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Redu¸ ao das Cˆonicas Usando Interface Gr´ afica Santos D. Miranda Borjas, Alisson G. de Medeiros , Depto de Ciˆ encias Exatas e Naturais, DCEN, UFERSA, 59625-900, Mossor´o, RN E-mail: [email protected], [email protected], Palavras-chave: Interface gr´afica, Gr´afico de cˆonicas, MATLAB GUI. Resumo: Com o objetivo de auxiliar e melhorar o ensino da disciplina de Geometria Anal´ ıtica, neste trabalho, ´ e apresentado um algoritmo que permite a classifica¸ ao, transla¸ ao, rota¸ ao, equa¸ ao reduzida e visualiza¸c˜ ao gr´afica de uma cˆonica a partir de sua equa¸ ao geral. Este al- goritmo, dividido em cinco subalgoritmos, ´ e implementado atrav´ es de uma interface gr´afica em ambiente MATLAB, fazendo uso da fun¸c˜ ao GUIDE. Um exemplo did´atico ´ e apresentado para mostrar o funcionamento desse algoritmo. 1 Introdu¸c˜ ao Na matem´atica existem diversas linhas de pesquisa: An´alise, ´ Algebra, C´alculo Num´ erico, Ge- ometria Anal´ ıtica (GA) entre outras. Dentro da GA, existe um t´opico de estudo sobre as onicas, estas tˆ em sua aplica¸ ao em diversas ´areas do conhecimento: F´ ısica, Astronomia, ´ Optica, Ac´ ustica, Arquitetura, Economia, etc. e o interesse pelo seu estudo al´ em de ser t˜ao antigo, ´ e um tema de estudo na atualidade. Chama-se cˆonica o lugar geom´ etrico dos pontos (x, y) que satisfazem uma equa¸c˜ ao de segundo grau [2] e [3]. g(x, y)= Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F =0 (1) para A, B e C n˜ao todos nulos. A maioria dos alunos de gradua¸ ao possuem dificuldades de reconhecer uma cˆonica dada sua equa¸ ao geral (1) e obter a visualiza¸ ao gr´afica. Existem diversos Softwares que permitem visu- alizar o gr´afico de uma fun¸ ao. Softwares profissionais, em sua maioria, contam com interfaces gr´ aficas interativas de f´acil acesso. Linguagens de programa¸ ao bem conhecidas, como PAS- CAL (em homenagem ao matem´atico Blaise Pascal), BASIC (Beginner’s All-purpose Symbolic Instruction Code), CLIPPER (CA-Clipper), COBOL (COmmon Business Oriented Language) e MATLAB (MATrix LABoratory) possuem ferramentas voltadas para a cria¸c˜ ao de interfaces gr´ aficas com o usu´ario [1]. O MATLAB se tornou uma vantajosa ferramenta que permite, mesmo aos usu´arios com capacidades elementares de programa¸c˜ ao, produzirgr´aficoscomplexos, resolver problemas de elevado grau de dificuldade e constru¸c˜ ao de sofisticadas interfaces gr´aficas [4]. O objetivo deste trabalho ´ e o desenvolvimento de um aplicativo - denominado AERC (Aux´ ılio ao Ensino de Redu¸c˜ ao das Cˆonicas) - em ambiente MATLAB, para auxiliar e melhorar o ensino na disciplina GA. 2 Metodologia e procedimentos O AERC ´ e operado atrav´ es de uma interface gr´afica com o usu´ario Graphical User Interface (GUI) usando o software MATLAB. O GUI permite criar uma interface gr´afica do aplicativo 539 ISSN 2317-3297

Reduç˜ao das Cônicas Usando Interface Gráfica 1 Introduç˜ao 2

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Reducao das Conicas Usando Interface Grafica

Santos D. Miranda Borjas, Alisson G. de Medeiros,Depto de Ciencias Exatas e Naturais, DCEN, UFERSA,

59625-900, Mossoro, RN

E-mail: [email protected], [email protected],

Palavras-chave: Interface grafica, Grafico de conicas, MATLAB GUI.

Resumo: Com o objetivo de auxiliar e melhorar o ensino da disciplina de Geometria Analıtica,neste trabalho, e apresentado um algoritmo que permite a classificacao, translacao, rotacao,equacao reduzida e visualizacao grafica de uma conica a partir de sua equacao geral. Este al-goritmo, dividido em cinco subalgoritmos, e implementado atraves de uma interface grafica emambiente MATLAB, fazendo uso da funcao GUIDE. Um exemplo didatico e apresentado paramostrar o funcionamento desse algoritmo.

1 Introducao

Na matematica existem diversas linhas de pesquisa: Analise, Algebra, Calculo Numerico, Ge-ometria Analıtica (GA) entre outras. Dentro da GA, existe um topico de estudo sobre asconicas, estas tem sua aplicacao em diversas areas do conhecimento: Fısica, Astronomia, Optica,Acustica, Arquitetura, Economia, etc. e o interesse pelo seu estudo alem de ser tao antigo, eum tema de estudo na atualidade. Chama-se conica o lugar geometrico dos pontos (x, y) quesatisfazem uma equacao de segundo grau [2] e [3].

g(x, y) = Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 (1)

para A, B e C nao todos nulos.A maioria dos alunos de graduacao possuem dificuldades de reconhecer uma conica dada suaequacao geral (1) e obter a visualizacao grafica. Existem diversos Softwares que permitem visu-alizar o grafico de uma funcao. Softwares profissionais, em sua maioria, contam com interfacesgraficas interativas de facil acesso. Linguagens de programacao bem conhecidas, como PAS-CAL (em homenagem ao matematico Blaise Pascal), BASIC (Beginner’s All-purpose SymbolicInstruction Code), CLIPPER (CA-Clipper), COBOL (COmmon Business Oriented Language)e MATLAB (MATrix LABoratory) possuem ferramentas voltadas para a criacao de interfacesgraficas com o usuario [1]. O MATLAB se tornou uma vantajosa ferramenta que permite, mesmoaos usuarios com capacidades elementares de programacao, produzir graficos complexos, resolverproblemas de elevado grau de dificuldade e construcao de sofisticadas interfaces graficas [4]. Oobjetivo deste trabalho e o desenvolvimento de um aplicativo - denominado AERC (Auxılio aoEnsino de Reducao das Conicas) - em ambiente MATLAB, para auxiliar e melhorar o ensino nadisciplina GA.

2 Metodologia e procedimentos

O AERC e operado atraves de uma interface grafica com o usuario Graphical User Interface(GUI) usando o software MATLAB. O GUI permite criar uma interface grafica do aplicativo

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em estudo que esta sendo desenvolvido e sera utilizado por outras pessoas. Neste caso, menus,botoes e caixas de texto sao usados como metodos de insercao de dados. Basicamente, existemduas formas de se criar uma GUI: criando funcoes diretamente na linha de comando ou usandoa funcao GUIDE existente no MATLAB [5]. Neste trabalho e utilizada a segunda forma. Paraprojetar o GUI, e necessario fazer um esboco do desenho da interface grafica que se deseja que oprograma tenha isto pode ser feito com caneta e papel [1], [6] e [7]. O segundo passo e construiro GUI no GUIDE do MATLAB. A reducao e classificacao da equacao (1) e desenvolvida atravesde um algoritmo. Este algoritmo se divide em cinco subalgoritmos: a) Classificacao das conicas,b) Translacao da conica, c) Rotacao da conica, d) Reducao da conica e e) Visualizacao graficada conica. A implementacao (do item a) e baseado na Tabela 1 [3].

Condicao 1 Condicao 2 Condicao 3 Tipo de conica

D33 > 0 β = 0 tβ > 0 Conjunto vazioD33 > 0 β = 0 tβ < 0 ElipseD33 < 0 β = 0 HiperboleD33 > 0 β = 0 Um pontoD33 < 0 β = 0 Duas retas concorrentesD33 = 0 β = 0 ParabolaD33 = 0 β = 0 D11 +D22 = 0 Uma retaD33 = 0 β = 0 D11 +D22 > 0 Conjunto vazioD33 = 0 β = 0 D11 +D22 < 0 Duas retas paralelas

Tabela 1: Classificacao das conicas

Na Tabela 1, M =

A B/2 D/2B/2 C E/2D/2 E/2 F

e a matriz simetrica dos coeficientes da equacao

(1), β = det(M), t = A + C, D11 = CF − E2, D22 = AF − D2 e D33 = AC − B2. No(item b) eliminando os termos lineares na equacao (1) resulta A(u)2 + C(v)2 + λ = 0, ondeλ = hD/2 + kE/2 + F e o par (u, v) representa as novas coordenadas da conica. O numeroλ e obtido da terceira linha da matriz M e da solucao do sistema Ah + kB/2 = −D/2 ,hB/2 + Ck = −E/2. No (item c), a rotacao realizada na conica, serve para eliminar o termomisto da equacao (1), as coordenadas (u, v) e as antigas coordenadas (x, y) se relacionam pelasequacoes x = ucos(θ) − vsen(θ) e y = usen(θ) + vcos(θ), para maiores detalhes ver [2]. Oalgoritmo do (item d), envolve a realizacao dos (itens b e c). Por ultimo, o algoritmo do (iteme), permite visualizar o grafico da conica inserida no AERC.

3 Resultados

A Figura 1 representa GUI da AERC na classificacao de uma conica, para o qual e necessarioinserir os coeficientes da equacao (1); logo, pode-se visualizar a classificacao, reducao e o graficoda conica. Isso e realizado atraves do uso dos controles da GUI.

Como um exemplo aplicativo, considere a equacao: 3x2 + 4xy + y2 − 2x + y + 1 = 0. Arepresentacao GUI da AERC para este exemplo e mostrada na Figura 2.

A figura 2 mostra a classificacao de uma conica e seu respectivo grafico usando o AERC.Neste caso, a conica representa uma hiperbole com centro C = (−2, 3, 5).

4 Analise e conclusao dos resultados

O resultado obtido na Figura 2 mostra que, dada uma equacao geral de uma conica, pode-sereduzi-la, classifica-la e obter sua visualizacao grafica de forma facil e rapida. Pois, realizar oscalculos analıticos para se chegar a tal resultado e bastante laborioso. O GUIDE do MATLAB e

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Figura 1: Interface grafica do AERC

Figura 2: Reducao de uma conica usando AERC

uma ferramenta que pode ser usada para o ensino de muitos topicos da matematica e e possıvelutilizar recursos da informatica, como implementadores e facilitadores de aprendizagem. Emparticular para o ensino da Algebra Linear. Este trabalho pode ajudar a reestruturacao daalgebra linear. Essa reestruturacao envolve a utilizacao do software MATLAB como implementodidatico nas salas de aulas.

Referencias

[1] R.Y. Ashi, A. Ameri, ”Introduction to Graphical User Interface (GUI)”, UAE University,1999.

[2] P. Boulos, I. Camargo, ”Geometria Analıtica: um tratamento vetorial”, Makron Books,Sao Paulo, 1987.

[3] C. S. Goncalves, U. Sodre, ”Algebra linear: conicas no plano cartesiano”. Sao Paulo, 2006.

[4] D. Hanselman, B. R. Littlefield, ”Mastering MATLAB 6”, Prentice Hall, Upper SaddleRiver, 2000.

[5] E. Hernandez1, K. Commeford, M.J. Perez-Quiles, MATLAB GUI for computing Besselfunctions using continued fractions algorithm, Revista Brasileira de Ensino de Fısica, 33(2011) 1-8.

[6] P. Marchand, O. T Holland, ”Graphics and GUIs with MATLAB”, Chapman and Hall,Boca Raton, 2003.

[7] C. A. Vaz Junior, ”Desenvolvimento de Interface Grafica em Ambiente Matlab”, Rio deJaneiro, 2005.

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