Regra Derivadas

Ensino Superior

Clculo 1

2.1- Regras de Derivao

Amintas Paiva Afonso

1. REGRAS DE DERIVAO

Considere u e v funes derivveis de x, com k IR e n IR.

As principais regras de derivao e derivadas das principais funes elementares segundo a Regra da Cadeia so:

Regras de derivao

R1 - Derivada de uma funo constante

Se k uma constante e f(x) = k para todo x, ento f(x) = 0.

Exemplo

Seja f(x) = 5 f(x) = 0.

Se aplicarmos a definio:

xxfxxfxf

x

)()(lim)(' 1101

00lim55lim)('001

xx x

xf

Clculo 1 - Derivadas


R2 - Derivada de uma funo potnciaSe n um nmero inteiro positivo e f(x) = xn, ento:f(x) = n. xn-1

Exemplo: Seja f(x) = x5 f(x) = 5x4.

R3 - Derivada de uma funo multiplicada por kSejam f uma funo, k uma constante e g a funo definida por g(x) = k.f(x), ento:

g(x) = k.f(x). Exemplo: f(x) = 8x2 f(x) = 8.(2x) = 16x


R4 - Derivada da Soma Sejam f e g duas funes e h a funo definida por

h(x) = f(x) + g(x). A derivada da soma : h(x) = f(x) + g(x).

Exemplo: f(x) = 3x4 + 8x + 5 f(x) = 3.(4x3) + 8.1 + 0 = f(x) = 12x3 + 8

R5 - Derivada do Produto Sejam f e g duas funes e h a funo definida por

h(x) = f(x) . g(x). A derivada do produto :h(x) = f (x) . g(x) + f(x).g(x) y = u.v + u.v

Exemplo f(x) = (2x3 - 1)(x4 + x2) f(x) = (2x3 - 1).(4x3 + 2x) + (x4 + x2).6x2


R6 - Derivada do quociente Sejam f e g duas funes e h a funo definida por

h(x) = f(x) / g(x). A derivada do quociente :

Exemplo:

2)]([)(').()(').()('

xgxgxfxfxgxh

3532)( 2

4

xxxxf 22

432

)35()52)(32()04.2).(35()('

xxxxxxxxf

22

432

)35()52)(32()8).(35()('

xxxxxxxxf

2'.'.'

vvuuvy

Exerccios de Fixao

R1 - Derivada de uma funo constante

Se c uma constante e f(x) = c para todo x, ento f(x) = 0.

a)

b)

c)

8y 3y

5y

a)

b)

c)

cosy)3( seny

ey R2 - Derivada de uma funo potncia

Se n um nmero inteiro positivo e f(x) = xn, ento f(x) = n. xn-1.

a)

b)

c)

8xy 3

xy2/1xy


R3 - Derivada de uma funo multiplicada por uma constante

Sejam f uma funo, k uma constante e g a funo definida por g(x) = k.f(x) g(x) = k.f(x).

a)

b)

c)

82xy 36 xy2/14xy

d)

e)

f)

35 xy3/238 xy

baexy /

g)

h)

i)

3/5 xy3/2/1 xy

baxey //


R4 - Derivada da Soma e da DiferenaSejam f e g duas funes e h a funo definida por h(x) = f(x) + g(x).A derivada da soma : h(x) = f (x) + g(x)

A derivada da diferena : h(x) = f (x) - g(x)

xxy 82

xxy 26 3

234 2/1 xxy

45 3 xy3/13/238 xxy

23 3/5 xxy

xxy 2/1 3/2

23

2

3 xxy xba

xba

xy

25


R5 - Derivada do Produto Sejam f e g duas funes e h a funo definida por h(x) = f(x).g(x). A

derivada do produto h(x) = f(x) . g(x) + f (x) . g(x).

a)

b)

c)

xxy 82xxy 2.6 3xxy 3.4 2/1

d)

e)

f)

xxy 4.5 33/13/23 .8 xxy

g)

h)

i)

23 3./5 xxyxxy 2./1 3/2

1613

xx

xy 2312 xxxy


R6 - Derivada do quociente Sejam f e g duas funes e h a funo definida por h(x) = f(x)/g(x)

A derivada do quociente :

2)]([)(').()(').()('

xgxgxfxfxgxh

a)

b)

c)

)1/()2( 8 xxxy 32/6 3 xxy

d)

e)

f)

)23/(5 3 xxy3/13/23 /8 xxy

g)

h)

i)

xxxy 2/)2( 3/2

23/12 xxxy 2

3

31

x

xy 22

42xb

xy

xaxay


R7 - Seja f(x) = sen x, a derivada do seno f(x) = cos x.

R8 - Seja f(x) = cos x, a derivada do cosseno f(x) = - sen x.

R9 - Seja f(x) = cotg x, a derivada da cotangente f(x) = - cosec2 x.

R10 - f(x) = sec x, a derivada da secante f(x) = sec x . tg x.

R11 - f(x) = cosec x, a derivada da cosec f(x) = -cosec x . cotg x.


Exemplo Calcule a derivada de h(x) = (2x + 1)10.

A funo h(x) composta, f(x) = x10 e g(x) = 2x + 1.Pela regra da cadeia, temosh(x) = f(g(x)) . g(x) = 10.(2x + 1)9.2 = 20(2x + 1)9

R12 - Regra da Cadeia Se f e g so funes diferenciveis, ento a derivada da

funo composta f(g(x)) dada por: [f(g(x))] = f(g(x)) . g(x)


R12) Regra da Cadeia Se f e g so funes diferenciveis, ento a derivada da funo

composta f(g(x)) dada por: [f(g(x)] = f(g(x)) . g(x)

a)

b)

c)

8)32( xy

d)

e)

f)

522 axy 331 xy

3

xaxay

xxy

11

22 32 xy


R13 - Derivada da funo logartmica natural

Seja f(x) = lnx, sua derivada ; f(x) = 1/x.

Exemplo:

xxxx

xxxf

entoxxxf

22

2

316)16.(

31)('

),3ln()(

10ln.1)('

,log)( 10

xxf

entoxxf

R14 - Derivada da funo logartmica de base a Seja f(x) = loga(x), sua derivada ; f(x) = 1/x . lna

Exemplo:


R15 - Derivada da funo exponencial de base e

Seja f(x) = ex, sua derivada a prpria f(x) = ex.

R16 - Derivada da funo exponencial de base a

Seja f(x) = ax, sua derivada : f(x) = ax . lna

(u + v) = +

+

DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAO DE LAGRANGE

= 0 dk = 0 (k)= 0

d(ku) = 0 (ku)= 0

d(u+v) = du+dv (u+v)= u+ v

d(u.v) = vdu + udv (uv)= uv+vu

d(u/v) = (vdu udv)/v2 (u/v)= (uv vu)/v2

d(un) = n.un-1.du (un)= n.un-1.u

d(eu) = eu.du (eu)= eu.u

DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAO DE LAGRANGE

d(au) = au.lna.du (au) = au.lna.u

d(senu) = cosu.du (senu) = cosu.u

d(cosu) = - senu.du (cosu) = -senu.u

d(lnu) = (1/u).du (lnu)= (1/u).u

d(arctgu) = du/(1+u2)

(arctgu) = u/(1+u2)

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