RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB …download.oversubs.org/RECEITA FEDERAL 2013 - PONTO DOS CONC… · número real (propriedades e equações modulares). Aula 7 Análise

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1

Aula Demonstrativa Apresentação . ............................................................................................................................................. 2

1. Matrizes . ............................................................................................................................................... 4

2. Classificação das Matrizes .............................................................................................................. 5

3. Igualdade de Matrizes ..................................................................................................................... 7

4. Adição de Matrizes ............................................................................................................................ 7

5. Matriz Oposta . .................................................................................................................................... 8

12 . matriz por real número de 6. ............................................................P roduto

13 . Matrizes de 7. .................................................................................P roduto

8. Matriz Transposta ............................................................................................................................ 22

9. Determinantes . ................................................................................................................................ 24

27 . determinantes dos 10. ............................................................P ropriedades

11. Teorema de Binet .......................................................................................................................... 39

12. Matriz Inversa . .............................................................................................................................. 41

13. Sistemas Lineares ......................................................................................................................... 44

14. Classificação dos sistemas lineares ....................................................................................... 45

15. Sistema Linear Homogêneo ...................................................................................................... 48

16. Teorema de Cramer ..................................................................................................................... 48

Questões ESAF 2012/2013 ............................................................................................................................. 62

17. Relação das questões comentadas nesta aula . ................................................................. 67

18. Gabaritos . ........................................................................................................................................ 76



Apresentação

Olá, pessoal!

Tudo bem?

Meu nome é Guilherme Neves e sou professor de Matemática, Matemát-ica Financeira, Raciocínio Lógico e Estatística.

Esta é a aula demonstrativa do curso de Raciocínio Lógico Quantitativo visando o concurso do AFRFB/2013. Todo o nosso curso será baseado no edital de 2012 e nas provas passadas da ESAF.

O assunto é, de fato, gigantesco e a ESAF procura usar todo o conteúdo programático. Na verdade, a matéria de Raciocínio Lógico Quantitativo é uma mistura de Raciocínio Lógico, Matemática, Matemática Financeira e Estatística (descritiva e inferencial).

Neste curso, veremos toda a teoria necessária e resolveremos muitos, muitos exercícios para atingirmos dois objetivos:

i) Preparar os candidatos que dizem “odiar” Matemática e matérias afins (fiquem tranquilos, partimos do pressuposto que vocês nunca viram a matéria).

ii) Desenvolver habilidades e procurar dissecar tudo que a ESAF já cobrou nos últimos anos. Assim, aperfeiçoaremos os candidatos que já tem uma certa base em Matemática.

Como já comentei, o concurso para AFRFB exige, atualmente, uma verdadeira montanha de conhecimentos matemáticos. P or exemplo, no último concurso para AFRFB, tivemos questões difíceis de Estatística Inferencial, funções inversas (matemática), etc.

Eis o conteúdo programático do concurso para AFRFB/2012:

1. Estruturas Lógicas. 2. Lógica de Argumentação. 3. Diagramas Lógicos. 4. Trigonometria. 5. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. 6. Álgebra. 7. Combinações, Arranjos e P ermutação. 8. P robabilidade, Variáveis Aleatórias, P rincipais Distribuições de P robabilidade, Estatística Descritiva, Amostragem, Teste de Hipóteses e Análise de Regressão. 9. Geometria Básica. 10. Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros, Desconto, Equivalência de Capitais, Anuidades e Sistemas de Amortização. 11. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas



fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; números e grandezas proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos.

O problema é que muita coisa está implícita neste edital. Por exemplo, quando a ESAF escreve “Álgebra” no item 6, abre margem para muitos assuntos de Matemática. O mesmo ocorre com assuntos de Estatística. Veja que na prova do AFRFB/2012 caiu uma questão sobre função inversa e este assunto não está explícito no conteúdo!!

Assim, seguiremos o seguinte cronograma para cobrir todo o conteúdo explícito/implícito no edital:

Aula 0 Aula demonstrativa. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Aula 1 Lógica proposicional. Lógica de Argumentação. Aula 2 Equivalências lógicas, negação de proposições compostas e de proposições

quantificadas. Diagramas Lógicos. Aula 3 Verdades e Mentiras. Problemas de Associação. Problemas gerais de

Raciocínio Lógico Aula 4 Introdução à Teoria dos Conjuntos. Operações e relações entre conjuntos.

Conjuntos Numéricos (Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais, Reais e Complexos). Operações: Adição, Subtração, Multiplicação, Divisão, Potenciação e Radiciação. Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum. Sistemas de Medidas.

Aula 5 Razão e proporção, divisão proporcional, regra de três simples e composta. Porcentagem. Progressão Aritmética e Progressão Geométrica.

Aula 6 Problemas do 1º grau. Equação do segundo grau. Funções. Função Afim, Função Quadrática, Função Exponencial e Função Logarítmica. Módulo de um número real (propriedades e equações modulares).

Aula 7 Análise Combinatória. Probabilidade Aula 8

Trigonometria, Geometria Plana e Geometria Espacial. Aula 9

Regimes de Capitalização. Juros Simples e Descontos Simples. Juros

Compostos e taxas de Juros. Descontos Compostos. Equivalência de Capitais. Aula 10 Rendas Uniformes (Anuidades) e Sistemas de Amortização. Aula 11

Estatística Descritiva. Distribuição de frequências. Medidas de Tendência

Central, Quantis e Medidas de Dispersão. Aula 12

Variáveis aleatórias discretas e contínuas: Função densidade de

probabilidade, função de distribuição, parâmetros de variáveis aleatórias

(esperança, mediana, moda, medidas de variabilidade). Aula 13

Distribuições teóricas discretas e contínuas de probabilidade.

Aula 14 Teoria da amostragem: Amostras. Distribuições amostrais. Estimação.

Intervalo de confiança. Correlação e Regressão Linear

Aula 15 Teste de Hipóteses



Nesta nossa primeira aula, que é demonstrativa, estudaremos um assunto muito chato e mecânico: matrizes, determinantes e sistemas lineares. Apesar de ser um assunto chato (diria até que é entediante), tudo que vamos estudar nesta aula é importantíssimo para as provas da ESAF. Vocês verão a quantidade enorme de questões da ESAF destes assuntos. Inclusive já resolveremos aqui nesta aula uma questão que caiu na prova do DNIT em 2013.

Pois bem, vamos deixar de delongas e comecemos o nosso curso. Que Deus te acompanhe nesta longa jornada e que dê tudo certo na sua vida.

1. Matrizes

A ideia de matriz do tipo � × � é a de uma tabela retangular formada por números reais distribuídos em � linhas e � colunas.

Adotamos a convenção que linha é horizontal, coluna é vertical e fila se refere à linha ou coluna (horizontal ou vertical).

Vejamos alguns exemplos:

�1 −47 √30 2 é��3 × 2(3��ℎ��2��)�1 0 −2 é��1 × 3(1��ℎ��3��)

!1 00 1" é��2 × 2(2��ℎ��2��)�3 é��1 × 1(1��ℎ��1��)

# 120−5% é��4 × 1(4��ℎ��1��)Em uma matriz qualquer, cada elemento é indicado por �&'. Este elemento �&' é

o cruzamento da linha i com a coluna j. Por exemplo, o elemento �() é elemento que fica no cruzamento da segunda linha com a terceira coluna.

Convencionamos que as linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita. Além disso, podemos utilizar colchetes, parêntesis ou barras duplas para representar matrizes. Por exemplo:



� ** ��*(��(* (()* �)( = , ** ��*(��(* (()* �)(- = . ** ��*(��(* (()* �)(.Uma matriz M do tipo m x n (m linhas e n colunas) pode ser indicada por / = (�&')0×1

2. Classificação das Matrizes

Existem diversas classificações das matrizes. Veremos as principais e mais conhecidas. Deixaremos de lado definições de matrizes nilpotente, ortogonais, anti-simétricas, periódicas, etc.

- Matriz Retangular é aquela cujo número de linhas é diferente do número de colunas.

�1 −47 √30 2 - Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas. Quando uma matriz quadrada é formada por 2 linhas e 2colunas dizemos que ela é uma matriz quadrada de ordem 2.

!5 30 2" é��3��2��2ª��Os elementos 5 e 2 forma a diagonal principal e os elementos 3 e 0 formam a diagonal secundária.

,1 3 57 4 −26 2 1 - é��3��3��3ª��Os números 1, 4 e 1 formam a diagonal principal e os números 5,4 e 6 formam a diagonal secundária.

- Matriz Linha é a matriz que possui apenas uma linha. �1 0 −2 - Matriz Coluna é a matriz que possui apenas uma coluna.



# 120−5%- Matriz diagonal é a matriz quadrada cujos elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a 0.

�1 0 000000 50 √5 - Matriz identidade é a matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1. Denotamos por 62 a matriz identidade de ordem n.

Percebam as condições para que uma matriz seja denominada de identidade: deve ser uma matriz quadrada, todos os elementos fora da diagonal principal devem ser iguais a 0 e todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1.

7) = �1 0 000000 10 1 7( = 81 00 19

7: = #1 0 000 000000 10 000 1 00 1%

- Matriz Nula é aquela que tem todos os elementos iguais a 0.

8000 000 0009 Exemplo 1. Construa a matriz ; = (�&'))×) definida por �&' = �( + 2=

Resolução

Tem-se uma matriz quadrada de terceira ordem. A matriz tem a seguinte representação:

; = ,��** ��*( ��*)(* (( ()�)* �)( �))-

Sabemos que �&' = �( + 2=.



�** = 1( + 2 ∙ 1 = 3, �*( = 1( + 2 ∙ 2 = 5,�*) = 1( + 2 ∙ 3 = 7�(* = 2( + 2 ∙ 1 = 6, �(( = 2( + 2 ∙ 2 = 8,�() = 2( + 2 ∙ 3 = 10

�)* = 3( + 2 ∙ 1 = 11, �)( = 3( + 2 ∙ 2 = 13,�*) = 3( + 2 ∙ 3 = 15Portanto,

; = , 3 5 76 8 011 13 1115-3. Igualdade de Matrizes

Duas matrizes ; = (�&')0×1 e A = (B&')0×1 são iguais quando todos os �&' forem

iguais aos B&' para todo i e para todo j. Ou seja, para que duas matrizes sejam

iguais, elas devem ser do mesmo tipo (ter o mesmo número linhas e o mesmo número de colunas) e todos os elementos correspondentes (com mesmo índice) devem ser iguais.

Exemplo:

C1 √4 −(−3)0 4( √25 D = 81 2 30 16 5981 00 19 ≠ ,1 0 000000 10 1-81 −23 4 9 ≠ 81 23 49

4. Adição de Matrizes

Para começo de conversa, só podemos somar matrizes do mesmo tipo, ou seja, para que seja possível somar matrizes, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Esta é a condição de existência da soma de duas ou mais matrizes.

Então vamos considerar duas matrizes A e B do mesmo tipo: m x n. Sejam ; = (�&')0×1 e A = (B&')0×1, chama-se soma ; + A a matriz C do tipo m x n tal

que �&' = �&' + B&'. Vamos parar de falar em símbolos e vamos traduzir:



i) Só podemos somar matrizes do mesmo tipo, ou seja, as matrizes obrigatoriamente devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. ii) O resultado (a soma) será uma matriz do mesmo tipo das matrizes originais. iii) Para determinar os elementos da matriz soma, devemos somar os elementos correspondentes das matrizes originais.

Exemplos:

8 1 0 2−3 5 39 + 82 4 74 6 99 = 8 1 + 2 0 +++ 4 2 +++ 7−3 + 4 5 6 3 99 = 83 4 91 11 129

� 3 −2−4 15 6 + �−3 24 −−−1−5 6 = �000 0000 0

Observe que, assim como os números reais, a adição entre matrizes também é associativa e comutativa. Isto quer dizer que, se A,B e C são matrizes do mesmo tipo, então: (; + A) + G = ; + (A + G)

; + A = A + ;5. Matriz Oposta

Observe novamente o exemplo que foi feito acima:

� 3 −2−4 15 6 + �−3 24 −−−1−5 6 = �000 0000 0

A matriz � 3 −2−4 15 6 é a matriz oposta da matriz �−3 24 −−−1−5 6 e reciprocamente, a

matriz �−3 24 −−−1−5 6 é a matriz oposta da matriz � 3 −2−4 15 6 porque a soma das duas

matrizes é uma matriz nula, ou seja, com todos os elementos iguais a 0.

Dada uma matriz A, sua matriz oposta é indicada por – ;.

Se é dada a matriz A, para determinar a sua oposta deve-se multiplicar todos os elementos por −1, ou seja, trocar os sinais de todos os elementos.



Desta forma, a matriz oposta da matriz ; = !−5 01 2" é a matriz −; = ! 5 0−1 −2". 1. (AFC 2002/ESAF) De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a soma dos elementos da primeira linha da matriz S é igual a: a) 17 b) 29 c) 34 d) 46 e) 58

Resolução

Vamos construir as matrizes A e B.

; = � ** *( *)(* (( ()��)* ��)( ��)) = �1( ( 1( ( 1( (2( ( 2( ( 2( (3( +++ 111( 3( +++ 222( 3( +++ 333( = � 2 5 11105 8 310 13 18 A = �BBB** BBB*( BBB*)(* (( ()B)* B)( B)) = #(((1 +++ 111)))( (((1 +++ 222)))( (((1 +++ 333)))(2 ( 2 ( 2 ((3 + 1)( (3 + 2)( (3 + 3)(% = � 4 9 169 16 2516 25 36

I = ; + A = � 2 5 11105 8 310 13 18 + � 4 9 169 16 2516 25 36 = � 6 1444 2614 2 3826 38 54 A soma dos elementos da primeira linha é igual a 6 + 14 + 26 = 46.

Obviamente não precisaríamos construir as matrizes completamente, apenas o fizemos para fins didáticos.

Letra D

2. (SERPRO 2001/ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a razão entre os elementos s31 e s13 é igual a:

a) 1/5 b) 2/5



c) 3/5 d) 4/5 e) 1

Resolução

Questão praticamente idêntica! As matrizes utilizadas são idênticas!

Se você nos permite, vamos dar um Ctrl+C / Ctrl+V...


; = ��** ��*( ��*)(* (( ()�)* �)( �)) = �1( +++ 111( 1( +++ 222( 1( +++ 333(2( ( 2( ( 2( (3( + 1( 3( + 2( 3( + 3( = � 2 5 11105 8 310 13 18 A = �BBB** BBB*( BBB*)(* (( ()B)* B)( B)) = #(((1 +++ 111)))( (((1 +++ 222)))( (((1 +++ 333)))(2 ( 2 ( 2 ((3 + 1)( (3 + 2)( (3 + 3)(% = � 4 9 169 16 2516 25 36

I = ; + A = � 2 5 11105 8 310 13 18 + � 4 9 169 16 2516 25 36 = � 6 1444 JK14 2 38JK 38 54 Queremos calcular a razão entre os elementos s31 (terceira linha e primeira coluna) e s13 (primeira linha e terceira coluna).

Colocamos estes números em vermelho. �)*�*) = 2626 = 1Letra E

3. (AFC-CGU 2003/2004 – ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por �&', onde “i” representa a linha e “j”

a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz L = M&', de terceira

ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes ; = N�&'O e A = NB&'O. Sabendo que �&' = �( e que B&' = (� − =)(, então o produto dos elementos M)*�M*)é igual a:

a) 16 b) 18 c) 26



d) 65 e) 169

Resolução

Não vamos mais construir a matriz completamente. Estamos interessados nos elementos M)*�M*). M)* = �)* + B)* = 3( + (3 − 1)( = 9 + 4 = 13

M*) = �*) + B*) = 1( + (1 − 3)( = 1 + 4 = 5O produto dos elementos M)*�M*) é igual a 13 ∙ 5 = 65.

Letra D

4. (MPOG 2003/ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por �&', onde “i” representa a linha e “j” a coluna em

que esse elemento se localiza. Uma matriz L = M&', de terceira ordem, é a

matriz resultante da soma das matrizes ; = N�&'O e A = NB&'O. Sabendo que �&' = �( − =( e que B&' = (� + =)(, então a soma dos elementos M)*�M*) é igual a:

a) 20 b) 24 c) 32 d) 64 e) 108

Resolução

A resolução é praticamente idêntica à da questão anterior.

M)* = �)* + B)* = 3( − 1( + (3 + 1)( = 9 − 1 + 16 = 24M*) = �*) + B*) = 1( − 3( + (1 + 3)( = 1 − 9 + 16 = 8

A soma dos elementos M)*�M*) é igual a 24 + 8 = 32.

Letra C

5. (AFC – SFC 2000/ESAF) A matriz I = �&', de terceira ordem, é a matriz

resultante da soma das matrizes ; = N�&'O e A = NB&'O. Sabendo-se que �&' = �( +=( e que B&' = 2�=, então a soma dos elementos �)*��*) é igual a:

a) 12 b) 14



c) 16 d) 24 e) 32

Resolução

Outra questão idêntica!!

�)* = �)* + B)* = 3( + 1( + 2 ∙ 3 ∙ 1 = 9 + 1 + 6 = 16�*) = �*) + B*) = 1( + 3( + 2 ∙ 1 ∙ 3 = 1 + 9 + 6 = 16

A soma dos elementos �)*��*) é igual a 16 + 16 = 32.

Letra E

6. Produto de número real por matriz

Para multiplicar uma matriz ; por um número real P basta multiplicar todos os elementos de A por P.

Exemplos:

3 ∙ �1 −2 45 3 80 2 6 = � 3 −6 1215 9 240 6 18 −2 ∙ !−5 4 10 −3 2" = !10 −8 −−−20 6 4"



7. Produto de Matrizes

Para começo de conversa, nem sempre é possível multiplicar duas matrizes. Para que exista o produto de uma matriz A por uma matriz B é necessário e suficiente que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B. Desta maneira, se a primeira matriz do produto é do tipo m x n, então a segunda matriz deve ser do tipo n x p.

Pois bem, considere então uma matriz ;0×1 e uma matriz A1×Q. Ao efetuar o

produto da matriz A pela matriz B, o resultado será uma matriz do tipo m x p. Ou seja, o produto é uma matriz que tem o número de linhas de A e o número de colunas de B.

Resumindo, para verificar se é possível multiplicar duas matrizes, coloque o tipo da primeira matriz à esquerda e o tipo da segunda matriz à direita. O produto existirá se os “números do meio” coincidirem e o resultado será uma matriz do tipo m x p, onde m e p são os números das extremidades.

Por exemplo, será que é possível multiplicar uma matriz do tipo 2 x 4 por uma matriz 4 x 1?

1º�� − 2º��2 × 44 × 1Os números do meio coincidiram?

Sim!

Então o produto existe! E o resultado é uma matriz de que tipo? Basta olhar os números das extremidades: será uma matriz do tipo 2 x 1.

Vejamos outro exemplo: será que é possível multiplicar uma matriz 4 x 1 por uma matriz 2 x 4?

1º�� − 2º��4 × 12 × 4Os números do meio coincidiram?

Não!!

Portanto, o produto entre essas duas matrizes não existe.

Observe que existe o produto de uma matriz do tipo 2 x 4 por uma matriz 4 x 1, mas não existe o produto de uma matriz do tipo 4 x 1 por uma matriz do tipo 2 x 4.



Bom, já sabemos verificar se podemos ou não multiplicar duas matrizes e já sabemos identificar o tipo da matriz produto.

Falta ainda o principal: aprender a multiplicar.

Existe um processo muito fácil para multiplicar matrizes. É o seguinte:

Desenhe uma cruz bem grande... Assim:

É óbvio que você só vai desenhar esta cruz depois de verificar se é possível multiplicar as matrizes, pois se não for possível, nem perca o seu tempo.

Bom, e o que fazer com esta cruz? No “terceiro quadrante” (lembra dos quadrantes do plano cartesiano?) você escreverá a primeira matriz e o no primeiro quadrante você escreverá a segunda matriz.

- Beleza até agora?

1ª matriz

2ª matriz



- Beleza não, professor! Chega de delongas e coloca umas matrizes aí para ficar claro.

- Ok!

Exemplo 2. Dadas as matrizes ; = 81 3 −−−2 54 2 1 09 e A = R1 2 30 5 634 −31 −42 S,

determine, se existir, as matrizes ; ∙ A e A ∙ ;.

Resolução

A matriz A possui 2 linhas e 4 colunas, portanto é do tipo 2 x 4.

A matriz B possui 4 linhas e 3 colunas, portanto é do tipo 4 x 3.

Será que existe o produto ; ∙ A?

1º�� − 2º��2 × 44 × 3Os números do meio coincidem! É possível multiplicar. O resultado será uma matriz do tipo 2 × 3.

Será que existe o produto A ∙ ;?1º�� − 2º��4 × 32 × 4

Os números do meio não coincidem, portanto não existe a matriz A ∙ ;.

Bom, vamos agora calcular a matriz ; ∙ A que já sabemos ser do tipo 2 x 3.



Vamos desenhar a cruz e colocar a matriz A no terceiro quadrante e a matriz B no primeiro quadrante.

O resultado do produto das matrizes ficará localizado no quarto quadrante.

Sabemos que o resultado é uma matriz do tipo 2 x 3, ou seja, terá 2 linhas e três colunas.

1ª matriz

2ª matriz

1 3 −−−2 54 2 1 0

1 2 30 5 634 −31 −42

RESULTADO

1 3 2 54 2 −−−1 0

1 2 30 5 634 −31 −42



Bom, e agora, como descobrimos cada uma destes números?

Vejamos por exemplo o elemento que está na primeira linha e segunda coluna (a bolinha vermelha abaixo).

Observe que esta bolinha vermelha é fruto do “cruzamento” entre a primeira linha da matriz da esquerda com a segunda coluna da matriz de cima.

Então faremos o seguinte. Multiplicaremos os elementos correspondentes destas duas filas e somaremos os resultados. Assim:

i) O primeiro elemento fila da esquerda é 1 e o primeiro elemento da fila de cima é 2. Multiplicamos 1 × 2 = 2.

ii) O segundo elemento da fila da esquerda é 3 e o segundo elemento da fila de cima é 5. Multiplicamos 3 × 5 = 15.

iii) O terceiro elemento da fila da esquerda é −2 e o terceiro elemento da fila de cima é −3. Multiplicamos −2 × (−3) = +6

iv) O quarto elemento da fila da esquerda é 5 e o quarto elemento da fila de cima é 1. Multiplicamos 5 × 1 = 5.

v) Devemos somar estes resultados obtidos: 2 + 15 + 6 + 5 = 28.

Pronto! O número a ser colocado no lugar da bolinha vermelha é 28!!

Será sempre assim... Multiplicando linha por coluna...

1 3 −−−2 54 2 1 0

1 2 30 5 634 −31 −42



Vamos descobrir agora o elemento que está na primeira linha e na primeira coluna.

Devemos multiplicar os elementos correspondentes e somar os resultados. Vamos fazer um pouquinho mais rápido. Será assim: 1º x 1º + 2º x 2º + 3º x 3º + 4º x 4º.

1 × 1 + 3 × 0 + (−2) × 3 + 5 × 4 = 1 + 0 − 6 + 20 = 15Pronto! O número a ser colocado no lugar da bolinha vermelha é igual a 15.

Vamos calcular o elemento da primeira linha e terceira coluna. Vamos então multiplicar a fila da esquerda pela fila de cima. Lembre-se: multiplicamos os elementos correspondentes (primeiro com primeiro, segundo com segundo, ...) e somamos os resultados.

1 3 −−−2 54 2 1 0

1 2 30 5 634 −31 −4228

281 3 −−−2 54 2 1 0

1 2 30 5 634 −31 −4215



1 × 3 + 3 × 6 + (−2) × (−4) + 5 × 2 = 3 + 18 + 8 + 10 = 39

Vamos agora determinar o elemento que está na segunda linha e na primeira coluna.

Efetue o mesmo processo. Multiplicamos os elementos correspondentes das duas filas e somamos os resultados.

4 × 1 + 2 × 0 + (−1) × 3 + 0 × 4 = 4 + 0 − 3 + 0 = 1

Vamos calcular o número que está na segunda linha e na segunda coluna (bolinha vermelha). Multiplicando a fila da esquerda pela fila de cima, elemento a elemento.

4 × 2 + 2 × 5 + (−1) × (−3) + 0 × 1 = 8 + 10 + 3 + 0 = 21Vamos calcular o número que está na segunda linha e terceira coluna (bolinha azul). Multiplicamos a fila da esquerda pela fila de cima, elemento a elemento.

39281 3 2 54 2 −−−1 0

1 2 30 5 634 −31 −4215

39281 3 2 54 2 −−−1 0

1 2 30 5 634 −31 −4215

1



4 × 3 + 2 × 6 + (−1) × (−4) + 0 × 2 = 12 + 12 + 4 + 0 = 28Terminamos!

Desta forma, o produto da matriz ; = 81 3 −−−2 54 2 1 09 pela A = R1 2 30 5 634 −31 −42 Sé a

matriz G = 815 2228 391 1 289. Ufa! Trabalhoso, não?

Este mecanismo é bom porque faz com que as pessoas não confundam quais as linhas e quais as colunas que devem ser multiplicadas.

6. (LIQUIGAS 2007/CETRO) Se A= (aij)3x3 é a matriz definida por aij = i + j e B=(bij)3x3 é a matriz definida por bij= 2i –j, então o elemento localizado na terceira linha e segunda coluna da matriz A.B é (A) 28. (B) 34. (C) 31. (D) 22. (E) 44.

Resolução

O problema pede apenas um elemento do produto AB. Vamos determinar os elementos das matrizes A e B. Lembrando que i é a linha e j é a coluna do elemento.

; = � ** ��*( ��*)��(* (( ())* �)( �)) = �1 +++ 111 1 +++ 222 1 +++ 3332 2 23 + 1 3 + 2 3 + 3 = �2 3 43 4 54 5 6

39281 3 −−−2 54 2 1 0

1 2 30 5 634 −31 −4215

1 21 28



A = �BBB** BBB*( BBB*)(* (( ()B)* B)( B)) = �222 ∙∙∙ 1 −−− 111 222 ∙∙∙ 1 −−− 222 222 ∙∙∙ 1 −−− 3332 2 22 ∙ 3 − 1 2 ∙ 3 − 2 2 ∙ 3 − 3 = �1 0 −13 2 15 4 3 Estamos multiplicando uma matriz do tipo 3 x 3 por outra matriz do tipo 3 x 3. O produto existe (porque os números do meio coincidem) e o resultado será uma matriz do tipo 3 x 3 (números das extremidades).

Queremos calcular o elemento localizado na terceira linha e na segunda coluna.

Vamos multiplicar a fila da esquerda pela fila de cima.

4 × 0 + 5 × 2 + 6 × 4 = 0 + 10 + 24 = 34Letra B

Vale a pena notar que a multiplicação de matrizes não é uma operação comutativa, ou seja, para duas matrizes quaisquer A e B é falso dizer que necessariamente U ∙ V = V ∙ U.

Note também que, se estivermos trabalhando com números reais, é sempre verdade que se W ∙ X = Y, Z2[ã]W = Y]^X = Y. Isto não é verdade quando estivermos trabalhando com matrizes. Ou seja, é possível encontrar matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula.

Experimente multiplicar, por exemplo, a matriz 8_ YYYY 9 pela matriz

8YYY Y_9 e verifique que o resultado é a matriz 8YYY YYY9.

2 3 43 4 54 5 6

1 0 −13 2 15 4 3



8. Matriz Transposta

Considere uma matriz qualquer ; = (�&')0×1. Chama-se transposta da matriz A

a matriz ;` do tipo n x m que se obtém trocando as linhas pelas colunas. Ou seja, as colunas da transposta são ordenadamente iguais às linhas de da matriz original.

Exemplos:

; = 8_ J ab c d9 ⇒ ;` = ,_ bJ ca d-; = ,b c df Z gh i j- ⇒ ;` = ,b f hc Z id g j-

Propriedades

i) (U[)[ = UOu seja, a transposta da matriz transposta de A é a própria matriz A.

; = ,b c df Z gh i j- ⇒ ;` = ,b f hc Z id g j- ⇒ (U[)[ = ,b c df Z gh i j-ii) Se A e B são matrizes do mesmo tipo, ou seja, com o mesmo

número de linhas e o mesmo número de c olunas, en-tão (U + V)[ = U[ + V[.

Isto quer dizer que tanto faz:

�Somar duas matrizes e depois calcular a transposta do resultado.

� Calcular as transpostas das matrizes e depois somar o resultado.

iii) Se k é um número real qualquer e U é uma matriz, então (k ∙ U)[ = k ∙ U[Isto quer dizer que tanto faz:

� Multiplicar uma matriz por um número real e depois calcular a transposta do resultado.

� Calcular a transposta da matriz e, em seguida, multiplicar por um número real.



iv) Se A e B são matrizes que podem ser multiplicadas, então V[ e U[ também podem ser multiplicadas e (UV)[ = V[U[Isto quer dizer que tanto faz:

� Multiplicar a matriz A pela matriz B e, em seguida, calcular a transposta. � Calcular a transposta de B, calcular a transposta de A e multiplicar

(nesta ordem).

7. (MPU 2004/ESAF) Sejam as matrizes ; = �1 42 63 3 e A = !111 3 4 52 3 4" e seja

M&' o elemento genérico de uma matriz X tal que L = (;A)`, isto é, a matriz X é

a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre M)* e M*( é igual a: a) 2 b) ½ c) 3 d) 1/3 e) 1

Resolução

Vamos multiplicar as matrizes. Devemos multiplicar uma matriz do tipo 3 x 2 (3 linhas e 2 colunas) por uma matriz do tipo 2 x 4. O produto existe, porque os números do meio coincidem e o resultado é uma matriz do tipo 3 x 4 (números das extremidades).

Observe que não precisamos calcular todos os elementos do produto.

O nosso objetivo é calcular a matriz transposta deste resultado. A matriz transposta será:

� B� l� = � �m ℎP �

1 42 63 3

111 3 4 52 3 4



n� � �B l =�� mℎ P� oQueremos calcular a razão entre M)* e M*(. Ou seja, a razão entre o elemento que está situado na terceira linha e primeira coluna (elemento c) e o elemento que está situado na primeira linha e segunda coluna (elemento e).

Portanto, queremos calcular c/e.

Vamos voltar ao produto das matrizes.

� = 1 ∙ 4 + 4 ∙ 3 = 16� = 2 ∙ 1 + 6 ∙ 1 = 8

Portanto, �� = 168 = 2Letra A

9. Determinantes

O nosso intuito é fazer com que o candidato se sinta seguro para fechar as provas de Raciocínio Lógico. Portanto, definiremos determinantes visando às provas de concursos. Na realidade, os assuntos da presente aula (matrizes, determinantes e sistemas lineares) são tópicos da “alfabetização” para uma cadeira universitária denominada álgebra linear. Livros universitários de Álgebra Linear, como o de Bernard Kolman, definem determinantes genericamente sem fazer referências à ordem da matriz utilizando conceitos de permutações pares e ímpares, etc.

� B� l� = � �m ℎP �

1 42 63 3

111 3 4 52 3 4



Não seguiremos esta linha. Definiremos determinantes de matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3. Verificaremos diversas propriedades e teoremas de forma que em eventuais casos que precisemos calcular determinantes de ordem maior que 3, o possamos fazer sem maiores esforços.

Pois bem, para começar, devemos frisar que apenas matrizes quadradas admitem o cálculo de determinantes.

O determinante da matriz A é denotado por det ;.

i) Se a matriz quadrada é de ordem 1, então o determinante da matriz é o único elemento da matriz.

Exemplo: Considere a matriz ; = �2 . O determinante da matriz A é o número 2. det ; = 2ii) Se a matriz quadrada é de ordem 2, então o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

; = !� B� �" ⇒ det ; = s� B� �s = �� − B�Observe que indicamos o determinante de uma matriz A com barras verticais ao lado dos elementos da matriz.

Exemplo: Calcule o determinante da matriz ; = !2 −35 4 ". Resolução s2 −35 4 s = 2 ∙ 4 − (−3) ∙ 5 = 8 + 15 = 23iii) Se a matriz é de ordem 3, o determinante é calculado com o auxílio da regra de Sarrus.

; = ��** *( *)(* ��(( ��()�)* )( )) Devemos repetir as duas primeiras colunas.



Multiplicamos os elementos na direção da diagonal principal de acordo com as flechas e somamos os 3 resultados.

Multiplicamos os elementos na direção da diagonal secundária e trocamos os sinais dos produto e somamos os resultados.

Em seguida somamos os dois resultados obtidos.

Vejamos um exemplo:

Exemplo 3. Calcule o determinante da matriz ; = �−2 1 05 2 31 4 −1 . Resolução

det ; = t−2 1 05 2 31 4 −1tDevemos repetir as duas primeiras colunas.

det ; = t−2 1 05 2 31 4 −1t−2 15 21 4Multiplicamos os elementos no sentido da diagonal principal.

−2 ∙ 2 ∙ (−1) + 1 ∙ 3 ∙ 1 + 0 ∙ 5 ∙ 4 = 7

det ; = t−2 1 05 2 31 4 −1t−2 15 21 4



Multiplicamos os elementos na direção da diagonal secundária e trocamos os sinais dos produtos e somamos os resultados.

−(1) ∙ (5) ∙ (−1) − (−2) ∙ (3) ∙ (4) − (0) ∙ (2) ∙ (1) = 5 + 24 − 0 = 29Devemos somar os dois resultados obtidos. det ; = 7 + 29 = 3610. Propriedades dos determinantes

Vejamos algumas propriedades dos determinantes:

i) Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz M de ordem n forem todos nulos, então det M = 0.

Exemplo.

/ = # 2 √37 250 0 0cos 57x −1,37 15%O determinante da matriz M é igual a 0, pois a matriz possui uma fila composta por zeros.

ii) Se uma Matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente iguais, então det M = 0.

Exemplo:

/ = #25 √37 251 2 115 −1,37 15%

det ; = t−2 1 05 2 31 4 −1t−2 15 21 4



Como a primeira coluna é igual à terceira coluna, então o determinante da matriz é igual a 0.

iii) Se uma matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais, então det M = 0.

Exemplo:

/ = #4 √37 123 2 91 −1,37 3 %

Observe a primeira e a terceira coluna. Elas são proporcionais e a constante de proporcionalidade é igual a 3 (ou seja, a terceira coluna foi produzida multiplicando a primeira coluna por 3). Assim, o determinante da matriz é igual a 0.

iv) Se uma matriz quadrada M tem uma linha (ou coluna) que é combinação linear de outras linhas (ou colunas), então det M = 0.

Deixe-me falar numa linguagem bem coloquial para explicar o que é combinação linear.

Imagine que você vai “construir” uma matriz de terceira ordem.

/ = �2 53 21 7 Você construiu a primeira coluna e a segunda coluna. E você resolveu ser um pouco mais criativo para construir a última coluna. E o que você fez? Você multiplicou a primeira coluna por 2 e multiplicou a segunda coluna por 3 e somou os dois resultados. O que você obteve?

/ = �2 5 2 ∙∙∙ 222 +++ 5 ∙∙∙ 3333 2 3 21 7 1 ∙ 2 + 7 ∙ 3 = �2 5 11193 2 2221 7 3 Pronto! A terceira coluna é uma combinação linear das duas primeiras colunas. Ou seja, você deve multiplicar uma fila por um certo número A e outra fila por qualquer outro número B. Somando os dois resultados, você obtém uma combinação linear das duas filas.



Pense bem, uma coisa é criar a matriz e saber que uma fila é combinação linear das outras duas. Imagine que o quesito fosse assim:

Calcule o determinante da matriz

/ = �2 5 11193 2 2221 7 3 Obviamente a pessoa que criou a questão sabe que a terceira coluna é combinação linear das outras duas e, portanto, o determinante é zero.

A dificuldade é “perceber” na hora da prova isso. Não será você o criador das questões!!

Veja só outro exemplo.

Calcule o determinante da matriz:

/ = �16 3 224 2 415 5 1 Se você tiver um excelente olho e perceber que

Primeira coluna = (Segunda coluna) x 2 + (Terceira coluna) x 5

Você poderá concluir que o determinante é zero. Caso contrário, terás que usar a regra de Sarrus (o que é bem provável que aconteça. Não perca seu tempo tentando achar alguma regra. Faça as contas que em muitos casos é mais rápido!)

v) Se U é uma matriz quadrada de ordem n e U[ é a sua transposta, então yz{ U = yz{ U[. vi) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A de ordem n por um número real k, o determinante da nova matriz será o produto do determinante de A pelo número k.

Exemplo: Já vimos que o determinante da matriz ; = �−2 1 05 2 31 4 −1 é igual a 36.

Vamos multiplicar uma fila qualquer por −2, digamos a segunda coluna.

;* = �−2 2 05 −−−4 31 8 −1



Para calcular o determinante desta nova matriz, basta multiplicar o determinante da matriz original por −2.

Desta forma, det ;* = −2 ∙ det ; = −2 ∙ 36 = −72.

vii) Se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma constante k, então o seu determinante será

yz{(k ∙ U) = k2 ∙ yz{(U)Na verdade, esta propriedade vii é uma decorrência da propriedade vi. Isto porque multiplicar uma matriz de ordem n por uma constante k é o mesmo que multiplicar as n linhas por k (ou as n colunas).

Ao multiplicar a primeira linha por k, multiplicamos o determinante por k.

Ao multiplicar a segunda linha por k, multiplicamos o determinante por k.

Ao multiplicar a terceira linha por k, multiplicamos o determinante por k.

Se a matriz é de ordem n, então terá n linhas.

Então,

det(P ∙ ;) = P ∙ P ∙ P ∙ ⋯ ∙ P}~~~�~~~�1��`x�� ∙ det ; = P1 ∙ det;viii) Considere uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a 2. Se trocarmos a posição de duas filas paralelas (ou duas linhas ou duas colunas), então o determinante da matriz troca de sinal.

Exemplo: Já vimos que o determinante da matriz ; = �−2 1 05 2 31 4 −1 é igual a 36.

Se trocarmos a posição da primeira linha com a terceira linha, o determinante da matriz troca de sinal.

;( = � 1 4 −15 2 3−2 1 0 O determinante desta matriz é igual a −36.

ix) O determinante de qualquer matriz identidade é igual a 1.

8. (MPOG 2008 ESAF) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a:



a) 10-6 b) 105 c) 1010 d) 106 e) 103

Resolução

Quando multiplicamos uma fila (linha ou coluna) de uma matriz por um número real “a”, o determinante da matriz também será multiplicado por “a”. Nessa questão, quando multiplicamos todos os elementos da matriz X por 10, o que aconteceu?

� Multiplicamos a primeira linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10.

� Multiplicamos a segunda linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10.

� Multiplicamos a terceira linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10.

� Multiplicamos a quarta linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10.

� Multiplicamos a quinta linha por 10, assim o determinante será multiplicado por 10.

Assim, o determinante da matriz X, que é igual a 10, será igual a:

det(10L) = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ det(M) = 10� ∙ 10 = 10�É válido o seguinte teorema: se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma constante k, então o seu determinante será

det(P ∙ ;) = P1 ∙ det(;)Assim, como a matriz do problema é de 5ª ordem e foi multiplicada por 10,

det(10 ∙ ;) = 10� ∙ det(;) = 10� ∙ 10 = 10�Letra D

9. (ATA – MF 2009/ESAF) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por –3, o determinante da matriz fica



a) Multiplicado por –1. b) Multiplicado por –16/81. c) Multiplicado por 2/3. d) Multiplicado por 16/81. e) Multiplicado por –2/3.

Resolução

Vamos relembrar uma das propriedades.

vi) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A de ordem n por um número real k, o determinante da nova matriz será o produto do determinante de A pelo número k.

Ora, se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2, o determinante será multiplicado por 2. Se dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por –3, o determinante será dividido por -3. Assim, juntando tudo, o determinante será multiplicado por –2/3.

Letra E

10. (MPOG 2002 ESAF) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a:

a) –2 b)–1/2 c)4 d) 8 e) 10

Resolução

O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Assim, o determinante não será alterado. P orém, quando multiplicamos uma matriz de segunda ordem por 2 (já que queremos o determinante do dobro da matriz), o determinante será:

det(2 ∙ ;�) = 21 ∙ det(;�) = 2( ∙ det(;) = 4 ∙ 2 = 8Letra D



11. (BNB 2002 VUNESP) Dadas as matrizes

=

=

3 2 c

2 3 b

1 5 a

B e

6 4 2

2 3 5

c b a

A , de determinantes não nulos, para quaisquer

valores de “a”, “b” e “c”, temos

A) det(A) = det(B) B) det(B) = 2.det(A) C) det(A) = 2.det(B) D) det(A) = –2.det(B) E) det(A) = – det(B)

Quais foram as transformações sofridas por A para “chegar” na matriz B?

Observe que a primeira linha de A é igual à primeira coluna de B. A segunda linha de A é igual à segunda coluna de B.

Vamos construir a matriz transposta de A.

A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas.

;` = �� 5 2B 3 4� 2 6 Observe agora a matriz B.

=

3 2 c

2 3 b

1 5 a

B

A terceira coluna da matriz transposta de A é igual ao dobro da terceira coluna

de B. Dessa forma, o determinante da transposta de A é o dobro do

determinante da matriz B.

det(;�) = 2 ∙ det(A)Como o determinante de A e de sua transposta são iguais,

det(;) = 2 ∙ det(A)Letra C



12. (AFC/STN 2005 ESAF) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a: a) –x-6 b) –x6 c) x3 d) –1 e) 1

Resolução

Considere a matriz A:

; = �� B �� lm ℎ � A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A.

A = �� B �l � �� ℎ m Observe que as segundas colunas das matrizes são iguais. Apenas permutamos a primeira com a terceira coluna.

Quando permutamos (trocamos de lugar) duas filas (linhas ou colunas), o determinante troca de sinal.

Como o determinante de A é igual a x3, então o determinante de B será igual a –x3.

O produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a

det(;) ∙ det(A) = M) ∙ (−M)) = −M�Letra B

13. (MPOG 2005 ESAF) O menor complementar de um elemento genérico xij de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que



(aij) = (i+j)2 e que bij = i2 , então o menor complementar do elemento y23 é igual a:

a) 0 b) -8 c) -80 d) 8 e) 80

Resolução


; = ��** ��*( ��*)(* (( ()�)* �)( �)) = #(((1 +++ 111)))( (((1 +++ 222)))( (((1 +++ 333)))(2 ( 2 ( 2 ((3 + 1)( (3 + 2)( (3 + 3)(% = � 4 9 169 16 2516 25 36 A = �BBB** *( *)(* (( ()B)* BBB)( BBB)) = �1( 1( 1(2( 2( 2(3( 3( 3( = �1 1 14 4 49 9 9

� = ; + A = � 4 9 169 16 2516 25 36 + �1 1 14 4 49 9 9 = � 5 1000 1713 2 2925 34 45 Se quisermos calcular o menor complementar do elemento y23, devemos suprimir a segunda linha e a terceira coluna de Y.

s 5 1025 34s = 5 ∙ 34 − 10 ∙ 25 = 170 − 250 = −80Lembre-se que para calcular o determinante de uma matriz de segunda ordem devemos calcular a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Letra C

14. (ANA 2009/ESAF) O determinante da matriz

; = � 2 1 0� B ��4 + � 2 + B é:a) 2bc + c - a b) 2b - c c) a + b + c d) 6 + a + b + c



e) 0

Resolução

Resolveremos esta questão de duas maneiras: a primeira usando a força bruta do braço e a segunda utilizando algumas propriedades dos determinantes.

Um determinante de terceira ordem pode ser calculado com o auxílio da regra de Sarrus.

Devemos repetir as duas primeiras colunas.

��; = t 2 1 0� B ��4 + � 2 + B t 2 1� B4 + � 2 + BMultiplicamos os elementos na direção da diagonal principal de acordo com as flechas.

Obtemos 2 ∙ B ∙ � + 1 ∙ � ∙ (4 + �) + 0 ∙ � ∙ (2 + B) = 2B� + 4� + ��Vamos multiplicar os elementos que estão na direção da diagonal secundária e trocar o sinal do resultado.

Obtemos −1 ∙ � ∙ � − 2 ∙ � ∙ (2 + B) − 0 ∙ B ∙ (4 + �) = −�� − 4� − 2B�Para calcular o determinante da matriz A, devemos somar os dois resultados obtidos:

��; = 2B� + 4� + �� − �� − 4� − 2B� = 0Vamos voltar ao quesito:

(ANA 2009/ESAF) O determinante da matriz

A = � 2 1 0� B ��4 + � 2 + B é:



a) 2bc + c - a b) 2b - c c) a + b + c d) 6 + a + b + c e) 0

Ora, perceba que multiplicando a primeira linha por 2 e somando com a segunda linha, obtemos a terceira linha.

Assim, a terceira linha é combinação linear das outras duas e o determinante é zero.

Letra E

15. (Gestor Fazendário – MG 2005/ESAF) Considere duas matrizes de segunda ordem, A e B, sendo que A = 2*/: ∙ ;. Sabendo que o determinante de A é igual a 2�*/(, então o determinante da matriz B é igual a:

a) 21/2 b) 2 c) 2 -1/4 d) 2 -1/2 e) 1

Resolução

As matrizes são de segunda or-

dem.

Se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma constante k, então o seu determinante será

det(P ∙ ;) = P1 ∙ det(;)Como a matriz A é de segunda ordem, então � = 2.

Estamos multiplicando a matriz A por 2*/:, portanto, P = 2*/:. detN2*/: ∙ ;O = N2*/:O( ∙ det(;)detN2*/: ∙ ;O = N2*/:O( ∙ 2�*/(

det A = 2(×*: ∙ 2�*/( = 2*/( ∙ 2�*/( = 2*(�8�*(9 = 2� = 1Letra E



16. (AFC-STN 2000/ESAF) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz � = 3� tem determinante igual a:

a) 1/3 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81

Resolução

A matriz é de terceira ordem, logo � = 3.

Estamos multiplicando a matriz Z por 3, logo P = 3.

Sabemos também que � = L` e sabemos que o determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta.

det(P ∙ �) = P1 ∙ det(�)det(3 ∙ �) = 3) ∙ det(�) = 27 ∙ det L`

Sabemos que 3 ∙ � = ��3�� det L` = det L .det � = 27 ∙ ��L

Como det L = 3, det � = 27 ∙ 3 = 81Letra E

17. (AFC-CGU 2008 ESAF) Qualquer elemento de uma matriz X pode ser representado por xij , onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), de terceira ordem, constrói-se a matriz B (bij), também de terceira ordem, dada por:



Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é igual a:

a) 50 b) -50 c) 0 d) -100 e) 100

Resolução

A matriz A é dada por:

; = �b__ b_J b_abJ_ bJJ bJaba_ baJ baa A matriz B é dada por:

A = �BBB** BBB*( BBB*)(* (( ()B)* B)( B)) = �ba_ baJ baabJ_ bJJ bJab__ b_J b_a A matriz B foi construída a partir da matriz A a partir do seguinte processo:

� Repetimos a segunda linha. � Trocamos a primeira linha com a terceira linha

Vimos na propriedade viii que se trocarmos a posição de duas filas paralelas (ou duas linhas ou duas colunas), então o determinante da matriz troca de sinal.

Como o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é igual a −100.

Letra D

11. Teorema de Binet

Se ; e A são matrizes quadradas de ordem n, então:

det(;A) = det ; ∙ det A



Isto quer dizer que tanto faz:

� Calcular o produto AB e calcular o determinante do produto. � Calcular o determinante de A, calcular o determinante de B e multiplicar

os resultados.

18. (MPU 2004/ESAF) Considere as matrizes L = �1 2 32 4 65 3 7 ; � = �� 2 32 B 65 3 � onde os elementos a,b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o determinante do produto das matrizes X e Y é igual a:

a) 0 b) �c) d)

� + B + �� + Be) � + �Resolução

Queremos calcular ��(L�). Pelo Teorema de Binet, sabemos que

det(L�) = det L ∙ det �Dê uma olhada na matriz X.

L = �1 2 32 4 65 3 7

Percebeu que a segunda linha é igual a primeira linha multiplicada por 2?

Se uma matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais, então det M = 0.

Podemos concluir que o determinante da matriz X é igual a 0.

det(L�) = det L ∙ det �det(L�) = 0∙ det � = 0



Letra A

12. Matriz Inversa

Considere uma matriz quadrada de ordem n. Vamos chamar esta matriz de A. Dizemos que a matriz A é inversível se existir uma matriz B tal que ; ∙ A = A ∙; = 71.

Lembre-se que 71 é a matriz identidade de ordem n.

Esta matriz B é chamada matriz inversa de A e é denotada por ;�*. Exemplo: A inversa da matriz ; = !5 64 5" é a matriz ;�* = ! 5 −6−4 5 " porque

!5 64 5" ∙ ! 5 −6−4 5 " = !1 00 1". Para verificar basta fazer:

� = 5 ∙ 5 + 6 ∙ (−4) = 25 − 24 = 1B = 5 ∙ (−6) + 6 ∙ 5 = −30 + 30 = 0� = 4 ∙ 5 + 5 ∙ (−4) = 20 − 20 = 0

� = 4 ∙ (−6) + 5 ∙ 5 = −24 + 25 = 1Ora, sabemos que ; ∙ ;�* = 71.

Vamos aplicar o teorema de Binet.

det(; ∙ ;�*) = ��71det ; ∙ det ;�* = ��71

Lembre-se que o determinante da matriz identidade é igual a 1, portanto:

5 64 5

5 −6−4 5� B� �



det ; ∙ det ;�* = 1Este fato é muito importante. Pois se for dado o determinante de uma matriz, podemos automaticamente calcular o determinante da sua inversa e reciprocamente.

Se a matriz A não admite inversa, a matriz A é chamada de matriz singular.

Uma matriz quadrada não é inversível quando o seu determinante é igual a 0.

Por exemplo, a matriz ! 5 210 4" é uma matriz singular, isto é, não admite

inversa. Isto pode ser verificado calculando o seu determinante.

s 5 210 4s = 5 ∙ 4 − 2 ∙ 10 = 20 − 20 = 0Bom, podemos concluir que se o determinante da matriz quadrada é diferente de zero, então a matriz é inversível. E como calculamos a matriz inversa?

Neste curso, ficaremos restritos ao cálculo de matrizes inversas de ordem 2.

Considere uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante diferente de 0.

; = !� B� �"A inversa da matriz A é calculada da seguinte forma:

;�* = 1det ; ∙ ! � −B−� � "Ou seja, trocamos de posição os elementos da diagonal principal e mudamos o sinal dos elementos da diagonal secundária. Depois dividimos todos os elementos pelo determinante da matriz original.

Exemplo 4. Determine, se existir, a inversa da matriz ; = !4 65 8". Resolução

O primeiro passo é calcular o determinante da matriz A.

det ; = 4 ∙ 8 − 5 ∙ 6 = 2Vamos trocar a posição dos elementos da diagonal principal e trocar o sinal dos elementos da diagonal secundária.

! 8 −6−5 4 "



O próximo passo é dividir todos os elementos pelo determinante da matriz original que é igual a 2.

;�* = � 4 −3−5/2 2 �19. (Oficial de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) Dada a matriz !1 111M " e

sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valor de M é igual a:

a) −1b) 0 c) 1/2 d) 1 e) 2

Resolução

Sabemos que det ; ∙ det ;�* = 1. O problema já forneceu o determinante da inversa que é igual a 1/2.

det ; ∙ 12 = 1det ; = 2

Ora, temos em mãos o determinante da matriz original.

s1 111M s = 21 ∙ 1 − 1 ∙ M = 2

1 − M = 2−M = 1M = −1

Letra A



13. Sistemas Lineares

Equação linear nas incógnitas M, �, �, … é toda equação do tipo

�M + B� + �� + ⋯ = P.Os números reais �, B, �, … (os números que multiplicam as incógnitas) são chamados de coeficientes e o número P é o termo independente da equação.

É importante notar que os expoentes das incógnitas devem ser todos iguais a 1 para que a equação seja considerada linear.

São equações lineares:

2M + 3� = −5−4M + 6� + 7� = 0

Não são equações lineares:

2M) − 5�( = 8√M + 6� = 02M + 3M� = 7

É importante também notar que não é permitido o produto de duas incógnitas em algum dos termos da equação.

Vejamos alguns fatos que aprenderemos nas aulas de lógica.

Veremos que uma sentença do tipo 3M + 2� = 12 não é uma proposição lógica. Isto porque não podemos determinar o seu valor lógico sem que sejam fornecidos os valores das incógnitas.

Se alguém nos disser que M = 2�� = 3, então a sentença 3M + 2� = 12 tornar-se-á verdadeira porque 3 ∙ 2 + 2 ∙ 3 = 12; ao passo que se M = 3�� = 0, a sentença 3M + 2� = 12 será classificada como falsa porque 3 ∙ 3 + 2 ∙ 0 ≠ 12.

Pois bem, já que M = 2�� = 3 torna a sentença 3M + 2� = 12 verdadeira, dizemos que a sequência (2,3) é uma solução da equação linear.

Falamos em equações lineares. E o que vem a ser um sistema linear?

Nada mais nada menos que um conjunto de equações lineares!

Por exemplo:



�2M + 5� = 9M − 3� = −1Aqui, dizemos que uma sequência de números é uma solução do sistema linear, se a sequência for solução de todas as equações lineares que compõem o sistema.

Por exemplo: A sequência (2,1) é solução do sistema linear acima, porque:

�2 ∙ 2 + 5 ∙ 1 = 92 − 3 ∙ 1 = −114. Classificação dos sistemas lineares

Se um sistema linear admitir pelo menos uma solução, diremos que o sistema é possível (alguns dizem que o sistema é compatível). Se o sistema não admitir soluções, ou seja, não existir uma sequência que satisfaça todas as equações do sistema, diremos que o sistema é impossível ou incompatível.

Se o sistema é possível, ainda podemos fazer uma subclassificação: se o sistema admitir apenas uma solução, dizemos que o sistema é possível e determinado; se o sistema admitir infinitas soluções, dizemos que o sistema é possível e indeterminado.

Sistema linear

Possível

(admite solução)

Determinado

(a solução é única)

Indeterminado

(existem infinitas

soluções)Impossível

(não admite solução)



Para quem nunca estudou este assunto, parece um pouco estranho que um sistema linear não possua soluções (impossível) ou que possua infinitas soluções (possível e indeterminado).

Vamos ver alguns exemplos:

Exemplo 5. Resolva o sistema linear � M − 2� = 53M + � = 29.

Resolução

Vamos isolar a incógnita M na primeira equação.

M = 2� + 5Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação

3M + � = 293 ∙ (2� + 5) + � = 29

6� + 15 + � = 297� = 14� = 2

Como M = 2� + 5, então:

M = 2 ∙ 2 + 5 = 9Portanto, o sistema admite apenas uma solução: M = 9�� = 2. O sistema é possível e determinado.

Exemplo 6. Resolva o sistema linear � 2�� 53MMM −−− 6 === 10.

Resolução


M = 2� + 5Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação.

3M − 6� = 103 ∙ (2� + 5) − 6� = 10



6� + 15 − 6� = 100� = −5

Ora, devemos encontrar um número que multiplicado por zero seja igual a −5. Mas sabemos que qualquer número multiplicado por 0 obrigatoriamente tem como resultado o número 0. Desta forma, não existe um número � tal que 0� = −5.

O sistema é impossível.

Exemplo 7. Resolva o sistema linear � MMM −−− 2�� === 53 6 15Resolução


M = 2� + 5Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação.

3M − 6� = 153 ∙ (2� + 5) − 6� = 15

6� + 15 − 6� = 156� − 6� = 15 − 15

0� = 0Devemos pensar em um número que multiplicado por 0 seja igual a 0. Ora, qualquer número real serve!! Pense em um número qualquer, digamos � = 1. Neste caso, 0 ∙ 1 = 0.

E já que M = 2� + 5, então

M = 2 ∙ 1 + 5M = 7

Portanto M = 7�� = 1 é uma solução do sistema.

Vamos colocar � = 5. Já que M = 2� + 5, então

M = 2 ∙ 5 + 5M = 15



Portanto, M = 15�� = 5 é outra solução do sistema. Na verdade, você pode escolher o valor que quiser para a incógnita �, substituir o valor na equação M = 2� + 5 e calcular o valor correspondente de M.

O sistema admite infinitas soluções e, portanto, é possível e indeterminado.

15. Sistema Linear Homogêneo

Um sistema linear é dito homogêneo se o termo independente de todas as equações é igual a 0.

Exemplos:

�2M + 5� = 0M − 3� = 0�M + 2� − 3�� === 0002M − 5� +M − 6� + 8� = 0

É fácil perceber que todo sistema linear é possível. Basta substituir todas as incógnitas por 0. Esta solução em que todas as incógnitas são iguais a 0 é chamada de solução trivial. Se houver, as outras soluções são chamadas de não-triviais.

Desta forma, todo sistema linear homogêneo é possível. Em breve aprenderemos a classificá-lo em determinado ou indeterminado.

16. Teorema de Cramer

O bem conhecido teorema de Cramer, publicado em 1750 por Gabriel Cramer (1704-1752) provavelmente era conhecido por Maclaurin desde 1729. Isso ocorre com muita frequência na Matemática. Uma pessoa descobre algum fato e outra, vários anos depois, leva o crédito. Bom, deixemos a História da Matemática de lado (quem se interessar, depois de passar no concurso, pode comprar o livro História da Matemática de Carl B. Boyer).

Vamos lá. Considere um sistema linear em que o número de incógnitas é igual ao número de equações.



Como o nosso intuito é fechar as provas de concurso, vamos ficar restritos aos sistemas com 2 equações e 2 incógnitas e aos sistemas com 3 equações e 3 incógnitas.

��M +++ B === PPP*�M �� ( �� B �� === PPP*�MMM +++ �� +++ l (mM + ℎ� + �� = P)Estamos considerando que as incógnitas são as letras M, �, �. Vamos considerar alguns determinantes especiais que podem ser calculados com os coeficientes e com os termos independentes.

Chamaremos de � o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.

No caso do sistema de segunda ordem:

� = s� B� �sNo caso do sistema de terceira ordem:

� = t� B �� lm ℎ � tChamaremos de �� o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a coluna do M pelos termos independentes. No caso, substituiremos a primeira coluna (a do M) pelos termos independentes (P*, P(, …).

Chamaremos de �� o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes,

substituindo a coluna do � pelos termos independentes. No caso, substituiremos a segunda coluna (a do �) pelos termos independentes (P*, P(, …).

Chamaremos de �� o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a coluna do � pelos termos independentes. No caso, substituiremos a terceira coluna (a do �) pelos termos independentes (P*, P(, …). É óbvio que �� só existe em sistemas de terceira ordem.

No caso de sistemas de segunda ordem, temos:

�� = � * BPPP( �� = �� *� PPP(�No caso de sistemas de terceira ordem, temos:



�� = tPPP* B �( � lP) ℎ � t , �� = t� PPP* �� ( lm P) � t �� = t� B PPP*� � (m ℎ P)tVamos ver alguns exemplos numéricos.

Considere o sistema � M − 2� = 53M + � = 29.

Temos os seguintes determinantes relacionados a este sistema:

� é o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.

� = s1 −23 1 s = 1 ∙ 1 − (−2) ∙ 3 = 1 + 6� = 7

�� é o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a coluna do M pelos termos independentes. No caso, substituiremos a primeira coluna (a do M) pelos termos independentes.

�� = s 5 −229 1 s = 5 ∙ 1 − (−2) ∙ 29 = 5 + 58�� = 63

Analogamente, temos:

�� = s1 53 29s = 1 ∙ 29 − 5 ∙ 3 = 29 − 15�� = 14

O Teorema de Cramer afirma que se um sistema linear tem o número de equações igual ao de incógnitas e se � ≠ 0 o sistema será possível e determinado (apresenta solução única) e:

M = �� , � = �� ,…No nosso exemplo:

M = �� = 637 = 9� = �� = 147 = 2



Já tínhamos resolvido este sistema pelo método da substituição anteriormente.

Obviamente, o Teorema de Cramer tem mais valor teórico que valor prático. Principalmente ao trabalhar com sistemas de ordem maior ou igual a 3.

O que nos interessa é que o Teorema de Cramer afirma que se � ≠ Y, então o sistema é possível e determinado. Isso é IMPORTANTÍSSIMO!!! Tem cheiro de ESAF no ar...

E o que acontece se � = 0??

Há duas possibilidades.

Se todos os outros determinantes associados ao sistema forem iguais a 0, ou seja,

�� = �� = ⋯ = 0então o sistema é possível e indeterminado.

Se pelo menos um dos outros determinantes associados ao sistema for diferente de 0, então o sistema é impossível.

Resumindo:

Se você estiver trabalhando em um sistema de equações com número de equações igual ao de incógnitas, então ele pode

ser: � Possível e determinado, se � ≠ 0. � Possível e indeterminado, se � = �� = �� = ⋯ = 0� Impossível, se � = 0 e existir algum �& ≠ 0.

Na verdade, o resuminho acima está incompleto. É que pode haver casos em que todos os determinantes são nulos e o sistema ser impossível. São casos excepcionais, raros de acontecerem. Só que, para efeito de concurso, podemos simplesmente ignorar esta exceção, pois nunca foi cobrado. Certo?



E se o sistema for homogêneo?

Ora, já vimos que um sistema linear homogêneo sempre admite solução. Portanto temos duas possibilidades: ser possível e determinado ou ser possível e indeterminado.

Basta calcular o valor de �.

O sistema é possível e determinado se � ≠ 0.

O sistema é possível e indeterminado se � = 0.

20. (LIQUIGAS 2007/CETRO) Para que o sistema abaixo seja possível e determinado, o valor de a deverá ser:

ax + 3y = 7 x +2y = 1

(A) a = 3. (B) a = 3/2. (C) a ≠≠≠ 3/2. (D) a 5/2. (E) a ≠2/5.

Resolução

Para que o sistema seja possível e determinado o determinante da matriz dos coeficientes das variáveis deve ser diferente de zero.

� ≠ 0

Sistema linear

Possível

(admite solução)

Determinado

(a solução é única)

Indeterminado

(existem infinitas

soluções)Impossível

(não admite solução)



s� 31 2s ≠ 02 ∙ � − 3 ∙ 1 ≠ 0

2� ≠ 3� ≠ 32Letra C

21. (Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução; é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é chamado de “indeterminado” quando houver infinitas soluções.

=+

=+

42

03

mba

mbma

Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as incógnitas, é correto afirmar que

a) se m≠0 e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. b) se m=0, o sistema é impossível. c) se m=6, o sistema é indeterminado. d) se m≠0 e a≠2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. e) se m≠0 e m≠6, o sistema é possível e determinado.

Resolução

Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de 0.

s� 3�2 � s ≠ 0�( − 6� ≠ 0

� ≠ −(−6) ± (−6)( − 4 ∙ 1 ∙ 02 ∙ 1� ≠ 6 ± 62

Assim, m≠6 e m≠0 fazem com o que o sistema seja possível e determinado.

Letra E



Vamos terminar de discutir o sistema.

Vamos supor que � = 0, ou seja, � = 6 ou � = 0.

i) � = 6O sistema ficará assim:

�6� + 18B = 02� + 6B = 4Neste caso:

�� = s0 184 6 s = 0 ∙ 6 − 18 ∙ 4 = −72 ≠ 0�� ≠ 0

Se ¡ = K, então � = YZ�W ≠ Y, portanto o sistema é impossível.

ii) � = 0O sistema ficará assim:

�0�� +++ 000BBB === 02 4Da segunda equação, tem-se:

2� + 0B = 42� + 0 = 4

� = 2Vamos substituir este valor na segunda equação:

2� + 0B = 42 ∙ 2 + 0B = 44 + 0B = 4

0B = 0Portanto, o número b é tal que multiplicado por 0 é igual a 0. Ora, qualquer número multiplicado por 0 é igual a 0. Concluímos que seee � = 0, ntão � = 2 e B pode ser qualquer número real. Portanto, há infinitas soluções para o sistema e ele é possível e indeterminado.



22. (TFC-CGU 2008 ESAF) Considerando o sistema de equações lineares

=+

=−

qpxx

xx

21

21

2

2 ,

pode-se corretamente afirmar que:

a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível. b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado. c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado. d) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado. e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível.

Resolução

Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante da matriz dos coeficientes das variáveis deve ser diferente de 0.

�1 −12 � � ≠ 01 ∙ � − 2 ∙ (−1) ≠ 0

� ≠ −2Para que o sistema seja possível e indeterminado esse determinante deve ser igual a 0, ou seja, p=-2 ; e, além disso, o determinante de qualquer uma das variáveis deve ser igual a 0.

�1 22 3� = 03 − 4 = 0

3 = 4Assim, o sistema é possível e indeterminado se

� = −2 e 3 = 4.

Até agora não encontramos alternativas...

Para que o sistema seja impossível, o determinante dos coeficientes deve ser igual a 0, ou seja, � = −2; e o determinante de qualquer uma das variáveis deve ser diferente de 0, ou seja, q≠4.

Letra A



23. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Com relação ao sistema

=+

=−

02

0

ax

yax de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema

a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. c) tem solução não trivial para um único valor real de a. d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. e) é impossível para qualquer valor real de a.

Resolução

Da segunda equação já concluímos que M = −2�.

Vamos substituir este valor na primeira equação.

�M − � = 0� ∙ (−2�) − � = 0

−2�( − � = 0� = −2�(

Portanto, o sistema possui solução não-trivial para uma infinidade de valores de �.

Letra A

24. (TFC 2000/ESAF) Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite, pelo menos, uma solução, e é chamado de “determinado” quando a solução for única e de “indeterminado” quando houver infinitas soluções. A partir do sistema formado pelas equações, M − � = 2 e 2M + ¢� = �, pode-se afirmar que se ¢ = −2 e � = 4, então o sistema é: a) impossível e determinado. b) impossível ou determinado. c) impossível e indeterminado. d) possível e determinado. e) possível e indeterminado.

Resolução

A primeira equação já está pronta. Na segunda equação vamos substituir ¢ por −2 e � por 4.



Teremos o seguinte sistema:

� MMM −−− � = 22 2� = 4Vamos calcular os determinantes associados a este sistema.

� = s1 −−−12 2s = 1 ∙ (−2) − (−1) ∙ 2 = −2 + 2 = 0� = 0

�� = s2 −−−14 2s = 2 ∙ (−2) − (−1) ∙ 4 = −4 + 4 = 0�� = 0

�� = s1 22 4s = 1 ∙ 4 − 2 ∙ 2 = 4 − 4 = 0�� = 0

Como � = �� = �� = 0, então os sistema é possível e indeterminado.

Poderíamos tirar esta conclusão tentando resolver o sistema.

Da primeira equação, concluímos que M = � + 2. Vamos substituir esta expressão na segunda equação.

2M − 2� = 42 ∙ (� + 2) − 2� = 4

2� + 4 − 2� = 42� − 2� = 4 − 4

0� = 0Devemos encontrar um número que multiplicado por 0 seja igual a 0. Ora, qualquer número multiplicado por 0 é igual a 0, portanto, o sistema admite infinitas soluções sendo possível e indeterminado.

Letra E



25. (AFRFB 2009/ESAF) Com relação ao sistema,

£ M + � + � = 12M − �3� + 2 = � + 12M + � = 1Onde 3� + 2 ≠ 0 e 2M + � ≠ 0, pode-se, com certeza, afirmar que:

a) é impossível. b) é indeterminado. c) possui determinante igual a 4. d) possui apenas a solução trivial. e) é homogêneo

Resolução

Esta é mais uma questão que a ESAF copia da coleção Fundamentos de Matemática Elementar. Na prova do AFRFB 2009 foram três questões copiadas: uma questão sobre permutações circulares (anulada), uma questão sobre divisão de polinômios. Eles também copiaram a primeira questão da prova da SUSEP 2010.

Bom, quando você vai copiar alguma questão, você tem que saber copiar. Não basta copiar o enunciado e colocar algum trecho da solução nas alternativas.

O enunciado do livro é o seguinte:

Resolva o sistema pela regra de Cramer:

£ M + � + � = 12M − �3� + 2 = � + 12M + � = 1O primeiro passo é destrinchar as igualdades do segundo conjunto de equações. 2M − �3� + 2 = 1 ⇔ 2M − � = 3� + 2 ⇔ 2M − � − 3� = 2

� + 12M + � = 1 ⇔ � + 1 = 2M + � ⇔ −2M − � + � = −1Temos o seguinte sistema:

� MMM + �� + � = 12 − − 3� = 2−2M − � + � = −1



Vamos calcular o valor dos determinantes associados ao sistema:

� = t 1 1 12 −−−111 −3−2 1 t 1 12 −−−111−2� = 1 ∙ (−1) ∙ 1 + 1 ∙ (−3) ∙ (−2) + 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ 2 − 1 ∙ (−3) ∙ (−1) − 1 ∙ (−1) ∙ (−2)� = −1 + 6 − 2 − 2 − 3 − 2

� = −4�� = t 1 1 12 −−−111 −3−1 1 t 1 12 −−−111−1�� = 1 ∙ (−1) ∙ 1 + 1 ∙ (−3) ∙ (−1) + 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ 1 − 1 ∙ (−3) ∙ (−1) − 1 ∙ (−1) ∙ (−1)�� = −1 + 3 − 2 − 2 − 3 − 1

�� = −6�� = t 1 1 12 2 −3−2 −1 1 t 1 12 2−2 −1�� = 1 ∙ 2 ∙ 1 + 1 ∙ (−3) ∙ (−2) + 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ 1 − 1 ∙ (−3) ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ (−2)�� = 2 + 6 − 2 − 2 − 3 + 4

�� = 5�� = t 1 1 12 −−−111 2−2 −1t 1 12 −−−111−2�� = 1 ∙ (−1) ∙ (−1) + 1 ∙ 2 ∙ (−2) + 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ 2 ∙ (−1) − 1 ∙ (−1) ∙ (−2)�� = 1 − 4 − 2 + 2 + 2 − 2

�� = −3A solução do sistema é dada por:

M = �� = −6−4 = 32� = �� = 5−4 = −54� = �� = −3−4 = 34



O sistema admite uma única solução e é possível e determinado.

Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.

a) é impossível (falso, pois o sistema é possível e determinado). b) é indeterminado (falso, pois o sistema é possível e determinado). c) possui determinante igual a 4 (falso, pois nenhum dos determinantes associados ao sistema é igual a 4). d) possui apenas a solução trivial (falso, pois a solução trivial é o terno (0,0,0) que é solução dos sistemas lineares homogêneos). e) é homogêneo (falso, pois sistema linear homogêneo é aquele que tem todos os termos independentes iguais a 0).

E agora?

Bom, a ESAF considerou que a resposta correta é a letra C. Inclusive a questão não foi anulada!!! E por que isso aconteceu?

Como comentamos no início da resolução, a ESAF copiou esta questão do livro Fundamentos de Matemática Elementar (volume 4, página 138).

Na resolução deste sistema no referido livro aconteceu o seguinte.

No início da resolução nós colocamos assim:

O primeiro passo é destrinchar as igualdades do segundo conjunto de equações. 2M − �3� + 2 = 1 ⇔ 2M − � = 3� + 2 ⇔ 2M − � − 3� = 2 �

+ 12M + � = 1 ⇔ � + 1 = 2M + � ⇔ −2M − � + � = −1O problema que aconteceu foi o seguinte. Os autores do livro multiplicaram a segunda equação por (−1).Então, no lugar de colocar −2M − � + � = −1

, eles utilizaram

2M + � − � = 1E o sistema obtido é o seguinte:

� + + � = 12MMM − �� − 3� = 22M + � − � = 1Desta forma, multiplicamos a terceira linha por (−1).



Vimos na teoria dos determinantes que se multiplicamos uma fila qualquer por um número P, então o determinante da matriz será multiplicado por P.

Como multiplicamos a terceira linha por (−1), todos os determinantes serão multiplicados por −1. Os determinantes associados a este novo sistema serão:

� = 4�� = 6

�� = −5�� = 3

A solução do sistema é dada por:

M = �� = 64 = 32� = �� = −54 = −54

� = �� = 34Como pode ser visto, a solução do sistema é a mesma que a obtida anteriormente. Só que como multiplicamos a terceira linha por (−1), os sinais de todos os determinantes foram trocados.

Neste caso, um dos determinantes é igual a 4.

O problema é que a ESAF não soube nem copiar a questão do livro.

Dependendo da maneira como o sistema é “arrumado”, o determinante da matriz dos coeficientes pode ser 4 ou −4.

Não podemos afirmar com certeza que o determinante é igual a 4.

A questão deveria ser ANULADA.

Todos sabem que não adianta brigar com a banca na hora da prova. Deixe para brigar nos recursos. E é óbvio que você só brigará nos recursos SE errar a questão.

Vamos analisar as alternativas novamente.

a) é impossível � Esta aqui não tem como ser a resposta de jeito algum, já que � ≠ 0.



b) é indeterminado. � Esta aqui não tem como ser a resposta de jeito algum, já que � ≠ 0.

c) possui determinante igual a 4 (???????)

d) possui apenas a solução trivial. � Esta aqui não tem como ser a resposta de jeito algum, já que encontramos solução não - trivial.

e) é homogêneo � esta aqui não tem como ser a resposta de jeito algum, já que o sistema não é homogêneo.

Montando o sistema linear, dá para ver que não é impossível, nem indeterminado, nem homogêneo, nem tem solução trivial.

Sobre o determinante, a questão foi totalmente lacônica. Há inúmeras matrizes associadas, e diversas formas de montá-las. Em uma delas, realmente o determinante é 4. Então não custa nada chutar letra "c" e torcer pra dar certo. Depois, durante os recursos, aí sim dá para brigar com a questão.

Gabarito oficial: Letra C

Questões ESAF 2012/2013

26. (ATA-MF 2012/ESAF) Dadas as matrizes ; = 82 3331 9 e A = 82 41 39, calcule o

determinante do produto A.B.

a) 8 b) 12 c) 9 d) 15 e) 6

Resolução

Vamos começar calculando os determinantes das matrizes A e B.

det ; = 2 × 3 − 3 × 1 = 3det A = 2 × 3 − 4 × 1 = 2

Agora é só aplicar o teorema de Binet.

det(;A) = det ; × det A = 3 × 2 = 6



Letra E

27. (ATA-MF 2012/ESAF) Dado o sistema de equações lineares

�2 + 3� − 4� = 3MMM − � + 5� = 6M + 2� + 3� = 7O valor de x + y + z é igual a

a) 8 b) 16 c) 4 d) 12 e) 14

Resolução

Poderíamos seguir uma solução “tradicional”. Resolver o sistema, encontrar os valores de x,y e z e depois somar tudo. Contudo, resolverei de uma maneira mais rápida. Veja o que acontece quando somamos as três equações membro a membro.

�2 + 3� − 4� = 3MMM − � + 5� = 6M + 2� + 3� = 72M + M + M + 3� − � + 2� − 4� + 5� + 3� = 3 + 6 + 7

4M + 4� + 4� = 16Dividindo os dois membros da equação, temos:

M + � + � = 4Letra C

28. (ATRFB 2012/ESAF) Dada a matriz ; = 82 1110 9, o determinante de ;� é igual

a

a) 20 b) 28 c) 32 d) 30 e) 25

Resolução



Comecemos calculando o determinante da matriz A.

��; = 2 × 1 − 1 × 0 = 2Agora aplicamos o teorema de Binet.

det ;� = det(; ∙ ; ∙ ; ∙ ; ∙ ;) = (det ;)� = 2� = 32Letra C

29. (AFRFB 2012/ESAF) As matrizes, A, B, C e D são quadradas de quarta ordem. A matriz B é igual a 1/2 da matriz A, ou seja: B = 1/2 A. A matriz C é igual a matriz transposta de B, ou seja: C = Bt. A matriz D é definida a partir da matriz C; a única diferença entre essas duas matrizes é que a matriz D tem como primeira linha a primeira linha de C multiplicada por 2. Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 32, então a soma dos determinantes das matrizes B, C e D é igual a

a) 6 b) 4 c) 12 d) 10 e) 8

Resolução

Sabemos que o determinante da matriz A é igual a 32.

As matrizes são de quarta ordem.

Se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma constante k, então o seu determinante será

det(P ∙ ;) = P1 ∙ det(;)Desta forma podemos calcular o determinante da matriz B.

det A = det(1/2 ∙ ;) = (1/2): ∙ det(;) = 116 ∙ 32 = 2A matriz C é a transposta da matriz B. Como o determinante de uma matriz e o determinante da sua transposta são iguais, então det C = det B = 2.

A matriz D é definida a partir da matriz C; a única diferença entre essas duas matrizes é que a matriz D tem como primeira linha a primeira linha de C multiplicada por 2.

Quando multiplicamos a primeira linha de C por 2, o seu determinante também é multiplicado por 2. Concluímos que det D = 2 x 2 = 4.



A soma dos determinantes das matrizes B, C e D é igual a 2 + 2 + 4 = 8.

Letra E

30. (AFRFB 2012/ESAF) Considere o sistema de equações lineares dado por:

� M + � + � = 0M − � + �� === 2�M + 2� + � −1Sabendo-se que o sistema tem solução única para � ≠ 0 e � ≠ 1, então o valor de x é igual a

a) 2/r b) -2/r c) 1/r d) -1/r e) 2r

Resolução

Aplicação direta do teorema de Cramer.

De acordo com Cramer, temos que x = Dx/D.

�� = t 0 1 12 −1 �−1 2 1t = −� + 1� = t111 1 1−1 �� 2 1t = �( − �

E assim ficamos com:

M = �� = −� + 1�( − � = −(� − 1)�(� − 1) = −1�Letra D

31. (DNIT 2013/ESAF) A soma dos valores de x e y que solucionam o sistema

de equações �M + 2�� === 72M + 5 é igual a:

a) 6 b) 4 c) 3



d) 2 e) 5

Resolução

Já dizia o velho ditado: nas provas de concurso, nada se cria.. tudo se copia…

Por favor, meu amigo, leia novamente o enunciado da questão 27 (aquela do ATA-MF/2012).

Questões idênticas ou não?

Quase.. só que esta do DNIT foi bem mais fácil. A questão do ATA/MF envolvia 3 incógnitas e 3 equações. Aqui só temos duas incógnitas e duas equações.

Já que a ESAF copious e colou o enunciado, eu também vou copier e colar a minha resolução da questão 27.

Poderíamos seguir uma solução “tradicional”. Resolver o sistema, encontrar os valores de x e y e depois somar tudo. Contudo, resolverei de uma maneira mais rápida. Veja o que acontece quando somamos as duas equações membro a membro.

�M + 2�� === 72M + 5M + 2M + 2� + � = 7 + 5

3M + 3� = 12Agora dividindo os dois membros da equação por 3, temos:

M + � = 4E isso é justamente o que o problema pede: a soma dos valores x e y.

Letra B

Espero que tenham gostado da aula. Um abraço e até a próxima.

Guilherme Neves



17. Relação das questões comentadas nesta aula

1. (AFC 2002/ESAF) De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a soma dos elementos da primeira linha da matriz S é igual a: a) 17 b) 29 c) 34 d) 46 e) 58

2. (SERPRO 2001/ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a razão entre os elementos s31 e s13 é igual a:

a) 1/5 b) 2/5 c) 3/5 d) 4/5 e) 1

3. (AFC-CGU 2003/2004 – ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por �&', onde “i” representa a linha e “j”

a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz L = M&', de terceira

ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes ; = N�&'O e A = NB&'O. Sabendo que �&' = �( e que B&' = (� − =)(, então o produto dos elementos M)*�M*)é igual a:

a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 169



4. (MPOG 2003/ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por �&', onde “i” representa a linha e “j” a coluna em

que esse elemento se localiza. Uma matriz L = M&', de terceira ordem, é a

matriz resultante da soma das matrizes ; = N�&'O e A = NB&'O. Sabendo que �&' = �( − =( e que B&' = (� + =)(, então a soma dos elementos M)*�M*) é igual a:

a) 20 b) 24 c) 32 d) 64 e) 108

5. (AFC – SFC 2000/ESAF) A matriz I = �&', de terceira ordem, é a matriz

resultante da soma das matrizes ; = N�&'O e A = NB&'O. Sabendo-se que �&' = �( +=( e que B&' = 2�=, então a soma dos elementos �)*��*) é igual a:

a) 12 b) 14 c) 16 d) 24 e) 32

6. (LIQUIGAS 2007/CETRO) Se A= (aij)3x3 é a matriz definida por aij = i + j e B=(bij)3x3 é a matriz definida por bij= 2i –j, então o elemento localizado na terceira linha e segunda coluna da matriz A.B é (A) 28. (B) 34. (C) 31. (D) 22. (E) 44.

7. (MPU 2004/ESAF) Sejam as matrizes ; = �1 42 63 3 e A = !111 3 4 52 3 4" e seja

M&' o elemento genérico de uma matriz X tal que L = (;A)`, isto é, a matriz X é

a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre M)* e M*( é igual a: a) 2 b) ½ c) 3 d) 1/3 e) 1



8. (MPOG 2008 ESAF) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a:

a) 10-6 b) 105 c) 1010 d) 106 e) 103

9. (ATA – MF 2009/ESAF) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por –3, o determinante da matriz fica

a) Multiplicado por –1. b) Multiplicado por –16/81. c) Multiplicado por 2/3. d) Multiplicado por 16/81. e) Multiplicado por –2/3.

10. (MPOG 2002 ESAF) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a:

a) –2 b)–1/2 c)4 d) 8 e) 10

11. (BNB 2002 VUNESP) Dadas as matrizes

=

=

3 2 c

2 3 b

1 5 a

B e

6 4 2

2 3 5

c b a

A , de determinantes não nulos, para quaisquer

valores de “a”, “b” e “c”, temos

A) det(A) = det(B) B) det(B) = 2.det(A) C) det(A) = 2.det(B) D) det(A) = –2.det(B) E) det(A) = – det(B)



12. (AFC/STN 2005 ESAF) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a:

a) –x-6 b) –x6 c) x3 d) –1 e) 1

13. (MPOG 2005 ESAF) O menor complementar de um elemento genérico xij de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij) = (i+j)2 e que bij = i2 , então o menor complementar do elemento y23 é igual a:

a) 0 b) -8 c) -80 d) 8 e) 80

14. (ANA 2009/ESAF) O determinante da matriz

; = � 2 1 0� B ��4 + � 2 + B é:a) 2bc + c - a b) 2b - c c) a + b + c d) 6 + a + b + c e) 0

15. (Gestor Fazendário – MG 2005/ESAF) Considere duas matrizes de segunda ordem, A e B, sendo que A = 2*/: ∙ ;. Sabendo que o determinante de A é igual a 2�*/(, então o determinante da matriz B é igual a:

a) 21/2 b) 2 c) 2 -1/4



d) 2 -1/2 e) 1

16. (AFC-STN 2000/ESAF) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz � = 3� tem determinante igual a:

a) 1/3 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81

17. (AFC-CGU 2008 ESAF) Qualquer elemento de uma matriz X pode ser representado por xij , onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), de terceira ordem, constrói-se a matriz B (bij), também de terceira ordem, dada por:

Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é igual a:

a) 50 b) -50 c) 0 d) -100 e) 100

18. (MPU 2004/ESAF) Considere as matrizes L = �1 2 32 4 65 3 7 ; � =�� 2 32 B 65 3 � onde os elementos a,b e c são números naturais diferentes de

zero. Então, o determinante do produto das matrizes X e Y é igual a:

a) 0 b) �c) � + B + �



d) � + Be) � + �

19. (Oficial de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) Dada a matriz !1 111M " e

sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valor de M é igual a:

a) −1b) 0 c) 1/2 d) 1 e) 2

20. (LIQUIGAS 2007/CETRO) Para que o sistema abaixo seja possível e determinado, o valor de a deverá ser:

ax + 3y = 7 x +2y = 1

(A) a = 3. (B) a = 3/2. (C) a ≠≠≠ 3/2. (D) a 5/2. (E) a ≠2/5.

21. (Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução; é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é chamado de “indeterminado” quando houver infinitas soluções.

=+

=+

42

03

mba

mbma

Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as incógnitas, é correto afirmar que

a) se m≠0 e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. b) se m=0, o sistema é impossível. c) se m=6, o sistema é indeterminado. d) se m≠0 e a≠2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. e) se m≠0 e m≠6, o sistema é possível e determinado.



22. (TFC-CGU 2008 ESAF) Considerando o sistema de equações lineares

=+

=−

qpxx

xx

21

21

2

2 ,

pode-se corretamente afirmar que:

a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível. b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado. c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado. d) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado. e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível.

23. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Com relação ao sistema

=+

=−

02

0

ax

yax de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema

a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. c) tem solução não trivial para um único valor real de a. d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. e) é impossível para qualquer valor real de a.

24. (TFC 2000/ESAF) Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite, pelo menos, uma solução, e é chamado de “determinado” quando a solução for única e de “indeterminado” quando houver infinitas soluções. A partir do sistema formado pelas equações, M − � = 2 e 2M + ¢� = �, pode-se afirmar que se ¢ = −2 e � = 4, então o sistema é:

a) impossível e determinado. b) impossível ou determinado. c) impossível e indeterminado. d) possível e determinado. e) possível e indeterminado.

25. (AFRFB 2009/ESAF) Com relação ao sistema,

£ M + � + � = 12M − �3� + 2 = � + 12M + � = 1Onde 3� + 2 ≠ 0 e 2M + � ≠ 0, pode-se, com certeza, afirmar que:

a) é impossível. b) é indeterminado.



c) possui determinante igual a 4. d) possui apenas a solução trivial. e) é homogêneo

26. (ATA-MF 2012/ESAF) Dadas as matrizes ; = 82 3331 9 e A = 82 41 39, calcule o

determinante do produto A.B.

a) 8 b) 12 c) 9 d) 15 e) 6

27. (ATA-MF 2012/ESAF) Dado o sistema de equações lineares

�2 + 3� − 4� = 3MMM − � + 5� = 6M + 2� + 3� = 7O valor de x + y + z é igual a

a) 8 b) 16 c) 4 d) 12 e) 14

28. (ATRFB 2012/ESAF) Dada a matriz ; = 82 1110 9, o determinante de ;� é igual

a

a) 20 b) 28 c) 32 d) 30 e) 25

29. (AFRFB 2012/ESAF) As matrizes, A, B, C e D são quadradas de quarta ordem. A matriz B é igual a 1/2 da matriz A, ou seja: B = 1/2 A. A matriz C é igual a matriz transposta de B, ou seja: C = Bt. A matriz D é definida a partir da matriz C; a única diferença entre essas duas matrizes é que a matriz D tem como primeira linha a primeira linha de C multiplicada por 2. Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 32, então a soma dos determinantes das matrizes B, C e D é igual a

a) 6



b) 4 c) 12 d) 10 e) 8

30. (AFRFB 2012/ESAF) Considere o sistema de equações lineares dado por:

� M + � + � = 0M − � + �� === 2�M + 2� + � −1Sabendo-se que o sistema tem solução única para � ≠ 0 e � ≠ 1, então o valor de x é igual a

a) 2/r b) -2/r c) 1/r d) -1/r e) 2r

31. (DNIT 2013/ESAF) A soma dos valores de x e y que solucionam o sistema

de equações �M + 2�� === 72M + 5 é igual a:

a) 6 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5



18. Gabaritos

01. D 02. E 03. D 04. C 05. E 06. B 07. A 08. D 09. E 10. D 11. C 12. B 13. C 14. E 15. E 16. E 17. D 18. A 19. A 20. C 21. E 22. A 23. A 24. E 25. C 26. E 27. C 28. C 29. E 30. D 31. B

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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB …download.oversubs.org/RECEITA FEDERAL 2013 - PONTO DOS CONC… · número real (propriedades e equações modulares). Aula 7 Análise