7º ANO LISTA 1 de Razão – AV 1 – 3º Bim.

Escola adventista de Planaltina

Professor: Celmo Xavier.

Aluno: ________________________________________

A igualdade entre razões denomina-se proporção.

Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nesta ordem, uma proporção se, e somente se, a razão a : b for igual à razão c : d.

Indicamos esta proporção por:

Chamamos aos termos a e d de extremos e aos termos b e c chamamos de meios.

Veja que a razão de 10 para 5 é igual a 2 (10 : 5 = 2).

A razão de 14 para 7 também é igual a 2 (14 : 7 = 2).

Podemos então afirmar que estas razões são iguais e que a igualdade abaixo representa uma proporção:

Lê-se a proporção acima da seguinte forma:

"10 está para 5, assim como 14 está para 7".

Propriedade fundamental das proporções

Qualquer que seja a proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim sendo, dados os números a, b, c e d, todos diferentes de zero e formando nesta ordem uma proporção, então o produto de a por d será igual ao produto de b por c:

Segunda propriedade das proporções

Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para o quarto termo. Então temos:

ou

Ou

ou

Terceira propriedade das proporções

Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo consequente. Temos então:

ou

Ou

ou

Quarta proporcional

Dados três números a, b, e c, chamamos de quarta proporcional o quarto número x que junto a eles formam a proporção:

Tendo o valor dos números a, b, e c, podemos obter o valor da quarta proporcional, o número x, recorrendo à propriedade fundamental das proporções. O mesmo procedimento utilizado na resolução de problemas de regra de três simples.

Terceira proporcional

Em uma proporção onde os meios são iguais, um dos extremos é a terceira proporcional do outro extremo:

Na proporção acima a é a terceira proporcional de c e vice-versa.

Exemplos

Paguei R$15,00 por 1kg de carne. Se eu tivesse pago R$25,00 teria comprado 2kg. A igualdade da razão do preço de compra pela quantidade, dos dois casos, resulta em uma proporção?

Os termos da nossa suposta proporção são: 15, 1, 25 e 2.

Podemos utilizar a propriedade fundamental das proporções para verificamos se tais termos nesta ordem formam ou não uma proporção.

Temos então:

Como 30 difere de 25, não temos uma igualdade, consequentemente não temos uma proporção.

Poderíamos também ter analisado as duas razões:

Como as duas razões possuem valores diferentes, obviamente não se trata de uma proporção.

Como uma das razões resulta em 15 e a outra resulta em 12,5, concluímos que não se trata de uma proporção, já que 15 difere de 12,5.

A proporção não ocorreu porque ao comprar 2kg de carne, eu obteria um desconto de R$ 2,50 no preço do quilograma, o que deixaria as razões desproporcionais.

A soma de dois números é igual a 240. Sabe-se que um deles está para 5, assim como o outro está para 7. Quais são estes números?

Para a resolução deste exemplo utilizaremos a terceira propriedade das proporções. Chamando um dos números de a e o outro de b, podemos montar a seguinte proporção:

Sabemos que a soma de a com b resulta em 240, assim como a adição de 5 a 7 resulta em 12. Substituindo estes valores na proporção teremos:

Portanto:

Concluímos então que os dois números são 100 e 140.

Quatro números, todos diferentes de zero, 10, 8, 25 e x formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor de x?

Seguindo o explicado sobre a quarta proporcional temos:

O valor do número x é 20.

A resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais pode ser realizada através de uma regra prática denominada "regra de três".

Se tivermos duas grandezas diretamente proporcionais, utilizaremos a "regra de três simples direta" e caso elas sejam inversamente proporcionais, utilizaremos a "regra de três simples inversa".

Nos problemas onde temos três ou mais grandezas, utilizamos a "regra de três composta". Observe que neste caso, um mesmo problema pode envolver tanto grandezas diretamente proporcionais, quanto grandezas inversamente proporcionais.

1. EXERCÍCIOS DE RAZÃO

1) Dois números somados totalizam 510. Sabe-se que um deles está para 8, assim como o outro está para 9. Quais são os dois números? 2) Um número a somado a um outro número b totaliza 216. a está para 12, assim como b está para 15. Qual o valor de a e de b? 3) Um número a subtraído de um outro número b resulta em 54. a está para 13, assim como b está para 7. Qual o valor de a e de b? 4) A diferença entre dois números é igual a 52. O maior deles está para 23, assim como o menor está para 19. Quais são os números? 5) A idade de Pedro está para a idade de Paulo, assim como 5 está para 6. Quantos anos tem Pedro e Paulo sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos? 6) O peso de uma sacola em kg está para o peso de uma outra sacola também em kg, assim como 32 está para 28. Quanto pesa cada uma das sacolas, sabendo-se que juntas elas pesam 15kg? 7) A soma de dois números é igual a 46. O primeiro está para o segundo, assim como 87 está para 51. Quais são os números? 8) Dois números a e b diferem entre si em 18 unidades. a está para b, assim como 825 está para 627. Qual o valor de a e de b? 9) Quatro números, 72, 56, 90 e x, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor da quarta proporcional x? 10) Quatro números, x, 15, 15 e 9, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor da terceira proporcional x?

7º ANO LISTA 2 de Regra de Três Composta – AV 1 – 3º Bim.

Escola adventista de Planaltina

Professor: Celmo Xavier.

Aluno: ________________________________________

Regra de Três Simples Direta

Uma pessoa recebe R$ 1.800,00 por 30 dias trabalhados. Quantos dias esta pessoa precisará trabalhar para ter direito a receber R$ 1.200,00?

Este é o típico caso da utilização de uma "regra de três simples direta". Simples por envolver apenas duas grandezas proporcionais, e direta, porque quando uma grandeza aumenta, a outra também aumenta. Se uma diminui, o mesmo ocorre com a outra.

hamemos de S a grandeza que representa o salário e de D a grandeza que representa o número de dias de trabalho e vejamos a representação abaixo:

As setas apontam na mesma direção, pois as grandezas são diretamente proporcionais. Percebemos isto, pois ao diminuirmos o número de dias trabalhados, também teremos o respectivo salário diminuído. Como o salário vai ser reduzido, obviamente o número de dias de trabalho também será. Concluímos assim, que as grandezas S e D são diretamente proporcionais.

De acordo com a orientação das setas, podemos então montar a proporção:

Concluímos que para ter o direito a receber os R$ 1.200,00, a pessoa terá que trabalhar por 20 dias.

Como você pode notar, a resolução de um problema de regra de três, tem por base a "propriedade fundamental das proporções". Veja mais sobre isto em proporção.

2. Exercício

1) Levo duas horas e meia para percorrer 15km. Se eu tiver quer percorrer 54km, quanto

tempo eu levarei?

2) Um produtor rural tem uma produção anual de frangos de cerca de 18 toneladas. Em um bimestre este produtor irá produzir quantas toneladas de frango?

3) Para encher um tanque de 10 mil litros, leva-se 4 horas. Para abastecer tal tanque com apenas 2500 litros, qual o tempo necessário?

4) Em 15 minutos eu consigo descascar 2kg de batatas. Em uma hora conseguirei descascar quantos quilogramas?

5) Uma pessoa bebe três copos de água a cada duas horas. Se ela passar acordada 16 horas por dia, quantos copos d'água ela beberá neste período?

6) Um trem com 4 vagões transporta 720 pessoas. Para transportar 1260 pessoas, quantos vagões seriam necessários?

7) Uma doceira faz 300 docinhos em 90 minutos. Se ela dispuser de apenas 27 minutos, quantos docinhos conseguirá fazer?

8) Um barco pesqueiro tem uma produção de 15 toneladas por viagem. Para uma produção de 90 toneladas, qual é o número necessário de viagens?

9) Uma vela com pavio de 10cm demora 45 minutos para queimar por inteiro. Para queimar 3cm desta vela, qual o tempo necessário?

10) Um artesão consegue fazer três bonecos em 18 minutos. Em oito horas de trabalho quantos bonecos este artesão conseguiria produzir?

7º ANO LISTA 3 de Regra de três inversa – AV 1 – 3º Bim.

Escola adventista de Planaltina

Professor: Celmo Xavier.

Aluno: ________________________________________

Regra de Três Simples Inversa

Dois pedreiros trabalhando juntos conseguem construir um certo muro em 6 horas de trabalho. Se ao invés de dois, fossem três pedreiros, em quantas horas tal muro poderia ser construído?

Você pode facilmente compreender que aumentando o número de pedreiros, o tempo necessário para a construção do muro será menor, pois a mão de obra aumenta, mas a tarefa continua a mesma.

Percebemos então que este problema trata grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quando uma grandeza aumenta, a outra diminui e vice-versa.

Vamos chamar de P a grandeza que representa a quantidade de pedreiros e de H a grandeza que representa o número de horas de trabalho para a construção do muro. Vejamos então a representação abaixo:

Neste caso as setas apontam na direção oposta, pois as grandezas são inversamente proporcionais.

Para a resolução do problema, iremos novamente utilizar a "propriedade fundamental das proporções", no entanto para que isto seja possível, devemos primeiro deixar as duas setas com a mesma orientação. Como a seta referente à grandeza H (a grandeza referente ao x) está para baixo, iremos inverter os termos da outra razão para que a sua seta também fique para baixo:

Perceba que sempre que tenhamos que realizar alguma mudança na orientação das setas, a grandeza que contém o termo x é tomada como referência e não é alterada. A outra grandeza, ou outras no caso de se tratar de uma regra de três composta, é que deve mudar.

Então agora podemos montar a proporção segundo a "propriedade fundamental das proporções":

Portanto com três pedreiros serão necessárias apenas 4 horas de trabalho.

Conceitualmente a razão do número a para o número b, sendo b ≠ 0, é igual ao quociente de a por b que podemos representar das seguintes formas:

As razões acima podem ser lidas como:

razão de a para b a está para b a para b

Em qualquer razão, ao termo a chamamos de antecedente e ao termo b chamamos de consequente.

Razão inversa ou recíproca

Vejamos as seguintes razões:

Elas são tidas como razões inversas ou recíprocas.

Note que o antecedente de uma é o consequente da outra e vice-versa.

Uma propriedade das razões inversas é que o produto delas é sempre igual a 1, isto se deve ao fato de uma ser o inverso multiplicativo da outra.

Agora vejamos as seguintes razões:

A primeira razão possui os números 1 e 2 como seu respectivo antecedente e consequente, já a segunda razão possui o número 2 como o seu antecedente e o número 1, omitido, como o seu consequente. Em função disto, pelo antecedente de uma ser o consequente da outra e vice-versa, estas duas razões também são inversas uma em relação a outra.

Apesar de uma razão ser apresentada na forma de uma fração ou de uma divisão, você pode calcular o seu valor final a fim de se obter o seu valor na forma decimal. Por exemplo:

A razão de 15 para 5 é 3, pois 15 : 5 = 3 na forma decimal, ou seja, 15 é o triplo de 5.

Neste outro caso, a razão de 3 para 4 é 0,75, pois 3 : 4 = 0,75 na forma decimal.

Razão centesimal

Como visto acima, a razão de 3 para 4 é 0,75, pois 3 : 4 = 0,75 na forma decimal, ou seja, 3 equivale a 75% de 4. 75% nada mais é que uma razão de antecedente igual 75 e consequente igual a 100. É por isto é chamada de razão centesimal.

Exemplos

O salário de Paulo é de R$ 2.000,00 e João tem um salário de R$ 1.000,00. Qual a razão de um salário para outro?

Temos: Salário de Paulo : Salário de João.

Então:

A razão acima pode ser lida como a razão de 2000 para 1000, ou 2000 está para 1000. Esta razão é igual a 2, o que equivale a dizer que o salário de Paulo é o dobro do salário de João, ou seja, através da razão estamos fazendo uma comparação de grandezas, que neste caso são os salários de Paulo e João.

Portanto a razão de um salário para outro é igual a 2.

3. EXERCÍCIO

1) A 60km/h faço o percurso entre duas cidades em duas horas. Trafegando a 80km qual

o tempo estimado para percorrer este trajeto?

2) Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Se forem utilizadas 3 torneiras, qual o tempo necessário para enche-lo?

3) Um tecelão levou 12 horas para produzir um tapete, à razão de 6 metros por hora. Se ele trabalhasse à razão de 9m/h, quanto tempo teria levado para tecer o mesmo tapete?

4) Um certo volume de medicação demora 6 horas para ser ministrado em um gotejamento de 12 gotas por minuto. Se o número de gotas por minuto fosse de 18 gotas, quanto tempo teria demorado a aplicação desta mesma medicação?

5) Utilizando copos descartáveis de 175ml, eu consigo servir 12 pessoas. Se eu utilizar copos de 150 ml, quantas pessoas eu conseguirei servir com este mesmo volume de bebida?

6) Com o dinheiro que possuo, eu posso comprar 21 passagens de lotação ao custo unitário de R$ 1,80. Eu soube, porém que o valor da passagem está para aumentar para R$ 2,10. No novo valor, quantas passagens eu poderei comprar com a mesma quantia que eu tenho?

7) À média de 90km/h faço um trajeto em três horas. Para que eu faça este percurso em apenas duas horas, qual deve ser a minha velocidade média?

8) Preciso empilhar uma certa quantidade de caixas em forma de cubo. Se eu fizer a pilha com 4 caixas na base, irei empilhar 6 fileiras de caixas, uma sobre a outra. Seu eu fizer a base com 3 caixas, quantas fileiras irei precisar?

7º ANO LISTA 4 de Regra de Três Composta – AV 1 – 3º Bim.

Escola adventista de Planaltina

Professor: Celmo Xavier.

Aluno: ________________________________________

Regra de Três Composta

Uma pessoa consome 4000 litros de água por mês. Quantos litros de água duas pessoas irão consumir em um ano?

Primeiramente para facilitar a explicação, iremos atribuir uma letra a cada grandeza. Sejam elas:

P: O número de pessoas; L: A quantidade de litros de água; T: O período de tempo envolvido.

Montemos a representação para analisarmos o problema, mas no lugar de um ano, iremos utilizar doze meses, para que os dois períodos de tempo fiquem na mesma unidade de medida:

A ordem de colocação das grandezas na representação acima, é a mesma que a do enunciado do problema. Como você pode perceber, a grandeza L, que é a grandeza que estamos procurando (a grandeza que contém o termo x), não está posicionada nem à direita, nem à esquerda do diagrama. Isto é uma má ideia, pois irá dificultar em muito a resolução do problema, por isto devemos passá-la para a extremidade direita, ou para a esquerda. Vamos escolher esta última:

Agora ficou melhor, vamos então identificar a orientação das setas, ou em outras palavras, determinar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais entre si.

A grandeza de referência é a grandeza L. A posição da sua seta pode ser arbitrada tanto para cima, quanto para baixo, tanto faz. Vamos escolher para baixo:

Agora vamos determinar se L e P são diretamente proporcionais ou não. Sabemos que uma pessoa consome 4000 litros. Como mais pessoas irão consumir mais litros, então as grandezas são diretamente proporcionais, logo a seta de P terá a mesma orientação da seta de L, ou seja, também para baixo:

Finalmente falta-nos determinar se L e T são diretamente ou inversamente proporcionais. Sabemos que em um mês são consumidos 4000 litros. Obviamente se aumentarmos o tempo de consumo, também aumentaremos o consumo em litros, então as grandezas são diretamente proporcionais, logo a seta de T terá a mesma orientação da seta de L, isto é, para baixo:

Se houvesse alguma seta com orientação oposta à seta de L, os termos desta grandeza deveriam ser invertidos. Como não é o caso, basta-nos montarmos a proporção e resolvê-la:

Portanto as duas pessoas irão consumir 96 mil litros de água em um ano. A título de curiosidade, 96000 litros equivalem a 96 metros cúbicos.

Para encher um tanque com 400 metros cúbicos de capacidade, duas torneiras levaram 4 horas para enchê-lo. Quantas horas seriam necessárias para enchê-lo com 6 torneiras, se o tanque tivesse apenas 300 metros cúbicos de capacidade?

Primeiro vamos atribuir uma letra a cada grandeza:

M: A capacidade em metros cúbicos do tanque; T: A quantidade de torneiras; H: A duração de cada operação em horas.

A representação para analisarmos o problema é a seguinte:

Observe que na montagem a grandeza H, que é a grandeza que estamos procurando (a grandeza que contém o termo x), deve estar posicionada à direita, como colocamos, ou à esquerda se desejássemos, mas não em outra posição. O motivo disto é deixar a razão com o termo x isolada.

A partir daí podemos então identificar a orientação das setas, ou em outras palavras, determinar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais entre si.

A grandeza de referência é a grandeza H, pois é ela que está sendo procurada. Você já sabe que a posição da sua seta pode ser arbitrada tanto para cima, quanto para baixo. Para padronizar, vamos escolher a seta da grandeza de referência sempre para baixo:

Vamos determinar se H e M são diretamente proporcionais ou não. Sabemos que ao diminuirmos a capacidade do tanque, também iremos diminuir o tempo necessário para enchê-lo, então em sendo assim, as duas grandezas são diretamente proporcionais, logo a seta de M terá a mesma orientação da seta de H que é para baixo:

Vamos agora determinar se T e H são diretamente ou inversamente proporcionais. Sabemos que se aumentarmos a quantidade de torneiras, automaticamente iremos diminuir o tempo necessário para encher o tanque, por isso as duas grandezas são inversamente proporcionais, logo a seta de T terá orientação oposta a da seta de H, ou seja, será para cima, pois quanto uma aumenta a outra diminui:

Podemos perceber que a seta da grandeza T possui orientação oposta à da grandeza H, devemos então inverter tanto a seta, quanto os seus elementos. Teremos então:

Por fim montemos a proporção e vamos resolvê-la seguindo a "propriedade fundamental das proporções":

Portanto com 6 torneiras poderíamos encher 300 metros cúbicos em apenas uma hora.

4. EXERCÍCIOO DE RAZÃO

1) Para esvaziar um compartimento com 700m3 de capacidade, 3 ralos levaram 7 horas para fazê-lo. Se o compartimento tivesse 500m3 de capacidade, ao utilizarmos 5 ralos quantas horas seriam necessárias para esvaziá-lo?

2) Duas costureiras trabalhando 3 dias, 8 horas por dia, produzem 10 vestidos. Se 3 costureiras trabalharem por 5 dias, quantas horas ela precisarão trabalhar por dia para produzirem 25 vestidos?

3) Seis galinhas botam 30 ovos em 5 dias. 20 galinhas botarão quantos ovos em 10 dias?

4) Uma família com 2 duas pessoas consome 12m3 de água a cada 30 dias. Se mais uma pessoa com os mesmos hábitos de consumo se juntar a ela, quantos metros cúbicos de água eles consumirão em uma semana?

5) Um grupo de 10 trabalhadores descarregam 210 caixas de mercadoria em 3 horas. Quantas horas 25 trabalhadores precisarão para descarregar 350 caixas?

6. ( UNIV. BRASíLIA ) Com 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2.160 uniformes em 24 dias?

7. ( USP – SP ) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos de pão serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?

8. ( CEFETQ – 1991 ) Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um muro de 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90 metros de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias ?

9. ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?

10. ( CEFETQ – 1996 ) Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar uma mercadoria, com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h ?

11. ( CEFETQ – 1997 ) Há 40 dias, um torneira na casa de Neilson está apresentando um vazamento de 45 gotas por minuto. Se um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, desperdiça 100 litros de água em 30 dias, calcular o número de litros de água já desperdiçados na casa de Neilson.

12. ( EsPECEx – 1981 ) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia ?

13. ( EsPECEx – 1982 ) Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m de cada. Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias ?

14. ( EsPECEx – 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em 10 km/h, teria percorrido essa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do trem, em km/h.