Raízes de aplicações de superfícies em S2vvS2vS1 · 1.1 Representação das classes de homotopia de aplica-ções de S2 em W Nesta seção usaremos homologia com coeﬁcientes

Raízes de aplicações de superfícies em S2v...vS2vS1

Northon Canevari Leme Penteado

Raízes de aplicações de superfícies em S2v...vS2vS1

Northon Canevari Leme Penteado

Orientador: Prof. Dr. Oziride Manzoli Neto

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências

Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como

parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor

em Ciências - Matemática. VERSÃO REVISADA

USP – São Carlos

Maio de 2015

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

L551rLeme Penteado, Northon Raízes de aplicações de superfícies em S2v...vS2vS1/ Northon Leme Penteado; orientador Oziride Manzoli Neto. -- São Carlos, 2015. 114 p.

Tese (Doutorado - Programa de Pós-Graduação emMatemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas ede Computação, Universidade de São Paulo, 2015.

1. Teoria de Raízes. 2. Teoria de Homotopia. 3.Superfícies. I. Manzoli Neto, Oziride, orient. II.Título.

Agradecimentos

A Deus pela vida e saúde.

A minha família que sempre está do meu lado me apoiando e ensinando a ter confiança

na vida, proporcionando muitas alegrias. Agradeço também a Cristiane Rodrigues e sua

família que me acolheram com muito carinho fazendo parte, de modo inesquecível, de

momentos felizes da minha vida.

Ao meu orientador Prof. Dr. Oziride Manzoli Neto, pela sincera amizade, pelos

conselhos, pela sua contagiante paixão a matemática, pelo seu exemplo de dedicação ao

trabalho e pelo sua constante disposição em ajudar nos problemas surgidos no decorrer

da tese.

Aos meus companheiros de toda hora de Leme. Aos amigos e colegas de estudos, por

tudo que sorrimos e sofremos juntos, tanto os de graduação quanto os de pós graduação.

E também aos amigos de repúblicas.

Ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação pela colaboração e propor-

cionar a excelente estrutura para a pós graduação. Agradeço também ao Coordenação

de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e ao Conselho Nacional de

Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), pelos suportes e as concessões das

bolsas.

ii

Resumo

Este trabalho é um estudo do problemas de raízes para aplicações f : S → Wn, onde

S é uma superfície compacta, conexa e sem bordo e Wn é o espaço obtido pela reunião

em um ponto do círculo S1 com n esferas S2.

iv

Abstract

The propose of this work is to studies the root problem for maps f : S → Wn, where

S is a closed, connected, compact surface and Wn is the space obtained by the one point

union of a circle S1 and n spheres S2.

Sumário

Introdução 1

1 Representação de aplicações de superfícies orientáveis em W 5

1.1 Representação das classes de homotopia de aplicações de S2 em W . . . . 5

1.2 Representação das classes de homotopia de aplicações de T 2 em W . . . . 22

1.3 Representação das classes de homotopia de aplicações de Tg em W . . . . . 35

2 Representação de aplicações de superfícies orientáveis em Wn 45

2.1 Representação das classes de homotopia de aplicações de S2 em Wn . . . . 45

2.2 Representação das classes de homotopia de aplicações de T 2 em Wn . . . . 49

2.3 Representação das classes de homotopia de aplicações de Tg em Wn . . . . 53

3 Representação de aplicações de superfícies não orientáveis em W 59

3.1 Representação das classes de homotopia de aplicações de RP 2 em W . . . 59

3.2 Representação das classes de homotopia de aplicações de RP 2g em W . . . 62

4 Representação de aplicações de superfícies não orientáveis em Wn 69

4.1 Representação das classes de homotopia de aplicações de RP 2 em Wn . . . 69

4.2 Representação das classes de homotopia de aplicações de RP 2g em Wn . . . 71

5 Raízes de aplicações de superfícies orientáveis em Wn 75

5.1 Raízes de aplicações de S2 em Wn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2 Raízes de aplicações de T 2 em Wn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

vii

5.3 Raízes de aplicações de Tg em Wn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6 Raízes de aplicações de superfícies não orientáveis em Wn 85

6.1 Raízes de aplicações de RP 2 em Wn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.2 Raízes de aplicações de RP 2g em Wn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.3 A sequência de Puppe-Barrat no caso [T 2;W ] e alguns resultados . . . . . 103

Introdução

Dados uma aplicação f : X → Y entre dois espaços topológicos e y ∈ Y , então

f−1(y) = {x ∈ X : f(x) = y} é o conjunto de raízes de f em y. Um dos problemas da

Teoria de Raízes é determinar qual é o conjunto minimal de raízes para um dado y ∈ Y ,

isto é, determinar, a menos de homotopia, qual é o menor conjunto de raízes de um dado

y ∈ Y . Outro problema é estudar a existência de uma aplicação g : X → Y , tal que g é

homotópica a aplicação f , e g realiza o conjunto minimal de raízes para um dado y ∈ Y ,

isto é, g−1(y) é o conjunto minimal de raízes de y.

No contexto em que X e Y são variedades, tem sido estudados em inúmeros trabalhos.

Aniz, C. e Fenille, M. C. estudaram, em [1] e [10], teoria de raízes de aplicações f : K →

M , onde K é um CW-complexo e M é uma variedade, não necessariamente estes dois

problemas de raízes citados acima.

Neste trabalho estamos interessados nestes dois problemas no caso em que f : S →

S2 ∨ . . . ∨ S2︸︷︷︸

n−vezes

∨S1 é uma aplicação contínua, onde S é uma superfície fechada, conexa

e sem bordo e ∨ é a colagem por um ponto entre espaços topológicos. Para isso, a

cada classe de homotopia [f ], será associado um polinômio proveniente de homologia com

coeficientes locais. A partir de um polinômio é construída uma aplicação, denominada

especial, que tem boas propriedades tal que o polinômio associado a classe de homotopia

desta aplicação construída é o polinômio dado. E, para representar uma dada classe de

homotopia [f ] de uma aplicação, mostra-se que existe uma aplicação especial g ∈ [f ].

Por fim, é demonstrado que uma aplicação especial realiza o conjunto minimal de raízes,

verificando que é uma representação com boas propriedades.

2

O contra-domínio de f será denotado por Wn e quando n = 1 apenas por W .

Este trabalho foi dividido em 6 capítulos e um apêndice.

Os livros [7], [9], [14], [16], [19] e [20] foram utilizados como apoio para os resultados

e técnicas de teoria de topologia algébrica.

No primeiro capítulo é feita uma representação de classes de homotopia de aplicações

de superfícies fechadas, conexas, orientáveis e sem bordo S em W . Para isso este capítulo

foi dividido em 3 seções.

Na primeira seção, a cada classe de homotopia de uma aplicação f : S2 → W é

associado, utilizando homologia com coeficientes locais, um polinômio. Em seguida, é

construída uma aplicação com boas propriedades a partir de um polinômio dado e esta

aplicação é denominada especial. Por fim, dada uma classe de homotopia [f ] e usando

técnicas geométricas é mostrado que existe aplicação g : S2 → W tal que g ∈ [f ] é uma

aplicação especial.

Na segunda seção, é considerada aplicações f : T 2 → W . Recorrendo a primeira

seção é associado um polinômio a classe de homotopias [f ] e seguindo a mesma linha

de resultados da primeira seção é definido o que é uma aplicação especial neste caso e

depois é mostrado que em cada classe de homotopia [f ] existe uma aplicação g ∈ [f ] que

é especial.

Fazendo referências as seções anteriores, na terceira seção é associado um polinômio

a classe de homotopia de aplicações f : Tg → W , definido o que é uma aplicação especial

neste caso e mostrado que existe uma aplicação especial em cada classe de homotopia [f ],

onde Tg é uma superfície compacta, conexa, sem bordo e orientável de gênus g > 1.

O segundo capítulo tem três seções que consideram o Wn como contra domínio de apli-

cações. Nas três seções é feito como nas seções do capítulo anterior, mas para aplicações

f : S2 → Wn, f : T 2 → Wn e f : Tg → Wn, respectivamente, onde n > 1.

No terceiro capítulo são consideradas aplicações f : RP 2g → W , onde RP 2

g é a notação

para soma conexa de g planos projetivos dois dimensionais, para algum g finito. Para

associar polinômios às classes de homotopias destas aplicações são utilizados os espaços

de recobrimento duplo orientáveis de RP 2g , que são as superfícies S2 ou Tg. Logo, para

definir a aplicação especial e para provar as existências de aplicações especiais recai-se nos

Introdução 3

casos das seções anteriores. Na primeira seção é considerado g = 1 e na segunda seção é

considerado g > 1.

No quarto capítulo é feita a representação de classes de aplicações f : RP 2 → Wn e

f : RP 2g → Wn utilizando os recobrimentos duplos orientáveis.

O quinto e sexto capítulos são sobre minimalidade de raízes de uma aplicação. Nestes

capítulos é mostrado que as aplicações especiais, definidas nas seções anteriores, são as

aplicações que realizam os conjuntos de raízes minimais em cada caso. O quinto capítulo é

dividido em três seções para tratar de minimalidades de raízes de aplicações de superfícies

compactas, conexas, sem bordo e orientáveis em Wn, sendo a primeira seção, trata-se de

raízes de aplicações f : S2 → Wn, a segunda seção trata-se de raízes de aplicações

f : T 2 → Wn e a terceira seção trata-se de raízes de aplicações f : Tg → Wn. O sexto

capítulo é dividido em duas seções para tratar de minimalidades de raízes de aplicações

de superfícies compactas, conexas, sem bordo e não orientáveis em Wn, sendo a primeira

seção, para tratar de raízes de aplicações f : RP 2 → Wn e a segunda seção para tratar de

raízes de aplicações f : RP 2g → Wn com g > 1.

Por último é feito um apêndice no qual, primeiramente, é dada uma introdução a

Homologia com Coeficientes Locais e por seguinte é apresentado via teoria de homotopia a

caracterização dos conjuntos das classes de homotopia que utilizamos. Nele é apresentada

uma sequência exata chamada sequência de Puppe-Barrat, originária dos artigos [2], [3] e

[4], que define uma ação do grupo [S2;W ] sobre o [S;W ]. Esta ação descreve as classes de

homotopia e a partir disto é caracterizada cada classe de homotopia de aplicações de S em

S2∨S1, resultando em certas bijeções entre [S,W ] e outros conjuntos que as caracterizam.

Para finalizar a introdução, algumas convenções: Todas as aplicações são consideradas

contínuas. O conjunto de classes de homotopias livres de aplicações de X em Y é denotado

por [X, Y ]. O espaço Wn considerado é o espaço tal que é tomado {p1, . . . , pn} pontos,

dois a dois distintos, de uma esfera um dimensional S1 e n esferas dois dimensionais S2i ,

duas a duas disjuntas com S2i ∩ S

1 = ∅ para todo i ∈ {1, . . . , n}. O espaço Wn é o espaço

obtido pela colagem, pelo ponto pi, de cada S2i em S1, portanto, Wn tem mesmo tipo de

homotopia que S2 ∨ . . . ∨ S2︸︷︷︸

n−vezes

∨S1. Por último, para denotar homotopia de aplicações ou

equivalências de espaços topológicos usaremos ∼= e para denotar isomorfismo entre objetos

4

algébricos usaremos ≃.

Capítulo

1

Representação de aplicações de

superfícies orientáveis em W

1.1 Representação das classes de homotopia de aplica-

ções de S2 em W

Nesta seção usaremos homologia com coeficientes locais para encontrar um polinômio

associado a cada classe de homotopia de aplicações de S2 em W , que representarão as

classes de homotopia destas aplicações.

Calcularemos a homologia com coeficientes locais H∗(W,Zπρ) e será dada uma inter-

pretação geométrica a estes módulos e o homomorfismo induzido por f no segundo grupo

de homologia.

Polinômio associado a uma classe de homotopia

Consideremos π1(W ) = π1(S2 ∨ S1) ≃ Z < t > (gerador por t), Z[π1(W )] ≃ Z[Z] ≃

Z[t, t−1], onde a estrutura de Z[t, t−1]-módulo de Z[t, t−1] é dada pelo homomorfismo

ρπ1 : π1(W )→ AutZ(Z[t, t−1]) tal que ρπ1(t)(σ) = t.σ, ou seja, ρπ1 é a multiplicação por t.

Logo a homologia com coeficientes locais H∗(W ;Z[t, t−1]ρπ1) é calculada da seguinte

6 Representação de aplicações de superfícies orientáveis em W

forma:

1) S∗(W,Z[t, t−1]) = S∗(W ) ⊗Z[t,t−1] Z[t, t−1] = S∗(W ), onde S∗(W ) tem estrutura de

Z[t, t−1]-módulo natural e W é o recobrimento universal de W ilustrado pelo figura abaixo

1

0

-1

.

.

.

2

s-1

.

.

.

2

s1

2

s0

.

2) temos o complexo de cadeias

. . . S3(W )∂3−→ S2(W )

∂2−→ S1(W )∂1−→ S0(W )

∂0−→ 0.

Usando decomposição celular, temos W = e0∪e1∪e2, onde e0 = P , e1 = S1 e e2 = S2.

Fixando os levantamentos destas células como sendo e0 = 0, e1 = [0, 1] e e2 = S20 , temos

a respectiva decomposição

W = (. . .∪et−2

0 ∪et−1

0 ∪e0∪et0∪e

t2

0 ∪. . .)∪(. . . et−2

1 ∪et−1

1 ∪e1∪et1∪e

t2

1 ∪. . .)∪(. . .∪et−2

2 ∪et−1

2 ∪e2∪et2∪e

t2

2 ∪. . .),

onde etj

i = tj ei (lembrando que S∗(W ) é Z[t, t−1]-módulo). Utilizando a ilustração acima,

geometricamente a multiplicação de e0 por tj é o ponto j da reta, a multiplicação de e1

por tj é o segmento [j, j + 1] e a multiplicação de e2 por tj é a esfera S2j .

Portanto S0(W ) = Z[t, t−1] gerado por < e0 >, S1(W ) = Z[t, t−1] gerado por < e1 >,

S2(W ) = Z[t, t−1] gerado por < e2 > e Si(W ) = 0 para i > 2 e i < 0.

Os operadores bordos ∂i são dados por:

i=1: ∂1(e1) = et0 − e0 = te0 − e0 = (t− 1)e0. Logo ∂1 = (t− 1).

i=2: ∂2(e2) = 0. Logo ∂2 = 0

i>2: para i > 2, desde que Si(W ) = 0, temos ∂i = 0.

O complexo de cadeia é então

1.1 Representação das classes de homotopia de aplicações de S2 em W 7

. . . 0∂3=0−→ Z[t, t−1]

∂2=0−→ Z[t, t−1]

∂1=(t−1)−→ Z[t, t−1]

∂0−→ 0.

Logo temos a homologia

Hi(W ;Z[t, t−1]ρπ1 ) ≃

Z[t,t−1]<(t−1)>

∼= Z se i = 0

Z[t, t−1] se i = 2

0 c.c

Seja p : W → W o recobrimento universal. Pelo lema 6.2.1 temos o sistema de

coeficientes locais sobre W associado ao recobrimento p

Z[t, t−1] // W ×π1(W ) Z[t, t−1]

q

��W

,

onde q([w, z]) = p(w).

Dada uma aplicação f : S2 → W induzida de ftemos os homomorfismo induzido

por f em homologia com coeficientes locais. A estrutura de Z[t, t−1]-módulo de Z[t, t−1] é

determinada pela imagem da induzida da f no grupo fundamental. Como π1(S2) é trivial,

a homologia com coeficientes locais Z[t, t−1] de S2 é a homologia usual com coeficientes

em Z[t, t−1].

Neste caso, a homologia H∗(S2;Z[t, t−1]ρ∗π1 ) é dada por

Hi(S2;Z[t, t−1]ρ∗π1 ) ≃

Z[t, t−1] se i = 0, 2

0 se c.c

onde ρ∗π1é o "pullback"de ρπ1 .

Seja fi : Hi(S2;Z[t, t−1]) → Hi(W ;Z[t, t−1]ρπ1 ) o homomorfismo induzido por f em

homologia com coeficientes locais.

Quando i = 2, temos o homomorfismo f2 : H2(S2;Z[t, t−1]) → H2(W ;Z[t, t−1]ρπ1 ),

dada por f2([σ]) = [f ◦ σ], onde f2([σ]) é da forma a−it−i + a−i+1t

−i+1 + . . .+ a0 + a1t+

. . .+ ajtj, onde i, j ∈ N, desde que H2(W ;Z[t, t−1]ρπ1 ) ≃ Z[t, t−1].


Este elemento pressupõe feita uma escolha de isomorfismo Φ : H2(W ;Z[t, t−1]ρπ1 ) →

Z[t, t−1] pois quando dizemos que f2(x) é desta forma estamos identificando com Φ(f2(x)).

Seja Φ : H2(W ;Z[t, t−1]ρπ1 ) → Z[t, t−1] um isomorfismo, isto significa que fixamos o

ponto base xΦ do espaço W . Suponha que fixamos o isomorfismo tal que o ponto base

seja 0 ∈ Z ⊂ R ⊂ W .

Seja um elemento de H2(W ;Z[t, t−1]ρπ1 ), isto é, t−ia−i+t−i+1a−i+1+. . .+tj−1aj−1+tjaj,

então cada monômio e seus coeficientes tem uma interpretação geométrica. Escolhemos

uma orientação para as células S2i do recobrimento universal W . A representação geomé-

trica deste elemento é feita em W e é como na parte vermelha da ilustração

0

-i

j

.

.

.

2sj

.

.

.

2s 0

2s-i

isto é, cada monômio tjaj significa que a esfera S2j é coberta aj vezes, isto é, a esfera S2

j

é recoberta com grau aj de acordo com a orientação escolhida. Além disso o intervalo

[−i, j] também é coberto.

Observemos que esta associação de um elemento t−ia−i+ t−i+1a−i+1+ . . .+ tj−1aj−1+

tjaj ∈ H2(W ;Z[t, t−1]ρπ1 ) a uma aplicação de S2 em W independente do representante

da classe de homotopia desta aplicação, isto é, podemos fazer esta associação à classe de

homotopia da aplicação. Portanto a representação geométrica pode ser como na ilustração

acima na qual a parte vermelha contenha o intervalo [−i, j]. Mas, a menos de homotopia,

a representação irá conter exatamente o intervalo [−i, j] e o mesmo vale para as esferas

S2j , isto é, elas são recobertas exatamente aj vezes de acordo com a orientação fixada

anteriormente.


Fazendo a imagem deste elemento pela aplicação p temos que a imagem de f recobre

a esfera S2, a−i + a−i+1 + . . .+ aj−1 + aj vezes.

Portanto dada uma aplicação f : S2 → W e feita a escolha do isomorfismo Φ :

H2(W ;Z[t, t−1]ρπ1 )→ Z[t, t−1], temos um elemento associado a f que é Φ(f2(σ)), onde σ

é um gerador de H2(S2;Z[t, t−1]ρ∗π1 ) ≃Φ Z[t, t−1].

Suponha que t−ia−i+t−i+1a−i+1+ . . .+tj−1aj−1+tjaj seja o elemento associado a uma

aplicação f : S2 → W . Considere o elemento tk(t−ia−i+t−i+1a−i+1+ . . .+tj−1aj−1+tjaj),

então a representação geométrica deste elemento será a mesma de t−ia−i + t−i+1a−i+1 +

. . .+ tj−1aj−1 + tjaj, mas transladado por k em W como na figura

0

-i+k

j+k

.

.

.

2sj+k

.

.

.

2s 0

2s-i+k

Se tk(t−ia−i+t−i+1a−i+1+ . . .+tj−1aj−1+tjaj) é o elemento associado a uma aplicação

g : S2 → W , então a imagem por p das representações geométricas dos elementos t−ia−i+

t−i+1a−i+1 + . . . + tj−1aj−1 + tjaj e tk(t−ia−i + t−i+1a−i+1 + . . . + tj−1aj−1 + tjaj) são as

mesmas. Portanto a imagem de f e g são as mesmas também.

Além disso, como o conjunto [S2,W ] é o conjunto de classes de aplicações por homo-

topias livres, então g ∈ [f ].

Dado um elemento de Z[t, t−1] associado a uma aplicação f : S2 → W , tal que tenha

potência de t negativa e a menor potência seja −i. Podemos multiplicar este elemento

pelo inversível ti de Z[t, t−1] e assim este novo elemento, que chamaremos de polinômio,

terá somente potências positivas de t e a menor potência de t é 0. Este polinômio será

o polinômio associado a [f ] que terá somente potências de t positivas, com a0 6= 0.


Correspondente ao polinômio nulo (a0 = 0) temos a aplicação homotópica a aplicação

constante.

Lembrando que [f ] é a classe de homotopia livre da aplicação f , podemos definir:

Definição 1.1.1. Dados uma aplicação f : S2 → W e sua classe de homotopia. O

polinômio nulo ou um polinômio com a0 6= 0 e n > 0, como construído acima é o polinômio

associado a classe de homotopia [f ] que é denotado por p[f ](t).

Construção de um bom representante

Na seção anterior é associado à classe de homotopia de uma aplicação f : S2 → W

um polinômio p[f ](t) ∈ H2(W ;Z[Z]ρπ1).

Nesta seção será construída uma aplicação f : S2 → W a partir de um dado polinômio

q(t) = a0 + a1t+ . . .+ aj−1tj−1 + ajt

j ∈ Z[t, t−1] tal que p[f ](t) = q(t).

O espaço W pode ser descrito como R∪

(⋃

j∈Z

S2j

)tal que para j ∈ Z, R∩S2

j = {j} ⊂

Z ⊂ R.

A função de recobrimento p : W → W é tal que p|S2j: S2

j → S2 é um difeomorfismo

que preserva orientação.

Para qualquer j ∈ Z, p|[j,j+1] : [j, j + 1] → W atinge S1 com p(j) = P = p(j + 1)

e p|(j,j+1) : (j, j + 1) → W\S2 é dado por p|(j,j+1)(s) = e2πis, onde P é identificado com

1 ∈ S1 ⊂ C o plano complexo.

A ação de π1(W ) ≃ Z gerado por t sobre W é tal que tiS2j = S2

j+i e ti[j, j + 1] =

[j + i, j + 1 + i].

Dado o polinômio q(t), descreveremos uma aplicação fq : S2 → W tal que a classe de

homotopia de f = p ◦ fq corresponde ao polinômio q(t).

A aplicação fq : S2 → W é como na ilustração:


.

.

.

.

.

.

a =0n

2

sn-1

2

sn-2

2

sr

2

s0

2

s1

2

s2

.

.

.

.

.

.

a =0n-1

a =0n-2

a =0r

a =02

a =01

a =00

onde a imagem da parte vermelha são as esferas de cores vermelhas em W , a imagem

da parte verde é o intervalo verde de W e a imagem da parte azul são os pontos de

coordenadas inteiras em azul de W .

Além disso, cada disco vermelho atinge uma esfera com um grau ai 6= 0 e cada esfera

vermelha é atingida por somente um disco vermelho. A aplicação fq restrita a S2 menos

a parte vermelha é a projeção no intervalo verde.

Logo definimos a aplicação f : S2 → W por p ◦ fq. Por construção p[f ](t) = q(t).

Definição 1.1.2. Uma aplicação f : S2 → W construída como acima a partir do polinô-

mio p[f ](t) é chamada de aplicação especial.

Construção de uma aplicação especial na classe de homotopia de

f : S2 → W

Dada uma aplicação f : S2 → W , usaremos algumas técnicas geométricas para encon-

trar uma aplicação g : S2 → W onde g ∈ [f ] e g é especial.

Primeiramente note que se a imagem de f esta contida em S1 ⊂ W , desde que π2(S1) =

0, temos f homotópica a uma aplicação constante.

Se a imagem de f esta contida em S2 ⊂ W , então o polinômio p[f ] = O e neste caso

f é homotópica a uma aplicação constante

Se p[f ] = a0 6= 0 e a aplicação f pode ser considerada como aplicação de S2 em S2 tal

que a0 é o seu grau.


Observação: Uma aplicação f : X → Y entre dois espaços topológicos é dita fortemente

sobrejetiva se para qualquer g homotópica a f , g é sobrejetora.

Logo daqui por adiante, consideremos aplicações de S2 em W fortemente sobrejetiva.

Os resultados seguintes modificarão f , através de homotopias, para uma aplicação

especial. Durante este processo a aplicação modificada sempre será denotada por f , isto

é, manteremos a mesma notação nos vários passos das demonstrações.

Lema 1.1.1. Seja uma aplicação f : S2 → W contínua fortemente sobrejetora. Então f

é homotópica a uma aplicação g : S2 → W tal que g−1(W\S1) é uma subvariedade de S2

homeomorfa an⊔

t=1

B2t , onde n é finito, B2

t é o interior de discos D2t tal que ∂D2

t∼= S1

t e

para i 6= j, S1i ∩ S1

j = ∅. Além disso, g(∂D2t ) = P e g|(D2

t ,∂D2t ): (D2

t , ∂D2t )→ (S2, P ) tem

grau ±1.

Demonstração: Primeiramente observe que como S2 é variedade e W , a menos do

ponto singular P , tem propriedades locais de variedades, podemos usar os conceitos e

resultados de diferenciabilidade, que são conceitos locais, para podermos aproximar f por

uma aplicação diferenciável nos abertos f−1(W\S1) e f−1(W\S2).

Então existe um valor regular y ∈ W\S1. Pelo Teorema de Sard y possui uma vi-

zinhança 2-Euclidiana V ⊂ S2 ⊂ W tal que V não contém valor crítico. Como o do-

mínio S2 é compacto e y é valor regular, então f−1(y) é um número finito de pontos

{x1, . . . , xt} ⊂ S2. Considere uma vizinhança B1 ⊂ S2 de x1 homeomorfa a um disco de

dimensão 2 tal que f(B1) ⊂ V e ∂B1∩f−1(y) = ∅. Por um resultado de [6] (pg. 300, Lema

5.3) tem-se que f pode ser deformada por homotopia em uma aplicação f 1 : S2 → W tal

que f 1|(S2\B1) = f |(S2\B1), (f1)−1(y) ∩ B1 = {x1} e f 1(B1) ⊂ V .

Repetindo o processo acima para x2 e depois sucessivamente até xt, existirá B1, . . . , Bt

vizinhanças disjuntas, homeomorfas a disco de dimensão 2, de respectivamente x1, . . . , xt

tais que f t : S2 → W satisfaz:

1) f t|(S2\(B1∪...∪Bt)) = f |(S2\(B1∪...∪Bt)),

2)(f t)−1(y) ∩ Bi = {xi} e f t(Bi) ⊂ V , para todo i ∈ {1, . . . , t},

3)f t ∼= f .

Podemos tomar um caminho simples c : I → W , tal que c conecta todos Bi e c(I) ⊂


V \⊔t

i=1

◦

Bi. Sem perda de generalidade podemos supor V =t⊔

i=1

Bi ∪ (c(I)).

Considere a homotopia H : W × I → W tal que H(x, 0) = x e H(x, 1) = r(x) onde

r : W → W é uma aplicação tal que r(V ) = W\S1 e r|S1 = (IdW )|S1 , isto é, r leva o

aberto V sobre W\S1, leva (S2\V ) ⊂ W em {P} e o resto mantém a identidade, como

no desenho abaixo

p

r

r

vp

v

Figura 1.1: Retração S2

.

Assim f t ∼= f = H(., 0) ◦ f ∼= H(., 1) ◦ f = r ◦ f ∼= r ◦ f t. Portanto a menos de

homotopia f−1(W\S1) é uma subvariedade de S2 homeomorfa an⊔

t=1

B2t , onde n é finito

e B2t são discos abertos de dimensão 2, B2

t é o interior de discos disjuntos D2t tal que

∂D2t ≃ S1

t e tal que f(∂D2t ) = {P} para t ∈ {1, . . . , n}.

Além disso como S2 e W são compactos segue pelo corolário 4.2 de [6] que podemos

considerar a aplicação f tal que f |B2t: B2

t → W\S1 é homeomorfismo e se tomarmos

D2t = B2

t ∪ ∂D2t o grau de f |D2

t é ±1.

O próximo lema juntará certos discos deste tipo.

Lema 1.1.2. Sejam uma aplicação f : S2 → W fortemente sobrejetora e seu levantamento

f : S2 → W , onde W é o recobrimento universal de W . Então existe uma aplicação

g : S2 → W tal que [g] = [f ] e g−1(S2i \{i}) = B2

i ou g−1(S2i \{i}) = ∅, onde g : S2 → W

é o levantamento de g, B2i são discos abertos de dimensão dois e i ∈ {k, . . . , k + n}.

Demonstração: Já que S2 é compacto, f(S2) também o é. Portanto existe um primeiro

índice k e um último índice k + n tal que S2k e S2

k+n são atingidas pela imagem de f .

Pelo lema 1.1.1 podemos considerar que f−1(W\S1) é uma subvariedade de S2 homeo-


morfa an⊔

t=1


t são discos abertos de dimensão 2, f |B2t: B2

t → W\S1 é

homeomorfismo e f(∂B2t ) = P para t ∈ {1, . . . , n}. Portanto para cada j ∈ {k, . . . , k+n}

f−1(S2j \{j}) é uma subvariedade de S2 homeomorfa a

nj+r⊔

l=nj

B2l , onde B2

l ⊂ {B21 , . . . , B

2n},

f |B2l: B2

l → S2j \{j} é homeomorfismo com f(∂B2

l ) = j para l ∈ {nj , . . . , nj + r} e

{nj , . . . , nj + r} ⊂ {1, . . . , n}.

Fixemos j ∈ {k, . . . , k + n}, juntaremos os discosnj+r⊔

l=nj

B2l em um único disco.

Já que S2\f−1(W\(S1 − {P})) é conexo por caminhos, quaisquer dois pontos podem

ser ligados por um caminhos em S2\f−1(W\(S1−{P})). Portanto tomemos um caminho

simples c : I → S2 tal que vale as seguintes propriedades:

i) c(I) ⊂ S2\f−1(W\(S1 − {P})).

ii) c(0) ∈ ∂B2nj⊂

nj+r⊔

l=nj

∂B2l , c

(1

r − 1

)∈ ∂B2

nj+1 ⊂

nj+r⊔

l=nj

∂B2l , . . . , c

(r − 2

r − 1

)∂B2

nj+r−1 ⊂

nj+r⊔

l=nj

∂B2l e c(1) ∈ ∂B2

nj+r ⊂

nj+r⊔

l=nj

∂B2l .

Por construção do caminho c, f ◦ c ∈ R ⊂ W . Como I é compacto segue que f ◦ c(I)

também é compacto tal que f ◦ c(0) = f ◦ c(1) = j. Portanto, a menos de homotopia,

podemos considerar que f ◦ c(I) = j. Logo a menos de homotopia existe um único

disco Dj ⊂ S2 tal que f(Dj) ⊂ S2j , f(∂Dj) = j e o grau de f |Dj

é a soma dos graus

deg f |D21 + . . .+ deg f |D2

nj. Se esta soma for zero então existe, a menos de homotopia, f

tal que f(Dj) = j.

Portanto existe uma homotopia Hj : S2× I → W tal que Hj(x, 0) = f e Hj(x, 1) = gj

tal que gj(Dj) ⊂ S2j , gj(∂Dj) = j e o grau de gj|Dj

é a soma dos graus deg gj|D21 + . . .+

deg gj|D2nj

.

Repetindo este processo de junção para cada índice i ∈ {k, . . . , k + n} temos a exis-

tência de uma homotopia H(x, 0) = f e H(x, 1) = g tal que g−1(S2i \{i}) = B2

i ou

g−1(S2i \{i}) = ∅ e g(∂Di) = i, onde Di = B2

i ∪ ∂B2i e i ∈ {k, . . . , k + n}.

Portanto a composição p ◦ H é uma homotopia tal que p ◦ H(x, 0) = p ◦ f = f e

p ◦H(x, 1) = p ◦ g = g e g é como queríamos.


Lema 1.1.3. Seja uma aplicação f : S2 → W contínua e fortemente sobrejetora. Então, a

menos de homotopia, f−1(W\S2) é uma subvariedade de S2 homeomorfa an⊔

i=1

S1i ×(−ǫ, ǫ),

onde n é finito.

Demonstração: Assim como no lema anterior, podemos usar os conceitos e resultados

de diferenciabilidade. O aberto Z = W\S2 de W é homeomorfo a R.

Consideremos os intervalos abertos V ⊂ U ⊂ Z e um compacto A ⊂ V tal que ¯V ⊂ U .

Dados f : S2 → S1 ⊂ W contínua, tomemos os abertos de S2, U = f−1(U), V = f−1(V )

e o compacto A = f−1(A). Assim, vale que A ⊂ V e V ⊂ U . Seja f |U : U → U a restrição

de f . Pelo resultado 4.1 de [15] temos que existe uma aplicação f1 : U → U tais que f1

é C∞ numa vizinhança de A, f1 = f para os pontos fora de V e f1 é homotópica a f .

Dessa forma se definirmos f1(x) = f(x) para os pontos em S2\U , f1 será contínua com

as propriedades acima.

Portanto seja x ∈ W\S2 tal que x é valor regular de f1. Pelo teorema de Sard temos

que existe uma vizinhança V1 de x tal que não contenha pontos críticos de f1 em V1.

Considere a homotopia em W , H : W × I → W tal que H(x, 0) = x e H(x, 1) = r(x)

onde r : W → W é uma aplicação tal que r(V1) = W\S2 e r|S2 = (IdW )|S2 , ilustrada por,

p

r

r

xV1 px

.

Assim f1 = H0 ◦ f1 ∼= H1 ◦ f1 = r ◦ f1. Portanto podemos considerar que todos os

pontos em W\S2 são valores regulares de f1. Pelo fato de x ∈ W\S2 ser valor regular,

(f1)−1(x) é uma subvariedade de S homeomorfa a uma união disjunta

n⊔

i=1

S1i × (−ǫ, ǫ),

onde n é finito. Dessa forma (f1)−1(W\S2) é uma subvariedade de S homeomorfa a

n⊔

i=1

S1i × (−ǫ, ǫ), onde n é finito e f1 é homotópica a f .

Sejam uma aplicação f : S2 → W e seu levantamento f : S2 → W . Como S2 é

compacta, um número finito de S2i esta contida na imagem de f . Suponha que S2

k é a


esfera que esta contida na imagem tal que k seja o maior inteiro e que a imagem de f

atinja o intervalo [k, k + n] e Im (f) ∩ (k + n,+∞) = ∅.

Como a última esfera atingida pela f é S2k , então existe uma aplicação r : W → W

que retrai todo intervalo [k, k+ n] no ponto k. A imagem da composição r ◦ f não atinge

mais todo intervalo [k, k + n], mas somente o ponto k. Além disso, esta composição é

homotópica a f e portanto r ◦ f ◦ p é homotópica a f .

Pelo Lema 1.1.3 existe um cilindro C ∼= S1×[−ǫ, ǫ] ⊂ S2 tal que f(C) = [k, k+1] ⊂ W

e f(C) = S1. Quando fazemos a homotopia acima, significa que mudamos a aplicação f

tal que a imagem de C seja o ponto P ∈ S1.

Pelo lema 1.1.2 f−1(S2k+n\{k+n}) = B2

k+n e se a esfera S2k+n é coberta por f com grau

igual a zero, então, por propriedade de grau, a aplicação f é homotópica a uma aplicação

que é constante em B2k+n. Logo repete-se o processo acima para [k + n− 1, k + n].

Podemos repetir este processo finitas vezes. Logo sem perda de generalidade, tomamos

k + n como sendo o menor inteiro tal que S2k+n esta contida na imagem de f com grau

diferente de zero.

Portanto, a menos de homotopia, a imagem f não atinge o subconjunto (k+n,+∞)∪

(−∞, k), onde k + n é o maior inteiro tal que S2k+n pertence a imagem de f , k é o menor

inteiro tal que S2k pertence a imagem de f e as esferas S2

k+n S2k são recobertas com graus

diferentes de zero.

Quando foi feita a interpretação geométrica do polinômio associado [f ], vimos que

podemos multiplicar por inversíveis tj, ∀j ∈ Z∗, isto é, a menos de escolha de ponto base

do espaço W , k = 0.

Daqui por diante k = 0.

Portanto depois de algumas homotopias terminamos com uma aplicação f : S2 → W

com boas propriedades, mas ainda p ◦ f não é uma aplicação especial.

Pelo Lema 1.1.3 a imagem inversa de cada intervalo (j, j + 1) ⊂ W , eventualmente,

é uma união finita de cilindros, mas para uma aplicação especial a imagem inversa de

cada intervalo (j, j + 1) ⊂ W é vazio ou um único cilindro. Para eliminar os, possíveis,

cilindros extras será utilizado teoria de grafos, através da fatoração de Stein que gera um

grafo (também conhecido como grafo de Reeb ou grafo de Lyapunov).


Existe uma retração φ : W → R que manda cada esfera S2i a {i} e é a identidade em

R, isto é, φ|R é a identidade e φ(S2i ) = i.

Podemos compor a aplicação f com φ para obter um tipo de "aplicação de Morse" f :

S2 → R. Esta aplicação tem imagem o intervalo [0, n] e para todo inteiro 0 ≤ i ≤ n temos

f−1(i) é uma coleção não vazia de 2-variedades com bordo de genus zero e f

−1((i, i+ 1))

é uma coleção não vazia de cilindros (≃ S1 × (−ǫ, ǫ)).

Consideramos a fatoração Stein de f , isto é, definimos uma relação de equivalência

no domínio S2 por x1 ∼ x2 se f(x1) = f(x2) e os pontos x1 e x2 pertencem a mesma

componente conexa de f−1(x1). O espaço quociente S2/ ∼ é um grafo denotado por Γf

e neste caso o grafo é uma árvore. Definimos a aplicação fs : Γf → R por fs(x) = f(x),

onde x é a classe de x ∈ S2 e temos o seguinte diagrama comutativo

S2 f //

��

R

Γf

fs

??⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧

.

A aplicação f pode ser vista como uma função de Morse com "regiões planas". Neste

caso o domínio da fatoração de Stein Γf é uma árvore que tem seus vértices enviados

por fs nos inteiro de R e suas arestas correspondem aos cilindros que são projetados nos

intervalos aberto (i, i + 1). Chamaremos f s : Γf → R a aplicação induzida de f na

fatoração de Stein.

Pelo Lema 1.1.2, há um único disco aberto B2i tal que f(B2

i ) = S2i \{i}, f(∂B

2i ) = i

e f |B2

i

: (B2i , ∂B

2i ) → (S2

i , i) recobre a esfera S2i com grau ai. Assim, em cada nível i tal

que ai 6= 0 destacamos o vértice de Γf que corresponde à superfície que contém o ∂B2i e

"pintamos de vermelho", para distingui-los dos demais.

Note que as "regiões planas"são as superfícies com bordo que dão origem aos vértices

do grafo, eles são mandados por f nos inteiros {0, . . . , n}.

Nós definimos uma ordem parcial no grafo, usando a aplicação f e a ordem de

[0, n] ⊂ R. Assim podemos imaginar f como a função altura definida de S2 no grafo

Γf . Abreviaremos Γf por Γ.

Será feita modificações, por homotopias, em f , mas ainda manteremos o mesmo nome


para esta nova aplicação e para o novo grafo também manteremos a notação Γ.

A partir de agora vamos estudar as mudanças por homotopias de f a partir do que

ocorre com o grafo Γ e na aplicação fs.

Começaremos um processo de mudança por homotopias da aplicação f sem alterações

nos discos Ei (os discos que a aplicação f manda no interior das esferas S2i onde ai 6= 0).

Devemos fazer isto de tal forma que o grafo se torne o grafo de uma aplicação especial o

qual é linear e estritamente crescente com (n+ 1) vértices e n arestas.

Passo 1 Se no nível n tiver mais vértices do que o "vértice vermelho", podemos eliminar

os outros vértices por uma homotopia de f tal que as superfícies correspondentes a estes

vértices e os cilindros atingidos são movidos para o nível (n− 1).

Note que neste caso o número de vértices nos níveis (n − 1) diminui, uma vez que

algumas superfícies desse nível estão ligados pelos cilindros.

Passo 2 Podemos fazer o mesmo com o nível 0 e 1.

Passo 3 Usando o mesmo processo, podemos eliminar "vértices de máximos locais não

vermelhos"e "vértices de mínimos locais não vermelhos".

Neste ponto, temos uma aplicação f tal que o grafo Γ de f tem apenas um vértice

maximal (vermelho) e apenas um vértice minimal (vermelho).

Considere um subgrafo ∆ ⊂ Γ ligando o vértice vermelho do nível 0 ao vértice vermelho

do nível n tal que ∆ é um caminho simples, ou seja, ∆ é um caminho sem auto interseção.

Passo 4 Neste momento, temos uma árvore de modo que o (único) vértice minimal no

nível 0, o (único) vértice máximo no nível n são os vermelhos e com possíveis arestas livres

com vértices extremos vermelhos.

∆ é um grafo linear (não necessariamente crescente) que liga o vértice vermelho de

nível 0 ao vértice vermelho do nível n, se este subgrafo for estritamente crescente e contém

todos os vértices vermelhos, então o processo acabou uma vez que este gráfico é um


grafo de uma aplicação especial (a menos de mais algumas homotopias simples, onde as

superfícies planares tornam-se objetos 1-dimensionais e as arestas livres são eliminadas

por homotopias triviais).

Lema 1.1.4. Sejam f : S2 → W uma aplicação contínua e fortemente sobrejetora,

f : S2 → W e f = φ ◦ f : S2 → R como antes. Podemos mudar f , por homotopias, tal

que o grafo Γ é linear e estritamente crescente.

Demonstração: Se o gráfico Γ é estritamente crescente (ou estritamente decrescente)

acabou. Então suponha que o gráfico contém três vértices A,B e C, tal que A,C estão

no nível i e B está no nível i+ 1, como na ilustração abaixo:

i

i+1

A

B

C

0

n

fs

.

Os vértices A e C correspondem à componentes conexas por caminhos de f−1(i), CiA e

CiC , respectivamente; o vértice B corresponde à componente conexa por caminhos C(i+1)B

de f−1(i+ 1), e as arestas AB e BC correspondem à cilindros de f−1((i, i+ 1)).

Consideramos três pontos x1 ∈ CiA , x2 ∈ C(i+1)Be x3 ∈ CiC . Tomamos um caminho

simples c : I → f−1([i, i + 1]) conectando x1 a x3, passando por x2 tal que não atinge

nenhum outro cilindro, exceto aqueles que correspondem a AB e BC.

Tomamos V ⊂ S2\f−1(W\S1) uma vizinhança tubular de c. Desde que f(c(I)) ⊂ R

e os pontos finais são mandados em i, a menos de homotopia, f(c(I)) = P . Utilizamos


esta homotopia para modificar f em V de tal modo que o novo grafo associado a nova f

seja como se segue:

i

i+1

0

n

fs

A

B

C=

.

Repetindo este processo para as outras partes de Γ similares a parte considerada acima

entre os níveis i e i+ 1.

Terminamos com um grafo linear estritamente crescente o qual é associado a uma


Teorema 1.1.1. Dada uma aplicação f : S2 → W e sua classe de homotopia [f ]. Então

existe g ∈ [f ] tal que g é especial.

Demonstração: Considere a aplicação f : S2 → W . Pelos lemas 1.1.1 e 1.1.3 existe

uma aplicação homotópica a f , que manteremos o nome f , tal que f−1(W\S1) é uma

união finita de bolas cujos bordos são enviados por f em {P}, f−1(W\S2) é uma união

finita de cilindros S1 × (−ǫ, ǫ), os conjuntos (S1 × {−ǫ}) ∪ (S1 × {ǫ}) são enviados por f

em P e f−1(P ) é uma coleção de superfícies compactas, conexas e com bordo de gênus

zero.

Considere f : S2 → W o levantamento de f .

A imagem de f é um conjunto compacto e conexo, assim a imagem é apenas um

segmento [a, b] ⊂ R, unido com um número finito de esferas.


Observa-se que as esferas que podem ser atingidas por f são S2n, S

2n+1, . . . , S

2n+k tais

que {n, n+1, . . . , n+k} ⊂ [a, b] as quais (não necessariamente todas elas) são as imagens

dos discos D2i pelo Lema 1.1.1.

Para cada uma dessas esferas S2j coletamos os discos D2

i que são enviados por f nesta

esfera. Se o número deles é maior do que um, então conectamos estes discos por um

caminho simples desviando dos outros discos de tal modo que a união dos discos e uma

vizinhança suficientemente pequena do caminho será um único disco que contém todos os

discos que atingem esta esfera.

Pelo Lema 1.1.2 o aplicação f pode ser deformada mais uma vez ao longo do disco

e da vizinhança do caminho (mais uma vez, continuaremos chamando a nova aplicação

de f) de forma que a imagem de uma pequena vizinhança do caminho tenha imagem

{j} ⊂ Z ⊂ R ⊂ W (note que p ◦ f : S2 → W envia este caminho em P ). Após isso,

ajustamos f por outra homotopia tal que em um único disco a aplicação f tem grau igual

a soma algébrica dos graus dos discos correspondentes.

Se o grau é igual a zero, então a aplicação restrita ao disco é homotópica a aplicação

constante, portanto, mudaremos homotopicamente a aplicação uma vez mais de modo

que a imagem não atinge o interior da esfera, ou seja é constante e igual a P .

Depois de repetir esse processo para as outras famílias de discos que atingem a mesma

esfera, temos uma aplicação f : S2 → W tal que para uma coleção de discos E2k , f |E2

k:

(E2k , ∂E

2k)→ (S2

k , k) tem grau ak 6= 0.

Chamamos k+ o maior índice de tal forma que ak+ 6= 0, k− o menor índice tal que

ak− 6= 0 e, por conveniência, escolhemos o levantamento de f a W tal que k− = 0 e

k+ = n.

Então, para i > n ou i < 0, S2i \{i} não é atingido por f .

Podemos ter algum 0 < i < n tal que ai = 0. Neste caso, mudamos a aplicação por

uma homotopia e temos que o interior da esfera S2i não é atingido por f .

Note que temos uma aplicação f tal que a parte da imagem de f que atinge W acima

de n esta dentro do segmento [n, b] ⊂ R, o qual é contrátil (o mesmo para a imagem de f

abaixo 0). Assim, podemos modificar f tal que a imagem de f é o conjunto [0, n]∪ (∪S2i ),

onde ai 6= 0 e o conjunto de índices i é um subconjunto de {0, . . . , n}.


Observamos que a imagem inversa de cada i ∈ Z é uma coleção de superfícies com

bordo de genus zero (possíveis círculos ou "wedges"de círculos) e para cada intervalo

(j, j + 1) a imagem inversa é uma coleção não vazia de cilindros.

Consideramos a fatoração de Stein (ou grafo de Lyapunov) de f : S2 → R, isto é,

definimos uma relação de equivalência no domínio S2 por x1 ∼ x2 se f(x1) = f(x2) e os

pontos x1 e x2 pertencem a mesma componente conexa de f−1(x1). O espaço quociente

S2/ ∼ é um grafo, denotado por Γ, que neste caso é uma árvore. Definimos a aplicação

fs : Γf → R por fs(x) = f(x), onde x é a classe de x ∈ S2 e temos o seguinte diagrama

comutativo

S2 f //

��

R

Γf

fs

??⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧

.

Em Γ é dado uma ordem parcial induzida por f e pela ordem de R.

Os vértices que correspondem às superfícies que contém os ∂D2i com ai 6= 0 é destacado

em vermelho.

Pelos Passos 1, 2, 3, 4 e o Lema 1.1.4 temos uma abordagem para mudar, homo-

topicamente, a aplicação f , sem alterá-la no interior de Di. Estas mudanças são para-

metrizadas pela fatoração de Stein que por fim resulta em um grafo linear e estritamente

crescente que liga os vértices extremos e passando por cada vértice vermelho de Γ, e isto

é um grafo que corresponde a uma aplicação especial, é fácil ver que f é especial.


ções de T 2 em W

Também neste caso a cada classe de homotopia de uma aplicação f : T 2 → W será

associado um polinômio. A partir deste polinômio será construída uma aplicação que

terá boas propriedade e será chamada de especial. Em seguida, será provado que em

cada classe de homotopia [f ] existe uma aplicação especial que pode ser dada a partir do

1.2 Representação das classes de homotopia de aplicações de T 2 em W 23

polinômio associado a classe [f ].

Eventualmente, nesta seção e nas próximas seções, será considerado o homomorfismo

induzido por f : S → Wn em grupo fundamental, para isso é necessário fixar pontos bases

de S e Wn e considerar f baseada. Para simplificar não é denotado os pontos bases dos

espaços.

Polinômio associado a uma aplicação f : T 2 → W

Sejam uma aplicação f : T 2 → W , o grupo fundamental π1(T2) ∼= Z ⊕ Z e fπ :

π1(T2)→ π1(W ) a induzida de f no grupo fundamental. Vamos supor que l ∈ N é tal que

< l >= fπ(π1(T2)) com fπ(1, 0) = a, fπ(0, 1) = b e mdc{a, b} = l. Como mdc{a, b} = l,

existem x0, y0 ∈ Z tais que x0a + y0b = l. A base considerada em π1(T2) = Z ⊕ Z é a

canônica {(1, 0), (0, 1)} tal que geometricamente é representada pelos seguintes laços:

.

Se escolhermos o conjunto de pares B =

{(x0, y0),

(−b

l,a

l

)}como base para o

π1(T2), então temos fπ(x0, y0) = x0a + y0b = l e fπ

(−b

l,a

l

)=−ba

l+

ab

l= 0, isto

significa que se considerarmos o toro como o quociente de I × I identificando os bordos

opostos, então a mudança para a base B é apenas a troca de I × I por um losango e

identifica-se os bordos opostos, onde os lados horizontais seriam o laço representado por

(x0, y0) e os lados verticais seriam o laço representado por(−b

l,a

l

).

Observe que esta mudança significa um homeomorfismo no domínio de f .

Dessa maneira dada uma aplicação como acima, sempre podemos escolher como mo-

delo uma aplicação que leva o lado horizontal do quadrado I × I, que é o círculo longi-

tudinal no toro que corresponde ao gerador α = (1, 0) ∈ π1(T2), na S1 e outro lado do

quadrado que corresponde ao outro círculo gerador β = (0, 1) ∈ π1(T2) no ponto P , como

na ilustração


Figura 1.2:.

A partir da aplicação f : T 2 → W construímos uma aplicação fS2 : S2 → W da

seguinte forma:

- Identificamos o conjunto T 2\β com S2\(D1 ∪D2), onde Disão discos de dimensão 2 tal

que D1 ∩D2 = ∅, como na figura abaixo

.

- Definimos a aplicação fS2 no conjunto D1∪D2 como sendo a aplicação constante em P ,

isto é, fS2(D1 ∪D2) = P ∈ W .

- Para todo x ∈ S2\(D1 ∪D2) definimos fS2(x) := f(x).

Definição 1.2.1. Sejam uma aplicação f : T 2 → W e o polinômio p[fS2 ](t). Então

p[f ](t) = p[fS2 ](t) é o polinômio associado a [f ], como na seção anterior.

Representação quando fπ = 0

Consideremos as classes de homotopia [f ] ∈ [T 2,W ] tais que fπ : π1(T2)→ π1(W ) é o

homomorfismo nulo. Neste caso podem ocorrer as seguintes situações:

- Se, a menos de homotopia, f(T 2) ⊂ W\S1 ou f(T 2) ⊂ W\S2, então f é homotópica a

uma função constante.

- Se, a menos de homotopia, f(T 2) = S2 ⊂ W , então usando as técnicas das demonstrações

dos Lemas 1.1.2 e 1.1.1, a menos de homotopia temos f−1(P ) = S1∨S1 e f−1(W\S1) = D2


tal que ∂D2 = S1 ∨ S1 e f |(D2,∂D2) recobre S2 com grau diferente de zero, onde D2 é um

disco aberto. Quando o toro é pensado como o quadrado I × I identificando os bordos

paralelos, a menos de homotopia, o conjunto f−1(P ) são os bordos paralelos e f−1(W\S1)

é o interior do quadrado I × I.

- Se, a menos de homotopia, f(T 2) = S1 ⊂ W , então, desde que fπ = 0, f é homotópica

a uma aplicação constante.

- Finalmente o caso em que f é fortemente sobrejetora. Neste caso f pode ser fatorada

por S2, isto é, existe uma aplicação q : S2 → W tal que o diagrama

S2

f ′

��T 2

q>>⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤

f// W

comuta.

Já vimos que q pode ser representada utilizando as técnicas das demonstrações dos

Lemas 1.1.1 e 1.1.2 e a aplicação f ′ é representada pelo seu polinômio, isto é, a menos de

homotopia f ′ é especial.

Logo, a menos de homotopia, f é tal que q(S1 ∨ S1) é um único ponto N ∈ S2

para algum N ∈ S2, q|(T 2\S1∨S1) é uma bijeção com S2\N e f ′ é uma aplicação especial

representada como na seção 1.1 pelo seu polinômio p[f ′](t) = p[f ](t).

Construção de f : T 2 → W a partir de q(t) e l ∈ N

Sejam um polinômio q(t) = a0 + . . .+ antn e um número l ∈ N. Considere a aplicação

f de T 2 em W obtida da figura

...

...

C1

C2

Cl

Cl-1

1

2

l-1

l

D

.


onde f(∂D) = P , f |(D,∂D) : (D, ∂D) → W é construída a partir do polinômio q(t) como

na seção 1.1 (como aplicação de S2 em W ) e a imagem de cada cilindro Ci é S1 ⊂ W

tal que cada um dos caminhos λi é levado pela f em S1 ⊂ W no sentido anti-horário e

i ∈ {1, . . . , l}.

Quando l = 0, então f(T 2\◦

D) = P , f |(D,∂D) : (D, ∂D)→ W é construída a partir do

polinômio q(t) como na seção 1.1. Neste caso f é equivalente (por homotopia) a aplicação

tal que f(S1 ∨S1(= α∨β)) = P e f(T 2\S1 ∨S1) é construída a partir do polinômio q(t).

Portanto por construção p[f ](t) = q(t) e desde que π1(T2) ∼= Z⊕ Z =< α > ⊕ < β >,

então fπ(π1(T2)) ≃ lZ, onde fπ(α) = l e fπ(β) = 0.

Definição 1.2.2. Uma aplicação f : T 2 → W será chamada especial se ela pode ser

construída como acima, isto é, a partir do polinômio p[f ](t) e de l, onde l ∈ N é um

gerador de fπ(π1(T2)) ou l = 0.

Representação quando fπ 6= 0

Quando uma aplicação f : T 2 → W é tal que fπ 6= 0, temos um subgrupo Im(fπ) ⊂ Z.

Logo existe l ∈ N tal que Im(fπ) ≃ Z < l >⊂ Z ≃ π1(W ).

Suponha que, a menos de homotopia, f(T 2) = S1 ⊂ W . Neste caso temos a aplicação

f : T 2 → S1 e podemos fazer uma aproximação de f , isto é, a menos de homotopia f é

C∞. Com isso construímos o seguinte diagrama comutativo

T

p��

F // R

exp

��T 2

f// S1

onde exp : R→ S1 é aplicação exponencial usual, T é o recobrimento cíclico infinito de T 2

(mais adiante apresentaremos mais informações sobre T ). Portanto p é um difeomorfismo

local.

Dado um aberto U ⊂ S1 e o aberto V = f−1(U) tal que f |V é C∞. Como exp e p

são difeomorfismos locais, tomemos um respectivo aberto U ′ ⊂ R e um respectivo aberto


V ′ ⊂ T . Usamos resultados de Teoria de Morse para tomar uma aplicação G ∼= F tal que

G é uma aplicação de Morse. Temos então que podemos aproximar, usando o diagrama

comutativo acima, a aplicação F por uma aplicação de Morse, obtendo assim f : T 2 → S1

uma aplicação de Morse circular.

Portanto para cada ponto x ∈ S1 a imagem inversa f−1(x) pode ser uma união de l

cópias de S1, isto é,l⊔

i=1

S1i . Pela teoria de Morse temos que l é o mínimo de cópias de S1

pertencente a imagem inversa f−1(x). Podendo, eventualmente, ter mais do que l.

Esta teoria que estuda aplicações de variedades fechadas M em S1 é chamada "Circle

Valued Morse Theory"e uma referência sobre este assunto é [17].

De agora em diante estaremos considerando aplicações f : T 2 → W fortemente sobre-

jetora.

Primeiramente vamos supor que l = 1 e da mesma forma como foi feito no início desta

seção, podemos supor, sem perda de generalidade, que fπ(1, 0) = 1 e fπ(0, 1) = 0, onde

α = (0, 1) e β = (0, 1) são como na ilustração 1.2.

Consideremos T como na ilustração seguinte,

...

... .

O espaço T é um espaço de recobrimento de T 2 relativo ao ker(fπ), isto é, um reco-

brimento cíclico infinito de T 2 tal que o diagrama

T

p��

f◦p

❆❆❆

❆❆❆❆

❆

T 2f

// W

é comutativo.


Por construção do recobrimento T , a imagem (f ◦ p)π(π1(T )) é nula. Portanto a

aplicação f ◦ p se levanta ao recobrimento universal W , isto é, o diagrama

T

p��

f◦p

❆❆❆

❆❆❆❆

❆

fp // W

p

��T 2

f// W

é comutativo.

Como este diagrama comuta, aplicações fp e gp homotópicas induzem aplicações f e

g homotópicas.

Portanto faremos homotopias na aplicação fp para encontrar gp ≃ fp tal que gp irá

induzir uma aplicação g ≃ f , onde g é especial.

O cilindro T é um recobrimento com Z-folhas de T 2. Isto significa que basta conhecer

como são as aplicações p e fp em uma região fundamental do recobrimento (que é um

cilindro fechado), pois as aplicações restritas em cada cilindro se repetem nas outras

regiões.

Fixaremos uma destas folhas e chamaremos de C a região destacada (cilindro fechado

com bordos α0 ⊔ α1) da ilustração

...

...

α0

α1

C

.

Sem perda de generalidade, podemos considerar a região C para fazer modificações

por homotopias, pois basta repetir analogamente estas modificações em cada cópia de C

em T .

Lema 1.2.1. Seja uma aplicação f : T 2 → W contínua e fortemente sobrejetiva com

l = 1 (fπ sobrejetiva). Então existe g ∈ [f ] tal que g−1(W\S1) é uma subvariedade de T 2


homeomorfa an⊔

t=1

B2t , onde n ∈ N, e B2

t é o interior de discos D2t onde ∂D2

t ≃ S1t e se

i 6= j S1i ∩ S1

j = ∅. Além disso, g(S1t ) = P e g|(D2

t ,∂D2t )

: (D2t , ∂D

2t ) → (S2, P ) tem grau

±1.

Demonstração: Assim como na demonstração do Lema 1.1.1 podemos usar os conceitos

de diferenciabilidade local. Então tomemos um valor regular y ∈ S2 ⊂ W . Então pelo

Teorema de Sard y possui uma vizinhança 2-Euclidiana V ⊂ S2 tal que V não possua

valor crítico. Como S é compacto e y é valor regular f−1(y) é um número finito de

pontos {x1, . . . , xt} ⊂ T 2. Considere uma vizinhança B1 ⊂ T 2 de x1 homeomorfa ao disco

aberto de dimensão 2 tal que f(B1) ⊂ V e ∂B1 ∩ f−1(y) = ∅. Pelo Lema 5.3 de [6]

tem-se que f pode ser deformada por homotopia em uma aplicação f 1 : T 2 → W tal que

f 1|(T 2\B1) = f |(T 2\B1), (f1)−1(y) ∩ B1 = {x1} e f 1(B1) ⊂ V .

Repetindo o processo acima para x2 e depois sucessivamente até xt, existirá B1, . . . , Bt

vizinhanças disjuntas, homeomorfas ao disco aberto de dimensão 2, de respectivamente

x1, . . . , xt tais que f t : T 2 → W satisfaz:

1) f t|(T 2\(B1∪...∪Bt)) = f |(T 2\(B1∪...∪Bt)),

2)(f t)−1(y) ∩ Bi = {xi} e f t(Bi) ⊂ V , para todo i ∈ {1, . . . , t},

3)f t ∼= f .

Podemos tomar um caminho simples c : I → W , tal que c conecta todos Bi e c(I) ⊂

V \⊔t

i=1

◦

Bi. Sem perda de generalidade podemos supor V =t⊔

i=1

Bi ∪ (c(I)).

Considere a homotopia H : W × I → W tal que H(x, 0) = x e H(x, 1) = r(x) onde

r : W → W é uma aplicação tal que r(V ) = W\S1 e r|S1 = (IdW )|S1 , isto é r retrai todo

aberto V em W\S1 e o resto mantém a identidade, como na ilustração 1.1.

Assim f t ∼= f = H(., 0) ◦ f ∼= H(., 1) ◦ f = r ◦ f ∼= r ◦ f t.

Portanto a menos de homotopia f−1(W\S1) é uma subvariedade de T 2 homeomorfa an⊔

t=0


t são discos abertos de dimensão 2. Além disso, por construção,

B2t é o interior de discos D2

t tal que os bordos ∂D2t ≃ S1

t são dois a dois disjuntos, onde

f(S1t ) = P e f |D2

t : (D2t , S

1t )→ (S2, P ) tem grau ±1.


Pelo diagrama comutativo 1.2 e pelo Lema 1.2.1, a menos de homotopia,

(f ◦p)−1(W\S1)∩C =n⊔

t=0

B2

t , onde B2

t =◦

D2

t tal que D2

t são discos fechados com ∂D2

t = S1

t

satisfazendo (f ◦ p)(S1

t ) = P , (f ◦ p)|(D

2t ,S

1t )

tem grau ±1 com t ∈ {1, . . . , n}.

Da mesma forma como feito na seção 1.1 podemos juntar os discos D2

tital que fp(D

2

ti) =

S2i em um único disco e o grau neste novo disco é a soma dos graus, isto é, vale o Lema

seguinte.

Lema 1.2.2. Sejam uma aplicação f : T 2 → S1 ⊂ W contínua, fortemente sobrejetiva

com l = 1 e fp : T → W como antes. Então existe gp ≃ fp tal que g−1p (S2

i \{i})∩C∼= B

2

i0

ou g−1p (S2

i \{i}) = ∅, onde B2i0

são interiores de discos fechados D2

i0com ∂D

2

i0≃ S

2

i0e

para i 6= j, S1

i0∩ S

1

j0= ∅. Além disso, gp(S

1

i0) = i e i ∈ {0, . . . , n}.

Demonstração: Desde que fp(C) é compacto existe um primeiro índice k e um

último índice k + n tal que S2k e S2

k+n pertence a imagem de fp.

Pelo Lema 1.2.1, f−1(W\S1) é uma subvariedade de T 2 homeomorfa an⊔

t=0

B2t , onde n

é finito, B2t são discos abertos de dimensão 2, além disso, por construção, B2

t é o interior

de discos D2t tal que os bordos ∂D2

t ≃ S1t são dois a dois disjuntos, onde f(S1

t ) = P e

f |D2t : (D

2t , S

1t )→ (S2, P ) tem grau ±1.

Portanto para cada j ∈ {k, . . . , k+n}, f−1p (S2

j \{j}) é uma subcoleçãonj+r⊔

l=nj

B2l ⊂

n⊔

t=0

B2t .

Fixemos j ∈ {k, . . . , k + n}, juntaremos os discosnj+r⊔

l=nj

D2l em um único disco.

Como T 2\f−1(W\S1 − {P}) é conexo por caminhos quaisquer dois pontos podem

ser ligados por um caminho em T 2\f−1(W\S1 − {p}). Portanto tomemos um caminho

simples c : I → T 2 tal que vale as seguintes propriedades:

i) c(I) ⊂ T 2\f−1(W\S1 − {P}).

ii) c(0) ∈ S1nj⊂

nj+r⊔

l=nj

S1l , c

(1

r − 1

)∈ S1

nj+1 ⊂

nj+r⊔

l=nj

S1l , . . . , c

(r − 2

r − 1

)S1nj+r−1 ⊂

nj+r⊔

l=nj

S1l e

c(1) ∈ S1nj+r ⊂

nj+r⊔

l=nj

S1l .

Por construção do caminho c, fp ◦ c ∈ R ⊂ W . Como I é compacto segue que

fp ◦ c(I) também é compacto tal que fp ◦ c(0) = fp ◦ c(1) = j. Portanto a menos de


homotopia, podemos considerar que fp ◦ c(I) = j. Logo a menos de homotopia existe um

único disco Dj ⊂ T 2 tal que fp(Dj) ⊂ S2j , fp(∂Dj) = j e o grau de f |Dj

é a soma dos

graus deg fp|D21 + . . .+ deg fp|D

2nj

. Se esta soma for zero então, a menos de homotopia,

fp(Dj) = j.

Repetimos este processo de junção para cada índice j ∈ {k, . . . , k + n}.

Portanto como fp ◦ p = p ◦ f , a menos de homotopia, f é como queríamos.

Este Lema junta certos discos do Lema 1.2.1 em um único disco Di tal que fp|(Di,∂Di)

tenha grau igual a soma dos graus anteriores. Eventualmente esta soma pode ser nula.

Mas quando isto acontecer podemos fazer uma homotopia tal que a imagem de fp não

atinge S2i \{i}.

Como já vimos a imagem de fp é determinada pela imagem da região C. Agora fp(C)

é compacta, então existem inteiros k+ e k− tal que fp|(Dk+ ,∂D

k+ ) e fp|(Dk−

,∂Dk−

) têm graus

diferentes de zero.

A menos de escolha de ponto base de W , como já vimos antes, podemos considerar

k− = 0 e k+ = n, para algum n ∈ N.

Logo a menos de homotopia fp|C é da seguinte forma

...

β0

C

Dn

D2

D1

.

onde Di recobre S2i com grau não nulo, denotaremos este grau por ai e a aresta β0 recobre

o intervalo [0, 1] ⊂ W injetivamente.

Podemos considerar ∂D0∩α0 6= ∅, pois caso contrário basta tomar um caminho simples

d : I →◦

C \

(j⊔

t=0

B2

ij

)tal que d(0) ∈ ∂D0 e d(1) ∈ β0 e fazer homotopias numa vizinhança

da imagem de d tal que fp(d(I)) = 0 ∈ Z ⊂ W .


Consideremos um caminho simples c : I →◦

C \

(j⊔

t=0

B2

ij

)tal que

- c(0) ∈ ∂D0 e c

(i

n

)∈ ∂Di,

- f(c((i− 1, i))) = W\{P} e

- f |c((i−1,i)) é injetiva,

onde i ∈ {1, . . . , n}.

Seja V ⊂ C uma vizinhança tubular de c(I) ∪

(n⊔

i=0

Bi

)como segue

β0

C

V

D1

D2

Dn

.

Fazemos uma mudança por homotopia dentro desta vizinhança V (se necessário tome

uma vizinhança V ′ ⊂ V tal que ∂V ′ ∩ ∂V = ∅) tal que V ≃ D ⊂ C tal que fp(∂D) = 0 ∈

Z ⊂ W .

Utilizando os resultados do seção 1.1, a aplicação p ◦ fp|(D,∂D) : (D, ∂D) → (W,P )

é homotópica a uma aplicação especial (como aplicação de S2 em W ) e manteremos as

mesmas notação de fp para estas aplicações homotópicas.

A imagem p(D) é um disco D′ de dimensão 2 no toro T 2.

Consideremos a aplicação f |(T 2\D′) : (T 2\D′) → S1 e definimos uma aplicação g :

T 2 → S1 por

g(x) =

f(x) se x ∈ (T 2\D′)

P se x ∈ D′

Assim como feito anteriormente, podemos usar a Teoria de Morse em S1, para deter-

minar uma aplicação g′ : T 2 → S1 tal que g(D′) = P e g′ seja aplicação de Morse, onde

g′−1(x) = S1 ⊂ T 2 para qulaquer x ∈ S1\{P}.

Definimos g : T 2 → W por


- g|(T 2\D′) = g′|T 2\D′

- g|D = (f ◦ p)|D.

Obtemos uma aplicação g ≃ f , onde g é especial com p[g](t) = p[f ](t) = p[f |(D,∂D)](t) e

fπ(π1(T2)) =< fπ(α) >=< 1 >= Z, isto é, l = 1.

Agora só falta analisar o caso em que fπ 6= 0 e fπ não é sobrejetora, isto é, l ≥ 2.

Neste caso a imagem fπ(π1(T2)) é um subgrupo de Z, logo a imagem é isomorfa a Z.

Seja l ∈ N o gerador desta imagem.

A menos de escolha de geradores podemos supor que < α > ⊕ < β >= Z⊕Z ∼= π1(T2)

tal que fπ(α) = l e fπ(β) = 0.

Da mesma maneira que antes, podemos supor que α ⊂ f−1(x), onde x é valor regular

e que α e β são da forma como mostrado na figura abaixo

β

�

.

Sejam T o espaço de recobrimento cíclico infinito de T 2 relativo ao ker(fπ) e fp : T →

W o levantamento de f ◦ p tal que o diagrama

T

p��

f◦p

❆❆❆

❆❆❆❆

❆

fp // W

p

��T 2

f// W

é comutativo, onde p : T → T 2 e p : W → W são aplicações de recobrimento.

Como T é o recobrimento cíclico infinito de T 2 existe uma região básica, que denotare-

mos por C, tal que é suficiente fazer alterações (por homotopias) na aplicação fp restrita

a C e depois repetir o processo para todas as outras cópias de C ⊂ T .


A região C é um cilindro fechado, isto é, S1 × [−ǫ, ǫ] tal que S1 × {−ǫ} ∪ S1 × {ǫ} ⊂

p−1(β) e e× [−ǫ, ǫ] = p−1(α) para um ponto fixado e ∈ S1, como na figura abaixo,

C

p

e

.

Assim, como antes, vamos nos concentrar somente nesta região C para fazer modifi-

cações.

Observemos que fixado uma região C e fixado um ponto e ∈ S1 a imagem pela fp do

conjunto e × [−ǫ, ǫ] é um intervalo [j, j + l] ⊂ R ⊂ W e a imagem pela fp do conjunto

S1 × {ǫ} e S1 × {−ǫ} são os pontos j + l e j, respectivamente.

Podemos supor que a região C seja tal que j = 0, pois isto significa que escolhemos

j = 0 como sendo ponto base de W e já vimos que no caso de classes de homotopias livres

de aplicações independe da escolha do ponto base. Denotaremos os seguintes conjuntos

S1 × {−ǫ} = β0, S1 × {ǫ} = β1 e e× [−ǫ, ǫ] = α0.

Usando as mesmas técnicas que no caso de fπ ser sobrejetora, os conjuntos

C ∩ f−1p (S2

i \{i}) = B2i tal que B2

i são discos abertos de dimensão 2 que são interio-

res de discos disjuntos fechado D2i com fp(∂D

2i = S1

i ) = i e fp|(D2i ,S

1i )

tem grau diferente

de zero.

Da mesma forma juntamos estes discos num único disco D ⊂ T tal que fp(∂D) = 0 e

p ◦ fp|(D,∂D) : (D, ∂D)→ (W,P ) é uma aplicação especial (como aplicação de S2 em W ).

Sejam D′ = p(D) e a aplicação f |(T 2\D′) : (T2\D′) → S1. Definimos uma aplicação

g : T 2 → S1 por

g(x) =

f(x) se x ∈ (T 2\D′)

P se x ∈ D′

Assim como feito anteriormente, podemos usar a Teoria de Morse Circular, para de-

1.3 Representação das classes de homotopia de aplicações de Tg em W 35

terminar uma aplicação g′ : T 2 → S1 tal que g(D′) = P , g′ seja aplicação de Morse e

g′ ≃ g.

Observemos que como fp(C\D) = [0, l] então g′π(π1(T2)) ≃ Z < l >⊂ Z ≃ π1(W ).

Portanto g′−1(x) =l⊔

j=1

S1j ⊂ T 2 para qualquer x ∈ S1\{P}.

Agora definimos a aplicação g : T 2 → W por

- g|(T 2\D′) = g′|T 2\D′

- g|D = (p ◦ f)|D.

Concluímos com uma aplicação g ≃ f , onde g é especial com p[g](t) = p[f ](t) =

p[f |(D,∂D)](t) e fπ(π1(T2)) =< fπ(α) >≃ Z < l >⊂ Z ≃ π1(W ).

Portanto a menos de homotopia temos f uma aplicação especial e segue o teorema.

Teorema 1.2.1. Seja uma aplicação f : T 2 → W , então existe uma aplicação especial

g ∈ [f ].


ções de Tg em W

Sejam Tg superfície fechada e orientável de gênus g > 1 e uma aplicação f : Tg → W .

Assim como feito nas seções anteriores, associaremos um polinômio a [f ] e a partir

deste polinômio encontraremos um elemento g ∈ [f ] com boas propriedades.

Polinômio associado a uma aplicação de Tg em W

Seja fπ : π1(Tg)→ π1(W ) o homomorfismo induzido por f em grupos fundamentais.

Uma apresentação grupo fundamental de uma superfície Tg fechada, conexa e orien-

tável de gênus g > 1 é dado por

π1(Tg) =< α1, β1, α2, β2, . . . , αg, βg ; α1β1α−11 β−1

1 α2β2α−12 β−1

2 . . . αgβgα−1g β−1

g > .

Uma superfície pode ser ilustrada como um polígono identificando os lados que são os


geradores de π1(Tg) são ilustrado como abaixo

11

g

g

1

1 .

Quando fπ = 0, então fπ(αi) = fπ(βi) = 0 para todo i ∈ {1, . . . , g}. Caso fπ 6= 0,

existe l ∈ N∗ tal que fπ(π1(Tg)) ≃ Z < l >⊂ Z ≃ π1(W ).

Vamos fazer assim como feito no caso do toro, isto é, fazer mudança de base nos gera-

dores (no caso do toro geradores de π1(T2)), tal que somente um, a menos de homotopia,

gerador é levado em S1 ⊂ W e os outros, a menos de homotopia, é levado em P ∈ W .

Para isso, como π1(Tg) não tem uma base, compomos o homomorfismo induzido por

f em grupos fundamentais com a aplicação τ : π1(Tg)→ H1(Tg)

Assim como foi feito no caso do toro, podemos considerar os geradores de π1(Tg)

satisfazendo fπ(α1) = l e fπ(αi) = fπ(βj) = 0, onde i ∈ {2, . . . , g} e j ∈ {1, . . . , g}.

Identificamos o conjunto Tg\

(g⊔

i=1

βi

g⊔

i=2

αi

)com S2\

2g−1⊔

i=1

Di, onde Di são discos de

dimensão 2 e αi, βi são os geradores de π1(Tg).

Definimos fS2 : S2 → W da seguinte maneira;

fS2(x) =

P , se x ∈⊔2g−1

i=1 Di

f(x) , se x ∈ S2\(⊔2g−1

i=1 Di

)

Sejam f : Tg → W e fS2 : S2 → W como acima.

Definição 1.3.1. O polinômio p[fS2 ](t) será o polinômio associado à [f ] e denotaremos

por p[f ](t).

Construção de uma aplicação a partir de p(t) e l ∈ N


Dada uma superfície fechada e orientável Tg de gênus g ≥ 1, então pelo teorema de

classificação de superfície Tg∼= T 2# . . .#T 2

︸︷︷︸g−vezes

, onde # é a soma conexa.

Portanto o recobrimento cíclico infinito Tg de uma superfície Tg é como segue

...

..

.

T

B

g

.

onde a região destacada é uma região básica e será denotado por B.

Para definir uma aplicação f p : Tg → W basta defini-lá somente na região B e depois

estender fp nas outras cópias de B, por isso B é chamada de região básica.

Sejam um polinômio q(t) = a0 + . . .+ antn e um número l ∈ N.

Considere a aplicação f p definida na região B da seguinte maneira

..

.

B

1

�

n

.

.

.

2sn

2s0

D

.

onde f p(∂D) = 0 ∈ Z ⊂ (W , 0), f p|(D,∂D) : (D, ∂D) → W é construída a partir do

polinômio q(t) como na seção 1.1 e a região fB\D é uma sobrejeção no intervalo [0, l].

Por fim, definimos a aplicação f : Tg → W por


f(x) = p ◦ f p(x),

onde p : Tg → Tg é recobrimento, p : W → W é recobrimento universal e x = p−1(x)∩B.

Portanto por construção p[f ](t) = q(t) e fπ(π1(Tg)) =< l >⊂ Z, onde fπ(α1) = l e

fπ(αi) = fπ(βj) = 0 para i ∈ {2, . . . , g} e j ∈ {1, . . . , g}.

Definição 1.3.2. Uma aplicação f : Tg → W será chamada especial se ela pode ser


gerador de fπ(π1(Tg)).

Encontrando uma aplicação especial g ∈ [f ]

Para encontrar uma aplicação especial g ∈ [f ] seguiremos os passos feitos na seção 1.2.

Seja Tg superfície fechada, conexa e orientável de gênus g > 1.

No caso em que a classe de homotopia [f ] ∈ [Tg,W ] é tal que fπ : π1(Tg) → π1(W ) é

a aplicação nula pode ocorrer as seguintes situações:

- Se, a menos de homotopia, f(Tg) ⊂ W\S1 ou f(Tg) ⊂ W\S2, então f é homotópica a

uma função constante.

- Se, a menos de homotopia, f(Tg) = S2 ⊂ W , então usando as técnicas dos lemas 1.2.2 e

1.2.1, a menos de homotopia, temos f−1(P ) = S1 ∨ . . . ∨ S1︸︷︷︸

2g−vezes

e f−1(S2\{P}) = B2 tal que

Tg\B2 = S1 ∨ . . . ∨ S1

︸︷︷︸2g−vezes

e f |(B2,S\B2) recobre S2 com grau diferente de zero.

- Se fπ = 0 e, a menos de homotopia, f(Tg) = S1 ⊂ W , então f é homotópica a uma

aplicação constante.

- Se fπ = 0 e para toda g ∈ [f ], g é sobrejetora. Então f pode ser fatorada por S2 tal que

o diagrama

S2

f ′

��Tg

f

>>⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦

f// W

,

comuta. Logo f é homotópica a uma aplicação g : Tg → W tal que g(S1 ∨ . . . ∨ S1︸︷︷︸

2g−vezes

) =


P ∈ S2, g|B2 é uma bijeção, onde B2 = Tg\S1 ∨ . . . ∨ S1︸︷︷︸

2g−vezes

e g′ é representada como na

seção anterior pelo seu polinômio p[g′](t) = p[f ](t).

Quando uma aplicação f : Tg → W é tal que fπ 6= 0, temos o subgrupo Im(fπ) ⊂ Z,

logo existe l ∈ N tal que Im(fπ) ≃ Z < l >⊂ Z ≃ π1(W ).

No caso em que f(Tg) = S1 ⊂ W usamos resultados da Teoria de Morse Circular par

encontrar uma aplicação especial.

Portanto, daqui em diante, nesta seção, consideraremos f fortemente sobrejetiva.

Primeiramente vamos supor que l = 1 e da mesma forma como foi feito na seção

anterior, podemos supor, sem perda de generalidade, que fπ(α1) = 1 e fπ(γ) = 0, onde

γ ∈ π1(Tg)\{α1}.

Seja Tg o espaço de recobrimento de Tg relativo ao ker(fπ), isto é, um recobrimento

cíclico infinito de Tg e temos o diagrama

Tg

p

��

f◦p

��❄❄❄

❄❄❄❄

❄

Tgf

// W

comutativo. O espaço topológico Tg é como na figura 1.3

Por construção do recobrimento Tg, a imagem (f ◦ p)π(π1(Tg)) é nula. Portanto a


Tg

p

��

f◦p

��❃❃❃

❃❃❃❃

❃

fp // W

p

��Tg

f// W

é comutativo.

Faremos homotopias na aplicação fp para encontrar gp ≃ fp tal que gp irá induzir uma

aplicação g ≃ f , onde g é especial.

Consideremos B a região destacada na ilustração 1.3 que é uma região básica para

fazer as modificações por homotopias, pois basta repetir analogamente estas modificações

em cada cópia de B em Tg.


Lema 1.3.1. Seja f : Tg → W aplicação contínua, fortemente sobrejetiva com l = 1 .

Então existe g ∈ [f ] tal que g−1(W\S1) é uma subvariedade de Tg homeomorfa an⊔

t=1

B2t ,

onde n é finito, B2t são discos abertos de dimensão 2 e B2

t é o interior de discos D2t onde

∂D2t ≃ S1

t e se i 6= j, S1i ∩ S1

j = ∅. Além disso, g(S1t ) = P e g|D2

t : (D2t , ∂D

2t )→ (S2, P )

tem grau ±1.

Demonstração: A demonstração é análoga a demonstração do Lema1.2.1.

Pelo diagrama comutativo 1.3 e pelo lema 1.3.1, a menos de homotopia,

(f ◦p)−1(W\S1)∩B =n⊔

t=0

B2

t , onde n é finito, B2

t são discos abertos de dimensão 2 e B2

t é

o interior de discos disjuntos dois a dois D2

t onde ∂D2

t ≃ S1

t . Além disso, (f ◦ p)(S1

t ) = P

e (f ◦ p)|(B

2t ,S

1t )

tem grau ±1.

Lema 1.3.2. Sejam f : Tg → S1 ⊂ W aplicação contínua, fortemente sobrejetiva com

l = 1 e fp : Tg → W como antes. Então existe gp ≃ fp tal que g−1p (S2

i \{i}) ∩ B ∼= B2

i0ou

g−1p (S2

i \{i}) = ∅, onde B2

i0são discos abertos de dimensão 2 que são interiores de discos

fechados D2

i0com ∂D

2

i0≃ S

2

i0e, para i 6= j, S1

i0∩ S1

j0= ∅. Além disso, gp(Si0) = P e

i ∈ {0, . . . , n}.

Demonstração: Análoga a demonstração do Lema 1.2.2.

Este lema junta certos discos do Lema 1.3.1 em um único disco Di tal que fp|(Di,∂Di)

tenha grau igual a soma dos graus anteriores. Eventualmente esta soma pode ser nula.

Mas quando isto acontecer podemos fazer uma homotopia tal que a imagem de fp não

atinge S2i \{i}.

Como já vimos a imagem de fp é determinada pela imagem da região B. Agora fp(B)

é compacta, então existem inteiros k+ e k− tal que fp|(Dk+ ,∂D

k+ ) e fp|(Dk−

,∂Dk−

) têm graus

diferentes de zero.

Lembramos que o conjunto [Tg,W ] independe da escolha do ponto base de W . Então

a menos de escolha de ponto base de W , podemos consideras k− = 0 e k+ = n, para

algum n ∈ N.


Logo a menos de homotopia fp restrita ao conjunto B é da seguinte forma

..

.

B

D1

D2

Dn0

1

,

onde cada disco Di recobre S2i com grau não nulo. Denotaremos este grau por ai e a

aresta β01 recobre o intervalo [0, 1] ⊂ W injetivamente.

Podemos considerar ∂D0∩α0 6= ∅, pois caso contrário basta tomar um caminho simples

d : I →◦

C \

(j⊔

t=0

B2

ij

)tal que d(0) ∈ ∂B0 e d(1) ∈ β0

1 e fazer homotopias numa vizinhança

da imagem de d tal que f(d(I)) = 0.

Tomemos um caminho simples c : I →◦

C \

(j⊔

t=0

B2

ij

)tal que

- c(0) ∈ ∂D0 e c

(i

n

)∈ ∂Di,

- f(c((i− 1, i))) = W\{P} e

- f |c((i−1,i)) é injetiva,

onde i ∈ {1, . . . , n}.

Seja V ⊂ B uma vizinhança tubular de c(I) ∪

(n⋃

i=0

Bi

)como segue

..

.

B

D1

D2

Dn

.

.

.

V

.

Podemos fazer uma homotopia, como foi feito no caso do toro, em V , tal que existe

D ⊂ B onde fp(∂D) = 0. Utilizando os resultados do seção 1.1, a aplicação fp|(D,∂D) :


(D, ∂D)→ (W,P ) é homotópica a uma aplicação especial (como aplicação de S2 em W )

e manteremos as mesmas notação de fp para estas aplicações homotópicas.

A imagem p(D) é um disco D′ de dimensão 2 na superfície Tg, assim a aplicação

f |(Tg\D′) : (Tg\D′)→ S1.

Consideremos a aplicação f ′ : Tg → S1 dada por

f ′(x) =

P se x ∈ D′

f(x) se x ∈ Tg\D′

Da mesma forma como feito na seção 1.2, podemos usar resultados da Teoria de Morse

Circular, para determinar uma aplicação de Morse g′ : Tg → S1 tal que g′(D′) = {P} e

g′ ≃ f ′.

Sem perda de generalidade, p|D′ : D′ → D é um difeomorfismo.

Definimos g : Tg → W por

- g|(Tg\D′) = g′|Tg\D′

- g|D = (p ◦ f p ◦ p−1)|D.

Portanto g ≃ f , g é especial com p[g](t) = p[f ](t) = p[f |(D,∂D)](t) e fπ(π1(Tg)) =<

fπ(α) >=< 1 >= Z ≃ π1(W ).

Agora só falta o caso em que fπ 6= 0 e fπ não é sobrejetora, isto é, l ≥ 2. Neste caso

a imagem fπ(π1(Tg)) é um subgrupo de Z, logo a imagem é isomorfa a Z. Suponha l ∈ N

gerador desta imagem.

A menos de escolha de geradores, temos fπ(π1(Tg)) =< l >⊂ Z, onde fπ(α1) = l e

fπ(αi) = fπ(βj) = 0 para i ∈ {2, . . . , g} e j ∈ {1, . . . , g}.

Sejam Tg o espaço de recobrimento cíclico infinito de Tg relativo ao ker(fπ) e fp : Tg →

W o levantamento de f ◦ p tal que o diagrama


Tg

p

��

f◦p

��❃❃❃

❃❃❃❃

❃

fp // W

p

��Tg

f// W

é comutativo, onde p : Tg → Tg e p : W → W são aplicações de recobrimento.

Seja B a região básica de Tg como antes, tal que é suficiente fazer alterações na

aplicação fp restrita a B.

Assim como antes, vamos nos concentrar somente nesta região B para fazer modifica-

ções por homotopias, pois basta repetir as modificações nas outras cópias de B.

Observemos que fixado uma região B a imagem pela fp do conjunto e × [−ǫ, ǫ] é um

intervalo [j, j + l] ⊂ R ⊂ W e a imagem pela fp do conjunto S1 × {ǫ} e S1 × {−ǫ} são os

pontos j + l e j, respectivamente.

Como já vimos que o conjunto [Tg,W ] independe da escolha do ponto base no espaço

W , podemos supor que j = 0 e denotaremos os seguintes conjuntos S1 × {−ǫ} = β01 ,

S1 × {ǫ} = β1 e e× [−ǫ, ǫ] = α0.

Assim como no caso de fπ ser sobrejetora podemos modificar por homotopias a aplica-

ção inicial tal que os conjuntos B∩f−1p (S2

i ) = ∅ ou B∩f−1p (S2

i ) = B2

i0tal que B

2

i0são discos

abertos de dimensão 2 que são interiores de discos disjuntos fechados D2

i0com ∂D

2

i0≃ S

1

i0

e fp(S1

i0) = i e i ∈ {0, . . . , n} e fp|(D2

i ,S1i )

tem grau diferente de zero e como no caso de fπ

ser sobrejetora unir estes discos D2

i0num único disco D ⊂ B tal que fp(∂D) = 0.

Observe que fp(B\D) = [0, l].

Utilizando os resultados do seção 1.1, a aplicação fp|(D,∂D) : (D, ∂D) → (W,P ) é

homotópica a uma aplicação especial (como aplicação de S2 em W ) e manteremos as

mesmas notação de fp para estas aplicações homotópicas.

A imagem p(D) é um disco D′ de dimensão 2 na superfície Tg e sem perda de genera-

lidade, p|D′ : D′ → D é um difeomorfismo. Assim a aplicação f |(Tg\D′) : (Tg\D′)→ S1.

Definimos a aplicação f ′ : Tg → S1 dada por

f ′(x) =

P se x ∈ D′

f(x) se x ∈ Tg\D′


Da mesma forma como feito na seção 1.2, podemos usar resultados da Teoria de

Morse Circular, para determinar uma aplicação de Morse g′ : Tg → S1 tal que g′(D′) = P

e g′ ≃ f ′.

Definimos g : Tg → W por

- g|(Tg\D′) = g′|Tg\D′

- g|D = (p ◦ f p ◦ p−1)|D.

Portanto g ≃ f , g é especial com p[g](t) = p[f ](t) = p[f |(D,∂D)](t) e fπ(π1(Tg)) =<

fπ(α) >= Z < l >⊂ Z ≃ π1(W ) e temos o seguinte teorema:

Teorema 1.3.1. Seja uma aplicação f : Tg → W . Então existe g ∈ [f ] tal que g é

especial.

Capítulo

2


superfícies orientáveis em Wn


ções de S2 em Wn

Como na seção 1.1, nesta seção representaremos aplicações com domínio a esfera S2,

mas mudaremos o contradomínio por outro espaço.

Consideremos o espaço topológico Wn∼= S2 ∨ . . . ∨ S2︸︷︷︸

n−vezes

∨S1 dado como na ilustração

abaixo:

...

...

x1

x2

xn

2

e1

2

n

2

e

2

e

Figura 2.1: Espaço Wn

.

Dada uma aplicação f : S2 → Wn usaremos o seguinte diagrama comutativo

46 Representação de aplicações de superfícies orientáveis em Wn

Wn

pn

��S2

f==④④④④④④④④// W

para descrever a classe de homotopia da aplicação f , onde pn : Wn → W é o recobrimento

de n-folhas e W é como antes.

Sejam f : S2 → Wn contínua e pn : Wn → W o recobrimento a n-folhas de W . Então

f induz uma aplicação f ′ : S2 → W tomando a composição natural f ◦ pn. Então f é o

levantamento de f ′, isto é, o diagrama

Wn

pn

��S2

f==④④④④④④④④

f ′

// W

comuta.

Na seção 1.1 foram representadas as classes de homotopia de aplicações f ′ : S2 → W .

Usando levantamento de homotopia podemos representar a classe da aplicação f : S2 →

Wn.

Portanto basta descrever a aplicação pn : Wn → W e os levantamentos das homotopias

para representar f : S2 → Wn.

A aplicação pn : Wn → W é da seguinte forma:

i) Consideremos Wn como na ilustração abaixo.

...

...

x1

x2

xn

2

e1

2

n

2

e

2

e

.

Denotemos por e1i ⊂ Wn\(∪e2i \{xi}) o menor caminho que liga as 0-células xi a xi+1

para i ∈ {1, . . . , n− 1} e e1n o menor caminho que liga as 0-células xn a x1.

Na ilustração o subconjunto e2i é a esfera de dimensão dois tal que xi ∈ e2i .

ii) observemos que pn(e1i ) = S1 e pn(e

2i ) = S2 tal que pn|(e1i \{xi}) é injetiva em S1 e pn|e2i é

2.1 Representação das classes de homotopia de aplicações de S2 em Wn 47

injetiva em S2.

Consideremos f ′ = f ◦ pn : S2 → W . Pelo Teorema 1.1.1 existe uma homotopia

H : S2 × I → W com H(x, 0) = f ′(x), H(x, 1) = g′(x) tal que g′ : S2 → W é uma


Como f é o levantamento de f ′, podemos levantar a homotopia H a uma homotopia

H : S2 × I → Wn com H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x) tal que g é levantamento de g′,

isto é, g′ = g ◦ pn.

Temos o diagrama

�

W

p′~~⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤

p

mm

�

Wn

pn

��S2

f

,,

f44

f ′

// W

comutativo, f é o levantamento de f e o levantamento de f ′ ao recobrimento universal

W .

Analogamente feito na seção 1.1 podemos calcular a homologia com coeficientes lo-

cais H∗(Wn,Z[Z]ρπ1 ). É simples verificar que a esta homologia no nível 2 é dada por

H2(Wn,Z[Z]ρ) ≃ Z[Z]⊕ . . .⊕ Z[Z]︸︷︷︸n−vezes

e a homologia de S2 no nível 2 é a mesma que na

seção 1.1, isto é, H2(S2,Z[Z]ρπ1 ) ≃ Z[Z].

Logo se fizermos análogo como na seção 1.1, então dada uma aplicação f : S2 → Wn

associaremos uma n-upla de polinômios (p1(t), . . . , pn(t)) ≃ Z[Z]⊕ . . .⊕ Z[Z]︸︷︷︸n−vezes

ao invés de

associar somente um polinômio como antes.

Cada n-upla (p1(t), . . . , pn(t)) tem uma interpretação geométrica no espaço W .

Fixado um recobrimento p′ : W → Wn de forma que a primeira esfera S20 ∈ W seja

recoberta, pela f , com grau diferente de zero, isto é, o primeiro monômio de p1(t) é não

nulo e a potência de t seja 0. Seja pj(t) = a(j)0 + . . . + a

(j)k tk a j-ésima coordenada de

(p1(t), . . . , pn(t)), então a interpretação geométrica é que a aplicação recobre as esferas

S2j+ni com grau aji , para i ∈ {0, . . . , k}.


Escolhemos p : W → W tal que o polinômio associado a f ′ : S2 → W tal que o

primeiro monômio seja a0 6= 0.

Como o diagrama acima é comutativo, existe uma relação entre o polinômio associado

a f e o polinômio associado a f ′. Seja p[f ′](t) = a0 + . . . + amtm o polinômio associado

a f ′, então aj+nij = a(j)j+nij

, onde (p1(t), . . . , pn(t)) é o polinômio associado a f , pj(t) =

a(j)0 + . . .+ a

(j)kjtkj é a j-ésima coordenada, j ∈ {1, . . . n} e i ∈ {0, . . . , kj}.

Portanto podemos definir o polinômio p[f ] como na seção 1.1, isto é:

Definição 2.1.1. Dados uma aplicação f : S2 → Wn e f ′ : S2 → W como antes. O

polinômio associado a classe [f ] é o polinômio p[f ′](t).

Da mesma forma, desde que o diagrama anterior é comutativo, podemos usar o conceito

de aplicação especial para a aplicação f utilizando o conceito de aplicação especial da

aplicação f ′. Segue a definição:

Definição 2.1.2. Dada uma aplicação f : S2 → Wn. Dizemos que f é especial se

f ′ = f ◦ pn : S2 → W for especial, onde pn : Wn → W é o recobrimento a n-folhas de W .

Fixados os recobrimentos pn : Wn → W e p′ : W → Wn e dado um polinômio

q(t) = a0 + a1t + . . . + ajtj, construímos, do mesmo modo da seção 1.1, a aplicação

f : S2 → W e definimos f : S2 → Wn por p′ ◦ f . É fácil ver que p[f ](t) = q(t).

Apesar das definições acima requisitarem as definições da seção 1.1, a interpretação

geométrica é diferente.

Suponha que pn seja tal que pn(S2i ) = e2i+1 para i ∈ {0, . . . , n − 1}. Consideremos os

polinômios q1(t) = a0 e q2(t) = b0 + b1t. Neste caso a aplicação especial f ′1 : S2 → W

proveniente do polinômio q1 recobre a esfera S2 ⊂ W com grau a0 e a aplicação especial

f1 : S2 → Wn proveniente do polinômio q1 recobre a esfera e21 com grau a0.

No caso da aplicação especial f ′2 : S

2 → Wn proveniente do polinômio q2 existem dois

discos fechados D′1, D′2 ∈ S2 tal que f ′2|(D′

i,∂D′

i)recobre S2 ∈ W com grau ai e f ′

2|S2\(D′

1∪D′2)

recobre W\S2 e a aplicação especial f2 : S2 → Wn existem dois discos D1, D2 ∈ S2 tal

que f2|(D′

i,∂D′

i)recobre e2i ∈ Wn com grau ai e f2|S2\(D1∪D2) recobre e11.

Teorema 2.1.1. Seja uma aplicação f : S2 → Wn. Então existe aplicação g ∈ [f ]

especial.

2.2 Representação das classes de homotopia de aplicações de T 2 em Wn 49

Demonstração: Dadas uma aplicação f : S2 → Wn e o recobrimento de n- folhas

pn : Wn → W . Consideremos a aplicação f ′ = pn ◦ f .

Pelo Teorema 1.1.1 existe g′ ∈ [f ′] especial. Seja g′ : S2 → W o levantamento de g′

construído a partir do polinômio p[g′](t).

Basta tomar g = p ◦ g′, onde p′ : W → Wn é o recobrimento universal.


ções de T 2 em Wn

Consideremos o espaço topológico Wn∼= S2 ∨ . . . ∨ S2︸︷︷︸

n−vezes

∨S1 dado como na ilustração

2.1 e o espaço W com antes.

Dada uma aplicação f : T 2 → Wn, consideremos o seguinte diagrama comutativo

Wn

pn

��T 2

f==④④④④④④④④// W

onde pn : Wn → W é o recobrimento de n-folhas de W , representada como na seção 2.2.

Portanto f induz uma aplicação f ′ : T 2 → W tomando a composição natural f ◦ pn e

f é o levantamento de f ′, isto é, o diagrama

Wn

pn

��T 2

f==④④④④④④④④

f ′

// W

comuta.

Pela seção 1.2 temos a representação da classe de homotopia da aplicação f ′ : T 2 → W .

Usando levantamento de homotopia podemos representar as classes da aplicação f : T 2 →

Wn.

Portanto basta descrever a aplicação pn : Wn → W e usar levantamentos das homoto-


pias para representar f : S2 → Wn.

Usamos o diagrama comutativo acima para definir o polinômio associado a classe de

homotopia [f ], como segue:

Definição 2.2.1. Sejam uma aplicação f : T 2 → W e o polinômio p[f ′](t). Então p[f ](t) =

p[f ′](t) é o polinômio associado a [f ].

Construção de f : T 2 → Wn a partir de q(t) e l ∈ N

Dados um polinômio q(t) = a0 + . . .+ ajtj e um número l ∈ N. Considere a aplicação

f de T 2 em Wn obtida da figura

...

...

C1

C2

Cl

Cl-1

1

2

l-1

l

D

.

onde f(∂D) = P , f |(D,∂D) : (D, ∂D) → W é construída a partir do polinômio q(t) como

na seção 2.1 (como aplicação de S2 em Wn) e a imagem dos cilindros Ci é Wn\l⊔

k=1

e2k\{k}

tal que cada um dos caminhos λi é levado pela f em S1 ⊂ W no sentido antihorário e

i ∈ {1, . . . , l}.

Quando l = 0, então f(T 2\◦

D) = P , f |(D,∂D) : (D, ∂D) → W é construída a partir

do polinômio q(t) como na seção 2.1. Neste caso é equivalente (a menos de homotopia) a

aplicação tal que f(S1 ∨ S1) = P e f |T 2\S1∨S1 é construída a partir do polinômio q(t).

Portanto por construção p[f ](t) = q(t) e desde que π1(T2) ≃ Z⊕ Z =< α > ⊕ < β >,

então fπ(π1(T2)) = lZ, onde fπ(α) = l e fπ(β) = 0.

Definição 2.2.2. Uma aplicação f : T 2 → Wn será chamada especial se ela pode ser


gerador de fπ(π1(T2)) ou l = 0.

2.2 Representação das classes de homotopia de aplicações de T 2 em Wn 51

Observe que se f : T 2 → Wn é especial construída a partir de p[f ](t) e l ∈ N, então

(pn)π(l) = nl ∈ π1(W ) e f ′ : T 2 → W é especial construída a partir de p[f ](t) e nl ∈ N.

Representação de f : T 2 → Wn

Dada uma aplicação f : T 2 → Wn, dividiremos em casos para provar a existência de

uma aplicação especial g ∈ [f ].

Primeiro Caso: Suponha que fπ = 0.

Neste caso temos o seguinte diagrama comutativo

�

W

p′~~⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤

p

mm

�

Wn

pn

��T 2

f

,,

f44

f ′

// W

Portanto, f é especial se, e somente se, f ′ é especial. Pelo Teorema 1.2.1 existe g′ ∈ [f ′]

especial. Logo, utilizando levantamento de homotopias, existe g ∈ [f ] especial.

Observemos que a aplicação especial f : T 2 → Wn pode não ser sobrejetora, mas

aplicação especial f ′ : T 2 → W ser sobrejetora. Isto acontece quando p[f ](t) = a0 + a1t+

. . .+ ajtj, onde a0 6= 0, aj 6= 0 para algum 0 < j < n .

Segundo Caso: Suponha que fπ 6= 0.

Seja f : T 2 → Wn tal que fπ 6= 0. Identificando π1(Wn) com Z, temos fπ(π1(T2)) ≃<

l >≃ Z, onde 0 6= l ∈ N.

Da maneira análoga da seção 1.2 podemos supor que os geradores α, β ∈ π1(T2) são

tal que fπ(α) = l e fπ(β) = 0. Assim levantamos f ao T recobrimento cíclico infinito de

T 2 relativo ao ker(fπ) e temos o diagrama comutativo

Tf◦p

❇❇❇

❇❇❇❇

❇

p��

T 2f

// Wn


Por construção do recobrimento T , a imagem (f ◦ p)π(π1(T )) é nula. Portanto a


T

p

��

f◦p

❆❆❆

❆❆❆❆

❆❆

fp // W

pn

��T 2

f// Wn

comuta.

Portanto temos o seguinte diagrama comutativo:

�

W

p′~~⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥

p

nn

T

fp **

p��

�

//

�

Wn

pn

��T 2

f

88♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣

f ′

// W

Consideremos f ′ = f ◦ pn : T 2 → W . Pelo Teorema 1.2.1 existe uma homotopia

H : T 2 × I → W com H(x, 0) = f ′(x), H(x, 1) = g′(x) tal que g′ : T 2 → W é uma


A aplicação especial g′ pode ser construída. A construção é feita por modificações,

através dos Lemas 1.2.1, 1.2.2 e algumas técnicas geométricas, na região C ⊂ T para

encontrar uma aplicação gp : T → W , tal que gp ∈ [fp] e a partir da aplicação p são feitas

modificações em T 2 e compondo com a aplicação p teremos a aplicação especial g′.

Podemos repetir este processo e as técnicas usadas na seçao 1.2 e utilizando o diagrama

2.2 e a aplicação pn encontramos uma aplicação especial g : T 2 → Wn tal que g ∈ [f ].

Portanto temos o seguinte teorema:

Teorema 2.2.1. Seja uma aplicação f : T 2 → Wn. Então existe aplicação g ∈ [f ] é

especial.

2.3 Representação das classes de homotopia de aplicações de Tg em Wn 53


ções de Tg em Wn

Sejam Tg uma superfície fechada, conexa e orientável de gênus g > 1 e uma aplicação

f : Tg → Wn.

Associaremos um polinômio a [f ] e a partir deste polinômio encontraremos um ele-

mento g ∈ [f ] com boas propriedades.

Polinômio associado a uma aplicação de Tg em Wn

O grupo fundamental de uma superfície Tg fechada e orientável de gênus g > 1 é dado

por

π1(Tg) =< α1, β1, α2, β2, . . . , αg, βg ; α1β1α−11 β−1

1 α2β2α−12 β−1

2 . . . αgβgα−1g β−1

g > .

De maneira análoga como foi feito para associar um polinômio a uma aplicação de T g

em W , podemos escolher convenientemente os geradores de π1(Tg) tal que α1 pertence

a imagem inversa f−1(x), onde x é valor regular de f . A superfície pode ser obtida de

polígono identificando os lados que são os geradores de π1(Tg) como ilustrado antes.

Quando fπ = 0, então fπ(αi) = fπ(βi) = 0 para todo i ∈ {1, . . . , g}. Caso fπ 6= 0,

existe l ∈ N∗ tal que fπ(π1(Tg)) ≃ Z < l >⊂ Z ≃ π1(W ).

Assim como foi feito no caso do toro, podemos considerar os geradores de π1(Tg)

satisfazendo fπ(α1) = l e fπ(αi) = fπ(βj) = 0, onde i ∈ {2, . . . , g} e j ∈ {1, . . . , g}.

Dada uma aplicação f : T g → Wn, consideremos o seguinte diagrama comutativo

Wn

pn

��Tg

f>>⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥// W

onde pn : Wn → W é o recobrimento de n-folhas de W .

Definição 2.3.1. O polinômio p[f ′](t) será o polinômio associado à [f ] e denotaremos


p[f ](t).

Construção de uma aplicação a partir de um p(t) e l ∈ N

Dada uma superfície fechada e orientável Tg de gênus g ≥ 1, então pelo teorema de

classificação de superfície Tg ≃ T 2# . . .#T 2


, onde # é a colagem pelo bordo de um disco

removendo o seu interior.

Portanto o recobrimento cíclico infinito Tg de uma superfície Tg é como segue

...

..

.

T

B

g

,

onde a região destacada é uma região básica e será denotado por B.

Para definir uma aplicação f p : Tg → W basta defini-lá somente na região B e depois

estender analogamente a definição nas outras cópias de B, por isso B é chamada de região

fundamental.

Sejam um polinômio q(t) = a0 + . . .+ ajtj e um número l ∈ N.

Considere a aplicação f p definida na região B da seguinte maneira


..

.

B

1

0

j

.

.

.

2sj

2s0

D

.

onde f p(∂D) = {P}, f p|(D,∂D) : (D, ∂D) → W é construída a partir do polinômio q(t)

como na seção 1.1 e fB\D é sobrejetiva no intervalo [0, ln].

Por fim, definimos a aplicação f : Tg → Wn por

f(x) = p′ ◦ fp(x),

onde p′ : W → Wn é aplicação de recobrimento universal, p : Tg → Tg é aplicação

recobrimento e x = p−1(x) ∩ B.

Portanto por construção p[f ](t) = q(t) e fπ(π1(Tg)) =< l >⊂ Z ≃ π1(W ), onde

fπ(α1) = l e fπ(αi)fπ(βj) = 0 para i ∈ {2, . . . , g} e j ∈ {1, . . . , g}.

Definição 2.3.2. Uma aplicação f : Tg → Wn será chamada especial se ela pode ser


gerador de fπ(π1(Tg)).

Encontrando uma aplicação especial g ∈ [f ]

Dada uma aplicação f : Tg → Wn, dividiremos em dois casos para provar a existência

de uma aplicação especial g ∈ [f ].

Os dois casos serão como foi feito em aplicações de T 2 em Wn.

Primeiro Caso: Suponha que fπ = 0.


Tomamos o seguinte diagrama comutativo

�

W

p′~~⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤

p

mm

�

Wn

pn

��Tg

f

,,

f44

f ′

// W

Analogamente o caso de aplicações de T 2 em W n, prova-se que existe g ∈ [f ] aplicação

especial.

Segundo Caso: Suponha que fπ 6= 0.

Seja f : Tg → Wn tal que fπ 6= 0. Identificando π1(Wn) com Z, temos fπ(π1(Tg)) ≃

Z < l >⊂ Z ≃ π1(Wn), onde 0 6= l ∈ N.

Da maneira análoga da seção 1.2 podemos supor que os geradores αi ∈ π1(Tg) são tal

que fπ(α0) = l e fπ(αi) = 0 para i 6= 0. Assim levantamos f ao Tg recobrimento cíclico

infinito de Tg relativo ao ker(fπ) e temos o diagrama comutativo

Tg

f◦p

❅❅❅

❅❅❅❅

❅

p

��Tg

f// Wn

Por construção do recobrimento Tg, a imagem (f ◦ p)π(π1(Tg)) é nula. Portanto a


Tg

p

��

f◦p

��❅❅❅

❅❅❅❅

❅

fp // W

pn

��Tg

f// Wn

comuta.

Portanto temos seguinte diagrama:


�

W

p′~~⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦

p

nn

Tg

fp **

p

��

//

�

Wn

pn

��Tg

f

88qqqqqqqqqqqqq

f ′

// W

Pelo Teorema 1.3.1 existe uma homotopia H : S2 × I → W com H(x, 0) = f ′(x),

H(x, 1) = g′(x) tal que g′ : T 2 → W é uma aplicação especial.

A aplicação especial g′ pode ser construída. A construção é feita por modificações,

através dos Lemas 1.3.1, 1.3.2 e algumas técnicas geométricas, na região B ⊂ Tg para

encontrar uma aplicação gp : Tg → W , tal que gp ∈ [fp] e a partir da aplicação p são feitas

modificações em T 2 e compondo com a aplicação p teremos a aplicação especial g′.

Podemos repetir este processo e as técnicas usadas na seção 1.3 e utilizando o diagrama

acima e compondo com a aplicação pn encontramos uma aplicação especial g : Tg → Wn

tal que g ∈ [f ].

Portanto temos o seguinte teorema:

Teorema 2.3.1. Seja f : Tg → Wn uma aplicação. Então existe aplicação g ∈ [f ]

especial.


Capítulo

3


superfícies não orientáveis em W

Nas próximas duas seções, assim como na seção anterior, dada uma aplicação f :

RP 2g → W é associado um polinômio p[f ](t) a classe de homotopia de f , mas este polinômio

tem coeficientes em Z2. Apresenta-se uma aplicação, chamada aplicação especial, a qual

no capítulo de ?? mostra-se que estas aplicações realizam o conjunto minimal de raízes,

que é construída a partir de um polinômio. Depois, mostra-se que existe uma aplicação

especial em cada classe de homotopia [RP 2g ,W ].

O motivo de considerar polinômios com coeficientes em Z2 é explicado no apêndice.


ções de RP 2 em W

Consideremos o espaço projetivo RP 2 e uma aplicação f : RP 2 → W . Então temos o

seguinte diagrama comutativo

60 Representação de aplicações de superfícies não orientáveis em W

S2

Π��

f ′

""❉❉❉

❉❉❉❉

❉❉

RP 2f

// W

onde Π : S2 → RP 2 é o recobrimento duplo orientável.

Como π1(RP2) ≃ Z2, segue que fπ = 0. Logo o diagrama

S2

Π��

f ′

!!❉❉❉

❉❉❉❉

❉❉

f ′

// W

p

��RP 2

f// W

comuta.

Para fazer modificações, por homotopias, na aplicação f basta fazer modificações

numa região fundamental de S2 e repetir nas outras regiões e utilizando a aplicação Π

para modificar f . Neste caso como Π é recobrimento duplo a região que vamos considerar

é a calota superior de S2, isto é, se S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : |x|2 + |y|2 + |z|2 = 1}, então a

região será CN = {(x, y, z) ∈ R3 : |x|2 + |y|2 + |z|2 = 1 e z ≥ 0} ⊂ S2.

Sem perda de generalidade podemos supor que f ◦Π(S1) = P , onde S1 = {(x, y, z) ∈

R3 : |x|2 + |y|2 + |z|2 = 1 e z = 0} ⊂ S2.

Identificamos CN\S1 com S2\N , para algum N ∈ S2. Consideremos a aplicação

h : S2 → W definida por

h(x) =

f ′(x) se x ∈ S2\N

P se x = N

e seu polinômio p[h](t) = a0 + a1t + . . . + antn. Seja p[h](t) = a0 + a1t + . . . + ant

n o

polinômio tal que ai é igual a ai módulo 2.

Definição 3.1.1. Dada uma aplicação f : RP 2 → W , definimos o polinômio associado a

classe de homotopia [f ] por p[h](t), onde h : S2 → W é como antes e este polinômio será

denotado por p[f ](t).

Agora a partir de um polinômio qualquer q(t) com coeficientes em Z2, construiremos

3.1 Representação das classes de homotopia de aplicações de RP 2 em W 61

uma aplicação f : RP 2 → W tal que p[f ](t) = q(t).

Dado um polinômio q(t) = a0 + . . . + antn. Consideremos a aplicação h : S2 → W

construída a partir de q(t), como feito na seção 1.1.

Identificamos a região CN\S1 com S2\N , tal que h(N) = P .

Dado y ∈ RP 2, então Π−1(y) = {x,−x} tal que x ∈ CN\S1 e −x ∈ RP 2\CN ou

Π−1(y) ⊂ S1.

Definimos f : RP 2 → W por

f(x) =

h(x) se x ∈ CN\S1

P se Π−1(y) ⊂ S1

Por construção p[f ](t) = q(t).

Definição 3.1.2. Uma aplicação f : RP 2 → W que pode ser construída como acima é

chamada aplicação especial.

Dada uma classe de homotopia [f ] de uma aplicação f : RP 2 → W , mostraremos que

existe g ∈ [f ] tal que g é uma aplicação especial.

Seja uma homotopia F : S2× I → W entre duas aplicações f ′, g′ : S2 → W tal que as

modificações feitas por F em CN × I se repete na região (S2\CN)× I. Então utilizando

a aplicação Π induzimos uma homotopia F : RP 2 × I → W entre duas f, g : RP 2 → W

tais que f ◦ Π = f ′ e g ◦ Π = g′.

Consideremos uma aplicação f : RP 2 → W e a aplicação h : S2 → W definida como

antes a partir de f . Então pelo Teorema 1.1.1 existe uma aplicação especial h′ ∈ [h].

Identificamos o conjunto CN com S2\N , onde h(N) = h′(N) = P . Definimos duas

aplicações f ′, g′ : S2 → W por f ′(x) = f ′(−x) = h(x) e g′(x) = g′(−x) = h′(x), onde x ∈

CN e −x ∈ S2\CN . Dada uma homotopia entre h′ e h, podemos induzir uma homotopia

entre f ′ e g′. Portanto podemos induzir uma homotopia F tal que F (x, 0) = f(x) e

g(x) = F (x, 1) tal que g é especial.

Logo segue o teorema:

Teorema 3.1.1. Seja f : RP 2 → W uma aplicação. Então existe g ∈ [f ] tal que g é uma



Observe que o polinômio associado a cada classe de homotopia de uma aplicação

especial tem coeficientes em Z2. E acima concluímos que g é especial. Isto se deve ao fato

de que h construída a partir de f , como acima, possui a propriedade de que o polinômio

associado a [h] tem coeficientes em Z2. No apêndice este fato fica esclarecido.


ções de RP 2g em W

Nesta seção representaremos classes de homotopias de aplicações de uma superfície

compacta e não orientável em W .

Pelo Teorema de Classificação de Superfícies uma superfície não orientável é dada por

RP 2# . . .#RP 2


,

isto é, a soma conexa de g planos projetivos, para algum g finito.

Denotaremos a soma conexa de g planos projetivos por RP 2g .

No caso de g = 1 está resolvido, por isso consideremos g ≥ 2.

Assim como na seção anterior, usaremos o recobrimento duplo orientável de RP 2g para

representar as classes de homotopia de aplicações f : RP 2g → W .

Temos as seguintes identificações;

- RP 22∼= K, onde K é a garrafa de Klein,

- RP 2g∼= T 2

k#RP 2, onde g = 2k + 1 e

- RP 2g∼= T 2

k#K, onde k 6= 2 e g = 2k.

No caso da garrafa de Klein o recobrimento duplo orientável é o toro, como na figura

abaixo:

Figura 3.1: Recobrimento duplo da garrafa de Klein

3.2 Representação das classes de homotopia de aplicações de RP 2g em W 63

onde a parte destacada é uma região fundamental.

No segundo caso o recobrimento duplo orientável é um cilindro tal que em cada extre-

midade do cilindro é feita a soma conexa com T 2k como na figura abaixo

Figura 3.2: g impar

onde o cilindro central recobre RP 2\D, onde D é um disco e a parte destacada da figura

é uma região fundamental.

No terceiro caso o recobrimento duplo orientável é dado tomando um toro e fazendo

soma conexa de dois T 2k como na ilustração abaixo

Figura 3.3: g par

onde o toro central recobre a garrafa de Klein e a região destacada é uma região funda-

mental.

Portanto em cada caso temos um diagrama comutativo como abaixo

RP 2g

Π

��

f ′

❅❅❅

❅❅❅❅

❅

RP 2g f

// W

,

onde RP 2g é o recobrimento duplo orientável de RP 2

g .

O resultado do Lema 5.3 de [6] também é válido para uma aplicação f : RP 2g → W .

Logo para variedades não orientável podemos utilizar das técnicas feita nos Lemas 1.2.1

e 1.2.2 para que f−1(W\S1) seja um disco.

Usando o levantamento de homotopia, podemos fazer estas modificações em cada

região do recobrimento duplo orientável de RP 2g . Quando fazemos estas modificações nos

levantamentos resulta em dois discos, um disco numa região fundamental e outro disco

na outra região, sendo cada um destes é levado no disco de RP 2g pela aplicação Π.


Logo temos que tomarp[f ′](t)

2.

Além disso, a menos de homotopia, o polinômiop[f ′](t)

2tem coeficientes em Z2. Este

fato é esclarecido no apêndice.

Denotaremos p[f ′] = a0 + a1t+ . . .+ antn o polinômio tal que ai são os coeficientes de

p[f ′](t)

2= a0 + a1 . . .+ ant

n módulo 2.

Assim temos a definição:

Definição 3.2.1. Sejam uma aplicação f : RP 2g → W e f ′ : RP 2

g → W tal que f ◦Π = f ′,

como no diagrama acima. Então o polinômio associado a aplicação f é p[f ′](t) e será

denotado por p[f ](t).

Aplicação especial de RP 2

gem W para g = 2k + 1

Dados um polinômio q(t) = a0 + . . . + antn tal que a0 = 1, ai ∈ Z2 e um número

l ∈ N finito. Consideremos a variedade não orientável RP 2g tal que g = 2k+1 para algum

k ∈ N.

Construímos uma aplicação f : T 2k → W a partir de q(t) e l, como feito na seção 1.2.

Sem perda de generalidade podemos supor que existe um disco fechado D ⊂ T 2g tal

que f(D) = P . Identificamos o subconjunto C = T 2g \

◦

D com uma região básica do

recobrimento duplo orientável de RP 2g .

Definimos a aplicação h : RP 2g → W por h([x]) = f(x), onde Π−1([x]) ∩ C = x.

Por construção temos hπ(π1(RP2g )) ≃ Z < l > e p[h](t) = q(t).

Definição 3.2.2. Uma aplicação que é como a aplicação h construída acima, isto é, uma

aplicação que pode ser construída a partir de l finito e seu polinômio associado p[h](t) é


Uma aplicação h : RP 2g → W é especial desde que a aplicação f : T 2

k → W construída a

partir de h seja uma aplicação especial. Lembrando que aplicações especiais f construída a

partir de h tem os coeficientes do polinômio p[f ](t) associado em Z2 (este fato é esclarecido

no apêndice). Portanto segue o teorema.


Teorema 3.2.1. Seja uma aplicação h : RP 2g → W . Então existe uma aplicação g ∈ [h]

tal que g é uma aplicação especial.


gem W para g = 2k

Primeiramente consideremos a variedade não orientável RP 22∼= K, onde K é a garrafa

de Klein.

Dados o toro T 2 recobrimento duplo de K e um polinômio q(t) = a0 + . . . + antn tal

que a0 6= 0, ai ∈ Z2 e um número l ∈ N finito.

Consideremos a região fundamental F destacada na figura 3.2. Definimos uma apli-

cação em F da seguinte maneira:

F

l-1l 1

D

,

onde a aplicação é definida no disco D a partir do polinômio q(t), como na seção 1.1, cada

faixa λi é projetada em S1 ⊂ W e o bordo do disco D e os bordos das faixas são levados

em P ∈ W . Denotaremos esta aplicação por Ψ : F → W .

Podemos identificar T 2\F com F\∂F .

Definimos uma aplicação h : T 2 → W dada por h(x) = Ψ(x), isto é, a aplicação h é

definida como Ψ em F . Como T 2\◦

F também é um cilindro h é definida de modo análogo

a Ψ em F .

Por fim definimos uma aplicação f : K → W por f([x]) = h(x), onde Π−1([x])∩F = x.

Por construção temos fπ(π1(K)) ≃ Z < l > e p[f ](t) = q(t).


Definição 3.2.3. Uma aplicação f : K → W é chamada aplicação especial se pode ser

construída, como acima, a partir de l finito e seu polinômio associado p[f ](t).

Dada uma aplicação f : K → W , temos o diagrama comutativo

T 2

Π��

f ′

!!❇❇❇

❇❇❇❇

❇

Kf

// W

.

Para encontrar uma aplicação especial θ ∈ [f ], é necessário encontrar uma aplicação

especial g′ ∈ [f ′]. Portanto faremos modificações, por homotopias, na aplicação f ′.

Basta fazer estas modificações na região fundamental F de T 2 e repetir analogamente

as modificações na outra região fundamental.

Como vimos anteriormente, para definir o polinômio associado, existe, a menos de

homotopia, um disco D ∈ F tal que f ′−1(W\S1) ⊂ D, D define o polinômio p[f ](t) e

f ′(∂D) = P . Observando que o polinômio p[f ](t), neste caso, tem coeficientes em Z2,

como é explicado no apêndice.

Seja < x, y; xyx−1y > a apresentação do grupo fundamental de K. Suponha que

fπ(y) = a 6= 0, como π1(W ) é abeliano segue que a2 = 0, absurdo. Portanto fπ(y) = 0.

Se fπ(x) = 0, temos, a menos de homotopia, uma aplicação especial.

Suponha que fπ(x) = l 6= 0. Sem perda de generalidade, podemos considerar que

o bordo de F é levado no caminho x ∈ K pela aplicação Π. Consideremos a aplicação

h : F → S1 ⊂ W definida por

h(x) =

f ′(x) se x ∈ F\◦

D

P se x ∈◦

D

Portanto a aplicação h é uma aplicação de um cilindro em S1 tal que hπ(π1(F )) ≃

Z < l >. É simples verificar que a aplicação h, a menos de homotopia, é uma projeção

do cilindro em S1 como na ilustração abaixo

onde cada faixa λi é projetado em S1.

Consideremos a aplicação h′ : F → W dada por


F

l-1l 1

h

,

h′(x) =

h(x) se x ∈ F\◦

D

f ′(x) se x ∈ D

Portanto a partir da aplicação h′ temos uma aplicação g ∈ [f ] tal que g é especial.

Logo segue o teorema:

Teorema 3.2.2. Seja uma aplicação f : K → W . Então existe g ∈ [f ] tal que g é uma


Consideremos o caso em que g = 2k > 2, então RP 2g∼= T 2

k#K e o recobrimento duplo

orientável é como na figura 3.2.

Seja uma aplicação f : T 2k#K → W . Então, novamente como no caso anterior, para

encontrar uma aplicação especial g ∈ [f ] basta fazer modificações na região fundamental

de T 2k#K repetir na outra região do recobrimento e compor com a aplicação Π. Denota-

remos a região fundamental por F .

Assim como no caso anterior existe um disco D ∈ F tal que f ′−1(W\S1) ⊂ D, D

define o polinômio p[f ](t) e f ′(∂D) = P .

Se fπ = 0 então, a menos de homotopia, f é especial.

Se fπ(π1(RP2g )) =< l >, tal que l 6= 0, então da mesma forma como feito no caso de

aplicações de Tg em W , a menos de homeomorfismo, somente um, a menos de homotopia,

gerador é levado em S1 ⊂ W e os outros, a menos de homotopia, é levado em P ∈ W .


Para isso, como π1(T2k#K) não tem uma base, compomos o homomorfismo induzido

por f em grupos fundamentais com a aplicação τ : π1(T2k#K)→ H1(T

2k#K)

Assim como foi feito no caso do toro, podemos considerar fπ(α0) = l e fπ(αi) = 0 para

i 6= 0, onde αi são os geradores de π1(T2k#K) e α0 ⊂ T 2

k ⊂ T 2k#K.

Portanto, desde que os bordos de F são levado pela Π no gerador γπ1(T2k#K) tal que

a imagem de γ pela Π pertence a K ∈ T 2k#K, a imagem dos bordos de F pela aplicação

f ′ é o ponto P ∈ W .

Seja ∂F = S10 ⊔ S1

1 , onde S1i são esferas de dimensão 1. Tomemos F e identificamos

as duas esferas que resulta em Tk+1 e denotemos S1∗ as duas esferas identificadas.

Consideremos a aplicação h : T 2k+1 → W dada por

h(x) =

f ′(x) se x ∈ T 2k+1\S

1∗

P se x ∈ S1∗

Pelo Teorema 1.3.1 existe uma aplicação h′ ∈ [h] tal que h′ é aplicação especial e sem

perda de generalidade, podemos supor que h(S1∗) = P .

Consideremos a aplicação h′′ : F → W dada por

h′′(x) =

h′(x) se x ∈ F\S10 ⊔ S1

1

P se x ∈ S10 ⊔ S1

1

Portanto a partir de h′′ construímos uma aplicação g : T 2k#K → W tal que g ∈ [f ] é

especial e segue o teorema:

Teorema 3.2.3. Seja uma aplicação f : T 2k#K → W . Então existe g ∈ [f ] tal que g é

uma aplicação especial.

Capítulo

4


superfícies não orientáveis em Wn

Nas próximas duas seções, dada uma aplicação f : RP 2g → Wn tal que n > 1, é

associado um polinômio p[f ](t) a classe de homotopia de f , este polinômio tem coeficientes

em Z2. Apresenta-se uma aplicação, chamada aplicação especial, a qual no capítulo de

?? mostra-se que estas aplicações realizam o conjunto minimal de raízes, que é construída

a partir de um polinômio. Depois, mostra-se que existe uma aplicação especial em cada

classe de homotopia [RP 2g ,Wn].

O motivo de considerar polinômios com coeficientes em Z2 é explicado no apêndice.


ções de RP 2 em Wn

Assim como na seção 3.1, consideremos o espaço projetivo RP 2 e uma aplicação f :

RP 2 → Wn, temos o seguinte diagrama comutativo

70 Representação de aplicações de superfícies não orientáveis em Wn

S2

Π��

f ′

""❊❊❊

❊❊❊❊

❊❊

RP 2f

// Wn

onde Π : S2 → RP 2 é o recobrimento duplo orientável.

Como π1(RP2) ≃ Z2, segue que fπ = 0. Logo temos o diagrama

S2

Π��

f ′

""❉❉❉

❉❉❉❉

❉❉

f ′

// W

p

��RP 2

f// Wn

comutativo.

Para fazer modificações, por homotopias, na aplicação f basta fazer modificações numa

região fundamental de S2 e repetir na outra região e utilizar a aplicação Π para modificar

f . Neste caso como Π é recobrimento duplo a região que vamos considerar é CN ⊂ S2

dada como na seção 3.1.

Sem perda de generalidade podemos supor que f ◦Π(S1) = P , onde S1 = {(x, y, z) ∈

R3 : |x|2 + |y|2 + |z|2 = 1 e z = 0} ⊂ S2.

Identificamos CN\S1 com S2\N , para algum N ∈ S2. Consideremos a aplicação

h : S2 → Wn definida por

h(x) =

f ′(x) se x ∈ S2\N

P se x = N

Definimos p[h](t) = a0 + a1t + . . . + antn tal que ai é igual a ai módulo 2, onde

p[h](t) = a0 + a1t+ . . .+ antn.

Definição 4.1.1. Dada uma aplicação f : RP 2 → Wn, definimos o polinômio associado

a classe de homotopia [f ] por p[h](t), onde h : S2 → Wn é como antes e este polinômio

será denotado por p[f ](t).

Dado um polinômio q(t) = a0 + . . .+ antn, tal que os coeficientes de q(t) pertencem a

Z2, construiremos uma aplicação f : RP 2 → Wn tal que p[f ](t) = q(t).

4.2 Representação das classes de homotopia de aplicações de RP 2g em Wn 71

Consideremos a aplicação h : S2 → Wn construída a partir de q(t), como feito na seção

2.1.

Identificamos a região CN\S1 com S2\N , tal que h(N) = P .

Dado y ∈ RP 2, então Π−1(y) = {x,−x} tal que x ∈ CN\S1 e −x ∈ RP 2\CN ou

Π−1(y) ⊂ S1.

Definimos f : RP 2 → W por

f(x) =

h(x) se x ∈ CN\S1

P se Π−1(y) ⊂ S1

Por construção p[f ](t) = q(t).

Definição 4.1.2. Uma aplicação f : RP 2 → Wn que pode ser construída como acima é


Analogamente como feito na seção 3.1, dada uma classe de homotopia [f ], pode ser

encontrada uma aplicação g ∈ [f ] tal que g é aplicação especial.


ções de RP 2g em Wn

Como na seção 3.2 consideremos as superfícies não orientáveis RP 2g tal que g = 2k+1 ≥

2 e, portanto, RP 2g∼= T 2

k#RP 2.

Seja RP 2g o recobrimento duplo orientável de RP 2

g como na figura 3.2.

Portanto temos um diagrama comutativo como abaixo

RP 2g

Π

��

f ′

❇❇❇

❇❇❇❇

❇

RP 2g f

// Wn

.

Da mesma forma que na seção 3.2 temos a definição:

Definição 4.2.1. Dadas uma aplicação f : RP 2g → Wn e f ′ : RP 2

g → Wn tal que


f ◦Π = f ′, como no diagrama acima. Então o polinômio associado a aplicação f é p[f ′](t)

e será denotado por p[f ](t).


gem Wn para g = 2k + 1

Dados um polinômio q(t) = a0 + . . .+ antn tal que a0 6= 0, ai ∈ Z2 e um número l ∈ N

finito.

Construímos uma aplicação f : T 2k → Wn a partir de q(t) e l, como feito na seção 2.2.

Sem perda de generalidade podemos supor que existe um disco fechado D ⊂ T 2g tal

que f(D) = P . Identificamos o subconjunto C = T 2k \

◦

D com uma região básica do

recobrimento duplo orientável de RP 2g .

Definimos a aplicação h : RP 2g → Wn por h([x]) = f(x), onde Π−1([x]) ∩ C = x.

Por construção temos hπ(π1(RP2g )) ≃ Z < l > e p[h](t) = q(t).

Definição 4.2.2. Uma aplicação h : RP 2g → Wn é chamada aplicação especial se h pode

ser construída a partir de l finito e seu polinômio associado p[h](t) como a construção

acima.

Pelos mesmos argumentos feitos no caso de aplicação de RP 2g em W , dada uma apli-

cação f : RP 2g → Wn existe uma aplicação θ ∈ [f ] tal que θ é especial.


gem Wn para g = 2k

Dados um polinômio q(t) = a0 + . . .+ antn tal que a0 6= 0, ai ∈ Z2 e um número l ∈ N

finito.

Construímos uma aplicação f : T 2k+1 → Wn a partir de q(t) e l, como feito na seção

2.2.

Seja uma esfera S1∗ ∈ T 2

k+1 tal que S1∗ não é contrátil em T 2

k+1 e f(S1∗) = x0. Identifi-

camos o subconjunto T 2k+1\S

1∗ com F\∂F , onde F é uma região básica do recobrimento

duplo orientável de RP 2g .

Definimos a aplicação h : RP 2g → Wn por h([x]) = f(x), onde Π−1([x]) ∩ F = x.

4.2 Representação das classes de homotopia de aplicações de RP 2g em Wn 73

Por construção temos hπ(π1(RP2g )) ≃ Z < l >, p[h](t) = q(t).

Definição 4.2.3. Uma aplicação h : RP 2g → Wn é chamada aplicação especial se h pode

ser construída a partir de l finito e seu polinômio associado p[h](t) como a construção

acima.

Pelos mesmos argumentos feitos no caso de aplicação de RP 2g em W junto com as

técnicas usadas na seção 2.3 para provar a existência de aplicação especial, então dada

uma aplicação f : RP 2g → Wn existe uma aplicação g ∈ [f ] tal que g é especial.

Teorema 4.2.1. Seja uma aplicação f : RP 2g → Wn. Então existe uma aplicação g ∈ [f ]

tal que g é aplicação especial.


Capítulo

5

Raízes de aplicações de superfícies

orientáveis em Wn

Seja f : S → Wn uma aplicação contínua. Neste capítulo é feito um estudo dos

conjuntos f−1(x), ∀x ∈ Wn, tal que g−1(x) seja o conjunto minimal e g ∈ [f ], onde a

minimalidade se refere a g−1(x) ser o conjunto com menor dimensão, menor número de

componentes conexas e as dimensões dos grupos de homologias de g−1(x) são minimais.

Para cada x ∈ Wn, denotaremos o conjunto minimal de raízes por M(f, x) = {g−1(x) é minimal :

g ∈ [f ]}.

Observe que para quaisquer x, y ∈ Wn\n⊔

i=1

S2i , temos M(f, x) = M(f, y) e para quais-

quer x, y ∈n⊔

i=1

(S2i \{i}) ⊂ Wn também vale M(f, x) = M(f, y).

5.1 Raízes de aplicações de S2 em Wn

Consideremos n = 1 e uma aplicação f : S2 → W . Quando f(S2) ⊂ S1 ou quando

p[f ](t) = O, então f é homotópica a uma aplicação constante. Logo M(f, x) = ∅, para

qualquer x ∈ W .

Se p[f ](t) = a0 6= 0, então neste caso o diagrama

76 Raízes de aplicações de superfícies orientáveis em Wn

S2

��S2

f>>⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥

f// W

é comutativo e a0 é o grau de f , o conjunto minimal de raízes para x ∈ S2 ⊂ W é unitário

e para x ∈ W\S2 M(f, x) = ∅.

De fato, suponha que existe x ∈ W\S1 tal que f−1(x) = ∅. Logo fazendo uma retração

temos f(S2) ⊂ S1, o que implicaria f ∼= cte, contradizendo p[f ](t) = a0 6= 0.

Se x ∈ W\S2, então pelo diagrama comutativo acima, temos M(f, x) = ∅.

Portanto se p[f ](t) = a0 6= 0, temos os seguintes conjuntos minimais de raízes

M(f, x) =

∅ , se x ∈ W\S2

{y} , se x ∈ S2 ⊂ W

Suponha que p[f ](t) = a0 + . . .+ antn com a0 6= 0, an 6= 0 e n > 0.

Logo a aplicação f é fortemente sobrejetiva e para cada x ∈ W temos a imagem inversa

f−1(x) 6= ∅. Para x ∈ W\S1 uma aplicação especial tem, a menos de homotopia, como

imagem inversa um único ponto, isto é, f−1(x) = {y}, logo uma aplicação especial realiza

o conjunto minimal de raízes, neste caso. Provemos que para x ∈ W\S2 uma aplicação

especial realiza o conjunto minimal de raízes.

Para x ∈ W\S2 temos as seguintes possibilidades:

(i) M(f, x) ∼= S0;

(ii) M(f, x) ∼= S1;

(iii) M(f, x) ∼= S2;

onde Si são subespaços topológicos de W de dimensões i = 0, 1 ou 2, podendo não ser

conexo.

Se acontecesse (i), então para cada y ∈ f−1(x) é tal que y é raiz isolada de f em x.

Sejam V uma vizinhança de y tal que y seja a única raiz de f em x pertencente

a V e {x} = f(V ) ∩ p−1(x) ⊂ W . Então por continuidade, f(V \{x}) ⊂ [x,+∞) ou

f(V \{x}) ⊂ (−∞, x]. Logo, a menos de homotopia, f(V ) ∩ {x} = ∅ e, portanto, amenos

de homotopia, f(V ) ∩ {x} = ∅. Contradiz o fato de f ser fortemente sobrejetiva.

5.1 Raízes de aplicações de S2 em Wn 77

Se vale (iii), então cada componente conexa de S2 é homotópica a D2 ou é toda S2.

Caso a componente conexa seja homotópica a D2, então deste que D2 ∼= pto, a menos de

homotopia, a componente conexa é um único ponto e novamente usando os argumentos

do caso (ii) temos que este caso não acontece.

Se S2 é todo o domínio de f , então f uma aplicação constante o que contradiz p[f ](t) 6=

O.

Portanto, vale (ii).

Cada componente conexa de S1 é homotópica a [0, 1] ou é homotópica a S1.

Suponha que a componente conexa de S1 é homotópica a [0, 1]. Como [0, 1] ∼= pto,

a menos de homotopia, es ta componente conexa é um único ponto. Logo repetimos

os argumentos de (ii) e chegamos numa contradição. Portanto, temos somente o caso

S1∼=

r⊔

i=1

S1i .

Observe que p−1(x) ∩ f(S2) é pelo menos n pontos e para cada um destes ponto a

imagem inversa é por f é homotópica a uma união finita de S1.

Para f uma aplicação especial p−1(x) ∩ f(S2) é exatamente n pontos e , a menos de

homotopia, a imagem inversa de cada um deste pontos é uma única S1. Portanto uma

aplicação especial realiza o conjunto minimal de raízes parar x ∈ W\S2.

Finalmente o ponto P ∈ W singular. Como já vimos f−1(P ) 6= ∅.

Se x ∈ f−1(P ) tal que x é raiz isolada, então assim como nos casos anteriores esta

raiz pode ser eliminada por homotopias, lembrando que estamos no caso de f fortemente

sobrejetiva.

Da mesma forma como feito anteriormente, não acontecem os casos M(f, P ) ser ho-

motópico subespaços de dimensão 2

Logo M(f, P ) contém somente espaços de dimensão 1.

Consideremos f : S2 → W um levantamento de aplicação especial f ao recobrimento

universal e seja o conjunto {0, . . . , n} = f(S2) ∩ Z. Observe que n é mínimo.

Logo f−1(P ) = f−1({0, . . . , n}).

Os espaços de dimensão 1 que estão contidos em f−1(P ) tem mesmo tipo de homotopia

que buquês de esferas de dimensão 1, isto é, S1 ∨ . . . ∨ S1︸︷︷︸

j−vezes

, para algum j ∈ N.


Para cada i ∈ {0, . . . , n} temos f−1(i) contendo pelo menos um espaço do mesmo tipo

de homotopia que S1.

Portanto no caso de i = 0, n ou i ∈ {1, . . . , n − 1} tal que ai = 0 temos g−1(i) = S1

que é o conjunto minimal de raízes.

Para i ∈ {1, . . . , n − 1} tal que ai 6= 0, uma aplicação especial f tem o conjunto

f−1(i) = S1 ∨ S1 como imagem inversa. Suponha que o conjunto minimal de raízes de i

seja S1, isto é, existe h ∈ [f ] tal que h−1(i) = S1. Seja V uma vizinhança tubular de S1

em S2. Como ai 6= 0 temos h(V )∩(S2i \{i}) 6= ∅, h(V )∩(i,+∞) 6= ∅ e h(V )∩(−∞, i) 6= ∅.

Para V suficientemente pequeno V \S1 tem somente duas componentes conexas. Logo por

conexidade não existe h.

Portanto, a menos de homotopia, f−1(P ) = S1 ∨ . . . ∨ S1︸︷︷︸

n−vezes

com n ≥ 2.

Logo uma aplicação especial realiza o conjunto minimal de raízes para P ∈ W .

Concluímos que para qualquer x ∈ W existe uma aplicação especial f : S2 → W que

realiza M(f, x) e este conjunto é classificado pelo polinômio p[f ](t) = a0 + . . . + antn tal

que a0 6== 0 e an 6= 0. Definimos r = #{ai; ai 6= 0} e observe que r 6= 2. Então o minimal

de raízes é como abaixo,

M(f, x) =

tem cardinalidade r , se x ∈ W\S1

n⊔

j=1

S1j , se x ∈ W\S2

(r−2⊔

j=1

(S1 ∨ S1)j

)∪

(n−r+3⊔

j=1

S1j

), se x = P

Abordaremos minimalidade de raízes no caso de aplicações f : S2 → Wn tal que n ≥ 2.

Consideremos n ≥ 2 e uma aplicações f : S2 → Wn. Suponha que f é uma aplicação

especial.

Fixemos o recobrimento p′ : W → Wn, como na seção 2.1. Sem perda de generalidade

podemos supor que p′(S20) = e20.

Da mesma maneira como feito no caso de aplicações de S2 em W , mostrar-se que as

5.2 Raízes de aplicações de T 2 em Wn 79

aplicações especiais são as aplicações que realizam o conjunto minimal de raízes para os

pontos de Wn.

Seja p[f ](t) = a0 + . . .+ aktk o polinômio associado a f . Se p[f ](t) é o polinômio nulo,

então M(f, x) = ∅ para qualquer x ∈ Wn. Suponha que p[f ](t) = a0 6= 0, então o conjunto

minimal de raízes é

M(f, x) =

{y} se x ∈ e20

∅ c.c

Suponha que k > 1 com a0 6= 0 e ak 6= 0. Para cada h, h′ ∈ {0, . . . , n}, consideremos

ch a cardinalidade do conjunto {h+ jn/h+ jn ∈ {0, . . . , k}, ah+jn 6= 0 e j ∈ N} e ch′ é a

cardinalidade do conjunto {h′ + jn/h′ + jn ∈ {0, . . . , k}, ah′+jn = 0 e j ∈ N}. Suponha

que k = mn+ r para certos m, r ∈ N.

Portanto o conjunto minimal de raízes neste caso é

M(f, x) =

tem cardinalidade ch , se x ∈ e2i \{xi}m+1⊔

j=1

S1j , se x ∈ (e1i \{xi, xi+1}) e 1 ≤ i ≤ r

m⊔

j=1

S1j , se x ∈ (e1i \{xi, xi+1}) e r < i ≤ n

(ch⊔

j=1

(S1 ∨ S1)j

)∪

(ch′⊔

j=1

S1j

), se x = xi e i 6= 0, r

(ch−2⊔

j=1

(S1 ∨ S1)j

)∪

(ch′+2⊔

j=1

S1j

), se x = x0 ou x = xr

5.2 Raízes de aplicações de T 2 em Wn

Sejam f : T 2 → W uma aplicação especial, p[f ](t) o polinômio associado a classe de

homotopia [f ], n = 1 e l ∈ N tal que < l >= fπ(π1(T2)).

Provemos que uma aplicação especial é a aplicação que realiza o conjunto minimal de

raízes para qualquer x ∈ W .

Se p[f ](t) = O e l = 0 então f é homotópica a uma aplicação constante. Portanto

M(f, x) = ∅ para qualquer x ∈ W .


Se p[f ](t) 6= O, então pelo resultados da seção 1.2 existe D ⊂ T 2 tal que f |(D,∂D) é

dada a partir do polinômio p[f ](t) como aplicação de S2 em W .

Como f−1(W\S1) ⊂ D, então para todo x ∈ W\S1 o conjunto minimal de raízes é

obtido como feito no caso de minimalidade de raízes de aplicação de S2 em W .

Sejam x ∈ W\S2 e l ≥ 1, então o conjunto minimal de raízes contém ao menos f−1(x)∩

D. A aplicação especial tem como conjunto de raízes(f−1(x) ∩D

)⊔(l copias de S1

).

Consideremos a aplicação f : C → W e p : W → W como na seção ??, então

f−1(x) = f−1({x0, . . . , xl}), onde xi ∈ (i, i+ 1) ⊂ W , i ∈ {0, . . . , l} e p(xi) = x.

Suponha que para algum i ∈ {0, . . . , l} o conjunto f−1(xi) ∩ (C\D) = S1 não seja o

conjunto minimal, isto é, existe g ∈ [f ] tal que g−1(xi) ⊂ S1\{y}, para algum ponto y.

Como o conjunto S1\{y} tem mesmo tipo de homotopia que um ponto, então, a menos

de homotopia, g(xi) ∩ (C\D) é um único ponto. Portanto, por homotopia, podemos

eliminar esta raiz e g(xi) ∩ (C\D) = ∅.

Logo, a menos de homotopia, o conjunto minimal f−1(xi) é S1.

Analogamente pode ser feito no caso do ponto P ∈ W para concluir que o conjunto

f−1(P ) = f−1({0, . . . , l}) = S1 ⊔ . . . ⊔ S1

︸︷︷︸l−vezes

⊔(S1∨S1), onde f−1(i) = S1 para i ∈ {1, . . . , l}

e f−1(0) = S1 ∨ S1.

Concluindo assim que o conjunto minimal de raízes de uma aplicação de T 2 em W é

o conjunto de raízes de uma aplicação especial tal que o conjunto de raízes é classificado

pelo polinômio p[f ](t) = a0 + . . .+ antn e l ∈ N tal que < l >= fπ(π1(T

2)).

Portanto, se ai = 0 para todo i ∈ {0, . . . , n} e l = 0, então M(f, x) = ∅ para todo

x ∈ W .

Se p[f ](t) = a0 6= 0 e l = 0, o conjunto minimal de raízes é M(f, x) = ∅ para x ∈ W\S2

e M(f, x) é unitário caso contrário.

Se a0 6= 0, an 6= 0, n ≥ 1 e l = 0, então o conjunto minimal de raízes é

5.2 Raízes de aplicações de T 2 em Wn 81

M(f, x) =


n⊔

j=1

S1j , se x ∈ W\S2

(r−1⊔

j=1

(S1 ∨ S1)j

)∪

(n−r+3⊔

j=1

S1j

), se x = P

onde r = #{ai; ai 6= 0}.

Caso contrário, isto é, a0 6= 0, an 6= 0, n ≥ 1, l 6= 0. Seja que r = #{ai; ai 6= 0}, então

o conjunto minimal de raízes é como abaixo,

M(f, x) =


n+l⊔

j=1

S1j , se x ∈ W\S2

(r−1⊔

j=1

(S1 ∨ S1)j

)∪

(n−r+l+1⊔

j=1

S1j

), se x = P

Consideremos n ≥ 2 e uma aplicações f : T 2 → Wn especial.

Fixemos o recobrimento p′ : W → Wn tal que p′(S20) = e20.

Da mesma maneira com feito anteriormente nesta seção, mostra-se que as aplicações

especiais são as aplicações que realizam o conjunto minimal de raízes para os pontos de

Wn com n ≥ 2.

Sejam p[f ](t) = a0 + . . .+ aktk o polinômio associado a f e l ∈ N tal que fπ(π1(T

2)) =

Z < l >. Se p[f ](t) é o polinômio nulo e l = 0, então o conjunto minimal de raízes é vazio

para qualquer ponto de Wn.

Suponha que p[f ](t) = a0 6= 0 e l = 0, então o conjunto minimal de raízes é

M(f, x) =

{y} se x ∈ e20

∅ c.c

Suponha que a0 6= 0, ak 6= 0, k > 0, l = 0, p′(S20) = e20 e p′(S2

k) = e2r para algum

r ∈ {1, . . . , n}. Para cada h, h′ ∈ {0, . . . , n}, consideremos ch a cardinalidade do conjunto


{h + jn/h + jn ∈ {0, . . . , k}, ah+jn 6= 0 e j ∈ N} e ch′ é a cardinalidade do conjunto

{h′ + jn/h′ + jn ∈ {0, . . . , k}, ah+jn = 0 e j ∈ N}. Suponha que k = mn+ r para alguns

m, r ∈ N.


M(f, x) =


j=1

S1j , se x ∈ (e1i \{xi, xi+1}) e 1 ≤ i ≤ r

m⊔

j=1


(ch⊔

j=1

(S1 ∨ S1)j

)∪

(ch′⊔

j=1

S1j

), se x = xi e i 6= 0, r

(ch−2⊔

j=1

(S1 ∨ S1)j

)∪

(ch′+2⊔

j=1

S1j

), se x = x0

(ch−1⊔

j=1

(S1 ∨ S1)j

)∪

(ch′+1⊔

j=1

S1j

), se x = xr

Por fim, suponha que a0 6= 0, ak 6= 0, k > 0, l 6= 0, p′(S20) = e20 e p′(S2

k) = e2r para

algum r ∈ {1, . . . , n}. Para cada h, h′ ∈ {0, . . . , n}, consideremos ch a cardinalidade do

conjunto {h + jn/h + jn ∈ {0, . . . , k}, ah+jn 6= 0 e j ∈ N} e ch′ é a cardinalidade do

conjunto {h′ + jn/h′ + jn ∈ {0, . . . , k}, ah′+jn = 0 e j ∈ N}. Suponha que k = mn + r

para alguns m, r ∈ N.

Logo o conjunto minimal de raízes é

5.3 Raízes de aplicações de Tg em Wn 83

M(f, x) =

tem cardinalidade ch , se x ∈ e2i \{xi}m+1+l⊔

j=1

S1j , se x ∈ (e1i \{xi, xi+1}) e 1 ≤ i ≤ r

m+l⊔

j=1

S1j , se xx ∈ (e1i \{xi, xi+1}) e r < i ≤ n

(ch⊔

j=1

(S1 ∨ S1)j

)∪

ch′+l⊔

j=1

S1j

, se x = xi e i 6= 0, r

(ch−2⊔

j=1

(S1 ∨ S1)j

)∪

ch′+2+l⊔

j=1

S1j

, se x = x0

(ch−1⊔

j=1

(S1 ∨ S1)j

)∪

ch′+1+l⊔

j=1

S1j

, se x = xr

5.3 Raízes de aplicações de Tg em Wn

Assim como nos casos anteriores provaremos que o conjunto de raízes de uma aplicação

especial f : Tg → W é minimal.

Sejam n = 1, uma aplicação especial f : Tg → W , p[f ](t) o polinômio associado a

classe de homotopia [f ] e l ∈ N tal que < l >= fπ(π1(Tg)).

Se p[f ](t) = O e l = 0 então f é homotópica a uma aplicação constante. Portanto o

conjunto minimal de raízes é vazio para qualquer x ∈ W .

Suponha que p[f ](t) 6= O e l 6= 0. Então sabemos que existe D ⊂ Tg tal que f |(D,∂D) é

dada a partir do polinômio p[f ](t) como aplicação de S2 em W .

Portanto f |(D,∂D) tem conjunto minimal de raízes. Como f−1(W\S1) ⊂ D, então para

todo x ∈ W\S1 o conjunto minimal de raízes é obtido como feito no caso de minimalidade

de raízes de aplicação de S2 em W .

Seja x ∈ W\S2. Então o conjunto minimal de raízes é ao menos o conjunto f−1(x)∩D.

A menos de homotopia, uma aplicação especial tem como conjunto de raízes o seguinte:

{(f−1(x) ∩D)

⊔(l copias de S1)

}


Consideremos a aplicação f |B : B → W , então f−1(x) = f−1({x0, . . . , xl}), onde

xi ∈ (i, i+ 1) ⊂ W , i ∈ {0, . . . , l} e p′(xi) = x.

Analogamente ao caso de raízes de aplicações de T 2 em W se prova que este é o

conjunto minimal de raízes e para o ponto P ∈ W o conjunto minimal de raízes é f−1(P ) =

f−1({0, . . . , l}) = S1 ⊔ . . . ⊔ S1︸︷︷︸

l−vezes

⊔(S1∨S1), onde f−1(i) = S1 para i ∈ {1, . . . , l} e f

−1(0) =

S1 ∨ S1.

Concluindo assim que o conjunto minimal de raízes de uma aplicação de Tg em W é

o mesmo conjunto de raízes de uma aplicação especial de T 2 em W .

Analogamente como feito no caso de Tg em W , concluímos que no caso de n > 2, o

conjunto minimal de raízes é igual ao caso de aplicações de T 2 em Wn.

Capítulo

6

Raízes de aplicações de superfícies não

orientáveis em Wn

6.1 Raízes de aplicações de RP 2 em Wn

Dados uma aplicação f : RP 2 → W e Π : S2 → RP 2 o recobrimento duplo orientável.

Na seção 3.1 foi considerado CN ⊂ S2 para fazer modificações, por homotopias, e

concluir os resultados. Nesta seção, também, basta utilizar a aplicação f ◦Π e CN ⊂ S2

para obter os conjuntos minimais de raízes.

Uma aplicação especial f : RP 2 → W é construída a partir de uma aplicação especial

h : S2 → W . Portanto como uma aplicação especial h realiza o conjunto minimal de

raízes para pontos de W , então uma aplicação especial f também será uma aplicação que

realiza o conjunto minimal de raízes.

Desde que uma aplicação especial f é construída identificando S2\{N} com CN\S1,

onde h(N) = P , o conjunto minimal de raízes de f é igual ao conjunto de raízes de h para

x ∈ W\{P} e no ponto P o conjunto minimal de raízes é igual ao conjunto minimal de

raízes de h em P mais uma S1 = Π(∂CN).

Portanto seja p[f ](t) o polinômio associado a f . Se p[f ](t) = O, então, a menos de

homotopia, f−1(x) = ∅ para cada x ∈ W .

86 Raízes de aplicações de superfícies não orientáveis em Wn

Caso p[f ](t) = 1, então, a menos de homotopia, os conjunto minimais de raízes são

conjuntos unitários.

Caso contrário ponha que 0 6= r = #{ai; ai 6= 0} (observe que r > 1) então o conjunto

de raízes é como abaixo,

M(f, x) =


n⊔

j=1

S1j , se x ∈ W\S2

(r−2⊔

j=1

(S1 ∨ S1)j

)∪

(n−r+4⊔

j=1

S1j

), se x = P

Analogamente para o caso em que n ≥ 2, isto é, uma aplicações especial f : RP 2 → Wn

realiza o conjunto minimal de raízes para pontos de Wn.

Seja o recobrimento universal p′ : W → Wn. Sem perda de generalidade podemos

supor que p′(S20) = e20.

Seja p[f ](t) = a0 + . . .+ aktk o polinômio associado a f . Se p[f ](t) é o polinômio nulo,

então M(f, x) = ∅ para cada x ∈ Wn. Suponha que p[f ](t) = 1, então o conjunto minimal

de raízes é

M(f, x) =

{y} se x ∈ e20

∅ c.c

Se k > 0 e p′(S20) = e20. Para cada h, h′ ∈ {0, . . . , n}, consideremos ch a cardinalidade

do conjunto {h + jn/h + jn ∈ {0, . . . , k}, ah+jn 6= 0 e j ∈ N} e ch′ é a cardinalidade do

conjunto {h′ + jn/h′ + jn ∈ {0, . . . , k}, ah′+jn = 0 e j ∈ N}. Suponha que k = mn + r

para alguns m, r ∈ N.

6.2 Raízes de aplicações de RP 2g em Wn 87


M(f, x) =


j=1

S1j , se x ∈ (e1i \{xi, xi+1}) e 1 ≤ i ≤ r

m⊔

j=1


(ch⊔

j=1

(S1 ∨ S1)j

)∪

(ch′⊔

j=1

S1j

), se x = xi e i 6= 0, r

(ch−2⊔

j=1

(S1 ∨ S1)j

)∪

(ch′+2⊔

j=1

S1j

), se x = x0

(ch−2⊔

j=1

(S1 ∨ S1)j

)∪

(ch′+3⊔

j=1

S1j

), se x = xr

6.2 Raízes de aplicações de RP 2g em Wn

Seja uma aplicação f : RP 2g → W tal que RP 2

g ≃ T 2k#RP 2 com g = 2k + 1 e k ≥ 1.

Considere Π : RP 2g → RP 2 o recobrimento duplo orientável, onde RP 2

g é como na figura

3.2.

Na seção 3.2 foi considerado a região fundamental de RP 2g para fazer modificações,

por homotopias, e concluir os resultados. Nesta seção, também, basta utilizar a aplicação

f ◦ Π e a região fundamental de RP 2g para obter os conjuntos minimais de raízes.

Como vimos na seção 3.2, uma aplicação especial h : RP 2g → W é construída a partir

de uma aplicação especial f : T 2k → W . Portanto como uma aplicação especial h realiza

o conjunto minimal de raízes para pontos de W , então uma aplicação especial f também

será uma aplicação que realiza o conjunto minimal de raízes.

Neste caso o conjunto minimal de raízes de h em x ∈ W\{P} é o conjunto minimal

de raízes de f em x ∈ W\{P} e o conjunto minimal de raízes de h em P é o conjunto

minimal de raízes de f em P união com S1 = Π(∂CN).

Seja p[f ](t) o polinômio associado a f . Se p[f ](t) = O, então M(f, x) = ∅ para todo

x ∈ W .

Caso p[f ](t) = 1, então o conjunto M(f, x) tem cardinalidade 1.


Caso contrário suponha que 0 6= r = #{ai; ai 6= 0} (observe que r > 1) então o

conjunto de raízes é como abaixo,

M(f, x) =


n⊔

j=1

S1j , se x ∈ W\S2

(r−2⊔

j=1

(S1 ∨ S1)j

)∪

(n−r+4⊔

j=1

S1j

), se x = P

Analogamente para o caso em que n ≥ 2, isto é, uma aplicações especial f ′ : T 2k → Wn

realiza o conjunto minimal de raízes para pontos de Wn e consequentemente uma aplicação

especial h′ : RP 2g → Wn construída a partir de f ′ realiza o conjunto minimal de raízes

para os pontos de Wn.

Seja p[h′](t) o polinômio associado a h′. Neste caso o conjunto de raízes é

- se p[f ′](t) = O, então M(h′, x) = ∅ para todo x ∈ W

- se p[f ′](t) = 1, então M(h′, x) tem cardinalidade 1.

- caso contrário, desde que o conjunto minimal de raízes de aplicações h : T 2k → W é

igual ao conjunto minimal de raízes de aplicações h′ : T 2k → Wn, segue que o conjunto

minimal de raízes de f ′ : RP 2g → Wn é igual ao conjunto minimal de raízes de aplicações

f : RP 2g → W .

Seja uma aplicação f : K → W tal que K é a garrafa de Klein. Considere Π : T 2 → K

o recobrimento duplo orientável, onde T 2 é como na figura 3.2.

Na seção 3.2 foi considerado a região fundamental de T 2 para fazer modificações, por

homotopias, e concluir os resultados. Nesta seção, também, basta utilizar a aplicação

f ◦ Π e a região fundamental de RP 2g para obter os conjuntos minimais de raízes.

Como vimos na seção 3.2, uma aplicação especial f : K → W é construída a partir

de uma aplicação h : F → W . Usando as técnicas da seção 5.1 mostra-se que a aplicação

h realiza o conjunto minimal de raízes para pontos de W , logo uma aplicação especial f

também será uma aplicação que realiza o conjunto minimal de raízes.


Neste caso o conjunto minimal de raízes de f em x ∈ W\S1 é o conjunto minimal de

raízes de h em x ∈ W\S1, o conjunto minimal de raízes de f em x ∈ W\S2 é o conjunto

minimal de raízes de h|D em x ∈ W\S2 união com l S1.

Seja p[f ](t) = a0 + . . . + antn o polinômio associado a f e fπ(π1(K)) ≃ Z < l >. Se

p[f ](t) = O e l = 0, então M(f, x) = ∅ para todo x ∈ W .

Se p[f ](t) = O e l 6= 0, então M(f, x) = ∅ para todo x ∈ W\S1 e M(f, x) =l⊔

i=1

S1i

para cada x ∈ S1 ⊂ W .

Caso p[f ](t) = 1 e l = 0, então M(f, x) = ∅ para todo x ∈ W\S2 e M(f, x) tem

cardinalidade 1 para cada x ∈ S2 ⊂ W .

Caso p[f ](t) = 1 e l 6= 0, então M(f, x) tem cardinalidade 1 para todo x ∈ W\S1,

M(f, x) =l⊔

i=1

S1i para cada x ∈ W\S2 e M(f, P ) = S1 ∨ S1.

Caso contrário ponha que 0 6= r = #{ai; ai 6= 0} (observe que r > 1) e l 6= 0, então o

conjunto minimal de raízes é como abaixo,

M(f, x) =


n+l⊔

j=1

S1j , se x ∈ W\S2

(r−1⊔

j=1

(S1 ∨ S1)j

)∪

(n−r+3+l−1⊔

j=1

S1j

), se x = P

Analogamente para o caso em que n ≥ 2, isto é, uma aplicações especial h : T 2 → Wn

realiza o conjunto minimal de raízes para pontos de Wn e consequentemente a aplicação

especial f : K → Wn construída a partir de f realiza o conjunto minimal de raízes para

os pontos de Wn.

Seja p[f ](t) = a0 + . . .+ aktk o polinômio associado a f e fπ(π1(K)) ≃ Z < l >. Neste

caso o conjunto de raízes é

- se p[f ](t) = O e l = 0, então M(f, x) = ∅ para todo x ∈ W .

- se p[f ](t) = O e l 6= 0, então M(f, x) = ∅ para todo x ∈ W\S1 e M(f, x) =l⊔

i=1

S1i para

cada x ∈ S1 ⊂ W .

- caso p[f ](t) = 1 e l = 0, então M(f, x) = ∅ para todo x ∈ W\S2 e M(f, x) tem


cardinalidade 1 para cada x ∈ S2 ⊂ W .

- caso p[f ](t) = 1 e l 6= 0, então M(f, x) tem cardinalidade 1 para cada x ∈ W\S1,

M(f, x) =l⊔

i=1

S1i para todo x ∈ W\S2 e M(f, P ) = S1 ∨ S1.

Caso contrário, desde que o conjunto minimal de raízes de aplicações f |Π(D) : Π(D)→

Wn é igual ao conjunto minimal de raízes de aplicações f ′ : D → Wn, segue que o conjunto

minimal de raízes de f : K → Wn é:

- para x ∈ Wn\S1, M(f, x) = M(f ′, x).

- para x ∈ e1i \{xi, xi+1}, M(f, x) = M(f ′, x)⋃ l⊔

i=1

S1i .

- ponha que k = jn + m, onde 0 ≤ m < n. Logo para x = xi tal que i 6= m,

M(f, x) = M(f ′, x)⋃ l⊔

i=1

S1i .

- para x = xm, M(f, x) =(M(f ′, x)\S1

)⋃S1 ∨ S1

l−1⊔

i=1

S1i .

Por fim, sejam f : RP 2g → W tal que g = 2k com k > 1 e Π : T2+1 → W o recobrimento

duplo orientável.

Da mesma maneira que antes, as aplicações especiais realizam o conjunto minimal de

raízes.

Uma aplicação especial é construída a partir de uma aplicação h : F → W , onde F

é a região fundamental de T2k+1. Na construção da aplicação especial são identificadas

duas circunferências de F para obter uma aplicação h′ : Tk+1 → W para construir f .

Portanto para x ∈ W , M(f, x) é igual M(h′, x).

Analogamente para o caso em que n ≥ 2, isto é, uma aplicações especial f : RP 2g → Wn

realiza o conjunto minimal de raízes para pontos de Wn e para cada x ∈ Wn, M(f, x)

é igual M(h′, x), onde h′ : Tk+1 → Wn é uma aplicação especial usada para construir a

aplicação f .


Apêndice

Homologia com Coeficientes Locais

Apresentaremos uma introdução de homologia com coeficientes locais que foi usada

ao longo do trabalho, para mais detalhes ver livro [13].

Dado um grupo π, denotaremos por Zπ o seu anel de grupo.

Sejam A um grupo abeliano e um homomorfismo de grupos ρ : π → AutZ(A), onde

AutZ(A) = {h : A→ A|h é automorfismo}. O homomorfismo ρ induz em A uma estrutura

de Zπ-módulo a esquerda pela seguinte ação

(∑

g∈π

mgg

)a =

∑

g∈π

mgρ(g)(a).

Reciprocamente se A é um módulo a esquerda sobre o anel Zπ, então existe um homo-

morfismo

ρ : π → AutZ(A)

dado por ρ(g)(a) = ga, onde ga é a multiplicação de a ∈ A por g ∈ π.

Definição 6.2.1. Sejam E, B espaços topológicos, A grupo abeliano com a topologia

discreta e G um subgrupo de AutZ(A). Então um recobrimento p : E → B com fibra A

e grupo estrutural G é um sistema de coeficientes locais sobre B. Além disso, cada fibra

p−1(b) é isomorfa a A.

Definição 6.2.2. Seja p : E → B um G-fibrado principal. Suponha que G atua a esquerda

sobre um espaço F , isto é, é dada uma ação G× F → F . A construção de Borel

E ×G F


é dado pelo espaço quocienteE × F

∼, onde (x, f) ∼ (xg, g−1f).

Denotemos a classe de equivalência de (x, f) por [x, f ] ∈ E×GF . Definimos a aplicação

q : E ×G F → B por q([x, f ]) = p(x).

Definição 6.2.3. Se p : E → B é um G-fibrado principal e G atua sobre F , então

F // E ×G F

q

��B

é um fibrado sobre B com fibra F e grupo estrutural G, onde q([x, f ]) = p(x). A aplicação

q : E ×G F → B é chamada fibrado associado ao fibrado principal p : E → B via a ação

de G sobre F .

Lema 6.2.1. Todo sistema de coeficientes locais sobre um espaço B conexo por caminhos

e semi-localmente simplesmente conexo é da forma

A // B ×π1(B) A

q

��B

isto é, é o fibrado associado ao π1(B)-fibrado principal dado pelo recobrimento universal

B de B, onde a ação é dada por um homomorfismo π1(B)→ AutZ(A).

Seja X um espaço topológico conexo, localmente conexo por caminhos e semilocal-

mente simplesmente conexo com recobrimento universal X. Daqui por diante π = π1(X).

Para definir homologia com coeficientes locais daremos uma estrutura de Zπ-módulo aos

complexos singulares S∗(X), onde S∗(X) é o grupo abeliano livre gerado por {δ : ∆∗ →

X|δ é contínua} e ∂ é o operador bordo usual.

Seja X → X o recobrimento universal de X com a π-ação usual a direita obtida por

identificação de π com o grupo de transformações de recobrimento.

A ação de um elemento g ∈ π sobre um simplexo singular δ : ∆k → X é o simplexo

singular gδ definido como a composição de δ e a transformação recobrimento g : X → X.


Estendendo esta ação por linearidade para Zπ, tem-se que o complexo de cadeias do

recobrimento universal é constituído por Zπ-módulos livres a direita e os operadores

bordos são Zπ homomorfismos.

Definição 6.2.4. Seja um espaço topológico conexo, localmente conexo por caminhos e

semilocalmente simplesmente conexo com recobrimento universal X. Dado um Zπ-módulo

A, então o produto tensorial

S∗(X;A) = S∗(X)⊗Zπ A

é um complexo de cadeias cuja homologia é chamada homologia de X com coeficientes

locais em A e é denotado por H∗(X;A).

A estrutura de Zπ-módulo de A é determinada, como vimos anteriormente, por um

homomorfismo ρ : π1(X) → AutZ(A). Ás vezes para enfatizar este homomorfismo colo-

caremos um subíndice ρ em A e denotaremos H∗(X;Aρ) para homologia com coeficientes

em A.

Definição 6.2.5. Sejam p : E → B um fibrado com fibra F e grupo estrutural G. Dada

uma aplicação f : B′ → B o “pullback” de p : E → B por f é o espaço

f ∗(E) = {(b′, e) ∈ B′ × E|p(e) = f(b′)}.

Se considerarmos q : f ∗(E)→ B′ como sendo a restrição da projeção E × B′ → B′ a

f ∗(E), então q é um fibrado com fibra F e grupo estrutural G com o seguinte diagrama

comutativo

f ∗(E)

q

��

// E

p

��B′

f// B

.

Observe que dados uma aplicação f : B′ → B e um sistema local em B, usando o

“pullback” tem-se um sistema local sobre B′.


Sequência de Puppe-Barrat

Apresentamos alguns resultados de caracterização de classes de homotopia, a referência

principal é [21].

Cone, suspensão e produto smash

Para efeito de notação colocamos alguns conceitos e resultados.

Definição 6.2.6. O produto smash (X ∧ Y, ∗) entre dois espaços topológicos pontuados

(X, x0) e (Y, y0) é o quocienteX × Y

X ∨ Y

com o ponto base ∗ = p(X∨Y ), onde ∨ denota o wedge e p : X×Y → X∧Y é a projeção

tal que p(x, y) ∈ X ∧ Y é denotado por [x, y].

Teorema 6.2.1. Sejam (X, x0), (Y, y0), (Z, z0) espaços topológicos pontuados, tais que

X,Z são Hausdorff e Z é localmente compacto, então existe uma equivalência de homo-

topia

A : [(Z ∧X, ∗); (Y, y0)]→ [(X, x0); (Y, y0)(Z,z0), f0]

definida por A([f ]) = [f ], onde f : X → Y Z é dada por (f(x))(z) = f([z, x]).

A prova deste teorema pode ser encontrada em [21]. Este resultado implica que pode-

mos identificar os espaços [(Z∧X, ∗); (Y, y0)] e [(X, x0); (Y, y0)(Z,z0), f0], onde f0 : (Z, z0)→

(Y, y0) é a aplicação constante e este resultado será usado mais adiante.

Definição 6.2.7. Se (X, x0) é um espaço topológico pontuado, defini-se a suspensão pon-

tuada (SX, ∗) de X, pelo produto smash de X e da 1-esfera, isto é, (S1 ∧ X, ∗). Além

disso, dada uma função contínua entre espaços pontuados f : (X, x0) → (Y, y0) podemos

definir a aplicação Sf suspensão de f , por

Sf = 1 ∧ f : (S1 ∧X, ∗)→ (S1 ∧ Y, ∗).


Observação: A operação de suspensão é um funtor, chamado funtor suspensão.

Definição 6.2.8. Considere um espaço topológico pontuado (X, x0). Então o cone pon-

tuado (CX, ∗) é o produto smash (I ∧X, ∗), onde o ponto base de I é o 0. Logo CX é o

quociente

CX =I ×X

({0} ×X) ∪ (I × {x0}).

Por exemplo se considerar o espaço pontuado X = S1 x0 ∈ S1. Então o (CS1, ∗) ∼= D2.

Nós usaremos a notação [t, x] para a imagem pela projeção de (t, x) ∈ I ×X em CX.

A aplicação i : X → CX dada por i(x) = [1, x], x ∈ X, é um homeomorfismo com sua

imagem Im i. Dessa forma podemos identificar o espaço X com Im i e assim olhar X

como um subespaço de CX. Logo CX/X ∼= SX.

Definição 6.2.9. Dados uma função contínua f : (X, x0) → (Y, y0) e CX o cone de X,

considere o espaço Y ∪f CX obtido de Y ∨CX identificando os pontos [1, x] ∈ CX com os

pontos f(x) para todo x ∈ X. Intuitivamente colamos a base do cone CX com Y através

de f .

Considere X = S1, Y = S1 ∨ S1 e f : (S1, x0) → (S1 ∨ S1, y0) dada por f(S1) =

aba−1b−1, onde a significa que a imagem de S1 pela f recobre S1 ∨ ∗ injetivamente em

uma direção e a−1 recobre injetivamente em outra direção, analogamente b e b−1 recobre

∗ ∨ S1. Então Y ∪f CX ∼= T 2.

Os próximos dois resultados podem serem encontrados em [21] e resultará numa equi-

valência de homotopia que será usado posteriormente.

Lema 6.2.2. Para qualquer função contínua entre espaços topológicos f : (X, x0) →

(Y, y0) a projeção

q : (Y ∪f CX) ∪j CY →(Y ∪f CX) ∪j CY

CY

é uma equivalência de homotopia, onde j : Y → Y ∪f CX é a inclusão.

Proposição 6.2.1. Se A ⊂ X é um subespaço, então X∪iCACA

é homeomorfo a XA, onde

i : A→ X é a inclusão.

Em particular temos (Y ∪fCX)∪jCY

CY∼=

Y ∪fCX

Y∼= CX

X∼= SX.


Sequência de Puppe-Barrat

Nesta seção será introduzido a sequência de Puppe-Barrat, que pode ser encontrada

em [21]. Os estudos desta sequência foi iniciado por Michael G. Barratt em [3] e [4] e

propriedades e alguns resultados sobre a sequência de Puppe foi feita por Dieter Puppe

em [18]. A construção desta sequência fornece uma ação de grupo. A sequência junto

com a ação caracterizará um elemento f ∈ [S,W ] explicitando geometricamente como é a

aplicação. Segue abaixo, alguns conceitos e resultados necessários para definir a sequência.

Relembraremos alguns conceitos de álgebra e definiremos a sequência exata de Puppe-

Barrat.

Definição 6.2.10. Um grupo é um conjunto pontuado (G, e) com uma multiplicação

µ : G×G→ G e uma inversa ν : G→ G tais que os seguintes diagramas comutam:

1. e é uma identidade nos dois lados;

G

1##●

●●●●

●●●●

(e,1)// G×G

µ

��

G(1,e)oo

1{{✇✇✇✇✇✇✇✇✇

G

2. associatividade;

G×G×G

1×µ

��

µ×1 // G×G

µ

��G×G µ

// G

3. inversa;

G

e##●

●●●●

●●●●

(ν,1)// G×G

µ

��

G

e{{✇✇✇✇✇✇✇✇✇

(1,ν)oo

G

onde e : G→ G é a aplicação constante e(g) = e para todo g ∈ G, (e, 1)(g) = (e, g) para

todo g ∈ G.


Além disso, G é chamado comutativo ou abeliano se o seguinte diagrama comuta

G×GT //

µ##●

●●●●

●●●●

G×G

µ{{✇✇✇✇✇✇✇✇✇

G

onde T : G×G→ G×G é dada por T (g1, g2) = (g2, g1) para todo (g1, g2) ∈ G×G.

Motivado pela definição de grupo foi feita a seguinte definição.

Definição 6.2.11. Um H-espaço é um espaço pontuado (K, k0) com uma aplicação mul-

tiplicação µ : K ×K → K tal que vale as seguintes propriedades:

1. k0 : K → K é uma identidade homotópica, isto é,o diagrama

K

IdK ##❍❍❍

❍❍❍❍

❍❍❍

(k0,IdK)// K ×K

µ

��

K(IdK ,k0)oo

IdK{{✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈

K

comuta homotopicamente, isto é, µ ◦ (IdK , k0) ∼= IdK ∼= µ ◦ (k0, IdK).

2. µ é associativa homotópica, isto é, o diagrama

K ×K ×K

IdK×µ

��

µ×IdK // K ×K

µ

��K ×K µ

// K

o diagrama acima comuta homotopicamente: µ ◦ (µ× IdK) ∼= µ ◦ (IdK × µ).

3. ν : (K, k0)→ (K, k0) é inversa homotópica:

K

k0 ##❍❍❍

❍❍❍❍

❍❍❍

(ν,IdK)// K ×K

µ

��

K

k0{{✈✈✈✈✈✈✈✈✈✈

(IdK ,ν)oo

K

o diagrama acima comuta homotópicamente: µ ◦ (ν, IdK) ∼= k0 ∼= µ ◦ (IdK , ν).


4. µ é comutativo homotópica:

K ×K T //

µ##❍

❍❍❍❍

❍❍❍❍

K ×K

µ{{✈✈✈✈✈✈✈✈✈

K

o diagrama acima comuta homotopicamente: µ ◦ T ∼= µ, onde T : K ×K → K ×K

é dada por T (k1, k2) = (k2, k1) para todo (k1, k2) ∈ K ×K.

Um H-grupo é um H-espaço (K, k0) com multiplicação associativa homotópica µ e

inversa homotópica ν. Para a simplificar notação não foi usado ponto base, mas todas as

aplicações na definição são relativas ao ponto base.

A partir desta definição temos a seguinte proposição:

Proposição 6.2.2. Se (K, k0) é um H−grupo com multiplicação µ′ e inversa homotópica

ν ′, então para qualquer espaço topológico pontuado (X, x0) o conjunto

[(X, x0); (K, k0)]

tem uma estrutura de grupo se definirmos o produto [f ][g] pela classe de homotopia da

seguinte composição:

X∆→ X ×X

f×g→ K ×K

µ→ K,

onde ∆ é dada por ∆(x) = (x, x). A identidade do grupo é a classe [k0] da função

constante e a inversa é dada por [f ]−1 = [ν ◦ f ]. Se µ′ é homotópica comutativa, então

[(X, x0); (K, k0)] é abeliano. Toda função f : (X, x0) → (Y, y0) induz um homomorfismo

de grupos

f ∗ : [(Y, y0); (K, k0)]→ [(X, x0); (K, k0)].

Assim como foi feito a construção a partir de um H-grupo, pode ser feito uma constru-

ção “dualizando” os espaço e as função, por exemplo será feito tomando o espaço K ∨K

ao invés de K ×K.

Definição 6.2.12. Um H-cogrupo é um espaço topológico pontuado (K, k0) junto com um

função contínua comultiplicação µ′ : K → K ∨K tal que:


1. k0 é a homotopia identidade, isto é, o diagrama

K K ∨K(k0,1)oo (1,k0) // K

K1

;;✈✈✈✈✈✈✈✈✈µ′

OO

1

cc❍❍❍❍❍❍❍❍❍

comuta homotopicamente, onde (k0, 1)(k, k0) = k0 e (k0, 1)(k0, k) = k para todo

k ∈ K.

2. µ′ é associativa homotópica, isto é, o diagrama

K ∨K ∨K K ∨Kµ′∨1oo

K ∨K

1∨µ′

OO

K

µ′

OO

µ′

oo

comuta homotopicamente.

3. K tem uma inversa homotópica ν ′ : K → K tal que o diagrama

K K ∨K(1,ν′) //(ν′,1)oo K

K

µ′

OO

k0

cc❍❍❍❍❍❍❍❍❍ k0

;;✈✈✈✈✈✈✈✈✈


Além disso, K é um H-cogrupo comutativo homotópico se o diagrama

K ∨K T // K ∨K

Kµ′

cc❍❍❍❍❍❍❍❍❍ µ′

;;✈✈✈✈✈✈✈✈✈


Um exemplo de H-cogroupo é (SX, x0) para um espaço topológico X. A aplicação

comultiplicação µ′ é definida por


µ′([t, x]) =

([2t, x], x0) se 0 ≤ t ≤ 12

(x0, [2t− 1, x]) se 12≤ t ≤ 1

A homotopia inversa ν ′ : SX → SX é dada por ν ′([t, x]) = [1− t, x], para todo t ∈ I,

x ∈ X.

Proposição 6.2.3. Se (K, k0) é um H−cogrupo com comultiplicação µ′ e inversa homo-

tópica ν ′, então para qualquer espaço topológico pontuado (X, x0) o conjunto

[(K, k0); (X, x0)]

tem uma estrutura de grupo definida por; [f ][g] é a classe de homotopia da seguinte

composição:

Kµ′

→ K ∨Kf∨g→ X ∨X

∆′

→ X,

onde ∆′ é dada por ∆′(x, x0) = x = ∆′(x0, x). A identidade do grupo é a classe [x0]

da função constante e a inversa é dada por [f ]−1 = [f ∨ ν ′]. Se µ′ é homotópica comu-

tativa, então [(K, k0); (X, x0)] é abeliano. Toda função f : (X, x0) → (Y, y0) induz um

homomorfismo de grupos

f∗ : [(K, k0); (X, x0)]→ [(K, k0); (Y, y0)].

Dado um espaço topológico X, denotemos SnX pela suspensão do espaço Sn−1X,

para n ≥ 1 e S0X = X. Então vale os seguintes três resultados e suas provas podem ser

encontradas em [21].

Proposição 6.2.4. Dado um espaço topológico X. Então SnX é um H-cogrupo comuta-

tivo homotópico, para n ≥ 2.

Lema 6.2.3. Para todo n ≥ 0 tem-se S1 ∧ Sn é homeomorfo a Sn+1, onde Si é a esfera

de dimensão i.

Corolário 6.2.1.1. Para todo espaço topológico X e n ≥ 0 tem-se que SnX é homeomorfo

a Sn ∧X.


Definição 6.2.13. Um grupo G atua (à esquerda) sobre um conjunto A se existe uma

função α : G× A→ A tal que os seguintes diagramas são comutativos:

i) A(e,1)//

1##●

●●●●

●●●●

G× A

α

��A

ii) G×G× A1×α //

µ×1��

G× A

α

��G× A α

// A,

onde µ : G×G→ G é a função multiplicação de G e (e, 1)(x) = (e, x) para todo x ∈ A.

As órbitas da ação são os conjuntos Gx = {gx : g ∈ G} para x ∈ A.

Definição 6.2.14. Um H−cogrupo (K, k0, µ′) coatua sobre um espaço (X, x0) se existe um

função coação α′ : X → K∨X tais que os seguintes diagramas comutam homotopicamente

:

i) X K ∨X(x0,1)oo

X

α′

OO

1

cc❍❍❍❍❍❍❍❍❍

ii) K ∨K ∨X K ∨X1∨α′

oo

K ∨X

µ′∨1

OO

X.

α′

OO

α′

oo

Proposição 6.2.5. Se o H-cogrupo (K, k0, µ′) coatua sobre o espaço (X, x0) com a

função coação α′, então para todo espaço (W,w0) existe uma ação natural do grupo

[(K, k0); (W,w0)] sobre o conjunto [(X, x0); (W,w0)] dada por

α([f ], [g]) = [∆′ ◦ (f ∨ g) ◦ α′],

onde f : (K, k0)→ (W,w0) e g : (X, x0)→ (W,w0) são quaisquer.

Com estas definições e resultados definiremos a principal aplicação coação que será

importante para os resultados da próxima subseção.

Dados dois espaços topológicos pontuados (X, x0), (Y, y0) e uma função contínua f :

(X, x0)→ (Y, y0), constrói-se a aplicação

α′ : Y ∪f CX → SX ∨ (Y ∪f CX)

definida por

α′(y) = (∗, y)


α′([t, x]) =

([2t, x], ∗) se 0 ≤ t ≤ 12

(∗, [2t− 1, x]) se 12≤ t ≤ 1

geometricamente temos

.

Lema 6.2.4. A função α′ definida acima é uma coação. Além disso, considere as inclu-

sões j : Y → Y ∪f CX e k : Y ∪f CX → (Y ∪f CX)∪j CY e a equivalência de homotopia

q : (Y ∪f CX) ∪j CY → SX. Defina k′ = q ◦ k. Então α′ tem as seguintes propriedades:

i) α′ ◦ j = (∗, j),

ii) µ′ ◦ k′ = (1 ∨ k′) ◦ α′.

Exemplo 1. Consideremos X = S1, Y = S1 ∨ S1 e f : X → Y função contínua tal que

CS1 ∪f S1 ∨ S1 = T 2. Então α′ : Y ∪f CX → SX ∨ (Y ∪f CX) é da seguinte forma;

1SS

.

isto significa que a coação α′ “pinça” uma S1 (bordo de um disco D2) a um ponto, dando

origem à uma S2 = SS1 colada ao toro por um “ponto”.

Na próxima subseção será descrita a ação de [(S2, s0); (W,w0)] sobre o conjunto [(S, x0); (W,w0)]

dada por esta α′.

Dadas duas aplicações f1, f2 : Y ∪f CX → W tal que f1|Y = f2|Y podemos definir

d(f1, f2) : SX → W

6.3 A sequência de Puppe-Barrat no caso [T 2;W ] e alguns resultados 103

por

d(f1, f2)([t, x]) =

f1([2t, x]) se 0 ≤ t ≤ 12

f2([2− 2t, x]) se 12≤ t ≤ 1

Lema 6.2.5. Para quaisquer aplicações f1, f2 : Y ∪f CX → W tais que f1|Y = f2|Y

tem-se

[d(f1, f2)][f2] = [f1].

Teorema 6.2.2. Sejam f : (X, x0) → (Y, y0) uma função contínua entre espaços to-

pológicos pontuados, (W,w0) um espaço topológico pontuado e as inclusões j : Y →

Y ∪f CX e k : Y ∪f CX → (Y ∪f CX) ∪j CY . Considere a equivalência de homotopia

q : (Y ∪f CX) ∪j CY → SX. Então existe uma ação natural do grupo [(SX, ∗); (W,w0)]

sobre o conjunto [(Y ∪fCX, ∗); (W,w0)] tal que na sequência exata abaixo, conhecida como

sequência de Puppe-Barrat,

[X;W ]f∗

←− [Y ;W ]j∗

←− [Y ∪f CX;W ]k′∗

←− [SX;W ]Sf∗

←− [SY ;W ]

vale o seguinte:

i) para x1, x2 ∈ [Y ∪fCX;W ], temos j∗(x1) = j∗(x2) se, e somente se, existe θ ∈ [SX;W ]

tal que θx2 = x1;

ii) para y1, y2 ∈ [SX;W ] temos k′∗(y1 + y2) = y1 · k′∗(y2);

iii) para y1, y2 ∈ [SX;W ] temos k′∗(y1) = k′∗(y2), se e somente se, existe um γ ∈ [SY ;W ]

com y2 = y1 + Sf ∗(γ);

iv) k′(y) = y · [w0] para todo y ∈ [SX;W ].

A prova deste teorema e dos dois lemas anteriores podem ser encontrados em [21] nos

capítulos 1 e 2.

6.3 A sequência de Puppe-Barrat no caso [T 2;W ] e al-

guns resultados

Usando os resultados das seções anteriores entre outros, será feito uma descrição geo-

métrica da ação de [S2;W ] sobre [T 2;W ] e utilizando a sequência de Puppe-Barrat, as


classes de homotopia de aplicações de T 2 em W serão caracterizadas. Para uma melhor

didática as classes de homotopia de aplicações serão dividas em vários casos.

Seguindo as notações da seção anterior, temos os X = S1, Y = S1 ∨ S1. Considere

f : X → Y a função contínua tal que D2 ∪f S1 ∨ S1 = T 2 e j : Y → S1 ∪f C(S1) é a

inclusão natural.

Construindo a sequência de Puppe-Barrat para estes espaços temos:

[S1;W ]f∗

←− [S1 ∨ S1;W ]j∗

←− [S1 ∨ S1 ∪f C(S1);S2 ∨ T 2]k′∗

←−

k′∗

←− [S(S1);W ]Sf∗

←− [S(S1 ∨ S1);W ] (6.3.1)

Pelas definições de suspensão e cone, temos S(S1) = S2 e (S1 ∨ S1) ∪f C(S1) = T 2.

Portanto a sequência 6.3.1 se torna

[S1;W ]f∗

←− [S1 ∨ S1;W ]j∗

←− [T 2;W ]k′∗

←− [S2;W ]Sf∗

←− [S(S1 ∨ S1);W ], (6.3.2)

Pelo resultado 5.19 do capítulo 3 de [22], [S1 ∨ S1;W ] = [S1;W ]× [S1;W ].

Portanto tomemos [A] = ([A1], [A2]) ∈ [S1;W ] × [S1;W ]. Agora f ∗([A]) = [A ◦ f ] e

afirmo que f ∗([A]) = 0. Pois, suponha que [A1] é a classe que dá x voltas em S1 ⊂ W e

[A2] dá y voltas em S1 ⊂ W . A aplicação f é representada por aba−1b−1, onde a significa

que f dá uma volta numa S1 e b que f dá uma volta na outra S1 e a−1 e b−1 são voltas

no sentido contrário. Então f ∗([A]) dará xyx−1y−1 voltas em S1 ⊂ W . Por propriedades

de homotopia e sabendo-se que o caminho representado por xyx−1y−1 é homotópico ao

caminho constante (π1(W ) ≃ Z é abeliano). O que implica que f ∗([A]) = 0.

Da mesma maneira vê-se que Sf ∗ = 0, por definição de suspensão de aplicação. Sim-

plificando a sequência 6.3.2, temos:

0f∗

←− [S1 ∨ S1;W ]j∗

←− [T 2;W ]k′∗

←− [S2;W ]Sf∗

←− 0. (6.3.3)

Pelo teorema 6.2.2, [S2,W ] atua sobre [T 2,W ] segundo a ação definida em 6.2.5. O

conjunto [T 2,W ] será caracterizado descrevendo-se esta ação e utilizando a sequência de


Puppe-Barrat.

Ação de [S2,W ] em [S2,W ] ⊂ [T 2,W ]

Primeiramente algumas propriedades e observações.

Dada uma classe de homotopia [h] ∈ [T 2,W ], tal que hπ : π1(T2) → π1(W ) seja

o homomorfismo nulo, então [h] ∈ [S2,W ] ⊂ [T 2,W ], onde k′∗([S2;W ]) é identificado à

[S2;W ] já que k′∗ é injetiva. Como hπ = 0, então h se levanta a uma aplicação h : T 2 → W ,

onde W é o espaço de recobrimento universal esquematizado anteriormente.

Defina uma aplicação g : S2 → W tal que g(S2) = h(T 2), onde g é o levantamento de g ao

recobrimento universal W . Por definição k′∗([g]) = [h]. Como k′∗ é injetiva, identificamos

[h] à [g].

Sejam f1, f2 ∈ [T,W ] tal que (f1)π = (f2)π = 0, isto é, [f1], [f2] ∈ [S2,W ], como

descrito acima. Pelo lema 6.2.5 temos

[d(f1, f2)][f1] = [f2].

Portanto dadas [f ] ∈ [S2,W ] e [f1] ∈ [T,W ] tal que (f1)π = 0, então existe [f2] ∈ [T,W ]

tal que [f ] = [d(f1, f2)]. A construção de f2 é da seguinte forma. Seja o toro dado pelo

quadrado abaixo com os lados identificados

D1

D2

Então imagem de f2 é dada por; a parte hachurada unida com os bordos de ∂D1 e

∂D2 é levada no ponto de wedge de W , f2(x) = f1(x) se x ∈ Int(D1) e f2(x) = f(x) se

x ∈ Int(D2). Logo [f ][f1] = [f2].

Dessa forma, a ação sobre [S2,W ] é trivial, no sentido que a imagem da ação de [S2,W ]

sobre [S2,W ] ⊂ [T 2,W ] é o próprio conjunto [S2,W ] ⊂ [T 2,W ].


Geometricamente a ação é da seguinte forma: como (f)π = (f1)π = 0 então existem

levantamentos f , f1 : T2 → W , onde W é o espaço de recobrimento de W , comutando os

seguintes diagramas

W

p

��T 2

f1

//

f1

88qqqqqqqqqqqqqW

W

p

��T 2

f//

f

88qqqqqqqqqqqqqW

Suponha que as imagens de f , f1 sejam respectivamente as área vermelha e azul abaixo,

1

0

-1

n

.

.

.

2

sn

m

1

n

.

.

.

0

-1

.

.

.

2

sn

2

sm

onde f recobre x vezes S2n e f1 recobre x1 vezes S2

m. Lembrando do exemplo 1, a ação

de [f ][f1] terá imagem

m

1

n

.

.

.

0

-1

.

.

.

2

sn

2

sm

e recobre x vezes S2n e x1 vezes S2

m. Descrevendo algebricamente, temos as classes de

homotopias [f ], [f1] ∈ [S2,W ] = π2(W ) ∼= Z[t, t−1] como polinômios e basta somar os


polinômios, como feito na seção 1.2.

Ação de [S2,W ] em [T 2,W ]\[S2;W ]

Sejam f ∈ [S2,W ] e f1 ∈ [T 2,W ]\[S2;W ], isto é, (f1)π 6= 0. Primeiramente suponha

que f1(T ) ⊂ S1 ∨ {x0}. De acordo com a ação [f ][f1] = [∆′ ◦ (f ∨ f1) ◦ α′] = [g],

onde α′ definido como em 6.2.2. Temos, a menos de homotopia, f |S1∨S1 = x0, então

f1|S1∨S1 = g|S1∨S1 . Logo [d(f1, g)] = [f ] já que [d(f1, g)][f1] = [g].

Geometricamente a ação age da seguinte maneira: denote (f1)π a induzida de f1

no grupo fundamental. Sejam (1, 0), (0, 1) ∈ π1(T2) ∼= Z ⊕ Z os geradores tais que

(f1)π(1, 0) = x e (f1)π(0, 1) = y, onde x, y ∈ π1(W ) ∼= Z com xy 6= 0. Pois o caso xy = 0

é a situação anterior, onde (f1)π = 0. Como f1(T2) ⊂ S1 ∨ {x0}, a menos de homotopia

f1 é dada esquematicamente como no quadrado abaixo, que é identificado no toro T 2,

.

..

..

.

p

onde os lados verticais estão divididos em x partes iguais e os lados horizontais do qua-

drado estão divididos em y partes iguais. Assim cada uma destas partes, denotado por

µ, é levado por f1 em S1 ⊂ W recobrindo uma vez. A imagem de toda a parte verde é o

ponto de wedge de W .

Sobre este toro selecionamos um disco D, como no esquema abaixo


.

..

..

.

p

D

Agora a ação de [f ] sobre [f1] resultará na classe [g] ∈ [T 2;W ]. Esta aplicação g é

dada tomando um outro disco D1 no interior do disco construído anteriormente, o qual

será o domínio de f como segue,

.

..

..

.

p

DD�

.

Assim como antes, g leva µ em S1 ⊂ W , cobrindo uma vez ,e toda a parte verde é

levado no ponto {x0} ∈ S1 ∨ {x0} e, no disco D1, g é definida como f . Isto é,

g(x) =

f1(x) se x ∈ T\D

x0 se x ∈ D\◦

D1

f(x) se x ∈◦

D1

Por construção g é contínua é satisfaz [d(f1, g)][f1] = [g].

No caso em que f1 ∈ [T 2,W ]\[S2;W ] é sobrejetora, temos [f1] = [g][f ], onde [f ] e

[g] são construídas a partir de f1 de forma que [g] ∈ [S2;W ] e [f ] ∈ [T 2,W ]\[S2;W ]


tal que f(T 2) = S1 ∨ {x0}. Usando as mesmas técnicas da seção 1.2, mostra-se que

(f1)−1(W\S1 ∨ {x0}) é uma união finita disjunta de discos

n⊔

i=1

Di.

D

D

D

D

.

.

.

A aplicação f é construída de forma que f(x) = f1(x) para todo x ∈ T 2\n⊔

i=1

Di e

f(x) = x0 para x ∈n⊔

i=1

Di. Para cada disco Di podemos considerar uma aplicação gi :

S2 → W dada por gi(x) = f1(x), onde x ∈ Di. Então considere a aplicação g : S2 → W

por [g] = [g1] . . . [gn]. Portanto a função f1 nada mais é do que a ação de g sobre f .

A ação no conjunto [T 2;W ], descreve que este conjunto é uma união disjunta de classes

de equivalências de homotopia da seguinte maneira

[T 2;W ] =⊔

(x,y)∈Z⊕Z

[S2;W ](x,y)

onde [S2;W ](x,y) é a ação de [S2;W ] na classe de homotopia [f ] tal que fπ(1, 0) = x e

fπ(0, 1) = y.

Analogamente pode-se caracterizar o conjunto de classes de homotopias [S,W ], onde

S é uma superfície compacta, conexa, orientável e sem bordo.

Neste caso, f ∗ e Sf ∗ são aplicações nulas também e as classes de homotopias de [S,W ]

é caracterizada pela ação de classes de homotopias de [S2,W ] em aplicações de S em S1.

É conhecido que o conjunto de classes de homotopias de aplicações de S em S1 é


H1(S,Z) a cohomologia de S com coeficientes em Z no nível 1. Portanto temos uma

bijeção entre [S;W ] e⊔

z∈H1(S,Z)

[S2;W ]z.

Quando temos S uma superfície compacta, conexa, não orientável e sem bordo, é um

pouco diferente. Por exemplo se considerarmos aplicações f : RP 2 → S2 ⊂ W , pelo

Corolário 16 (pág. 432) de [20] [RP 2, S2] ≃ Z2.

Seja S = RP 2g , então RP 2

g é obtida pela colagem CS1 ∪f S11 ∨ . . . ∨ S1

g , onde X = S1,

Y = S11∨. . .∨S

1g e f : X → Y é a aplicação contínua caracterizada pela palavra a21a

22 . . . a

2g,

onde a2i significa que a imagem da f dá duas voltas em S1i .

Pelo resultado 5.19 do capítulo 3 de [22], [S11 ∨ . . . ∨ S

1g ;W ] = [S1

1 ;W ]× . . .× [S1g ;W ].

Se [A] = ([A1], [A2], . . . , [Ag]) ∈ [S11 ;W ] × . . . × [S1

g ;W ] tal que [Ai] é a classe que dá xi

voltas em S1 ⊂ W . Então f ∗([A]) dará x21 . . . x

2g voltas em S1 ⊂ W .

Da mesma maneira se [B] ∈ [S21 ∨ . . . ∨ S2

g ;W ], então [S21 ∨ . . . ∨ S2

g ;W ] = [S21 ;W ] ×

. . .× [S2g ;W ] e [B] = ([B1], . . . , [Bg]), onde cada [Bi] é caracterizado pelo grau. Assim se

bi é grau de cada [Bi], então Sf ∗([B]) terá grau igual a b21 . . . b2g.

Portanto f ∗ e Sf ∗ é a multiplicação por dois em cada coordenada, desde que [S21∨ . . .∨

S2g ;W ] = [S2

1 ;W ]×. . .×[S2g ;W ] ≃ Z⊕ . . .⊕ Z︸︷︷︸

g−vezes

≃ [S11 ;W ]×. . .×[S1

g ;W ] = [S11∨. . .∨S

1g ;W ].

Neste caso a sequência de Puppe-Barrat é

[S1;W ]f∗=•2←− [S1

1∨. . .∨S1g ;W ]

j∗

←− [RP 2g ;W ]

k′∗

←− [S2;W ]Sf∗=•2←− [S2

1∨. . .∨S2g ;W ]. (6.3.4)

onde •2 significa que é a multiplicação por 2.

Denotemos por [S2;W ] ≃ Z2 o conjunto[S2;W ]

Im(Sf ∗).

Portanto o conjunto de classes de homotopia [RP 2g ;W ] é descrito como o seguinte

[RP 2g ;W ] =

⊔

z∈H1(RP 2g ,Z)

[S2;W ]z


Conclusão

As classes de homotopia do toro em W foram caracterizadas.

No caso S ser uma superfície compacta, conexa, sem bordo e orientável as classes de

homotopias de [S,W ] é caracterizada pela ação de classes de homotopias de [S2,W ] em

aplicações de S em S1.

É conhecido que o conjunto de classes de homotopias de aplicações de S em S1 é

H1(S,Z) a cohomologia de S com coeficientes em Z no nível 1. Portanto temos uma

bijeção entre [S;W ] e⊔

z∈H1(S,Z)

[S2;W ]z.

Já no caso de S ser uma superfície compacta, conexa, sem bordo e orientável as classes

de homotopias de [S;W ] é caracterizada pela ação das classes de homotopias de [S2,W ]

em aplicações de S em S1. Portanto temos uma bijeção entre [S;W ] e⊔

z∈H1(S,Z)

[S2;W ]z.

Observe que para qualquer superfície compacta, conexa e sem bordo S a representação

de classes de homotopias de aplicações de f : S → W é dada a partir do polinômio

associado a classe p[f ](t) e pelo gerador da imagem da induzida em grupo fundamental

< l >= fπ(π1(S)), considerando a aplicação especial construída a partir deste polinômio

e deste número natural.

Se considerarmos S = S2, cada aplicação especial representa uma única classe de

homotopia de [S2;W ]. Logo existe uma bijeção entre aplicações especiais (que esta em

bijeção com os polinômios associados) e o conjunto [S2;W ].

Já, por exemplo, no caso se S = T 2, então existem menos aplicações especiais do que

classes de homotopias de [T 2;W ]. Pois, como vimos, o conjunto [T 2;W ] está em bijeção

com⊔

(x,y)∈Z⊕Z

[S2;W ](x,y), pela sequência de Puppe-Barratt, e as aplicações especiais, que

são caracterizadas pelos polinômios associado e por número natural, está em bijeção com

o conjunto⊔

z∈N

Polz, onde Pol = {a0 + . . .+ antn;n ≥ 0 e ai ∈ N} ⊂ Z[t, t−1] e o conjunto

Pol esta em bijeção com [S2;W ]. Portanto para cada aplicação especial existem mais de

uma classe de homotopia de [T 2;W ] que são representadas pela mesma aplicação especial.

Isto ocorre pois para obter a aplicação especial mudamos a classe de homotopia da

aplicação usando homeomorfismo do domínio (quando é feita a escolha de base de π1(S)


ou em certos casos de H1(S,Z)). Note que a configuração de raízes de f : S → W não

muda se compomos f com homeomorfismo h : S → S, com isso, estudar as raízes da

classe [f ] é equivalente a estudar raízes de [f ◦h], isto explica a diminuição da quantidade

de classes de homotopia estudada.

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Raízes de aplicações de superfícies em S2vvS2vS1 · 1.1 Representação das classes de homotopia de aplica-ções de S2 em W Nesta seção usaremos homologia com coeﬁcientes