Contedo:

01. Noes de Lgica; Estruturas lgicas e diagramas lgicos02. Lgica de argumentao03. lgebra04. Probabilidades05. Arranjos, permutaes e combinaes

Raciocnio Lgico-Quantitativo

NOES DE LGICA

ProposioDenomina-se proposio a toda sentena, expressa em palavras ou smbolos, que exprima um

juzo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lgicos possveis:verdadeiro ou falso.

Somente s sentenas declarativas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, o queocorre quando a sentena , respectivamente, confirmada ou negada. De fato, no se pode atribuir umvalor de verdadeiro ou falso s demais formas de sentenas como as interrogativas, as exclamativas eoutras, embora elas tambm expressem juzos.

So exemplos de proposies as seguintes sentenas declarativas:O nmero 6 par.O nmero 15 no primo.Todos os homens so mortais.Nenhum porco espinho sabe ler.Alguns canrios no sabem cantar.Se voc estudar bastante, ento aprender tudo.Eu falo ingls e espanhol.Mriam quer um sapatinho novo ou uma boneca.

No so proposies:Qual o seu nome?Preste ateno ao sinal.Caramba!

Proposio SimplesUma proposio dita proposio simples ou proposio atmica quando no contm

qualquer outra proposio como sua componente. Isso significa que no possvel encontrar comoparte de uma proposio simples alguma outra proposio diferente dela. No se pode subdividi-la empartes menores tais que alguma delas seja uma nova proposio.Exemplo:

A sentena Cntia irm de Maurcio uma proposio simples, pois no possvelidentificar como parte dela qualquer outra proposio diferente. Se tentarmos separ-la em duas oumais partes menores nenhuma delas ser uma proposio nova.

Proposio CompostaUma proposio que contenha qualquer outra como sua parte componente dita proposio

composta ou proposio molecular. Isso quer dizer que uma proposio composta quando sepode extrair como parte dela, uma nova proposio.

Conectivos LgicosExistem alguns termos e expresses que esto freqentemente presentes nas proposies

compostas, tais como no, e, ou, se ... ento e se e somente se aos quais denominamos conectivoslgicos. Os conectivos lgicos agem sobre as proposies a que esto ligados de modo a criar novasproposies.Exemplo:

A sentena Se x no maior que y, ento x igual a y ou x menor que y uma proposiocomposta na qual se pode observar alguns conectivos lgicos (no, se ... ento e ou) que estoagindo sobre as proposies simples x maior que y, x igual a y e x menor que y.

Uma propriedade fundamental das proposies compostas que usam conectivos lgicos queo seu valor lgico (verdadeiro ou falso) fica completamente determinado pelo valor lgico de cada

proposio componente e pela forma como estas sejam ligadas pelos conectivos lgicos utilizados,conforme estudaremos mais adiante.

As proposies compostas podem receber denominaes especiais, conforme o conectivolgico usado para ligar as proposies componentes.

Conjuno: A e BDenominamos conjuno a proposio composta formada por duas proposies quaisquer que

estejam ligadas pelo conectivo e.A conjuno A e B pode ser representada simbolicamente como:

A BExemplo:

Dadas as proposies simples:A: Alberto fala espanhol.B: Alberto universitrio.

Se as proposies A e B forem representadas como conjuntos atravs de um diagrama, aconjuno A

B corresponder interseo do conjunto A com o conjunto B. A B.

Uma conjuno verdadeira somente quando as duas proposies que a compem foremverdadeiras, Ou seja, a conjuno A

B verdadeira somente quando A verdadeira e B verdadeira tambm. Por isso dizemos que a conjuno exige a simultaneidade de condies.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da conjuno A eB para cada um dos valores que A e B podem assumir.

A B A B

VVFF

VFVF

VFFF

Disjuno: A ou BDenominamos disjuno a proposio composta formada por duas proposies quaisquer que

estejam ligadas pelo conectivo ou.A disjuno A ou B pode ser representada simbolicamente como:

A B

Exemplo:

A B

A B

Dadas as proposies simples:A: Alberto fala espanhol.B: Alberto universitrio.A disjuno A ou B pode ser escrita como:A B: Alberto fala espanhol ou universitrio.

Se as proposies A e B forem representadas como conjuntos atravs de um diagrama, adisjuno A B corresponder unio do conjunto A com o conjunto B.

Uma disjuno falsa somente quando as duas proposies que a compem forem falsas. Ouseja, a disjuno A ou B falsa somente quando A falsa e B falsa tambm. Mas se A forverdadeira ou se B for verdadeira ou mesmo se ambas, A e B, forem verdadeiras, ento a disjunoser verdadeira. Por isso dizemos que, ao contrrio da conjuno, a disjuno no necessita dasimultaneidade de condies para ser verdadeira, bastando que pelo menos uma de suasproposioes componentes seja verdadeira.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da disjuno A ouB para cada um dos valores que A e B podem assumir.

A B A B

VVFF

VFVF

VVVF

Condicional: Se A ento BDenominamos condicional a proposio composta formada por duas proposies quaisquer

que estejam ligadas pelo conectivo Se ... ento ou por uma de suas formas equivalentes.A proposio condicional Se A, ento B pode ser representada simbolicamente como:

A ! B

Exemplo:Dadas as proposies simples:A: Jos alagoano.B: Jos brasileiro.A condicional Se A, ento B pode ser escrita como:A ! B: Se Jos alagoano, ento Jos brasileiro.

A

B

Na proposio condicional Se A, ento B a proposio A, que anunciada pelo uso daconjuno se, denominada condio ou antecedente enquanto a proposio B, apontada peloadvrbio ento denominada concluso ou conseqente.

As seguintes expresses podem ser empregadas como equivalentes de Se A, ento B:Se A, B.B, se A.

Todo A B.A implica B.

A somente se B.A suficiente para B.

B necessrio para A.Se as proposies A e B forem representadas como conjuntos atravs de um diagrama, a

disjuno A B corresponder unio do conjunto A com o conjunto B.

Uma condicional Se A ento B falsa somente quando a condio A verdadeira e aconcluso B falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Isto significa que numa proposiocondicional, a nica situao que no pode ocorrer uma condio verdadeira implicar uma conclusofalsa.

Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposiocondicional Se A ento B para cada um dos valores que A e B podem assumir.

A B A

!

BVVFF

VFVF

VFVV

Bicondicional: A se e somente se BDenominamos bicondicional a proposio composta formada por duas proposies quaisquer

que estejam ligadas pelo conectivo se e somente se.A proposio bicondicional A se e somente se B pode ser representada simbolicamente

como:

A "! B

Exemplo:Dadas as proposies simples:A: Adalberto meu tio.

BA

A B

B: Adalberto irmo de um de meus pais.A proposio bicondicional A se e somente se B pode ser escrita como:A "! B: Adalberto meu tio se e somente se Adalberto irmo de um de meus pais.

Como o prprio nome e smbolo sugerem, uma proposio bicondicional A se e somente seB equivale proposio composta se A ento B.

Podem-se empregar tambm como equivalentes de A se e somente se B as seguintesexpresses:

A se e s se B.Todo A B e todo B A.

Todo A B e reciprocamente.Se A ento B e reciprocamente.

A somente se B e B somente se A.A necessrio e suficiente para B.

A suficiente para B e B suficiente para A.B necessrio para A e A necessrio para B.

Se as proposies A e B forem representadas como conjuntos atravs de um diagrama, aproposio bicondicional A se e somente se B corresponder igualdade dos conjuntos A e B.

A proposio bicondicional A se e somente se B verdadeira somente quando A e B tm omesmo valor lgico (ambas so verdadeiras ou ambas so falsas), sendo falsa quando A e B tmvalores lgicos contrrios.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da proposiobicondicional A se e somente se B para cada um dos valores que A e B podem assumir.

A B A

"!

BVVFF

VFVF

VFFV

Negao: No ADada uma proposio qualquer A denominamos negao de A proposio composta que se

obtm a partir da proposio A acrescida do conectivo lgico no ou de outro equivalente.A negao no A pode ser representada simbolicamente como:

~A

A = B

Podem-se empregar, tambm, como equivalentes de no A as seguintes expresses:No verdade que A.

falso que A.

Se a proposio A for representada como conjunto atravs de um diagrama, a negao noA corresponder ao conjunto complementar de A.

Uma proposio A e sua negao no A tero sempre valores lgicos opostos.Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da negao no A

para cada um dos valores que A pode assumir.

A ~AVF

FV

TautologiaUma proposio composta formada pelas proposies A, B, C, ... uma tautologia se ela for

sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos das proposies A, B, C, ... que acompem.

Exemplo:A proposio Se (A e B) ento (A ou B) uma tautologia, pois sempre verdadeira,independentemente dos valores lgicos de A e de B, como se pode observar na tabela-verdadeabaixo:

A B A

e B A

ou B (A e B) !!!! (A ou B)VVFF

VFVF

VFFF

VVVF

VVVV

ContradioUma proposio composta formada pelas proposies A, B, C, ... uma contradio se ela

for sempre falsa, independentemente dos valores lgicos das proposies A, B, C, ... que a compem.

Exemplo:A proposio A se e somente se no A uma contradio, pois sempre falsa, independentementedos valores lgicos de A e de no A, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:

A

A

A ~A A

"! ~AVF

FV

FF

O exemplo acima mostra que uma proposio qualquer e sua negao nunca podero sersimultaneamente verdadeiros ou simultaneamente falsos.

Como uma tautologia sempre verdadeira e uma contradio sempre falsa, tem-se que:

a negao de uma tautologia sempre uma contradio

enquanto

a negao de uma contradio sempre uma tautologia

Proposies Logicamente EquivalentesDizemos que duas proposies so logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes

quando so compostas pelas mesmas proposies simples e suas tabelas-verdade soidnticas. Uma conseqncia prtica da equivalncia lgica que ao trocar uma dada proposio porqualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de diz-la.

A equivalncia lgica entre duas proposies, A e B, pode ser representada simbolicamentecomo:

A

Da definio de equivalncia lgica pode-se demonstrar as seguintes equivalncias:

Leis associativas:1. (A B) C A (B C)2. (A B) C A (B C)

Leis distributivas:3. A (B C) (A B) (A C)4. A (B C) (A B) (A C)

Lei da dupla negao:5. ~(~A) A

Equivalncias da Condicional6. A ! B A B

7. A ! B B ! ~A

Negao de Proposies CompostasUm problema de grande importncia para a lgica o da identificao de proposies

equivalentes negao de uma proposio dada. Negar uma proposio simples uma tarefa que nooferece grandes obstculos. Entretanto, podem surgir algumas dificuldades quando procuramosidentificar a negao de uma proposio composta.

Como vimos anteriormente, a negao de uma proposio deve Ter sempre valor lgico opostoao da proposio dada. Deste modo, sempre que uma proposio A for verdadeira, a sua negaono A deve ser falsa e sempre que A for falsa, no A deve ser verdadeira.

Em outras palavras, a negao de uma proposio deve ser contraditria com a proposiodada.

A tabela abaixo mostra as equivalncias mais comuns para as negaes de algumasproposies compostas:

Proposio Negao direta Equivalente da Negao

A e B No (A e B) No A ou no B

A ou B No (A ou B) No A e no B

Se A ento B No (se A ento B) A e no B

A se e No (A se e [(A e no B) ou

somente se B somente se B) (B e no A)]

Todo A B No (todo A B) Algum A no B

Algum A B No (algum A B) Nenhum A B

ArgumentoDenomina-se argumento a relao que associa um conjunto de proposies P1, P2, ... Pn,

chamadas premissas do argumento, a uma proposio C a qual chamamos de concluso doargumento.

No lugar dos termos premissa e concluso podem ser usados os correspondentes hiptesee tese, respectivamente.

Os argumentos que tm somente duas premissas so denominados silogismos.Assim, so exemplos de silogismos os seguintes argumentos:

I. P1: Todos os artistas so apaixonados.P2: Todos os apaixonados gosta de flores.C: Todos os artistas gostam de flores.

II. P1: Todos os apaixonados gosta de flores.P2: Mriam gosta de flores.C: Mriam uma apaixonada.

Argumento VlidoDizemos que um argumento vlido ou ainda que ele legtimo ou bem construdo quando

a sua concluso uma conseqncia obrigatria do seu conjunto de premissas. Posto de outraforma: quando um argumento vlido, a verdade das premissas deve garantir a verdade da conclusodo argumento. Isto significa que jamais poderemos chegar a uma concluso falsa quando as premissasforem verdadeiras e o argumento for vlido.

importante observar que ao discutir a validade de um argumento irrelevante o valor deverdade de cada uma das premissas. Em Lgica, o estudo dos argumentos no leva em conta averdade ou falsidade das proposies que compem os argumentos, mas to-somente a validadedestes.

Exemplo:O silogismo:Todos os pardais adoram jogar xadrez.Nenhum enxadrista gosta de peras.Portanto, nenhum pardal gosta de peras.

est perfeitamente bem construdo (veja o diagrama abaixo), sendo, portanto, um argumento vlido,muito embora a verdade das premissas seja questionvel.

Op = Conjunto dos que gostam de perasX = Conjunto dos que adoram jogar xadrezP = Conjunto dos pardais

Pelo diagrama pode-se perceber que nenhum elemento do conjunto P (pardais) pode pertencerao conjunto Op (os que gostam de peras).

Argumento InvlidoDizemos que um argumento invlido, tambm denominado ilegtimo, mal construdo ou

falacioso, quando a verdade das premisssas no suficiente para garantir a verdade da concluso.

Exemplo:O silogismo:Todos ps alunos do curso passaram.Maria no aluna do curso.Portanto, Maria no passou.

um argumento invlido, falacioso, mal construdo, pois as premissas no garantem (no obrigam) averdade da concluso (veja o diagrama abaixo). Maria pode Ter passado mesmo sem ser aluna docurso, pois a primeira premissa no afirmou que somente os alunos do curso haviam passado.

P = Conjunto das pessoas que passaram.C = Conjunto dos alunos do curso.

Na tabela abaixo, podemos ver um resumo das situaes possveis para um argumento:

Op XP

P

C

mAqui, Maria no do curso, mas passou.

mAqui, Maria no passou.

Quando um argumento ... E as premissas... Ento a concluso ser:

so todas verdadeiras Necessariamente VerdadeiraVlido

(bem construdo) no so todas verdadeiras ou Verdadeira ou Falsa

so todas verdadeiras ou Verdadeira ou FalsaInvlido

(mal construdo) no so todas verdadeiras ou Verdadeira ou Falsa

EXERCCIOS1. Represente com diagramas de conjuntos:a) algum A B;b) algum A no B;c) todo A B;d) se A, ento B;e) nenhum A B.

2. Considere as sentenas abaixo:I. 3 + 1 = 4 e 2 + 3 = 5II. 6 > 2 e 7 < 3III. 2 = 3 e 5 < 0

a) todas so falsas;b) I e II so falsas;c) somente III falsa;d) somente I verdadeira;e) I e II so verdadeiras.

3. Considere as sentenas abaixo:I. 5 + 1 = 6 ou 4 4 = 0II. 2 + 2 = 5 ou 7 > 2III. 3 = 5 ou 8 < 6

a) somente I verdadeira;b) somente III falsa;c) todas so verdadeiras;d) todas so falsas;e) I e III so falsas.

4. Considere as proposies abaixo:I. 3 + 4 = 7 ou 2 + 2 = 4II. 8 < 4 e 6 > 3III. 6 < 0 ou 3 = 4

Assinale a nica alternativa correta:a) todas as proposies so falsas;b) somente III falsa;c) somente II falsa;d) I e II so falsas;e) I falsa ou II falsa.

5. Assinale a nica sentena falsa.a) Se 2 par, ento 3 mpar.b) Se 5 inteiro, ento 3 menor que 5.c) Se 8 mpar, ento 7 maior que 3.d) Se 13 par, ento 2 mpar.e) Se 10 par, ento 6 maior que 20.

6. A negao de "todos os homens so bons motoristas :a) todas as mulheres so boas motoristas;b) algumas mulheres so boas motoristas;c) nenhum homem bom motorista;

d) todos os homens so maus motoristas;e) ao menos um homem mau motorista.

7. Assinale a assertiva incorreta.a) A negao de "2 par e 3 mpar" "2 no par ou 3 no mpar".b) A negao de "5 primo ou 7 par" "5 no primo e 7 no par".c) A negao de 2 5 2 5.d) A negao de "existe um nmero primo par" "qualquer nmero primo no par".e) A negao de "nenhum nmero inteiro" "algum nmero inteiro".

8. D uma negao para cada uma das proposies abaixo.a) O tempo ser frio e chuvoso.b) Ela estudou muito ou teve sorte na prova.c) Maria no morena ou Regina baixa.d) Se o tempo est chuvoso ento est frio.e) Todos os corvos so negros.f) Nenhum tringulo retngulo.g) Alguns sapos so bonitos.h) Algumas vidas no so importantes.

9. Assinale a alternativa que contm um argumento vlido.a) Alguns atletas jogam xadrez.

Todos os intelectuais jogam xadrez.Concluso: Alguns atletas so intelectuais.

b) Todos os estudantes gostam de Lgica.Nenhum artista um estudante.Concluso: Ningum que goste de Lgica um artista.

c) Se estudasse tudo, eu passaria.Eu no passei.Concluso: Eu no estudei tudo.

d) Se estudasse tudo, eu passaria.Eu no estudei tudo.Concluso: Eu no passei.

10. Considere as premissas:P1. Os bebs so ilgicos.P2. Pessoas ilgicas so desprezadas.P3. Quem sabe amestrar um crocodilo no desprezado.

Assinale a nica alternativa que uma conseqncia lgica das trs premissas apresentadas.a) Bebs no sabem amestrar crocodilos.b) Pessoas desprezadas so ilgicas.c) Pessoas desprezadas no sabem amestrar crocodilos.d) Pessoas ilgicas no sabem amestrar crocodilos.e) Bebs so desprezados.

Considere as informaes do texto abaixo para responder s questes 11 e 12:

Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla so, respectivamente, Arantes, Braga e Castro, mas nonecessariamente nesta ordem. A de sobrenome Braga, que no Ana, mais velha que Carla e a desobrenome Castro a mais velha das trs.

11. Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla so, respectivamente:a) Arantes, Braga e Castro;b) Arantes, Castro e Braga;c) Castro, Arantes e Braga;d) Castro, Braga e Arantes;e) Braga, Arantes e Castro.

12. Nomeando-as em ordem crescente de idade, teremos:

a) Ana, Beatriz e Carla;b) Carla, Ana e Beatriz;c) Beatriz, Carla e Ana;d) Ana, Carla e Beatriz;e) Carla, Beatriz e Ana.

13. Trs rivais, Ana, Bia e Cludia, trocam acusaes:A Bia mente - diz Ana.A Cludia mente - Bia diz.Ana e Bia mentem - diz Cludia.

Com base nestas trs afirmaes, pode-se concluir que:a) apenas Ana mente;b) apenas Cludia mente;c) apenas Bia mente;d) Ana e Cludia mentem;e) Ana e Bia mentem.

Considere a situao descrita abaixo para resolver as questes de nmeros 14, 15 e 16.

Ao ver o estrago na sala, mame pergunta zangada:Quem quebrou o vaso da vov?No fui eu - disse Andr.Foi o Carlinhos - disse Bruna.No fui eu no, foi a Duda - falou Carlinhos.A Bruna est mentindo! - falou Duda.

14. Sabendo que somente uma das crianas mentiu, pode-se concluir que:a) Andr mentiu e foi ele quem quebrou o vaso;b) Bruna mentiu e Duda quebrou o vaso;c) Carlinhos mentiu e foi ele quem quebrou o vaso;d) Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso;e) Bruna mentiu e foi ela quem quebrou o vaso.

15. Sabendo que somente uma das crianas disse a verdade, pode-se concluir que:a) Andr falou a verdade e Carlinhos quebrou o vaso;b) Bruna falou a verdade e Carlinhos quebrou o vaso;c) Duda falou a verdade e Andr quebrou o vaso;d) Carlinhos falou a verdade e Duda quebrou o vaso;e) Duda falou a verdade e foi ela quem quebrou o vaso.

16. Sabendo que somente duas crianas mentiram, podese concluir que:a) Carlinhos mentiu e Andr no quebrou o vaso;b) Andr mentiu e foi ele quem quebrou o vaso;c) Bruna mentiu e foi ela quem quebrou o vaso;d) quem quebrou o vaso foi Bruna ou Andr;e) Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso.

17. Vov Marina procura saber quem comeu o bolo que havia guardado para o lanche da tarde.Julinho diz: 1) No fui eu. 2) Eu nem sabia que havia um bolo. 3) Foi o Maurcio.Maurcio diz: 4) No fui eu. 5) O Julinho mente quando diz que fui eu. 6) Foi o tio Rogrio.Rogrio diz: 7) No fui eu. 8) Eu estava l em baixo consertando a minha bicicleta. 9) Foi o Zezinho.Zezinho diz: 10) No fui eu. 11) Eu nem estava com fome. 12) No foi o Luiz Antnio.Luiz Antnio diz: 13) No fui eu. 14) Eu estava com o Rogrio na praia. 15) Foi o Maurcio.

Vov Marina, que no boba, percebe que cada um deles mentiu sobre uma nica das afirmaes quefez e encontrou o comilo. Quem comeu o bolo?a) Julinho.b) Maurcio.c) Rogrio.d) Zezinho.e) Luiz Antnio.

18. Resolvi presentear a cada um dos meus colegas com uma pasta para papis. Ento entreguei a decor branca ao Jonofon, a cinza ao Mrcio Lima, e a preta ao Roberto Vasconcelos e disse:"Nenhum de vocs recebeu a sua prpria pasta. Para auxili-los dou-lhes ainda trs informaes, mass uma delas correta:A do Jonofon no a preta;A do Mrcio no a branca;A do Roberto a cinza.

Depois de alguns segundos de silncio, quase que simultaneamente, todos disseram as cores corretasde suas prprias pastas. Riram-se e trocaram suas pastas.

As cores das pastas de Jonofon, Mrcio e Roberto so, respectivamente:a) cinza, branca e preta;b) preta, branca e cinza;c) branca, preta e cinza;d) cinza, preta e branca;e) preta, cinza e branca.

19. Num pas h apenas dois tipos de habitantes: os verds, que sempre dizem a verdade e os falcs,que sempre mentem. Um professor de Lgica, recm chegado a este pas, informado por um nativoque glup e plug, na lngua local, significam sim e no mas o professor no sabe se o nativo que oinformou verd ou falc. Ento ele se aproxima de trs outros nativos que estavam conversando juntose faz a cada um deles duas perguntas:

1 Os outros dois so verds?2 Os outros dois so falcs?

A primeira pergunta respondida com glup pelos trs mas segunda pergunta os dois primeirosresponderam glup e o terceiro respondeu plug.

Assim, o professor pode concluir que:a) todos so verds;b) todos so falcs;c) somente um dos trs ltimos falc e glup significa no;d) somente um dos trs ltimos verd e glup significa sim;e) h dois verds e glup significa sim.

20. Mame Nrian quer saber de Nathalie, Sophia e Bruna quem terminou de almoar primeiro. Umadelas diz: Eu terminei primeiro. A Bruna terminou depois de mim. Uma outra fala em seguida: Eu queterminei primeiro. A Nathalie foi a segunda. Cada uma das meninas mentiu sobre uma nica dasdeclaraes que fez e nenhuma delas falou de si mesma duas vezes. Ento certo que:a) a primeira a falar foi Nathalie, que terminou primeiro o seu almoo.b) quem terminou primeiro foi Sophia, que foi a segunda a falar.c) Bruna foi a primeira a falar e a ltima a terminar o almoo.d) Sophia no falou e foi a primeira a terminar o almoo.e) Bruna no falou e foi a ltima a terminar o almoo.

21. Quatro carros esto parados ao longo do meio fio, um atrs do outro:Um fusca atrs de outro fusca.Um carro branco na frente de um carro prata.Um uno na frente de um fusca.Um carro prata atrs de um carro preto.Um carro prata na frente de um carro preto.Um uno atrs de um fusca.

Do primeiro (na frente) ao quarto carro (atrs) temos ento:a) uno branco, fusca preto, fusca prata e uno prata;b) uno preto, fusca prata, fusca preto e uno branco;c) uno branco, fusca prata, fusca preto e uno prata;d) uno prata, fusca preto, fusca branco e uno preto;e) uno branco, fusca prata, uno preto e fusca prata.

22. Nathalie pede a suas trs irms que sentem-se no sof da sala para tirar uma foto. Do ponto devista da fotgrafa, tem-se que: a de vestido vermelho senta-se esquerda da de blusa branca, mas

no necessariamente a seu lado; Bruna senta-se direita de Mriam; Sophia senta-se esquerda daque veste um conjuntinho azul e esta, esquerda da que est de blusa branca.

Na foto, que ficou linda, podemos ver:a) Mriam vestindo uma blusa branca;b) Sophia de conjuntinho azul;c) Bruna de vestido vermelho;d) Mriam sentada entre Sophia e Bruna;e) Sophia direita das outras duas.

23. Ramirez aprontou uma baita confuso: trocou as caixas de giz e as papeletas de aulas dosprofessores Jlio, Mrcio e Roberto. Cada um deles ficou com a caixa de giz de um segundo e com apapeleta de aulas de um terceiro. O que ficou com a caixa de giz do professor Mrcio est com apapeleta de aulas do professor Jlio. Portanto:a) quem est com a papeleta de aulas do Roberto o Mrcio;b) quem est com a caixa de giz do Mrcio o Jlio;c) quem est com a papeleta de aulas do Mrcio o Roberto;d) quem est com a caixa de giz do Jlio o Roberto;e) o que ficou com a caixa de giz do Jlio est com a papeleta de aulas do Mrcio.

GABARITO

1. Item a:

Item b:

Para os itens c e d:

A B

A B

B

A

Para o item e:

2. d 3. b 4. e 5. e 6. e 7. c8. a) O tempo no ser frio ou no ser chuvoso.

b) Ela no estudou muito e no teve sorte na prova.c) Maria morena e Regina no baixa.d) O tempo est chuvoso e no est frio.e) Algum corvo no negro.f) Algum corvo no negro.g) Nenhum sapo bonito.h) Todas as vidas so importantes.

9. c 10. a 11. d 12. e 13. d14. b 15. c 16. a 17. d 18. b19. c 20. d 21. c 22.d 23. a

A B

LGICA DE ARGUMENTAO

1. IntroduoDesde suas origens na Grcia Antiga, especialmente de Aristteles (384-322 a.C.) em diante, a

lgica tornou-se um dos campos mais frteis do pensamento humano, particularmente da filosofia. Emsua longa histria e nas mltiplas modalidades em que se desenvolveu, sempre foi bem claro seuobjetivo: fornecer subsdios para a produo de um bom raciocnio.

Por raciocnio, entende-se tanto uma atividade mental quanto o produto dessa atividade. Esse,por sua vez, pode ser analisado sob muitos ngulos: o psiclogo poder estudar o papel das emoessobre um determinado raciocnio; o socilogo considerar as influncias do meio; o criminlogo levarem conta as circunstncias que o favoreceram na prtica de um ato criminoso etc. Apesar de todasestas possibilidades, o raciocnio estudado de modo muito especial no mbito da lgica. Para ela,pouco importam os contextos psicolgico, econmico, poltico, religioso, ideolgico, jurdico ou dequalquer outra esfera que constituam o ambiente do raciocnio.

Ao lgico, no interessa se o raciocnio teve esta ou aquela motivao, se respeita ou no amoral social, se teve influncias das emoes ou no, se est de acordo com uma doutrina religiosa ouno, se foi produzido por uma pessoa embriagada ou sbria. Ele considera a sua forma. Ao considerara forma, ele investiga a coerncia do raciocnio, as relaes entre as premissas e a concluso, emsuma, sua obedincia a algumas regras apropriadas ao modo como foi formulado etc.

Apenas a ttulo de ilustrao, seguem-se algumas definies e outras referncias lgica:A arte que dirige o prprio ato da razo, ou seja, nos permite chegar com ordem, facilmente e semerro, ao prprio ato da razo o raciocnio (Jacques Maritain).A lgica o estudo dos mtodos e princpios usados para distinguir o raciocnio correto do incorreto(Irving Copi).A lgica investiga o pensamento no como ele , mas como deve ser (Edmundo D. Nascimento).A princpio, a lgica no tem compromissos. No entanto, sua histria demonstra o poder que a mesmapossui quando bem dominada e dirigida a um propsito determinado, como o fizeram os sofistas, aescolstica, o pensamento cientfico ocidental e, mais recentemente, a informtica (Bastos; Keller).

1.1. Lgica formal e Lgica materialDesde Aristteles, seu primeiro grande organizador, os estudos da lgica orientaram-se em

duas direes principais: a da lgica formal, tambm chamada de lgica menor e a da lgica material,tambm conhecida como lgica maior.

A lgica formal preocupa-se com a correo formal do pensamento. Para esse campo deestudos da lgica, o contedo ou a matria do raciocnio tem uma importncia relativa. A preocupaosempre ser com a sua forma. A forma respeitada quando se preenchem as exigncias de coernciainterna, mesmo que as concluses possam ser absurdas do ponto de vista material (contedo). Nemsempre um raciocnio formalmente correto corresponde quilo que chamamos de realidade dos fatos.No entanto, o erro no est no seu aspecto formal e, sim, na sua matria. Por exemplo, partindo daspremissas que(1) todos os brasileiros so europeuse que(2) Pedro brasileiro,formalmente, chegar-se- concluso lgica que(3) Pedro europeu.

Materialmente, este um raciocnio falso porque a experincia nos diz que a premissa falsa.No entanto, formalmente, um raciocnio vlido, porque a concluso adequada s premissas. nesse sentido que se costuma dizer que o computador falho, j que, na maioria dos casos, processaformalmente informaes nele previamente inseridas, mas no tem a capacidade de verificar o valoremprico de tais informaes.

J, a lgica material preocupa-se com a aplicao das operaes do pensamento realidade,de acordo com a natureza ou matria do objeto em questo. Nesse caso, interessa que o raciocniono s seja formalmente correto, mas que tambm respeite a matria, ou seja, que o seu contedocorresponda natureza do objeto a que se refere. Neste caso, trata-se da correspondncia entrepensamento e realidade.

Assim sendo, do ponto de vista lgico, costuma-se falar de dois tipos de verdade: a verdadeformal e a verdade material. A verdade formal diz respeito, somente e to-somente, forma dodiscurso; j a verdade material tem a ver com a forma do discurso e as suas relaes com a matria ouo contedo do prprio discurso. Se houver coerncia, no primeiro caso, e coerncia e correspondncia,no segundo, tem-se a verdade.

Em seu conjunto, a lgica investiga as regras adequadas produo de um raciocnio vlido,por meio do qual visa-se consecuo da verdade, seja ela formal ou material. Relacionando a lgicacom a prtica, pode-se dizer que importante que se obtenha no somente uma verdade formal, mas,tambm, uma verdade que corresponda experincia. Que seja, portanto, materialmente vlida. Aconexo entre os princpios formais da lgica e o contedo de seus raciocnios pode ser denominadade lgica informal. Trata-se de uma lgica aplicada ao plano existencial, vida quotidiana.

1.2. Raciocnio e ArgumentaoTrs so as principais operaes do intelecto humano: a simples apreenso, os juzos e o

raciocnio.A simples apreenso consiste na captao direta (atravs dos sentidos, da intuio racional,

da imaginao etc) de uma realidade sobre a qual forma-se uma idia ou conceito (p. ex., de um objetomaterial, ideal, sobrenatural etc) que, por sua vez, recebe uma denominao (as palavras ou termos, p.ex.: mesa, trs e arcanjo).

O juzo ato pelo qual os conceitos ou idias so ligadas ou separadas dando origem emisso de um julgamento (falso ou verdadeiro) sobre a realidade, mediante proposies orais ouescritas. Por exemplo: H trs arcanjos sobre a mesa da sala

O raciocnio, por fim, consiste no arranjo intelectual dos juzos ou proposies, ordenandoadequadamente os contedos da conscincia. No raciocnio, parte-se de premissas para se chegar aconcluses que devem ser adequadas. Procedendo dessa forma, adquirem-se conhecimentos novos edefende-se ou aprofunda-se o que j se conhece. Para tanto, a cada passo, preciso preencher osrequisitos da coerncia e do rigor. Por exemplo: Se os trs arcanjos esto sobre a mesa da sala, noesto sobre a mesa da varanda

Quando os raciocnios so organizados com tcnica e arte e expostos de forma tal a convencera platia, o leitor ou qualquer interlocutor tem-se a argumentao. Assim, a atividade argumentativaenvolve o interesse da persuaso. Argumentar o ncleo principal da retrica, considerada a arte deconvencer mediante o discurso.

Partindo do pressuposto de que as pessoas pensam aquilo que querem, de acordo com ascircunstncias da vida e as decises pessoais (subjetividade), um argumento conseguir atingir maisfacilmente a meta da persuaso caso as idias propostas se assentem em boas razes, capazes demexer com as convices daquele a quem se tenta convencer. Muitas vezes, julga-se que esto sendousadas como bom argumento opinies que, na verdade, no passam de preconceitos pessoais, demodismos, de egosmo ou de outras formas de desconhecimento. Mesmo assim, a habilidade noargumentar, associada desateno ou ignorncia de quem ouve, acaba, muitas vezes, por lograr apersuaso.

Pode-se, ento, falar de dois tipos de argumentao: boa ou m, consistente/slida ouinconsistente/frgil, lgica ou ilgica, coerente ou incoerente, vlida ou no-vlida, fraca ou forte etc.De qualquer modo, argumentar no implica, necessariamente, manter-se num plano distante daexistncia humana, desprezando sentimentos e motivaes pessoais. Pode-se argumentar bem sem,necessariamente, descartar as emoes, como no caso de convencer o aluno a se esforar nosestudos diante da perspectiva de frias mais tranqilas. Enfim, argumentar corretamente (sem armarciladas para o interlocutor) apresentar boas razes para o debate, sustentar adequadamente umdilogo, promovendo a dinamizao do pensamento. Tudo isso pressupe um clima democrtico.

1.3. Inferncia LgicaCabe lgica a tarefa de indicar os caminhos para um raciocnio vlido, visando verdade.

Contudo, s faz sentido falar de verdade ou falsidade quando entram em jogo asseres nas quais sedeclara algo, emitindo-se um juzo de realidade. Existem, ento, dois tipos de frases: as assertivas e asno assertivas, que tambm podem ser chamadas de proposies ou juzos.

Nas frases assertivas afirma-se algo, como nos exemplos: a raiz quadrada de 9 3 ou o solbrilha noite. J, nas frases no assertivas, no entram em jogo o falso e o verdadeiro, e, por isso,elas no tm valor de verdade. o caso das interrogaes ou das frases que expressam estados

emocionais difusos, valores vivenciados subjetivamente ou ordens. A frase toque a bola, por exemplo,no falsa nem verdadeira, por no se tratar de uma assero (juzo).

As frases declaratrias ou assertivas podem ser combinadas de modo a levarem a conclusesconseqentes, constituindo raciocnios vlidos. Veja-se o exemplo:(1) No h crime sem uma lei que o defina;(2) no h uma lei que defina matar ETs como crime;(3) logo, no crime matar ETs.

Ao serem ligadas estas assertivas, na mente do interlocutor, vo sendo criadas as condieslgicas adequadas concluso do raciocnio. Esse processo, que muitas vezes permite que aconcluso seja antecipada sem que ainda sejam emitidas todas as proposies do raciocnio, chama-se inferncia. O ponto de partida de um raciocnio (as premissas) deve levar a concluses bvias.

1.4. Termo e ConceitoPara que a validade de um raciocnio seja preservada, fundamental que se respeite uma

exigncia bsica: as palavras empregadas na sua construo no podem sofrer modificaes designificado. Observe-se o exemplo:Os jaguares so quadrpedes;Meu carro um Jaguarlogo, meu carro um quadrpede.

O termo jaguar sofreu uma alterao de significado ao longo do raciocnio, por isso, no temvalidade.

Quando pensamos e comunicamos os nossos pensamentos aos outros, empregamos palavrastais como animal, lei, mulher rica, crime, cadeira, furto etc. Do ponto de vista da lgica, taispalavras so classificadas como termos, que so palavras acompanhadas de conceitos. Assim sendo,o termo o signo lingstico, falado ou escrito, referido a um conceito, que o ato mentalcorrespondente ao signo.

Desse modo, quando se emprega, por exemplo, o termo mulher rica, tende-se a pensar noconjunto das mulheres s quais se aplica esse conceito, procurando apreender uma nota caractersticacomum a todos os elementos do conjunto, de acordo com a intencionalidade presente no ato mental.Como resultado, a expresso mulher rica pode ser tratada como dois termos: pode ser uma pessoado sexo feminino cujos bens materiais ou financeiros esto acima da mdia ou aquela cuja trajetriaexistencial destaca-se pela bondade, virtude, afetividade e equilbrio.

Para que no se obstrua a coerncia do raciocnio, preciso que fique bem claro, em funodo contexto ou de uma manifestao de quem emite o juzo, o significado dos termos empregados nodiscurso.

1.5. Princpios lgicosExistem alguns princpios tidos como conditio sine qua non para que a coerncia do raciocnio,

em absoluto, possa ocorrer. Podem ser entendidos como princpios que se referem tanto realidadedas coisas (plano ontolgico), quanto ao pensamento (plano lgico), ou seja, se as coisas em geraldevem respeitar tais princpios, assim tambm o pensamento deve respeit-los. So eles:a) Princpio da identidade, pelo qual se delimita a realidade de um ser. Trata-se de conceituarlogicamente qual a identidade de algo a que se est fazendo referncia. Uma vez conceituada umacerta coisa, seu conceito deve manter-se ao longo do raciocnio. Por exemplo, se estou falando de umhomem chamado Pedro, no posso estar me referindo a Antnio.b) Princpio da no-contradio. Se algo aquilo que , no pode ser outra coisa, sob o mesmoaspecto e ao mesmo tempo. Por exemplo, se o brasileiro Joo est doente agora, no est so, aindaque, daqui a pouco possa vir a curar-se, embora, enquanto Joo, ele seja brasileiro, doente ou so;c) Princpio da excluso do terceiro termo. Entre o falso e o verdadeiro no h meio termo, ou falso ou verdadeiro. Ou est chovendo ou no est, no possvel um terceiro termo: est meiochovendo ou coisa parecida.

A lgica clssica e a lgica matemtica aceitam os trs princpios como suas pedras angulares,no entanto, mais recentemente, Lukasiewicz e outros pensadores desenvolveram sistemas lgicos semo princpio do terceiro excludo, admitindo valor lgico no somente ao falso e ao verdadeiro, comotambm ao indeterminado.

2. Argumentao e Tipos de RaciocnioConforme vimos, a argumentao o modo como exposto um raciocnio, na tentativa de

convencer algum de alguma coisa. Quem argumenta, por sua vez, pode fazer uso de diversos tiposde raciocnio. s vezes, so empregados raciocnios aceitveis do ponto de vista lgico, j, em outrasocasies, pode-se apelar para raciocnios fracos ou invlidos sob o mesmo ponto de vista. bastantecomum que raciocnios desse tipo sejam usados para convencer e logrem o efeito desejado,explorando a incapacidade momentnea ou persistente de quem est sendo persuadido de avaliar ovalor lgico do raciocnio empregado na argumentao.

Um bom raciocnio, capaz de resistir a crticas, precisa ser dotado de duas caractersticasfundamentais: ter premissas aceitveis e ser desenvolvido conforme as normas apropriadas.

Dos raciocnios mais empregados na argumentao, merecem ser citados a analogia, ainduo e a deduo. Dos trs, o primeiro o menos preciso, ainda que um meio bastante poderoso deconvencimento, sendo bastante usado pela filosofia, pelo senso comum e, particularmente, nosdiscursos jurdico e religioso; o segundo amplamente empregado pela cincia e, tambm, pelo sensocomum e, por fim, a deduo tida por alguns como o nico raciocnio autenticamente lgico, por isso,o verdadeiro objeto da lgica formal.

A maior ou menor valorizao de um ou de outro tipo de raciocnio depender do objeto a quese aplica, do modo como desenvolvido ou, ainda, da perspectiva adotada na abordagem da naturezae do alcance do conhecimento.

s vezes, um determinado tipo de raciocnio no adequadamente empregado. Vejam-se osseguintes exemplos: o mdico alemo Ludwig Bchner (1824-1899) apresentou como argumentocontra a existncia da alma o fato de esta nunca ter sido encontrada nas diversas dissecaes docorpo humano; o astronauta russo Gagarin (1934-1968) afirmou que Deus no existe pois esteve lem cima e no o encontrou. Nesses exemplos fica bem claro que o raciocnio indutivo, baseado naobservao emprica, no o mais adequado para os objetos em questo, j que a alma e Deus sode ordem metafsica, no fsica.

2.1. Raciocnio analgicoSe raciocinar passar do desconhecido ao conhecido, partir do que se sabe em direo

quilo que no se sabe, a analogia (an = segundo, de acordo + lgon = razo) um dos caminhosmais comuns para que isso acontea. No raciocnio analgico, compara-se uma situao j conhecidacom uma situao desconhecida ou parcialmente conhecida, aplicando a elas as informaespreviamente obtidas quando da vivncia direta ou indireta da situao-referncia.

Normalmente, aquilo que familiar usado como ponto de apoio na formao doconhecimento, por isso, a analogia um dos meios mais comuns de inferncia. Se, por um lado, fonte de conhecimentos do dia-a-dia, por outro, tambm tem servido de inspirao para muitos gniosdas cincias e das artes, como nos casos de Arquimedes na banheira (lei do empuxo), de Galileu nacatedral de Pisa (lei do pndulo) ou de Newton sob a macieira (lei da gravitao universal). No entanto,tambm uma forma de raciocnio em que se cometem muitos erros. Tal acontece porque difcilestabelecer-lhe regras rgidas. A distncia entre a genialidade e a falha grosseira muito pequena. Nocaso dos raciocnios analgicos, no se trata propriamente de consider-los vlidos ou no-vlidos,mas de verificar se so fracos ou fortes. Segundo Copi, deles somente se exige que tenham algumaprobabilidade (Introduo lgica, p. 314).

A fora de uma analogia depende, basicamente, de trs aspectos:a) os elementos comparados devem ser verdadeiros e importantes;b) o nmero de elementos semelhantes entre uma situao e outra deve ser significativo;c) no devem existir divergncias marcantes na comparao.

No raciocnio analgico, comparam-se duas situaes, casos, objetos etc. semelhantes e tiram-se as concluses adequadas. Na ilustrao, tal como a carroa, o carro a motor um meio detransporte que necessita de um condutor. Este, tanto num caso quanto no outro, precisa ser dotado debom senso e de boa tcnica para desempenhar adequadamente seu papel.

Aplicao das regras acima a exemplos:a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e relevantes, no imaginrios ou insignificantes.tc"a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e relevantes, no imaginrios ou insignificantes."

Analogia forte - Ana Maria sempre teve bom gosto ao comprar suas roupas, logo, ter bomgosto ao comprar as roupas de sua filha.

Analogia fraca - Joo usa terno, sapato de cromo e perfume francs e um bom advogado;Antnio usa terno, sapato de cromo e perfume francs; logo, deve ser um bom advogado.

b) O nmero de aspectos semelhantes entre uma situao e outra deve ser significativo.tc "b) Onmero de aspectos semelhantes entre uma situao e outra deve ser significativo."

Analogia forte - A Terra um planeta com atmosfera, com clima ameno e tem gua; emMarte, tal como na Terra, houve atmosfera, clima ameno e gua; na Terra existe vida, logo, tal como naTerra, em Marte deve ter havido algum tipo de vida.

Analogia fraca - T. Edison dormia entre 3 e 4 horas por noite e foi um gnio inventor; eudormirei durante 3 1/2 horas por noite e, por isso, tambm serei um gnio inventor.

c) No devem existir divergncias marcantes na comparao.tc "c) No devem existir divergnciasmarcantes na comparao.."

Analogia forte - A pescaria em rios no proveitosa por ocasio de tormentas e tempestades;a pescaria marinha no est tendo sucesso porque troveja muito.

Analogia fraca - Os operrios suos que recebem o salrio mnimo vivem bem; a maioria dosoperrios brasileiros, tal como os operrios suos, tambm recebe um salrio mnimo; logo, a maioriados operrios brasileiros tambm vive bem, como os suos.

Pode-se notar que, no caso da analogia, no basta considerar a forma de raciocnio, muitoimportante que se avalie o seu contedo. Por isso, esse tipo de raciocnio no admitido pela lgicaformal. Se as premissas forem verdadeiras, a concluso no o ser necessariamente, maspossivelmente, isto caso cumpram-se as exigncias acima.

Tal ocorre porque, apesar de existir uma estrutura geral do raciocnio analgico, no existemregras claras e precisas que, uma vez observadas, levariam a uma concluso necessariamente vlida.

O esquema bsico do raciocnio analgico :A N, L, Y, X;

B, tal como A, N, L, Y, X;A , tambm, Zlogo, B, tal como A, tambm Z.

Se, do ponto de vista da lgica formal, o raciocnio analgico precrio, ele muito importantena formulao de hipteses cientficas e de teses jurdicas ou filosficas. Contudo, as hiptesescientficas oriundas de um raciocnio analgico necessitam de uma avaliao posterior, medianteprocedimentos indutivos ou dedutivos.

Observe-se o seguinte exemplo: John Holland, fsico e professor de cincia da computao daUniversidade de Michigan, lanou a hiptese (1995) de se verificar, no campo da computao, umasituao semelhante que ocorre no da gentica. Assim como na natureza espcies diferentes podemser cruzadas para obter o chamado melhoramento gentico - um indivduo mais adaptado ao ambiente-, na informtica, tambm o cruzamento de programas pode contribuir para montar um programa maisadequado para resolver um determinado problema. Se quisermos obter uma rosa mais bonita eperfumada, teremos que cruzar duas espcies: uma com forte perfume e outra que seja bela dizHolland. Para resolver um problema, fazemos o mesmo. Pegamos um programa que d conta de umaparte do problema e cruzamos com outro programa que solucione outra parte. Entre as vrias soluespossveis, selecionam-se aquelas que parecem mais adequadas. Esse processo se repete por vriasgeraes - sempre selecionando o melhor programa - at obter o descendente que mais se adapta questo. , portanto, semelhante ao processo de seleo natural, em que s sobrevivem os maisaptos. (Entrevista ao JB, 19/10/95, 1 cad., p. 12).

Nesse exemplo, fica bem clara a necessidade da averiguao indutiva das conclusesextradas desse tipo de raciocnio para, s depois, serem confirmadas ou no.

2.2. Raciocnio Indutivo - do particular ao geralAinda que alguns autores considerem a analogia como uma variao do raciocnio indutivo,

esse ltimo tem uma base mais ampla de sustentao. A induo consiste em partir de uma srie decasos particulares e chegar a uma concluso de cunho geral. Nele, est pressuposta a possibilidade dacoleta de dados ou da observao de muitos fatos e, na maioria dos casos, tambm da verificaoexperimental. Como dificilmente so investigados todos os casos possveis, acaba-se aplicando oprincpio das probabilidades.

Assim sendo, as verdades do raciocnio indutivo dependem das probabilidades sugeridas pelonmero de casos observados e pelas evidncias fornecidas por estes. A enumerao de casos deveser realizada com rigor e a conexo entre estes deve ser feita com critrios rigorosos para que sejamindicadores da validade das generalizaes contidas nas concluses.O esquema principal do raciocnio indutivo o seguinte:B A e X;C A e tambm X;D A e tambm X;E A e tambm X;logo, todos os A so XNo raciocnio indutivo, da observao de muitos casos particulares, chega-se a uma concluso de cunho geral.

Aplicando o modelo:A jararaca uma cobra e no voa;A caninana uma cobra e tambm no voa;A urutu uma cobra e tambm no voa;A cascavel uma cobra e tambm no voa;logo, as cobras no voam.

Contudo,Ao sair de casa, Joo viu um gato preto e, logo a seguir, caiu e quebrou o brao. Maria viu o mesmogato e, alguns minutos depois, foi assaltada. Antonio tambm viu o mesmo gato e, ao sair doestacionamento, bateu com o carro. Logo, ver um gato preto traz azar.

Os exemplos acima sugerem, sob o ponto de vista do valor lgico, dois tipos de induo: ainduo fraca e a induo forte. forte quando no h boas probabilidades de que um caso particulardiscorde da generalizao obtida das premissas: a concluso nenhuma cobra voa tem grandeprobalidade de ser vlida. J, no caso do gato preto, no parece haver sustentabilidade da concluso,por se tratar de mera coincidncia, tratando-se de uma induo fraca. Alm disso, h casos em queuma simples anlise das premissas suficiente para detectar a sua fraqueza.

Vejam-se os exemplos das concluses que pretendem ser aplicadas ao comportamento datotalidade dos membros de um grupo ou de uma classe tendo como modelo o comportamento dealguns de seus componentes:1. Adriana mulher e dirige mal;Ana Maria mulher e dirige mal;Mnica mulher e dirige mal;Carla mulher e dirige mal;logo, todas as mulheres dirigem mal.2. Antnio Carlos poltico e corrupto;Fernando poltico e corrupto;Paulo poltico e corrupto;Estevo poltico e corrupto;logo, todos os polticos so corruptos.

A avaliao da suficincia ou no dos elementos no tarefa simples, havendo muitosexemplos na histria do conhecimento indicadores dos riscos das concluses por induo. Basta queum caso contrarie os exemplos at ento colhidos para que caia por terra uma verdade por elasustentada. Um exemplo famoso o da cor dos cisnes. Antes da descoberta da Austrlia, onde foramencontrados cisnes pretos, acreditava-se que todos os cisnes fossem brancos porque todos os atento observados eram brancos. Ao ser visto o primeiro cisne preto, uma certeza de sculos caiu porterra.

2.2.1. Procedimentos indutivosApesar das muitas crticas de que passvel o raciocnio indutivo, este um dos recursos mais

empregados pelas cincias para tirar as suas concluses. H dois procedimentos principais dedesenvolvimento e aplicao desse tipo de raciocnio: o da induo por enumerao incompletasuficiente e o da induo por enumerao completa.

a. Induo por enumerao incompleta suficienteNesse procedimento, os elementos enumerados so tidos como suficientes para serem tiradas

determinadas concluses. o caso do exemplo das cobras, no qual, apesar de no poderem serconferidos todos os elementos (cobras) em particular, os que foram enumerados so representativosdo todo e suficientes para a generalizao (todas as cobras...)

b. Induo por enumerao completaCostuma-se tambm classificar como indutivo o raciocnio baseado na enumerao completa.

Ainda que alguns a classifiquem como tautologia, ela ocorre quando:b.a. todos os casos so verificados e contabilizados;b.b. todas as partes de um conjunto so enumeradas.Exemplos correspondentes s duas formas de induo por enumerao completa:b.a. todas as ocorrncias de dengue foram investigadas e em cada uma delas foi constatada umacaracterstica prpria desse estado de morbidez: fortes dores de cabea; obteve-se, por conseguinte, aconcluso segura de que a dor de cabea um dos sintomas da dengue.b.b. contam-se ou conferem-se todos as peas do jogo de xadrez: ao final da contagem, constata-seque so 32 peas.

Nesses raciocnios, tem-se uma concluso segura, podendo-se classific-los como formas deinduo forte, mesmo que se revelem pouco criativos em termos de pesquisa cientfica.

O raciocnio indutivo nem sempre aparece estruturado nos moldes acima citados. s vezes,percebe-se o seu uso pela maneira como o contedo (a matria) fica exposta ou ordenada. Observem-se os exemplos:- No parece haver grandes esperanas em se erradicar a corrupo do cenrio poltico brasileiro.Depois da srie de protestos realizados pela populao, depois das provas apresentadas nas CPIs,depois do vexame sofrido por alguns polticos denunciados pela imprensa, depois do escrnio popularem festividades como o carnaval e depois de tanta insistncia de muitos sobre necessidade demoralizar o nosso pas, a corrupo parece recrudescer, apresenta novos tentculos, se disfara demodos sempre novos, encontrando-se maneiras inusitadas de ludibriar a nao.- Sentia-me totalmente tranqilo quanto ao meu amigo, pois, at ento, os seus atos sempre forampautados pelo respeito s leis e dignidade de seus pares. Assim, enquanto alguns insinuavam a suaculpa, eu continuava seguro de sua inocncia.

Tanto no primeiro quanto no segundo exemplos est sendo empregando o mtodo indutivoporque o argumento principal est sustentado pela observao de muitos casos ou fatos particularesque, por sua vez, fundamentam a concluso. No primeiro caso, a constatao de que diversastentativas de erradicar a corrupo mostraram-se infrutferas conduzem concluso da impossibilidadede sua superao, enquanto que, no segundo exemplo, da observao do comportamento do amigoinfere-se sua inocncia.

Analogia, induo e probabilidadeNos raciocnios analgico e indutivo, apesar de boas chances do contrrio, h sempre a

possibilidade do erro. Isso ocorre porque se est lidando com probabilidades e estas no sosinnimas de certezas.

H trs tipos principais de probabilidades: a matemtica, a moral e a natural.a) A probabilidade matemtica aquela na qual, partindo-se dos casos numerados, possvelcalcular, sob forma de frao, a possibilidade de algo ocorrer na frao, o denominador representa oscasos possveis e o numerador o nmero de casos favorveis. Por exemplo, no caso de um sorteiousando uma moeda, a probabilidade de dar cara de 50% e a de dar coroa tambm de 50%.b) A probabilidade moral a relativa a fatos humanos destitudos de carter matemtico. o caso dapossibilidade de um comportamento criminoso ou virtuoso, de uma reao alegre ou triste etc.Exemplos: considerando seu comportamento pregresso, provvel que Pedro no tenha cometido ocrime, contudo... Conhecendo-se a meiguice de Maria, provvel que ela o receba bem, mas...c) A probabilidade natural a relativa a fenmenos naturais dos quais nem todas as possibilidadesso conhecidas. A previso meteorolgica um exemplo particular de probalidade natural. A teoria docaos assenta-se na tese da imprevisibilidade relativa e da descrio apenas parcial de alguns eventosnaturais.

Por lidarem com probabilidades, a induo e a analogia so passveis de concluses inexatas.Assim sendo, deve-se ter um relativo cuidado com as suas concluses. Elas expressam muito bem anecessidade humana de explicar e prever os acontecimentos e as coisas, contudo, tambm revelam aslimitaes humanas no que diz respeito construo do conhecimento.

2.3. Raciocnio dedutivo - do geral ao particularO raciocnio dedutivo, conforme a convico de muitos estudiosos da lgica, aquele no qual

so superadas as deficincias da analogia e da induo.No raciocnio dedutivo, inversamente ao indutivo, parte-se do geral e vai-se ao particular. As

inferncias ocorrem a partir do progressivo avano de uma premissa de cunho geral, para se chegar auma concluso to ou menos ampla que a premissa. O silogismo o melhor exemplo desse tipo deraciocnio:Premissa maior: Todos os homens so mamferos. universalPremissa menor: Pedro homem.Concluso: Logo, Pedro mamfero. ParticularNo raciocnio dedutivo, de uma premissa de cunho geral podem-se tirar concluses de cunho particular.

Aristteles refere-se deduo como a inferncia na qual, colocadas certas coisas, outradiferente se lhe segue necessariamente, somente pelo fato de terem sido postas. Uma vez posto quetodos os homens so mamferos e que Pedro homem, h de se inferir, necessariamente, que Pedro

um mamfero. De certo modo, a concluso j est presente nas premissas, basta observar algumasregras e inferir a concluso.

2.3.1. Construo do SilogismoA estrutura bsica do silogismo (sn/com + lgos/razo) consiste na determinao de uma

premissa maior (ponto de partida), de uma premissa menor (termo mdio) e de uma concluso, inferidaa partir da premissa menor. Em outras palavras, o silogismo sai de uma premissa maior, progrideatravs da premissa menor e infere, necessariamente, uma concluso adequada.

Eis um exemplo de silogismo:

Todos os atos que ferem a lei so punveis Premissa MaiorA concusso um ato que fere a lei Premissa MenorLogo, a concusso punvel Concluso

O silogismo estrutura-se por premissas. No mbito da lgica, as premissas so chamadas deproposies que, por sua vez, so a expresso oral ou grfica de frases assertivas ou juzos. O termo uma palavra ou um conjunto de palavras que exprime um conceito. Os termos de um silogismo sonecessariamente trs: maior, mdio e menor. O termo maior aquele cuja extenso maior(normalmente, o predicado da concluso); o termo mdio o que serve de intermedirio ou deconexo entre os outros dois termos (no figura na concluso) e o termo menor o de menor extenso(normalmente, o sujeito da concluso). No exemplo acima, punvel o termo maior, ato que fere a lei o termo mdio e concusso o menor.

2.3.1.1. As Regras do SilogismoOito so as regras que fazem do silogismo um raciocnio perfeitamente lgico. As quatro

primeiras dizem respeito s relaes entre os termos e as demais dizem respeito s relaes entre aspremissas. So elas:

2.3.1.1.1. Regras dos Termos1) Qualquer silogismo possui somente trs termos: maior, mdio e menor.Exemplo de formulao correta:Termo Maior: Todos os gatos so mamferos.Termo Mdio: Mimi um gato.Termo Menor: Mimi um mamfero.Exemplo de formulao incorreta:Termo Maior: Toda gata(1) quadrpede.Termo Mdio: Maria uma gata(2).Termo Menor: Maria quadrpede.O termo gata tem dois significados, portanto, h quatro termos ao invs de trs.

2) Os termos da concluso nunca podem ser mais extensos que os termos das premissas.Exemplo de formulao correta:Termo Maior: Todas as onas so ferozes.Termo Mdio: Nikita uma ona.Termo Menor: Nikita feroz.Exemplo de formulao incorreta:Termo Maior: Antnio e Jos so poetas.Termo Mdio: Antnio e Jos so surfistas.Termo Menor: Todos os surfistas so poetas.

Antonio e Jos um termo menos extenso que todos os surfistas.

3) O predicado do termo mdio no pode entrar na concluso.Exemplo de formulao correta:Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei.Termo Mdio: Pedro homem.Termo Menor: Pedro pode infringir a lei.Exemplo de formulao incorreta:Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei.Termo Mdio: Pedro homem.Termo Menor: Pedro ou homem (?) ou pode infringir a lei.

A ocorrncia do termo mdio homem na concluso inoportuna.

4) O termo mdio deve ser tomado ao menos uma vez em sua extenso universal.Exemplo de formulao correta:Termo Maior: Todos os homens so dotados de habilidades.Termo Mdio: Pedro homem.Termo Menor: Pedro dotado de habilidades.Exemplo de formulao incorreta:Termo Maior: Alguns homens so sbios.Termo Mdio: Ora os ignorantes so homensTermo Menor: Logo, os ignorantes so sbios

O predicado homens do termo mdio no universal, mas particular.

2.3.1.1.2. Regras das Premissas5) De duas premissas negativas, nada se conclui.Exemplo de formulao incorreta:Premissa Maior: Nenhum gato mamferoPremissa Menor: Lulu no um gato.Concluso: (?).

6) De duas premissas afirmativas, no se tira uma concluso negativa.Exemplo de formulao incorreta:Premissa Maior: Todos os bens morais devem ser desejados.Premissa Menor: Ajudar ao prximo um bem moral.Concluso: Ajudar ao prximo no (?) deve ser desejado.

7) A concluso segue sempre a premissa mais fraca. A premissa mais fraca sempre a de carternegativo.Exemplo de formulao incorreta:Premissa Maior: As aves so animais que voam.Premissa Menor: Alguns animais no so aves.Concluso: Alguns animais no voam.Exemplo de formulao incorreta:Premissa Maior: As aves so animais que voam.

Premissa Menor: Alguns animais no so aves.Concluso: Alguns animais voam.

8) De duas premissas particulares nada se conclui.Exemplo de formulao incorreta:Premissa Maior: Mimi um gato.Premissa Menor: Um gato foi covarde.Concluso: (?)

LGEBRA LINEAR

SISTEMAS DE EQUAES DO 1 GRAU COM DUAS VARIVEISUm sistema de equaes com duas variveis, x e y, um conjunto de equaes do tipo

ax + by = c(a, b, c R)

ou de equaes redutveis a esta forma.

Exemplo:

2x 3y = 13x + 3y = 9

Resolver um sistema significa encontra todos os pares ordenados (x ; y) onde os valores de x ede y satisfazem a todas as equaes do sistema ao mesmo tempo.

Exemplo:No sistema indicado no exemplo anterior, o nico par ordenado capaz de satisfazer s duas

equaes simultaneamente :(x ; y) = (2 ; 1)

Ou seja, x = 2 e y = 1

Resoluo algbricaDentre os vrios mtodos de resoluo algbrica aplicveis aos sistemas do 1 grau,

destacamos dois:a) mtodo da adiob) mtodo da substituio

Para exemplific-los, resolveremos o sistema seguinte pelos dois mtodos:

2x + y = 7 (I)3x + 2y = 12 (II)

a) Mtodo da Adio1 passo: multiplicamos as equaes por nmeros escolhidos de forma a obtermos coeficientesopostos em uma das variveis.

No caso, poderemos multiplicar a equao (I) por 2:

2x + y = 7 -4x 2y = -14

-4x 2y = -14 3x + 2y = 12

Observe agora que a varivel y tem, agora, coeficientes opostos.

2 passo: somamos membro a membro as equaes encontradas:

-4x 2y = -14 3x + 2y = 12

-1x + 0 = -2

A varivel y foi cancelada restando apenas a varivel x na ltima equao.

3 passo: resolvemos a equao resultante que tem somente uma varivel:

{

{

X (-2)

-1x = -2

4 passo: o valor da varivel encontrada substitudo numa das equaes iniciais que contenhatambm a outra varivel e, ento, resolvemos a equao resultante:

2x + y = 72(2) + y = 7

4 + y = 7y = 7 - 4

b) Mtodo da Substituio1 passo: isolamos uma das variveis em uma das equaes dadas:

2x + y = 7 y = 7 2x3x + 2y = 12

2 passo: a varivel isolada substituda na outra equao e, ento, resolvemos a equao resultanteque tem somente uma varivel:

3x + 2y = 123x + 2(7 - 2x) = 123x + 14 4x = 123x 4x = 12 14

-1x = -2

3 passo: levamos o valor encontrado para a equao que tem a varivel isolada e calculamos o valordesta:

y = 7 2xy = 7 2(2)

y = 7 4

4 passo: escrevemos o conjunto soluo:

S = {(2; 3)}

Sistema indeterminadoSe, ao tentarmos encontrar o valor de uma das variveis, chegarmos a uma expresso do tipo

0 = 0ou

3 = 3

ou qualquer outra que expresse uma sentena, sempre verdadeira, o sistema ter infinitas solues ediremos que ele possvel mas indeterminado.

Sistema impossvelSe, ao tentarmos encontrar o valor de uma das variveis, chegarmos a uma expresso do tipo

x = 2

y = 3

{

x = 2

y = 3

0 = 3ou

2 = 5

ou qualquer outra que expresse uma sentena sempre falsa, o sistema no ter qualquer soluo ediremos que ele impossvel.

O conjunto-soluo de um sistema impossvel vazio.

Resoluo GrficaVamos considerar um sistema de 1 grau com duas variveis e duas equaes:ax + by = c(r)mx + ny = p(s)

* Cada equao do sistema representa uma reta

A pergunta-chave : Quantos pontos coincidem entre as retas? Pois cada ponto comums retas do sistema corresponde a uma soluo.

Graficamente, existiro trs situaes possveis:1) Retas ConcorrentesSe as retas forem concorrentes o sistema ter uma nica soluo. Ser um sistema possvel edeterminado.

2) Retas Paralelas CoincidentesSe as retas forem coincidentes o sistema ter infinitas solues. Ser um sistema possvel, masindeterminado.

* Infinitos pontos coincidentes

3) Retas Paralelas Distintas

{

x

y rs

x

yr = s

Se as retas forem paralelas e distintas o sistema no ter qualquer soluo. Ser um sistemaimpossvel.

* Nenhum ponto coincidente

EXERCCIOS1) Resolva os seguintes sistemas:a) x + y = 5

x - y = 1

b) x + 2y = 7x - 2y = 3

c) x + 2y = 11x - y = 5

d) 2x + y = 112x - 3y = -1

e) x + 2y = 13x - y = 7

f) x + 3y = -42x - y = 6

g) 3x - 7y = 134x + 5y = 3

h) 2x + 5y = 173x - 2y = 16

2) Dividir o nmero 85 em duas partes iguais tais que a maior exceda a menor em 21 unidades.

3) Dois nmeros so tais que multiplicando-se o maior por 5 e o menor por 6 os produtos sero iguais.O menor, aumentado de 1 unidade, fica igual ao maior, diminudo de 2 unidades. Quais so estesnmeros?

4) Numa gincana cultural, cada resposta correta vale 5 pontos mas perdem-se 3 pontos para cadaresposta errada. Em 20 perguntas, minha equipe s conseguiu 44 pontos. Quantas perguntas elaacertou?

x

y rs

{

{

{

{

{

{

{

{

5) Somando-se 8 ao numerador, uma frao fica equivalendo a 1. Se, em vez disso, somssemos 7 ao

denominador, a frao ficaria equivalente a . Qual a frao original?

6) Num quintal encontram-segalinhas e coelhos, num total de 30 animais. Contando-se os ps seriam,ao todo, 94. Quantos coelhos e quantas galinhas esto no quintal?

7) A soma dos valores absolutos dos dois algarismos de um nmero 9. Somado com 27, totalizaoutro nmero, representado pelos mesmos algarismos dele, mas na ordem inversa. Qual estenmero?

8) O mago Paulo Coelho tem em seu laboratrio algumas cobras, sapos e morcegos. Ao todo so 14cabeas, 26 patas e 6 asas. Quantos animais de cada tipo esto no laboratrio?

9) Calcular trs nmeros tais que a soma do 1 com o 2 40, a soma do 2 com o 3 70 e a soma do1 o 3 60.

10) Jos Antnio tem o dobro da idade que Antnio Jos tinha quando Jos Antnio tinha a idade queAntnio Jos tem. Quando Antnio Jos tiver a idade que Jos Antnio tem, a soma das idades delesser 63 anos. Quantos anos tem cada um deles?

11) Uma rao para canrios composta por dois tipos de sementes, A e B. Cada uma delas contmtrs nutrientes importantes, x, y e z, em quantidades diferentes, conforme mostrado na tabela abaixo.

x y z

A 5 3 1

B 4 6 2

Se a rao for preparada com 2 partes da semente A e 3 partes da semente B, qual a quantidade queencontraremos para cada um dos trs nutrientes?

Enunciado para as questes 12 e 13:Ao se compararem 3 projetos diferentes para residncias, constatou-se que as quantidades utilizadaspara 4 materiais de acabamento variavam de um projeto para outro de acordo com a tabela abaixo quemostra as quantidades utilizadas para cada um deles.

tintas cermicas louas vidros

Projeto A 6 9 4 6

Projeto B 8 4 3 5

Projeto C 5 10 2 4

Sabe-se que os custos unitrios de cada material so: tinta = $ 12; cermica = $ 15; loua = $ 8 e vidro= $ 9. Pergunta-se:

12) Qual dos trs projetos ter o menor custo de acabamento e de quanto ser este custo?

21

13) Se uma cooperativa construir uma vila com 3, 5 e 2 casas de projetos A, B e C respectivamente,qual ser o custo total do material de acabamento?

14) Uma fbrica produz trs tipos de fertilizantes para o solo, A, B e C, cada um deles contendodeterminada quantidade de nitrognio (N), de fsforo (P) e de potssio (K). A tabela abaixo mostra, emg/kg, as concentraes de N, P e K em cada tipo de fertilizante.

N P K

A 1 3 4

B 2 3 5

C 3 0 3

15) Uma fbrica especializada em equipamentos de computao fabrica trs tipos de computadores: A,B e C, empregando, em cada um, componentes X, Y, Z e W, nas quantidades indicadas na tabelaabaixo.

X Y Z W

A 5 20 16 7

B 7 18 12 9

C 6 25 8 5

Sabe-se que os preos, por unidade, dos componentes X, Y, Z e W so, respectivamente, $ 15.000, $8.000, $ 5.000 e $ 1.000. Os preos unitrios de cada tipo de micro, A, B e C, sero, respectivamente:a) $ 335.000, $ 318.000 e $ 322.000b) $ 335.000, $ 322.000 e $ 318.000c) $ 322.000, $ 318.000 e $ 335.000d) $ 318.000, $ 322.000 e $ 335.000e) $ 322.000, $ 335.000 e $ 318.000

16) Para uma construo foram pesquisados trs tipos de concreto, de trs diferentes fbricas, A, B eC. Para cada quilo de concreto, determinou-se que:I O concreto da fbrica A tem 1 unidade de brita, 3 de areia e 4 de cimento.II O concreto da fbrica B tem 2, 3 e 5 unidades, respectivamente, de brita, areia e cimento.III o concreto da fbrica C tem 3 unidades de brita, 2 de areia e 3 de cimento.O concreto ideal dever conter 23 unidades de brita, 25 de areia e 38 de cimento. Usando-se concretodas trs fbricas, as quantidades, em kg, de cada uma delas, necessrias para se obter o concretoideal sero, respectivamente, para A, B e C:a) 5, 3 e 2b) 4, 4 e 2c) 3, 4 e 5d) 2, 3 e 5e) 1, 5 e 3

17) As idades de quatro pessoas so tais que:a soma das trs primeiras 73 anos;a soma das trs ltimas 60;

a primeira somada com as duas ltimas 63;a ltima somada com as duas primeiras 68.A idade da mais velha :a) 32 b) 28 c) 25 d) 20 e) 15

18) Quando o professor Oliveira entrou na sala dos professores, o nmero de professores (homens)presentes ficou igual ao triplo do nmero de professoras. Se, juntamente com Oliveira, entrassetambm uma professora, o nmero destas seria a metade do nmero de professores (homens).Professores e Professoras, quantos estavam na sala aps a chegada do mestre Oliveira?a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

19) Um colgio tem 525 alunos, entre moas e rapazes. A soma dos quocientes do nmero de rapazespor 25 com o do nmero de moas por 30 igual a 20. Seja r o nmero de rapazes e m o de moas,pode-se afirmar que:a) r 40% de (r + m)b) (r + m) 250% de mc) r 150% maior que md) (r - m) 150% maior que me) m 60% de r

20) No sistema abaixo, cada letra representa um nmero inteiro de 1 a 6.A + B + C = 12C + D + E = 14E + F + A = 10

Ento:a) A = 6 b) B = 5 c) C = 4 d) D = 3 e) E = 2

GABARITO:

1) a) (3; 2) c) (7; 2) e) (3; -1) g) (2; -1)b) (5; 1) d) (4; 3) f) (2; -2) h) (6; 1)

2) 53 e 323) 15 e 184) 13 perguntas5) 15/236) 13 galinhas e 17 coelhos7) 368) 6 cobras, 5 sapos, 3 morcegos (e 1 Coelho o Paulo Coelho)9) O primeiro 15, o segundo 25 e o terceiro 45.10) Jos Antnio tem 28 anos e Antnio Jos tem 21 anos.11) x = 22, y = 24 e z = 8.12) O projeto B: $ 225,0013) $ 2.816,0014) A: 1 kg; B: 2 kg e C: 2 kg.

{

15) c16) d17) b18) d19) c20 d

PROBABILIDADES

1 IntroduoChama-se experimento aleatrio quele cujo resultado imprevisvel, porm pertence

necessariamente a um conjunto de resultados possveis denominado espao amostral.Qualquer subconjunto desse espao amostral denominado evento.

Se este subconjunto possuir apenas um elemento, o denominamos evento elementar.Por exemplo, no lanamento de um dado, o nosso espao amostral seria U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Exemplos de eventos no espao amostral U:A: sair nmero maior do que 4: A = {5, 6}B: sair um nmero primo e par: B = {2}C: sair um nmero mpar: C = {1, 3, 5}Nota: O espao amostral tambm denominado espao de prova.

Trataremos aqui dos espaos amostrais equiprovveis, ou seja, aqueles onde os eventoselementares possuem a mesma chance de ocorrerem.

Por exemplo, no lanamento do dado acima, supe-se que sendo o dado perfeito, as chancesde sair qualquer nmero de 1 a 6 so iguais. Temos ento um espao equiprovvel.

Em oposio aos fenmenos aleatrios, existem os fenmenos determinsticos, que soaqueles cujos resultados so previsveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos.

Normalmente existem diversas possibilidades possveis de ocorrncia de um fenmenoaleatrio, sendo a medida numrica da ocorrncia de cada uma dessas possibilidades, denominadaProbabilidade.

Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada,teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que ser muito maisfreqente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando da, podermos afirmar que o evento "sairbola azul" tem maior probabilidade de ocorrer, do que o evento "sair bola branca".

2 Conceito elementar de ProbabilidadeSeja U um espao amostral finito e equiprovvel e A um determinado evento ou seja, um

subconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrncia do evento A ser calculada pela frmulap(A) = n(A) / n(U)onde:n(A) = nmero de elementos de A e n(U) = nmero de elementos do espao de prova U.

Vamos utilizar a frmula simples acima, para resolver os seguintes exerccios introdutrios:

1.1 - Considere o lanamento de um dado. Calcule a probabilidade de:a) sair o nmero 3:Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade procurada serigual a p(A) = 1/6.

b) sair um nmero par: agora o evento A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procuradaser p(A) = 3/6 = 1/2.

c) sair um mltiplo de 3: agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procuradaser p(A) = 2/6 = 1/3.

d) sair um nmero menor do que 3: agora, o evento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6= 1/3.

e) sair um quadrado perfeito: agora o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3.

1.2 - Considere o lanamento de dois dados. Calcule a probabilidade de:a) sair a soma 8Observe que neste caso, o espao amostral U constitudo pelos pares ordenados (i,j), onde i =nmero no dado 1 e j = nmero no dado 2. evidente que teremos 36 pares ordenados possveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmoocorrendo com j.As somas iguais a 8, ocorrero nos casos:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) e (6,2). Portanto, o evento "soma iguala 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada ser igual a p(A) = 5/36.

b) sair a soma 12Neste caso, a nica possibilidade o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada ser igual a p(A) =1/36.

1.3 Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola comreposio, calcule as probabilidades seguintes:a) sair bola azulp(A) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30%

b) sair bola vermelhap(A) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50%

c) sair bola amarelap(A) = 4/20 = 1/5 = 0,20 = 20%

Vemos no exemplo acima, que as probabilidades podem ser expressas como porcentagem.Esta forma conveniente, pois permite a estimativa do nmero de ocorrncias para um nmeroelevado de experimentos. Por exemplo, se o experimento acima for repetido diversas vezes, podemosafirmar que em aproximadamente 30% dos casos, sair bola azul, 50% dos casos sair bola vermelhae 20% dos casos sair bola amarela. Quanto maior a quantidade de experimentos, tanto mais adistribuio do nmero de ocorrncias se aproximar dos percentuais indicados.

3 PropriedadesP1: A probabilidade do evento impossvel nula.Com efeito, sendo o evento impossvel o conjunto vazio (), teremos:p() = n()/n(U) = 0/n(U) = 0Por exemplo, se numa urna s existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma bola verde(evento impossvel, neste caso) nula.

P2: A probabilidade do evento certo igual a unidade.Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1Por exemplo, se numa urna s existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bolavermelha (evento certo, neste caso) igual a 1.

P3: A probabilidade de um evento qualquer um nmero real situado no intervalo real [0, 1].Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima.

P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar igual a unidade.Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A' = U.n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U).Dividindo ambos os membros por n(U), vem:n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:p(A) + p(A') = 1

Nota: esta propriedade simples, muito importante pois facilita a soluo de muitos problemasaparentemente complicados. Em muitos casos, mais fcil calcular a probabilidade do eventocomplementar e, pela propriedade acima, fica fcil determinar a probabilidade do evento.

P5: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:

p(A U B) = p(A) + p(B) p(A B)

Observe que se A B= (ou seja, a interseo entre os conjuntos A e B o conjunto vazio), entop(A U B) = p(A) + p(B).

Com efeito, j sabemos da Teoria dos Conjuntos que

n(A U B) = n(A) + n(B) n(A B)

Dividindo ambos os membros por n(U) e aplicando a definio de probabilidade, conclumosrapidamente a veracidade da frmula acima.

Exemplo:Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas so assinantes dojornal J, 4000 so assinantes de P, 1200 so assinantes de ambos e 800 no lem jornal. Qual aprobabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais?SOLUO:Precisamos calcular o nmero de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espao amostral.Teremos:n(U) = N(J U P) + N. de pessoas que no lem jornais.

n(U) = n(J) + N(P) N(J P) + 800n(U) = 5000 + 4000 1200 + 800n(U) = 8600Portanto, a probabilidade procurada ser igual a:p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43.Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.

A interpretao do resultado a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, aprobabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais de aproximadamente 14%.(contra 86%de probabilidade de no ser).

4 Probabilidade condicionalConsidere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrncia de um evento A, sabendo-se

de antemo que ocorreu um certo evento B. Pela definio de probabilidade vista anteriormente,sabemos que a probabilidade de A dever ser calculada, dividindo-se o nmero de elementos deelementos de A que tambm pertencem a B, pelo nmero de elementos de B. A probabilidade deocorrer A, sabendo-se que j ocorreu B, denominada Probabilidade condicional e indicada porp(A/B) probabilidade de ocorrer A sabendo-se que j ocorreu B da, o nome de probabilidadecondicional.Teremos ento:

p(A/B) = n(A B)/ n(B)

onde A B = interseo dos conjuntos A e B.

Esta frmula importante, mas pode ser melhorada. Vejamos:Ora, a expresso acima, pode ser escrita sem nenhum prejuzo da elegncia, nem do rigor, como:

p(A/B) = [n(A B)/n(U)] . [n(U)/n(B)]

p(A/B) = p(A B) . 1/p(B)

Vem, ento: P(A/B) = p(A B)/p(B), de onde conclumos finalmente:

p(A B) = p(A/B).p(B)Esta frmula denominada Lei das Probabilidades Compostas.Esta importante frmula, permite calcular a probabilidade da ocorrncia simultnea dos eventos A e B,sabendo-se que j ocorreu o evento B.Se a ocorrncia do evento B, no mudar a probabilidade da ocorrncia do evento A, ento p(A/B) =p(A) e, neste caso, os eventos so ditos independentes, e a frmula acima fica:

p(A B) = p(A) . p(B)Podemos ento afirmar, que a probabilidade de ocorrncia simultnea de eventos independentes, igual ao produto das probabilidades dos eventos considerados.

Exemplo:Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas.Calcule as probabilidades de:a) em duas retiradas, sem reposio da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depoisuma bola branca (B).Soluo:p(V B) = p(V) . p(B/V)p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7).Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada, ficaram 6 bolas na urna. Logo:p(B/V) = 2/6 = 1/3Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente que:

P(V B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8%

b) em duas retiradas, com reposio da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois umabola branca.Soluo:Com a reposio da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso, aprobabilidade buscada poder ser calculada como:

P(V B) = p(V) . p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41%Observe atentamente a diferena entre as solues dos itens (a) e (b) acima, para um entendimentoperfeito daquilo que procuramos transmitir.

Vimos que num espao amostral U, finito e equiprovvel, a probabilidade de ocorrncia de um eventoA dada por:

onde n(A) = n. de elementos de A e n(U) = n. de elementos de U.

)()()(

UnAnAp =

Sabe-se que p(A) um nmero real que pode assumir valores de 0 a 1, sendo p(A) = 0, aprobabilidade de um evento impossvel (conjunto vazio) e p(A) = 1, a probabilidade de um evento certo(conjunto universo).

J sabemos tambm que definido um evento A, podemos considerar o seu eventocomplementar

A = {x U; x A}.Alm disto, vimos que p(A) = 1 p(A).Vejamos um exemplo de aplicao imediata das frmulas acima:Ao sortear ao acaso um dos nmeros naturais menores que 100, qual a probabilidade do nmerosorteado ser menor do que 30?Ora, neste caso, o nosso espao amostral : U = {0,1,2,3, ... , 99}.O evento A igual a: A ={0,1,2,3, ... , 29}.O evento complementar de A igual a: A= {30,31,32, ... , 99}.Temos que: n(U) = 100, n(A) = 30 e n(A) = 70.Portanto:p(A) = 30/100 = 0,30 = 30%p(A) = 70/100 = 0,70 = 70%

Vemos que p(A) + p(A) = 0,30 + 0,70 = 1, o que confirma que a probabilidade de um evento somada probabilidade do seu evento complementar, igual unidade.Vimos tambm que, sendo A e B dois eventos do espao amostral U, podemos escrever:

p(A B) = p(A) + p(B) p(A B)

Vejamos um exemplo de aplicao da frmula supra:No lanamento de um dado, determine a probabilidade de se obter um nmero mpar ou mais de 4pontos na face de cima.Ora, neste caso, teremos:Espao amostral: U = {1,2,3,4,5,6} \ n(U) = 6Evento A: A = {1,3,5} \ n(A) = 3Evento B: B = {5,6} \ n(B) = 2

Evento interseo: A B = {5} \ n(A B) = 1

Ento, vem: p(A B) = 3/6 + 2/6 1/6 = 4/6 = 2/3 = 0,6667 = 66,67%.

NOTA: Se A B = f , ento dizemos que A e B so eventos mutuamente exclusivos, e, neste caso,p(A B) = p(A) + p(B), j que p() = 0 [evento impossvel].

Vejamos um exemplo ilustrativo do caso acima:

Suponha que no lanamento de um dado, deseja-se saber qual a probabilidade de se obter um nmeropar ou um nmero menor do que 2.Temos os seguintes eventos:

A = {2,4,6} n(A) = 3

B = {1} n(B) = 1

A B = n(A B) = 0Portanto, p(A B) = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3 = 0,6667 = 66,67%Vimos tambm que a probabilidade de ocorrncia simultnea de dois eventos A e B dada por:

p(A B) = p(A) . p(B/A) ou p(A B) = p(B) . p(A/B)onde:p(A/B) = probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que ocorreu o evento B.

p(B/A) = probabilidade de ocorrer B, sabendo-se que ocorreu o evento A.

Se a ocorrncia do evento B no modifica a chance de ocorrer o evento A, diremos que os eventos A eB so INDEPENDENTES e, neste caso, teremos que p(B/A) = p(B), e a frmula resume-se a:p(A B) = p(A).p(B)O exemplo ilustrativo a seguir, ajudar a entender a afirmao supra:Qual a probabilidade de em dois lanamentos de um dado, se obter nmero par no primeiro e nmerompar no segundo?Ora, os eventos so obviamente independentes, pois a ocorrncia de um no afeta o outro.Logo, teremos:p(A B) = p(A).p(B) = 3/6 . 3/6 = 1/2.1/2 = 1/4 = 0,25 = 25%.

Vejamos agora, um exemplo de eventos dependentes:Suponha que uma caixa possui duas bolas pretas e quatro verdes, e, outra caixa possui uma bola pretae trs bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira caixa para a segunda, e retira-se uma bola dasegunda caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada da segunda caixa seja verde?Este problema envolve dois eventos mutuamente exclusivos, quais sejam:Ou a bola transferida verde ou a bola transferida preta.Ora, teremos: (observe atentamente a simbologia utilizada, comparando com o que foi ditoanteriormente).

1 possibilidade: a bola transferida verde:Probabilidade de que a bola transferida seja verde = p(V) = 4/6 = 2/3(4 bolas verdes em 6).Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE na 2 caixa, supondo-se que a bola transferida decor VERDE, ser igual a:P(V/V) = 4/5 (a segunda caixa possui agora, 3 bolas verdes + 1 bola verde transferida + 1 bola preta,portanto, 4 bolas verdes em 5).Pela regra da probabilidade condicional, vem:

P(V V) = p(V) . p(V/V) = 2/3 . 4/5 = 8/15

2 possibilidade: a bola transferida preta:Probabilidade de que a bola transferida seja preta = p(P) = 2/6 = 1/3(2 bolas pretas e 4 verdes, num total de 6).Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE, supondo-se que a bola transferida de cor PRETA,ser igual a:P(V/P) = 3/5 (observe que a segunda caixa possui agora, 1 bola preta + 3 bolas verdes + 1 bola pretatransferida = 5 bolas).Da, vem:

p(V P) = p(P) . p(V/P) = 1/3 . 3/5 = 1/5.Finalmente vem:

P[(V V) (V P)] = p(V V) + p(V P) = 8/15 + 1/5 = 8/15 + 3/15 = 11/15, que a resposta doproblema.Mas 11/15 = 0,7333 = 73,33%Portanto, a probabilidade de que saia uma bola verde de 73,33%.

Uma interpretao vlida para o problema acima que se o experimento descrito for repetido 100vezes, em aproximadamente 73 vezes ser obtido bola verde. Se o experimento for repetido 1000vezes, em aproximadamente 733 vezes ser obtido bola verde; e se o experimento for repetido ummilho de vezes?Resposta: obteremos bola verde em aproximadamente 7333 vezes. Perceberam?

Agora, resolva este:Uma caixa contm trs bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui duas bolas vermelhas etrs bolas brancas. Considerando-se que uma bola transferida da primeira caixa para a segunda, eque uma bola retirada da segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade de que a bola retiradaseja da cor vermelha :a) 18/75b) 19/45c) 19/48d) 18/45e) 19/75Resposta: C

Obs: 19/48 = 39,58%, ou seja, em 10.000 experimentos, seriam obtidos aproximadamente 3958 bolasbrancas. Em 100 experimentos? Claro que teramos aproximadamente 39 bolas brancas.

EXERCCIOS RESOLVIDOS DE PROBABILIDADES1 Uma urna possui trs bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas bolas azuis devem sercolocadas nessa urna, de modo que retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade dela ser azul sejaigual a 2/3?SOLUO:

Seja x o nmero de bolas azuis a serem colocadas na urna. O espao amostral possuir, neste caso, 3+ 5 + x = x + 8 bolas.Pela definio de probabilidade vista nas aulas anteriores, a probabilidade de que uma bola retirada aoacaso seja da cor azul ser dada por: x/(x+8). Mas, o problema diz que a probabilidade deve ser igual a2/3.Logo, vem: x/(x+8) = 2/3; da, vem, resolvendo a equao do 1 grau:3x = 2(x+8) , donde 3x = 2x + 16 e, finalmente vem que x = 16.

Resp: 16 bolas azuis.

2 Considere uma urna que contm uma bola preta, quatro bolas brancas e x bolas azuis. Uma bola retirada ao acaso dessa urna, a sua cor observada e a bola devolvida urna. Em seguida, retira-senovamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Para que valores de x a probabilidade de que as bolassejam da mesma cor vale 1/2?SOLUO:O espao amostral do experimento possui n(U) = 1 + 4 + x = x + 5 bolas.Vamos considerar as trs situaes distintas possveis:A. as bolas retiradas so ambas da cor preta.Como existe reposio da bola retirada, os eventos so independentes. Logo, a probabilidade que saiauma bola preta (P) e em seguida outra bola preta (P) ser dada por:p(P P) = p(P).p(P) =[1/(x+5)].[1/(x+5)] = 1/(x+5)2

B. as bolas retiradas so ambas da cor branca.Usando o mesmo raciocnio anterior e considerando-se que os eventos so independentes (pois ocorrea reposio da bola retirada), teremos:

P(B B) = p(B) . p(B) = [4/(x+5)].[4/(x+5)] = 16/(x+5)2

C. as bolas retiradas so ambas da cor azul.Analogamente, vem:p(A A) = p(A) . p(A) = [x/(x+5)].[x/(x+5)] = x2/(x+5)2

Estes trs eventos so INDEPENDENTES pois com a reposio da bola retirada a ocorrncia deum deles, no modifica as chances de ocorrncia do outro. Logo, a probabilidade da unio desses trseventos, ser igual a soma das probabilidades individuais. Da, pelos dados do problema, vem que:

[1/(x+5)2] + [16/(x+5)2] + [x2/(x+5)2 ]= Vamos resolver esta equao do 2 grau:(1+16+x2)/(x+5)2 = 1 /22(17+x2) = 1. (x+5)2

34 + 2x2 = x2 + 10x + 25x2 10x + 9 = 0, de onde conclumos x=1 ou x=9.

Resp: x=1 ou x=9.Nota: as questes 1 e 2 acima, compareceram no vestibular da FUVEST 1995 segunda fase,subdivididas em dois tens (a) e (b) da questo de nmero 08.

3 Uma mquina produziu 60 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Escolhendo-se ao acaso doisparafusos dessa amostra, qual a probabilidade de que os dois sejam perfeitos?SOLUO:Existem problemas de Probabilidades nos quais a contagem do nmero de elementos do espaoamostral U no pode ser feita diretamente. Teremos que recorrer Anlise Combinatria, para facilitara soluo.Para determinar o nmero de elementos do nosso espao amostral U, teremos que calcular quantosgrupamentos de 2 parafusos poderemos obter com os 60 parafusos da amostra. Trata-se de um tpicoproblema de Combinaes simples, j visto em Anlise Combinatria. Teremos ento:n(U) = C60,2 = 60!/(58!.2!) = 60.59.58!/58!.1.2 = 30.59Considerando-se o evento E: os dois parafusos retirados so perfeitos, vem que:60 parafusos 5 defeituosos = 55 parafusos perfeitos.Teremos ento que o nmero de possibilidades desse evento ser dado por:n(E) = C55,2 = 55!/53!.2! = 55.54.53!/53!.1.2 = 55.27Logo, a probabilidade de ocorrencia do evento E ser igual a:p(E) = n(E)/n(U) = 55.27/30.59 = 1485/1770 = 0,838983 = 83,8983%Resp: aproximadamente 84%.A interpretao deste resultado que se o experimento for repetido 100 vezes, obteremosaproximadamente em 84 vezes, dois parafusos perfeitos.

Agora resolva as seguintes questes:Q1) Uma mquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando-se ao acaso, 3parafusos dessa amostra, determine a probabilidade de que os 3 parafusos sejam defeituosos.Resp: aproximadamente 0,05%

Q2) Em relao questo anterior, determine a probabilidade de numa retirada de 3 parafusos aoacaso, saiam pelo menos dois parafusos defeituosos.Resp: aproximadamente 2,30%Observao: pelo menos 2 defeituosos = 2 defeituosos ou 3 defeituosos.

Q3) FEI-SP Uma urna contm 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas semreposio. Qual a probabilidade de as duas primeira serem pretas e a terceira vermelha?Resp: 5/34 ou aproximadamente 14,7%

Q4) FMU-SP Uma urna contm 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela so retiradas duas bolas, umaaps a outra, sem reposio; a primeira bola retirada de cor preta; Qual a probabilidade de que asegu