Raciocínio Lógicoead_casa.s3.amazonaws.com/CursoSecao/apostila-if-ce-raciocinio... · Raciocínio Lógico – Proposição – Prof. Edgar Abreu 5 Já proposições compostas terão

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    Raciocnio Lgico

    Professor Edgar Abreu

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    Raciocnio Lgico

    PROPOSIO

    PROPOSIO SIMPLES

    Um argumento uma sequncia de proposies na qual uma delas a concluso e as demais so premissas. As premissas justificam a concluso.

    Proposio: Toda frase que voc consiga atribuir um valor lgico proposio, ou seja, frases que podem ser verdadeiras ou falsas.

    Exemplos:

    1) Ed feliz.

    2) Joo estuda.

    3) Zambeli desdentado

    No so proposies frases onde voc no consegue julgar, se verdadeira ou falsa, por exemplo:

    1) Vai estudar?

    2) Mas que legal!

    Sentena: Nem sempre permite julgar se verdadeiro ou falso. Pode no ter valor lgico.

    Frases interrogativas, no imperativo, exclamativas e com sujeito indeterminado, no so proposies.

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    Sentenas Abertas: So sentenas nas quais no podemos determinar o sujeito. Uma forma simples de identific-las o fato de que no podem ser nem Verdadeiras nem Falsas. Essas sentenas tambm no so proposies

    Aquele cantor famoso.

    A + B + C = 60.

    Ela viajou.

    QUESTO COMENTADA

    (Cespe Banco do Brasil 2007) Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies.

    I A frase dentro destas aspas uma mentira.

    II A expresso X + Y positiva.

    III O valor de

    IV Pel marcou dez gols para a seleo brasileira.

    V O que isto?

    Soluo:

    Item I: No possvel atribuir um nico valor lgico para esta sentena, j que se considerar que verdadeiro, teremos uma resposta falsa (mentira) e vice-versa. Logo no proposio.

    Item II: Como se trata de uma sentena aberta, onde no esto definidos os valores de X e Y, logo tambm no proposio.

    Item III: Como a expresso matemtica no contm varivel, logo uma proposio, conseguimos atribuir um valor lgico, que neste caso seria falso.

    Item IV: Uma simples proposio, j que conseguimos atribuir um nico valor lgico.

    Item V: Como trata-se de uma interrogativa, logo no possvel atribuir valor lgico, assim no proposio.

    Concluso: Errado, pois existem apenas 2 proposies, Item III e IV.

    PROPOSIES COMPOSTAS

    Proposio Composta a unio de proposies simples por meio de um conector lgico. Este conector ir ser decisivo para o valor lgico da expresso.

    Proposies podem ser ligadas entre si por meio de conectivos lgicos. Conectores que criam novas sentenas mudando ou no seu valor lgico (Verdadeiro ou Falso).

    Uma proposio simples possui apenas dois valores lgicos, verdadeiro ou falso.

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    J proposies compostas tero mais do que 2 possibilidades distintas de combinaes dos seus valores lgicos, conforme demonstrado no exemplo abaixo:Consideramos as duas proposies abaixo, chove e faz frioChove e faz frio.

    Cada proposio existe duas possibilidades distintas, falsa ou verdadeira, numa sentena composta teremos mais de duas possibilidades.

    E se caso essa sentena ganhasse outra proposio, totalizando agora 3 proposies em uma nica sentena:Chove e faz frio e estudo.

    A sentena composta ter outras possibilidades,

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    PARA GABARITAR

    possvel identificar quantas possibilidades distintas teremos de acordo com o nmero de proposio em que a sentena apresentar. Para isso devemos apenas elevar o numero 2 a quantidade de proposio, conforme o raciocnio abaixo:

    Proposies Possibilidades

    1 2

    2 4

    3 8

    n 2n

    QUESTO COMENTADA

    (CESPE Banco do Brasil 2007) A proposio simblica P Q V R possui, no mximo, 4 avaliaes.

    Soluo:

    Como a sentena possui 3 proposies distintas (P, Q e R), logo a quantidade de avaliaes ser dada por:

    2proposies = 23= 8

    Resposta: Errado, pois teremos um total de 8 avaliaes.

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    Slides Proposio

    Prova: UESPI - 2014 - PC-PI - Escrivo de Polcia Civil Assinale, dentre as alterna>vas a seguir, aquela que NO caracteriza uma proposio. a) 107 - 1 divisvel por 5 b) Scrates estudioso. c) 3 - 1 > 1 d) e) Este um nmero primo.

    Prova: CESPE - 2014 - MEC - Todos os Cargos Considerando a proposio P: Nos processos sele?vos, se o candidato for ps-graduado ou souber falar ingls, mas apresentar deficincias em lngua portuguesa, essas deficincias no sero toleradas, julgue os itens seguintes acerca da lgica sentencial. A tabela verdade associada proposio P possui mais de 20 linhas ( ) Certo ( )Errado

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    Prova: CESPE - 2013 - SEGER-ES - Analista Execu

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    Raciocnio Lgico

    NEGAO SIMPLES

    1. der Feio.Como negamos essa frase?

    Para quem, tambm disse: der bonito, errou. Negar uma proposio no significa dizer o oposto, mas sim escrever todos os casos possveis diferentes do que est sugerido.

    der NO feio.

    A negao de uma proposio uma nova proposio que verdadeira se a primeira for falsa e falsa se a primeira for verdadeira

    PARA GABARITARPara negar uma sentena acrescentamos o no, sem mudar a estrutura da frase.

    2. Maria Rita no louca.

    Negao: Maria Rita louca.

    Para negar uma negao exclumos o no

    Simbologia: Assim como na matemtica representamos valores desconhecidos por x, y, z... Na lgica tambm simbolizamos frases por letras. Exemplo:

    Proposio: Z

    Para simbolizar a negao usaremos ~ ou .

    Negao: der no feio.

    Simbologia: ~ Z.

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    Proposio: ~ A

    Negao: Aline louca.

    Simbologia: ~ (~A)= A

    p= Thiago Machado gosta de matemtica.

    ~p = Thiago Machado no gosta de matemtica.

    Caso eu queira negar que Thiago Machado no gosta de matemtica a frase voltaria para a proposio p, Thiago Machado gosta de matemtica.

    ~p = Thiago Machado no gosta de matemtica.

    ~(~p) = No verdade que Thiago Machado no gosta de matemtica.

    ou

    ~(~p) = Thiago Machado gosta de matemtica.

    EXCEESCuidado, em casos que s existirem duas possibilidades, se aceita como negao o "contrrio", alternando assim a proposio inicial. Exemplo:

    p: Joo ser aprovado no concurso.

    ~p: Joo ser reprovado no concurso

    q: O deputado foi julgado como inocente no esquema "lava-jato".

    ~q: O deputado foi julgado como culpado no esquema "lava jato".

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    Raciocnio Lgico

    CONECTIVOS LGICOS

    Um conectivo lgico (tambm chamado de operador lgico) um smbolo ou palavra usado para conectar duas ou mais sentenas (tanto na linguagem formal quanto na linguagem natural) de uma maneira gramaticalmente vlida, de modo que o sentido da sentena composta produzida dependa apenas das sentenas originais.

    Muitas das proposies que encontramos na prtica podem ser consideradas como construdas a partir de uma, ou mais, proposies mais simples por utilizao de uns instrumentos lgicos, a que se costuma dar o nome de conectivos, de tal modo que o valor de verdade da proposio inicial fica determinado pelos valores de verdade da ou das, proposies mais simples que contriburam para a sua formao.

    Os principais conectivos lgicos so:

    I "e" (conjuno).

    II "ou" (disjuno).

    III "se...ento" (implicao).

    IV "se e somente se" (equivalncia).

    CONJUNO E

    Proposies compostas ligadas entre si pelo conectivo e.

    Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por ^.

    Exemplo:

    Chove e faz frio

    Tabela verdade: Tabela verdade uma forma de analisarmos a frase de acordo com suas possibilidades, o que aconteceria se cada caso acontecesse.

    Exemplo:

    Fui aprovado no concurso da PF e Serei aprovado no concurso da PRF

    Proposio 1: Fui aprovado no concurso da PF.

    Proposio 2: Serei aprovado no concurso da PRF.

    Conetivo: e.

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    Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de ^.

    Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p^q.

    Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

    H1:

    p: No fui aprovado no concurso da PF.q: Serei aprovado no concurso da PRF.

    H2:

    p: Fui aprovado no concurso da PF.q: No serei aprovado no concurso da PRF.

    H3:

    p: No fui aprovado no concurso da PF.q: No serei aprovado no concurso da PRF.

    H4:

    p: Fui aprovado no concurso da PF.q: Serei aprovado no concurso da PRF.

    Tabela Verdade: Aqui vamos analisar o resultado da sentena como um todo, considerando cada uma das hipteses acima.

    p q P ^ Q

    H1 F V F

    H2 V F F

    H3 F F F

    H4 V V V

    Concluso

  • Raciocnio Lgico Conectivo E (Conjuno) Prof. Edgar Abreu

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    Slides Conectivo E (Conjuno)

    1. Prova: CESPE - 2014 - TJ-SE - Tcnico Judicirio

    Julgue o item que se segue, relacionado lgica proposicional.

    A sentena O reitor declarou estar contente com as polticas relacionadas educao superior adotadas pelo governo de seu pas e com os rumosatuais do movimento estudantil uma proposio lgica simples.( ) Certo ( ) Errado

    2. Prova: FCC - 2009 - TJ-SE Tcnico Judicirio

    Considere as seguintes premissas:

    p : Trabalhar saudvelq : O cigarro mata.

    A afirmao "Trabalhar no saudvel" ou "o cigarro mata" FALSA sea) p falsa e ~q falsa.b) p falsa e q falsa.c) p e q so verdadeiras.d) p verdadeira e q falsa.e) ~p verdadeira e q falsa.

    Gabarito:1. Errado2. D

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    Raciocnio Lgico

    DISJUNO OU

    Recebe o nome de disjuno toda a proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por v.

    Exemplo:

    Estudo para o concurso ou assisto o Big Brother.

    Proposio 1: Estudo para o concurso.

    Proposio 2: assisto o Big Brother.

    Conetivo: ou.

    Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de v.

    Assim podemos representar a sentena acima da seguinte forma: p v q.

    Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

    H1:

    p: Estudo para o concurso.

    q: assisto o Futebol.

    H2:

    p: No Estudo para o concurso.

    q: assisto o Futebol.

    H3:

    p: Estudo para o concurso.

    q: No assisto o Futebol...

    H4:

    p: No Estudo para o concurso.

    q: No assisto o Futebol.

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    Tabela Verdade:

    p q P v QH1 V V VH2 F V VH3 V F VH4 F F F

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    Raciocnio Lgico

    DISJUNO EXCLUSIVA OU...OU

    Recebe o nome de disjuno exclusiva toda a proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ou primeira proposio ou segunda proposio. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por v.

    Exemplo:

    Ou vou a praia ou estudo para o concurso.

    Proposio 1: Vou a Praia.

    Proposio 2: estudo para o concurso.

    Conetivo: ou.

    Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de " v "

    Assim podemos representar a sentena acima da seguinte forma: p v q

    Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

    H1:

    p: Vou praia.

    q: estudo para o concurso do Banco do Brasil.

    H2:

    p: No Vou praia.

    q: estudo para o concurso do Banco do Brasil.

    H3:

    p: Vou praia.

    q: No estudo para o concurso do Banco do Brasil.

    H4:

    p: No Vou praia.

    q: No estudo para o concursodo Banco do Brasil.

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    Tabela Verdade:

    p q P v QH1 V V FH2 F V VH3 V F VH4 F F F

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    Raciocnio Lgico

    CONDICIONAL SE...ENTO...

    Recebe o nome de condicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo Se... ento, simbolicamente representaremos esse conectivo por .

    Em alguns casos o condicional apresentado com uma vrgula substituindo a palavra ento, ficando a sentena com a seguinte caracterstica: Se proposio 1, proposio 2.

    Exemplo: Se estudo, ento sou aprovado.

    Proposio 1: estudo (Condio Suficiente).

    Proposio 2: sou aprovado (Condio Necessria).

    Conetivo: se... ento.

    Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de

    Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q

    Agora vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

    H1:

    p: estudo.q: sou aprovado.

    H2:

    p: No estudo.q: sou aprovado.

    H3:

    p: No estudo.q: No sou aprovado.

    H4:

    p: estudo.q: No sou aprovado.

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    p q P Q

    H1 V V V

    H2 F V V

    H3 F F V

    H4 V F F

    A tabela verdade do condicional a mais cobrada em provas de concurso pblico.

    A primeira proposio, que compe uma condicional, chamamos de condio suficiente da sentena e a segunda a condio necessria.

    No exemplo anterior temos:

    Estudo condio necessria para ser aprovado.

    Ser aprovado condio suficiente para estudar.

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    Raciocnio Lgico

    BICONDICIONAL ... SE SOMENTE SE ...

    Recebe o nome de bicondicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ... se somente se ... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por . Portanto, se temos a sentena:

    Exemplo: Maria compra o sapato se e somente se o sapato combina com a bolsa.

    Proposio 1: Maria compra o sapato.

    Proposio 2: O sapato combina com a bolsa.

    Conetivo: se e somente se.

    Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de .

    Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q.

    Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

    H1:

    p: Maria compra o sapato.

    q: O sapato no combina com a bolsa.

    H2:

    p: Maria no compra o sapato.

    q: O sapato combina com a bolsa.

    H3:

    p: Maria compra o sapato.

    q: O sapato combina com a bolsa.

    H4:

    p: Maria no compra o sapato.

    q: O sapato no combina com a bolsa.

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    p q P Q

    H1 V F F

    H2 F V F

    H3 V V V

    H4 F F V

    O bicondicional s ser verdadeiro quando ambas as proposies possurem o mesmo valor lgico, ou quando as duas forem verdadeiras ou as duas proposies forem falsas.

    Uma proposio bicondicional pode ser escrita como duas condicionais, como se tivssemos duas implicaes, uma seta da esquerda para direita e outra seta da direita para esquerda, conforme exemplo abaixo:

    Neste caso, transformamos um bicondicional em duas condicionais conectadas por uma conjuno. Estas sentenas so equivalentes, ou seja, possuem o mesmo valor lgico.

    PARA GABARITAR

    SENTENA LGICA VERDADEIROS SE... FALSO SE...

    p q p e q so, ambos, verdade um dos dois for falso

    p q um dos dois for verdade ambos, so falsos

    p q nos demais casos que no for falso p = V e q = F

    p q p e q tiverem valores lgicos iguais p e q tiverem valores lgicos diferentes

  • Raciocnio Lgico Conectivo se e somente se (Bicondicional) Prof. Edgar Abreu

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    Slides Conectivo se e somente se (Bicondicional)

    1. Prova: FJG - RIO - 2014 - Cmara Municipal -RJ - Analista

    Os valores lgicos que devem substituir x, y e z so, respectivamente:

    a) V, F e Fb) F, V e Vc) F, F e Fd) V, V e F

    P Q ~ Q PV V F

    VF

    F xV y

    F F z

    2. Prova: CESPE - 2012 - Banco da Amaznia - Tcnico Cientfico

    Com base nessa situao, julgue os itens seguintes.

    A especificao E pode ser simbolicamente representada por A[BC], em que A, B eC sejam proposies adequadas e os smbolos e representem, respectivamente,a bicondicional e a disjuno.

    ( ) Certo ( ) Errado

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    3. Prova: CESPE - 2012 - TC-DF - Auditor de Controle Externo

    Com a finalidade de reduzir as despesas mensais com energia eltrica na suarepartio, o gestor mandou instalar, nas reas de circulao, sensores de presena ede claridade natural que atendem seguinte especificao:

    P: A luz permanece acesa se, e somente se, h movimento e no h claridade natural suficiente no recinto.

    Acerca dessa situao, julgue os itens seguintes.

    A especificao P pode ser corretamente representada por p (q r ), em que p, q er correspondem a proposies adequadas e os smbolos e representam,respectivamente, a bicondicional e a conjuno

    ( ) Certo ( ) Errado

    Gabarito:1. D2. Certo3. Certo

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    Raciocnio Lgico

    TAUTOLOGIA

    Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos das proposies p, q, r, ... que a compem.

    Exemplo:

    Grmio cai para segunda diviso ou o Grmio no cai para segunda diviso.

    Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de ~p e o conetivo de v.

    Assim podemos representar a sentena acima da seguinte forma: p v ~p.

    Agora vamos construir as hipteses:

    H1:

    p: Grmio cai para segunda diviso.

    ~p: Grmio no cai para segunda diviso.

    H2:

    p: Grmio no cai para segunda diviso.

    ~p: Grmio cai para segunda diviso.

    p ~p p v ~p

    H1 V F V

    H2 F V V

    Como os valores lgicos encontrados foram todos verdadeiros, logo temos uma TAUTOLOGIA!

    Exemplo 2, verificamos se a sentena abaixo uma tautologia:

    Se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme gordo.

    p = Joo alto. ppv qq = Guilherme gordo.

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    Agora vamos construir a tabela verdade da sentena anterior:

    p q p v q p p v q

    H1 V F V V

    H2 F V V V

    H3 F V V V

    H4 F F F V

    Como para todas as combinaes possveis, sempre o valor lgico da sentena ser verdadeiro, logo temos uma tautologia.

  • Raciocnio Lgico Tautologia Prof. Edgar Abreu

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    Slides Tautologia

    1. Prova: Uespi - 2014 - PC-PI - Escrivo de Polcia Civil

    Um enunciado uma tautologia quando no puder ser falso, um exemplo :

    a) Est fazendo sol e no est fazendo sol.b) Est fazendo sol.c) Se est fazendo sol, ento no est fazendo sol.d) no est fazendo sol.e) Est fazendo sol ou no est fazendo sol.

    2. Prova: Cespe - 2014 - TJ-SE - Tcnico Judicirio

    Julgue os prximos itens, considerando os conectivos lgicos usuais , , , , e que P, Q e R representam proposies lgicas simples.

    A proposio uma tautologia.

    ( ) Certo ( ) Errado

    Gabarito:1. E2. C

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    Raciocnio Lgico

    CONTRADIO

    Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser dita uma contradio se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lgicos das proposies p, q, r, ... que a compem.

    Exemplo: Lula o presidente do Brasil e Lula no o presidente do Brasil.

    Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de ~p e o conetivo de ^.

    Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p ^ ~p.

    p ~p p ^ ~p

    H1 V F F

    H2 F V F

    Logo temos uma CONTRADIO!

    PARA GABARITAR Sempre verdadeiro = Tautologia Sempre Falso = Contradio Verdadeiro e Falso = Contigncia

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    Raciocnio Lgico

    NEGAO DE UMA PROPOSIO COMPOSTA

    Agora vamos aprender a negar proposies compostas, para isto devemos considerar que:

    Para negarmos uma proposio conjunta devemos utilizar a propriedade distributiva, similar aquela utilizada em lgebra na matemtica.

    NEGAO DE UMA DISJUNO.

    Negar uma sentena composta apenas escrever quando esta sentena assume o valor lgico de falso, lembrando as nossas tabelas verdade construdas anteriormente.

    Para uma disjuno ser falsa (negao) a primeira e a segunda proposio tem que ser falsas, conforme a tabela verdade abaixo, hiptese 4:

    p q P QH1 V V V

    H2 F V V

    H3 V F V

    H4 F F F

    Assim conclumos que para negar uma sentena do tipo P v Q, basta negar a primeira (falso) E negar a segunda (falso), logo a negao da disjuno (ou) uma conjuno (e).

    Exemplo 1:

    1. Estudo ou trabalho.

    p = estudo.

    q = trabalho P Q

    Conectivo =

    Vamos agora negar essa proposio composta por uma disjuno.

    (p q) = p q

    No estudo e no trabalho.

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    Para negar uma proposio composta por uma disjuno, ns negamos a primeira proposio, negamos a segunda e trocamos ou por e.

    Exemplo 2:

    No estudo ou sou aprovado.

    p = estudo

    q = sou aprovado p q~p = no estudo

    Conectivo:

    Vamos agora negar essa proposio composta por uma disjuno.

    (p q) = p q

    Lembrando que negar uma negao uma afirmao e que trocamos ou por e e negamos a afirmativa.

    Estudo e no sou aprovado.

    NEGAO DE UMA CONJUNO.

    Vimos no captulo de negao simples que a negao de uma negao uma afirmao, ou seja, quando eu nego duas vezes uma mesma sentena, encontro uma equivalncia.

    Vimos que a negao da disjuno uma conjuno, logo a negao da conjuno ser uma disjuno.

    Para negar uma proposio composta por uma conjuno, ns devemos negamos a primeira proposio e depois negarmos a segunda e trocamos e por ou.

    Exemplo 1:

    Vou a praia e no sou apanhado.

    p = vou a praia.

    q = no sou apanhado p q

    Conectivo =

    Vamos agora negar essa proposio composta por uma conjuno.

    No vou praia ou sou apanhado.

  • Raciocnio Lgico Negao da conjuno e disjuno inclusiva (Lei de Morgan) Prof. Edgar Abreu

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    PARA GABARITARVejamos abaixo mais exemplo de negaes de conjuno e disjuno:

    ~(p v q) = ~(p) ~(v) ~(q) = (~p ~q)

    ~(~p v q) = ~(~p) ~(v) ~(q) = (p ~q)

    ~(p~q) = ~(p) ~() ~(~q) = (~p v q)

    ~(~p ~q) = ~(~p) ~() ~(~q) = (p v q)

    Na linguagem falada ou escrita, o elemento primitivo a sentena, ou proposio simples, formada basicamentepor um sujeito e um predicado. Nessas consideraes, esto includas apenas as proposies afirmativas ounegativas, excluindo, portanto, as proposies interrogativas, exclamativas etc. S so consideradas proposiesaquelas sentenas bem definidas, isto , aquelas sobre as quais pode decidir serem verdadeiras (V) ou falsas (F).Toda proposio tem um valor lgico, ou uma valorao, V ou F, excluindo-se qualquer outro. As proposies serodesignadas por letras maisculas A, B, C etc. A partir de determinadas proposies, denominadas proposiessimples, so formadas novas proposies, empregando-se os conectivos e, indicado por v, ou, indicado por w,se ... ento, indicado por , se ... e somente se, indicado por . A relao AB significa que (AB) v (BA).Emprega-se tambm o modificador no, indicado por . Se A e B so duas proposies, constroem-se astabelas-verdade, como as mostradas abaixo, das proposies compostas formadas utilizando-se dos conectivos emodificadores citados a coluna correspondente a determinada proposio composta a tabelaverdade daquelaproposio.

    1. Prova: CESPE 2008 - TRT 5 Regio(BA) - Tc. Judicirio

    A B R

    V V F

    V F F

    F V F

    F F V

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    H expresses s quais no se pode atribuir um valor lgico V ou F, por exemplo: Ele juiz do TRT da 5.Regio, ou x + 3 = 9. O sujeito uma varivel que pode ser substitudo por um elemento arbitrrio,transformando a expresso em uma proposio que pode ser valorada como V ou F. Expresses dessa formaso denominadas sentenas abertas, ou funes proposicionais. Pode-se passar de uma sentena aberta auma proposio por meio dos quantificadores qualquer que seja, ou para todo, indicado por oe, eexiste, indicado por . Por exemplo: a proposio (oex)(x 0 R)(x + 3 = 9) valorada como F, enquanto aproposio (x)(x 0 R)(x + 3 = 9) valorada como V. Uma proposio composta que apresenta em suatabelaverdade somente V, independentemente das valoraes das proposies que a compem, denominada logicamente verdadeira ou tautologia. Por exemplo, independentemente das valoraes V ou Fde uma proposio A, todos os elementos da tabela-verdade da proposio Aw(A) so V, isto , Aw(A) uma tautologia.

    Considerando as informaes do texto e a proposio P: "Mrio pratica natao e jud", julgue os itens seguintes.

    A negao da proposio P a proposio R: Mrio no pratica natao nem jud, cuja tabela-verdade a apresentada ao lado.

    Certo Errado

    2. Prova: FCC - 2014 - AL-PE - Agente Legislativo

    A negao da frase Ele no artista, nem jogador de futebol equivalente a:

    a) ele artista ou jogador de futebol.b) ele artista ou no jogador de futebol.c) no certo que ele seja artista e jogador de futebol.d) ele artista e jogador de futebol.e) ele no artista ou no jogador de futebol.

    Gabarito:1. E2. A

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    Raciocnio Lgico

    NEGAO DE UMA CONDICIONAL

    Conforme citamos anteriormente, negar uma proposio composta escrever a(s) linha(s) em que a tabela verdade tem como resultado falso.

    Sabemos que uma condicional s ser falsa, quando a primeira proposio for verdadeira e a segunda for falsa.

    Assim para negarmos uma sentena composta com condicional, basta repetir a primeira proposio (primeira verdadeira), substituir o conetivo se...ento por e e negar a segunda proposio (segunda falsa).

    Vejamos um exemplo:

    1. Se bebo ento sou feliz.

    p = bebo. p qq = sou feliz.

    Conectivo =

    Negao de uma condicional.

    ~ (p q) = p ~ q

    Resposta: Bebo e no sou feliz.

    2. Se no estudo ento no sou aprovado.

    p = estudo.

    ~p = no estudo. ~p~qq = sou aprovado.

    ~q = no sou aprovado

    Conectivo =

    Negando: ~(~p~q)=~pq

    Resposta: No estudo e sou aprovado.

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    3. Se estudo ento sou aprovado ou o curso no ruim.

    p = estudo.

    q = sou aprovado. pq~rr = curso ruim.

    ~r = curso no ruim.

    Negando, ~(pq~r).

    Negamos a condicional, mantm a primeira e negamos a segunda proposio, como a segunda proposio uma disjuno, negamos a disjuno, usando suas regras (negar as duas proposies trocando ou por e).

    ~(pq~r)=p~(q~r)=p~qr.

    Estudo e no sou aprovado e o curso ruim.

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    Raciocnio Lgico

    NEGAO DE UMA BICONDICIONAL

    Existe duas maneiras de negar uma bicondicional. Uma a trivial onde apenas substitumos o conetivo bicondiciona pela disjuno exclusiva, conforme exemplo abaixo:

    Sentena: Estudo se e somente se no vou praia.

    p = estudo.q = vou praia. ~[ p ~ q ] = [ p ~ q ]~ q = no vou praia

    Conectivo =

    Logo sua negao ser: Ou Estudo ou no vou praia.

    A segunda maneira de negar uma bicondicional utilizando a propriedade de equivalncia e negando as duas condicionais, ida e volta, temos ento que negar uma conjuno composta por duas condicionais.

    Negamos a primeira condicional ou negamos a segunda, usando a regra da condicional em cada uma delas.

    Exemplo 1:

    Estudo se e somente se no vou praia.

    p = estudo.q = vou praia. p ~ q = [ p ~ q ] [ ~ q p]~ q = no vou praia

    Conectivo =

    Uma bicondicional so duas condicionais, ida e volta.

    Negando,

    ~ (p ~ q) = ~ [[p ~ q] [~ q p]] =

    ~ [p ~ q] ~ [~ q p ]

    p q ~ q ~ p.

    Estudo e vou praia ou no vou praia e no estudo.

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    Raciocnio Lgico

    EQUIVALNCIA DE UMA CONDICIONAL

    Vamos descobrir qual a sentena equivalente a uma condicional, negando duas vezes a mesma sentena.

    Exemplo: Se estudo sozinho ento sou autodidata.

    Simbolizando temos:

    p = estudo sozinho p qp = sou autodidata

    conectivo =

    Simbolicamente: p q

    Vamos negar, ~ [ p q ] = p ~ q

    Agora vamos negar a negao para encontrarmos uma equivalncia.

    Negamos a negao da condicional ~ [p ~ q] = ~ p q

    Soluo: No estudo sozinho ou sou autodidata.

    Mas ser mesmo que estas proposies, p q e ~ p q so mesmo equivalentes? Veremos atravs da tabela verdade.

    p Q ~p p q ~ p v q

    V V F V V

    V F F F F

    F V V V V

    F F V V V

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    Perceba na tabela verdade que p q e ~ p q tem o mesmo valor lgico, assim essas duas proposies so equivalentes.

    Exemplo 2: Vamos encontrar uma proposio equivalente a sentena Se sou gremista ento no sou feliz.

    p = Sou gremista.q = Sou feliz. p ~ q~ q = No sou feliz.

    Negao: ~ [ p ~ q ] = p q

    Sou gremista e sou feliz.

    Equivalncia: negao da negao.

    ~ [ p ~ q ] = p q

    ~ [ p q ] = p ~ q

    Logo, No sou gremista ou no sou feliz uma sentena equivalente.

    Exemplo 3: Agora procuramos uma sentena equivalente a Canto ou no estudo.

    c = Canto.e = Estudo .c~ e~ e = No estudo.

    Negao: ~ [ c ~ e ] = ~ c e

    Equivalncia: Negar a negao: ~ [ ~ c e ] = c ~e

    Voltamos para a mesma proposio, tem algo errado, teremos que buscar alternativa. Vamos l:

    Vamos para a regra de equivalncia de uma condicional.

    p q = ~ p q

    , podemos mudar a ordem da igualdade.

    ~ p q = p q

    Veja que o valor lgico de p mudou e q continuou com o mesmo valor lgico.

    Usando a regra acima vamos transformar a proposio inicial composta de uma disjuno em numa condicional.

    c ~ e = p q

    Para chegar condicional, mudo o valor lgico de p,

  • Raciocnio Lgico Equivalncia de uma Condicional e Disjuno Inclusiva Prof. Edgar Abreu

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    Troco ou por se...ento e mantenho o valor lgico de q, ficando

    Se no canto ento no estudo.

    Exemplo 4: Estudo ou no sou aprovado. Qual a sentena equivalente?

    e = Estudo.a = Sou aprovado. e~ a~ a = No sou aprovado.

    Dica: quando for ou a equivalncia sempre ser se...ento.

    Assim, temos que transformar ou em se...ento. Mas como?

    p q = ~ p q (equivalentes), vamos inverter.

    ~ p q = p q

    Inverte o primeiro e mantm o segundo, trocando ou por se...ento, transferimos isso para nossa proposio.

    e ~ a = ~ e ~ a

    Trocamos e por ~ e, mantemos ~ a e trocamos " " por " ".

    Logo, Se no estudo ento no sou aprovado.

    No podemos esquecer que ou comutativo, assim a opo de resposta pode estar trocada, ento atente nisto, ao invs de e ~ a pode ser ~ a e , assim a resposta ficaria:

    Se sou aprovado ento estudo.

    Quaisquer das respostas estaro certas, ento muita ateno!

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    Raciocnio Lgico

    CONTRAPOSITIVA

    Utilizamos como exemplo a sentena abaixo:

    Se estudo lgica ento sou aprovado

    p = estudo lgica. p qq = sou aprovado.

    Vamos primeiro negar esta sentena:

    (p q) = p q

    Lembrando da tabela verdade da conjuno e, notamos que a mesma comutativa, ou seja, se alterarmos a ordem das premissas o valor lgico da sentena no ser alterado. Assim vamos reescrever a sentena encontrada na negao, alterando o valor lgico das proposies.

    p q = q p

    Agora vamos negar mais uma vez para encontrar uma equivalncia da primeira proposio.

    (q p) q p

    Agora vamos utilizar a regra de equivalncia que aprendemos anteriormente.

    Regra:p q p q

    Em nosso exemplo temos:q p q p

    Logo encontramos uma outra equivalncia para a nossa sentena inicial.

    Esta outra equivalncia chamamos de contrapositiva e muito fcil de encontrar, basta comutar as proposies (trocar a ordem) e negar ambas.

    p q = q pExemplo 2: Encontrar a contrapositiva (equivalente) da proposio Se estudo muito ento minha cabea di

    p = estudo muito. p qq = minha cabea di.

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    Encontramos a contrapositiva, invertendo e negando ambas proposies.p q = q p

    Logo temos que: Se minha cabea no di ento no estudo muito.

    PARA GABARITAR

    EQUIVALNCIA 1: p q = p q

    EQUIVALNCIA 2: p q = q p (contrapositiva)

  • Raciocnio Lgico Equivalncia Contrapositiva Prof. Edgar Abreu

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    Slides Equivalncia Contrapositiva

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    Raciocnio Lgico

    EQUIVALNCIA BICONDICIONAL E CONDICIONAL

    Recebe o nome de bicondicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ... se somente se... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por . Portanto, se temos a sentena:

    Exemplo: Estudo se e somente se sou aprovado

    Proposio 1: Estudo.

    Proposio 2: Sou aprovado.

    Conetivo: se e somente se.

    Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de

    Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q

    Sua tabela verdade :

    p q p q

    H1 V F F

    H2 F V F

    H3 V V V

    H4 F F V

    Uma proposio bicondicional pode ser escrita como duas condicionais, como se tivssemos duas implicaes, uma seta da esquerda para direita e outra seta da direita para esquerda, conforme exemplo abaixo:

    Neste caso, transformamos um bicondicional em duas condicionais conectadas por uma conjuno. Estas sentenas so equivalentes, ou seja, possuem o mesmo valor lgico.

    p q p q p q (p q) (p q) p q

    V V V V V V

    F F V V V V

    F V V F F F

    V F F V F F

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    Raciocnio Lgico

    QUANTIFICADORES LGICOS

    Chama-se argumento a afirmao de que um grupo de proposies iniciais redunda em uma outra proposio final, que ser conseqncia das primeiras. Estudaremos aqui apenas os argumentos que podemos resolver por diagrama, contendo as expresses: Todo, algum, nenhum ou outras similares.

    Um argumento vlido tem obrigatoriamente a concluso como consequncia das premissas. Assim, quando um argumento vlido, a conjuno das premissas verdadeiras implica logicamente a concluso.

    Exemplo: Considere o silogismo abaixo:

    1. Todo aluno da Casa do Concurseiro aprovado.

    2. Algum aprovado funcionrio da defensoria.

    Concluso:

    Existem alunos da casa que so funcionrios da defensoria.

    Para concluir se um silogismo verdadeiro ou no, devemos construir conjuntos com as premissas dadas. Para isso devemos considerar todos os casos possveis, limitando a escrever apenas o que a proposio afirma.

    Pelo exemplo acima vimos que nem sempre a concluso acima verdadeira, veja que quando ele afirma que existem alunos da casa que so funcionrios da defensoria, ele est dizendo que sempre isso vai acontecer, mas vimos por esse diagrama que nem sempre acontece.

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    Nesse diagrama isso acontece, mas pelo dito na concluso, sempre vai existir, e vimos que no, logo a concluso falsa.

    No mesmo exemplo, se a concluso fosse:

    Existem funcionrios da defensoria que no so alunos da casa.

    Qualquer diagrama que fizermos (de acordo com as premissas) essa concluso ser verdadeira, tanto no diagrama 1 quanto no diagrama 2, sempre vai ter algum de fora do desenho.

    Logo, teramos um silogismo!

    Silogismo uma palavra cujo significado o de clculo. Etimologicamente, silogismo significa reunir com o pensamento e foi empregado pela primeira vez por Plato (429-348 a.C.). Aqui o sentido adotado o de um raciocnio no qual, a partir de proposies iniciais, conclui-se uma proposio final. Aristteles (384-346 a.C.) utilizou tal palavra para designar um argumento composto por duas premissas e uma concluso.

    ALGUM

    Vamos representar graficamente as premissas que contenham a expresso algum.

    So considerados sinnimos de algum as expresses: existe(m), h pelo menos um ou qualquer outra similar.

    Analise o desenho abaixo, que representa o conjunto dos A e B. O que podemos inferir a partir do desenho?

    Concluses:Existem elementos em A que so B. Existem elementos em B que so A.Existem elementos A que no so B.Existem elementos B que no esto em A.

  • Raciocnio Lgico Quantificadores Lgicos: Todo, Nenhum e Existe Prof. Edgar Abreu

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    NENHUM

    Vejamos agora as premissas que contm a expresso nenhum ou outro termo equivalente.

    Analise o desenho abaixo, que representa o conjunto dos A e B. O que podemos inferir a partir do desenho?

    Concluses:

    Nenhum A B.

    Nenhum B A.

    TODO

    Vamos representar graficamente as premissas que contenham a expresso todo.

    Pode ser utilizado como sinnimo de todo a expresso qualquer um ou outra similar.

    Analise o desenho abaixo, que representa o conjunto dos A e B. O que podemos inferir a partir do desenho?

    Concluso:

    Todo A B.

    Alguns elementos de B A ou existem B que so A.

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    Prova: FGV - 2014 - AL-BA - Tc.Nvel Mdio

    Afirma-se que: Toda pessoa gorda come muito.

    correto concluir que:

    a) se uma pessoa come muito, ento gorda.b) se uma pessoa no gorda, ento no come muito.c) se uma pessoa no come muito, ento no gorda.d) existe uma pessoa gorda que no come muito.e) no existe pessoa que coma muito e no seja gorda.

    Gabarito:1. C

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    Raciocnio Lgico

    NEGAO DE TODO, ALGUM E NENHUM

    As Proposies da forma Algum A B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.

    As Proposies da forma Todo A B estabelecem que o conjunto A um subconjunto de B. Note que no podemos concluir que A = B, pois no sabemos se todo B A.

    Como negamos estas Proposies:

    Exemplos:

    1. Toda mulher friorenta.

    Negao: Alguma mulher no friorenta

    2. Algum aluno da casa ser aprovado.

    Negao: Nenhum aluno da casa vai ser aprovado.

    3. Nenhum gremista campeo.

    Negao: Pelo menos um gremista campeo.

    4. Todos os estudantes no trabalham

    Negao: Algum estudante trabalha.

    PARA GABARITAR

    Cuide os sinnimos como por exemplo, existem, algum e etc.

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    1. Prova: Instituto AOCP 2014 UFGD Analista de Tecnologia da Informao

    Assinale a alternativa que apresenta a negao de Todosos pes so recheados.

    a) Existem pes que no so recheados.b) Nenhum po recheado.c) Apenas um po recheado.d) Pelo menos um po recheado.e) Nenhuma das alternativas.

    2. Prova: FJG-RIO 2014 Cmara Municipal do Rio de Janeiro Analista Legislativo

    Seja a seguinte proposio: existem pessoas que no acordam cedo e comem demais no almoo.

    A negao dessa proposio est corretamente indicada na seguinte alternativa:

    a) Todas as pessoas acordam cedo ou no comem demais no almoo.b) No existem pessoas que comem demais no almoo.c) No existem pessoas que acordam cedo.d) Todas as pessoas que no acordam cedo comem demais no almoo.

  • Raciocnio Lgico Negao Todo, Nenhum e Existe Prof. Edgar Abreu

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    3. Prova: CESPE 2014 Cmara dos Deputados Tcnico Legislativo

    Considerando que P seja a proposio Se o bem pblico, entono de ningum, julgue os itens subsequentes.

    A negao da proposio P est corretamente expressa por Obem pblico e de todos.

    ( ) Certo ( ) Errado

    4. Prova: FGV - 2013 TJ/AM - Analista Judicirio - Servio Social

    Jos afirmou: Todos os jogadores de futebol que no so ricos jogamno Brasil ou jogam mal.

    Assinale a alternativa que indica a sentena que representa a negao do queJos afirmou:

    a) Nenhum jogador de futebol que no rico joga no Brasil ou joga mal.b) Todos os jogadores de futebol que no jogam no Brasil e no jogam mal.c) Algum jogador de futebol que no rico no joga no Brasil e no joga mal.d) Algum jogador de futebol rico mas joga no Brasil ou joga mal.e) Nenhum jogador de futebol que rico joga no Brasil ou joga mal.

    Gabarito:1. A2. A3. Errado4. C

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    Raciocnio Lgico

    SILOGISMO

    Silogismo Categrico uma forma de raciocnio lgico na qual h duas premissas e uma concluso distinta destas premissas, sendo todas proposies categricas ou singulares. Existem casos onde teremos mais de duas premissas.Devemos sempre considerar as premissas como verdadeira e tentar descobrir o valor lgico de cada uma das proposies, com objetivo de identificar se a concluso ou no verdadeira.Sempre que possvel devemos comear nossa linha de raciocnio por uma proposio simples ou se for composta conectada pela conjuno e.Abaixo um exemplo de como resolver uma questo envolvendo silogismo.

    QUESTO COMENTADA(FCC: BACEN - 2006) Um argumento composto pelas seguintes premissas:

    I Se as metas de inflao no so reais, ento a crise econmica no demorar a ser superada.II Se as metas de inflao so reais, ento os supervits primrios no sero fantasioso.III Os supervits sero fantasiosos.Para que o argumento seja vlido, a concluso deve ser:

    a) A crise econmica no demorar a ser superada.b) As metas de inflao so irreais ou os supervits sero fantasiosos.c) As metas de inflao so irreais e os supervits so fantasiosos.d) Os supervits econmicos sero fantasiosos.e) As metas de inflao no so irreais e a crise econmica no demorar a ser

    superada.

    Soluo:

    Devemos considerar as premissas como verdadeiras e tentar descobrir o valor lgico de cada uma das proposies.Passo 1: Do portugus para os smbolos lgicos.

    I Se as metas de inflao no so reais, ento a crise econmica no demorar a ser superada

    ~ P Q ~

    II Se as metas de inflao so reais, ento os supervits primrios no sero fantasiosos.

    ~ P R ~

    III Os supervits sero fantasiosos.

    Passo 2: Considere as premissas como verdade.

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    PREMISSA 1 PREMISSA 2 PREMISSA 3

    VERDADE VERDADE VERDADE

    ~ P ~ Q ~ P ~ R R

    No possvel determinar o valor lgico de P e Q, j

    que existem 3 possibilidades distintas que torna o

    condicional verdadeiro.

    No possvel determinar o valor lgico de P e Q, j

    que existem 3 possibilidades distintas que torna o

    condicional verdadeiro.

    CONCLUSO: R=V

    Passo 3: Substitui a premissa 3 em 2 e analise.

    Como na premissa 3 vimos que R V logo ~ R = F. Como P uma proposio, o mesmo pode ser F ou V.

    Vamos testar:

    P ~ R P ~ RF F F V F

    V F V F F

    Como a premissa 2 verdade e caso a proposio P tenha valor V teremos uma premissa falsa, logo chegamos a concluso que P = F.

    Passo 3: Substitui a premissa 2 em 1 e analise.

    Como na premissa 2 vimos que P F logo ~ P = V. Como Q uma proposio, o mesmo pode ser F ou V. Analisando o condicional temos:

    ~ P ~ QV V V

    V F F

    Logo ~ Q = V, assim Q = F

    Passo 4: Traduzir as concluses para o portugus.

    Premissa 1: P = F

    as metas de inflao no so reais.

    Premissa 2: Q = F

    crise econmica no demorar a ser superada.

    Concluso: Alternativa A

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    Slides

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    Raciocnio Lgico

    ARGUMENTO COM QUANTIFICADORES VLIDO SILOGISMO

    QUESTO COMENTADA

    FCC: TCE-SP 2010

    Considere as seguintes afirmaes:

    I Todo escriturrio deve ter noes de Matemtica.

    II Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo so escriturrios.

    Se as duas afirmaes so verdadeiras, ento correto afirmar que:

    a) Todo funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo deve ter noes de Matemtica.

    b) Se Joaquim tem noes de Matemtica, ento ele escriturrio.c) Se Joaquim funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo, ento ele

    escriturrio.d) Se Joaquim escriturrio, ento ele funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So

    Paulo.e) Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo podem no ter noes

    de Matemtica.

    Resoluo:

    Primeiramente vamos representar a primeira premissa.

    I Todo escriturrio deve ter noes de Matemtica.

    II Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo so escriturrios.

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    Vejamos uma hiptese para a segunda premissa.

    Vamos considerar agora a possibilidade de todos os funcionrios terem noes de Matemtica, ficamos agora com duas possibilidades distintas.

    Analisamos agora as alternativas:

    Alternativa A: Todo funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo deve ter noes de Matemtica

    Soluo:

    Observe que o nosso smbolo representa um funcionrio do TCE que no possui noo de matemtica. Logo a concluso precipitada.

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    Alternativa B: Se Joaquim tem noes de Matemtica, ento ele escriturrio.

    Soluo:

    O ponto em destaque representa algum que possui noo de matemtica, porm no escriturrio, logo a concluso precipitada e est errada.

    Alternativa C: Se Joaquim funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo, ento ele escriturrio.

    Soluo:

    O ponto em destaque representa algum que possui funcionrio do TCE, porm no escriturrio, logo a concluso precipitada e est errada.

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    Alternativa D: Se Joaquim escriturrio, ento ele funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo.

    Soluo:

    O ponto em destaque representa algum que escriturrio, porm no funcionrio do TCE, logo a concluso precipitada e est alternativa est errada.

    Alternativa E: Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo podem no ter noes de Matemtica.

    Soluo:

    O ponto em destaque representa um funcionrio do TCE que no tem noo de matemtica, como a questo afirma que podem, logo est correta.

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    Prova: IESES - 2014 - IGP-SC - Auxiliar Pericial Criminalstico

    Considere que as seguintes frases so verdadeiras e assinale a alternativa correta:

    - Algum policial alto; - Todo policial educado.

    a) Todo policial educado alto.b) Algum policial alto no educado.c) Algum policial no educado alto.d) Algum policial educado alto.

    Prova: FDRH - 2008 - IGP-RS - Papiloscopista Policial

    Considere os argumentos abaixo:

    I Todos os gatos so pretos. Alguns animais pretos mordem. Logo, alguns gatos mordem.

    II Se 11 um nmero primo, ento, 8 no um nmero par. Ora 8 um nmero par, portanto, 11 no um nmero primo.

    III Todos os X so Y. Todos os Z so Y. Alguns X esto quebrados. Logo, alguns Y esto quebrados.

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    Quais so vlidos?

    a) Apenas o I.b) Apenas o II. c) Apenas o III.d) Apenas o II e o III. e) O I, o II e o III.

    Gabarito:1. D2. D