Regressão Linear

Estatstica Prof. Ricardo Lus Rocha

Regresso Linear

Unidade 3


Ementa

3.1 Reta dos mnimos quadrados

3.2 Ajuste da reta de regresso linear simples

Unidade 3 Regresso Linear


Na unidade anterior estudamos a medida da

intensidade de correlao entre duas variveis.

Se chegarmos concluso de que h uma grande

correlao linear entre as variveis, devemos

determinar qual relao essa.

A determinao da relao linear entre duas

variveis chamada de regresso linear.



Dada uma coleo de dados amostrais

emparelhados, a equao de regresso

descreve a relao entre as duas variveis. O grfico

da equao de regresso chamado de reta de

regresso (ou reta de melhor ajuste, ou reta de

mnimos quadrados).

xbby 10



Esta equao descreve a relao entre x (chamada

varivel independente ou varivel preditora) e

(chamada varivel dependente ou varivel

resposta).

Na equao, b0 chamado de intercepto y e b1 o

coeficiente angular.

Para o clculo de b0 e b1, utilizamos as frmulas a

seguir.

y



Repare que os dados necessrios para o clculo de b0e b1 so os mesmos para o clculo do coeficiente de

correlao linear r, o que torna a determinao de

uma reta de regresso muito simples aps o clculo

do coeficiente de correlao.

221

xxn

yxxynb

n

xbyb

1

0



Variao marginal:

Ao trabalharmos com duas variveis relacionadas

por uma equao de regresso, a variao marginal

em uma delas o quanto ela varia quando a outra

varivel sofre uma variao de exatamente uma

unidade. A variao marginal igual ao valor do

coeficiente angular da reta b1.



Outliers:

Em um diagrama de disperso, um ponto extremo

(outlier) um ponto que est muito afastado dos

demais pontos.

Pontos de influncia:

Os dados amostrais emparelhados podem conter um

ou mais pontos de influncia, que so pontos que

afetam fortemente o grfico da reta de regresso.



Predies:

As equaes de regresso podem ser teis quando

usadas para predizer o valor de uma varivel, dado

um valor determinado da outra varivel.

Se a reta de regresso se ajusta bem aos dados, ento

tem sentido utilizar uma equao para fazer

predies.



Na ausncia de correlao linear significativa, no

podemos usar a equao de regresso para projetar

ou predizer.

Em vez disso, a melhor estimativa da segunda

varivel simplesmente a sua mdia.

Devemos tambm lembrar que no podemos

extrapolar os valores da varivel independente, pois

no sabemos o comportamento da varivel

dependente y para valores no determinados de x.



Exemplo:

Os pesos de ursos machos podem ser determinados

pelo seu comprimento?

Como visto anteriormente, h uma correlao entre o

peso e o comprimento dos ursos.

Determine agora a reta de regresso que relacione o

peso dos ursos com o seu comprimento.

Comprimento em pol (x) 53,0 67,5 72,0 72,0 73,5 68,5 73,0 37,0

Peso em libras (y) 80 344 416 348 262 360 332 34



Resoluo: Como visto anteriormente, este o

grfico de disperso dos dados.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 10 20 30 40 50 60 70 80



Calculando agora o valor de b0 e b1:

221

xxn

yxxynb

659,975,9433

91128

5,51675,345258

21765,516151879821

b

66,3518

5,516659,921760

b

n

xbyb

1

0

Equao da reta: = 9,659x 351,66y



A reta de regresso ser:

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 10 20 30 40 50 60 70 80



Desta forma, podemos agora prever quanto pesar

um urso macho que mea 71,0 polegadas:

= 9,659x 351,66

= 9,659.71 351,66

= 334,13 libras

A variao marginal de 9,659, que diz que para

cada polegada de tamanho que o urso cresa, ele

pesar mais 9,659 libras.

yyy




- Qualidade do modelo de regresso linear:

Definies:

Desvio total: distncia vertical yy

Desvio explicado: distncia vertical yy

Desvio no-explicado: distncia vertical ,

tambm chamado de resduo.

yy

y = valor observadoy = mdia dos valores observadosy = valor predito pela equao de regresso



a: Desvio Total: Valor Real Mdia

a

c: Desvio No Explicado: Valor Real Predito

c

b: Desvio Explicado: Valor

Predito Mdia

b

yy

yy

yy

y

y

y

y



Mais definies:

Variao total: soma dos quadrados dos desvios

totais2)( yy

Variao explicada: soma dos quadrados dos desvios

explicados2)( yy

2)( yy

Variao no-explicada: soma dos quadrados dos

desvios no-explicados



(d. Total) = (d. explicado) + (d. no-explicado)

yy = yy + yy

(v. total) = (v. explicada) + (v. no-explicada)

De maneira anloga:

2)( yy =2)( yy + 2)( yy

Relaes entre os desvios:



Coeficiente de determinao:

Definio: Valor da variao de y que explicado

pela reta de regresso.

totalvariao

explicada variao2 r

2

2

2

)(

)(

yy

yyr

Obs.: Podemos calcular r2 tanto pela definio

acima, como simplesmente elevando ao quadrado o

coeficiente de correlao linear r

r2 sempre assumir valores entre 0 e 1

ou


Exerccio:

Os dados emparelhados abaixo consistem nos pesos

totais (y) de plstico descartados e tamanhos de

residncias (x).

Determine a equao de regresso, a variao

explicada, a variao no explicada, a variao total

e o coeficiente de determinao.

Peso 0,27 1,41 2,19 2,83 2,19 1,81 0,85 3,05

Tamanho 2 3 3 6 4 2 1 5


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