redução rigidez torção vigas e pilares

UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE - UNESC

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

JULIANO ROCA MEZZOMO

ANALISE DOS ESFOROS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO

DECORRENTES DA CONTINUIDADE DE LAJES E DA TORO DE

COMPATIBILIDADE

CRICIMA, NOVEMBRO DE 2010


ANALISE DOS ESFOROS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO

DECORRENTES DA CONTINUIDADE DE LAJES E DA TORO DE

COMPATIBILIDADE

Trabalho de Concluso de Curso, apresentado para obteno do grau de Engenheiro Civil, no curso de Engenharia Civil da Universidade do Extremo Sul Catarinense, UNESC.

Orientador: Prof. Esp. Alexandre Vargas

CRICIMA, NOVEMBRO DE 2010


Trabalho de Concluso de Curso, apresentado para obteno do grau de Engenheiro Civil, no curso de Engenharia Civil, da Universidade do Extremo Sul Catarinense, UNESC.

CRICIMA, 02 DE NOVEMBRO DE 2010

BANCA EXAMINADORA

Prof. Alexandre Vargas - Especialista UNESC - Orientador

Prof. Angela Costa Piccinini Mestre - UNESC

Prof. Daiane dos Santos da Silva Mestre - UNESC

Dedico este trabalho aos meus familiares e

amigos que sempre apoiaram e acreditaram.

AGRADECIMENTOS

A Deus, por estar conosco em todos os momentos, sejam eles bons ou ruins, acompanhando-nos nesta caminhada to difcil, porm gratificante;

Aos meus pais, Rosangela e Arlisto Antnio,

que oportunizaram o estudo e o incentivo necessrio consolidao deste trabalho;

As minhas irms Clarice e Patricia, e cunhado

e amigo Marcos Escobar pelas incontveis palavras de apoio;

Ao professor Alexandre Vargas, mestre e

amigo, pela colaborao prestada na orientao do presente trabalho.

RESUMO

Este Trabalho de Concluso de Curso efetua um estudo sobre a influncia do emprego da continuidade entre lajes e dos coeficientes que consideram a toro de compatibilidade nos esforos de vigas de concreto armado. Atravs da anlise do uso de diferentes coeficientes de reduo do momento de toro de vigas foi verificado o comportamento dos esforos solicitantes, momento de flexo e momento de toro, e sua implicao nos resultados finais de flecha e armaduras. As anlises estruturais foram efetuadas com auxlio do software Eberick V5, que considera as disposies da NBR 6118/2003, disponvel no mercado para anlises estruturais, dimensionamento e detalhamento de estruturas de concreto armado. O sistema de calculo adotado no programa para o dimensionamento e anlise estrutural foi o modelo de prtico espacial. Atravs deste considera-se a estrutura como um modelo reticulado composto por barras, simulando vigas e pilares. Este programa, atravs do Modulo Master, tambm pode ser configurado para considerar os efeitos do vento e do desaprumo na estrutura, efetuando vrios tipos de

verificao, como a estabilidade global, os deslocamentos e o coeficiente z. Atravs das analises pode-se apurar que os valores de momento fletor no variam significativamente com a variao da considerao da toro em vigas, que as flechas tambm no so influenciadas por este fator, com o uso de altos coeficientes de considerao, em at 60%, o dimensionamento das armaduras passa a considerar a toro de compatibilidade, que as aes do vento na estrutura contribuem nos esforos solicitantes de toro, e que os vos das lajes esto diretamente relacionados com os mdulos dos esforos de toro de compatibilidade. Palavras-chave: Estrutura; Concreto Armado; Toro.

LISTA DE ILUSTRAES

Figura 1 Percurso da carga atuando na estrutura. ................................................. 25

Figura 2 Exemplo de um sistema estrutural em concreto armado ......................... 26

Figura 3 Posio dos pilares em planta.................................................................. 32

Figura 4 Analogia de grelha para vigas e lajes ....................................................... 34

Figura 5 Barra de grelha......................................................................................... 35

Figura 6 Exemplo de prtico espacial..................................................................... 36

Figura 7 Barra de grelha (prtico espacial) ............................................................ 36

Figura 8 Toro de compatibilidade ....................................................................... 38

Figura 9 Pilar solicitado ao esforo de toro ......................................................... 39

Figura 10. Planta Baixa do edifcio de estudo ........................................................ 42

Figura 11 - Tipologia do edifcio de estudo................................................................ 43

Figura 12 Grfico dos Momentos Positivos ............................................................. 47

Figura 13 Grfico da rea de ao calculada nos vos............................................ 50

Figura 14 Grfico dos Momentos Negativos .......................................................... 53

Figura 15 Grfico da rea de ao calculada nos apoios......................................... 56

Figura 16 Grfico das Flechas nas vigas ............................................................... 59

Figura 17 Grfico dos Momentos Torores (condio 1) ........................................ 62

Figura 18 Grfico dos Momentos Torores (condio 2) ........................................ 65

Figura 19 Grfico dos Momentos Torores ( condio 3) ....................................... 68

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Momentos mximos positivos.................................................................. 44

Tabela 2 rea de ao calculada MMP .................................................................... 48

Tabela 3 Momentos mximos negativos ............................................................... 51

Tabela 4 rea de ao calculada MMN.................................................................... 54

Tabela 5 Flechas nas vigas .................................................................................... 57

Tabela 6 Momento toror (condio 1) ................................................................... 60



LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ELS Estado limite de servio

ELU Estado limite ltimo

MMP Momento Mximo Positivo

MMN Momento Mximo Negativo

SUMRIO

1 INTRODUO ....................................................................................................... 19

1.1 Justificativa ........................................................................................................ 20

1.2 Tema ................................................................................................................... 20

1.3 Problema ............................................................................................................ 20

1.4 Objetivos ............................................................................................................ 21

1.4.1 Geral ................................................................................................................ 21

1.4.2 Especficos ..................................................................................................... 21

2. REFERENCIA BIBLIOGRFICA .......................................................................... 22

2.1. Concreto Armado ............................................................................................. 22

2.1.1. Conceito de Concreto Armado ..................................................................... 22

2.1.2 Componentes.................................................................................................. 22

2.1.2.1Concreto ........................................................................................................ 22

2.1.2.2 Ao ................................................................................................................ 23

2.1.3 Vantagens e Desvantagens do Concreto Armado....................................... 24

2.2. Sistemas Estruturais de Concreto Armado ................................................... 25

2.2.1. Definies ...................................................................................................... 25

2.2.2. Elementos Estruturais .................................................................................. 26

2.2.2.1 Classificao geomtrica ........................................................................... 26

2.2.3. Principais Elementos Estruturais ................................................................ 27

2.2.3.1. Lajes ............................................................................................................ 27

2.2.3.1.1. Aes usuais em lajes de edifcios. ....................................................... 28

2.2.3.1.2 Classificao............................................................................................. 29

2.2.3.2 Vigas ............................................................................................................. 30

2.2.3.2.1 Esforos de toro em vigas ................................................................... 30

2.2.3.2.2 Toro de compatibilidade ...................................................................... 31

2.2.3.3 Pilares ........................................................................................................... 31

2.3 Anlise Estrutural .............................................................................................. 33

2.3.1 Princpios Gerais ............................................................................................ 33

2.3.2 Modelo de Grelha de Vigas e Lajes ............................................................... 34

2.3.3 Modelo de Prtico Espacial ........................................................................... 35

2.3.4 Modelagem Estrutural .................................................................................... 37

2.3.5 Distribuio e Redistribuio de Esforos .................................................. 37

3. METODOLOGIA ................................................................................................... 41

4. DADOS DO PROJETO E APRESENTAO DOS RESULTADOS .................... 42

4.1. Projeto adotado ............................................................................................... 42

4.1.1 Forma arquitetnica ....................................................................................... 42

4.1.2 Carregamentos ............................................................................................... 43

4.1.3 Vento ............................................................................................................... 44

4.2 Apresentao dos resultados .......................................................................... 44

4.2.1.1 Resultados Momentos Mximos Positivos ............................................... 44

4.2.1.1.1 Resultados rea de Ao Calculada ........................................................ 47

4.2.1.2 Resultados Momentos Mximos negativos .............................................. 50

4.2.1.2.1 Resultados rea de Ao Calculada para momento mximo negativo . 53

4.2.2 Anlise das Deformaes .............................................................................. 56

4.2.2.1 Resultados Flechas ..................................................................................... 56

4.2.3 Anlise dos Momentos Torores .................................................................. 59

4.2.3.1 Momentos Torores considerando Vento na estrutura e lajes sem

continuidade ............................................................................................................ 59

4.2.3.1.1 Resultados dos Momentos ...................................................................... 59

4.2.3.2 Momentos Torores sem considerar Vento e lajes sem continuidade ... 63


4.2.3.3 Momentos Torores considerando Vento e continuidade entre lajes .... 66


5 CONCLUSO ........................................................................................................ 70

REFERNCIAS ......................................................................................................... 72

19

1 INTRODUO

A evoluo permanente dos meios informticos conduziu a que o computador

e os programas de clculo se tenham firmado como ferramentas indispensveis no

apoio ao projeto de estruturas. No entanto, a utilizao de programas de clculo

uma condio necessria importante para a obteno de qualidade dos projetos de

estruturas, mas no condio suficiente. Os conhecimentos, a sensibilidade

estrutural do projetista e o tempo disponvel para a realizao do projeto so outras

condies necessrias para um projeto de qualidade.

Os primeiros e mais importantes passos de um projeto so dados durante a

fase de concepo. nesta etapa que so analisadas as diferentes opes, de

modo a escolher a soluo mais indicada. Uma deficiente idealizao da estrutura

conduz a um conjunto de maus resultados (em termos de segurana e economia),

mesmo que se adotem meios sofisticados de calculo.

No universo atual, j possvel encontrar no mercado diversos softwares para

clculo estrutural, e muitos j adotam na sua metodologia de calculo, diversos

conceitos de analise estrutural, aproximando-se cada vez mais do comportamento

real das estruturas.

Diante do exposto acima, abriu-se um novo leque de opes, estudos que

antigamente seriam praticamente impossveis de serem calculados manualmente,

passam a serem analisados atravs dos recursos computacionais, detalhes antes

desprezados, por serem de difcil resoluo, passam a ser fonte de estudo, como

nessa pesquisa, que verifica o efeito da reduo do momento toro de vigas,

diante de diversas combinaes de clculo.

Adotando-se o software Eberick V5 de anlise, dimensionamento e

detalhamento de estruturas de concreto armado, neste trabalho se executa uma

verificao e anlise do comportamento das solicitaes em vigas sujeitas a

momento de toro de compatibilidade, juntamente com uma anlise dos efeitos da

continuidade de lajes.

20

1.1 Justificativa

O emprego de softwares comerciais para clculo estrutural tem facilitado que

anlises, dimensionamentos e detalhamentos de estruturas em concreto armado

ganhem produtividade. E isto muito conveniente, sobretudo em um contexto onde

qualidade e rapidez so valiosas. Contudo esta agilidade muitas vezes pode ser

interpretada como facilidade, como se os projetos estruturais agora fossem mais

simples, mesmos complicados.

Assim, deve ficar claro que os programas de anlise e dimensionamento de

estruturas no possuem inteligncia, e que a experincia e o conhecimento do

projetista so condies essenciais no desenvolvimento dos projetos. No so os

programas de clculo estrutural que definem a melhor opo das estruturas.

Na verdade estas ferramentas de trabalho influenciaram na preciso das

anlises ganhando, por teorias de clculo, cada vez mais realismo ao desempenho

das estruturas in-loco. E para esta evoluo foi necessrio que pesquisas fossem

executadas, e que ocorresse um entendimento do funcionamento das estruturas.

Desta forma entende-se pertinente o estudo dos esforos resultantes em

vigas provocados pela continuidade de lajes e o efeito da reduo do momento

torsor nas mesmas. Pois, diante de tantas combinaes e tantas possibilidades de

anlise, e sempre na busca de projetos mais econmicos, o aumento de subsdios

para a anlise torna-se sempre uma ferramenta preciosa.

1.2 Tema

Analise dos esforos em vigas de concreto armado decorrentes da continuidade de

lajes e da toro de compatibilidade.

1.3 Problema

Qual a influencia da continuidade das lajes e dos coeficientes que

consideram a toro de compatibilidade, nos esforos de vigas em concreto

armado?

21

1.4 Objetivos

1.4.1 Geral

Analisar os esforos em vigas de concreto armado causados pela continuidade de

lajes e o efeito da reduo toro para momentos de compatibilidade.

1.4.2 Especficos

Analisar o comportamento do momento de toro nas vigas quando

calculadas com diferentes coeficientes de reduo toro;

Analisar o comportamento dos momentos de flexo das vigas, pelo mesmo

critrio;

Avaliar o consumo de ao das vigas decorrentes da alterao da toro;

Avaliar as deformaes das vigas decorrentes da alterao da toro;

Comparar o comportamento dos esforos nas vigas, usando como critrio a

adoo da continuidade nas lajes;

Comparar os esforos nas vigas com vento atuando sobre a estrutura e sem

vento.

22

2. REFERENCIA BIBLIOGRFICA

2.1. Concreto Armado

2.1.1. Conceito de Concreto Armado

O concreto um material que apresenta alta resistncia s tenses de

compresso, porm, apresenta baixa resistncia trao (cerca de 10 % da sua

resistncia compresso). Assim sendo, imperiosa a necessidade de juntar ao

concreto um material com alta resistncia trao, com o objetivo deste material,

disposto convenientemente, resistir s tenses de trao atuantes. Com esse

material composto (concreto e armadura barras de ao), surge ento o chamado

concreto armado, onde as barras da armadura absorvem as tenses de trao e o

concreto absorve as tenses de compresso, no que pode ser auxiliado tambm por

barras de ao (caso tpico de pilares, por exemplo).

No entanto, o conceito de concreto armado envolve ainda o fenmeno da

aderncia, que essencial e deve obrigatoriamente existir entre o concreto e a

armadura, pois no basta apenas juntar os dois materiais para se ter o concreto

armado. Para a existncia do concreto armado imprescindvel que haja real

solidariedade entre ambos o concreto e o ao, e que o trabalho seja realizado de

forma conjunta.

Em resumo, pode-se definir o concreto armado como a unio do concreto

simples e de um material resistente trao (envolvido pelo concreto) de tal modo

que ambos resistam solidariamente aos esforos solicitantes. De forma

esquemtica pode-se indicar que concreto armado :

Concreto armado = concreto simples + armadura + aderncia.

Com a aderncia, a deformao s num ponto da barra de ao e a

deformao c no concreto que a circunda, devem ser iguais, isto : c = s .

2.1.2 Componentes

2.1.2.1Concreto

O concreto armado como vimos, composto por associao do concreto

simples e ao. O concreto simples por sua vez uma mistura de gua, aglomerante

23

(cimento portland), agregado mido e agregado grado, cuja principal caracterstica

a elevada resistncia compresso. Resistncia esta que resulta do trao utilizado

e das adies que podem ser exercidas sobre a mistura de forma a melhorar

caractersticas como: consistncia, trabalhabilidade e homogeneidade.

Especificidades do trao adotado, tais como, a quantidade de cada componente tem

relao direta com a resistncia final do concreto.

No Brasil a NBR 5739/1994 normatiza os ensaios para determinao da

resistncia caracterstica do concreto aos 28 dias fornecendo o valor estatstico

definido pelo item 12.2 da norma NBR 6118 (2003, p. 50) como as resistncias em

que, num lote de material, tm uma determinada probabilidade de serem

ultrapassados, no sentido desfavorvel para a segurana. Probabilidade esta de

5%. Ou seja, estima-se que 95% das ocorrncias apresentam-se acima deste valor.

2.1.2.2 Ao

A norma para projeto de estruturas de concreto, NBR 6118/2003 aborda nos

seus itens 8.3 e 8.4 aos de armaduras passivas e ativas respectivamente. No

primeiro caso a armadura sofre uma tenso quando aplicado o carregamento sobre

a pea estrutural, e a segunda hiptese a armadura incute uma pr-tenso sobre a

pea antes de seu carregamento. Desta forma as deformaes podem ser

eliminadas ou limitadas e h um ganho de resistncia no elemento com a

compresso planejada.

Pela NBR 6118/2003 so analisadas caractersticas tais como:

Categoria: CA-25, CA-50 ou CA-60;

Tipo de superfcie: lisas ou providas de salincias ou mossas. As

barras ou fios devem atender os coeficientes de conformao, a

geometria e a configurao solicitadas pela NBR 7480/1996;

Massa especfica: admite-se, no efetuados ensaios, uma massa

especfica para o ao de 7.850 Kg/m;

Coeficiente de dilatao trmica: para intervalos de temperatura entre -

20C e 150C, aplica-se um coeficiente de dilatao de ao = 10-5 .C-1;

Mdulo de elasticidade: estimado em 210 GPa, na falta de ensaios ou

valores fornecidos pelo fabricante.

24

A nomenclatura utilizada para o ao indica seu uso e resistncia. Ou seja, a

categoria CA-50, por exemplo, indica concreto armado (CA) e uma resistncia

caracterstica de escoamento de 50 KN/cm. A resistncia caracterstica trao a

mxima tenso que a barra deve suportar at o limite do regime plstico dado pela

seo linear da relao tenso deformao do ao.

Conforme a NBR 7480/1996 os aos para concreto armado so classificados

em barras para bitolas igual ou superiores a 5 mm, obtidas por processo de

fabricao exclusivo por laminao a quente. Ou ainda classificados como fios para

dimetros nominais de at 10 mm obtidos por trefilao ou processo equivalente.

2.1.3 Vantagens e Desvantagens do Concreto Armado

O concreto armado um material que vem sendo largamente usado em todos

os pases do mundo, em todos tipos de construo, em funo de vrias

caractersticas positivas, como por exemplo:

a)Economia: especialmente no Brasil, os seus componentes so facilmente

encontrados e relativamente a baixo custo;

b) Conservao: em geral, o concreto apresenta boa durabilidade, desde que seja

utilizado com a dosagem correta. muito importante a execuo de cobrimentos

mnimos para as armaduras;

c) Adaptabilidade: favorece arquitetura pela sua fcil modelagem;

d) Rapidez de construo: a execuo e o recobrimento so relativamente rpidos;

e)Segurana contra o fogo: desde que a armadura seja protegida por um cobrimento

mnimo adequado de concreto;

f) Impermeabilidade: desde que dosado e executado de forma correta;

g) Resistncia a choques e vibraes: os problemas de fadiga so menores.

Por outro lado, o concreto armado tambm apresenta desvantagens, sendo as

principais as seguintes:

a) Peso prprio elevado, relativamente resistncia: peso especfico conc = 25

kN/m3 = 2,5 tf/m3 = 2.500 kgf/m3;

b) Reformas e adaptaes so de difcil execuo;

c) Fissurao (existe, ocorre e deve ser controlada);

d) Transmite calor e som.

25

2.2. Sistemas Estruturais de Concreto Armado

2.2.1. Definies

Um sistema estrutural composto por elementos arranjados, de forma tal que

possibilitem a transferncia das cargas de elemento a elemento at a base da

construo. Ou seja, at as fundaes que transferem o montante da carga ao solo.

Figura 1 Percurso da carga atuando na estrutura. Fonte: Ching, 1999, apud Mohamad, 2004, p. 58

Um sistema estrutural pode ser composto por peas resistentes de diferentes

formas e materiais. H a possibilidade de prdios serem construdos em bambu,

madeira, ao, concreto, alvenaria estrutural, isopor, plsticos, gesso, entre outros.

No raro notamos para uma mesma obra o uso de diversos destes em conjunto, de

forma a utilizar suas propriedades harmoniosamente ao fim desejado.

Em todos os casos comum ainda para os diversos materiais o uso de

elementos de placa como lajes, e barras como vigas e pilares.

Contudo no Brasil, sistemas estruturais em concreto armado so mais

latentes. O sistema de domnio popular utiliza-se de lajes, pilares e vigas definidos

em Carvalho (et al., 2004, p.23) como peas, geralmente com uma ou duas

dimenses preponderantes sobre as demais. Na figura a seguir temos um exemplo

tpico do sistema estrutural em concreto armado onde uma laje apia-se sobre vigas,

e estas sobre pilares, formando a supra-estrutura da obra. Sob estes os blocos e as

fundaes (estacas) formam a infra-estrutura, responsvel pela transferncia das

26

cargas ao solo.

Figura 2 Exemplo de um sistema estrutural em concreto armado Fonte: Carvalho, et al., 2004, p. 24

2.2.2. Elementos Estruturais

Neste item apresenta-se uma classificao dos elementos estruturais com

base na geometria e nas suas dimenses, e tambm as principais caractersticas

dos elementos estruturais mais importantes e comuns nas construes em concreto

armado.

2.2.2.1 Classificao geomtrica

A classificao dos elementos estruturais segundo a sua geometria se faz

comparando a ordem de grandeza das trs dimenses principais do elemento

(comprimento, altura e espessura), com a seguinte nomenclatura:

a) elementos lineares: so aqueles que tm a espessura da mesma ordem de

grandeza da altura, mas ambas muito menores que o comprimento. So os

elementos chamados barras. Como exemplos mais comuns encontram-se as vigas

e os pilares.

Como um caso particular, existe tambm os elementos lineares de seo

delgada definidos como aqueles cuja espessura muito menor que a altura. No

27

concreto armado inexistem tais elementos. Por outro lado, podem ser

confeccionados com a chamada Argamassa Armada, onde os elementos devem

ter espessuras menores que 40 mm, conforme a NBR 1259/89. Perfis de ao

aplicados nas construes com estruturas metlicas so exemplos tpicos de

elementos lineares de seo delgada.

b) elementos bidimensionais: so aqueles onde duas dimenses, o comprimento e a

largura, so da mesma ordem de grandeza e muito maiores que a terceira dimenso

(espessura). So os chamados elementos de superfcie. Como exemplos mais

comuns encontram-se as lajes, as paredes de reservatrios, etc.

As estruturas de superfcie podem ser classificadas como cascas, quando a

superfcie curva, e placas ou chapas quando a superfcie plana. As placas so

as superfcies que recebem o carregamento perpendicular ao seu plano e as chapas

tm o carregamento contido neste plano. O exemplo mais comum de placa a laje e

de chapa a viga-parede.

c) elementos tridimensionais: so aqueles onde as trs dimenses tm a mesma

ordem de grandeza. So os chamados elementos de volume. Como exemplos mais

comuns encontram-se os blocos e sapatas de fundao, consolos, etc.

2.2.3. Principais Elementos Estruturais

Nas construes de concreto armado, sejam elas de pequeno ou de grande

porte, trs elementos estruturais so bastante comuns: as lajes, as vigas e os

pilares. Por isso, esses so os elementos estruturais mais importantes. Outros

elementos, que podem no ocorrer em todas as construes, so: blocos e sapatas

de fundao, estacas, tubules, consolos, vigas-parede, tirantes, etc. Uma noo

geral das caractersticas de alguns dos elementos de concreto armado

apresentada a seguir.

2.2.3.1. Lajes

As lajes so os elementos planos que se destinam a receber a maior parte

das aes aplicadas numa construo, como de pessoas, mveis, pisos, paredes, e

os mais variados tipos de carga que podem existir em funo da finalidade

arquitetnica do espao fsico que a laje faz parte. As aes so comumente

28

perpendiculares ao plano da laje, podendo ser divididas em: distribudas na rea

(peso prprio, revestimento de piso, etc.), distribudas linearmente (paredes) ou

foras concentradas (pilar apoiado sobre a laje). As aes so geralmente

transmitidas para as vigas de apoio nas bordas da laje, mas eventualmente tambm

podem ser transmitidas diretamente aos pilares.

As lajes macias de concreto, com espessuras que normalmente variam de 7

cm a 15 cm, so comuns em edifcios de pavimentos e em construes de grande

porte, como escolas, indstrias, hospitais, pontes, etc. De modo geral, no so

aplicadas em construes residenciais e outras de pequeno porte, pois nesses tipos

de construo as lajes nervuradas pr-fabricadas apresentam vantagens nos

aspectos custo e facilidade de construo.

Alguns dos tipos mais comuns de lajes so: macia apoiada nas bordas,

nervurada, lisa e cogumelo. Laje macia um termo que se usa para as lajes sem

vazios apoiadas em vigas nas bordas. As lajes lisas e cogumelo tambm no tm

vazios, porm, tem outra definio.

Lajes cogumelo so lajes apoiadas diretamente em pilares com capitis, enquanto

lajes lisas so as apoiadas nos pilares sem capitis (NBR 6118/03, item 14.7.8). As

lajes lisas e cogumelo tambm so chamadas pela norma como lajes sem vigas.

Elas apresentam a eliminao de grande parte das vigas como a principal vantagem

em relao s lajes macias, embora por outro lado tenham maior espessura. So

usuais em todo tipo de construo de mdio e grande porte, inclusive edifcios de

at 20 pavimentos. Apresentam como vantagens custos menores e maior rapidez de

construo. No entanto, so suscetveis a maiores deformaes (flechas).

2.2.3.1.1. Aes usuais em lajes de edifcios.

As cargas atuantes nas lajes so as previstas na NBR 6120 (1980). Essas

cargas so aplicadas por metro quadrado de laje e podem ser permanentes ou

acidentais conforme classificao dada por essa norma.

As cargas acidentais ou de utilizao so obtidas atravs da Tabela 2 da NBR

6120 Valores mnimos das cargas verticais. As cargas permanentes em lajes de

edifcios normalmente so constitudas pelo peso prprio da laje de concreto e pelo

revestimento, alm do peso de paredes e outros elementos quando apoiados

diretamente na laje.

29

2.2.3.1.2 Classificao

As lajes podem ser classificadas quanto aos seguintes aspectos:

1. Quanto ao tipo de apoio:

As lajes podem apresentar os seguintes tipos de apoio (vnculo):

simplesmente apoiado; engastado e livre (sem apoio).

A borda da laje simplesmente apoiada permite a rotao, enquanto o

engastado impedido de girar. O engastamento depende da rigidez do apoio, ou

seja, da rigidez do elemento onde a laje pretende se engastar. Na realidade, muito

difcil garantir o engastamento perfeito, sendo mais freqente o engastamento

parcial. Deve-se destacar que a existncia de armao de ligao de uma laje com o

apoio, normalmente, a laje vizinha, NO garante o engastamento, preciso que a

rotao seja impedida, da a importncia da rigidez do apoio.

2. Quanto armao De acordo com a atuao dos momentos fletores, em uma ou duas direes,

as lajes podem ser classificadas em armadas em uma ou duas direes.

Lajes armadas em uma direo: so aquelas em que os momentos fletores

solicitam predominantemente apenas uma direo. o caso das lajes em balano

(sacadas), daquelas com as dois lados opostos apoiados, sendo os outros dois livres

(rampas, escadas), e das lajes com lados apoiados (simples ou engaste), onde a

medida do maior lado supera o dobro do lado menor.

O momento na direo do menor vo muito superior ao da outra direo

quando a relao entre os vos supera 2, sendo, dessa forma, considerada como

armada em apenas uma direo. Na direo secundria, colocada uma armao

de distribuio.

Lajes armadas em duas direes: so aquelas em que os momentos fletores

solicitam as duas direes. Essa situao ocorre nas lajes retangulares apoiadas

nos quatro lados, em que a relao entre o maior vo e o menor inferior ou igual a

dois. So mais econmicas que as lajes armadas em uma direo, pois o

carregamento da laje solicita as duas direes, reduzindo a magnitude dos

momentos fletores e das flechas.

30

2.2.3.2 Vigas

Vigas so elementos estruturais de barra. Horizontais ou inclinadas so

utilizadas em geral para suportar e transmitir aos seus apoios cargas lineares e

pontuais advindas de lajes, paredes e at de outras vigas.

Quando submetida a cargas concentradas elevadas incutidas por pilares que

no tem continuidade inferior, ou seja, logo abaixo desta, d-se a esta o nome de

viga de transio. Estas so responsveis por transmitir grandes esforos para

apoios fora do prumo da carga recebida.

Conforme Mohamad (2004, p. 113) nas vigas os principais esforos atuantes

so momento Fletor (surgimento de trao na seo transversal) e cisalhamento nos

apoios. Contudo, com menor freqncia elas tambm esto sujeitas a esforos

normais e de toro, principalmente em funo da discretizao do elemento

adotada na anlise da pea.

2.2.3.2.1 Esforos de toro em vigas

Um conjugado que tende a torcer uma pea fazendo-a girar sobre o seu

prprio eixo denominado momento de toro, momento toror ou torque. O caso

mais comum de toro ocorre em eixos de transmisso.

A toro simples, toro uniforme ou toro pura (no atuao simultnea

com M e V), excetuando os eixos de transmisso, ocorre raramente na prtica.

Geralmente a toro ocorre combinada com momento fletor e fora cortante, mesmo

que esses esforos sejam causados apenas pelo peso prprio do elemento

estrutural. De modo aproximado, os princpios de dimensionamento para a toro

simples so aplicados s vigas com atuao simultnea de momento fletor e fora

cortante.

Nas estruturas de concreto, a ligao monoltica entre as vigas e as lajes e

entre vigas apoiadas em outras vigas, d origem a momentos de toro, que, de

modo geral, podem ser desprezados por no serem essenciais ao equilbrio.

Entretanto, no caso da chamada toro de equilbrio, a considerao dos

momentos torores imprescindvel para garantir o equilbrio do elemento estrutural.

31

2.2.3.2.2 Toro de compatibilidade

A toro de compatibilidade a resultante do impedimento deformao,

pode ser desprezada no dimensionamento das vigas, desde que a pea tenha

capacidade de adaptao plstica, ou seja, nas situaes em que se pode conseguir

uma configurao de equilbrio sem a considerao da toro, pode-se dispensar o

clculo da toro e colocar apenas uma armadura construtiva. Este o caso de

momentos de toro resultantes de esforos hiperestticos provenientes de rotaes

impedidas (toro em vigas devido ao engastamento parcial das lajes).

Conforme a NBR 6118:2003, item 17.5.1.2: Quando a toro no for

necessria ao equilbrio, caso da toro de compatibilidade, possvel desprez-la,

desde que o elemento tenha a adequada capacidade de adaptao plstica e que

todos os outros esforos sejam calculados sem considerar os efeitos por ela

provocados.

Como j foi dito anteriormente, s a toro de equilbrio precisa ser

considerada no dimensionamento das vigas. A toro de compatibilidade pode ser

desprezada, desde que se observe a condio seguinte:

Vsd 0,7 VRd,2

VRd,2 = 0,27 . v . fcd . bw . d .sen 2

Em que:

Vsd = fora cortante solicitante de clculo;

VRd,2 = fora cortante resistente de calculo, relativa runa das diagonais

comprimidas de concreto;

= coeficiente em funo do tipo da seo transversal analisada;

fcd = resistncia de clculo compresso do concreto;

bw = largura da alma de uma viga;

d = altura til;

= ngulo de inclinao.

2.2.3.3 Pilares

Pilares so elementos de barra verticais utilizados para receber as cargas da

construo e transmiti-las at as fundaes da obra. Outra funo essencial dos

32

pilares o de formar prticos em associao a outros elementos como vigas,

importantes para estabilidade global da estrutura.

Podem ainda apresentar diversas formas, tais como em L ou T, circulares, e

retangulares, sendo estas ltimas as mais comuns. As armaduras longitudinais

formam a armadura principal da seo, responsveis pelo incremento da resistncia

do pilar compresso e ainda esforos de trao pela flexo. Os estribos, como

armaduras transversais contribuem no s resistncia na flambagem da armadura

principal como tambm a esforos cortantes na seo, conforme Mohamad (2004, p.

137).

Arajo (2003, apud RECCO, 2007, p. 32) classifica os pilares quanto sua

funo na estrutura em pilares de contraventamento e pilares contraventados.

Sendo os primeiros, parte da estrutura do prdio responsvel por resistir a esforos

horizontais em maior representatividade, por apresentarem caracterstica de grande

rigidez tais como pilares parede em caixas de elevadores. Pilares contraventados

so classificados como os de menor rigidez na estrutura, ou seja, de menor

contribuio no combate a esforos horizontais.

No acompanhamento a Mohamad (2004, p. 140) os pilares podem ser

classificados quanto posio em pilar intermedirio, pilar de canto e pilar de

extremidade conforme a figura 9.

Figura 3 Posio dos pilares em planta Fonte: Adaptado de Mohamad, 2004, p. 140.

33

2.3 Anlise Estrutural

2.3.1 Princpios Gerais

Kimura (2007, p. 112) explica que pela anlise estrutural que se enxerga

realmente como o edifcio est se comportando. Embora com o uso da computao

para o dimensionamento das estruturas h impresso de que os programas

computacionais concluem automaticamente a melhor anlise estrutural, isso no

real.

A anlise estrutural tratada pela NBR 6118/2003 em seu item 14 e d a esta

as seguintes caractersticas:

Os tipos de anlise estrutural previstos em situao de projeto so

determinados pelo item 14.5 da NBR 6118/2003 autorizando-se o uso da anlise

linear, anlise linear com redistribuio, anlise plstica, anlise no-linear ou ainda

anlise atravs de modelos fsicos. Estes conceitos so discutidos por Recco (2007,

p. 48) como segue:

Anlise linear - Admite-se comportamento elstico-linear para os

materiais. Sendo que nestas anlises as caractersticas geomtricas

podero ser determinadas pelas sees brutas de concreto dos

elementos estruturais;

Anlise linear com redistribuio - Na anlise linear com redistribuio

os efeitos das aes, determinados em uma anlise linear, so

redistribudos na estrutura;

Anlise plstica - A anlise estrutural denominada plstica quando as

no linearidades puderem ser consideradas, admitindo-se materiais de

comportamento rgido-plstico perfeito ou elasto-plstico perfeito;

Anlise no linear - Na anlise no linear se considera o

comportamento no-linear dos materiais. Efeitos de segunda ordem

podem ou no ser includos na anlise. A considerao dos efeitos de

segunda ordem conduz a no linearidade entre as aes e

deformaes. Os esforos calculados na analise estrutural a partir da

geometria inicial da estrutura, sem deformao, so chamados efeitos

de primeira ordem. Aqueles decorrentes da deformao da estrutura

so chamados de efeito de segunda ordem;

34

Anlise atravs de modelos fsicos - O comportamento da estrutura

determinado a partir de ensaios realizados com modelos fsicos de

concreto, levando em conta os critrios de semelhana mecnica.

2.3.2 Modelo de Grelha de Vigas e Lajes

Um pavimento com lajes e vigas em concreto armado uma estrutura

monoltica. Um modelo de grelha discretizando todo o conjunto pode ser adequado

para a anlise na maioria dos casos. O modelo de grelha um dos mais utilizados

na anlise de pavimentos, pelos programas de computao em sistemas integrados

de anlise, dimensionamento e detalhamento de estruturas de concreto.

Conforme Kimura (2007, p. 118) o modelo de grelha composto por

elementos lineares dispostos no plano horizontal do piso que simulam as vigas e

lajes, formando uma malha de barras submetida a cargas verticais. Os apoios

simples presentes neste sistema representam os pilares para clculo das reaes de

apoio do sistema.

Figura 4 Analogia de grelha para vigas e lajes Fonte: Adaptado de Kimura, 2007, p. 119

Neste mtodo os esforos so transferidos atravs das lajes e vigas pela

rigidez de cada barra formada pela interseco das linhas, ou seja, entre os ns dos

encontros. Cada barra possui trs graus de liberdade: uma translao por efeitos de

fora cortante; uma rotao como efeito de momento torsor; e outra rotao como

efeito de momento fletor. Com estes esforos possvel determinar em cada n

deslocamentos por cargas verticais.

35

Figura 5 Barra de grelha Fonte: Adaptado de Kimura, 2007, p. 120

Uma das limitaes deste mtodo que no h possibilidade de se

considerar os efeitos por aes horizontais aplicados estrutura (efeitos de vento,

retrao por temperatura, empuxo, etc). Contudo abrange uma quantidade razovel

de lajes em concreto armado tais como lajes macias convencionais, lajes

nervuradas, lajes treliadas, lajes planas e lajes cogumelos.

2.3.3 Modelo de Prtico Espacial

Para avaliao do comportamento global da estrutura o modelo de prtico

espacial amplamente empregado por representar de forma muito realista o

desempenho desta. O modelo admite que vigas e pilares sejam representados por

barras ligadas tridimensionalmente, formando ns deslocveis, e dessa forma

possibilitando uma avaliao bastante completa e eficiente do comportamento global

da estrutura.

36

Figura 6 Exemplo de prtico espacial Fonte: Adaptado de Kimura, 2007, p. 122

Sua principal caracterstica a de permitir a anlise dos comportamentos

verticais e horizontais pela presena de seis graus de liberdade em cada barra. So

trs rotaes e trs translaes que permitem determinar o deslocamento total da

barra.

Figura 7 Barra de grelha (prtico espacial) Fonte: Adaptado de Kimura, 2007, p. 123

As lajes no so geralmente discretizadas neste modelo por serem

consideradas como diafragma rgido, ou seja, so tratadas como elementos de

elevada rigidez no plano horizontal, capaz de compatibilizar o comportamento em

todos os pontos do mesmo pavimento de uma forma equivalente (KIMURA, 2007, p.

37

122). Desta forma admite-se que os deslocamentos no plano so praticamente

idnticos em todos os pontos da laje.

2.3.4 Modelagem Estrutural

Logo aps a concepo estrutural do edifcio definida e escolhido o modelo

estrutural que melhor se adapta anlise das solicitaes, existe a necessidade de

calibragem do modelo de modo a tornar mais realista as aproximaes verificadas.

Esta calibragem percebida de forma particular para cada obra e viabilizada por

ferramentas tais como: redistribuio de esforos, estudo da ligao viga-pilar e

efeitos construtivos, como indicados por Kimura (2007).

Estas consideraes so efetuadas em virtude de que o concreto armado

apresenta particularidades que tornam sua anlise diferenciada, como a presena

da fissurao do concreto, sua deformao lenta, a plastificao do ao e a rigidez

relativa das peas, entre outros.

2.3.5 Distribuio e Redistribuio de Esforos

A distribuio de esforos ao longo das estruturas ocorre com a aplicao das

aes verticais e horizontais sobre os elementos. A avaliao de como estes

esforos se distribuem (momentos fletores, torsores, foras normais e cortantes)

uma das peas chaves para o dimensionamento seguro da estrutura.

Estas aes percorrem a estrutura em forma de esforos solicitantes at as

fundaes do edifcio. Estes esforos so distribudos em parcelas a cada elemento

como vigas, pilares, lajes, fundaes, de forma a manter toda estrutura estvel sem

translaes excessivas ou colapsos.

Contudo caractersticas inerentes aos materiais empregados na estrutura

podem determinar, conforme abordado anteriormente, uma reavaliao da

distribuio dos esforos apontados em primeira anlise, tornando o modelo mais

coerente realidade do projeto. Exemplo disso a reduo da capacidade

resistente da pea por fissurao. Desse modo o projetista pode fazer uso de

consideraes como a reduo da rigidez dos elementos ou ainda a plastificao de

apoios.

38

Um exemplo da manipulao da rigidez de um elemento pode ser abordado

na reduo de rigidez toro de vigas, lajes e pilares, sendo muito utilizado na

modelagem estrutural. Esta alterao recomendada sempre que a toro no

necessria ao equilbrio da estrutura, caso chamado de toro de compatibilidade.

Na figura a seguir temos uma situao em que a toro pode ser reduzida nas vigas

horizontais pela reduo da rigidez do elemento.

Figura 8 Toro de compatibilidade Fonte: Eberick V5 , 2010

A figura 9 demonstra uma situao em que a reduo da rigidez de um pilar

solicitado a toro no deve ocorrer. Nesta situao ocorre uma toro de equilbrio.

39

Figura 9 Pilar solicitado ao esforo de toro Fonte: Eberick

Esta considerao deve ser adotada desde que o elemento estrutural tenha a

adequada capacidade de adaptao plstica e que todos os outros esforos sejam

calculados sem considerar os efeitos provocados pela toro. Neste caso os

esforos passam a ser absorvidos pelos outros elementos adjacentes, alterando as

envoltrias de esforos iniciais.

A plastificao de apoios tambm um procedimento bastante comum na

modelagem estrutural, segundo Kimura (2007). Em geral nestes casos so

estabelecidos valores mximos para o momento atuante nas barras (momento de

plastificao), sendo aplicadas rtulas plsticas s barras onde os momentos

negativos superam os de plastificao. Na prtica normalmente momentos negativos

so transferidos a outras regies da estrutura como momentos positivos.

Estes expedientes servem redistribuio de esforos, ou seja, para alterar a

distribuio destes medida que o prdio carregado. Esta redistribuio pode

ocorrer em qualquer parte da estrutura ou ainda em um mesmo elemento estrutural

devendo, entretanto, segundo o item 14.5.3 da NBR 6118/2003 satisfazerem

condies de equilbrio e ductilidade da estrutura.

conveniente concluir que os diversos esforos na estrutura no podem

simplesmente desaparecer ou serem ignorados. Qualquer considerao que resulte

40

na reduo dos esforos finais em um elemento estrutural significa apenas uma

alterao no ponto de aplicao dos esforos, ou seja, os esforos passam a ser

resistidos por elementos adjacentes.

41

3. METODOLOGIA

O estudo teve inicio com a procura de embasamento bibliogrfico e posterior

aprofundamento terico literatura tcnica recomendada. Num segundo momento,

buscou-se adquirir os conhecimentos necessrios acerca do programa Eberick V5,

como lanamento de estrutura, configuraes e acesso aos relatrios de resultados.

Para a continuidade do estudo, foi adotada uma planta arquitetnica que

atendesse ao objetivo do trabalho, adotando como principal caracterstica o uso de

diferentes vos para vigas, e assim, criando lajes com diferentes vos, e vigas

servindo de suporte para outras vigas.

Para tornar possvel a comparao dos esforos nas vigas, baseado nos

resultados de testes experimentais feitos anteriormente pesquisa, foi definido o

coeficiente de reduo toro de mdulo 60% para o dimensionamento dos

elementos estruturais, pois este coeficiente no acarretou erros de dimensionamento

para as vigas adotadas. Este recurso tornou-se necessrio, para garantir um correto

dimensionamento da estrutura antes do processamento dos demais coeficientes de

reduo toro para vigas, servindo como referencia para o restante das analises.

Logo aps seguiu-se para a obteno dos resultados provenientes das

diversas configuraes de anlise adotadas. Sendo que para cada caso, foram

coletados os seguintes dados:

Momentos fletores mximos nas vigas, positivos e negativos;

Momentos torores nas vigas;

rea de ao calculada para momentos mximos;

Deformao nas vigas;

Para todas as modificaes nos dados de calculo, a estrutura passa por uma

anlise estrutural com uso do processamento via prtico espacial, modelo completo

de clculo, com a estrutura calculada espacialmente, considerando os efeitos

horizontais e efetuando as verificaes de estabilidade global.

Para a finalizao da pesquisa, parte-se para a anlise dos resultados, e

apresentao dos que se mostraram mais relevantes para a sua concluso.

42

4. DADOS DO PROJETO E APRESENTAO DOS RESULTADOS

4.1. Projeto adotado

Para fins deste estudo foi adotado um modelo estrutural bastante genrico,

composto por uma nica planta arquitetnica, utilizada em todos os pavimentos da

estrutura. Esta simplificao ocorre da no inteno de se analisar o melhor projeto,

e sim, da utilizao dos relatrios gerados pelo dimensionamento dos elementos

estruturais, no caso, das vigas.

4.1.1 Forma arquitetnica

A estrutura utilizada compe-se de uma planta arquitetnica de seo

retangular medindo 12m x 10m considerando as faces mais externas da estrutura.

Ao todo, a estrutura possui 8(oito) pavimentos, distribudos da seguinte forma:

7(sete) pavimentos tipo e 1(um) pavimento baldrame, sendo que este ultimo, no

possui lajes. E com altura entre pavimentos de 2,8m.

Planta arquitetnica:

Dimenso do agregado = 19 mm

5.0022128720

(cm)(MPa)(MPa)(MPa)AbatimentoFctEcsFck

Caractersticas dos Materiais

3.500.0012MaciaL6

3.500.0012MaciaL5

3.500.0012MaciaL4

3.500.0012MaciaL3

3.500.0012MaciaL2

3.500.0012MaciaL1

(kN/m)(cm)(cm)SobrecargaElevaoAlturaTipoNome

Lajes

1680012x45V9

1680012x45V8

1680012x45V7

1680012x45V6

1680012x45V5

1680012x45V4

1680012x45V3

1680012x45V2

1680012x45V1

(cm)(cm)(cm)NvelElevaoSeoNome

Vigas

escala 1:50Forma do pavimento tipo 6

P520x50

P1020x50P9

20x50

P820x50

P720x50P6

20x50

P420x50

P320x50P2

20x50

P120x50

h=12

L6h=12

L5h=12

L4

h=12

L3h=12

L2h=12

L1

V9

12x

45V

9

12x

45V

8

12x

45V

7

12x

45V

6

12x

45V

5V4

12x

45V

4

12x45V3V3V3V3

V2V2V212x45V2V2V2V2

12x45V1V1V1V1

Figura 10. Planta Baixa do edifcio de estudo

43

Fonte: Do autor, 2010

Figura 11 - Tipologia do edifcio de estudo Fonte: Do autor, 2010

4.1.2 Carregamentos

As consideraes de carregamento seguiram critrios descritos na NBR

6120/1980 Cargas para clculo de estruturas de edificaes.

44

4.1.3 Vento

De acordo com a NBR 6123(1988) Foras devidas ao vento em edificaes,

adotou-se:

Velocidade bsica do vento de Vo=42m/s;

Maior dimenso da edificao 20,40m de altura;

Rugosidade do terreno correspondente a categoria II;

Fator topogrfico S1= 1,00;

Fator estatstico S3=1,00;

Coeficiente de arrasto em x e y iguais a 1,00;

ngulo de aplicao do vento 0 para as direes x e y;

4.2 Apresentao dos resultados

A seguir sero apresentados os resultados obtidos aps o processamento da

estrutura adotando-se diferentes coeficientes de reduo da toro.

4.2.1 Analise dos Momentos Mximos

4.2.1.1 Resultados Momentos Mximos Positivos

Para a avaliao deste quesito, foi considerado apenas o momento fletor

mximo encontrado em cada viga, independente do vo que este valor representa.

Os mximos valores encontrados no clculo das vigas podem ser

visualizados na tabela 1. Os resultados so apresentados por pavimento.

Tabela 1 Momentos mximos positivos

Momentos Mximos Positivos nas Vigas (kN.m)

Coeficiente de Reduo da Toro nas Vigas

0%

20%

40%

60%

80%

95%

Ba

ldra

m

e

Viga 1 40,19 40,19 40,19 40,19 40,19 40,18

Viga 2 71,55 71,56 71,57 71,59 71,60 71,61

Viga 3 40,07 40,07 40,07 40,07 40,07 40,07

Viga 4 121,36 121,36 121,36 121,36 121,36 121,36

45

Viga 5 5,48 5,48 5,48 5,48 5,48 5,48

Viga 6 5,48 5,48 5,48 5,48 5,48 5,48

Viga 7 5,48 5,48 5,48 5,48 5,48 5,48

Viga 8 5,48 5,48 5,48 5,48 5,48 5,48

Viga 9 121,36 121,36 121,36 121,36 121,36 121,37

Tip

o 1

Viga 1 56,16 56,16 56,16 56,16 56,16 56,16

Viga 2 60,23 60,24 60,25 60,26 60,27 60,27

Viga 3 55,78 55,74 55,70 55,67 55,63 55,60

Viga 4 115,21 115,21 115,21 115,21 115,21 115,21

Viga 5 53,25 53,25 53,25 53,25 53,25 53,25

Viga 6 54,06 54,06 54,06 54,06 54,06 54,06

Viga 7 51,39 51,39 51,39 51,39 51,39 51,39

Viga 8 52,00 52,00 52,00 52,00 52,00 52,00

Viga 9 113,72 113,72 113,72 113,72 113,73 113,73

Tip

o 2

Viga 1 55,04 55,04 55,03 55,03 55,03 55,03

Viga 2 55,14 55,15 55,15 55,15 55,16 55,16

Viga 3 54,90 54,87 54,83 54,79 54,75 54,73

Viga 4 101,54 101,54 101,54 101,53 101,53 101,53

Viga 5 53,25 53,25 53,25 53,25 53,25 53,25

Viga 6 54,06 54,06 54,06 54,06 54,06 54,06

Viga 7 51,39 51,39 51,39 51,39 51,39 51,39

Viga 8 52,00 52,00 52,00 52,00 52,00 52,00

Viga 9 99,86 99,86 99,86 99,86 99,86 99,86

Tip

o 3

Viga 1 55,00 55,00 54,99 54,99 54,99 54,98

Viga 2 48,72 48,72 48,73 48,73 48,73 48,74

Viga 3 54,91 54,88 54,84 54,81 54,78 54,75

Viga 4 81,37 81,37 81,37 81,37 81,37 81,37

Viga 5 53,25 53,25 53,25 53,25 53,25 53,25

Viga 6 54,06 54,06 54,06 54,06 54,06 54,06

Viga 7 51,39 51,39 51,39 51,39 51,39 51,39

Viga 8 52,00 52,00 52,00 52,00 52,00 52,00

Viga 9 79,57 79,57 79,57 79,57 79,57 79,57

Tip

o 4

Viga 1 54,69 54,67 54,67 54,66 54,65 54,65

Viga 2 42,61 42,70 42,78 42,87 42,95 43,01

Viga 3 54,68 54,65 54,62 54,59 54,56 54,54

Viga 4 58,87 58,87 58,86 51,86 58,86 58,86

Viga 5 53,25 53,25 53,25 53,25 53,25 53,25

Viga 6 54,06 54,06 54,06 54,06 54,06 54,06

Viga 7 51,39 51,39 51,39 51,39 51,39 51,39

Viga 8 52,00 52,00 52,00 52,00 52,00 52,00

Viga 9 57,25 57,25 57,25 57,24 57,24 57,24

Tip

o 5

Viga 1 54,62 54,61 54,60 54,59 54,58 54,57

Viga 2 41,81 41,88 41,96 42,03 42,10 42,15

Viga 3 54,64 54,62 54,60 54,57 54,55 54,53

Viga 4 37,14 37,14 37,14 37,13 37,13 37,13

Viga 5 53,25 53,25 53,25 53,25 53,25 53,25

Viga 6 54,06 54,06 54,06 54,06 54,06 54,06

Viga 7 51,39 51,39 51,39 51,39 51,39 51,39

Viga 8 52,00 52,00 52,00 52,00 52,00 52,00

46

Viga 9 36,01 36,01 36,01 36,00 36,00 36,00 T

ipo

6

Viga 1 53,51 53,50 53,48 53,47 53,46 53,44

Viga 2 40,73 40,79 40,86 40,93 40,99 41,04

Viga 3 53,76 53,74 53,72 53,70 53,68 53,67

Viga 4 19,26 19,26 19,27 19,27 19,27 19,27

Viga 5 53,25 53,25 53,25 53,25 53,25 53,25

Viga 6 54,06 54,06 54,06 54,06 54,06 54,06

Viga 7 51,39 51,39 51,39 51,39 51,39 51,39

Viga 8 52,00 52,00 52,00 52,00 52,00 52,00

Viga 9 19,36 19,36 19,36 19,36 19,36 19,36

Tip

o 7

Viga 1 57,64 57,63 57,62 57,62 57,61 57,59

Viga 2 41,95 42,03 42,11 42,18 42,26 42,32

Viga 3 56,99 56,98 56,98 56,97 56,96 56,95

Viga 4 14,96 14,96 14,96 14,96 14,96 14,96

Viga 5 53,68 53,68 53,68 53,68 53,68 53,68

Viga 6 54,39 54,39 54,39 54,39 54,39 54,39

Viga 7 51,38 51,38 51,38 51,38 51,38 51,38

Viga 8 52,04 52,04 52,04 52,04 52,04 52,04

Viga 9 15,67 15,67 15,67 15,67 15,67 15,67

Fonte: Do autor, 2010

O grfico 12, ilustra os resultados das vigas V2 e V9, as quais acabam

representando as tendncias das demais vigas. Na nomenclatura das vigas, o V

representa viga, o primeiro nmero corresponde ao pavimento onde a viga se

encontra, e o segundo nmero corresponde a numerao da viga no pavimento.

47

Momento Mximo Positivo

0

25

50

75

100

125

150

0% 20% 40% 60% 80% 95%

Coeficiente de Reduo

Md

(kN

.m)

V02

V09

V12

V19

V22

V29

V32

V39

V42

V49

V52

V59

V62

V69

V72

V79

Figura 12 Grfico dos Momentos Positivos Fonte: Do autor, 2010

De acordo com os dados acima, pode-se constatar a ocorrncia de algumas tendncias:

As vigas bi-apoiadas, que so as vigas V5, V6, V7 e V8, mantm inalterados

seus valores de momento para quaisquer condies de reduo toro.

As vigas suporte, ou seja, que recebem carregamentos de outras vigas,

podem variar, seus valores de momento para mais ou para menos, de acordo

com o carregamento atuando sobre elas. (vale lembrar que, para este

estudo, as vigas V5, V6, V7 e V8, so consideradas bi-rotuladas)

Mas a principal considerao esta no fato de que a variao nos momentos

positivos bastante pequena, no alcanando 1% de diferena, quando

comparados os mdulos com 0% e 95% de reduo na toro.

4.2.1.1.1 Resultados rea de Ao Calculada

A apresentao dos valores de rea de ao calculada serve para corroborar

com os resultados dos momentos fletores mximos.

48

A tabela 2 aponta as reas de ao calculadas para os momentos positivos

mximos.

Tabela 2 rea de ao calculada MMP rea de Ao Calculada para Momento Maximo Positivo

(cm)


0%

20%

40%

60%

80%

95%

Ba

ldra

me

Viga 1 2,77 2,77 2,77 2,77 2,77 2,77

Viga 2 5,49 5,49 5,49 5,49 5,49 5,49

Viga 3 2,76 2,76 2,76 2,76 2,76 2,76

Viga 4 8,99 8,99 8,99 8,99 8,99 8,99

Viga 5 0,81 0,81 0,81 0,81 0,81 0,81

Viga 6 0,81 0,81 0,81 0,81 0,81 0,81

Viga 7 0,81 0,81 0,81 0,81 0,81 0,81

Viga 8 0,81 0,81 0,81 0,81 0,81 0,81

Viga 9 8,99 9,00 9,00 9,00 9,00 9,00

Tip

o 1

Viga 1 3,72 3,72 3,72 3,72 3,72 3,72

Viga 2 4,12 4,12 4,12 4,13 4,13 4,13

Viga 3 3,69 3,68 3,68 3,68 3,68 3,67

Viga 4 8,14 8,14 8,14 8,14 8,14 8,14

Viga 5 3,64 3,64 3,64 3,64 3,64 3,64

Viga 6 3,44 3,44 3,70 3,70 3,70 3,70

Viga 7 3,24 3,24 3,24 3,49 3,49 3,49

Viga 8 3,29 3,29 3,29 3,54 3,54 3,54

Viga 9 8,04 8,04 8,04 8,04 8,04 8,04

Tip

o 2

Viga 1 3,63 3,63 3,63 3,63 3,63 3,63

Viga 2 3,64 3,64 3,64 3,64 3,64 3,64

Viga 3 3,62 3,62 3,61 3,61 3,61 3,60

Viga 4 7,23 7,23 7,23 7,23 7,23 7,23

Viga 5 3,38 3,64 3,64 3,64 3,64 3,64

Viga 6 3,44 3,44 3,70 3,70 3,70 3,70

Viga 7 3,24 3,24 3,24 3,49 3,49 3,49

Viga 8 3,29 3,29 3,29 3,54 3,54 3,54

Viga 9 7,12 7,12 7,12 7,12 7,12 7,12

Tip

o 3

Viga 1 3,63 3,63 3,63 3,63 3,63 3,63

Viga 2 3,18 3,18 3,18 3,18 3,18 3,18

Viga 3 3,62 3,62 3,61 3,61 3,61 3,61

Viga 4 5,96 5,96 5,96 5,96 5,96 5,96

Viga 5 3,64 3,64 3,64 3,64 3,64 3,64

Viga 6 3,44 3,70 3,70 3,70 3,70 3,70

Viga 7 3,24 3,24 3,24 3,49 3,49 3,49

Viga 8 3,29 3,29 3,29 3,54 3,54 3,54

Viga 9 5,84 5,84 5,84 5,84 5,84 5,84

Tip

o

4

Viga 1 3,60 3,60 3,60 3,60 3,60 3,60

Viga 2 2,73 2,73 2,74 2,75 2,75 2,76

Viga 3 3,60 3,60 3,60 3,59 3,59 3,59

49

Viga 4 4,11 4,11 4,11 4,11 4,11 4,11

Viga 5 3,64 3,64 3,64 3,64 3,64 3,64

Viga 6 3,70 3,70 3,70 3,70 3,70 3,70

Viga 7 3,24 3,24 3,24 3,49 3,49 3,49

Viga 8 3,29 3,29 3,29 3,54 3,54 3,54

Viga 9 3,80 3,80 3,80 3,80 3,80 3,80

Tip

o 5

Viga 1 3,60 3,60 3,60 3,59 3,59 3,59

Viga 2 2,56 2,57 2,57 2,58 2,59 2,59

Viga 3 3,60 3,60 3,60 3,59 3,59 3,59

Viga 4 2,30 2,30 2,30 2,30 2,30 2,30

Viga 5 3,64 3,64 3,64 3,64 3,64 3,64

Viga 6 3,70 3,70 3,70 3,70 3,70 3,70

Viga 7 3,24 3,24 3,24 3,49 3,49 3,49

Viga 8 3,29 3,29 3,29 3,54 3,54 3,54

Viga 9 2,23 2,23 2,23 2,23 2,23 2,23

Tip

o 6

Viga 1 3,51 3,51 3,51 3,51 3,51 3,51

Viga 2 2,49 2,49 2,50 2,50 2,50 2,51

Viga 3 3,53 3,53 3,53 3,53 3,52 3,52

Viga 4 1,14 1,14 1,14 1,14 1,14 1,14

Viga 5 3,64 3,64 3,64 3,64 3,64 3,64

Viga 6 3,70 3,70 3,70 3,70 3,70 3,70

Viga 7 3,24 3,24 3,24 3,49 3,49 3,49

Viga 8 3,29 3,29 3,29 3,54 3,54 3,54

Viga 9 1,14 1,14 1,14 1,14 1,14 1,14

Tip

o 7

Viga 1 3,83 3,83 3,83 3,83 3,83 3,83

Viga 2 2,57 2,58 2,69 2,70 2,70 2,71

Viga 3 3,78 3,78 3,78 3,78 3,78 3,78

Viga 4 0,87 0,87 0,87 0,87 0,87 0,87

Viga 5 3,67 3,67 3,67 3,67 3,67 3,67

Viga 6 3,73 3,73 3,73 3,73 3,73 3,73

Viga 7 3,24 3,24 3,24 3,49 3,49 3,49

Viga 8 3,29 3,29 3,29 3,54 3,54 3,54

Viga 9 0,91 0,91 0,91 0,91 0,91 0,91

Fonte: Do autor,2010

O grfico 13, ilustra os resultados da viga V2, sendo que esta reproduz as

tendncias das demais vigas. Na nomenclatura das vigas, o V representa viga, o

primeiro nmero corresponde ao pavimento onde a viga se encontra, e o segundo

nmero corresponde numerao da viga no pavimento.

50

rea de Ao Momento Positivo

0

1

2

3

4

5

6

0% 20% 40% 60% 80% 95%


As (

cm

)

V02

V12

V22

V32

V42

V52

V62

V72

Figura 13 Grfico da rea de ao calculada nos vos Fonte: Do autor, 2010

De acordo com os resultados apresentados, as reas de ao calculadas

permanecem, na maioria das vigas, inalteradas, acompanhando os resultados dos

momentos fletores. Em poucos casos como na viga V2, ela sofre uma pequena

variao, menos de 1% de diferena, e, portanto, no acarreta nenhuma diferena

no detalhamento final das armaduras.

Como pode ser observado, as reas de ao calculadas so condizentes com

os valores de momento fletor da anlise anterior. Porm, em algumas vigas, como

por exemplo, o caso das vigas V7 e V8, h uma diferena entre reas de ao

calculadas para uma mesma viga, para diferentes coeficientes de reduo toro,

mesmo sendo o mesmo momento positivo adotado no calculo da armadura.

Portanto, nessa verificao, fica mais claro o efeito da considerao da toro

de compatibilidade. Para coeficientes mais baixos de reduo, surgiu a necessidade

de armadura de toro, ento, esses valores apresentados como resultados no

condizem com o valor realmente necessrio de armadura para o correto

dimensionamento da armadura longitudinal destas vigas.

4.2.1.2 Resultados Momentos Mximos negativos

51

Para a anlise do momento fletor negativo, foi considerado apenas o mximo

valor encontrado em cada viga, independente do n que este valor representa.

Os valores encontrados no clculo das vigas podem ser visualizados na

tabela 3.

Tabela 3 Momentos mximos negativos

Momentos Mximos Negativos nas Vigas (kN.m)


0%

20%

40%

60%

80%

95%

Ba

ldra

me

Viga 1 -54,63 -54,65 -54,67 -54,69 -54,71 -54,72

Viga 2 -75,95 -75,91 -75,87 -75,82 -75,78 -75,74

Viga 3 -54,98 -55 -55,01 -55,03 -55,05 -55,07

Viga 4 -128,21 -128,21 -128,21 -128,21 -128,21 -128,22

Viga 5 0 0 0 0 0 0

Viga 6 0 0 0 0 0 0

Viga 7 0 0 0 0 0 0

Viga 8 0 0 0 0 0 0

Viga 9 -128,42 -128,42 -128,43 -128,43 -128,43 -128,43

Tip

o 1

Viga 1 -118,86 -118,86 -118,87 -118,87 -118,87 -118,88

Viga 2 -150,86 -150,95 -151,04 -130,35 -151,23 -151,29

Viga 3 -121,67 -121,71 -121,74 -121,77 -121,8 -121,83

Viga 4 -147,66 -147,46 -147,66 -147,66 -147,66 -147,66

Viga 5 0 0 0 0 0 0

Viga 6 0 0 0 0 0 0

Viga 7 0 0 0 0 0 0

Viga 8 0 0 0 0 0 0

Viga 9 -150,54 -150,54 -150,54 -150,54 -150,54 -150,54

Tip

o 2

Viga 1 -112,14 -112,19 -112,25 -112,3 -112,36 -112,4

Viga 2 -145,19 -145,28 -145,37 145,46 -145,55 -145,62

Viga 3 -115,38 -115,41 -115,44 -115,47 -115,5 -115,53

Viga 4 -134,92 -134,92 -134,92 -134,92 -134,92 -134,92

Viga 5 0 0 0 0 0 0

Viga 6 0 0 0 0 0 0

Viga 7 0 0 0 0 0 0

Viga 8 0 0 0 0 0 0

Viga 9 -138,11 -138,11 -138,11 -138,1 -138,1 -138,1

Tip

o 3

Viga 1 -103,75 -103,81 -103,86 -103,91 -103,96 -104

Viga 2 -135,46 -135,55 -135,65 -135,75 -135,85 -135,92

Viga 3 -107,03 -103,45 -107,09 -107,12 -107,15 -107,17

Viga 4 -114,94 -114,94 -114,94 -114,94 -114,94 -114,94

Viga 5 0 0 0 0 0 0

Viga 6 0 0 0 0 0 0

Viga 7 0 0 0 0 0 0

Viga 8 0 0 0 0 0 0

52

Viga 9 -118,31 -118,31 -118,31 -118,3 -118,3 -118,03 T

ipo

4

Viga 1 -94,44 -94,49 -94,54 -94,59 -94,64 -94,68

Viga 2 -124,83 -124,94 -125,04 -125,15 -125,25 -125,33

Viga 3 -97,73 -97,76 -97,79 -97,81 -97,84 -97,86

Viga 4 -92,78 -92,78 -92,78 -92,78 -92,78 -92,78

Viga 5 0 0 0 0 0 0

Viga 6 0 0 0 0 0 0

Viga 7 0 0 0 0 0 0

Viga 8 0 0 0 0 0 0

Viga 9 -96,32 -96,32 -96,31 -96,31 -96,3 -96,3

Tip

o 5

Viga 1 -86,13 -86,18 -86,23 -86,28 -86,33 -86,37

Viga 2 -115,45 -115,58 -115,71 -115,84 -115,97 -116,07

Viga 3 -89,84 -89,86 -89,88 89,91 -89,93 -89,95

Viga 4 -71,08 -71,08 -71,08 -71,08 -71,08 -71,08

Viga 5 0 0 0 0 0 0

Viga 6 0 0 0 0 0 0

Viga 7 0 0 0 0 0 0

Viga 8 0 0 0 0 0 0

Viga 9 -74,72 -74,71 -74,71 -74,7 -74,7 -74,7

Tip

o 6

Viga 1 -80,16 -80,2 -80,25 -80,29 -80,34 -80,38

Viga 2 -110,32 -110,45 -110,58 -110,72 -110,85 -110,95

Viga 3 -83,84 -83,86 -83,88 -83,9 -83,92 -83,93

Viga 4 -53,1 -53,1 -53,1 -53,1 -53,1 -53,1

Viga 5 0 0 0 0 0 0

Viga 6 0 0 0 0 0 0

Viga 7 0 0 0 0 0 0

Viga 8 0 0 0 0 0 0

Viga 9 -56,89 -56,88 -56,88 -56,88 -56,87 -56,87

Tip

o 7

Viga 1 -82,90 -82,92 -82,93 -82,94 -82,96 -82,97

Viga 2 -102,12 -102,27 -102,41 -102,56 -102,71 -102,82

Viga 3 -85,59 -85,62 -85,65 -85,68 -85,71 -85,73

Viga 4 -40,54 -40,54 -40,54 -40,54 -40,54 -40,54

Viga 5 0 0 0 0 0 0

Viga 6 0 0 0 0 0 0

Viga 7 0 0 0 0 0 0

Viga 8 0 0 0 0 0 0

Viga 9 -43,76 -43,76 -43,75 -43,75 -43,74 -43,74

Fonte; do autor,2010

O grfico 14 ilustra o comportamento dos momentos fletores negativos das

vigas V2 e V9. (onde, o nmero decimal da viga, corresponde ao pavimento em que

ela se encontra)

53

Momento Mximo Negativo

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0% 20% 40% 60% 80% 95%


Md

(kN

.m)

V02

V09

V12

V19

V22

V29

V32

V39

V42

V49

V52

V59

V62

V69

V72

V79

Figura 14 Grfico dos Momentos Negativos Fonte: Do autor, 2010

Novamente, assim como os momentos positivos, os momentos negativos, no

sofrem uma grande variao para os diferentes coeficientes de reduo. Essa

variao do modulo do momento, quando ocorre, como no caso da viga V2, no

chega a representar 1% de diferena, no causando assim, alterao no

dimensionamento final das armaduras.

As vigas V5, V6, V7 e V8 so vigas bi-apoiadas, e consideradas rotuladas-

rotuladas.

Vale tambm ressaltar, que a reduo dos valores de momento conforme

elevao do numero do pavimento deve-se ao modelo de analise estrutural, e no

possui relao direta com o coeficiente de reduo a toro.

4.2.1.2.1 Resultados rea de Ao Calculada para momento mximo negativo

A apresentao dos valores de rea de ao calculada serve para legitimar os

resultados dos momentos fletores negativos mximos apresentados anteriormente.

A tabela 4 exibe as reas de ao calculadas para os momentos negativos

mximos.

54

Tabela 4 rea de ao calculada MMN

rea de Ao Calculada para Momento Maximo Negativo (cm)


0%

20%

40%

60%

80%

95%

Ba

ldra

me

Viga 1 3,79 3,79 3,79 3,79 3,80 3,80

Viga 2 5,86 5,85 5,85 5,85 5,84 5,84

Viga 3 3,81 3,81 3,81 3,81 3,81 3,82

Viga 4 9,46 9,46 9,46 9,46 9,46 9,46

Viga 5 0 0 0 0 0 0

Viga 6 0 0 0 0 0 0

Viga 7 0 0 0 0 0 0

Viga 8 0 0 0 0 0 0

Viga 9 9,49 9,49 9,49 9,49 9,49 9,49

Tip

o 1

Viga 1 8,39 8,39 8,39 8,39 8,39 8,39

Viga 2 11,02 11,02 11,03 11,04 11,04 11,05

Viga 3 8,80 8,80 8,81 8,81 8,81 8,81

Viga 4 10,79 10,79 10,79 10,79 10,79 10,79

Viga 5 0 0 0 0 0 0

Viga 6 0 0 0 0 0 0

Viga 7 0 0 0 0 0 0

Viga 8 0 0 0 0 0 0

Viga 9 10,99 10,99 10,99 10,99 10,99 10,99

Tip

o 2

Viga 1 7,94 7,94 7,94 7,95 7,95 7,95

Viga 2 10,42 10,43 10,43 10,44 10,45 10,45

Viga 3 8,15 8,16 8,16 8,16 8,16 8,16

Viga 4 9,71 9,71 9,71 9,71 9,71 9,71

Viga 5 0 0 0 0 0 0

Viga 6 0 0 0 0 0 0

Viga 7 0 0 0 0 0 0

Viga 8 0 0 0 0 0 0

Viga 9 9,93 9,93 9,93 9,93 9,93 9,93

Tip

o 3

Viga 1 7,38 7,38 7,38 7,39 7,39 7,39

Viga 2 9,75 9,76 9,76 9,77 9,78 9,78

Viga 3 7,60 7,60 7,60 7,60 7,60 7,60

Viga 4 8,12 8,12 8,12 8,12 8,12 8,12

Viga 5 0 0 0 0 0 0

Viga 6 0 0 0 0 0 0

Viga 7 0 0 0 0 0 0

Viga 8 0 0 0 0 0 0

Viga 9 8,35 8,35 8,35 8,35 8,35 8,35

Tip

o 4

Viga 1 6,75 6,76 6,76 6,76 6,77 6,77

Viga 2 9,02 9,03 9,03 9,04 9,05 9,05

55

Viga 3 6,97 6,98 6,98 6,98 6,98 6,98

Viga 4 6,64 6,64 6,64 6,64 6,64 6,64

Viga 5 0 0 0 0 0 0

Viga 6 0 0 0 0 0 0

Viga 7 0 0 0 0 0 0

Viga 8 0 0 0 0 0 0

Viga 9 6,88 6,88 6,88 6,88 6,88 6,88

Tip

o 5

Viga 1 6,29 6,29 6,29 6,30 6,30 6,30

Viga 2 8,16 8,17 8,18 8,18 8,19 8,20

Viga 3 6,45 6,45 6,45 6,45 6,45 6,45

Viga 4 5,08 5,08 5,08 5,08 5,08 5,08

Viga 5 0 0 0 0 0 0

Viga 6 0 0 0 0 0 0

Viga 7 0 0 0 0 0 0

Viga 8 0 0 0 0 0 0

Viga 9 5,51 5,51 5,51 5,51 5,51 5,51

Tip

o 6

Viga 1 5,88 5,88 5,89 5,89 5,89 5,9

Viga 2 7,82 7,82 7,83 7,84 7,85 7,86

Viga 3 6,13 6,13 6,13 6,14 6,14 6,14

Viga 4 3,48 3,48 3,48 3,48 3,48 3,48

Viga 5 0 0 0 0 0 0

Viga 6 0 0 0 0 0 0

Viga 7 0 0 0 0 0 0

Viga 8 0 0 0 0 0 0

Viga 9 3,77 3,77 3,77 3,77 3,77 3,77

Tip

o 7

Viga 1 6,07 6,07 6,07 6,07 6,07 6,07

Viga 2 7,27 7,28 7,29 7,30 7,31 7,31

Viga 3 6,25 6,25 6,25 6,26 6,26 6,26

Viga 4 2,47 2,47 2,47 2,47 2,47 2,47

Viga 5 0 0 0 0 0 0

Viga 6 0 0 0 0 0 0

Viga 7 0 0 0 0 0 0

Viga 8 0 0 0 0 0 0

Viga 9 2,81 2,81 2,81 2,81 2,81 2,81

Fonte: do autor, 2010

De acordo com o apresentado na tabela 4, as reas de ao calculadas no

sofrem uma variao que possa significar relevncia nos resultados finais para

armadura negativa. Essa variao em funo do coeficiente de reduo na toro

para as vigas no chega a alcanar 1% de diferena para nenhuma das vigas

analisadas.

O grfico 15, apresentado a seguir demonstra a variao dos momentos

negativos mximos da viga V2 em todos os pavimentos da estrutura.

56

rea de Ao Momento Negativo

5

6

7

8

9

10

11

12

0% 20% 40% 60% 80% 95%

Coeficiente de reduo

As

(c

m)

V02

V12

V22

V32

V42

V52

V62

V72

Figura 15 Grfico da rea de ao calculada nos apoios Fonte: Do autor, 2010

A anlise deste grfico permite concluir que no existe mesmo variao na rea de ao calculada, ou quando ela existe, muito pequena, no atingindo em nenhuma das vigas 1% de diferena quando comparados os mdulos com 0% e 95% de reduo da toro.

4.2.2 Anlise das Deformaes

4.2.2.1 Resultados Flechas

Os valores apresentados para flechas mximas nas vigas correspondem as

flechas elsticas. A avaliao destas flechas feita considerando a seo bruta do

concreto (inrcia no-fissurada) em que os elementos possam ter as deformaes

especficas determinadas no estdio I. Para este modelo de clculo utiliza-se o

mdulo de elasticidade secante (Ecs).

A tabela 5 apresenta os resultados encontrados para flechas elsticas. So

considerados apenas os valores mximos de cada viga, no importando o vo em

que eles ocorrem.

57

Tabela 5 Flechas nas vigas Flechas Mximas nas Vigas

(cm)


0%

20%

40%

60%

80%

95%

Ba

ldra

me

Viga 1 0,14 0,14 0,14 0,14 0,14 0,14

Viga 2 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10 0,10

Viga 3 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15

Viga 4 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15

Viga 5 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21

Viga 6 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21 0,21

Viga 7 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20

Viga 8 0,19 0,19 0,19 0,19 0,19 0,19

Viga 9 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15

Tip

o 1

Viga 1 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86

Viga 2 0,64 0,64 0,64 0,64 0,64 0,64

Viga 3 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85

Viga 4 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27

Viga 5 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54

Viga 6 1,53 1,53 1,53 1,53 1,53 1,53

Viga 7 1,36 1,36 1,36 1,36 1,36 1,36

Viga 8 1,39 1,39 1,39 1,39 1,39 1,39

Viga 9 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28

Tip

o 2

Viga 1 0,91 0,91 0,91 0,91 0,91 0,91

Viga 2 0,74 0,74 0,74 0,74 0,74 0,74

Viga 3 0,89 0,89 0,89 0,89 0,89 0,89

Viga 4 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30 0,30

Viga 5 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59

Viga 6 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60

Viga 7 1,45 1,45 1,45 1,45 1,45 1,45

Viga 8 1,47 1,47 1,47 1,47 1,47 1,47

Viga 9 0,33 0,33 0,33 0,33 0,33 0,33

Tip

o 3

Viga 1 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97 0,97

Viga 2 0,83 0,83 0,83 0,83 0,83 0,83

Viga 3 0,95 0,95 0,95 0,95 0,95 0,95

Viga 4 0,34 0,34 0,34 0,34 0,34 0,34

Viga 5 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67

Viga 6 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67

Viga 7 1,53 1,53 1,53 1,53 1,53 1,53

Viga 8 1,55 1,55 1,55 1,55 1,55 1,55

Viga 9 0,36 0,36 0,36 0,36 0,36 0,36

Tip

o 4

Viga 1 1,01 1,01 1,01 1,01 1,01 1,01

Viga 2 0,91 0,91 0,91 0,91 0,91 0,91

Viga 3 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

Viga 4 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35 0,35

Viga 5 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72

Viga 6 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72

58

Viga 7 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59

Viga 8 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61

Viga 9 0,38 0,38 0,38 0,38 0,38 0,38

Tip

o 5

Viga 1 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05

Viga 2 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96

Viga 3 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03

Viga 4 0,38 0,38 0,38 0,38 0,38 0,38

Viga 5 1,76 1,76 1,76 1,76 1,76 1,76

Viga 6 1,77 1,77 1,77 1,77 1,77 1,77

Viga 7 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64

Viga 8 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65

Viga 9 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40

Tip

o 6

Viga 1 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05

Viga 2 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99

Viga 3 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03

Viga 4 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39

Viga 5 1,78 1,78 1,78 1,78 1,78 1,78

Viga 6 1,79 1,79 1,79 1,79 1,79 1,79

Viga 7 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66

Viga 8 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68

Viga 9 0,42 0,42 0,42 0,42 0,42 0,42

Tip

o 7

Viga 1 1,17 1,17 0,17 1,17 1,17 1,17

Viga 2 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04

Viga 3 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15

Viga 4 0,42 0,42 0,42 0,42 0,42 0,42

Viga 5 1,86 1,86 1,86 1,86 1,86 1,86

Viga 6 1,86 1,86 1,86 1,86 1,86 1,86

Viga 7 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70

Viga 8 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72

Viga 9 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45 0,45


A figura 16 mostra os resultados das flechas elsticas calculadas para a viga

V2, e conseqentemente acaba reproduzindo a mesma tendncia de todas as outras

vigas.

59

Flechas Mximas nas Vigas

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

11,11,2

0% 20% 40% 60% 80% 95%


Fle

ch

a (

cm

)

V02

V12

V22

V32

V42

V52

V62

V72

Figura 16 Grfico das Flechas nas vigas Fonte: Do autor, 2010

Como pode ser visto na tabela 5 e na figura 16, as flechas no sofrem

nenhuma variao nos seus valores, quando aplicados diferentes coeficientes de

reduo da toro.

4.2.3 Anlise dos Momentos Torores

4.2.3.1 Momentos Torores considerando Vento na estrutura e lajes sem

continuidade

4.2.3.1.1 Resultados dos Momentos

Nesta anlise, alm da considerao de vento atuando sobre a estrutura, as

lajes dos pavimentos so consideradas simplesmente apoiadas nas vigas de

contorno. Portanto, no existem momentos negativos nas lajes.

A tabela 6 apresenta as solicitaes de esforos torores nas vigas, para

diferentes coeficientes de reduo da toro.

60

Tabela 6 Momento toror (condio 1) Momentos Torores Mximos nas Vigas

kN.m.m)


0%

20%

40%

60%

80%

95%

Ba

ldra

me

Viga 1 0,08 0,07 0,05 0,03 0,02 0

Viga 2 0,22 0,17 0,13 0,09 0,04 0,01

Viga 3 0,08 0,07 0,05 0,03 0,02 0

Viga 4 0,08 0,06 0,05 0,03 0,02 0

Viga 5 0,31 0,25 0,19 0,12 0,06 0,02

Viga 6 0,44 0,35 0,26 0,18 0,09 0,02

Viga 7 0,14 0,11 0,08 0,06 0,03 0,01

Viga 8 0,46 0,37 0,28 0,18 0,09 0,02

Viga 9 0,07 0,06 0,04 0,03 0,01 0

Tip

o 1

Viga 1 0,06 0,05 0,04 0,02 0,01 0

Viga 2 0,18 0,14 0,11 0,07 0,04 0,01

Viga 3 0,06 0,05 0,04 0,02 0,01 0

Viga 4 0,23 0,18 0,14 0,09 0,05 0,01

Viga 5 0,51 0,41 0,31 0,20 0,10 0,03

Viga 6 0,57 0,46 0,34 0,23 0,12 0,03

Viga 7 0,94 0,75 0,57 0,38 0,19 0,05

Viga 8 1,12 0,9 0,68 0,45 0,23 0,06

Viga 9 0,18 0,14 0,11 0,07 0,04 0,01

Tip

o 2

Viga 1 0,07 0,06 0,04 0,03 0,01 0

Viga 2 0,19 0,16 0,12 0,08 0,04 0,01

Viga 3 0,07 0,06 0,04 0,03 0,01 0

Viga 4 0,17 0,14 0,1 0,07 0,03 0,01

Viga 5 0,48 0,38 0,29 0,19 0,1 0,02

Viga 6 0,54 0,43 0,32 0,22 0,11 0,03

Viga 7 0,91 0,73 0,55 0,37 0,18 0,05

Viga 8 1,05 0,84 0,63 0,42 0,21 0,05

Viga 9 0,14 0,11 0,08 0,06 0,03 0,01

Tip

o 3

Viga 1 0,06 0,05 0,03 0,02 0,01 0

Viga 2 0,15 0,12 0,09 0,06 0,03 0,01

Viga 3 0,06 0,05 0,03 0,02 0,01 0

Viga 4 0,16 0,13 0,1 0,06 0,03 0,01

Viga 5 0,42 0,34 0,26 0,17 0,09 0,02

Viga 6 0,46 0,37 0,28 0,19 0,09 0,02

Viga 7 0,90 0,72 0,54 0,36 0,18 0,02

Viga 8 0,98 0,78 0,59 0,39 0,20 0,05

Viga 9 0,12 0,1 0,07 0,05 0,03 0,01

Tip

o 4

Viga 1 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0

Viga 2 0,12 0,09 0,07 0,05 0,02 0,01

Viga 3 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0

Viga 4 0,14 0,11 0,08 0,06 0,03 0,01

Viga 5 0,36 0,29 0,22 0,15 0,07 0,02

61

Viga 6 0,38 0,30 0,23 0,15 0,08 0,02

Viga 7 0,88 0,71 0,53 0,36 0,18 0,04

Viga 8 0,89 0,72 0,54 0,36 0,18 0,05

Viga 9 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,01

Tip

o 5

Viga 1 0,04 0,03 0,02 0,02 0,01 0

Viga 2 0,08 0,07 0,05 0,03 0,02 0

Viga 3 0,04 0,03 0,02 0,02 0,01 0

Viga 4 0,13 0,10 0,08 0,05 0,03 0,01

Viga 5 0,31 0,24 0,18 0,12 0,06 0,02

Viga 6 0,29 0,24 0,18 0,12 0,06 0,01

Viga 7 0,88 0,70 0,53 0,35 0,18 0,04

Viga 8 0,84 0,67 0,51 0,34 0,17 0,04

Viga 9 0,09 0,07 0,05 0,04 0,02 0

Tip

o 6

Viga 1 0,02 0,02 0,01 0,01 0 0

Viga 2 0,04 0,03 0,02 0,02 0,01 0

Viga 3 0,02 0,02 0,01 0,01 0 0

Viga 4 0,08 0,07 0,05 0,03 0,02 0

Viga 5 0,26 0,21 0,16 0,10 0,05 0,01

Viga 6 0,23 0,19 0,14 0,09 0,05 0,01

Viga 7 0,86 0,69 0,52 0,35 0,17 0,04

Viga 8 0,77 0,62 0,47 0,31 0,16 0,04

Viga 9 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0

Tip

o 7

Viga 1 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0

Viga 2 0,07 0,06 0,04 0,03 0,01 0

Viga 3 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0

Viga 4 0,24 0,19 0,14 0,10 0,05 0,01

Viga 5 0,20 0,16 0,12 0,08 0,04 0,01

Viga 6 0,14 0,11 0,08 0,06 0,03 0,01

Viga 7 0,93 0,75 0,56 0,38 0,19 0,05

Viga 8 0,84 0,68 0,51 0,34 0,17 0,04

Viga 9 0,16 0,13 0,10 0,07 0,03 0,01


O grfico 17 ilustra os esforos de toro das vigas V7 e V8. Sendo que o

primeiro decimal da nomenclatura das vigas corresponde ao pavimento em que elas

se encontram.

62

Momento Toror

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0% 20% 40% 60% 80% 95%


Mtd

(kN

.m)

V07

V08

V17

V18

V27

V28

V37

V38

V47

V48

V57

V58

V67

V68

V77

V78

Figura 17 Grfico dos Momentos Torores (condio 1) Fonte: Do autor, 2010

Atravs dos resultados apresentados na tabela 6, e pela anlise do grfico 17,

de maneira geral, pode-se afirmar que quanto maior for o coeficiente da reduo da

toro, menor o momento toror solicitante nas vigas, e que a reduo desses

valores segue uma tendncia linear, chegando a praticamente 0 (zero) com 95% de

reduo.

Outra caracterstica que se fez presente nos resultados foi que os maiores

valores de momento toror ocorreram em vigas internas da estrutura, caso das vigas

V5, V6, V7 e V8, que so vigas bi-apoiadas e possuem duas lajes adjacentes com

diferentes vos.

O tamanho dos vos das lajes acabou sendo determinante para o mdulo dos

momentos torores nas vigas V5, V6, V7 e V8, sendo que, quanto maior o valor

destes, maior tambm o esforo de toro apresentado.

Outra considerao importante que, quanto menor a diferena dos vos de

duas lajes adjacentes, menor se torna os valores de momento de toro solicitantes.

Essa situao fica mais evidenciada quando se analisa os esforos nas vigas

pavimento a pavimento.

63

4.2.3.2 Momentos Torores sem considerar Vento e lajes sem continuidade

4.2.3.2.1 Resultados dos Momentos

Nesta anlise, as foras provocadas pelo vento no foram consideradas no

processamento da estrutura, e lajes dos pavimentos foram consideradas

simplesmente apoiadas nas vigas de contorno, no existindo, portanto, momentos

negativos nas lajes.

A tabela 7 apresenta as solicitaes de esforos torores nas vigas, para

diferentes coeficientes de reduo da toro.

Tabela 7 Momento toror (condio 2) Momentos Torores Mximos nas Vigas

(kN.m.m)


0%

20%

40%

60%

80%

95%

Ba

ldra

me

Viga 1 0,01 0,01 0,01 0 0 0

Viga 2 0,02 0,01 0,01 0,01 0 0

Viga 3 0,01 0,01 0,01 0 0 0

Viga 4 0,02 0,02 0,01 0,01 0 0

Viga 5 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0

Viga 6 0,06 0,05 0,04 0,02 0,01 0

Viga 7 0,08 0,07 0,05 0,03 0,02 0

Viga 8 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,01

Viga 9 0,01 0,01 0,01 0 0 0

Tip

o 1

Viga 1 0,02 0,02 0,01 0,01 0 0

Viga 2 0,01 0,01 0,01 0,01 0 0

Viga 3 0,02 0,02 0,01 0,01 0 0

Viga 4 0,17 0,14 0,1 0,07 0,03 0,01

Viga 5 0,24 0,19 0,14 0,1 0,05 0,01

Viga 6 0,16 0,13 0,1 0,07 0,03 0,01

Viga 7 0,91 0,73 0,55 0,37 0,18 0,05

Viga 8 0,83 0,67 0,5 0,33 0,17 0,04

Viga 9 0,12 0,09 0,07 0,05 0,02 0,01

Tip

o 2

Viga 1 0,02 0,01 0,01 0,01 0 0

Viga 2 0,01 0,01 0,01 0,01 0 0

Viga 3 0,02 0,01 0,01 0,01 0 0

Viga 4 0,12 0,1 0,07 0,05 0,02 0,01

Viga 5 0,24 0,19 0,14 0,1 0,05 0,01

Viga 6 0,17 0,14 0,1 0,07 0,05 0,01

Viga 7 0,89 0,71 0,53 0,36 0,18 0,04

Viga 8 0,79 0,64 0,48 0,32 0,16 0,04

Viga 9 0,08 0,07 0,05 0,03 0,02 0

64

Tip

o 3

Viga 1 0,02 0,02 0,01 0,01 0 0

Viga 2 0,01 0,01 0,01 0 0 0

Viga 3 0,02 0,01 0,01 0,01 0 0

Viga 4 0,12 0,1 0,07 0,05 0,02 0,01

Viga 5 0,22 0,18 0,13 0,09 0,05 0,01

Viga 6 0,16 0,13 0,1 0,06 0,03 0,01

Viga 7 0,88 0,71 0,53 0,35 0,18 0,04

Viga 8 0,78 0,63 0,47 0,32 0,16 0,04

Viga 9 0,08 0,07 0,05 0,03 0,02 0

Tip

o 4

Viga 1 0,02 0,01 0,01 0,01 0 0

Viga 2 0,01 0,01 0,01 0 0 0

Viga 3 0,02 0,01 0,01 0,01 0 0

Viga 4 0,11 0,09 0,07 0,05 0,02 0,01

Viga 5 0,21 0,17 0,13 0,09 0,04 0,01

Viga 6 0,15 0,12 0,09 0,06 0,03 0,01

Viga 7 0,87 0,70 0,53 0,35 0,18 0,04

Viga 8 0,77 0,62 0,46 0,31 0,16 0,04

Viga 9 0,07 0,06 0,04 0,03 0,02 0

Tip

o 5

Viga 1 0,02 0,02 0,01 0,01 0 0

Viga 2 0,01 0,01 0 0 0 0

Viga 3 0,02 0,01 0,01 0,01 0 0

Viga 4 0,12 0,09 0,07 0,05 0,02 0,01

Viga 5 0,2 0,16 0,12 0,08 0,04 0,01

Viga 6 0,14 0,11 0,08 0,06 0,03 0,01

Viga 7 0,87 0,7 0,52 0,35 0,18 0,04

Viga 8 0,76 0,61 0,46 0,31 0,15 0,04

Viga 9 0,08 0,06 0,05 0,03 0,02 0

Tip

o 6

Viga 1 0,01 0,01 0,01 0 0 0

Viga 2 0 0 0 0 0 0

Viga 3 0,01 0,01 0,01 0 0 0

Viga 4 0,08 0,06 0,05 0,03 0,02 0

Viga 5 0,2 0,16 0,12 0,08 0,04 0,01

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redução rigidez torção vigas e pilares