RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

SISTEMA DE ENSINO

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVOEstruturas Lógicas

Livro Eletrônico

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Josimar Padilha

Estruturas LógicasRACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

Apresentação do Professor ...........................................................................................4

Parte 1 – Estruturas Lógicas ...........................................................................................5

Estruturas Lógicas .........................................................................................................5

1. Sentenças Abertas ......................................................................................................8

2. Sentenças Fechadas ................................................................................................. 12

3. Proposições ............................................................................................................. 13

4. Linguagem da Lógica Formal ................................................................................... 20

Representação das Proposições ................................................................................... 21

5. Operadores ou Conectivos Lógicos ...........................................................................22

Parte 2 – Tabelas-verdade – Veretativas ..................................................................... 40

Tabelas-verdade ...........................................................................................................47

Parte 3 – Negação de Proposições e Equivalências Lógicas ......................................... 80

Negação de Proposições Compostas ........................................................................... 80

Proposições Logicamente Equivalentes ....................................................................... 98

Parte 4 – Diagramas Lógicos ...................................................................................... 124

Fundamentação Teórica .............................................................................................. 124

Aplicação dos Quantificadores Lógicos ...................................................................... 128

Negação dos Quantificadores Lógicos ........................................................................ 145

Autoavaliação ............................................................................................................ 154

Gabarito ..................................................................................................................... 156

Parte 5 – Aritmética ................................................................................................... 157

Conjuntos Numéricos ................................................................................................. 157

Porcentagem ...............................................................................................................177

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Josimar Padilha


Razão Centesimal ........................................................................................................177

Fator de Multiplicação ................................................................................................ 179

Proporcionalidade (Regra de Três Simples e Composta) ............................................. 190

Leitura e Interpretação de Tabelas e Gráficos ............................................................ 218





Josimar Padilha


Assuntos do Edital

1 Estruturas lógicas. 2 Lógica de argumentação. 3 Diagramas lógicos. 4 Aritmética. 5 Lei-

tura e interpretação de tabelas e gráficos.

ApresentAção do professor

Olá, tudo bem? Sou o professor e autor Josimar Padilha, e é com grande alegria que tenho

o privilégio de compartilhar esse momento importantíssimo com você, que pretende ingressar

no serviço público. Já tenho mais de 17 anos de experiência em aulas presenciais e mais de 08

anos em aulas online, possuo mais de 03 obras escritas, dentre elas podemos citar: Raciocínio

Lógico Matemático – Fundamentos e Métodos Práticos, Editora Juspodivm, 2019, 3ª Edição;

Mais de 400 Questões Comentadas de Raciocínio Lógico – CESPE/Cebraspe, 4ª Edição, 2019.

De uma maneira clara, simples e bem objetiva, iremos aprender como a banca CESPE exige

o assunto indicado nesta aula.

No material iremos responder às questões de outras bancas para melhor entender os as-

suntos, porém teremos várias questões da banca examinadora, para que você tenha êxito em

seu concurso.

Pensando nisso teremos uma metodologia infalível e estrategista, pois, além de apren-

dermos os princípios e os fundamentos do assunto deste módulo, sabendo interpretar suas

aplicações nas questões de concursos, iremos aprender os melhores métodos de resolução

que, no decorrer desses 17 anos como professor, me dediquei para que os meus alunos alcan-

çassem seus sonhos no serviço público nos diversos processos seletivos em todo do Brasil.

No decorrer do nosso estudo, iremos seguir um cronograma didático que tem dado muito

certo, que se trata:

1. Exposição do assunto – conceitos – de forma esquematizada;

2. Métodos e dicas de resolução rápida;

3. Esquemas estratégicos

4. Questões comentadas

5. Autoavaliação.





Josimar Padilha


Parte 1 – estruturas Lógicas

Nessa nossa primeira parte, iremos abordar os seguintes assuntos:

Estruturas Lógicas: sentenças, sentenças fechadas, sentenças abertas, proposições, lin-

guagem lógica e natural, proposições simples e compostas, operadores lógicos.

Uma brincadeira antes de começarmos, porque nada melhor que o bom ânimo para uma

caminhada pelo mundo da lógica.

Questão do Parque de Diversões

Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhado por

um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram:

– “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos.

– “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário.

– “Foi a Mara”, disse Manuel.

– “O Mário está mentindo”, disse Mara.

– “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria.

Sabendo-se que um e somente um dos colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem

entrou sem pagar foi:

a) Mara.

b) Maria.

c) Mário.

d) Manuel.

e) Marcos

Obs.: o Comentário está no final deste módulo. Boa sorte!

estruturas Lógicas

Meu(minha) querido(a), para que possamos atingir com excelência os resultados almeja-

dos nessa ciência que é conhecida como ciência do raciocínio, é importante ressaltar desde

o início que a lógica formal não se ocupa com os conteúdos pensados ou com os objetos re-





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feridos pelo pensamento, mas apenas com a forma pura e geral dos pensamentos, expressa

através da “linguagem”. O objeto da lógica é a proposição, que exprime, através da linguagem,

os JUÍZOS formulados pelo pensamento. A proposição é a atribuição de um predicado a um

sujeito.

Sendo assim, daqui em diante, não nos será dado a liberdade de interpretarmos o conteúdo

da informação e sim a maneira como as informações se relacionam entre si.

Se eu te falar que na lógica formal o conjunto de proposições abaixo corresponde a um

raciocínio correto, o que você me diria?

“É válido o seguinte argumento: todo cachorro é verde, e tudo que é verde é vegetal, logo,

todo cachorro é vegetal.”

Pois bem, o exemplo acima foi retirado de uma prova para Delegado da Polícia Federal,

realizada pela banca Cespe, ou seja, não podemos nos prender ao conteúdo e sim à maneira

que as proposições se relacionam.

Isso se prende ao fato de estarmos trabalhando com a lógica formal. Você sabia que o

raciocínio lógico é uma ramificação da filosofia? Que a ferramenta de trabalho nesse conteúdo

é o “pensamento” e a maneira que você expressa o pensamento é fundamental não só para a

filosofia em si, mas para as diversas ciências que integram o nosso mundo.

Curiosidade: um bom advogado é dotado de um raciocínio lógico bem apurado em suas

defesas, que são argumentos lógicos, constituídos de premissas (pensamentos) e uma tese

(pensamento). Por isso temos que tais argumentos serão bem construídos caso haja uma

relação de validade entre as premissas e a conclusão. E isso se dá pela forma, estrutura que o

argumento é construído, proporcionando um raciocínio correto.

Gosto de falar: “quem fica bom em lógica, fica bom em tudo”, Risos!

Você deve estar se perguntando:

Na lógica formal, como posso ler uma sentença e não poder interpretá-la?





Josimar Padilha


Bem, vamos lá: às vezes nos será dado a oportunidade de interpretar o conteúdo, em que

mostrarei a você nas questões comentada mais à frente, em que iremos verificar a presença

de ferramentas lógicas para que possamos analisar o conteúdo.

Bem, mãos à obra: vamos aprender aqui alguns conceitos que serão imprescindíveis para

resolução das questões de concursos.

Primeiro conceito: “SENTENÇA”: expressão de um pensamento completo, são compostas

por um sujeito (algo que se declara) e por um predicado (aquilo que se declara sobre o sujeito).

Vejamos alguns exemplos do que vem a ser uma sentença.

a) André é uma pessoa que se preocupa com o próximo.

b) O estudo de raciocínio lógico não é difícil.

c) Que dia você participará de mais uma reunião de estudos?

d) Que matéria mais gostosa de estudar!

e) Faça com os outros aquilo que gostaria que fizessem com você, seja caridoso.

Dê um exemplo para cada tipo de sentença a seguir:

É importante ressaltar que o pensamento será uma sentença quando o mesmo tiver sentido

completo, independente do seu tipo.





Josimar Padilha


Vamos agora classificar as sentenças quanto a sua interpretação lógica, isto é, podem ser

abertas ou fechadas.

1. sentenças abertas

São aquelas que não podemos determinar o sujeito da sentença. Uma forma mais simples

de identificar uma sentença aberta é quando a mesma não pode ser nem V (verdadeiro) nem

F (falso).

Iremos observar que são chamadas de abertas porque não são passíveis de interpretação.

“O sujeito é uma variável que pode ser substituído por um elemento arbitrário, transforman-

do a expressão em uma proposição que pode ser valorada como V ou F”, segundo a banca

Cespe.

Observe o exemplo abaixo:

Exemplo: Ela foi a melhor aluna do curso de Raciocínio Lógico para carreiras tribunais.

Daí surge a pergunta:

Por que sentença aberta?

Vamos entender o porquê.

Na lógica bivalente, que é o nosso caso, os pensamentos devem ser interpretados de

02(duas) formas, ou seja, podem ser valorados como (VERDADEIRO) ou (FALSO), conforme os

Princípios Fundamentais da Lógica Proposicional, que veremos daqui a pouco.

No exemplo acima, temos um pensamento que não é passível de valoração, uma vez que

não sabemos quem é o sujeito. Dessa forma, tais pensamentos são ditos sentenças abertas.

Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, observe atentamente

os exemplos abaixo e as considerações realizadas:

a. “Aquele é juiz do TRT da 1.ª Região”, (Quem é ele?)

Não podemos definir quem é o sujeito, ou até mesmo a qual conjunto ele pertence.

b. “x + 5 = 10”. (Quem é o x? É número? É objeto? O que é?)





Josimar Padilha


Daí você me diz:

Padilha, o x só pode ser 5, me ensinaram assim nas séries iniciais, pois se trata de uma

equação do 1º grau.

Bem, vamos lá:

Concordo contigo até um certo ponto, pois só podemos dizer que o x é igual a 5, caso esti-

vermos trabalhando com conjuntos numéricos, e indicarmos que x pertence a um determinado

conjunto numérico, pois até então não sabemos do que se trata a incógnita x.

Para melhor compreensão, o conceito matemático de equação é: “toda sentença matemá-

tica aberta que exprime uma relação de igualdade.”

Que bacana! A matemática nos ajudando a compreender os conceitos lógicos.

Você sabia que a filosofia utilizou os símbolos matemáticos para simbolizar seus pensa-

mentos? Quando chegarmos em linguagem, você vai ficar surpreso com tantas novidades que

farão você entender de uma vez por toda essa ciência denominada Lógica.

c. “{x ∈ R/ x > 2}”. (Qual o valor de x?)

Nesse exemplo sabemos que x pertence ao conjunto dos números reais, porém não conse-

guimos definir qual o valor, uma vez que temos uma desigualdade, ou seja, temos um intervalo

de valores como resposta. Nesse caso x pode ser qualquer número maior que dois, ou seja,

não há um sujeito específico.

d. Que prova mais difícil! (FRASE EXCLAMATIVA)

Frases exclamativas são consideradas como sentenças abertas, pois expressam pensa-

mentos subjetivos, aos quais não temos uma interpretação formal.

É importante ressaltar uma definição citada pela banca Cespe em uma de suas provas:

“Na comunicação, o elemento fundamental é a sentença, ou proposição simples, constituída

esquematicamente por um sujeito e um predicado, sempre nas formas afirmativa ou negativa,

excluindo-se as interrogativas e exclamativas.”

Bem, podemos inferir que, segundo a banca, uma frase exclamativa se trata de uma sen-

tença aberta em que não podemos interpretar de maneira lógica, isto é, como verdadeira ou

falsa.





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E se eu lhe dissesse que nem sempre isso que foi dito é verdade, você acreditaria? Em que,

Padilha? A afirmação feita pela Universidade em dizer que toda sentença exclamativa é uma

sentença aberta.

Observe o exemplo de uma questão realizada pela própria banca em 2008, em que vamos

analisar somente um item da questão, vejamos:

Questão 1 (CESPE) Uma proposição é uma sentença afirmativa ou negativa que pode ser

julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Nesse sentido, considere o

seguinte diálogo:

(1) Você sabe dividir? — Perguntou Ana.

(2) Claro que sei! — Respondeu Mauro.

(3) Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? — Pergun-

tou Ana.

(4) O resto é dois. — Respondeu Mauro, após fazer a conta.

(5) Está errado! Você não sabe dividir. — Respondeu Ana.

A partir das informações e do diálogo acima, julgue o item que se segue.

1. A frase (2) é uma proposição.

Certo.

Analisando a questão, podemos verificar que se trata de uma conversação a ser analisada, ou

seja, a banca nos dá a oportunidade de analisarmos o diálogo, sendo assim, vejamos:

Ana pergunta a Mauro se ele sabe dividir, o mesmo responde que sim, porém o número que

Ana indica é o 12111 (11000 + 1100 + 11), que é divisível por 3, em que o resto é igual 0 (zero).





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Mauro afirma que o resto é 2 (dois), uma resposta errada.

Após considerarmos o diálogo, segundo o enunciado, algumas frases podem ser valoradas da

seguinte forma:

(1). Você sabe dividir? (Sentença aberta – não possui valoração) — perguntou Ana.

(2). Claro que sei! (Sentença fechada – proposição – pode ser valorada de acordo com o diá-

logo) — respondeu Mauro.

(3). Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? (Sentença

aberta – não possui valoração) — perguntou Ana.

(4). O resto é dois. (Sentença fechada – proposição – pode ser valorada de acordo com o diálo-

go — respondeu Mauro, após fazer a conta.

(5). Está errado! Você não sabe dividir. (Sentença fechada (verdadeira) – proposição – pode ser

valorada de acordo com o diálogo — respondeu Ana.

Gostaria que analisássemos apenas a segunda frase, uma vez que as demais serão vistas

mais à frente, ok?

Quando Mauro afirmar que: – “Claro que sei!”, temos uma sentença exclamativa, porém quan-

do temos a oportunidade de analisarmos o conteúdo, o que não é comum na lógica formal,

podemos inferir, de acordo com os cálculos realizados, que o resto da divisão não é 2(dois) e

sim 0(zero), o que faz termos a certeza que ele não sabe dividir e que consequentemente sua

frase exclamativa é falsa, isto é, podemos valorar essa sentença.

Que legal, uma situação em que muitos iriam afirma que a frase dois seria uma sentença aber-

ta, o que na verdade não é. Beleza, gostou?

O nosso objetivo aqui é fazer de você um candidato competitivo, e isso só será possível quan-

do soubermos o conteúdo e seus detalhes.

e. Você não vai tirar férias este ano de novo? (FRASE INTERROGATIVA)

As frases interrogativas são sempre abertas, pois realmente não temos como valorá-las.

Nas diversas provas realizadas desde 2008, não vi nenhuma frase interrogativas possuindo

valor lógico, isto é, verdadeira ou falsa.





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f. Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. (FRASE INTERROGATIVA)

As frases imperativas são sempre abertas, pois realmente não temos como valorá-las. Nas

diversas provas realizadas desde 2008, não vi nenhuma frase imperativa possuindo valor lógi-

co, isto é, verdadeira ou falsa.

2. sentenças Fechadas

Depois de entendermos o que são sentenças abertas, podemos, de uma forma excludente,

entender de forma simples as sentenças fechadas.

Bem, podemos definir que se trata de pensamentos completos, aos quais podemos deter-

minar o sujeito.

As sentenças fechadas possuem valoração lógica, isto é, podem ser verdadeiras ou falsas,

porém nunca ambas.

Aí você me pergunta:

Josimar, como funciona essa questão de valoração de um pensamento (sentença fechada)?

Bem, antes de explicar, gostaria de lhe dizer que existem 03(três leis ou princípios) que re-

gem os pensamentos fechados, que daqui a pouco iremos chamá-los de proposição.

Quais são esses princípios? Vou descrevê-los abaixo:

• princípio do terceiro excluído;

• princípio da não contradição;

• princípio da identidade.

Por enquanto não vou defini-los, porém, quando falarmos de Proposições, aprofundaremos

em seus conceitos e exemplificaremos. Aguarde!

Voltando em valorações lógicas, quero dizer que temos apenas 02 valores para um pensa-

mento, pois estamos trabalhando dentro da lógica bivalente, não me interessa a validade do

pensamento, apenas a sua forma, isso quer dizer novamente que não iremos valorar os pensa-

mentos pelo conteúdo, a não ser que a questão nos permita fazer.





Josimar Padilha


Exemplo de sentenças fechadas:

Exemplo: Mariana foi aprovada em química geral (pode ser V ou F)

Exemplo: o vereador Vitor não participou do esquema (pode ser V ou F)

Um bom indício que o conteúdo está sendo analisado é quando temos a sentença dentro das

aspas.

Exemplo: “Esta frase é falsa”; (sentença aberta).

“O governo brasileiro está fragilizado devido à corrupção”. (sentença fechada).

3. ProPosições

Pela definição podemos dizer que proposição é uma sentença (afirmativa ou negativa) for-

mada por palavras ou símbolos que expressam um pensamento de sentido completo, as quais

se podem atribuir um valor lógico, ou seja, uma valoração (verdadeiro ou falso).

Também podemos falar que essa valoração também é chamada de valor-lógico ou valor-

-verdade.

Na verdade, podemos então inferir que as sentenças fechadas são denominadas de pro-

posições, beleza?

A partir do diagrama abaixo, que criei, acredito que possamos ter uma ideia geral de como

entendermos os pensamentos (sentenças):

Vejamos o diagrama (esquema):





Josimar Padilha


Você deve estar se perguntando:

O que seria expressões?

Bem, podemos dizer que são frase que não possuem sentido completo.

Por exemplo: “dois terços”, ou seja, não temos um sujeito e um predicado.

Seria interessante agora citarmos quais são os Princípios Fundamentais da Lógica Propo-

sicional na Lógica bivalente, e defini-los:

O Princípio da Identidade: afirma que todo o enunciado da forma p ⊃ p é verdadeiro, ou

seja, todo o enunciado desse tipo é uma tautologia.

Quer dizer que, se um pensamento (proposição) for verdadeiro, então será sempre verda-

deiro.

O Princípio da Não Contradição afirma que todo o enunciado da forma p ∧¬p é falso, ou

seja, todo o enunciado desse tipo é contraditório.





Josimar Padilha


Temos agora que um pensamento (proposição) não pode ser verdadeiro e falso simulta-

neamente.

O Princípio do Terceiro Excluído afirma que todo o enunciado da forma p ∨ ¬ p é verdadei-

ro, ou seja, todo o enunciado desse tipo é uma tautologia.

Nesse princípio temos que não possuímos uma terceira valoração, caso exista, deve ser

excluída.

Curiosidade, fique ligado!

Vamos de curiosidade agora, uma vez que nosso objetivo é estarmos super preparados

para nossa prova, então não custa aprender um pouco mais, ainda mais quando temos ques-

tões de concursos cobrando tal assunto.

Observe o trecho abaixo retirado de um livro que é referência no estudo da Lógica em todo

o Brasil:

“Lógica Polivalente – A suposição de que, sob cada interpretação, toda a proposição é ver-

dadeira ou falsa (PRINCÍPIO DA BIVALÊNCIA) está na base da lógica clássica, proposicional e

quantificacional. Um passo natural na generalização da lógica bivalente é a introdução demais

valores lógicos além dos clássicos Verdade e Falsidade. A possibilidade de um terceiro valor

lógico parece remontar ao Cap. IX do tratado De Interpretatione de Aristóteles que considerou,

num contexto modal, proposições contingentes futuras como, por exemplo: “A manhã haverá

uma batalha naval”, às quais não pode ser atribuído, no momento presente, um valor lógico de-

terminado e sugerem a existência de um terceiro valor lógico. Esta possibilidade foi o ponto de

partida da análise filosófica encetada pelo lógico polaco Lukasiewicz nas primeiras décadas

do presente século para a concepção de uma lógica trivalente”.

Enciclopédia de termos lógico-filosóficos – direção de João Branquinho, Desidério Murcho e Nelson Gonçalves Gomes-2000-2005

A partir do texto acima que me deixou na época de “cabelos em pé”, segundo ditado po-

pular, me vi na obrigação de apresentar aos meus alunos para que os mesmos não fossem

surpreendidos, então quero agora lhe mostrar uma questão de concurso público exigindo o

conhecimento de lógica trivalente.





Josimar Padilha


Aplicação de Lógica Trivalente

Questão 2 (CESPE/SEBRAE/2014) Em um tipo de lógica trivalente, no conjunto de todas

as proposições, somente é analisada aquela proposição P cujo valor lógico, representado por

v(P), assume exatamente uma entre as seguintes opções: verdade (V), falsidade (F) e incerteza

(I). Julgue o item abaixo:

A lógica trivalente apresentada não obedece ao princípio do terceiro excluído.

Certo.

Vamos lá, o item está correto, uma vez que, na lógica bivalente, temos o princípio do terceiro

excluído que afirma que uma proposição será verdadeira ou falsa, não admitindo um terceiro

valor, mas caso exista deverá ser excluído. Na lógica trivalente, já aceitamos o terceiro valor,

que se trata da Incerteza.

Ufa! Quanta informação. Vamos retornar à nossa lógica proposicional bivalente, uma vez

que é a mais cobrada nos processos seletivos. E nada melhor do que fazermos um exemplo

bem bacana para entendermos mais um pouco a diferença entre sentenças abertas e proposi-

ções (sentenças fechadas).

Temos uma questão que deixa claro a diferença entre proposições e sentenças abertas no

concurso para o cargo de analista do SEBRAE realizada pelo CESPE em 2008, na qual o Cespe

realizou a seguinte afirmação a ser julgada:

“A seguinte proposição “Ninguém ensina ninguém” é um exemplo de sentença aberta”.

Olha só que interessante, pois a banca exige do candidato uma diferenciação entre os con-

ceitos já citados, em que muitos iriam ficar interpretando a frase sugerida. O que se deve perce-

ber é que quando o Cespe cita que a proposição “Ninguém...” é uma sentença aberta, torna-se





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uma contradição, uma vez que uma proposição pode ser valorada, o que não ocorre com uma

sentença aberta (não há como se valorar). Dessa forma temos a certeza o item está errado.

Vejamos algumas aplicações para fixarmos os conceitos apresentados.

Questão 3 (FCC/SFASP/AG. FIS. RENDAS) Considere as seguintes frases:

Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.

(x+y) / 5 é um número inteiro.

João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.

É verdade que APENAS.

a) I é uma sentença aberta.

b) II é uma sentença aberta.

c) I e II são sentenças abertas.

d) I e III são sentenças abertas.

e) II e III são sentenças abertas

Letra c.

No item I, temos uma sentença aberta, pois não se pode determinar quem foi o melhor jogador

do mundo em 2005, logo a sentença é aberta.

No item II, vários valores podem ser atribuídos a x ou a y para que a razão possua resultado in-

teiro. Ex.: x=5 e y= 10, temos (5 + 10) / 5 = 3 (3 pertence aos inteiros); pode acontecer o mesmo

com x= 20 e y=10, temos (20 + 10)= 15 e etc., logo a sentença é aberta;

No item III, aí sim, temos uma sentença fechada, pois sabemos determinar quem é o Secretário

da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000, ou seja, o Sr. João da Silva.





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Questão 4 (FCC/SFASP/AG. FIS. RENDAS/ADAPTADA) Das quatro frases abaixo, três de-

las têm uma mesma característica lógica e comum, enquanto uma delas não têm essa carac-

terística.

I – Que belo dia!

II – Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico.

III – O jogo terminou empatado?

IV – Escreva uma poesia.

A Frase que não possui essa característica comum é a

a) IV.

b) III.

c) I.

d) II.

Letra d.

Das frases acima, temos quatro sentenças:

I – Que Belo dia! (Não possui uma interpretação lógica – sentença exclamativa – não há como

valorar.

II – Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico – sentença afirmativa – há como valorar.

III – O jogo terminou empatado? – Sentença interrogativa – não há como valorar.

IV – Escreva uma poesia. – Sentença imperativa – não há como valorar.

Dentre as quatro apenas uma pode ser valorada, logo temos uma proposição. Nesse caso tra-

ta-se da segunda frase.

Questão 5 (UNB/CESPE/BANCO DO BRASIL S.A.) Na lógica de primeira ordem, uma pro-

posição é funcional quando é expressa por um predicado que contém um número finito de

variáveis e é interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são atribuídos valores às

variáveis e um significado ao predicado. Por exemplo, a proposição “Para qualquer x, tem-se





Josimar Padilha


que x – 2 > 0” possui interpretação V quando x é um número real maior do que 2 e possui inter-

pretação F quando x pertence, por exemplo, ao conjunto {-4, -3, -2, -1, 0}.

Com base nessas informações, julgue os próximos itens.

( ) � A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que x 2 > x” é verdadeira para todos

Os valores de x que estão no conjunto

( ) � A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é verdadeira

para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.

O primeiro item está errado, pois, quando atribuímos a x o valor de ½, a desigualdade torna-se

falsa. Por exemplo: “∀ x2 > x = V”

(½)2 > ½ ⇒ ¼ > ½ (F).

O segundo item: “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” está errado, pois, se veri-

ficarmos os elementos do conjunto, eles não são divisíveis por 2 e 3 (ao mesmo tempo). Por

exemplo: o número 10 é divisível por 2, porém não é divisível por 3; o número 15 é divisível por

3, mas não é divisível por 2. Logo o item está Falso. Para que o item estivesse correto, a sen-

tença deveria ser: “Existem números que são divisíveis por 2 ou por 3”.

Questão 6 (UNB/CESPE/BANCO DO BRASIL S.A.) A frase “Quanto subiu o percentual de

mulheres assalariadas nos últimos 10 anos?” não pode ser considerada uma proposição.

Certo.

O item não é uma proposição, pois não pode ser valorado. É uma sentença interrogativa.





Josimar Padilha


4. Linguagem da Lógica FormaL

Obs.: � Linguagem da lógica formal?

� Você sabia que esse assunto tem sido explorado por lógicos e matemáticos desde

os tempos de Aristóteles, mas tomou rumos fascinantes principalmente a partir dos

escritos de Frege, no século XIX. Quando surgiram as primeiras linguagens formais

(Frege, Peano, Russell, Carnap), o ponto de vista dos estudiosos era basicamente “rea-

lista” e “normativo”.

Primeiramente é importante entender a necessidade de saber ler e escrever na lógica for-

mal, uma vez que a filosofia utiliza linguagem própria para expressar seus pensamentos, ou

seja, simbolizar as proposições.

Nessa minha caminhada como professor nos últimos anos, percebi que muitos alunos

possuem muita dificuldade em interpretar as questões, bem como identificar qual o método

mais adequado a ser utilizado na referida questão. Daí me perguntava, por quê?

A resposta é simples e direta, a pessoa não consegue entender o que está escrito, logo fica

quase impossível responder.

Muitos alunos me dizem bem assim:

Padilha, eu usei a minha lógica.

Então lhe faço uma pergunta:

“Essa sua lógica estava discriminada no edital?”

Com certeza a reação não é a melhor possível, lamentável.

Mas chegou a nossa hora, concorda? Agora sim, vamos aprender o primeiro passo na lógi-

ca formal, que é saber transcrever da linguagem natural (Língua Portuguesa) para a linguagem

da lógica formal.

Para iniciarmos vamos primeiramente falar de proposições simples e compostas, pois elas

que vão fazer parte da construção do raciocínio, inclusive temos que saber que as proposições

possuem representação.





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rePresentação das ProPosições

As proposições podem ser representadas por letras, sendo essas maiúsculas ou minúscu-

las.

Exemplo:

p: As praias do Rio Grande do Norte trazem uma paz sem limites.

q: O mundo precisa de pessoas que se importam com o próximo.

r: Alunos dedicados conseguem alcançar seus sonhos.

Por mais que pareça simples, teremos mais à frente várias questões comentadas de con-

cursos que exigem do candidato a diferença entre proposições simples e compostas; E nesses

últimos anos tem aumentado o número de questões e, que se diga de passagem, temos algu-

mas bem difíceis.

Vamos então entender essa diferença.

Proposições Simples ou Básicas: são as proposições que expressam apenas um pensa-

mento.

Uma dica legal é você perceber que temos apenas uma ação, ou seja, apenas um sujeito

(podendo ser simples ou composto), um verbo e um predicado.

Ex.: Brasília é uma cidade com uma arquitetura admirável.

Ex.: João Pedro alcançou uma vaga no concurso dos seus sonhos.

Proposições Compostas: podemos defini-las como sendo proposições que expressam

mais de um pensamento. As proposições compostas costumam ser chamadas de fórmulas

proposicionais ou apenas fórmulas.

Uma dica legal é você perceber que temos mais uma ação, ou seja, apenas um sujeito (po-

dendo ser simples ou composto), mais de um verbo e um predicado.

Ex.: a lógica é uma ciência do raciocínio e a matemática nos ensina a entender o universo.





Josimar Padilha


É importante lembrar que as proposições compostas precisam de uma ferramenta deno-

minada “operador lógico”. O que vem a ser operadores lógicos?

Vamos então para mais uma definição importantíssima nessa nossa caminhada lógica.

5. oPeradores ou conectivos Lógicos

Os conectivos lógicos são elementos que operam as proposições simples já vistas para

formarem novas proposições, as proposições compostas.

Vou lhe apresentar um quadro abaixo com os operadores lógicos:

Nesses últimos concursos, observei que têm sido constante alguns termos que indicam ope-

radores lógicos, principalmente quando se trata do operador condicional.

Vejamos:

Condicional:

“Se..., então...” pode ser escrito: Quando, Quem, Aquele, Como, todo etc. Na verdade pode

ser qualquer termo, desde que expresse a ideia de condição.

Conjunção:

“e” pode ter situações que não aparece operador, porém temos que interpretar que está

implícito, veja os exemplos retirados das provas da Polícia Federal em 2012/13: “Não basta a

mulher de César ser honesta, ela precisa parecer honesta”, “Não sou traficante, sou usuário”.

Para resolver os itens é necessário que o candidato interprete que se trata de uma proposições

compostas, operadas por um conectivo de conjunção “e”.





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Bicondicional:

“Se, e somente se” pode ser interpretado: “assim como”.

Como sabemos que a nossa ferramenta de trabalho é o pensamento (proposição), deve-

mos ter muito cuidado com a maneira que transcrevemos da linguagem natural para a lingua-

gem da lógica formal, pois se simbolizarmos de maneira errônea, estaremos comprometendo

todo o conjunto de pensamentos.

Com essa preocupação e quando chegarmos mais à frente, na análise de um argumento,

poderemos evitar considerações subjetivas, por meio da reescrita das proposições envolvidas

na linguagem da lógica formal.

Os operadores são responsáveis em construir os pensamentos de maneira formal, então

teremos uma hierarquia quanto à intensidade do operador, isto é, sua força. Vejamos:

A “ordem de precedência” para os conectivos (traz o sentido principal da frase)

1 – bicondicional

2 – condicional

3 – conjunção e disjunção/disjunção exclusiva

4 – negação

Portanto, o conectivo mais “forte” é o bicondicional e o mais “fraco” é a negação.

Na linguagem da lógica formal, qual a importância dos parênteses e como utilizá-lo?

O uso desse recurso faz-se presente na simbolização das proposições, pois evita qualquer tipo

de ambiguidade. Observe os exemplos a seguir.

I – p → (r ∧ s).

II – (p → r) ∧ s.

III – r → ((p ∧ s) → q).

IV – (r → p) ∧ (s → q).

A proposição I é uma condicional, pois o conectivo principal é o →. A proposição II é uma

conjunção, pois o conectivo principal é o ∧. Então, I e II não têm o mesmo significado, apesar

de possuírem as mesmas proposições e os mesmos conectivos na mesma ordem. O mesmo

acontece com os exemplos III e IV.





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Há casos em que os parênteses podem ser retirados para que simplifiquem as proposições

colocadas, caso não apareça alguma ambiguidade.

Porém, para que se possa retirar os parênteses, é preciso seguir algumas convenções, cujas

mais importantes são:

A “ordem de precedência” para os conectivos é: ~ depois de ∧ depois de ∨ depois de → depois de

↔, essa ordem é crescente. Sendo assim, o elemento mais “fraco” é ~ e o mais “forte” é o ↔.

Observe a proposição: r ∧ p ↔ s → q

Portanto, essa proposição é bicondicional e jamais uma condicional ou uma conjunção. Mas,

para que se converta o seu sentido em numa condicional, os parênteses são obrigatórios.

((r ∧ p) ↔ s) → q)

Por analogia podemos ter uma conjunção.

r ∧ (p ↔ (s → q))

O que você acha de várias questões comentadas? Então vamos lá, para que você aprenda,

de forma definitiva, os assuntos até aqui apresentados.

É importante conhecer alguns símbolos matemáticos, uma vez que a filosofia – Lógica

Formal – os utiliza para sua linguagem.





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Questão 7 (CESPE/MEC/TEMPORÁRIO) A sentença “A aprovação em um concurso é con-

sequência de um planejamento adequado de estudos” pode ser simbolicamente representada

pela expressão lógica P→ Q, em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas.

Errado.

A sentença “A aprovação em um concurso é consequência de um planejamento adequado de

estudos” corresponde uma proposição simples, pois temos apenas um pensamento. Assim

podemos afirmar que o item está errado.





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Questão 8 (CESPE/STJ). Designando por p e q as proposições “Mariana tem tempo suficien-

te para estudar” e “Mariana será aprovada nessa disciplina”, respectivamente, então a propo-

sição “Mariana não tem tempo suficiente para estudar e não será aprovada nesta disciplina” é

equivalente a ¬p ∧ ¬q.

Certo.

A questão exige do candidato uma interpretação quanto à linguagem da lógica formal, isto é,

transcrever da linguagem natural para linguagem da lógica formal.

“Mariana não tem tempo suficiente para estudar (¬p) e (∧) não será aprovada nessa disciplina

(¬q)” é equivalente a escrever a ¬p ∧ ¬q. Dessa forma podemos inferir que o item está correto.

Questão 9 (CESPE/MEC/TEMPORÁRIO) A sentença “A vida é curta e a morte é certa” pode

ser simbolicamente representada pela expressão lógica P ∧ Q, em que P e Q são proposições

adequadamente escolhidas.

Certo.

A sentença “A vida é curta e a morte é certa” pode ser simbolicamente representada pela ex-

pressão lógica P ∧ Q, uma vez que temos uma proposição composta conjuntiva podendo ser

representada por P ∧ Q. O item está correto.

Questão 10 (CESPE/MEC/TEMPORÁRIO) A sentença “Somente por meio da educação,

o homem pode crescer, amadurecer e desenvolver um sentimento de cidadania” pode ser sim-

bolicamente representada pela expressão lógica P ∧ Q ∧ R, em que P, Q e R são proposições

adequadamente escolhidas.





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Errado.

A sentença “Somente por meio da educação, o homem pode crescer, amadurecer e desenvol-

ver um sentimento de cidadania” representa uma proposição simples, logo temos sua repre-

sentação por apenas uma letra e não conforme o item sugeriu. Dessa forma o item está errado.

(CESPE/SERPRO/2013) Considere o diálogo abaixo:

— Mário, você não vai tirar férias este ano de novo? Você trabalha demais!

— Ah, João, aquele que trabalha com o que gosta está sempre de férias.

Considerando o diálogo acima, julgue os itens seguintes, tendo como referência a declaração

de Mário.

Questão 11 (CESPE/SERPRO/2013) A declaração de Mário é equivalente a “Se o indivíduo

trabalhar com o que gosta, então ele estará sempre de férias”.

Certo.

A banca mais uma vez exige do candidato uma interpretação quanto à linguagem da lógica for-

mal. A proposição “Aquele que trabalha com o que gosta está sempre de férias” tem o mesmo

significado de uma proposição condicional “Se o indivíduo trabalha com o que gosta, então ele

trabalha com o que gosta”. O item está certo pois o termo “aquele” tem o mesmo significado

do termo “se...,então ...”.

Questão 12 (CESPE/SERPRO/2013) “Se o indivíduo estiver sempre de férias, então ele traba-

lha com o que gosta” é uma proposição equivalente à declaração de Mário.





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Errado.

De acordo com a proposição (declaração) feita por Mário, temos que se trata de uma condi-

cional, em que a mesma não possui a propriedade comutativa, ou seja, P → Q equivalente (não

tem o mesmo significado) Q → P.

Aí você me pergunta:

O que é a propriedade comutativa?

Bem, esse assunto será visto mais à frente com profundidade, pois se trata de uma das Leis

de Equivalências lógicas. Porém vou lhe adiantar que o único operador lógico que não permite

trocar de posições suas proposições simples é o conectivo condicional. Logo podemos infe-

rir que:

P → Q ≠ Q → P.

Como sabemos agora que não é permitido a comutação, pois as interpretações não são as

mesmas, temos que o item está errado.

O único operador lógico que não permite trocar de posições (comutar) suas proposições sim-

ples é o conectivo condicional.

P → Q ≠ Q → P.

Questão 13 (CESPE/STF) A sentença: “Um governo efetivo precisa de regras rígidas, de tri-

bunais que desempenhem suas funções com seriedade e celeridade e de um sistema punitivo

rigoroso” pode ser corretamente representada pela expressão (P ∧ Q) ∧ R, em que P, Q e R

sejam proposições convenientemente escolhidas.





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Errado.

Essa questão é interessante, pois se trata de uma proposição simples e não composta, uma

vez que temos apenas um verbo que liga o sujeito ao um predicado. É bom ficar esperto, pois

temos muitas questões dessa forma, em que o aluno pensa que, por ser grande a proposição,

ela tem que ser composta.

Nesse caso o item está errado.

Questão 14 (CESPE/STF) A sentença “um ensino dedicado à formação de técnicos negligen-

cia a formação de cientistas” constitui uma proposição simples.

Certo.

Temos novamente uma sentença que expressa apenas um pensamento e pode ser interpreta-

da de forma lógica, ou seja, verdadeira ou falsa, logo é uma proposição simples.

Questão 15 (CESPE/STF) A sentença “A indicação de juízes para o STF deve ser consequên-

cia de um currículo que demonstre excelência e grande experiência na magistratura” pode ser

corretamente representada na forma P → Q, em que P e Q sejam proposições simples conve-

nientemente escolhidas.

Errado.

Novamente uma sentença que expressa apenas um pensamento e pode ser interpretada de

forma lógica, ou seja, verdadeira ou falsa, logo é uma proposição simples. A maneira que a

banca simbolizou está considerando a proposição como composta, uma vez que temos a pre-





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sença de um operador lógico condicional, que indicaria mais de uma proposição sendo conec-

tada. Dessa forma o item está errado.

Questão 16 (CESPE/SEBRAE) A frase “Pedro e Paulo são analistas do Sebrae” é uma propo-

sição simples.

Certo.

O item está certo, uma vez que temos apenas uma ideia completa (proposição simples), o que

podemos observar é que a proposição possui sujeito composto.

Questão 17 (CESPE/SEBRAE) A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para

Roma” é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por

um conectivo de conjunção.

Certo.

O item está certo, pois temos duas ideias completas conectadas (operadas) por um conectivo

de conjunção “e”.

Questão 18 (CESPE/PRODEST/TÉCNICO EM INFORMÁTICA/ADAPTADA) Considere a se-

guinte lista de frases e julgue o item.

• I – Rio Branco é a capital do estado de Rondônia.

• II – Qual é o horário do filme?

• III – O Brasil é pentacampeão de futebol.

• IV – Que belas flores!

• V – Marlene não é atriz e Djanira é pintora.

Nessa lista há exatamente 4 proposições.





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Certo.

Na questão acima temos as proposições:

• Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. (uma proposição, um pensamento)

• Qual é o horário do filme? (sentença)

• O Brasil é pentacampeão de futebol. (uma proposição, um pensamento).

• Que belas flores! (sentença)

• Marlene não é atriz e Djanira é pintora. (duas proposições – 2 pensamentos)

Logo, temos 4 proposições. O item está certo.

Questão 19 (UNB/CESPE/STF/TÉCNICO JUDICIÁRIO)

I – Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho.

II – A resposta branda acalma o coração irado.

III – O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem.

IV – Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade.

Tendo como referência as quatro frases acima, julgue os itens seguintes.

a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo

de conjunção.

b) A segunda frase é uma proposição lógica simples.

c) A terceira frase é uma proposição lógica composta.

d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos.

Letra b.

I – Errado. Temos duas sentenças imperativas (não são proposições) ligadas por um conecti-

vo de conjunção, logo podemos afirmar que não é uma proposição.





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II – Correto. Temos apenas uma ideia completa (proposição simples).

III – Errado. Temos apenas uma ideia completa (proposição simples).

IV – Errado. Temos duas proposições simples (pensamentos) conectadas por um conectivo

condicional “Se..., então...”.

Questão 20 (UNB/CESPE/SEBRAE/ANALISTA) Com relação à lógica formal, julgue os itens

subsequentes.

a) A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE” é uma proposição simples.

b) A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma” é um exemplo de propo-

sição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção.

Certo, Certo.

a) O primeiro item está correto, uma vez que temos apenas uma ideia completa (proposição

simples).

b) O segundo item está correto, pois temos duas ideias completas conectadas (operadas) por

um conectivo de conjunção “e”.

Questão 21 (CESPE/MINISTÉRIO DAS RELAÇÕES EXTERIORES) Proposições são senten-

ças que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não cabem a elas ambos

os julgamentos. As proposições simples são frequentemente simbolizadas por letras maiús-

culas do alfabeto, e as proposições compostas são conexões de proposições simples. Uma

expressão da forma A ∧ B é uma proposição composta que tem valor lógico V quando A e B

forem ambas V e, nos demais casos, será F, e é lida “A e B”. A expressão ¬A, “não A”, tem valor

lógico F se A for V, e valor lógico V se A for F. A expressão A ∨ B, lida como “A ou B”, tem valor

lógico F se ambas as proposições A e B forem F; nos demais casos, é V. A expressão A→B tem

valor lógico F se A for V e B for F. Nos demais casos, será V, e tem, entre outras, as seguintes

leituras: “se A então B”, “A é condição suficiente para B”, “B é condição necessária para A”. Uma





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argumentação lógica correta consiste de uma sequência de proposições em que algumas são

premissas, isto é, são verdadeiras por hipótese, e as outras, as conclusões, são obrigatoria-

mente verdadeiras por consequência das premissas.

Considerando as informações acima, julgue o item.

Considere a seguinte lista de sentenças:

I – Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores?

II – O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX.

III – As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respec-

tivamente, x e y.

IV – O barão do Rio Branco foi um diplomata notável.

Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças, apenas uma delas não é proposição.

Errado.

I – A primeira sentença é interrogativa, logo não pode ser valorada, ou seja, é uma sentença

aberta.

II – A segunda frase é uma proposição, pois pode ser valorada, isto é, verdadeira ou falsa.

III – A terceira frase é uma sentença aberta, pois não se sabe o valor de x e y.

IV – A quarta frase é uma proposição, pois possui interpretação lógica.

Dessa forma, podemos inferir que o item está errado.

(CESPE/2008) Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos ¬, ∧

e→ são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e então, res-

pectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de pro-

posições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos,

esses operadores estão definidos, para cada valoração atribuída às letras proposicionais.

Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras

P, Q, R e S:

P: Nesse país o direito é respeitado.





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Q: O país é próspero.

R: O cidadão se sente seguro.

S: Todos os trabalhadores têm emprego.

Considere também que os símbolos “∨”, “∧”, “→” e “¬” representem os conectivos lógicos

“ou”, “e”, “se...,então” e “não”, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens

seguintes.

Questão 22 (CESPE/2008) A proposição “Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão

não se sente seguro” pode ser representada simbolicamente por P ∧ (¬R).

Certo.

O item está correto, pois temos o conectivo de conjunção representado pela palavra “mas” e o

segundo conjuntivo negativo: ¬R. Dessa forma a simbolização está de acordo.

Questão 23 (CESPE/2008) A proposição “Se o país é próspero, então todos os trabalhadores

têm emprego” pode ser representada simbolicamente por Q → S.

Certo.

O item está correto, pois temos um operador condicional que opera as proposições “Q” e “S”,

nessa ordem, e não podemos esquecer que o condicional é o único que possui a propriedade

comutativa.

Questão 24 (CESPE/2008) A proposição “O país ser próspero e todos os trabalhadores te-

rem emprego é uma consequência de, nesse país, o direito ser respeitado” pode ser represen-

tada simbolicamente por (Q∧ S) → P.





Josimar Padilha


Dica do Padilha!

Como já sabemos que o único operador lógico que não permi-

te trocar de posições (comutar) suas proposições simples é o

conectivo condicional. P → Q ≠ Q → P.

O conectivo condicional é o que nos traz mais surpresas, logo

tenho mais uma dica importante para você:

Tomando a proposição P → Q como exemplo podemos dar no-

mes às suas proposições simples, observe:

P(antecedente) → Q(consequente), nessa ordem.

Errado.

A partir da dica acima ficou fácil, pois a proposição “O país ser próspero e todos os trabalha-

dores terem emprego” é o consequente, ou seja, temos uma proposição condicional e o ante-

cedente é a proposição “Nesse país o direito e respeitado”.

Dessa forma o item está errado, pois o conectivo condicional não possui a propriedade cono-

tativa, ou seja, (Q∧S) → P não é equivalente a P → (Q∧ S).

Questão 25 (CESPE/BANCO DO BRASIL/2007) Na lista de frases apresentadas abaixo, há

exatamente três proposições.

– “A frase dentro destas aspas é uma mentira”

– A expressão X + Y é positiva

– Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira

– O que é isto?





Josimar Padilha


Errado.

Gostaria que você ficasse bem atento ao comentário sobre a primeira sentença, pois teremos

uma interpretação bem interessante:

Temos quatro sentenças:

– “A frase dentro destas aspas é uma mentira”. Essa frase não possui uma interpretação ló-

gica (V ou F), pois, se valorarmos como verdadeira, ela se tornará falsa, uma vez que informa

que a frase é falsa; caso seja valorada como falsa, tornar–se–á verdadeira e assim por diante.

Logo, é uma sentença aberta.

Dica do Padilha!

Nessa questão é necessário analisar o conteúdo da informa-

ção, e isso fica claro uma vez que a sentença encontra-se den-

tro de aspas. Não se esqueça, pois, se não analisar o conteúdo,

teremos uma proposição e na verdade o pensamento é aberto.

– A expressão X + Y é positiva. Essa frase não possui uma interpretação lógica (V ou F), pois

não sabemos quais são os valores de X e Y. Ex.: Se X = 1 e Y = 2, temos que 1 + 2 = 3 (positivo),

mas se tivermos X = –1 e Y = –3, temos que –1+(–3) = –4 (negativo). Logo, é uma sentença

aberta.

– Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. Essa frase possui uma interpretação lógica,

uma vez que Pelé marcou mais de dez gols para a seleção brasileira, sendo falsa a frase. Logo,

é uma proposição.

– O que é isto? Essa frase não possui uma interpretação lógica (V ou F), pois trata–se de uma

sentença interrogativa, a qual não pode ser valorada. Logo é uma sentença aberta e o item está

errado.





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(CESPE/CENSIPAM/2006) Considere, ainda, que P, Q, R e S representem as sentenças listadas

abaixo.

P: O homem precisa de limites.

Q: A justiça deve ser severa.

R: A repressão ao crime é importante.

S: A liberdade é fundamental.

Com base nessas informações, julgue os itens.

Questão 26 (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença “A liberdade é fundamental, mas o ho-

mem precisa de limites”, pode ser corretamente representada por P∧ ¬S.

Errado.

O item está errado, pois se trata se uma proposição conjuntiva em que o primeiro conjuntivo é

“A liberdade é fundamental” e segundo conjuntivo “O homem precisa de limites” é representa-

do simbolicamente por S ∧ P.

Na próxima aula, veremos mais sobre os termos “primeiro conjuntivo” e “segundo conjuntivo”,

não se preocupe, será na aula de tabelas-verdade.

Questão 27 (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença “A repressão ao crime é importante, se a

justiça deve ser severa”. Pode ser corretamente representada por R→ Q.

Errado.

O item está errado, pois se trata se uma proposição condicional em o antecedente é a pro-

posição “a justiça deve ser severa” e o consequente é a proposição “A repressão ao crime é

importante”. É importante ressaltar que a proposição condicional é a única que não possui a

propriedade comutativa, isto é, a representação simbólica correta é Q → R.





Josimar Padilha


Dica do Padilha!

Vale a pena ressaltar que a partícula “se” anuncia o anteceden-

te, independente de como esteja escrito na linguagem natural,

enquanto o termo “então” anuncia o consequente, ok?

Questão 28 (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença “Se a justiça não deve ser severa nem

a liberdade fundamental, então repressão ao crime não é importante”, pode ser corretamente

representada por (¬Q) ∧ (¬S) →¬R.

Certo.

O item está correto, pois se trata se uma proposição condicional em que o antecedente é a

proposição composta “a justiça não deve ser severa nem a liberdade fundamental” e o conse-

quente é a proposição negativa “A repressão ao crime não é importante”.

O termo “nem” é a contração do “e” com o “não”.

Questão 29 (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença “Ou o homem não precisa de limites e

a repressão ao crime não é importante, ou a justiça deve ser severa”, pode ser corretamente

representada por ((¬P) ∧ (¬R)) ∨ Q.

Errado.

Esse item é bem tranquilo e está errado, pois trata– se uma proposição disjuntiva exclusiva,

isto é, “ou...ou...”, em que o conectivo correto seria ∨.

Questão 30 (CESPE/CENSIPAM/2006) A sentença “Se a justiça deve ser severa, então o

homem precisa de limites” pode ser corretamente representada por Q → P.





Josimar Padilha


Certo.

O item está correto, pois se trata se uma proposição condicional em o antecedente é a propo-

sição “a justiça deve ser severa” e o consequente é a proposição “O homem precisa de limites”.

Obs.: � Para finalizarmos a nossa série de questões comentadas, quero apresentar um comen-

tário de uma questão muito bem-feita pela banca Vunesp. Vamos lá.

Questão 31 (VUNESP/POLÍCIA CIVIL SP) Em um reino distante, um homem cometeu um

crime e foi condenado à forca. Para que a sentença fosse executada, o rei mandou que cons-

truíssem duas forcas e determinou que fossem denominadas de Forca da Verdade e Forca da

Mentira. Além disso, ordenou que na hora da execução o prisioneiro deveria proferir uma sen-

tença assertiva qualquer. Se a sentença fosse verdadeira, ele deveria ser enforcado na Forca da

Verdade. Se, por outro lado, a sentença fosse falsa, ele deveria ser enforcado na Forca da Men-

tira. Assim, no momento da execução, foi solicitado que o prisioneiro proferisse a sua asserção.

Ao fazer isso, o carrasco ficou completamente sem saber o que fazer e a execução foi cancela-

da! Assinale qual das alternativas representa a asserção que o prisioneiro teria proferido.

a) “Está chovendo forte”.

b) “O carrasco não vai me executar”.

c) “A soma dos ângulos de um triângulo é cento e oitenta graus”.

d) “Dois mais dois é igual a cinco”.

e) “Serei enforcado na Forca da Mentira”.

Letra e.

A banca Vunesp exige um conhecimento de sentenças fechadas (proposições) e sentenças

abertas. Uma bela questão em que o examinador soube aplicar de maneira concreta os princí-

pios fundamentais da Lógica Proposicional.





Josimar Padilha


Segundo a questão, existem duas forcas para execução do prisioneiro, no qual, se proferisse

uma sentença verdadeira, ele deveria ser enforcado na Forca da Verdade, mas, por outro lado,

se a sentença fosse falsa, ele deveria ser enforcado na Forca da Mentira. À primeira vista, te-

mos uma interpretação que tal situação é absurda, porém quando analisamos pelo ponto de

vista lógico, podemos interpretar que existem pensamentos passíveis de valoração (V ou F)

dentro da lógica bivalente e pensamentos completos que não possuem interpretação, ou seja,

sentenças abertas.

Nesse caso, o prisioneiro, ao proferir a sentença, deixou o carrasco completamente sem saber

o que fazer, pois aquilo que ele ouviu não proporcionou a execução do prisioneiro, ou seja, uma

sentença que não conduzia à forca da verdade nem à forca da mentira, sendo dessa forma a

execução cancelada. Bem, isso se deve ao fato de que a sentença se tratava de um pensamen-

to completo que não era nem verdadeiro nem falso, ou seja, uma SENTENÇA ABERTA.

Analisando as opções, devemos encontrar a sentença aberta que o prisioneiro proferiu, propor-

cionando sua absolvição.

�a) “Está chovendo forte”: É uma proposição, pois pode ser verdadeira ou falsa. Seria executado

de qualquer forma.

�b) “O carrasco não vai me executar”: É uma proposição, pois possui valoração, no caso falsa.

Seria executado na forca da mentira.

�c) “A soma dos ângulos de um triângulo é cento e oitenta graus”. É uma proposição, pois pos-

sui valoração, no caso verdadeira. Seria executado na forca da verdade.

�d) “Dois mais dois é igual a cinco”. É uma proposição, pois possui valoração, no caso falsa.

Seria executado na forca da mentira.

e) “Serei enforcado na Forca da Mentira”. A sentença não é nem verdadeira e nem falsa. Pois,

se tentarmos valorar como verdadeira, ela se torna falsa; e, se tentarmos valorar como falsa,

se torna verdadeira, ou seja, não possui valoração – sentença aberta.

Parte 2 – tabeLas-verdade – veretativas

Meu(minha) querido(a), nosso primeiro passo é entender como se constrói uma tabela-ver-

dade. Porém vamos entender o motivo de se chamar tabela-verdade.





Josimar Padilha


As tabelas-verdade apresentam as possíveis interpretações para uma proposição simples

ou composta, sabendo que na lógica bivalente as valorações possíveis, valores lógicos, que

nós temos são:

(V): verdade ou (F): falso

Daí surge a pergunta:

Só temos esses dois valores?

Bem, vamos lá. Para que possamos valorar as proposições simples ou compostas, temos

que entender que as únicas possibilidades são essas, então não custa apresentar a vocês as

03(três) leis do Pensamento ou Os Princípios Fundamentais da Lógica Proposicional.

A Lógica como a ciência do raciocínio ou do pensamento é que existem exatamente três

leis fundamentais do pensamento, as quais são necessárias e suficientes para que o pensar

se desenvolva de maneira “correta”. Essas leis do pensamento receberam, tradicionalmente,

os nomes de Princípio de Identidade, Princípio de Contradição (por vezes, Principio de Não Con-

tradição) e Princípio do Terceiro Excluído. Há formulações alternativas desses princípios, apro-

priadas a diferentes contextos. No nosso caso, as formulações apropriadas são as seguintes:

O Princípio de Identidade afirma que se qualquer enunciado é verdadeiro, então ele é verda-

deiro; se for falso, será falso. Não pode estar alternando sua valoração, isto é, sua interpretação.

O Princípio da Não Contradição afirma que nenhum enunciado pode ser verdadeiro e falso.

Do ponto de vista lógico, é impossível uma afirmação ser simultaneamente verdadeira e falsa.

O Princípio do Terceiro Excluído afirma que um enunciado ou é verdadeiro, ou é falso. Não

temos como ter um terceiro valor. Caso exista deverá ser excluído.

Partindo desse pressuposto que um pensamento pode ser ou verdadeiro ou falso, vamos

aprender a construir as tabelas-verdade.

O primeiro passo é sabermos quantas linhas temos para cada tabela. Pois bem, para isso

temos que saber se temos uma proposição simples ou composta.

Em uma proposição composta formada por n variáveis proposicionais, ou seja, “n” pensa-

mentos simples, a sua tabela-verdade possuirá 2n linhas. A base é o número 2 por se tratar da

lógica bivalente e “n” significa o número de proposições simples.





Josimar Padilha


N. de linhas = 2n(Proposições).

Como construir uma tabela-verdade?

Vejamos os casos abaixo:

1. Quantas linhas possui a tabela-verdade da proposição P?

Já vimos que as proposições são representadas por letras e nesse caso temos uma variá-

vel proposicional, ou seja, “n” é igual a 1, então o número de linhas será dado por:

2 n= 21= 2 linhas.

Sabendo agora que temos 02 linhas, podemos construir a tabela:

P

2. Quantas linhas possuem a tabela-verdade da proposição composta P ∧ Q?

Sabendo que as proposições são representadas por letras e temos nesse caso duas variá-

veis proposicionais, ou seja, “n” é igual a 2, então o número de linhas será dado por:

2 n= 22= 4 linhas.

Sabendo agora que temos 04 linhas, podemos construir a tabela em que as duas primeiras

colunas são as proposições simples e a terceira coluna será a proposição composta:

P Q (P ∧ Q)

3. Quantas linhas possuem a tabela-verdade da proposição composta (P ∧ Q) ∨ R?

Nesse caso temos que o número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual

a 3, ou seja, n = 3, então o número de linhas:

2 n =2 3= 8 linhas





Josimar Padilha


P Q R (P ∧ Q) (P ∧ Q) ∨ R

4. Quantas linhas possuem a tabela-verdade da proposição composta (P ∧ Q) ∨ (R ∧ S)?Agora temos que o número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual a 4, ou

seja, n = 4, então o número de linhas:2 n =2 4= 16 linhas

P Q R S (P ∧ Q) (R ∧ S) (P ∧ Q) ∨ (R ∧ S)

E agora surge outra pergunta:

Como preencher as tabelas?

Vamos aprender como valorar as proposições simples em uma tabela-verdade, ou seja,

as primeiras colunas.

Para as tabelas-verdade abaixo, teremos:





Josimar Padilha


1. Para 1 (uma) proposição: n=1

P

V

F

2. Para 2 (duas) proposições: n=2

Alternando de uma em uma: VFVF.Alternando de duas em duas: VV,

depois FF.

P Q (P ∧ Q)

V V

V F

F V

F F

3. Para 3 (três) proposições simples: n=3

P Q R (P ∧ Q) (P ∧ Q) ∨ R

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Preencher a coluna alternando ver-dade(V) e uma falsa (F).

Alternando de quatro em quatro: VVVV,

depois FFFF.

Alternando de duas em duas: V V,

depois FF.

Alternando de uma em uma: VFVFVF.





Josimar Padilha


4. Para 4 (quatro) proposições simples: n=4

P Q R S (P ∧ Q) (R ∧ S) (P ∧ Q) ∨ (R ∧ S)

V V V V

V V V F

V V F V

V V F F

V F V V

V F V F

V F F V

V F F F

F V V V

F V V F

F V F V

F V F F

F F V V

F F V F

F F F V

F F F F

Agora que aprendemos como preencher a parte inicial da tabela-verdade, podemos dar

início às tabelas-verdade para cada um dos operadores lógicos.

Vamos pensar da seguinte maneira. É como se fossem as tabuadas na matemática, você

lembra? Tínhamos as tabuadas da soma, subtração, multiplicação e divisão. Partindo do mes-

mo princípio, em que cada operador lógico terá sua tabela.

Antes de darmos início à tabela para cada operador, veja dois exemplos de concursos do

assunto já visto.

Fique ligado(a)!

Alternando de oito em

oito: VVVVVVVVFFFF-

FFFF.

Alternando de quatro

em quatro: VVVVFFFF.

Alternando de duas em

duas: V V depois FF.

Alternando de uma em

uma: VFVFVF.





Josimar Padilha


Questão 32 (CESPE/TCU/ADAPTADA) Considere que as letras P, Q e R representam pro-

posições e os símbolos ¬ e → são operadores lógicos que constroem novas proposições e

significam não, e, e então, respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão

do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou

falsas (F), mas nunca ambos.

Com base nessas informações e no texto, julgue o item seguinte.

O número de valorações possíveis para (Q ∧ ¬R) → ¬ P é inferior a 9.

Certo.

Como já visto que o número de tabelas de valorações distintas (valorações possíveis) que po-

dem ser obtidas para proposições com n variáveis proposicionais é igual a 2n, logo temos: 23

= 8. Sendo assim temos que 8 é inferior a 9. O item está correto.

Questão 33 (CESPE/TRT-5) Se A, B, C e D forem proposições simples e distintas, então o nú-

mero de linhas da tabela-verdade da proposição (A B) ↔ (C D) será superior a 15.

Certo.

Como já visto, o número de tabelas de valorações distintas (valorações possíveis) que podem

ser obtidas para proposições com n variáveis proposicionais é igual a 2n, logo temos: 24 = 16.

Sendo assim temos que 16 é superior 15. O item está correto.





Josimar Padilha


tabeLas-verdade

1. Conjunção: “e, mas” símbolo: ∧

Denomina-se conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer

que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo “e”.

Exemplo:

A: José trabalha no Tribunal. (1º Conjuntivo)

B: José mora em Brasília. (2º Conjuntivo)

Tabela-verdade

1º linha2º linha 3º linha

A B

4º linha

A B A ∧ B

V V V

V F F

F V F

F F F

Para que você entenda de uma maneira mais concreta, vamos associar cada linha da tabe-

la-verdade a cada elemento pertencente ao diagrama acima.

No operador conjuntivo (e), só será verdadeiro se os elementos pertencerem à interseção

(área hachurada no diagrama). Isto quer dizer que quando tiver o valor V, pertence; e quando

tiver o valor F, não pertence ao conjunto.

O elemento referente à primeira linha pertence a A e pertence a B, ou seja, se encontra na

interseção, logo será verdadeiro.

O elemento referente à segunda linha pertence a A e não pertence a B, ou seja, não se en-

contra na interseção, logo será falso.

O elemento referente à terceira linha não pertence a A e pertence a B, ou seja, não se en-


O elemento referente à quarta linha não pertence a A e não pertence a B, ou seja, não se

encontra na interseção, logo será falso.

Resumindo, na conjunção só será verdadeiro se tudo for verdadeiro.





Josimar Padilha


O operador “e” tem o sentido de “ambos”, “simultaneidade”, “ao mesmo tempo”.

O operador “e” em operações de conjuntos dá ideia de “Intersecção” e uma ideia de “multipli-

cação”.

2. Disjunção: “OU” símbolo: ∨

Vamos para o próximo operador lógico e sua tabela-verdade, agora é a nossa disjunção in-

clusiva, que é uma proposição composta formada por duas proposições simples que estejam

ligadas (operadas) pelo conectivo “ou”.

Tabela-verdade

1º linha2º linha 3º linha

A B

4º linha

P Q P ∨ Q

V V V

V F V

F V V

F F F



No operador disjuntivo (ou), só será verdadeiro se os elementos pertencerem à união (área

hachurada no diagrama). Isto quer dizer que quando tiver o valor V, pertence; e quando tiver o

valor F, não pertence ao conjunto.

O elemento referente à primeira linha pertence à A e pertence a B, ou seja, se encontra na

interseção, logo será verdadeiro.

O elemento referente à segunda linha pertence a A e não pertence a B, ou seja, se encontra

na interseção, logo será verdadeiro.

O elemento referente à terceira linha não pertence a A e pertence a B, ou seja, se encontra

na interseção, logo será verdadeiro.





Josimar Padilha


O elemento referente à quarta linha não pertence A e não pertence a B, ou seja, não se en-


Resumindo: na conjunção só será verdadeiro se pelo menos uma proposição for verda-

deira.

O operador “ou” tem o sentido de “um ou outro, possivelmente ambos”.

O operador “ou” em operações de conjuntos dá ideia de União e uma ideia de Soma.

Vejamos mais uma questão comentada envolvendo os 02(dois) operadores acima:

É importante observar que, na tabela-verdade construída pela banca, os valores estão inver-

tidos, mas isso não é problema, pois o que importa é que tenhamos todas as possibilidades.

Questão 34 (FUNIVERSA/POLÍCIA CIVIL DF) Os valores lógicos – verdadeiro e falso – po-

dem constituir uma álgebra própria, conhecida como álgebra booleana. As operações com

esses valores podem ser representadas em tabelas-verdade, como exemplificado abaixo:

A B A e B

Falso Falso Falso

Falso Verdadeiro Falso

Verdadeiro Falso Falso

Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro

As operações podem ter diversos níveis de complexidade e também diversas tabelas-verdade.

Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta.

I – Se os valores lógicos de A, B e C na expressão (A e B e C), são, respectivamente, falsos,

falso e verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é falso.

II – Se os valores lógicos de A, B e C na expressão (A ou B ou C), são, respectivamente, fal-

so, verdadeiro e falso, então o valor lógico dessa expressão é verdadeiro.

III – Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [A e (B ou C)], são, respectivamente, fal-

so, verdadeiro e verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é verdadeiro.





Josimar Padilha


IV – Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [A ou (B e C)], são, respectivamente, ver-

dadeiro, falso e falso, então o valor lógico dessa expressão é falso.

a) Todas as afirmativas estão erradas.

b) Há apenas uma afirmativa certa.

c) Há apenas duas afirmativas certas.

d) Há apenas três afirmativas certas.

e) Todas as afirmativas estão certas.

Letra c.

Essa questão trata apenas da aplicação da tabela-verdade, logo é importante copiar as tabelas

em uma folha para acompanhar as operações. Com o tempo, por meio da prática, se tornará

comum.

Item I – A ∧B ∧C ⇒ F ∧F ∧ V = F (certo o item)

No item acima, operamos na conjunção F com F, que será falso, e consequentemente opera-

mos na conjunção com V resultando em F.

Item II – A v B v C⇒ F v V v F = V (certo o item)

No item acima, operamos na disjunção F com V, que será falso.

Item III – [ A ∧ (B V C)] ⇒ [ F ∧ (V v V)] = F (errado o item)

No item acima, operamos a disjunção que está entre parênteses que será verdadeiro e conse-

quentemente operamos com F pela conjunção resultando em F.

Item IV – [ A ou (B e C)] ⇒ [ V v (F ∧ F)] = V (errado o item)

No item acima, operamos o que está entre parênteses pela conjunção, que será falso, e conse-

quentemente operamos pela disjunção, que será verdadeiro.

3. Disjunção Exclusiva: “OU...OU...” símbolo: ∨

Temos agora o nosso terceiro operador lógico denominado de disjunção exclusiva. A pro-

posição composta formada por duas proposições simples que estejam ligadas (operadas)

pelo conectivo “ou...ou...”





Josimar Padilha


Tabela-verdade

2º linha 3º linha

A B

4º linha

R S R ∨ S

V V F

V F V

F V V

F F F



No operador disjunção (ou..ou..) exclusiva, só será verdadeiro se os elementos não perten-

cerem à interseção, ou seja, quando forem exclusivos, pertencerem (área hachurada no diagra-

ma). Isso quer dizer que, quando tiver o valor V (pertence) e quando tiver o valor F (pertence

ao conjunto).

O elemento referente à primeira linha pertence a A e pertence a B, ou seja, se encontra na

interseção, logo será falso.

O elemento referente à segunda linha pertence a A e não pertence a B, ou seja, não se en-

contra na interseção, logo será verdadeiro.

O elemento referente à terceira linha não pertence a A e pertence a B, ou seja, não se en-

contra na interseção, logo será verdadeiro.

O elemento referente à quarta linha não pertence A e não pertence a B, ou seja, não se en-


Resumindo: na conjunção só será verdadeiro se os valores das proposições forem dife-

rentes.

Vejamos mais uma questão comentada envolvendo o operador acima:

Questão 35 (ESAF) De três irmãos – José, Adriano e Caio. Sabe-se que ou José é o mais

velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se também que, ou Adriano é o mais velho ou Caio é o

mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente:

1º linha





Josimar Padilha


a) Caio e José

b) Caio e Adriano

c) Adriano e Caio

d) Adriano e José

e) José e Adriano

Letra b.

Agora iremos utilizar um pouco dos conhecimentos adquiridos no primeiro módulo, no qual

tratamos da linguagem.

Iremos simbolizar as proposições acima para ficar mais fácil.

P1: ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço = V

P2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho = V

Obs.: � Você deve ter percebido o sinal de verdade ao final de cada proposição composta. Isso

é devido porque partimos de verdades para chegarmos em uma verdade. Esse raciocí-

nio ficará mais claro nos módulos posteriores quando falarmos de inferências lógicas,

ok? Por enquanto vamos ficar por aqui, pois o nosso foco são as tabelas-verdade.

Aplicando mão da observação acima, temos que todas as proposições são verdadeiras, logo

iremos valorá-las com “V” e, aplicando a tabela-verdade do conectivo utilizado (ou...ou...) nas

proposições P1 e P2, iremos valorando as proposições simples que as compõem.

Para que os resultados das premissas (P1e P2) sejam verdadeiros, temos que valorar as pro-

posições simples sublinhadas de acordo com a tabela-verdade da disjunção exclusiva. Então

teremos:

F V

• P1: ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço = V

F V

• P2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho = V





Josimar Padilha


Na proposição composta P1, podemos ter 02 possibilidades de acordo com o operador “ou...

ou...”, isto é, os valores devem ser diferentes, mas se começarmos com F e V, respectivamente,

iremos perceber que chegaremos a uma contradição. Logo, ao colocarmos F e v, conforme

ilustrado acima, chegaremos à resposta correta.

Dessa forma podemos concluir que o mais velho é Caio e o mais moço é Adriano.

O operador “ou...ou...” tem o sentido de “um ou outro e não ambos”.

O operador “ou..ou...”, em operações de conjuntos, dá ideia de União dos exclusivos e uma

ideia da soma dos exclusivos.

Quando utilizado o “ou” no sentido exclusivo, é comum adicionar no final a expressão: “mas

não os dois “.

4. Condicional: “SE..., ENTÃO...” símbolo: →

Agora é muito importante sua atenção, pois iremos estudar o principal dos operadores

lógicos, ou seja, o CONDICIONAL, isso pela incidência em questões de concursos públicos e

também pela sua complexidade .

Denomina-se condicional a proposição composta formada por duas proposições que este-

jam ligadas (operadas) pelo conectivo “Se..., então...”/ “Quando”, “Aquele”, “Como” e etc.

Para melhor compreensão, iremos continuar lançando mãos dos conhecimentos de teoria

de conjuntos.

A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas ideias de natureza

lógica que são fundamentais para a Matemática e o desenvolvimento do raciocínio. Por exem-

plo, a implicação lógica denotada por A → B pode ser interpretada como uma inclusão entre

conjuntos, ou seja, como A ⊂ B, em que A é o conjunto cujos objetos cumprem a condição a,

e B é o conjunto cujos objetos cumprem a condição b.





Josimar Padilha


Tabela-verdade

a b

c

A

BA B A → B

V V V

V F F

F V V

F F V

O operador condicional (Se..., então...) será verdadeiro se os elementos cumprirem a con-

dição determinada pela inclusão A ⊂ B, ou seja, apenas 03 elementos “a, b e c” podem existir

de acordo com o diagrama acima. Vejamos:

O elemento referente à primeira linha indica que, se pertence a A, então pertence a B, ou

seja, isso pode acontecer. No diagrama é representado pelo elemento a, logo será verdadeiro.

O elemento referente à segunda linha indica que, se pertence a A, então não pertence a

B, ou seja, isso NÃO pode acontecer. No diagrama não temos elemento representando essa

possibilidade, logo será falso.

O elemento referente à terceira linha indica que, se não pertence a A, então pertence a B, ou

seja, isso pode acontecer. No diagrama é representado pelo elemento b, logo será verdadeiro.

O elemento referente à quarta linha indica que se não pertence a A, então não pertence a

B, ou seja, isso pode acontecer. No diagrama é representado pelo elemento c, logo será verda-

deiro.

Em uma proposição condicional não existe a possibilidade de termos a primeira verdadeira

e a segunda falsa, então, se sabemos que a primeira é verdadeira, a segunda, por dedução,

deverá ser considerada verdadeira; e se sabemos que a segunda é falsa, a primeira deverá ser

considerada falsa.

Note também que: se sabemos que a primeira é falsa, não temos como deduzir o valor-ló-

gico da segunda, e, se sabemos que a segunda é verdadeira, não temos como deduzir o valor-

-lógico da primeira. Veja:

É importantíssimo! Temos alguns termos que indicam as proposições simples numa pro-

posição condicional. Tem acontecido demais em concursos, em que a banca não cita o nome

do operador, e sim, os termos escritos abaixo:





Josimar Padilha


(A B)

Antecedente Consequente

Além desses termos, é importante guardar as condições que existem nas proposições

condicionais.

Condição suficiente: condição que vai do antecedente para o consequente.

Condição necessária: condição que vai do consequente para o antecedente.

Ex.: Se o dia estiver claro, então José vai à praia.

Temos que:

Obs.: � O dia estar claro é condição suficiente para José ir à praia.

� ou

� José ir à praia é condição necessária para o dia estar claro.

O Operador “Se..., então...” dá ideia de inclusão de dois conjuntos, em que, p→ q ⇒ p q.

Uma observação muito importante para o conectivo condicional é que o mesmo não pode

(comutar), ou seja, se eu falar: “Se estudo, então eu passo”, não é o mesmo que falar: “Se eu

passei, então estudei”. Do ponto de vista lógico, essas duas proposições não possuem as mes-

mas interpretações, isto é, as valorações nas tabelas-verdade são diferentes, isso fica claro

com os valores expressos nas linhas 2 e 3.

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V





Josimar Padilha


Outra demonstração é por meio dos diagramas, nos quais temos:

PPQ

Q

p → q ≠ q → p

Vejamos mais uma questão comentada envolvendo o operador condicional:

Resumindo, na condicional só será FALSO se tivermos verdade no antecedente e falso no

consequente.

Uma brincadeira que gosto de fazer a seguinte: V→F (Vera Fischer).

Questão 36 (ESAF) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o

passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo:

a) O jardim é florido e o gato mia;

b) O jardim é florido e o gato não mia;

c) O jardim não é florido e o gato mia;

d) O jardim não é florido e o gato não mia;

e) Se o passarinho canta então o gato não mia

Letra c.

Partindo do princípio de que todas as proposições são verdadeiras, temos:

V V

P1: O jardim não é florido → O gato mia (V)

F F





Josimar Padilha


P2: O jardim é florido → O passarinho não canta (V)

P3: O passarinho canta (V)

Para que possamos fazer essa questão, uma boa sugestão é que iniciemos pela proposição

simples (P3) como verdadeira.

Partindo da premissa p3 como (V), temos as seguintes valorações para as demais proposições

simples, de acordo com a tabela-verdade da condicional analisando as respostas:

Se a proposição P3 é verdadeira, então o consequente de P2 será falso. Se o consequente de

P2 é falso, então o antecedente será falso.

Se o antecedente da proposição P2 é falso, então o antecedente da proposição P1 é verdadei-

ro.

Dessa forma temos as valorações das proposições simples, agora é só procurar a resposta e

o importante é perceber que nas alternativas temos o operador de conjunção que deverá ser

também analisado.

a) o jardim é florido e o gato mia.

F ∧V = F

b) o jardim é florido e o gato não mia.

F ∧ F = F

c) o jardim não é florido e o gato mia.

V ∧ V = V

d) o jardim não é florido e o gato não mia.

V ∧ F = F

e) Se o passarinho canta então o gato não mia.

V → F = F

Obs.: � Você percebeu que tivemos que analisar cada uma das opções para encontrar o item

verdadeiro.





Josimar Padilha


5. Bicondicional: “Se, e Somente se” símbolo: ↔

Temos agora o operador bicondicional que será identificado pelo termo “se, e somente se”.

A proposição composta formada por duas proposições que estejam ligadas por esse conectivo.

Vejamos um exemplo.

Exemplo:

A: Gosto de lógica analítica.

B: Gosto de estatística inferencial.

A proposição bicondicional ‘A se, e somente se, B’ pode ser escrita como:

A ↔ B: gosto de lógica analítica se, e somente se, gosto de estatística inferencial.

Quando declaramos uma proposição bicondicional, devemos, de acordo com os axiomas

de Lógica, aceitar como verdadeiro que: Se é verdade que ‘Gosto de lógica inferencial’, obri-

gatoriamente, é verdade que ‘Gosto de estatística inferencial’. Se for verdade que gosto de

estatística inferencial, obrigatoriamente, é verdade que Gosto de lógica analítica. Se for falso

que gosto de lógica inferencial, obrigatoriamente, é falso que gosto de estatística inferencial,

e, se é falso que gosto de estatística inferencial, obrigatoriamente, é falso que gosto de lógica

analítica. Qualquer outra possibilidade representa um conjunto vazio. A tabela e o diagrama

abaixo representam essa situação.

A B A ↔ B A = B

a

b

V V V

V F F

F V F

F F V

No operador bicondicional (Se, e somente se) será verdadeiro se os elementos cumprirem

a condição determinada pela inclusão (A ⊂ B) ∩ (B ⊂ A), ou seja, os conjuntos são iguais, pois

o conjunto A está contido em B e simultaneamente B está contido em A. conforme o diagrama

acima. Vejamos como interpretar as tabelas:





Josimar Padilha


O elemento referente à primeira linha indica que se pertence ao conjunto A, então pertence

ao conjunto B, ou seja, isso acontece, uma vez que os conjuntos são iguais. No diagrama é

representado pelo elemento “a”, logo será verdadeiro.

O elemento referente à segunda linha indica que, se pertence a A, então não pertence a

B, ou seja, isso NÃO pode acontecer, uma vez que os conjuntos são iguais. No diagrama não

temos elemento representando essa possibilidade, logo será falso.

O elemento referente à terceira linha indica que, se não pertence a A, então pertence a B, ou

seja, isso NÃO pode acontecer, uma vez que os conjuntos são iguais. No diagrama não temos

elemento representando essa possibilidade, logo será falso.

O elemento referente à quarta linha indica que, se não pertence a A, então não pertence a

B, ou seja, isso acontece, uma vez que os conjuntos são iguais. No diagrama é representado

pelo elemento “b”, logo será verdadeiro.

Obs.: � Na proposição bicondicional, se a primeira das duas proposições simples que a com-

põem for verdadeira, a segunda será verdadeira; e se a primeira for falsa, a segunda

será falsa.

V

F

V

F

Quando temos:

Uma aplicação desse conceito:





Josimar Padilha


Questão 37 (FCC/TRF 1ª REGIÃO) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos

livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo,

a) alguns atos não têm causa se não há atos livres.

b) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres.

c) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres.

d) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres.

e) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa.

Letra c.

Considerando as proposições:

Se todos nossos atos têm causas, então não há atos livres.

Se não há atos livres, então todos nossos atos têm causas.

Tomando como proposições:

P: Todos nossos atos têm causas.

Q: Não há atos livres.

(P→Q) ∧(Q→P) podemos inferir que P↔Q.

Podemos perceber que a questão comuta (troca de posição) as proposições simples P e Q, em

que podemos concluir que 02(duas) condicionais produzem uma bicondicional.

“Todos nossos atos têm causas se, e somente se não há atos livres.”

Dessa ideia temos mais um conceito a ser mostrado, que é o seguinte:

P é condição necessária e suficiente para Q

Temos as duas condições simultaneamente, pois se trata de uma bicondicional.





Josimar Padilha


Temos que observar que, em muitas questões de concursos públicos, os conectivos lógicos:

condicional e bicondicional são expressões não em uma linguagem formal (seu significado),

mas por meio de condições impostas às proposições simples que compõem uma sentença

composta.

Vejamos mais algumas questões comentadas em que a banca utiliza essa linguagem de

condição suficiente, condição necessária e condição suficiente e necessária.

Questão 38 (EPPGG/MP/ESAF) Carlos não ir ao Canadá é condição necessária para Ale-

xandre ir à Alemanha. Helena não ir à Holanda é condição suficiente para Carlos ir ao Canadá.

Alexandre não ir à Alemanha é condição necessária para Carlos não ir ao Canadá. Helena ir à

Holanda é condição suficiente para Alexandre ir à Alemanha. Portanto:

a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha.

e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

Letra c.

Primeiramente vamos identificar os conectivos e construir a estrutura para chegarmos a uma

conclusão verdadeira.

É importante que você já saiba as tabelas-verdade anteriores, pois iremos utilizá-las.





Josimar Padilha


(F) (F)

P1: Alexandre ir à Alemanha → Carlos não ir ao Canadá (V)

(V) (V)

P2: Helena não ir à Holanda → Carlos ir ao Canadá (V)

(F) (V)

P3: Carlos não ir ao Canadá → Alexandre não ir à Alemanha(V)

(F) (F)

P4: Helena ir à Holanda → Alexandre ir à Alemanha (V)

Logo, partindo de que todas as proposições são verdadeiras e utilizando as tabelas-verdade,

valoramos as proposições simples.

Neste momento só quero que você se importe com a construção das proposições, pois, quan-

to às valorações, veremos uma maneira mais prática de preencher.

Depois de valoradas a proposição acima, novamente chamo a atenção para observar que nas

opções temos operadores lógicos que devem ser levados em conta.

Analisando os itens propostos pela questão para se chegar a uma opção verdadeira, temos:

a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

V ∧ F ∧ V = F (errado)

b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

F ∧ V ∧V = F (errado)

c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

V ∧ V ∧V = V (certo)

d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha.

F ∧ F ∧ F = F (errado)

e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

F ∧F ∧ F = F (errado)





Josimar Padilha


Questão 39 (ESAF/TÉCNICO) Sabe-se que Beto beber é condição necessária para Carmem

cantar e condição suficiente para Denise dançar. Sabe-se, também, que Denise dançar é condi-

ção necessária e suficiente para Ana chorar. Assim, quando Carmem canta,

a) Denise não dança ou Ana não chora.

b) Nem Beto bebe nem Denise dança.

c) Beto bebe e Ana chora.

d) Beto não bebe ou Ana não chora.

e) Denise dança e Beto não bebe.

Letra c.

Observe que as proposições abaixo são construídas por intermédio das condições estudadas.

Logo, fique atento a: condição suficiente, condições necessárias e as condições necessárias

e suficientes.

Primeiramente vamos identificar os conectivos e construir a estrutura para chegarmos a uma

conclusão verdadeira.

P1: Carmem cantar → Beto beber (V)

P2: Beto beber → Denise dançar (V)

P3: Denise dançar ↔ Ana chorar (V)

P4: Carmem cantar (V)

Partindo de que todas as proposições são verdadeiras e utilizando as tabelas-verdade da con-

dicional e bicondicional, valoramos as proposições simples. Uma dica é você começar sempre

de uma proposição simples, caso tenhamos.

(V) (V)

P1: Carmem cantar → Beto beber (V)

(V) (V)

P2: Beto beber → Denise dançar (V)





Josimar Padilha


(V) (V)

P3: Denise dançar ↔ Ana chorar (V)

(V)

P4: Carmem cantar (V)

Com valores adquiridos por intermédio das tabelas-verdade que nessa altura do campeonato

você já sabe, podemos analisar os itens propostos pela questão para se chegar a uma opção

verdadeira, vejamos:

(F) v (F) = F

�a) Denise não dança ou Ana não chora

(F) ^ (F) = F

�b) Nem Beto nem Denise dançam

(V) ^ (V) = V

�c) Beto bebe e Ana chora

(F) ^ (F) = F

�d) Beto não bebe e Ana não chora

(V) ^ (F) = F

e) Denise dança e Beto não bebe.

6. Negação ou Modificador Lógico

Símbolo: ¬ OU ~

p ~ p ou ¬ p

V F

F V

Bem, até que enfim, o nosso último operador lógico.

O ‘não’ é chamado de modificador lógico porque, ao ser inserido em uma proposição, muda

seu valor lógico, ou seja, faz a negação da proposição. Quando formos representar à negação





Josimar Padilha


de uma proposição, vamos usar o sinal de til (~) ou (¬) antes da letra que representa a propo-

sição.

As maneiras que aparecem nas provas, fique ligado!

Proposição p Proposição ¬p

A corrupção tem destruído o País.

A corrupção não tem destruído o País.

Não é verdade que corrupção tem destruído o País.

É falso que corrupção tem destruído o País.

Se uma proposição p é verdadeira, então a sua negação, a proposição ¬p, é falsa. Veja:

Se a proposição... tem valor lógico...

A morte é certa Verdadeiro

então a proposição... tem valor lógico...

A morte não é certa Falso

Se uma proposição ¬p é verdadeira, então a sua negação, proposição p, é falsa. Veja:

Se a proposição... tem valor lógico...

A vida não é curta. Verdadeiro

então a proposição... tem valor lógico...

A vida é curta. Falso

(CESPE/MEC/TEMPORÁRIO/2015) Considerando que as proposições lógicas sejam represen-

tadas por letras maiúsculas e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue os itens a seguir

a respeito de lógica proposicional.

P Q R

1 V V V

2 F V V

3 V F V

4 F F V

5 V V F

6 F V F

7 V F F





Josimar Padilha


8 F F F

A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P, Q e R repre-

sentam proposições lógicas, e V e F correspondem, respectivamente, aos valores lógicos ver-

dadeiros e falsos. Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais,

julgue os itens subsecutivos.

Questão 40 (CESPE/MEC/TEMPORÁRIO/2015) A última coluna da tabela–verdade referen-

te à proposição lógica PV (Q ↔ R) quando representada na posição horizontal é igual a

1 2 3 4 5 6 7 8

PV (Q↔ R) V V V F V F V V

Certo.

Vamos construir a tabela–verdade:

P Q R Q↔ R PV (Q↔ R)

V V V V V

F V V V V

V F V F V

F F V F F

V V F F V

F V F F F

V F F V V

F F F V V

Observar que, na 4ª coluna, temos uma bicondicional operando as proposições da 2ª e 3ª co-

lunas. Na bicondicional só será verdade se os valores forem iguais.

Observar que na 5ª e última coluna iremos operar a 1ª com a 4ª coluna com o conectivo de

disjunção(ou), em que, para ser verdade, basta uma verdade.

Podemos inferir que o item está correto.





Josimar Padilha


Questão 41 (CESPE/MEC/TEMPORÁRIO/2015) A última coluna da tabela–verdade referen-

te à proposição lógica P→ (Q ∧ R) quando representada na posição horizontal é igual a

1 2 3 4 5 6 7 8

P→ (Q ∧ R) V V F F V F V V

Errado.

P Q R Q ∧ R P→ (Q ∧ R)

V V V V V

F V V V V

V F V F F

F F V F V

V V F F F

F V F F V

V F F F F

F F F F V

Observar que na 4ª coluna temos uma conjunção operando as proposições da 2ª e 3ª colunas.

Na conjunção só será verdade se os valores forem verdadeiros.

Observar que na 5ª coluna temos uma condicional operando as proposições da 1ª e 4ª colu-

nas. Na condicional só será falsa de o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso.

Podemos inferir que o item está errado.

(Cespe/MI/2013) O casal Cássio e Cássia tem as seguintes peculiaridades: tudo o que Cássio

diz às quartas, quintas e sextas–feiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ele nos outros

dias da semana; tudo o que Cássia diz aos domingos, segundas e terças–feiras é mentira, sen-

do verdade o que é dito por ela nos outros dias da semana.

A respeito das peculiaridades desse casal, julgue os itens subsecutivos.

Questão 42 (CESPE/MI/2013) Se, em certo dia, ambos disserem “Amanhã é meu dia de

mentir”, então essa afirmação terá sido feita em uma terça-feira.





Josimar Padilha


Certo.

Vamos construir uma tabela para que possamos visualizar melhor a situação.

Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo

Cássio V V F F F V V

Cássia F F V V V V F

Se analisarmos a terça-feira segundo o item propõe temos que:

Cássio na terça-feira (fala a verdade) diz: “Amanhã é meu dia de mentir”, se ele fala a verdade

nesse dia, então deverá mentir na quarta–feira, o que realmente acontece segundo podemos

observar no quadro acima.

Cássia na terça-feira (fala mentira) diz: “Amanhã é meu dia de mentir”, se ela fala mentiras

nesse dia, então deverá falar a verdade na quarta–feira, o que realmente acontece segundo

podemos observar no quadro acima.

Podemos concluir que o item está correto.

Questão 43 (CESPE/MI/2013) Na terça-feira, Cássia disse que iria ao supermercado no sá-

bado e na quarta–feira, que compraria arroz no sábado. Nesse caso, a proposição “Se Cássia

for ao supermercado no sábado, então comprará arroz” é verdadeira.

Certo.

De acordo com a tabela, podemos valorar as proposições, pois sabemos quando a pessoa está

falando a verdade e quando ela está mentindo.





Josimar Padilha





A proposição: “Cássia for ao supermercado no sábado” será falsa (F), pois foi dito em uma

terça-feira.

A proposição: “comprará arroz” será verdadeira (V), pois foi dito em uma quarta–feira.

Valorando as proposições, podemos aplicar na proposição composta abaixo:

Cássia for ao supermercado no sábado (F) → comprará arroz (V) = VERDADEIRO. Podemos

concluir que o item está correto.

Questão 44 (CESPE/MI/2013) Se, em uma sexta–feira, Cássio disser a Cássia: “Se eu te

amasse, eu não iria embora”, será correto concluir que Cássio não ama Cássia.

Errado.

De acordo com a tabela, podemos valorar as proposições, pois sabemos quando a pessoa está

falando a verdade e quando ela está mentindo.




Em uma sexta–feira, segundo a tabela acima, temos que Cássio mente, logo a afirmação dita

por ele deve ser valorada como falsa.

Cássio: “Se eu te amasse, eu não iria embora” = F

Temos uma proposição composta condicional e, para que ela seja falsa, o antecedente tem

que ser verdadeiro e o consequente falso, assim:

Cássio: eu te amasse (V) → eu não iria embora (F) = F

Dessa forma, Cássio ama Cássia e vai embora. Podemos concluir que o item está errado.





Josimar Padilha


Questão 45 (CESPE/TRE-RJ/2012) Se as proposições “Eu não registrei minha candidatura

dentro do prazo” e “Não poderei concorrer a nenhum cargo nessas eleições” forem falsas,

também será falsa a proposição P, independentemente do valor lógico da proposição “Eu serei

barrado pela lei da ficha limpa”.

Errado.

Simbolizando convenientemente a proposição P, temos:

(BFL ¬ C E) ∧ (¬ RC ¬ C C)

Primeira possibilidade:

Tomando a proposição “Eu serei barrado pela lei da ficha limpa” como V (verdadeira).

(V F) ∧ (F V/F) = F

F ∧ V = F

Segunda possibilidade:

Tomando a proposição “Eu serei barrado pela lei da ficha limpa” como F (falsa).

(F F) ∧ (F V/F) = F

V – ∧ V = V

Podemos concluir que a proposição P pode ser verdadeira ou falsa. Dessa forma o item está

errado.

Questão 46 (CESPE/INSS/2008) Para a simbolização apresentada acima e seus correspon-

dentes valores lógicos, a proposição B →C é V.

Errado.

Podemos nessa questão valorar as proposições de acordo com o art. 5º da Constituição Fede-

ral, ou seja, nesse caso temos que interpretar o conteúdo da informação.

A: A prática do racismo é crime afiançável. = (proposição falsa).





Josimar Padilha


B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. = (proposição verdadeira)

C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extradita-

do. = (proposição falsa)

Tabela do operador condicional (relembrando!):

P Q P →Q

V V V

V F F

F V V

F F V

Aplicando os axiomas da lógica (tabelas–verdade) vistos anteriormente, temos que a proposi-

ção implicativa (condicional) B → C, segundo os valores dados acima:

B → C; V → F é Falsa.

Dessa forma o item está errado.

Questão 47 (CESPE/INSS/2008) De acordo com a notação apresentada acima, é correto

afirmar que a proposição (¬A) ∨ (¬C) tem valor lógico F.

Errado.

Valorando as proposições de acordo com o art. 5º da Constituição Federal, temos:

A: A prática do racismo é crime afiançável. = (proposição falsa)

B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. = (proposição verdadeira)

C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extradita-

do. = (proposição falsa)

Tabela do operador disjuntivo (relembrando):

P Q P ∨ Q

V V V

V F V

F V V

F F F





Josimar Padilha


Aplicando os axiomas da lógica (tabelas–verdade), temos que a proposição disjuntiva (¬A) ∨

(¬C), segundo os valores dados acima:

(¬A) ∨ (¬C)

(¬F) ∨ (¬F)

(V) ∨ (V) é verdadeiro.

O item está errado.

Esta questão abaixo é muito interessante, pois se trata de aplicação de tabelas-verdade, fique

atento ao comentário.

Questão 48 (CESPE/AGENTE DE POLÍCIA/PRF) Em um posto de fiscalização da PRF, cinco

veículos foram abordados por estarem com alguns caracteres das placas de identificação co-

bertos por uma tinta que não permitia o reconhecimento, como ilustradas abaixo, em que as

interrogações indicam os caracteres ilegíveis.

Os policiais que fizeram a abordagem receberam a seguinte informação: se todas as três letras

forem vogais, então o número, formado por quatro algarismos, é par. Para verificar se essa

informação está correta, os policiais deverão retirar a tinta das placas.

a) I, II e V.

b) I, III e IV.

c) I, III e V.

d) II, III e IV.

e) II, IV e V.

Letra c.

A questão em lide é superinteressante, pois se refere à aplicação de conceitos de lógica pro-

posicional, aplicação de tabelas-verdade, em que devemos primeiramente interpretar uma sen-

tença.





Josimar Padilha


No comando, o trecho: “Os policiais que fizeram a abordagem receberam a seguinte informa-

ção: se todas as três letras forem vogais, então o número, formado por quatro algarismos,

é par” será interpretada do ponto de vista lógico. Sendo assim temos uma proposição com-

posta condicional.

Representação da proposição:

P: todas as três letras forem vogais

Q: o número formado por quatro algarismos, é par.

A proposição P→Q é verdadeira de acordo com os axiomas da lógica, ou seja, sua tabela–ver-

dade (relembrando):

P Q P→Q

V V V

V F F

F V V

F F V

Segundo o comando da questão, temos ainda o trecho: “Para verificar se essa informação está

correta, os policiais deverão retirar a tinta das placas”, ou seja, com auxílio das placas, verifica-

remos se a informação é verdadeira.

De acordo com a placa acima, as sentenças serão valoradas:

[todas as três letras forem vogais] → [o número formado por quatro algarismos é par]

V → V/F (?) = V/F(?)

A primeira sentença é verdadeira e a segunda sentença (aberta) não é verdadeira nem falsa,

assim, operando os valores pelo conectivo condicional, temos um resultado que não é nem

verdadeiro nem falso, logo temos de retirar a tinta da placa para verificar se a sentença é ver-

dadeira.






Josimar Padilha


[todas as três letras forem vogais] → [o número formado por quatro algarismos, é par]

F → V =V

A primeira sentença é falsa e a segunda é verdadeira, assim, operando os valores pelo conecti-

vo condicional, temos um resultado que é verdadeiro, logo não é necessário retirar a tinta dos

caracteres ilegíveis para verificar se a sentença é verdadeira.



V/F(?) → V/F(?) = V/F(?)

A primeira sentença é aberta (não é falsa nem verdadeira) e a segunda é uma sentença aberta

(não é falsa nem verdadeira), assim, operando os valores pelo conectivo condicional, temos

um resultado que é indeterminado (nem verdadeiro nem falso), logo é necessário retirar a tinta

dos caracteres ilegíveis para verificar se a sentença é verdadeira.



V/F(?) → V = V

A primeira sentença é aberta (não é falsa nem verdadeira) e a segunda é verdadeira, assim,

operando os valores pelo conectivo condicional, temos um resultado verdadeiro independen-

temente do valor da primeira sentença (antecedente), logo não é necessário retirar a tinta dos

caracteres ilegíveis para verificar se a sentença é verdadeira.


[todas as três letras forem vogais] → [o número formado por quatro algarismos, é par]

V/F(?) → = V/F(?)





Josimar Padilha


A primeira sentença é aberta (não é falsa nem verdadeira) e a segunda é falsa, assim, operan-

do os valores pelo conectivo condicional, temos um resultado que não é nem verdadeiro nem

falso, logo é necessário retirar a tinta dos caracteres ilegíveis para verificar se a sentença é

verdadeira.

Questão 49 (CESPE/TRE-PE/2016) Considerando que p, q, r e s sejam proposições nas

quais p e s sejam verdadeiras e q e r sejam falsas, assinale a opção em que a sentença apre-

sentada seja verdadeira.

a) ~(p ∨ r)∧(q ∧ r)∨q

b) ~s ∨ q

c) ~(~q ∨ q)

d) ~[(~p ∨ q)∧(~q ∨ r)∧(~r ∧ s)]∨(~p ∨ s)

e) (p ∧ s)∧(q∨~s)

Letra d.

Sabendo que p, q, r e s sejam proposições nas quais p e s sejam verdadeiras e q e r sejam

falsas, iremos substituir as valorações nas alternativas e encontrar uma sentença verda-

deira.

a) ~(p ∨ r)∧(q ∧ r)∨q

~(V ∨ F) ∧ (F ∧ F) ∨F

~(V) ∧ (F) ∨ F

F ∧F ∨ F = F

b) ~s ∨ q

~(V) ∨(F)

F ∨ F = F

c) ~(~q ∨ q)

~(V ∨ F)

~(V) = F





Josimar Padilha


d) ~[(~p ∨ q)∧(~q ∨ r)∧(~r ∧ s)]∨(~p ∨ s)

~((F∨ F) ∧ (V ∨ F) ∧ (V∧ V)) ∨ (F ∨ V)

~(F ∧ V ∧ V)

~(F) = V

Questão 50 (CESPE/DPU/Analista/2016). Um estudante de direito, com o objetivo de siste-

matizar o seDu estudo, criou sua própria legenda, na qual identificava, por letras, algumas afir-

mações relevantes quanto à disciplina estudada e as vinculava por meio de sentenças (propo-

sições). No seu vocabulário particular constava, por exemplo:

P: Cometeu o crime A.

Q: Cometeu o crime B.

R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado.

S: Poderá optar pelo pagamento de fiança.

Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B, lembrou que

ele era inafiançável.

Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue.

Caso as proposições R e S se refiram à mesma pessoa e a um único crime, então, indepen-

dentemente das valorações de R e S como verdadeiras ou falsas, a proposição R ∧ S → Q será

sempre falsa.

Errado.

Dadas as proposições:




Sabendo que as proposições R e S se referem à mesma pessoa, temos uma contradição, ou

seja, a proposição R ∧ S será sempre falsa, pois quando R for verdadeiro, S será falso e

vice-versa.




https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/cespe-2016-dpu-analista


Josimar Padilha


A proposição R ∧ S → Q é uma condicional, logo se o antecedente “R ∧ S” é sempre falso, pode-

mos inferir independentemente do valor lógico da proposição Q (V/F), a proposição composta

será sempre verdadeira.

Questão 51 (CESPE/DPU/ANALISTA/2016) Um estudante de direito, com o objetivo de sis-

tematizar o seu estudo, criou sua própria legenda, na qual identificava, por letras, algumas

afirmações relevantes quanto à disciplina estudada e as vinculava por meio de sentenças (pro-

posições). No seu vocabulário particular constava, por exemplo:

P: Cometeu o crime A.




Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B, lembrou que

ele era inafiançável.

Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue.

A proposição “Caso tenha cometido os crimes A e B, não será necessariamente encarcerado

nem poderá pagar fiança” pode ser corretamente simbolizada na forma (P∧Q) → ((~R)∨(~S)).

Errado.

Na proposição composta condicional, o consequente está simbolizado erradamente, pois

o operador lógico não é uma disjunção (ou) e sim uma conjunção (e).

Logo, o item está errado.

Questão 52 (VUNESP/POLICIA CIVIL SP/2013) André tem um conjunto de cartas. Cada car-

ta tem apenas um número em uma das faces e a foto de apenas um animal na outra. André

dispôs quatro cartas sobre a mesa com as seguintes faces expostas: cisne, gato, número 7 e

número 10, como se mostra:




https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/cespe-2016-dpu-analista


Josimar Padilha


André disse: “Se na face de uma carta há número par, então no verso há um animal mamífero”.

Para verificar se a afirmação de André está correta, é

a) suficiente que se verifiquem os versos das cartas B e C.

b) suficiente que se verifiquem os versos das cartas A e C.

c) suficiente que se verifiquem os versos das cartas A e D.

d) suficiente que se verifiquem os versos das cartas B e D.

e) necessário que se verifiquem os versos das quatro cartas.

Letra c.

A questão trata de uma aplicação de tabela-verdade em que devemos analisar a proposição

condicional:

P: “Se na face de uma carta há um número par, então no verso há um animal mamífero”.

De acordo com a tabela-verdade da condicional temos:

P Q P → Q

V V V

V F F

F V V

F F V

Quando a questão pergunta quais cartas devem ser viradas para que a afirmação seja verda-

deira, temos que verificar qual situação não torna a proposição P verdadeira:

Figura A:





Josimar Padilha


Valorando as proposições simples que compõem a proposição P, temos:

P: [face de uma carta há um número par (V/F)] → [no verso há um animal mamífero”(F)] = (F/V)

Nesse caso temos que virar a carta A, pois não temos a certeza que a proposição P é verdadei-

ra, ou seja, segundo as valorações acima, temos que ela pode ser verdadeira ou falsa.

Figura B:


P: [face de uma carta há um número par (V/F)] → [no verso há um animal mamífero” (V)] = (V)

Nesse caso não precisamos virar a carta B, pois temos a certeza que a proposição P é verda-

deira, ou seja, segundo as valorações acima, temos que ela sempre será verdadeira.

Figura C:


P: [face de uma carta há um número par (F)] → [no verso há um animal mamífero” (V/F)] = (V)

Nesse caso não precisamos virar a carta C, pois temos a certeza que a proposição P é verda-

deira, ou seja, segundo as valorações acima, temos que ela sempre será verdadeira.Figura D:


P: [face de uma carta há um número par (V)] → [no verso há um animal mamífero” (V/F)] = (V/F)

Nesse caso temos que virar a carta D, pois não temos a certeza que a proposição P é verdadei-

ra, ou seja, segundo as valorações acima temos que ela pode ser verdadeira ou falsa.





Josimar Padilha


Parte 3 – negação de ProPosições e eQuivaLências Lógicas

Nesta parte iremos abordar os seguintes assuntos:

Negação de Proposições (simples e compostas) e Equivalências Lógicas: Construção e

aplicações das tabelas-verdade para demonstrar os conceitos citados e resoluções de ques-

tões de concursos públicos por métodos práticos e eficientes.

negação de ProPosições comPostas

Como já vimos antes, uma proposição é a expressão de um pensamento completo que

pode ser valorado, ou seja, ser verdadeiro ou falso. No caso de uma proposição composta, po-

demos construir sua tabela-verdade de acordo com o número de proposições simples, assunto

já visto em módulos anteriores.

Na língua corrente, português, sabemos que possuímos o advérbio de negação “não, nem,

nunca, jamais, de modo algum, de forma nenhuma, tampouco, ...” que modifica o sentido da

proposição. Na lógica formal, temos uma outra interpretação quanto à negação, o que traz

algumas dúvidas no início, pois o estudante analisa como se fosse do ponto de vista comum,

e na verdade não é assim.

Para que duas proposições sejam opostas, temos o seguinte raciocínio: uma proposição é

a negação da outra quando são formadas pelas mesmas proposições simples e os resultados

das tabelas-verdade são contrários, ou seja, o nosso referencial para que duas proposições

sejam opostas não é o que está escrito, e sim os resultados de suas tabelas-verdade. Não po-

demos esquecer que as proposições simples que formam as proposições compostas devem

ser as mesmas, e que os resultados de suas tabelas sejam totalmente opostos.

Vejamos abaixo as principais negações utilizadas nas provas de concursos públicos:

AFI

RMAÇ

ÃO

A B A ∧ B A ∨ B A→B A↔B

V V V V V V

V F F V F F

F V F V V F

F F F F V V





Josimar Padilha


NEG

AÇÃO

¬A ¬B ¬A ∨ ¬B ¬A ∧ ¬B A ∧ ¬B(A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ ¬A) ou

A ∨ B

F F F F F F

F V V F V V

V F V F F V

V V V V F F

Podemos observar os resultados das tabelas-verdade das proposições compostas:

a) A ∧ B e ¬A ∨ ¬B: valorações totalmente contrárias;

b) A ∨ B e ¬A ∧ ¬B: valorações totalmente contrárias;

c) A→B e A ∧ ¬B: valorações totalmente contrárias;

d) A↔B e (A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ ¬A) ou A ∨ B: valorações totalmente contrárias;

É importante ressaltar que podemos ter inúmeras negações, uma vez que podemos construir

enésimas tabelas-verdade, porém, para concursos públicos, se você souber as quatro acima,

é o suficiente.

Para melhor assimilação, vejamos alguns exemplos de negações de proposições compostas.

Afirmação Negação

a) P ∧ QEx.: O Brasil possui uma economia forte e é um grande produtor de mercadorias.

¬P ∨ ¬QEx.: O Brasil não possui uma economia forte ou não é um

grande produtor de mercadorias.

b) P ∨ QEx.: As leis brasileiras são ineficazes ou as pessoas não respeitam suas leis.

¬P ∧ ¬QEx.: As leis brasileiras são eficazes e as pessoas respei-

tam suas leis.

c) P → QEx.: Se o cidadão for educado então o a sociedade alcançará sua autonomia.

P ∧ ¬QEx.: O cidadão é educado e a sociedade não possui sua

autonomia.

d) P ↔ QEx.: Eu te darei um beijo, se e somente se eu ficar apaixonado por você.

(P ∧ ¬Q) ∨ (Q ∧ ¬P)Ex.: Eu te darei um beijo e não fico apaixonado por você,

ou fico apaixonado por você e não te darei um beijo.OU

Ou eu te darei um beijo, ou eu ficarei apaixonado por você.





Josimar Padilha


DICA:Na letra “b” acima, você deve estar se perguntando: “a propo-sição P: As leis brasileiras são ineficazes, e Q: As pessoas não respeitam suas leis não possuem o símbolo de negação, uma vez que as sentenças não negativas”.Quero deixar claro que uma proposição pode ser uma afirma-ção ou uma negação, logo não fique limitado pensando que, se uma frase é uma negação, será necessário na simbologia colocar o símbolo (~ ou ¬) de negação.Em concursos recentes, isso tem sido frequente e muitos alu-nos têm errado, pois pensam que, porque a sentença tem uma negação, se torna necessário um símbolo de negação, o que não é verdade, uma vez que se você tiver uma negação, é só fazer sua afirmação, que é o contrário.

Vejamos uma questão bem recente, ok?

Questão 53 (SOLDADO COMBATENTE/BM/2018/AOCP) Em um teste de aptidão física de

dois soldados, X e Y, um sargento afirmou aos seus superiores que “ou o soldado X foi aprova-

do ou o soldado Y foi reprovado”. A negação dessa afirmação é

a) “O soldado X foi reprovado e o soldado Y foi reprovado”.

b) “O soldado X foi aprovado ou o soldado Y foi aprovado”.

c) “O soldado X foi aprovado e o soldado Y foi aprovado”.

d) “O soldado X foi aprovado se e somente se o soldado Y foi reprovado”.

e) “Se o soldado X foi reprovado, então o soldado Y foi reprovado”.

Letra d.

A Negação da proposição A v B (disjunção exclusiva) é A ↔ B (bicondicional), uma vez que elas

produzem tabelas-verdades opostas.





Josimar Padilha


Dessa forma a negação será “O soldado X foi aprovado se e somente se o soldado Y foi repro-

vado”.

Questão 54 (IBFC/2017) Considerando a frase “João comprou um notebook e não comprou

um celular”, a negação da mesma, de acordo com o raciocínio lógico proposicional é:

a) João não comprou um notebook e comprou um celular

b) João não comprou um notebook ou comprou um celular

c) João comprou um notebook ou comprou um celular

d) João não comprou um notebook e não comprou um celular

e) Se João não comprou um notebook, então não comprou um celular

Letra b.

Como já vimos, duas proposições compostas, uma é a negação da outra, quando são forma-

das pelas mesmas proposições simples, e os resultados de suas tabelas-verdade são contrá-

rias. Nesse caso vamos simbolizar a proposição acima para que você entenda melhor:

A: João comprou um notebook

B: João não comprou um celular

A ∧ B: “João comprou um notebook e não comprou um celular”.

Representando adequadamente as proposições, podemos demonstrar por tabela:

A B ¬A ¬B A ∧ B ¬A ∨ ¬B

V V F F V F

V F F V F V

F V V F F V

F F V V F V

Podemos inferir que a proposição:

¬A ∨ ¬B: “João não comprou um notebook ou comprou um celular”.

De uma forma prática e fácil, podemos pensar o seguinte: nego cada uma das proposições e

o conectivo “e” vira “ou”.





Josimar Padilha


Questão 55 (IBFC/2017) De acordo com a equivalência lógica, a negação da frase “Ana é

dentista ou não fez universidade” é:

a) Ana não é dentista ou fez universidade

b) Ana não é dentista e não fez universidade

c) Ana não é dentista e fez universidade

d) Ana é dentista ou fez universidade

e) Se Ana é dentista, então não fez universidade.

Letra c.

Como já vimos que duas proposições compostas, uma é a negação da outra, quando são

formadas pelas mesmas proposições simples, e os resultados de suas tabelas-verdade são

contrárias. Nesse caso vamos simbolizar a proposição acima para que você entenda melhor:

A: Ana é dentista

B: Ana não fez universidade

A ∨ B: “Ana é dentista ou não fez universidade”


A B ¬A ¬B A ∨ B ¬A ∧ ¬B

V V F F V F

V F F V V F

F V V F V F

F F V V F V


¬A ∧ ¬B: “Ana não é dentista e fez universidade”.


o conectivo “ou” vira “e”.

Questão 56 (IBFC/2016) A negação da frase “O Sol é uma estrela e a Lua não é um planeta”,

de acordo com a equivalência lógica, a frase é:





Josimar Padilha


a) O Sol não é uma estrela e a Lua é um planeta

b) O Sol não é uma estrela ou a Lua não é um planeta

c) O Sol é uma estrela ou a Lua é um planeta

d) O Sol é uma estrela ou a Lua não é um planeta

e) O Sol não é uma estrela ou a Lua é um planeta

Letra e.

Mais uma vez temos que duas proposições compostas, uma é a negação da outra, quando são

formadas pelas mesmas proposições simples, e os resultados de suas tabelas-verdade são

contrárias. Nesse caso vamos simbolizar a proposição acima para que você entenda melhor:

A: Sol é uma estrela

B: Lua não é um planeta

A ∧ B: “O Sol é uma estrela e a Lua não é um planeta”


A B ¬A ¬B A ∧ B ¬A ∨ ¬B

V V F F V F

V F F V F V

F V V F F V

F F V V F V


¬A ∨ ¬B: “O Sol não é uma estrela ou a Lua é um planeta”.


o conectivo “e” vira “ou”.

Questão 57 (ANAC/ESAF/ANALISA/2016) A negação da proposição “se choveu, então o

voo vai atrasar” pode ser logicamente descrita por:

a) não choveu e o voo não vai atrasar.

b) choveu e o voo não vai atrasar.





Josimar Padilha


c) não choveu ou o voo não vai atrasar.

d) se não choveu, então o voo não vai atrasar.

e) choveu ou o voo não vai atrasar.

Letra b.

Temos uma questão que trata de estruturas lógicas, especificamente uma negação de pro-

posições compostas. Sabemos que, duas proposições compostas, uma será a negação da

outra quando são formadas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas ta-

belas-verdade são contrárias. Sendo assim temos que a proposição: “se choveu, então o voo

vai atrasar” é uma proposição condicional, logo: (A →B): se choveu, então o voo vai atrasar A

negação será: (A ∧ ~B): choveu e o voo não vai atrasar, ou seja, mantém o antecedente e nega

o consequente.

Questão 58 (FUNAI/ESAF/2016). Seja NE a abreviatura de Nordeste. A negação de “O Piauí

faz parte do NE ou o Paraná não faz parte do NE” é:

a) o Piauí não faz parte do NE.

b) o Paraná faz parte do NE.

c) o Piauí não faz parte do NE ou o Paraná faz parte do NE.

d) o Piauí não faz parte do NE e o Paraná faz parte do NE.

e) o Piauí e o Paraná fazem parte do NE.

Letra d.

A negação da proposição composta: “O Piauí faz parte do NE ou o Paraná não faz parte do NE”

será “O Piauí não faz parte do NE e o Paraná faz parte do NE”, uma vez que os resultados de

suas tabelas-verdade são contrários.





Josimar Padilha


Questão 59 (CESGRANRIO/IBGE/AGENTE DE PESQUISA E MAPEAMENTO/2016) Maria

disse que sua família possui um único carro. Se Maria mentiu, então a sua família

a) não possui carro, ou possui mais de um carro.

b) não possui carro.

c) possui outro tipo de veículo.

d) não gosta de carros.

e) possui mais de um carro.

Letra a.

Sabendo que:

NEGAÇÃO DE UMA SENTENÇA


X – ˃A X – ≤A

X – ˂A X≥A

X – = A X – ≠ A

A questão afirma que Maria mentiu, logo temos de negar o que Maria disse: “sua família possui

um único carro”.

O raciocínio será o seguinte: a negação de não ter um único carro significa dizer que a quanti-

dade de carros dever ser diferente de 1(um), ou seja, pode ser zero (não ter carro) ou pode ser

maior que um (mais de um carro).

Questão 60 (FUNIVERSA/SESIPE/AGENTE PENITENCIÁRIO/2015) Considere que a propo-

sição “O agente Pedro nasceu em Brasília e cuida do serviço de vigilância” seja escrita sim-

bolicamente na forma P∧Q. Nesse caso, é correto afirmar que a negativa dessa proposição

é simbolizada na forma ¬P∧¬Q, isto é: “O agente Pedro não nasceu em Brasília nem cuida do

serviço de vigilância”.





Josimar Padilha


Errado.

Duas proposições compostas, uma será a negação da outra quando forem formadas pelas

mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade forem contrárias.


P∧ Q“O agente Pedro nasceu em Brasília e cuida

do serviço de vigilância”

¬P V ¬Q“O agente Pedro não nasceu em Brasília ou

não cuida do serviço de vigilância”.

Questão 61 (FCC/TCE-CE/SUPORTE ADMINISTRATIVO/2015) Um casal está no supermer-

cado fazendo compras do mês e o marido diz para a esposa: “Vamos comprar macarrão ou

arroz integral”. A esposa negando a afirmação diz:

a) se vamos comprar macarrão, então não vamos comprar arroz integral.

b) não vamos comprar macarrão ou não vamos comprar arroz integral.

c) se não vamos comprar macarrão, então não vamos comprar arroz integral.

d) não vamos comprar macarrão e não vamos comprar arroz integral.

e) se não vamos comprar macarrão, então vamos comprar arroz integral.

Letra d.

A negação da proposição composta A∨B é dada por ¬A∧¬B, pois possuem interpretações

contrárias (Tabelas-verdades). Dessa forma a negação de “Vamos comprar macarrão ou arroz

integral” é dada por “Não vamos comprar macarrão e não vamos comprar arroz integral”.

Questão 62 (FCC/TCE-CE/SUPORTE ADMINISTRATIVO/2015) Dois amigos estavam con-

versando sobre exercícios físicos quando um deles disse: “Se você fizer esteira, então você

emagrecerá e melhorará o condicionamento físico”. O outro amigo, para negar a afirmação,

deverá dizer:





Josimar Padilha


a) faça esteira e você não emagrecerá e não melhorará o condicionamento físico.

b) faça esteira e você não emagrecerá ou não melhorará o condicionamento físico.

c) se você fizer esteira e não emagrecer, então não vai melhorar o condicionamento físico.

d) faça esteira e você emagrecerá e não melhorará o condicionamento físico.

e) se você fizer esteira e emagrecer, então não melhorará o condicionamento físico.

Letra b.

Temos uma proposição composta condicional, em que a negação é dada por p∧¬q, isto é,

afirma o antecedente e nega o consequente. Duas proposições compostas, uma é a negação

da outra, quando forem formadas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas

tabelas-verdades forem contrários. Dessa forma a negação da proposição será: Faça esteira e

você não emagrecerá ou não melhorará o condicionamento físico.

Questão 63 (CESPE/MPENAP/2015) Considerando a proposição P: “Se João se esforçar o

bastante, então João conseguirá o que desejar”, julgue os itens a seguir.

A negação da proposição P pode ser corretamente expressa por “João não se esforçou o bas-

tante, mas, mesmo assim, conseguiu o que desejava”.

Errado.

Você deve ter percebido que nessas primeiras questões temos mostrado também por tabelas-

-verdade, porém é interessante você guardar as leis, ok? Mas estou colocando sempre as tabe-

las para que você não se esqueça das tabelas que serão fundamentais nos próximos módulos.

A B ¬ A ¬ B A B ¬ A ∧ B

V V F F V F

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V F





Josimar Padilha


Temos que as duas últimas colunas, não produzem resultados contrários.

A negação da condicional é A → B igual a A ∧ ¬ B

Questão 64 (CESPE/ANTAQ/2014) Uma negação correta da proposição “Acredito que estou

certo” seria “Acredito que não estou certo”.

Errado.

Esse item é superinteressante, pois não temos uma proposição composta, e sim, uma pro-

posição simples em que possuímos um sujeito e um predicado, logo é importante ressaltar

que a ideia é negar o sentido principal da frase, isto é, a ação do sujeito. A negação será: “Não

acredito que estou certo”. A maneira sugerida pela banca está errada, pois não nega a ação do

sujeito, fica a dica!

Questão 65 (CESPE/TCDF/ANALISTA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/2014) A negação

da proposição “O tribunal entende que o réu tem culpa” pode ser expressa por “O tribunal en-

tende que o réu não tem culpa”.

Errado.

A proposição “O tribunal entende que o réu tem culpa” é uma proposição simples na qual pos-

suímos um sujeito e um predicado, logo é importante ressaltar que a ideia é negar o sentido

principal da frase, isto é, a ação do sujeito. Dessa forma a negação será: “O tribunal não enten-

de que o réu tem culpa”.





Josimar Padilha


Questão 66 (CESPE/TCDF/ANALISTA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/2014) A negação

da proposição “Um empresário tem atuação antieconômica ou antiética” pode ser expressa

por “Um empresário não tem atuação antieconômica ou não tem atuação antiética”.

Errado.

No item acima, temos uma proposição composta disjuntiva em que a negação de A ∨B será

(¬A ∧ ¬ B), uma vez que essas duas proposições são formadas pelas mesmas proposições

simples e os resultados de suas tabelas-verdade são contrários.

Dessa forma vamos conferir se o item está de acordo:

Afirmação: “Um empresário tem atuação antieconômica ou antiética”

Negação: “Um empresário não tem atuação antieconômica e não tem atuação antiética”

Questão 67 (CESPE/TCDF/TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/2014) Considere a

proposição P a seguir.

P: Se não condenarmos a corrupção por ser imoral ou não a condenarmos por corroer a legi-

timidade da democracia, a condenaremos por motivos econômicos. Tendo como referência a

proposição apresentada, julgue os itens seguintes.

A negação da proposição “Não condenamos a corrupção por ser imoral ou não condenamos a

corrupção por corroer a legitimidade da democracia” está expressa corretamente por “Conde-

namos a corrupção por ser imoral e por corroer a legitimidade da democracia”.

Certo.

O item está de acordo, uma vez que a negação da proposição:

“Não condenamos a corrupção por ser imoral ou não condenamos a corrupção por corroer a

legitimidade da democracia” (¬ A ∨¬ B).

“Condenamos a corrupção por ser imoral e por corroer a legitimidade da democracia”. (A ∧ B).





Josimar Padilha


Questão 68 (CESPE/MPU/2013) A negação da proposição “A licitação anterior não pode ser

repetida sem prejuízo para a administração” está corretamente expressa por “A licitação ante-

rior somente poderá ser repetida com prejuízo para a administração”.

Errado.

É importante ressaltar que se trata de uma proposição simples, ou seja, apenas com pensa-

mento. Dessa forma a negação da proposição será: “A licitação anterior pode ser repetida sem

prejuízo para a administração”. Devemos negar o pensamento principal.

Questão 69 (CESPE/MPU/2013) A negação da proposição “Não apareceram interessados

na licitação anterior e ela não pode ser repetida sem prejuízo para a administração” está corre-

tamente expressa por “Apareceram interessados na licitação anterior ou ela pode ser repetida

sem prejuízo para a administração”.

Certo.

Duas proposições composta, uma é a negação da outra, quando são formadas pelas mesmas

proposições simples, e os resultados de suas tabelas-verdade são contrárias. Nesse caso te-

mos: ¬A∧¬B e sua negação A∨B.

Adequando as proposições, temos:

A B ¬A ¬B A ∨ B ¬A ∧ ¬B

V V F F V F

V F F V V F

F V V F V F

F F V V F V





Josimar Padilha


Questão 70 (CESPE/POLÍCIA CIVIL CE/2012) O exercício da atividade policial exige preparo

técnico adequado ao enfrentamento de situações de conflito e, ainda, conhecimento das leis

vigentes, incluindo interpretação e forma de aplicação dessas leis nos casos concretos. Sa-

bendo disso, considere como verdadeiras as proposições seguintes.

P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins.

P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins.

P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa do-

minar pela emoção ao tomar decisões.

P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações

precisas ao tomar decisões.

Com base nessas proposições, julgue o item a seguir.

A negação de P4 é logicamente equivalente à proposição “O policial teve treinamento adequa-

do e se dedicou nos estudos, mas não tem informações precisas ao tomar decisões”.

Letra c.

A negação da proposição condicional P4 “Se teve treinamento adequado e se dedicou nos es-

tudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões” será a negação de uma

proposição condicional A → B que é dada por A ∧¬ B, isso porque as proposições compostas

produzem tabelas-verdade opostas. Sendo assim, temos que afirmar o antecedente e negar o

consequente.

Logo, a negação será: “Teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, mas o policial

não tem informações precisas ao tomar decisões”.

Questão 71 (CESPE/POLÍCIA FEDERAL/2012) Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto por-

tando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais conforme o esquema

a seguir:

Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário.





Josimar Padilha


Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria

escondido.

Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga.

Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário.

Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue o item a seguir.

A proposição correspondente à negação da premissa 2 é logicamente equivalente a “Como

eu não sou traficante, não estou levando uma grande quantidade de droga ou não a escondi”.

Certo.

Temos uma proposição condicional AB que a negação será A ∧ ~B.

[(eu fosse traficante)] → [(estaria levando uma grande quantidade de droga ∧ a teria escondido)]

Afirma o antecedente e nega o consequente, logo temos como negação a proposição: “Sou

traficante e não estou levando uma grande quantidade de drogas ou não teria escondido”

Questão 72 (CESPE/TRE-RJ/2012) O cenário político de uma pequena cidade tem sido mo-

vimentado por denúncias a respeito da existência de um esquema de compra de votos dos

vereadores. A dúvida quanto a esse esquema persiste em três pontos, correspondentes às

proposições P, Q e R, abaixo:

P: O vereador Vitor não participou do esquema.

Q: O prefeito Pérsio sabia do esquema.

R: O chefe de gabinete do prefeito foi o mentor do esquema.

Os trabalhos de investigação de uma CPI da câmara municipal conduziram às premissas P1,

P2 e P3 seguintes:

P1: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o prefeito Pérsio não sabia do es-

quema.

P2: Ou o chefe de gabinete foi o mentor do esquema, ou o prefeito Pérsio sabia do esquema,

mas não ambos.





Josimar Padilha


P3: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não foi o mentor

do esquema.

Considerando essa situação hipotética, julgue o item seguinte, acerca de proposições lógicas.

A negação da proposição “Se eu não registrar minha candidatura dentro do prazo, também não

poderei concorrer a nenhum cargo” estará corretamente expressa por “Se eu registrar minha

candidatura dentro do prazo, então poderei concorrer a algum cargo”.

Errado.

No item temos a negação de uma proposição condicional AB será A ∧ ~B.

Dessa forma, a negação proposta pelo item não está de acordo.

Questão 73 (CESPE/PC-ES/2010) Para descobrir qual dos assaltantes – Gavião ou Falcão

– ficou com o dinheiro roubado de uma agência bancária, o delegado constatou os seguintes

fatos:

F1 – Se Gavião e Falcão saíram da cidade, então o dinheiro não ficou com Gavião.

F2 – Se havia um caixa eletrônico em frente ao banco, então o dinheiro ficou com Gavião.

F3 – Gavião e Falcão saíram da cidade.

F4 – Havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro foi entregue à mulher de Ga-

vião.

Considerando que as proposições F1, F2, F3 e F4 sejam verdadeiras, julgue os itens subse-

quentes, com base nas regras de dedução.

A negação da proposição F4 é logicamente equivalente à proposição “Não havia um caixa ele-

trônico em frente ao banco ou o dinheiro não foi entregue à mulher de Gavião”.

Errado.

A negação da proposição (A v B) é (~A ∧ ~B).





Josimar Padilha


A proposição F4 é: “havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro foi entregue à

mulher de Gavião”.

A negação proposta pelo item é: “Não havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o di-

nheiro não foi entregue à mulher de Gavião”.

Dessa forma, percebemos que a negação não está de acordo.

Negação de uma Sentença

AFIRMAÇÃO NEGAÇÃOX – > A X ≤ AX – < A X ≥ AX – = A X ≠ A

AFIRMAÇÃO NEGAÇÃO

X – > AV

[X < A ou X = A]F ∨ F

Se temos que se X > A é verdadeiro então X < A é falso.

X – < AV

[X > A ou X = A]F ∨ F

Se temos que se X < A é verdadeiro então X > A é falso.

X – = AV

X – ≠AF

Se temos que se X = A é verdadeiro, então X ≠A é falso.

Questão 74 (CESPE/2008) Com relação à lógica formal, julgue o item subsequente.

A negação da proposição “2 + 5 = 9” é a proposição “2 + 5 = 7”.

Errado.

A negação da sentença “2 + 5 = 9” é “2 + 5 ≠ 9”, sendo assim temos que o item está errado.





Josimar Padilha


Questão 75 (ANATEL/2012) Em ação judicial contra operadora de telefonia móvel, o defen-

sor do cliente que interpôs a ação apresentou a argumentação a seguir.

P1: A quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em pla-

nos tarifados por ligações é quatro vezes superior à quantidade de interrupções nas chamadas

realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos.

P2: Se ocorrer falha técnica na chamada ou a operadora interromper a chamada de forma pro-

posital, então ocorrerá interrupção nas chamadas de meu cliente.

P3: Se a quantidade de interrupções em chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em

planos tarifados por ligações for quatro vezes superior à quantidade de interrupções nas cha-

madas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos, então não ocor-

rerá falha técnica na chamada.

P4: Ocorre interrupção na chamada de meu cliente.

Logo, a operadora interrompeu a chamada de forma proposital.

Com base nas proposições acima, julgue o item subsecutivo.

A negação de P1 é corretamente expressa por “A quantidade de interrupções nas chamadas

realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por ligações é quatro vezes inferior

à quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos

tarifados por minutos”.

Errado.

É importante ressaltar o seguinte: Negação de uma Sentença

AfirmaçãoX>AX<AX=A

NegaçãoX≤AX≥AX≠A

A negação da proposição P1: “A quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de apa-

relhos cadastrados em planos tarifados por ligações é quatro vezes superior à quantidade de

interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por mi-





Josimar Padilha


nutos” não será “A quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadas-

trados em planos tarifados por ligações é quatro vezes inferior à quantidade de interrupções

nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos”.

ProPosições Logicamente eQuivaLentes

Agora vamos tratar de equivalências lógicas. Vamos logo ver qual é a definição: duas pro-

posições compostas são ditas equivalentes quando são formadas pelas mesmas proposições

simples e os resultados das tabelas-verdade são idênticos. Bem tranquilo, ok? Na verdade,

é como se tivéssemos o pensamento contrário do tópico anterior, ou seja, enquanto na nega-

ção temos tabelas-verdade contrárias, aqui na equivalência devemos possuir tabelas-verdade

idênticas.

Considerando A e B proposições compostas, representamos simbolicamente A ⇔ B, em o

símbolo ⇔ significa equivalente.A ⇔ B

É importante, nas provas de concursos públicos, guardar algumas leis, ou seja, proposi-

ções compostas logicamente equivalentes que estão sempre presentes.

Principais Leis de Equivalências Lógicas

1. Leis Associativas

1) (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C).

2) (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C).

Demonstração: (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C)

A B C (A∧B) (A∧B) ∧C B∧C A∧(B∧C)

V V V V V V V

V V F V F F F

V F V F F F F

V F F F F F F

F V V F F V F





Josimar Padilha


F V F F F F F

F F V F F F F

F F F F F F F

Exemplo:

(A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C)

A: Ronaldo é um aluno comportado.

B: Ronaldo é um aluno educado.

C: Ronaldo passa em concurso público.

(A ∧ B) ∧ C A ∧ (B ∧ C)

José é um aluno comportado e educado, e passa em concurso público.

José é um aluno comportado, e educado e passa em concurso público.

(A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C)

A: João é um professor esforçado.

B: José é um aluno dedicado.

C: Josias gosta de estudar.

(A ∨ B) ∨ C A ∨ (B ∨ C)

João é um professor esforçado ou José é um aluno dedicado, ou

Josias gosta de estudar.

João é um professor esforçado ou José é um aluno dedicado ou

Josias gosta de estudar.

Obs.: � Podemos observar que na Lei Associativa são utilizados os operadores “e” e “ou”,

os parênteses mudam de posição, porém temos as mesmas interpretações (mesmos

valores nas tabelas-verdade).

� Quase não acontece em provas de concursos públicos.

2. Leis Distributivas (importante guardar essa lei)

Vamos construir as tabelas-verdade das Leis distributivas para que você possa entender o

porquê de elas serem equivalentes. Claro que nas provas você deve saber essas leis, pois só

estou utilizando as tabelas para aproveitar e treinar um pouco mais as suas construções.





Josimar Padilha


Veremos mais à frente algumas resoluções bem práticas e rápidas por teoria de conjuntos.

Vamos lá para as demonstrações:

a) A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

b) A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

Demonstração: A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

A B C BVC A∧(B∨C) A∧B A∧C (A∧B)∨(A∧C)

V V V V V V V V

V V F V V V F V

V F V V V F V V

V F F F F F F F

F V V V F F F F

F V F V F F F F

F F V V F F F F

F F F F F F F F

Exemplo:

A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

A: Renato gosta de Lógica.

B: Renato gosta de Português.

C: Renato gosta de Matemática.

A ∧ (B ∨ C) (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

Renato gosta de Lógica e Renato gosta de Português ou Matemática

Renato gosta de Lógica e Português ou Renato gosta de Lógica e Matemática

A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

A: Renato gosta de Lógica.

B: Renato gosta de Português.

C: Renato gosta de Matemática.





Josimar Padilha


A ∨ (B ∧ C) (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

Renato gosta de Lógica ou Renato gosta de Português e Matemática

Renato gosta de Lógica ou Português e Renato gosta de Lógica ou Matemática

3. Lei da Dupla Negação

É importante ressaltar que, na língua portuguesa, quando negamos duas vezes, estamos

ratificando a negação. Porém, do ponto de vista lógico, não é bem assim, isto é: na lógica for-

mal, se negamos duas vezes, na verdade estamos afirmando.~(~A) ⇔ A

Demonstração: ~ (~A) ⇔ A

A ~A ~ (~A)

V F V

F V F

Exemplo:

Proposições Proposições equivalentes

Não é verdade que Reginaldo Aranha não é policial.

Reginaldo Aranhaé policial.

Fique ligado(a)!

Veremos agora a Lei de equivalência mais importante, ou seja, aquela que mais aparece

nas provas de concursos públicos, independente da banca examinadora.

4. Equivalência da Condicional

a) (A → B ⇔ ~A ∨ B)

b) (A → B ⇔ ~B → ~A) – Contra positiva ou contra recíproca

a) A → B ⇔ ~A ∨ B

Demonstração: A → B ⇔ ~A ∨ B

A B ~A A→B ~A ∨ B

V V F V V

V F F F F

F V V V V

F F V V V





Josimar Padilha


As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas. Logo,

as proposições A → B e ~A ∨ B são proposições logicamente equivalentes, isto é: A → B ⇔

~A ∨ B.

Exemplo:

A proposição “Se André é um aluno dedicado, então André passa no concurso” é o mesmo que

“André não é dedicado ou André passa no concurso”.

b) A → B ⇔ ~B → ~A (Teorema da Contrarrecíproca ou Contrapositiva)Demonstração: A → B ⇔ ~B → ~A

A B ~A ~B A→B ~B→~A

V V F F V V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo

são proposições logicamente equivalentes, isto é:A→ B ⇔ ~B→ ~A

Essa relação é chamada de teorema contra recíproco.

Exemplo:

Dizer que:

Se a economia brasileira está em crise, então o poder aquisitivo do brasileiro fica comprome-

tido.

É logicamente equivalente a dizer que:

Se o poder aquisitivo do brasileiro não fica comprometido, então a economia brasileira não

está em crise.

Obs.: � Uma relação existente entre as equivalências condicionais é dada pela intersecção

das sentenças





Josimar Padilha


� A→ B ⇔ ~A ∨ B e

� A→ B ⇔ ~B →~A, em que podemos concluir:

� A ∨ B ⇔ ~A→ B ou A ∨ B ⇔ ~B →A.

Vejamos na tabela abaixo:

A B ~A ~B A ∨ B ~A→B ~B→A

V V F F V V V

V F F V V V V

F V V F V V V

F F V V F F F

As três últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo

as proposições A ∨ B, ~A → B e ~B→ A são proposições logicamente equivalentes, isto é:

A ∨ B ⇔ ~A → B,

A ∨ B ⇔ ~B→ A e

~A → B ⇔ ~B→A.

Exemplos:

Proposição Proposição Equivalente

Se Enny tomar remédio, ela vai ficar boa.

Enny não toma remédio ou fica boa.

Clara anda ou corre. Se Clara não anda, então Clara corre.

5. Lei de Augustus De Morgan (importante guarda essa lei)

a) ~(A ∧ B) ⇔ (~A) ∨ (~B)Demonstração: ~(A ∧ B) ⇔ (~A) ∨ (~B)

A B A ∧ B ~(A ∧ B) ~A ~B (~A) ∨ (~B)

V V V F F F F

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V





Josimar Padilha


As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo,

as proposições ~(A ∧ B) e (~A) ∨ (~B) são proposições logicamente equivalentes, isto é: ~(A

∧ B) ⇔ ~A ∨ ~ B.

b) ~(A ∨ B) ⇔ (~A) ∧ (~B)Demonstração: ~(A ∨ B) ⇔ (~A) ∧ (~B)

A B A ∨ B ~(A ∨ B) ~A ~B (~A) ∧ (~B)

V V V F F F F

V F V F F V F

F V V F V F F

F F F V V V V

As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo,

as proposições ~(A ∨ B) e (~A) ∧ (~B) são proposições logicamente equivalentes, isto é: ~(A

∨ B) ⇔ ~A ∧ ~B.

6. Equivalência da Bicondicional[(A → B) ∧ (B → A)] ⇔ [A ↔ B]

Demonstração

A B A→B B→A (A→B) ∧ (B→A) A ↔ B

V V V V V V

V F F V F F

F V V F F F

F F V V V V

As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo

as proposições [(A → B) ∧ (B → A) e [A ↔ B] são logicamente equivalentes.

7. Lei Comutativa

Como já visto ao estudarmos as tabelas-verdade, foi comentado que os conectivos: con-

juntivo, disjuntivo, disjuntivo exclusivo e bicondicional possuem a propriedade comutativa, isto

é, ao trocarmos a ordem das proposições simples, os resultados das tabelas-verdade perma-

necem idênticos.





Josimar Padilha


Com relação ao conectivo condicional não ocorre o mesmo, uma vez que os resultados de

suas tabelas-verdade não serão os mesmos. Resumindo, o conectivo condicional não possui

a propriedade comutativa.

(A) ∧ (B) ⇔ (B) ∧ (A)

(A) ∨ (B) ⇔ (B) ∨ (A)

(A) ↔ (B) ⇔ (B) ↔ (A) COMUTAM

(A) ∨ (B) ⇔ (B) ∨ (A)(A) → (B) ⇔ (B) → (A) NÃO COMUTAM

Nas últimas provas de concursos públicos, vimos a importância das equivalências lógicas

aparecendo com maior frequência. Dessa forma sugiro que guarde as leis de equivalências

lógicas, porém iremos ver algumas questões comentadas e irei apresentar você algumas reso-

luções por teoria de conjuntos, vejam a seguir:

Questão 76 (INSTITUTO AOCP/2017/CÂMARA DE MARINGÁ PR/ASSISTENTE ADMINIS-

TRATIVO) A afirmação “Se o Sol brilha, então é dia” é logicamente equivalente à afirmação

a) “Se o Sol não brilha, então não é dia.”

b) “Se não é dia, então o Sol não brilha. ”

c) “É dia e o Sol não brilha. ”

d) “Não é dia e o Sol brilha. ”

e) “O Sol brilha ou não é dia.”

Letra b.

A proposição composta é uma proposição condicional, assim temos duas possíveis equiva-

lências lógicas:





Josimar Padilha


A → B: “Se o Sol brilha, então é dia”.

¬B → ¬A: “Se não é dia, então o Sol não brilha”

¬ A ∨ B: “O sol não brilha ou é dia”

Nesta questão a banca utilizou a equivalência contra positiva.

Questão 77 (FGV/2017/TRT 12ª REGIÃO (SC)/ANALISTA JUDICIÁRIO – ÁREA ADMINIS-

TRATIVA) Considere a sentença: “Se Pedro é torcedor do Avaí e Marcela não é torcedora do

Figueirense, então Joana é torcedora da Chapecoense”.

Uma sentença logicamente equivalente à sentença dada é:

a) Se Pedro não é torcedor do Avaí ou Marcela é torcedora do Figueirense, então Joana não é

torcedora da Chapecoense.

b) Se Pedro não é torcedor do Avaí e Marcela é torcedora do Figueirense, então Joana não é

torcedora da Chapecoense.

c) Pedro não é torcedor do Avaí ou Marcela é torcedora do Figueirense ou Joana é torcedora

da Chapecoense.

d) Se Joana não é torcedora da Chapecoense, então Pedro não é torcedor do Avaí e Marcela é

torcedora do Figueirense.

e) Pedro não é torcedor do Avaí ou Marcela é torcedora do Figueirense e Joana é torcedora da

Chapecoense.

Letra c.


lências lógicas:





Josimar Padilha


A → B: “Se Pedro é torcedor do Avaí e Marcela não é torcedora do Figueirense, então Joana é

torcedora da Chapecoense”.

¬B → ¬A: “Se Joana não é torcedora da Chapecoense, então Pedro não é torcedor do Avaí ou

Marcela é torcedora do Figueirense”.

¬A ∨ B: “Pedro não é torcedor do Avaí ou Marcela é torcedora do Figueirense ou Joana é tor-

cedora da Chapecoense”.

As três proposições acima são equivalentes, a alternativa correta está indicada pela proposi-

ção composta disjuntiva.

Questão 78 (CESPE/TCDF/ANALISTA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/2014) A proposição

P1 é logicamente equivalente à proposição “Se um empresário não mereceu receber a gratidão

da sociedade, então as ações de tal empresário não contribuíram para a manutenção de certos

empregos da estrutura social”.

Certo.

Dada a proposição condicional:

P1: (As ações de um empresário contribuírem para a manutenção de certos empregos da es-

trutura social) → (tal empresário merece receber a gratidão da sociedade.)

A proposição composta é uma proposição condicional assim temos duas possíveis equivalên-

cias lógicas:





Josimar Padilha


O item sugere a equivalência “contra positiva” (Se um empresário não mereceu receber a grati-

dão da sociedade), então (as ações de tal empresário não contribuíram para a manutenção de

certos empregos da estrutura social).

Questão 79 (CESPE/POLÍCIA CIENTÍFICA PE/2016) Assinale a opção que é logica mente

equivalente à proposição “Ele é suspeito também de ter cometido outros dois esquartejamen-

tos, já que foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece executando os cri-

mes”:

a) Se foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece execu tando os dois esquar-

tejamentos, ele é suspeito também de ter come tido esses crimes.

b) Ele não é suspeito de outros dois esquartejamentos, já que não foram encontrados vídeos

em que ele supostamente aparece executando os crimes.

c) Se não foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece executando os dois

esquartejamentos, ele não é suspeito desses cri mes.

d) Como ele é suspeito de ter cometido também dois esquartejamentos, foram encontrados

vídeos em que ele supostamente aparece execu tando os crimes.

e) Foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece execu tando os dois esquarte-

jamentos, pois ele é também suspeito de ter cometido esses crimes.

Letra a.

Temos uma proposição condicional em que o antecedente “foram encontrados vídeos em que

ele supostamente aparece executando os cri mes” e o consequente “Ele é suspeito também de

ter cometido outros dois esquartejamentos”. É importante ressaltar que o CESPE tem o cos-

tume de escrever na linguagem natural uma proposição condicional começando pelo conse-

quente, porém não podemos esquecer que a proposição condi cional é a única que não comuta.

Uma representação logicamente equivalente a proposição proposta pela questão é:

Se foram encontrados vídeos em que ele supostamente aparece execu tando os crimes, então

Ele é suspeito também de ter cometido outros dois esquartejamentos”





Josimar Padilha


É importante ressaltar que o CESPE usou o termo “já que” para anun ciar o antecedente.

Questão 80 (CESPE/INSS/ANALISTA DO SEGURO SOCIAL – SERVIÇO SOCIAL/2016)

Com relação a lógica proposicional, julgue o item subsequente.

Supondo-se que p seja a proposição simples “João é fumante”, que q seja a proposição sim-

ples “João não é saudável” e que p → q, então o valor lógico da proposição “João não é fuman-

te, logo ele é saudável” será ver dadeiro.

Errado.

Nesta questão temos uma aplicação de equivalência lógica

Representando as proposições temos:

A: Se João é fumante, então João não é saudável

B: Se João não é fumante, então ele é saudável

Podemos inferir que as proposições não são equivalentes, pois segundo a lei condicional te-

remos:

Questão 81 (CESPE/MP/ENAP/2015) A proposição “João não se esforça o bastante ou

João conseguirá o que desejar” é logicamente equivalente à proposição P.

Certo.

A proposição composta: “João não se esforça o bastante ou João conse guirá o que desejar”

pode ser representada por ¬ A ∨B





Josimar Padilha


A proposição P “Se João se esforçar o bastante, então João conseguirá o que desejar” pode

ser representada por A → B.

Leis de equivalência Condicional:

As proposições compostas acima produzem as mesmas tabelas-ver dade, logo são ditas logi-

camente equivalentes.

Questão 82 (CESPE/UNB) Os conectivos e, ou, não e o condicional se... então são, simboli-

camente, representados por ∧, ∨, ¬ e , respectivamente. As letras maiúsculas do alfabeto,

como P, Q e R, representam proposições. As indicações V e F são usadas para valores lógicos

verdadeiro e falso, respectivamente, das proposições. Com base nessas informações, julgue

o item seguinte.

A proposição ¬(P ∧ Q) é equivalente à proposição (¬P) ∨ (¬Q).

Certo.

A proposição composta: ¬(P ∧ Q) “não é verdade que P e Q”, ao aplicar a Lei de De Morgan

temos: (¬P) ∨ (¬Q). Caso queira construir as tabela, teremos que as mesmas serão idênticas,

como já visto acima nas demonstrações.

Questão 83 (CESPE/UNB) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou

falsas (F), mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmente sim-

bolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A→B, lida, entre outras formas, como

“se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é F, e tem valoração V

nos demais casos. Uma expressão da forma ¬A, lida como “não A”, é uma proposição que tem

valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A ∧ B, lida





Josimar Padilha


como “A e B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais

casos tem valoração F. Uma expressão da forma A ∨ B, lida como “A ou B”, é uma proposição

que tem valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos é V. Com base nessas de-

finições, julgue o item que se segue.

Uma expressão da forma ¬(A ∧¬B) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valora-

ções V ou F da proposição A→B.

Certo.

Se uma questão afirmar ou perguntar sobre proposições que possuem as mesmas valorações,

está implícito que se trata de uma equivalência lógica, o que no caso podemos ganhar tempo

aplicando uma das leis.

A proposição composta: ¬ (A ∧ ¬B) “não é verdade que A e não B”, ao aplicar a Lei de De Mor-

gan temos: (¬A) ∨ (B), logo pela Lei Condicional [A → B ⇔ (¬A) ∨ (B)], “As suas tabelas-verda-

des são idênticas.”

Questão 84 (ESAF/MPU) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo,

a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.

b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.

c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.

d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.

e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.

Letra e.

Dada a proposição, temos:

Elaine não ensaia → Elisa não estuda.

O antecedente (Elaine não ensaia) é condição suficiente para o consequente (Elisa não estuda).





Josimar Padilha


O consequente (Elisa não estuda) é condição necessária para o antecedente (Elaine não ensaia).

Segundo os itens da questão, não temos nenhum que esteja de acordo com o comentário re-

alizado anteriormente.

O que fazer?

Percebemos que as respostas propostas pela Esaf não satisfazem a proposição: Se Elaine

não ensaia, Elisa não estuda. Sendo assim, podemos concluir que não foi utilizada esta propo-

sição, porém será usada outra proposição logicamente equivalente à dada pelo enunciado da

questão.

A lei condicional, contra-positiva, possui as condições que a questão exige.

Aplicando a lei condicional:

Elaine não ensaia → Elisa não estuda ⇔ Elisa estuda → Elaine ensaia

Agora sim, temos que:

I – Elisa estudar é condição suficiente para Elaine ensaiar.

II – Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.

Questão 85 (ESAF/MPU) Uma sentença logicamente equivalente a “Se Ana é bela, então Ca-

rina é feia” é:

a) Se Ana não é bela, então Carina não é feia.

b) Ana é bela ou Carina não é feia.

c) Se Carina é feia, Ana é bela.

d) Ana é bela ou Carina é feia.

e) Se Carina não é feia, então Ana não é bela.

Letra e.

Dada a proposição, temos:

Ana é bela Carina é feia.

Segundo a lei condicional, temos duas equivalências:

I – Se Carina não é feia, então Ana não é bela.

II – Ana não é bela ou Carina é feia.





Josimar Padilha


Questão 86 (CESPE/UNB) As proposições “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha,

então a operação agarra não será bem-sucedida” e “Se o delegado prender o chefe da quadri-

lha, então a operação agarra será bem-sucedida” são equivalentes.

Errado.


A: O delegado prende o chefe da quadrilha.

B: A operação agarra será bem-sucedida.

Representando a proposição: “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a opera-

ção agarra não será bem-sucedida”, temos ¬ A → ¬ B.

Representando a proposição: “Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação

agarra será bem-sucedida”, temos A → B.

Para verificar se a proposições são equivalentes, é necessário que suas tabelas-verdade pro-

duzam os mesmos resultados.

A B ¬ A ¬ B A B ¬ A ¬ B

V V F F V V

V F F V F V

F V V F V F

F F V V V V

Os resultados não são iguais, logo as proposições não são equivalentes.

É importante perceber que de condicional para condicional temos que negar as proposições e

trocar de posição (contrarrecíproca). No item acima apenas negou as proposições, porém não

trocou de posição.

Questão 87 (CESPE/UNB) O exercício da atividade policial exige preparo técnico adequado

ao enfrentamento de situações de conflito e, ainda, conhecimento das leis vigentes, incluindo





Josimar Padilha


interpretação e forma de aplicação dessas leis nos casos concretos. Sabendo disso, considere

como verdadeiras as proposições seguintes.

P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins.

P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins.

P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa do-

minar pela emoção ao tomar decisões.

P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações

precisas ao tomar decisões.

Com base nessas proposições, julgue os itens a seguir.

A proposição formada pela conjunção de P1 e P2 é logicamente equivalente à proposição “Se

se deixa dominar pela emoção ou não tem informações precisas ao tomar decisões, então o

policial toma decisões ruins”.

Certo.

A conjunção será P1 ∧ P2.

[(se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões o policial toma decisões ruins)] ∧ [(não

tem informações precisas ao tomar decisões então o policial toma decisões ruins)]

é equivalente a

[(se deixa dominar pela emoção v não tem informações precisas ao tomar decisões)] (o

policial toma decisões ruins).

I – Resolução por Diagramas:

Para verificar se a proposições são equivalentes, é necessário que suas tabelas-verdade produ-

zam os mesmos resultados, porém percebemos que são três proposições, o que faz uma tabe-

la com oito linhas, ficando inconveniente fazê-la, logo iremos resolver por teoria de conjuntos,

sabendo que conjunção é uma interseção de conjuntos, disjunção é uma união de conjuntos e

condicional é uma inclusão de conjuntos.

Representando a conjunção de P1 e P2, temos:





Josimar Padilha


Podemos inferir que a proposição [(se deixa dominar pela emoção v não tem informações

precisas ao tomar decisões)] (o policial toma decisões ruins) pode ser representada pelo

diagrama acima também, logo as proposições são logicamente equivalentes.

II – Resolução pelas Leis de Equivalências:

[(se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões → o policial toma decisões ruins)] ∧ [(não

tem informações precisas ao tomar decisões → então o policial toma decisões ruins)]

Equivalente

[(se deixa dominar pela emoção ∨ não tem informações precisas ao tomar decisões] → (o

policial toma decisões ruins)

Representando as proposições simples temos:

DE: deixa dominar pela emoção ao tomar decisões

DR: o policial toma decisões ruins

IP: tem informações precisas ao tomar decisões

Simbolizando as Proposições Compostas:

{[DE → DR] ∧ [~IP → DR]} ⇔ {[DE ∨ ~IP] → [DR]}

Aplicando a Lei condicional, passando de uma condicional para uma disjunção temos:

{[~DE ∨ DR] ∧ [IP ∨ DR]} ⇔ {[~DE ∧ IP] ∨ [DR]}

Aplicando a Lei Distributiva em {[~DE ∧ IP] v [DR]} temos {[~DE ∨ DR] ∧ [IP v DR]}

{[~DE ∨ DR] ∧ [IP ∨ DR]} ⇔ {[~DE ∨ DR] ∧ [IP v DR]}

Dessa forma temos que as proposições que estão antes e depois do sinal de equivalências são

iguais, ou seja, equivalentes.





Josimar Padilha


(CESPE/UNB) Um jovem, visando ganhar um novo smartphone no dia das crianças, apresen-

tou à sua mãe a seguinte argumentação: “Mãe, se tenho 25 anos, moro com você e papai, dou

despesas a vocês e dependo de mesada, então eu não ajo como um homem da minha idade.

Se estou há 7 anos na faculdade e não tenho capacidade para assumir minhas responsabilida-

des, então não tenho um mínimo de maturidade. Se não ajo como um homem da minha idade,

sou tratado como criança. Se não tenho um mínimo de maturidade, sou tratado como criança.

Logo, se sou tratado como criança, mereço ganhar um novo smartphone no dia das crianças”.

Com base nessa argumentação, julgue os itens a seguir.

Questão 88 (CESPE/UNB) A proposição “Se estou há 7 anos na faculdade e não tenho capa-

cidade para assumir minhas responsabilidades, então não tenho um mínimo de maturidade” é

equivalente a “Se eu tenho um mínimo de maturidade, então não estou há 7 anos na faculdade

e tenho capacidade para assumir minhas responsabilidades”.

Errado.

A proposição: [estou há 7 anos na faculdade(A) ∧ não tenho capacidade para assumir minhas

responsabilidades(B)] [não tenho um mínimo de maturidade(C)] é equivalente à proposição:

[eu tenho um mínimo de maturidade (~C)] [não estou há 7 anos na faculdade(~A) ∧ tenho

capacidade para assumir minhas responsabilidades(~B)]

Pela Lei condicional, aplicando a contrapositiva, temos: A → B é equivalente ¬ A → ¬ B, teríamos

o como equivalente a segunda proposição da seguinte forma:

[eu tenho um mínimo de maturidade (~C)] [não estou há 7 anos na faculdade(~A) V tenho

capacidade para assumir minhas responsabilidades(~B)]

O único problema foi que no consequente seria uma proposição disjuntiva, e não conjuntiva.

Questão 89 (CESPE/UNB) A proposição “Se não ajo como um homem da minha idade, sou

tratado como criança, e se não tenho um mínimo de maturidade, sou tratado como criança” é

equivalente a “Se não ajo como um homem da minha idade ou não tenho um mínimo de matu-

ridade, sou tratado como criança”.





Josimar Padilha


Certo.

Para verificar se a proposições são equivalentes, é necessário que suas tabelas-verdade produ-

zam os mesmos resultados, porém percebemos que são três proposições, o que faz uma tabe-

la com oito linhas, ficando inconveniente fazê-la, logo iremos resolver por teoria de conjuntos,

sabendo que conjunção é uma interseção de conjuntos, disjunção é uma união de conjuntos e

condicional é uma inclusão de conjuntos.


P: não ajo como um homem da minha idade.

Q: sou tratado como criança.

R: não tenho um mínimo de maturidade.

P1: [(não ajo como um homem da minha idade sou tratado como criança)] ∧ [não tenho um

mínimo de maturidade sou tratado como criança]

Representação por Diagrama:

Os conjuntos pontilhados são as possibilidades da localização do diagrama.

P2: [(não ajo como um homem da minha idade V não tenho um mínimo de maturidade)] [(sou

tratado como criança)].

Podemos inferir que a proposição P2 também pode ser representada pelo mesmo diagrama,

pois o antecedente, que é a união de P e R, está contido no conjunto Q.

Obs.: � essa questão é idêntica à questão comentada anteriormente, em que podemos resol-

ver pelas leis de equivalência.





Josimar Padilha


Questão 90 (CESPE/UNB) O cenário político de uma pequena cidade tem sido movimentado

por denúncias a respeito da existência de um esquema de compra de votos dos vereadores.

A dúvida quanto a esse esquema persiste em três pontos, correspondentes às proposições P,

Q e R, abaixo:

P: O vereador Vitor não participou do esquema.

Q: O prefeito Pérsio sabia do esquema.

R: O chefe de gabinete do prefeito foi o mentor do esquema.

Os trabalhos de investigação de uma CPI da Câmara Municipal conduziram às premissas P1,

P2 e P3 seguintes:

P1: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o prefeito Pérsio não sabia do es-

quema.

P2: Ou o chefe de gabinete foi o mentor do esquema, ou o prefeito Pérsio sabia do esquema,

mas não ambos.

P3: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não foi o mentor

do esquema.

Considerando essa situação hipotética, julgue o item seguinte, acerca de proposições lógicas.

A premissa P3 é logicamente equivalente à proposição “O vereador Vitor participou do esque-

ma ou o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema”.

Certo.

Dada a proposição P3, temos: “Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe

de gabinete não foi o mentor do esquema”.

Na Lei condicional, temos que as proposições A B, ~B ~A e ~A V B são equivalentes entre

si, pois produzem as mesmas tabelas-verdade.

Dessa forma, temos que as proposições são equivalentes, pois: A B e ~A V B produzem as

mesmas tabelas-verdade.





Josimar Padilha


Questão 91 (CESPE/UNB) Para descobrir qual dos assaltantes — Gavião ou Falcão — ficou

com o dinheiro roubado de uma agência bancária, o delegado constatou os seguintes fatos:

F1 – se Gavião e Falcão saíram da cidade, então o dinheiro não ficou com Gavião.

F2 – se havia um caixa eletrônico em frente ao banco, então o dinheiro ficou com Gavião.

F3 – Gavião e Falcão saíram da cidade.

F4 – havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro foi entregue à mulher de Gavião.

Considerando que as proposições F1, F2, F3 e F4 sejam verdadeiras, julgue os itens subse-

quentes, com base nas regras de dedução.

A proposição F2 é logicamente equivalente à proposição “Se o dinheiro não ficou com Gavião,

então não havia um caixa eletrônico em frente ao banco”.

Certo.

Dada a proposição F2 – se havia um caixa eletrônico em frente ao banco, então o dinheiro ficou

com Gavião – temos uma proposição condicional.

Na Lei condicional, temos que as proposições A B, ~B ~A e ~A V B são equivalentes entre

si, pois produzem as mesmas tabelas-verdade.

Dessa forma, temos que as proposições são equivalentes, pois: A B, ~B ~A (contrapositiva).

Questão 92 (CESPE/UNB) Considerando a proposição P: “Se João se esforçar o bastante,

então João conseguirá o que desejar”, julgue os itens a seguir.

A negação da proposição P pode ser corretamente expressa por “João não se esforçou o bas-

tante, mas, mesmo assim, conseguiu o que desejava”.

Errado.

Duas proposições compostas, uma será a negação da outra quando forem formadas pelas

mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade forem contrárias.





Josimar Padilha


A B ¬ A ¬ B A B ¬ A ∧ B

V V F F V F

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V F

Temos que as duas últimas colunas, não produzem resultados contrários. A negação da pro-

posição condicional é:

A B A ∧ ¬ B

Questão 93 (CESPE/UNB) A proposição “João não se esforça o bastante ou João consegui-

rá o que desejar” é logicamente equivalente à proposição P.

Certo.

A proposição composta: “João não se esforça o bastante ou João conseguirá o que desejar”

pode ser representada por ¬ A ∨B




↔ ¬B → ¬A (Contra positiva)

A → B

↔ ¬ A ∨ B

As proposições compostas acima produzem as mesmas tabelas-verdade, logo são ditas logi-


Questão 94 (CESPE/UNB) A proposição “Se João não conseguiu o que desejava, então João

não se esforçou o bastante” é logicamente equivalente à proposição P.





Josimar Padilha


Certo.

A proposição composta: Se João não conseguiu o que desejava, então João não se esforçou

o bastante” pode ser representada por ¬B → ¬A





A → B

↔ ¬ A ∨ B

As proposições compostas acima produzem as mesmas tabelas-verdade, logo são ditas logi-


Questão 95 (CESPE/UNB) Julgue os itens seguintes, acerca da proposição P: Quando acre-

ditar que estou certo, não me importarei com a opinião dos outros.

A proposição P é logicamente equivalente a “Como não me importo com a opinião dos outros,

acredito que esteja certo”.

Errado.

O item está incorreto.





Josimar Padilha


Questão 96 (CESPE/UNB) Considere as proposições P1, P2, P3 e P4, apresentadas a seguir.

P1: Se as ações de um empresário contribuírem para a manutenção de certos empregos da

estrutura social, então tal empresário merece receber a gratidão da sociedade.

P2: Se um empresário tem atuação antieconômica ou antiética, então ocorre um escândalo no

mundo empresarial.

P3: Se ocorre um escândalo no mundo empresarial, as ações do empresário contribuíram para

a manutenção de certos empregos da estrutura social.

P4: Se um empresário tem atuação antieconômica ou antiética, ele merece receber a gratidão

da sociedade.

Tendo como referência essas proposições, julgue os itens seguintes.

A proposição P1 é logicamente equivalente à proposição “Se um empresário não mereceu

receber a gratidão da sociedade, então as ações de tal empresário não contribuíram para a

manutenção de certos empregos da estrutura social”.

Certo.

Dada a proposição condicional P1:

(As ações de um empresário contribuírem para a manutenção de certos empregos da estrutura

social) (tal empresário merece receber a gratidão da sociedade.)


lências lógicas:


A → B

↔ ¬B ∨ A

O item sugere a contra positiva (Se um empresário não mereceu receber a gratidão da socie-

dade) (as ações de tal empresário não contribuíram para a manutenção de certos empregos

da estrutura social).





Josimar Padilha


Questão 97 (CESPE/UNB) Ao comentar a respeito da qualidade dos serviços prestados por

uma empresa, um cliente fez as seguintes afirmações:

P1: Se for bom e rápido, não será barato.

P2: Se for bom e barato, não será rápido.

P3: Se for rápido e barato, não será bom.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

A proposição P1 é logicamente equivalente a “Se o serviço for barato, não será bom nem será

rápido”.

Errado.

Representando a proposição temos:

P1: (Foi bom ∧ rápido) → (não será barato)

Aplicando a lei condicional (contra-positiva)

A→B ↔ ¬B → ¬A,

Podemos inferir que a equivalência será

“Serviço foi barato → (não será bom ∨ não será rápido)

Questão 98 (CESPE/UNB) A proposição P2 é logicamente equivalente a “Ou o serviço é bom

e barato, ou é rápido”.

Errado.

Representando a proposição temos:

P2: (Foi bom ∧ Rápido) → (não será rápido)

Aplicando a lei condicional.

A→B será equivalente a ¬B V A

Podemos inferir que será:





Josimar Padilha


“O serviço não é bom ou não é barato, ou não será rápido”

Questão 99 (FCC/TCE-CE/SUPORTE ADMINISTRATIVO/2015) A afirmação que é logica-

mente equivalente à afirmação: “Se faço karatê, então sei me defender” é

a) se não faço karatê, então não sei me defender.

b) se sei me defender, então faço karatê.

c) se não sei me defender, então não faço karatê.

d) se não sei me defender, então faço karatê.

e) se faço karatê, então não sei me defender.

Letra c.

A equivalência da proposição condicional A→B é dada por ¬B→¬A, isto é, devido às tabelas-ver-

dade serem idênticas. Representando a proposição: “Faço karatê → sei me defender” a equi-

valência será “Se não sei me defender, então não faço karatê”. Foi aplicado a lei condicional

(contra positiva).

Parte 4 – diagramas Lógicos

Fundamentação teórica

Gottlob Frege construiu uma maneira de reordenar várias sentenças para tornar sua forma

lógica clara, com a intenção de mostrar como as sentenças relacionam-se em certos aspec-

tos. Antes de Frege, a lógica formal não obteve sucesso além do nível da lógica de sentenças:

ela podia representar a estrutura de sentenças compostas de outras sentenças usando os

conectivos lógicos: “e”, “ou” e “não”, mas não podia quebrar sentenças em partes menores.

O trabalho de Frege foi um dos que deu início à lógica formal contemporânea. Sendo assim,

percebemos a grande incidência de questões de concursos públicos voltadas para essa lingua-

gem e raciocínio.





Josimar Padilha


No estudo das operações com conjuntos e das soluções de problemas envolvendo conjun-

tos, os diagramas ajudam a visualizar e contribuem para a compreensão de vários assuntos

em Lógica.

Um tipo especial de proposição são as proposições categóricas. Podemos identificá-las

facilmente porque são precedidas pelos quantificadores lógicos: “Todo (∀)”, “Nenhum (¬∃)”,

“Algum (∃)”. Na lógica clássica (também chamada de lógica aristotélica), o estudo da dedução

era desenvolvido usando-se as proposições categóricas.

As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas típicas, são dadas no qua-

dro seguinte:

Proposições Afirmativas Proposições Negativas

Proposições Universais a) todo “A” é “B” e) nenhum “A” é “B”Todo “A não é B”

Proposições Particulares (I) algum “A” é “B” (O) algum “A” não é “B”Nem todo A é B

Entre parênteses estão as vogais que representam quantificação.

Podemos observar no quadro acima que cada uma das proposições categóricas, na forma

típica, começa por “Todo” ou “Nenhum” (chamados de quantificadores universais) ou por “Al-

gum” (chamado de quantificador particular).

1. Particular Afirmativo: Algum A é B

Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concursos públicos:

• Ao menos um

• Pelo menos um

• Existe

• Alguém





Josimar Padilha


O conjunto interseção é formado pelos elementos que pertencem aos conjuntos A e B si-

multaneamente.

(A ∩ B) = {x / x ∈ A e x ∈ B}

Simbolicamente: ∃x (A(x) ∧ B(x)) ⇔∃x (B(x) ∧ A(x))

2. Universal Negativo: Nenhum A é B

Conjuntos Disjuntos

O termo “nenhum” pode ser substituído pela palavra “não existe” nas provas de concursos

públicos:

A e B são disjuntos se A ∩ B = ∅

Conjunto vazio





Josimar Padilha


Simbolicamente: ¬∃x (A(x) ∧ B(x)) ⇔ ¬∃x (B(x) ∧ A(x))

3. Particular Negativo: Algum A não é B

Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concursos públicos:

• Ao menos um

• Pelo menos um

• Existe

• Alguém

Simbolicamente: ∃X (A(X) ∧ ¬B(X))

4. Universal Afirmativo: Todo A é B

A ∪ B = B A ∩ B = A

INCLUSÃO DE CONJUNTOS (A ⊂ B)

Alguns termos que podem substituir a palavra “todo” nas provas de concursos públicos:

• Para todo





Josimar Padilha


• Qualquer que seja

Simbolicamente: ∀(x) (A(x) → B(x))

aPLicação dos QuantiFicadores Lógicos

Vamos realizar algumas inferências utilizando os diagramas lógicos, ok?

Assim você irá entender como interpretar as questões. Não se esqueça que, quando tiver-

mos a presença de quantificadores lógicos, ou seja, os termos “todo, algum e nenhum”, a ques-

tões serão resolvidas por diagramas lógicos.

Vamos lá!

Questão 100 (PC-ES) Um argumento constituído por uma sequência de três proposições – P1,

P2 e P3, em que P1 e P2 são as premissas e P3 é a conclusão – é considerado válido se, a par-

tir das premissas P1 e P2, assumidas como verdadeiras, obtém-se a conclusão P3, também

verdadeira por consequência lógica das premissas. A respeito das formas válidas de argumen-

tos, julgue os próximos itens.

Considere a seguinte sequência de proposições





Josimar Padilha


P1 – Existem policiais que são médicos.

P2 – Nenhum policial é infalível.

P3 – Nenhum médico é infalível.

Nessas condições, é correto concluir que o argumento de premissas P1 e P2 e conclusão P3

é válido.

Errado.

Dadas as proposições categóricas P1, P2 e P3, temos os seguintes diagramas que as repre-

sentam:

P: Policiais.

M: Médicos.

I: Infalível.

Segundo os diagramas acima, podemos inferir que P3 não é uma consequência das premissas

P1 e P2, logo o argumento não é válido.

O conjunto infalível pode ficar nas posições pontilhadas, o que não garante a verdade da con-

clusão.

Questão 101 (PC-ES) Se as premissas P1 e P2 de um argumento forem dadas, respectivamen-

te, por “Todos os leões são pardos” e “Existem gatos que são pardos”, e a sua conclusão P3

for dada por “Existem gatos que são leões”, então essa sequência de proposições constituirá

um argumento válido.





Josimar Padilha


Errado.

Temos os diagramas abaixo que representam as proposições do argumento e verificamos que

P3 pode ser verdadeira ou não. Logo, o argumento não pode ser válido.

Questão 102 Considere as seguintes proposições:

I – Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o direito de herança.

II – Joaquina não tem garantido o direito de herança.

III – Todos aqueles que têm direito de herança são cidadãos de muita sorte.

Supondo que todas essas proposições sejam verdadeiras, é correto concluir logicamente que

a) Joaquina não é cidadã brasileira.

b) Todos os que têm direito de herança são cidadãos brasileiros.

c) Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte.





Josimar Padilha


Certo, Errado, Errado.

Pelas as premissas podemos construir o diagrama acima.

Pela premissa I, temos a inclusão de dois conjuntos: Todo cidadão brasileiro tem garantido o

direito de herança. Cidadão brasileiro está contido no conjunto garantia de direito de herança.

Pela premissa II, temos que Joaquina não pode pertencer ao conjunto “Garantia de direito de

herança”, podendo assim ficar nas duas posições indicadas no diagrama.

Pela premissa III, temos que o conjunto: Cidadãos de muita sorte pode possuir ou não Joaquina.

Julgando os itens.

�a) Certo, pois Joaquina não pertence ao conjunto: Cidadão brasileiro.

�b) Errado, pois comutou o quantificador universal afirmativo, em que o mesmo não aceita tal

propriedade.

c) Errado. Pois pelo diagrama podemos inferir que Joaquina não é uma cidadã brasileira, po-

rém pode ser ou não uma cidadã de muita sorte.

Questão 103 (ESAF) Nenhum matemático é aluno. Algum administrador é aluno, logo:

a) algum administrador é matemático.

b) todo administrador é matemático.

c) nenhum administrador é matemático.





Josimar Padilha


d) algum administrador não é matemático.

e) todo administrador não é matemático.

Letra d.

Da mesma forma que analisamos as premissas formadas com os conectivos lógicos (utilizan-

do as tabelas-verdade) para que possamos encontrar uma conclusão verdadeira, analisaremos

as premissas formadas com os quantificadores lógicos. Cada premissa será representada

pelo seu diagrama lógico, sendo cada um deles verdadeiro para que tenhamos uma conclusão

verdadeira.

Vamos construir os diagramas para cada premissa:

P1: Nenhum matemático é aluno. (Não há nada em comum)

P2: Algum administrador é aluno (pelo menos um {x}. Conjunto unitário)

Relacionando as duas premissas (diagramas lógicos), temos:





Josimar Padilha


A conclusão será fruto da relação entre as premissas, sendo que essa deverá ser uma nova proposição, consequência de uma certeza. Não podemos concluir o que não temos certeza, e é dessa forma que a resposta da questão será: Algum administrador não é matemático.

Questão 104 (ESAF) Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo artista, se não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora não há filósofo e não há poeta que não seja responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente:a) todo responsável é artista.b) todo responsável é filósofo ou poeta.c) todo artista é responsável.d) algum filósofo é poeta.

e) algum trabalhador é filósofo.





Josimar Padilha


Letra c.

De acordo com o enunciado da questão, um artista só pode ser trabalhador, filósofo ou poeta,

ou seja, são conjuntos disjuntos. Assim, os respectivos conjuntos (T, F e P) interceptam o con-

junto dos artistas sem deixar vazios e sem superposição, porque um artista não pode ser mais

de um desses ao mesmo tempo. O enunciado também diz que trabalhador, filósofo e poeta são

responsáveis. Denominando R o conjunto dos responsáveis, tem-se:

T ⊂ R

F ⊂ R

P ⊂ R

Ou seja, T, F e P são subconjuntos de R.

Analisando as respostas, temos:

�a) todo responsável é artista: não necessariamente, porque o quantificador Universal afirmati-

vo não aceita a propriedade comutativa, uma vez que há elementos que são responsáveis que

não trabalhadores.

�b) todo responsável é filósofo ou poeta: não. Pode ser trabalhador.

�c) todo artista é responsável: correto, porque T, F e P são subconjuntos de R e o artista só pode

ser um deles.

�d) algum filósofo é poeta: pode ser ou não. Os conjuntos F e P podem ter interseção, embora

não indicado na figura.

e) algum trabalhador é filósofo: pode ser ou não, de forma similar à do item anterior.

Questão 105 (FCC/BANRISUL/ESCRITURÁRIO/2019) Dentre os funcionários de uma deter-

minada agência bancária, os gerentes são todos casados e têm filhos. Nenhum funcionário

casado mora na capital, mas há funcionários que moram na capital e têm filhos. Nessas con-

dições,





Josimar Padilha


a) todos os funcionários que têm filhos moram na capital.

b) nenhum funcionário que mora na capital é gerente.

c) nenhum funcionário que tem filhos é casado.

d) todos os funcionários que têm filhos são casados.

e) há gerentes que moram na capital.

Letra b.

Na lógica de Primeira Ordem, é importante conhecermos sobre Operações com Conjuntos,

uma vez que são utilizados os diagramas de Venn para representar os quantificadores lógicos.

Torna-se necessário conhecer a linguagem matemática, ou seja, os símbolos e suas relações.

Quanto aos quantificadores lógicos e seus diagramas, verifique o final deste capítulo com as

fundamentações teóricas.

Temos as seguintes proposições (premissas):

P1: Os gerentes são todos casados e têm filhos;

P2: Nenhum funcionário casado mora na capital;

P3: há funcionários que moram na capital e têm filhos

Representando as premissas por diagramas, temos:

P1: Os gerentes são todos casados e têm filhos;





Josimar Padilha


P2: Nenhum funcionário casado mora na capital;

P3: há funcionários que moram na capital e têm filhos

Agora realizando a interseção das informações (premissas), teremos:

Podemos inferir que “NENHUM funcionário que mora na capital é gerente”.

Questão 106 (CRESS-SC/2019) Considerando N como o conjunto dos números naturais, Z

como o conjunto dos números inteiros, Q como o conjunto dos números racionais, R como o

conjunto dos números reais e XC como o complementar do conjunto X, julgue o item acerca

dos conjuntos numéricos, de suas operações, propriedades e aplicações, das operações com

conjuntos e da compreensão das estruturas lógicas e dos respectivos diagramas.





Josimar Padilha


É correto afirmar que o diagrama acima representa corretamente a afirmação: “Se não é um

número real, então não é um número natural”.

Certo.

O operador condicional “se..., então...” possui o mesmo diagrama do quantificador universal

afirmativo, ou seja, uma relação de inclusão entre conjuntos.

Ao final deste capítulo, você pode conferir os diagramas para cada quantificador lógico.

A proposição A B tem o mesmo significado para todo A é B. Vejamos o diagrama:

Agora podemos, de uma maneira tranquila, responder à questão que diz:

“Se não é um número real, então não é um número natural”.

Utilizando uma afirmação equivalente (contrapositiva) a essa:

“Se um número é natural, então ele é real”, a qual podemos representar pelo seguinte diagra-

ma:

Questão 107 (TJ-SP/ENFERMEIRO JUDICIÁRIO/2019) Considere que haja elementos em to-

das as seções e interseções do diagrama.





Josimar Padilha


A partir dessas informações, é correto afirmar que

a) todos os elementos de A, que não são elementos de B, são elementos de C ou de D.

b) não há elemento de B que seja elemento de três conjuntos ao mesmo tempo.

c) todos os elementos de C, que não são elementos apenas de C, ou são também elementos

de B ou são também elementos de D.

d) há elemento de B que seja elemento de outros três conjuntos além do B.

e) qualquer elemento de D, que não é elemento de B, é também elemento de C ou elemento de A.

Letra e.

Para melhor interpretação, iremos colocar elementos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} em todas as seções e

interseções do diagrama, vejamos a seguir:

Analisando cada uma das opções, conforme os elementos e seus conjuntos:

�a) todos os elementos de A, que não são elementos de B, são elementos de C ou de D.





Josimar Padilha


�Não necessariamente, pois temos o elemento {7} que pertence ao conjunto A, não pertence a

B e também não pertence a C ou D.

�b) não há elemento de B que seja elemento de três conjuntos ao mesmo tempo.

�Não necessariamente, pois temos o elemento {4}, que pertence a B, porém não pertence ao

conjunto C.

�c) todos os elementos de C, que não são elementos apenas de C, ou são também elementos

de B ou são também elementos de D.

�Sabemos que “todos os elementos de C, que não são elementos apenas de C”, correspondem

aos elementos {2,3}, e a opção afirma que “ou são também elementos de B ou são também

elementos de D”, o que não é verdade, uma vez que o elemento {2} não é elemento de B ou de D.

�d) há elemento de B que seja elemento de outros três conjuntos além do B.

�Não temos interseção dos três conjuntos. Isto é, não há elementos que pertençam aos conjun-

tos A, B, C e D.

�e) qualquer elemento de D, que não é elemento de B, é também elemento de C ou elemento de A.

Qualquer elemento de D, que não é elemento de B = {6}, é também elemento de C ou A. Está

correto, uma vez que o elemento {6} pertence à união de C ou A. O elemento que pertence ape-

nas ao conjunto A pertence à união de A com C.

Questão 108 (TJ-SP/MÉDICO JUDICIÁRIO/2019) Considere que haja elementos em todas as

seções e interseções do diagrama.

A partir dessas informações, é correto afirmar que

a) todos os elementos de A, que não são elementos de B, são elementos de C ou de D.





Josimar Padilha


b) não há elemento de B, que seja apenas elemento de B e de D ou apenas elemento de B ou de C.

c) não há elemento de A, que seja apenas elemento de A e de D.

d) qualquer elemento de C que não seja elemento de D, é também elemento de A.

e) qualquer elemento de D, que é também elemento de C é também elemento de A.

Letra c.

Para melhor interpretação, iremos colocar elementos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} em todas as seções

e interseções do diagrama, vejamos a seguir:

Analisando cada uma das opções, conforme os elementos e seus conjuntos:

�a) todos os elementos de A, que não são elementos de B, são elementos de C ou de D.

�Todos os elementos de A, que não são elementos de B = { 1 }, não pertencem ao conjunto C ou D.

�b) não há elemento de B que seja apenas elemento de B e de D ou apenas elemento de B ou de

C.

�Temos elemento de B, que seja apenas elemento de B e de D = {6}, e temos elemento de B que

são apenas elementos de B ou de C = {8}.

�c) não há elemento de A, que seja apenas elemento de A e de D.

�Elementos que pertençam apenas a A e D = { }, ou seja, não existem.

�d) qualquer elemento de C, que não seja elemento de D, é também elemento de A.

Qualquer elemento de C, que não seja elemento de D = { 3,8}, não é necessariamente elemento

de A, pois o elemento {8} não pertence ao conjunto A.





Josimar Padilha


�e) qualquer elemento de D, que é também elemento de C, é também elemento de A.

Qualquer elemento de D, que é também elemento de C = { 4,5 }, não é elemento de A. O elemen-

to {5} não é elemento de A.

Questão 109 (ESCRIVÃO DE POLÍCIA CIVIL/2018) Considere falsa a afirmação (I) e verdadei-

ra a afirmação (II).

I – Todos os alunos estudam.

II – Alguns professores estudam.

Sendo assim, é correto concluir que

a) existe aluno que não estuda.

b) todos os professores estudam.

c) qualquer aluno estuda.

d) os alunos que estudam são professores.

e) qualquer professor que estuda é aluno.

Letra a.

Temos uma questão de inferência lógica, em que iremos aplicar diagramas lógicos, mas pri-

meiro devemos negar a primeira premissa, vejamos:

Premissa I. Todos os alunos estudam. (F) Premissa I: Alguns alunos não estudam. (V)

Premissa II. Alguns professores estudam. (V)

A conclusão tem que ser fruto exclusivo das premissas.

Conclusão: existe aluno que não estuda.





Josimar Padilha


Questão 110 (SOLDADO COMBATENTE/BM/2018). Se todo soldado é militar e nenhum militar

é político, é possível concluir, corretamente, que

a) nenhum militar é soldado.

b) nenhum soldado é político.

c) todo soldado é político.

d) todo político é militar.

e) todo militar é soldado.

Letra b.

Podemos representar as proposições (premissas) pelos seguintes diagramas lógicos:

P1: Todo soldado é militar:

P2: Nenhum militar é político:

Agora, fazendo a interseção das premissas:

Dessa forma podemos inferir que nenhum soldado é político.





Josimar Padilha


Questão 111 (ESCRIVÃO DE POLÍCIA CIVIL/2018) Em determinado local, algum artista é fun-

cionário público e todos os artistas são felizes. Sendo assim, é correto afirmar que

a) algum artista é feliz.

b) algum artista que não é funcionário público não é feliz.

c) algum artista funcionário público não é feliz.

d) todo artista feliz é funcionário público.

e) todo artista funcionário público não é feliz.

Letra a.

Nessa questão temos premissas formadas por quantificadores lógicos, logo iremos construir

diagramas lógicos.

P1: todos os artistas são felizes;

P2: algum artista é funcionário público.





Josimar Padilha


A partir das premissas, temos:

Conforme os diagramas, podemos inferir que algum artista (x) é feliz.

Se o quantificador universal (todo) é verdadeiro, o particular (algum) também será.

Questão 112 (SOLDADO COMBATENTE/BM/2018) Considere as duas afirmações a seguir:

• todo soldado atua na defesa civil ou atua na defesa ambiental.

• Pedro é um soldado da defesa civil. Logo, é correto afirmar que

a) Pedro atua na defesa civil e na defesa ambiental.

b) se Pedro não atuar na defesa ambiental, então ele não é um soldado.

c) Pedro somente atua na defesa ambiental se atuar na defesa civil.

d) como Pedro atua na defesa civil, então ele também atua na defesa ambiental.

e) Pedro não atua na defesa ambiental.

Letra e.

Podemos representar as proposições (premissas) pelos seguintes diagramas lógicos:

P1: Todo soldado atua na defesa civil ou todo soldado atua na defesa ambiental.

P2: Pedro é um soldado da defesa civil.





Josimar Padilha


A partir dos diagramas lógicos, podemos inferir que Pedro não atua na defesa ambiental.

negação dos QuantiFicadores Lógicos

Negação das Proposições Categóricas

Duas proposições categóricas distintas que tenham o mesmo sujeito e o mesmo predica-

do serão sempre opostas quando negarmos pela contradição, ou seja, proposições contraditó-

rias: cada uma delas é a negação lógica da outra (A – O e E – I).

Para um melhor entendimento, iremos apresentar o quadrado dos opostos explicando de-

talhadamente para que você aprenda definitivamente essas negações, que, por sinal, são mui-

to fáceis. Vamos lá!

As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas típicas, são dadas no qua-

dro seguinte:

Proposições Afirmativas Proposições Negativas

Proposições Universais a) todo “A” é “B” e) nenhum “A” é “B”Todo “A não é B”

Proposições Particulares (I) algum “A” é “B” (O) algum “A” não é “B”Nem todo A é B

Entre parênteses estão as vogais que representam quantificação.

Dica do Padilha!

Para realizar as negações, é só seguir as setas. Beleza?





Josimar Padilha


Negação utilizada em concursos públicos?

Respondendo, temos que a negação será pela contraditória, ou seja, temos que negar as duas

relações que formam uma proposição categórica, isto é, negamos a quantidade (o “todo” vira

“algum”, ou vice-versa) e negamos também a qualidade (A é B vira A não é B, ou vice-versa).

(CESPE) Considere a seguinte proposição: “Ninguém será considerado culpado ou condenado

sem julgamento.” Julgue os itens que se seguem, acerca dessa proposição.

Questão 113 (CESPE) A proposição “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado

sem julgamento” é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima.

Certo.

A negação da proposição “Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento”

será pela negação contraditória “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado

sem julgamento”, uma vez que nega quantidade e qualidade.





Josimar Padilha


Questão 114 (CESPE) “Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento”

não é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição anterior.

Certo.

Tomando como base o item anterior, podemos concluir que “Todos serão considerados cul-

pados e condenados sem julgamento” não é a negação da proposição proposta pela questão.

Item certo.

Questão 115 (CESPE) Com relação à lógica formal, julgue o item subsequente.

A negação da proposição “Ninguém aqui é brasiliense” é a proposição “Todos aqui são brasi-

lienses”.

Errado.

A proposição “Ninguém aqui é brasiliense” trata-se de quantificador universal negativo. Se qui-

sermos a negação torna-se viável negarmos pela contraditória, uma vez que temos a certeza

que será por quantidade e qualidade. Logo, a negação será: “Alguém aqui é brasiliense”.

Questão 116 (COPERVE) A negação da proposição “Ninguém aqui é argentino” é a proposição:

a) nenhum aqui é argentino.

b) estes aqui são argentinos.

c) alguém aqui é argentino.

d) todos aqui são argentinos.

e) nenhuma das opções anteriores.





Josimar Padilha


Letra c.

Temos que a negação de “nenhum A é B” será “algum A é B”, conforme a dica apresentada.

Dessa forma a negação de “Ninguém aqui é argentino” será “alguém aqui é argentino”.

Questão 117 A negação de “Todos os alunos vão gabaritar a prova de matemática” é

a) “Todos os alunos não vão gabaritar a prova de matemática”.

b) “Nenhum aluno vai gabaritar a prova de matemática”.

c) “Existe apenas um aluno que não vai gabaritar a prova de matemática”.

d) “Existe apenas um aluno que vai gabaritar a prova de matemática”.

e) “Existem alunos que não vão gabaritar a prova de matemática”.

Letra e.

Temos que a negação de “Todo A é B” será “algum A não é B”, conforme a dica apresentada.

Dessa forma a negação de “Todos os alunos vão gabaritar a prova de matemática” será “Exis-

tem alunos que não vão gabaritar a prova de matemática”.

Questão 118 A negação de “Todas as pessoas gostam de ler livros de aventura” é

a) “Existem pessoas que não gostam de ler livros de aventura”.

b) “Nenhuma pessoa gosta de ler livros de aventura”.

c) “Todas as pessoas não gostam de ler livros de aventura”.

d) “Existe apenas uma pessoa que não gosta de ler livros de aventura”.

e) “Existe apenas uma pessoa que gosta de ler livros de aventura”.





Josimar Padilha


Letra a.

Temos que a negação de “Todo A é B” será “algum A não é B”, conforme a dica apresentada.

Dessa forma a negação de “Todas as pessoas gostam de ler livros de aventura” será “Existem

pessoas que não gostam de ler livros de aventura”.

Questão 119 Do ponto de vista da lógica, a negação da frase “alguns dos meus irmãos não vão

ao cinema nos sábados à tarde” é

a) excetuando um dos meus irmãos, os demais vão ao cinema nos sábados à tarde.

b) alguns dos meus irmãos vão ao cinema nos sábados à tarde.

c) todos os meus irmãos não vão ao cinema nos sábados à tarde.

d) todos os meus irmãos vão ao cinema nos sábados à tarde.

e) somente um dos meus irmãos não vai ao cinema nos sábados à tarde.

Letra d.

Temos que a negação de “algum A não é B” será “Todo A é B”, conforme a dica apresentada.

Dessa forma a negação de “alguns dos meus irmãos não vão ao cinema nos sábados à tarde”

é “todos os meus irmãos vão ao cinema nos sábados à tarde. ”

Questão 120 A negação da sentença “algum empregado está em situação irregular” é:

a) todos os empregados estão em situação irregular.

b) nenhum empregado está em situação irregular.

c) nem todos os empregados não estão em situação irregular.

d) algum empregado não está em situação irregular.

e) existe pelo menos um empregado em situação irregular.





Josimar Padilha


Letra b.

Temos que a negação de “algum A é B” será “Nenhum A é B”, conforme a dica apresentada.

Dessa forma a negação de “algum empregado está em situação irregular” é “nenhum empre-

gado está em situação irregular”.

Questão 121 (DEPEN) A negação da proposição “Todos os detentos considerados perigosos

são revistados diariamente” é equivalente à pro posição “Nenhum detento perigoso é revistado

diariamente”.

Errado.

A negação da proposição universal afirmativa é dada pelo particular negativo, em que deve-

mos negar a quantidade e a qualidade. Logo a nega ção será “Alguns detentos considerados

perigosos não são revistados dia riamente”. Item errado.

Questão 122 Qual é a negação da frase “Todas as pessoas gostam de assistir televisão”?

a) Existem pessoas que não gostam de assistir televisão.

b) Existe apenas uma pessoa que não gosta de assistir televisão.

c) Existe apenas uma pessoa que gosta de assistir televisão.

d) Nenhuma pessoa gosta de assistir televisão.

e) Nenhuma pessoa assiste televisão.

Letra a.

Temos que a negação de “todo A é B” será “algum A não é B”, conforme a dica apresentada.





Josimar Padilha


Dessa forma a negação de “Todas as pessoas gostam de assistir televisão” é “existem pesso-

as que não gostam de assistir televisão. ”

Questão 123 (CESPE/DEPEN/2013) Se um detento cometeu um assalto à mão armada, en-

tão ele é revistado diariamente.

Certo.

De acordo com os diagramas que representam as proposições podemos inferir que se o deten-

to “x” cometeu um assalto à mão armada, ele pertence ao conjunto CA, e o conjunto Ca está

contido em RD, logo o elemento “x” pertence ao conjunto RD.

Questão 124 (CESPE/DEPEN/2013). Somente os detentos perigosos serão revistados diariamente.

Errado.

De acordo com os diagramas podemos inferir que o elemento “x” não é perigoso, porém é re-

vistado diariamente.





Josimar Padilha


Questão 125 (CESPE/DEPEN/2013) A negação da proposição “Todos os detentos considera-

dos perigosos são revistados diariamente” é equivalente à proposição “Nenhum detento peri-

goso é revistado diariamente”.

Errado.

A negação da proposição universal afirmativa é dada pelo particular negativo, em que deve-

mos negar a quantidade e a qualidade. Logo a negação será “Alguns detentos considerados

perigosos não são revistados diariamente”.

Questão 126 (CESPE/DEPEN/2013). Sabendo-se que um detento não cometeu crime estando

armado, é correto afirmar que, seguramente, ele não será revistado.

Errado.

De acordo com os diagramas e as possíveis posições que o elemento “x” pode ficar podemos

inferir que apesar do elemento não ter cometido crime estando armado, ele pode ser ou não

revistado diariamente.

Questão 127 (CESPE/DEPEN/2013) Sabendo-se que um detento é considerado perigoso é

correto afirmar que ele cometeu crime à mão armada.





Josimar Padilha


Errado.

De acordo com os diagramas e as possíveis posições que o elemento “x” pode estar podemos

inferir que o elemento “x” sendo perigoso não podemos afirmar que ele cometeu crime à mão

armada.





Josimar Padilha


AUTOAVALIAÇÃO

Meu querido(a), agora é sua vez, porém, em caso de dúvidas, não se esqueça que temos o

fórum de dúvidas a sua disposição.

Questão 1 (2019/CRF-TO/ANALISTA DE TI) Assinale a alternativa que corresponde à nega-

ção de “Todos os analistas de tecnologia da informação são bons desenvolvedores”.

a) pelo menos um analista de tecnologia da informação não é bom desenvolvedor.

b) nenhum analista de tecnologia da informação é bom desenvolvedor.

c) todos os analistas de tecnologia da informação não são bons desenvolvedores.

d) alguns analistas de tecnologia da informação são bons desenvolvedores.

e) Todos os desenvolvedores não são analistas de tecnologia da informação.

Questão 2 Se todo arquiteto é desenhista, existe professor que é arquiteto, mas algum de-

senhista não é professor, então é correto afirmar que

a) existe professor que não é arquiteto.

b) existe arquiteto que não é professor.

c) algum professor não é desenhista.

d) todo arquiteto que é professor é também desenhista.

e) algum desenhista que é professor é também arquiteto.

Questão 3 Considerando a afirmação “Todo arquiteto é louco por futebol”, é correto afir-

mar que

a) quem não é arquiteto não é louco por futebol.

b) quem não é arquiteto é louco por futebol.

c) aquele que não é louco por futebol não é arquiteto.

d) aquele que é louco por futebol é arquiteto.

e) nenhum arquiteto é louco por futebol.

Questão 4 Considere as proposições: “todo cinema é uma casa de cultura”, “existem teatros

que não são cinemas” e “algum teatro é casa de cultura”. Logo, é correto afirmar que





Josimar Padilha


a) existem cinemas que não são teatros.

b) existe teatro que não é casa de cultura.

c) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro.

d) existe casa de cultura que não é cinema.

e) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema.

Questão 5 (2019/CAU-AC/AUXILIAR ADMINISTRATIVO) Sabe-se que existe pelo menos

um acriano que é arquiteto. Sabe-se ainda que todo acriano é brasileiro. Segue-se, portanto,

necessariamente que

a) todo brasileiro é arquiteto.

b) todo brasileiro é acriano.

c) algum acriano é brasileiro.

d) nenhum brasileiro é arquiteto.

e) algum acriano não é brasileiro.





Josimar Padilha


GABARITO

1. a

2. d

3. c

4. e

5. c





Josimar Padilha


Parte 5 – aritmética

conjuntos numéricos

Meu(minha) querido(a) aluno(a), como existem vários tipos de conjuntos, ou seja, os for-

mados por pessoas, animais e até mesmo objetos, é importante percebemos também o con-

junto formados por números que são indispensáveis para resolver vários problemas do dia a

dia, logo fica a necessidade de interpretarmos conforme exemplo abaixo:

Temos que conhecer os conjuntos numéricos, certo?

Questão 128 Perguntaram a José quantos anos minha sua filha e ele respondeu: “A idade dela

é numericamente igual à maior das soluções inteiras da inequação 2x2 − 31x − 70 < 0.” É corre-

to afirmar que a idade da filha de José é um número

a) menor que 10.

b) divisível por 4.

c) múltiplo de 6.

d) quadrado perfeito.

e) primo.

Letra e.

O objetivo não é resolvermos a inequação, apenas para mostrá-lo como é importante reconhe-

cermos os conjuntos numéricos, uma vez que o resultado é um conjunto soluções reais. Quan-

to à inequação, esse assunto será visto em outro momento. Porém, vamos resolver a questão

para que você observe a interpretação do resultado.

Dada a inequação 2x2 − 31x − 70 < 0, iremos encontrar as raízes:





Josimar Padilha


É importante observar que temos uma solução formada por conjunto de valores, -2 ≤ x ≤ 17,5.

A questão pede o maior valor inteiro, logo, só pode ser 17.

A idade da filha de José é igual a 17 anos, resposta letra e.

1. Conjuntos Naturais

O Conjunto dos números naturais é representado pela letra Ν:

Esses números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza,

por isso são chamados de números naturais. São aqueles números que aparecem naturalmen-

te ao longo de um processo de contagem, são os positivos, vejamos:

Ν = {0, 1, 2, 3, ...}

Ao falarmos sobre o conjunto dos números naturais, é importante conhecermos um pouco

sobre o sistema de numeração decimal, que a princípio é de base 10, ou seja, utiliza 10 algaris-

mos (símbolos) diferentes para representar todos os números.

Esse sistema é formado pelos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e é um sistema posicional,

ou seja, a posição do algarismo no número modifica o seu valor.





Josimar Padilha


É o sistema de numeração que nós usamos no dia a dia. Ele foi concebido pelos hindus e

divulgado no ocidente pelos árabes, por isso é também chamado de “sistema de numeração

indo-arábico”.

Vejamos a evolução da sua escrita:

O sistema de numeração decimal possui algumas características que são importantes

quando se trata do processo ensino-aprendizagem:

a) Possui símbolos distintos para representar quantidades de 1 a 9 e o símbolo (zero) para

representar a ausência de quantidade.

b) Por ser um sistema posicional, é possível representar todos os números, mesmo tendo

poucos símbolos.

c) As quantidades são agrupadas de 10 em 10 e recebem as seguintes denominações:

10 unidades correspondem 1 dezena

10 dezenas correspondem a 1 centena

10 centenas correspondem a 1 unidade de milhar

Vejamos alguns exemplos com números:

Exemplos:





Josimar Padilha


Ordens e Classes

No sistema de numeração decimal, cada algarismo representa uma ordem, começando da

direita para a esquerda e, a cada três ordens, temos uma classe.

Para fazermos a leitura de números muito grandes, dividimos os algarismos do número

em classes (blocos de 3 ordens), colocando um ponto para separar as classes, começando da

direita para a esquerda.

Vejamos um exemplo:

1) 57283

Primeiro, separamos os blocos de 3 algarismos da direita para a esquerda e colocamos um

ponto para separar o número: 57. 283.

No quadro acima, vemos que 57 pertence à classe dos milhares; e 283, à classe das unidades

simples. Assim, o número será lido como: cinquenta e sete mil, duzentos e oitenta e três.

2) 12839696





Josimar Padilha


Separando os blocos de 3 algarismos, temos: 12.839.696

O número então será lido como: doze milhões, oitocentos e trinta e nove mil, seiscentos e

noventa e seis.

2. Conjuntos Inteiros

O Conjunto dos números inteiros é representado pela letra Ζ.

É importante perceber que os números naturais não permitiam todas as operações, logo se

tornou necessário resolver essa pendência:

Exemplo: a subtração de 7 – 9 era impossível, logo, a ideia do número negativo aparece na Índia,

associada a problemas comerciais que envolviam dívidas. Dessa forma a ideia do número zero

surgiu também, nessa altura, para representar o nada.

O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números naturais e por seus res-

pectivos opostos, são os positivos e negativos.

Ζ = {... – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2,3, ...}

Ζ* = {... – 3, – 2, – 1, 1, 2,3, ...}

3. Conjuntos Racionais

O Conjunto dos números racionais é representado pela letra Q:

Entretanto, surgiu outro tipo de problema: “Como dividir 3 bezerras para 2 fazendeiros? ”

Para resolver esse tipo de problemas, foram criados os números fracionários. Esses nú-

meros, juntamente com os números inteiros, formam os racionais, que são os números que

podem ser expressos sob a forma de fração de tal forma que:

Q= {x I x = a/b, com a ∈ Ζ e b ∈ Ζ *}

Obs.: � é importante saber que as dízimas periódicas são números racionais, pois todas

podem ser representadas por frações em que o numerador pertence aos inteiros (Z) e

o denominador pertence aos inteiros menos o zero (Ζ*).





Josimar Padilha


Exemplo:

a) 0,33333333 = 3/9

b) 0,34343434= 34/99

c) 0,056565656= 56/990

Vamos aprender, de uma maneira prática, a representar uma dízima periódica por meio de uma

fração? O que você acha?

, certo?

Agora, se for 0,33333.? (Dízima periódica)

Basta subtrairmos 01(uma) unidade do denominador:

O denominador será 10, pois repete sempre 01(um) algarismo, o “3”, em seguida subtraímos

01 (uma) unidade, devido ser uma dízima periódica.

O que aconteceu? Conseguimos representar a dízima periódica em forma de fração, em que o

numerador é inteiro e o denominador inteiro diferente de zero.

Outro exemplo:

, certo?

Agora, se for 0, 34343434.? (Dízima periódica)

Basta subtrairmos 01(uma) unidade do denominador:

O denominador será 100, pois repete sempre 02(dois) algarismos, o “34”, em seguida subtraí-

mos 01 (uma) unidade, devido a ser uma dízima periódica.

Agora surge uma pergunta:

E se, porventura, tivermos a seguinte dízima periódica 0,056565656?

Temos o algarismo 0(zero) antes de começar a se repetir o número “56” várias vezes.

Vamos lá!

Considere os dois algarismos “56” e faça como se não tivéssemos o 0(zero):

Agora, para finalizarmos, colocaremos o zero que não participa das repetições no denomina-

dor, assim:





Josimar Padilha


Para finalizarmos, vamos fazer com 0,008888.

Colocamos 8 sobre 10, porque repete apenas 01(um) algarismo. Depois subtraímos 1(uma)

unidade devido ser dízima e, por fim, colocamos os dois zeros que estavam antes das repeti-

ções no final do número que está no denominador.

Que legal!!! Uma maneira prática de representarmos as dízimas periódicas.

Tente com outros números, e qualquer dúvida é só acessar nosso fórum que estarei à disposi-

ção para lhe ajudar.

4. Conjuntos Irracionais

O Conjunto dos números irracionais é representado pela letra I:

É o conjunto composto pelas dízimas aperiódicas, são números com infinitas casas deci-

mais, que não podem ser representados por uma fração, em que o numerador pertence aos

inteiros e o denominador pertencente aos inteiros menos o zero.

Exemplos:

O número π = 3,1415926535.

O número =1,4142.

5. Conjuntos Reais

O Conjunto dos números reais é representado pela letra R:

É o conjunto formado pela união dos números racionais e irracionais.

Para que possamos interpretar a relação de inclusão entre os conjuntos numéricos, veja-

mos o diagrama abaixo:





Josimar Padilha


Fique ligado(a)! Vamos responder a uma questão interessante, digamos que seja um de-

safio.

Questão 129 (2019/PREFEITURA DE ITAPEVI SP/AUDITOR-FISCAL TRIBUTÁRIO) Um re-

servatório continha, inicialmente, x litros de água. Com a adição de mais 150 litros, a quanti-

dade de água inicial foi aumentada em 3/5 e passou a ser igual a 2/5 da capacidade total do

reservatório. A capacidade total desse reservatório é de

a) 1250 litros.

b) 1150 litros.

c) 1000 litros.

d) 950 litros.

e) 900 litros.

Letra c.

Esta questão refere-se à interpretação de números racionais, ou seja, frações. Vejamos!

Inicialmente o reservatório tinha x litros e adicionamos mais 150 litros, com isso a quantidade

de água foi aumentada em 3/5 da inicial, ou seja, x + 3x/5.

É importante interpretar que esse aumento de água aumentou a capacidade do reservatório

também:





Josimar Padilha


x + 3x/5 = 2y/5 (y= o total do reservatório)

x + 150 = 2y/5 (porque 3x/5=150)

250 + 150 = 2y/5

400.5=2y

y= 1000

Questão 130 (FGV/2010) analise as afirmativas a seguir:

I – é maior do que 5/2.

II – 0,555 é um número racional.

III – Todo número inteiro tem antecessor.

Assinale:

a) somente as afirmativas I e III estão corretas.

b) somente a afirmativa II está correta.

c) somente as afirmativas I e II estão corretas.

d) somente a afirmativa I está correta.

e) somente as afirmativas II e III estão corretas.

Letra e.

Vamos analisar cada uma das afirmativas.

Referente à afirmativa I, temos o resultado 5/2 igual a 2,5, uma maneira de representá-lo é

= 5/2, dessa forma podemos inferir que . Logo está errado.

Referente à afirmativa II, temos que toda dízima periódica pertence ao conjunto dos números

racionais. Logo está correto.

Referente à afirmativa III, temos que o conjunto dos números inteiros são todos os números

que vão do menos infinito (- ∞) até o mais infinito (+∞), logo todo número inteiro irá possuir

um antecessor e um sucessor. Logo está correto.





Josimar Padilha


Questão 131 (IBFC/2011) somando 2,33. e 3,111. podemos dizer que a terça parte dessa

soma vale:

a) 49/ 27

b) 49/ 9

c) 27/ 7

d) 54/ 8

Letra a.

Devemos primeiro descobrir as funções geratrizes dos dois números, ou seja, fragmentando

os números e logo após colocando na forma fracionária para que possamos realizar a soma:

2,333.= 2 + 0,3333.= 2 + 3/9 = 21/9

3,111.= 3 + 0,111. = 3 + 1/9 = 28/9

Somando-se as duas frações, temos que 21/9 + 28/9 = 49/9

A terça parte dessa soma será: 49/9 x 1/3 = 49/27

Questão 132 (2016) Dados os números: a = 0,34; b = 0,4; c = 0,19 e d = 0,312, a diferença entre

o maior desses números e o menor deles é

a) 0,15.

b) 0,21.

c) 0,293.

d) 0,308.

e) 0,31.

Letra b.

Uma maneira simples de trabalharmos com números racionais é transformá-los em fração.

Vejamos:





Josimar Padilha


a = 0,34 = 34/100

b = 0,4 = 4/10

c = 0,19 = 19/100

d = 0,312= 312/1000

Vamos fazer com que todos os números possuam os mesmos denominadores, nesse caso,

multiplicamos o numerador e o denominador pelos mesmos números para que o denominador

seja igual a 1000.

a = 0,34 = 34/100 (x 10) = 340/1000

b = 0,4 = 4/10 (x 100) = 400/1000

c = 0,19 = 19/100 (x 10)= 190/1000

d = 0,312= 312/1000 = (não precisa)

Analisando as frações, temos que o maior número é o “b” e o menor é o “c”.

Questão 133 (2016) Sete amigas foram a um restaurante e dividiram a conta igualmente en-

tre elas.

Entretanto, Mônica esqueceu a carteira em casa e cada uma de suas seis amigas pagou R$

7,25 a mais para cobrir a parte dela.

O valor total da conta foi

a) R$ 261,10.

b) R$ 298,20.

c) R$ 304,50.

d) R$ 326,20.

e) R$ 332,50.

Letra c.

Temos uma questão que envolve números racionais, porém é importante entendermos a lógi-

ca utilizada para que possamos realizar as operações corretas, vamos lá!





Josimar Padilha


A conta seria paga pelas sete amigas, em partes iguais, como uma delas esqueceu a carteira e

foi atribuída a cada uma das presentes o valor de R$7,25, podemos inferir que a parte daquela

que não pagou corresponde a 6 x 7,25 que será igual a 43,5. Como no início todas pagariam a

mesma quantia, a conta total corresponde a 7 x 43,5 que é igual a 304,5.

Questão 134 (2016) Paula escreveu um número inteiro três vezes e um outro número inteiro

quatro vezes. A soma dos sete números é 200 e um dos números é 36.

O outro número é

a) 56.

b) 42.

c) 32.

d) 26

e) 23.

Letra e.

Vamos considerar que um dos números é representado pela letra A e o outro pela letra B.

Teremos:

1ª possibilidade: B +B+B + A + A + A + A = 200

Ou

2ª possibilidade: B +B+B +B +A + A + A = 200

É importante observar que temos 02 possibilidades, porém só será aceita aquela que os núme-

ros sejam inteiros, correto? Sendo assim iremos verificar.

1ª possibilidade: B +B+B + A + A + A + A = 200

A = 36

B +B+B + A + A + A + A = 200

3B + 4(36) = 200

3B = 200 – 144

3B = 56

B= 18,888 (não pertence ao conjunto dos números inteiros).





Josimar Padilha


2ª possibilidade: B +B+B +B + A + A + A = 200

A = 36

4B + 3 A = 200

4B + 3(36) = 200

4B = 200 – 108

4B = 92

B= 92/4

B = 23 (pertence ao conjunto dos números inteiros)

A segunda possibilidade será a correta, ou seja, A = 36 e B = 23.

Questão 135 (2014) Há dez anos, Pedro tinha o triplo da idade de Joana. Se continuarem vi-

vos, daqui a dez anos, Pedro terá o dobro da idade de Joana.

Quando Joana nasceu, Pedro tinha

a) 28 anos.

b) 32 anos.

c) 36 anos.

d) 38 anos.

e) 40 anos.

Letra e.

Temos uma questão na qual iremos trabalhar com números inteiros, o que é importante, uma

vez que acontece muito em concursos públicos, isto é, questões envolvendo idades.

Só calcular na data t = -10

Há dez anos, Pedro tinha o triplo da idade de Joana.

P= 3J (nesse caso, o tempo t = -10)

Se continuarem vivos, daqui a dez anos, Pedro terá o dobro da idade de Joana.

Nesse caso temos o t = +10

P + 20 = (J + 20) * 2 (observar que foi somado 20 (10 + 10)).





Josimar Padilha


Substituindo o P = 3J temos:

3J + 20 = 2J + 40

J = 40 – 20

J = 20

P = 3J

P = 3 * 20

P = 60

Podemos inferir que Joana tem 20 e Pedro tem 60, isto é, t = -10, o que não influencia uma vez

que desejasse saber a idade de Pedro quando Joana nasceu, que é 60 – 20 = 40.

Questão 136 (2014) Somando-se três números inteiros dois a dois, obtêm-se os seguintes

resultados: 12, 26 e 48.

O maior desses três números inteiros é

a) 28.

b) 29.

c) 30.

d) 31.

e) 32.

Letra d.

Vamos construir as possíveis somas dois a dois com os números x, y e z. Dessa forma temos

o sistema de equação:

x + y=12

y +z=26

z +x=48

Somando as três equações, temos:

2x + 2y + 2z = 86

Dividindo toda equação acima por 2, teremos:





Josimar Padilha


2x + 2y + 2z = 86 ( 2)

x + y + z = 43

Se x+y = 12, logo

x + y + z = 43

12 + z = 43

Z = 31

Se y +z=26, logo

x + y + z = 43

x + 26 = 43

X= 17

Se x + y + z = 43, logo

17 + y + 31 = 43

Y = 43 – 17 – 31

Y = -5

Questão 137 (2017) Considere a seguinte expressão numérica:

(11² – 10²) ÷ (3·2·5 – 3²) ÷ 3

O resultado correto é

a) 5/3

b) 4/3

c) 1

d) 2/3

e) 1/3

Letra e.

Além de conhecermos os conjuntos numéricos, é importante também atentarmos para a or-

dem de precedência dos operadores matemáticos, em que além das operações, temos as

chaves, colchetes e chaves. Vejamos a hierarquia e posteriormente a resolução da questão:





Josimar Padilha


1º. Chaves;

2º. Colchetes;

3º Parênteses;

4º Potenciação e Radiciação;

5º Multiplicação e Divisão

6º Soma e Subtração.

Resolvendo temos:

(11² – 10²) ÷ (3·2·5 – 3²) ÷ 3

(121 – 100) ÷ (30 – 9) ÷ 3

(21) ÷ (21) ÷ 3

1 ÷ 3

1/3

Questão 138 (2016) Uma professora tinha certa quantidade de provas para corrigir. Reuniu

todas em uma pasta e iniciou a correção. Corrigiu inicialmente 16 provas e, num segundo mo-

mento, corrigiu 3/4 das restantes. Fez uma pausa e, em seguida, corrigiu as últimas 15 provas,

concluindo o serviço. O número total de provas que estavam na pasta e foram corrigidas pela

professora é

a) 80.

b) 78.

c) 76.

d) 72.

e) 68.

Letra c.

Primeiro momento: 16 provas

Segundo momento: 3/4 do restante que corresponde a 15 provas.

Dessa forma podemos inferir que





Josimar Padilha


Resolvendo a equação:

Somando os dois momentos teremos 16 + 60 = 76 provas.

Questão 139 (BM/2018) Considere o conjunto C dado por C = {2, 4, 8, x, y}, em que x e y são

números inteiros. Sabendo que a soma dos elementos de C resulta em 44 e que o valor de y é

o dobro do valor de x, então a diferença entre y e x, nessa ordem, é igual a

a) 2.

b) 4.

c) 6.

d) 8.

e) 10.

Letra e.

A soma dos elementos do conjunto C: {2 + 4 + 8 + X + Y = 44} e que Y = 2X

Temos que substituindo Y= 2X:

2 + 4 + 8 + X + Y = 44

2 + 4 + 8 + X + 2X = 44

14 + 3 X = 44

3 X = 30

X – = 10 e Y = 2 X = 20

Como queremos Y - X = 20 - 10 = 10

Questão 140 (2018) Uma pessoa possui um móvel com algumas gavetas, e quer colocar em

cada uma delas o mesmo número de blusas. Ao realizar a tarefa percebeu que, colocando 7





Josimar Padilha


blusas em cada gaveta, 3 blusas ficariam de fora, porém, não seria possível colocar 8 blusas

em cada gaveta, pois ficariam faltando 2 blusas na última gaveta. O número total de blusas é

a) 30.

b) 32.

c) 36.

d) 34.

e) 38.

b)

Letra e.

Considerando que o número de gavetas seja representado pela letra “X”. Dessa forma teremos:

Ao realizar a tarefa, percebeu que, colocando 7 blusas em cada gaveta, 3 blusas ficariam

de fora:

7X+3 = número de blusas

Não seria possível colocar 8 blusas em cada gaveta, pois ficariam faltando 2 blusas na última

gaveta:

8X – 2 = número de blusas

Podemos inferir que:

7X+3 =8x – 2

8X – 7X = 3 + 2

X= 5 (número de gavetas)

O número total de blusas é dado por 7X+3 = 7. (5) + 3 =35+3 =38

Ou

O número total de blusas é dado por 8X – 2 = 8. (5) – 2 =40 – 2=38

Fique ligado(a)! Vamos fazer uma questão em seguida para lhe mostrar como é importan-

te sabermos os critérios de divisibilidade, que serão expostos logo em seguida.





Josimar Padilha


Questão 141 (PM-SE/2018) Um número é composto por 3 algarismos sendo que o algarismo

da centena é o 7 e o da unidade é o 4. A soma dos possíveis algarismos da dezena desse nú-

mero de modo que ele seja divisível por 3 é:

a) 15

b) 18

c) 12

d) 9

Letra c.

Os possíveis números que podemos formar com a centena sendo 7 e a unidade sendo 4, de tal

maneira que eles sejam divisíveis por 3, são:

Para que um número seja divisível por 3, a soma dos algarismos do próprio número deve ser

divisível por 3. Logo, nesta questão, o número começa com 7 (centena), termina com 4 (unida-

de) e teremos que encontrar o número “X” da dezena que, somado com o 7 e ao 4, seja divisível

por 3.

Vamos colocar na posição das dezenas os algarismos de 0 a 9 e verificar quais são os núme-

ros que, somados os algarismos, é divisível por 3.

7+ 0 + 4 = 11 (a soma não é divisível por 3)

7+ 1 + 4 = 12(a soma é divisível por 3)

7+ 2 + 4 = 13(a soma não é divisível por 3)









Josimar Padilha





Logo 1 + 4 + 7 = 12

Relembrar! Como saber se é divisível ou não?

Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a

zero. Dessa forma vamos aprender as principais regras de divisibilidade.

1. Divisibilidade por 1: todo número é divisível por 1.

2. Divisibilidade por 2: todo número par é divisível por 2, isto é, todos os números termina-

dos em 0, 2, 4, 6 e 8.

3. Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos

constitui um número divisível por 3.

4. Divisibilidade por 4: se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4,

então o número é divisível por 4. Para ver se os dois últimos algarismos formam um número

divisível por 4, basta verificar se o número é par e sua metade continua par. Os números que

possuem zero nas suas últimas duas casas também são divisíveis por 4.

5. Divisibilidade por 5: todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por 5.

6. Divisibilidade por 6: constitui todos os números divisíveis por 2 e 3 no mesmo instante.

7. Divisibilidade por 7: duplicar o algarismo das unidades e subtrair do resto do número. Se

o resultado for divisível por 7, o número é divisível por 7

8. Divisibilidade por 8: todo número será divisível por 8 quando terminar em 000, ou os

últimos três números forem divisíveis por 8

9. Divisibilidade por 9: é todo número em que a soma de seus algarismos constitui um

número múltiplo de 9.

10. Divisibilidade por 10: todo número terminado em 0 será divisível por 10.

11. Divisibilidade por 11: um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença

entre o último algarismo e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva

até que reste um número com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais

imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555 etc.) são múltiplas de 11.

12. Divisibilidade por 12: são os números divisíveis por 3 e 4.





Josimar Padilha


Porcentagem

É comum o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números

ou quantidades, sempre tomando como referencial 100 unidades.

Exemplos:

Os alimentos tiveram um aumento de 16%.

Significa que em cada R$ 100 houve um acréscimo de R$ 16, 00.

O freguês recebeu um desconto de 12% em todas as mercadorias.

Significa que em cada R$ 100 foi dado um desconto de R$12, 00.

Dos atletas que jogam no Santos, 80% são craques.

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 80 são craques.

razão centesimaL

Toda a razão que tem para consequente (denominador) o número 100, denomina-se razão

centesimal.

Exemplo:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 8%, 34% e 129% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.





Josimar Padilha


Considere o seguinte exemplo:

João pagou uma prestação que corresponde a 50% do seu salário. Sabendo que seu salário é

de 1.200,00 reais, qual o valor pago?

Para solucionar esse problema, devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o seu salário.

Porcentagem

Valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Dada uma razão qualquer denominamos de porcentagem do valor, quando aplicamos

(multiplicamos) o valor pela razão centesimal, vejamos no exemplo abaixo.

Exemplo 01:

Logo, 75 kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

Exemplo 02:

Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 50 faltas, transformando em gols

30% dessas faltas.

Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto, o jogador fez 15 gols de falta.

DICAem matemática, as preposições “de”, “da” e “do” significam

multiplicações.





Josimar Padilha


Fator de muLtiPLicação

É importante entendermos sobre os fatores de multiplicações, tanto quanto a acréscimos,

quanto para descontos, pois, em muitas provas de concursos públicos, acontecem de a banca

examinadora exigir o valor referente ao fator, que pode ser expresso de maneira algébrica.

Dessa forma irei apresentar, de maneira prática, como se encontrar esse fator que também

é responsável para calcular o valor desejado, montante, em juros e valor líquido, em descontos.

Observe a tabela abaixo referente a juros, acréscimo:

Exemplo:

Aumentando 20% no valor de R$ 15,00, temos:

15 x 1,20 = R$ 18,00.

Aumentar 12% no valor de R$ 200,00, temos:

200 x 1,12 = R$ 224,00

Majorar 48% em um capital de R$ 1250,00, temos:

1250 x 1,48 = R$ 1850,00

Observe a tabela abaixo referente a descontos, decréscimos:

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:





Josimar Padilha


Fator de multiplicação = 1 – taxa de desconto (na forma decimal)

Exemplo:

Diminuir 20% no valor de R$ 15,00, temos:

15 x 0,8 = R$ 9,00


900 x 0,65 = R$ 585,00


340,00 x 0,25 = R$ 85,00

Vejamos algumas aplicações:

Questão 142 (2019/PREFEITURA DE ITAPEVI SP/AGENTE DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA)

“Com temperaturas que ultrapassam os 30 °C, a Prefeitura de Tietê, a 150 km de São Paulo,

encontrou uma forma criativa de reduzir o número nos termômetros: usar a cor azul ciano em

pinturas urbanas. Os termômetros constataram a eficiência da técnica: temperaturas passa-

ram de 53,1 para 45,8 graus nos asfaltos pintados da cidade.” (https://notícias.r7.com. Adaptado)

Segundo os dados da notícia, a cor azul utilizada no asfalto diminui a temperatura em, aproxi-

madamente,

a) 7,3%.

b) 11,8%.

c) 12,7%.

d) 13,7%.

e) 15,9%.

Letra d.

Temos que a temperatura inicial é igual a 53,1, ou seja, nosso ponto de partida, que será igual

a 100%.

Temperatura após a pintura é de 45,8.





Josimar Padilha


Agora é só verificar a variação e depois realizar uma regra de três simples, vejamos:

53, 1 – 48,8 = 7,3 (A temperatura diminuiu 7,3 graus após a pintura):

53,1 ______100%

7,3 ______ X%

Aplicando uma regra de três diretamente proporcional, teremos:

53,1. x = 100.7,3

53,1x = 730

x = 730/53,1

x = 13,74%

Meu(minha) querido(a), vamos fazer uma questão com um nível um pouco acima, beleza?

Você é capaz!

Questão 143 (2019/PREFEITURA DE ITAPEVI SP/AUDITOR-FISCAL TRIBUTÁRIO) De acor-

do com o monitoramento por satélites feito pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, de

agosto de 2017 a julho de 2018 foram desmatados 6675 km2 no bioma Cerrado, configurando

uma redução de 11% em relação à área desmatada de agosto de 2016 a julho de 2017 que, por

sua vez, havia apresentado um crescimento de 9% em relação à área desmatada de agosto de

2015 a julho de 2016.

A área desmatada no Cerrado, de agosto de 2015 a julho de 2016 foi de, aproximadamente,

a) 5980 km2.

b) 6250 km2.

c) 6760 km2.

d) 6880 km2.

e) 7170 km2.





Josimar Padilha


Letra d.

Nessa questão é importante observar os referenciais, ou seja, os pontos de partida, aos quais

consideraremos 100%.

Querido(a), de 2017 a 2018, foi desmatado 6675 km2.

De 2016 a 2017, foram desmatados 11% a mais que esse valor, então:

6675 corresponde a 89% de X (que é 100% o valor que queremos saber, por enquanto, nesta

primeira parte)

6675 -----------89%

X -------------- 100%

89 X = 667500

X – = 7500 Km2

Assim encontramos que, de 2016 a 2017, foram desmatados 7500 Km2.

Na segunda parte, a informação que temos é que esse valor (7500) é 9% maior que de 2015

a 2016.

Logo, 7500 é 109 % de Y

7500 -------- 109 %

Y-----------------100%

109 y = 750000

Y= 750000/109

Y= 6.880,733

Questão 144 (2017) Dalva gostaria de ter uma televisão pequena em sua sala e, procurando

em diversas lojas, achou a que queria por R$620,00. Felizmente, no fim de semana, a loja anun-

ciou uma promoção oferecendo 20% de desconto em todos os produtos.

Assim, Dalva pode comprar sua televisão por:





Josimar Padilha


a) R$482,00;

b) R$496,00;

c) R$508,00;

d) R$512,00;

e) R$524,00.

Letra b.

Sabendo que o preço da televisão é de R$ 620,00 e teremos um desconto de 20%, basta multi-

plicarmos pelo fator de multiplicação 0,8.

620 x 0,8 = 496

Questão 145 (2017) O gráfico a seguir mostra a evolução das taxas de analfabetismo desde o

ano de 1900 até o que se espera em 2020.

Observando o gráfico, analise as afirmativas a seguir:

I – A partir de 1950 a taxa já é menor que 60%.

II – As taxas entre 40% e 30% ocorreram entre os anos 1960 e 1980.

III – Estima-se que a taxa em 2020 seja a metade da taxa em 1990.

Está correto o que se afirma em:

a) somente I;

b) somente I e II;

c) somente I e III;





Josimar Padilha


d) somente II e III;

e) I, II e III.

Letra e.

Vamos analisar cada afirmativa:

I – Em 1950, ao realizar a transposição do tempo para porcentagem, passe um traço vertical-

mente, e na intersecção um traço horizontal, o valor do nível de analfabetismo está aproxima-

damente em 53%, e o gráfico em linhas só diminui ao passar dos anos. Afirmação certa.

II – Entre 1960 e 1980: aproximadamente 43 e 27%, respectivamente. Afirmação certa.

III – No ano de 1990, temos 20% e no ano de 2020 temos 10%. Afirmação certa.

Questão 146 (2017) Qual é o dobro de 30 somado a 30% de 150?

a) 60

b) 110

c) 105

d) 210

Letra c.

O dobro de 30 é 2x 30 = 60

30/100 de 150 é (30 x 150) / 100 = 45

Somando, temos: 60 + 45 = 105

Questão 147 (2017) O preço de certo sapato numa sapataria foi aumentado em 50%. Isso fez

as vendas do sapato caírem muito. O comerciante resolveu então voltar ao preço original. Para

tanto, ele deve anunciar que o preço do sapato terá um desconto de aproximadamente:

a) 33%.





Josimar Padilha


b) 42%.

c) 48%.

d) 50%.

e) 60%.

Letra a.

Quando temos apenas valores relativos (porcentagens), é uma boa saída simularmos o valor

de 100. Dessa forma o sapato custa R$ 100,00 reais.

Um produto custa R$100,00 (referencial) e ganha 50% (50 reais de aumento, sobre o valor de

100,00).

Novo valor: R$150,00

Agora ele precisa voltar a custar R$100,00, o seu novo valor é R$ 150,00 (novo referencial –

100%).

Aplicando uma regra de três simples:

R$150 ---- 100%

R$50 --- X%

150 x = 50. 100

X= 5000/150

X=33,3

Questão 148 Em janeiro, uma loja em liquidação decidiu baixar todos os preços em 10%. No

mês de março, frente a diminuição dos estoques a loja decidiu reajustar os preços em 10%. Em

relação aos preços praticados antes da liquidação de janeiro, pode-se afirmar que, no período

considerado, houve

a) um aumento de 0,5%

b) um aumento de 1%

c) um aumento de 1,5%





Josimar Padilha


d) uma queda de 1%

e) uma queda de 1,5%

Letra d.


de 100. Dessa forma os produtos custam R$ 100,00 reais.

Preço inicial (R$100) (-10%) (R$90,00) (+10%) (R$99,00).

É importante observamos que os descontos são realizados sobre os novos valores (novo re-

ferencial).

Se compararmos de R$100,00 para R$99,00, tivemos uma queda de R$1,00. Como simulamos

o valor de 100, a resposta já sai em porcentagem.

Questão 149 Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 80% são amarelos e 20% são

vermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho.

Depois que a doença foi controlada, verificou-se que 60% dos peixes vivos, no aquário, eram

amarelos. Sabendo que nenhuma outra alteração foi feita no aquário, o percentual de peixes

amarelos que morreram foi:

a) 20 %

b) 25 %

c) 37,5 %

d) 62,5 %

e) 75 %

Letra d.


de 100. Dessa forma a quantidade de peixes no aquário é de 100 peixes.





Josimar Padilha


Do total de peixes: 80% são amarelos e 20% são vermelhos, logo, temos:

AMARELOS 80%---------------80 PEIXES

VERMELHOS 20%-------------20 PEIXES

Após a doença, em que só morreram peixes amarelos, temos a seguinte relação:

AMARELOS 60%--------------- x PEIXES

VERMELHOS 40%-------------20 PEIXES (é importante perceber que teremos um novo valor relati-

vo, 40%, isso porque, se a quantidade de peixes amarelos agora é 60%, o que falta para o total

é 40%)

Realizando uma regra de três simples, teremos:

AMARELOS 60%--------------- x PEIXES

VERMELHOS 40%-------------20 PEIXES

40.x = 60 . 20

40. x = 1200

X – = 30 (peixes amarelos vivos)

Se o total de peixes amarelos era igual a 80 e temos 30 vivos, podemos inferir que morreram

50 peixes amarelos.

Agora é calcular a porcentagem de 50 no total de 80.

80---------100%

50-----------x

80 x = 5000

X = 5000/80 = 62,5%

Questão 150 (2017) Em 2015 as vendas de uma empresa foram 60% superiores as de 2014.

Em 2016 as vendas foram 40% inferiores as de 2015. A expectativa para 2017 é de que as ven-

das sejam 10% inferiores as de 2014. Se for confirmada essa expectativa, de 2016 para 2017

as vendas da empresa vão

a) diminuir em 6,25%.

b) aumentar em 4%.

c) diminuir em 4%.





Josimar Padilha


d) diminuir em 4,75%.

e) diminuir em 5,5%.

Letra a.

Em 2014 temos 100%.

Com o aumento de 60%, iremos multiplicar pelo fator de 1,6, logo teremos 100 x 160, que é

igual a 160% em 2015.

Em 2016, com a diminuição de 40%, iremos multiplicar pelo fator de 0,6, logo teremos 160 x

0,6, que é igual a 96% em 2016

Em 2017, com a diminuição de 10%, iremos multiplicar pelo fator de 0,9, logo teremos 100x

0,9=90% em 2017

(2016) 96---------100%

(2017) 90--------- X

96x=9000

X=9000/96

X=93,75%

Dessa forma temos:

100% 2016

93,75% 2017

Realizando a subtração: 2016-2017100-93,75 = 6,25%.

Questão 151 (2017) A empresa Alfa Sigma elaborou uma previsão de receitas trimestrais para

2018. A receita prevista para o primeiro trimestre é de 180 milhões de reais, valor que é 10%

inferior ao da receita prevista para o trimestre seguinte. A receita prevista para o primeiro se-

mestre é 5% inferior à prevista para o segundo semestre. Nessas condições, é correto afirmar

que a receita média trimestral prevista para 2018 é, em milhões de reais, igual a

a) 200.

b) 203.





Josimar Padilha


c) 195.

d) 190.

e) 198.

Letra c.

Sabemos que o ano possui 4 trimestres, totalizando 12 meses. Certo?

Sendo assim, temos:

1º trimestre = 180 milhões

2º trimestre (denominar de x)

180 equivale a (100% – 10%), ou seja, 180 ------- 90%

Se temos:

180 ------- 90%

X – 100%

90x = 18000

x = 18000/90 = 200 milhões

1º semestre = 1º trimestre + 2º trimestre = 180 + 200 = 380 milhões

2º semestre (denominar de y)

380 equivale a (100% – 5%), ou seja, 380 ------95%

380 ------95%

Y --------100%

95 Y = 38000

Y= 400 milhões

Agora vamos calcular a receita média trimestral:

(1º + 2º + 3º + 4º trimestres) / 4

Receita média trimestral = 380 (1º semestre = 1º e 2º trimestre) + 400 (2º semestre = 3º e 4º

trimestre) / 4

Sendo assim, temos: Receita média trimestral = 195 milhões





Josimar Padilha


ProPorcionaLidade (regra de três simPLes e comPosta)

Grandezas são todos os termos pelos quais atribuímos um valor, ou seja, tudo aquilo que é

susceptível de ser aumentado ou diminuído.

Por exemplo: 10 operários constroem 5 casas, trabalhando 7 horas por dia, durante 90 dias.

Encontrar as grandezas é verificar os termos que foram atribuídos valores, nesse exemplo

temos três grandezas: operários, casas e horas por dia.

Essas grandezas se relacionam entre si, podendo ser de maneira direta ou inversa, logo,

regra de três nada mais é que um processo prático para resolver problemas que envolvam

grandezas, desejando determinar uma outra a partir das já conhecidas.

Regra de Três Simples:

Quando são relacionadas apenas 02 grandezas.

Passos Utilizados numa Regra de Três Simples:

1º) Determinar as grandezas.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Colocar os valores, se as grandezas forem diretas, iremos multiplicar cruzado; caso as

grandezas sejam inversas,iremos multiplicar reto. Veja como se faz no esquema para facilitar

as resoluções:

Grandezas Diretamente Proporcionais: são diretamente proporcionais quando as duas

grandezas aumentam ou diminuem na mesma proporção, não esquecer que as grandezas au-

mentam multiplicando e diminuem dividindo. Não temos soma ou subtração. Ok?

Dica: após montar o esquema abaixo, isto é, as grandezas e os respectivos valores, multiplicar cruzado.





Josimar Padilha


Aplicação de uma questão diretamente proporcional. Considero um desafio, vamos lá?

Questão 152 (2019/PREFEITURA DE ITAPEVI SP/AUDITOR-FISCAL TRIBUTÁRIO) Conside-

re um recipiente cúbico e um recipiente com formato de bloco reto retangular, ambos inicial-

mente vazios, cujas medidas das arestas internas estão mostradas nas figuras 1 e 2, respec-

tivamente.

Com vazão constante, uma torneira enche totalmente o recipiente cúbico, sem transbordar,

em 40 minutos. Aberta nas mesmas condições, essa mesma torneira irá encher totalmente o

recipiente com formato de bloco retangular, sem transbordar, em

a) 3 horas e 40 minutos.

b) 3 horas e 20 minutos.

c) 3 horas e 10 minutos.

d) 2 horas e 40 minutos.

e) 2 horas e 20 minutos.





Josimar Padilha


Letra b.

Para facilitar as nossas contas, iremos considerar que o valor da aresta “x” dos cubos são

iguais a 1 unidade de medida.

Figura 1:

Volume: x. x. x

1. 1. 1 = 1 unidade ³

Figura 2:

2,5x. x . 2x

2,5(1). (1). 2(1)

2,5.1. 2 = 5 unidades ³

Realizando uma regra de três simples, teremos:

Y = 200 min, que corresponde a 3h 20 min

Grandezas Inversamente Proporcionais: são inversamente proporcionais quando as duas

grandezas aumentam ou diminuem na mesma proporção, não esquecer que as grandezas au-

mentam multiplicando e diminuem dividindo. Não temos soma ou subtração. Ok?

Dica: após montar o esquema a seguir, isto é, as grandezas e

os respectivos valores, multiplicar de forma linear.





Josimar Padilha


Aplicação de uma questão inversamente proporcional.

Questão 153 (2019/TJ-SP/CONTADOR JUDICIÁRIO) Considere apenas os dados a seguir

para resolver a questão.

Fiz uma viagem que durou 1 hora e 30 minutos, a 60 km/h. Para ter gasto 20% a menos do

tempo de viagem, a minha velocidade deveria ter sido de

a) 70 km/h.

b) 68 km/h.

c) 75 km/h.

d) 72 km/h.

e) 64 km/h.

Letra c.

Primeiramente, vamos transformar 1 hora e 30 minutos em minutos em 90 minutos para que o

tempo esteja em uma mesma unidade de medida, ok?

Assim teremos que em 90 minutos viajo a 60km/h.

Diminuir 20% do tempo corresponde multiplicar por 0,8 (fator de multiplicação para reduzir),

isto é, 90 x 0,8 = 72 minutos. Agora vem a pergunta: qual será minha velocidade?

Se aumento a velocidade, o tempo diminui, logo, as grandezas são INVERSAMENTE proporcio-

nais.





Josimar Padilha


Tempo (min). Velocidade (Km/h)

90.................................60

72...................................x

DICAApós montar o esquema, as grandezas e os respectivos valo-

res, multiplicar de forma linear.

90.60 = 72.x

5400 = 72x

x= 5400/72

x= 75

(PCDF/AGENTE/2013) Considere que a empresa X tenha disponibilizado um aparelho celular a

um empregado que viajou em missão de 30 dias corridos. O custo do minuto de cada ligação,

para qualquer telefone, é de R$ 0,15. Nessa situação, considerando que a empresa tenha esta-

belecido limite de R$ 200,00 e que, após ultrapassado esse limite, o empregado arcará com as

despesas, julgue os itens a seguir.

Questão 154 (PCDF/AGENTE/2013) Se, ao final da missão, o tempo total de suas ligações for

de 20 h, o empregado não pagará excedente.

Certo.

Temos uma questão de grandezas proporcionais, regra de três simples, pois temos apenas

duas grandezas se relacionando.

Nesse caso as duas grandezas são: tempo (minutos) e valor (reais).





Josimar Padilha


Tais grandezas se relacionam de maneira direta, pois quanto mais tempo de ligações tivermos,

maior o valor a ser pago em reais.

Para facilitarmos os cálculos, iremos utilizar o tempo em horas, da seguinte maneira:

O custo do minuto de cada ligação, para qualquer telefone, é de R$ 0,15, logo, ser quisermos

saber o custo a cada hora, basta multiplicarmos 0,15 x 60(minutos) = 9,00 reais a cada hora.

Assim,

Teremos

X – = 20 x 9,0

40X = 180,0

X= 180,00

Questão 155 (PCDF/AGENTE/2013) Se, nos primeiros 10 dias, o tempo total das ligações do

empregado tiver sido de 15 h, então, sem pagar adicional, ele disporá de mais de um terço do

limite estabelecido pela empresa.

Errado.



Nesse caso as duas grandezas são: tempo (minutos) e Valor (reais).

Tais grandezas se relacionam de maneira direta, pois quanto mais tempo de ligações tivermos,

maior o valor a ser pago em reais.








Josimar Padilha


Assim,

Teremos

X – = 15 x 9,0

X – = 135,00

Podemos inferir que 1/3 de 200,00 (valor limite) é igual a 66,66., ou seja, pelos cálculos o em-

pregado ainda pode gastar 65,00, o que não corresponde a mais de um terço do limite estabe-

lecido pela empresa.

Questão 156 (PCDF/AGENTE/2013) Se, ao final da missão, o empregado pagar R$ 70,00 pe-

las ligações excedentes, então, em média, suas ligações terão sido de uma hora por dia.

Certo.

Temos uma questão de grandezas proporcionais, regra de três simples, pois temos apenas 02

(duas) grandezas se relacionando.

Nesse caso as duas grandezas são: tempo (minutos) e valor (reais).

Tais grandezas se relacionam de maneira direta, pois, quanto mais tempo de ligações tiver-

mos, maior o valor a ser pago em reais.




Assim, teremos





Josimar Padilha


9X = 270,00

X – = 30 horas.

Podemos inferir que, se foram gastos 30 horas em um período de 30 dias, logo, em média, suas

ligações terão sido de uma hora por dia.

Questão 157 (TJ-RR/2012). Quando a água no interior da caixa atingiu 3 metros de altura, mais

de 10.000 litros de água haviam sido despejados na caixa.

Errado.



Tais grandezas se relacionam de maneira diretamente proporcional, pois quanto maior a altura,

maior será a capacidade.

Assim, teremos

METROS LITROS

10 ..........30.000

3 .............. x

10x = 90.000

x = 9000 litros

Regra de Três Composta:

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou

inversamente proporcionais.

Para que você entenda de maneira plena essa parte de regra de três composta vamos

aprender um método muito bacana, simples e eficiente.

Nada melhor do que aprender com questões, vejamos:

MÉTODO: CAUSA & CONSEQUÊNCIA





Josimar Padilha


(MI/2013) Determinada construtora emprega 200 empregados na construção de cisternas em

cidades assoladas por seca prolongada. Esses empregados, trabalhando 8 horas por dia, du-

rante 3 dias, constroem 60 cisternas. Com base nessas informações e considerando que todos

os empregados sejam igualmente eficientes, julgue os itens que seguem.

Questão 158 (MI/2013) Se todos os empregados trabalharem 6 horas por dia durante 8 dias,

então, nesse período, eles construirão menos de 110 cisternas.

Errado.

Temos uma questão de grandezas proporcionais, regra de três composta, pois temos mais de

02(duas) grandezas se relacionando.

Nesse caso as grandezas são: empregados, horas/dia, tempo (dias) e cisternas.

Para resolvermos as questões de regra de três compostas, iremos aplicar um método muito

eficiente, prático e rápido, o qual chamaremos de: MÉTODO – CAUSA & CONSEQUÊNCIA.

Primeiramente, devemos saber quem são as causas e quem é a consequência, e para isso,

basta na questão encontrarmos o sujeito (quem pratica a ação) e perguntarmos a ele o que ele

está fazendo, a reposta será a consequência. As demais grandezas serão as causas.

Segundo a questão, temos como sujeito os empregados, o que eles estão fazendo? A resposta

é “cisternas”, logo a consequência será: CISTERNAS.

As causas serão as seguintes grandezas: Empregados, horas/dia, tempo (dias).

Vamos construir um esquema para melhor interpretarmos e realizarmos os cálculos.





Josimar Padilha


Vamos preencher:

Ao preencher os valores, basta apenas multiplicarmos os números seguindo as retas, da se-

guinte forma:

200. 8. 3. x = 200. 6. 8.60

24x = 2880

x= 2880/24

x= 120

É importante ressaltar que não é preciso aquelas setas indicando se as grandezas são inver-

sas ou diretas, quando utilizamos o método causa-consequência, já resolvemos tudo isso.

Para multiplicar os números, não se esqueçam, sigam as setas ilustradas no esquema acima.


então eles construirão, nesse período, mais de 55 cisternas.

Certo.








Josimar Padilha








é “cisternas”, logo a consequência será: CISTERNAS.

As causas serão as seguintes grandezas: empregados, horas/dia, tempo (dias).


Vamos preencher:


guinte forma:

200. 8. 3. x = 200. 12. 2.60

24x = 1440

x= 1440/24

x= 60








Josimar Padilha


Questão 160 (MI/2013) Se, do início do ano até o presente momento, 800 cisternas tiverem

sido construídas, e isso corresponder a 16% do total previsto para o ano, então, para se atingir

a meta do ano, será necessário construir mais 4.200 novas cisternas.

Certo.

Temos uma questão de porcentagem com regra de três simples, pois temos apenas 02(duas)

grandezas se relacionando.

Nesse caso as duas grandezas são: cisternas (valor absoluto) e cisternas (valor relativo).

Tais grandezas se relacionam de maneira direta, pois quanto mais cisternas (valor absoluto),

maior será o valor relativo (porcentagem).

Assim,

Teremos

Cisternas (absoluto) Cisternas (relativo %)

800 ----------------------------------------------------16

x ------------------------------------------------------ 84 (complementar

– o que falta para 100%)

16 x = 800. 84

16 x = 67200

x= 67200/ 16

x= 4200

Questão 161 (MI/2013) Considere que, de 1.250 cisternas construídas, 8% delas tiveram de

ser refeitas por apresentarem defeitos de várias naturezas. Considere, ainda, que, das cister-

nas que apresentaram defeitos, 15% foram refeitas por terem apresentado vazamentos. Em

face dessa situação, é correto afirmar que, das 1.250 cisternas construídas, menos de 1,3%

delas foram refeitas por apresentarem vazamentos.





Josimar Padilha


Certo.

Para essa questão, iremos utilizar como referência o número “100” para facilitarmos os cálcu-

los, uma vez que a afirmação está em porcentagem.

Sendo assim, teremos:

Cisternas: 100

Cisternas com defeitos: 8% de 100 = 8

Das cisternas que apresentaram defeitos, 15% foram refeitas por terem apresentado vazamen-

tos:

15% de 8 = 1,2.

Como simulamos o valor 100, a resposta já sai em porcentagem, 1,2 %.

Questão 162 (MI/2013) Se os empregados trabalharem 8 horas por dia durante 7 dias, eles

construirão, nesse período, mais de 145 cisternas.

Errado.






Primeiramente, devemos saber quem são as causas e quem é a consequência, e, para isso,




é “cisternas”, logo, a consequência será: CISTERNAS.





Josimar Padilha


As causas serão as seguintes grandezas: empregados, horas/dia, tempo (dias).


Vamos preencher:


guinte forma:

200. 8. 3. x = 200. 8. 7.60

24x = 3360

x= 3360/24

x= 140





eles construirão, nesse período, mais de 70 cisternas.





Josimar Padilha


Certo.










é “cisternas”, logo, a consequência será: CISTERNAS.

As causas serão as seguintes grandezas: empregados, horas/dia, tempo (dias)


Vamos preencher:


guinte forma:





Josimar Padilha


200. 8. 3. x = 200. 10. 3.60

24x = 1800

x= 1800/24

x= 75




O item está certo, pois serão construídas mais de 70 cisternas.

Questão 164 Um restaurante “por quilo” apresenta seus preços de acordo com a tabela:

Rodolfo almoçou nesse restaurante na última sexta-feira. Se a quantidade de alimentos que

consumiu nesse almoço custou R$ 21,00, então está correto afirmar que essa quantidade é,

em gramas, igual a

a) 375.

b) 380.

c) 420.

d) 425.

e) 450.

Letra c.



Nesse caso as duas grandezas são: peso (gramas) e valor (reais).





Josimar Padilha


Tais grandezas se relacionam de maneira direta, pois, quanto maior o peso que tivermos, maior

o valor a ser pago em reais.

Assim, teremos

12,5 X = 21 x 250

12,5 X = 5250

X= 5250 / 12,5

X – = 420 g

Questão 165 Com 48 kg de comida estocada, 15 pessoas podem permanecer isoladas duran-

te 28 dias. Considerando que haja proporcionalidade de consumo, com 60 kg de comida esto-

cada, 35 pessoas podem permanecer isoladas durante um número de dias igual a

a) 35.

b) 32.

c) 21.

d) 15.

e) 12.

Letra d.



Nesse caso as grandezas: são pessoas, dias e comida.







Josimar Padilha





Segundo a questão, temos como sujeito as pessoas, o que eles estão fazendo? A resposta é

“comendo comidas”, logo, a consequência será: COMIDA.

As causas serão as seguintes grandezas: PESSOAS E DIAS


Vamos preencher:


guinte forma:

35. X. 48 = 15. 28. 60

1680x = 25200

x= 25200/1680

x= 15 dias


sas ou diretas, quando utilizamos o método causa-consequência já resolvemos tudo isso. Para

multiplicar os números, não se esqueçam, sigam as setas ilustradas no esquema acima.





Josimar Padilha


Questão 166 Sabe-se que 6 máquinas iguais, trabalhando ininterruptamente durante 6 horas

por dia, produzem n unidades de certa peça em 6 dias. Se as mesmas 6 máquinas trabalharem

ininterruptamente durante 8 horas por dia, o número de dias necessários para a produção de n

unidades da mesma peça será reduzido em

a) um dia.

b) um dia e meio.

c) dois dias.

d) dois dias e meio.

e) três dias.

Letra b.



Nesse caso as grandezas: são máquinas, horas/dia, tempo (dias) e unidades.






Segundo a questão, temos como sujeito as máquinas, o que elas estão fazendo? A resposta é

“unidades” de peças, logo, a consequência será: UNIDADES

As causas serão as seguintes grandezas: máquinas, horas/dia, tempo (dias)


Vamos preencher:





Josimar Padilha



guinte forma:

6.8. x. n = 6.6.6.n

48x = 216

x= 216/48

x= 4,5 (quatro dias e meio).

O número de dias necessários para a produção de n unidades da mesma peça será reduzido

em 6 – 4,5 = 1,5 (um dia e meio).

Questão 167 Sandro ajuda uma ONG, acolhendo e alimentando cachorros abandonados de

porte médio em sua chácara até que seja realizada uma feira para adoção. Ele calcula a quan-

tidade de ração necessária para alimentá-los com base no número de cachorros abrigados e

no período de dias até a próxima feira de adoção. Por exemplo, em sua última experiência para

alimentar 18 cães de porte médio durante 40 dias foram necessários 288 kg de ração. Agora,

ele tem sob seus cuidados 15 cães de porte médio que ficarão 60 dias em sua chácara até a

próxima feira. Sendo assim, em comparação a sua última experiência, a quantidade de ração

necessária será

a) a mesma.

b) aumentada em 12 kg.

c) aumentada em 36 kg.

d) aumentada em 72 kg.

e) aumentada em 144 kg.





Josimar Padilha


Letra d.



Nesse caso as grandezas: são cães, dias e ração.






Segundo a questão, temos como sujeito as pessoas, o que elas estão fazendo? A resposta é

“comendo ração”, logo, a consequência será: RAÇÃO.

As causas serão as seguintes grandezas: PESSOAS E DIAS


Vamos preencher:


guinte forma:





Josimar Padilha


18. 40.X = 15. 60. 288

720x = 259200

x= 259200 / 720

x= 360 kg

Agora basta subtrairmos 360 – 288 = 72 kg

Questão 168 Para reformar 40 sofás de um mesmo tipo, 2 trabalhadores com a mesma força

de trabalho precisam de 120 dias. Se um cliente necessitar do mesmo serviço em apenas 30

dias, então é verdade que o número mínimo de trabalhadores, com a mesma força de trabalho

dos 2 já referenciados, necessário para atender a esse cliente, será

a) 2.

b) 4.

c) 6.

d) 8.

e) 10.

Letra d.



Nesse caso as grandezas: são trabalhadores, dias e sofás.






Segundo a questão, temos como sujeito os trabalhadores, o que eles estão fazendo? A respos-

ta é “confeccionando sofás”, logo, a consequência será: SOFÁS.

As causas serão as seguintes grandezas: TRABALHADORES E DIAS






Josimar Padilha


Vamos preencher:


guinte forma:

X – 30. 40 = 2. 120. 40

1200 X = 9600

x= 9600 / 1200

x= 8 trabalhadores

Questão 169 Trabalhando um determinado número de horas por dia, 16 máquinas iguais pro-

duzem 600 unidades de um mesmo produto, em 5 dias. Com o mesmo número de horas di-

árias de trabalho, 4 das mesmas máquinas irão produzir, em 8 dias, um número de unidades

desse produto igual a

a) 180.

b) 240.

c) 300.

d) 420.

e) 560.





Josimar Padilha


Letra b.



Nesse caso as grandezas: são máquinas, dias e unidades.






Segundo a questão, temos como sujeito as máquinas, o que elas estão fazendo? A resposta é

“produzindo unidades”, logo, a consequência será: UNIDADES.

As causas serão as seguintes grandezas: MÁQUINAS E DIAS


Vamos preencher:


guinte forma:

X – 16. 5 = 4. 8. 600





Josimar Padilha


80 X = 19200

x= 19200 / 80

x= 240 UNIDADES

Questão 170 Trabalhando 6 horas por dia, um funcionário de uma empresa levou 14 dias para

fazer a manutenção nos equipamentos. Se ele tivesse trabalhado 7 horas por dia, da mesma

maneira que anteriormente, teria feito essa mesma manutenção em

a) 8 dias.

b) 9 dias.

c) 10 dias.

d) 11 dias.

e) 12 dias.

Letra e.



Nesse caso as grandezas: são funcionário, horas por dia, dias e equipamentos.






Segundo a questão, temos como sujeito o funcionário, o que ele está fazendo? A resposta é

“manutenção de equipamento”, logo, a consequência será: UNIDADES.

As causas serão as seguintes grandezas: FUNCIONÁRIOS, H/D, DIAS.






Josimar Padilha


Vamos preencher: Podemos indicar que temos “n” equipamentos, não irá influenciar no resul-

tado.


guinte forma:

1. 6. 14. n = 1. 7.X. n

84 = 7 X

X = 12

x = 12 dias

Questão 171 No último Natal, do total da população carcerária de certa unidade prisional, 1/5

teve o indulto natalino para sair temporariamente. Desses que saíram, 15% não retornaram à

unidade, o que corresponde a 24 homens. Pode-se dizer que o total da população carcerária

dessa unidade é

a) 600.

b) 800.

c) 540.

d) 480.

e) 640.





Josimar Padilha


Letra b.

Vamos considerar que o número total da população carcerária igual a X.

Se um 1/5 teve o indulto natalino para sair temporariamente, logo temos 1/5 de X = 1/5.X

Se 15% não retornaram à unidade corresponde a 24 homens, então temos:

15% de (1/5. X) = 24

0,15. 1/5X = 24

0,15/ X = 24

X = 24/ 0,15

X = 800

Questão 172 Para executar um determinado serviço em 30 dias, uma firma utiliza 24 funcio-

nários trabalhando 10 horas por dia, todos no mesmo ritmo. Mas, para que esse trabalho seja

executado no mesmo número de dias de modo que os funcionários trabalhem apenas 8 horas

diárias, será preciso contratar mais pessoas. Assim, admitindo-se que os novos contratados

mantenham o mesmo ritmo dos funcionários antigos, será necessária a contratação de mais

a) 6 funcionários.

b) 8 funcionários.

c) 10 funcionários.

d) 12 funcionários.

e) 14 funcionários.

Letra a.



Nesse caso as grandezas: são funcionário, horas por dia, dias e serviço.





Josimar Padilha







Segundo a questão, temos como sujeito os funcionários, o que eles estão fazendo? A resposta

é “determinado serviço”, logo, a consequência será: UNIDADES.

As causas serão as seguintes grandezas: FUNCIONÁRIOS, H/D, DIAS.


Vamos preencher: Podemos indicar que temos “n” equipamentos, não irá influenciar no resul-

tado.


guinte forma:

X – 8. 30. 1 = 24. 10.30. 1

240 X = 7200

X= 30

Será necessária a contratação de mais (30 – 24 = 6 funcionários)

Questão 173 Certo produto foi submetido a um período predeterminado de testes em uma

máquina específica. Operando durante 5 horas e meia por dia, essa máquina completou o ci-





Josimar Padilha


clo necessário de testes em 18 dias. Para completar esse teste em exatamente 12 dias, essa

mesma máquina precisaria trabalhar diariamente durante

a) 8 h 15 min.

b) 8 h 25 min

c) 9 h 30 min

d) 9 h 45 min

e) 10 h 05 min.

Letra a.



Nesse caso as duas grandezas são: tempo e dias

Tais grandezas se relacionam de maneira inversa, pois quanto maior o tempo, menor a quan-

tidade de dias.

Assim,

Teremos

Como as grandezas são inversamente proporcionais, iremos multiplicar reto, e não cruzado.

12 X = 5,5 18

12 X = 99

X= 99/ 12

X – = 8,25 horas, ou seja, 8 horas e 1/ 4 de hora (15 minutos)

X – = 8 horas 15 minutos





Josimar Padilha


Leitura e interPretação de tabeLas e gráFicos

Os gráficos são recursos utilizados para representar um fenômeno que possa ser mensura-

do, quantificado ou ilustrado de forma mais ou menos lógica. Assim como os mapas indicam

uma representação espacial de um determinado acontecimento ou lugar, os gráficos apontam

uma dimensão estatística sobre um determinado fato.

Por esse motivo, interpretar corretamente os gráficos disponibilizados em textos, notícias,

entre outras situações, é de suma importância para compreender determinados fenômenos.

Eles, geralmente, comparam informações qualitativas e quantitativas, podendo envolver tam-

bém o tempo e o espaço.

Existe uma grande variedade de tipos de gráficos, dentre os quais podemos destacar os de

coluna, em barras, pizza, área, linha e rede.

É forma de apresentação dos dados estatísticos, cujo objetivo é o de produzir, no investiga-

dor ou no público em geral, uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo, já que

os gráficos falam mais rápido à compreensão que as séries.

A representação gráfica de um fenômeno deve obedecer a certos requisitos fundamentais

para ser realmente útil:

1. Simplicidade – o gráfico deve ser destituído de detalhes de importância secundária,

assim como de traços desnecessários que possam levar o observador a uma análise morosa

ou com erros;

2. Clareza – o gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valore representati-

vos do fenômeno em estudo;

3. Veracidade – o gráfico deve expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo.

Diagramas

Os diagramas são gráficos geométricos de, no máximo, duas dimensões; para sua constru-

ção, em geral, fazemos uso do sistema cartesiano.





Josimar Padilha


1. Gráficos em Linhas

O gráfico de linha é utilizado para demonstrar uma sequência numérica de um certo dado

ao longo do tempo. É indicado para demonstrar evoluções (ou regressões) que ocorrem em

sequência para que o comportamento dos fenômenos e suas transformações seja observado.

Distribuição residencial da população brasileira em um exemplo de gráfico em linhas

Obs.: � a. São formados por linhas. No eixo horizontal, está a variável tempo.

� b. Permite vários tipos de comparações. Permite estudar a variação de uma variável

com o tempo.

� c. Não permite identificar, facilmente, a continuidade da variação.





Josimar Padilha


O gráfico em linhas constitui uma aplicação do processo de representação das funções

num sistema de coordenadas cartesianas.

Nesse sistema fazemos uso de duas retas perpendiculares: as retas são os eixos coorde-

nados e o ponto de interseção, a origem.

2. Gráficos em Colunas

Juntamente aos gráficos em barra, são os mais utilizados. Indicam, geralmente, um dado

quantitativo sobre diferentes variáveis, lugares ou setores e não dependem de proporções.

Os dados são indicados na posição vertical, enquanto as divisões qualitativas apresentam-se

na posição horizontal.

Gráfico em colunas apontando as maiores populações do mundo por país

Obs.: � a. A altura das barras mostra a frequência. As barras podem ser verticais ou horizon-

tais. Existe um espaço vazio entre as barras.

� b. Permite estabelecer facilmente comparações.

� c. Tem forte impacto visual. Só pode ser usado para transmitir informações simples





Josimar Padilha


É a representação de uma série por meio de retângulos, dispostos verticalmente (em colu-

nas).

Os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados.

Assim estamos assegurando a proporcionalidade entre as áreas dos retângulos e os da-

dos estatísticos.PRODUÇÃO BRASILEIRA DE CARVÃO MINERAL BRUTO – 2010-13

ANOS QUANTIDADE PRODUZIDA (1.000 t)

2010 18.196

2011 11.168

2012 10.468

2013 9.241





Josimar Padilha


Construir o gráfico:

3. Gráficos em Barras

Possuem basicamente a mesma função dos gráficos em colunas, com os dados na posi-

ção horizontal e as informações e divisões na posição vertical.

Os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos são proporcionais aos respectivos

dados.





Josimar Padilha


Assim estamos assegurando a proporcionalidade entre as áreas dos retângulos e os da-

dos estatísticos.

EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS – MARÇO 2014

ESTADOS VALOR (US$ milhões)

São Paulo 1.344

Minas Gerais 542

Rio Grande do Sul 332

Espírito Santo 285

Paraná 250

Santa Catarina 202

Sempre que os dizeres a serem inscritos são extensos, devemos dar preferência ao gráfico

em barras (séries geográficas e específicas). Porém, se ainda assim preferirmos o gráfico em

colunas, os dizeres deverão ser dispostos de baixo para cima, nunca ao contrário.

A ordem a ser observada é a CRONOLÓGICA, se a série for histórica; e a DECRESCENTE, se for

geográfica ou categórica.

A distância entre as colunas (ou barras), por questões estéticas, não deverá ser menor que a

metade nem maior que dois terços da largura (ou altura) dos retângulos.

4. Gráficos em Setores

É um tipo de gráfico, também muito utilizado, indicado para expressar uma relação de

proporcionalidade, em que todos os dados somados compõem o todo de um dado aspecto da

realidade.





Josimar Padilha


Gráfico em setores com a distribuição da água e da água doce no mundo.

Semelhantes aos gráficos de pizza, existem os gráficos circulares.

A lógica é a mesma, a divisão de uma esfera em várias partes para indicar as diferentes

partes de um todo em termos proporcionais.

Esse gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos

ressaltar a participação do dado no total.

O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são as

partes.

Os setores são tais que suas áreas são respectivamente proporcionais aos dados da série.

Obtemos cada setor por meio de uma regra de três simples e direta, lembrando que o total

a série corresponde a 3600.

Um círculo está dividido em setores. A amplitude de cada setor é proporcional à frequência

correspondente.

É útil quando a análise das proporções é mais importante do que o valor real. Tem um forte

impacto visual.

Só deve ser usado quando a variável toma poucos valores. Um só gráfico não permite com-

parar dois grupos de dados.





Josimar Padilha


REBANHO SUÍNO DO SUDESTE DO BRASIL 2000

ESTADOS QUANTIDADE (mil cabeças)

Minas Gerais 3.363,7

Espírito Santo 430,4

Rio de Janeiro 308,5

São Paulo 2.035,9

TOTAL 6.035,9

Construindo o gráfico teremos:

5. Gráficos em Pictograma

Distribuição de Alunos numa Turma





Josimar Padilha


O pictograma constitui um dos processos gráficos que melhor fala ao público, pela sua

forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva. A representação gráfica consta de FIGURAS.

Obs.: � a. Os dados são representados por símbolos ligados ao objeto em estudo.

� b. O gráfico é muito atrativo e de grande impacto visual.

� c. Dá pouca informação e pouca precisão.

6. Polígono de Frequência – Histograma

Um polígono de frequência é um gráfico que se realiza através da união dos pontos mais

altos das colunas num histograma de frequência (que utiliza colunas verticais para mostrar as

frequências).

Os polígonos de frequência para dados agrupados, por sua vez, constroem-se a partir da

marca de classe que coincide com o ponto médio de cada coluna do histograma. Quando são

representadas as frequências acumuladas de uma tabela de dados agrupados, obtém-se um

histograma de frequências acumuladas, que permite dispor em diagrama o seu polígono cor-

respondente.

Vejamos abaixo:

Vejamos algumas questões comentadas:





Josimar Padilha


Questão 174 (SERGIPE GÁS S.A./2013/FCC/ASSISTENTE TÉCNICO ADMINISTRATIVO –

RH) Acerca das Representações Gráficas, considere:

I – Histograma é um gráfico que apresenta a distribuição de frequências de uma variável

por meio de retângulos justapostos, feitos sobre as classes dessa variável, sendo que

a área de cada retângulo é proporcional à frequência observada da correspondente

classe.

II – O gráfico de setores não é adequado para representar variáveis quantitativas.

III – O gráfico de colunas contrapostas (ou opostas) não é adequado para representar variá-

veis quantitativas contínuas.

Está correto o que consta APENAS em

a) I.

b) III.

c) I e II.

d)I e III.

e) II e III.

Letra a.

I – Correto. Diagrama constituído por retângulos ou linhas desenhados a partir de uma linha

de base, em que a posição deles ao longo dessa linha representa o valor ou a amplitude de

uma das variáveis, e a sua altura, o valor correspondente de uma segunda variável. Geralmente

não apresenta escala vertical, somente o eixo horizontal que representa a variável analisada.

A área pode ser calculada em porcentagem. O gráfico é utilizado para amostras grandes e va-

riáveis numéricas.





Josimar Padilha


II – Incorreto. São os representados por círculos divididos proporcionalmente de acordo com

os dados do fenômeno ou do processo a ser representado. Muito utilizado para comparar com

os gráficos em quantidades de colunas.

III – Incorreto. Os gráficos de colunas (ou de barras) também são muito usados para comparar

quantidades. As barras podem aparecer na vertical ou na horizontal oposta ou não, quando

também são chamadas de colunas.

Questão 175 (BANCO DO BRASIL/2013/FCC/ESCRITURÁRIO) O supervisor de uma agência ban-

cária obteve dois gráficos que mostravam o número de atendimentos realizados por funcionários.

O Gráfico I mostra o número de atendimentos realizados pelos funcionários A e B, durante 2

horas e meia.

O Gráfico II mostra o número de atendimentos realizados pelos funcionários C, D e E, durante

3 horas e meia.





Josimar Padilha


Observando os dois gráficos, o supervisor desses funcionários calculou o número de atendi-

mentos, por hora, que cada um deles executou. O número de atendimentos, por hora, que o

funcionário B realizou a mais que o funcionário C é

a) 3.

b) 10.

c) 5.

d) 6.

e) 4.

Letra e.

Questão 176 Preocupado com o horário de maior movimento, que se dá entre meio dia e uma e

meia da tarde, o supervisor colocou esses cinco funcionários trabalhando simultaneamente nesse

período. A partir das informações dos gráficos referentes ao ritmo de trabalho por hora dos funcio-

nários, o número de atendimentos total que os cinco funcionários fariam nesse período é

a) 57.

b) 19.

c) 38.

d) 45.

e) 10.





Josimar Padilha


Letra a.

Questão 177 (METRÔ SP/2012/FCC/ANALISTA DESENVOLVIMENTO GESTÃO JÚNIOR –

MATEMÁTICA/ESTATÍSTICA) A distribuição das medidas dos comprimentos, em metros (m),

dos 400 cabos, em estoque, de uma empresa, está representada pelo histograma abaixo. No

eixo das ordenadas constam as respectivas densidades de frequências, em m-1. Densidade de

frequência de um intervalo de classe é o resultado da divisão da respectiva frequência relativa

pela correspondente amplitude do intervalo.





Josimar Padilha


Considerando que os intervalos de classe são fechados à esquerda e abertos à direita, então

a) 240 cabos possuem um comprimento de, pelo menos, 3 m e inferior a 6 m.

b) 125 cabos possuem um comprimento inferior a 4 m.

c) 90% dos cabos possuem um comprimento inferior a 7 m.

d) a quantidade de cabos com comprimento de, pelo menos, 3 m e inferior a 7 m é igual a 300.

e) a quantidade de cabos com comprimento inferior a 3 m ou comprimento igual ou superior a

7 m é igual a 80.

Letra d.

Questão 178 (2008/CESGRANRIO/CAPES/ASSISTENTE EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA) As

questões de números 41 a 43 são referentes ao Exame Nacional de Desempenho de Estudan-





Josimar Padilha


tes (ENADE), aplicado em 2006 a alunos ingressantes e concluintes de 5.701 cursos, de 1.600

instituições de ensino superior do País.

Para responder às questões de números 42 e 43, considere os gráficos apresentados a seguir,

referentes às respostas dadas por 120.082 ingressantes e 71.508 concluintes de determinada

área à questão que perguntava sobre o meio mais utilizado para se manter atualizado acerca

dos acontecimentos do mundo contemporâneo

Qual o tipo de mídia MENOS utilizado pelos dois grupos de estudantes?

a) Jornais.

b) Revistas.

c) TV.

d) Rádio.

e) Internet.

Letra d.

Basta apenas analisarmos os gráficos. O rádio é o tipo de mídia menos utilizado pelos dois

grupos de estudantes.





Josimar Padilha


Questão 179 (2008/CESGRANRIO/CAPES)

A amplitude do número de bolsas de doutorado oferecidas pela Capes nesse período foi

a) 672.

b) 1.280.

c) 1.298.

d) 2.204.

e) 2.443.

Letra a.

Basta apenas realizarmos: 8.482 – 7.810 = 672.

Observar que os valores correspondem a parte da coluna que está em cinza claro.

Questão 180 (2008/CESGRANRIO/CAPES/ASSISTENTE EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA) Uti-

lize os dados do gráfico a seguir, relativos à Avaliação Trienal dos cursos e programas de pós-

-graduação realizada pela Capes em 2007.





Josimar Padilha


O percentual de programas que tiveram conceito mínimo igual a 4,0 é

a) 15,0%.

b) 28,5%.

c) 32,0%.

d) 34,6%.

e) 65,3%.

Letra e.





Josimar Padilha


Comentário do Desafio

Letra a.

De acordo com a questão, temos as declarações de:

Partindo da contradição das declarações, temos que: “sabendo-se que um e somente um dos

colegas mentiu”, podemos deduzir que a mentira (adotaremos como F) está entre Mara ou

Mário, logo podemos analisar da seguinte forma:

• “Não fui eu nem o Manuel”, disse Marcos. (V)

Sendo verdadeiras as declarações de Marcos, Manuel e Maria, podemos concluir que foi a

Mara que entrou sem pagar, segundo a afirmação de Manuel.

• “Não fui eu nem o Manuel”, disse Marcos. (V)

• “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário. (F)

• “Foi a Mara”, disse Manuel. (V)

• “O Mário está mentindo”, disse Mara. (V)

• “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria. (V)

Um grande abraço do professor Josimar Padilha, valeu!

Bons estudos!





Josimar Padilha


Josimar Padilha

Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas presenciais, telepresenciais e online de Matemática Básica, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para processos seletivos em concursos públicos estaduais e federais. Além disso, é professor de Matemática e Raciocínio Lógico em várias faculdades do Distrito Federal. É servidor público há mais de 20 anos. Autor de diversas obras e palestrante.













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