Raciocínio Lógico – Parte 2 Prof. Dudan · Edital RACIOCÍNIO LÓGICO: 1 Conceitos básicos de raciocínio lógico: proposições; valores lógicos das proposições; sentenças

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    Raciocnio Lgico Parte 2

    Prof. Dudan

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    Raciocnio Lgico

    Professor Dudan

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    Edital

    RACIOCNIO LGICO: 1 Conceitos bsicos de raciocnio lgico: proposies; valores lgicos das proposies; sentenas abertas; nmero de linhas da tabela verdade; conectivos; proposies simples; proposies compostas. 2 Tautologia.

    BANCA: Cespe

    CARGO: Tcnico do Seguro Social

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    Raciocnio Lgico

    7

    1. INTRODUO A RACIOCNIO LGICO

    A Lgica tem, por objeto de estudo, as leis gerais do pensamento e as formas de aplicar essas leis corretamente na investigao da verdade.

    A partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia Lgica a formulao de leis gerais de encadeamentos lgicos que levariam descoberta de novas verdades. Essa forma de encadeamento chamada, em Lgica, de argumento.

    1.1 PROPOSIO E SENTENA

    Um argumento uma sequncia de proposies na qual uma delas a concluso e as demais so premissas. As premissas justificam a concluso.

    Proposio: Toda frase que voc consiga atribuir um valor lgico proposio, ou seja, frases que podem ser verdadeiras ou falsas.

    Exemplos:

    1) Saiu o edital da Susepe.

    2) Os primeiros colocados sero alunos da Casa.

    3) 5 + 3 = 8.

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    No so proposies frases que voc no consegue julgar se verdadeira ou falsa, por exemplo:

    1) Vai estudar?

    2) Mas que legal!

    Sentena: Nem sempre permite julgar se verdadeiro ou falso. Pode no ter valor lgico.

    Frases interrogativas e exclamativas no so proposies. Tambm no so proposies frases no imperativo e expresses matemticas com incgnitas.

    QUESTO COMENTADA(CESPE Banco do Brasil 2007) Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies.

    I. A frase dentro destas aspas uma mentira.

    II. A expresso X + Y positiva.

    III. O valor de 4 +3= 7

    IV. Pel marcou dez gols para a seleo brasileira.

    V. O que isto?

    Soluo:

    Item I: No possvel atribuir um nico valor lgico para esta sentena, j que, se considerarmos que verdadeiro, teremos uma resposta falsa (mentira) e vice-versa. Logo no proposio.

    Item II: Como se trata de uma sentena aberta, na qual no esto definidos os valores de X e Y, logo tambm no proposio.

    Item III: Como a expresso matemtica no contm varivel, logo uma proposio. Conseguimos atribuir um valor lgico, que, neste caso, seria falso.

    Item IV: Trata-se de uma simples proposio, j que conseguimos atribuir um nico valor lgico.

    Item V: Como se trata de uma interrogativa, logo no possvel atribuir valor lgico. Assim, no proposio.

    Concluso: Errado, pois existem apenas duas proposies: item III e IV.

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    1.2 OU NO PROPOSIO?

    Cuidado com a generalizao. Nas questes da CESPE, nem sempre que aparecerem pontos de ? ou de ! poderemos generalizar afirmando que no se trata de uma proposio.

    O critrio para afirmao sempre tem que ser o mesmo: perguntar se a sentena aceita atribuio de um valor lgico (Verdadeiro ou Falso).

    CESPE 2008 SEBRAE-BA Superior

    Uma proposio uma sentena afirmativa ou negativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no como ambas.

    Nesse sentido, considere o seguinte dilogo:

    (1) Voc sabe dividir? perguntou Ana.

    (2) Claro que sei! respondeu Mauro.

    (3) Ento, qual o resto da diviso de onze milhares, onze centenas e onze por trs? perguntou Ana.

    (4) O resto dois. respondeu Mauro, aps fazer a conta.

    (5) Est errado! Voc no sabe dividir respondeu Ana.

    A partir das informaes e do dilogo acima, julgue o item que se segue.

    1. A frase indicada por (3) no uma proposio.

    ()Certo()Errado

    2. A frase (2) uma proposio.

    ()Certo()Errado

    Gabarito:1. Errado2. Certo

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    2. NEGAO SIMPLES

    1) Zambeli feio.

    Como negamos essa frase?

    Quem tambm disse: Zambeli bonito errou. Negar uma proposio no significa dizer o oposto, mas sim escrever todos os casos possveis diferentes do que est sugerido.

    Zambeli NO feio.

    A negao de uma proposio uma nova proposio, que verdadeira se a primeira for falsa e falsa se a primeira for verdadeira.

    PARA GABARITARPara negar uma sentena acrescentamos o no, sem mudar a estrutura da frase.

    2) Andr Vieira no louco.

    Negao: Andr Vieira louco.

    Para negar uma negao, exclumos o no.

    Simbologia: Assim como na Matemtica representamos valores desconhecidos por x, y, z..., na Lgica tambm simbolizamos frases por letras. Exemplo:

    Zambeli feio.

    Z

    Proposio: Z

    Para simbolizar a negao usaremos ou .

    Negao: Zambeli no feio.

    Simbologia: ~Z.

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    Andr Vieira no Louco.

    A

    Proposio: ~A

    Negao: Andr Louco.

    Simbologia: ~(~A)= A

    p = Thiago Machado gosta de matemtica.

    ~p = Thiago Machado no gosta de matemtica.

    Caso eu queira negar que Thiago Machado no gosta de matemtica, a frase voltaria para a proposio p: Thiago Machado gosta de matemtica.

    ~p = Thiago Machado no gosta de matemtica.

    ~(~p) = No verdade que Thiago Machado no gosta de matemtica.

    ou

    ~(~p) = Thiago Machado gosta de matemtica.

    3. PROPOSIES COMPOSTAS

    Proposio composta a unio de proposies simples por meio de um conector lgico. Esse conector ir ser decisivo para o valor lgico da expresso.

    Proposies podem ser ligadas entre si por meio de conectivos lgicos. Conectores que criam novas sentenas mudando ou no seu valor lgico (Verdadeiro ou Falso).

    Uma proposio simples possui apenas dois valores lgicos, verdadeiro ou falso.

    J proposies compostas tero mais do que duas possibilidades distintas de combinaes dos seus valores lgicos, conforme demonstrado no exemplo a seguir:

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    Consideramos as duas proposies abaixo, chove e faz frio.

    Chove e faz frio.

    Para cada proposio, existem duas possibilidades distintas, falsa ou verdadeira. Numa sentena composta, teremos mais de duas possibilidades.

    E se essa sentena ganhasse outra proposio, totalizando agora trs proposies em uma nica sentena?

    Chove e faz frio e estudo.

    A sentena composta ter outras possibilidades.

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    PARA GABARITAR

    possvel identificar quantas possibilidades distintas teremos de acordo com o nmero de proposio em que a sentena apresentar. Para isso, devemos apenas elevar o nmero 2 quantidade de proposio, conforme o raciocnio abaixo:

    Proposies Possibilidades

    1 2

    2 4

    3 8

    n 2n

    QUESTO COMENTADA

    (CESPE Banco do Brasil 2007) A proposio simblica pqr possui, no mximo, 4 avaliaes.

    Soluo:

    Como a sentena possui 3 proposies distintas (P, Q e R), logo a quantidade de avaliaes ser dada por: 2proposies = 23 = 8

    Resposta: Errado, pois teremos um total de 8 avaliaes.

    4. CONECTIVOS LGICOS

    Um conectivo lgico (tambm chamado de operador lgico) um smbolo ou uma palavra usada para conectar duas ou mais sentenas (tanto na linguagem formal quanto na linguagem informal) de uma maneira gramaticalmente vlida, de modo que o sentido da sentena composta produzida dependa apenas das sentenas originais.

    Muitas das proposies que encontramos na prtica podem ser consideradas como construdas a partir de uma, ou mais, proposies mais simples por utilizao de instrumentos lgicos, a que se costuma dar o nome de conectivos, de tal modo que o valor de verdade da proposio inicial fica determinado pelos valores de verdade da, ou das, proposies mais simples que contriburam para a sua formao.

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    Os principais conectivos lgicos so:

    I. "e" (conjuno)

    II. "ou" (disjuno)

    III. Ouou (disjuno exclusiva)

    IV. "se e somente se" (equivalncia)

    IV. "se...ento" (implicao)

    4.1 CONJUNO E

    Proposies compostas ligadas entre si pelo conectivo e.

    Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por .

    Exemplo:

    Chove e faz frio.

    Tabela verdade: Tabela verdade uma forma de analisarmos a frase de acordo com suas possibilidades, o que ocorreria se cada caso acontecesse.

    Exemplo:

    Fui aprovado no concurso da DPE e serei aprovado no concurso do Susepe.

    Proposio 1: Fui aprovado no concurso da DPE.

    Proposio 2: Serei aprovado no concurso do Susepe.

    Conetivo: e

    Vamos chamar a primeira proposio de p, a segunda de q e o conetivo de .

    Assim, podemos representar a frase acima da seguinte forma: pq

    Vamos preencher a tabela a seguir com as seguintes hipteses:

    H1:

    p: Fui aprovado no concurso da DPE.q: Serei aprovado no concurso do Susepe.

    H2:

    p: Fui aprovado no concurso da DPE.q: No serei aprovado no concurso do Susepe.

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    H3:

    p: No fui aprovado no concurso da DPE.q: Serei aprovado no concurso do Susepe.

    H4:

    p: No fui aprovado no concurso da DPE.q: No serei aprovado no concurso do Susepe.

    Tabela Verdade: Aqui vamos analisar o resultado da sentena como um todo, considerando cada uma das hipteses acima.

    p q pq

    H1 V V V

    H2 V F F

    H3 F V F

    H4 F F F

    Concluso:

    4.2 DISJUNO INCLUSIVA OU

    Recebe o nome de disjuno toda a proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo "ou". Simbolicamente, representaremos esse conectivo por v.

    Exemplo:

    Estudo para o concurso ou assisto aos jogos da Copa.

    Proposio 1: Estudo para o concurso.

    Proposio 2: Assisto aos jogos da Copa.

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    Conetivo: ou

    Vamos chamar a primeira proposio de p, a segunda de q e o conetivo de .

    Assim, podemos representar a sentena acima da seguinte forma: pq

    Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

    H1:

    p: Estudo para o concurso.q: Assisto aos jogos da Copa.

    H2:

    p: Estudo para o concurso.q: No assisto aos jogos da Copa.

    H3:

    p: No estudo para o concurso.q: Assisto aos jogos da Copa.

    H4:

    p: No Estudo para o concurso.q: No assisto aos jogos da Copa.

    Tabela Verdade:

    p q pq

    H1 V V V

    H2 V F V

    H3 F V V

    H4 F F F

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    4.3 DISJUNO EXCLUSIVA ...OU... OU ...

    Recebe o nome de disjuno exclusiva toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo "Ou... ou ...". Simbolicamente, representaremos esse conectivo por v. Portanto, se temos a sentena:

    Exemplo: Ou Maria compra o sapato ou Maria compra a bolsa.

    Proposio 1: Maria compra o sapato. Proposio 2: Maria compra a bolsa.

    Conetivo: ou...ou .

    Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de v Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: pvq

    Vamos preencher a tabela a seguir com as seguintes hipteses:

    H1:

    p: Maria compra o sapato.

    q: Maria compra a bolsa.

    H2:

    p: Maria compra o sapato.

    q: Maria no compra a bolsa.

    H3:

    p: Maria no compra o sapato.

    q: Maria compra a bolsa.

    H4:

    p: Maria no compra o sapato.

    q: Maria no compra a bolsa.

    p q p v q

    H1 V V F

    H2 V F V

    H3 F V V

    H4 F F F

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    Nas estruturas de proposio composta resultan-te da operao da disjuno exclusiva de duas ou mais proposies simples s ser verdadeira (V) quando apenas uma das variveis envolvidas V, nos demais casos em que h duas proposies simples com F ou duas com V teremos como resul-tado um valor falso.

    4.4 BICONDICIONAL ...SE SOMENTE SE...

    Recebe o nome de bicondicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo "...se somente se...". Simbolicamente, representaremos esse conectivo por . Portanto, se temos a sentena:

    Exemplo: Maria compra o sapato se e somente se o sapato combina com a bolsa.

    Proposio 1: Maria compra o sapato.

    Proposio 2: O sapato combina com a bolsa.

    Conetivo: se e somente se.

    Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de

    Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: pq

    Vamos preencher a tabela a seguir com as seguintes hipteses:

    H1:

    p: Maria compra o sapato.q: O sapato combina com a bolsa.

    H2:

    p: Maria compra o sapato.q: O sapato no combina com a bolsa.

    H3:

    p: Maria no compra o sapato.q: O sapato combina com a bolsa.

    H4:

    p: Maria no compra o sapato.q: O sapato no combina com a bolsa.

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    p q p q

    H1 V V V

    H2 V F F

    H3 F V F

    H4 F F V

    O bicondicional s ser verdadeiro quando ambas as proposies possurem o mesmo valor lgico, ou quando as duas forem verdadeiras ou as duas proposies forem falsas.

    Uma proposio bicondicional pode ser escrita como duas condicionais. como se tivssemos duas implicaes, uma seta da esquerda para direita e outra seta da direita para esquerda, conforme exemplo abaixo:

    p q (p q) (q p)

    Nesse caso, transformamos um bicondicional em duas condicionais conectadas por uma conjuno. Essas sentenas so equivalentes, ou seja, possuem o mesmo valor lgico.

    4.5 CONDICIONAL SE......ENTO......

    Recebe o nome de condicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo "Se... ento". Simbolicamente representaremos esse conectivo por .

    Em alguns casos o condicional apresentado com uma vrgula substituindo a palavra ento, ficando a sentena com a seguinte caracterstica: Se proposio 1 , proposio 2.

    Exemplo: Se estudo, ento sou aprovado.

    Proposio 1: estudo (Condio Suficiente)

    Proposio 2: sou aprovado (Condio Necessria)

    Conetivo: se... ento

    Vamos chamar a primeira proposio de p, a segunda de q e o conetivo de .

    Assim, podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q

    Agora vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

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    H1:

    p: Estudo.q: Sou aprovado.

    H2:

    p: Estudo.q: No sou aprovado.

    H3:

    p: No estudo.q: Sou aprovado.

    H4:

    p: No estudo.q: No sou aprovado.

    p q p q

    H1 V V V

    H2 V F F

    H3 F V V

    H4 F F V

    A tabela verdade do condicional a mais cobrada em provas de concurso pblico.

    A primeira proposio, que compe uma condicional, chamamos de condio suficiente da sentena, e a segunda a condio necessria.

    No exemplo anterior, temos:

    Condio suficiente: Estudo.

    Condio necessria: Sou aprovado.

    Para detonar uma prova de Raciocnio Lgico em um concurso pblico, voc precisa saber que uma condicional s ser falsa se a primeira proposio for verdadeira e a segunda for falsa.

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    PARA GABARITAR

    SENTENA LGICA VERDADEIRO SE... FALSO SE..

    p q p e q so, ambos, verdade um dos dois for falso

    p q um dos dois for verdade ambos, so falsos

    p q nos demais casos que no for falso p = V e q = F

    p q p e q tiverem valores lgicos iguaisp e q tiverem valores

    lgicos diferentes

    p v q p e q tiverem valores lgicos diferentesp e q tiverem valores lgicos

    iguais

    QUESTO COMENTADA(FCC MP-RS 2006) Um argumento composto pelas seguintes premissas:

    I. Se as metas de inflao no so reais, ento a crise econmica no demorar a ser superada.

    II. Se as metas de inflao so reais, ento os supervits primrios no sero fantasiosos.

    III. Os supervits sero fantasiosos.

    Para que o argumento seja vlido, a concluso deve ser:

    a) A crise econmica no demorar a ser superada.b) As metas de inflao so irreais ou os supervits sero fantasiosos.c) As metas de inflao so irreais e os supervits so fantasiosos.d) Os supervits econmicos sero fantasiosos.e) As metas de inflao no so irreais e a crise econmica no demorar a ser

    superada.

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    Soluo:

    Devemos considerar as premissas como verdadeiras e tentar descobrir o valor lgico de cada uma das proposies.

    Passo 1: Do portugus para os smbolos lgicos:

    Passo 2: Considere as premissas como verdade.

    PREMISSA 1 PREMISSA 2 PREMISSA 3

    VERDADE VERDADE VERDADE

    pq p r r

    No possvel determinar o valor lgico de P e Q, j que existem 3

    possibilidades distintas que tornam o condicional

    verdadeiro.

    No possvel determinar o valor lgico de P e Q, j que existem 3

    possibilidades distintas que tornam o condicional

    verdadeiro.

    CONCLUSO: R = V

    Passo 3: Substitui a premissa 3 em 2 e analise.

    Como na premissa 3 vimos que R V, logo ~R = F.

    Como p uma proposio, o mesmo pode ser F ou V. Vamos testar:

    p r

    F F

    V F

    p r

    F V F

    V F F

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    Como a premissa 2 verdade e caso a proposio P tenha valor V, teremos uma premissa falsa. Logo chegamos concluso que P = F.

    Passo 3: Substitui a premissa 2 em 1 e analise.

    Como na premissa 2 vimos que P F, logo ~P = V.

    Como Q uma proposio, o mesmo pode ser F ou V.

    Analisando o condicional, temos:

    p q

    V V V

    V F F

    Logo ~Q = V, assim Q = F

    Passo 4: Traduzir as concluses para o portugus.

    Premissa 1: P = F

    as metas de inflao no so reais.

    Premissa 2: Q = F

    crise econmica no demorar a ser superada.

    Concluso: Alternativa A

    4.6 CONETIVOS OCULTOS

    Nem sempre as proposies sero apresentadas de forma tradicional e usual, logo necessrio tomar cuidado com as maneiras como a Cespe pode declarar determinados conetivos, conforme a tabela abaixo:

    Conetivos Lgicos Como pode aparecer

    Conjuno (p e q)p, mas qp , q (Vrgula, desde que d uma ideia de contradio)Tanto p, como q

    Condicional (p q)

    Quando p, qq, se p

    OBS.: Sempre que der a ideia de causa x consequncia, temos uma condicional.

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    5. NEGAO DE UMA PROPOSIO COMPOSTA

    Agora vamos aprender a negar proposies compostas. Para isso, devemos considerar que:

    Para negarmos uma proposio conjunta devemos utilizar a propriedade distributiva, similar quela utilizada em lgebra na Matemtica.

    5.1 NEGAO DE UMA DISJUNO INCLUSIVA

    Negar uma sentena composta apenas escrever quando essa sentena assume o valor lgico de falso, lembrando as nossas tabelas verdade construdas anteriormente.

    Para uma disjuno ser falsa (negao), a primeira e a segunda proposio precisam ser falsas, conforme a tabela verdade a seguir, hiptese 4:

    p q p v q

    H1 V V V

    H2 F V V

    H3 V F V

    H4 F F F

    Assim, conclumos que, para negar uma sentena do tipo P v Q, basta negar a primeira (falso) E negar a segunda (falso), logo a negao da disjuno (ou) uma conjuno (e).

    Exemplo 1:

    1) Estudo ou trabalho.

    p = estudo.

    q = trabalho.

    p q

    Conectivo = v

    Vamos agora negar essa proposio composta por uma disjuno.

    ~ p q( ) = ~ p ~ qNo estudo e no trabalho.

    Para negar uma proposio composta por uma disjuno, ns negamos a primeira proposio, negamos a segunda e trocamos ou por e.

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    Exemplo 2:

    No estudo ou sou aprovado.

    p = estudo

    q = sou aprovado

    ~p = no estudo

    ~ p q

    Conectivo: v

    Vamos agora negar essa proposio composta por uma disjuno.

    ~ ~ p q( ) = p ~ qLembrando que negar uma negao uma afirmao; trocamos ou por e e negamos a afirmativa.

    Estudo e no sou aprovado.

    5.2 NEGAO DE UMA CONJUNO

    Vimos no captulo de negao simples que a negao de uma negao uma afirmao, ou seja, quando negamos duas vezes uma mesma sentena, encontramos uma equivalncia.

    Vimos que a negao da disjuno uma conjuno, logo a negao da conjuno ser uma disjuno.

    Para negar uma proposio composta por uma conjuno, ns devemos negar a primeira proposio e depois negar a segunda e trocarmos e por ou.

    Exemplo 1:

    Vou praia e no sou apanhado.

    p = Vou praia.

    q = No sou apanhado

    p ~ q

    Conectivo =

    Vamos agora negar essa proposio composta por uma conjuno.

    ~ p ~ q( ) = ~ p qNo vou praia ou sou aprovado.

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    PARA GABARITARVejamos abaixo mais exemplos de negaes de conjuno e disjuno:

    ~(p v q) = ~(p) ~(v) ~(q) = (~p ~q)

    ~(~p v q) = ~(~p) ~(v) ~(q) = (p ~q)

    ~(p ~q) = ~(p) ~( ) ~(~q) = (~p v q)

    ~(~p ~q) = ~(~p) ~( ) ~(~q) = (p v q)

    5.3 NEGAO DE UMA DISJUNO EXCLUSIVA

    Para negar um disjuno exclusiva podemos simplesmente remete-la a uma bicondiconal, mantendo ambas as proposies em seus formatos originais (mesmo valor lgico.

    Exemplo:

    Ou Joo rico ou Pedro Bonito.

    P= Joo rico

    Q= Pedro Bonito

    Negando-a temos;

    Joo rico se e somente se Pedro bonito

    Pela tabela verdade podemos confirmar a negao da proposio

    p q p q (p q)p q

    V V F V V

    V F V F F

    F V V F F

    F F F V V

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    PARA GABARITAR

    ~ =

    ~ =

    ~ p q = p ~ q

    ~ p q =~ p q ~ q p

    QUESTO COMENTADA(ESAF Fiscal Trabalho 98) A negao da afirmao condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" :

    a) se no estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.b) no est chovendo e eu levo o guarda-chuva.c) no est chovendo e eu no levo o guarda-chuva.d) se estiver chovendo, eu no levo o guarda-chuva.e) est chovendo e eu no levo o guarda-chuva.

    Passo 1: Traduzir do texto para smbolos lgicos.

    o P = Estar chovendo

    o Q = Levar guarda-chuva

    o Conetivo: Se... Ento ()

    PQ

    Passo 2: Aplicar as propriedades de negao. Nesse caso, repetir a primeira proposio E negar a segunda.

    ~ (PQ) = P ~Q

    Passo 3: Traduzir o resultado encontrado para texto novamente.

    Est chovendo e no levo o guarda-chuva.

    Soluo: Alternativa E

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    5.4 NEGAO DE UMA BICONDICIONAL

    Negar uma bicondicional negar duas condicionais, ida e volta. Temos, ento, que negar uma conjuno composta por duas condicionais. Negamos a primeira condicional ou negamos a segunda, usando a regra da condicional em cada uma delas.

    Exemplo 1:

    Estudo se e somente se no vou praia.

    p = estudo.

    q = vou praia.

    ~q = no vou praia.

    p~ q = p~ q ~ q p

    Conectivo =

    Uma bicondicional so duas condicionais, ida e volta.

    Negando,

    ~ p~ q( ) =~ p~ q ~ q p =~ p~ q( ) =~ p~ q ~ q p =~ p~ q ~ ~ q p =

    p q ~ q ~ p.

    Estudo e vou praia ou no vou praia e no estudo.

    Por outro lado podemos negar uma bicondicional transformando-a em uma disjuno exclusiva,mas mantendo o valor lgico de ambas as proposies. Assim temos:

    Exemplo 2:

    Estudo se e somente se no vou praia.

    p = estudo.

    q = vou praia.

    ~q = no vou praia. Conectivo =

    Negando teremos :

    Ou estudo ou no vou praia.

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    5.5 NEGAO DE UMA CONDICIONAL

    Conforme citamos anteriormente, negar uma proposio composta escrever a(s) linha(s) em que a tabela verdade tem como resultado falso.

    Sabemos que uma condicional s ser falsa quando a primeira proposio for verdadeira e a segunda for falsa.

    Assim, para negarmos uma sentena composta com condicional, basta repetirmos a primeira proposio (primeira verdadeira), substiturmos o conetivo se...ento por e e negarmos a segunda proposio (segunda falsa).

    Vejamos um exemplo:

    1) Se bebo, ento sou feliz.

    p = bebo.

    q = sou feliz.

    p q

    Conectivo =

    Negao de uma condicional.

    ~ p q( ) = p ~ qResposta: Bebo e no sou feliz.

    Exemplo 2: Se no estudo, ento no sou aprovado.

    p = estudo.

    ~p = no estudo.

    q = sou aprovado.

    ~q = no sou aprovado.

    ~ p ~ q

    Conectivo =

    Negando: ~ ~ p~ q( ) = ~ p qResposta: No estudo e sou aprovado.

    Exemplo 3: Se estudo, ento sou aprovado ou o curso no ruim.

    p = estudo.

    q = sou aprovado.

    r = curso ruim.

    ~r = curso no ruim.

    p q ~ r

    Negando, ~ p q ~ r( )

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    Negamos a condicional, mantemos a primeira e, negamos a segunda proposio, como a segunda proposio uma disjuno, negamos a disjuno, usando suas regras (negar as duas proposies trocando ou por e).

    ~ p q ~ r( ) = p ~ q ~ r( ) = p ~ q rEstudo e no sou aprovado e o curso ruim.

    6. EQUIVALNCIA DE PROPOSIES

    Dizemos que duas proposies so logicamente equivalentes (ou simplesmente que so equi-valentes) quando so compostas pelas mesmas proposies simples e os resultados de suas tabelas verdade so idnticos.

    6.1 Equivalncia de uma conjuno e uma disjuno.

    Exemplo.

    1) No vou praia e vou estudar.

    p = Vou praia

    ~p = No vou praia

    ~ p q

    q = vou estudar

    Vamos negar essa proposio.

    ~ ~ p q = p ~ q

    Negaremos agora a negao da proposio.

    ~ p ~ q =~ p q

    Voltamos para a proposio inicial, ou seja, numa conjuno, negar uma negao resulta numa equivalncia.

    Essa equivalncia tambm vale para a disjuno.

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    ~ p q =~ p ~ q

    ~ ~ p ~ q = p q

    6.2 EQUIVALNCIA DE UMA CONDICIONAL

    Vamos descobrir qual a sentena equivalente a uma condicional utilizando o mesmo mtodo anterior, negando duas vezes a mesma sentena.

    Exemplo: Se estudo sozinho, ento sou autodidata.

    Simbolizando temos:

    p = estudo sozinho.

    p = sou autodidata.

    p q

    conectivo =

    Simbolicamente: p q

    Vamos negar, ~ p q = p ~ q

    Agora vamos negar a negao para encontrarmos uma equivalncia.

    Negamos a negao da condicional p q = pq

    Soluo: No estudo sozinho ou sou autodidata.

    Mas ser mesmo que estas proposies, p q e ~p v q so mesmo equivalentes? Veremos atravs da tabela verdade.

    p q ~p p q ~ p v q

    V V F V V

    V F F F F

    F V V V V

    F F V V V

    Perceba, na tabela verdade, que pq e ~p v q tm o mesmo valor lgico. Assim, essas duas proposies so equivalentes.

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    Exemplo 2: Vamos encontrar uma proposio equivalente sentena Se sou gremista ento no sou feliz.

    p = Sou gremista.

    q = Sou feliz.

    ~q = No sou feliz.

    p ~ q

    Negao: ~ p~ q = p q

    Sou gremista e sou feliz.

    Equivalncia: negao da negao.

    ~ p~ q = p q

    ~ p q =~ p ~ q

    Logo, no sou gremista ou no sou feliz uma sentena equivalente.

    Exemplo 3: Agora procuramos uma sentena equivalente a Canto ou no estudo.

    c = Canto.

    e = Estudo.

    ~e = No estudo.

    c ~ e

    Negao: ~ c ~ e =~ c e

    Equivalncia: Negar a negao: ~ ~ c e = c ~ e

    Voltamos para a mesma proposio, tem algo errado, teremos que buscar alternativa. Vamos l:

    Vamos para a regra de equivalncia de uma condicional.

    p q ~ p q = , podemos mudar a ordem da igualdade.

    ~ p q = p q

    Veja que o valor lgico de p mudou e q continuou com o mesmo valor lgico.

    Usando essa regra, vamos transformar a proposio inicial composta de uma disjuno em uma condicional.

    c ~ e = p q

    Para chegar condicional, mudamos o valor lgico de p,

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    Troco ou por se...ento e mantenho o valor lgico de q, ficando:

    Se no canto, ento no estudo.

    Exemplo 4: Estudo ou no sou aprovado. Qual a sentena equivalente?

    e = Estudo.

    a = Sou aprovado.

    ~a = No sou aprovado.

    e ~ a

    Dica: quando for ou a equivalncia sempre ser se...ento.

    Assim, temos que transformar ou em se...ento. Mas como?

    p q = ~ p q (equivalentes), vamos inverter.

    ~ p q = p q

    Inverte o primeiro e mantm o segundo, trocando ou por se...ento, transferimos isso para nossa proposio.

    e ~ a =~ e~ a

    Trocamos e por ~e, mantemos ~a e trocamos "v" por " ".

    Logo, se no estudo ento no sou aprovado.

    No podemos esquecer que ou comutativo, assim, a opo de resposta pode estar trocada. Atente, ento, para isso: ao invs de e a pode ser ae , assim, a resposta ficaria:

    Se sou aprovado, ento estudo.

    Quaisquer das respostas estaro certas, ento muita ateno!

    6.3 CONTRAPOSITIVA

    Utilizamos como exemplo a sentena abaixo:

    Se estudo lgica, ento sou aprovado.

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    p = Estudo lgica.

    q = Sou aprovado.

    p q

    Vamos primeiro negar essa sentena:

    ~ (p q) =p ~ q

    Lembrando da tabela verdade da conjuno e, notamos que ela comutativa, ou seja, se alterarmos a ordem das premissas, o valor lgico da sentena no ser alterado. Assim, vamos reescrever a sentena encontrada na negao, alterando o valor lgico das proposies.

    p ~ q =~ q p

    Agora vamos negar mais uma vez para encontrar uma equivalncia da primeira proposio.

    ~ (~ q p) q ~ p

    Agora vamos utilizar a regra de equivalncia que aprendemos anteriormente.

    Regra:p q~ p q

    Em nosso exemplo temos :q ~ p~ q~ p

    Logo encontramos uma outra equivalncia para a nossa sentena inicial.

    Esta outra equivalncia chamamos de contrapositiva e muito fcil de encontrar, basta comutar as proposies (trocar a ordem) e negar ambas.

    p q =~ q~ p

    Exemplo 2: Encontrar a contrapositiva (equivalente) da proposio Se estudo muito, ento minha cabea di

    p = Estudo muito.

    q = Minha cabea di.

    p q

    Encontramos a contrapositiva, invertendo e negando ambas proposies.

    p q =~ q~ p

    Logo, temos que: Se minha cabea no di, ento no estudo muito.

    PARA GABARITAR

    EQUIVALNCIA 1: p q =~ p q

    EQUIVALNCIA 2: p q =~ q~ p (contrapositiva)

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    Como saber qual das duas regras devemos utilizar na hora da prova? Note que a equivalncia 1 transforma uma condicional se ento em uma disjuno ou, enquanto a equivalncia dois transforma uma condicional em outra condicional. Assim, apenas olhando as resposta, na maioria das questes, ser possvel identificar qual das duas regras devemos utilizar.

    QUESTO COMENTADA

    (ESAF Fiscal Trabalho 98) Dizer que "Pedro no pedreiro ou Paulo paulista" , do ponto de vista lgico, o mesmo que dizer que:

    a) se Pedro pedreiro, ento Paulo paulista.b) se Paulo paulista, ento Pedro pedreiro.c) se Pedro no pedreiro, ento Paulo paulista.d) se Pedro pedreiro, ento Paulo no paulista.e) se Pedro no pedreiro, ento Paulo no paulista.

    Soluo:

    Observe que temos uma disjuno, logo a regra que devemos utilizar aquela que transforma uma disjuno em uma condicional.

    p q =~ p q

    Simbolizando a sentena dada na questo, temos:

    ~p = Pedro no pedreiro.

    q = Paulo paulista.

    ~ p q

    Conetivo: v

    Utilizando a nossa regra de equivalncia, temos:~ p q p q

    Logo, conclumos que:

    Se Pedro pedreiro, ento Paulo paulista. Alternativa A.

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    7. TAUTOLOGIA

    Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser considerada uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos das proposies p, q, r, ... que a compem.

    Exemplo:

    Grmio cai para segunda diviso ou o Grmio no cai para segunda diviso.

    Vamos chamar a primeira proposio de p, a segunda de ~p e o conetivo de v.Assim podemos representar a sentena acima da seguinte forma: p v ~p

    Agora, vamos construir as hipteses:

    H1:

    p: Grmio cai para segunda diviso.~p: Grmio no cai para segunda diviso.

    H2:

    p: Grmio no cai para segunda diviso.~p: Grmio cai para segunda diviso.

    p ~p p v ~p

    H1 V F V

    H2 F V V

    Como os valores lgicos encontrados foram todos verdadeiros, logo temos uma TAUTOLOGIA!

    Exemplo 2: verificamos se a sentena abaixo uma tautologia:

    Se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme gordo.

    p = Joo alto.

    q = Guilherme gordo.

    p p q

    Agora, vamos construir a tabela verdade da sentena acima:

    p q p v q p p v q

    H1 V V V V

    H2 V F V V

    H3 F V V V

    H4 F F F V

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    Como para todas as combinaes possveis, sempre o valor lgico da sentena ser verdadeiro, logo temos uma tautologia.

    8. CONTRADIO

    Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser dita uma contradio se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lgicos das proposies p, q, r, ... que a compem.

    Exemplo: Lula o presidente do Brasil e Lula no o presidente do Brasil.

    Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de ~p e o conetivo de ^.

    Assim, podemos representar a frase acima da seguinte forma: p ^ ~p

    p ~p p ^ ~p

    H1 V F F

    H2 F V F

    Logo, temos uma CONTRADIO!

    PARA GABARITAR

    Sempre Verdadeiro = Tautologia

    Sempre Falso = Contradio

    9. DIAGRAMA LGICO

    Chama-se argumento a afirmao de que um grupo de proposies iniciais redunda em uma outra proposio final, que ser consequncia das primeiras. Estudaremos aqui apenas os argumentos que podemos resolver por diagrama, contendo as expresses: todo, algum, nenhum ou outros similares.

    Um argumento vlido tem obrigatoriamente a concluso como consequncia das premissas. Assim, quando um argumento vlido, a conjuno das premissas verdadeiras implica logicamente a concluso.

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    Exemplo: Considere o silogismo abaixo:

    1. Todo aluno da Casa do Concurseiro aprovado.

    2. Algum aprovado funcionrio da defensoria.

    Concluso:

    Existem alunos da Casa que so funcionrios da defensoria.

    Para concluirmos se um silogismo verdadeiro ou no, devemos construir conjuntos com as premissas dadas. Para isso, devemos considerar todos os casos possveis, limitando a escrever apenas o que a proposio afirma.

    Pelo exemplo acima, vimos que nem sempre a concluso verdadeira. Veja que, quando ele afirma que existem alunos da Casa que so funcionrios da defensoria, ele est dizendo que sempre isso vai acontecer, mas vimos por esse diagrama que nem sempre acontece.

    Funcionrio da Defensoria

    Alunos aprovados

    Aluno da casa

    Nesse diagrama, isso acontece, mas pelo dito na concluso, sempre vai existir, e vimos que no, logo a concluso falsa.

    No mesmo exemplo, se a concluso fosse:

    Existem funcionrios da defensoria que no so alunos da Casa.

    Qualquer diagrama que fizermos (de acordo com as premissas), essa concluso ser verdadeira, tanto no diagrama 1 quanto no diagrama 2 sempre vai ter algum de fora do desenho.

    Logo, teramos um silogismo!

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    Silogismo uma palavra cujo significado o de clculo. Etimologicamente, silogismo significa reunir com o pensamento e foi empregado pela primeira vez por Plato (429-348 a.C.). Aqui o sentido adotado o de um raciocnio no qual, a partir de proposies iniciais, conclui-se uma proposio final. Aristteles (384-346 a.C.) utilizou tal palavra para designar um argumento composto por duas premissas e uma concluso.

    9.1 ALGUM

    Vamos representar graficamente as premissas que contenham a expresso algum.

    So considerados sinnimos de algum as expresses: existe(m), h pelo menos um ou qualquer outra similar.

    Analise o desenho abaixo, que representa o conjunto dos A e B. O que podemos inferir a partir do desenho?

    A B

    Concluses:

    Existem elementos em A que so B.

    Existem elementos em B que so A.

    Existem elementos A que no so B.

    Existem elementos B que no esto em A.

    9.2 NENHUM

    Vejamos agora as premissas que contm a expresso nenhum ou outro termo equivalente.

    Analise o desenho abaixo, que representa o conjunto dos A e B. O que podemos inferir a partir do desenho?

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    A B

    Concluses:

    Nenhum A B.

    Nenhum B A.

    9.3 TODO

    Vamos representar graficamente as premissas que contenham a expresso todo.

    Pode ser utilizado como sinnimo de todo a expresso qualquer um ou outra similar.

    Analise o desenho abaixo, que representa o conjunto dos A e B. O que podemos inferir a partir do desenho?

    A

    B

    Concluso:

    Todo A B.

    Alguns elementos de B so A ou existem B que so A.

    PARA GABARITAR

    Como vou reconhecer um problema onde tenho que usar conjuntos?

    Quando, na questo, existirem expresses como todo, algum, nenhum ou outras similares, usaremos o mtodo dos conjuntos para solucionar a questo.

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    QUESTO COMENTADA

    (FCC TCE-SP 2010) Considere as seguintes afirmaes:

    I. Todo escriturrio deve ter noes de Matemtica.

    II. Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo so escriturrios.

    Se as duas afirmaes so verdadeiras, ento correto afirmar que:

    a) Todo funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo deve ter noes de Matemtica.

    b) Se Joaquim tem noes de Matemtica, ento ele escriturrio.c) Se Joaquim funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo, ento

    ele escriturrio.d) Se Joaquim escriturrio, ento ele funcionrio do Tribunal de Contas do

    Estado de So Paulo.e) Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo podem no

    ter noes de Matemtica.

    Resoluo:

    Primeiramente, vamos representar a primeira premissa.

    I. Todo escriturrio deve ter noes de Matemtica.

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    II. Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo so escriturrios.

    Vejamos uma hiptese para a segunda premissa.

    Vamos considerar agora a possibilidade de todos os funcionrios terem noes de Matemtica. Ficamos agora com duas possibilidades distintas.

    Analisamos, agora, as alternativas:

    Alternativa A: Todo funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo deve ter noes de Matemtica.

    Soluo:

    Observe que o nosso smbolo representa um funcionrio do TCE que no possui noo de Matemtica. Logo, a concluso precipitada.

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    Alternativa B: Se Joaquim tem noes de Matemtica, ento ele escriturrio.

    Soluo:

    O ponto em destaque representa algum que possui noo de Matemtica, porm no escriturrio, logo a concluso precipitada e est errada.

    Alternativa C: Se Joaquim funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo, ento ele escriturrio.

    Soluo:

    O ponto em destaque representa algum que funcionrio do TCE, porm no escriturrio, logo a concluso precipitada e est errada.

    Alternativa D: Se Joaquim escriturrio, ento ele funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo.

    Soluo:

    O ponto em destaque representa algum que escriturrio, porm no funcionrio do TCE, logo a concluso precipitada e essa alternativa est errada.

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    Alternativa E: Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo podem no ter noes de Matemtica.

    Soluo:

    O ponto em destaque representa um funcionrio do TCE que no tem noo de matemtica, como a questo afirma que podem, logo est correta.

    10. NEGAO DE TODO, ALGUM E NENHUM

    As Proposies da forma Algum A B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.

    As Proposies da forma Todo A B estabelecem que o conjunto A um subconjunto de B. Note que no podemos concluir que A = B, pois no sabemos se todo B A.

    Como negamos estas Proposies:

    Exemplos:

    1) Toda mulher friorenta.

    Negao: Alguma mulher no friorenta.

    2) Algum aluno da casa ser aprovado.

    Negao: Nenhum aluno da Casa vai ser aprovado.

    3) Nenhum gremista campeo.

    Negao: Pelo menos um gremista campeo.

    4) Todos os estudantes no trabalham.

    Negao: Algum estudante trabalha.

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    PARA GABARITAR

    NENHUM ALGUM

    negao

    negao

    Cuide os sinnimos, como por exemplo, existem, algum, etc.

    TODOS Algum no

    negao

    negao

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    Questes de Concursos Anteriores

    Tautologia e Contradio

    1. (2012 FUNDATEC PROCERGS Tcnico de Nvel Mdio Tcnico em Segurana do Trabalho)

    A proposio Joo comprou um carro novo ou no verdade que Joo comprou um carro novo e no fez a viagem de frias. :

    a) um paradoxo.b) um silogismo. c) uma tautologia. d) uma contradio. e) uma contingncia.

    Silogismo de Proposies

    2. (2016 FCC Copergs-PE Auxiliar Admi-nistrativo)

    Considere verdadeiras as afirmaes a se-guir:

    I Laura economista ou Joo contador.II Se Dinor programadora, ento Joo no contador.III Beatriz digitadora ou Roberto enge-nheiro.IV Roberto engenheiro e Laura no economista.

    A partir dessas informaes possvel con-cluir, corretamente, que

    a) Beatriz digitadora. b) Joo contador. c) Dinor programadora. d) Beatriz no digitadora. e) Joo no contador.

    3. (2016 FCC Prefeitura de Teresina-PI Analista Tecnolgico Analista de Siste-mas)

    Considere as seguintes afirmaes.

    I Se Adalberto no estudioso, ento Bru-no esforado.II Se Daniela atenta, ento Ernesto no assduo.III Se Bruno esforado, ento Ctia or-ganizada.IV Se Ernesto assduo, ento Ftima pontual.V Se Ftima pontual, ento Ctia orga-nizada.VI Ctia no organizada.

    A partir dessas afirmaes, correto con-cluir que

    a) Adalberto no estudioso e Bruno es-forado.

    b) Daniela atenta ou Ftima pontual. c) Adalberto estudioso ou Daniela no

    atenta. d) Ernesto no assduo e Adalberto no

    estudioso. e) Bruno esforado ou Ftima pontual.

    4. (2016 FCC Copergs-PE Analista Admi-nistrador)

    Se Maria economista, ento Jorge conta-dor. Se Luiza administradora, ento Jorge no contador. Se Luiza no administra-dora, ento Norberto engenheiro. Sabe--se que Norberto no engenheiro. A partir dessas informaes possvel concluir cor-retamente que

    a) Luiza administradora ou Maria eco-nomista.

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    b) Maria economista ou Jorge conta-dor.

    c) Jorge contador e Norberto no en-genheiro.

    d) Maria no economista e Luiza no administradora.

    e) Jorge no contador e Luiza no ad-ministradora.

    5. (2016 FCC ELETROBRAS-ELETROSUL Tcnico de Segurana do Trabalho)

    Considere as seguintes afirmaes:

    I Se a temperatura est baixa, ento a mi-nha pele est seca.II Se no tenho rachaduras nas mos, en-to a minha pele no est seca.III Se eu tenho rachaduras nas mos, en-to eu sinto dor nas mos.IV No sinto dor nas mos.

    A partir delas correto concluir que

    a) possvel ter dor nas mos causada por outro motivo.

    b) no tenho rachaduras nas mos ou a temperatura est baixa.

    c) minha pele no est seca e tenho ra-chaduras nas mos.

    d) no tenho rachaduras nas mos e a temperatura est baixa.

    e) tenho rachaduras nas mos ou a tem-peratura est baixa.

    6. (2015 FCC DPE-RR Administrador)

    Alberto, Bernardo e Carlos esto planejan-do ir a uma festa. Se Alberto for a festa, en-to Bernardo tambm ir. Se Bernardo no for a festa, ento Carlos tambm no ir. De acordo com isso, necessariamente correto afirmar que:

    a) Se Carlos for a festa, ento Bernardo tambm ir festa.

    b) Se Alberto for a festa, ento Carlos tam-bm ir festa.

    c) Se Alberto no for a festa, ento Ber-nardo tambm no ir festa.

    d) Se Alberto no for a festa, ento Ber-nardo ir festa.

    e) Se Carlos for a festa, ento Bernardo no ir festa.

    7. (2015 FUNDATEC BRDE Analista de Sistemas-Suporte)

    Supondo verdadeiro que:

    Nego que Mrio ou Joo so engenheiros.

    Se Mrio no engenheiro ento Mrio agrnomo. Se Joo trabalha na construo civil ento Joo engenheiro.

    Deduzimos que verdadeiro:

    a) Mrio agrnomo e Joo engenheiro. b) Mrio no agrnomo e Joo enge-

    nheiro.c) Mrio agrnomo e Joo no trabalha

    na construo civil.d) Mrio agrnomo e Joo trabalha na

    construo civil.e) Mrio engenheiro e Joo trabalha na

    construo civil.

    8. (2014 FUNDATEC SEFAZ-RS Tcnico Tributrio da Receita Estadual Prova 1)

    Se est chovendo, ento a TV no est liga-da. Ou a TV est ligada, ou Joo no gosta de TV. Ora, Joo gosta de TV. Logo,

    a) est chovendo e a TV est ligada.b) est chovendo e a TV no est ligada.c) no est chovendo e a TV est ligada.d) no est chovendo e a TV no est liga-

    da.e) est chovendo, a TV est ligada e Joo

    no gosta de TV.

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    Silogismo de Quantificadores

    9. (2016 FCC Copergs-PE Analista Tc-nologia da Informao)

    verdade que todo engenheiro sabe mate-mtica. verdade que h pessoas que sa-bem matemtica e no so engenheiros. verdade que existem administradores que sabem matemtica. A partir dessas afirma-es possvel concluir corretamente que

    a) qualquer engenheiro administrador. b) todos os administradores sabem mate-

    mtica. c) alguns engenheiros no sabem mate-

    mtica. d) o administrador que sabe matemtica

    engenheiro. e) o administrador que engenheiro sabe

    matemtica.

    10. (2016 FCC TRF 3 REGIO Analista Judicirio rea Administrativa)

    Considere verdadeiras as afirmaes abaixo.

    I Todos os analistas que so advogados, so contadores tambm.II Nem todos os contadores que so advo-gados, so analistas tambm.III H advogados que so apenas advo-gados e isso tambm acontece com alguns analistas, mas no acontece com qualquer um dos contadores.

    A partir dessas afirmaes, possvel con-cluir corretamente que

    a) todo analista advogado e tambm contador.

    b) qualquer contador que seja analista advogado tambm.

    c) existe analista que advogado e no contador.

    d) todo contador que advogado tam-bm analista.

    e) existe analista que no advogado e existe contador que analista.

    11. (2015 FCC TCE-SP Auxiliar da Fiscaliza-o Financeira II)

    verdade que nenhum professor rico. verdade que algum advogado rico. A par-tir dessas afirmaes, verdadeiro concluir, corretamente, que

    a) todo advogado professor.b) nenhum advogado professor.c) algum advogado no professor.d) todo advogado no professor.e) algum advogado professor.

    12. (2015 FUNDATEC BRDE Assistente Ad-ministrativo)

    Observando uma caixa com objetos de pls-tico, fez-se as seguintes afirmaes:

    Nem todos os objetos da caixa so verme-lhos. Nenhum objeto da caixa redondo.

    Supondo que as afirmaes so verdadeiras, ento correto deduzir que verdadeiro:

    a) Algum objeto da caixa no vermelho e no redondo.

    b) Todos os objetos da caixa so redondos.c) Todos os objetos da caixa so verme-

    lhos.d) Algum objeto da caixa no vermelho,

    mas redondo.e) Todos os objetos da caixa no so re-

    dondos e no so vermelhos.

    Tabela Verdade

    13. (2015 FCC TCE-SP Auxiliar da Fiscaliza-o Financeira II)

    Considere a afirmao condicional: Se Al-berto mdico ou Alberto dentista, ento Rosa engenheira.

    Seja R a afirmao: 'Alberto mdico';Seja S a afirmao: 'Alberto dentista' eSeja T a afirmao: 'Rosa engenheira'.A afirmao condicional ser considerada necessariamente falsa quando

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    a) R for verdadeira, S for falsa e T for ver-dadeira.

    b) R for falsa, S for verdadeira e T for ver-dadeira.

    c) R for falsa, S for falsa e T for falsa. d) R for falsa, S for falsa e T for verdadeira. e) R for verdadeira, S for falsa e T for falsa.

    14. (2015 FUNDATEC BRDE Assistente Ad-ministrativo)

    Na lgica formal, temos os operadores lgi-cos do condicional ( ),negao ( ) e con-juno ( ), representados na frmula pro-posicional PQR( )Supondo que:

    P representa a sentena declarativa: Maria tem salrio lquido maior que R$ 2.500,00.Q representa a sentena declarativa: Maria desconta imposto de renda na fonte.R representa a sentena declarativa: Maria recebe auxlio refeio.

    A alternativa que representa, em linguagem natural, a frmula acima para as respectivas sentenas declarativas :

    a) Se Maria tem salrio lquido maior que R$ 2.500,00 e desconta imposto de ren-da na fonte, ento Maria recebe auxlio refeio.

    b) Maria tem salrio lquido maior que R$ 2.500,00. E, se desconta imposto de renda na fonte, ento Maria no recebe auxlio refeio.

    c) Maria tem salrio lquido maior que R$ 2.500,00. E, se desconta imposto de renda na fonte, ento Maria recebe au-xlio refeio.

    d) Se Maria tem salrio lquido maior que R$ 2.500,00 e no desconta imposto de renda na fonte, ento Maria no recebe auxlio refeio.

    e) Se Maria tem salrio lquido maior que R$ 2.500,00 e desconta imposto de ren-da na fonte, ento Maria no recebe au-xlio refeio.

    Negao

    15. (2016 FCC Copergs-PE Analista Admi-nistrador)

    Se Joo chegar bravo em casa, ento Clau-dete foge para o quarto e Beto no entra em casa. Uma afirmao que corresponde ne-gao da afirmao anterior :

    a) Joo no chega bravo em casa e, Clau-dete no foge para o quarto ou Beto en-tra em casa.

    b) Se Joo no chega bravo em casa, ento Claudete no foge para o quarto e Beto entra em casa.

    c) Joo chega bravo em casa e, Claudete no foge para o quarto ou Beto entra em casa.

    d) Se Claudete no foge para o quarto ou Beto entra em casa, ento Joo no che-gou em casa bravo.

    e) Se Claudete foge para o quarto e Beto no entra em casa, ento Joo chegou bravo em casa.

    16. (2016 FCC ELETROBRAS-ELETROSUL Tcnico de Segurana do Trabalho)

    A negao lgica da afirmao: Corro bas-tante e no tomo chuva

    a) No corro bastante e tomo chuva.b) Tomo chuva ou no corro bastante.c) Tomo chuva porque no corro bastante.d) Se eu corro bastante, ento no tomo

    chuva.e) Corro bastante ou tomo chuva.

    17. (2015 FCC DPE-RR Auxiliar Administra-tivo)

    Maria disse: Gerusa estava doente e no foi trabalhar. Sabe-se que Maria mentiu. Sendo assim, correto afirmar que

    a) Gerusa no estava doente, mas no foi trabalhar.

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    b) Gerusa no estava doente e no foi tra-balhar.

    c) Gerusa no estava doente ou foi traba-lhar.

    d) se Gerusa foi trabalhar, ento no esta-va doente.

    e) Gerusa estava doente ou foi trabalhar.

    18. (2016 FUNRIO Prefeitura de Itupeva Procurador Municipal)

    A negao de Se a canoa no virar, eu che-go l :

    a) A canoa no vira e eu no chego l.b) Se a canoa virar, eu no chego l.c) Se a canoa no virar, eu no chego l.d) A canoa vira e eu chego l.e) Se eu no chego l, a canoa vira.

    19. (2016 FUNRIO Prefeitura de Trindade--GO Professor)

    Considere a seguinte proposio:

    Se Joo estuda, ento Marcela chora.

    A negao dessa proposio logicamente equivalente a:

    a) Se Joo no estuda ento Marcela no chora.

    b) Joo no estuda ou Marcela no chora.c) Joo no estuda e Marcela no chora. d) Joo estuda e Marcela no chora.e) Joo estuda ou Marcela no chora.

    Equivalncia Lgica

    20. (2016 FCC Copergs-PE Auxiliar Admi-nistrativo)

    Considere a afirmao a seguir:

    Se eu paguei o aluguel ou comprei comida, ento o meu salrio entrou na conta.

    Uma afirmao equivalente a afirmao an-terior

    a) Se o meu salrio no entrou na conta, ento eu no paguei o aluguel e no comprei comida.

    b) Se eu paguei o aluguel e comprei comi-da, ento o meu salrio entrou na con-ta.

    c) O meu salrio entrou na conta e eu comprei comida e paguei o aluguel.

    d) Se o meu salrio no entrou na conta, ento eu no paguei o aluguel ou no comprei comida.

    e) Se eu no paguei o aluguel e no com-prei comida, ento o meu salrio no entrou na conta.

    21. (2015 FCC TCE-SP Auxiliar da Fiscaliza-o Financeira II)

    Considere a afirmao:

    Se Klber escritor, ento ou Joo bilogo ou matemtico.

    Uma afirmao equivalente :

    a) Se Joo bilogo e matemtico, ento Klber escritor.

    b) Se Joo no bilogo e matemtico, ento Klber no escritor.

    c) Se Joo no bilogo nem matemtico ou se Joo bilogo e matemtico, en-to Klber no escritor.

    d) Se Joo bilogo e no matemtico, ento Klber no escritor.

    e) Se Joo bilogo e no matemtico ou se Joo no bilogo e matemti-co, ento Klber no escritor.

    22. (2016 VUNESP MPE-SP Analista Tcni-co Cientfico Engenheiro de Computao)

    Uma afirmao equivalente afirmao Se Glria danarina ou cantora, mas no ambos, ento Fbio no ator. :

    a) Se Fbio no ator, ento Glria dan-arina ou cantora, mas no ambos.

    b) Se Fbio ator, ento Glria no dan-arina nem cantora ou Glria danari-na e cantora.

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    c) Se Fbio ator, ento Glria no dan-arina, mas cantora.

    d) Se Glria no danarina nem cantora ou danarina e cantora, ento Fbio ator.

    e) Se Fbio no ator, ento Glria dan-arina, mas no cantora ou Glria no danarina, mas cantora.

    23. (2016 FUNCAB SEGEP-MA Agente Pe-nitencirio)

    A sentena Se Maria mdica, ento Silvio engenheiro. logicamente equivalente :

    a) se Maria mdica, ento Silvio enge-nheiro.

    b) Silvio engenheiro se, e somente se, Maria mdica.

    c) Maria no mdica e Silvio no enge-nheiro.

    d) Maria mdica e Silvio no engenhei-ro.

    e) se Silvio no engenheiro, ento Maria no mdica.

    24. (2016 FUNCAB EMSERH Auxiliar Ad-ministrativo)

    Dizer que Alexandre foi aos Lenis Mara-nhenses, se e somente se, fez sol logica-mente equivalente dizer que:

    a) Ou Alexandre foi aos Lenis Maranhen-ses. ou fez sol

    b) No fez sol, se e somente se ,Alexandre foi aos Lenis Maranhenses.

    c) Se Alexandre foi aos Lenis Maranhen-ses ento no fez sol.

    d) Se Alexandre foi aos Lenis Maranhen-ses ento fez sol.

    e) Fez sol, se e somente se, Alexandre foi aos Lenis Maranhenses.

    25. (2016 FCC TRT 20 REGIO (SE) Ana-lista Judicirio rea: Judiciria)

    Do ponto de vista da lgica, a proposio se tem OAB, ento advogado equivalente

    a) tem OAB ou advogado.b) se no tem OAB, ento no advogado.c) se no advogado, ento no tem OAB.d) advogado e no tem OAB.e) se advogado, ento tem OAB.

    26. (2016 FCC AL-MS Assistente Social)

    Se Joo canta ou Maria sorri, ento Josefa chora e Luiza no grita. Do ponto de vista lgico, uma afirmao equivalente a afirma-o anterior

    a) Se Luiza grita ou Josefa no chora, ento Joo no canta e Maria no sorri.

    b) Se Joo no canta ou Maria no sorri, ento Josefa no chora e Luiza grita.

    c) Joo canta ou Maria sorri, e Josefa no chora e Luiza grita.

    d) Se Joo canta, ento Josefa chora e se Maria sorri, ento Luiza grita.

    e) Se Luiza no grita e Josefa chora, ento Joo canta ou Maria sorri.

    Quantificador Lgico Negao e Equivalncia

    27. (2016 FCC Copergs-PE Auxiliar Admi-nistrativo)

    verdade que existem programadores que no gostam de computadores. A partir des-sa afirmao correto concluir que

    a) qualquer pessoa que no gosta de com-putadores um programador.

    b) todas as pessoas que gostam de compu-tadores no so programadores.

    c) dentre aqueles que no gostam de com-putadores, alguns so programadores.

    d) para ser programador necessrio gos-tar de computador.

    e) qualquer pessoa que gosta de computa-dor ser um bom programador.

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    28. (2016 FCC ELETROBRAS-ELETROSUL Direito)

    Do ponto de vista da lgica, a negao da frase alguns dos meus irmos no vo ao cinema nos sbados tarde

    a) excetuando um dos meus irmos, os de-mais vo ao cinema nos sbados tarde.

    b) alguns dos meus irmos vo ao cinema nos sbados tarde.

    c) todos os meus irmos no vo ao cine-ma nos sbados tarde.

    d) todos os meus irmos vo ao cinema nos sbados tarde.

    e) somente um dos meus irmos no vai ao cinema nos sbados tarde.

    29. (2016 INSTITUTO AOCP EBSERH Enfer-meiro)

    A negao de Todos os alunos vo gabari-tar a prova de matemtica

    a) Todos os alunos no vo gabaritar a prova de matemtica.

    b) Nenhum aluno vai gabaritar a prova de matemtica.

    c) Existe apenas um aluno que no vai ga-baritar a prova de matemtica.

    d) Existe apenas um aluno que vai gabari-tar a prova de matemtica.

    e) Existem alunos que no vo gabaritar a prova de matemtica.

    30. (2016 FUNRIO Prefeitura de Itupeva-SP Procurador Municipal

    A negao de Todo brasileiro gosta de fute-bol e de samba :

    a) Nenhum brasileiro gosta de futebol nem de samba.

    b) Ao menos um brasileiro no gosta de fu-tebol e de samba.

    c) Ao menos um brasileiro no gosta de fu-tebol ou de samba.

    d) Todo brasileiro no gosta de futebol nem de samba.

    e) A maioria dos brasileiros gosta de fute-bol e de samba.

    Verdade Mentira

    31. (2016 FCC SEGEP-MA Auditor Fiscal da Receita Estadual Administrao Tribut-ria)

    Quatro meninos tm 5, 7, 9 e 11 carrinhos cada um. A respeito da quantidade de carri-nhos que cada um tem, eles afirmaram:

    Antnio: Eu tenho 5 carrinhos; Bruno: Eu tenho 11 carrinhos; Cssio: Antnio tem 9 carrinhos; Danilo: Eu tenho 9 carrinhos.

    Se apenas um deles mentiu, tendo os outros dito a verdade, ento correto concluir que a soma do nmero de carrinhos de Antnio, Bruno e Cssio igual a

    a) 23.b) 25.c) 21.d) 27.e) 22.

    32. (2016 FCC Prefeitura de Teresina-PI Assistente Tcnico de Sade Tcnico em Saneamento)

    Paulo, Francisco, Carlos, Henrique e Alexan-dre so irmos, sendo que apenas um deles quebrou um vaso na sala de casa. Ao inves-tigar o ocorrido, a me dos cinco ouviu de cada um as seguintes afirmaes:

    Paulo: Fui eu quem quebrou o vaso.Francisco: Eu no quebrei o vaso.Carlos: Foi Alexandre quem quebrou o vaso.Henrique: Francisco est mentindo.Alexandre: No foi Carlos quem quebrou o vaso.

    Se apenas um dos cinco irmos disse a ver-dade, quem quebrou o vaso foi

    a) Henrique.

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    b) Francisco.c) Paulo.d) Carlos.e) Alexandre.

    33. (2016 FCC TRT 14 Regio (RO e AC)- Analista Judicirio Oficial de Justia Ava-liador Federal)

    Aldo, Daniel e Eduardo so trs amigos. Dois deles tm 66 anos, e sempre mentem. O ou-tro deles tem 48 anos e sempre diz a verda-de. Se Aldo disse A idade de Daniel no 66 anos, ento, correto afirmar que

    a) Eduardo e Daniel dizem a verdade. b) Aldo e Eduardo mentem. c) Eduardo tem 48 anos. d) Aldo diz a verdade. e) Aldo tem 48 anos.

    34. Quatro meninos tm 5, 7, 9 e 11 carrinhos cada um. A respeito da quantidade de carri-nhos que cada um tem, eles afirmaram:

    Antnio: Eu tenho 5 carrinhos; Bruno: Eu tenho 11 carrinhos; Cssio: Antnio tem 9 carrinhos; Danilo: Eu tenho 9 carrinhos.

    Se apenas um deles mentiu, tendo os outros dito a verdade, ento correto concluir que a soma do nmero de carrinhos de Antnio, Bruno e Cssio igual a

    a) 23.b) 25.c) 21.d) 27.e) 22.

    Associao

    35. (2016 FCC Prefeitura de Teresina-PI Tcnico de Nvel Superior Administrador)

    Considere a seguinte situao-problema:

    Trs atletas Alice, Bianca e Carla inte-gram a equipe de ginstica olmpica de certo clube, sendo que cada uma delas tm uma especialidade distinta: salto sobre ca-valo, exerccios de solo e trave de equilbrio. Em certa competio, duas delas foram me-dalhistas. Alm disso, sabe-se que:

    Alice ganhou medalha de ouro. A especialista no salto sobre cavalo no ganhou medalha. Clara no especialista na trave de equi-lbrio.

    Agora, considere tambm as duas afirma-es adicionais:

    (1) A especialista na trave de equilbrio ga-nhou medalha de bronze.

    (2) Bianca no a especialista nos exerccios de solo.

    Para descobrir qual a especialidade de cada uma das trs atletas, considerando as trs informaes iniciais, a adio

    a) da afirmao (2), por si s, suficiente, mas a adio da afirmao (1), por si s, insuficiente.

    b) de cada afirmao, (1) ou (2), individual-mente, suficiente.

    c) de ambas as afirmaes, juntas, su-ficiente, mas, individualmente, ambas so insuficientes.

    d) da afirmao (1), por si s, suficiente, mas a adio da afirmao (2), por si s, insuficiente.

    e) das informaes (1) e (2), mesmo jun-tas, insuficiente.

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    Sequncia Nmeros

    36. (2016 FCC Prefeitura de Teresina-PI Analista Tecnolgico Analista de Siste-mas)

    A sequncia 27; 17; 28; 15; 29; 13; 30; . . . foi criada com um padro lgico aritmtico que se mantm ilimitadamente. Nessa sequn-cia aparecem termos que so nmeros ne-gativos. A soma do segundo termo negativo da sequncia com o termo imediatamente posterior a ele na sequncia igual a

    a) 42. b) 38. c) 37. d) 45. e) 36.

    37. (2016 FCC ELETROBRAS-ELETROSUL Tcnico de Segurana do Trabalho)

    Na sequncia (10; 20; 13; 40; 50; 26; 70; 80; 39; 100; . . . ) que segue e mantm um mes-mo padro lgico, a soma entre os 28, 30 e 42 termos ser um nmero mltiplo de

    a) 7.b) 41.c) 13.d) 23.e) 37.

    38. (2016 FCC TRF 3 REGIO Analista Judicirio rea Administrativa)

    A diferena entre o 12 e o 13, nessa or-dem, termos da sequncia lgica matemti-ca (20; 20; 15; 30; 20; 60; 40; 160; 120; 600; 520; ...) igual a

    a) 220. b) 80. c) 160. d) 120. e) 1200.

    39. (2016 FCC TRT 14 Regio (RO e AC) Tcnico Judicirio rea Administrativa)

    Observe os cinco primeiros termos de uma sequncia numrica:

    523, 520, 517, 514, 511, ... .

    Mantido o mesmo padro da sequncia, o menor nmero no negativo dela ser

    a) 0.b) 1.c) 3.d) 2.e) 4.

    40. (2016 FCC TRT 20 REGIO (SE) Tc-nico Judicirio Tecnologia da Informao)

    A sequncia de nmeros 1; 13; 1; 2; 13; 1; 2; 3; 13; 1; 2; . . ., foi criada com um padro e possui vinte termos. A soma dos termos: 20, 15 e 13 um nmero

    a) mltiplo de 5. b) mltiplo de 9. c) divisor de 2. d) mltiplo de 8. e) divisor de 6.

    Mximos e Mnimos

    41. (2016 FCC ELETROBRAS-ELETROSUL Direito)

    Em um salo esto presentes 25 pessoas. O menor nmero de pessoas que devem entrar no salo para que tenhamos nele, com certe-za, pelo menos cinco pessoas que fazem ani-versrio em um mesmo ms igual a

    a) 24.b) 34.c) 23.d) 13.e) 14.

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    42. (2015 FCC DPE-SP Oficial de Defenso-ria Pblica)

    Se em uma festa esto presentes 35 pesso-as, correto afirmar que, necessariamente,

    a) no mximo 5 nasceram em uma quarta--feira.

    b) no mnimo 5 nasceram em um sbado. c) pelo menos 5 pessoas nasceram em um

    mesmo dia da semana. d) h mais do que 4 pessoas que nasceram

    em um mesmo dia do ms. e) h pelo menos 4 pessoas que nasceram

    em um mesmo ms do ano.

    43. (2016 FCC AL-MS Agente de Apoio Le-gislativo)

    Em uma sala esto presentes 10 pessoas. A respeito dessas pessoas, necessariamente correto afirmar que

    a) no mnimo cinco nasceram em um dia de nmero par.

    b) no mximo cinco nasceram em um dia de nmero par.

    c) pelo menos duas nasceram em um mes-mo ms do ano.

    d) pelo menos duas nasceram em um mes-mo dia da semana.

    e) h ao menos trs dias da semana em que nenhuma delas nasceu.

    Conjunto

    44. (2016 FCC TRT 14 Regio (RO e AC) Analista Judicirio Oficial de Justia Ava-liador Federal)

    Aps combater um incndio em uma fbri-ca, o corpo de bombeiros totalizou as se-guintes informaes sobre as pessoas que estavam no local durante o incndio:

    28 sofreram apenas queimaduras; 45 sofreram intoxicao; 13 sofreram queimaduras e intoxicao;

    7 nada sofreram.

    Do total de pessoas que estavam no local durante os acidentes, sofreram apenas into-xicao

    a) 48,38%. b) 45,00%. c) 42,10%. d) 56,25%. e) 40,00%.

    45. (2015 FCC DPE-RR Tcnico em Conta-bilidade)

    Para responder as perguntas, cada uma das pessoas, de um grupo de 15, deveria levan-tar uma de suas mos caso se enquadrasse no questionamento. As perguntas foram:

    Voc contador ou administrador de em-presas? Resposta: Todas as pessoas levanta-ram a mo. Voc administrador de empresas? Res-posta: Sete pessoas levantaram a mo. Voc contador e administrador de em-presas? Resposta: Trs pessoas levantaram a mo.

    A partir dessas informaes, possvel con-cluir que dentre os participantes desse gru-po

    a) todos os administradores de empresa so contadores.

    b) certamente so 10 os administradores de empresa.

    c) ao todo so 8 os contadores, que no so administradores de empresas.

    d) 5 dos contadores tambm so adminis-tradores de empresa.

    e) apenas 3 administradores de empresa no so contadores.

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    Teste De Hipteses

    46. (2016 FCC TRF 3 REGIO Tcnico Judicirio Informtica)

    A tabela a seguir indica o(s) dia(s) de planto de cada um dos cinco funcionrios de um departa-mento. Por problemas na impresso da tabela, apenas o preenchimento de plantes da ltima linha e da ltima lacuna no saram visveis.

    A respeito dos plantes dos cinco funcionrios nessa semana, sabe-se que:

    I apenas dois funcionrios fizeram planto na 4 feira.II Ricardo e Camilo fizeram o mesmo nmero de plantes na semana.III 3 feira foi o dia da semana com mais funcionrios de planto.IV todos os funcionrios fizeram, ao menos, um planto na semana, e todos os dias da sema-na contaram com, ao menos, um funcionrio de planto.V trs funcionrios fizeram apenas um planto na semana.

    De acordo com os dados, Camilo NO fez planto apenas

    a) 2 feira e 6 feira.b) 3 feira e 6 feira. c) 3 feira e 4 feira.d) 3 feira, 5 feira e 6 feira. e) 2 feira, 3 feira e 6 feira.

    47. (2016 FCC TRF 3 REGIO Analista Judicirio Biblioteconomia)

    Um exame constitudo de cinco perguntas, sendo que cada uma deve ser respondida com verdadeiro (V) ou falso (F). A tabela abaixo mostra as respostas assinaladas por quatro alunos.

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    Sabendo-se que um dos quatro alunos acer-tou todas as respostas, outro acertou so-mente duas das respostas, e outro errou todas as respostas, o nmero de respostas certas do aluno restante foi

    a) 3. b) 4. c) 1. d) 2. e) 5.

    48. (2015 FCC TRT 9 REGIO (PR) Tcni-co Judicirio rea Administrativa)

    Seis pessoas (P, Q, R, S, T, U) se sentam em uma mesma fileira de seis lugares de um te-atro. Sabe-se que:

    P se senta junto e esquerda de Q; R est direita de P, e entre U e S; S est junto e a esquerda de T; U est a esquerda de Q.

    A pessoa que ocupa o quarto assento da es-querda para a direita nessa fila :

    a) R.b) P.c) T.d) S.e) Q.

    Posio

    49. (2016 FCC TRT 20 REGIO (SE) Ana-lista Judicirio)

    Marina, Ktia, Carolina e Joana se sentam em uma mesa hexagonal (seis assentos), conforme indica a figura abaixo.

    Sabe-se que Carolina se senta imediatamen-te direita de Marina e em frente Ktia; e que Joana no se senta em frente a um lugar vazio. Dessa forma, correto afirmar que, necessariamente,

    a) Ktia se senta imediatamente ao lado de dois lugares vazios.

    b) Joana se senta imediatamente ao lado de Ktia.

    c) Marina se senta em frente Ktia.d) Carolina se senta imediatamente ao

    lado de dois lugares vazios.e) Carolina est to distante de Ktia na

    mesa quanto est de Marina.

    Gabarito:1. C2. B3. C4. A5. B6. A7. C8. C9. E10. E11. C12. A13. E14. E15. C 16. B17. C18. A19. D20. A21. C22. B23. E24. E25. C26. A27. C28. D29. E30. B31. A32. D 33. C34. A35. D36. E37. E38. C39. B40. B41. A42. C43. D44. E45. C46. A47. D48. A49. B