Raciocínio Lógico

Matemático e AnalíticoProfessor Cláudio Serra

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Aula 2 – Análise Combinatória

TÓPICOS INTRODUTÓRIOS E CONCEITUAIS1 - FatorialSeja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo:n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n ³ 2.Para n = 0 , teremos : 0! = 1.Para n = 1 , teremos : 1! = 1Exemplos:a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720b) 4! = 4.3.2.1 = 24c) observe que 6! = 6.5.4!

d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1e) 10! = 10.9.8.7.6.5!f ) 10! = 10.9.8!

2 - Princípio fundamental da contagem - PFCSe determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeiraetapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneirasdiferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras deocorrer o acontecimento é dado por:

T = k1. k2 . k3 . ... . kn

Exemplo:O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadasusando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo deveículos que poderá ser licenciado?

Solução:Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-

USTZ.Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26alternativas.

Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativaspara cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total deveículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 queresulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, jáque não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos.

3 - Permutações simples3.1 - Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentosformados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordemde seus elementos.

Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.

3.2 - O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é

Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 .

Exemplos:a) P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares.P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

3.3 - Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.Exemplo: Os possíveis anagramas da palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.Assim, o número máximo de anagramas distintos de uma palavra com n letras DIFERENTES é igual a Pn

4 - Permutações com elementos repetidosSe entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementosrepetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total depermutações que podemos formar é dado por:

Exemplo:Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento)Solução:Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever: k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200 Resposta: 151200 anagramas.

!!!

!,,

cba

nP cba

n =

5 - Arranjos simples5.1 - Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k ,a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Doisarranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, noconjunto E = {a,b,c}, teremos:a) arranjos com 2 elementos 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.b) arranjos com 3 elementos: abc, acb, bac, bca, cab, cba.5.2 - Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k(taxa k) por An,k , teremos a seguinte fórmula:

( )!!

,kn

nA kn

−=

Exemplo:Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo docofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoatentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) paraconseguir abri-lo?

Solução:As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmulade arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos aomesmo resultado10.9.8 = 720.Observe que 720 = A10,3

6 - Combinações simples6.1 - Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k ak (k elementos em cada grupo) aos subconjuntos formados por k elementosdistintos escolhidos entre os n elementos dados.Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementosdistintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.Exemplo:No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:a) combinações com 2 elementos: ab, ac, ad,bc,bd, cd.b) combinações com 3 elementos: abc, abd,acd,bcd.c) combinações com 4 elementos: abcd.

6.2 – Combinações Simples:Representando por Cn,k o número total de combinações de elementos tomados k a k , temos a seguinte fórmula:

Nota: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por

)!(!

!

knk

nC k

n−

=

n

k

Exemplo:

Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver

10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?

Solução:

Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo,

podemos concluir que trata-se de um problema de combinações de

15 elementos com 10 em cada grupo.

Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:

C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! /

5.4.3.2.1.10! = 3003

1) (CESPE) Julgue o seguinte item, relativos a raciocínio lógico, a princípios decontagem e probabilidade e a operações com conjuntos.Situação hipotética: A ANVISA, com objetivo de realizar a regulação de umnovo medicamento, efetua as análises laboratoriais necessárias. Essas análisessão assistidas por um grupo de 4 dos seus 8 técnicos farmacêuticos. Dessestécnicos, 3 possuem cargo de chefia de equipe e por isso não trabalhamjuntos. Assertiva: Nessa situação, considerando que em cada uma das equipesparticipa sempre apenas um dos três técnicos farmacêuticos chefes, então aquantidade de equipes distintas com 4 técnicos farmacêuticos que poderão serformadas é inferior a 25..

2) (CESPE) Em um campeonato de futebol amador de pontos corridos, do

qual participam 10 times, cada um desses times joga duas vezes com cada

adversário, o que totaliza exatas 18 partidas para cada. Considerando-se que o

time vencedor do campeonato venceu 13 partidas e empatou 5, é correto

afirmar que a quantidade de maneiras possíveis para que esses resultados

ocorram dentro do campeonato é.

a) superior a 4.000 e inferior a 6.000. b) superior a 6.000 e inferior a 8.000.

c) superior a 8.000 d) inferior a 2.000.

e) superior a 2.000 e inferior a 4.000.

3) Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino e 8 do sexo feminino. A região atendida pelo batalhão é composta por 10 quadras e, em cada dia da semana, uma dupla de policiais policia cada uma das quadras.

Com referência a essa situação, julgue o item subsequente.Se a escala dos policiais for feita de modo a diversificar as duplas que policiamas quadras, então, se determinada dupla policiar a quadra X em determinadodia, essa mesma dupla voltará a policiar a quadra X somente mais de seismeses após aquele dia.

4) (FCC) O setor de almoxarifado de uma loja conta com 6 funcionários, e o setor deconferencistas com outros 5 funcionários. Uma tarefa tem que ser executada por umgrupo de 3 funcionários do almoxarifado e, em seguida, tem que ser conferida por umgrupo de 2 conferencistas. O total de possibilidades diferentes de agrupamentos dos 5funcionários que devem executar e conferir essa tarefa é igual aParte superior do formulárioa) 120.b) 180.c) 200.d) 150.e) 240.

5) (FCC) A senha requerida para ligar um computador é formada pelas mesmas 8letras da palavra TERESINA, com as vogais ocupando as 4 primeiras posições e, asconsoantes, as 4 últimas. Conhecendo apenas essas informações, uma pessoaque deseja usar o computador vai digitando todas as possíveis senhas, atéacertar a correta. Se essa pessoa nunca digitar a mesma senha mais de uma vez,conseguirá descobrir a senha correta em, no máximo,Parte superior do formulárioa) 240 tentativas.b) 144 tentativas.c) 576 tentativas.d) 196 tentativas.e) 288 tentativas.

6) (CESGRANRIO) Compareceram a uma festa exatamente 20 homens com suasrespectivas esposas.Quantos pares (A, B) podem ser formados, de maneira que A é um homem, B é

uma mulher e A não é casado com B?a)20b)40c)210d)380e)400

7)(CESPE) Sobre as Técnicas de Contagem, julgue o item a seguir :

O número de anagramas da palavra CAPITULO que não têm duas vogais, nemduas consoantes juntas é menor que 1153.

8) (ESAF) Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos,e que as demais tenham idade superior a 23 anos.Apresentaram-se para a seleção quinze candidatas, com idades de 15 a 29anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais.O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados apartir desse conjunto de candidatas é igual a:a) 120 b)1220 c)870 d)760 e)1120

9) (ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar deum desfile de modas.A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas,mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos.Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ouDenise.Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila.Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:

a) 420 b) 480 c) 360 d) 240 e) 60

10) (CESPE) Em geral, empresas públicas ou privadas utilizam códigos para protocolar aentrada e a saída de documentos e processos.Considere que se deseja gerar códigos cujos caracteres pertencem ao conjunto das 26letras de um alfabeto, que possui apenas 5 vogais.Logo, pode-se concluir que, se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos,que poderão ter 1, 2 ou 3 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então épossível obter mais de 11.000 códigos distintos.

11) (CESPE) Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3funcionários de uma repartição de modo que o funcionário mais recentementecontratado receba 3 tarefas, e os demais, 2 tarefas cada um. Nessa situação,sabendo-se que a mesma tarefa não será atribuída a mais de um funcionário, écorreto concluir que o chefe da repartição dispõe de quantas maneirasdiferentes para distribuir essas tarefas ?a) 210 b) 120 c) 63 d) 48 e) 12

12) (CESPE) Julgue o item seguinte, sobre Técnicas de Contagem.O número de anagramas da palavra ALAMEDA que tem as vogais todas juntas é menor do que 100.