Raciocinio Logico Quantitativo p Dnit Nivel Medio Aula 00 Tecnico Dnit 2012-00-20356

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Raciocinio Logico

Citation preview

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1 de 65

    AULA 00: Lgica: parte 1

    1. APRESENTAO .............................................................................................................................. 2

    2. CRONOGRAMA DO CURSO ............................................................................................................. 3

    3. PROPOSIES.................................................................................................................................. 4

    4. CONECTIVOS LGICOS .................................................................................................................... 6

    5. TABELA VERDADE DAS PROPOSIES COMPOSTAS ....................................................................... 9

    6. CONDIO NECESSRIA E SUFICIENTE ......................................................................................... 28

    7. TAUTOLOGIA, CONTRADIO E CONTINGNCIA .......................................................................... 29

    8. EQUIVALNCIAS LGICAS ............................................................................................................. 33

    9. RESUMO ...................................................................................................................................... 55

    10. VOC NO PODE IR PARA PROVA SEM SABER.......................................................................... 56

    11. QUESTES APRESENTADAS EM AULA....................................................................................... 57

    12. GABARITO ................................................................................................................................. 62

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 2 de 65

    1. APRESENTAO

    Ol pessoal!

    Meu nome Vtor Menezes, sou Auditor Federal de Controle Externo do Tribunal de Contas da Unio (turma de 2006), lotado na Secretaria de Controle Externo do TCU em So Paulo.

    Antes de tudo sou um apaixonado por matemtica, que certamente a cincia mais importante do mundo. O resto bobagem

    Ainda falando um pouquinho de mim. Sou formado em engenharia eletrnica pelo Instituto Tecnolgico de Aeronutica (ITA). Logo na faculdade percebi que meu negcio era fazer concurso, e sa da graduao direto para meu primeiro cargo: Auditor Fiscal do ICMS de Minas Gerais. L fiquei durante 1 ano e meio, e vim parar no cargo que hoje ocupo, no Tribunal de Contas.

    Dou aulas para concursos pblicos desde 2005, sempre na rea de exatas. Hoje tenho a felicidade de ser professor do Estratgia Concursos, o melhor curso em pdf do Brasil.

    Tambm sou professor do excelente site de vdeo-aulas Eu Vou Passar.

    Por ltimo, mas no menos importante: sou professor do Tec Concursos, o melhor site de questes do pas. A propsito, a ferramenta se enquadra perfeitamente como complemento para qualquer curso que voc fizer. S de Raciocnio Lgico so mais de 1.300 questes comentadas (sendo que este professor que vos fala comentou 1135 destas questes). Das 1300, so 308 s de Esaf.

    Bom, chega de falar do prof e vamos falar do curso.

    O edital do DNIT t na praa. A prova em 20/01 e, apesar de eu achar que matemtica a coisa mais importante do mundo, infelizmente o edital no concordou comigo: so apenas 5 questes com peso 1.

    Ento teremos um curso objetivo, para voc ter mais tempo de se dedicar s matrias com peso maior. No ser possvel um curso to curto quanto eu gostaria (sempre com o objetivo de te poupar tempo), pois o edital muito extenso. Mas faremos um trabalho criterioso para balancear contedo e objetividade.

    Ento, ao longo do curso, vou chamando a ateno para os tpicos mais importantes. Ao final da aula sempre ter um resuminho com aquilo que voc tem que ter na ponta da lngua para o dia da prova. Isso facilitar a reviso de ltima hora (no d para ficar sem ela e, acreditem, ajuda que uma beleza).

    O edital o seguinte:

    1. Estruturas lgicas. 2. Lgica de argumentao: analogias, inferncias, dedues e concluses. 3. Lgica sentencial (ou proposicional): proposies simples e compostas; tabelas-verdade; equivalncias; leis de De Morgan; diagramas lgicos. 4. Lgica de primeira ordem. 5. Princpios de contagem e probabilidade. 6. Operaes com conjuntos. 7. Raciocnio lgico envolvendo problemas aritmticos, geomtricos e matriciais.

    Vamos ao cronograma do curso:

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 3 de 65

    2. CRONOGRAMA DO CURSO

    Aula Data Contedo Tpicos do edital

    0 Disponvel Proposies, conectivos lgicos, equivalncias lgicas

    1. Estruturas Lgicas. 3. Lgica sentencial (ou proposicional): proposies simples e compostas; tabelas-verdade; equivalncias; leis de De Morgan;

    1 12/11/2012 Lgica de argumentao. Diagramas lgicos. Lgica dos quantificadores

    2. Lgica de argumentao: analogias, inferncias, dedues e concluses. Diagramas lgicos (tpico 3). 4. Lgica de primeira ordem.

    2 19/11/2012 Outros problemas de lgica: associao de informaes, verdade/mentira.

    Vem no pacote, quando a Esaf menciona tpicos de lgica

    3 26/11/2012 Nmeros e grandezas proporcionais; razo e proporo; diviso proporcional; regra de trs simples e composta; porcentagem. Conjuntos

    No consta do edital mas depois do ATA-MF/2009, em que a Esaf cobrou isso sem constar do edital, sempre abordo em meus cursos de RLQ para Esaf. Mas no deixa de ter relao com problemas aritmticos (tpico 7) 6. Operaes com conjuntos.

    4 3/12/2012 Problemas aritmticos, geomtricos e matriciais

    7. Raciocnio lgico envolvendo problemas aritmticos, geomtricos e matriciais.

    5 17/12/2012 Anlise combinatria e probabilidade

    5. Princpios de contagem e probabilidade

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 4 de 65

    3. PROPOSIES

    Para resolver as questes, voc precisa saber que uma proposio tudo aquilo que podemos julgar em verdadeiro ou falso.

    O exemplo mais comum uma frase declarativa.

    Exemplo:

    A seleo brasileira de futebol pentacampe mundial.

    D para julgar em V ou F? Sim, certamente. Ento proposio. Sabemos que esta proposio verdadeira.

    Outra coisa importante: uma proposio s pode ser julgada em verdadeiro ou falso. No tem uma terceira opo!

    E uma proposio ser s verdadeira ou s falsa (no d para ser verdadeiro e falso ao mesmo tempo).

    Exemplo:

    A lei Eusbio de Queirs foi assinada em 1850.

    A gente at pode no saber se a lei Eusbio de Queirs foi assinada mesmo em 1850 ou no. Concorda?

    Agora, o simples fato de no sabermos isso, no nos impede de afirmar que estamos diante de uma proposio.

    Por qu?

    Porque possvel julg-la em verdadeiro ou falso.

    Ou verdade que a lei Eusbio de Queirs foi assinada em 1850 (proposio verdadeira), ou falso que a lei foi assinada naquele ano (proposio falsa).

    No tem outra opo: ou isso verdadeiro ou falso.

    E mais: no podemos ter as duas situaes simultaneamente.

    impossvel que a lei tenha sido assinada em 1850 e, alm disso, no tenha sido assinada em 1850.

    Acima vimos o que uma proposio. Agora precisamos tambm saber aquilo que no proposio.

    No so proposies as perguntas, exclamaes, pedidos, ordens, desejos, opinies, pois tudo isso no pode ser julgado em V ou F.

    Exemplo:

    Que horas so?

    Isso uma pergunta, s pode ser respondida. No d para julgar em V ou F.

    O mesmo vale para uma ordem. Exemplo:

    Saia do meu quarto!

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 5 de 65

    Essa ordem voc no julga em V ou F. Uma ordem s pode ser obedecida ou desobedecida, mas no julgada.

    O mesmo vale para tudo o que mencionamos acima: exclamaes, desejos, opinies, conselhos, pedidos etc.

    Tambm no proposio a frase que contenha uma varivel. Frases com variveis so ditas sentenas abertas. Estudaremos isso com mais detalhe na prxima aula.

    Exemplo:

    5 = 0

    No d para julgar esta sentena em verdadeiro ou falso, simplesmente porque no possvel descobrir o valor de x. Se x valer 5, de fato, 5 = 0.

    Caso contrrio, se x for diferente de 5, a igualdade acima est errada.

    x uma varivel, pode assumir inmeros valores. Sendo varivel, temos ento uma sentena aberta. Logo, no proposio.

    Aqui cabe uma observao: possvel transformar uma sentena aberta em proposio, utilizando os quantificadores. Falaremos disso na prxima aula.

    No so proposies: perguntas, exclamaes, pedidos, ordens, sentenas abertas (aquelas com variveis), expresses de sentimento/desejo/opinio, enfim, tudo o que no for possvel julgar em V ou F.

    Como a Esaf no cobra esta parte da matria, vamos ver uma nica questo de outra banca, s para ver como cai em prova. Depois j mudamos de assunto, para poupar vosso tempo.

    Questo 1 FINEP 2009 [CESPE]

    Acerca de proposies, considere as seguintes frases:

    I Os Fundos Setoriais de Cincia e Tecnologia so instrumentos de financiamento de projetos.

    II O que o CT-Amaznia?

    III Preste ateno ao edital!

    IV Se o projeto for de cooperao universidade-empresa, ento podem ser pleiteados recursos do fundo setorial verde-amarelo.

    So proposies apenas as frases correspondentes aos itens

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 6 de 65

    a) I e IV.

    b) II e III.

    c) III e IV.

    d) I, II e III.

    e) I, II e IV.

    Resoluo.

    A frase II uma pergunta, no podendo ser julgada em V ou F.

    A frase III uma ordem, que tambm no proposio.

    Logo, so proposies as frases I e IV.

    Gabarito: A

    4. CONECTIVOS LGICOS

    Uma proposio simples aquela que no pode ser dividida em proposies menores.

    Exemplo:

    P: Pedro alto

    A proposio Pedro alto, simbolizada pela letra P, uma proposio simples.

    Outro exemplo:

    Q: Pedro rico

    A proposio Pedro rico, simbolizada pela letra Q, outra proposio simples.

    Quando juntamos duas ou mais proposies simples, formamos uma proposio composta.

    R: Pedro alto e Pedro rico.

    Para juntar as proposies simples, usamos os conectivos lgicos. Acima, utilizamos o conectivo e.

    So cinco conectivos. Cada um tem um nome e um smbolo.

    Para a prova da Esaf, voc no precisa saber nem o nome, e nem o smbolo. Basta saber que os conectivos so:

    e

    ou

    se... ento

    ou... ou

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 7 de 65

    se, e somente se

    A Esaf no cobra o mero reconhecimento dos conectivos lgicos aplicveis.

    Contudo, seria muito difcil dar aula de lgica sem recorrermos aos smbolos dos conectivos. Ento, mesmo no sendo exigido pela Esaf, peo que vocs dem uma olhada no quadro da seo seguinte.

    Conectivo Nome Smbolo

    e Conjuno

    ou Disjuno

    se... ento Condicional

    se, e somente se Bicondicional

    ou... ou Disjuno exclusiva

    Alm disso, importante saber que existe a negao, cujos possveis smbolos so:

    Negao ~

    De todo modo, mesmo que seu enfoque seja Esaf, peo que guarde esses smbolos, porque seria difcil dar aula de lgica sem utiliz-los.

    Tem gente que tem dificuldade de diferenciar os smbolos do e e do ou.

    Bom, a dica a seguinte. Observem a letra e, escrita l no caderno de caligrafia (lembram dele?):

    Observem a letra e. Ela parece mais com qual dos smbolos???

    Ento o conectivo e tem como smbolo .

    isso.

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 8 de 65

    Como j falei, a Esaf no cobra o simples conhecimento dos conectivos.

    S para no passar batido, um exerccio do CESPE:

    Questo 2 STF 2008 [CESPE]

    Considere as seguintes proposies lgicas representadas pelas letras P, Q, R e S:

    P: Nesse pas o direito respeitado.

    Q: O pas prspero.

    R: O cidado se sente seguro.

    S: Todos os trabalhadores tm emprego.

    Considere tambm que os smbolos , , e representem os conectivos lgicos ou, e, se ... ento e no, respectivamente.

    Com base nessas informaes, julgue os itens seguintes.

    1. A proposio Nesse pas o direito respeitado, mas o cidado no se sente seguro pode ser representada simbolicamente por (~)

    2. A proposio Se o pas prspero, ento todos os trabalhadores tm emprego pode ser representada simbolicamente por .

    3. A proposio O pas ser prspero e todos os trabalhadores terem emprego uma conseqncia de, nesse pas, o direito ser respeitado pode ser representada simbolicamente por ( )

    Resoluo.

    Primeiro item.

    Temos:

    Nesse pas o direito respeitado, mas o cidado no se sente seguro

    Vamos colocar parntesis para delimitar as proposies simples:

    (Nesse pas o direito respeitado), mas (o cidado no se sente seguro)

    As duas parcelas so unidas pela palavrinha mas, que acrescenta uma informao. Ela tem um papel anlogo ao do e. como se afirmssemos que o direito respeitado e o cidado no se sente seguro.

    Alm disso, vemos que a segunda parcela apresenta uma negao.

    Portanto, a proposio mencionada pode ser representada por:

    (~)

    Item certo

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 9 de 65

    Segundo item.

    A sentena :

    Se (o pas prspero), ento (todos os trabalhadores tm emprego).

    Em smbolos:

    Item certo

    Terceiro item.

    A proposio :

    O pas ser prspero e todos os trabalhadores terem emprego uma conseqncia de, nesse pas, o direito ser respeitado.

    Vamos usar parntesis para delimitar as proposies simples:

    ((O pas ser prspero) e (todos os trabalhadores terem emprego)) uma conseqncia de, (nesse pas, o direito ser respeitado).

    A expresso uma conseqncia, remete ao condicional (se... ento).

    Podemos reescrever a frase assim:

    Se (nesse pas, o direito respeitado), ento ((o pas prspero) e (todos os trabalhadores tm emprego)).

    Em smbolos, ficamos com:

    ( )

    No foi essa a simbologia indicada pelo enunciado. Item errado.

    Gabarito: certo, certo, errado

    Como Esaf no cobra isso, j vamos mudando de assunto! Afinal, o tempo de vocs precioso.

    5. TABELA VERDADE DAS PROPOSIES COMPOSTAS

    A tabela verdade uma tabela em que combinamos todas as possibilidades das proposies simples para ver quais so os resultados das proposies compostas.

    A tabela verdade do conectivo e a seguinte:

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 10 de 65

    P Q P e Q

    V V V

    V F F

    F V F

    F F F

    O que isto significa?

    Significa que, quando P for verdadeiro e Q tambm for verdadeiro, a proposio composta P e Q tambm ser verdadeira (ver linha 1 da tabela).

    Quando P for verdadeiro e Q for falso, a proposio composta P e Q ser falsa (linha 2 da tabela).

    Quando P for falso e Q for verdadeiro, a proposio composta ser falsa (linha 3).

    Finalmente, se P e Q forem falsos, a proposio composta ser falsa (linha 4).

    Pronto. Isso uma tabela verdade.

    Para os demais conectivos, as tabelas verdade esto abaixo indicadas.

    Tabela verdade do conectivo ou:

    P Q P ou Q

    V V V

    V F V

    F V V

    F F F

    Tabela verdade do conectivo se, ento:

    P Q se P, ento Q

    V V V

    V F F

    F V V

    F F V

    Para resolver os exerccios, voc ainda precisa saber que, no condicional se P, ento Q, as proposies simples recebem nomes especiais.

    P o antecedente.

    Q o conseqente.

    Tabela verdade do conectivo se, e somente se:

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 11 de 65

    P Q P, se e somente se, Q

    V V V

    V F F

    F V F

    F F V

    Tabela verdade do conectivo ou... ou

    P Q ou P ou Q

    V V F

    V F V

    F V V

    F F F

    Pronto. Para resolver os exerccios de concursos, s decorar as tabelas acima.

    Eu no vou passar nenhuma regrinha, nenhum macete de como decorar tudo. Neste caso, acho que muito mais proveitoso, em vez de simplesmente decorar tudo, tentar entender a ideia por trs de cada conectivo. Para tanto, eu vou colocar exemplos que dispensam a tabela verdade, ok?

    Ah, mais uma coisa. Para resolver os exerccios, voc tambm precisa saber a ordem de precedncia dos conectivos. Mas eu vou deixar para falar disso direto no exerccio (ver Questo 3, pgina 23)

    Para entendermos a ideia de cada conectivo, vamos a alguns exemplos.

    Exemplo 1:

    Joo vai viajar. Antes de pegar a estrada, passou na oficina para que fosse feita uma reviso nos freios e na suspenso de seu carro.

    No dia seguinte, Joo vai oficina buscar seu carro. Em cada uma das situaes abaixo, como Joo classificaria o atendimento da oficina?

    a) foram checados os freios e a suspenso

    b) foram checados s os freios; a suspenso no foi checada

    c) foi checada s a suspenso; os freios no foram checados

    d) no foi checada a suspenso; os freios tambm no foram checados

    Resoluo:

    O que Joo quer realizar uma viagem segura. Ele s estar seguro se os dois itens mencionados forem checados. No adianta nada estar com os freios bons e a suspenso ruim. Joo continuar correndo risco de acidente. Da mesma forma, no seguro ele viajar com a suspenso em ordem se os freios no estiverem ok.

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 12 de 65

    Deste modo, a nica situao em que Joo vai aprovar o atendimento da oficina ser na letra a, em que os dois itens so checados. Em qualquer outra hiptese, o atendimento ter sido falho.

    Joo s estar satisfeito com o atendimento quando os dois itens forem checados (suspenso e freios). Ele s estar satisfeito com o atendimento quando for checado o freio e tambm for checada a suspenso.

    Analogamente, uma proposio com o conectivo e s ser verdadeira quando todas as suas parcelas forem verdadeiras. Ou ainda, quando todos os seus termos forem verdadeiros.

    Da d at para entender o nome do conectivo. A proposio composta s ser verdadeira se suas parcelas forem conjuntamente verdadeiras.

    Existe apenas uma situao em que a proposio composta pelo conectivo e verdadeira: quando todas as proposies simples so verdadeiras.

    Exemplo 2:

    Hoje feriado e Maria quer fazer um almoo especial. Para tanto, incumbiu Jos, seu marido, de ir comprar a mistura.

    Como eles moram numa cidade pequena, Maria sabe que muitos estabelecimentos comerciais estaro fechados (ou seja, Jos pode ter dificuldades para cumprir sua misso).

    Por isso ela deixou opes para ele: Jos pode comprar carne ou peixe.

    Em cada uma das situaes abaixo, como Maria avaliaria o cumprimento da tarefa de Jos?

    a) Jos comprou a carne, mas no comprou o peixe.

    b) Jos comprou o peixe, mas no comprou a carne.

    c) Jos comprou a carne e o peixe.

    d) Jos no comprou nem carne nem peixe.

    Resoluo:

    A ideia de Maria ter algo pra fazer de almoo. Se o Jos comprar qualquer um dos dois itens (peixe ou carne), ter cumprido sua tarefa com xito e Maria poder fazer o almoo.

    Assim, nas letras a e b, Maria ficar satisfeita com Jos, tendo em vista que ele comprou pelo menos uma das duas opes de mistura. O almoo estar garantido.

    Na letra c Jos teve, igualmente, xito. Comprou ambos: peixe e carne. Maria no s poder fazer o almoo de hoje como tambm j poder planejar o almoo do dia seguinte.

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 13 de 65

    S na letra d que Maria ficar insatisfeita com seu marido. Na letra d, Jos voltou para casa de mos abanando. Jos voltou sem nada e o almoo ficou prejudicado.

    Neste exemplo, Jos precisava comprar a carne ou o peixe. Isto significa que ele precisava comprar pelo menos um dos dois. Poderia ser s a carne, s o peixe, ou ambos, carne e peixe.

    A nica situao em que Jos no cumpre sua tarefa aquela em que ele no compra nada: nem carne nem peixe.

    Analogamente, uma proposio com o conectivo ou s ser falsa se todas as suas parcelas forem falsas (ou ainda: se todas as proposies simples que a compem forem falsas).

    Disso d para entender o nome do conectivo: a proposio composta ser verdadeira ainda que as proposies simples sejam disjuntamente (ou separadamente) verdadeiras.

    A proposio composta pelo conectivo ou s ser falsa quando todas as proposies simples forem falsas.

    Exemplo 3:

    Augusto contratou um seguro de carro. O seguro protegia contra batidas. Assim, se Augusto bater o carro, ento a seguradora paga a indenizao.

    Como Augusto avaliaria a seguradora em cada situao abaixo:

    a) Augusto bate o carro e a seguradora paga a indenizao

    b) Augusto bate o carro e a seguradora no paga a indenizao

    c) Augusto no bate o carro e a seguradora paga a indenizao

    d) Augusto no bate o carro e a seguradora no paga a indenizao

    Resoluo

    Na letra a, temos a situao normal de contrato. Augusto bateu o carro e a seguradora paga a indenizao. A seguradora cumpriu com seu papel e Augusto ficar satisfeito com o servio prestado pela seguradora.

    Na letra b, Augusto bateu novamente o carro. A seguradora deveria pagar o seguro. Deveria, mas no o fez. Augusto certamente ficar insatisfeito com a seguradora, podendo acionar o Procon, a justia, etc.

    Na letra c, temos uma situao at meio irreal. Augusto nem bateu o carro e a seguradora est dando dinheiro para ele. seguradora boa, hein! Podemos pensar que se trata de um prmio, ou desconto, alguma vantagem. Seria a situao em que as seguradoras premiam

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 14 de 65

    bons clientes. Na letra c, novamente o Augusto ficar satisfeito com o atendimento da seguradora. Muito satisfeito, por sinal.

    Na letra d, Augusto no bate o carro e a seguradora no paga a indenizao. Augusto tem o direito de ficar insatisfeito? No, no tem. A seguradora no tinha obrigao de pagar indenizao nenhuma. Afinal de contas, Augusto no bateu o carro.

    Na letra d, Augusto no tem motivo algum para dizer que a seguradora prestou um mal servio. Portanto, ele, no tendo motivos concretos para fazer uma avaliao negativa, diria que a Seguradora presta um bom servio (ou seja, presume-se que seja uma boa empresa, at prova em contrrio).

    Observe a situao inicial. Temos exatamente uma frase com se... ento.

    Se Augusto bater o carro, ento a seguradora paga a indenizao.

    Vamos dividir esta frase em duas parcelas. A primeira parcela se refere a Augusto bater o carro. A segunda se refere seguradora pagar a indenizao.

    A nica possibilidade de Augusto ficar insatisfeito ocorre quando a primeira parcela acontece (ou seja, quando ele bate o carro) e a segunda parcela no acontece (ou seja, quando a seguradora no paga a indenizao).

    De modo anlogo, uma proposio: se p, ento q, s falsa quando p verdadeiro e q falso.

    Como os alunos costumam ter um pouco de dvidas neste conectivo condicional, vejamos outro exemplo.

    Exemplo 4:

    Jlia, hoje pela manh, disse sua amiga: hoje, se fizer sol, eu vou ao clube.

    Ao final do dia, temos as situaes descritas abaixo. Em cada uma delas, avalie se Jlia disse a verdade ou se Jlia mentiu.

    a) fez sol e Jlia foi ao clube.

    b) fez sol e Jlia no foi ao clube.

    c) no fez sol e Jlia foi ao clube.

    d) no fez sol e Jlia no foi ao clube.

    Resoluo:

    Na letra a fez sol. E Jlia disse que, se fizesse sol, ela iria ao clube. Como ela de fato foi ao clube, ento ela disse a verdade.

    Na letra b, novamente, fez sol. E Jlia disse que, se fizesse sol, ela iria ao clube. Como ela no foi ao clube, ela mentiu.

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 15 de 65

    Nas letras c e d, no fez sol. Ora, Jlia no prometeu nada para o caso de no fazer sol. O compromisso dela era apenas para o caso de fazer sol. Ela assumiu um compromisso de, fazendo sol, ir ao clube.

    Ora, se no fez sol, ento Jlia est liberada de seu compromisso. Ela no prometeu nada caso chovesse, ou ficasse nublado.

    Portanto, no interessa o que ela tenha feito nas letras c e d. Voc no pode dizer que ela mentiu.

    Se considerarmos que a situao inicial composta de duas parcelas, teramos o seguinte: primeira parcela fazer sol; segunda parcela Jlia ir ao clube.

    Novamente, a nica situao em que dizemos que Jlia mente ocorre quando a primeira parcela acontece (ou seja, faz sol) e a segunda no acontece (Jlia no vai ao clube).

    De modo anlogo, uma proposio com o conectivo se... ento s falsa quando a primeira proposio for verdadeira e a segunda for falsa.

    E, no custa relembrar: vimos que a primeira parcela recebe o nome de antecedente, e a segunda parcela recebe o nome de conseqente.

    Um condicional s ser falso se sua primeira parcela for verdadeira (antecedente verdadeiro) e sua segunda parcela for falsa (conseqente falso).

    Pare a leitura da aula!

    Volte ao quadro acima e decore cada palavra. Se tem um lugar que aluno adora errar nisso.

    O condicional s ser falso se tivermos:

    Antecedente verdadeiro

    Consequente falso

    Ou seja, se tivermos V/F (nessa ordem) pronto: o condicional falso.

    Em qualquer outro caso, no interessa qual seja, o condicional verdadeiro.

    Exemplo 5:

    Incio um veterinrio. Num dado dia, ele recebe dois ces, gravemente feridos (Alfa e Beta, ambos vtimas de atropelamento). Os dois precisam de pronto atendimento. Do contrrio, iro falecer.

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 16 de 65

    Incio no tem outros veterinrios para lhe auxiliar, s tendo condies de atender a um dos ces por vez. Avalie o comportamento de Incio nas situaes abaixo.

    a) Incio atende Alfa e o salva; Beta no atendido e morre.

    b) Incio atende Beta e o salva; Alfa no atendido e morre.

    c) Incio tenta atender os dois ao mesmo tempo. Acaba no conseguindo atender nenhum dos ces de forma adequada e ambos morrem.

    d) Incio no atende a nenhum dos dois e ambos morrem.

    Resoluo:

    Na letra a, Incio agiu corretamente. Ele no teria como atender os dois ces. Ele escolheu o co Alfa e o salvou. Era o mximo que ele poderia fazer naquelas condies. Pelo menos um dos ces foi salvo. Na letra a, dizemos que Incio agiu de forma adequada, dadas as restries que ele tinha.

    Pelo mesmo raciocnio, na letra b tambm dizemos que Incio agiu de forma adequada. Ele s teria condies de salvar um co. Ele escolheu Beta e o fez.

    Na letra c Incio no foi um bom profissional. Tentou atender aos dois ces, o que ele j sabia que no seria possvel. Consequentemente, nenhum co foi atendido de forma adequada e ambos morreram.

    Na letra d Incio tambm agiu de forma inadequada. Ao no atender nenhum dos ces, ele simplesmente no salvou Alfa nem Beta (quando era possvel salvar um dos dois).

    Podemos dizer que ou Incio atende Alfa ou Incio atende Beta. As nicas formas de ele agir corretamente so quando ele atende s o Alfa ou s o Beta. Dividindo a frase em duas partes, teramos: primeira parte atender Alfa; segunda parte atender Beta.

    O comportamento de Incio s adequado quando a primeira parte acontece (atende Alfa) e a segunda no (no atende Beta). Outra forma de seu comportamento ser adequado quando a primeira parte no acontece (no atende Alfa) e a segunda parte acontece (atende Beta).

    De modo anlogo, uma proposio com o conectivo ou ... ou s verdadeira quando um termo verdadeiro e o outro falso. Qualquer outra situao implica em proposio falsa.

    muito importante saber diferenciar a disjuno exclusiva (ou ... ou) da disjuno inclusiva (ou).

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 17 de 65

    As tabelas-verdades de ambas so quase iguais. A diferena se d apenas quando os dois termos so verdadeiros.

    Na disjuno inclusiva, os dois termos verdadeiros implicam em proposio verdadeira. s lembrar do exemplo do Jos, que poderia comprar carne ou peixe. Quando as duas parcelas acontecem (ou seja, quando ele compra carne e peixe), ele cumpriu sua misso (pois Maria poder fazer o almoo). Jos agiu de maneira satisfatria.

    Na disjuno exclusiva, se os dois termos so verdadeiros, temos uma proposio falsa. s lembrar do exemplo do Incio. Incio deveria atender ou Alfa ou Beta. Quando as duas parcelas acontecem (ou seja, quando ele atende os dois ces), a ele no agiu de forma satisfatria (pois ambos, Alfa e Beta, morrem).

    Podemos pensar que uma nica proposio simples deve ser verdadeira (exclusividade), para que a proposio composta seja verdadeira. Assim como um dos ces deveria ter exclusividade de atendimento, para que Incio fosse considerado um bom veterinrio.

    Uma proposio composta pelo conectivo ou...ou (disjuno exclusiva) s ser verdadeira se uma proposio simples for verdadeira e a outra for falsa.

    Exemplo 6:

    Rosa foi ao mdico, pois est sentindo dores. O mdico faz alguns exames, para ver se ela est doente ou no, e, se necessrio, receita um medicamento.

    Como Rosa avaliaria a qualidade do mdico em cada uma das hipteses abaixo?

    a) Rosa estava doente e o mdico receitou um remdio.

    b) Rosa estava doente e o mdico no receitou um remdio.

    c) Rosa no estava doente e o mdico receitou um remdio.

    d) Rosa no estava doente e o mdico no receitou um remdio.

    Resoluo.

    Na letra a, Rosa estava realmente doente. O mdico detectou a doena e receitou um remdio. exatamente o que se espera de um bom mdico. Nesta situao, Rosa diria que seu mdico realizou um bom atendimento.

    Na letra b, Rosa estava doente. O mdico, contudo, no detectou a doena e no receitou remdio algum. Para Rosa, ele certamente no foi um bom mdico.

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 18 de 65

    Na letra c, Rosa no estava doente. Ainda sim o mdico receitou um remdio. Sabemos que os remdios no podem ser usados indiscriminadamente, quando a pessoa est saudvel. A medicao desnecessria pode causar diversos efeitos negativos. Deste modo, na letra c Rosa diria que se trata de um mdico ruim, que receitou remdios desnecessariamente.

    Na letra d, Rosa no estava doente. O mdico percebeu isso e no receitou remdio algum. Talvez s tenha recomendado descanso, repouso, algo do gnero. Mas agiu corretamente, ao no prescrever nenhuma medicao. Foi um bom mdico.

    Podemos dizer que o mdico deve receitar um remdio se e somente se Rosa estiver doente.

    Separando a frase acima em duas parcelas, temos: primeira parcela o mdico receita o remdio; segunda parcela Rosa est doente.

    O mdico s ser qualificado como um bom mdico se as duas parcelas ocorrerem ou se as duas no ocorrerem.

    Caso uma das parcelas ocorra e a outra no, ento ele ser um mdico ruim.

    De forma anloga, uma proposio com o conectivo se e somente se s ser verdadeira caso os dois termos sejam verdadeiros ou caso os dois termos sejam falsos.

    Se um dos termos for verdadeiro e o outro for falso, ento a proposio com se e somente se ser falsa.

    Uma proposio composta pelo conectivo se, e somente se (bicondicional) s ser verdadeira se ambas as proposies simples tiverem valores lgicos iguais.

    Antes de iniciarmos com exerccios de concursos, segue um exemplo simplificado, s para me certificar de que estamos bem na matria, at agora. E tambm para vermos como montar uma tabela verdade, do zero:

    Exemplo 7:

    Construa a tabela verdade para a proposio abaixo:

    ( )

    Resoluo.

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 19 de 65

    Vamos comear pela proposio p. Ela pode ser verdadeira ou falsa.

    Fixado o valor lgico de p, vamos para q. Em cada uma das situaes acima, podemos ter q sendo verdadeiro ou falso.

    Isto est representado no diagrama abaixo.

    E, para cada combinao de valores lgicos de p e q, temos duas possibilidades para r: verdadeiro ou falso. Veja diagrama abaixo:

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 20 de 65

    Ou seja, h 8 cominaes possveis de valores lgicos para p, q e r.

    Uma forma sistemtica de abranger todos eles assim. Para a proposio r, trocamos o valor lgico de linha em linha.

    r

    V

    F

    V

    F

    V

    F

    V

    F

    Pronto. Fomos alternando os valores lgicos. Primeiro V, depois F, depois V, depois F.

    Ok, agora vamos para a proposio q. Vamos alternando os valores lgicos de duas em duas linhas.

    q r

    V V

    V F

    F V

    F F

    V V

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 21 de 65

    V F

    F V

    F F

    Primeiro colocamos V e V. Depois F e F. Depois V e V. E assim por diante.

    E o jeito de fazer sempre assim, vamos sempre dobrando.

    Vamos agora para a proposio p. Novamente dobramos. Alternamos os valores lgicos de 4 em 4 linhas.

    p q r

    V V V

    V V F

    V F V

    V F F

    F V V

    F V F

    F F V

    F F F

    Observem que:

    - para p, alternamos o valor lgico a cada 4 linhas

    - para q, alternamos o valor lgico a cada 2 linhas

    - para r, alternamos o valor lgico a cada 1 linha.

    Esta uma forma sistemtica de abranger todos os casos possveis. No fundo no fundo, simplesmente transformamos o diagrama em uma tabela.

    E isso ajuda a lembrar que a tabela-verdade de uma proposio composta por n proposies simples ter 2 linhas.

    Exemplo: se a proposio for composta por 2 proposies simples, ela ter 42 2 = linhas.

    Se a proposio for composta por 3 proposies simples, a tabela verdade ter 82 3 = linhas.

    Se a proposio for composta por 4 proposies simples, a tabela verdade ter 1624 = linhas.

    Viu? Vai sempre dobrando (4, 8, 16, 32, ...)

    Uma proposio composta por n proposies simples ter tabela verdade contendo 2 linhas

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 22 de 65

    Agora que j conseguimos relacionar todas as combinaes de valores lgicos para p, q e r, podemos continuar montando a tabela verdade.

    A proposio composta :

    ( )

    O parntesis nos indica que devemos, primeiro, fazer o e.

    p q r qp V V V

    V V F

    V F V

    V F F

    F V V

    F V F

    F F V

    F F F

    Para tanto, consultamos as colunas p e q.

    Quando p e q so verdadeiros, a conjuno tambm verdadeira.

    p q r qp V V V V

    V V F V

    V F V

    V F F

    F V V

    F V F

    F F V

    F F F

    Em qualquer outro caso, ou seja, quando pelo menos uma das parcelas falsa, a conjuno ser falsa (em vermelho o que preenchemos agora, em azul o que j havia sido preenchido).

    p q r qp V V V V

    V V F V

    V F V F

    V F F F

    F V V F

    F V F F

    F F V F

    F F F F

    Pronto. J fizemos a parcela que est entre parntesis.

    Agora podemos finalmente fazer a coluna da proposio composta desejada.

    p q r qp rqp )( V V V V

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 23 de 65

    p q r qp rqp )( V V F V

    V F V F

    V F F F

    F V V F

    F V F F

    F F V F

    F F F F

    Temos um condicional. Suas parcelas so:

    1 parcela: qp

    2 parcela: r

    O condicional s falso quando a primeira parcela verdadeira e a segunda falsa.

    Em qualquer outro caso, o condicional verdadeiro.

    p q r qp rqp )( V V V V V

    V V F V F

    V F V F V

    V F F F V

    F V V F V

    F V F F V

    F F V F V

    F F F F V

    Pronto. Montamos a tabela-verdade da proposio composta rqp )( .

    Questo 3 MPOG 2009 [ESAF]

    Entre as opes abaixo, a nica com valor lgico verdadeiro :

    a) Se Roma a capital da Itlia, Londres a capital da Frana.

    b) Se Londres a capital da Inglaterra, Paris no a capital da Frana.

    c) Roma a capital da Itlia e Londres a capital da Frana ou Paris a capital da Frana.

    d) Roma a capital da Itlia e Londres a capital da Frana ou Paris a capital da Inglaterra.

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 24 de 65

    e) Roma a capital da Itlia e Londres no a capital da Inglaterra.

    Resoluo.

    Letra A

    Temos um condicional:

    1 parcela: Roma a capital da Itlia (verdadeiro)

    2 parcela: Londres a capital da Frana (falso)

    Quando a primeira parcela do condicional verdadeira e a segunda falsa, o condicional falso.

    Letra B.

    Outro condicional em que a primeira parcela verdadeira e a segunda falsa. Proposio falsa.

    Letra C.

    Aqui vem algo muito interessante. Quando temos diversos conectivos, costumamos utilizar parntesis ou colchetes para indicar qual tem precedncia.

    Como exemplo, considere as duas proposies abaixo:

    ( )

    ( )

    Na primeira delas, o ou tem prioridade, por causa dos parntesis. Primeiro fazemos Q ou R. Depois, pegamos o resultado disso e fazemos a conjuno com P.

    Na segunda proposio, a conjuno tem preferncia. Primeiro fazemos P e Q. Depois pegamos o resultado disso e fazemos a disjuno com R.

    H situaes em que os parntesis so omitidos. Neste caso, temos que saber a ordem de precedncia entre os conectivos. A ordem :

    1: operador no

    2: conectivo e

    3: conectivo ou

    4: conectivo se ento

    5: conectivo se, e somente se

    Nunca vi um material escrito que, nesta relao, me indicasse em que posio est o conectivo ou...ou.

    Muito bem, e para que que a gente precisa dessa ordem de precedncia?

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 25 de 65

    Quando a frase est escrita em linguagem comum (em vez da utilizao da simbologia lgica), no h como colocar parntesis para indicar qual conectivo deve ser feito primeiro. Neste caso, seguimos a ordem acima indicada.

    A proposio em questo :

    Roma a capital da Itlia e Londres a capital da Frana ou Paris a capital da Frana.

    Temos um e e um ou. Seguindo a ordem de precedncia, primeiro fazemos o e. Depois fazemos o ou. Colocando parntesis, ficaria assim:

    (Roma a capital da Itlia e Londres a capital da Frana) ou Paris a capital da Frana.

    A proposio composta por um ou.

    Primeira parcela: (Roma a capital da Itlia e Londres a capital da Frana)

    Segunda parcela: Paris a capital da Frana.

    Observem que a segunda parcela do ou verdadeira. Isto j suficiente para que a proposio inteira seja verdadeira.

    Achamos a alternativa correta.

    Gabarito: C

    De todo modo, vamos continuar com a questo.

    Letra D:

    Novamente, usamos a ordem de precedncia entre os conectivos. Primeiro fazemos o e, depois fazemos o ou:

    (Roma a capital da Itlia e Londres a capital da Frana) ou Paris a capital da Inglaterra.

    Temos um ou, formado por duas parcelas.

    1 parcela: Roma a capital da Itlia e Londres a capital da Frana

    2 parcela: Paris a capital da Inglaterra.

    A 2 parcela falsa.

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 26 de 65

    A 1 parcela composta por um e. Esta conjuno, por sua vez, decomposta em duas outras parcelas:

    1 .1 Roma capital da Itlia (verdadeiro)

    1.2 Londres capital da Frana (falso)

    Como a segunda parcela da conjuno falsa, ento ela falsa.

    Logo, falso que (Roma a capital da Itlia e Londres a capital da Frana).

    Ficamos com:

    (V e F) ou F

    Entre parntesis, temos um e, em que uma parcela falsa. Logo, a expresso entre parntesis falsa.

    (F) ou F

    Assim, nosso ou tem duas parcelas falsas.

    Logo, a proposio dada na alternativa D falsa.

    Letra E:

    Roma a capital da Itlia e Londres no a capital da Inglaterra.

    Temos uma proposio composta pelo conectivo e.

    1 parcela: Roma a capital da Itlia (verdadeiro)

    2 parcela: Londres no a capital da Inglaterra (falso)

    Ficamos com:

    V e F

    Se a segunda parcela falsa, ento a proposio composta falsa.

    Questo 4 SEFAZ MG 2005 [ESAF]

    O reino est sendo atormentado por um terrvel drago. O mago diz ao rei: O drago desaparecer amanh se e somente se Aladim beijou a princesa ontem. O rei, tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lgico da corte:

    1. Se a afirmao do mago falsa e se o drago desaparecer amanh, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

    2. Se a afirmao do mago verdadeira e se o drago desaparecer amanh, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

    3. Se a afirmao do mago falsa e se Aladim no beijou a princesa ontem, posso concluir corretamente que o drago desaparecer amanh?

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 27 de 65

    O lgico da corte, ento, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as trs perguntas so, respectivamente:

    a) No, sim, no

    b) No, no, sim

    c) Sim, sim, sim

    d) No, sim, sim

    e) Sim, no, sim

    Resoluo.

    Vamos dar nomes s proposies. A proposio d (de drago) ser:

    d: O drago desaparecer amanh.

    A proposio a (de Aladim) ser:

    a: Aladim beijou a princesa ontem

    A afirmao do mago :

    ad Item 1.

    A afirmao do mago falsa e o drago desaparece amanh. Logo:

    d: Verdadeiro

    ad : Falso Ou seja, uma das parcelas do bicondicional verdadeira. Para que o bicondicional seja falso, a segunda parcela deve ser falsa. Logo, no primeiro item, Aladim no beijou a princesa ontem.

    Item 2.

    A afirmao do mago verdadeira e o drago desaparece amanh. Logo:

    d: Verdadeiro

    ad : Verdadeiro Ou seja, uma das parcelas do bicondicional verdadeira. Para que o bicondicional seja verdadeiro, a segunda parcela deve ser verdadeira. Logo, no primeiro item, Aladim beijou a princesa ontem.

    Item 3.

    A afirmao do mago falsa e o Aladim no beijou a princesa ontem. Logo:

    a: Falso

    ad : Falso

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 28 de 65

    Uma das parcelas do bicondicional falsa. Para que o bicondicional seja falso, a outra parcela deve ser verdadeira. Logo, no terceiro item, o drago desaparecer amanh.

    As respostas s trs perguntas so: no, sim, sim.

    Gabarito: D

    6. CONDIO NECESSRIA E SUFICIENTE

    Num condicional , verdadeiro, dizemos que P condio suficiente para Q. E Q condio necessria para P.

    Se p, ento q p condio suficiente para q

    q condio necessria para p

    Para no confundir quem necessrio e quem suficiente, uma dica.

    Observe a proposio.

    Se p, ento q.

    A palavrinha Se comea com S. E suficiente tambm comea com s.

    A dica : a proposio que estiver perto do s a condio suficiente.

    Essa nomenclatura pode confundir muita gente. Esse necessrio e suficiente no tem nada a ver com o uso rotineiro de tais palavras. Vocs no podem associ-los a uma relao de causa e conseqncia.

    Esta nomenclatura se refere ao comportamento dos valores lgicos na tabela-verdade.

    Observe a tabela para a proposio se p, ento q:

    P Q

    V V V

    V F F

    F V V

    F F V

    Como nossa proposio composta verdadeira, vamos ignorar a segunda linha.

    Analisando as linhas remanescentes, temos o seguinte:

    - em todas as linhas em que P verdadeiro, Q tambm ; ou seja, na tabela-verdade, P ser verdadeiro suficiente para Q tambm ser;

    - em todas as linhas em que Q falso, P tambm ; logo, para que P seja verdadeiro, necessrio que Q tambm seja (embora isso no seja suficiente).

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 29 de 65

    Deste modo, as expresses condio necessria e condio suficiente apenas se referem ao comportamento dos valores lgicos na tabela verdade. Apenas isso.

    Questo 5 MPOG 2009 [ESAF]

    Considere que: se o dia est bonito, ento no chove.

    Desse modo:

    a) no chover condio necessria para o dia estar bonito.

    b) no chover condio suficiente para o dia estar bonito.

    c) chover condio necessria para o dia estar bonito.

    d) o dia estar bonito condio necessria e suficiente para chover.

    e) chover condio necessria para o dia no estar bonito.

    Resoluo.

    Vimos que, num condicional , P condio suficiente para Q. E Q condio necessria para P.

    Logo, dizemos que:

    - o dia estar bonito condio suficiente para no chover.

    - no chover condio necessria para o dia estar bonito.

    Gabarito: A

    7. TAUTOLOGIA, CONTRADIO E CONTINGNCIA

    Tautologia uma proposio composta cuja tabela verdade s apresenta valores lgicos V, independente dos valores lgicos que assumem suas proposies de origem.

    Exemplo: Ou chove ou no chove.

    Temos duas parcelas

    1) Chove (p)

    2) No chove (~p)

    A tabela-verdade desta afirmao fica assim:

    p ~p p ~p

    V F V

    F V V

    S temos respostas verdadeiras na tabela-verdade, independentemente dos valores lgicos de p. Por isso, a afirmao Ou chove ou no chove uma tautologia.

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 30 de 65

    Contradio uma proposio composta cuja tabela verdade s apresenta valores lgicos F, independente dos valores lgicos das proposies que lhe do origem.

    Exemplo: )(~ pp . A tabela-verdade desta proposio composta fica:

    p ~p p ~p

    V F F

    F V F

    Observem a ltima coluna (destacada em vermelho). A proposio composta sempre falsa, no interessa o que ocorra com as proposies simples.

    H uma contingncia quando no temos nem uma tautologia nem uma contradio, ou seja, quando a tabela-verdade apresenta alguns verdadeiros e alguns falsos, a depender do valor das proposies que do origem sentena em anlise.

    Exemplo: p q

    p q p q V V V

    V F F

    F V F

    F F V

    O bicondicional pode ser tanto verdadeiro (quando suas duas parcelas so ou ambas verdadeiras ou ambas falsas) quanto falso (quando uma parcela verdadeira e a outra falsa). Com isso, o se, e somente se no nem uma tautologia, nem uma contradio. uma contingncia.

    A contingncia a situao mais comum de ocorrer. Ela a regra geral. A tautologia e a contradio so excees.

    Questo 6 Fiscal Trabalho 1998 [ESAF]

    Um exemplo de tautologia :

    a) se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme gordo

    b) se Joo alto, ento Joo alto e Guilherme gordo

    c) se Joo alto ou Guilherme gordo, ento Guilherme gordo

    d) se Joo alto ou Guilherme gordo, ento Joo alto e Guilherme gordo

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 31 de 65

    e) se Joo alto ou no alto, ento Guilherme gordo

    Resoluo:

    Todas as alternativas trabalham com as mesmas proposies simples, a saber:

    p: Joo alto

    q: Guilherme gordo

    Vamos, para praticar, montar a tabela-verdade de cada caso.

    Na prxima aula veremos alguns conceitos que permitem resolver esta questo sem a tabela verdade. Veremos que um condicional tautolgico quando puder ser associado a um argumento vlido.

    Letra A: se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme gordo

    Vamos passar esta frase para a forma simblica?

    Podemos dividir esta frase em duas parcelas:

    1 - Joo alto

    2 - Joo alto ou Guilherme gordo

    A segunda parte um ou: Joo alto (p) ou Guilherme gordo (q) = p q

    A ligao entre a primeira parte e a segunda feita por um condicional.

    Vejamos: se Joo alto (p), ento Joo alto (p) ou Guilherme gordo (q)

    Representamos esta frase assim:

    p (p q).

    A tabela-verdade neste caso fica assim:

    p q p q p (p q) V V V V

    V F V V

    F V V V

    F F F V

    J temos nossa resposta. Esta a alternativa correspondente a uma tautologia.

    Como montamos a tabela? Lembrando mais uma vez que o condicional s falso quando

    seu primeiro termo verdadeiro (p) e seu segundo termo falso (p q). Acontece que no existe esta situao na tabela. Por isso, a ltima coluna s apresenta valores lgicos verdadeiros (V) e temos uma tautologia.

    Com isso, descobrimos que dizer:

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 32 de 65

    Se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme gordo

    uma verdade SEMPRE!

    No importa se, de fato, Joo alto ou no.

    No importa se, de fato, Guilherme gordo ou no.

    Nada disso importa.

    Quaisquer que sejam as caractersticas de Joo e Guilherme (alto x baixo; magro x gordo), a proposio composta ser verdadeira.

    Letra B: se Joo alto, ento Joo alto e Guilherme gordo

    Agora a proposio representada por:

    p (p q)

    A tabela fica assim:

    p q p q p (p q) V V V V

    V F F F

    F V F V

    F F F V

    Aqui temos uma contingncia, j que existem verdadeiros e falsos na soluo.

    Letra C: se Joo alto ou Guilherme gordo, ento Guilherme gordo

    Neste item, temos um ou na primeira parte do condicional.

    Ento a representao em smbolos assim:

    (p q) q

    Construindo a tabela, teremos:

    p q p q (p q) q V V V V

    V F V F

    F V V V

    F F F V

    Novamente, uma contingncia.

    Letra D: se Joo alto ou Guilherme gordo, ento Joo alto e Guilherme gordo

    Aqui temos um ou na primeira parte do condicional (Joo alto ou Guilherme gordo) e um e na segunda parte (Joo alto e Guilherme gordo)

    Como estas duas partes so unidas por um condicional, o resultado fica assim:

    (p q) (p q)

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 33 de 65

    A tabela-verdade fica assim:

    p q p q p q (p q) (p q) V V V V V

    V F V F F

    F V V F F

    F F F F V

    Trata-se novamente de uma contingncia.

    Letra E. se Joo alto ou no alto, ento Guilherme gordo

    Neste item, temos um ou entre uma afirmao e sua prpria negao na primeira parte do condicional. (Joo alto ou Joo no alto)

    A representao em smbolos fica:

    (p ~p) q

    A tabela-verdade apresentada em seqncia:

    p ~p p ~p q (p ~p) q V F V V V

    V F V F F

    F V V V V

    F V V F F

    Tambm uma contingncia. H verdadeiros e falsos na resposta. Veja que na primeira

    parte do condicional temos apenas verdadeiros (p ~p sempre verdadeiro), mas o que nos interessa o resultado final (ltima coluna), no as parcelas individuais do condicional.

    Gabarito: A

    8. EQUIVALNCIAS LGICAS

    Existem algumas proposies compostas que apresentam tabelas verdades idnticas. Quando isso acontece, dizemos que as proposies envolvidas so equivalentes.

    Em outras palavras, duas proposies compostas so equivalentes quando apresentam sempre o mesmo valor lgico, independentemente dos valores lgicos das proposies simples que as compem.

    Quando duas proposies p, q so equivalentes escrevemos p q . Podemos tambm escrever assim:

    possvel construirmos inmeras equivalncias lgicas. Para concursos, quatro delas so especialmente importantes:

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 34 de 65

    ~(p q) (~p) (~q)

    ~(p q) (~p) (~q)

    p q (~p) q

    p q (~q) (~p)

    Ento isso, sabendo as equivalncias acima, d para resolver as questes de equivalncias lgicas. Mais adiante, eu vou dar exemplos para facilitar o entendimento das equivalncias.

    lgico que d para montar infinitas outras equivalncias. O Cespe, por exemplo, s vezes cobra a seguinte equivalncia:

    ~( ) (~)

    Mas esta equivalncia a pode ser rapidamente obtida a partir das equivalncias (3) e (4) que citei acima.

    Quanto Esaf, recentemente ela tem cobrado outras equivalncias, mas falamos delas diretamente nos exerccios.

    Ah, para no passar batido: as duas primeiras equivalncias listadas so chamadas de Leis de Morgan, que o nome esquisito que apareceu no nosso edital.

    Vamos detalhar agora um pouquinho mais o que vimos acima.

    Em primeiro lugar, vamos ver porque que as proposies indicadas na seo anterior so equivalentes.

    Vamos focar na primeira equivalncia lgica: ~(p q) (~p) (~q).

    Para comprovar que estas duas proposies so equivalentes, basta fazer as respectivas tabelas verdades.

    Vamos l!

    Vamos comear com a tabela-verdade de ~(p q)

    p q p q ~(p q)

    V V V F

    V F F V

    F V F V

    F F F V

    Agora vamos para a tabela verdade de (~p) (~q)

    p ~p q ~q (~p) (~q)

    V F V F F

    V F F V V

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 35 de 65

    F V V F V

    F V F V V

    Observem as ltimas colunas, destacadas em vermelho.

    Elas so idnticas!!!

    Por isso dizemos que as proposies ~(p q) e (~p) (~q) so equivalentes.

    Usando um procedimento semelhante, podemos verificar que todas as demais equivalncias apresentadas esto corretas.

    Vamos agora dar exemplos das equivalncias, utilizando frases.

    Primeira equivalncia: ~(p q) (~p) (~q)

    Para negar um e lgico, ns temos que fazer um ou da negao de cada parcela.

    Ou ainda: para negar um e, ns negamos cada parcela e trocamos o e por um ou.

    Exemplo: A negao de Pedro alto e Jlio rico Pedro no alto ou Jlio no rico.

    Aqui cabe uma observao. Tem muita gente que confunde as coisas.

    A negao de Pedro alto e Jlio rico Pedro no alto ou Jlio no rico.

    Tem aluno que pensa que Pedro alto e Jlio rico equivalente a Pedro no alto ou Jlio no rico. Isso est errado!!!

    O que a equivalncia nos diz que uma proposio a negao da outra.

    Ou ainda, a negao da primeira proposio equivalente segunda proposio.

    isso.

    Outra equivalncia lgica importante :

    ~(p q) (~p) (~q)

    Para negar um ou lgico, ns devemos fazer um e da negao de cada parcela.

    Ou ainda: para negar um ou, ns negamos cada parcela e trocamos o ou por um e.

    Exemplo: A negao de O governo aumenta os juros ou a inflao sobe O governo no aumenta os juros e a inflao no sobe.

    A terceira importante equivalncia lgica :

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 36 de 65

    p q (~p) q

    Exemplo: Dizer que Se os juros baixam ento eu compro um carro novo o mesmo que dizer (em termos lgicos) que Os juros no baixam ou eu compro um carro novo.

    A quarta importante equivalncia :

    p q (~q) (~p)

    Exemplo: Dizer Se baixam os juros ento a inflao sobe o mesmo que dizer, em termos lgicos, que Se a inflao no sobe ento os juros no baixam.

    Um outro exemplo bem legal.

    Lembram daquela propaganda que aparece toda hora na televiso? As frases ditas so:

    Se beber, ento no dirija.

    Se for dirigir, ento no beba.

    claro que a ideia da propaganda reforar, ao mximo, que bebida e direo no combinam. Mas, em termos lgicos, no seria necessrio que as duas frases fossem ditas. Isto porque elas so equivalentes!!!

    Olhem s:

    Se beber, ento no dirija.

    Temos:

    - primeira parcela: beber

    - segunda parcela: no dirigir.

    Agora vamos trocar a ordem das parcelas, negando-as. Ficamos com:

    - primeira parcela: dirigir.

    - segunda parcela: no beber.

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 37 de 65

    O grande problema deste exemplo que, como as frases esto no formato imperativo (uma ordem para no dirigir), no seriam proposies.

    Mas acho que podemos ignorar este problema. Afinal de contas, a propaganda algo timo para ajudar a lembrarmos da equivalncia.

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 38 de 65

    Resumindo as equivalncias:

    Proposio de origem Como fazer Resultado

    Quero negar a seguinte proposio:

    Pedro alto e Jlio rico

    Nega primeira parcela: Pedro no alto

    Nega a segunda parcela: Jlio no rico.

    Troca o conectivo: ou

    Pedro no alto ou Jlio no rico

    Quero negar a seguinte proposio:

    Pedro alto ou Jlio rico

    Nega primeira parcela: Pedro no alto

    Nega a segunda parcela: Jlio no rico.

    Troca o conectivo: e

    Pedro no alto e Jlio no rico

    Se os juros baixam, ento eu compro um carro novo.

    Nega a primeira parcela: Os juros no baixam.

    Mantm a segunda parcela: Eu compro um carro novo.

    Troca o conectivo: ou

    Os juros no baixam ou eu compro um carro novo.

    Se beber, ento no dirija (*) Nega primeira parcela: No beba

    Nega segunda parcela: Dirija

    Inverte a ordem

    Se dirigir, ento no beba

    (*) vamos desconsiderar o fato de que, sendo uma ordem, no teramos proposio.

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 39 de 65

    Questo 7 CGU 2008 [ESAF]

    Um renomado economista arma que A inao no baixa ou a taxa de juros aumenta. Do ponto de vista lgico, a armao do renomado economista equivale a dizer que:

    a) se a inao baixa, ento a taxa de juros no aumenta.

    b) se a taxa de juros aumenta, ento a inao baixa.

    c) se a inao no baixa, ento a taxa de juros aumenta.

    d) se a inao baixa, ento a taxa de juros aumenta.

    e) se a inao no baixa, ento a taxa de juros no aumenta.

    Resoluo:

    Vamos ver a afirmao do economista:

    A inao no baixa ou a taxa de juros aumenta

    Podemos observar que a frase do economista usa o conectivo ou. Olhando para as alternativas, percebemos que todas elas apresentam condicionais. Neste momento, j devemos ficar atentos para a equivalncia que relaciona o condicional com o ou (disjuno). Vamos rev-la:

    p q (~p) q

    O que estes smbolos me dizem?

    Que podemos trocar um condicional por um ou. Bata negar a primeira parcela e manter a segunda.

    E exatamente isso que vamos fazer.

    Vamos negar a primeira parcela e vamos manter a segunda.

    Vamos ver quais so as parcelas da nossa afirmao:

    Primeira parcela: A inao no baixa (~p)

    Segunda parcela: A taxa de juros aumenta (q)

    Reparem que a afirmao do enunciado tem exatamente a forma do ou na propriedade:

    A inao no baixa = (~p)

    ou

    a taxa de juros aumenta = q

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 40 de 65

    Podemos usar imediatamente a equivalncia que aprendemos:

    p q = (~p) q

    A figura abaixo detalha a equivalncia:

    Assim:

    A inao no baixa ou a taxa de juros aumenta. ((~p) q)

    dizer a mesma coisa que:

    Se a inao baixa, ento a taxa de juros aumenta. (p q)

    Gabarito: D

    Questo 8 Enap 2006 [ESAF]

    Dizer que Ana no alegre ou Beatriz feliz do ponto de vista lgico, o mesmo que dizer:

    a) se Ana no alegre, ento Beatriz feliz.

    b) se Beatriz feliz, ento Ana alegre.

    c) se Ana alegre, ento Beatriz feliz.

    d) se Ana alegre, ento Beatriz no feliz.

    e) se Ana no alegre, ento Beatriz no feliz.

    Resoluo:

    Temos a seguinte proposio:

    Ana no alegre ou Beatriz feliz

    Exatamente como no exerccio anterior, temos um ou no enunciado e condicionais nas alternativas.

    Basta aplicar a mesma equivalncia. Podemos trocar um ou por um condicional. Basta negar a primeira parcela e manter a segunda.

    As partes da afirmao do enunciado so:

    Primeira parcela: Ana no alegre (~p)

    Segunda parcela: Beatriz feliz (q)

    Fazendo a equivalncia, temos:

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 41 de 65

    Se Ana alegre, ento Beatriz feliz. (p q)

    Gabarito: C

    Questo 9 MPOG 2009 [ESAF]

    A negao de Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com Jos :

    a) Maria no comprou uma blusa nova ou no foi ao cinema com Jos.

    b) Maria no comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha.

    c) Maria no comprou uma blusa nova e no foi ao cinema com Jos.

    d) Maria no comprou uma blusa nova e no foi ao cinema.

    e) Maria comprou uma blusa nova, mas no foi ao cinema com Jos.

    Resoluo.

    A proposio original contm uma conjuno.

    (Maria comprou uma blusa nova) e (foi ao cinema com Jos).

    Para negarmos um e, ns negamos cada parcela e trocamos o e por um ou. Ficamos com:

    (Maria no comprou uma blusa nova) ou (no foi ao cinema com Jos).

    Gabarito: A

    Questo 10 AFRFB 2009 [ESAF]

    Considere a seguinte proposio: Se chove ou neva, ento o cho fica molhado. Sendo assim, pode-se afirmar que:

    a) Se o cho est molhado, ento choveu ou nevou.

    b) Se o cho est molhado, ento choveu e nevou.

    c) Se o cho est seco, ento choveu ou nevou.

    d) Se o cho est seco, ento no choveu ou no nevou.

    e) Se o cho est seco, ento no choveu e no nevou.

    Resoluo.

    Na verdade, a questo est mal escrita.

    O que a banca queria era que o candidato marcasse a alternativa com uma proposio equivalente dada no comando da questo.

    Vamos ento fazer isso.

    Vamos dar nomes s proposies simples.

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 42 de 65

    p: Chove

    q: neva

    r: o cho fica molhado.

    Representando a proposio dada por meio de smbolos:

    rqp )( Num condicional, podemos inverter as parcelas, negando-as.

    Logo:

    rqp )( )(~~ qpr

    Ficamos com a seguinte proposio, que equivalente quela dada pelo enunciado:

    )(~~ qpr Podemos trabalhar mais um pouco com esta proposio.

    Na sua segunda parcela, temos a negao de um Ou. Para negar um ou, negamos cada parcela e trocamos o conectivo por um e.

    Logo, chegamos seguinte proposio:

    )(~)(~~ qpr Em palavras, temos:

    Se o cho no fica molhado, ento no chove e no neva.

    Ou ainda:

    Se o cho fica seco, ento no chove e no neva.

    Isso est expresso na letra E, que foi dada como gabarito.

    Gabarito: E

    O grande detalhe que, ao contrrio do que aconteceu em todas as questes anteriores, em nenhum momento a questo diz para marcamos a alternativa com uma proposio equivalente. Em nenhum momento temos uma indicao de que se trata de uma questo sobre equivalncias lgicas.

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 43 de 65

    Se fssemos seguir ao p da letra o que est escrito na questo, teramos, na verdade, um exerccio de lgica de argumentao (matria que ainda no estudamos).

    E, considerando a questo como de lgica de argumentao, teramos duas alternativas corretas, pelo que a questo deveria ter sido anulada.

    Deveria, mas no foi, isto acontece...

    Mas, infelizmente, isso comum em provas. E o que a gente no quer brigar com o enunciado, no mesmo?

    Ento, peo que, mesmo depois que estudarmos lgica de argumentao, vocs sempre tentem resolver as questes primeiro aplicando equivalncias lgicas. Se no deu, a sim, partam para a lgica de argumentao.

    Mas, por hora, no esquentem a cabea. Comentamos mais a respeito, quando virmos lgica de argumentao.

    Questo 11 STN 2005 [ESAF]

    Se Marcos no estuda, Joo no passeia. Logo,

    a) Marcos estudar condio necessria para Joo no passear.

    b) Marcos estudar condio suficiente para Joo passear.

    c) Marcos no estudar condio necessria para Joo no passear.

    d) Marcos no estudar condio suficiente para Joo passear.

    e) Marcos estudar condio necessria para Joo passear.

    Resoluo.

    A proposio fornecida foi:

    Se Marcos no estuda, ento Joo no passeia.

    Temos que:

    - Marcos no estudar condio suficiente para Joo no passear.

    - Joo no passear condio necessria para Marcos no estudar.

    Analisando as alternativas, no temos nenhuma que contenha as frases acima.

    Qual foi o nosso erro?

    Nenhum. Est tudo certo. Se houvesse alguma alternativa que contemplasse as frases acima, ela seria a resposta. O nico problema que, com a teoria que estudamos, no chegamos a nenhuma alternativa.

    E agora? O que fazer?

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 44 de 65

    Agora aplicamos uma equivalncia lgica muito importante. Num condicional, podemos inverter as parcelas, negando-as.

    Ou seja, qp equivalente a )(~)(~ pq . Assim, as duas proposies abaixo so equivalentes:

    Se Marcos no estuda, ento Joo no passeia

    Se Joo passeia, ento Marcos estuda

    Neste novo condicional, temos:

    - Joo passear condio suficiente para Marcos estudar.

    - Marcos estudar condio necessria para Joo passear.

    E agora sim, temos condies de saber que a concluso exposta na alternativa E est correta.

    Gabarito: E

    Questo 12 CGU 2008 [ESAF]

    Maria foi informada por Joo que Ana prima de Beatriz e Carina prima de Denise. Como Maria sabe que Joo sempre mente, Maria tem certeza que a afirmao falsa. Desse modo, e do ponto de vista lgico, Maria pode concluir que verdade que:

    a) Ana prima de Beatriz ou Carina no prima de Denise.

    b) Ana no prima de Beatriz e Carina no prima de Denise.

    c) Ana no prima de Beatriz ou Carina no prima de Denise.

    d) se Ana no prima de Beatriz, ento Carina prima de Denise.

    e) se Ana no prima de Beatriz, ento Carina no prima de Denise

    Resoluo.

    Olha o finalzinho do enunciado: Maria pode concluir que:.

    Para sabermos se podemos concluir qualquer coisa, para isso usamos anlise de argumentos.

    Como j disse anteriormente, tente, primeiro, usar equivalncias lgicas.

    A informao que temos :

    p: Ana prima de Beatriz e Carina prima de Denise.

    Esta afirmativa falsa.

    Logo, sua negao verdadeira.

    Como fazemos para negar p?

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 45 de 65

    Temos um e. Para neg-lo, negamos cada parcela e trocamos o e por um ou. Ficamos com:

    ~p: Ana no prima de Beatriz ou Carina no prima de Denise.

    Gabarito: C

    Questo 13 MPOG 2008 [ESAF]

    Dois colegas esto tentando resolver um problema de matemtica. Pedro afirma para Paulo que X = B e Y = D. Como Paulo sabe que Pedro sempre mente, ento, do ponto de vista lgico, Paulo pode afirmar corretamente que:

    a) X B e Y D

    b) X = B ou Y D

    c) X B ou Y D

    d) se X B, ento Y D

    e) se X B, ento Y = D

    Resoluo:

    a mesma questo, mudando apenas os nomes!

    Veja, sabemos que:

    falso que: X = B e Y = D.

    Se esta afirmao falsa, sua negao obrigatoriamente verdadeira. Temos que encontrar esta negao. Aprendemos como negar um e lgico. Basta negar cada parcela e trocar o e por um ou.

    Quais nossas parcelas?

    1) X = B

    2) Y = D

    Como fazemos para negar X = B?

    Dizer que X no igual a B o mesmo que dizer que X diferente de B.

    Portanto, a negao de cada parcela acima fica:

    1) X B

    2) Y D

    Agora, para negar a afirmao do enunciado, basta ligar estas duas negaes por um ou. Assim:

    X B ou Y D.

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 46 de 65

    Sabemos que a afirmao do enunciado falsa. Ento sua negao verdadeira. Assim:

    verdade que: X B ou Y D.

    Gabarito: C

    Pergunta: Professor, mas voc disse l no comeo da aula que, quando temos variveis, no

    d para julgar em verdadeiro ou falso. Ou seja, no temos proposio. E agora?

    Resposta: De fato, seguindo este raciocnio, no teramos uma proposio sequer na questo, e no daria para resolver.

    A vem o meu lema: no brigue com o enunciado.

    Apesar de usar letras X e B, a questo no est se referindo a elas como variveis.

    Ento deixa esse probleminha para l. Desconsidere isso e resolva a questo normalmente. Suponha que estamos sim diante de proposies.

    Questo 14 Prefeitura de Natal 2008 [ESAF]

    Durante uma prova de matemtica, Joozinho faz uma pergunta para a professora. Mariazinha - que precisa obter nota alta e, portanto, qualquer informao na hora da prova lhe ser muito valiosa -, no escutou a pergunta de Joozinho. Contudo, ela ouviu quando a professora respondeu para Joozinho afirmando que: se X 2, ento Y = 3. Sabendo que a professora sempre fala a verdade, ento Mariazinha conclui corretamente que:

    a) se X = 2, ento Y 3

    b) X 2 e Y = 3

    c) X = 2 ou Y = 3

    d) se Y = 3, ento X 2

    e) se X 2, ento Y 3

    Resoluo:

    A proposio dada foi:

    Se X 2, ento Y = 3.

    Ela nosso ponto de partida. Ela nossa premissa.

    Partindo desta premissa, o que podemos concluir?

    Ah, isso tarefa para a anlise de argumentos.

    Mas, como estamos diante da ESAF, j sabemos que muito provvel que a gente deva usar apenas equivalncias lgicas.

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 47 de 65

    Num condicional, podemos inverter as parcelas negando-as. Logo, a partir da proposio acima, obtemos outra equivalente:

    Se Y 3, ento X = 2

    Pronto. Achamos uma proposio equivalente. O problema que nenhuma das alternativas contempla esta proposio.

    Ento vamos utilizar outra equivalncia. Podemos trocar um condicional por um Ou. Basta negar a primeira parcela e manter a segunda. Logo, Se X 2, ento Y = 3 equivalente a:

    X = 2 ou Y=3

    E esta proposio sim est contemplada na alternativa C.

    Gabarito: C

    Questo 15 ATA MF 2009 [ESAF]

    X e Y so nmeros tais que: Se 4x , ento 7>y . Sendo assim:

    a) Se 7y , ento 4>x

    b) Se 7>y , ento 4x

    c) Se 4x , ento 7x

    A segunda parcela : 7>y .

    Queremos neg-la.

    Quando que y no maior que 7?

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 48 de 65

    Bem, isso ocorre quando y menor que 7, correto?

    Sim, isso est correto. Na verdade, parcialmente correto.

    H outro caso a ser considerado.

    Quando y exatamente igual a 7, ele no maior que 7. Concorda?

    Assim, para negar a segunda parcela, temos que considerar os dois casos:

    - quando y menor que 7

    - quando y igual a 7.

    Ou seja, para negar 7>y ns fazemos assim:

    7y

    A proposio original :

    Se 4x , ento 7>y .

    Usando a equivalncia lgica, podemos inverter a ordem das parcelas, negando-as. Fica assim:

    Se 7y , ento 4>x .

    Gabarito: A

    Questo 16 ATRFB 2009 [ESAF]

    A afirmao: Joo no chegou ou Maria est atrasada equivale logicamente a:

    a) Se Joo no chegou, Maria est atrasada.

    b) Joo chegou e Maria no est atrasada.

    c) Se Joo chegou, Maria no est atrasada.

    d) Se Joo chegou, Maria est atrasada.

    e) Joo chegou ou Maria no est atrasada.

    Resoluo:

    Podemos trocar a disjuno por um condicional. Basta negar a primeira parcela e manter a segunda.

    Temos:

    1 parcela: Joo no chegou

    2 parcela: Maria est atrasada.

    Negao da 1 parcela: Joo chegou.

    Mantemos a 2 parcela: Maria est atrasada.

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 49 de 65

    Agora podemos juntar tudo, usando o condicional:

    Se Joo chegou, ento Maria est atrasada.

    Gabarito: D

    Questo 17 ATA MF 2009 [ESAF]

    A negao de Ana ou Pedro vo ao cinema e Maria fica em casa :

    a) Ana e Pedro no vo ao cinema ou Maria fica em casa.

    b) Ana e Pedro no vo ao cinema ou Maria no fica em casa.

    c) Ana ou Pedro vo ao cinema ou Maria no fica em casa.

    d) Ana ou Pedro no vo ao cinema e Maria no fica em casa.

    e) Ana e Pedro no vo ao cinema e Maria fica em casa.

    Resoluo:

    Na proposio composta, temos duas parcelas. So elas:

    1 parcela: Ana ou Pedro vo ao cinema.

    2 parcela: Maria fica em casa.

    Elas esto unidas por um e. Para negar um e, ns negamos as parcelas e trocamos o e por um ou.

    Ok, ento precisamos negar as parcelas.

    Na primeira parcela, temos um ou. Para negar este ou, negamos cada uma de suas parcelas e trocamos o conectivo por e.

    Negao da 1 parcela: Ana no vai ao cinema e Pedro no vai ao cinema.

    A segunda parcela uma proposio simples.

    Negao da segunda parcela: Maria no fica em casa.

    Juntando tudo:

    (Ana no vai ao cinema e Pedro no vai ao cinema) ou (Maria no fica em casa

    Gabarito: B

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 50 de 65

    Outra forma de resolver utilizar a simbologia lgica.

    Vamos dar nomes s proposies.

    a: Ana vai ao cinema

    p: Pedro vai ao cinema

    m: Maria fica em casa

    A proposio dada :

    ( )

    A sua negao fica:

    ~( ) ~( ) (~)

    Na primeira parcela acima, ainda temos outra proposio composta. Temos uma negao de um ou. Para negar um ou ns negamos as parcelas e trocamos o conectivo por um e.

    Assim, a nossa proposio fica:

    (~) (~) (~)

    Em palavras:

    Ana no vai ao cinema e Pedro no vai ao cinema ou Maria no fica em casa.

    Questo 18 Prefeitura Municipal do Rio de Janeiro 2010 [ESAF]

    A proposio um nmero inteiro par se e somente se o seu quadrado for par equivale logicamente proposio:

    a) se um nmero inteiro for par, ento o seu quadrado par, e se um nmero inteiro no for par, ento o seu quadrado no par.

    b) se um nmero inteiro for mpar, ento o seu quadrado mpar.

    c) se o quadrado de um nmero inteiro for mpar, ento o nmero mpar.

    d) se um nmero inteiro for par, ento o seu quadrado par, e se o quadrado de um nmero inteiro no for par, ento o nmero no par.

    e) se um nmero inteiro for par, ento o seu quadrado par.

    Resoluo:

    A questo trata de uma equivalncia lgica que no estudamos.

    So equivalentes as seguintes proposies:

    ( ) ( )

    Ento vamos dar nomes s proposies simples:

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 51 de 65

    p: o nmero inteiro par.

    q: o quadrado do nmero par.

    Assim, um nmero inteiro par se e somente se o seu quadrado for par pode ser representada da seguinte forma:

    Esta proposio equivalente a:

    ( ) ( )

    Temos uma conjuno. Sua segunda parcela um condicional. Neste condicional, podemos inverter a ordem das parcelas, negando-as.

    Ou seja ,podemos trocar ( ) por (~ ~)

    Ficamos com:

    ( ) (~ ~)

    Em palavras:

    Se um nmero inteiro for par, ento o seu quadrado par, e se um nmero inteiro no for par, ento o seu quadrado no par

    Gabarito: A

    Questo 19 CGU 2012 [ESAF]

    Uma expresso que equivale logicamente afirmao D K se e somente se D F e D L :

    a) Se D F ou D L, ento D K e, se D no K, ento D no F e D no L.

    b) Se D F e D L, ento D K e, se D no K, ento D no F ou D no L.

    c) D no F e D no L se e somente se D no K.

    d) Se D K, ento D F e D L e, se D no K, ento D no F ou D no L.

    e) D K se e somente se D F ou D L.

    Comentrios:

    Vamos dar nomes s proposies simples:

    k: D K

    f: D F

    l: D L

    A proposio apresentada foi:

    ( )

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 52 de 65

    Vamos agora trabalhar as alternativas. Vamos desenvolver cada uma delas, para ver se chegamos proposio acima.

    Letra A: Se D F ou D L, ento D K e, se D no K, ento D no F e D no L.

    Em smbolos:

    ( ) ( )

    Dentro do segundo colchete, temos um condicional. Podemos fazer o seguinte. Negamos cada uma de suas parcelas, e trocamos a ordem entre elas. Com isso, obtemos um condicional equivalente ao primeiro. Fica assim (veja destaque em vermelho):

    ( ) ( )

    Duas negaes em seguida se anulam:

    ( ) ( )

    Para negar uma proposio composta pelo e, negamos cada parcela e trocamos o conectivo por ou:

    ( ) ( )

    Agora obtivemos uma conjuno de duas parcelas idnticas entre si. Logo, essa proposio acima equivalente a:

    ( )

    Obtivemos um nico condicional. Ento essa no a nossa resposta.

    Letra b: Se D F e D L, ento D K e, se D no K, ento D no F ou D no L.

    Vamos mais rpido agora? Os passos so exatamente os mesmos da alternativa anterior.

    A proposio dada :

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( )

    Obtivemos um nico condicional. Ento essa no a nossa resposta.

    Letra c: D no F e D no L se e somente se D no K.

    A proposio dada foi:

    ( ) ( )

    Podemos negar as duas parcelas do bicondicional, que obtemos uma proposio equivalente:

    ( ) ( )

    ( )

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 53 de 65

    Que no coincide com o bicondicional dado no incio da questo. Alternativa errada.

    Letra d: Se D K, ento D F e D L e, se D no K, ento D no F ou D no L.

    Em smbolos:

    ( ) ( )

    Podemos tomar o segundo condicional e fazer o seguinte. Negamos as parcelas e invertemos a ordem, obtendo outro condicional, equivalente ao primeiro:

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( )

    Achamos nossa resposta.

    Gabarito: D

    Questo 20 ATRFB 2012 [ESAF]

    A negao da proposio "se Paulo estuda, ento Marta atleta" logicamente equivalente proposio

    a)Paulo no estuda e Marta no atleta.

    b) Paulo estuda e Marta no atleta.

    c) Paulo estuda ou Marta no atleta.

    d) se Paulo no estuda, ento Marta no atleta.

    e) Paulo no estuda ou Marta no atleta.

    Resoluo:

    Vamos representar as proposies simples por:

    p: Paulo estuda

    q: Marta atleta

    A proposio dada foi:

    Queremos negar esta proposio:

    ( )

    Entre parntesis temos um condicional. Podemos trocar um condicional por uma disjuno. Basta negar a primeira parcela e manter a segunda. Ou seja:

    ( )

    Substituindo esse resultado em nossa proposio composta:

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 54 de 65

    ( ) ( )

    Agora temos uma negao incidindo sobre uma proposio composta pelo "ou". Para negar uma proposio composta pelo "ou", negamos cada parcela e trocamos por "e". Assim:

    negao da primeira parcela: ()

    negao da segunda parcela:

    trocando o conectivo por "e": ()

    Em palavras:

    Paulo estuda e Marta no atleta.

    Gabarito: B

    Questo 21 AFRFB 2012 [ESAF]

    A afirmao "A menina tem olhos azuis ou o menino loiro" tem como sentena logicamente equivalente:

    a) se o menino loiro, ento a menina tem olhos azuis.

    b) se a menina tem olhos azuis, ento o menino loiro.

    c) se a menina no tem olhos azuis, ento o menino loiro.

    d) no verdade que se a menina tem olhos azuis, ento o menino loiro.

    e) no verdade que se o menino loiro, ento a menina tem olhos azuis.

    Resoluo:

    Podemos trocar uma disjuno por um condicional. Basta negar a primeira parcela e manter a segunda. Assim:

    negao da primeira parcela: A menina no tem olhos azuis.

    segunda parcela: o menino loiro

    Agora trocamos o conectivo por condicional:

    Se (a menina no tem olhos azuis), ento (o menino loiro)

    Gabarito: C

  • Raciocnio Lgico para Tcnico do DNIT

    Teoria e exerccios comentados

    Prof Vtor Menezes Aula 00

    Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 55 de 65

    9. RESUMO

    Tipo de questo Lembretes

    Identificar, dentre as frases apresentadas, quais so proposies.

    - Proposies podem ser julgadas em V ou F.

    - Lembrar que no so proposies: perguntas, exclamaes, pedidos, ordens, sentenas abertas (aquelas com variveis), expresses de sentimento/desejo/opinio, enfim, tudo o que no for possvel julgar em V ou F

    Transformar proposies representadas na simbologia lgica para frases escritas (e vice-versa)

    Lembrar dos smbolos dos conectivos:

    Conjuno: e smbolo: