RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Carlos - · PDF file(ESAF/AFC) Entre os funcionários de um órgão do governo, foi retirada uma amostra de 10 indivíduos. Os números que representam as

RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Carlos

IGEPP – RACIOCÍNIO LÓGICO – ESTATÍSTICA – LISTA 2 1

RACIOCÍNIO LÓGICO / ESTATÍSTICA – LISTA 2

RESUMO TEÓRICO

I. Conceitos Iniciais 1. O desvio médio (DM), é a média aritmética dos desvios de cada dado da amostra em torno do valor médio, isto é x

1

n

ii

x xDM

n=

−=∑

É importante que o valor absoluto ix x− seja utilizado, pois, se assim não fosse, teria-se o somatório dos desvios igual a

zero.

2. Variância: é calculada a partir dos quadrados dos desvios. Quando o interesse é o de tirar inferências válidas para toda a

população a partir de uma amostra (porção representativa da população), deve-se trocar na fórmula da variância N por n-1, onde:

N corresponde ao tamanho da população; e n corresponde ao tamanho da amostra utilizada. As expressões para cálculo das variâncias populacional e amostral são:

Populacional Amostral

Dados não agrupados ( )2

2 1

N

ii

x x

Nσ =

−=∑

( )

2

2 1

1

N

ii

x x

nσ =

−=

−

∑

Dados agrupados em classes ( )2

2 1

N

i ii

x x f

Nσ =

− ⋅=∑

( )

2

2 1

1

N

i ii

x x f

nσ =

− ⋅=

−

∑

Outras formas de apresentar a variância são:

Populacional:

( )( )

2

22 1

N

ii

xx

Nσ == −

∑ ou ( )

( )22

2 1

1

1

N

iNi

ii

xx

N Nσ =

=

= −

∑∑

Amostral:

( )( )

2

22 1

1

N

ii

xn

xn n

σ =

= − −

∑ ou ( )

( )22

2 1

1

1

1

N

iNi

ii

xx

n nσ =

=

= −

−

∑∑



Como a variância é calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um número que apresenta a unidade elevada ao quadrado: isto se torna um inconveniente em termos de interpretação do resultado. Por isso define-se uma nova medida, o desvio-padrão, que é a raiz quadrada da variância. OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Para se usar o desvio padrão ou variância para comparar a variabilidade entre grupos devemos observar as seguintes condições:

� mesmo número de observações � mesma unidade; e � mesma média

Quando as condições não são satisfeitas, devemos expressar a dispersão dos dados em torno da média, em termos percentuais. Utiliza-se então, o coeficiente de variação (CV) que é dado por meio da expressão:

( )100 %s

CVx

= ×

3. Coeficiente de Assimetria de Pearson (AP) Indica o grau de distorção da distribuição em relação à uma distribuição simétrica. É dado por:

( )3 X MEX MOAP

S S

−−= ≅

Interpretação: Se AP = 0, a distribuição é simétrica Se AP > 0, a distribuição é assimétrica positiva Se AP < 0, a distribuição é assimétrica negativa



EXERCÍCIOS PARA DISCUSSÃO E TREINAMENTO

1. Julgue os itens. 1 A soma dos desvios em torno da média é zero. Isto é,

0)( =−∑ xix ;

2 Somando ou subtraindo a mesma quantidade arbitrária de todos os valores da série, a média ficará aumentada ou diminuída dessa mesma quantidade. 3 Multiplicando ou dividindo cada termo de uma série por uma constante, a média ficará multiplicada ou dividida pela constante. 4 A soma dos quadrados dos desvios medidos em relação à média é um mínimo, ou seja, é sempre menor que a soma dos quadrados dos desvios medidos em relação a

outro valor qualquer. Isto é, 2)( xix −∑ é mínima.

2. (FGV/SEFAZ-MS) Assinale as alternativas a seguir, a respeito da média aritmética: I. A soma dos resíduos em relação à média aritmética é sempre igual a zero. II. É em relação à média aritmética que a soma dos valores absolutos dos resíduos é mínima. III. É em relação à média aritmética que a soma dos quadrados dos resíduos é mínima. Assinale: a) se somente a afirmativa II estiver correta. b) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. c) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. e) se todas as afirmativas estiverem corretas. 3. (FCC/SEFAZ) Uma administradora de locação de imóveis, com o objetivo de analisar o mercado em sua região, procedeu às seguintes operações: I. Multiplicou por dois os valores de todos os aluguéis de sua carteira. II. Subtraiu R$ 1.200,00 de cada valor encontrado no item I. III. Dividiu por R$ 1.000,00 cada valor encontrado no item II. IV. Calculou a média aritmética de todos os valores apurados no item III. Se o valor encontrado no item IV foi 3/10, então, a média aritmética dos valores dos aluguéis, em reais, é ¨

a) 2.300 b) 1.700 c) 1.500 d) 1.300 e) 750 4. (CONSULPLAN) A tabela abaixo apresenta uma amostra aleatória do rendimento de funcionários de certa prefeitura:

Com base nestas informações marque a alternativa correta: a) O valor do salário mediano é igual a R$ 2.500,00. b) O valor do 3º quartil do salário é igual a R$ 4.000,00. c) O valor da amplitude interquartílica é igual a R$ 3.000,00. d) O valor do 2º quartil é igual a R$ 1.500,00. e) O valor da média dos salários é igual a R$ 1.500,00. 5. (FAURGS/SEFAZ-RS) Assinale a alternativa que não representa uma propriedade da média aritmética. a) A soma algébrica das diferenças entre cada valor observado e a média aritmética dos valores é nula. b) Somando-se cada elemento de um conjunto de números por um valor constante e arbitrário, a média aritmética fica somada por esta constante. c) A soma dos quadrados dos desvios da média aritmética é mínima com relação à soma dos quadrados dos desvios relativos a qualquer outro valor distinto da média aritmética. d) A média aritmética de um conjunto de números é necessariamente um valor entre o menor (inclusive) e o maior (inclusive) valor observado neste conjunto de números. e) Multiplicando-se cada elemento de um conjunto de números por um valor constante e arbitrário, a média aritmética fica multiplicada pelo quadrado desta constante. 6. (ESAF/ATPS) Uma variável aleatória apresenta distribuição assimétrica positiva. Neste caso, tem-se que a: a) média aritmética é menor do que a moda. b) moda é maior do que a média aritmética. c) média aritmética é maior do que a mediana. d) média aritmética é igual a moda. e) moda é maior do que a mediana.



7. (FCC/BACEN) Em uma distribuição unimodal assimétrica positiva, vale a seguinte relação : a) mediana > moda > média b) moda > mediana > média c) média > mediana > moda d) mediana > moda > mediana e) mediana > média > moda 8. (FGV/BACEN) Em uma distribuição com assimetria negativa, a posição relativa da média aritmética(MA), da mediana (ME) e da moda (MO) é a seguinte: A) MA < ME < MO B) MA > ME > MO C) MA < ME = MO D) MA = ME < MO E) MA = ME = MO 9. (ESAF/TRF) No gráfico abaixo, as colunas representam as frequências relativas do número de aparelhos de rádio por domicílio em uma certa área da cidade:

O exame da forma da distribuição das frequências relativas permite concluir corretamente que, nesse caso, e para essa variável: a) A moda é maior do que a mediana, e a mediana maior do que a média. b) A média é maior do que a moda, e a moda maior do que a mediana. c) A média é maior do que a mediana, e a mediana maior do que a moda. d) A moda é maior do que a média, e a média maior do que a mediana. e) A mediana é maior do que a moda, e a moda maior do que a média. 10. (ESAF/IRB) Sendo a moda menor que a mediana e, esta, menor que a média, pode-se afirmar que se trata de uma curva a) Simétrica. b) Assimétrica, com frequências desviadas para a direita. c) Assimétrica, com frequências desviadas para a esquerda. d) Simétrica, com frequências desviadas para a direita. e) Simétrica, com frequências desviadas para a esquerda.

11. (ESAF/AFRE-MG) No conjunto de dados A={3, 5, 7, 9, 11}, o valor do desvio médio é: a) 2,1; b) 2,4; c) 2,6; d) 2,8; e) 3,1. 12. (ESAF/AFRE-MG) O desvio-padrão do conjunto de dados A={2, 4, 6, 8, 10} é aproximadamente: a) 2,1; b) 2,4; c) 2,8; d) 3,2; e) 3,6. 13. (ESAF/ATRFB) A variância da amostra formada pelos valores 2, 3, 1, 4, 5 e 3 é igual a a) 3. b) 2. c) 1. d) 4. e) 5. 14. (FAURGS/SEFAZ-RS) Considere que o conjunto de números {1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5} é uma amostra aleatória. Os valores para a média aritmética, desvio padrão, mediana e moda (arredondados para a segunda casa decimal quando necessário) deste conjunto de dados são, respectivamente, os números a) 2.0, 1.51, 2 e 4. b) 2.2, 1.23, 2 e 2. c) 2.2, 1.23, 4 e 2. d) 2.2, 1.51, 2 e 2. e) 2.2, 1.51, 2 e 4. 15. (ESAF/AFPS) Dada a sequência de valores 4, 4, 2, 7 e 3 assinale a opção que dá o valor da variância. Use o denominador 4 em seus cálculos. a) 5,5 b) 4,5 c) 3,5 d) 6,0 e) 16,0 16. (ESAF/AFC) Entre os funcionários de um órgão do governo, foi retirada uma amostra de 10 indivíduos. Os números que representam as ausências ao trabalho registradas para cada um deles, no último ano, são: 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6 e 10. Sendo assim, o valor do desvio-padrão desta amostra é:



a) 31/2 b) 91/2 c) 101/2 d) 301/2 17. (ESAF/FISCAL DO TRABALHO) Assinale a afirmação correta: a) a variância é uma medida de posição de um conjunto de dados b) o desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância c) a mediana de um conjunto de dados é o valor que ocorre com maior frequência d) a amplitude de um conjunto de dados é coincidente com seu desvio padrão e) amostra aleatória é o nome dado ao universo que se quer estudar 18. (ESAF/FISCAL DO TRABALHO) Pode-se afirmar que: (A) Se uma distribuição é assimétrica, então a média, a mediana e a moda coincidem. (B) A média aritmética é a medida de tendência central mais utilizada na prática por ser insensível à dispersão dos valores observados. (C) O desvio-padrão tem a mesma unidade de medida da variável original. (D) O histograma relaciona graficamente duas variáveis. (E) O coeficiente de variação é a razão entre a média aritmética e o desvio padrão. 19. (FCC/SEFAZ-SP) Considerando as respectivas definições e propriedades relacionadas às medidas de posição e de variabilidade, é correto afirmar: a) Concedendo um reajuste de 10% em todos os salários dos empregados de uma empresa, tem-se também que a respectiva variância fica multiplicada por 1.10. b) Definindo coeficiente de variação (CV) como sendo o quociente da divisão do desvio padrão pela respectiva média aritmética (diferente de zero) de uma sequência de valores, tem-se então que CV também poderá ser obtido dividindo a correspondente variância pelo quadrado da média aritmética. c) Subtraindo um valor fixo de cada salário dos funcionários de uma empresa, tem-se que o respectivo desvio padrão dos novos valores é igual ao valor do desvio padrão dos valores anteriores. d) Dividindo todos os valores de uma sequência de números estritamente positivos por 4, tem-se que o respectivo desvio padrão fica dividido por 2. e) Em qualquer distribuição de valores em estudo, a diferença entre a mediana e a moda é sempre diferente de zero. 20. (FCC/CÂMARA DOS DEPUTADOS) Considerando as respectivas definições e propriedades das medidas de posição e das medidas de dispersão, é correto afirmar:

a) Um reajuste de 20% em todos os salários dos empregados de uma empresa significa que o respectivo desvio padrão fica aumentado em 44%. b) Adicionando um valor fixo em cada salário dos empregados de uma empresa, tem-se que o respectivo desvio padrão dos novos valores é diferente do desvio padrão dos valores anteriores. c) Dividindo todos os valores de uma sequência de números estritamente positivos por 4, o correspondente coeficiente de variação dos novos valores é igual ao coeficiente de variação dos valores anteriores. d) Multiplicando por 100 todos os valores de uma sequência de números, a dispersão relativa fica multiplicada por 100 e) A variância somente será igual a zero no caso de todos os valores serem nulos 21. (CESPE) Os dados abaixo correspondem às quantidades diárias de merendas escolares demandadas em 10 diferentes escolas: 200, 250, 300, 250, 250, 200, 150, 200, 150, 200. Com base nessas informações, julgue os próximos itens. 1 A mediana da distribuição do número diário de merendas escolares é igual a 225. 2 O desvio padrão amostral dos números diários de merendas escolares é superior a 50. 22. (FCC/MPU) Os salários dos empregados da empresa A são 2% maiores do que os da empresa B, para todos os empregados comparados individualmente. Com base nessa informação podemos afirmar que: a) o desvio padrão dos salários dos empregados é o mesmo para ambas as empresas; b) não há elementos para se compararem os desvios padrões dos salários dessas empresas; c) o desvio padrão dos salários dos empregados da empresa A é dois por cento maior do que o dos salários dos empregados da empresa B; d) o desvio padrão dos salários dos empregados da empresa A é igual ao desvio padrão dos salários dos

empregados da empresa B, multiplicado por( )21,02 .

23. (FCC/BACEN) Com relação às medidas de posição e de dispersão, é correto afirmar: a) Dobrando todos os valores dos salários dos funcionários de uma empresa, tem-se que o salário médio destes funcionários e a respectiva variância também ficam dobrados. b) A diferença entre a variância e o desvio padrão de uma sequência de números é nula somente no caso em que a variância e o desvio padrão são iguais a zero. c) Em qualquer distribuição de valores, a diferença entre a média e a moda é sempre maior ou igual a zero.



d) Multiplicando todos os valores de uma sequência de números positivos por um número positivo tem-se que o respectivo coeficiente de variação não se altera. e) O coeficiente de variação correspondente a uma série de números positivos é igual à divisão do quadrado da respectiva média aritmética pela variância. 24. Realizou-se uma prova de estatística para duas turmas, cujos resultados foram os seguintes:

Turma A: 5 2,5X e S= =

Turma B: 4 2X e S= =

Esses resultados permitem afirmar que: a) a turma B apresenta maior dispersão absoluta; b) a dispersão absoluta é igual para ambas as turmas; c) a dispersão relativa é igual à dispersão absoluta; d) a dispersão relativa e a absoluta para a turma B são iguais; e) a dispersão relativa da turma A é igual à da turma B. 25. (ESAF/ANALISTA RECEITA) Obtenha o valor mais próximo da variância amostral da seguinte distribuição de frequências, onde xi representa o i-ésimo valor observado e fi a respectiva frequência.

xi 5 6 7 8 9 fi 2 6 6 4 3

a) 1,429. b) 1,225. c) 1,5. d) 1,39. e) 1, 4. 26. (ESAF/TRF) Considere os seguintes conjuntos de observações referentes a cinco diferentes variáveis: T: 10; 10; 10; 10; 10; 8 V: 10; 10; 10; 10; 8; 8 X: 10; 10; 10; 8; 8; 8 Y: 10; 10; 8; 8; 8; 8 Z: 10; 8; 8; 8; 8; 8 O conjunto de observações que apresenta a maior variabilidade, medida pelo desvio padrão, é o referente à variável a) Y b) T c) V d) X e) Z 27. (ESAF/MPOG) Considere os seguintes conjuntos de observações referentes a cinco diferentes variáveis: A: { 1, 1, 1, 1, 1, 50 } B: { 1, 1, 1, 1, 50, 50 }

C: {1, 1, 1, 50, 50, 50 } D: { 1, 1, 50, 50, 50 , 50 } E: { 1, 50, 50, 50, 50, 50 } O conjunto de observações que apresenta a maior variabilidade, medida pelo desvio padrão, é o referente à variável: a) A b) B c) C d) D e) E 28. (CESPE/TJDFT)

A tabela acima apresenta a distribuição de freqüência absoluta das notas dadas por 125 usuários de um serviço público, em uma avaliação da qualidade do atendimento. Considerando essas informações, julgue os próximos itens. 1 A média, a moda e a mediana dos valores apresentados na tabela são superiores a 2,8 e inferiores a 3,3. 2 O desvio-padrão das notas apresentadas na tabela é superior a 1,1. 29. (CESPE/MEC) Em uma escola, há 2 mil estudantes distribuídos em 100 turmas: 50 são do turno matutino e as outras 50, do turno vespertino. A figura abaixo representa a distribuição percentual desses estudantes segundo o turno em que estão matriculados.

A média das idades dos estudantes matriculados no turno vespertino é 10% superior à média das idades dos estudantes do turno matutino. A variância das idades daqueles que estudam no turno matutino (2

mσ ) é igual à

variância das idades dos estudantes do turno vespertino ( 2

vσ ). Com base nessas informações, julgue os itens

que se seguem.



1 O número médio de estudantes por turma no turno matutino é 50% maior que o número médio de estudantes por turma no turno vespertino. 2 A média das idades dos dois mil estudantes da referida escola é 4% maior que a média das idades da parcela dos estudantes que estão matriculados no turno matutino. 3 Se a mediana das idades dos 2 mil estudantes da escola em questão for igual a 10 anos, então haverá, pelo menos, 200 estudantes no turno matutino com idades iguais ou inferiores a 10 anos. 30. (FCC/BACEN) Ao comparar as regiões A e B, observa-se que os desvios padrões das rendas familiares são de 600 e 1000 unidades monetárias, respectivamente. Sabendo-se que as rendas familiares médias das regiões A e B são de 6000 e 8000 unidades monetárias, respectivamente, assinale a alternativa correta: a) na região A, a renda está mais uniformemente distribuída do que na região B, pois possui menor desvio padrão. b) na região B, a renda está mais uniformemente distribuída do que na região A, porque sua renda média é superior. c) não se pode comparar a uniformidade das rendas com os dados disponíveis. d) na região B, a renda está mais uniformemente distribuída do que na região A, pois possui um coeficiente de variação menor. e) na região A, a renda está mais uniformemente distribuída do que na região B, pois possui um coeficiente de variação menor. 31. (ESAF/AFC) Seja X uma variável aleatória com média aritmética 10 e desvio-padrão s = 3. Considere as variáveis y = 2x + 1 e z = 2x. A única afirmação errada é: a) as variáveis y e z tem a mesma média aritmética b) o desvio-padrão de y é 6 c) as variáveis y e z têm o mesmo desvio-padrão d) a média de y é 21 e) as variáveis x e z têm o mesmo coeficiente de variação 32. (ESAF/AFRF) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a média amostral M=100 e o desvio padrão S=13 da variável

transformada 200

5

X −. assinale a opção que dá o

coeficiente de variação amostral de X. A) 3,0% B) 9,3% C) 17,0% D) 17,3% E) 10,0%

33. (ESAF/AFRF) O atributo 2

3

XZ

−= tem média

amostral 20 e variância amostral 2,56. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação amostral de X. a) 12,9% b) 50,1% c) 7,7% d) 31,2% e) 10,0% 34. (VUNESP/SEFAZ) Com relação às medidas de tendência central e de dispersão, é correto afirmar que a) multiplicando-se todos os valores de uma determinada sequência de números positivos por um mesmo número, maior que um, o seu respectivo coeficiente de variação aumenta de valor. b) a diferença entre a média aritmética e a mediana de uma sequência de números positivos é sempre maior que a diferença entre a média aritmética e a moda dessa mesma sequência. c) a média harmônica de uma sequência de números positivos é igual à média aritmética dos respectivos inversos destes números. d) em uma sequência de números positivos, produto da média aritmética pelo respectivo coeficiente de variação é igual ao valor do desvio-padrão correspondente. e) a média geométrica de uma sequência de números positivos é sempre maior ou igual à média aritmética destes números. 35. (VUNESP/SEFAZ) Durante cinco meses consecutivos, os rendimentos da bolsa de valores foram iguais a 15%, (-4%), 3%, (-10%) e 6%, respectivamente. Com base, nestes cinco meses, foram calculados o rendimento médio (Retorno Esperado) e o risco, dado pelo desvio padrão amostral. Os resultados foram aproximadamente: a) média = 2% e desvio padrão = 10%. b) média = (-2%) e desvio padrão = 19%. c) média = 2% e desvio padrão = 18%. d) média = 3% e desvio padrão = 12%. 36. (ESAF/AFTN) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória ,de 50 preços ( )iX de ações, tomada numa

bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 4,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,10, 10,10,10,10,10,10,10,11,11,12,12,13,13,14,15,15,15,16, 16,18,23 Os valores seguintes foram calculados para a amostra:

( )22490 66850

ii i

XX e X= − =∑∑ ∑



Asssinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, respectivamente ( com aproximação de uma casa decimal) a) ( 9,0 13,6) b) ( 9,5 14,0) c) (8,0 15,0) d) (8,0 13,6) e) (9,0 14,0)

GABARITO 1. C C C C 2. C 3. E 4. D 5. E 6. C 7. C 8. A 9. C 10. B 11. B 12. C 13. B 14. B 15. C 16. C 17. B 18. C 19. C 20. C 21. E E 22. C 23. D 24. E 25. C 26. D 27. C 28. C E 29. C C C 30. E 31. A 32. B 33. C 34. D 35. A 36. A

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