do Afluente = V 30%.V = 0,7.V Quando os dois rios se encontrarem: Volume Total = V + 0,7.V = V.(20%.T + 80%.C) + 0,7.V.(70%.T + 30%.C) =>

1,7.V = V.(20%.T + 80%.C) + 0,7.V.(70%.T + 30%.C) => 1,7 = 0,2.T + 0,8.C + 0,7.(0,7.T + 0,3.C) => 1,7 = 0,2.T + 0,49.T + 0,8.C + 0,21.C => 1,7 = 0,69.T + 1,01.C

Percentagem de guas Turvas = 0,69/1,7 = 40,59% GABARITO: A


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12. (ANA-2009-Esaf) Em um ponto de um canal, passam em media 25 barcos por hora quando esta chovendo e 35 barcos por hora quando no esta chovendo, exceto nos domingos, quando a frequncia dos barcos cai em 20%. Qual o valor mais prximo do numero mdio de barcos que passaram por hora neste ponto, em um fim de semana, se choveu durante 2/3 das horas do sbado e durante 1/3 das horas do domingo? a) 24,33 b) 26,83 c) 25,67 d) 27,00 e) 30,00 Resoluo

Canal: Dias de chuva => 25 barcos por hora Dias sem chuva => 35 barcos por hora Exceto domingos => freqncia cai 20%. Domingos com chuva = 25 20%.25 = 20 barcos por hora Domingos sem chuva = 35 20%.35 = 28 barcos por hora Nmero mdio de barcos por hora => final de semana Sbado => choveu durante 2/3 das horas Domingo => choveu durante 1/3 das horas Nmero Mdio (Sbado) = (2/3) x 25 barcos/hora + (1/3) x 35 barcos/hora

Nmero Mdio (Sbado) = 50/3 + 35/3 = 85/3 = 28,33 barcos/hora Nmero Mdio (Domingo) = (1/3) x 20 barcos/hora + (2/3) x 28 barcos/hora

Nmero Mdio (Domingo) = 20/3 + 56/3 = 76/3 = 25,33 barcos/hora Nmero Mdio (Final de Semana) = (28,33 + 25,33)/2 = 26,83 GABARITO: B 13. (ANA-2009-Esaf) Alguns amigos apostam uma corrida num percurso em linha reta delimitado com 20 bandeirinhas igualmente espaadas. A largada e na primeira bandeirinha e a chegada na ultima. O corredor que esta na frente leva exatamente 13 segundos para passar pela 13a bandeirinha. Se ele mantiver a mesma velocidade durante o restante do trajeto, o valor mais prximo do tempo em que ele correra o percurso todo ser de:


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a) 17,54 segundos. b) 19 segundos. c) 20,58 segundos. d) 20 segundos. e) 21,67 segundos. Resoluo

Percurso => 20 bandeirinhas igualmente espaadas = Corredor da frente => t = 13 segundos para passar da 13a bandeirinha

Repare que as bandeiras so igualmente espaadas e, at a 13a bandeira, o primeiro corredor percorreu 12.D. At a 20a bandeira sero 19.D. 13 segundos ==== 12.D X ==== 19.D 12.D.X = 13.19.D => 12.X = 13.19 => X = 247/12 = 20,58 segundos GABARITO: C 14. (APO-Mpog-2008-Esaf) No ltimo ms, cinco vendedores de uma grande loja realizaram as seguintes vendas de pares de calados: Paulo vendeu 71, Ricardo 76, Jorge 80, Eduardo 82 e Srgio 91. Ana diretora de vendas e precisa calcular a venda mdia de pares de calados realizada por estes cinco vendedores. Para este clculo, a empresa disponibiliza um software que calcula automaticamente a mdia de uma srie de valores medida que os valores vo sendo digitados. Ana observou que, aps digitar o valor de cada uma das vendas realizadas pelos vendedores, a mdia calculada pelo software era um nmero inteiro. Desse modo, o valor da ltima venda digitada por Ana foi a realizada por: a) Srgio b) Jorge c) Paulo d) Eduardo e) Ricardo

13 20

D D D D D D D D D D D D D D D D D D D


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Resoluo

Paulo => vendeu 71 pares de calados => nmero mpar Ricardo => vendeu 76 pares de calados => nmero par Jorge => vendeu 80 pares de calados => nmero par Eduardo => vendeu 82 pares de calados => nmero par Srgio => vendeu 91 pares de calados => nmero mpar Ana => Software => A mdia calculada medida que os valores vo sendo digitados Repare que os nmeros mpares divididos por um nmero par no do resultados inteiros. Portanto, os dois nmeros mpares de vendas (Paulo e Srgio) sero os dois primeiros a serem digitados (para dividir por 2) ou o terceiro e quarto a serem digitados (para dividir por 4), visto que a soma dos dois divisvel por 2 e pode ser divisvel por 4. Hiptese I mpares no incio: Ordem de digitao (pode ser Paulo e Srgio ou Srgio e Paulo) Paulo = 71 Srgio = 91 => Mdia 1 = (91 + 71)/2 = 162/2 = 81 Repare que 162 tambm divisvel por 3 (162/3 = 54). Logo, o prximo nmero a ser digitado tambm deve ser divisvel por 3. Contudo, as vendas que sobraram para digitar no so divisveis por 3 (Ricardo = 76; Jorge = 80 e Eduardo = 82). Logo, a hiptese I no vlida. Hiptese II mpares nas posies 3 e 4. Possibilidades de digitao:

1. 76, 80, 71, 91, 82 2. 76, 80, 91, 71, 82 3. 76, 82, 71, 91, 80 4. 76, 82, 91, 71, 80 5. 80, 82, 71, 91, 76 6. 80, 82, 91, 71, 76

Nas duas primeiras posies, como foram digitados somente nmeros pares, independentemente da possibilidade, a mdia ser um nmero inteiro, mesmo que as posies sejam alternadas entre si. Portanto, vamos analisar a partir da 3a posio. Possibilidades de digitao:

1. (76 + 80 + 71)/3 = 227/3 => no nmero inteiro 2. (76 + 80 + 91)/3 = 247/3 => no nmero inteiro 3. (76 + 82 + 71)/3 = 229/3 => no nmero inteiro 4. (76 + 82 + 91)/3 = 249/3 = 83 => nmero inteiro 5. (80 + 82 + 71)/3 = 233/3 => no nmero inteiro 6. (80 + 82 + 91)/3 = 253/3 => no nmero inteiro


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Logo, a nica soluo a possibilidade 4. Vamos, ento, testar todas as mdias:

M1 = 76 + 82 = 158/2 = 79 => inteiro M2 = (76 + 82 + 91)/3 = 249/3 = 83 => inteiro M3 = (76 + 82 + 91 + 71)/4 = 320/4 = 80 => inteiro M4 = (76 + 82 + 91 + 71 + 80)/5 = 400/5 = 80 => inteiro Logo, o ltimo vendedor a ser digitado foi: Jorge => vendeu 80 pares de calados

GABARITO: B

15. (AFC-STN-2008-Esaf) Uma equipe de trs policiais est em uma viatura perseguindo o carro de Telma e Louise que corre por uma estrada reta onde existe um tnel construdo tambm em linha reta. Antes de chegarem at o tnel, os policiais avistam o carro de Telma e Louise que j est dentro do tnel - , exatamente a 200 metros de uma das extremidades. Na posio em que o carro das moas se encontra, elas acreditam que tm duas opes de fuga: continuar dirigindo no sentindo em que se encontram ou dirigirem em direo polcia. A partir da velocidade do carro de Telma e Louise e da velocidade da viatura, os policiais concluram, acertadamente, que as moas no podero fugir se forem capturadas no tnel. Ou seja, os policiais podero apanh-las numa ou noutra extremidade do tnel, independentemente da direo que elas tomarem. Sabe-se que o carro de Telma e Louise e a viatura dos policiais locomovem-se a velocidades constantes. Sabe-se, tambm, que o tnel tem um quilmetro de comprimento. Desse modo, conclui-se que a relao entre a velocidade da viatura e a do carro das moas dada por: a) 3/2 b) 3/5 c) 7/5 d) 3/4 e) 5/3 Resoluo

I Hiptese I: Telma e Louise tentam fugir pela entrada do tnel.

Telma Louise Polcia

Tnel = 1 km = 1.000 m

800 m 200 m

vt

vp

0 A X


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Repare que a questo estabelece que a distncia do carro de Telma e Louise a uma das extremidades do tnel de 200 metros, mas no estabelece qual a extremidade. Nesta hiptese, considerei que a distncia at a sada de

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Raciocinio Lógico Moraes Júnior Aula 07