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Ex: as sequências {3, 6, 9, �2, �5} e {2, 4 , 6 , 8, �0} são diretamente proporcionais, porque quando escritas na forma de razão teremos sempre valores proporcionais
32
64
96
�28
�5�0
= = = = = constante
“Sequências Inversamente Proporcionais” são aquelas na qual o produto formado pelos termos correspondentes é constante.
Ex: as seqüências {�, 2, 3, 5, 6} e {60, 30, 20, �2, �0} são inversamente proporcionais porque o produto formado pelos seus termos correspondentes é sempre o mesmo.
Ou seja: �×60 = 2×30 = 3×20 = 5×�2 = 6×�0 = constante
Divisão em Partes Diretamente ProPorcionais
Ex: dividir o nº 360 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.
Esse número será dividido em três partes que chamaremos de A , B e C, e a soma das partes deverá ser igual a 360:
A + B + C = 360Representando essas divisões na forma de proporções:A B C2 3 5= =
Usando a propriedade 3:
A B C A B C2 3 5 2 3 5
360�0
36= = = + ++ +
= =
Ao resultado dessa divisão chamamos de constante de proporcionalidade.
Para determinar os valores de A , B e C , vamos igualar cada um deles com a constante de proporcionalidade:
A A2
36 36 2 72= ⇒ = × = ; B B3
36 36 3 �08= ⇒ = × = ;
C C5
36 36 5 �80= ⇒ = × =
Divisão em Partes inversamente ProPorcionais
Ex: dividir o número 496 em partes inversamente pro-porcionais aos números 2, 3 e 5.
Esse número será dividido em três partes que chamaremos de A , B e C, e a soma das partes deverá ser igual a 496:
A B C�2
�3
�5
= =
Usando a propriedade 3 após tirar o MMC.A B C A B C
A B C A B C
�2
�3
�5
�530
�030
630
�5 �0 6 �5 �0 64963�
= = ⇒ = = ⇒
= = = + ++ +
= ==�6
W
W
Razões e PRoPoRções
introDUÇão
Quando escrevemos dois números na forma de ab
, com b ≠ 0 ; dizemos que temos uma razão entre eles.
Ao escrever 32
estamos escrevendo a razão entre 3 e 2,
onde a parte de cima é chamada de antecedente e a de baixo de conseqüente.
As razões 25
4�0
6�5
820
, , e são chamadas de razões equi-
valentes porque representam o mesmo valor e 25
é chamada de
forma irredutível porque é a forma mais simplificada possível de se escrever essa razão.
À igualdade de duas razões equivalentes damos o nome de proporção.
Quando escrevemos 25
4�0
= estamos escrevendo uma
proporção que lê-se: 2 está para 5 assim como 4 está para �0. O primeiro e o último termos são chamados de extremos
da proporção (2 e �0 são os extremos).O segundo e o terceiro termos são chamados de meios da
proporção (5 e 4 são os meios).Ao último termo de uma proporção chamamos de quarta
proporcional (no exemplo anterior �0 é a quarta proporcional)Quando o segundo e o terceiro termos são iguais chama-
mos de proporção contínua.24
48
= é uma proporção contínua, e nesse caso o último
termo (8) é chamado de terceira proporcional.
ProPrieDaDes Das ProPorÇões
1. Numa proporção o produto dos meios é igual ao produto
dos extremos: 25
4�0
2 �0 4 5= ⇔ × = ×
2. Uma proporção não se altera ao alternarmos os seus meios, ou os seus extremos:
25
4�0
24
5�0
�05
42
52
�04
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
Nesse caso, toda vez que trocarmos os termos teremos uma nova proporção.
3. Numa proporção, a soma (ou diferença) dos antece-dentes está para a soma (ou diferença) dos conseqüentes assim como cada antecedente está para seu respectivo consequente:
25
4�0
2 45 �0
6�5
= = ++
= e 25
4�0
4 2�0 5
25
= = −−
=
Nesse caso o resultado da soma ou da diferença é um número proporcional às razões dadas.
Chamamos de “Sequências Diretamente Proporcionais” àquelas sequências numéricas nas quais a razão formada pelos seus termos correspondentes é sempre constante.
W
W
CFO / MateMátiCa - COMpleMentO e errata
2Igualando a constante com os valores obtidos depois do
mmc, temos:A�5
A = �5 �6 = 240= ⇒ ×�6
B�0
B = �0 �6 = �60= ⇒ ×�6
C6
C = 6 �6 = 96= ⇒ ×�6
exercícios resolviDos
0�) (FundEp/Aux. Adm./FhEmig/2002) Uma prova de matemática, a razão de número de questões que Talita acertou para o número total de questões foi de 5 para 7. Quantas questões Talita acertou sabendo-se que a prova era composta de 35 questões?a) 2� questões c) 25 questõesb) 24 questões d) 28 questões
resolUÇão
Vamos chamar de C as questões que ela acertou e de T ao total de questões, daí podemos fazer:
CT= 5
7 → veja que ao construir uma proporção deve-
mos conservar a ordem na qual os dados do problema foram fornecidos.
Mas o número total de questões da prova é de 35. Substituir T por 35:
CT
C C= ⇒ = ⇒ = × =57 35
57
35 57
25
Alternativa C
02) (VunEsp/Escrit./pref. Louveira/2007) No �º semestre houve 3 avaliações de matemática, cada uma delas com quantidade diferente de questões. A tabela mostra a quan-tidade de questões que 3 determinados alunos acertaram em cada prova. Os valores são tais que os números de acertos foram proporcionais aos números de questões por prova.
O número de questões que Luana acertou na 3ª prova foi
Aluno Nº de questões por prova
Nº de questões acertadas
Meire 40 25Fran 8 5
Luana �6 x
a) 8. b) 9. c) �0. d) ��. e) �2.
resolUÇão
Como os valores são proporcionais aos números de ques-
tões da prova, podemos escrever que: 2540
58 �6
= = x
Nesse caso, para encontrar o valor de x, basta igualar duas des-
sas razões: 58 �6
8 �6 5 8 80 808
�0= ⇒ = × ⇒ = ⇒ = =x x x x
Alternativa C
W
03) (CEsgrAnrio/Assistente/EpE/2007) Gabriel fez refresco misturando �00 ml de suco concentrado e 500 ml de água. Como o refresco ficou aguado, sua mãe resolveu acrescentar mais suco concentrado à mistura, até que a quantidade de suco correspondesse a �/5 da quantidade de refresco. A mãe de Gabriel precisou acrescentar uma quantidade de suco:a) menor do que 20 ml.b) entre 20 ml e 30 ml. d) entre 40 ml e 50 ml.c) entre 30 ml e 40 ml. e) maior do que 50 ml.
resolUÇão
No início temos �00 ml de suco e 500 ml de água, ou seja, temos 600 ml de refresco. Vamos indicar a quantidade de suco que a mãe acrescentou de x.
Depois de adicionar x ml de suco, a razão entre o suco e o refresco passou a ser �/5:
�00600
�5
++
=xx
→ veja que ao se aumentar a quantidade de
suco, a quantidade de refresco também aumenta.Vamos fazer os cálculos:
�00600
�5
5 �00 600
500 5 600 5 600 500
4
++
= ⇒ × + = + ⇒
+ = + ⇒ − = − ⇒
xx
x x
x x x x
x
( )
== ⇒ = ⇒ =�00 �004
25x x ml
Alternativa B
“O euro, moeda oficial da União Européia, que existe como moeda e cédula desde �º/�/2002, é adotado hoje, por �3 dos 27 Estados-membros. O último Estado-membro a adotar o euro foi a Eslovênia, em �º/�/2007, que estabeleceu a conversão de 239,64 tolares - o tolar era a moeda até então oficial da Eslovênia - para cada euro”
Tendo o texto por referência, julgue o item a seguir:04) ( ) (unB/Escrit./BB/2007 - Alterada) Considere que
o alfa fosse a moeda oficial de um dos 13 Esta-dos-membros que adotaram o Euro como moeda oficial. Considere, ainda, que 6 tolares equivaliam a �� alfas no dia �/�/2007. Nessa situação, nesse mesmo dia, um euro equivalia a mais de 450 alfas.
resolUÇão
A proporção entre tolar e euro é a seguinte:
te= 239 64
�,
Vamos isolar t: t e= ×239 64�
,
A proporção entre tolar e alfa é a seguinte: ta= 6
��Vamos isolar t: t a= 6
��
Como as expressões t e= ×239 64�
, e t a= 6��
são iguais
a t, podemos igualar as duas entre si para poder achar a relação entre euro e alfa:
3
resolUÇão
Vamos chamar a idade atual de Maria de M, sua idade há �0 anos de M – �0 e sua idade daqui a 2 anos de M + 2.
Usaremos uma simbologia semelhante para Rita: R, R – �0 e R + 2.
Há �0 anos: MR−−
=�0�0
43
Daqui há 2 anos: MR++
=22
�09
Vamos multiplicar cruzado e construir duas equações:
MR
M R
M R M R
−−
= ⇒ − = − ⇒
− = − + ⇒ − = −
�0�0
43
3 30 4 40
3 4 40 30 3 4 �0
MR
M R
M R M R
++
= ⇒ + = + ⇒
− = − ⇒ − =
22
�09
9 �8 �0 20
9 �0 20 �8 9 �0 2
Temos então o seguinte sistema de equações:3 4 �09 �0 2M RM R− = −− =
Multiplicar a�ª equação por (– 3)
− + =− =
9 �2 309 �0 2
M RM R
Somando as duas equações, temos:
2 32 322
�6R R R= ⇒ = ⇒ =
Substituir o resultado encontrado na primeira equação:
3 4 �0 3 4 �6 �0
3 64 �0 3 64 �0 543
�8
M R M
M M M
− = − ⇒ − = − ⇒
− = − ⇒ = − ⇒ = =
.
A questão pede a soma das duas idades: �6 + �8 = 34 anos.
Alternativa C
07) (FumArC/iprEm/2007) Na compra de um apartamen-to em sociedade, Letícia investiu R$ 48.000,00 e Gustavo, R$ 42.000,00. Depois de um certo tempo, venderam o imóvel por R$ �20.000,00. Então, a quantia que Gustavo recebeu após a venda foi de:a) R$ 64.000,00. c) R$ 56.000,00.b) R$ 58.000,00. d) R$ 52.000,00.
resolUÇão
Nesse caso temos uma divisão em partes diretamente proporcionais porque quem investiu mais vai receber mais na hora da venda do apartamento.
A soma das partes que os dois vão receber é igual ao valor total, daí podemos escrever:
L + G = �20.000Cada parte é proporcional ao valor investido:
L G48 000 42 000. .
=
239 64�
6��
6�� 239 64
62 636 04
,, . ,
× = × ⇒ = ⇒ =e a ea x
ea
Dividindo a segunda razão por 6, temos:ea= �
439 34,
Ou seja, cada euro corresponde a 439,34 alfas.
resposta: Errado05) (F. C. Chagas/Téc./ TrT/2003) Considere que a carên-
cia de um seguro-saúde é inversamente proporcional ao valor da franquia e diretamente proporcional à idade do segurado. Se o tempo de carência para um segurado de 20 anos, com uma franquia de R$ �.000,00 é 2 meses, o tempo de carência para um segurado de 60 anos com uma franquia de R$ �.500,00 éa) 4 mesesb) 4 meses e meio d) 5 meses e meioc) 5 meses e) 6 meses
resolUÇãoVamos chamar a carência de C, a franquia de F e a idade
do segurado de I. De acordo com o problema teremos:C
FI� ×
→ C é inversamente proporcional a F e diretamente proporcional a I.
Igualar esses valores a uma constante de proporcionali-dade que chamaremos de K.
C
FI
K� ×
=
Pelo enunciado sabemos que quando um segurado tem 20 anos e franquia de R$ �.000,00, sua carência é de dois meses. Substituindo esses valores na proporção acima para encontrar o valor da constante:
K C
FI
=×
=×
= = × = =�
2�
� 00020
220
� 000
2 � 00020
2 00020
�00
. .
. .
Agora vamos igualar a constante com a segunda situação onde temos um segurado de 60 anos e uma franquia de R$ �.500,00:
C
FI
K C C
C
� �� 500
60�00
60� 500
�00
60� 500
�00 6 000� 5
×= ⇒
×= ⇒ = ⇒
= × =
. .
... 000
4= meses
Alternativa A
06) (CEsgrAnrio/Assistente/pref. manaus/2004) Há dez
anos, a razão entre as idades de Maria e Rita era 43
. Daqui
a dois anos, será �09
. O número de anos correspondente à
soma das duas idades é:a) 26 b) 28 c) 34 d) 36 e) 38
4Sabemos que se somarmos antecedentes e conseqüentes ao
mesmo tempo, o resultado será proporcional aos valores iniciais:
L G L G48 000 42 000 48 000 42 000
�20 00090 000
�29
43. . . .
..
= = ++
= = =
Como queremos saber quanto Gustavo recebeu, faremos a igualdade:
G G42 000
43
42 000 43
�68 0003
56 000.
. . .= ⇒ = × = =
Alternativa C08) (FumArC/BhTrAns/2007) A soma de dois números
naturais é �62. O maior está para �3 assim como o menor está para 5. Nessas condições, é incorreto afirmar que:a) o maior número é um número primo.b) a diferença entre os números é 72.c) os dois números são múltiplos de 3.d) o menor número é um múltiplo de 5.
resolUÇão
Vamos chamar esses números de A e B, e como a soma é �62, temos que: A + B = �62.
Supondo que o maior deles seja A, daí podemos construir a proporção:
A B�3 5
=
Usando a propriedade 3:A B A B�3 5 �3 5
�62�8
9= = ++
= =
Igualando as duas razões à constante:
A A�3
9 �3 9 ��7= ⇒ = × =
B B5
9 5 9 45= ⇒ = × =
Verificando as alternativas do exercício observamos que a diferença entre eles é ��7 – 45 = 72
Alternativa B
09) (nCE/Adm./infraero/2004) Flora tem uma pequena loja de produtos naturais e duas funcionárias, Joana e Caro-lina. No mês de julho Flora decidiu dividir um bônus de R$ �60,00 entre as duas funcionárias, de forma que cada uma receberia um valor inversamente proporcional ao número de faltas naquele mês. Carolina faltou 3 vezes e Joana faltou 2. A quantia recebida por Joana, em reais, é igual a: a) 55b) 64 d) 96c) 80 e) �08
resolUÇão
Fazer uma divisão em partes inversamente, sabendo que a soma das partes é igual a �60:
C + J = �60
Como a divisão é inversamente proporcional: C J�3
�2
=
Tirar o mmc dos denominadores e depois cancelá-los
C J C J C J C J�3
�2
26
36
2 3 2 3�60
532= = = = = = +
+= =
Para encontrar o valor recebido por Joana, igualar o valor correspondente a ela com a constante.
J J3
32 3 32 96= ⇒ = × =
Alternativa d
�0) (CEsgrAnrio/Assistente/EpE/2007) Considere um segmento AB com 2 metros de comprimento. Deseja-se colocar um ponto C sobre esse segmento, em uma posição
entre A e B, de tal forma que ABAC
ACBC
= Nessas condi-
ções, AC mede, em metros:
a) ( 5 – �)/2
b) ( 5+ �)/2 d) 5– �
c) 2 5 – 2 e) 5 – 2
resolUÇão
Temos a seguinte situação:A C B
2
Como estamos procurando o valor de AC, vamos chamá-lo de x. Com isso poderemos chamar BC de 2 – x
A C B
2
x 2 – x
Então a proporção ABAC
ACBC
= poderá ser escrita da se-
guinte forma: 2
2xx
x=
−
Vamos multiplicar cruzado2
22 2
4 2 2 4 0
2
2 2
xx
xx x
x x x x
=−
⇒ = × − ⇒
= − ⇒ + − = ⇒
( )
que é uma equação do
segundo grau.
∆ = − = − × × − = + =b ac2 24 2 4 � 4 4 �6 20( )
x ba
= − ± = − ±×
= − ± =
− ± = × − ± = − ±
∆2
2 202 �
2 2 52
2 2 52
2 � 52
� 5
2.
( )
Como um segmento nunca é negativo, somente a raiz positiva será solução do problema: x = − + = −� 5 5 �
Alternativa d
5
RegRa de TRês
introDUÇão
Regra de três é um método para solucionar problemas que contém grandezas, sendo uma grandeza algo que pode ser medido, como, por exemplo, distância, tempo, número de pessoas etc.
Quando o problema possui somente duas grandezas, dizemos que é uma regra de três simples e quando tiver três ou mais grandezas é uma regra de três composta.
A primeira coisa que devemos fazer para resolver um problema de regra de três é verificar se as grandezas são dire-tamente proporcionais ou inversamente proporcionais.
GranDezas Diretamente ProPorcionais São aquelas que se comportam de maneiras iguais (à me-
dida que uma grandeza aumenta a outra também aumenta).
GranDezas inversamente ProPorcionais São aquelas que se comportam de maneiras inversas (à
medida que uma grandeza aumenta a outra diminui).
Ex: vinte funcionários de uma indústria produzem 2.000 peças em 10 dias de trabalho. Em quantos dias 15 funcioná-rios com a mesma eficiência deverão produzir 3.000 peças do mesmo produto?
Nesse caso temos uma regra de três composta, porque há três grandezas; número de peças, dias e número de funcionários.
Inicialmente vamos colocar as grandezas uma sobre a outra representando as duas situações do problema, chamando a incógnita de x.
Funcionários Peças dias 20 2.000 10 15 3.000 x
Para verificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais, escolher uma grandeza para servir de referência. Para ficar mais fácil, essa grandeza sempre será aquela que estamos procurando - nesse exemplo será o número de dias.
Comparar essa grandeza com as outras, mas uma de cada vez, e quando estivermos comparando duas grandezas não vamos nos preocupar com a terceira grandeza.
Comparar número de dias com quantidade de peças produzidas.
Essas duas grandezas são diretamente proporcionais porque para se produzir mais peças são necessários mais dias (uma grandeza aumenta a outra também aumenta).
Comparar agora o número de dias com a quantidade de funcionários.
Essas grandezas são inversamente proporcionais porque quanto mais funcionários estiverem trabalhando gastarão menos dias para fazer um trabalho (quando uma grandeza aumenta a outra diminui).
Construir uma proporção entre as grandezas colocando sempre a grandeza onde estiver a incógnita X de um lado e o produto das outras grandezas do outro lado.
obs: Quando as grandezas forem inversamente proporcionais devemos invertê-las.
�0 2 0003 000
�520x
= ×..
Observando a proporção ao lado vemos que o número de funcionários está inver-tida em relação à situação original.
W
W
W
�0 2 0003 000
�520
�0 30 00060 000
�0 36
3 60 603
20
x x
xx x
= × ⇒ = ⇒
= ⇒ = ⇒ = =
.
...
dias
exercícios resolviDos
01) (UnB/Prof./SEED/PR/2003) Os 33 alunos formandos de uma escola estão organizando a sua festa de formatura e 9 desses estudantes ficaram encarregados de preparar os convites. Esse pequeno grupo trabalhou durante 4 horas e produziu 2.343 convites. Admitindo-se que todos os estudantes sejam igualmente eficientes, se todos os 33 for-mandos tivessem trabalhado na produção desses convites, o número de convites que teriam produzido nas mesmas 4 horas seria igual aa) 7.987. b) 8.591. d) 9.328.c) 8.737. e) 8.926.
resolUÇão
Dados do exercício:Alunos Convites 9 2.343 33 x
Veja que a quantidade de horas não está sendo colocada no problema porque ela não se altera.
Essas grandezas são diretamente proporcionais porque quanto maior for o número de pessoas trabalhando maior será a quantidade de convites produzidos (uma grandeza aumenta então a outra também irá aumentar).
Temos a seguinte proporção:
2 343 933
9 33 2 343
33 2 3439
�� 2 3433
�� 78� 8 59�
. .
. . .
xx
x
= ⇒ = × ⇒
= × = × = × = cconvites
Alternativa B
02) (FUNDEP/Téc./ALMG/2008) João e Antonio têm seus passos aferidos.O passo de Antônio mede 0,90 m e o de João, 1,10 m. Para ir de A até B, um deu 60 passos a mais que o outro. Nessas condições, é correto afirmar que a distância de A até B a) é menor que 260 mb) está entre 260 m e 280 mc) está entre 280 m e 300 md) é maior que 300 m
resolUÇão
Para resolver esse problema vamos indicar por x o número de passos que João deu e por x + 60 o número de passos que Antônio deu (como o passo de Antônio é menor, ele tem que dar mais passos).
Temos:Tamanho passos 0,90 x + 60 1,10 x
W
6Nesse caso as grandezas são inversamente proporcionais,
porque quanto maior for o tamanho do passo, menos passos ele tem que dar para chegar a seu destino.
Vamos inverter uma das grandezas:
0 90� �0 60
� �0 0 90 60
� �0 0 90 54 � �0 0 90
,,
, , ( )
, , , ,
=+
⇒ = × + ⇒
= + ⇒ −
xx
x x
x x x xx
x x
= ⇒
= ⇒ = =
54
0 20 54 540 20
270,,
passos
Acabamos de determinar a quantidade de passos que João deu, mas temos que determinar a distância percorrida por ele. Para isso, basta multiplicar o número de passos pelo tamanho de cada passo:
270 × 1,10 = 297 metrosAlternativa C
03) (CFo/2004) Um cadete do CFO gasta 1h15min para dar 10 voltas na PAM (Pista de Aplicação Militar), com velocidade de 20 km/h. Reduzindo sua velocidade para 18 km/h para fazer o mesmo percurso, ele gastará a mais, o tempo de:a) 8min20s c) 10min b) 9min30s d) 12min15s
resolUÇão
Construir a primeira situação do problema:Tempo (min) voltas velocidade 75 10 20
Veja que passamos o tempo para minutos para facilitar o cálculo. Segunda situação:
Tempo (min) voltas velocidade 75 10 20 x 10 18
Como o nº de voltas é igual, estas não entrarão na reso-lução do exercício.
As grandezas tempo e velocidade são inversamente pro-porcionais porque à medida que a velocidade vai diminuindo o tempo que ele gastará para percorrer o mesmo percurso irá aumentar - temos que inverter uma das grandezas:
75 �820
�8 � 500 � 500�8x
x x= ⇒ = ⇒ =. .
Mas essa divisão não é exata.1500 ÷ 18 = 83 e dá resto 6.
Como dividimos por 18, podemos dizer que o resto é igual
a 6�8
�3
= de minutos, e para transformar em segundos, basta
multiplicar esse valor por 60:
�3
60 603
20× = = segundos
Ele irá gastar 83 minutos e 20 segundos.
Mas a pergunta é quanto ele gastará a mais de tempo, deve-se diminuir o valor inicial ao resultado obtido:
83 min 20 seg – 75 min = 8 min 20 segAlternativa A
04) (CEsgrAnrio/Téc./BndEs/2004) O estoque de pó de café em um escritório é suficiente para seus 16 funcionários durante 62 dias. Depois de �2 dias, passam a trabalhar no escritório mais 4 funcionários. Passados mais �5 dias, �0 funcionários são transferidos para outro escritório. Quantos dias mais durará o estoque de pó de café?a) 23 b) 25 c) 30 d) 35 e) 50
resolUÇão
Situação inicial:
Funcionários dias 16 50
Como se passaram 12 dias, a quantidade de café irá durar para 62 – 12 = 50 dias com a quantidade inicial de funcionários.
Como o número de funcionários aumentou em mais qua-tro, temos na segunda situação 20 funcionários:
Funcionários dias 16 50 20 x
Essas grandezas são inversamente proporcionais porque quanto mais funcionários houver, menos dias o café irá durar (uma grandeza aumenta e a outra diminui). Vamos inverter uma das grandezas:
50 20�6
20 800 80020
40x
x x= ⇒ = ⇒ = = dias
Então agora, o café irá durar mais 40 dias.
Mas vão se passar mais 15 dias - o café irá durar por mais 40 – 15 = 25 dias, quando o número de funcionários irá diminuir de 10, daí teremos:
Funcionários dias 20 25 10 x
As grandezas são inversamente proporcionais:
25 �020
�0 500 500�0
50x
x x= ⇒ = ⇒ = = dias
Alternativa E
05) (nCE/AnA/2002) Suponha que A, B, C, D sejam engrenagens acopladas, com 5, 30, 6 e �0 dentes, res-pectivamente.
A
B
C
D
Se A faz 12 voltas por minuto, então o número de voltas por mi-nuto para D é:
a) 3 b) 4 d) 12c) 6 e) 24
7
resolUÇão
O número de voltas que uma engrenagem dá e o número de dentes que ela possui são grandezas inversamente propor-cionas, porque quando estiverem acopladas cada volta que a engrenagem grande der vai fazer com que a engrenagem pequena dê um número maior de voltas.
Relacionar as engrenagens duas a duas:Engrenagem A com a engrenagem B
Dentes voltas 5 12 30 x
Como as grandezas são inversamente proporcionais, vamos inverter uma das grandezas:
�2 305
30 60 6030
2x
x x= ⇒ = ⇒ = = voltas
Ou seja, enquanto a engrenagem A dá 5 voltas, a engre-nagem B irá dar 2 voltas.
Engrenagem B com engrenagem C:
Dentes voltas 30 2 6 x
As grandezas são as mesmas e continuam sendo inversa-mente proporcionais, daí temos:
2 630
6 60 606
�0x
x x= ⇒ = ⇒ = = voltas
A engrenagem C irá dar 10 voltas.
Engrenagem C com engrenagem D: Dentes voltas 6 10 10 x
As grandezas também são inversamente proporcionais, daí temos:
�0 �06
�0 60 606
6x
x x= ⇒ = ⇒ = = voltas
Alternativa C
06) (CTSP/2006) Paula digita uma apostila em 2 horas, en-quanto Ana o faz em 3 horas. Se Paula iniciar o trabalho, digitando nos primeiros 50 minutos; o tempo necessário para Ana terminar a digitação da apostila é:a) 120 minutos c) 95 minutosb) 90 minutos d) 105 minutos
resolUÇão
Como elas trabalharam separadamente, deve-se primeiro determinar quanto do trabalho foi feito por Paula.
Para fazer o cálculo, vamos trabalhar em minutos, usamos 120 minutos para indicar o tempo que Paula demoraria para fazer uma apostila:
Tempo apostila 120 1 50 x Essas grandezas são diretamente proporcionais porque
quanto menor for o tempo que ela digitar, menor será o número de páginas digitadas (quando uma grandeza diminui a outra também diminui).
Vamos multiplicar cruzado:
�20 50 50�20
5�2
x x= ⇒ = = da apostila.
Então Paula digitou 5
�2. Com isso ficaram faltando
7�2
da
apostila, que será feito por Ana, cuja capacidade de produção é de uma apostila em 3 horas (180 minutos).
Tempo apostila 180 1
x 7
�2As grandezas continuam sendo diretamente proporcionais,
porque são as mesmas da situação anterior.
x = ×7�2
�80 , simplificando 180 e 12 por 12 obtemos;
x = 7 × 15 = 105 minutos Alternativa D
07) (FUMARC/BHTRANS/2007) Uma máquina funcio-nando 6 horas por dia conclui um trabalho de perfuração fazendo 60 furos por minuto durante 10 dias. Se essa máquina for programada para fazer 50 furos por minuto trabalhando 4 horas por dia, a tarefa de perfuração será concluída em:a) 12 dias. c) 18 dias.b) 14 dias. d) 20 dias
resolUÇão
Vamos representar o problema:
Horas/dia furos/min dias 6 60 10 4 50 x
As grandezas horas/dia e dias são inversamente proporcio-nais porque quanto menos horas por dia a máquina trabalhar, mais dias irá gastar para fazer o serviço.
As grandezas furos/min e dias também são inversamente proporcionais porque quanto menos furos a máquina fizer por minuto mais dias ela irá demorar.
As grandezas horas/dia e furos/min devem ser invertidas
�0 46
5060
�0 200360
200 3600
3600200
�8
x xx
x
= × ⇒ = ⇒ = ⇒
= = dias
Alternativa C
08) (VUNESP/Escrevente/TJ/SP/2007) Numa editora, 8 di-gitadores, trabalhando 6 horas por dia, digitaram 3/5 de um determinado livro em 15 dias. Então, 2 desses digitadores foram deslocados para um outro serviço, e os restantes pas-saram a trabalhar apenas 5 horas por dia na digitação desse livro. Mantendo-se a mesma produtividade, para completar a digitação do referido livro, após o deslocamento dos 2 digitadores, a equipe remanescente terá de trabalhar aindaa) 18 dias.b) 16 dias. d) 14 diasc) 15 dias. e) 12 dias.
8
resolUÇão
Na primeira situação temos:
Digitadores horas/dia livro dias 8 6 3/5 15
Na segunda situação teremos 2 digitadores a menos, ou seja, 6 digitadores e, para terminar o livro, ainda faltarão 2/5 do mesmo para fazer.
A nossa montagem fica:
Digitadores horas/dia livro dias 8 6 3/5 15
6 5 2/5 x
As grandezas digitadores e dias são inversamente proporcionais porque quanto menos digitadores estiverem trabalhando, mais dias eles gastarão.
As grandezas horas por dia e dias também são inversa-mente proporcionais porque quanto menos horas eles traba-lharem por dia, mais dias irão gastar.
A grandeza livro (quantidade digitada) e dias são dire-tamente proporcionais porque quanto menos trabalho eles tiverem, menos dias vão gastar.
As grandezas digitadores e horas por dia devem ser invertidas:
�5 68
56
32x
= × ×
Veja que pelo fato dos denominadores serem iguais não será necessário usá-los na hora dos cálculos.
Simplificar o 6 do numerador com o 6 do denominador:
�5 �8
5�
32
�5 �5�6
�6x x
x= × × ⇒ = ⇒ = dias (como os nu-
meradores são iguais, podemos simplificá-los)Alternativa B
09) (F.C.Chagas/TRF/ES/2007) Em uma gráfica, foram impressos 1.200 panfletos referentes à direção defensiva de veículos oficiais. Esse material foi impresso por três máquinas de igual rendimento, em 2 horas e meia de fun-cionamento. Para imprimir 5.000 desses panfletos, duas dessas máquinas deveriam funcionar durante 15 horas,a) 10 minutos e 40 segundosb) 24 minutos e 20 segundosc) 37 minutos e 30 segundosd) 42 minutos e 20 segundose) 58 minutos e 30 segundos
resolUÇão
Representando o problema:
Panfletos máquinas tempo ( segundos ) 1.200 3 9.000 5.000 2 x
Para passar de horas para segundos, basta multiplicar por 3.600 (2,5 × 3.600 = 9.000 seg).
As grandezas panfletos e tempo são diretamente pro-porcionais porque, quanto mais panfletos tiverem que ser impressos, mais tempo vai demorar a impressão.
As grandezas máquinas e tempo são inversamente propor-cionais porque, quanto mais máquinas estiverem trabalhando, menos tempo elas gastarão para fazer a impressão.
Vamos inverter somente a grandeza “máquinas”
9 000 � 2005 000
23
9 000 2 400�5 000
2 400 9 000 �5 00
. ..
. ..
. . .
x x
x
= × ⇒ = ⇒
= × 00
9 000 �5 0002 400
56 250
⇒
= × =x . ..
. segundos
Dividindo por 3.600:
56.250 : 3.600 = 15 horas e sobram 2.250 segundos.
Dividindo o resto por 60:2.250 : 60 = 37 minutos e sobram 30 segundos.
Elas irão demorar 15 horas 37 minutos e 30 segundos
Alternativa C
10) (F.C.Chagas/Téc./TRT/2003) Uma indústria tem 34 máquinas. Sabe-se que 18 dessas máquinas têm todas a mesma eficiência e executam certo serviço em 10 horas de funcionamento contínuo. Se as máquinas restantes têm 50% a mais de eficiência que as primeiras, funcionando ininterruptamente, executariam o mesmo serviço ema) 7 horas e 15 minutos b) 7 horas e 30 minutos d) 8 horas e 20 minutosc) 7 horas e 45 minutos e) 8 horas e 40 minutos
resolUÇão
Para indicar a eficiência das 18 primeiras máquinas, va-mos usar 100%. A partir daí, podemos dizer que as outras 16 máquinas têm uma eficiência de 150% (50% a mais). Então temos:
Máquinas eficiência horas 18 100 10 16 150 x
Vamos analisar as grandezas:
As grandezas quantidades de máquinas e quantidade de horas são inversamente proporcionais, porque quanto mais máquinas estiveram trabalhando, menos tempo elas gastarão para fazer um serviço.
As grandezas eficiência e tempo são inversamente propor-cionais porque quanto maior a eficiência de uma máquina me-nos tempo ela irá gastar para fazer um determinado serviço.
�0 �6�8
�50�00x
= × ⇒ como as grandezas são inversamente pro-
porcionais invertemos as duas na hora de resolver o problema.
�0 �6�8
�50�00
�0 89
32
�0 24�8
24 �80
�8024
7 5
x x
xx
x
= × ⇒ = × ⇒
= ⇒ = ⇒
= = , horaasPara transformar a parte decimal do número em minutos basta multiplicá-lo por 60.
0,5 × 60 = 30 minutos. A resposta é 7 horas e 30 mi-nutos.
Alternativa B
9
PoRcenTagemO que significa um por cento?
Um por cento representa uma parte em cem partes, ou seja quando dizemos um por cento (1%) de duzentos significa que devemos pegar o número duzentos e dividi-lo por cem. O resultado representa �% de duzentos (200:�00=2), então 2 é �% de duzentos.
No caso de 2%, deve-se pegar duas partes, ou seja, 2% de 200 é 4.
Para o cálculo de porcentagem pode-se fazer três tipos de conta:
UsanDo fraÇão
Para isso deve-se escrever uma porcentagem na forma de fração:
�% = ��00
; �2% = �2�00
; �20% = �20�00
.
Calcular 24% de 420:
24�00
420 24 420�00
�0 080�00
�00 80× = × = =. ,
UsanDo reGra De três
A maneira mais usada para o cálculo de porcentagem é através de uma regra de três. Para isso deve-se sempre com-parar um valor a uma porcentagem.
Calcular 35% de 580
Não se pode esquecer que o “total” de alguma coisa será o nosso �00%. Nesse exemplo, o nosso �00% será 580:
580 �00% x 35%
Ou seja, colocar valor embaixo de valor e porcentagem embaixo de porcentagem. Multiplicar cruzado:
�00 580 35 �00 20300 20300�00
203x x x= × ⇒ = ⇒ = =
UsanDo a rePresentaÇão Decimal De Uma PorcentaGem
Por exemplo, ao dizer 10% significa que estamos divi-dindo �0 por �00, que dá como resultado 0,�.
Calcular �0% de �.2000,� × �.200 = �20
exercícios resolviDos
0�) (CEsgrAnrio/guarda port./ro/2007) Em 2006, foram embarcadas, no Porto de Porto Velho, cerca de �9.760 toneladas de madeira a mais do que em 2005, totalizando 46.��0 toneladas. Assim, em relação a 2005, o embarque de madeira aumentou aproximadamente x %. Pode-se concluir que x é igual a:a) 45b) 58 d) 75c) 65 e) 80
W
W
W
W
resolUÇão
Se, em 2.006, foram embarcadas �9.760 toneladas a mais do que em 2.005, iremos determinar a quantidade de madeira embarcada em 2.005 fazendo a diferença:
46.��0 – �9.760 = 26.350 toneladas
Para o cálculo do aumento percentual deve-se considerar a quantidade embarcada em 2.005 como sendo o nosso �00%, daí calculamos a diferença percentual entre 2.005 e 2.006, fazendo:
Toneladas % 26.350 �00 �9.760 x
Multiplicando cruzado, temos:
26350 �00 �9760 �97600026350
75x x= × ⇒ = = %
Alternativa d
02) (F. C. Chagas/soldado/mA/2006) Em dezembro de 2.005, a análise de uma amostra de água de um reser-vatório acusou um aumento de �8% de impurezas, em relação ao mês anterior. Em janeiro de 2.006, analisada outra amostra do mesmo reservatório, observou-se que houve uma redução de 5% de impurezas em relação às detectadas em dezembro. Relativamente ao mês de no-vembro, é correto afirmar que, em janeiro, as impurezas aumentaram ema) �3% b) �2,5% d) �2%c) �2,�% e) ��,8%
resolUÇão
Considerar �00 como sendo a quantidade de impurezas no mês de novembro.
No mês de dezembro, tivemos um aumento de �8% de impurezas:
�8�00
�00 �8× = , dando um total de �00 + �8 = ��8 impurezas.
No mês de janeiro houve uma redução de 5% em relação ao preço de dezembro:
5�00
��8 5 9× = .
Temos ��8 – 5,9 = ��2,� impurezas
De novembro a janeiro tivemos um aumento de ��2,� – �00 = �2,� o que corresponde a �2,�% de �00
Alternativa C03) (nCE/Adm. Finanças/infraero/2004) João constatou
que, no mês de dezembro, a venda de garrafas de água mineral em sua mercearia teve um aumento percentual de �4% com relação ao mês anterior. Sabendo que a mercearia de João vendeu �7� garrafas de água mineral em dezembro e que x representa o número de garrafas de água mineral vendidas em novembro, podemos afirmar que x é um número entre:a) �32 e �39b) �39 e �46 d) �52 e �57c) �46 e �52 e) �57 e �64
�0
resolUÇão
Em dezembro a venda foi de �7� garrafas, e essa quantida-de representa �4% a mais do que em novembro. Pode-se dizer que �7� garrafas corresponde a ��4% da quantidade vendida em novembro (para isso consideramos �00% a quantidade vendida em novembro).
Deve-se resolver a seguinte regra de três:garrafas % �7� ��4 x �00Multiplicando cruzado temos:
��4 �00 �7� �7�00��4
�50x x= × ⇒ = = garrafas
Alternativa C 04) (nCE/AnTT/2005) Um comerciante aumentou o preço
de um certo produto em 30%. Como a venda do produto caiu, o comerciante, arrependido, pretende dar um des-conto no novo preço de modo a fazê-lo voltar ao valor anterior ao aumento. Nesse caso, o comerciante deve anunciar um desconto de, aproximadamente:a) �5%b) �9% d) 28%c) 23% e) 30%
resolUÇão
Supor um preço inicial de R$ �00,00.Inicialmente o comerciante deu um aumento de 30%: 30
�00�00 30× = → o preço do produto passará a ser
de R$ �00,00 + R$ 30,00 = R$ �30,00
Para voltar ao preço original, deve-se retirar os R$ 30,00 de R$ �30,00, mas agora o nosso �00% será R$ �30,00.
R$ %�30 �00 30 xMultiplicando cruzado, temos:
�30 �00 30 3000�30
23x x= × ⇒ = = %
Alternativa C05) (VunEsp/monitor/pref. Louveira/2007) Em uma sala,
75% da área total está livre, isto é, sem móveis ou objetos, e nesse espaço será colocado um tapete de 2,4 m por 2,0 m, que ocupará 40% desse espaço livre. A área total de sala corresponde aa) �6m2 b) �4m2 c) �2m2 d) �0m2 e) 8m2
resolução:Vamos determinar a área do tapete multiplicando suas
duas medidas:A = 2,4 x 2,0 = 4,8m2
Esse valor corresponde a 40% da área livre. Calcular a área livre fazendo:
Área % 4,8 40 x �00Multiplicando cruzado, temos:
40 �00 4 8 48040
�2 2x x m= × ⇒ = =,
Mas a área livre corresponde a 75% da área total. Calcular a área total:
Área % �2 75 x �00Multiplicando cruzado, temos:
75 �00 �2 �20075
�6 2x x m= × ⇒ = =
Alternativa A
06) (CTsp/2006) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista com 30% de desconto sobre o preço da tabela ou no cartão de crédito com �0% de acréscimo sobre o preço de tabela. Um artigo que à vista sai por R$ 7.000,00, no cartão sairá por:a) R$ 7.700,00 c) R$ �3.000,00b) R$ �0.0�0,00 d) R$ ��.000,00
resolUÇãoO preço à vista está com um desconto de 30%, ou seja,
esse valor representa 70% do preço de tabela. Calcular o preço de tabela:
R$ %7.000 70 x �00 Multiplicando cruzado temos:
70 �00 7000 70000070
�0000x x= × ⇒ = =
Ou seja R$ �0.000,00 é o preço de tabela, agora vamos determinar o acréscimo de �0% sobre esse preço:
�0�00
�0000 �000× =
O preço no cartão será de R$ �0.000,00 + R$ �.000,00 = R$ ��.000,00
Alternativa d
07) (FundEp/Aux. Adm./FhEmig/2007) Paulo comprou um aparelho de som e o revendeu com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Nesse caso, o lucro que Paulo obteve sobre o preço de compra é dea) �0% b) 20% c) 25% d) 40%
resolUÇão
Como o lucro foi calculado sobre o preço de venda, vamos considerar esse preço de R$ �00,00, temos um lucro de:
20�00
�00 20× =
Se o lucro foi de R$ 20,00, o preço de custo é dado pela expressão:
Custo + lucro = venda → custo = venda – lucro = �00 – 20 = 80
O preço de custo dessa mercadoria foi de R$ 80,00.Para calcular o percentual de lucro em relação ao custo,
considerar o custo como �00%, daí temos:R$ %80 �0020 xMultiplicando cruzado, temos:
80 �00 20 200080
25x x= × ⇒ = = %
Alternativa C
��08) (CEsgrAnrio/Téc./pETroBrAs/2008) Uma em-
presa tem, em sua tabela de preços de venda de produtos aos clientes, o valor sem desconto (cheio) para pagamento à vista de seus produtos. No mês de janeiro de 2008, a empresa deu aos clientes um desconto de 50% sobre o valor da tabela. Já em fevereiro, o desconto passou a 40%. No mês de fevereiro, comparativamente a janeiro, houve, em relação aos preços,a) aumento de 20%b) aumento de �0% d) redução de 20%c) redução de �0% e) redução de 25%
resolUÇão
Para resolver esta questão, vamos supor um produto cujo preço seja de R$ �00,00.
Em janeiro foi dado um desconto de 50%: 50�00
�00 50× =
Se o desconto foi de R$ 50,00, então ele deverá pagar R$ �00,00 – R$ 50,00 = R$ 50,00.
Em fevereiro foi dado um desconto de 40%: 40�00
�00 40× =
Se o desconto foi de R$ 40,00, então ele deverá pagar R$ �00,00 – R$ 40,00 = R$ 60,00
Vamos, agora, comparar os preços de janeiro e fevereiro. Como se quer saber qual o aumento que houve de janeiro para fevereiro, deve-se considerar o preço de janeiro como sendo �00%.
Determinar a diferença entre os preços: R$ 60,00 – R$ 50,00 = R$ �0,00
Considerando o valor de janeiro como �00%, determinar qual a porcentagem que a diferença entre os preços representa através de uma regra de três:
R$ %50 �00�0 xMultiplicando cruzado, temos:
50 �00 �0 �00050
20x x= × ⇒ = = %
Alternativa A
09) (EsAF/Téc./Cgu/2008) Uma pequena cidade possui �0.000 habitantes, dos quais 40% são produtores rurais e 60% são do sexo masculino. Sabe-se que 40% das mulheres são produtoras rurais. Desse modo, o número de habitantes do sexo masculino e que são produtores rurais é igual a:a) �750b) 2400 d) 3600c) 4000 e) 6000
resolUÇão
Nessa cidade 60% dos habitantes são do sexo masculino:
60�00
�0 000 6 000× =. .
Como o restante é do sexo feminino, temos: �0.000 – 6.000 = 4.000 mulheres
Em que 40% delas são produtoras rurais: 40
�004 000 � 600× =. .
Então �.600 mulheres são produtoras rurais.
Mas no problema foi dito que 40% dos habitantes dessa cidade são produtores rurais:
40�00
�0 000 4 000× =. .
Temos então 4.000 produtores rurais, e �.600 deles são mulheres. O número de homens que são produtores rurais é igual a:
4.000 – �.600 = 2.400Alternativa B
�0) (F. C. Chagas/Téc./TrF/2006) Em agosto de 2.006, Jo-sué gastava 20% de seu salário no pagamento do aluguel de sua casa. A partir de setembro de 2.006, ele teve um aumento de 8% em seu salário e o aluguel de sua casa foi reajustado em 35%. Nessas condições, para o pagamento do aluguel após os reajustes, a porcentagem do salário que Josué deverá desembolsar mensalmente éa) 32,5%b) 30% d) 25%c) 27,5% e) 22,5%
resolUÇão
Vamos supor que o salário de Josué seja de R$ �00,00, daí tem-se que ele pagava de aluguel:
20�00
�00 20× =
Mas o salário dele teve um aumento de 8%8
�00�00 8× =
O novo valor de seu salário é de R$ �00,00 + R$ 8,00 = R$ �08,00
Mas o aluguel teve um aumento de 35%35
�0020 7× =
Daí o novo valor do aluguel será de R$ 20,00 + R$ 7,00 = R$ 27,00.
Determinar qual a porcentagem que o novo aluguel re-presenta do novo salário:
R$ % �08 �00 27 x
Multiplicando cruzado, temos:
�08 �00 27 2700�08
25x x= × ⇒ = = %
Alternativa d
�2��) (FundEp/Auxiliar/FhEmig/2002) Numa loja, o preço
de um produto sofreu dois descontos consecutivos: o pri-meiro de �0% e o segundo de �8%. Qual a porcentagem equivalente se o desconto fosse feito de uma única vez?a) ��,82% b) 26,2% c) �8,8%d) 28%
resolUÇão
Como neste exercício não foi dado o valor do produto, usar R$ �00,00 como referência.
O primeiro desconto foi de �0%:
�0% de �00 é igual a �0�00
�00 �0× =
Diminuir esse valor do valor inicial:R$ �00 – R$ �0 = R$ 90
O segundo desconto irá incidir sobre o valor que sobrou, ou seja, sobre R$ 90,00.
�8�00
90 �620�00
�6 20× = = ,
Descontar esse valor de R$ 90:R$ 90 – R$ �6,20 = R$ 73,80
Após os dois descontos temos R$ 73,80, e para saber a porcentagem de desconto, (se ele fosse feito de uma única vez) basta subtrair R$ 73,80 do valor inicial:
R$ �00,00 – R$ 73,80 = R$ 26,20
Como o nosso valor de referência foi de R$ �00, 00 , então R$ 26,20 irá corresponder a 26,20% desse valor
Alternativa B
�2) (uFg/Bibliotecário/2007) Paulo trabalha em uma em-presa e obteve uma promoção que acarretou um aumento de 20% em seu salário. No mês seguinte, todos os fun-cionários da empresa obtiveram um aumento salarial de �0%. Assim, em relação ao salário antes da promoção, o aumento salarial que Paulo obteve foi dea) 20%.b) 30%.c) 32%.d) 40%.
resolUÇão
Supor um valor para o salário de Paulo, no caso de por-centagem, o melhor valor é R$ �00,00.
Inicialmente calcular 20% de R$ �00,00
20�00
�00 20× =
Somar esse valor ao valor inicial:R$ �00,00 + R$ 20,00 = R$ �20,00
O segundo aumento irá incidir sobre esse novo valor. Calcular então, �0% de R$ �20,00:
�0�00
�20 �2× =
Somando R$ �20,00 com o valor do aumento temos: R$
�20,00 + R$ �2,00 = R$ �32,00. Em relação a R$ �00,00 ele teve um aumento total de R$ 32,00 o que equivale a 32 %.
Alternativa C
�3) (FundEp/Téc./Câm. mun./2004) Antônio comprou um aparelho de televisão, cujo preço à vista é R$ 500,00. Entretanto preferiu fazer o pagamento em duas parcelas iguais. A primeira delas foi paga no ato da compra. Nessa venda, o vendedor cobrou juros de 4% ao mês. Então é correto afirmar que o valor de cada parcela foia) R$ 254,50 b) R$ 254,90c) R$ 255,00 d) R$ 260,00
resolUÇão
Como não sabemos o valor da primeira parcela vamos chamá-la de x.
A segunda parcela será o valor que falta para completar o pagamento depois de pagar a primeira parcela e pode-mos indicá-la por 500 – x, mas essa parcela será acrescida de 4% de juros, então devemos multiplicá-la por �,04.
� 04 �00 4 �00�00
4�00
�04�00
� 04, % % ,= + = + = =
. A segunda
parcela será dada por �,04 (500 – x).
O enunciado diz que as parcelas devem ser iguais:
x x x x
x x x x
= × − ⇒ = − ⇒
+ = ⇒ = ⇒ =
� 04 500 520 � 04
� 04 520 2 04 520 5202 04
, ( ) ,
, ,,
== 254 90,
Alternativa B
�3
JuRos Podemos dizer que juro é o rendimento de uma aplicação
financeira como no caso de uma caderneta de poupança, ou é o valor que você paga pelo empréstimo de um dinheiro como no caso de uma financeira.
Temos dois tipos de juro: simples e composto.
JUro simPles
O sistema de juro simples é aquele em que o rendimento é calculado sobre o capital inicial. Para o cálculo de juro simples
usamos a seguinte fórmula: J C i t= × ×�00
onde : C = capital ou nominal (o valor aplicado ou emprestado ) i = taxa de juro t = tempo de aplicação.
Nessa fórmula, a taxa de juros e o tempo deverão estar na mesma unidade (se a taxa de juros for mensal o tempo tem que estar também em meses).
Montante é o valor final da aplicação, ou seja : M = C + J
JUro comPosto
O sistema de juro composto é calculado sobre o último montante, ou seja, ele é atualizado periodicamente.
Quando trabalhamos com o sistema composto, calculamos o montante da aplicação através da fórmula:
M = C×(�+i)n
Onde n é o tempo da aplicação (número de períodos).Ao trabalhar com esta fórmula, a taxa ficará na sua forma
unitária ou centesimal, ou seja, quando tivermos uma taxa de 2% devemos usar i = 0,02 (2 dividido por �00).
Desconto
Imagine que você tem um título que vence daqui a vários meses mas você está precisando do dinheiro desse título hoje. Você procura uma instituição financeira para descontar esse título. Essa instituição irá descontar o título, mas irá cobrar pelo serviço. O valor cobrado pela instituição é chamado de desconto.
Vamos chamar o valor do título na data de seu vencimento de Valor nominal ou Valor Futuro. O valor que você irá receber nessa operação é chamado de Valor Atual ou Valor presente. O desconto será a diferença entre eles:
D = N – VA
Há duas modalidades de desconto: desconto simples e desconto composto.
dEsConTo simpLEsO desconto simples é aquele calculado usando-se o con-
ceito de juro simples. Existem duas modalidades de desconto simples: comercial e racional. Vamos agora ver como calcular o valor atual nesses dois casos:
W
W
W
desconto comercial simples (por fora)No caso do desconto comercial simples calculamos o
valor presente (atual ) multiplicando o valor nominal pelo fator (�– i×n).
VA = N×(�–i×n)
Em que o desconto é dado por: D = N – VA
Ex:Um título no valor de R$ 20.500,00 é descontado dois
meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que para essa operação foi usada uma taxa de desconto comercial simples de 2% ao mês. Calcule o valor do desconto.
solução:V N i nA = × − = × − × =
× − = ×( . ) . ( , )
. ( , ) . ,� 20 500 � 0 02 2
20 500 � 0 04 20 500 0 96 ==�9 680.D N VA= − = − =20 500 �9 680 820. .
desconto racional simples (por dentro)Neste caso calculamos o valor presente dividindo o valor
Nominal pelo fator (�+ i×n)E o desconto é dado por: D = N – VA
Ex:Um título no valor de R$ 20.500,00 é descontado dois
meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que para essa operação foi usada uma taxa de desconto racional simples de 2% ao mês, calcule o valor do desconto.
resolUÇão
V Ni nA =
+ ×( )�
VA =+
= =20 500� 0 02 2
20 500� 04
�9 7�� 54.( , . )
.,
. ,
D N VA= − = − =20 500 �9 7�� 54 788 46. . , ,
dEsConTo ComposTo
No desconto composto também temos as duas modalida-des, comercial e racional. A diferença é que agora devemos usar o fator de acumulação de capital ( � + i )n para fazer os cálculos.
desconto comercial composto (por fora)
No caso do desconto comercial composto, calculamos o va-lor presente multiplicando o valor nominal pelo fator (�– i)n:
V N iAn= −( )�
Onde o desconto é dado por: D = N – VA
Ex:
Um título no valor de R$ 20.500,00 é descontado dois meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que para essa operação foi usada uma taxa de desconto comercial composto de 2% ao mês, calcule o valor do desconto.
�4solução:
V N iAn= × −( )�
VA = × − = × =20 500 � 0 02 20 500 0 9604 �9 688 202. ( , ) . , . ,
D N VA= − = − =20 500 �9 688 20 8�� 80. . , ,
desconto racional composto (por dentro)Neste caso calculamos o valor presente dividindo o valor
nominal pelo fator de acumulação de capital (ou seja, estamos descapitalizando o valor futuro).
V Ni
A n=+( )�
E o desconto é dado por: D = N – VA
Ex:Um título no valor de R$ 20.500,00 é descontado dois
meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que para essa operação foi usada uma taxa de desconto comercial composto de 2% ao mês, calcule o valor do desconto.
resolUÇão
V Ni
A n=+( )�
VA =+
= =20 500� 0 02
20 500� 0404
�9 703 962.
( , ).
,. ,
D N VA= − = − =20 500 �9 703 96 796 04. . , ,
Resumindo:
Valor Atual Comercial(por fora)
Racional(por dentro)
Simples V N i nA = × − ×( )� V Ni nA =
+ ×( )�
Composto V N iAn= × −( )� V N
iA n=
+( )�
O desconto bancário é o desconto Comercial (poden-do ser simples ou composto) às vezes acrescido de “taxas bancárias”.
exercícios resolviDos
0�) (ConEsuL/Carteiro/sp/2006) Aplicando-se R$ 650,00 durante quinze meses a uma taxa de juros simples de 1,75% ao mês, ao final do período o montante será, em reais, igual aa) 820,62.b) 8�5,75. d) 825,50.c) 8�0,87. e) 830,37.
resolUÇão
Nesse exercício temos: C = 650,00; t = �5 meses e i = �,75% ao mês. Aplicar a fórmula de juro simples:
J C i t= × × = × × = =�00
650 � 75 �5�00
�7 062 50�00
�70 62, . , ,
Como o montante é a soma do capital aplicado com os juros obtidos, temos que:
M = 650,00 + �70,62 = 820,62Alternativa A
W
02) (FumArC/mgi/2004) Uma concessionária vende um automóvel por R$ 22.000,00 à vista. A prazo, vende por R$ 24.975,00, sendo R$ 5.000,00 de entrada e o restante daqui a 5 meses. Na venda a prazo, a taxa de juros simples mensal cobrada foi de:a) 2,5% c) 3,5%b) 3,0% d) 4,0%
resolUÇão
Vamos inicialmente abater a entrada do valor total:
22.000,00 – 5.000,00 = �7.000,00 que é o valor que será financiado.
O valor a prazo que o automóvel será vendido é de R$ 24.975,00, abatendo a entrada temos:
R$ 24.975,00 – 5.000,00 = �9.975,00
O que nós dá um total de juros cobrados de �9.975,00 – �7.000,00 = 2.975,00
Aplicar a fórmula de juros simples sabendo que o prazo em que será efetuado o pagamento é de 5 meses:
J C i t i i
i
= × × ⇒ = × × ⇒ = × ⇒
= =
�002 975 �7 000 5
�002 975 850
2 975850
3 5
. . .
. , % ao mês
Alternativa C
03) (VunEsp/Oficial/MPE/SP/2006) Um certo capital foi aplicado a juro simples durante 8 meses, gerando um montante de R$ 9.600,00. Esse montante foi novamente aplicado por mais 4 meses, à mesma taxa de juro da aplicação anterior e gerou R$ 960,00 de juros. O capital inicialmente aplicado foia) R$ 7.000,00.b) R$ 7.500,00. d) R$ 7.900,00.c) R$ 7.800,00. e) R$ 8.000,00.
resolUÇão
Para resolver essa questão, fazer a parte final primeiro, em que temos: J = 960,00;
t = 4 meses e C = 9.600,00 (o montante da aplicação anterior é o capital desta aplicação).
Determinar a taxa usada através da fórmula de juro simples:
J C i t i
i i
= × × ⇒ = × × ⇒
= × ⇒ = =
�00960 9600 4
�00
96000 38400 9600038400
2 5,
A taxa de juros usada foi de 2,5% ao mês
Vamos calcular o montante inicial através da primeira aplicação onde temos: M = 9.600,00; t = 8 meses e i = 2,5% ao mês
Substituir na fórmula do montante:
M C J C C C C
C C
= + ⇒ = + × × ⇒ = + ⇒
= ⇒ = =
9600 2 5 8�00
9600 0 2
9600 � 2 9600� 2
8
, ,
,,
.0000
Alternativa E
�504) (FumArC/BhTrAns/2007) Uma entidade assistencial
dividiu a aplicação de R$ �00.000,00 em duas aplicações: a primeira parte rendeu juros de 8% ao ano e a segunda parte foi remunerada a uma taxa de �2% ao ano. Se, no prazo de um ano, os juros recebidos pelas aplicações foram iguais, o capital inicial referente à primeira e à segunda aplicação são, respectivamente, iguais a:a) R$ 40.000,00 e R$ 60.000,00. b) R$ 60.000,00 e R$ 40.000,00.c) R$ 70.000,00 e R$ 30.000,00. d) R$ 80.000,00 e R$ 20.000,00.
resolUÇão
O capital de R$ �00.000,00 foi dividido em duas partes, mas como não sabemos se elas são iguais vamos chamar uma delas de x e a outra de �00.000 – x que representa o que sobrou da primeira aplicação.
Quando a aplicação tem duração de � período não faz diferença usar juros simples ou composto, então usaremos juros simples.
No exercício foi dito que os juros das duas aplicações são iguais, então vamos fazer:
J � = J 2 ou seja: C i t C i t� � � 2 2 2
�00 �00× ×
=× ×
Cortando os denominadores e substituindo os valores do problema:
x x x x
x x
× × = − × × ⇒ = − ⇒
+ =
8 � �00000 �2 � 8 �200000 �2
8 �2 �200000
( )
20 �200000 �20000020
60000x x= ⇒ = =
Ou seja, foi aplicado R$ 60.000,00 na primeira aplicação, e conseqüentemente R$ 40.000,00 na segunda aplicação.
Alternativa B
05) (F. C. Chagas/Téc./TrT/2003) Um capital foi aplicado a juros simples da seguinte maneira: metade à taxa de �%
ao mês por um bimestre, �5
à taxa de 2% ao mês por um
trimestre e o restante à taxa de 3% ao mês durante um quadrimestre. O juro total arrecadado foi de R$ 580,00. O capital inicial eraa) R$ 5.800,00b) R$ 8.300,00 d) R$ �0.200,00c) R$ �0.000,00 e) R$ �0.800,00
resolUÇão
O capital C foi dividido em três aplicações:
Aplicação �: C C� 2= ; i = �% ao mês; t = 2 meses
(� bimestre)
Aplicação 2: C C2 5= ; i = 2% ao mês; t = 3 meses
(� trimestre)
Na terceira aplicação foi usado o restante. Para calcu-lar o seu valor, primeiro determinar quanto já foi aplicado: C C C C C2 5
5 2�0
7�0
+ = + =
Então o restante é 3�0C (o que falta para completar um
inteiro), então temos:
Aplicação 3: C C3
3�0
= ; i = 3% ao mês; t = 4 meses (� quadrimestre)
O juro total, ou seja, das três aplicações juntas, foi de R$ 580,00.
Vamos aplicar a fórmula de juro simples, sabendo que o juro foi obtido da soma das três aplicações:
J C i t C i t C i t=
× ×+
× ×+
× ×� 2 3
�00 �00 �00Substituindo os valores temos:
580 � 22 �00
2 35 �00
3 3 4�0 �00
580 2200
6500
36= × × + × × + × × ⇒ = + +C C C C C C. . . �� 000.
O mmc de 200, 500 e �.000 é �.000
580 2200
6500
36� 000
580 000� 000
�0� 000
�2� 000
36= + + ⇒ = + +C C C C C
..
. . .CC
� 000.
Cortando os denominadores e somando os numeradores, temos:
58 580 000 580 00058
�0 000C C= ⇒ = =. . .
Alternativa C
06) (nCE/AnTT/2005) Você está pensando em contrair uma dívida em um banco que cobra �0% de juros mensal sobre o saldo devedor. Por exemplo, se você pegar R$�00,00 emprestados, ao final de um mês estará devendo R$110,00. Se, ao final desse primeiro mês, você pagar apenas R$ 20,00 dos R$��0,00, deverá, no mês seguinte, R$99,00 (os R$90,00 que ficou devendo mais os 10% de juros). Imagine que você resolva tomar emprestados R$500,00 e que seu plano seja pagar R$100,00 ao final do primeiro mês, R$100,00 ao final do segundo mês, R$100,00 ao final do terceiro mês e quitar a dívida no quarto mês. Nesse caso, você terá de pagar, no quarto mês, a seguinte quantia, em reais:a) 200,00 b) 265,45 d) 398,90c) 367,95 e) 4�2,32
resolUÇão
Valor emprestado: R$ 500,00
Juro do primeiro mês �0�00
500 50× =
Valor pago no primeiro mês: R$ �00,00Saldo devedor do primeiro mês:R$ 500,00 + R$ 50,00 – R$ �00,00 = R$ 450,00
Juro do segundo mês �0�00
450 45× =
Valor pago no segundo mês: R$ �00,00Saldo devedor do segundo mês:R$ 450,00 + R$ 45,00 – R$ �00,00 = R$ 395,00
Juro do terceiro mês: �0�00
395 39 50× = ,
Valor pago no terceiro mês: R$ �00,00Saldo devedor do terceiro mês:R$ 395,00 + R$ 39,50 – R$ �00,00 = R$ 334,50
Juro do quarto mês: �0�00
334 50 33 45× =, ,
Saldo devedor no quarto mês:R$ 334,50 + R$ 33,45 = R$ 367,95
Alternativa C
�607) (CEsgrAnrio/Téc./pETroBrAs/2008) Se o capital
for igual a 2/3 do montante e o prazo de aplicação for de 2 anos, qual será a taxa de juros simples considerada?a) 25% a.a.b) �6,67% a.a. d) �6,67% a.m.c) 25% a.m. e) �,04% a.m.
resolUÇão
Neste exercício temos: C = 23
M e t = 2 anos
O montante de uma aplicação é a soma do capital mais os juros: M = C + J
Então temos:
M M J M M J J M= + ⇒ − = ⇒ =23
33
23 3
Mas J C i t= × ×�00
, então:
M C i t M C i M M i
M M i i MM
3 �00�00
32 �00
32
32
�00 4 �004
�
= × × ⇒ = × × ⇒ = × × ⇒
= × ⇒ = = 0004
25= % ao ano
Alternativa A
08) (FundEp/Téc./Câm. municipal/2004) Antônio comprou um aparelho de televisão, cujo preço à vista é R$ 500,00. Entretanto preferiu fazer o pagamento em duas parcelas iguais. A primeira delas foi paga no ato da compra. Nessa venda, o vendedor cobrou juros de 4% ao mês. Então é correto afirmar que o valor de cada parcela foia) R$ 254,50b) R$ 254,90c) R$ 255,00d) R$ 260,00
resolUÇão
Neste caso não sabemos o valor de cada parcela, então chamaremos a primeira de x.
A segunda parcela será a diferença entre o valor do aparelho menos o valor da primeira parcela, ou seja, 500 – x, mas esta parcela tem que ser acrescida de 4% de juros, então temos:
500 – x + 4�00
. (500 – x ) = 500 – x + 0,04 (500 – x) =
500 – x + 20 – 0,04x = 520 – �,04x
A primeira parcela vale x e a segunda 520 – �,04x, mas como as duas parcelas têm que ser iguais, devemos igualá-las:
520 � 04 520 � 04
520 2 04 5202 04
254 90
− = ⇒ = + ⇒
= ⇒ = =
, ,
,,
,
x x x x
x x
Alternativa B
09) (FundEp/Auxiliar/FhEmig/2002) Qual é o montante de um capital de R$�0.000,00, aplicado a juros compostos, durante 3 meses, à taxa de �0% ao mês?a) R$ �3.3�0,00b) R$ �3.200,00 c) R$ �2.�00,00d) R$ �3.000,00
resolUÇão
Para o cálculo do montante vamos usar a fórmula M = C×(� + i )n, onde C = �0.000; n = 3 meses e i = 0,�0 (devemos sempre dividir o valor por �00).
M C i n= × + ⇒ × + ⇒ ×( ) . ( , ) . ,� �0 000 � 0 �0 �0 000 � �03 3
Em que: � �0 � �0 � �0 � �0 � 33�3, , , , ,= × × =
Daí temos:M = × = × =�0 000 � �0 �0 000 00 � 33� �3 3�0 003. , . , , . ,
Alternativa A
�0) (FundEp/Bdmg/2004) Pedro fez uma certa aplicação a juros compostos de 6% ao mês. No fim do primeiro trimestre de aplicação, o montante era de R$ 20.000,00. Nesse caso, o capital investido por Pedro foi de, aproxi-madamentea) R$ �6.400,00b) R$ �6.792,00c) R$ �6.989,00d) R$ �7.0�2,00
resolUÇão
Nesse problema temos n = 3 meses, i = 0,06 ( 6% ao mês) e M = 20.000. Para descobrir o valor do capital aplicado vamos usar a fórmula do montante a juros compostos:
M = × + ⇒ = × + ⇒
= ×
C i C
C
n( ) . ( , )
. ,
� 20 000 � 0 06
20 000 � 06
3
3
Calcular primeiro o valor de � 06 � 06 � 06 � 06 � �9�03, , , , ,= × × =
Substituindo na expressão anterior:
20000 � �9�0 20000� �9�0
�6 792= × ⇒ = =C C,,
.
Alternativa B
�7
TesTes0�) (ACAdEpoL/Esc./mg/2005) Numa delegacia de Belo
Horizonte, dos 72 detentos �6
são mulheres, destas �3
já
foram condenadas. Pode-se afirmar que o percentual de mulheres detidas que não foram condenadas é, aproxi-madamente:
a) ��%b) �6,7% d) �8,7%c) �8% e) 5,5%
02) (ACAdEpoL/Esc./mg/2005) Do total de policiais que servem certa região do estado de Minas Gerais, 30% são mulheres. Destas, �0% ingressaram na polícia na década de 90. Se o número de mulheres policiais que não ingres-saram na década de 90 é 324, o total de policiais dessa região é:a) 680b) �.200 d) �.000c) 840 e) 730
03) (ACAdEpoL/Esc./mg/2007) Três pessoas A, B, e C formaram uma empresa, tendo contribuído, respectiva-mente, com os capitais de R$�0.000,00, R$�3.000,00 e R$14.000,00. No final de um ano, a empresa lucrou o montante de R$���.000,00. Deste lucro, a terça parte foi utilizada para investimentos na própria empresa e o restante distribuído aos sócios A, B e C, em partes pro-porcionais aos seus capitais de participação na sociedade. Desta forma, pode-se concluir que o sócio B retirou:a) R$39.000,00 c) R$26.000,00 b) R$40.000,00 d) R$42.000,00
04) (ACAdEpoL/Esc./mg/2007) Considere a tabela abaixo:Evolução das receitas do café industrializadoAgosto/Novembro - 2004
MESES VALOR (US$ milhões)Agosto 73,4Setembro 89,7Outubro 65,2Novembro 99,8Total 328,1
Dados fictícios.
Pode-se afirmar que a redução percentual da receita do
mês de outubro para o mês de setembro foi de, aproxi-madamente:a) 27,3�% c) 34,67% b) 37,58% d) �8,�7%
05) (ACAdEpoL/Esc./mg/2003) Em determinada ala de um presídio, há �00 detentos. Sabendo que 98% tem abaixo de 25 anos, o número de presidiários dessa faixa etária que precisam sair dessa ala para que o percentual citado caia para 96% éa) � b) 2 d) 48 c) 4 e) 50
06)(ACAdEpoL/perito/mg/2003) Um agiota foi detido e, em seu depoimento, disse que emprestava dinheiro a uma taxa de 20% ao mês. Sabendo que ele descontava os juros no momento do empréstimo, a taxa mensal efetivamente cobrada pelo agiota é dea) 20,5%b) 2�% d) 25% c) 22,5% e) 30%
07) (ACAFE/prof./pref. Jaraguá do sul/2007) O governo federal, ao efetuar a restituição de impostos, permite que os contribuintes consumam mais. O gasto de cada contribuinte torna-se receita para outros contribuintes que, por sua vez, fazem novos gastos. Cada contribuinte poupa �0% de suas receitas, gastando todo o resto. O valor global, em bilhões de reais, do consumo dos contribuintes a ser gerado por uma restituição de impostos de 40 bilhões de reais, é:a) 450. c) 360. b) 36. d) �80.
08) (ACAFE/sEnAi/2006) Duas garotas realizam juntas, em 3 dias, um serviço de digitação. Se trabalhar sozinha, a primeira leva 2 dias e meio menos que a segunda para fazer o mesmo serviço. O tempo, em dias, que cada uma leva para fazer o serviço, é:a) 3 e 5,5b) 5 e 7,5 d) 2 e 4,5 c) 4 e 6,5 e) 3,5 e 6
09) (ACAFE/sEnAi/2006) Um senhor fez um testamento para dividir seu patrimônio de R$ �80.000,00 entre seus dois netos, um de 25 anos e outro de 5 anos. Calculando que o mais novo gastaria mais dinheiro para se formar, enquanto o mais velho já estava ganhando com seu trabalho, quis que a divisão fosse feita inversamente proporcional às suas idades. Como o avô morreu 5 anos após ter feito o testamento, o neto mais novo herdou, em reais, a quantia de:a) �20 milb) 80 mil d) 90 milc) �50 mil e) �35 mil
�0) (ACAFE/Fmp/2007) Com relação à dengue, o setor de vigilância sanitária de um determinado município registrou o seguinte quadro, quanto ao número de casos positivos:
em fevereiro, relativamente a janeiro, houve um aumento de 20%
em março, relativamente a fevereiro, houve uma redução de 20%.
Em todo o período considerado, a variação foi dea) Não houve variação. c) �0%. b) - 2%. d) - 4%.
��) (ACAFE/Fmp/2007) Com uma lata de tinta é possível pintar 50m2 de parede. Para pintar as paredes de uma sala de 8m de comprimento, 4m de largura e 3m de altura (desconsidere as janelas e portas) se gasta uma lata e mais uma parte da segunda lata.Qual a porcentagem de tinta que restou na segunda lata após o término do serviço?a) 56% b) 44% c) 50 %d) 25%
�8�2) (ACAFE/Fmp/2007) Uma pizzaria vende pizzas com
preços proporcionais às suas áreas. Se a pizza média tiver raio igual a 80% do raio da grande e a pizza pequena tiver como raio a metade do raio da média, pode-se afirmar:(considere π = 3,14).a) O preço da pizza média é o dobro da pizza pequena.b) O preço da pizza média é 64% do preço da pizza grande.c) Se a pizza grande custar R$ 20,00 a pizza média custará
R$ �6,00.d) Se a pizza grande custar R$ 20,00 a pizza média custará
R$ 8,00.
�3) (ACAFE/CFo/2006) Em uma cidade existem dois cur-sos, A e B, que preparam alunos para o vestibular. Se A aprovou �08 de 720 alunos e B aprovou 99 de 550 alunos, está correto afirmar que a aprovação dos alunos do curso A é:a) igual ao do B. b) 3% superior ao do B. c) 3% inferior ao do B. d) 9% superior ao do B.e) 9% inferior ao do B.
�4) (uErJ/2007) João abriu uma caderneta de poupança e, em �º de janeiro de 2006, depositou R$ 500,00 a uma taxa de juros, nesse ano, de 20%. Em �º de janeiro de 2007, depositou mais R$ �.000,00. Para que João tenha, nessa poupança, em �º de janeiro de 2008, um montante de R$ �.824,00, a taxa de juros do segundo ano deve corresponder a:a) �2% b) �4% c) �6%d) �8%
�5) (uFmg/2007) Após se fazer uma promoção em um clube de dança, o número de frequentadores do sexo masculino aumentou de 60 para 84 e, apesar disso, o percentual da participação masculina passou de 30% para 24%.Considerando-se essas informações, é correto afirmar que o número de mulheres que frequentam esse clube, após a promoção, teve um aumento dea) 76%. b) 8�%. c) 85%.d) 90%.
Gabarito
01) A 02) B 03) C 04) A 05) E06) D 07) C 08) B 09) E 10) D11) A 12) B 13) C 14) B 15) D
errata - código 0089_02_10 - matemáticaGabarito
Página �0, questão n° 0�, item b → onde se lê “–�4”, leia-se “–30”.
Página �5, questão n° 08, item d → onde se lê “ 5�3
”,
leia-se “ ��4
”.
Página �7, questão n° 03, item e→ onde se lê “�,6”, leia-se “�,5”.
Página 2�, questão n° 06, item c → onde se lê 32�2 , leia-se 2
3
4 .
Página 2�, questão n° 06, item d → onde se lê 62 ,
leia-se 9 65
.
Página 26, questão n° 02 → onde se lê 72 cm2, leia-se �28 cm2.
Página 27, questão n° 07 → onde se lê “D”, leia-se “A”.
Página 39, questão n° 02 → onde se lê “D”, leia-se “B”.
Página 39, questão n° �3, item c → onde se lê “c) 6”, leia-se “c) 3”.
Página 44, questão n° 0�, item d → onde se lê “V = {( �5, �5 )}”, leia-se “V = {(�5, �4)}”.
Página 5�, questão n° 02 → onde se lê “–�0”, leia-se “–9”.
Página 5�, questão n° 05 → onde se lê “± 2 63
”, leia-se “± 2 2
3”.
Página 52, questão n° 09 → onde se lê “2”, leia-se “0”.
Página 6�, questão n° 04, item c → onde se lê “ y xx
= −+
5 �3
”, leia-se “ y x
x= +
−3 2
�”.
Página 64, questão n° 0�, Aprendizagem e Fixação → onde se lê “A = �04”, leia-se “A = 5”.
Página 68, questão n° �2 → onde se lê “S82 = �4.39�”, leia-se “S82 = �4.442”.
Página 69, questão n° 05, item a → onde se lê “57.�22 livros”, leia-se “74.258 livros”.
Página 69, questão n° 05, item b → onde se lê “3 dias”, leia-se “2 dias”.
Página 74, item 6, completar a teoria “quando multiplica-mos ou dividimos uma linha por um número, o determinante fica multiplicado ou dividido também por esse número”.
Página 74, item 7, completar a teoria “quando multiplica-mos ou dividimos uma coluna por um número, o determinante fica multiplicado ou dividido também por esse número”.
Página 8�, questão n° 03 → onde se lê “720”, leia-se “360”.
Página 85, questão n° 02, onde se lê “x4 + �2x3 + 54x2 + �28x + 8�”, leia-se “x4 + �2x3 + 54x2 + �08x + 8�”.
Página ��6, questão n° 05 → onde se lê “a = �2
”, leia-se
“a = �4
”.
Página �25, questão n° 09 → onde se lê “D”, leia-se “A”.
Página �25, questão n° �0 → onde se lê “A”, leia-se “D”.
Estudo Real Edições - 0238_02_�0
