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Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Reducao ao Primeiro Quadrante
Prof. Marcio [email protected]
Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica
Disciplina: Matematica Basica II - 2014.1
27 de maio de 2014
1 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Sumario
1 Reducao do Segundo ao Primeiro Quadrante
2 Reducao do Terceiro ao Primeiro Quadrante
3 Reducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
2 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Sumario
1 Reducao do Segundo ao Primeiro Quadrante
2 Reducao do Terceiro ao Primeiro Quadrante
3 Reducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
3 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
π = β + x
β = π − x
senβ = sen(π − x)
senβ = senπ. cos x − senx cosπ
senβ = senx , onde x = π − β.
4 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
π = β + x
β = π − x
senβ = sen(π − x)
senβ = senπ. cos x − senx cosπ
senβ = senx , onde x = π − β.
4 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
π = β + x
β = π − x
senβ = sen(π − x)
senβ = senπ. cos x − senx cosπ
senβ = senx , onde x = π − β.
4 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
π = β + x
β = π − x
senβ = sen(π − x)
senβ = senπ. cos x − senx cosπ
senβ = senx , onde x = π − β.
4 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
π = β + x
β = π − x
senβ = sen(π − x)
senβ = senπ. cos x − senx cosπ
senβ = senx , onde x = π − β.
4 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
π = β + x
β = π − x
senβ = sen(π − x)
senβ = senπ. cos x − senx cosπ
senβ = senx , onde x = π − β.
4 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen1350
β = 1350,x = 1800 − 1350 = 450
senβ = senx
sen1350 = sen450 =
√2
2
5 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen1350
β = 1350,x = 1800 − 1350 = 450
senβ = senx
sen1350 = sen450 =
√2
2
5 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen1350
β = 1350,x = 1800 − 1350 = 450
senβ = senx
sen1350 = sen450 =
√2
2
5 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen1350
β = 1350,x = 1800 − 1350 = 450
senβ = senx
sen1350 = sen450 =
√2
2
5 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen1350
β = 1350,x = 1800 − 1350 = 450
senβ = senx
sen1350 = sen450 =
√2
2
5 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
π = β + x
β = π − x
cosβ = cos(π − x)
cosβ = cosπ. cos x + senπsenx
cosβ = − cos x , ondex = π − β.
6 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
π = β + x
β = π − x
cosβ = cos(π − x)
cosβ = cosπ. cos x + senπsenx
cosβ = − cos x , ondex = π − β.
6 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
π = β + x
β = π − x
cosβ = cos(π − x)
cosβ = cosπ. cos x + senπsenx
cosβ = − cos x , ondex = π − β.
6 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
π = β + x
β = π − x
cosβ = cos(π − x)
cosβ = cosπ. cos x + senπsenx
cosβ = − cos x , ondex = π − β.
6 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
π = β + x
β = π − x
cosβ = cos(π − x)
cosβ = cosπ. cos x + senπsenx
cosβ = − cos x , ondex = π − β.
6 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
π = β + x
β = π − x
cosβ = cos(π − x)
cosβ = cosπ. cos x + senπsenx
cosβ = − cos x , ondex = π − β.
6 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 1200
β = 1200,x = 1800 − 1200 = 600
cosβ = − cos x
cos 1200 = − cos 600 = −1
2
7 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 1200
β = 1200,x = 1800 − 1200 = 600
cosβ = − cos x
cos 1200 = − cos 600 = −1
2
7 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 1200
β = 1200,x = 1800 − 1200 = 600
cosβ = − cos x
cos 1200 = − cos 600 = −1
2
7 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 1200
β = 1200,x = 1800 − 1200 = 600
cosβ = − cos x
cos 1200 = − cos 600 = −1
2
7 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 1200
β = 1200,x = 1800 − 1200 = 600
cosβ = − cos x
cos 1200 = − cos 600 = −1
2
7 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Sumario
1 Reducao do Segundo ao Primeiro Quadrante
2 Reducao do Terceiro ao Primeiro Quadrante
3 Reducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
8 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
β = π + x
senβ = sen(π + x)
senβ = senπ. cos x + senx cosπ
senβ = −senx , onde x = β − π.
9 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
β = π + x
senβ = sen(π + x)
senβ = senπ. cos x + senx cosπ
senβ = −senx , onde x = β − π.
9 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
β = π + x
senβ = sen(π + x)
senβ = senπ. cos x + senx cosπ
senβ = −senx , onde x = β − π.
9 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
β = π + x
senβ = sen(π + x)
senβ = senπ. cos x + senx cosπ
senβ = −senx , onde x = β − π.
9 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
β = π + x
senβ = sen(π + x)
senβ = senπ. cos x + senx cosπ
senβ = −senx , onde x = β − π.
9 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen2100
β = 2100,x = 2100 − 1800 = 300
sen2100 = −sen300 = −1
2
10 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen2100
β = 2100,x = 2100 − 1800 = 300
sen2100 = −sen300 = −1
2
10 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen2100
β = 2100,x = 2100 − 1800 = 300
sen2100 = −sen300 = −1
2
10 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen2100
β = 2100,x = 2100 − 1800 = 300
sen2100 = −sen300 = −1
2
10 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
β = π + x
cosβ = cos(π + x)
cosβ = cosπ. cos x − senπsenx
cosβ = − cos x , ondex = β − π.
11 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
β = π + x
cosβ = cos(π + x)
cosβ = cosπ. cos x − senπsenx
cosβ = − cos x , ondex = β − π.
11 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
β = π + x
cosβ = cos(π + x)
cosβ = cosπ. cos x − senπsenx
cosβ = − cos x , ondex = β − π.
11 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
β = π + x
cosβ = cos(π + x)
cosβ = cosπ. cos x − senπsenx
cosβ = − cos x , ondex = β − π.
11 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
β = π + x
cosβ = cos(π + x)
cosβ = cosπ. cos x − senπsenx
cosβ = − cos x , ondex = β − π.
11 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 2250
β = 2250,x = 2250 − 1800 = 450
cos 2250 = − cos 450 = −√
2
2
12 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 2250
β = 2250,x = 2250 − 1800 = 450
cos 2250 = − cos 450 = −√
2
2
12 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 2250
β = 2250,x = 2250 − 1800 = 450
cos 2250 = − cos 450 = −√
2
2
12 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 2250
β = 2250,x = 2250 − 1800 = 450
cos 2250 = − cos 450 = −√
2
2
12 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Sumario
1 Reducao do Segundo ao Primeiro Quadrante
2 Reducao do Terceiro ao Primeiro Quadrante
3 Reducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
13 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
β = 2π − x
senβ = sen(2π − x)
senβ =sen2π. cos x − senx cos 2π
senβ = −senx , ondex = 2π − β.
14 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
β = 2π − x
senβ = sen(2π − x)
senβ =sen2π. cos x − senx cos 2π
senβ = −senx , ondex = 2π − β.
14 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
β = 2π − x
senβ = sen(2π − x)
senβ =sen2π. cos x − senx cos 2π
senβ = −senx , ondex = 2π − β.
14 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
β = 2π − x
senβ = sen(2π − x)
senβ =sen2π. cos x − senx cos 2π
senβ = −senx , ondex = 2π − β.
14 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
β = 2π − x
senβ = sen(2π − x)
senβ =sen2π. cos x − senx cos 2π
senβ = −senx , ondex = 2π − β.
14 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen3000
β = 3000,x = 3600 − 3000 = 600
sen3000 = −sen600 = −√
3
2
15 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen3000
β = 3000,x = 3600 − 3000 = 600
sen3000 = −sen600 = −√
3
2
15 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen3000
β = 3000,x = 3600 − 3000 = 600
sen3000 = −sen600 = −√
3
2
15 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Seno
EXEMPLO
Calcular sen3000
β = 3000,x = 3600 − 3000 = 600
sen3000 = −sen600 = −√
3
2
15 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
β = 2π − x
cosβ = cos(2π − x)
cosβ =cos 2π. cos x − sen2πsenx
cosβ = cos x , onde x = 2π − β.
16 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
β = 2π − x
cosβ = cos(2π − x)
cosβ =cos 2π. cos x − sen2πsenx
cosβ = cos x , onde x = 2π − β.
16 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
β = 2π − x
cosβ = cos(2π − x)
cosβ =cos 2π. cos x − sen2πsenx
cosβ = cos x , onde x = 2π − β.
16 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
β = 2π − x
cosβ = cos(2π − x)
cosβ =cos 2π. cos x − sen2πsenx
cosβ = cos x , onde x = 2π − β.
16 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
β = 2π − x
cosβ = cos(2π − x)
cosβ =cos 2π. cos x − sen2πsenx
cosβ = cos x , onde x = 2π − β.
16 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 3450
β = 3450,x = 3600 − 3450 = 150
sen150 = sen300
2=√
1− cos 300
2
sen150 =
√√√√1−√
3
22
sen150 =
√2−√
3
4
17 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 3450
β = 3450,x = 3600 − 3450 = 150
sen150 = sen300
2=√
1− cos 300
2
sen150 =
√√√√1−√
3
22
sen150 =
√2−√
3
4
17 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 3450
β = 3450,x = 3600 − 3450 = 150
sen150 = sen300
2=√
1− cos 300
2
sen150 =
√√√√1−√
3
22
sen150 =
√2−√
3
4
17 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 3450
β = 3450,x = 3600 − 3450 = 150
sen150 = sen300
2=√
1− cos 300
2
sen150 =
√√√√1−√
3
22
sen150 =
√2−√
3
4
17 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 3450
β = 3450,x = 3600 − 3450 = 150
sen150 = sen300
2=√
1− cos 300
2
sen150 =
√√√√1−√
3
22
sen150 =
√2−√
3
4
17 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
Calcular cos 3450
β = 3450,x = 3600 − 3450 = 150
sen150 = sen300
2=√
1− cos 300
2
sen150 =
√√√√1−√
3
22
sen150 =
√2−√
3
417 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
cos 150 =√
1− sen2(150) =√1− 2−
√3
4
cos 150 =
√2 +√
3
4
cos 3450 =
√2 +√
3
4
18 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
cos 150 =√
1− sen2(150) =√1− 2−
√3
4
cos 150 =
√2 +√
3
4
cos 3450 =
√2 +√
3
4
18 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
cos 150 =√
1− sen2(150) =√1− 2−
√3
4
cos 150 =
√2 +√
3
4
cos 3450 =
√2 +√
3
4
18 / 18
Reducao do Segundo ao Primeiro QuadranteReducao do Terceiro ao Primeiro QuadranteReducao do Quarto ao Primeiro Quadrante
Cosseno
EXEMPLO
cos 150 =√
1− sen2(150) =√1− 2−
√3
4
cos 150 =
√2 +√
3
4
cos 3450 =
√2 +√
3
4
18 / 18
