RACIOCÍNIO LÓGICO TEORIA DOS CONJUNTOS E SENTENÇAS

PRIME EM CASA | TEORIA DOS CONJUNTOS E SENTENÇAS RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS | PROF. PEDRO EVARISTO

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AULA 01

R A C I OC ÍN I O LÓ GI CO

TEORIA DOS CONJUNTOS

E

SENTENÇAS



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AULA 1

TEORIA DOS CONJUNTOS

Podemos dizer que um conjunto é sem dúvida um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo dessa forma o elemento principal da teoria dos conjuntos.

Basicamente, um conjunto é uma coleção de elementos, ou seja, dados agrupados que não levam em conspiração a ordem. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos de um conjunto A, podemos dizer que x pertence ao conjunto A.

Como veremos a segui, além de relacionarmos elemento e conjunto, também é fundamental relacionar conjuntos entre si.

NOMENCLATURA BÁSICA

- conjunto vazio;

- símbolo de união entre dois conjuntos;

- símbolo de intersecção entre dois conjuntos;

- símbolo de pertinência entre elemento e conjunto

- símbolo de inclusão entre dois conjuntos;

- para todo ou qualquer que seja;

- existe pelo menos um.

R - conjunto dos números reais;

Q - conjunto dos números racionais;

Z - conjunto dos números inteiros;

N - conjunto dos números naturais;

QUANTIFICADORES

São elementos que transformam as sentenças abertas em proposições. Eles são utilizados para indicar a quantidade de valores que a variável de uma sentença precisa assumir

para que esta sentença torne-se verdadeira ou falsa e assim gere uma proposição.

TIPOS DE QUANTIFICADORES a) Quantificador existencial:

É o quantificador que indica a necessidade de “existir pelo menos um” elemento satisfazendo a

proposição dada para que esta seja considerada verdadeira.

É indicado pelo símbolo “”, que se lê “existe”, “existe um” ou “existe pelo menos um”. EXEMPLO:

(p) xR / x 3 (q) Existe dia em que não chove.

b) Quantificador universal: É o quantificador que indica a necessidade de termos “todos” os elementos satisfazendo a proposição

dada para que esta seja considerada verdadeira.

É indicado pelo símbolo “”, que se lê “para todo” ou “qualquer que seja”. EXEMPLO:

(m) xR x 5 (Lê-se: “para todo x pertencente aos reais, tal que x é maior ou igual a 5”) (n) Qualquer que seja o dia, não choverá.



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UNIÃO ( )

União de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A, ou ao conjunto B ou a ambos.

INTERSEÇÃO ( )

Interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao mesmo tempo a ambos os conjuntos dados.

DIFERENÇA ( – ) ou COMPLEMENTAR

Diferença entre os conjuntos A e B, nesta ordem, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, porém, não pertencem a B. O conjunto A – B também é chamado de complementar de B e em A, pois é o que falta para B completar o conjunto A.

COMPLEMENTAR EM RELAÇÃO AO UNIVERSO

O complementar de A, é o conjunto de todos os elementos do conjunto universo que não pertencem ao conjunto A.

DIFERENÇA ENTRE UNIÃO E INTERSEÇÃO

A diferença o conjunto união e o conjunto interseção de A e B, resulta nos elemento que pertencem a somente um desses conjuntos, ou seja, pertencem somente ao conjunto A, ou somente ao conjunto B.

EX.: “Pessoas que são

atletas (A), mas não são

baianos (B)”

EX.: “Pessoas que são atletas (A) ou baianos (B)”

(o “ou” não é excludente, portanto isso significa que o conjunto união abrange os

elementos que fazem parte de pelo menos um dos conjuntos)

EX.: “Pessoas que são atletas (A) e são

baianos (B)”

B

A

A B

A B

B

A

A – B

B

A

EX.: “Pessoas que não são atletas (A)”

(Dentre todos os envolvidos, podendo ser, ou não,

baianos)

EX.: “Pessoas que ou são atletas (A), ou são baianos (B)”

(O “ou...ou” é excludente)

(AB) - (AB)

B

A

CA = A

B

A

1o. A B = B A

2o A = A

3o A A = A

4o (A B) C = A (B C)

5o n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)

LINK:

1o A B = B A

2o A =

3o A A = A

4o (A B) C = A (B C)

LINK:



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EXEMPLOS

01. Dentre um grupo de N alunos, que estudam para concursos, sabe-se que: • 40 tem aulas presenciais; • 70 assistem vídeo-aulas; • 20 utilizam os dois métodos; • 10 estudam sozinhos;

Determine o total de alunos do grupo. a) 80 b) 90 c) 100 d) 120 1ª SOLUÇÃO:

O preenchimento deve ser feito a partir do centro.

Sendo n(P V) = 20, temos:

Se n(P) = 40, então 20 estão somente em P.

Se n(V) = 70, então 50 estão somente em V.

Como 10 não estão nem P, nem V, temos N = 20+20+50+10 = 100.

Observe como representar em três diagramas, alguns termos muito usados em provas:

LINK:



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2ª SOLUÇÃO:

Sabendo que

n(PV) = n(P) + n(V) – n(PV) Temos

n(PV) = 40 + 70 – 20

n(PV) = 90

Como 10 não estão nem P, nem V, temos N = 90 + 10 = 100

02. Dentre um grupo de 100 alunos, que estudam para concursos, sabe-se que:

40 tem aulas presenciais;

70 assistem vídeo-aulas;

10 estudam sozinhos, sem aulas;

Determine o número de alunos que utilizam os dois métodos. a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 SOLUÇÃO:

Assim como foi feito na questão anterior, o preenchimento dos diagramas deve ser feito a partir do centro, mas nesse caso, o valor da interseção é justamente o que se pede na questão. Dessa forma, atribuiremos uma variável “x” para a interseção.

n(PV) = x

Logo, temos:

Se n(P) = 40, então 40-x estão somente em P e como

Se n(V) = 70, então 70-x estão somente em V.

Como 10 não estão nem P, nem V, temos

Sendo o total de alunos igual a 100, temos: 40-x + x + 70-x + 10 = 100

Portanto x = 20



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(CESPE) Em um tribunal, todos os 64 técnicos administrativos falam inglês e(ou) espanhol; 42 deles falam inglês e

46 falam espanhol.

03. Nessa situação, 24 técnicos falam inglês e espanhol.

JULGAMENTO: CERTO

Do enunciado, temos:

n(IE) = 64

n(I) = 42

n(E) = 46

Sabendo que

n(IE) = n(I) + n(E) – n(IE) então

64 = 42 + 46 – n(IE)

n(IE) = 88 – 64

n(IE) = 24

04. Podemos afirmar que 18 técnicos falam somente inglês.

JULGAMENTO: CERTO

Dos dados anteriores, temos o diagrama preenchido a partir da interseção de I e E. Portanto, realmente podemos afirmar que 18 falam somente inglês. 05. (IPAD) Em um país estranho sabe-se que as pessoas estão divididas em dois grupos: o grupo dos que têm uma ideia original e o grupo dos que têm uma ideia comercializável. Sabe-se também que 60% das pessoas têm uma ideia original e apenas 50% têm ideias comercializáveis. Podemos afirmar que: a) 15% das pessoas têm ideias originais e comercializáveis. b) 10% das pessoas têm ideias originais e comercializáveis. c) 30% das pessoas têm ideias comercializáveis, mas não originais. d) 70% das pessoas têm ideias originais e não comercializáveis. e) 65% das pessoas têm ideias originais e não comercializáveis. SOLUÇÃO:

Sejam A – grupo dos que têm uma ideia original ; B – grupo dos que têm uma ideia comercializável; Como todas as pessoas (100%) estão em pelo menos um dos grupos (A ou B), temos: Sabendo que

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) 100% = 60% + 50% – x x = 10% portanto 10% das pessoas têm ideias originais e comercializáveis

Resposta: B

I E

22 24 18

A B

x 50% – x 60% – x



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SENTENÇA É uma frase declarativa (afirmativa ou negativa), podendo ser classificada como sentença aberta ou

sentença fechada. Quando a sentença for fechada, ganhará o nome de proposição.

SENTENÇA ABERTA: É aquela frase declarativa na qual não é possível atribuir valor lógico (V ou F), por não termos informações suficientes para defini-la como sendo verdadeira ou falsa.

EXEMPLO:

“X é um número par” (Pode ser VERDADEIRO ou FALSO) “O irmão do meu irmão é meu irmão” (Pode ser VERDADEIRO ou FALSO)

SENTENÇA FECHADA: É aquela frase declarativa que é possível atribuir a ela um valor lógico (V ou F), pois temos informações suficientes para defini-la como sendo verdadeira ou falsa.

EXEMPLO:

“4 é um número par” (VERDADEIRO) “Pelé jogou futebol no Flamengo” (FALSO)

No Português existem vários tipos de frases cuja entoação é mais ou menos previsível, de acordo com o sentido que transmitem. Embora só nos interessem para o raciocínio lógico apenas as frases declarativas, vale a pena distingui-las.

LINK:

DECLARATIVA Esse tipo de frase informa ou declara alguma coisa,

podendo ser afirmativas ou negativas. “Fortaleza é uma cidade grande.” (AFIRMATIVA) “Salvador não é a capital do Brasil.” (NEGATIVA)

INTERROGATIVA

São aquelas que exprimem uma pergunta, podendo ser divididas em direta ou indireta.

“Quantos anos você tem?” (DIRETA) “Diga qual é a sua idade.” (INDIRETA)

EXCLAMATIVA

São frases que exprimem uma emoção, apresentando entoação ligeiramente prolongada. “Que prova difícil!” (ADMIRAÇÃO)

“Você aqui na cidade?!” (SURPRESA)

IMPERATIVA Contém uma ordem, um conselho ou faz um pedido,

utilizando o verbo no modo imperativo. “Vá estudar agora!” (ORDEM)

“Por favor, vá estudar.” (PEDIDO)

OPTATIVA

Essa classificação menos conhecida, ocorre quando se exprime um bom desejo.

“Vá com Deus!” “Tenha um dia feliz.”

IMPRECATIVA

Ainda menos conhecida que a optativa, esse tipo de frase exprime um mau desejo.

“Vai te lascar!” “Eu quero mais é que ela morra!”



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PROPOSIÇÃO SIMPLES

É uma sentença fechada, pois a ela pode ser atribuído um valor lógico: verdadeiro (V) ou falso (F).

EXEMPLO:

A: “Fortaleza é a capital do Ceará” (VERDADE) B: “O Brasil é um país da Europa” (FALSO)

EQUIVALÊNCIA

Duas proposições são ditas equivalentes, quando possuem sempre o mesmo valor lógico,

ou seja, dizemos que A equivale a B, no caso de A ser verdade, B também é verdade, assim como se A é falso, B também é falso. Além disso, temos que A implica em B e que B implica em A ao mesmo tempo.

EXEMPLO: A: “João é culpado” B: “João não é inocente”

NEGAÇÃO

Uma proposição é a negação de outra, quando sempre possui valor lógico contrário, ou seja,

dizemos que A é negação de B, se A é verdade, então B é falso e se A é falso, então B é verdade.

EXEMPLO: AFIRMAÇÕES: NEGAÇÕES: A: “Fortaleza é a capital do Ceará” (VERDADE) ~A: “Fortaleza não é a capital do Ceará” (FALSO) B: “O Brasil é um país da Europa” (FALSO) ~B: “O Brasil não é um país da Europa” (VERDADE)

CUIDADO!

Existe uma tênue diferença entre “Algum” e “Nem todos”, por isso é bom prestar atenção. ALGUM

Significa que pelo menos um, mas pode até ser que todos. NEM TODOS Significa que pelo menos um, mas não todos.

LINK:



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DIAGRAMAS LÓGICOS

Devemos representar proposições simples através de diagramas, sobretudo aquelas que apresentam pronomes indefinidos, tais como: “Nenhum”, “Algum” ou “Todo”.

NENHUM (~)

Não existe interseção entre os conjuntos. Por exemplo, ao dizer que “nenhum A é B”, garante-se que não existe um elemento de A que também esteja em B. Sendo a recíproca verdadeira, ou seja, “nenhum B é A”. EX.:

A: “Nenhum advogado é bancário”

ALGUM ()

Existe pelo menos um elemento na interseção entre os conjuntos, mas não necessariamente todos. Por exemplo, ao dizer que “algum A é B”, garante-se que existe pelo menos um elemento de A que também esteja em B. Sendo a recíproca verdadeira, ou seja, “algum B é A”. EX.: B: “Algum advogado é bancário”

NEGAÇÕES: ~A: “Não é verdade que nenhum advogado é bancário” ~A: “Existe pelo menos um advogado que é bancário”

~A: “Algum advogado é bancário”

ADVOGADOS BANCÁRIOS

ADVOGADOS

BANCÁRIOS

EQUIVALÊNCIAS:

A: “Não existe advogado que seja bancário” A: “Todo advogado não é bancário”

A: “Se ele é advogado, então não é bancário”

NEGAÇÕES: ~B: “Não é verdade que algum advogado é bancário” ~B: “Não existe um advogado que seja bancário”

~B: “Nenhum advogado é bancário”

EQUIVALÊNCIAS:

B: “Pelo menos um advogado é bancário” B: “Existe advogado que é bancário”

B: “Há um advogado que seja bancário”



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TODO ()

Um dos conjuntos é subconjunto do outro. Por exemplo, ao dizer que “todo A é B”, garante-se que se um elemento está em A, então ele também está em B, mas não necessariamente se está em B também estará em A. EX.: C: “Todo advogado e bancário”

LINK:

CERTEZA

100% de chance de acontecer o fato.

PROVÁVEL

Possível e com grande chance de acontecer.

POSSÍVEL

Existe alguma chance de acontecer, seja pequena, média ou grande.

IMPROVÁVEL

Possível, mas com pequena chance de acontecer.

IMPOSSÍVEL

0% de chance de acontecer o fato.

BANCÁRIOS ADVOGADOS NEGAÇÕES: ~C: “Não é verdade que todo advogado é bancário” ~C: “Existe pelo menos um advogado que não é bancário”

~C: “Algum advogado não é bancário”

EQUIVALÊNCIAS:

C: “Nenhum advogado não é bancário” C: “Não existe advogado que não seja bancário”

C: “Se ele é advogado, então é bancário”



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EXERCÍCIOS 01. A equivalência de “Nenhum bandido é honesto” é: a) Ninguém é honesto. b) Todos os bandidos são desonestos. c) Todas as pessoas são honestas. d) Todo bandido é honesto. e) Nenhum cidadão de bem é desonesto.

02. Qual a equivalência de “Todo comerciante é rico”? a) Todo rico é comerciante. b) Todo comerciante não é rico. c) Nenhum comerciante é pobre. d) Algum comerciante não é rico. e) Nenhum comerciante não é rico. 03. Qual a negação da proposição “Alguma lâmpada está acesa”? a) Alguma lâmpada não está acesa. b) Nenhuma lâmpada não está acesa. c) Nenhuma lâmpada está apagada. d) Todas as lâmpadas estão apagadas.

04. Aponte a negação de “Nenhuma cadeira está quebrada”. a) Todas as cadeiras estão quebradas. b) Todas as cadeiras estão concertadas. c) Alguma cadeira está quebrada. d) Alguma cadeira não está quebrada.

05. Qual das proposições a seguir é necessariamente verdadeira, sempre que a proposição P: “Nenhuma porta está aberta” for falsa? a) Todas as portas estão fechadas. b) Todas as portas estão abertas. c) Alguma porta está aberta. d) Alguma porta está fechada. 06. Dadas as proposições: I – Toda mulher é boa motorista. II – Nenhum homem é bom motorista. III – Todos os homens são maus motoristas. IV – Pelo menos um homem é mau motorista. V – Todos os homens são bons motoristas. A negação da proposição (V) é: a) I b) II c) III d) IV e) V

07. Qual é negação da sentença "Os três filhos de Fábio são advogados"? a) Nenhum dos três filhos de Fábio são advogados. b) Pelos menos um dos três filhos de Fábio não é advogado. c) Algum dos três filhos de Fábio é advogado. d) Todos os filhos de Fábio são advogados. e) Todos os três filhos de Fábio não são advogados.



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08. Assinale a alternativa que apresenta uma contradição. a) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano não é espião. b) Nenhum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano. c) Todo espião não é vegetariano e algum vegetariano é espião. d) Algum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano. e) Todo vegetariano é espião e algum espião não é vegetariano. 09. (FCC) Partindo das premissas: (1) Todo advogado é sagaz. (2) Todo advogado é formado em Direito. (3) Roberval é sagaz. (4) Sulamita é juíza.

Pode-se concluir que a) Roberval é advogado. b) Sulamita é sagaz. c) Roberval é promotor. d) Sulamita e Roberval são casados. e) há pessoas formadas em Direito que são sagazes. 10. Das premissas: A: “Nenhum herói é covarde” B: “Alguns soldados são covardes” Pode-se corretamente concluir que: a) Alguns heróis são soldados b) Alguns soldados são heróis c) Nenhum herói é soldado d) Nenhum soldado é herói e) Alguns soldados não são heróis

GABARITO 01. B 02. E

03. D 04. C

05. C 06. D

07. B 08. C

09. E 10. E

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