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Raciocínio Lógico Quantitativo
Notas de Aula
Prof.a Paula Francis Benevides
Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba
Gerência de Ensino e Pesquisa
Departamento Acadêmico de Matemática
Conteúdo
AULA 1 .................................................................................................................................... 7
1. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS EM LÓGICA MATEMÁTICA ................................................... 7
1.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES .............................................................................................. 7
1.2 CÁLCULO PROPOSICIONAL E CÁLCULO DOS PREDICADOS: ............................................. 8
1.2.1 Proposição, declaração ......................................................................................... 8
1.3 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS: ......................................................................................... 8
2. PROPOSIÇÕES OU ENUNCIADOS - FUNDAMENTAÇÃO DO CÁLCULO PROPOSICIONAL ....... 9
2.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O SISTEMA DICOTÔMICO OU BIVALENTE: ............................... 9
2.2 DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES NO CÁLCULO PROPOSICIONAL: ................... 9
2.3 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES: ................... 10
2.4 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÒES COMPOSTAS: .............. 10
2.5 VERDADE E VALIDADE: .................................................................................................. 11
2.6 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO DE CONECTIVOS LÓGICOS: ........................ 12
3. ENTIDADES LIGADAS À OPERAÇÃO ................................................................................. 14
3.1 ESCOPO E PAREAÇÃO: ................................................................................................... 14
3.2 ORDEM DE PRECEDÊNCIA DOS OPERADORES LÓGICOS: .............................................. 14
4. OPERAÇÕES LÓGICAS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO SENTENCIAL .................................. 15
4.1 RELAÇÕES ENTRE CONECTIVOS LÓGICOS E OS OPERADORES LÓGICOS ....................... 15
4.1.1 Definição .............................................................................................................. 15
4.1.2 Conectivos: ........................................................................................................... 16
4.2 DEFINIÇÃO FORMAL DOS OPERADORES LÓGICOS: ....................................................... 16
4.2.1 NEGAÇÃO ............................................................................................................. 16
4.2.2 CONJUNÇÃO ......................................................................................................... 17
4.2.3 DISJUNÇÃO ........................................................................................................... 17
4.2.4 DISJUNÇÃO EXCLUSIVA ........................................................................................ 17
4.2.5 CONDICIONAL ...................................................................................................... 18
4.2.6 BICONDICIONAL ................................................................................................... 18
AULA 2 .................................................................................................................................. 22
5. PROCEDIMENTOS DE DECISÃO........................................................................................ 22
5.1 FÓRMULAS PROPOSICIONAIS ESPECIAIS: ..................................................................... 23
5.1.1 Tautologia ............................................................................................................ 23
5.1.2 Contradição .......................................................................................................... 23
5.1.3 Contingência ........................................................................................................ 24
AULA 3 .................................................................................................................................. 25
6. RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA .................................................................................. 25
6.1 DISTINÇÃO ENTRE OS SÍMBOLOS: E .................................................................... 30
6.2 DEFINIÇÃO .................................................................................................................... 30
6.3 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DAS RELAÇÕES DE IMPLICAÇÃO LÓGICA ................. 30
6.4 TEOREMA FUNDAMENTAL DA IMPLICAÇÃO LÓGICA .................................................... 31
6.5 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES SOBRE AS IMPLICAÇÕES ENTRE
PROPOSIÇÕES ................................................................................................................................. 31
6.6 IMPLICAÇÕES NOTÁVEIS ............................................................................................... 33
6.7 PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL: ..................................................... 33
6.7.1 Propriedades: ....................................................................................................... 33
AULA 4 .................................................................................................................................. 30
7. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA .............................................................................. 30
7.1 DISTINÇÃO ENTRE OS SÍMBOLOS: E ........................ ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO.
7.2 DEFINIÇÃO DE EQUIVALÊNCIA: .......................................... ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO.
7.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DAS EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS: ............. ERRO! INDICADOR NÃO
DEFINIDO.
7.4 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DAS RELAÇÒES DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA: ........ ERRO!
INDICADOR NÃO DEFINIDO.
7.5 EQUIVALÊNCIAS NOTÁVEIS: ............................................... ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO.
7.6 OPERAÇÒES DERIVADAS: ................................................... ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO.
7.6.1 Negação conjunta: ................................................... Erro! Indicador não definido.
7.6.2 Negação disjunta ..................................................... Erro! Indicador não definido.
AULA 5 .................................................................................................................................. 36
8. EXERCÍCIOS GERAIS ........................................................................................................ 36
AULA 6 .................................................................................................................................. 40
9. ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES .......................................................................................... 40
9.1 PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO: ................................................................................. 40
9.1.1 Idempotência: ...................................................................................................... 40
9.1.2 Comutatividade: .................................................................................................. 40
9.1.3 Associatividade: ................................................................................................... 40
9.1.4 Identidade: ........................................................................................................... 41
9.2 PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO: ................................................................................... 41
9.2.1 Idempotência: ...................................................................................................... 41
9.2.2 Comutatividade: .................................................................................................. 41
9.2.3 Associatividade: ................................................................................................... 42
9.2.4 Identidade: ........................................................................................................... 42
9.3 PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO: ..................................................... 42
9.3.1 Distributiva:.......................................................................................................... 42
9.3.2 Absorção: ............................................................................................................. 43
9.3.3 LEIS DE DE MORGAN: ........................................................................................... 43
9.4 NEGAÇÃO DA CONDICIONAL: ....................................................................................... 43
9.5 NEGAÇÃO DA BICONDICIONAL: .................................................................................... 44
10. MÉTODO DEDUTIVO ....................................................................................................... 44
10.1 REDUÇÃO DO NÚMERO DE CONECTIVOS: .................................................................... 44
10.2 EXEMPLICIFICAÇÃO: ...................................................................................................... 45
AULA 7 .................................................................................................................................. 51
11. FORMA NORMAL DAS PROPOSIÇÕES .............................................................................. 51
11.1 DEFINIÇÃO: ................................................................................................................... 51
11.1.1 FORMA NORMAL COJUNTIVA: ........................................................................... 51
11.1.2 FORMA NORMAL DISJUNTIVA: .......................................................................... 52
11.2 PRINCÍPIO DA DUALIDADE: ........................................................................................... 52
AULA 8 .................................................................................................................................. 54
12. RACIOCÍNIO LÓGICO – TEORIA DA ARGUMENTAÇÃO: ..................................................... 54
12.1 PENSAMENTO LÓGICO FORMAL: .................................................................................. 54
12.2 ARGUMENTO: ............................................................................................................... 54
12.2.1 VALIDADE DE UM ARGUMENTO: ....................................................................... 55
12.3 CONDICIONAL ASSOCIADA A UM ARGUMENTO: .......................................................... 55
12.4 VALIDADE DOS ARGUMENTOS ATRAVÉS DE TABELA VERDADE: .................................. 56
12.5 REGRAS DE INFERÊNCIA: ............................................................................................... 56
12.6 EXEMPLO DO USO DAS REGRAS DE INFERÊNCIA: ......................................................... 57
12.6.1 Regra da adição: ................................................................................................ 57
12.6.2 Regra da simplificação: ...................................................................................... 58
12.6.3 Regra da conjunção: .......................................................................................... 58
12.6.4 Regra da absorção: ............................................................................................ 58
12.6.5 Regra Modus Ponens: ........................................................................................ 58
12.6.6 Regra Modus Tolens: ......................................................................................... 58
12.6.7 Regra do Silogismo disjuntivo: ........................................................................... 59
12.6.8 Regra do Silogismo hipotético: .......................................................................... 59
12.6.9 Regra do dilema construtivo: ............................................................................. 59
12.6.10 Regra do dilema destrutivo: ............................................................................ 59
AULA 9 .................................................................................................................................. 65
13. VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA: .............................................................. 65
13.1 EXEMPLIFICAÇÃO .......................................................................................................... 65
AULA 10 ................................................................................................................................ 75
14. VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA E EQUIVALÊNCIAS: ................................. 75
14.1 EQUIVALÊNCIAS NOTÁVEIS: .......................................................................................... 75
14.2 EXEMPLIFICAÇÃO: ......................................................................................................... 76
AULA 11 ................................................................................................................................ 84
15. INCONSISTÊNCIA: ........................................................................................................... 84
16. DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL E DEMONSTRAÇÃO INDIRETA: ..................................... 87
16.1 DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL: ................................................................................. 87
16.1.1 EXEMPLIFICAÇÃO: .............................................................................................. 87
16.2 DEMONSTRAÇÃO INDIRETA: ......................................................................................... 88
16.2.1 EXEMPLIFICAÇÃO: .............................................................................................. 89
AULA 12 ................................................................................................................................ 93
17. EXERCÍCIOS GERAIS ........................................................................................................ 93
Raciocínio Lógico Quantitativo Prof a Paula Francis Benevides
7
AULA 1
Lógica Matemática
Imagine que você foi convocado a participar de um júri em um processo criminal e o
advogado de defesa apresenta os seguintes argumentos:
“Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta. Ou a faca não estava na gaveta ou
José da Silva viu a faca. Se a faca não estava lá no dia 10 de outubro, segue que José da Silva não
viu a faca. Além disso, se a faca estava lá no dia 10 de outubro, então a faca estava na gaveta e o
martelo estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo não estava no celeiro. Portanto,
senhoras e senhores do júri, meu cliente é inocente.
Pergunta: O argumento do advogado esta correto? Como você deveria votar o destino do
réu?
E mais fácil responder a essa pergunta reescrevendo o argumento com a notação de logica
formal, que retira todo o palavrório que causa confusão e permite que nos concentremos na
argumentação subjacente.
A logica formal fornece as bases para o método de pensar organizado e cuidadoso que
caracteriza qualquer atividade racional.
"Lógica: Coerência de raciocínio, de ideias. Modo de raciocinar peculiar a alguém, ou a
um grupo. Sequencia coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas." (dicionário
Aurélio), portanto podemos dizer que a Logica e a ciência do raciocínio.
1. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS EM LÓGICA MATEMÁTICA
1.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES
Partindo-se do contexto histórico, a lógica enquanto ciência do raciocínio pode ser
subdividida em duas grandes correntes, quais sejam: Lógica Clássica e Lógica Formal.
Enquanto Lógica Clássica esta fundamentada em processos não matemáticos, processos não
analíticos, sendo que suas verdades advêm de entidades filosóficas. Pode-se dizer que a Lógica
Clássica tem um caráter intuitivo.
Enquanto Lógica Formal, a qual encerra dentre outras tendências a Lógica Matemática, esta
baseada em métodos e técnicas matemáticas.
Raciocínio Lógico Quantitativo Prof a Paula Francis Benevides
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A Lógica matemática, ou a Lógica Simbólica ou Lógica Algorítmica é caracterizada pela
axiomatização, pelo simbolismo e pelo formalismo. Tem seu desenvolvimento na instância dos
símbolos e passam a analisar o raciocínio segundo operações e ralações de cálculo específico.
1.2 CÁLCULO PROPOSICIONAL E CÁLCULO DOS PREDICADOS:
A Lógica Matemática é fundamentada pelo cálculo proposicional (ou cálculo dos
enunciados, ou cálculo sentencial) e pelo cálculo dos predicados. No cálculo sentencial têm-se as
entidades mínimas de análise (proposições ou enunciados) como elementos geradores. No cálculo
dos predicados os elementos de análise correspondem às chamadas funções proposicionais.
No primeiro caso não se analisa a relação íntima entre o nome e o predicado da estrutura em
análise. Sendo oposto no segundo caso.
Os símbolos têm significado e usos específicos no cálculo proposicional.
1.2.1 PROPOSIÇÃO, DECLARAÇÃO
É todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido
completo para a qual se associa apenas um dos dois atributos verdadeiro ou falso.
São exemplos de proposições:
Quatro e maior que cinco.
Ana e inteligente.
São Paulo e uma cidade da região sudeste.
Existe vida humana em Marte.
A lua é um satélite da Terra
Recife é capital de Pernambuco
Exemplos de não proposições:
Como vai você?
Como isso pode acontecer!
1.3 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS:
A Lógica Matemática constitui um sistema científico regido por três leis principais,
consideradas princípios fundamentais:
Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao
mesmo tempo.
Princípio do terceiro excluído: toda preposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é,
verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.
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Neste sistema de raciocínio tem-se estabelecido tão somente dois “estados de verdade”,
isto é, a “verdade” e a “não verdade”. Portanto a Lógica Matemática é um sistema bivalente ou
dicotômico, onde os dois estados de verdade servem para caracterizar todas as situações possíveis
sendo mutuamente excludentes (isto é, a ocorrência da primeira exclui a existência da segunda).
Portanto de uma forma geral pode-se dizer que qualquer entidade (proposição ou
enunciado) em Lógica Matemática apresenta apenas dois “estados de verdade” ou será
correspondente a “verdade” ou correspondente a “falsidade” não admitindo quaisquer outras
hipóteses e nem tão pouco a ocorrência dos dois estados de verdade simultaneamente.
2. PROPOSIÇÕES OU ENUNCIADOS - FUNDAMENTAÇÃO DO CÁLCULO
PROPOSICIONAL
2.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O SISTEMA DICOTÔMICO OU BIVALENTE:
A Lógica Matemática constitui em termos gerais um sistema científico de raciocínio, que se
baseia em estados bivalentes, ou seja, é um sistema dicotômico onde a quaisquer de suas entidades
pode-se predicar a “verdade” ou a “falsidade”, sendo estados mutuamente excludentes. Desta forma
a partir de seus axiomas fundamentais e do sistema bivalente estabelecido desenvolver-se-á um
método analítico de raciocínio que objetiva analisar a validade do processo informal a partir das
denominadas primeiras verdades, “primícias”.
2.2 DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES NO CÁLCULO PROPOSICIONAL:
Na linguagem falada ou escrita quatro são os tipos fundamentais de sentenças; quais sejam
as imperativas, as exclamativas, interrogativas e as declarativas (afirmativas ou negativas); tendo
em vista que em lógica matemática têm-se apenas dois estados de verdade, esta tem por objeto de
análise as denominadas sentenças declarativas, afirmativas, de sentido completo e não elípticas (não
ambíguas).
Desta forma toda sentença declarativa, afirmativa de sentido completo que expressão um
determinado pensamento são denominado predicados ou enunciados, as quais de acordo com o
universo relacional onde se encontram é sempre possível predicar-se “verdade” ou a “falsidade”.
São exemplos de proposições em lógica:
“A filosofia é a lógica dos contrários”
“Bananas solitárias são aves volares se e somente se, um logaritmo vermelho é um abacate
feliz”.
“Se todo homem inteligente é uma flor, então flores racionais são homens solitários”.
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No cálculo proposicional o que dever ser considerado é a forma do enunciado e não o
significado que esta alcança no mundo real.
Portanto os exemplos acima permitem afirmar que o número de nomes e/ou predicados que
constituem as sentenças declarativas, afirmativas de sentido completo dão origem às denominadas
proposições simples ou proposições compostas.
2.3 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES:
Uma proposição simples ou um átomo ou ainda uma proposição atômica, constituem a
unidade mínima de análise do cálculo sentencial e corresponde a uma estrutura tal em que não
existe nenhuma outra proposição como parte integrante de si própria. Tais estruturas serão
designadas pelas letras latinas minúsculas tais como:
p, q, r, s, u, v, w, p1, p2. . . ¸pn...
As quais são denominadas letras proposicionais ou variáveis enunciativas. Desta forma, pra
se indicar que a letra proposicional p designa a sentença: “A Matemática é atributo da lógica”,
adota-se a seguinte notação:
p: A matemática é atributo da lógica.
Observe que a estrutura: “A matemática não é atributo da lógica” não corresponde a uma
proposição simples, pois possui como parte integrante de si outra proposição.
2.4 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÒES COMPOSTAS:
Uma proposição composta, ou uma fórmula proposicional ou uma molécula ou ainda uma
proposição molecular é uma sentença declarativa, afirmativa, de sentido completo constituída de
pelo menos um nome ou pelo menos um predicado ou ainda negativa, isto é, são todas as sentenças
que possuem como parte integrante de si própria pelo menos uma outra proposição.
As proposições compostas serão designadas pelas letras latinas maiúsculas tais como:
P, Q, R, S, U, V, W, P1, P2. . . Pn...
Considere as proposições simples:
p: A filosofia é arte
q: A dialética é ciência.
Seja, portanto, a proposição composta “A filosofia é arte embora a dialética é a ciência”.
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Para se indicar que a dada sentença é designada pela letra proposicional P, sendo constituída
de p e q componentes adota-se a notação P (p, q): A filosofia é arte embora a dialética é a ciência.
Observe que uma fórmula proposicional pode ser constituída de outras fórmulas
proposicionais. Além do mais uma letra proposicional pode designar uma única proposição, quer
seja simples ou composta, contudo uma dada proposição pode ser qualificada por quaisquer das
letras proposicionais num dado universo.
Sejam as proposições:
p: A lógica condiciona a Matemática
q: A dialética fundamenta o pensamento ambíguo.
P (p, q): A lógica condiciona a Matemática, mas a dialética fundamenta o pensamento
ambíguo.
Q (p, q): A lógica condiciona a Matemática e/ou a dialética fundamenta o pensamento
ambíguo.
Sejam ainda proposições compostas:
S (P, Q): Se a lógica condiciona a Matemática, mas a dialética fundamente o pensamento
ambíguo, então a Lógica condiciona a matemática e/ou a dialética fundamente o pensamento
ambíguo.
De forma simbólica tem-se que;
P (p, q): p mas q
Q (p, q): p e/ou q
S (P, Q):Se p mas q, então p e/ou q
Observe que: S (P, Q) é análoga a S (p, q).
2.5 VERDADE E VALIDADE:
(Valor lógico ou valor verdade das proposições)
Partindo-se do fato de que a lógica matemática é um sistema científico de raciocínios,
bivalentes e dicotômicos, em que existem apenas dois “estados de verdade” capazes de gerar todos
os resultados possíveis, a “verdade” corresponde a afirmações do fato enquanto tal, sendo a
“falsidade” a contradição ou a negação do fato enquanto tal. Assim a verdade ou a falsidade,
corresponde respectivamente ao “verdadeiro” ou “falso”, segundo o referencial teórico que institui
as determinadas entidades “proposições” ou “enunciados”, de um dado universo relacional.
Em resumo, a verdade é a afirmação do fato e a falsidade é a negação do fato estabelecido.
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Dada uma proposição simples qualquer, designar, por exemplo, pela letra proposicional p,
tem-se pelos princípios fundamentais que tal proposição será a verdade (V) ou a falsidade (F) não se
admitindo outra hipótese, e, nem tão pouco a ocorrência dos dois estados simultaneamente,
portanto, para denotar tais situações, adotar-se-á a simbolização:
V ( p ) = V (valor lógico de p é igual à verdade) ou V ( p ) = F .
Considere uma proposição composta P, constituída das proposições simples p, q, r,...., p1,....,
pn componentes. Para indicar o valor lógico ou valor verdadeiro desta fórmula proposicional adotar-
se-á as notações:
V [ P ( p, q, r,..., p1,..., pn)] = V ou V [ P ( p, q, r,..., p1,..., pn)] = F
É oportuno salientar-se que a lógica matemática não cabe a obrigação de decidir se uma
dada proposição é verdade ou falsidade, isto é, compete aos respectivos especialistas das
correspondentes áreas de conhecimento. Contudo a lógica tem por obrigação estruturar métodos ou
procedimentos de decisão que permita, num tempo finito, a decisão sobre os valores lógicos de
fórmulas proposicionais constituídas de n proposições e m raciocínios (sobre o ponto de vista da
analiticidade de tais processos). A de se observar também, que validade em lógica matemática
corresponde, tão somente a avaliação de argumentos dedutivos ou de inferência de argumentos, não
tendo sentido associar validade ou legitimidade a proposições ou enunciados.
De forma resumida, a validade esta associada à coerência ou a consistência do raciocínio
analítico.
2.6 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO DE CONECTIVOS LÓGICOS:
(ou conectivos proposicionais)
Vejam os exemplos:
“A matemática é a juventude da lógica e a lógica é a maturidade da matemática”
“A matemática é a juventude da lógica ou a lógica é a maturidade da matemática”
“A matemática é a juventude da lógica ou a lógica é a maturidade da matemática e não
ambos”
“Se a matemática é a juventude da lógica, então a lógica é a maturidade da matemática”.
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“A matemática é a juventude da lógica se, e somente se, a lógica é a maturidade da
matemática”.
“Não é fato que a matemática é a juventude da lógica”
Designamos as proposições simples:
p: A matemática é a juventude da lógica
q: A lógica é a maturidade da matemática
Tem-se que:
P (p, q): p e q.
Q (p, q): p ou q.
R (p, q): p ou q, e não ambos.
S (p, q): Se p, então q.
W (p, q): p se, e somente se q.
P1 (p): não p
Observe que as fórmulas proposicionais ou proposições compostas anteriormente
apresentadas foram obtidas a partir de duas proposições simples quaisquer, unidas pelo conjunto de
palavras, quando utilizadas para estabelecer a conexão entre duas ou mais proposições (simples ou
compostas), são denominadas conectivos lógicos ou conectivos proposicionais, os quais definem
classes de fórmulas proposicionais específicas.
Tais conectivos lógicos correspondem, portanto as seguintes estruturas:
“... e... “ : ... ...
“...ou...” : ......
“....ou...., e não ambos” : .... ....
“se....,então....” : .... ....
“... se, e somente se....”: .... ....
“ não .... “: ~ ....
Logo, tem-se que:
a. P (p, q) : p q
b. Q (p, q) : p q
c. R (p, q) : p q
d. S (p, q) : p q
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e. W (p, q) : p q
f. P1 (p ) : ~ p
Observe portanto, que uma fórmula proposicional ou uma proposição simples é toda a
sentença declarativa constituída de pelo menos um conectivo lógico. Salienta-se, ainda que os
conectivos lógicos estabelecem seis classes de fórmulas proposicionais, podendo dar origem a
fórmulas proposicionais constituídas de diversos conectivos, repetidos ou não.
3. ENTIDADES LIGADAS À OPERAÇÃO
3.1 ESCOPO E PAREAÇÃO:
Seja a fórmula proposicional P(p, q): p q ~ p q ~ p q.
Obviamente não se pode qualificar a fórmula acima segundo as seis classes de fórmulas
proposicionais anteriormente definidas, uma vez que o nível de abrangência dos respectivos
operadores não está definido. Assim, através da colocação de parênteses poder-se-á obter as
seguintes fórmulas:
P (p, q): (p q) (~ p ((q ~p) q)
P (p, q): p (q ((~ p q) (~p q))
P (p, q): ((p q) ~ p) (q (~p q))
E outras hipóteses.
Desta forma, utiliza-se o procedimento denominado pareação ou pareamento para
caracterizar o escopo de uma determinada operação de uma dada fórmula proposicional. Isto é,
parear significa colocar parêntese com o objetivo de delimitar o nível de abrangência dos
respectivos operadores lógicos, sendo que os níveis anteriormente considerados qualificam o que se
denomina escopo de uma dada operação.
3.2 ORDEM DE PRECEDÊNCIA DOS OPERADORES LÓGICOS:
Em certas situações o procedimento de pareação torna a análise de determinadas estruturas
um tanto quanto complexas, tendo em vista a demasiada concentração de parênteses. Assim, para
resolver, em parte tais dificuldades convencionais se estabelecem uma ordem de precedência dos
conectivos lógicos em que se torna desnecessária a pareação.
Adotar-se-á, portanto, a seguinte ordem de precedência usual.
~
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Logo:
Dada a fórmula P (p, q): p q ~ p q ~ p q, pareando-se vem que:
P (p, q): (p q) ((~ p q) (~ p q))
Retirar todos os parênteses desnecessários segundo a ordem de precedência usual.
P (p, q): (((~ p q) ~ p) q) (~ p (~ q p))
4. OPERAÇÕES LÓGICAS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO SENTENCIAL
4.1 RELAÇÕES ENTRE CONECTIVOS LÓGICOS E OS OPERADORES LÓGICOS
Conforme caracterizados anteriormente, os conectivos lógicos estabelecem classes de
fórmulas proposicionais específicas, as quais dão origem às operações lógicas fundamentais do
cálculo proposicional. Assim tem-se que:
O conectivo,“... e ...” da origem ao operador de conjunção sendo tal operação
denotada pelo símbolo .
O conectivo “não ...” da origem ao operador negador ou a operação de negação
sendo denotada por ~
O conectivo “... ou ...” da origem ao operador disjuntor inclusivo ou a operação
de disjunção inclusiva sendo denotado por
O conectivo “... ou ...., e não ambos,” da origem ao operador disjuntor exclusivo
ou a operação de disjunção exclusiva, cuja notação é dada por
O conectivo“se..., então...” da origem ao operador implicador ou a operação de
condicional sendo denotado por
O conectivo“.... se, e somente se ...” da origem ao operador bi-implicador ou a
operação bicondicional, sendo denotado por:
Observe que as seis classes de fórmulas proposicionais são caracterizadas pela “forma
estrutural”, isto é, pelas estruturas ~ p, p q, p q, p q, p q, p q.
Portanto uma fórmula proposicional pode ser definida da seguinte maneira:
4.1.1 DEFINIÇÃO
Uma fórmula proposicional é um conjunto ou série finita de termos constituída de pelo
menos um operador lógico que incida sobre ao menos uma proposição simples componente.
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É oportuno salientar-se ainda que muito embora as observações feitas até aqui se baseiam
em proposições compostas, compostas de outras proposições compostas.
4.1.2 CONECTIVOS:
São palavras que se usam para formar novas preposições a partir de outros conectivos usuais
em lógica matemática.
No caso de uma proposição composta cujas preposições simples são p e q, as possíveis
atribuições de valores lógicos a p e a q são:
p q
1 V V
2 V F
3 F V
4 F F
Notação:
O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Exprime-se que p é
verdadeiro escrevendo se V (p) = V e analogamente exprime-se que p é falsa escrevendo-se
V(p)=F.
4.2 DEFINIÇÃO FORMAL DOS OPERADORES LÓGICOS:
4.2.1 NEGAÇÃO
Chama-se de negação de uma proposição p a proposição representada por ~p (não p) cujo
valor lógico é verdadeiro (V) quando p é falsa e falso (F) quando p é verdadeiro.
Simbolicamente: “ ~ p “ = não p
Tabela verdade:
p ~ p
V F
V F
F V
F V
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4.2.2 CONJUNÇÃO
Chama-se conjunção de duas proposições p e q à proposição representada por p e q cujo
valor lógico é verdadeiro quando ambas as proposições p e q são verdadeiras e falso nos demais
casos.
Simbolicamente: “p q” = p e q
Tabela verdade:
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
4.2.3 DISJUNÇÃO
Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p ou q cujo
valor lógico é verdadeiro quando ao menos uma das proposições p e qé verdadeira e falso quando
ambas as preposições são falsa.
Simbolicamente: “p q” = p ou q
Tabela verdade :
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
4.2.4 DISJUNÇÃO EXCLUSIVA
Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por p ou
q mas não ambas cujo valor lógico é verdadeiro (V) quando as proposições p e q tem valores
lógicos diferentes.
Simbolicamente: “p q” = p ou q mas não ambos
= ou p ou q
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18
Tabela verdade:
p q p q
V V F
V F V
F V V
F F F
4.2.5 CONDICIONAL
Chama-se condicional de duas proposições p e q a proposição cujo valor lógico é falso (F)
se a proposição p é verdadeira e q é falsa, e verdadeira nos demais casos.
Simbolicamente: “p q” = se p então q
Tabela verdade:
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
4.2.6 BICONDICIONAL
Chama-se proposição bicondicional uma proposição cujo valor lógico é verdadeiro (V)
quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas e falsa (F) nos demais casos.
Simbolicamente: “p q” = p se e somente se q
Tabela verdade:
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
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19
AULA 1 - Exercícios
1) Quais das sentenças abaixo são proposições?
a) A lua e feita de Queijo verde.
b) Ele seria um homem alto.
c) Dois e um numero primo.
d) O jogo vai acabar logo?
e) 042 x
f) 3 e raiz de 0342 xx
2) Sejam as proposições p: está frio e q: está chovendo. Traduzir para a linguagem
corrente as seguintes proposições:
a) ~ p
b) p q
c) p q
d) q p
e) ~ p ~ q
f) p ~ q
g) p ~q
h) p ~ q
i) p ~ q p
3) Sejam as proposições p:Jorge é rico e q: Carlos é feliz. Traduzir para linguagem
corrente as seguintes proposições:
a) p q
b) p q
c) p ~ q
d) ~ p ~q
e) ~ ~ p
f) ~ (~p ~q)
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20
4) Simbolizar, utilizando a lógica, as seguintes frases:
a) X é maior que 5 e menor que 7 ou X não é igual a 6.
b) Se X é menor que 5 e maior que 3, então X é igual a 4.
c) X é maior que 1 ou X é menor que 1 e maior que 0.
5) Sejam as proposições p: Marcos é alto e q: Marcos é elegante. Traduzir para a
linguagem simbólica as seguintes proposições:
a) Marcos é alto e elegante.
b) Marcos é alto, mas não é elegante.
c) Não é verdade que Marcos é baixo e elegante .
d) Marcos é alto ou é baixo e elegante .
e) Marcos não é nem alto e nem elegante .
f) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante.
6) Sejam as proposições:
p : Sueli é rica
q : Sueli é feliz
Traduzir para linguagem simbólica (lógica) as seguintes frases:
a) Sueli é pobre, mas é feliz.
b) Sueli é rica o infeliz.
c) Sueli é pobre e infeliz.
d) Sueli é pobre ou rica, mas é feliz.
7) Dadas as seguintes proposições:
p : o número 596 é divisível por 2.
q : o número 596 é divisível por 4.
r : o número 596 é divisível por 3.
Traduzir para a linguagem simbólica:
a) É falso que número 596 é divisível por 2 e por 3, ou o número 596 não é divisível por 4.
b) O número 596 não é divisível por 2 ou por 4, mas é divisível por 3.
c) Se não é verdade que o número 596 é divisível por 3, então ele é divisível por 2 e não por 4.
d) É falso que o número 596 não é divisível por 2 e por 4, mas é divisível por 3 e por 2.
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21
8) Sejam as proposições p: Carlos fala francês, q: Carlos fala inglês e r: Carlos fala
alemão. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:
a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão.
b) Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão.
c) É falso que Carlos fala francês mas que não fala alemão .
d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas que não fala francês.
9) Determine o valor logico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
a) O numero 11 e um número primo.
b) Todo numero divisível por 5 termina em 0.
c) - 2 < 0.
10) Sabendo-se que V(p) = V(q) = V e V(r) = V(s) = F, determine os valores lógicos
das seguintes proposições:
a) (p (q r)) (p (r q))
b) (q r) (~ q r)
c) (~p ~ (r s))
d) ~(q (~ p s))
e) (p q) (q ~p)
f) ~(~q (p ~s))
g) ~q ((~r s) (p ~q))
h) ~(~p (q s)) (r ~s)
i) ~(p (q r)) s
11) Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
a) Se 3 + 2 = 6 então 4 + 4 = 9.
b) 3 + 4 = 7 se e somente se 53 = 125.
c) Não é verdade que 12 é um número primo.
d) É falso que 2 + 3 = 5 e 1 + 1 = 3.
e) Brasília é a capital do Brasil, e 2 0 = 0 ou 30 = 1.
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22
AULA 2
5. PROCEDIMENTOS DE DECISÃO
Denomina-se matriz de verdade ou Tabela função de verdade ou Tabela Verdade, todo
procedimento de decisão que permite, num dado tempo à determinação dos valores lógicos de uma
dada fórmula proposicional a partir dos valores–verdade das proposições simples componentes e
das operações lógicas entre tais valores, segundo o escopo de cada uma das respectivas operações
lógicas.
É oportuno observar dada uma fórmula proposicional se faz necessário delimitar o escopo de
cada uma das operações envolvidas bem como estabelecer os respectivos arranjos de valores
lógicos das proposições simples que compões a fórmula em análise.
Para a determinação do número de arranjos possíveis, que correspondem às linhas da tabela
verdade, adota-se a expressão 2n, onde n é o número de proposições simples componentes e dois os
valores verdade e falsidade, isto é: 2nlinhas.É possível construir a tabela verdade correspondente a
qualquer proposição composta dada. Tal tabela mostrará exatamente os casos em que a proposição
composta será verdadeira (V) ou falsa (F).
Exemplos: Construir a tabela verdade das seguintes preposições:
a) ~ (p ~ q)
b) p q ~ p ~ p q ~ p q
p q p q ~ p ~ p q ~ p q
V V V F V F F V F F V F V F F V V V
V F V F F F F V V F V F F F F V F F
F V F V V V V F F V F V V V V F F V
F F F V F F V F V V F V F F V F V F
1 7 (1+3)
1 3 (1+2)
2 1 8 (7+6)
2 1 5 (2+4)
1 4 2 1 6 (5+1)
1
p q ~ (p ~ q)
V V V V F F V
V F F V V V F
F V F F V F V
F F F F V V F
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23
5.1 FÓRMULAS PROPOSICIONAIS ESPECIAIS:
As fórmulas proposicionais são classificadas quanto aos valores lógicos, em proposições
Tautológicas, proposições Contraválidas e proposições Contingentes, as quais são assim definidas.
5.1.1 TAUTOLOGIA
Diz-se que uma fórmula proposicional é uma tautologia ou uma proposição tautológica ou
ainda, uma proposição logicamente “verdadeira”, se, e somente se, na coluna resultado da
respectiva tabela verdade, independentemente dos valores lógicos das componentes da fórmula em
análise, tem-se tão somente valores lógicos correspondentes à verdade.
Uma tautologia será denotada pelos símbolos t ou T ( p, q, r, ...., p1,....,pn)
Por exemplo, a fórmula proposicional P (p, q): (p q) (p q) é uma tautologia, pois:
p q (p q) (p q)
V V V F V V V V V
V F V V F V V F F
F V F V V V F F V
F F F F F V F V F
5.1.2 CONTRADIÇÃO
Diz-se que uma fórmula proposicional é uma contradição ou uma proposição contraválida
ou ainda proposição logicamente “falsa”, se, e somente se, na coluna resultado da respectiva tabela-
verdade figuram, independentemente dos valores particulares de suas componentes, tão somente
valores lógicos correspondentes à falsidade.
Em termos de notação adotam-se os símbolos c ou C ( p, q, r, ..., p1, ..., pn)
Por exemplo, a formula proposicional P (p, q): (p q) p ~ q é uma contradição, pois:
p q (p q) p ~ q
V V V V V V V F F V
V F V F F F V F V F
F V F V V F F F F V
F F F V F F F F V F
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24
5.1.3 CONTINGÊNCIA
Diz-se que uma fórmula proposicional é uma contingência, ou uma proposição contingente
se, e somente se, na coluna resultado da respectiva tabela verdade tem-se pelo menos uma verdade e
pelo menos uma falsidade, isto é, tal fórmula não é uma tautologia e não é contraválida.
Por exemplo, a formula proposicional P (p, q) : (p q) (p q) é uma contingência, pois:
p q (p q) (p q)
V V V V V V V V V
V F V F F F V F F
F V F F V V F V V
F F F F F V F V F
AULA 2 - Exercícios
1) Construa a tabela verdade para cada uma das seguintes proposições:
a) ~p q
b) (p q) (p q)
c) ~ (p q) ~ (q p)
d) (p q) ~ (p ~ q)
e) [p ( ~ q r)] ~ [ q (p ~ r)]
f) p ~r q ~r
g) ~(p q) ~ (q p)
h) (p q r) (~ p q ~r)
2) Determinar quais das seguintes proposições são tautológicas, contraválidas
(contradição), ou contingentes:
a) p ( ~ p q)
b) ~ p q (p q)
c) p ( q ( q p))
d) ((p q) q ) p
e) p ~q ( p ~q)
f) p q p q
g) p ( p q ~q)
h) (q p) (p q)
i) ~ p ~ (p q)
j) p q ( p q r)
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25
AULA 3
6. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA
6.1 DISTINÇÃO ENTRE OS SÍMBOLOS: E
O símbolo representa uma operação entre proposições, resultando uma nova proposição.
Exemplo:
Operando a proposição p com a proposição q através do conectivo resultará na
proposição p q.
O símbolo indica apenas uma relação entre duas proposições dadas.
Exemplo:
Dadas as proposições p e ~~ p, a relação de equivalência lógica entre elas é denotada por
p ~ ~ p
6.2 DEFINIÇÃO DE EQUIVALÊNCIA:
Dadas as fórmulas proposicionais P (p, q, r, ..., p1,... , pn) diz-se que todas as fórmulas são
logicamente equivalentes se, e somente se, V [P (p, q, r,....)] = V [Q (p, q, r,...)] para quaisquer dos
valores verdade das m-proposições simples componentes.
Ou seja:
P (p, q, r,....) Q (p, q, r,...) se, e somente se, V [P(p, q, r, ...)] = V [Q (p, q, r,....)] para os
2n arranjos possíveis de valores verdade das p, q, r,.... proposições componentes.
Por exemplo: p q ~ p v q, pois:
p q ~ p q
V V V F V V V
V F F F V F F
F V V V F V V
F V F V F V F
Ou seja: p q ~ p v q
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26
6.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DAS EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS:
Sejam as fórmulas proposicionais P (p, q, r,....) e Q (p, q, r,...).
Teorema: P (p, q, r,...) Q (p, q, r,...), se e somente se, P (p, q, r....) Q (p, q, r,...)
T(p, q, r,...).
Exemplo:
Verificar pela definição e pelo teorema se as fórmulas proposicionais a seguir são
equivalentes entre si.
P (p, q): p q.
Q (p, q): (p q) (q p).
Pela definição:
p q (p q) (q p) se, e somente se V [p q] = V [(p q) (q p)].
p q ( p q) (q p)
V V V V V V V V V V
V F F V F F F F V V
F F V F V V F V F F
F V F F V F V F V F
Pelo teorema:
(p q) [( p q) (q p)]
V V V V V V V V V V V
V F F V V F F F F V V
F F V V F V V F V F F
F V F V F V F V F V F
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27
6.4 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DAS RELAÇÒES DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA:
Tendo em vista as características das relações de equivalência lógica, tem-se que as mesmas
se verificam as seguintes propriedades:
Reflexiva: P (p, q, r,...) P (p, q, r,...) p, q.
Simétrica: Se P (p, q, r,...) Q (p, q, r,...) então Q (p, q, r,...) P (p, q, r,...).
Transitiva: Se P (p, q, r,...) Q (p, q, r,...) e Q (p, q, r,...) R (p, q, r,...) então P (p, q, r,...)
R (p, q, r,...).
6.5 EQUIVALÊNCIAS NOTÁVEIS:
p ~ p t
p ~ p c
p q (p q) (q p)
p q ~ p q
p q ~ (p q)
p q ~ q ~ p
p p p ou p p p
t p t
t p p
c p p
c p c
6.6 OPERAÇÒES DERIVADAS:
Tendo em vista a ocorrência com certa freqüência, de determinadas fórmulas
proposicionais no cálculo proposicional tem-se estruturado dois ovos operadores, denominados de
conectivos de Scheffer. Assim definem-se as operações derivadas negação conjunta e negação
disjunta.
6.6.1 NEGAÇÃO CONJUNTA:
Chama-se negação conjunta de duas proposições p e q a proposição “não p e não q”:
~ p ~ q
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28
Notação: p q
Tabela verdade:
6.6.2 NEGAÇÃO DISJUNTA
Chama-se negação disjunta de duas proposições p e q a proposição “não p ou não q”:
~ p ~ q
Notação: p q
Tabela verdade:
AULA 3 - Exercícios
1) Verificar por tabela verdade se as seguintes equivalências são válidas:
a) p ( p q) p
b) p p q p q
c) (p q) (p r) p q r
d) ( p q) r p ~ r ~ q
e) q p q p q
f) (p q) (p r) p q r
p q p q
V V F
V F F
F V F
F F V
p q p q
V V F
V F V
F V V
F F V
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29
2) Verificar se o conectivo “ ” (“ ou ” exclusivo) exprime-se em função dos três conectivos ~, e
do seguinte modo:
p q ( p q) ~ (p q)
3) Verificar se os três conectivos ~ , v e exprimem-se em função do conectivos “ “ de SCHEFFER do seguinte modo:
a) ~ p p p
b) p q (p q) (p q)
c) p q (p q) (p q)
4) Verificar se os três conectivos ~, v e exprimem-se em função do conectivo “ “ de SCHEFFER do seguinte modo:
a) ~ p pp
b) p q (p p) (q q)
c) p q (p q) (p q)
5) Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que a proposição r e s são falsas, determinar o valor lógico (V ou F) das seguintes proposições:
a) ( ~ p q) ( q ~ r)
b) ((p q) (q r)) (r p)
c) ( ~ p ~ q) ((q r) p)
6) Julgue se são logicamente equivalentes as proposições: “Quem tem dinheiro, não compra fiado” e “ Quem não tem, compra”, provando sua resposta.
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30
AULA 4
7. RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA
7.1 DISTINÇÃO ENTRE OS SÍMBOLOS: E
O símbolo “” representa uma operação entre proposições, resultando uma nova
proposição.
Exemplo:
Operando a proposição p com a proposição q através do conectivo , resultará a proposição
p q
O símbolo indica apenas uma relação entre duas proposições dadas.
Exemplo
Dadas as proposições p q e p q, a relação de implicação lógica entre elas é denotada por
p q p q.
7.2 DEFINIÇÃO
Diz-se que uma preposição P ( p, q, r,....) implica logicamente numa proposição Q ( p, q,
r,....) se Q ( p, q, r,...) é verdadeira (V) todas as vezes que P ( p, q, r, ....) é verdadeira. Nestas
condições, escreve-se que P (p, q, r....) Q (p, q, r,...), que se lê: P implica em Q.
Desta forma tem-se a implicação lógica entre duas dadas fórmulas proposicionais quando
nas respectivas tabelas verdades, linha a linha, nas colunas resultado não ocorre simultaneamente
verdade-falsidade, nesta ordem.
Teorema: Diz-se que duas fórmulas proposicionais quaisquer P ( p, q, r,...) e Q ( p, q, r,...) são de
implicação, nesta ordem, se, e somente se, a condicional entre as mesmas gerar, por equivalência
lógica uma tautologia.
7.3 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DAS RELAÇÕES DE IMPLICAÇÃO LÓGICA
As relações de implicação lógica tem as seguintes propriedades:
Reflexiva: P(p, q, ...) P(p, q,....)
Transitiva: Se P(p, q,....) Q(p, q,...) e Q (p, q,....) R(p, q,...) então P(p, q,...) R(p, q,....)
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7.4 TEOREMA FUNDAMENTAL DA IMPLICAÇÃO LÓGICA
Diz-se que duas fórmulas proposicionais quaisquer P(p, q,....) e Q (p, q,...) são de
implicação, nesta ordem, se, e somente se, a condicional entre as mesmas gerar, por equivalência
lógica uma tautologia, ou seja:
i. P(p, q,...) Q (p, q,...) se, e somente se, V[P(p, q,...) Q (p, q,....)] = V para quaisquer
dos 2n arranjos de valores lógicos das n-proposições p, q,.... componentes.
ii. P(p, q,...) Q(p, q,...) se, e somente se, P (p, q,...) Q (p, q,...) T (p, q,...)
7.5 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES SOBRE AS IMPLICAÇÕES ENTRE
PROPOSIÇÕES
Dadas as proposições simples p e q, as tabelas verdade das proposições compostas p q e
pq, são:
p q p q p q
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
A proposição p q é verdadeira (V) somente na linha 1 e, nesta linha, a proposição p q
também é verdadeira (V). Logo, a primeira proposição implica a Segunda proposição, isto é,
p q p q.
Nota: A implicação existe não é só porque p q é verdadeira e a proposição pq é, também,
verdadeira na mesma linha 1. É sobretudo, porque, nas tabelas verdade de pq e pq, não
figuram alternativa VF, nessa ordem. É interessante notar que a proposição pq não implica
a proposição pq porque nas tabelas verdade de p q e p q, nessa ordem, figura a
alternativa VF (no caso, duas vezes).
Dadas as proposições simples p e q, as tabelas verdade de p q e p q, são:
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32
A proposição p q é verdadeira (V) somente na linha 1 e, nesta mesma linha, a proposição
p q também é verdadeira (V). Logo, a primeira proposição implica a segunda proposição, ou
seja: p q p q.
Dadas as proposições simples p e q , as tabelas verdade das proposições compostas p q e
pq, são:
p q p q p q
V V V V
V F F F
F V F V
F F F V
A proposição p q é verdadeira (V) somente na linha 1, e nesta linha, a proposição p q é
verdadeira (V) , portanto, não há alternativa VF. Logo, p q p q.
Dadas as proposições simples p e q, as tabelas verdade das proposições compostas p q,
p q e q p, são:
p q p q p q q p
V V V V V
V F F F V
F V F V F
F F V V V
p q p q p q
V V V V
V F F F
F V F F
F F F V
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33
A proposição p q é verdadeira (V) nas linhas 1 e 4 e, nestas linhas, as proposições q p
e p q também são verdadeira. Logo, p q q p.
p q p q
7.6 IMPLICAÇÕES NOTÁVEIS
REGRAS DE INFERÊNCIA
Adição: p p q
Simplificação: p q p
p q q
Regra do silogismo disjuntivo: (p q) ~ p q
(p q) ~ q p
Regra Modus Ponens: (p q) p q
Regra Modus Tolens: (p q) ~ q ~ p
Regra do silogismo hipotético: (p q) (q r) p r
7.7 PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL:
Dada a condicional p q, chama-se proposição associada a essa proposição as três
seguintes proposições condicionais.
Proposição recíproca de p q : q p
proposição inversa de p q : ~ p ~ q
proposição contrapositiva de p q : ~ q ~ p
7.7.1 PROPRIEDADES:
A condicional p q e a contrapositiva ~ q ~ p são equivalentes
A recíproca q p e a inversa ~ p ~ q são equivalentes.
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34
p q ~ p ~q p q q p ~ p ~ q ~ q ~ p
V V F F V V V V
V F F V F V V F
F V V F V F F V
F F V V V V V V
Exemplos:
Determinar a contrapositiva da recíproca de x = 0 x < 1
Determinar a contrapositiva da inversa de x < 1 x < 3
AULA 04 - Exercícios
1) Mostrar:
a) q p q
b) q p q p
2) Mostrar que p não implica p q e que p q não implica p.
3) Considere a proposição: “Se o Marcelo é chato, então, ele não tem namorada”. Agora determine:
a) a proposição recíproca.
b) a proposição inversa.
c) a proposição contrapositiva.
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35
4) Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que a proposição r e s são falsas, determinar o valor lógico (V ou F) das seguintes proposições:
a) p ~ q
b) p v ~ q
c) ~p q
d) ~ p ~q „
e) ~ p ~ q
f) p ( ~ p v q)
g) (s r) (p q)
h) ~((r p) (s q))
j) ~r p q
j) r q (~p r)
5) Determinar V(p) e V (q) em cada um dos seguintes casos, sabendo:
a) V ( p q ) = V e V(p q) = F
b) V ( p q ) = V e V(p q) = F
c) V ( p q ) = V e V(p q) = V
d) V ( p q ) = V e V(p v q) = V
e) V ( p q ) = F e V(~p v q) = V
6) Utilizando tabelas-verdade, verifique se existem as relações de implicação lógica seguintes:
a) p q q p
b) ~ (p q ) ~p ~q
c) p q r ~q r ~p
d) ~p (~q p ) ~(p ~q)
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36
AULA 5
8. EXERCÍCIOS GERAIS
1) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da
verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo.
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo.
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo.
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo.
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.
2) Maria tem três carros; um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto
e o outro é azul. Sabe-se que:
ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco,
ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul
ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul,
ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto
Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente:
a) branco, preto, azul.
b) preto, azul, branco.
c) azul, branco, preto.
d) preto, branco, azul.
e) branco, azul, preto.
3) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que
dizer que:
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro.
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista.
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista.
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.
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37
4) Dizer que não é verdade que Celina é bonita ou Cristina não é loira, é logicamente equivalente
a dizer que é verdade que:
a) Celina não é bonita ou Cristina não é loira.
b) Celina não é bonita ou Cristina é loira.
c) Celina é bonita ou Cristina é loira.
d) Celina não é bonita e Cristina não é loira.
e) Celina não é bonita e Cristina é loira.
5) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer
que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.
6) Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é inocente, então Bruno é culpado. Se
André é culpado, Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se Bruno é
inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e Leo são, respectivamente:
a) Culpado, culpado, culpado.
b) Inocente, culpado, culpado.
c) Inocente, culpado, inocente.
d) Inocente, inocente, culpado.
e) Culpado, culpado, inocente.
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7) Mauro, José e Lauro são três irmãos. Cada um deles nasceu em um estado diferente: um é
mineiro, outro é carioca, e outro é paulista (não necessariamente nessa ordem). Os três têm,
também, profissões diferentes: um é engenheiro, outro é veterinário, e outro é psicólogo (não
necessariamente nessa ordem). Sabendo que José é mineiro, que o engenheiro é paulista, e
que Lauro é veterinário, conclui-se corretamente que:
a) Lauro é paulista e José é psicólogo.
b) Mauro é carioca e José é psicólogo.
c) Lauro é carioca e Mauro é psicólogo.
d) Mauro é paulista e José é psicólogo.
e) Lauro é paulista e Mauro é engenheiro
8) A afirmação “Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro é calvo” é falsa. Segue-se, pois, que é
verdade que:
a) se Bino é baixo, Alda é alta, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.
b) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.
c) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.
d) se Bino não é baixo, Alda é alta, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.
e) se Alda não é alta, Bino não é baixo, e se Ciro é calvo, Bino não é baixo.
9) Alguém, e, ninguém entraram na casa. Alguém saiu pela porta, ninguém saiu pela janela.
Quem ficou na casa?
10) A mãe de Irajara tem cinco filhas: Iraná, Irané, Irani, Iranó. Qual é a quinta filha?
11) O medir-se uma vara verificou-se que ela tem 5 metros mais a metade de seu próprio
comprimento. Qual o real comprimento da vara?
12) Se dois tijolos tem a massa de 1 kg e mais meio tijolo; qual a massa de um tijolo e meio?
13) Se 100 gatos comem 100 ratos em 100 minutos, 1 gato come 1 rato em quantos minutos?
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39
14) O pai do meu neto é o neto de meu pai. Quantas pessoas estão envolvidas nesse
relacionamento de parentesco?
15) O número de ovos numa cesta duplica de minuto em minuto. Em duas horas a cesta está
cheia. A que horas estava pela metade?
16) Conversação telefonica:
- Alô, é do 1.000.000 ; com 6 casas decimais?
- Sim, quem fala?
- Como? Então não reconheces minha voz?!? No entanto, a minha mãe e sogra da tua mãe.
Pergunta-se:
a) Para qual número foi feito o telefonema?
b) Qual o parentesco dos interlocutores?
17) Porque prefere um barbeiro carioca cortar o cabelo de dois capixabas a cortar o de um
paulista?
18) Há mais de duas décadas, numa sufocante noite de janeiro em Brasília, chovia torrencialmente
à meia noite. É possível que 96 horas depois estivesse sol em Brasília?
19) A sala tem quatro cantos. Cada canto tem um gato. Cada gato vê três gatos. Quantos gatos
estão na sala????
20) Um pai tinha dois filhos e queria igualmente bem a cada um deles. Determinou então, no seu
testamento, que depois de sua morte, os dois filhos teriam que fazer uma viagem e que a
fazenda com todos os seus pertences seria herdada pelo filho cujo cavalo chegasse por último
na estátua do Padre Cícero, em Juazeiro, no Ceará. Depois da morte do pai, os dois filhos
partiram de Brasília e se puseram a caminho muitíssimo devagar, tão devagar que nunca
teriam chegado na estátua do vulnerável Padre Cícero. Resolveram, então, consultar, no
caminho, o espiritualista Chico Xavier. Este, sabiamente, disse um segredo ao ouvido de cada
um. De posse do segredo, os dois irmãos tomaram, o mais depressa possível, os cavalos e
disputaram a mais veloz das corridas. Qual foi o segredo que Chico Xavier falou aos dois
herdeiros??
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40
AULA 6
9. ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES
9.1 PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO:
9.1.1 IDEMPOTÊNCIA:
p p p
9.1.2 COMUTATIVIDADE:
p q q p
9.1.3 ASSOCIATIVIDADE:
(p q) r p (q r)
p q r (p q) r p (q r)
V V V V V V V
V V F V F F F
V F V F F F F
V F F F F F F
F V V F F F V
F V F F F F F
F F V F F F F
F F F F F F F
p p p
V V
F F
p q p q q p
V V V V
V F F F
F V F F
F F F F
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9.1.4 IDENTIDADE:
p c c
p t p
p c t p c p t
V F V F V
F F F F V
9.2 PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO:
Sejamp, q, r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições simples cujos valores
lógicos respectivos são V e F.
9.2.1 IDEMPOTÊNCIA:
p p p
9.2.2 COMUTATIVIDADE:
p q q p
p p p
V V
F F
p q p q q p
V V V V
V F V V
F V V F
F F F F
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9.2.3 ASSOCIATIVIDADE:
(p q) r p (q r)
9.2.4 IDENTIDADE:
p t t
p c p
p t c p t p c
V V F V V
F V F V F
V = elemento absorvente
F = elemento neutro
9.3 PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO:
9.3.1 DISTRIBUTIVA:
i. p (q ˅ r ) (p q) ˅ (p r)
ii. p ˅ (q r) (p ˅ q) (p ˅ r)
p q r (p q) r p (q r)
V V V V V V V
V V F V V V V
V F V V V V V
V F F V V V F
F V V V V V V
F V F V V V V
F F V F V V V
F F F F F F F
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43
São idênticas as tabelas verdade das proposições p (q ˅ r) e (p q) (p r),
Analogamente, são idênticas as tabelas verdade das proposições p (q r) e (p q) (p r).
As bicondicionais p (q r) (p q) (p r) e p (q r) (p q) (p r) são
tautológicas
A equivalência (i) exprime que a conjunção é distributiva em relação a disjunção e a
equivalência (ii) exprime que a disjunção é distributiva em relação a conjunção.
De (i) a proposição em linguagem corrente:
As violetas são azuis e as rosas são vermelhas ou amarelas.
As violetas são azuis e as rosas são vermelhas ou as violetas são azuis eas rosas amarelas.
De (ii);
Faz calor ou chove e venta
Faz calor ou chove efaz calor ou venta.
9.3.2 ABSORÇÃO:
i. p ( p q) p
ii. p (p q) p
9.3.3 LEIS DE DE MORGAN:
i. ~ ( p q ) ~ p ˅ ~ q
ii. ~ ( p ˅ q ) ~ p ~ q
As leis de De Morgan permitem definir a disjunção a partir da conjunção e da negação ou
a conjunção a partir da disjunção e da negação.
i. negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivale a afirmar que
pelo menos uma é falsa
ii. negar que ao menos uma entre duas proposições é verdadeira, equivale a afirmar que
ambas são falsas.
9.4 NEGAÇÃO DA CONDICIONAL:
p q ~ p ˅ q
~(p q) ~(~ p ˅ q) p ~ q
Demonstração por tabela verdade:
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p q p q ~ ( p q) ~ q p ~ q
V V V F F F
V F F V V V
F V V F F F
F F V F V F
9.5 NEGAÇÃO DA BICONDICIONAL:
~ (p q) p v q
10. MÉTODO DEDUTIVO
Todas as implicações e equivalências foram demonstradas até aqui pelo “Método das
tabelas verdade”. Vamos agora exemplificar a demonstração de implicações e equivalências por um
método mais eficiente, denominado Método dedutivo.
No emprego do Método Dedutivo desempenham papel importante as equivalências relativas
a Álgebra das Proposições.
10.1 REDUÇÃO DO NÚMERO DE CONECTIVOS:
Entre os cinco conectivos fundamentais ( ~, , ˅, , ). Três exprimem-se em termos de
apenas dois dos seguintes pares:
a) ~ e ˅
b) ~ e
c) ~ e
p q p v q (p q) ~ (p q)
V V F V F
V F V F V
F V V F V
F F F V F
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10.2 EXEMPLICIFICAÇÃO:
Demonstrar as seguintes simplicações e equivalências:
1) i) c p ii) p t
onde p é uma proposição qualquer e c e t são proposições cujos valores lógicos respectivos
são F (falsidade) e V (verdade), observe-se também, que as tabelas verdade de c p e p t
mostram que estas condicionais são tautológicas.
2) p q p (simplificação)
3) p p ˅ q (adição)
4) (p q) p q (Modus Ponens)
p c t c p p t
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5) (p q) ~q ~ q (Modus Tollens)
6) (p ˅ q) ~ p q (Silogismo Disjuntivo)
7) p q p ˅ q
8) p q p
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9) p ~ p q
10) p q p r q
11) p q p ~ q c (Redução ao Absurdo)
12) p q p ˅ q q
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13) (p q) ( p ~q) ~ p
14) p q r p (q r) (Exportação- Importação)
15) (p r) (q r) p ˅ q r
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16) (p q) ˅ (p r) p q ˅ r
17) (p r) ˅ (q s) p q r ˅ s
AULA 6 - Exercícios
1) Dar a negação da proposição: “Rosas são vermelhas e violetas são azuis”.
2) Simplificar as proposições abaixo utilizando as leis de equivalência
a) ~ ( ~ p ~ q)
b) ~ (p ˅ q) ˅ ( ~ p q)
c) ~ (p ˅ ~ q)
d) ~ (~ p q)
e) ~ ( ~ p ˅ ~ q)
f) ( p ˅ q) ~ p
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g) (p q) (~ p q)
h) p (p q) (p ~ q)
i) (p q) r
j) (p q) (~r ~q)
k) p (p q)
l) p q
3) Usar o método dedutivo para demonstrar:
a) p ~ p p
b) ~ p p p
c) p p q p q
d) (p q) q p ˅ q
e) (p r) ˅ (q r) p q r
f) (p q) ( p r) p q r
g) p (p ˅ q) p
h) p ˅ ( p q) p
i) p q ((p p) (p p)) (q q)
j) p q ((p p) (q q)) ((p p) (q q)
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AULA 7
11. FORMA NORMAL DAS PROPOSIÇÕES
11.1 DEFINIÇÃO:
Uma proposição esta na forma normal (FN) se é formada apenas pelos conectivos: ~, ˅ e
11.1.1 FORMA NORMAL COJUNTIVA:
Diz-se que uma proposição está na forma normal conjuntiva (FNC) se e somente se são
verificadas as seguintes condições:
1. Contém, quando muito, os conectivos ~ , e ;
2. ~ não aparece repetido (como ~~) e não tem alcance sobre e (isto é , só incide sobre letras proposicionais);
3. ˅ não tem alcance sobre (isto é, não há componentes do tipo p ˅ (p r))
Exemplos: Determinar a FNC das proposições:
a) ~ (((p ˅ q) ~ q) ˅ (q ˅ r))
b) (p q) ( ~ q ~ p)
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11.1.2 FORMA NORMAL DISJUNTIVA:
Diz-se que uma proposição está na forma normal disjuntiva (FND) se e somente se são
verificadas as seguintes condições:
1. Contém, quando muito, os conectivos ~ , e ;
2. ~ não aparece repetido (como ~ ~) e não tem alcance sobre e (isto é , só incide sobre letras proposicionais);
3. não tem alcance sobre ˅ (isto é, não há componentes do tipo p (p ˅ r))
Exemplos.:
Determinar a FND das proposições (p q) (q p)
11.2 PRINCÍPIO DA DUALIDADE:
Considerando uma proposição P em usa forma normal (FN) a dual de P é aproposição
obtida trocando-se cada símbolo e por ˅ e respectivamente.
Por exemplo, a dual de (p q) ˅ r é (p ˅ q) r
Se P e Q são proposições equivalentes em FN, então suas respectivas duais PD e QD
também são.
Exemplo:
p (q ˅ q ) p deduz-se pelo princípio de dualidade que p ˅ ( p q ) p
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AULA 07 - Exercícios
1) Determinar uma forma normal conjuntiva (FNC) equivalente para cada uma das seguintes
proposições:
a) p q
b) p ~ p
c) p ~ p
d) p ˅ ~ p
e) p q
f) p p
g) p ~ p
h) p q
i) (p ~ p) (q ~q)
j) (p q) p
k) ~ p (q v p)
l) p ~ (q v r)
2) Determinara uma forma normal disjuntiva (FND) equivalente para cada uma das seguintes
proposições:
a) ~ ( ~ p ˅ ~ q)
b) ~ (p q)
c) ( p p) ~p
d) ~ (p v q)
e) ( p q ) ˅ ~ p
f) ~ (p q)
g) p v ~ p
h) p ~ p
i) p q
j) p q
k) p q
l) p ~ p
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54
AULA 8
12. RACIOCÍNIO LÓGICO – TEORIA DA ARGUMENTAÇÃO:
12.1 PENSAMENTO LÓGICO FORMAL:
Seja o raciocínio:
“Se a lógica é a base da Matemática e/ou não é fato que a filosofia não é a ciência dos
contrários, a matemática é o ideal da ciência bem como a dialética é a base da ciência natural. A
ciência natural é a dialética da filosofia assim como a lógica não é base da matemática. Se não é
fato que a filosofia é a ciência dos contrários não é verdade que a matemática é o ideal da ciência
embora a matemática fundamenta as ciências exatas. Não é fato que a matemática não fundamenta
as ciências exatas ou a matemática é o ideal da ciência. Portanto, é natural concluir-se que a
matemática não é o ideal da ciência.
A partir deste ponto cabe a lógica matemática instituir os métodos e técnicas que
possibilitem avaliar a legitimidade de quaisquer que sejam os raciocínios que possam ser
formalizados segundo os pressupostos do cálculo proposicional. Tais métodos e técnicas constituem
a base da teoria da argumentação à qual é condição necessária e suficiente para se estabelecer as
regras de validade na chamada Análise Inferencial
12.2 ARGUMENTO:
Chama-se argumento toda afirmação de que uma dada seqüência finita de proposições P1,
P2,....,Pn tem como conseqüência uma proposição final Q. As proposições P1, P2,...,Pn são
chamadas de premissas do argumento e a proposição final Q chama-se conclusão do argumento.
Um argumento de premissas P1, P2,...,Pn e de conclusão Q é indicado de forma
simbólica por P1, P2,..., Pn | Q e pode ser lida de uma das seguintes maneiras:
“P1, P2, ..., Pn acarretam Q”
“Q decorre de P1, P2,...,Pn”
“Q se deduz de P1, P2,...,Pn”
“Q se infere de P1, P2,...,Pn”
O símbolo |é chamado traço de asserção , afirma que se a proposição Q, à sua direita,
pode ser deduzido utilizando como premissas somente as proposições que estão à sua esquerda. Um
argumento de premissas P1, P2, ....,Pn e conclusão Q pode também ser indicado através da forma
padronizada, por:
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Q
P
P
nP
2
1
12.2.1 VALIDADE DE UM ARGUMENTO:
Diz-se que é valido um argumento se, e somente se, a conclusão for verdadeira, toadas as
vezes que as premissas forem verdadeiras.
Assim o argumento P1, P2,..., Pn | Q é válido se, e somente se, a conclusão Q for
verdadeira, todas as vezes que as premissas P1, P2,...Pn forem verdadeiras.
Portanto, todo argumento válido goza das seguintes propriedades: A verdade das premissas
é incompatível com a falsidade da conclusão. Um argumento não válido é chamado de sofisma
(ou falácia). As premissas dos argumentos são verdadeiras ou,pelo menos, admitidas como
verdadeiras. Aliás, a lógica só se preocupa com a validade dos argumentos e não cma verdade ou
falsidade das premissas e das conclusões.
A validade de um argumento depende tão somente da relação existe entre as premissas e a
conclusão. Logo, afirmar que um dado argumento é válido significa afirmar que as premissas estão
de tal modo relacionadas com a conclusão que não é possível Ter a conclusão falsa se as premissas
forem verdadeira.
Quando um argumento é valido a condicional da conjunção das premissas com a conclusão
é tautológica.
Exemplificando: Um argumento P1, P2,..., Pn | Q é válido se, e somente se a condicional
(P1 P2 ... Pn ) Q for tautológica.
A condicional (P1 P2 ... Pn ) Q é denominada condicional associada ao argumento
P1, P2,..., Pn | Q.
A validade de um argumento pode ser verificada, demonstrada ou testada através das
tabelas-verdade ou com o uso das regras de inferência.
12.3 CONDICIONAL ASSOCIADA A UM ARGUMENTO:
Dado um argumento qualquer P1, P2,..., Pn Q a este argumento corresponde a condicional
(P1 P2...Pn)Q , cujo antecedente é a conjunção das premissas e cujo consequente é a
conclusão denominada “condicional associada” ao argumento dado.
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Reciprocamente, a toda condicional corresponde um argumento cujas premissas são as
diferentes proposições cuja conjunção formam o antecedente e cuja conclusão é o consequente.
Exemplificando,
A “condicional associada” ao argumento p ~q, p ~r, q ~s ~ (r v s) é:
(p ~q) (p ~r) (q ~s) ~ (r v s)
12.4 VALIDADE DOS ARGUMENTOS ATRAVÉS DE TABELA VERDADE:
O procedimento consiste em construir uma tabela verdade com uma coluna para cada
premissa e uma coluna para a conclusão. As linha nas quais todas as premissas são verdadeiras
devem ter conclusão verdadeira para que o argumento seja válido. Se ao invés, em ao menos uma
dessas linhas o valor lógico da conclusão Q for F, então o argumento dado é não válido, ou seja, é
um sofisma.
Uma outra alternativa para demonstrar, verificar ou testar a validade do argumento dado
consiste em construir a condicional associada.
Exemplos:
Verificar a validade dos seguintes argumentos:p q, q | p
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
12.5 REGRAS DE INFERÊNCIA:
Inferência: passos de uma dedução ou demonstração.
Adição: p p Simplificação: p q p q
p ˅ q q ˅ p p q
Raciocíni
