Regras para esboço do Lugar das Raízes

1. O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de pólos do sistema;

2. O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real;

3. O eixo real que está a esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros finitos de malha aberta faz parte do lugar das raízes;

Regras para esboço do Lugar das Raízes

4. O lugar das raízes se inicia nos pólos finitos de malha aberta e termina nos zeros finitos e infinitos de malha aberta;

5. Os ramos do lugar das raízes que vão para infinito tendem a retas assintóticas fornecidas pelas equações:

,.....2,1,0

..

12

..

kondefinitoszerosNumfinitospólosNúm

k

finitoszerosNumfinitospólosNúm

finitoszerosfinitospólos

a

a

Refinando o Lugar das Raízes

1. Pontos de saída e pontos de chegada no eixo real:

2. Cruzamento com o eixo imaginário é feito através do critério de Routh obtendo o valor do ganho que esta na transição de estabilidade;

3. Ângulo de partida e chegada em pólos ou zeros complexos conjugados

n

i

m

i pz 11

11

Pontos de Chegada e de Saídado eixo real

• Exemplo: Esboce o lugar das raízes para

21

53

ss

ssksHsKG

n

i

m

i pz 11

11

Pontos de Saída e Chegada

0612611

21

12

53

35

2

1

1

1

5

1

3

1

2

82,3;45,1 21

Exemplo de lugar das raízes mostrando os

pontos de saída(–1) e entrada (2) no eixo real

Plano s

82,32

45,11

Exemplo de lugar das raízes mostrando os

pontos de cruzamento com o eixo imaginário

Plano s

82,32

45,11

375,0

355,2

K

j

j355,2

Exemplo: Trace o Lugar das Raízes para as duas Funções de Transferência mostradas abaixo e

observe que uma pequena mudança na posição do zero altera consideravelmente a forma do

Lugar das Raízes:

105,0

1

105,0

5,1

2

1

sss

sKsG

sss

sKsG

2897,0

8864,1

5738,4

5215,132

272,0

85,0641,35,75,31152

232

231

sG

jsG

Pólos e zeros a malha aberta e

cálculos de:a. ângulo de

saída;b. ângulo de

chegada

Exemplo: calcule os ângulos de partida para o

sistema

-1.0000 +1.0000i -1.0000 - 1.0000i

Lugar das raízes para o sistema da

Fig. 8.16 mostrando ângulo

de saída

o

o

o

o

565,26

45

90

4,108

4

3

2

1

o1804213

Determinando e calibrando os pontos exatos no lugar das raízes para cruzamento com linha de

%UP=20%

RaioÂngulo

(graus)

Plano s–158,4–180,0–199,9–230,4–251,5

0,50,7471,01,52,0

1,5

,5

0,45

421

3

ssss

sKsG

j655,0333,0