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1 PONTÍFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática Júlio Paulo Cabral dos Reis A CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE APRENDIZAGEM PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE FENÔMENOS FÍSICOS COM A UTILIZAÇÃO DE TAXAS RELACIONADAS Belo Horizonte 2013

REIS, 2013 - Dissertação - OA

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PONTÍFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática

Júlio Paulo Cabral dos Reis

A CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE APRENDIZAGEM PARA A

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE FENÔMENOS FÍSICOS COM A

UTILIZAÇÃO DE TAXAS RELACIONADAS

Belo Horizonte

2013

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Júlio Paulo Cabral dos Reis

A CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE APRENDIZAGEM PARA A

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE FENÔMENOS FÍSICOS COM A

UTILIZAÇÃO DE TAXAS RELACIONADAS

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-

Graduação em Ensino de Ciências e Matemática

da Pontifícia Universidade Católica de Minas

Gerais, como requisito parcial para obtenção do

título de Mestre em Ensino de Matemática.

Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares

Belo Horizonte

2013

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3

FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

Reis, Júlio Paulo Cabral dos R375c A criação de um objeto de aprendizagem para a resolução de problemas de

fenômenos físicos com a utilização de taxas relacionadas / Júlio Paulo Cabral dos Reis. Belo Horizonte, 2013.

184f.: il.

Orientador: João Bosco Laudares Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.

1. Cálculo – Estudo e ensino. 2. Aprendizagem. 3. Cálculo – Problemas, exercícios, etc. 4. Cálculo das variações. I. Laudares, João Bosco. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ensino

de Ciências e Matemática. III. Título.

CDU: 517

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Júlio Paulo Cabral dos Reis

A CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE APRENDIZAGEM PARA A RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS DE FENÔMENOS FÍSICOS COM A UTILIZAÇÃO DE TAXAS

RELACIONADAS

Dissertação apresentada à banca examinadora

do Programa de Pós- Graduação da Pontifícia

Universidade Católica de Minas Gerais –

Campus Coração Eucarístico - Belo Horizonte,

como parte dos requisitos para obtenção do

Título de Mestre em Ensino de Matemática.

COMISSÃO EXAMINADORA

Prof. Dr. João Bosco Laudares - Orientador

PUC Minas

Profa. Dra. Barbara Lutaif Bianchini

PUC SÃO PAULO

Profa. Dra. Adriana Gomes Dickman

PUC Minas

Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda

PUC Minas

Belo Horizonte

2013

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Aos professores Calio (in memoriam), Sílvia,

Roberto Elias e Susete Basílio que me

permitiram conhecer e/ou apaixonar por esta

área do conhecimento: Matemática

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AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus, pois, sem sua presença constante em minha vida, não seria capaz

de ter chegado até aqui.

Ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da PUC Minas,

pela qualidade do curso.

Ao Professor Doutor João Bosco Laudares, que me orientou com sabedoria e paciência

durante este tempo de convivência.

A todos os professores do mestrado e em especial aos Professores Doutores: Dimas

Filipe de Miranda, Maria Clara Frota e Eliane Gazire que me conduziram por este caminho do

conhecimento.

A Professora Doutora Adriana Gomes Dickman que contribui com relevantes revisões

para esta pesquisa.

Aos meus pais, Guanair Antônio e Inazir Cabral, que me educaram segundo suas

crenças e costumes ensinando-me preciosos valores.

À minha irmã, Dulcinéia Agnês, por me animar com conselhos preciosos.

A pequena Meg comigo nos momentos em que precisei.

Aos meus afilhados: Leandro Vasconcelos, Lucas Henrique Cabral e Kelly Oliveira que

compreenderam o distanciamento necessário em momentos importantes.

Aos meus amigos: Ricardo Augusto, Almir de Lima, Gislaine Santana, Cristian

Finamore, Éder Júlio Rocha, Fernanda Rocha, Paulo Geovanne (Tassa), Vanessa Cássia,

Priscila Pádua, Anna Paula Alves, Fernando Silva, Juliano de Souza, David Lorezutti, Luiz

Silvério e Marcus Tullius que me auxiliaram de forma importante em várias situações,

aconselharam durante este processo e compreenderam minha ausência em vários momentos.

Aos meus familiares: avós, tios e primos que puderam compreender a minha falta em

vários momentos. Em especial a minha tia Maria de Jesus Cabral que muito me auxiliou.

Aos colegas de Mestrado, em especial, José Luiz Giarola por ajudar-me em quesitos

necessários para esta pesquisa e a Iêda Vaz com dicas preciosas.

Aos amigos, padres e seminaristas do Santuário São Paulo da Cruz e da C. São Pedro.

Aos professores, funcionários, diretores e principalmente aos alunos da E. E. Prof.

Cláudio Brandão que me motivaram durante essa jornada, seja um conselho e/ou um sorriso em

momentos que precisei.

A todos os Professores, Mestres e Doutores que contribuíram em minha formação

acadêmica.

E a outros que, de algum modo, auxiliaram-me nesta caminhada árdua e de muito

conhecimento.

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"A principal meta da educação é criar homens que sejam capazes de fazer

coisas novas, não simplesmente repetir o que outras gerações já fizeram.

Homens que sejam criadores, inventores, descobridores. A segunda meta da

educação é formar mentes que estejam em condições de criticar, verificar e

não aceitar tudo que a elas se propõe." (Jean Piaget).

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RESUMO

Esta dissertação apresenta resultados de uma pesquisa de Mestrado Profissional em

Ensino de Ciências e Matemática, onde criou-se um Objeto de Aprendizagem (OA), a

partir de Resolução de Problemas de Fenômenos Físicos, cuja resolução implica o uso

de Taxas Relacionadas. Objetivou-se também facilitar o ensino e a aprendizagem desse

conteúdo, o qual apresenta dificuldades de assimilação conceitual. O OA foi estruturado

com um conjunto de atividades que se constituíram de problemas de termodinâmica,

variação de uma resistência num circuito elétrico, onda circular, movimento de um

balão, entre outros. O objetivo da pesquisa pelo OA foi o de facilitador da compreensão

conceitual da taxa de variação relacionada pela dinâmica inerente aos fenômenos

estudados. O OA foi aplicado a alunos que haviam cursado, ou estavam cursando, a

disciplina de Cálculo com o conteúdo de taxas relacionadas nos cursos de Licenciatura

em Matemática e Engenharia, ambos da PUCMinas. Optou-se por uma pesquisa

qualitativa cuja estrutura foi composta de: concepção das atividades e análise dos dados

obtidos pelas observações no momento da aplicação do OA e pelas anotações

realizadas pelos alunos durante esse momento. O embasamento teórico foi constituído

da Resolução de Problemas e da utilização das TICs na criação de um OA. A análise da

aplicação do OA permitiu verificar que os objetivos específicos foram atingindos, isto é,

a compreensão do conceito de taxas relacionadas.

Palavras-chave: Objeto de Aprendizagem. Ensino de Cálculo. Resolução de

Problemas. Taxas de Variação Relacionadas.

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ABSTRACT

This dissertation presents the results of a Master’s Degree research on teaching of

science and mathematics that aimed to construct a Learning Object (LO) out of

problems solving of Physics Phenomenon of Related Rates in order to facilitate the

teaching and the learning of this subject, which presents difficulties regarding

assimilation of concepts. The LO was organized by means of a set of activities based on

Problems of thermodynamics, variation of resistance in electric circuit, circular wave,

the movement of a balloon, among others. The goal of the LO research was to facilitate

the conceptual understanding of the Variation Rates related by the inherent dynamic to

the phenomena studied. The LO was applied on students who studied and were studying

Calculus on Math and Engineering major at Pontíficia Universidade Católica de Minas

Gerais. It was chosen a qualitative research whose structure was composed of:

conception of activities and analysis of data gathered through observation during the

moment of application and the students’ notes taken during the application of the LO.

The theoretical framework was constituted by Problems solving and the use of TICs

(Technology of information and communication) in creating the LO. The Theoretical

Background was based on Problem solving and the using of TICs when creating a LO

(learning Object). The analyses of LO application lead to the verification that specific

goals where achieved, that is to say, the understanding of the concepts of Related Rates.

Keyword: Learning Object, Calculus Teaching, Problem Solving, Related Variation

Rates.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Ciclo de desenvolvimento de uma aplicação ............................................ 34

Figura 2: Secção transversal do tanque ..................................................................... 50

Figura 3: Homem andando sob holofote ................................................................... 66

Figura 4: Variação da área de um retângulo ........................................................... 66

Figura 5: Teste da derivada primeira ........................................................................ 68

Figura 6: Solução de um problema ........................................................................... 68

Figura 7: Exercício de revisão .................................................................................... 69

Figura 8: Exercícios ..................................................................................................... 69

Figura 9: Atividades propostas................................................................................... 70

Figura 10: Taxa de variação e limite ........................................................................ 74

Figura 11: Reta secante e reta tangente ..................................................................... 84

Figura 12: Movimento físico ..................................................................................... 102

Figura 13: Diagrama para velocidade média .......................................................... 102

Figura 14: Corpo em movimento de queda livre .................................................... 104

Figura 15: Fenômenos: físico e geométrico sob forma visual ................................ 106

Figura 16: Velocidade instantânea ........................................................................... 108

Figura 17: Relação entre: derivada taxa de variação instantânea inlcinação

da reta tangente a uma curva .................................................................................. 112

Figura 18: Balão sendo inflado ................................................................................ 113

Figura 19: Situação-problema – subida de um foguete .......................................... 115

Figura 20: Foguete em MRU .................................................................................... 115

Figura 21: Foguete em MRUV ................................................................................. 117

Figura 22: Simulação concluída do lançamento de um foguete em MRUV ......... 118

Figura 23: Diagrama dinâmico da atividade 1 ....................................................... 121

Figura 24: Diagrama dinâmico da atividade 2 ....................................................... 123

Figura 25: Questão de Múltipla Escolha da atividade 2 ........................................ 124

Figura 26: Diagrama dinâmico da atividade 3 ....................................................... 126

Figura 27: Videoaula – primeiro e segundo passos da estratégia de resolução ... 129

Figura 28: Videoaula – terceiro passo da estratégia de resolução ........................ 130

Figura 29: Videoaula – quinto passo da estratégia de resolução .......................... 130

Figura 30: Diagrama dinâmico da atividade 4 ....................................................... 131

Figura 31: Menu – Estratégia de Resolução para a atividade cinco ..................... 133

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Figura 32: Diagrama dinâmico da atividade 5 ....................................................... 134

Figura 33: Tela da sexta atividade com o primeiro botão de ajuda ...................... 134

Figura 34: Tela da sexta atividade com o botão ajuda sendo requerido .............. 135

Figura 35: Diagrama dinâmico da atividade 6 ....................................................... 135

Figura 36: Aplicação do OA aos participantes da pesquisa .................................. 139

Figura 37: 1º Relato da participante Jayne ........................................................... 141

Figura 38: Relato da participante Flores ................................................................ 142

Figura 39: Tela do OA referente a segunda atividade ........................................... 143

Figura 40: 1º Relatos da participante Jojo ............................................................. 145

Figura 41: 2º Relato da participante Jayne ............................................................. 146

Figura 42: Relato do participante Nenem ............................................................... 146

Figura 43: Relato do participante Borges ............................................................... 147

Figura 44: 3º Relato da participante Jayne ............................................................ 148

Figura 45: 2º Relato da participante Jojo ............................................................... 148

Figura 46: Resolução da atividade 7 por “Jayne” .................................................. 150

Figura 47: Resolução da participante F3 ................................................................ 151

Figura 48: Esboço do diagrama da atividade 7 realizado por um participante .. 152

Figura 49: Relato do participante Aluno XXIII ..................................................... 152

Figura 50: Relato do participante Hugo .................................................................. 153

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LISTA DE QUADROS

Quadro 1: Problema de taxas relacionadas .............................................................. 49

Quadro 2: Análise das representações utilizadas no livro de Stewart .................... 71

Quadro 3: Análise de problemas e conceitos no livro de Stewart ........................... 71

Quadro 4: Análise sobre limites no livro de Stewart ................................................ 72

Quadro 5: Análise sobre taxas de variação no livro de Stewart ............................. 73

Quadro 6: Análise da função derivada no livro de Stewart .................................... 74

Quadro 7: Função derivada ....................................................................................... 75

Quadro 8: Análise da regra da cadeia no livro de Stewart ...................................... 75

Quadro 9: Análise de taxas relacionadas no livro de Stewart ................................. 76

Quadro 10: Últimas análises no livro de Stewart ..................................................... 76

Quadro 11: Análise das representações utilizadas no livro de Thomas ................. 78

Quadro 12: Análise de problemas e conceitos no livro de Thomas ......................... 78

Quadro 13: Análise sobre limite no livro de Thomas .............................................. 78

Quadro 14: Análise sobre taxas de variação no livro de Thomas............................ 79

Quadro 15: Análise da função derivada no livro de Thomas .................................. 79

Quadro 16: Análise da regra da cadeia no livro de Thomas ................................... 80

Quadro 17: Análise de taxas relacionadas no livro de Thomas .............................. 81

Quadro 18: Últimas análises no livro de Thomas ..................................................... 82

Quadro 19: Análise das representações utilizadas no livro de Anton; Bivens e Davis .............................................................................................................................. 83 Quadro 20: Análise de problemas e conceitos no livro de Anton; Bivens e Davis ........................................................................................................................................ 84 Quadro 21: Análise sobre limite no livro de Anton; Bivens e Davis............................................................................................................................... 85 Quadro 22: Análise sobre taxas de variação no livro de Anton; Bivens e Davis............................................................................................................................... 86 Quadro 23: Análise da função derivada no livro de Anton; Bivens e Davis............................................................................................................................... 86 Quadro 24: Análise da regra da cadeia no livro de Anton; Bivens e Davis ........................................................................................................................................ 86 Quadro 25: Análise de taxas relacionadas no livro de Anton; Bivens e Davis.............................................................................................................................. 87 Quadro 26: Últimas análises no livro de no livro de Anton; Bivens e Davis ........................................................................................................................................ 88 Quadro 27: Cálculo da inclinação da reta tangente ................................................. 99

Quadro 28: Limite especial ...................................................................................... 100

Quadro 29: Inclinação e taxas de variação ............................................................. 100

Page 13: REIS, 2013 - Dissertação - OA

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Quadro 30: Conceito de velocidade média .............................................................. 102

Quadro 31: Fórmula para a velocidade média ....................................................... 105

Quadro 32: Fenômeno físico e fenômeno geométrico ............................................. 106

Quadro 33: Notações para derivada ........................................................................ 111

Quadro 34: Problema do balão esférico .................................................................. 113

Quadro 35: Aplicação da regra da cadeia ............................................................... 114

Quadro 36: Dados do tópico 2 – parte I ................................................................... 116

Quadro 37: Dados do tópico 2 – parte II ................................................................. 116

Quadro 38: Problema trazido pela primeira atividade .......................................... 120

Quadro 39: Problema trazido pela segunda atividade ........................................... 123

Quadro 40: Problema trazido pela terceira atividade ........................................... 126

Quadro 41: Notações matemáticas para a atividade 3............................................ 127

Quadro 42: Problema trazido pela quarta atividade ............................................. 131

Quadro 43: Problema trazido pela quinta atividade .............................................. 133

Quadro 44: Problema trazido pela sexta atividade ............................................... 135

Quadro 45: Problema trazido pela sétima atividade .............................................. 136

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Cálculo do limite de uma função ............................................................... 65

Tabela 2: Regras de derivação ................................................................................... 66

Tabela 3: Cálculos das inclinações para o tópico proposto ........................................... 100

Tabela 4: Cálculos dos coeficientes angulares em diferentes momentos .............. 109

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LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1: Função f ..................................................................................................... 42

Gráfico 2: Funções exponenciais ................................................................................ 65

Gráfico 3: Comparação – Físico Geométrico ........................................................ 72

Gráfico 4: Tempo x Distância ..................................................................................... 80

Gráfico 5: Função y = f(x) = -x² + 20x ........................................................................ 98

Gráfico 6: Reta secante se aproximando da teta tangente ....................................... 99

Gráfico 7: Movimento de queda livre para a situação abordada .......................... 104

Gráfico 8: Reta secante para a situação abordada ................................................. 107

Gráfico 9: Velocidade instantânea em t = 7 s .......................................................... 109

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 18 1.1 Objetivos da Pesquisa ............................................................................................ 20 1.1.1 Objetivo Geral ...................................................................................................... 20 1.1.2 Objetivos Específicos .......................................................................................... .20

2 RECURSO TECNOLÓGICO EDUCACIONAL: OBJETO DE APRENDIZAGEM COM RESPALDO EPISTEMOLÓGICO NA RESOLUÇ ÃO DE PROBLEMAS ....................................................................................................... 22 2.1 Educação e Informática ........................................................................................ 22 2.2 Objeto de Aprendizagem, um recurso educacional ............................................ 25 2.3 Resolução de Problemas: uma estratégia pedagógica ........................................ 35

3 TAXAS E O ENSINO DE CÁLCULO ................................................................... 41 3.1 Taxas de Variação e Taxas Relacionadas ............................................................ 41 3.2 Ensino de Cálculo: propostas e dificuldades ....................................................... 45

4 DIRETRIZES PARA O ENSINO SUPERIOR: MATEMÁTICA E ENGENHARIA E ANÁLISE DE LIVROS-TEXTO DE CÁLCULO NA TEMÁTICA EM ESTUDO ........................................................................................ 59 4.1 As diretrizes para o Ensino Superior: Matemática e Engenharia .................... 59 4.1.1 Breve Análise das Diretrizes para o Curso de Matemática ................................ 59 4.1.2 Breve Análise das Diretrizes para o Curso de Engenharia ................................ 61 4.1.3 Comentário sobre as Diretrizes ........................................................................... 62 4.2 Análise de livros de Cálculos quanto à temática investigada ............................ 63 4.2.1 Critério de análise dos livros de Cálculo ............................................................ 63 4.2.2 Comentário da análise dos livros-texto ............................................................... 88

5 DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA DA CRIAÇÃO DO OBJETO DE APRENDIZAGEM ...................................................................................................... 91 5.1 Pesquisa Qualitativa .............................................................................................. 91 5.2 Elaboração do OA ................................................................................................. 92 5.3 Descrição das Seções do OA ................................................................................. 95 5.3.1 A Seção Taxa de Variação – Revisão de conceitos ............................................ 96 5.3.2 A Seção Regra da Cadeia – Taxas Relacionadas ............................................. 111 5.3.3 A Seção de Atividades ........................................................................................ 119

6 RESULTADOS DA APLICAÇÃO ....................................................................... 138 6.1 Coleta de dados .................................................................................................... 138 6.2 Os sujeitos da pesquisa ........................................................................................ 138 6.3 Aplicação do OA .................................................................................................. 139 6.4 Principais resultados ........................................................................................... 140 6.4.1 A interação dos sujeitos com o OA .................................................................... 141 6.4.2 Análise dos processos cognitivos oferecidos pelo OA ...................................... 144

Page 17: REIS, 2013 - Dissertação - OA

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7 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................. 154

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 157

APÊNDICES .............................................................................................................. 162

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1 INTRODUÇÃO

O modo de ensinar sempre foi uma preocupação dos educadores ao longo do

tempo, o que fez com que surgissem alguns estudos a respeito de como fazê-lo, isto é,

investigações que desenvolvem novos métodos de ensino consoante as necessidades de

cada contexto sócio-cultural em que se inserem as práticas educativas. Nesse sentido,

Moran (2010), Behers (2010) e Masseto (2010), especialistas que também trabalham

com o desenvolvimento de métodos de ensino, prestam especial atenção à utilização da

Tecnologia de Comunicação e Informação (TIC), em especial o computador, como

instrumento de auxílio no processo de ensino e de aprendizagem. A utilização do

computador como recurso educacional traz consigo uma série de instrumentos e

mecanismos didáticos, tais como os softwares, internet (que oferece desde sites de

pesquisa/busca a programas específicos) e vídeoaulas. Desse modo, e considerando

sobretudo a relevância da Tecnologia de Comunicação e Informação no processo de

ensino, Wiley (2009), Nunes (2004) e Prata (2007) defendem a utilização de um recurso

educacional denominado Objeto de Aprendizagem, como meio facilitador na integração

da tecnologia com a educação.

Voltado para o ensino e a aprendizagem de Cálculo, bem como para a utilização

das TIC’s, Barbosa (2009), Stewart (2006) e Thomas (2002) refletem as atuais práticas

de ensino da referida disciplina, propondo, para tal trabalho, a tríade: ensino de cálculo/

aprendizagem/ computador. Se, por um lado, o computador está disponível para o

ensino e a aprendizagem, é interessante analisar as estratégias pedagógicas presentes em

tal relação, a fim de utilizar com eficiência essa ferramenta e melhor perscrutar sua

utilidade para fins de aprendizagem.

Assim, Dante (1995), Pozo (1998), Polya (1977) e Gazire (2009), ao tratarem do

âmbito do ensino e da aprendizagem de Matemática, defendem a resolução de

problemas, não como a única, mas sim como uma eficaz estratégia pedagógica com fins

educacionais.

Respaldado na resolução de problemas para ensinar Cálculo e na utilização do

computador na atualidade, esta dissertação tenciona construir um Objeto de

Aprendizagem (OA) embasado na resolução de problemas de fenômenos físicos sobre

taxas relacionadas e, em um segundo plano, analisar as contribuições deste Objeto no

ensino e na aprendizagem do referido conteúdo.

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19

A investigação aqui descrita surgiu a partir de duas experiências:

Primeiramente, no decorrer da licenciatura, período no qual tive a oportunidade de me

deparar com o desafio de compreender o conteúdo de Taxas Relacionadas, a experiência

de aluno me trouxe uma maior sensibilidade com relação às dificuldades enfrentadas

neste conteúdo.

A segunda experiência passa pela prática docente: ao ensinar Cálculo, e no que

se refere ao conteúdo de Taxas Relacionadas, foi possível perceber que havia barreiras

didáticas a serem enfrentadas no momento de explicar a matéria. Porém, nessa fase, eu

já compreendia os conceitos que são pré-requisitos para o conteúdo de Taxas

Relacionadas. Assim, foi possível notar que o ensino desse tópico necessitaria de algum

processo metodológico mais eficaz.

Segundo Souza Júnior (2000), tanto ensino quanto a aprendizagem de Cálculo se

tornam, a cada dia mais, um desafio, tanto para o professor quanto para o aluno, uma

vez que as taxas de repetência nesse conteúdo são elevadas. Ainda segundo o autor, as

aulas expositivas, na maioria das vezes, ao fazerem referência aos conteúdos que trazem

dinamismo (como, por exemplo, algum dos tópicos sobre taxas de variação) podem ser

um dos fatores que impõem a barreira ao aprendizado.

Portanto, a utilização das TIC’s é aqui abordada como um modo de auxiliar o

ensino e a aprendizagem de Matemática segundo os autores apresentados. Ao utilizar

tecnologia para esse fim, é necessário ter em mente (ou até mesmo desenvolver) um

recurso educacional que de suporte ao ensino e aprendizagem do conteúdo de Taxas

Relacionadas que, como descrito acima, coloca barreiras tanto para os discentes quanto

para os docentes. Nesse sentido, os OA's ganham espaço e podem ser utilizados para tal

propósito. Trabalhar com problemas voltados para o conteúdo de taxas relacionadas,

sobretudo aqueles que não passam de cópias descontextualizadas de outros, isto é,

problemas repetidos de um determinado modelo, pode não ser um método didático

eficiente. Tendo em vista a problemática aqui evocada, surgem questões como: é

possível utilizar a TIC para ensinar e aprender o conteúdo de taxas relacionadas? Em

que ponto isso seria favorável? A estratégia pedagógica de resolução de problemas,

auxiliada pela TIC, seria benéfica nessa situação? Os OA’s seriam um modo facilitador

nessa interação? A partir dessas indagações, culmina-se na questão-chave desta

pesquisa.

Page 20: REIS, 2013 - Dissertação - OA

20

“Como construir um Objeto de Aprendizagem com resolução de problemas

para contribuir na aprendizagem de taxas relacionadas em aplicações de

fenômenos físicos?”

1.1 Objetivos da Pesquisa

A fim de responder a esta questão, foram traçados os seguintes objetivos:

1.1.1 Objetivo Geral Criar um Objeto de Aprendizagem para facilitar o ensino e a aprendizagem de

Taxas Relacionadas com a Resolução de Problemas de Fenômenos Físicos.

1.1.2 Objetivos Específicos

a) Verificar a abordagem metodológica do conteúdo de Taxas Relacionadas em

livros e textos didáticos que abordem o tema: Cálculo;

b) Elaborar atividades sobre Taxas Relacionadas que atendam à metodologia de

Resolução de Problemas;

c) Construir um Objeto de Aprendizagem para trabalhar as atividades

desenvolvidas;

d) Aplicar as atividades e, após a análise dos resultados, estabelecer as

possíveis reestruturações, visando uma nova metodologia para o estudo de

Taxas de Variação Relacionadas com a resolução de problemas físicos e o

uso de OA.

A presente dissertação está subdividida em sete capítulos, os quais serão

sumariamente descritos a seguir, sendo o primeiro a introdução e o sétimo as

considerações finais, além das referências e apêndices.

Na introdução, apresenta-se a importância do tema, os objetivos da pesquisa, a

pergunta de pesquisa, a justificativa pela escolha do tema e a apresentação dos próximos

capítulos, sendo a introdução considerada como o primeiro capítulo.

No capítulo 2, buscou-se analisar tanto a relevância das TIC’s, em especial o

computador, quanto as contribuições que essa ferramenta pode trazer para a prática

pedagógica atual, seus recursos e suas contribuições para aprendizagem de

conhecimentos específicos. Verificam-se também o que são e como elaborar os OA’s

utilizando a mídia computador e explorando, suas potencialidades no ensino e na

Page 21: REIS, 2013 - Dissertação - OA

21

aprendizagem tendo como estratégia pedagógica – a Resolução de Problemas – afim de

ensinar e aprender o conteúdo de Taxas Relacionadas.

O capítulo 3, por sua vez, explora o conceito de Taxas Relacionadas e, por

conseguinte, todos os outros conceitos que gravitam em torno deste conteúdo. Procurou-

se, neste momento, rever o que os autores de livros didáticos e pesquisadores

acadêmicos pensam sobre o ensino de Cálculo.

No capítulo 4, foi realizada uma análise das diretrizes curriculares dos cursos de

Licenciatura Plena em Matemática, Bacharelado em Matemática e Engenharias. O

trabalho começou pela busca do público-alvo da pesquisa, cujo grupo era formado por

alunos dos referidos cursos e, em seguida, partiu-se para a verificação de fatores

importantes a serem considerados na construção do OA. A Pesquisa prosseguiu com a

realização de uma análise do conteúdo de Taxas Relacionadas presente em livros-texto

de Cálculo,visando analisar como se dá a construção deste conceito, isto é, a sequencia

utilizada para as devidas compreensões, fator que muito contribuiu na construção do

OA.

O capítulo 5 apresenta a metodologia da pesquisa e os passos seguidos para a

criação do OA, além dos tópicos e das atividades que o acompanham, bem como os

objetivos de cada tópico e/ou atividade desenvolvida com respaldo nas leituras

realizadas.

O capítulo 6, por fim, traz, para além dos relatos da aplicação do OA a

estudantes dos cursos de Licenciatura Plena em Matemática e Engenharias da PUC

Minas, as contribuições observadas durante esse trabalho de aplicação.

Nas considerações finais desta pesquisa, procurou-se refletir sobre a construção

de um OA e as contribuições que esse recurso trouxe para os processos de ensino e

aprendizagem na resolução de problemas de fenômenos físicos sobre Taxas

Relacionadas.

E nos Apêndices são trazidas as atividades que constituem o Produto desta

Dissertação.

Page 22: REIS, 2013 - Dissertação - OA

22

2 RECURSO TECNOLÓGICO EDUCACIONAL: OBJETO DE

APRENDIZAGEM COM RESPALDO EPISTEMOLÓGICO NA RESOLUÇ ÃO

DE PROBLEMAS

2.1 Educação e Informática

A cultura de um povo, isto é, as suas normas morais e as suas crenças, bem

como outros fatores que constituem um determinado sujeito ou grupo cultural, são

elementos situados em um contexto específico, dentro de um espaço e tempo, e,

inevitavelmente, percebe-se, ao longo da história, a tentativa de ignorar o devir presente

nessas características. A educação, como não poderia deixar de ser, funciona dentro

deste mesmo paradigma, principalmente no que se refere ao ensino e a aprendizagem.

Considerando as mudanças pelas quais a humanidade passa ao longo da história, surgem

preocupações com a forma de promover o ensino e a aprendizagem, o que, em boa

medida, promove a inovação das práticas pedagógicas comumente utilizadas.

Tendo em vista as inovações, o avanço tecnológico pode contribuir com as

práticas educacionais e o computador é utilizado em instituições como instrumento no

auxílio no processo ensino e aprendizagem. Em Moran (2010, p. 44) tem-se que, “o

computador se converte em um meio de comunicação, a última grande mídia, ainda em

estágio inicial, mas extremamente poderosa para o ensino aprendizagem”. Assim a

Tecnologia da Comunicação e Informação (TIC) vem colaborar para desenvolver o

processo de ensino e de aprendizagem, sugestionando a quem a utilize, buscar meios e

formas para que esse processo possa acontecer.

Milani (2001) afirma que a informática alterou sensivelmente a forma de vida

daqueles que, de algum modo, participam desse avanço tecnológico e, que nesse ponto,

o computador é um dos símbolos e “principal instrumento do avanço tecnólogico.”

(p.177), de modo que é impossível a escola ignorá-lo, devido à sua presença intensiva

na sociedade. Diante dessa irrefutável realidade, o desafio agora é explorar a

potencialidade apresentada por esse possível recurso educacional e, a partir daí,

promover a cognição.

Behrens (2010), ao refletir sobre o papel do docente universitário, alega que tal

profissional deve se “formar para a cidadania, como sujeito histórico e transformador da

sociedade, e contribuir para a produção do conhecimento compatível com o

desenvolvimento tecnológico contemporâneo.” (p.72). Assim, tal tecnologia tem sido

Page 23: REIS, 2013 - Dissertação - OA

23

cada vez mais incluída na prática pedagógica dos professores, a fim de interagir e agir

na sociedade com critérios definidos, com respaldo na ética e de forma transformadora,

para que, assim, possa contribuir para o ensino e o aprendizado. Vê-se a necessidade

dessa integração na medida em que Behrens (2010, p.75) alega ser importante “propor

novas formas de aprender e de saber se apropriar criticamente de novas tecnologias,

buscando recursos e meios para facilitar a aprendizagem”.

Barbosa (2009, p.56) ressalta que a utilização das TIC’s ganhou força na década

de 90 (século XX), momento em que o computador trouxe “plataformas amigáveis e

com aplicações nas diversas áreas do conhecimento e em outros setores da sociedade de

modo geral”. Em sua pesquisa, a autora analisa a utilização da TIC para o ensino e a

aprendizagem de Cálculo e ressalta que “a visualização, realçada pelas TIC’s, constitui

um elemento fundamental para a produção do conhecimento matemático, não apenas

associada às representações numéricas e algébricas, mas também às gráficas.”

(BARBOSA, 2009, p.62). Para a pesquisadora, a visualização pode oferecer a

comunicação entre formas de representar a matemática, podendo, assim, permitir

assimilações, produções e reflexões por parte do aluno. Esta visualização é favorecida

com a utilização das TIC’s.

Borba e Penteado (2001), por sua vez, lembram que a utilização da mídia

computador foi um fator de resistência para muitos profissionais da educação. Porém,

os autores vêem a utilização da Informática como um modo de transformar a prática

educativa, e sugerem que essa tecnologia pode estar presente em atividades essenciais

de aprendizado, tais como: ler, escrever, compreender textos, interpretar gráficos,

contar, desenvolver certas noções de conteúdos, dentre outros. O computador pode ser

parte da produção do conhecimento, de modo a promover a harmonia entre estratégias

pedagógicas e mídias. É preciso ressaltar que a utilização de uma mídia não exclui

outra, ou seja, o fato de utilizar o computador não tornará obsoleta a utilização do lápis,

do papel, mas a tecnologia vem complementar as mídias já existentes.

Machado (2008), ao comentar o papel das ferramentas computacionais, afirma

que elas contribuem para a resolução de problemas ao permitir a simulação, ao colocar

o aluno frente a situações reais, ao permitir as experimentações e estudar as possíveis

conjecturas.

De maneira geral, as tecnologias permitem uma simulação que facilita, em pouco tempo, os estudos de diferentes situações e de experimentação a custo baixo, possibilitam a construção de novas relações entre os homens e os

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24

ambientes informatizados e apresentam-se como ferramentas de auxílio ao processo de ensino aprendizagem. (MACHADO, 2008, p.21).

Para Laudares e Lachini (2001) a adoção de computadores na educação é

importante. Porém, a não utilização desse recurso “se deve a uma carência de formação

e à dificuldade que tem de inserir o uso da máquina no cotidiano do processo didático-

pedagógico.” (p.78). Assim, é inevitável discutir formas de utilizar essa máquina como

algo inerente ao processo de ensino e de aprendizagem numa sociedade cada vez mais

informatizada.

Stewart (2006) é adepto da utilização da tecnologia para o ensino de Matemática

no que se refere ao Cálculo e sugere a utilização de calculadoras gráficas e dos

computadores como ferramentas auxiliadoras no processo de descobertas e na

compreensão de conceitos. Tal afirmativa está em conformidade com Borba e Penteado

(2001), que defendem que a utilização da tecnologia não tomará o lugar do lápis e do

papel, mas que, juntas, tais mídias se complementarão na busca de uma aprendizagem

mais significativa1. Com a utilização das TIC’s, é possível esboçar gráficos de funções

mais complexas ou resolver problemas mais elaborados com dificuldade da resolução

analítica, recorrendo-se a solução numérica, tornando, assim, essencial a utilização

dessa tecnologia para análises mais complexas.

Ao longo do seu livro, Thomas (2002) utiliza a TIC em atividades, nas

explicações de certos tópicos ou problemas resolvidos e em histórias. O autor reforça a

importância da utilização das TIC’s e disponibiliza, para professores e alunos, em um

site próprio, complementos em power point e sugestão de programas que possam vir a

auxiliar o ensino e a aprendizagem de Cálculo.

Ainda no sentido do que aqui vem sendo discutido, vale ressaltar que

Computador algum jamais pode ser programado com respostas para todas as questões que os alunos possam fazer. E nas áreas de conhecimento menos estabelecidas, a discussão e a interação aluno-aluno e aluno-professor são essenciais para a aprendizagem. (AUSUBEL et a.l, 1980, p.323).

Assim, as TIC’s vêm como suporte para o ensino e a aprendizagem, ampliando

as possibilidades para a educação. Por permitirem tal ampliação, torna-se interessante

1 MACHADO (2012), citando John Dewey (1959), afirma que “a significação acontece quando o aluno é capaz de relacionar os conceitos a situações já experimentadas por ele, observando causas e consequências e realizar aplicações.” (p.1).

Page 25: REIS, 2013 - Dissertação - OA

25

investigar e analisar as suas funcionalidades de modo a potencializar as interseções

aluno-aluno e aluno-professor.

2.2 Objeto de Aprendizagem, um recurso educacional

Procurar formas de facilitar a compreensão de conceitos para produzir

conhecimento é uma preocupação sentida não apenas no âmbito da Educação

Matemática, mas também em todas as ciências que se inscrevem numa prática

educacional, isto é, todos os saberes que são tomados como matéria de ensino. Meios

facilitadores para auxiliar o ensino e a aprendizagem são pesquisados e apontados por

autores, e há exemplos de jogos, investigações, mídias, dentre outros, que se

apresentam, na atualidade, como objetos de ensino e pesquisa. Um desses meios é a

utilização do computador, recurso que possibilita um vasto campo de possibilidades

pedagógicas em sala de aula.

Dentre as formas de utilização do computador, procura-se aqui analisar e criar o

recurso educacional denominado Objeto de Aprendizagem (OA), voltado para o

conteúdo de Taxas Relacionadas, verificando as contribuições que tal recurso poderá

oferecer no ensino e na aprendizagem no conteúdo do Cálculo.

Reis (2010) alega que os OA’s fazem parte de uma gama denominada Recursos

Educacionais Abertos (REA), os quais, atualmente, podem ser acessados e/ou utilizados

com os benefícios provenientes do computador e com o avanço da internet. Ao explicar

o sentido específico expresso no adjetivo abertos, Reis (2010, p. 19) salienta que se

trata de recursos educacionais “distribuídos e utilizados, com fins não comerciais, por

qualquer comunidade que pudesse acessá-los”. Assim, estes recursos alcançariam

diferentes usuários interessados em sua utilização. Wiley (2009) vai além, descrevendo

quatro características presentes em um REA:

a) Reutilização (Reuse): configura aqui apenas na utilização de um REA;

b) Revisão (Revise): o usuário pode modificar um REA de acordo com as

próprias necessidades;

c) Remix (Remix): fazer combinações do REA com outros, a fim de melhorar as

necessidades do usuário;

d) Redistribuição (Redistribute): compartilhar o REA, na íntegra, revisado ou

ainda remixado a outros, e tudo isto sem fins lucrativos.

Page 26: REIS, 2013 - Dissertação - OA

26

Tais características são definidas pelo autor como “the 4Rs” (WILEY, 2009,

p.9). O autor ainda fomenta a versatilidade de utilizar um REA, afirmando que que

esses elementos podem ser combinados e reestruturados, não sendo estritamente

necessário fazer uma conclusão, mas, sim, permitir que sempre sejam aprimorados e

melhorados pelos usuários, a fim de promover o ensino e o aprendizado. Assim, tais

características se aplicam também aos OA’s, visto que estes são REA.

O termo OA, segundo Jacobsen (2002), (apud Reis, 2010) surge primeiramente

com Wayne Hodgins (1992) que, por sua vez, procurava estratégias educacionais e, ao

observar seu filho brincando com o jogo Lego, assimilou que as peças do brinquedo

poderiam ser combinadas e recombinadas de modo a construir inúmeros objetos

diferentes, que, contudo, sempre eram elaborados com as mesmas peças, as quais foram

chamadas por ele de “peças interoperáveis de aprendizagem” (JACOBSEN, 2002, p.1).

Ao transportar sua analogia para a educação, Hodgins considerou as peças montáveis

como blocos de conteúdo educacional, observação da qual surgiu o termo Objeto de

Aprendizagem ou Learning Object (LO). Reis (2010) chama atenção para o fato de que,

a partir de então, a definição formal do que seja um OA é um tanto divergente entre os

investigadores. Porém, quando essa concepção é analisada, percebe-se um destaque nas

palavras: reutilizável, ensino e conhecimento. Em conformidade com Laudares e

Lachini

[...] olhar o ensino-aprendizagem como um processo de aquisição, reelaboração ou construção é, para os autores, a maneira de abrir o trabalho escolar para o tratamento da informação, para a compreensão de conceitos, para o pensar de modo sistematizado e com mobilidade. (LAUDARES; LACHINI, 2001, p.69).

Nessa perspectiva, segundo os autores, professor e aluno se “tornam construtores

e re-construtores do conhecimento” (LAUDARES; LACHINI, 2001, p.69), o que é

análogo, as peças montáveis, sobretudo a partir de um trabalho em grupo que busque

compreender os conceitos envolvidos.

Para Tavares (2007, p. 124), um OA é um “recurso (ou ferramenta cognitiva)

autoconsistente do processo ensino e aprendizagem, isto é, não depende de outros

objetos para fazer sentido.” Tal definição amplia o conceito do OA, pois, a partir dela, o

livro didático, o computador, revistas, bem como a própria atividade humana, dentre

outros, são instrumentos que podem ser considerados como um OA. Macêdo et al.

(2007, p.20), citando Wiley (2000), restringe essa definição ao afirmar que um OA é

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27

“qualquer recurso digital que possa ser reutilizado para o suporte ao ensino”. Ao usar a

expressão “qualquer recurso digital”, essa concepção continua ampla motivo pelo qual

se delimita, com Nunes (2004, p.1), ao restringir “a gama de objetos passa a não ser

todo e qualquer recurso digital e sim aqueles com enfoque educacional.” Portanto, um

OA é um recurso digital reutilizável voltado para o ensino, de modo que os propósitos

educacionais devem estar bem definidos com relação aos elementos de análise, síntese e

reflexões. Quanto a ser reutilizável, a proposta é criar um OA mais completo a partir de

um outro mais simples, transformando-o, assim, em um objeto mais complexo que

poderá ser utilizado para fins educacionais em contextos diversos e com várias

possibilidades de utilização. Os termos flexibilidade, facilidade de utilização,

customização e interoperabilidade também são recorrentes entre autores que estudam

um OA. Nesse sentido, Macêdo et al. apresenta as seguintes reflexões epistemológicas:

[...] flexibilidade: os Objetos de Aprendizagem são construídos de formas simples e, por isso, já nascem flexíveis, de forma que podem ser reutilizáveis sem nenhum custo com manutenção. Em segundo, temos a facilidade para atualização: como os OA são utilizados em diversos momentos, a atualização dos mesmos em tempo real é relativamente simples, bastando apenas que todos os dados relativos a esse objeto estejam em um mesmo banco de informações. Em terceiro lugar, temos a customização: como os objetos são independentes, a idéia de utilização dos mesmos em um curso ou em vários cursos ao mesmo tempo torna-se real, e cada instituição educacional pode utilizar-se dos objetos e arranjá-los de maneira que mais convier. Em quarto lugar, temos a interoperabilidade: os OA’s podem ser utilizados em qualquer plataforma de ensino em todo o mundo. (MACÊDO, 2007, p.20).

Tais elementos se assemelham às características aqui apresentadas no que se

refere aos REA’s e à analogia com as peças do Lego. Um OA traz em si conteúdos

específicos, cujos conteúdos são trabalhados na forma do idealizador. Os OA’s, por

serem flexíveis, de fácil utilização e customizados, podem ser complementados ao

longo do percurso, reestruturados, modificados e combinados a outros, produzindo um

novo a partir do original, além do que podem atender a diferentes usuários. Assim,

Fernandes et al. citando Audino e Nascimento dizem:

Objetos de Aprendizagem são recursos digitais dinâmicos, interativos e reutilizáveis em diferentes ambientes de aprendizagem elaborados a partir de uma base tecnológica. Desenvolvidos com fins educacionais, eles cobrem diversas modalidades de ensino: presencial, híbrida ou à distância; diversos campos de atuação: educação formal, corporativa ou informal; e, devem reunir várias características, como durabilidade, facilidade para atualização, flexibilidade, interoperabilidade, modularidade, portabilidade, entre outras.” (AUDINO; NASCIMENTO apud FERNANDES et al., 2012, p.2 )

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28

Os OA's têm desempenhado um papel notável como recurso educacional,

sobretudo pelas contribuições dadas ao ensino e a aprendizagem, pois têm potencial

para auxiliar diferenciadas modalidades de ensino.

Prata et al. (2007) alegam que, com a utilização de OA, pode haver

desenvolvimento na questão do raciocínio e da criatividade, facilitando ao estudante a

promoção de novas habilidades. Assim, espera-se ter um aluno mais autônomo e capaz

de utilizar a reflexão para chegar a conhecimentos de sua própria autoria. Os autores

prosseguem afirmando que os processos de raciocínio, criatividade, produção de novas

habilidades e pensamento reflexivo são muito significativos para a Educação

Matemática.

Souza et al. (2007) procuraram analisar o desenvolvimento de habilidades

através de um OA voltado para o ensino de semelhança de triângulos e o teorema de

Talles. Pode-se perceber a facilidade que os alunos tiveram para compreender os

conceitos matemáticos, de realizar conjecturas, assim como testar e elaborar estratégias,

e quando relacionadas à resolução de problemas, houve aprendizagem dos tópicos

abordados.

Nunes (2004) menciona que a Educação à Distância (EAD) já é uma das

pioneiras na utilização desse recurso educacional tanto para promover o aprendizado,

quanto para a forma de avaliação, pois um OA, por se tratar de um recurso digital,

permite ao professor analisar os caminhos que o aluno utilizou para resolver situações-

problema. Isso possibilita seguir os passos realizados pelos alunos, verificar onde

ocorreram possíveis erros, como está o grau de assimilação deste aluno ou como ele

construiu e desenvolveu a sua resolução, para que, assim, seja possível contonar os

equívocos ocorridos no percurso da aprendizagem e assimilação de conteúdo.

Macêdo et al. (2007) demonstra as contribuição que os OA’s oferecem às

conexões entre os diversos tipos de linguagens. Para os autores, é possível, através

desse recurso, fazer conexões entre as ações físicas como, por exemplo, velocidade e

queda livre, e as várias formas de linguagens existentes (verbal, algébrica, geométrica,

dentre outras), de modo a contribuir para que os alunos transitem de uma linguagem

para outra, partindo de ações mais concretas ou intuitivas para ações mais abstratas.

A possibilidade de o aluno trabalhar no seu próprio ritmo é levantada por

Lucchesi et al (2007), que alegam que os OA’s permitem ao aluno ir descobrindo e

aprendendo conforme suas próprias limitações. Em conformidade com esta idéia, Bardy

et al (2007) aplicam um OA voltado para conceitos matemáticos sobre números,

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29

investigação feita com alunos portadores de deficiências mentais. Nesse trabalho, foi

possível perceber que os OA’s não possuem barreiras rígidas no que se refere a espaço e

tempo, cuja conclusão permite inferir que “a aprendizagem pode ocorrer de acordo com

o ritmo de cada um, bem como a ordem das atividades pode ser determinada pelo

próprio usuário.” (BARDY et al, 2007, p. 105). Além de respeitar o ritmo de

aprendizado de cada aluno, reforça-se aqui que o OA não se esgota em si mesmo,

podendo ser reutilizado pelo usuário quantas vezes quiser, isto é, não há tempo pré-

estabelecido, além da possibilidade que o aluno tem de voltar quantas vezes necessário a

algum conceito ou atividade que não ficara esclarecida anteriormente.

Segundo Tavares et al. (2007), após a aplicação de algumas atividades que

trabalhavam conceitos da Física, propostas em forma de OA, as notas dos alunos

aumentaram, o que possibilitou perceber que o OA pode proporcionar aprendizado

significativo. A dinamicidade presente no OA (como visualização, descrição e

animação, principalmente no que se refere a fenômenos da natureza de uma teoria

científica) é beneficiada pela utilização desse recurso, ajudando a promover a

aprendizagem. Neste ponto, “os OAs são facilitadores da aprendizagem significativa”.

(p. 128), isto é, possibilitam uma aprendizagem eficaz e não apenas um processo

mecânico. Assim, os mesmos autores dizem que os OA’s apresentam-se “como um

organizador prévio e, desse modo, funcionam como andaime cognitivo; eles servem de

esteio e facilitam a construção do conhecimento dos alunos.” (TAVARES et al., 2007,

p.132).

A importância da utilização de OA na educação é tão recorrente que, no Brasil,

foi criado um Repositório de Objetos de Aprendizagem, o RIVED (Rede Internacional

Virtual de Educação), do qual fazem parte a Argentina, Brasil, Peru e Venezuela (cf.

Reis, 2010). Esses Repositórios são “bancos de dados que armazenam dados sobre os

objetos, os metadados, e os objetos em si.” (NUNES, 2004, p.3). Os professores do

ensino médio ou ensino superior podem localizar o OA que lhes interessa, pois todos

eles são classificados por área do conhecimento, conteúdo, programa específico,

estratégia pedagógica, dentre outros critérios.

O RIVED tem como propósito produzir conteúdos digitais na forma de OA nas

diferentes áreas do conhecimento. Visa, primeiramente, auxiliar o ensino e a

aprendizagem e, em segundo plano, promover a utilização das TIC’s nas escolas, de

modo que os professores tenham acesso gratuito a tais recursos. Além de querer

provocar licenciados a deixar a posição de meros consumidores da tecnologia passando

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30

para uma postura ativa, isto é, fabricar OA’s, para isto o RIVED propõe minicursos de

como construir estes OA e promove concursos para escolha dos melhores OA’s criados.

Segundo Reis (2010) e Nunes (2004), além do RIVED, existe atualmente o

CESTA (Coletânea de Entidades de Suporte ao uso de Tecnologia e Aprendizagem),

projeto vinculado à Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS). O MEC que

disponibiliza no Portal do Professor, onde há OA’s, o 1484.12.1 Standard for Learning

Object Metadata e o Laboratório Virtual (LabVir), projeto desenvolvido pela USP, no

qual se encontram atualmente OA’s para várias áreas de conhecimento, sobretudo para

Física e Química. Trata-se de plataformas criadas com os mesmos propósitos e a partir

das mesmas preocupações: catalogar os OA´s existentes, de modo a oferecer

possibilidades para profissionais atuantes na área de educação.

Em se tratando de processos de construção de conhecimento Fagundes alega que

[...] para construir conhecimento, é preciso reestruturar as significações anteriores, produzindo boas diferenciações e integrando ao sistema as novas significações. Esta integração é resultado da atividade de diferentes sistemas lógicos do sujeito, que interagem entre si e com os objetos a assimilar ou com os problemas a resolver. Finalmente, o conhecimento novo é produto de atividade intencional, interatividade cognitiva, interação entre os parceiros pensantes, trocas afetivas, investimento de interesses e valores (FAGUNDES, 1999, p.24).

É neste ponto que a utilização dos OA's torna-se importante, pois eles permitem

ao aluno recombinar, construir, desenvolver novos conhecimentos, individualmente ou

em grupo, de forma interativa e no seu próprio ritmo. Desse modo, o professor tem em

mãos mais um recurso educacional que pode contribuir para a assimilação de seu

conteúdo.

Tarouco e Dutra (2007) apresentam desafios encontrados na utilização e na

construção de um OA: o tempo disponível para aplicá-lo e o número de atividades que o

ele deve possuir. A mudança de postura do professor é um desses problemas. Porém,

tais desafios também são percebidos em outros recursos educacionais e, pelos benefícios

aqui apresentados, a sugestão de utilizar um OA como meio facilitador do ensino e da

aprendizagem é de grande valia para que seja possível repensar e reconfigurar a eficácia

pedagógica das práticas de ensino. Após verificar as vantagens, potencialidades e

algumas das dificuldades que um OA pode oferecer ao ensino e à aprendizagem, é

necessário analisar como construir e/ou criar um OA.

Ao se trabalhar com recursos educacionais abertos, no que se refere ao OA, a

primeira preocupação está voltada para estratégia pedagógica escolhida. Nascimento

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(2007) afirma que o um dos maiores problemas dos OA’s está na estratégia pedagógica

adotada, pois, às vezes, um OA é criado sem o respaldo pedagógico, elabora-se um

REA sob a forma de OA, com preocupações como as de: design, animações,

interatividade e a dimensão lúdica. Preocupa-se com a utilização do máximo de

potencial oferecido pelas mídias tecnológicas atuais, sem, contudo, a preocupação com

as questões epistemológicas. Assim, a autora defende que um OA tem que ter respaldo

em uma estratégia pedagógica, afirmando ainda que a produção de um OA parte da

premissa de uma equipe multidisciplinar na qual se tenha professores da área de

conhecimento e com domínio do conteúdo, professores ou alunos com experiência

tecnológica, isto é, programadores ou profissionais da área tecnológica, além de

profissionais da área pedagógica ou algum especialista que compreenda processos de

aprendizagem e métodos cognitivos. Assim, o trabalho fluirá melhor e com maior

dinamicidade, contribuindo principalmente para que não se perca de vista o foco

educacional. Destarte, essa cooperação pode contribuir para evitar alguns erros na

elaboração do OA. Além disso, sugere-se ainda que

[...] um Objeto de Aprendizagem deve oferecer ao aluno todas as condições e acessos aos recursos importantes para que ele conclua a atividade proposta. Esses recursos consistem em: instruções claras e completas, textos suplementares, glossários, calculadoras, instrumentos de medidas, fórmulas, gráficos, diferentes formatos de visualização, etc. (NASCIMENTO, 2007, p.139).

Em conformidade, Borba e Penteado (2001) alegam que o professor deve ter o

cuidado para não transformar uma aula expositiva em uma aula expositiva onde se

utiliza da tecnologia. Para evitar tal situação, é preciso escolher estratégias pedagógicas

que “enfatizem a experimentação, visualização, simulação, comunicação eletrônica e

problemas abertos.” (p.86). É nesse ponto que a preocupação com a estratégia

pedagógica é inerente à construção de OA, pois, caso não se tenha esse cuidado,

incorre-se no risco de criar um círculo vicioso no qual “modernamente, o quadro-de-giz

tem sido substituído por coloridas e animadas exposições em power-point. Dá no

mesmo.” (MASIN; MOREIRA, 2008, p.58) Os autores chamam a atenção para o fato

de que, na minuciosidade dessa alteração, a tecnologia informática e as outras

tecnologias (como o quadro, giz, lápis e papel) se complementam através dos seus

respectivos usos nas práticas de ensino. Desse modo, a interação estudante–OA pode

contribuir para o trabalho paralelo entre estas tecnologias.

Page 32: REIS, 2013 - Dissertação - OA

32

A segunda preocupação está voltada para as atividades propostas. Silva et al.

(2007) sugerem que, as atividades elaboradas para o OA precisam despertar nos alunos

a capacidade de reflexão, para serem significativas e desafiadoras, a fim de que os

alunos se sintam motivados para uma dinâmica utilização desse sistema.

Júnior e Lopes (2007) levantam outra questão sobre a escolha das perguntas, isto

é, das atividades que comporão o OA, pois esta é uma atividade que permitirá o

“diálogo entre os alunos e professor em torno da aprendizagem de determinado

conteúdo escolar específico.” (p.9). Tais perguntas podem ser idealizadas de duas

formas, a saber: perguntas abertas e perguntas fechadas. As primeiras são aquelas que

permitirão ao aluno extrapolar o conteúdo abordado ou até mesmo se aprofundar na

matéria em questão; as segundas são aquelas que irão guiar e limitar mais a resposta do

aprendiz, como as questões de múltipla escolha. Ressalta-se aqui que ambas as

estratégias contribuem para o ensino e a aprendizagem. Porém, a diferença entre a

primeira e a segunda está no fato de que perguntas abertas exigirão maiores

intervenções do professor. No entanto, ambos os autores pensam que as perguntas

fechadas estão mais próximas da prática educativa de muitos professores, e ainda

esclarecem que optar por perguntas fechadas não anula a possibilidade de utilização das

perguntas abertas, sendo possível, portanto, desenvolver um OA que promova os dois

tipos de atividades.

Peres (2009), em sua pesquisa, cria um OA voltado para o conteúdo de máximos

e mínimos, cuja matéria está presente na disciplina de Cálculo. É perceptível que, para a

construção de um OA, as reformulações são constantes, e é possível tanto ampliar

quanto modificar tal Objeto durante o seu processo de criação, a fim de que os fins

propostos sejam alcançados. Ao aplicar o OA aos alunos de Cálculo, observou-se que

tal recurso auxilia na resolução das atividades de Matemática e ainda permite que o

próprio aluno controle o ritmo da sua aprendizagem.

Para construir um OA baseado no recurso digital, deve-se entender o que é um

material hipermídia. Segundo a definição de Bizelli; Fiscarelli e Barrozo (2010), esse

material é

[...] a junção de hipertexto com multimídia, onde multimídia são os diversos meios utilizados na representação de uma informação (texto, vídeo, áudio, animação) e hipertexto é um sistema onde a informação aparece na forma de texto, organizada não sequencialmente, mas por meios de ligações entre palavras chave. Através desses recursos computacionais, é possível apresentar o conteúdo necessário para a aprendizagem de uma maneira

Page 33: REIS, 2013 - Dissertação - OA

33

dinâmica por meio de textos explicativos, imagens, áudio, vídeos e animações. (BIZELLI; FISCARELLI; BARROZO , 2010, p.3).

Sobre como desenvolver materiais hipermédia, comunga-se aqui da metodologia

de Amante e Morgado (2001), que trazem as fases de desenvolvimento desses materiais,

os quais se aplicam ao desenvolvimento de OA, visto que estes são materiais

hipermídia. As fases são caracterizadas como: “1. Concepção do Projeto; 2.

Planificação; 3. Implementação; 4. Avaliação.” (p.4).

Na fase de concepção do projeto adota-se uma perspectiva teórica, a partir da

qual serão analisados todos os fatores que influenciarão na criação do OA: a escolha e

delimitação do tema, a estratégia pedagógica utilizada, a construção realizada

individualmente ou em equipe, o público-alvo, o programa computacional utilizado ou a

linguagem computacional a qual será utilizada. Nessa primeira fase tem-se um esboço,

com palavras de como será esse OA.

Destarte, é na fase de planificação que as ideias suscitadas na primeira fase

começam a a se estruturar. É nesta fase que será feito o esboço da Interface; é aqui que

se analisa como é trabalhado o tema e como aplicar a prática pedagógica. No Design, há

a preocupação com a interação computador/usuário, como serão as telas, a fim de que

elas sejam agradáveis à visualização; e, por fim, é ainda nesta fase que se propõem

também as formas de navegação oferecidas ao usuário, que podem ser lineares,

hierárquicas, não lineares ou compostas. A concretização da planificação, no papel, é

definida, por Amante e Morgado (2001) como storyboard. Esta é a peça-chave que

auxilia o programador, pois, a partir de tal ferramenta, ele tem o caminho a seguir. Vale

lembrar que, durante o processo de programação, o storyboard pode sofrer alterações de

modo a atender às propostas apresentadas na primeira fase ou outras não pensadas

durante as duas primeiras fases.

A implementação é a fase que permite analisar se o OA está atendendo à

proposta inicial; é o momento em que se podem testar partes do storyboard já

programado e é quando o programador faz um protótipo do OA; esta fase também

permite reformulações tanto no protótipo quanto no storyboard.

Por fim, é na avaliação que serão analisados os propósitos definidos, sobretudo

no que diz respeito ao seu cumprimento; é o momento de testar, adequar, visar e

analisar se tudo ocorreu conforme o planejado. Com base nessa avaliação, é possível

corrigir aspectos que não foram identificados nas fases anteriores. Amante e Morgado

(2001) sustentam a ideia de que a avaliação não coloca um fim no ciclo, mas que o

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34

processo é dinâmico e permite ao idealizador voltar ou avançar nessas fases quantas

vezes precisar, a fim de melhorá-las e, assim, atender ao objetivo proposto. O esquema é

apresentado pelas autoras na figura 1.

Figura 1: Ciclo de desenvolvimento de uma aplicação

Fonte: Adaptado de Amante e Morgado, 2001, p.16

Através do esquema acima, é possível analisar a dinamicidade entre as fases,

bem como a dimensão complementar presente entre elas ao longo do processo.

Silva et al. (2007), ao estudarem os princípios cognitivos na construção e

desenvolvimento de OA, descrevem praticamente as etapas aqui apresentadas por

Amante e Morgado (2001) e, a título de sugestão, propõem a criação de um guia do

professor, para que os educadores saibam como utilizar o OA tanto em sua dimensão

pedagógica quanto tecnológica, sugerindo ainda que a criatividade contribuirá na

construção de excelentes OA´s.

Reis (2010), a partir da metodologia de Amante e Morgado (2001), buscou as

características do processo de construção de um OA para conteúdos de Cálculo. Em sua

pesquisa, foi analisada a criação de um OA por cinco alunas do curso de licenciatura em

Matemática. Apresentaram-se as dificuldades presentes no processo de construção do

OA desde o seu início ao seu término. O autor relata dificuldades como: a delimitação

do tema, o desenvolvimento do Desing Pedagógico das atividades, o domínio do tema

escolhido, a participação do professor orientador em alguns momentos de

esclarecimentos e as várias reestruturações feitas na tentativa de atender melhor a

proposta pedagógica escolhida. Tais dificuldades levantaram reflexões, discussões,

registros e depurações das ideias relacionadas aos problemas encontrados durante todo o

processo, assim como reformulações constantes. Porém, foi possível, mediante todas as

dificuldades, elaborar um OA que atendesse as propostas iniciais.

Em suma, o computador é uma mídia que pode auxiliar o ensino aprendizagem,

tendo como uma das formas de utilização dessa ferramenta os REA. Dentre os REA’s

existentes, torna-se interessante os ditos OA’s, definidos para esta dissertação como

Page 35: REIS, 2013 - Dissertação - OA

35

recursos digitais com enfoque educacional que apresentam características como

flexibilidade, facilidade para atualização, customização e interoperabilidade, cuja

compreensão epistemológica foi feita à luz das reflexões de Nunes (2004), Wiley

(2000), Macêdo (2007) e Nascimento (2007). Características e compreensão utilizadas

para criar o OA desta pesquisa. Ainda para criar o OA, buscou-se, dentro do campo da

educação matemática, analisar a resolução de problemas, a fim de ser utilizada, nesta

pesquisa, como estratégia pedagógica na construção de um OA.

2.3 Resolução de Problemas: uma estratégia pedagógica

Como suscitado anteriormente, é necessário ter em vista uma estratégia

pedagógica na construção de um OA. Desse modo, faz-se aqui necessário analisar se a

resolução de problemas pode ser adotada como estratégia pedagógica na construção de

um OA. Historicamente, a resolução de problemas é percebida em documentos a partir

do matemático grego Pappus, em cujo discurso é notável a preocupação com tal

procedimento. Gazire (2009, p.4) salienta que “pode-se esperar que os problemas

matemáticos sejam o centro do ensino da Matemática”. Desse modo, a resolução de

problemas “pode embasar os caminhos a serem seguidos no desenvolvimento do

pensamento matemático nos alunos.” (p.7), auxiliando-os nessa área do conhecimento.

Laudares e Lachini (2001, p. 72) expõem que o saber pode “ser adquirido através de

uma situação problemática.” Essa situação permite soluções de problemas através de

etapas, a fim de que se chegue a uma conclusão, momento no qual o aluno poderá fazer

reflexões a respeito do desenvolvimento processual e da compatibilidade do problema

proposto e da resposta obtida.

Para compreender a importância que a resolução de problemas tem para o ensino

e a aprendizado em Matemática, deve-se compreender, antes de mais, o que vem a ser

um “problema”. De acordo com o pensamento de Dante (2003), os problemas são

situações criadas para que, através do pensamento e da lógica, o sujeito busque formas

de resolução. Assim, situações nas quais o indivíduo já tenha estratégias conhecidas ou

as realize de forma imediata, a resolução das mesmas não se apresentará como

problema. Nessa perspectiva, Pozo alega

[...] é possível que uma mesma situação represente um problema para uma pessoa enquanto que para outra esse problema não existe, quer porque ela não se interesse pela situação, quer porque possua mecanismos para resolvê-

Page 36: REIS, 2013 - Dissertação - OA

36

la com um investimento mínimo de recursos cognitivos e pode reduzi-la a um simples exercício. (POZO, 1998, p. 16)

Em conformidade com esse conceito de problema, Diniz e Smole (2001)

afirmam que a Resolução de Problemas trata de situações nas quais a resolução não

ocorre imediatamente, isto é, de situações onde há combinações de conhecimentos

prévios e decisões na escolha da melhor forma de buscar a solução.

Dante (1995, p.10) também define um problema matemático como “qualquer

situação que exija a maneira matemática de pensar além de conhecimentos matemáticos

para solucioná-la”. Assim, carece fazer a distinção entre exercício e problema,

principalmente no que se refere às ciências matemáticas. Nesse contexto, e dando

grande contribuição para a discussão que aqui se desenvolve, Pozo (1998, p.10) lembra

que “no exercício, disponhamos e utilizamos mecanismos que nos levam a uma solução

de forma imediata, diferenciando-o assim do problema”. No campo matemático, o

problema é um desafio que coloca os alunos frente a situações inusitadas, desconhecidas

e que, a priori, não revelam uma estratégia de resolução imediata por parte do aprendiz.

Dessa maneira, cabe ao aluno pensar a ferramenta que melhor se enquadraria na sua

resolução, bem como perceber se elas existem ou não. Complementando esta visão,

Dante (1995) afirma que o exercício é o ato ou efeito de exercitar, e serve para praticar e

repetir certos processos ou algoritmos. Assim, a diferenciação está em que os exercícios

permitem o treino de métodos já elaborados de resoluções em Matemática, enquanto os

problemas carecem de reflexões e análises para serem resolvidos.

No que se refere aos problemas de fenômenos físicos, Anton; Bivens e Davis

(2007) sustentam a ideia de que, aqui, estão em causa problemas em que as grandezas

presentes variam com relação a outras, de modo que a “[...] velocidade de um foguete, a

inflação de uma moeda, o número de bactérias de uma cultura, a intensidade de um

tremor de um terremoto, a voltagem de um sinal elétrico [...]” (p.165) são exemplos de

variáveis presentes em problemas de fenômenos físicos.

Pozo (1998) relata que, para que o ensino e a aprendizagem em qualquer área do

conhecimento sejam efetivados com êxito, é necessário que o aluno não tenha apenas os

conhecimentos já elaborados, isto é, aqueles que fazem parte da cultura e ciência de

uma sociedade, mas, principalmente, que adquira habilidades que o permitam aprender

de maneira autônoma. O autor afirma que uma das formas de dar autonomia aos alunos

é através da resolução de problemas, pois o ensino baseado nesse método leva o

aprendiz a ter uma postura ativa diante de situações novas e diferenciadas, fazendo com

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37

que ele se esforce para encontrar sua própria resposta e construir seu próprio

conhecimento.

De acordo com Branca (1997), a expressão “resolução de problemas” é

diversificada e traz diferenciados significados. Porém, em Matemática, a expressão é

mais limitada, mas ainda assim traz vários significados e interpretações.

As atividades classificadas como resolução de problemas em matemática incluem resolver problemas simples, desses que figuram em livros didáticos comuns, resolver problemas não rotineiros ou quebra-cabeça, aplicar a matemática a problemas do mundo “real” e conceber e testar conjecturas matemáticas que possam conduzir a novos campos de estudo. (BRANCA, 1997, p. 4).

Dentre estas várias possibilidades de interpretar a resolução de problemas, a

autora apresenta três concepções, sendo elas: a resolução de problemas como uma meta,

como um processo e como uma habilidade básica.

A primeira concepção defende o ensino de conceitos matemáticos para

desenvolver habilidades de resolução de problemas, podendo, assim, ser vista com uma

meta de estudo.

A segunda concepção dá ênfase à resolução de problemas como um “processo

dinâmico e contínuo” (BRANCA, 1997, p.5). Nessa concepção, as estratégias

utilizadas pelos aprendizes para resolver os problemas se tornam mais importantes do

que apenas chegar simplesmente à resposta do problema.

Já a terceira concepção traz um ponto de tensão ao propor a resolução de

problemas como habilidade básica em Matemática, pois tal conceito traz disparidades

no que se refere à definição de habilidades básicas em Matemática.

Diniz e Smole (2001), com base nas concepções apresentadas por Branca (1997)

e em estudos realizados pelas mesmas, desenvolveram uma concepção própria de

resolução de problemas, de acordo com a qual esse conceito é visto como uma

perspectiva metodológica. Ao utilizarem, neste contexto, o termo perspectiva enquanto

uma certa forma de analisar, as investigadoras quiseram ampliar o conceito de resolução

de problemas, de modo a não se restringirem em uma metodologia elementar. Assim, a

Resolução de Problemas contribui para um modo de organizar o ensino, amplia-se para

uma outra postura de ensino e aprendizagem. Em conformidade com Pozo

[...] ensinar os alunos a resolver problemas supõe dotá-los da capacidade de aprender a aprender, no sentido de habituá-los a encontrar por si mesmos respostas às perguntas que os inquietam ou que precisam responder, ao invés

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38

de esperar uma resposta já elaborada por outros e transmitida pelo livro-texto ou pelo professor. (POZO, 1998, p. 09)

Diante desta reflexão, são apresentadas três características da perspectiva

metodológica de Diniz e Smole (2001) para a resolução de problemas.

A primeira característica demonstra que um problema é qualquer situação que

permita problematização. Nesta característica, a ideia de situação pode aludir a qualquer

forma de atividade e até mesmo a problemas que opurtunizem investigação, fazendo

com que o aprendiz determine o seu ritmo de aprendizagem.

A segunda característica desta perspectiva tenciona propor situações-problema.

Porém, o aluno já estará munido de métodos para resolvê-las, o que vai permitir, assim,

o treino de procedimentos e estratégias.

A terceira característica propõe o intrínseco trabalho entre

conteúdo/metodologia. Durante as situações-problema, deve haver oportunidade para

que o aprendiz construa conhecimentos sobre o conteúdo, de modo a não favorecer

apenas o treino de manipulações ou a resolução de forma mecânica.

Nesta perspectiva apresentada por Diniz e Smole (2001), a resposta da situação-

problema correta se torna tão importante quanto aos processos utilizados para encontrá-

la. Assim, analisar os processos utilizados e/ou as estratégias permitirá ao aprendiz

ampliar o seu conhecimento no que se refere à prática de resolução de problemas. A

partir desta análise, o aprendiz pode investigar a solução, o processo utilizado e a

própria situação apresentada, desenvolvendo em si mesmo a postura de inconformidade

frente às questões impostas e proporcionando, assim, o desenvolvimento do senso

crítico e da criatividade discente.

Analisar a Resolução de Problemas como uma perspectiva metodológica a serviço do ensino e da aprendizagem de matemática amplia a visão puramente metodológica e derruba a questão da grande dificuldade que os alunos e professores enfrentam quando se propõe a Resolução de Problemas nas aulas de matemática (DINIZ; SMOLE, 2001, p.87).

Nessa perspectiva metodológica, a resolução de problemas é sugerida como

ferramenta de auxílio no aprendizado contínuo de Matemática, e não como simples fato

inerente à esta ciência. Se, por um lado, a resolução de problemas contribui para o

aprendizado do conteúdo matemático, é necessário analisar como se dá o processo de

resolução de um problema. Essa discussão atravessou os séculos, perpassando textos de

Pappus, René Descartes, dentre outros, que tiveram preocupações em como se

Page 39: REIS, 2013 - Dissertação - OA

39

desenvolve tal processo. Em Polya (1977), é possível analisar um esquema com as

quatro etapas principais que auxiliam nessa resolução:

a) Compreender o problema;

b) Elaborar um plano;

c) Executar o plano;

d) Fazer o retrospecto ou verificação.

Essas etapas não são obrigatórias, mas são, entretanto, passos que vêm auxiliar

na resolução de um problema. Dentro de cada etapa, o autor sugere perguntas que visam

auxiliar o encaminhamento de cada passo no processo da resolução.

Na compreensão do problema, o aluno é levado a refletir o enunciado e buscar

os dados presentes no enunciado do problema. Para organizar tais dados e fazer as

devidas conexões entre os mesmos, a fim de se chegar a uma solução sugere elaborar

um plano. Com um plano bem definido, é hora de executá-lo, colocá-lo em prática,

verificando e validando cada passo. A última etapa, que corresponde ao retrospecto, é o

momento no qual se examinará o resultado encontrado, etapa na qual o aluno deve

refletir todo o processo, analisando se a resposta encontrada é de fato coerente com

relação aos dados e se é possível outros caminhos para se chegar à mesma conclusão.

Stewart (2006) comenta sobre a dificuldade que os alunos apresentam na

resolução de problemas e alega que, para resolver problemas, não há um único

procedimento ou procedimentos bem definidos. Sugere a sua própria estratégia de

resolução de problemas, que, na verdade, é uma adequação dos passos sugeridos por

Polya (1977) no que diz respeito aos problemas de Cálculo. O autor renomeia os passos

em quatro etapas: entendendo o problema, planejamento, cumprindo o plano e revendo.

Entendendo o problema: fase que remete a atenção do aluno para, perguntas

como apresentado por Polya (1977) na compreensão do problema. Além disso, essa fase

compreende também a elaboração de diagramas, quando possível, e a introdução de

notações matemáticas necessárias e apropriadas.

No planejamento, sugere-se o reconhecimento de padrões familiares, como

equações matemáticas por exemplo, o uso de analogias já conhecidas pelo aluno, a

divisão do problema em casos menores, respaldando o trabalho no retrospecto e, assim,

estabelecendo submetas, utilizando raciocínio direto ou até mesmo a indução

matemática.

O foco da resolução de problemas de Stewart (2006) encontra-se na etapa em

que se cumpre o plano. É o momento de aplicar as ponderações realizadas na segunda

Page 40: REIS, 2013 - Dissertação - OA

40

etapa. Quanto à etapa de rever, trata-se do momento de refletir sobre todos os passos

dados e também sobre a resposta encontrada.

Deste modo, a resolução de problemas é defendida como uma estratégia

pedagógica, pois, segundo as visões apresentadas, através da resolução de um problema

pode-se chegar à compreensão de conceitos e à construção do conhecimento. Assim,

para o OA construído, foi utilizado como estratégia pedagógica a resolução de

problemas.

Page 41: REIS, 2013 - Dissertação - OA

41

3 TAXAS E O ENSINO DE CÁLCULO

3.1 Taxas de Variação e Taxas Relacionadas

Para que se compreenda o conteúdo de Cálculo abordado nesta dissertação

(Taxas Relacionadas), analisa-se primeiramente o objeto de estudo do Cálculo. Pode-se

dizer que o Cálculo estuda a “variação e movimento” (ZUIN, 2001, pg.13). Assim, a

Matemática, através do Cálculo, ganha uma nova dimensão. A sua representação,

muitas vezes estática, ganha dinâmica e, a partir dos movimentos, novos conceitos são

incorporados.

Um desses conceitos é o de Taxas de Variação cujo vetor é extremamente

necessário para o estudo de Taxas Relacionadas. Baseado em Stewart (2006), tem-se:

suponha que uma quantidade y depende de uma quantidade x. Desse modo, pode-se

escrever uma função f, onde a imagem pode ser dada por y = f(x). Caso o valor de x

varie de 1x para 2x , então haverá uma variação de x chamada de 12 xxx −=∆

(incremento de x), e uma variação correspondente de y determinada por

)()( 12 xfxfy −=∆ (incremento de y), de modo que o quociente x

y

∆ é denominado

“taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [ 1x , 2x ] [...]” (STEWART,

2006, p.154). Quando essa função é representada graficamente, o quociente apresentado

pode ser interpretado como a inclinação de uma reta secante a curva y = f(x) que passa

pelos pontos (1x ; 1(xf )) e ( 2x ; )( 2xf ). Assim, algebricamente, a taxa de variação média

é o quociente x

y

∆ e, geometricamente, é a inclinação de uma reta secante.

O quociente x

y

∆ está presente em grandezas variáveis que representam

fenômenos físicos como velocidade, aceleração, torque, corrente elétrica, custo

marginal, dentre outros. Essas grandezas podem ser representadas algebricamente por

funções que, por sua vez, dependem do tempo, podendo-se achar incrementos. Por

exemplo: a aceleração é a variação da velocidade 12 vvv −=∆ (incremento da

velocidade) em relação à variação do tempo 12 ttt −=∆ (incremento do tempo),

podendo ser escrita como o quociente a = t

v

∆, que é a aceleração média. Observa-se

Page 42: REIS, 2013 - Dissertação - OA

42

que os quocientes x

y

∆ e

t

v

∆ se diferem apenas quanto à escolha das notações utilizadas.

Contudo, esses quocientes detêm o mesmo significado, isto é, a variação de uma

grandeza em relação à outra.

Já a taxa de variação instantânea é dada como o limite de x

y

∆ quando o

incremento x∆ aproxima-se de zero, isto é, quando o quociente desta fração tende a

zero. O gráfico 1 auxilia na compreensão

Gráfico 1: Função f

Fonte: Stewart, 2006, p. 154

No gráfico, tem-se inicialmente a reta secante a curva exposta no gráfico da

figura 2. Esta reta passa pelos pontos P e Q. Assim, a taxa de variação média é a sua

inclinação, que também pode ser calculada pelo quociente x

y

∆. Quando o ponto

2x aproxima-se de 1x , o incremento x∆ aproxima-se de zero. Deste modo, a reta secante

tende a reta tangente à curva passando pelo ponto P, e a inclinação desta reta é definida

como taxa de variação instantânea. De modo formal, o 12

12

0

)()(limlim

12 xx

xfxf

x

y

xxx −

−=

→→∆

é a taxa de variação instantânea. Esse limite, para esta dissertação, receberá o nome de

limite especial, visto que sua ocorrência no estudo de Cálculo é frequente.

Segundo Zuin (2001), a diferença entre taxa de variação média e taxa de

variação instantânea, quando trabalhada como um fenômeno físico, pode ser

compreendida do seguinte modo: imagine um carro partindo de um ponto A para um

ponto B em trajetória curvilínea, estando tais pontos fixados em um eixo de referência

Page 43: REIS, 2013 - Dissertação - OA

43

(plano cartesiano) em que a abscissa representa o tempo e a ordenada a posição do

móvel em cada instante. A distância entre os pontos A e B pode ser calculada como y∆

e o tempo que esse carro gastou para sair de A e chegar em B pode ser calculado como

x∆ . Para obter a velocidade média, isto é, se o carro tivesse ido com a mesma

velocidade de A até B sem mudar o seu módulo da velocidade, bastaria calcular x

y

∆.

Quando representado graficamente, este quociente representa a inclinação da reta

secante que passa pelos pontos A e B. Fisicamente, esse mesmo quociente representa a

taxa média de variação, denominada, neste caso, como velocidade média.

Porém, sabe-se que, em um determinado tempo (1x , 2x ou em qualquer outro

tempo em que o carro estivesse andando em linha reta possuindo aceleração), a

velocidade do veículo iria variar, podendo não ser a mesma durante todo o trajeto entre

A e B, de onde surge o conceito de taxa de variação instantânea, a velocidade do carro

no momento 1x , 2x ou em qualquer outro momento. Para isso, a partir da velocidade

média, dada pelo quociente x

y

∆, pode-se procurar a velocidade instantânea no exato

momento 1x . Bastaria ir aproximando 2x de 1x , o que faria com que o denominador

desta fração fosse se aproximando de zero. Assim, chega-se à idéia do limite da taxa de

variação média que é a taxa de variação instantânea. Ao representar graficamente a

situação por uma função s (posição), a inclinação da reta tangente que passa pelo ponto

1x é exatamente a taxa de variação instantânea. Para fins pedagógicos, podem-se utilizar

outras notações para representar as grandezas presentes. Por exemplo: a posição poderia

ser representada por s e o tempo por t, de modo que, ao representar no eixo de

referência, a função seria s com imagens s(t), e não mais f com imagens y = f(x). As

notações mudariam, porém a ideia continuaria presente.

Thomas (2002, p.154) alega que, nos problemas de Cálculo, “quando dizemos

taxa de variação, queremos dizer taxa de variação instantânea”, sendo pertinente, assim,

omitir o adjetivo instantâneo quando se tratar de taxas de variação no conteúdo de Taxas

Relacionadas. Tais conceitos já devem estar formalizados para o aluno no momento em

que ele for trabalhar com as taxas relacionadas.

A importância do estudo de taxas de variação é apresentada por Stewart

[...] taxa de variação do trabalho em relação ao tempo (que é chamada potência). Quem estuda as reações químicas se interessa pela taxa de

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44

variação da concentração de um reagente em relação ao tempo (denominada taxa de reação). Uma siderúrgica se interessa pela taxa de variação do custo de produção de x toneladas e aço por dia em relação a x (definida como custo marginal). Um biólogo está interessado na taxa de variação populacional de uma colônia de bactérias no tempo. De fato, o cálculo de taxas de variações é importante nas engenharias e em todas as ciências naturais, exatas e até mesmo as sociais. (STEWART, 2006, p.155).

As taxas de variação estão presentes no vasto campo do conhecimento científico

e, a partir dessa abrangência e importância conceitual, torna-se preocupação do

professor a melhor maneira de ensinar tal conteúdo e as mais eficazes formas de

clarificá-lo para seus alunos.

Ao estudar as taxas de variação instantânea, recorre-se ao limite especial

12

12

0

)()(limlim

12 xx

xfxf

x

y

xxx −

−=

→→∆, que recebe o nome de função derivada. Desse modo,

a derivada é uma taxa de variação que, enquanto tal, está presente nas resoluções de

problemas, nomeadamente no que se refere às Taxas de Variação, e, por consequência,

às Taxas Relacionadas. As derivadas podem ser representadas por notações como y’,

f’(x), dx

dy, dentre outras, quando a função estudada f possui imagem y = f(x). Stewart

(2006, p.161) define “A derivada f’(a) é a taxa de variação instantânea de y = f(x) em

relação a x quando x = a”. Isto é, num determinado instante, e ainda “as derivadas são

interpretadas como as inclinações e as taxas de variação.” (p.183). É importante

ressaltar que os conceitos de taxa de variação, inclinação de uma reta tangente e

derivada são intrínsecos.

Nesta pesquisa, o objetivo de estudo requer o conceito de derivada, bem como as

regras de derivação. Nesse sentido, Stewart (2006) alega que utilizar a todo o momento

a definição de derivada, isto é, o limite especial, para resolver problemas seria tedioso, o

que o leva a sugerir as regras de diferenciação, pois elas facilitarão o trabalho de

calcular as derivadas, evitando perda de tempo no que se refere aos problemas de taxa

de variação e até mesmo aos problemas envolvendo funções. Logo, há a necessidade de

que o aluno já domine as regras de diferenciação, em especial a regra da cadeia, que

dará o suporte ao estudo das taxas relacionadas. Contudo, é necessário que o aluno

compreenda o significado de derivada como uma taxa de variação.

Perfazendo este trabalhado de forma significativa, o aluno poderá compreender a

essencialidade desses conceitos no que diz respeito ao estudo de taxas relacionadas.

Stewart (2006, p.255) diz que “em um problema de taxas relacionadas, a ideia é

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45

computar a taxa de variação de uma grandeza em termos de taxa de variação da outra

(que pode ser medida mais facilmente).” Neste contexto, Thomas (2002) define Taxas

Relacionadas como a atividade de “encontrar uma taxa que não pode ser facilmente

medida a partir de uma outra. O que pode ser medido é um problema que se chama

problema de taxa relacionada.” (p.197). Assim, a partir de taxas de variação conhecidas,

pretende-se relacioná-las com a utilização da regra da cadeia, a fim de obter outra taxa

que, por sua vez, possa ser facilmente calculada por essa relação, a qual pode ser

alcançada por equações matemáticas já existentes ou elaboradas para tal propósito.

Apesar dos tão diversificados problemas de Taxas Relacionadas a presente

dissertação buscará abordar os problemas de fenômenos físicos que, segundo Anton;

Bivens e Davis (2007, p.165) são aqueles que “envolvem grandezas que variam, como a

velocidade de um foguete, a inflação de uma moeda, o número de bactérias em uma

cultura, a intensidade do tremor de um terremoto, a voltagem de um sinal elétrico, e

assim por diante.” Assim, pode-se concluir que problemas de fenômenos físicos

envolvem variações de grandezas.

3.2 Ensino de Cálculo: propostas e dificuldades

Segundo Zuin (2001), a essência do Cálculo aconteceu no século XVII, a partir

dos estudos de Isaac Newton e Leibniz. Porém, muitos povos (egípcios, gregos, dentre

outros) e outros matemáticos, antes e depois de Newton e Leibniz, contribuíram para a

elaboração das ideias e formalizações de conceitos que hoje estão presentes neste

conteúdo. Newton reconhece essas contribuições: “Se eu pude ver mais longe é porque

estava apoiado em ombros de gigantes.” (ZUIN, 2001, p.16).

Inicialmente, o Cálculo tem seus estudos voltados para o movimento ou fluxões

– termo utilizado por Newton. Assim, ainda segundo a autora, com Newton e Leibniz,

“o Cálculo passa a constituir um campo autônomo do conhecimento, sendo empregado

para resolver diversos problemas.” (ZUIN, 2001, p.28), tornando-se uma ciência

indispensável tanto ao auxílio do desenvolvimento tecnológico e das disciplinas afins à

Matemática quanto para as áreas de humanas. Lachini (2001, p. 67) alega que “o

Cálculo é um capital cultural, um bem simbólico cuja eficácia reside na possibilidade de

ser um instrumento teórico e metodológico de abordagem de muitos fenômenos físicos,

através da modelagem matemática”, evidenciando a importância deste conteúdo. A esse

respeito, Stewart pondera que

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46

[...] hoje, o cálculo é usado na determinação de órbitas de satélites e naves espaciais, na predição do tamanho de uma população, na estimativa de como aumenta o preço do café, na previsão do tempo, na medida do fluxo sanguíneo de saída do coração, no cálculo dos prêmios dos seguros de vida e em uma grande variedade de outras áreas. (STEWART, 2006, p.9).

A importância do conteúdo transcende a riqueza cultural e, nos tempos atuais,

tendo em vista sobretudo a possibilidade de gerar novas descobertas e auxiliar o avanço

científico e/ou tecnológico a partir dos conhecimentos de Cálculo, surge a preocupação

quanto ao ensino e sua aprendizagem dessa área de conhecimento. Diante de tal

realidade, há várias pesquisas atualmente desenvolvidas e que se voltam para o ensino e

a aprendizagem de Cálculo. Essas pesquisas se devem à importância desse conteúdo e,

sobretudo, devido aos altos índices de reprovação, repetência e abandono dessa

disciplina nos cursos de Matemática e Engenharia. Tais pesquisas visam buscar

contribuições para ensinar os conteúdos de Cálculo de modo significativo, bem como

verificar onde se apresentam as dificuldades que culminam em um “fracasso” dos

alunos nessa disciplina, além de buscar soluções para trabalhar as dificuldades surgidas

durante o processo.

Pesquisas como as de Miranda (2010), Frota e Couy (2007), Rezende (2007),

Lachini (2001) e Barros e Meloni (2006) buscam por essas respostas e propõem

estratégias a serem empregadas no ensino e na aprendizagem dessa disciplina.

Frota e Couy (2007) fizeram uma pesquisa para verificar a visualização,

permitindo a comunicação entre as representações no estudo de Cálculo. Em

Matemática, as representações podem surgir em forma de gráficos, diagramas, gráfico-

numérica, em linguagem natural (verbal-descritiva), na formalização e nas técnicas de

manipulações algébricas. A partir da visualização, tais representações podem permitir

ao aluno assimilar conceitos presentes na Matemática. Thomas (2002, p. 16), a respeito

dos gráficos, considera que tais ferramentas “ajudam por apresentar uma representação

visual de conceitos e relações”. Assim, é defendida a utilização de processos visuais

como forma de ensinar Cálculo, “pois estudantes dispostos a utilizar os processos

visuais apresentam uma maior habilidade na resolução de problemas matemáticos.”

(FROTA; COUY, 2007, p.12). Porém, Frota e Couy (2007) alegam que esses processos

são pouco estimulados em sala de aula, em todos os níveis: fundamental, médio e

superior, motivo pelo qual defendem que a introdução do Cálculo pode ser informal,

intuitiva e conceitual, devendo ser promovida a partir da utilização dos vários tipos de

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47

representações, de modo a construir no aluno a capacidade de uma “compreensão

conceitual” (p.14).

Promover o estudo de cálculo através da visualização gráfica, numa perspectiva que permita a comunicação entre as várias formas de representação matemática e a passagem de um tipo de linguagem a outro pode, com efeito, elevar a qualidade da aprendizagem nos cursos de cálculo. (FROTA; COUY, 2007, p.14).

O trabalho pode ser realizado com dinamicidade entre as representações,

momento em que o aluno tem a oportunidade de representar as situações de diversas

formas, a fim de visualizar e compreender a situação, incorporando e desenvolvendo os

conceitos em questão. Lachini citando Stewart, considera que

A ênfase está na compreensão dos conceitos. Penso que todos concordam que esta deve ser a meta principal no ensino de Cálculo, em sintonia com a diretriz da Conferência de Tulane, de 1986, que formulou como recomendação fundamental; focalizar na compreensão conceitual. (STEWART apud LACHINI, 2001, p.172).

Assim, esse autor reforça que o estudo de Cálculo deve se focar no significado

dos conceitos envolvidos, sem a preocupação de, a priori, formalizá-los com o rigor

matemático, pois “somente quem apreende o conceito é capaz de descrever e

verbalizar.” (LACHINI, 2001, p.172), para enfim formalizar.

Miranda (2010) verifica a dificuldade dos seus alunos em visualizar os traçados

de gráficos de superfícies tridimensionais. Para auxiliar essa visualização, o professor

utilizou um software matemático. Através de atividades que permitiram a utilização de

“mídias, lápis, papel e software, em conjunto com aspectos de uma abordagem

metodológica de experimentos de ensino, favorecem uma interação de conteúdos novos,

subsunçores e imagens conceiturais dos estudantes” (MIRANDA, 2010, p.126). Ainda

na mesma pesquisa, conclui-se que a utilização das mídias, entendidas aqui como

softwares e outros materiais hipermídia, bem como o lápis e papel, não somente

permitiu visualizar as superfícieis, mas contribuiu na construção do conhecimento dos

alunos. A utilização do computador enquanto mídia contribuiu também para a

“construção, visualização, comparação e comprovação das conjecturas dos aprendizes,

contribuindo de maneira significativa para sua aprendizagem dos conteúdos

pretendidos.” (MIRANDA, 2010, p.127). A TIC promoveu de forma mais agradável a

compreensão de conceitos pelos alunos, uma vez que eles foram capazes de configurar

Page 48: REIS, 2013 - Dissertação - OA

48

seu próprio conhecimento, além de favorecer a visualização e as representações do

conteúdo abordado.

Outra dificuldade apresentada é a defasagem em conteúdos matemáticos básicos,

apresentada pelos alunos que ingressam nos cursos superiores. Alega-se que tais

dificuldades, já acumuladas durante o ensino básico, como o pouco conhecimento dos

conceitos matemáticos, dificultam certas compreesões no conteúdo de Cálculo. Uma das

medidas adotadas pelas instituições foi criar disciplinas auxiliares para dar

embasamento ao aluno. O “Cálculo (0, I, II, III...) ou ainda Cálculo (A, B, C, D, ...)

[...]” (MIRANDA, 2010, p.20) que, segundo o autor, normalmente o Cálculo 0 e/ou o

Cálculo A fazem revisões de conceitos e técnicas de manipulações algébricas do ensino

básico.

Enquanto instituições tentam amenizar essas dificuldades implementando o pré-

Cálculo ou Fundamentos de Matemática Elementar para suprir as lacunas trazidas pelos

alunos que cursarão o conteúdo de Cálculo, há pesquisadores (como Nasser, Sousa e

Torraca (2012)) que buscam analisar o fracasso no ensino e na aprendizagem de Cálculo

sob outro olhar: voltar ao Ensino Médio e verificar como se dá a transição dos

paradigmas de ensino deste período escolar para o Ensino Superior. Além disso, esses

investigadores propõem também certas mudanças em conteúdos trabalhados no Ensino

Médio, visando um melhor rendimento na aprendizagem de Cálculo no Ensino

Superior.

Em sua pesquisa, os autores evidenciam dois conteúdos pertinentes a essa

transição de práticas de ensino e transmissão de conhecimento: a Geometria e as

Funções. O modo como estes dois conteúdos são trabalhados no Ensino Médio contribui

para o fracasso em Cálculo no percurso do Ensino Superior. Os autores ainda sugerem

um modo para abordar esses conteúdos de modo a facilitar a aprendizagem de Cálculo.

Sobre a Geometria:

[...] observa-se que a maioria dos problemas do Cálculo depende de uma representação visual adequada, como os problemas típicos de “máximos e mínimos”, de “taxas relacionadas” e de “área entre curvas”. Em geral, a dificuldade dos alunos nesses problemas não é na aplicação do conceito de derivada ou de integral, mas na sua representação geométrica e na identificação de relações entre os elementos da figura. (NASSER; SOUSA; TORRACA, 2012, p.5).

Transitar da Geometria para Álgebra é uma das dificuldades levantadas pelos

autores. Dada uma situação problema que envolva geometria, extrair as informações

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49

presentes com as devidas notações algébricas, a fim de resolvê-la utilizando as devidas

ferramentas e notações necessárias, é um fator complicador no estudo de Cálculo.

Em problemas de Taxas Relacionadas, por exemplo, além da representação

Geométrica, o aluno deve ser capaz de idealizar o movimento. A presença de tal

movimento é dificultada pela abordagem e pelo tratamento dado aos conteúdos durante

o Ensino Médio. Sobre este aspecto, Nasser, Sousa e Torraca (2012), citando

Balomenos, Ferrini-Mundy e Dick (1994,) alegam que os professores do Ensino Médio

não fazem o elo necessário entre o Ensino de Geometria e o de Ensino de Cálculo:

O verdadeiro desafio está na habilidade de desenvolver uma representação geométrica de situações físicas a partir de uma descrição verbal complicada. Muitas vezes, a chave da solução consiste em resolver um problema geométrico em que o tempo é “congelado”. (NASSER; SOUSA; TORRACA, 2012, p.247).

Neste aspecto, os problemas de Taxas Relacionadas podem ter um suporte

inicial no Ensino Médio ao se trabalhar o conteúdo de Geometria, cujo suporte é

categorizado como “Prontidão para o Cálculo” (NASSER; SOUSA; TORRACA, 2012,

p. 11), isto é, durante o trabalho de um certo conteúdo no Ensino Médio, seria possível

fazer pequenas adaptações que, no futuro, facilitariam o estudo de Cálculo no Ensino

Superior. Os investigadores dão o seguinte exemplo para a Geometria enquanto suporte

para o ensino de Taxas Relacionadas.

Quadro 1: Problema de taxas relacionadas

Um tanque tem a forma de um cone invertido, com altura H e raio do topo

circular igual a R. Inicialmente vazio, o tanque começa a encher de água a uma vazão

constante de k litros por minuto. Exprima a velocidade com que sobe o nível da água

dt

dh, em função da profundidade h.

Fonte: Nasser, Sousa e Torraca, 2012, p.13.

Tem-se a descrição verbal apresentada e, dessa descrição, pode-se representar

geometricamente a situação:

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50

Figura 2: Seção transversal do tanque.

Fonte: Nasser, Sousa e Torraca, 2012 , p. 14.

Em nível superior, O problema pode ser trabalhado segundo o conteúdo de

Taxas Relacionadas, que corresponde a trazer uma equação que relacione os dados

presentes no problema (relações entre os elementos da figura) e a se utilizar da regra da

cadeia para fazer o elo entre as taxas de variação presentes, a fim de achar o dado

procurado.

No Ensino Médio, esse problema pode ser trabalhado de modo a pedir aos

alunos que calculem o volume de água no tanque em cada instante. Desse modo, a ideia

implícita de movimento se fará presente, assim como o trabalho da Geometria com

semelhança de triângulos e a função que relaciona os dados apresentados. Essa é uma

abordagem que configura, segundo Nasser, Sousa e Torraca (2012) a prontidão para o

cálculo.

Para o estudo de funções, Nasser, Sousa e Torraca (2012) sugerem a construção

de gráficos de forma manual ou com auxílio de tecnologia, a translação de gráficos de

funções, a simetria (ímpar e par), fazer elos entre o conteúdo de funções (e outros

conteúdos matemáticos), exemplos, progressões (aritmética e geométrica) e a geometria

e o trabalho com funções de várias sentenças, de modo a focar nos conceitos.

Assim, os resultados da pesquisa sugerem duas orientações a respeito do ensino

de geometria e funções: a primeira é “desenvolver uma proposta alternativa para as

aulas de Matemática no Ensino Médio, que antecipe situações e problemas do Cálculo,

gerando o que chamamos de prontidão para o estudo de Cálculo.” (NASSER;

SOUSA;TORRACA, 2012, p.17). No que se refere à Geometria como auxílio no ensino

de Taxas Relacionadas, deve-se “contemplar representações gráficas de figuras bi e

tridimensionais, típicas de problemas de taxas relacionadas e de máximos e mínimos

[...]” (p.17); a segunda proposta é trabalhar atividades de Matemática Básica com os

alunos calouros dos cursos que requerem Cálculo como disciplina básica, de modo a

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desenvolver um “pensamento matemático avançado” (NASSER; SOUSA; TORRACA,

2012, p.17). Essas duas propostas tentam, como foi exposto acima, amenizar o fracasso

no estudo de Cálculo.

Barros e Meloni (2006), sobre o ensino de Cálculo, enunciam que a metodologia

utilizada por alguns professores tem ênfase nas aulas expositivas, nas quais o professor

detém o conhecimento e os conceitos, e em cujas aulas as definições são apresentadas

sem questionamentos ou sem a preocupação de dar-lhes o devido significado. Com isso,

os alunos passam a resolver de forma mecânica os problemas, isto é, sem criatividade e

reflexividade frente às propostas apresentadas, surgindo, por parte dos alunos,

questionamentos quanto à importância dessa disciplina no currículo. Vê-se que “os

cursos de Cálculo em geral, ainda hoje, priorizam mais as operações e técnicas de

Cálculo do que a significação para o aluno.” (BARROS e MELONI, 2006, p.1734).

Quanto às dificuldades apresentadas pelos alunos na disciplina de Cálculo, os

autores estão em conformidade com outros quando dizem que “o despreparo que os

alunos herdam do ensino médio é um dos principais motivos que justifica os altos

índices de reprovação e outros problemas nas aulas de Cálculo.” (p.1734). A construção

da lógica matemática, que deveria se dar ao longo do processo estudantil (Ensino

Infantil, Ensino Fundamental e Médio) é defasada ou desprovida de significados para o

aluno, o que pode contribuir para o fracasso dos estudantes em Cálculo. Na tentativa de

sanar algumas das dificuldades apresentadas pelos alunos, professores se utilizam de

estratégias, tais como “acusar o aluno de relapso, aumentar a lista de exercícios, explicar

mais vezes o mesmo problema.” (BARROS e MELONI, 2006, p.1735). Diante de tal

situação, o que até aqui foi discutido permitiu observar que o aprendizado não surte o

real efeito no corpo discente e, obviamente, as dificuldades se mantêm. Assim, o

[...] ensino de Cálculo está relacionado com a dificuldade dos alunos em desenvolver habilidade para construir a compreensão dos conceitos matemáticos de tal forma que pudessem interpretar o significado dos conceitos, reconhecer quando aplicá-los e perceber a extensão e as limitações desta aplicabilidade, ou seja, o fato do aluno manipular corretamente a lógica simbólica para resolver uma determinada questão não implica necessariamente na compreensão do conceito utilizado. Estes conceitos muitas vezes são abstratos, o que dificulta ainda mais a compreensão dos alunos. (BARROS; MELONI, 2006, p.1734).

Segundo os autores, as manipulações algébricas nem sempre dificultam o ensino

de Cálculo. O aluno pode manipular corretamente os dados sem, entretanto, alcançar a

compreensão do que esteja necessariamente fazendo ou até mesmo não compreendendo

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os conceitos estudados, o que torna o Cálculo de certa forma mecânico. Assim, o

enfoque do ensino de Cálculo é propô-lo de que o aluno consiga compreender os

conceitos, interpretar os significados, bem como saber onde e como aplicá-los.

Em sua pesquisa, Lachini (2001) aponta alguns indícios, na tentativa de explicar

o fracasso dos alunos em Cálculo. Inicialmente, verificam-se dois objetivos do ensino e

da aprendizagem de Cálculo. Segundo o autor,

Um deles é habituar o estudante a pensar de maneira organizada e com mobilidade; o outro, estabelecer condições para que o estudante aprenda a utilizar as ideias do Cálculo como regras e procedimentos na resolução de problemas em situações concretas. (LACHINI, 2001, p.147).

Dessa forma, o ensino de Cálculo pode ser pensado de duas maneiras:

significativo (que promova a compreensão dos conceitos envolvidos) e instrumental

(que dote o aluno de uma ferramenta que permite a resolução de problemas). Um fator

preocupante é o grande número de reprovações que, às vezes, pode ser explicado pela

má preparação dos alunos, pela defasagem apresentada também por alguns professores,

pela estrutura da sala de aula, pelo tempo que o aluno dedica ao estudo de Cálculo, pela

forma como o professor utiliza o material didático disponível, pela aprendizagem

somente para fazer provas ou atividades avaliativas e pelo déficit de conteúdos

necessários para o estudo de Cálculo, são aspectos apontados por Lachini (2001).

Compreender os conceitos envolvidos na disciplina de Cálculo é um fator determinante

no estudo desse conteúdo. Uma das formas apresentadas na tentativa de obter esse êxito

é “o uso de tecnologias – livro, máquina de calcular, computador – é uma necessidade e

pode ajudar de forma decisiva no estudo do conteúdo de cálculo.” (LACHINI, 2001,

p.185). Aqui, o termo tecnologias tem o sentido de tudo que externa o ser e auxilia no

aprendizado. Assim,

olhar o ensino-aprendizagem como um processo de aquisição, reelaboração ou construção é a maneira de abrir o trabalho escolar para o tratamento da informação, para a compreensão de conceitos, para o pensar de modo sistematizado e com mobilidade. É também a forma de instituir os sujeitos do processo: mudar a postura – não a posição – tanto do professor quanto do aluno. Ambos se tornam construtores e re-construtores do conhecimento. (LACHINI, 2001, p.179).

Nesse processo, e ainda para Lachini (2001), o professor é “elemento-chave”

(p.187), já que ele tem a percepção do conteúdo e, por isso, pode desenvolver formas

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mais eficazes de trabalhá-lo, voltando-se mais para a compreensão dos conceitos

envolvidos. Contudo, e para que isso ocorra de maneira produitva, mudanças devem

ocorrer:

Passar do dar e do assistir aula para o fazer aula; passar da presença- assinatura para a presença ativa em sala de aula; passar da avaliação através de provas para a avaliação através do trabalho efetivamente realizado ao longo do ano letivo; passar de um processo de memorização para um processo de incorporação. (LACHINI, 2001, p.188).

Tais mudanças podem ser realizadas aos poucos, e, para tal, vê-se a necessidade

de se criarem novos laços de trabalho entre instituição, professor e aluno, cuja tríade

deve trabalhar de forma a buscar meios de compreender os conceitos presentes na

disciplina de Cálculo, evitando a simples mecanização do conteúdo. É preciso buscar

estratégias pedagógicas que auxiliem e promovam o seu ensino e sua aprendizagem em

detrimento a uma visão mecanicista.

Rezende (2007, p. 313) demonstra que “um dos grandes desafios no ensino

superior de Matemática ainda é, sem dúvida, o tão propalado “fracasso no ensino de

Cálculo”. Em sua pesquisa, o autor explora os obstáculos enfrentados no ensino e na

aprendizagem de Cálculo. “Creio que, se investigarmos a origem histórica de tal

“fracasso”, verificaremos que este tem início desde o momento em que se começa a

ensinar Cálculo.” (REZENDE, 2007, p.313). Tal fracasso veio ao longo da história e

ainda persiste nos dias atuais. Segundo o autor, o problema não é cultural, e nem sequer

se justifica pela situação sócio-econômica de um país, pois a situação desse fracasso não

é diferente para os países desenvolvidos, e há pesquisas que revelam que se trata,

portanto, de um problema mundial, o que fez com que as instituições de ensino superior

criassem estratégias como “excluir o Cálculo de sua grade curricular ou criar disciplinas

subsidiárias para o seu ensino [...]” (p.315). Outra medida internacional criada foi o

movimento de reforma do Cálculo, o “Calculus Reform” (p.315), que foi iniciada na

década de 1980 e na qual discutiu-se o Cálculo trabalhado na sua essência formal e

rigorosa (o que acontecia até aquele momento) bem como o Cálculo trabalhado de

modo intuitivo, histórico e significativo, para, posteriormente, formalizá-lo. Como

sugestões básicas, teve-se a utilização de tecnologia e o ensino do Cálculo segundo a

“Regra dos Três”, que dá a seguinte sugestão:

[...] todos os tópicos e todos os problemas devem ser abordados numérica, geométrica e analiticamente; grande preocupação, ou pretensão, em mostrar

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a aplicabilidade do Cálculo através de exemplos reais e com dados referenciados; tendência a exigir pouca competência algébrica por parte dos alunos, suprindo essa falta com o treinamento no uso de Sistemas de Computação Algébrica. (REZENDE, 2007, p.316)

As técninas de manipulações algébricas seriam as últimas a fazer parte desse

ensino, e as representações diferenciadas para os conteúdos são, por seu turno,

enaltecidas. A aplicabilidade do Cálculo nas variadas áreas do conhecimento torna-se

uma preocupação, que traz a idéia, que o aluno não aprenda apenas as técninas de

manipulações algébricas referente a disciplina de Cálculo, porém que compreenda os

conceitos, e posteriormente, seja capaz de inferi-los na realidade. A partir das

preocupações que incitaram a criação do “Calculus Reforms”, percebe-se que o

“problema já atinge limites próximo do insuportável.” (REZENDE, 2007, p.315).

Vale ressaltar que outras medidas vêm sendo adotadas ou criadas para auxiliar,

garantir, potencializar ou dar suporte ao ensino de Cálculo, como, por exemplo,

“a construção de laboratórios informatizados e a introdução de softwares matemáticos

no ensino de Cálculo têm sido a tônica das mais recentes propostas didáticas para esta

disciplina.” (p.316), cujas propostas foram desenvolvidas pelo movimento do “Calculus

Reforms”.

Além de buscar meios para minimizar esse fracasso, há pesquisadores que

tentam justificá-lo a partir de diferentes perspectivas:

Uns preferem justificar o problema no âmbito da psicologia cognitiva: acreditam que o problema é de natureza psicológica, isto é, os alunos não aprendem por que não possuem estruturas cognitivas apropriadas que permitam assimilar a complexidade dos conceitos do Cálculo. (REZENDE, 2007, p.317).

Ou seja, o problema está relacionado ao processo cognitivo do aluno, e há uma

necessidade de envolver outros profissionais nesse processo de construção de

conhecimento, como, por exemplo, psicopedagogos e psicólogos, na tentativa de

desenvolver o efetivo aprendizado do Cálculo. Outra visão é a de que “as dificuldades

de aprendizagem são decorrentes do processo didático, isto é, a solução reside em se

encontrar uma forma apropriada para se ensinar a disciplina Cálculo.” (REZENDE,

2017, p.317), ou seja, encontrar uma forma apropriada ou uma proposta que, a priori,

carece de compreender a natureza destas dificuldades. Nesse sentido, o autor defende

que “grande parte das dificuldades de aprendizagem no ensino de Cálculo é

essencialmente de natureza epistemológica.” (p.317). O fracasso em Cálculo está para

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55

além dos métodos e das técnicas utilizadas, situando-se sobretudo nas “dualidades

essenciais e nos mapas históricos conceituais do Cálculo [...]” (p.317). Rezende (2007)

chama tais dualidades de macroespaços: discreto/contínuo; variabilidade/permanência;

finito/infinito; local/global e sistematização/construção. Acredita-se que as dificuldades

provocadas por esses antagonismos promovem o fracasso. Assim, torna-se importante,

aqui, analisar os macroespaços: variabilidade/permanência e sistematização/construção.

Contudo, será feito um breve relato dos demais.

Macroespaço da dualidade discreto/contínuo – o fracasso aparece, aqui, como

uma cegueira provocada pelo Ensino Básico, período no qual esta dualidade não é

trabalhada de forma correta. Desta fase de ensino, fica a defasagem para o aluno, que

não sabe o verdadeiro significado de um número natural (discreto) ou real (contínuo), o

que vem a contribuir negativamente para a assimilação dos conceitos abordados em

Cálculo.

Macroespaço da dualidade variabilidade/permanência – normalmente, a

Matemática é apresentada e exposta através de uma abordagem estática. Porém, essa

abordagem nem sempre deve ser empregada ao Cálculo. Nesse sentido, Thomas (2002)

afirma que “O cálculo é a matemática dos movimentos e das variações.” (p. 15), cuja

premissa permite inferir que o Cálculo poderá ser trabalhado com exposições menos

estáticas em termos de definições e formalizações, isto é, através de abordagens

dinâmicas que se façam mais importantes na compreensão dos conceitos envolvidos.

Uma exemplificação:

[...] no conceito de derivada, por exemplo, prevalecem os seus aspectos formal (como sua definição em termos de limite) e geométrico (como o coeficiente angular da reta tangente) sobre a sua interpretação dinâmica em termos de taxa de variação instantânea. Interpretar o conceito de derivada tão somente como “coficiente angular da reta tangente” significa ignorar o problema histórico essencial da “medida” instantânea da variabilidade de uma grandeza. (REZENDE, 2007, p.319).

O Cálculo, que permite o movimento na matemática, possibilita ainda explorar e

compreender historicamente as ideias de Newton e Leibnez, que concebem o Cálculo

através da dinamicidade: trata-se de permitir fazer com que o aluno compreenda os

conceitos e as situações de forma dinâmica, em movimento, levando-o a perceber as

variabilidades, para que, ao final do processo, essa situação possa ser representada de

forma estática: algebrização e definições; é utilizar a regra dos três: numérico,

geométrico e analítico, para construir as devidas significações.

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Além do conceito de derivada, o autor explana sobre a noção de função, que é

trabalhada de forma estática desde cedo no ensino básico. A variabilidade é ocultada e,

na maioria das vezes, trabalha-se no contexto algébrico, fazendo uma relação de

dependência entre duas grandezas, quando deveria se fazer uma relação de variação e

movimento. Assim, cria-se, para o aluno do ensino básico, uma ideia deturpada do

conceito de função. Destarte, trabalhar com essa interpretação, estática do conteúdo

“[...] além de não ter participado historicamente da solução do problema da

variabilidade dada pelo Cálculo, constitui efetivamente um dos maiores obstáculos

epistemológicos àquela noção de interdependência entre quantidades variáveis [...]”

(REZENDE, 2007, p.320), que é uma das essências para o ensino e para a aprendizagem

de Cálculo.

Essa interpretação da função contribui para fracassos em conteúdos específicos

do Cálculo, os chamados “[...] problemas de taxas relacionadas [...]” e os “[...]

problemas de otimização [...] ”. (REZENDE, 2007, p.320). Os alunos não percebem os

problemas como quantidades variáveis ou em movimento, pois aprenderam que uma

função é algo estático, algo que já lhes aparecia “pronto”, bastando a eles apenas

desenvolver os processos algébricos. Destaca-se, aqui, que os problemas de Taxas

Relacionadas são um dificultador na aprendizagem e

[...] que a razão principal para as dificuldades de aprendizagem na resolução de problemas de taxas relacionadas e de otimização é, efetivamente, esse desvio epistemológico do conceito de função, realizado desde cedo nos ensinos médio e fundamental de matemática, de modo viesado para o campo algébrico. (REZENDE, 2007, p.321).

As técnicas de manipulações algébricas são privilegiadas, e saber manipulá-las

torna-se o foco do ensino de função. Uma das propostas deste macroespaço é dar ênfase

ao ensino de Cálculo a partir de movimentações, variações e dinamicidade para,

posteriormente, estudar o Cálculo de modo estático, utilizando as técnicas indicadas.

Este tipo de trabalho se faz necessário tanto para a tentativa de compendiar e abordar o

fracasso do aluno quanto pela necessidade de potencializar o aprendizado de tal

conteúdo.

Macroespaço da dualidade finito/infinito – mostra a ingenuidade do conceito de

infinito apresentado pelo aluno, que não reconhece o verdadeiro significado de tal

conceito. Trabalhos realizados a partir do conteúdo de limites mostram que grande parte

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dos alunos trata o infinito como número e cria simplificações algébricas errôneas por

não terem compreendido o conceito.

Macroespaço da dualidade local/global – trabalha o particular e o geral. Um

exemplo é o cálculo de uma variável (local) que pode ser estendido para o cálculo de

várias variáveis (global); a série de MacLaurin (local) para a série de Taylor (geral) e

ainda “[...] diferenciabilidade num ponto” (p.327) e “[...] a função é diferençável se ela

o for em cada ponto do seu domínio.” (p.327), o primeiro sendo o local e o segundo o

geral. Quando se passa do local para o global, o aluno se perde e não consegue obter a

visão necessária, dificultando, assim, a ampliação do aprendizado de Cálculo.

Macroespaço da dualidade sistematização/construção – é discutido o trabalho do

Cálculo de forma conceitual, isto é, explorando, de modo histórico, intuitivo e

apriorístico, os conteúdos, em detrimento de uma formalização extrema através de

axiomas postulados e teoremas vindos da “Álgebra Moderna e da Análise Matemática”

(p.328), cujas premissas teóricas mostram o Cálculo como uma disciplina rigorosa. Em

vez de uma demonstração altamente formal para o aluno, a interpretação conceitual

pode contribuir significativamente mais para a aprendizagem do conteúdo estudado.

Conforme a sugestão de Rezende (2007), inverte-se a polaridade, isto é, em vez de

trabalhar o Cálculo, a priori e a partir das sistematizações, deve-se construir

paulatinamente os conceitos do Cálculo.

A partir dos macroespaços e de um mapeamento realizado, Rezende (2007)

aponta que as dificuldades de aprendizagem, quando analisadas sob a forma de natureza

epistemológica, advêm da “omissão/evitação das ideias básicas e dos problemas

construtores do Cálculo e no ensino de Matemática em sentido amplo.” (p.331). É

proposto que o Cálculo seja trabalhado de forma intuitiva e conceitual em nível básico,

a partir de um diálogo interdisciplinar com a Física, especificamente em Mecânica, pois

muitas das expressões aprendidas em nível médio podem ser respaldadas com a

utilização das ideias do Cálculo. Já para o nível superior, é proposto que o Cálculo seja

trabalhado de forma intuitiva e conceitual, visando promover o seu verdadeiro

significado, tendo em vista as competências que, de acordo com Rezende (2007), serão

acumuladas no decorrer de um adequado ensino Básico e Médio. Utilizar a dualidade

“técnica/significado” (p.335) na tentativa de assimilar conceitos envolvidos na

disciplina. A proposta é começar o ensino através do significado, ou seja, por meio da

exploração das ideias históricas que permitiram o avanço do Cálculo e posteriormente

formalizar estas ideias.

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Desse modo, as dificuldades apresentadas pelos alunos vão além da simples defasagem

do conteúdo matemático do ensino médio. Tais dificuldades estão relacionadas, como

apresentado por Rezende (2007), à natureza epistemológica à estratégia didática

adotada, à sala de aula e à forma de trabalhar o conhecimento de Cálculo –

conceitual/operacional –, elementos que constituem um campo de tensão entre

professor/conteúdo/aluno. Para esta dissertação, o “fracasso” pode provir dos

macroespaços aqui expostos. Formas para amainar tais insucessos são apontadas, tais

como a mudança para a dualidade técnica/significado. Frota e Couy (2007) apresentam

a proposta de explorar a visualização para subsidiar a comunicação entre as

diferenciadas representações matemáticas e a utilização das TICs.

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59

4 DIRETRIZES PARA O ENSINO SUPERIOR: MATEMÁTICA E ENGENHARIA E A ANÁLISE DE LIVROS-TEXTO DE CÁLCULO N A TEMÁTICA EM ESTUDO

4.1 As diretrizes para o Ensino Superior: Matemática e Engenharia A Secretaria de Educação do Ensino Superior é responsável por criar as normas

nacionais a serem utilizadas na elaboração dos currículos dos cursos de graduação.

Conhecer essa regulamentação, especialmente para os cursos de Engenharia e

Matemática, implica em buscar contribuições na criação e utilização de um OA para

esses cursos. As instituições têm a autonomia na elaboração das ementas e dos

conteúdos dos planos de ensino das disciplinas, porém, com base nos critérios das

diretrizes curriculares de regulamentação do MEC.

4.1.1 Breve Análise das Diretrizes para o Curso de Matemática

Referindo-se aos cursos de graduação em Licenciatura e Bacharelado em

Matemática, as Diretrizes Curriculares apresentam vertentes comuns e divergentes nas

questões cognitivas do conhecimento matemático, pois o licenciando, além de conhecer

a Matemática, estuda meios de potencializar esse tipo de conhecimento em seus futuros

alunos.

Segundo as Diretrizes Curriculares para os cursos de Licenciatura e Bacharelado

em Matemática, essas graduações devem oportunizar ao aluno condições de

desenvolvimento de competências lógicas, auxiliando-o na construção de uma visão

crítica e na capacidade de resolver problemas. Diante dessa realidade, segue uma análise

de algumas habilidades e capacidades levantadas pelo documento e que são relevantes

para esta pesquisa:

As Diretrizes Curriculares para os cursos Licenciatura e Bacharelado em

Matemática sugerem que os futuros professores e bacharéis sejam capazes de utilizar

tecnologia, isto é, fazer dela um instrumento de aprendizagem de conteúdos da

graduação, bem como ter oportunidade de utilizá-la com seus futuros alunos. Nota-se

que a utilização da tecnologia, assim como a capacidade de desenvolver postura crítica e

compreensão de conceitos, é um elemento que está respaldado pela resolução de

problemas. O trabalho com o processo de resolução de problemas tem por objetivo

ampliar os conhecimentos matemáticos do aluno. A princípio, é sugerido apenas o

trabalho com problemas do campo do conhecimento matemático, não extrapolando essa

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60

abordagem para áreas afins e/ou de forma rigorosa, isto é, trabalhando axiomas,

teoremas, lemas, em suma, a estrutura da Matemática, levando o aluno à construção do

conhecimento matemático.

As Diretrizes Curriculares salientam que, ao longo da História, a Matemática é

utilizada como ferramenta de auxílio, principalmente à Física e às Engenharias. Já nas

últimas décadas, as aplicações da Matemática se expandiram para as outras áreas do

saber, como as “Ciências Econômicas, Biológicas, Humanas e Sociais.” (BRASIL,

2001a, p.1). Desse modo, o curso de Matemática deve dar oportunidade ao aluno de

analisar, compreender e verificar o maior número de conexões entre essa ciência e sua

aplicação, utilizando as tecnologias, isto é, o aluno pode, a partir da aplicabilidade da

Matemática, resolver problemas em variadas áreas do conhecimento, tendo as mídias

tecnológicas como um suporte, que poderá ser, eficaz para esse tipo de trabalho.

Deste modo, a Matemática configura-se como um campo que pode ser

trabalhado de maneira independente, através de seus axiomas, lemas e teoremas ou em

conexão com os outros campos do conhecimento que necessitem de suas ferramentas.

Propõe-se, também para os alunos que cursem Licenciatura Plena em

Matemática, a produção de materiais didáticos, o que consiste num modo de analisar,

selecionar e trabalhar conteúdos da Matemática. As diretrizes ainda propõem oferecer

ao aluno a autonomia, de modo a favorecer uma maior flexibilidade do pensamento

matemático. Aqui, a sugestão é dar ênfase aos conceitos em detrimento das técnicas,

fórmulas e algoritmos. Esta dissertação se limitará à análise das habilidades referidas

acima.

Na estrutura do curso de Matemática, é proposto “construir uma visão global dos

conteúdos de maneira teoricamente significativa para o aluno.” (BRASIL, 2001a, p.4).

Desse modo, a utilização de um OA pode auxiliar nessa construção, uma vez que tal

ferramenta permite que o trabalho teórico e prático sejam desenvolvidos de forma

significativa quando, obviamente, forem elaborados para tal fim.

Sobre as disciplinas, o Cálculo está presente tanto no curso de Bacharelado

quanto no de Licenciatura, sendo, em ambos os cursos, conteúdo de peso e importância.

A Física Geral e a Física Moderna, cujo estudo servirá para analisar as aplicações da

Matemática nesses campos do conhecimento, se configuram como disciplinas

essenciais.

É proposto que, “desde o início do curso, o bacharelando deve adquirir

familiaridade com o uso do computador como instrumento de trabalho, incentivando-se

Page 61: REIS, 2013 - Dissertação - OA

61

sua utilização para formulação e solução de problemas.” (p5). A preocupação com a

utilização do computador e com a resolução de problemas durante o processo de

formação superior é exposta pelo documento da Secretaria de Educação do Ensino

Superior.

As diretrizes para os cursos de Licenciatura e Bacharelado em Matemática finda

o seu conjunto de orientações com a apresentação de apropostas sobre a formação dos

futuros profissionais da área de Matemática, incentivando-os à análise e à pesquisa de

formas de desenvolver competências dentro de um currículo que inclua o uso da

tecnologia.

4.1.2 Breve Análise das Diretrizes para os Cursos de Engenharia

Em linhas gerais e já de início, as Diretrizes para os Cursos de Graduação em

Engenharia expõem que “o desafio que se apresenta o ensino de Engenharia no Brasil e

no cenário mundial é que demanda o uso intensivo da ciência e tecnologia e exige

profissionais altamente qualificados.” (BRASIL, 2001b, p.1). Além disso, tais diretrizes

propõem ainda a parceria entre tecnologia e da ciência com “ênfase na síntese e na

transdisciplinaridade” (p.1), de modo a possibilitar ao aluno o vínculo da teoria com a

prática. Para que essa parceria, esse vínculo e essa ênfase aconteçam, é necessário que

as experiências de aprendizado ultrapassem as aulas convencionais, de modo que o

aprendizado só se consolidará se o “estudante desempenhar um papel ativo de construir

o seu próprio conhecimento e experiência, com orientação e participação do professor.”

(p.2).

De acordo com o documento, é esperado que

[...] o perfil dos egressos de um curso de engenharia compreenderá uma sólida formação técnico científica e profissional geral que o capacite a absorver e desenvolver novas tecnologias, estimulando a sua atuação crítica e criativa na identificação e resolução de problemas, considerando seus aspectos políticos, econômicos, sociais, ambientais e culturais, com visão ética e humanística, em atendimento às demandas da sociedade. (BRASIL, 2001b p.4)

Ao futuro profissional da engenharia, é proposto não somente a utilização da

tecnologia, mas também o desenvolvimento da mesma, para adquirir posturas críticas

em vários aspectos sociais. Destaca-se, aqui, a utilização da resolução de problemas,

Page 62: REIS, 2013 - Dissertação - OA

62

que, para o documento, pode ser trabalhada com o intuito de desenvolver o

conhecimento.

a) aplicação do conhecimento matemática, científico, tecnológico e

instrumental à Engenharia;

b) elaboração e condução de experimentos na intenção de analisar os

resultados obtidos;

c) identificação e fomulação de problemas ligados à Engenharia, assim

como a busca pela resolução dos mesmos;

d) comunicação entre as formas escrita, oral e gráfica.

Tais habilidades trazem a preocupação com o conhecimento matemático

aplicado à Engenharia, o qual se transcende para áreas a fins, como a Física e a

Química, uma vez que essas disciplinas estão presentes na formação de um engenheiro.

A presença da tecnologia é bem destacada pelo documento, assim como a comunicação

gráfica presente na Matemática.

Sobre os conteúdos necessários à formação de um profissional da Engenharia,

para esta pesquisa, torna-se necessário relatar sobre as disciplinas de Informática,

Matemática, Física, Eletricidade Aplicada, Circuitos Elétricos, Matemática Discreta e

Mecânica Aplicada, conteúdos que, em menor ou maior proporção, utilizam de

conceitos presentes no Cálculo. Nesse sentido, o Cálculo é proposto como disciplina

essencial para o curso, visto que seus conceitos preparam o aluno para o estudo de

fenômenos. Devido à importância do Cálculo nessa formação, é necessário que o aluno

compreenda e detenha os seus conceitos.

As Diretrizes para os Cursos de Graduação em Engenharia sugerem que, “nos

conteúdos de Física, Química e Informática, é obrigatória a existência de atividades de

laboratório”. (p.6) e, para os demais conteúdos curriculares, são sugeridas atividades em

laboratório, a fim de que o Cálculo seja trabalhado com auxílio da tecnologia.

Baseando-se no que diz o documento, é possível afirmar que essas atividades em

laboratório poderiam ser beneficiadas com a utilização de um OA.

4.1.3 Comentário sobre as Diretrizes

A partir da leitura das Diretrizes para os cursos de graduação em Licenciatura e

Bacharelado em Matemática e Diretrizes para os cursos de Graduação em Engenharia,

pode-se concluir que tais documentos estão em conformidade com os autores aqui

Page 63: REIS, 2013 - Dissertação - OA

63

estudados, especialmente no que diz respeito à utilização de tecnologia, à resolução de

problemas como uma estratégia e uma forma de potencializar o aprendizado, à

compreensão de conceitos inerentes aos respectivos cursos, à interdisciplinaridade com

outros campos do conhecimento como Física e Química, à aplicação do conhecimento

matemático a outras áreas do conhecimento e à comunicação entre representações

matemáticas e o desenvolvimento de capacidades críticas, criativas, éticas e reflexivas.

Estas propostas trabalhadas ora de forma intrísecas e ora individualmente contribuem

com a formação do profissional.

A disciplina de Cálculo é apresentada como uma das primordiais para as áreas

aqui analisadas. Uma das sugestões é que o estudo do Cálculo seja realizado de modo a

compreender futuras aplicações de seus conteúdos e necessidades de se adquirir tal

conhecimento.

Assim, as sugestões aqui apresentadas contribuem para o objetivo geral desta

pesquisa: criar um OA que perpasse por estas sugestões ou que apresente algumas

destas sugestões, de modo a auxiliar o ensino e aprendizagem nos cursos de Matemática

e Engenharia para o contéudo de taxas relacionadas.

4.2 Análises de livros de Cálculo quanto à temática investigada

Analisar como o conteúdo de Taxas Relacionadas é apresentado nos livros de

Cálculo é de extrema importância para esta dissertação. Busca-se identificar a sequência

utilizada pelo autor para construir e trabalhar com o conceito de Taxas.

Foram selecionados três livros de cálculos cujos autores são: Stewart (2006),

Thomas (2002) e Anton; Bivens e Davis (2007), a partir dos quais pretendeu-se analisar

contribuições para o desenvolvimento do OA. Os livros foram selecionados devido a

utilização dos mesmos, pelo pesquisador, enquanto estudante no curso de graduação e

pela utilização dos mesmos em cursos de graduação na área de ciências exatas.

4.2.1 Critérios de análise dos livros de Cálculo

Os livros foram analisados sob os aspectos (A1, A2, ..., A12) listados a seguir:

A1 - Utilização de representações;

A2 - Apresentação dos problemas da inclinação da reta tangente e da velocidade

para construir conceitos necessários;

Page 64: REIS, 2013 - Dissertação - OA

64

A3 - Construção dos conceitos necessários, cujo trabalho parte da forma intuitiva

à formal (Limite, Taxa de variação Média e Instantânea, Derivada, Regra da Cadeia e

Taxas Relacionadas).

A4 – Limite:

A4.1 – Conceituação intuitiva de limite;

A4.2 – Exemplificação de limite;

A4.3 – Definição formal de limite;

A4.4 – Apresentação de exercícios sobre limite.

A5 – Taxas de Variação:

A5.1- Conceituação intuitiva de taxas de variação;

A5.2 – Exemplificação das taxas de variação;

A5.3 – Definição formal de taxas de variação;

A5.4- Apresentação de exercícios sobre taxas de variação.

A6- Função Derivada:

A6.1 – Conceituação intuitiva de Derivada;

A6.2 – Exemplificação de Derivadas;

A6.3 – Definição formal de Derivada, utilizando o limite;

A6.4 – Apresentação de exercícios sobre Derivada.

A7 – Regra da Cadeia:

A7.1 - Conceituação de Regra da Cadeia;

A7.2 – Exemplificação de Regra da Cadeia;

A7.3 –Apresentação do Teorema da Regra da Cadeia;

A7.4 –Apresentação de exercícios sobre Regra da Cadeia.

A8 – Taxas Relacionadas:

A8.1- Conceituação intuitiva de Taxas Relacionadas;

A8.2 – Definição de taxas Relacionadas;

A8.3 – Exemplificação de taxas Relacionadas;

A8.4- Exercícios sobre taxas Relacionadas.

A9 – Faz a conexão entre Taxas Relacionadas e a Regra da Cadeia;

A10- Possuir estratégia para a resolução de problemas de Taxas Relacionadas;

A11- Menções sobre o conceito de fenômenos físicos;

A12- Utilização da tecnologia

A12.1 – Nos conceitos necessários para estudar Taxas Relacionadas;

A12.2 – No conteúdo de Taxas Relacionadas;

Page 65: REIS, 2013 - Dissertação - OA

65

Dentro desses aspectos, buscou-se verificar:

A1 – Se variadas formas de representações (gráficas, tabulares numéricas,

tabulares, diagramas, algébricas e verbais/descritivas) são utilizadas para abordar os

conteúdos necessários (limite, taxas de variação, derivada e regra da cadeia), a fim de

construir o conceito de Taxas Relacionadas. Questionar se o trânsito dentro destas

representações, segundo as leituras realizadas, pode potencializar o aprendizado do

aluno. A visualização, permitida por tais representações, pode contribuir no

estabelecimento de relações importantes.

As imagens abaixo trazem um exemplo do que, nesta dissertação, foi

considerado como representação:

a) gráfica:

Gráfico 2: Funções exponenciais

Fonte: Stewart, 2006, p. 190

b) Tabular numérica:

Tabela 1: Cálculo do limite de uma função

Fonte: Stewart, 2006, p. 92

Page 66: REIS, 2013 - Dissertação - OA

66

c) Tabular:

Tabela 2: Regras de derivação

Fonte: Stewart, 2006, p. 196

d) Diagrama:

Figura 3: Homem andando sob holofote

Fonte: Stewart, 2006, p.258

e) Algébrica:

Figura 4: Variação da área de um retângulo

Fonte: Stewart, 2006, p. 193

Page 67: REIS, 2013 - Dissertação - OA

67

A representação verbal/descritiva será apresentada posteriormente.

A2- A abordagem dos problemas históricos que, segundo as leituras,

impulsionaram o desenvolvimento informal e intuitivo do Cálculo.

A3- Se os conceitos são abordados por uma definição rigorosa ou são

construídos paulatinamente até formalizá-los na linguagem matemática.

A4.1, A5.1, A6.1, A7.1 e A8.1- Se houve apresentação dos conceitos.

Conceituar, para esta dissertação, é construir as ideias envolvidas em determinado

conteúdo, caminhando de forma intuitiva, utilizando representações, sem a preocupação

inicial com o rigor matemático, mas levando o aluno a compreender os processos

envolvidos de forma significativa.

A4.2, A5.2, A6.2, A7.2 e A8.2 – Foram apresentados exemplos? Exemplificar

faz parte do processo para ensinar e, assim, se faz necessário averiguar se os exemplos

trazidos são interessantes e reflexivos, tudo isto na intenção de aprimorar e estimular a

aprendizagem;

A4.3, A5.3, A6.3 e A8.3 – Se traz as definições. Definição faz parte do

conhecimento científico matemático. Assim, é preciso analisar a presença de definições

é crucial, pois é a partir daí que se verifica a importância atribuída à formalização;

A7.3 – Se foi apresentada a formalização da regra da cadeia sob forma de

teorema, pois não há definição para a mesma. Desse modo, é necessário verificar o rigor

atribuído a este teorema;

A4.4, A5.4, A6.4, A7.4 e A8.4 – Se os exercícios são dos tipos: conceituais,

contextualizados e/ou puramente algébricos. Procura-se analisar se os três tipos foram

utilizados pelo autor de forma reflexiva e criativa;

A.9 – Se um dos pontos chave do estudo de Taxas Relacionadas tem elo entre as

taxas de variação presentes, elo este realizado pela regra da cadeia. Assim, busca-se

verificar se, ao trabalhar com a regra da cadeia ou com Taxas Relacionadas, esse elo é

realizado, pois problemas de Taxas Relacionadas são problemas de aplicação da regra

da cadeia;

A.10- Se há apresentação de estratégias pedagógicas que auxiliem na resolução

de problemas de taxas relacionadas;

A.11 – Se nos conteúdos de Cálculo há forte presença dos fenômenos físicos,

com comentários sobre tais fenômenos;

A12 – Se o livro-texto traz a sugestão de utilização da tecnologia;

Page 68: REIS, 2013 - Dissertação - OA

68

A12.1 – Utiliza-se tecnologia durante a explicação dos conceitos de limite, taxas

de variação, derivada e regra da cadeia ou nos exercícios propostos?;

A12.2 – Há utilização de tecnologia no conteúdo específico de Taxas

Relacionadas, tanto na explicação quanto nos exercícios propostos?

Os quadros apresentados foram utilizados para sintetizar a análise realizada.

Alguns tópicos apresentam legendas como R, M e E , sendo R – Regular, M – Médio, E

– Excelente, para a forma como o autor abordou os dados analisados, segundo a análise

realizada. Utilizaram-se também as legendas S e E, sendo S – Sincopado, E – Extensa.

Lins e Gimenez (2005) argumentam que, ao utilizar símbolos algébricos e pouca

verbalização e descrição, tem-se a linguagem sincopada. Stewart (2006) traz o conceito

de linguagem verbal e descritiva (extensa), que corresponde à utilização da língua

materna para expressar a Matemática.

As imagens seguintes são exemplos do que foi considerado, para esta

dissertação, como linguagem verbal/descritiva:

a) sincopada:

Figura 5: Teste da derivada primeira

Fonte: Thomas, 2002, p.251

b) Extensa:

Figura 6: Solução de um problema

Fonte: Stewart, 2006, p.117

Page 69: REIS, 2013 - Dissertação - OA

69

Já as legendas C, A e CT representam – C – Conceitual, A – Algébrico, CT –

Contextualizado, e dizem respeito aos exercícios propostos. Assim, neste trabalho,

considerou-se um exercício conceitual aquele que retoma conceitos já trabalhados; um

exercício algébrico trata-se apenas de uma resolução para treinar as técnicas de

manipulações algébricas e um exercício contextualizado é aquele que sugere uma

situação e/ou um fenômeno que exige maior reflexão por parte de quem o resolva, seja

no campo da matemática ou em outras áreas do conhecimento.

Abaixo, estão expostos exemplos visuais do que foi considerado como

exercícios:

a) conceituais:

Figura 7: Exercícios de revisão

Fonte: Stewart, 2006, p.176

b) Algébricos:

Figura 8: Exercícios

Fonte: Stewart, 2006, p.177

Page 70: REIS, 2013 - Dissertação - OA

70

c) Contextualizados:

Figura 9: Atividades propostas

Fonte: Thomas, 2002, p.258

Quando o aspecto analisado se encontrava presente no livro, marcou-se o espaço

destinado no quadro com um “x”. Caso contrário, o espaço destinado ao “x” estará

vazio, indicando que o aspecto analisado não foi encontrado no livro.

No primeiro livro analisado, intitulado “Cálculo” de James Stewart (2006), o

autor defende a utilização da tecnologia, da resolução de problemas e da Regra dos Três

que, de acordo com ele, inclui atualmente mais uma representação, expandindo-se para

a “regra de quatro” (STEWART, 2006, p. 7), isto é, além de apresentar os tópicos na

forma geométrica, numérica e algébrica, há um “acréscimo do ponto de vista verbal ou

descritivo” (p.7). Nesse livro, percebe-se que a proposta de maior relevância é o

trabalho com a compreensão conceitual.

O livro se inicia com uma apresentação do Cálculo, cujo epílogo é baseado em

problemas clássicos: Reta tangente, velocidade média, o problema da área sob uma

curva, o limite de uma sequência e a soma de uma série. Esses problemas são

comentados de forma verbal e descritiva, com a utilização de diagramas, gráficos e

tabelas numéricas, instrumentos que servem como impulsionadores/aguçadores e

motivadores para o estudo do Cálculo.

O Capítulo 1 apresenta uma revisão aprofundada sobre o estudo de funções, já

que, segundo Stewart (2006), “o objeto fundamental do cálculo são as funções.” (p.11).

Essa revisão compreende as funções polinomiais, modulares, exponenciais,

logarítmicas, por partes, inversas, trigonométricas e transcendentais, assim como

funções compostas. Estas últimas são trabalhadas a partir da regra de quatro, sendo,

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71

assim, representadas por gráficos, tabelas numéricas e diagramas, além de priorizar a

abordagem verbal/descritiva. Desse modo, há, no livro, um trabalho de revisão e

ampliação do conhecimento adquirido no Ensino Médio.

Quadro 2: Análise das representações utilizadas no livro de Stewart

A1 - Representações utilizadas pelo Autor Verbal/Descritiva

Gráfica Tabela Tabular

Numérica S E Algébrica Diagrama

X X X x x X Fonte: Elaborado pelo autor

Ao longo do livro, são utilizadas as variadas formas de representação durante a

construção dos conceitos necessários ao conteúdo de Taxas Relacionadas. A

representação escolhida para cada momento tem o objetivo conduzir o aluno à

compreensão e ao significado dos conceitos abordados. Assim, uma representação

tabular é auxiliada por uma representação gráfica, numérica, contextual, algébrica ou,

quando necessário, todas elas são utilizadas ao mesmo tempo. A forma de apresentação

verbal e descritiva que é utilizada merece destaque, pois o autor praticamente conversa

com o leitor durante o processo. O relato do conteúdo e seus detalhes são descritos

minuciosamente, recorrendo-se à linguagem algébrica para formalizações ou até mesmo

para processos mais intuitivos, assim como nas demonstrações necessárias. Os

diagramas são utilizados nos conteúdos e nos exemplos de problemas resolvidos,

representações estas que permitem a conexão entre visualização e compreensão dos

contextos relatados durante o processo.

Quadro 3: Análise de problemas e conceitos no livro de Stewart

A2 – Problemas A3 - Construção dos Conceitos Reta

Tangente Velocidade R M E

X X x Fonte: Elaborado pelo autor

Os problemas clássicos (Reta Tangente e Velocidade) são a motivação inicial

para o estudo do Cálculo, tendo em vista, sobretudo, a presença de movimento. Esses

dois problemas são trabalhados juntos, mostrando a relação entre geométrico físico,

isto é, a inclinação de uma reta secante a uma curva dada (geométrico) pode ser

interpretada como a velocidade média de um móvel entre dois instantes (físico) e que a

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72

inclinação da reta tangente a uma curva dada (geométrico), pode ser interpretada como a

velocidade instantânea de um móvel num determinado instante (físico), conforme

exposto na figura abaixo:

Gráfico 3: Comparação – Físico Geométrico

Fonte: Stewart, 2006, p. 91

Quanto à construção dos conceitos de limite, taxas de variação, derivada e regra

da cadeia, o conceito, é construído sem preocupação inicial com a formalização e o

rigor matemático. A ideia é compreender o significado do conceito abordado para que,

posteriormente, o aluno seja levado a compreender a definição matemática apresentada.

Quadro 4: Análise sobre limite no livro de Stewart

A3 – Limites A3.1 Conceitual A3.2 Exemplos A3.3 Definição A3.4 Exercícios

R M E R M E R M E C A CT

X x x x x Fonte: Elaborado pelo autor

O conceito de limite começa a ser abordado a partir do problema da reta tangente

a uma curva. A curva utilizada é y = x² e pretende-se encontrar a inclinação da reta

tangente que passa pelo ponto P(1,1). As técnicas de manipulações algébricas ficam em

segundo plano e as representações tabulares, assim como as tabulares numéricas, tentam

dar auxílio à compreensão. Estas representações são utilizadas para promover as

aproximações laterais do ponto indicado, a fim de que se compreenda a ideia de limite.

Esse artifício – tabela aproximações – é utilizado em outras funções dadas, bem como

Page 73: REIS, 2013 - Dissertação - OA

73

para explorar o problema da velocidade, que agora é trabalhada em dois momentos:

velocidade média e velocidade instantânea.

Os exemplos priorizam as técnicas de manipulações algébricas, porém, em

menor escala, são voltados para os problemas clássicos e possuem uma abordagem mais

verbal. Assim, o conceito vai sendo construído com o auxílio de aproximações

numéricas tabuladas, gráficos e alguns processos algébricos.

Enquanto a definição de limite é apresentada de forma gradual, mais verbal e

descritiva, até chegar à definição formal, os exercícios apresentados priorizam as

técnicas de manipulações algébricas. Mesmo que alguns sejam contextualizados, o

método para resolução é a utilização de técnicas adquiridas no Ensino Fundamental

(produtos notáveis, equação do segundo grau, fatoração, complemento de quadrados,

além de outras técnicas aprendidas durante a leitura do capítulo), de modo a apenas

manipular algebricamente sem a precisão de compreender um problema e/ou elaborar

um plano para resolver uma situação-problema.

Quadro 5: Análise sobre taxas de variação no livro de Stewart

A5. Taxas de Variação A5.1 Conceitual A5.2 Exemplos A5.3 Definição A5.4 Exercícios

R M E R M E R M E C A CT

X x x x x X Fonte: Elaborado pelo autor

O conceito de taxa de variação é trabalhado a partir dos problemas clássicos e da

definição de limite. Toma-se o cuidado de diferenciar o que seja uma taxa de variação

média e uma taxa de variação instantânea. Porém, o trabalho é realizado de forma

sucinta. Os exemplos, por sua vez, estimulam o trabalho com múltiplas representações.

Trabalha-se com tabelas, gráficos e funções na forma algébrica, para dar maior suporte

à fixação do conceito de taxas de variação, cuja importância conceitual é relatada e

exemplificada em outras áreas do conhecimento nas quais esse conteúdo se faz presente.

Os exercícios sugeridos são diversificados, tais como encontrar inclinações da

reta tangente a uma curva dada em um determinado ponto, como encontrar a velocidade

média e instantânea, temperatura, custo de produção, dentre outros. Em sua maioria, os

exercícios são contextualizados e conceituais, exigem uma reflexão do conceito

abordado e trabalham a diferença entre taxa de variação média e taxa de variação

instantânea. Porém, os exemplos, segundo a visão de análise, não auxiliaram muito na

Page 74: REIS, 2013 - Dissertação - OA

74

resolução de problemas propostos, uma vez que os exemplos eram mais simples e

diferiam muito dos problemas propostos pelo livro.

Quadro 6: Análise da função derivada no livro de Stewart

A6 - Função Derivada A6.1 Conceitual A6.2 Exemplos A6.3 Definição A6.4 Exercícios

R M E R M E R M E C A CT

x x x x x X Fonte: Elaborado pelo autor

O trabalho com a função derivada é longo. Começa chamando a atenção do

leitor para um limite que vem aparecendo durante os conteúdos abordados até o

momento das leituras realizadas. Esse limite aparece quando se quer encontrar a

inclinação da reta tangente a uma curva num ponto dado (x = a), a velocidade

instantânea de um móvel (t = a) ou até mesmo a taxa de variação instantânea em certa

situação (x = a); a comparação é realizada, como pode ser visto abaixo:

Figura 10: Taxa de variação e limite

Fonte: Stewart, 2006, p.158.

Caso o limite exista, ele será chamado de derivada de uma função em um ponto

“a”. O entrelaçamento dos conceitos abordados é realizado neste momento, aqui tem-se

a “interpretação da derivada como a inclinação da reta tangente” (STEWART, 2006,

p.159) e a “interpretação da derivada como uma taxa de variação.” (p.160). Assim,

prossegue-se no estudo da função derivada.

Page 75: REIS, 2013 - Dissertação - OA

75

Quadro 7: Função derivada

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

−+=

Fonte: Stewart, 2006, p.165.

Para esta dissertação, o limite do quadro 7 será denominado “limite especial”,

uma vez que, para a análise dos livros, sua recorrência é fundamental.

Os exemplos apresentados são contextualizados, conceituais e trazem as técnicas

de manipulações algébricas; são comentados através da utilização de gráficos e tabelas,

e alguns focam na compreensão conceitual. Já os exercícios seguem a mesma linha dos

exemplos, com enfoque nos conceitos e contextualizações e com variados tipos de

representações.

Desse modo, é possível analisar que os conceitos de derivada e de taxas de

variação são apresentados simultânea e intrinsecamente, respaldados nos problemas

clássicos e na utilização do limite especial.

O próximo capítulo do livro traz as regras de diferenciação e a união dos

conceitos taxa de variação derivada, que é um trabalho retomado na metade do

capítulo com problemas interessantes aplicados às mais variadas áreas do

conhecimento. Porém, para a resolução, são utilizadas as técnicas de derivação e

abandona-se a aplicação do limite especial.

Quadro 8: Análise da regra da cadeia no livro de Stewart

A7 - Regra da Cadeia A7.1 Conceitual A7.2 Exemplos A7.3 Teorema A7.4 Exercícios

R M E R M E R M E C A CT

x x x X Fonte: Elaborado pelo autor

A técnica de derivação da regra da cadeia é exposta como uma ferramenta para

derivar funções compostas. Não é evidenciado ao leitor o fato de que essa técnica serve

também para trabalhar com taxas de variação relacionadas.

Os exemplos priorizam as técnicas de manipulações algébricas e remetem à

aplicação para diferenciar funções compostas já apresentadas, e não há apresentação de

exemplos verbalizados. O teorema da regra da cadeia, por sua vez, é apresentado, mas

não é demonstrado, faz-se uma verificação do mesmo.

Page 76: REIS, 2013 - Dissertação - OA

76

Inicialmente, os exercícios priorizam as técnicas de manipulações algébricas, de

modo a trabalhar a regra da cadeia somente para derivar funções sem nenhum contexto

ou verbalização. Para os problemas, traz-se a aplicação da regra da cadeia para

relacionar taxas de variação, porém, esta aplicação é realizada de forma implícita.

Quadro 9: Análise de taxas relacionadas no livro de Stewart

A8 - Taxas Relaciondas A8.1 Conceitual A8.2 Exemplos A8.3 Definição A8.4 Exercícios

R M E R M E R M E C A CT

x x x x Fonte: Elaborado pelo autor

Em um pequeno texto, é apresentada a definição de taxas relacionadas. Expõe-se

que problemas de taxas relacionadas são problemas nos quais se utiliza a regra da cadeia

para relacionar taxas de variação. Os exemplos são apresentados de imediato e

interpretados de forma verbal/descritiva, sendo gradativamente reduzidos para,

posteriormente, dar espaço à representação algébrica. O conceito é construído mediante

a utilização desses problemas com representações em forma de diagramas, algébrica,

verbal/descritiva.

Os exercícios de 1 a 5 são relativos à linguagem matemática e à aplicação da

regra da cadeia para relacionar os dados já apresentados. O exercício 6 é apresentado de

forma contextualizada, visando aplicar os conhecimentos adquiridos nas atividades de 1

ao 5. De 7 a 10, apresenta-se uma estratégia pedagógica na tentativa de ajudar na

resolução dos problemas e, nesse momento, os problemas são apresentados com maior

contextualização. De 11 a 38 há contextualizações nas mais variadas áreas do

conhecimento, em especial da Física. Estes exercícios retornam ao Teorema de

Pitágoras, aos conceitos de volume e área, bem como a fórmulas da física envolvendo

fenômenos (resistência, pressão, potência, dentre outros), lei dos senos, e outras,

trazendo um maior grau de dificuldade.

Quadro 10: Últimas análises no livro de Stewart

A12 - Tecnologia A9- Regra da Cadeia – Taxas

Relacionadas

A10- Estratégia

A11- Fenômenos Físicos

A12.1 Outros Conteúdos

A12.2 Taxas Relacionadas

X X x

Fonte: Elaborado pelo autor.

Page 77: REIS, 2013 - Dissertação - OA

77

A relação entre regra da cadeia e taxas relacionadas é exposta somente quando

se chega ao conteúdo de Taxas Relacionadas, quando é feita a sugestão de se utilizar tal

conceito como ferramenta para resolver os problemas. Então é proposta uma estratégia

para resolução de problemas de Taxas Relacionadas. A proposta é objetiva, sugerea

leitura do problema, a utilização da representação em forma de diagrama e também a

utilização da regra da cadeia para relacionar taxas.

Apesar de não ter sido evidenciado o que são os fenômenos físicos, o autor

enuncia que o Cálculo trabalha com fenômenos físicos.

A tecnologia é utilizada na construção dos conceitos (limite, taxas de variação e

derivada), tanto em exemplos quanto em exercícios para resolução. Porém, a utilização

da tecnologia sugerida pelo autor , durante a análise do livro, não é proposta no

conteúdo de Taxas Relacionadas.

Em suma, o conteúdo de Taxas Relacionadas é apresentado como a relação com

taxas de variação baseada na regra da cadeia, utilizando diagramas e também de forma

verbal/descritiva. O respaldo de resolução está em uma estratégia pedagógica que é

fornecida contextualmente.

O outro livro analisado, também intitulado “Cálculo” e assinado por Georg

Thomas (2002), é uma das obras indicadas para os cursos superiores que trabalham com

a disciplina de Cálculo, especialmente voltada para os cursos de ciências exatas. A

apresentação do livro é realizada de forma a incentivar a sua utilização por parte do

estudante. Há sugestão do uso da tecnologia, a defesa da estratégia pedagógica de

Resolução de Problemas e, ainda, material de apoio on-line, tanto para professores,

quanto para alunos. O material tem como objetivo auxiliar as aulas e/ou complementar

os estudos.

O capítulo inicial do livro é definido como “Preliminares”, e realiza uma revisão

aprofundada de funções, parametrizações e modelagem matemática. Utilizam-se, nesta

revisão, variados tipos de representação (tabelas numéricas e não numéricas, gráficas,

diagramas algébricos e verbal/descritiva), prevalecendo uma linguagem mais sincopada

e direta. Muitas regras são sugeridas. Há um pequeno comentário sobre o conceito de

variação, sem que, porém, tal conceito seja aprofundado.

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78

Quadro 11: Análise das representações utilizadas no livro de Thomas

A1 - Representações utilizadas pelo Autor Verbal/Descritiva

Gráfica Tabela Numérica S E

Algébrica Diagrama

X X X x x x Fonte: Elaborado pelo autor

Durante a construção dos conceitos, as representações são diversificadas: há

muitas tabelas que recorrem a dados numéricos, diversos gráficos, diagramas e a forma

algébrica é muito utilizada, o que culmina em uma linguagem mais sincopada. Porém

pode-se verficar traços da regra de quatro, já apresentada por Stewart (2006).

Quadro 12: Análises de problemas e conceitos no livro de Thomas

A2 – Problemas A3 - Construção dos Conceitos Reta

Tangente Velocidade R M E

X X x Fonte: Elaborado pelo autor

A sequência adotada por Georg Thomas se difere do primeiro livro analisado.

Neste caso, o problema da velocidade serve como exemplificação do que vem a ser uma

taxa de variação média e uma taxa de variação instantânea, o que é realizado de forma

direta e ligeira, a priori, e retomado posteriormente. Aqui, o problema clássico da reta

tangente é utilizado para exemplificar uma das utilizações do conceito de limite. Sabe-

se que, historicamente, este problema precedeu a definição de limite, e não o contrário.

Assim, apresenta-se o problema não de modo intuitivo, mas sim para justificar a

aplicação do conceito de limite. Posteriormente, os dois problemas são utilizados para

aprofundamento dos conceitos de limite, taxa de variação e derivada.

A capacidade intuitiva é retomada de forma sucinta na construção dos conceitos,

e chega-se a conclusões imediatas e logo são definidas. Trabalha-se no caminho

definição exemplificação e, neste elo, acredita-se construir os significados dos

conceitos.

Quadro 13: Análise sobre limite no livro de Thomas

A4 – Limites A4.1 Conceitual A4.2 Exemplos A4.3 Definição A4.4 Exercícios

R M E R M E R M E C A CT

X x x x x x Fonte: Elaborado pelo autor

Page 79: REIS, 2013 - Dissertação - OA

79

O conceito de limite é construído através de uma tabela, com respaldo em um

gráfico e com o auxílio de uma função escrita na forma algébrica. Tabulando valores,

encontra-se o limite dessa função, utilizada como exemplo. É apresentada a definição

precisa de limite. Os exemplos dão prioridade às técnicas de manipulações algébricas e

são trabalhados. Porém, para a análise realizada, não ofereceram muito suporte para

futuros exercícios propostos pelo livro, muitos dos quais são divididos nas mais

variadas áreas do conhecimento.

Quadro 14: Análise sobre taxas de variação no livro de Thomas

A5. Taxas de Variação A5.1 Conceitual A5.2 Exemplos A5.3 Definição A5.4 Exercícios

R M E R M E R M E C A CT

x X x x x x Fonte: Elaborado pelo autor

O conceito de taxas de variação está dividido ao longo dos capítulos, sendo

abordado no capítulo inicial, no capítulo 1 e no capítulo 2. Durante a construção do

conceito, vê-se a preocupação na diferenciação entre taxa de variação média e taxa de

variação instantânea. Porém, como o conceito é apresentado e retomado em diversos

momentos, o leitor, novamente, precisa ter atenção redobrada para compreendê-lo. Não

há aprofundamento em uma seção específica, mas, sim, complementos do conceito ao

longo do livro, o que pode com que o leitor tenha dificuldades de identificação. Os

exemplos retomam ao trabalho com velocidade e inclinação da reta tangente. Apresenta-

se poucos exercícios para que o leitor trabalhe este tópico. Estes exercícios perpassam

por algumas áreas do conhecimento, o que pode ser classificado como um trabalho

médio.

Quadro 15: Análise da função derivada no livro de Thomas

A6 - Função Derivada A6.1 Conceitual A6.2 Exemplos A6.3 Definição A6.4 Exercícios

R M E R M E R M E C A CT

X X x x x x Fonte: Elaborado pelo autor

A derivada é comentada no capítulo 1 através do limite especial, e não há

aprofundamento do conceito. No capítulo 2, é retomado o trabalho, o qual tem início

Page 80: REIS, 2013 - Dissertação - OA

80

com a definição formal da função derivada. Daí entende-se que o conceito fora

construído no comentário do capítulo 1 de forma superficial.

Os exemplos do trabalho com a função derivada, a priori, trabalham com as

técnicas de manipulações algébricas sem uma contextualização, e muitos deles propõem

encontrar inclinações da reta tangente a uma curva. A mesma função é utilizada para

demonstrar algumas regras de derivação.

É interessante ressaltar o trabalho realizado para unir os conceitos de derivada e

taxa de variação. A taxa de variação instantânea é definida como o limite da função

derivada, mas não se chama a atenção do leitor para tal fato. Para unir esses conceitos, é

utilizado um problema sobre velocidade e, a partir dele, define-se o que vem a ser

velocidade instantânea. O gráfico seguinte é utilizado para mostrar a união dos

conceitos geométrico-físicos e Derivada-Taxa de variação.

Gráfico 4: Tempo x Distância

Fonte: Thomas, 2007, p.155

Quadro 16: Análise da regra da cadeia no livro de Thomas

A7 - Regra da Cadeia A7.1 Conceitual A7.2 Exemplos A7.3 Teorema A7.4 Exercícios

R M E R M E R M E C A CT

x X x x x Fonte: Elaborado pelo autor

O conceito da regra da cadeia é apresentado para validar a derivação de funções

compostas, mas há uma preocupação quanto à utilização da regra da cadeia para

Page 81: REIS, 2013 - Dissertação - OA

81

relacionar derivadas (taxas de variação). Um dos exemplos de aplicação da regra da

cadeia é a sua utilização para promover a relação entre derivadas, o que sugere o

trabalho de Taxas Relacionadas de forma ainda implícita para o leitor. Outros exemplos

privilegiam as técnicas de manipulações algébricas e a aplicação da técnica de derivação

da regra da cadeia, quando o teorema da regra da cadeia é apresentado.

Os exercícios, em sua maioria, são de aplicação imediata da regra da cadeia de

forma algébrica, e aqueles que estão contextualizados são complicados de resolver,

baseando-se apenas nos exemplos propostos.

Quadro 17: Análise de taxas relacionadas no livro de Thomas

A8 - Taxas Relacionadas A8.1 Conceitual A8.2 Exemplos A8.3 Definição A8.4 Exercícios

R M E R M E R M E C A CT

X x x x Fonte: Elaborado pelo autor

Inicia-se o comentário sobre taxas relacionadas, através de exemplificação dos

tipos de problemas onde há a presença deste conteúdo. Para dar maior suporte ao

conceito, o trabalho aqui é realizado através de exemplificações, que são resolvidas e

comentadas passo a passo e sempre trazem um diagrama para facilitar a visualização do

relato verbal. Esses diagramas tentam exprimir a ideia de movimento, os quais estão

presentes em problemas de Taxas Relacionadas, sendo que, para tal, há utilização de

setas indicando sentidos de movimento.

Os exemplos são resolvidos com respaldo em uma estratégia de resolução

sugerida para facilitar o aprendizado do conteúdo. São propostos 38 exercícios, que se

utilizam do conceito de área, volume, voltagem, potência, dilatação, velocidade, custo

marginal, movimento retilíneo, além de semelhança de triângulos, Teorema de Pitágoras

dentre outros.

Nas atividades de 1 a 13, a dificuldade aumenta a cada exercício. Porém, são

utilizados sub-itens baseados na estratégia de resolução apresentada, de modo gradual,

na tentativa de ajudar o leitor a resolver o exercício proposto, sendo que, nos últimos

exercícios (10, 11, 12 e 13), os problemas permitem maior autonomia do leitor e, do

problema 14 até o 38, a estratégia fica implícita. Os exercícios são diversificados,

interessantes, propõem reflexão do leitor para resolvê-los, são contextualizados e, às

vezes, já trazem o diagrama esboçado e o nível de dificuldade aumenta

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82

consideravelmente. Contudo, com a explicação destinada a este tópico, não seria difícil

de analisar as dificuldades dos alunos na resolução dos problemas propostos. A

linguagem dos exercícios parece diferir quanto à linguagem dos exemplos. A ideia do

movimento, por seu turno, pode não ser incorporada somente aos diagramas sugeridos.

Quadro 18: Últimas análises no livro de Thomas

A12 - Tecnologia A9- Regra da Cadeia - Taxas Relacionadas

A10- Estratégia

A11- Fenômenos Físicos A12.1 Outros

Conteúdos A12.2 Taxas Relacionadas

x X x

Fonte: Elaborado pelo autor

A relação regra da cadeia taxas relacionadas é utilizada tanto no conteúdo da

regra da cadeia, quanto em Taxas Relacionadas, produzindo um trabalho completo, mas

realizado de forma sucinta e sem chamar a atenção do leitor para esta relação tão

importante.

O livro traz uma estratégia para resolver os problemas de Taxas Relacionadas,

utilizando a “falha” existente em alguns aspectos, como ler o problema até compreendê-

lo e interpretar a resposta encontrada. A estratégia não menciona a utilização da regra da

cadeia para relacionar as taxas de variação presentes no problema, nem apresenta

comentários sobre problemas de fenômenos físicos ou até mesmo o que são fenômenos

físicos.

A tecnologia é utilizada na construção dos demais conceitos (limite, taxa de

variação, derivada) e nas atividades que remetem para estes conceitos. Já no conteúdo

de Taxas Relacionadas, não há sugestão da utilização das TIC’s e nem problemas para

esse fim. O livro propõe um website no qual aluno e professor têm acesso a materiais

complementares para aprofundar o estudo de Cálculo. Ao visitar o site, é possível

analisar que o conteúdo de taxas relacionadas não foi privilegiado e o material a respeito

deste conteúdo é escasso.

O autor diz ainda que “um dos objetivos deste livro é mostrar aos alunos o

fascínio do cálculo. Cada definição, teorema, corolário e prova foi revisada para garantir

a clareza e o rigor matemático.” (THOMAS, 2002, p. 11). Realmente, encontra-se o

rigor matemático através das definições precisas e do foco na representação algébrica.

Além disso, o autor elabora, em certos conteúdos, uma lista de regras (que aparecem

com muita frequência ao longo do livro) à qual o aluno pode recorrer. A

Page 83: REIS, 2013 - Dissertação - OA

83

contextualização (verbal/descritivo) é deixada em segundo plano, o que dificulta a

assimilação dos conceitos necessários à compreensão do conteúdo de taxas

relacionadas, e, com esse enfoque, acaba por prejudicar os conceitos em construção. Os

exercícios são bem elaborados, mas, como a construção conceitual é célere, torna-se

difícil a resolução de tais atividades.

O terceiro livro analisado, “Cálculo” de Howard Anton, Irl Vivens e Stephen

Davis (2007), traz em seu prefácio uma exposição dos recursos utilizados pelo livro e,

para esta dissertação, serão analisadas a apresentação dos recursos computacionais, das

notas marginais que acrescentam ideias adicionais ao conteúdo abordado, da gradação

das dificuldades dos exercícios, do rigor matemático que faz parte do conhecimento

matemático e a utilização da regra dos quatro que aqui toma a dimensão “apresentação

dos conceitos dos pontos de vista verbal, algébrico, visual e numérico.” (ANTON;

BIVENS; DAVIS, 2007, p.9). A questão visual (diagramas, gráficos e tabelas),

altamente defendida nas leituras realizadas, aqui é proposta como um dos elementos-

chave da aprendizagem de Cálculo.

Disponível em site estão complementos de contéudos trabalhados no livro, os

quais são sugeridos, tanto para o professor quanto para o aluno, sob forma de

aprofundamento. O material disponível traz exercícios, problemas, apresentações em

powerpoint, exercícios resolvidos e comentados, revisões e complementações para

aprofundamento dos conteúdos.

O primeiro capítulo do livro, como os demais analisados, faz uma revisão do

conteúdo de funções, com aprofundamento em relação ao Ensino Médio, a partir da

utilização da regra dos quatro e a utilização de tecnologia. Discutem-se ainda modelos

matemáticos e equações paramétricas.

Quadro 19: Análise das representações utilizadas no livro de Anton; Bivens e Davis

A1 - Representações utilizadas pelo Autor Contextual

Gráfica Tabela Numérica S E

Algébrica Diagrama

x X x x x x Fonte: Elaborado pelo autor

As representações utilizadas são diversificadas e, quanto à representação

contextual (verbal/descritiva), o livro traz complementos históricos durante a construção

dos conceitos, o que pode aguçar no leitor a vontade de aprofundar o conteúdo. Já nas

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84

notas marginais, há complementos de conceitos com aprofundamento e propostas de

investigação. Não se privilegia uma representação em relação à outra e, em certos

momentos, tais representações são utilizadas concomitantemente. A representação

visual (Diagrama, Gráficos, Tabelas, dentre outras) é muito explorada, principalmente

no que se refere à dinamicidade (movimentos) e às variações presentes no estudo de

Cálculo, como pode ser observado na figura seguinte.

Figura 11: Reta secante e reta tangente.

Fonte: Anton; Bivens e Davis, 2007, pg.102.

O diagrama acima tenta expressar, para o leitor, a ideia de movimento, na qual

uma reta secante, através do movimento, tende a uma reta tangente. Assim, a

representação visual é utilizada ao longo do livro para auxiliar a compreensão dos

conceitos envolvidos.

Quadro 20: Análises de problemas e conceitos no livro de Anton; Bivens e Davis

A2 - Problemas A3 - Construção dos Conceitos Reta

Tangente Velocidade R M E

X x x Fonte: Elaborado pelo autor

Para os autores, a primazia dos conceitos do Cálculo está na ideia de limite: “a

pedra fundamental sobre a qual se apoia a ideia de taxa de variação é o conceito de

“limite”, uma ideia tão importante que agora todos os demais conceitos do Cálculo se

baseiam nela.” (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007, p.101). Porém, para se chegar à

construção do conceito de limite, menciona-se o problema da reta tangente, assim como

o da área sob uma curva. O problema da velocidade aparece posteriormente quando se

Page 85: REIS, 2013 - Dissertação - OA

85

estuda o conceito de derivada, senvindo para exemplificá-lo. Desse modo, o foco do

livro está nos conceitos de limite, e derivada e os problemas clássicos são utilizados

para exemplificar tais conceitos.

A construção dos conceitos necessários à compreensão das Taxas Relacionadas é

realizada de forma intrínseca e, em vários momentos, avança, retoma eaprofunda o que

já fora apresentado. A utilização da regra dos quatro ajuda na compreensão de tais

conceitos, que vão do físico para o algébrico e do algébrico para o gráfico e vice-versa,

exigindo maior atenção do leitor para conseguir compreendê-los.

Quadro 21: Análise sobre limite no livro de Anton; Bivens e Davis

A4 – Limites A4.1 Conceitual A4.2 Exemplos A4.3 Definição A4.4 Exercícios

R M E R M E R M E C A CT

x x x x x x Fonte: Elaborado pelo autor

O conceito de limite é utilizado no estudo da reta tangente e em como calcular a

área sob uma curva. Intuitivamente, é construído com utilização de uma tabela, de um

gráfico e de uma função algébrica A forma contextual traz a palavra “informal”, isto é, a

preocupação inicial não é definir rigorosamente e, sim, construir o conceito de limite,

construção esta que é realizada através do gráfico que representa uma função e da tabela

com aproximações de um ponto escolhido, fazendo assim com que a ideia de limite

comece a ser trabalhada.

Os exemplos trazem gráficos, tabelas, funções representadas de modo algébrico

e os conceitos são analisados do ponto de vista intuitivo. Posteriormente, na secção

denominada “Calculando Limites”, os exemplos tornam-se algébricos, não

abandonando, porém, os gráficos e as tabelas.

A definição matemática rigorosa de limite para o Cálculo é apresentada somente

após muito trabalho para a construção do conceito, e é retomada nos exemplos, a fim de

que o leitor a compreenda.

Quanto aos exercícios, alguns recebem o nome de “Enfocando Conceitos”, nos

quais se trabalha o conceito de limites através do recurso visual.

Page 86: REIS, 2013 - Dissertação - OA

86

Quadro 22: Análise sobre taxas de variação no livro de Anton; Bivens e Davis

A5. Taxas de Variação A5.1 Conceitual A5.2 Exemplos A5.3 Definição A5.4 Exercícios

R M E R M E R M E C A CT

x X x x x x Fonte: Elaborado pelo autor

O termo taxa de variação surge apenas no capítulo 2, sendo que, para construí-lo,

são utilizados os problemas clássicos, através dos quais se chega à definição formal do

que seja uma taxa de variação média e uma taxa de variação instantânea, sendo que,

para a construção do conceito, o problema da velocidade é fundamental e dá o suporte

necessário à ampliação do conceito para outras áreas do conhecimento.

Há relatos de onde estão presentes as taxas de variação em campos do

conhecimento científico, sem, porém, exemplos de aplicação. Os exemplos utilizados

são apenas da reta tangente, da velocidade e apenas um de temperatura.

Foi possível perceber que os exercícios perpassam pelos três critérios analisados.

Quadro 23: Análise da função derivada no livro de Anton; Bivens e Davis

A6 - Função Derivada A6.1 Conceitual A6.2 Exemplos A6.3 Definição A6.4 Exercícios

R M E R M E R M E C A CT

x x x x x x Fonte: Elaborado pelo autor

A função derivada é apresentada como o limite especial, comentando-se ainda

que este limite representa a inclinação de uma reta tangente a uma curva dada em

determinado ponto. Não há união significativa entre o geométrico e o físico, e o leitor

pode compreender essa união de forma contextual através da comparação do limite

especial que aparece tanto para exemplificar a inclinação da reta tangente quanto para

exemplificar taxas de variações instantâneas, como, por exemplo, a velocidade.

Os exercícios, como sempre, enfocam os três aspectos e apresentam as técnicas

de derivação.

Quadro 24: Análise da regra da cadeia no livro de Anton; Bivens e Davis

A7 - Regra da Cadeia A7.1 Conceitual A7.2 Exemplos A7.3 Teorema A7.4 Exercícios

R M E R M E R M E C A CT

x x X x x Fonte: Elaborado pelo autor

Page 87: REIS, 2013 - Dissertação - OA

87

A regra é apresentada para derivar funções compostas e não há comentário de

que a mesma pode ser empregada para relacionar derivadas (Taxas Relacionadas).

O teorema da regra da cadeia é apresentado, mas não é demonstrado. Os

exemplos são mais algébricos e utilizam-se mais da aplicação direta da regra. Os

exercícios são trabalhados de maneira mais centralizada na utilização da regra da

cadeia, mesmo aqueles que se apresentam contextualizados. Quanto aos conceituais,

aqui estão presentes em menor número.

Quadro 25: Análise de taxas relacionadas no livro de Anton; Bivens e Davis

A8 - Taxas Relaciondas A8.1 Conceitual A8.2 Exemplos A8.3 Definição A8.4 Exercícios

R M E R M E R M E C A CT

x x x x x x Fonte: Elaborado pelo autor

A definição é apresentada de forma contextual e muito resumida. A construção

do conceito é realizada através de exemplos: são expostos cinco problemas, sendo os

três últimos mais contextuais e resolvidos sucintamente, fazendo com que seja

necessário que o leitor leia-os mais de uma vez para incorporar o conceito. Os exemplos

recorrem à representação visual, sob forma de diagramas, estes por sua vez, tentam

exprimir movimentos. A resolução é realizada de forma comentada e baseando-se em

uma estratégia de resolução sugerida.

Os números 1,2,3 e 4 das atividades têm o seu nível de dificuldade aumentada

gradualmente. Entretanto, estes exercícios pedem para resolver uma situação apenas a

fim de relacionar as taxas presentes com a utilização da regra da cadeia, fazendo, assim,

com que o enfoque seja manipulativo e pouco conceitual.

Em seguida, apresenta-se uma seção com 47 exercícios, que são assim

distribuídos:

a) 1 a 4 - aplicação direta das taxas relacionadas através da utilização da

regra da cadeia, de modo que este exercícios já vêm estruturados,

bastando ao aluno fazer o elo entre os dados;

b) 5 a 9 - o enfoque está no conceito e na utilização da estratégia de

resolução apresentada;

c) 10 a 47 – apresentam problemas voltados para fenômenos físicos de

modo mais contextualizado e com um nível de dificuldade que aumenta a

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88

cada exercício realizado. Há presença de Teorema de Pitágoras, Volume,

Relações Trigonométricas, Trigonometria, Área, Funções, Leis da Física,

dentre outros, relações estas que, para além de importantes, constituem o

conjunto daqueles conhecimentos aprendidos no Ensino Médio e que

agora dão suporte ao desenvolvimento e aprendizado desse conteúdo.

Alguns dos exercícios recorrem a diagramas, já trazidos pelos autores, de modo

a facilitar a visualização do enunciado proposto.

Quadro 26: Últimas análises no livro de Anton; Bivens e Davis

A12 - Tecnologia A9- Regra da Cadeia - Taxas Relacionadas

A10- Estratégia

A11- Fenômenos Físicos

A12.1 Outros Conteúdos

A12.2 Taxas Relacionadas

X X x

Fonte: Elaborado pelo autor

Não há relato da relação regra da cadeia taxas relacionadas, cabendo,

portanto, ao leitor, perceber que a regra da cadeia serve para derivar funções compostas.

Nos exemplos resolvidos de Taxas Relacionadas, pedem-se apenas para derivar ambos

os membros da equação. Contudo, estes exemplos, não se remete à regra da cadeia para

fazer esta derivação e, por isso, a utilização dessa regra não é colocada de forma

explícita. Percebe-se que há presença de uma estratégia para resolução de problemas de

Taxas Relacionadas, assim como o relato a respeito do que são fenômenos físicos.

O recurso computacional é utilizado em exercícios e explicações durante a

construção dos conceitos necessários ao conteúdo de Taxas Relacionadas. Porém, no

conteúdo específico, não há proposta de utilização da tecnologia. Ao consultar o site

sugerido pelo livro, o conteúdo também não é trabalhado de forma aprofundada,

trazendo apenas problemas a serem resolvidos.

4.2.2 Comentário da análise dos livros-texto

O que se pode dizer a respeito da análise dos três livros é que esses materiais

partem de um mesmo princípio: a revisão e o aprofundamento sobre o conteúdo de

Funções. Essa revisão se deve às lacunas trazidas pelos alunos do Ensino Médio quando

ingressam no Ensino Superior ou somente é um trabalho a fim de situar o aluno nas

novas linguagens e representações matemáticas do conteúdo já estudado. Assim, o

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89

estudo do Cálculo inicia-se de forma estática e, ao longo dos capítulos, vai adquirindo

dinamicidade.

Os problemas clássicos são utilizados com grande frequência pelos três autores,

seja para validar conceitos ou para construir uma situação que levará ao significado de

certas situações. Todos os livros analisados atendem a utilização da regra dos quatro.

Assim, classifica-se como importante transitar entre diferentes representações para

construir significados no estudo de Cálculo.

Cada autor utiliza uma sequência para construir os conceitos (limite, taxas de

variação e derivada), mas todos eles chegam ao mesmo ponto. A ênfase em taxas de

variação é dada com o estudo do conceito de derivadas e, a partir deste estudo, avança-

se com as noções de regra da cadeia e com os conceitos de taxas relacionadas.

O conteúdo de taxas relacionadas, aqui exposto como um dos conteúdos com

alto grau de dificuldade para o ensino de Cálculo, não é privilegiado pelos autores, uma

vez que é trabalhado em uma pequena seção do livro. O artifício utilizado para explicar

o conteúdo é adotado da mesma forma pelos três autores. Inclusive, todos resolvem

cinco problemas e, a partir do segundo ou do terceiro, propõem uma estratégia de

resolução que é aplicada aos demais. Assim, pode-se mudar de autor para tentar

compreender o conceito, mas o trabalho é realizado de forma análoga.

Uma das dificuldades está em representar o movimento presente no problema.

Este movimento é abstrato e através do uso de palavras e diagramas, percebe-se

tentativa de expressa-lo ao leitor. Para a resolução do problema, tem-se, implicitamente,

que o movimento se congela em determinado instante e, nesse momento, quer-se

calcular a taxa de variação requerida de algo que possui movimento. Para dar suporte a

percepção deste movimento, a tecnologia poderia ser utilizada como um auxílio Porém,

na seção em que seria essencial a sua utilização, nenhum dos três autores recorre à

tecnologia, seja através de vídeoaulas, dos sites indicados ou dos diagramas que fazem

menção a movimentos na tentativa de mostrar ao leitor esta situação abstrata.

Foi possível perceber que uma das dificuldades do trabalho com o conteúdo de

Taxas Relacionadas está em compreender conceitos trazidos por um problema. Outra

dificuldade também vista diz respeito ao movimento e às variações que devem ser

percebidas durante a realização das atividades. Assim, é necessário buscar estratégias

que auxiliem o ensino e a aprendizagem do conteúdo de Taxas Relacionadas.

A análise dos livros-texto é importante para a elaboração da sequência das

atividades e dos tópicos presentes no OA. O modo de apresentar os conceitos, o foco na

Page 90: REIS, 2013 - Dissertação - OA

90

compreensão dos mesmos e as variadas formas de representação matemática foram

adotados e adaptados na elaboração do OA.

Page 91: REIS, 2013 - Dissertação - OA

91

5 DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA DA CRIAÇÃO DO OBJETO DE APRENDIZAGEM

5.1 Pesquisa Qualitativa

Segundo Bogdan e Biklen (1994), a pesquisa qualitativa surge a partir dos

estudos sociais e antropológicos da década de sessenta do século XX e chega à

educação com o estudo da sociologia voltado para a área educacional. A investigação

qualitativa “enfatiza a descrição, a indução, a teoria fundamentada e o estudo das

percepções pessoais”. (BOGDAN; BIKLEN 1994, p.11). Os mesmos autores

determinam cinco características desse tipo de pesquisa:

a) A fonte direta de dados é o ambiente natural, constituindo o

investigador o instrumento principal;

b) É descritiva;

c) Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do

que simplesmente pelos resultados ou produtos;

d) Os pesquisadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de

forma indutiva;

e) O significado é de importância vital na abordagem qualitativa.

Diante de tais características, percebe-se que se trata de uma abordagem flexível

e não necessariamente de uma abordagem norteada por regras pré-determinadas. Em

conformidade, a pesquisa qualitativa deve possuir:

(a) a transitoriedade de seus resultados; (b) a impossibilidade de uma hipótese a priori, cujo objetivo da pesquisa será comprovar ou refutar; (c) a não neutralidade do pesquisador que, no processo interpretativo, vale-se de suas perspectivas e filtros vivenciais prévios dos quais não consegue se desvencilhar; (d) que a constituição de suas compreensões dá-se não como resultado, mas numa trajetória em que essas mesmas compreensões e impossibilidade de estabelecer regulamentações, nem procedimentos sistemáticos, prévios, estáticos e generalistas. (GARNICA, 2004, p.86).

Tais características de pesquisa não funcionam como regras absolutas que

devem ser seguidas, mas, pelo movimento flexível, pode-se chegar a características com

diferentes ênfases. Por possuir tais características em relação ao pesquisador, Lüdke e

André (1986, p.5) afirmam que “não há, portanto, possibilidade de se estabelecer uma

separação nítida e asséptica entre o pesquisador e o que ele estuda e também os

resultados do que ele estuda.” O pesquisador participa, ora mais ativo, ora mais passivo

de todo o processo da pesquisa.

Page 92: REIS, 2013 - Dissertação - OA

92

Esta pesquisa objetivou criar um Objeto de Aprendizagem por meio da estratégia

pedagógica de Resolução de Problemas para trabalhar o conteúdo de Taxas

Relacionadas presentes na disciplina de Cálculo, abordando especificamente os

problemas referentes a fenômenos físicos. Para tal, a pesquisa qualitativa, que foi a

metodologia aqui adotada, serviu como suporte para construir o OA, além de avaliar a

utilização deste pelos alunos, e também verificar, através de observações presenciais, se

tal Objeto contribuiu para a aprendizagem, principalmente no que diz respeito à sua

utilização.

5.2 Elaboração do OA

Os caminhos aqui relatados foram trilhados para elaboração do OA com base

nas leituras realizadas e, a partir daí, chegou-se à conclusão de que um OA, para ser

construído, deve:

a) Delimitar um tema a ser trabalhado;

b) Ter uma estratégia pedagógica envolvida;

c) Ter uma equipe que compreenda o aspecto pedagógico e/ou a linguagem

computacional;

d) Escolher uma linguagem computacional que atenda à proposta;

e) Passar por fases de desenvolvimento.

Desse modo, o tema foi delimitado: Cálculo Taxas de Variação Taxas de

Variação Relacionadas. Escolheu-se tal tema pela curiosidade do pesquisador, conforme

anteriormente relatado. A escolha de uma estratégia pedagógica, isto é, modos de

abordar e trabalhar o conteúdo, deve ser uma das preocupações de equipes que

desenvolvem OA’s, como defendido por Borba e Penteado (2001) e Nascimento (2007),

a fim de que os OA´s contribuam para o aprendizado e não sejam somente um objeto

computacional. Sendo assim, a estratégia pedagógica adotada foi a Resolução de

Problemas, baseada em Stewart (2006) e Polya (1977), a partir dos seguintes passos:

1º - Ler o problema de forma minuciosa;

2º - Traçar um esboço da situação (diagrama), que será realizado no próprio OA

de forma dinâmica.

3º - Escolher a notação e/ou entender o significado da notação utilizada (analisar

os dados fornecidos pelo problema);

Page 93: REIS, 2013 - Dissertação - OA

93

4º - Expressar a taxa requerida em termos de derivada; (representar o dado

procurado);

5º - Escrever uma equação que relacione as várias grandezas do problema;

6º - Utilizar a regra da cadeia (para relacionar as grandezas se necessário);

7º - Substituir as informações dadas ou encontradas dentro da equação resultante

e resolver o problema de modo a encontrar a taxa desconhecida;

8º - Analisar a resposta encontrada em coerência com os dados do problema.

Estabelecida a estratégia pedagógica, montou-se uma equipe para criar o OA,

como sugerido por Nascimento (2007) e Amante e Morgado (2001). A equipe foi

composta pelo orientando e orientador, que são profissionais da área do conhecimento.

Por intermédio de um projeto, conseguiu-se um estagiário da área de Engenharia da

Computação para participar da programação; e uma profissional da área específica de

Física (visto que os problemas são de fenômenos físicos), para revisar as atividades, a

linguagem utilizada e os conceitos definidos.

A linguagem ideal a ser utilizada na programação do OA ficou sob a

responsabilidade do programador. Através das ideias iniciais de como seria trabalhado o

tema delimitado e das necessidades pedagógicas implicadas, o programador buscou uma

linguagem que possibilitou tal articulação. A linguagem escolhida por ele foi html com

Javascript, as animações construídas na linguagem flash, com o auxílio do programa

Microsoft Office PowerPoint 2003, aTube Catcher (programa gratuito), o qual pode ser

encontrado na internet e que permite capturar imagens da tela e transformá-las em

vídeo, figuras da internet, além do applets do GeoGebra, programa também gratuito

que permite o esboço de gráficos dinâmicos, dentre outras opções, além de imagens

retiradas da internet para compor o mesmo. O OA funciona em navegadores da internet

como Google Chrome e Firefox Mozilla.

O desenvolvimento do OA foi baseado em Amante e Morgado (2001), que

sugerem fases de como construir um recurso pedagógico, isto é, a concepção, a

planificação, a implementação e a avaliação.

Como já foi dito, é na fase de concepção que se compreende e delimita o tema,

monta-se a equipe, escolhe-se a estratégia pedagógica e a linguagem computacional a

serem utilizadas.

A fase de planificação refere-se à etapa de estruturação das ideias (quando são

registradas, colocadas no papel), ideias essas que foram surgindo a partir das leituras

Page 94: REIS, 2013 - Dissertação - OA

94

realizadas. A sequência didática2 foi sendo elaborada, mas não surgiu pronta e

determinada, senão com o avanço dos estudos sobre o que era um OA e da percepção

das necessidades envolvidas, a partir do que foram sendo realizados acréscimos,

mudanças, complementos e exclusões. Nessa fase, a proposta era criar 7 (sete)

atividades sobre problemas de Taxas Relacionadas que envolvessem fenômenos físicos

e que deveriam ser resolvidas com a utilização da estratégia pedagógica. Pensou-se,

inicialmente, que o OA teria questões fechadas, conforme apresentado por Júnior e

Lopes (2007). Os comandos que seriam utilizados, os vídeos que seriam inseridos e a

escolha dos problemas presentes no OA foram aspectos pensados de forma gradativa,

ampliando o grau de dificuldade e de compreensão a cada atividade, na tentativa de

tornar o aluno mais autônomo na resolução desses tipos de problemas.

Ao criar as sete atividades, viu-se a necessidade de, além disso, fazer também

uma revisão de conceitos necessários ao estudo de Taxas Relacionadas. Assim, a

estratégia de resolução de problemas foi inserida no OA e tópicos revisionais foram

propostos, como, por exemplo: inclinação da reta tangente, inclinação de reta secante,

velocidade média, velocidade instantânea, taxa de variação média, taxa de variação

instantânea, regra da cadeia. Tudo isso foi feito de modo interativo-explicativo, isto é,

durante a explicação, o aluno recebe instruções/comandos para participar, de modo a

potencializar e revisar tais conceitos. Assim, o OA teria três seções denominadas:

a) Taxa de Variação – Revisão de Conceitos;

b) Regra da Cadeia – Taxas Relacionadas;

c) Atividades.

A partir dessas ideias iniciais, criou-se o storyboard, como sugerido por Amante

e Morgado (2001), partindo das atividades respaldadas na estratégia de resolução de

problemas apresentada por Stewart (2006) e Polya (1977). Elaboraram-se as atividades,

as quais, conforme a necessidades, foram sofrendo modificações ao longo do processo:

como compreensão de comandos, limitações de programação, atividades programadas

que não atenderam expectativas, dentre outros. Com base em leituras de Stewart (2006),

Thomas (2002) e Anton; Bivens e Davis (2007), o storyboard foi sendo confeccionado

com o auxílio do orientador, do orientando e ainda com a revisão do profissional da área

de Física.

2Pode-se pensar como sequência didática “um conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos, tanto pelos professores como pelos alunos” (ZABALA, 1998, p. 18).

Page 95: REIS, 2013 - Dissertação - OA

95

A fase de implementação corresponde ao momento em que o programador

começou a passar o storyboard para a linguagem computacional, ou seja, a programar o

OA, cujo trabalho foi realizado pelo orientador, orientando e programador. Durante a

programação, aconteceram algumas mudanças que visavam complementar ou substituir

as ideias apresentadas no storyboard, pois algumas, quando programadas, se tornavam

falhas em alguns aspectos ou necessitavam de maiores mudanças para facilitar a

compreensão do conceito envolvido. Outras sofreram até mesmo modificações devido à

dificuldade de a ideia ser programada, o que sugere que, para fazer um OA, nem todas

as ideias pensadas para as práticas de ensino serão de fácil ou possível programação.

A equipe teve o trabalhado dividido, conforme é apresentado. O orientador e o

orientando, preocupados com a elaboração pedagógica do OA, fizeram leituras teóricas

e metodológicas para esse fim; já o profissional da área de Física preocupava-se em

revisar conceitos físicos e o programador em programar as atividades elaboradas.

Juntos, analisaram os layouts e as formas de apresentação na tentativa de concluir a

proposta desta pesquisa.

A avaliação, que é a última fase sugerida por Amante e Morgado (2001),

acontece a cada passo da elaboração do OA, inclusive no momento da aplicação. É

nessa fase que se observa a necessidade de modificar, ampliar e/ou retirar algumas

partes do OA, para que ele atenda melhor à proposta. Assim, essa fase ocorreu em

diversos momentos e sob os olhares do orientando, orientador e programador, que

participaram ativamente de todo o processo de criação e aplicação do OA.

5.3 Descrição das Seções do OA

O OA foi planejado com o intuito e a expectativa de levar o aluno a

compreender o tópico de Taxas Relacionadas através da Resolução de Problemas de

Fenômenos Físicos. Enquanto se construía as seções presentes no OA, houve

divergências ou outras descobertas não pensadas, o que foi possível perceber em

dificulades como: elaboração da sequência didática, que passou por constantes

reformulações, o número de tópicos idealizados que, durante o processo, sofreu

acréscimo e decréscimo de tópicos conforme as necessidades, as animações, algumas

das quais, ainda que idealizadas, não foram permtidas pela mídia computador ou até

mesmo pelo fato de o programador não conseguir realizá-las, o que culminou em

substituições das mesmas ou até mesmo no cancelamento do tópico. Quatro

Page 96: REIS, 2013 - Dissertação - OA

96

programadores tentaram realizar o projeto, dentre os quais dois do projeto aqui citado e

outros dois contratados pelo pesquisador. Três destes programadores não conseguiram

realizar a proposta, abandonando o projeto e entregando-o para outro programador

assumir tal função, O quarto programador conseguiu realizar o projeto mediante as

alterações de algumas animações, vídeos, dentre outros elementos. Outra dificuldade foi

a de conciliar as leituras realizadas e as idealizações na criação do OA, o que gerou a

necessidade de, por várias vezes, reestruturar as telas e o conteúdo presente no OA.

A expectativa na elaboração do OA é a de que o aluno ganhasse autonomia,

sendo que, para isso, cada tópico e/ou atividade das seções foram construídos com base

em uma sequência didática que procurou atender à literatura vigente sobre o ensino de

cálculo, na tentativa de construir os conceitos de forma significativa sem a preocupação

do rigor matemático excessivo, além de procurar trabalhar com representações

diferenciadas, evitando memorização ou mecanização do processo.

Também foram utilizados como base de estudo os livros analisados, bem como

as competências enunciadas pelas Diretrizes dos cursos de Engenharia e Matemática,

visto que os sujeitos de pesquisa seriam alunos destes cursos.

Dividiu-se o OA em três seções: Taxa de Variação – Revisão de Conceitos;

Regra da Cadeia – Taxas Relacionadas (Revisão) e as Atividades. As duas primeiras

seções tratam de revisões de conceitos necessários para a resolução das atividades, e a

última traz as atividades e uma estratégia de resolução de problemas para

compreender/aprender a resolver os problemas sobre Taxas Relacionadas.

5.3.1 A Seção Taxa de Variação – Revisão de conceitos

Esta seção foi idealizada na tentativa de atender aos seguintes objetivos:

a) Revisar conceitos e ferramentas do Cálculo, tais como: notações, incrementos,

limite, derivada, velocidade média, velocidade instantânea, função posição, corrente

elétrica, taxa de variação média, taxa de variação instantânea, inclinação da reta secante

e inclinação da reta tangente;

b) Perceber que a inclinação da reta secante a uma curva dada é uma taxa de

variação média e a inclinação da reta tangente a uma curva dada pode ser considerada

uma taxa de variação instantânea;

c) Analisar a velocidade média como uma taxa de variação média e a velocidade

instantânea como uma taxa de variação instantânea;

Page 97: REIS, 2013 - Dissertação - OA

97

d) Perceber a particularidade entre velocidade média inclinação da reta

secante e velocidade instantânea inclinação da reta tangente;

e) Trabalhar com notações matemáticas utilizadas para simbolizar taxas;

f) Compreender o conceito de Derivada como taxa de variação instantânea;

g) Utilizar diferentes representações para construir os significados pretendidos.

Para realizar todos os objetivos citados, foram utilizados como base os livros de

Cálculo de Stewart (2006), Thomas (2002) e Anton; Bivens e Davis (2007) e, a partir

das leituras, analisaram-se pontos em comum na construção dos conceitos que serão

apresentados. No OA, criou-se a seguinte sequência:

Tópico 1: Problema da Reta Tangente

Os três últimos autores citados utilizam o problema da reta tangente para

construir ou validar o conceito de taxa de variação. Esse problema consiste em achar a

inclinação de uma reta tangente a uma curva dada, a fim de obter a sua equação e, por

isso, o tópico recebeu o nome de “Problema da Reta Tangente”. Esse tópico foi

desenvolvido também em conformidade com Zuin (2001), que, a respeito do Cálculo,

trabalha com duas questões básicas: “o cálculo do coeficiente angular da reta tangente a

um gráfico num ponto dado, ou seja, o problema das tangentes.” (ZUIN 2001, p.13) e a

outra, que não se fez necessário para esta pesquisa, refere-se ao problema das áreas.

Assim, é apresentado ao aluno o problema no qual ele deve encontrar a inclinação de

uma reta tangente a partir de uma curva dada, passando por um ponto qualquer. Para

auxiliar na compreensão, de como calcular a inclinação desta reta tangente, foi estudado

um caso particular que, posteriormente, foi ampliado.

O problema partiu da ideia de encontrar a inclinação de uma reta secante a uma

curva dada, o que já fora abordado, em nível médio, e também trabalhado na disciplina

de Geometria Analítica em nível superior. Porém, a exploração, deste problema, foi

realizada a partir de visualização gráfica que, segundo Frota e Couy (2007), é um

recurso favorável ao estudo de Matemática, em especial ao Cálculo. Com a

dinamicidade e a interação entre o aluno e o problema, a ideia foi levar o aprendiz a

compreender, na linguagem do Cálculo, como encontrar a inclinação da reta tangente e

o seu significado.

Esse tópico permite ao estudante:

a) Revisar conceitos e notações utilizadas para representar esta situação;

Page 98: REIS, 2013 - Dissertação - OA

98

b) Compreender a inclinação da reta secante a partir da relação trigonométrica da

tangente, utilizando a linguagem de funções;

c) Entender que a inclinação dada pelo coeficiente angular da reta secante é

chamada, no Cálculo, de taxa de variação média, e a inclinação da reta tangente

é chamada de taxa de variação instantânea;

d) Visualizar o fenômeno do movimento da reta secante aproximando da reta

tangente;

e) Compreender a inclinação de uma reta tangente a uma curva dada como taxa

de variação instantânea.

Na tela do computador, o aluno tem o gráfico da função y = f(x) = -x² + 20x e

os pontos A (2,36) e B(10,100), que pertencem a essa curva e por onde passa também

uma reta secante. Assim, a construção do conceito não pretende a formalização ou

generalização imediata, mas trabalha inicialmente com um caso particular.

Gráfico 5: Função y = f(x) = -x² + 20x

Fonte: Elaborado pelo autor

A partir da visualização do gráfico, a ideia de incremento )( yex ∆∆ é revisada

com o aluno e, a partir do triângulo ABC reto em C, faz-se a revisão de como achar a

inclinação da reta secante presente no gráfico. Para isto, utiliza-se a relação

trigonométrica de tangente em um triângulo retângulo (Cateto oposto ao ângulo de

inclinação )(θ dividido pelo cateto adjacente ao ângulo de inclinação (x

ytg

∆=θ )).

Desse modo, essa linguagem é ampliada para o cálculo diferencial, de modo a levar o

aluno a perceber as seguintes igualdades:

Page 99: REIS, 2013 - Dissertação - OA

99

Quadro 27: Cálculo da inclinação da reta tangente.

AB

AB

AB

AB

xx

xfxf

xx

yy

x

ytg

−=

−=

∆=

)()(θ

Fonte: Elaborado pelo autor

O aluno é convidado a achar a inclinação da reta secante apresentada pelo

gráfico, a fim de que se verifique se houve a compreensão do conceito abordado. Para

trabalhar a inclinação da reta tangente, alguns questionamentos são feitos ao aluno que,

a partir da observação do gráfico, deve levar fazer reflexões a respeito dos seguintes

pontos:

a) Agora, se o Bx fosse se aproximando do Ax o que iria acontecer?

b) O que acontece com a reta secante?

c) E o coeficiente angularx

y

∆, o que acontece com a inclinação da reta secante

durante o processo?

Na tentativa de ajudar na construção de respostas a tais questionamentos, é

apresentada ao aluno uma animação na qual o Bx começa a se aproximar do Ax , a partir

do que os incrementos em x e em y começam a diminuir e a reta secante se aproxima da

reta tangente à curva dada, passando pelo ponto A. Durante o processo, uma tabela

complementa a visualização.

Gráfico 6: Reta secante se aproximando da teta tangente

Fonte: Elaborado pelo autor

A partir de Frota e Couy (2007), pensou-se em dois tipos de representações:

gráfica (auxiliada pela dinamicidade do gráfico) e tabular numérica, para auxiliar na

compreensão do processo.

Page 100: REIS, 2013 - Dissertação - OA

100

Tabela 3: Cálculos das inclinações para o tópico proposto

X Y delta x ( x∆ ) delta y ( y∆ ) delta y / delta x

(x

y

∆)

10 100 8 64 8 5 75 3 39 13 3 51 1 15 15

2,5 43,75 0,5 7,75 15,5 2,1 37,59 0,1 1,59 15,9 2,01 36,1599 0,01 0,1599 15,99

2,001 36,015999 0,001 0,015999 15,999 2,00001 36,00016 0,0000100000 0,00016 15,99999

2 36 0 0 #DIV/0! Fonte: Elaborado pelo autor

Após essa animação, é proposto ao aluno responder um questionário com

perguntas fechadas, cujas respostas devem ser dadas a partir das observações realizadas

sobre o gráfico e a tabela. O questionário tem por objetivo aguçar e expor os pontos

mais importantes desse momento. Assim, o OA se torna importante, uma vez que o

aluno pode repetir o processo quantas vezes forem necessárias para compreender o

procedimento envolvido, até assimilá-lo bem, comungando, assim, com as ideias

apresentadas por Lucchesi et al. (2007) e Bardy et al. (2007), cujos investigadores

alegam que o aluno pode aprender no seu ritmo. A partir das observações realizadas na

animação e na tabela e com o questionário preenchido, é definido para o aluno

Quadro 28: Limite especial

AB

AB

xxAB

AB

xxx xx

xfxf

xx

yy

x

y

ABAB −

−=

−=

→→→∆

)()(limlimlim

0

Fonte: Elaborado pelo autor

E, nesse momento, um paralelo é realizado por um quadro exposto no OA.

Quadro 29: Inclinação e taxas de variação

1- A inclinação de uma reta secante pode ser denominada como uma taxa de

variação média;

2- A inclinação da reta tangente pode ser denominada como uma taxa de

variação instantânea.

Fonte: Elaborado pelo autor

Page 101: REIS, 2013 - Dissertação - OA

101

Tópico 2: Introdução ao Conceito de Velocidade

Neste momento, a proposta consiste em mostrar um fenômeno físico no qual está

presente a taxa de variação ou uma aplicação de taxa de variação. Essa aplicação foi

retirada dos livros de Stewart (2006), Anton; Bivens e Davis (2007) e Thomas (2002),

que trazem o problema da velocidade média e da velocidade instantânea.

Desse modo, dividiu-se esse tópico em duas partes:

a) Explicar o que é velocidade média e suas notações;

b) Explicar o que é o movimento de queda livre utilizando o conceito de

velocidade média e culimnando no conceito de velocidade instantânea.

A parte a recebeu o nome “Introdução ao Conceito de Velocidade Média”, com

o propósito de atender aos seguintes objetivos:

a) Compreender o conceito de velocidade média;

b) Aprender/revisar as notações matemáticas envolvidas para designar

conceitos abordados.

A parte b recebeu o nome “Movimento de Queda Livre” e teve como objetivos:

a) Entender e/ou revisar o fenômeno de queda livre;

b) Compreender e/ou revisar o conceito da função posição;

c) Relacionar um fenômeno físico (queda livre) com as notações matemáticas

(função posição);

d) Perceber que o movimento de queda livre (fenômeno físico) pode ser

representado graficamente a partir da função posição;

e) Analisar o gráfico do movimento de queda livre;

f) Calcular a velocidade média de um corpo em queda livre em um determinado

intervalo.

Na primeira parte, busca-se compreender o que é movimento e o que é

velocidade média. Para explorar tais conceitos, o aluno interage com uma simulação que

traz todo o conteúdo utilizado para explicar o que é movimento. Baseado em Gaspar

(2008), tem-se que, para haver movimento na Física, é preciso definir um referencial,

isto é, um ponto de origem (na simulação, o referencial é a casa). Haverá movimento se,

com o passar do tempo, a posição de um corpo mudar em relação a este ponto, aqui

denominado referencial.

Page 102: REIS, 2013 - Dissertação - OA

102

Figura 12: Movimento físico

Fonte: Elaborado pelo autor

Para designar as grandezas presentes, as notações comumente utilizadas em

Física vão sendo construídas juntamente com o aluno, que participa interagindo com o

OA, e logo o conceito de Velocidade Média é apresentado.

Quadro 30: Conceito de velocidade média

Velocidade Média ( mv ) de um corpo é a razão entre o espaço percorrido s∆ e o

intervalo de tempo t∆ gasto para percorrê-lo.

Assim: 0

0

tt

ss

t

svm

−=

∆= .

Fonte: Adaptado de Gaspar, 2008, p.27

O aluno pode praticar o conceito através da interação com o OA em outro

diagrama, o qual permite a visualização e a dinamicidade do conceito abordado.

Figura 13: Diagrama para velocidade média

Fonte: Elaborado pelo autor

Page 103: REIS, 2013 - Dissertação - OA

103

Aqui, o aluno deverá calcular a velocidade média de um indivíduo que começou

o seu movimento em um referencial ( ms 20 = ) e que se moveu até uma posição final

de ( ms 50= ), gastando, para isso, um tempo de 10 segundos. Esse problema serviu

para validar a compreensão do conceito de velocidade média. Ao calcular, descobre-se

uma velocidade de 4,8 m/s, resposta que, quando interpretada pelo OA, relata ser

possível analisar que o indivíduo se moveu 4,8 metros a cada 1 segundo ou, ainda, que a

posição do indivíduo variou 4,8 metros a cada variação de 1 segundo no tempo.

A segunda parte do tópico traz a construção do conceito do fenômeno

denominado queda livre. Fenômeno o qual, é utilizado pelos autores, para exemplificar

problemas de taxas de variação relacionadas.

A situação é apresentada para o aluno retratando/revisando o conceito de queda

livre: “o movimento de queda dos corpos no vácuo ou no ar, quando a resistência do ar

é desprezível, é denominado queda livre.” (MÁXIMO; ALVARENGA, 2006, p.57).

É dito ao aluno que a função/posição de um corpo em queda livre pode ser s,

dada por 200 2

1)( gttvsts ++= e descrevem-se os significados de suas notações.

A partir de então, é retratada a seguinte situação problema: um corpo é

abandonado do alto de um edifício (0v =0) com altura de 1800 m. Desprezando a

resistência do ar, tem-se um movimento de queda livre. Sendo o referencial a altura do

prédio, logo 0s =0, e onde a função/posição s = s(t) deste corpo pode ser descrita

matematicamente por .9,48,92

100

2

1)( 222

00 tttgttvsts ⇒++⇒++=

No diagrama interativo que é apresentado ao aluno tem-se o corpo no alto do

edifício com as notações matemáticas presentes e uma tabela numérica que traz a

posição do corpo com o decorrer do tempo. Segundo Tavares (2007), o estudo de

fenômenos da natureza pode ser beneficiado com a visualização, verbalização e

animação, pois eles ajudam a promover a aprendizagem significativa. Ao clicar no

botão “iniciar”, o corpo cai do topo prédio e a sua posição com o decorrer do tempo é

registrada pela tabela.

Page 104: REIS, 2013 - Dissertação - OA

104

Figura 14: Corpo em movimento de queda livre

Fonte: Elaborado pelo autor

A partir do fenômeno físico apresentado, um gráfico matemático é traçado pelo

OA, representando a função/posição.

Gráfico 7: Movimento de queda livre para a situação abordada

Fonte: Elaborado pelo autor

A partir desse gráfico e dessa atividade, é exposto para o aluno que a posição do

corpo no instante de 7 segundos é 240,1 metros, isto é, s(7) = 240,1, e a posição do

corpo em 15 segundos é 1102,5 metros s(15) = 1102,5. Assim, é proposto para o aluno

um questionário para verificar se houve aprendizado quanto à relação fenômeno

função gráfico.

Page 105: REIS, 2013 - Dissertação - OA

105

Tópico 3: União de Conceitos: Geométrico – Físico

Este é o tópico considerado pelos pesquisadores como elemento-chave dessa

revisão. Nesse tópico, foi realizada a união dos conceitos: taxas de variação média

velocidade média inclinação da reta secante, assim como taxas de variação

instantânea velocidade instantânea inclinação da reta tangente, sendo que o

conceito de velocidade instantânea foi construído no próprio tópico a partir de situações

pensadas para tal fim. Além dos objetivos supracitados, têm-se os seguintes::

a) Compreender o que é velocidade instantânea;

b) Revisar/compreender a união dos conceitos físico-geométricos de taxas de

variação média e instantânea;

c) Revisar/compreender a inclinação da reta secante e da reta tangente com os

conceitos geométrico-físicos;

d) Compreender/revisar taxa de variação média como inclinação da reta secante

e taxa de variação instantânea como inclinação da reta tangente;

e) Observar/compreender/revisar a velocidade média como inclinação da reta

secante à curva posição esboçada em um intervalo de tempo;

f) Observar/compreender/revisar a velocidade instantânea como inclinação da

reta tangente à curva posição esboçada em um determinado ponto;

g) Conceber a diferença entre velocidade média e velocidade instantânea;

h) Verificar que a velocidade média é uma taxa de variação média e a velocidade

instantânea é uma taxa de variação instantânea.

Para elaborar esse tópico, foi utilizado o livro de Stewart (2006), que, ao longo

de seus capítulos, vai construindo os conceitos, de modo que, ao final, apresenta a união

dos mesmos, mostrando para o aluno os objetivos citados acima.

O Tópico inicia-se com a revisão da velocidade média e apresentando ao aluno,

matematicamente, como essa velocidade pode ser calculada tendo uma função posição.

Quadro 31: Fórmula para a velocidade média

12

12 )()(

tt

tsts

t

svm

−=

∆=

Fonte: Elaborado pelo autor

Page 106: REIS, 2013 - Dissertação - OA

106

O seguinte quadro expressa a transição do fenômeno físico para o geométrico

(gráfico):

Quadro 32: Fenômeno físico e fenômeno geométrico.

Verifique que a queda livre, um fenômeno físico, é representada por uma função cujo

“gráfico” pode ser esboçado. No problema estudado, tem-se que esta função s é dada

por s(t) = 4,9t².

A letra “s” representa:

* No fenômeno físico, a posição em cada instante do corpo;

* No gráfico, a variação da ordenada (y) em relação à variação da abscissa (x). (y= f(x))

Logo, a função s= s(t) é a mesma para o fenômeno e para o gráfico.

Fonte: Elaborado pelo autor

O gráfico e a animação são expostos lado a lado, para que o aluno comece a

fazer tal assimilação e, assim, possa interagir com animação do objeto caindo do prédio,

que agora só remetem a três instantes: o tempo de 7 segundos, 15 segundos eno

momento em que o objeto toca o solo, sendo que o gráfico expõe os três momentos.

Figura 15: Fenômenos: físico e geométrico sob a forma visual

Fonte: Elaborado pelo autor

O esquema tem por objetivo fazer com que o aluno relacione a representação

física e a representação geométrica do fenômeno através da observação, reflexão,

interação e visualização.

Propõe-se também ó cálculo da velocidade média do corpo no intervalo

apresentado tanto pela animação quanto pelo gráfico, isto é, [7, 15]. Caso o aluno não

Page 107: REIS, 2013 - Dissertação - OA

107

consiga realizar tal procedimento, o OA traz um botão auxiliar chamado de “ajuda”, em

cuja função há a explicação dos cálculos, chegando-se ao resultado a mv = 107,8 m/s.

Ao continuar no tópico, o aluno é conduzido a traçar a reta secante e a curva do

gráfico que representa o fenômeno físico, passando pelos pontos A(7;240,1) e

B(15;1102,5). Ao clicar no botão “traçar reta secante”, os seguintes gráficos são

apresentados ao aluno:

Gráfico 8: Reta secante para a situação abordada

Fonte: Elaborado pelo autor

Está claro que o primeiro gráfico não apresenta muitos dados e que o segundo

traz um maior número de dados para auxiliar no que será requerido do aluno. Então,

pede-se que o aluno calcule a inclinação dessa reta secante. Caso ele não consiga

resolver tal cálculo, recorre-se ao botão “ajuda”. Ao calcular, é possível analisar que

8,107=θtg .

Então, o OA chama a atenção do aluno para a inclinação da reta secante

velocidade média, unindo, assim, os conceitos do fenômeno físico (velocidade média)

com o geométrico (inclinação da reta secante a uma curva posição dada).

Parte-se, então, para o conceito de velocidade instantânea. Para

revisar/compreender tal conceito, usou-se a síntese de Stewart (2006, p. 153), de acordo

com a qual “a velocidade instantânea é o limite das velocidades médias calculadas em

intervalos cada vez menores de tempo”. O processo de assimilação desta síntese pode

Page 108: REIS, 2013 - Dissertação - OA

108

não se fazer de imediato, motivo pelo qual há todo um trabalho minucioso para

construir o significado desta síntese.

Ainda utilizando a função posição referente ao gráfico, sugere-se achar a

velocidade do corpo exatamente no tempo de 7 segundos. É, então, apresentada a

situação-fenômeno com o diagrama estático, chamando a atenção do aluno para qual é a

velocidade neste instante.

Figura 16: Velocidade instantânea.

Fonte: Elaborado pelo autor

A partir disso, será exibido um gráfico interativo, isto é, já que a velocidade

instantânea é o cálculo em intervalos de tempo cada vez menor, o t∆ deve ir tendendo a

zero. Para auxiliar a animação gráfica, uma tabela numérica vai sendo completada. O

gráfico inicial é o mesmo utilizado para o problema desde então. A preocupação aqui é

que o aluno seja capaz de verificar quando o t∆ tende a zero, a reta inicialmente secante

aproxima-se da reta tangente e que a inclinação da reta tangente é a velocidade

instantânea do corpo no momento procurado.

Page 109: REIS, 2013 - Dissertação - OA

109

Gráfico 9: Velocidade instantânea em t = 7 s

Fonte: Elaborado pelo autor

No quadro a seguir, é demonstrado o cálculo do movimento:

Tabela 4: Cálculos dos coeficientes angulares em diferentes momentos

s(t) T delta s ( s∆ ) delta t ( t∆ )

delta s/ delta t

(t

s

∆)

1102,5 15 862,4 8 107,8 313,6 8 73,5 1 73,5

279,31225 7,55 39,21225 0,55 71,295 267,59929 7,39 27,49929 0,39 70,511 248,40256 7,12 8,30256 0,12 69,188 242,85184 7,04 2,75184 0,04 68,796 240,78649 7,01 0,68649 0,01 68,649

240,1686049 7,001 0,0686049 0,001 68,6049 240,10686 7,0001 0,006860049 0,000100000000 68,60049

240,1001098 7,0000016 0,00010976 0,000001600000 68,60001 240,1 7,000000000011 0,000000000755 0,000000000011 68,59911 240,1 7 0 0 #DIV/0!

Fonte: Elaborado pelo autor

Assim, a velocidade instantânea desse corpo pode ser obtida pelo

limite .59,68)()(

lim12

12

0 12

=−

−=

∆→→∆ tt

tstsiml

t

sttt

O aluno é levado a perceber que a inclinação

de uma reta tangente a uma curva dada pode ser obtida através

doAB

AB

xxAB

AB

xxx xx

xfxf

xx

yy

x

yABAB −

−=

−=

∆→→→∆

)()(limlimlim

0, e poderá ainda realizar a comparação

entre esses dois limites que se diferem apenas quanto às notações utilizadas. Porém, a

forma de calculá-los é análoga.

Page 110: REIS, 2013 - Dissertação - OA

110

Assim, mostra-se a relação entre inclinação da reta tangente velocidade

instantânea.

A conclusão é apresentada para evidenciar a proposta aqui descrita. A

velocidade média 12

12 )()(

tt

tsts

t

svm

−=

∆= pode ser entendida como a inclinação da

reta secante em um intervalo dado de uma curva. Esse quociente é denominado taxa de

variação média.

A velocidade instantânea é dada como 12

12

0

)()(limlim

12 tt

tsts

t

sttt −

−=

∆→→∆

e pode ser

entendida como a inclinação de uma reta tangente a uma curva dada num determinado

ponto, sendo esse limite denominado como taxa de variação instantânea.

É um dos pontos chave dessa revisão dotar o aluno da capacidade de estabelecer

as seguintes relações: velocidade média inclinação da reta secante taxa de

variação média e a velocidade instantânea inclinação da reta tangente taxa de

variação instantânea.

Tópico 4: Conclusão da Revisão: Derivada como Taxa de Variação

A seção termina com a união dos conceitos: taxa de variação instantânea

inclinação da reta tangente velocidade instantânea derivada. É nesse ponto que se

pretende:

a) Revisar o conceito de derivada;

b) Analisar que todo limite na forma 12

12

0

)()(limlim

12 tt

tsts

t

sttt −

−=

∆→→∆

ou

AB

AB

xxAB

AB

xxx xx

xfxf

xx

yy

x

y

ABAB −

−=

−=

→→→∆

)()(limlimlim

0 recebe o nome de derivada;

c) Verificar que derivada é a taxa de variação instantânea.

O tópico oferece ao aluno duas formas de interação: visual (em forma de

vídeoaula) ou textual (verbal-descritiva). Se o estudante desejar, poderá utilizar as duas

formas, na ordem em que preferir.

Inicialmente, é realizada uma comparação entre os limites que apareceram

durante a revisão, ora na representação geométrica (uma função qualquer y = f(x))

Page 111: REIS, 2013 - Dissertação - OA

111

AB

AB

xxx xx

xfxf

x

yAB −

−=

∆→→∆

)()(limlim

0 ora na representação de um fenômeno físico (função

posição, nesse caso, s = s(t)) 12

12

0

)()(limlim

12 tt

tsts

t

sttt −

−=

∆→→∆

. Essa comparação é realizada

com o intuito de levar o aluno a perceber que os limites são os mesmos tanto para a

representação geométrica quanto para a representação física, e que se diferem apenas

devido às notações adotadas e aos conceitos envolvidos. Sabe-se, ainda, que tais limites

foram utilizados para calcular a taxa de variação instantânea ou inclinação da reta

tangente a uma curva.

Como a ocorrência desse limite é elevada nos problemas de Cálculo,

principalmente nos que se referem a Taxas de Variação Instantânea, trata-se de um

limite especial, que recebe o nome de Derivada. Notações diferenciadas são

apresentadas ao aluno:

Quadro 33: Notações para derivada.

y’ = f’(x) = AB

AB

xxx xx

xfxf

x

y

dx

dyAB −

−=

∆=

→→∆

)()(limlim

0

Fonte: Elaborado pelo autor

Portanto, derivadas são taxas de variações instantâneas.

Exemplos da presença de fenômenos físicos em certas situações são

apresentados e denotados como derivadas, a exemplo: a velocidade instantânea que é a

derivada da função posição ou ainda a velocidade instantânea que é uma taxa de

variação instantânea da posição em relação ao tempo dt

ds. A intensidade da corrente

elétrica instantânea que é uma derivada ou a taxa de variação instantânea da quantidade

de carga que passa pela seção transversal de um fio condutor em relação ao tempo

dt

dQi = . Deste modo, são taxas de variação instantânea as grandezas que variam em

relação a outras.

O esquema é apresentado com o objetivo de dotar o aluno desta relação

intrínseca:

Page 112: REIS, 2013 - Dissertação - OA

112

Figura 17: Relação entre: derivada taxa de variação Instantânea inclinação da reta tangente a

uma curva

Fonte: Elaborado pelo autor

Conclui-se, neste ponto da seção, que a revisão sobre taxas de variação foi

realizada. Espera-se que o aluno tenha conseguido compreender/revisar/analisar/

aprender os conceitos envolvidos, suas representações geométricas e físicas, assim

como as notações utilizadas para representá-los.

5.3.2 A Seção Regra da Cadeia – Taxas Relacionadas

A seção idealizada visou, a priori, trabalhar a regra da cadeia (de forma

implícita), as taxas relacionadas e, por fim, a análise do que vem a ser um problema de

Taxas Relacionadas. Desse modo, se unem os conceitos de taxas de variação ao de

Taxas Relacionadas. Os objetivos dessa seção foram:

a) Revisar a regra da cadeia como forma de relacionar taxas;

b) Compreender o conceito de Taxas Relacionadas;

c) Aprender ou aplicar taxas relacionadas;

d) Resolver um problema de Taxas Relacionadas utilizando a regra da cadeia

para fazer o elo entre as taxas de variação (de forma implícita).

Tópico 1: Regra da Cadeia – Revisão

O problema seguinte é apresentado ao aluno:

Page 113: REIS, 2013 - Dissertação - OA

113

Quadro 34: Problema do balão esférico

Um balão esférico está sendo inflado de modo que o seu raio cresce a

uma taxa de 2 cm/s

dt

dr. A que taxa o volume está crescendo

dt

dV quando o

raio do balão for exatamente 20 cm (r = 20 cm)?

Fonte: Adaptado Stewart, 2006, p. 255

Com a resolução comentada e interativa desse problema, pretendeu-se que o

aluno percebesse a necessidade de utilizar a regra da cadeia para achar o dado proposto

e encontrar a taxa com que o volume está crescendo nesse momento. Em conformidade

com Thomas (2002), nesses tipos de problemas, o termo “instantânea” é omitido, pois,

ao referir-se às taxas de variação, quer-se dizer instantânea.

Para utilizar a regra da cadeia, inicialmente o aluno é levado a perceber a ligação

intrínseca entre o volume e raio do balão e o tempo (Volume Raio Tempo), isto é,

o volume do balão esférico depende do raio do balão

= ³

3

4rV π que, por sua vez,

depende do tempo, visto que o raio está a crescer 2 cm a cada segundo. O problema

agora ganhou dinamicidade ao incluir a grandeza tempo.

Para ajudar na compreensão da questão, é apresentado um diagrama interativo

no qual se tem o balão esférico sendo inflado. Diante disso, há a expectativa de que o

aluno observe a relação de dependência. Para realçar essa dependência, foi idealizada,

ao lado do diagrama, uma tabela que é completada com dados numéricos pelo OA

enquanto a animação é realizada.

Figura 18: Balão sendo inflado

Fonte: Elaborado pelo autor

Page 114: REIS, 2013 - Dissertação - OA

114

Procura-se a taxa de variação do volume em função do tempo (dt

dV) quando o

raio do balão é 20 cm (r = 20 cm). No Ensino Médio, o aluno trabalha com o modelo

matemático que representa o volume de uma esfera ³3

4rV π= . O próprio OA faz

menção a esse modelo. A partir de então, é evidenciada ao aluno a impossibilidade de

achar a variação do volume em função do tempo, visto que, nesse modelo, tem-se a

dependência do volume em função do raio.

A regra da cadeia e seu conceito são então apresentados de modo a levar o aluno

à sua compreensão. É utilizada a regra da cadeia no modelo matemático, fazendo,

assim, a relação entre taxas de variações.

Quadro 35: Aplicação da regra da cadeia

Fonte: elaborado pelo autor

Os dados fornecidos no problema são inseridos, na equação obtida no quadro 35,

e a taxa de variação para um dado “r” , dt

dVpode ser calculada. Note-se que foi dado o

valor do r = 20 cm.

Desse modo, há, implicitamente, a resolução de um problema de Taxa

Relacionada, mas o objetivo maior é revisar a regra da cadeia e o modo como ela pode

fazer o elo entre as taxas de variações já conhecidas.

Tópico 2: Testando a Regra da Cadeia

Após a revisão do conceito da regra da cadeia, a proposta agora é validá-la com

um exemplo de problema que envolva Taxas Relacionadas. Os objetivos são:

a) Aprofundar a regra da cadeia como meio de relacionar taxas de variação;

b) Trabalhar com a regra da cadeia para aprofundar o conhecimento;

c) Permitir o trabalho com diferentes notações matemáticas presentes;

d) Resolver um problema de Taxas Relacionadas implicitamente.

No diagrama abaixo, está representado o lançamento de um foguete. No ponto O

tem-se um observador situado a uma distância x do foguete. O Foguete está a uma

.².4.dt

drr

dt

dV

dt

dr

dr

dV

dt

dVπ=⇒=

Page 115: REIS, 2013 - Dissertação - OA

115

altura inicial de 00 =h m e, por consequência, o ângulo do observador-foguete é de

º.0=θ

Figura 19: Situação-problema – subida de um foguete

Fonte: Elaborado pelo autor

Ao clicar no botão “iniciar”, o foguete é lançado em Movimento Retilíneo

Uniforme (MRU), isto é, em velocidade constante. Desse modo, tanto a velocidade

média quanto a velocidade instantânea em cada intervalo de tempo, ou exatamente no

tempo indicado, são iguais. O OA explica para o aluno o que é MRU. Quando o foguete

é lançado, o tempo começa a passar, a altura e o ângulo de visão do observador variam

conforme o decorrer do tempo, até o foguete atingir a altura de 1200 metros num tempo

de t = 10 s e, nesse momento, a simulação congela.

Figura 20: Foguete em MRU

Fonte: Elaborado pelo autor

A partir das observações e informações presentes na simulação, uma atividade é

apresentada ao aluno, que deve preencher os campos existentes nos quadros seguintes.

O objetivo é verificar se houve assimilações dos conceitos envolvidos, dos conteúdos

abordados e das notações matemáticas trabalhadas até aquele momento.

Page 116: REIS, 2013 - Dissertação - OA

116

Quadro 36: Dados do tópico 2 – parte I.

Parte 1:

0s = 0 = 0h (Posição inicial do foguete)

s = 1200 = h (Posição final do foguete no tempo indicado)

=∆=∆ sh 1200 m

0θ = 0 º =0t 0 s (Tempo inicial)

=θ 30 º (Ângulo final) t = 6 s (Tempo final)

=∆θ 30 º =∆t 6 s

Fonte: Elaborado pelo autor

A cada resposta dada, o OA interage com o aluno através de feedback, que

confirma a resposta ou dá a sugestão de revisar tópicos anteriores.

Quadro 37: Dados do tópico 2 – parte II.

Parte: 2

Como o movimento é em MRU, já sabemos que Velocidade Média = Velocidade

Instantânea = Derivada. Logo, determine:

==∆

dt

dh

t

h200 m/s feedback: Esta taxa de variação é a velocidade do foguete,

isto é, a cada um segundo, o foguete sobe a uma altura de 200 m ou Reveja os

conceitos.

==∆

dt

d

t

θθ5 º/s feedback: Esta taxa de variação é a velocidade com que o

ângulo teta aumenta, isto é, a cada segundo, o ângulo varia 5º ou Reveja os conceitos.

==∆

θθ d

dhh40 m/º feedback: Esta taxa de variação é a velocidade com que a

altura varia em relação ao ângulo, isto é, a cada grau aumentado, a altura varia 40 m.

Fonte: Elaborado pelo autor

Page 117: REIS, 2013 - Dissertação - OA

117

Após preencher os quadros, que trazem o feedback a cada resposta inserida, há,

intuitivamente, a validação da regra da cadeia. Então, pede-se que o aluno, a partir dos

dados preenchidos, verifique a relação: dt

d

d

dh

dt

dh θ

θ.= .

Ao substituir os valores, o aluno pode perceber que a igualdade é verídica.

Assim, a regra da cadeia é um método seguro para relacionar taxas de variação.

Tópico 3: Taxas Relacionadas e Regra da Cadeia

Esse tópico apresenta outro problema de Taxas Relacionadas, que será resolvido

através da aplicação da regra da cadeia. Aqui, será explicitado para o aluno o que é um

problema de Taxas Relacionadas, e, ao final, levará o estudante a concluir que, durante

esta seção, ele resolveu três problemas de fenômenos físicos sobre Taxas Relacionadas.

O problema desse tópico é similar ao apresentado anteriormente. Porém, o

foguete será lançado em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV), isto é,

possui aceleração constante e, desse modo, a velocidade média poderá ser diferente da

velocidade instantânea ou, ainda, a taxa de variação média poderá diferir-se da taxa de

variação instantânea. O problema proposto torna-se importante para mudar, de agora em

diante, o foco de estudos para as taxas de variações instantâneas.

Os objetivos deste tópico são:

a) Compreender a utilização da regra da cadeia para relacionar as taxas de

variação;

b) Conhecer/revisar um problema físico de Taxas Relacionadas;

c) Conceituar um problema de Taxas Relacionadas;

d) Trabalhar com taxas de variação instantânea.

Nessa atividade, são apresentadas as informações no enunciado sobre o

lançamento de outro foguete. Porém, agora, o observador está a 3 m do foguete que, por

sua vez, subirá em MRUV.

Figura 21: Foguete em MRUV

Fonte: Elaborado pelo autor

Page 118: REIS, 2013 - Dissertação - OA

118

Pede-se que o aluno inicie a simulação clicando no botão iniciar, fazendo com

que o foguete seja lançado. A partir daí, a altura começa a variar, bem como o ângulo de

observação. A questão é achar a variação com que o ângulo de observação varia em

relação à altura (dh

dθ) após t = 10 segundos. Na figura seguinte, está a situação

representada após a simulação.

Figura 22: Simulação concluída do lançamento de um foguete em MRUV

Fonte: elaborado pelo autor

A partir dessa figura, é possível analisar que a relação trigonométrica que

relaciona o ângulo )(θ e a altura (h) do foguete é θθ tghh

tg 33

=⇒= .

A simulação é concluída exatamente no t= 10 s e, neste momento, a velocidade

do foguete é 5 m/s, isto é, =dt

dh5 m/s, e o ângulo de observação é )(θ = 78º. Assim,

pretende-se achar a velocidade do ângulo de observação no exato momento ou com que

velocidade o ângulo de observação )(θ estará variando naquele momento (dt

dθ).

A partir da equação matemática θθ tghh

tg 33

=⇒= , não é possível achar o

dado requerido (dt

dθ). Ao aplicar a regra da cadeia para relacionar as taxas de variação,

Page 119: REIS, 2013 - Dissertação - OA

119

tem-se: ..dt

d

d

dh

dt

dh θ

θ= Como θtgh 3= , sua derivada em relação a θ é

θd

dh= θ²sec3 . Aplicando a regra da cadeia, tem-se

dt

d

dt

dh θθ .²sec3= . Ao substituir os

dados apresentados, =dt

dh5 m/s e θ = 78º tem-se:

072,04,69

51335,23.35º.78²sec35 =⇒=⇒=⇒=

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d θθθθº/s

Toda essa construção é realizada a partir do OA, e o aluno pode controlar o

ritmo com que esta exposição será feita, podendo avançar ou retroceder sempre que

necessário. Assim, pretende-se que o aluno conclua que, nesse exato momento, a

velocidade do ângulo de observação é de 0,072 º (grau) a cada um segundo.

O OA, então, traz para o aluno, segundo estudos realizados

[...] encontrar uma taxa que não pode ser facilmente medida a partir de uma outra que pode ser medida é um problema que se chama problema de taxa relacionada. (THOMAS, 2002, pg. 197)

[...] em um problema de taxas relacionadas, a idéia é computar a taxa de variação de uma grandeza em termos de taxa de variação da outra (que pode ser medida mais facilmente). O procedimento é achar uma equação que relacione as duas grandezas e então usar a Regra da Cadeia para diferenciar ambos os lados em relação ao tempo. (STEWART, 2006, p.255.)

Enfatiza-se, assim, o que é um problema de taxas relacionadas. Com isto, e na

tentativa de dotar o aluno com os conceitos da regra da cadeia e do que vem a ser um

problema de Taxas Relacionadas, a seção Regra da Cadeia – Taxas Relacionadas é

finalizada.

5.3.3 A seção de Atividades

Nesta seção, são apresentadas as atividades criadas e que se constituem como

um facilitador para o estudante, tais como, por exemplo, o conceito de taxa de variação

relacionada e a resolução de problemas físicos e também uma estratégia afim de

resolvê-las. As atividades foram criadas a partir de problemas retirados do livro de

Cálculo Diferencial e Integral de Stewart (2006), Thomas (2002) e Anton; Bivens e

Davis (2007).

Nas três primeiras atividades a estratégia de resolução de problemas de Taxas

Relacionadas é apresentada implicitamente, assim o o aluno interage e é auxiliado pelo

Page 120: REIS, 2013 - Dissertação - OA

120

OA, de modo, a resolver o problema proposto, porém sem perceber que está utilizando

uma estratégia.

Após a terceira atividade, é apresentada a estratégia de resolução de problemas

e sugere-se ao aluno aplicar tal estratégia nas próximas quatro atividades. Assim, o nível

de ajuda do OA, a cada atividade que o aluno avança, vai diminuindo, de modo que, na

última atividade, espera-se que o aluno consiga compreender a estratégia, utilizando-a

para resolver problemas de Taxas Relacionadas. Assim, espera-se que o aluno se torne

sujeito autônomo e agente do seu próprio aprendizado.

Atividade 1: Termodinâmica

A primeira atividade objetiva introduzir a estratégia de resolução de problemas

de forma implícita e, para tal, foi escolhido um problema que é resolvido com a

interação entre o aluno e o OA, cabendo àquele compreender os dados presentes e a

forma de relacioná-los.

Os objetivos esperados com essa atividade são:

a) Compreender um problema de Taxas Relacionadas;

b) Trabalhar com notações matemáticas que expressam a situação;

c) Observar um fenômeno físico presente no conteúdo de química;

d) Resolver um problema de Taxas Relacionadas;

e) Utilizar a estratégia de resolução de problemas implicitamente.

Para a resolução do problema, é utilizada a estratégia, que não aparece

explicitamente para o aluno. O problema é apresentado e, a seguir, é sugerida sua

leitura, que deverá ser feita quantas vezes se fizer necessário.

Quadro 38: Problema trazido pela primeira atividade

A Lei de Boyle estabelece que, quando uma amostra de gás está comprimida a

uma temperatura constante, a pressão P e o volume V satisfazem a equação PV =

C, onde C é uma constante. Suponha que, em certo instante, o volume é de 600

cm³, a pressão é de 150 kPa e a pressão cresce a uma taxa de 20 kPa/min. A que

taxa está decrescendo o volume nesse instante?

Fonte: Stewart, 2006, p.260.

Page 121: REIS, 2013 - Dissertação - OA

121

A estratégia de resolução de problemas sugere que o aluno esboce, quando

necessário, um diagrama como um dos passos. No OA, o diagrama é traçado de forma

interativa e o aluno pode simular as condições presentes no problema, fazendo, para

isso, relações entre o enunciado (textual) e o diagrama (simulação). O seguinte

diagrama é apresentado ao aluno.

Figura 23: Diagrama dinâmico da atividade 1

Fonte: Elaborado pelo autor

Ao clicar no botão iniciar, o pistão do cilindro começa a descer, pressionando o

gás do recipiente. Para auxiliar a visualização, é apresentada uma tabela com dados

numéricos, cujo é validar a equação PV = C. A simulação acontece concomitantemente

ao preenchimento da tabela, de modo que, ao chegar à situação proposta pelo problema,

a mesma traz a informação, isto é, volume (V= 600 cm³), pressão (P = 150 kPa) e a

equação PV = 90.000. Com essa simulação, pretende-se fazer com que o aluno visualize

o fenômeno físico e, por conseguinte, compreenda-o matematicamente.

O próximo passo é fazer com que o aluno volte ao enunciado, leia-o mais uma

vez e identifique os dados fornecidos. Essa identificação é realizada com o

preenchimento de campos indicados no próprio OA. Para o problema em questão, os

dados são: o volume (V = 600 cm³), a pressão (P=150 kPa), velocidade instantânea (no

exato momento) da pressão ( =dt

dP20 kPa/min) e a relação PV = C. Todos esses dados

recebem um feedback, isto é, um retorno do OA, a fim de que se perceba se o aluno está

correto ou se deve avaliar mais uma vez a sua resposta.

Nesse momento, cabe ao aluno compreender o dado procurado, e, para auxiliá-lo

nessa tarefa, é apresentada uma questão de múltipla escolha, cujo objetivo é demonstrar

para o aluno que a taxa de variação do volume está diminuindo dt

dV. Para tal, é sugerido

ao aluno, mais uma vez, um retorno ao enunciado e lê-lo caso necessário, para marcar a

Page 122: REIS, 2013 - Dissertação - OA

122

opção correta. De acordo com Polya (1977), ler o problema quantas vezes se fizer

necessário consiste numa estratégia que atende à proposta de resolução de problemas,

pois tal (re)leitura contribui para que o aluno não se perca nesse processo. Ao marcar a

opção, o aluno tem o feedback; caso a resposta esteja errada, o OA não continua a

resolução e pede que a escolha feita seja revista.

A sugestão é encontrar uma equação que relacione os dados presentes ou alguns

dos dados presentes no problema. O OA auxilia o aluno na equação, que é PV = C.

Porém, o OA mostra ao aluno a impossibilidade da equação em atender ao dado

procurado e se é possível, através dela, chegar ao que se procura, relembrando o mesmo

a respeito da regra da cadeia.

Aplica-se a regra da cadeia para relacionar o dado procurado (Taxas

Relacionadas a partir da regra da cadeia); o OA faz o processo e o aluno verifica e

acompanha a aplicação da regra da cadeia à equação PV = C 0=+⇒dt

dVP

dt

dPV . Caso

não haja a compreensão, o OA traz uma ajuda, em que se observa a explicação da

aplicação da regra da cadeia no modelo matemático fornecido.

Substituir os dados fornecidos achando a taxa de variação pretendida é o

próximo passo do aluno. Com o auxílio do OA, substituem-se os dados e calcula-se a

taxa de variação pretendida, de modo que o papel do discente é compreender através da

observação. Assim .min/³80015020.600 cmdt

dV

dt

dV−=⇒=+

Como afirma Polya (1977), o retrospecto, isto é, analisar se a resposta é

compatível ou coerente com a proposta do problema, faz parte do processo de resolução

de problemas. O aluno, juntamente com o OA, chega à conclusão de que, no exato

momento em que o volume V = 600 cm³, pressão P = 150 kPa e a velocidade com que a

pressão cresce é de 20 kPa/min, o volume está diminuindo (sinal negativo) a uma taxa

de 80 cm³/min ou a velocidade com que o volume está decrescendo é de 80 cm³/min,

conclusão esta presente no OA. É então sugerido ao aluno que retorne à simulação e

avalie sua resposta, verificando que na medida em que o êmbolo vai descendo, isto é, a

pressão vai aumentando, o volume do gás interno vai diminuindo.

Atividade 2: Variação da Resistência em um Circuito Elétrico

Page 123: REIS, 2013 - Dissertação - OA

123

Esta atividade traz um circuito elétrico, sendo que o conceito e os cálculos a

respeito deste circuito estão presentes em problemas abordados no Ensino Médio e, no

que se refere às Taxas Relacionadas, evocam-se conceitos próprios do Ensino Superior.

Aqui, a estratégia foi, de maneira implícita, novamente empregada, de forma que

o aluno seja conduzido a resolver o problema utilizando tal estratégia, com a ajuda do

OA. Com este problema, pretende-se:

a) Trabalhar com a estratégia de resolução de problemas de forma implícita, isto

é, o aluno ainda não teve acesso aos passos facilitadores para a resolução deste tipo de

problema;

b) Analisar/observar quais os dados podem ser retirados da equação matemática

já fornecida;

c) Resolver problema de Taxas Relacionadas;

d) Trabalhar com notações matemáticas de forma significativa.

Como sempre, a proposta inicial é ler o problema quantas vezes forem

necessárias.

Quadro 39: Problema trazido pela segunda atividade

Variando a voltagem: A voltagem V (volts), a corrente I (em ampères) e a resistência R

(ohms) de um circuito elétrico estão relacionadas entre si pela equação V = RI. Suponha

que V esteja aumentando a uma taxa de 1 volt/s, enquanto I está diminuindo a uma taxa

de 1/3 A/s. Sendo o tempo dado em s, encontre a taxa com a qual R está variando

quando V = 12 V e I = 2A.

Fonte: Adaptado Thomas, 2002, p.203

Para ilustrar a situação do problema acima enunciado, um diagrama interativo é

apresentado, conforme pode ser obervado na figura 25.

Figura 24: Diagrama dinâmico da atividade 2

Fonte: Elaborado pelo autor

Page 124: REIS, 2013 - Dissertação - OA

124

O OA convida o aluno a interagir com o diagrama e, ao clicar no botão iniciar,

pode-se ver a corrente elétrica (I) (no diagrama indicado pelo ponto amarelo) circulando

- saindo da fonte (V), passando pela resistência (R) e voltando à fonte do circuito.

Retirar os dados presentes no problema é o próximo passo. No próprio OA, há

campos destinados para o preenchimento de tais dados. Os dados presentes no

enunciado deste problema são: =dt

dV1 volt/s (a taxa de variação da voltagem em

relação ao tempo no exato momento), dt

dI= -1/3 A/s (a taxa de variação da corrente

elétrica em relação ao tempo), V = 12 Volts (a voltagem no momento), I = 2A (a

corrente elétrica no instante) e a equação matemática fornecida V = RI. Esta equação

relaciona alguns dos dados presentes no problema e, nele, o número de

dados/informações é maior do que no problema anterior, aumentando gradativamente a

resolução.

O aluno é, então, induzido a verificar o que o problema procura, ou seja, o dado

procurado. Para auxiliá-lo nessa procura, uma questão de múltipla escolha é apresentada

e, nas opções, aparecem notações matemáticas para averiguar se o aluno aprendeu o

significado das mesmas.

Figura 25: Questão de múltipla escolha da atividade 2

Fonte: Elaborado pelo autor

Neste caso, o dado procurado é a taxa de variação da resistência em relação ao

tempo dt

dR. Volta-se à equação fornecida pelo enunciado V = RI. Comenta-se a

impossibilidade desta equação fornecer o dado procurado. Indaga-se, através de um

comentário, o aluno a respeito de como relacionar os dados já existentes com o dado

procurado. Sugere-se, então, a utilização da regra da cadeia na equação fornecida. A fim

de obter o dado procurado na equação V = RI, aplica-se a regra da cadeia, obtendendo a

Page 125: REIS, 2013 - Dissertação - OA

125

equação dt

dRI

dt

dIR

dt

dV+= . Desse modo, a taxa de variação procurada, pela da regra da

cadeia, é incorporada à situação, surgindo assim a nova equação. É preciso ressaltar que

todos esses passos serão realizados de forma interativa entre aluno/OA.

Substituir os dados na nova equação é o próximo passo. Aqui, porém, o

problema difere-se do primeiro. Ao substituir os dados, o aluno fica na impossibilidade

de resolver a equação, visto que ainda restam duas incógnitas R e dt

dR

(dt

dRR 2

3

11 +

−= ). Uma questão sobre como desvendar essa incógnita é levantada e a

sugestão é voltar à primeira equação V = RI e, com os dados, achar o valor de R. Esse

valor encontrado é substituído na segunda equação a fim de obter dt

dR. O OA apresenta

todos esses passos, inclusive os cálculos. Assim, dt

dR pode ser calculado:

dt

dR2

3

161 +

−= s

dt

dR/

2

3Ω= .

Por fim, a análise da resposta é realizada no exato momento em que a voltagem

está a uma velocidade de 1 volt/s (que é a sua taxa de variação); sendo a variação da

corrente igual a 1/3 A/s, a voltagem dissipada de 12 V e com uma corrente de 2 A. A

velocidade com que a resistência aumenta é de 1,5 s/Ω .

Atividade 3: Variação Linear da Base de um Triângulo.

A atividade parte de um contexto geométrico que possui movimento. A escolha

do problema para a terceira atividade foi realizada com a justificativa de que muitos

problemas de Taxas Relacionadas exigem equações matemáticas vindas da geometria.

Tais equações são ensinadas aos alunos ao longo do ensino fundamental e médio

(teorema de Pitágoras, áreas de figuras planas, relações trigonométricas, dentre outras),

e outras em nível superior. Desse modo, problemas deste gênero fazem com que os

alunos busquem em suas memórias tais equações, que, por sua vez, são fator

determinante para o êxito na resolução de problemas de Taxas Relacionadas.

A terceira atividade difere das outras apresentadas até aqui, pelo fato de que a

equação matemática agora esta implícita no problema, fazendo com que o grau de

dificuldade do problema seja significativamente ampliado.

Page 126: REIS, 2013 - Dissertação - OA

126

Os objetivos da atividade:

a) Ampliar o conhecimento de resolução de problemas de fenômenos físicos de

Taxas Relacionadas;

b) Utilizar a estratégia de resolução de problemas de forma implícita;

c) Compreender um problema de Taxas Relacionadas;

d) Resolver um problema de Taxas Relacionadas;

e) Buscar por equações conhecidas, a fim de adaptá-las à resolução do problema.

A estratégia adotada é a mesma das atividades anteriores, começando por ler o

enunciado do problema.

Quadro 40: Problema trazido pela terceira atividade

A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enquanto a área do triângulo

cresce a uma taxa de 2 cm²/min. A que taxa está variando a base do triângulo quando a

altura é 10 cm e a área 100 cm²?

Fonte: Stewart, 2006, p.260

O segundo passo da atividade é a simulação, também chamada de diagrama por

Stewart (2006). Com a permissão de dinamicidade oferecida pela TIC, ao clicar no

botão iniciar, o aluno pode visualizar o enunciado de forma interativa.

Figura 26: Diagrama dinâmico da atividade 3

Fonte: Elaborado pelo autor

O triângulo se movimenta e sua base diminui à medida que a sua altura aumenta.

Quando h (altura) atinge a medida de 10 cm, a simulação cessa e, nesse momento, a

área (A) do triângulo é 100 cm². Esse processo pode ser repetido inúmeras vezes até a

compreensão do enunciado.

Para analisar a compreensão do enunciado, é apresentado ao aluno um quadro de

sugestões com os dados fornecidos pelo enunciado do problema. Neste quadro, devem-

se marcar apenas as opções apresentadas pelo enunciado.

Page 127: REIS, 2013 - Dissertação - OA

127

Quadro 41: Notações matemáticas para a atividade 3

(* ) dt

dh ( )

dt

db (* )

dt

dA (* ) h ( ) b

(* ) A

Fonte: Elaborado pelo autor

Após a confirmação do preenchimento do quadro, um retorno é dado ao aluno e,

caso ele tenha se esquecido de algum dado ou marcado dados em excesso será solicitado

que ele retorne ao enunciado e verifique os dados presentes no enunciado com mais

atenção. Nesse quadro, são apresentadas apenas notações matemáticas referentes ao

problema, sem justificá-las na linguagem natural, pois deseja-se averiguar se o aluno já

está familiarizado com tais notações.

Ao marcar os dados de forma correta, o OA dá prosseguimento à sequência de

resolução do problema. O aluno agora é convidado a preencher os campos com os dados

fornecidos pelo enunciado do problema, que são dt

dh= 1 cm/s (a variação da altura em

relação ao tempo ou à velocidade com que a altura cresce ou ainda à taxa com que a

altura cresce), dt

dA= 2 cm²/s (a variação da área em relação ao tempo ou velocidade com

que a área cresce ou à taxa com que a área está crescendo), h = 10 cm (altura do

triângulo no momento) e A = 100 cm² (área deste triângulo no instante indicado).

Ao preencher os dados e ter o retorno, é hora de analisar o que o problema

procura. Uma questão de múltipla escolha traz a resposta correta, que é dt

db (a taxa de

variação da base em relação ao tempo ou à velocidade com que a base cresce ou

decresce em relação ao tempo).

O próximo passo é encontrar uma equação matemática que possa ser utilizada e,

para tal, pergunta-se ao aluno se ele conhece uma equação matemática que possa

relacionar alguns dos dados apresentados. Caso não recorde, o OA apresenta a equação

da área de um triângulo em relação à sua base e altura. A área de um triângulo qualquer

é dada pelo semiproduto da sua base pela sua altura 2

.hbA = . Assim, pretende-se dotar

demonstrar ao aluno que, quando a equação matemática não é fornecida, deve-se buscar

por ela em seus conhecimentos prévios.

Page 128: REIS, 2013 - Dissertação - OA

128

A equação sugerida não traz o dado procurado, motivo pelo qual um elo deve ser

realizado. E este elo pode ser feito com a Regra da Cadeia. Dada a equação 2

.hbA= ,

aplica-se a regra da cadeia e obtém-se a equação .2

1

2

1

dt

dbh

dt

dhb

dt

dA+=

A substituição dos dados é o próximo passo e, quando essa substituição é feita,

chega-se ao mesmo ponto do problema anterior: há duas incógnitas

(dt

dbb .10.

2

11..

2

12 += ) – a base (b) e a taxa de variação da base em relação ao tempo

dt

db. O aluno já passou por tal situação e, caso não se lembre, a sugestão é que volte à

primeira equação para encontrar o valor da base (b) para a situação em estudo. O OA

apresenta cmbbhb

A 202

10.100

2

.=⇒=⇒= . Substituindo o valor encontrado na

segunda equação 6,1.10.2

11.20.

2

12 −=⇒+=

dt

db

dt

db cm/s, é possível descobrir o dado

procurado.

Ao localizar a taxa de variação procurada, é realizada a conclusão e sugere-se a

análise da resposta. No exato momento em que é feita essa sugestão pelo enunciado da

atividade, a base do triângulo está variando (diminuindo) a 1,6 cm a cada 1 s ou a

velocidade com que a base diminui (sinal negativo) é de 1,6 cm/s. Sugere-se ao aluno

que volte à simulação e verifique se a resposta está coerente com os dados propostos

pelo problema. O diagrama interativo já foi traçado para atender a esta resposta, uma

vez que a sua base está diminuindo.

Estratégia de Resolução de Problemas

Esse tópico é apresentado após a terceira atividade sob as formas visual (vídeo) e

verbal/descritiva (textual), caso o computador que o aluno estiver utilizando não permita

a utilização de recursos em áudio. Pretende, com isso, que o aluno compreenda a

estratégia utilizada durante as três primeiras atividades. Os objetivos da apresentação

desta estratégia são:

a) Instrumentalizar o aluno para que ele possa resolver problemas de Taxas

Relacionadas;

Page 129: REIS, 2013 - Dissertação - OA

129

b) Auxiliar o aluno na resolução de problemas de fenômenos físicos de Taxas

Relacionadas.

Assim, apresenta-se a estratégia de resolução de problemas.

1º - Ler o problema de forma minuciosa;

2º - Traçar um esboço da situação (será realizado no próprio OA de forma

dinâmica);

3º - Procurar os dados fornecidos pelo problema e escolher a notação e/ou

entender o significado da notação utilizada;

4º - Expressar a taxa requerida em termos das derivadas;

5º - Escrever uma equação que relacione as várias grandezas do problema;

6º - Utilizar a regra da cadeia para relacionar as taxas presentes e procuradas (se

necessário);

7º - Substituir a informação dada dentro da equação resultante e resolver o

problema de modo a achar a taxa desconhecida;

8º - Analisar a resposta encontrada.

Para apresentar a estratégia em forma de vídeo, foi elaborada uma videoaula,

com um problema resolvido e nas figuras 27, 28 e 29 podem ser vistas algumas imagens

da videoaula.

Figura 27: Videoaula – primeiro e segundo passos da estratégia de resolução

Fonte: Elaborado pelo autor

Page 130: REIS, 2013 - Dissertação - OA

130

Figura 28: Videoaula – terceiro passo da estratégia de resolução

Fonte: Elaborado pelo autor.

Figura 29: Videoaula – quinto passo estratégia de resolução

Fonte: Elaborado pelo autor

O aluno pode assistir à videoaula quantas vezes julgar necessário e, ao final da

exibição, será dada a sugestão de resolver as próximas atividades (de 4 a 7) utilizando a

estratégia de resolução de problemas já apresentada.

Inicialmente, nas próximas atividades (4 a 7), o auxílio do OA se dá de forma

gradativa, mas o nível de ajuda vai diminuindo a cada atividade. Espera-se que, a partir

da sétima atividade e em outras atividades futuras, o aluno venha a adquirir autonomia

na resolução de problemas físicos de Taxas Relacionadas através da estratégia adotada.

Page 131: REIS, 2013 - Dissertação - OA

131

Atividade 4: Variação da Área de um Triângulo

A proposta refere-se a um problema que envolve conceitos geométricos com

triângulo (área). Porém, a equação adotada se difere da atividade três. Essa atividade

tem como objetivos:

a) Aplicar a estratégia de resolução de problemas;

b) Verificar os passos sugeridos para a resolução de problemas de fenômenos

físicos de Taxas Relacionadas;

c) Compreender a estratégia de resolução;

d) Aprender a utilizá-la em problemas de Taxas Relacionadas;

Na tela, a estratégia vai sendo apresentada paulatinamente através de alguns

passos:

1º passo - Ler atentamente o problema quantas vezes necessário:

Quadro 42: Problema trazido pela quarta atividade

Dois lados de um triângulo são 4 m e 5 m, e o ângulo entre eles está crescendo a

uma taxa de 0,06 rad/s. Encontre a taxa segundo a qual a área está crescendo

quando o ângulo entre os lados do comprimento fixo é 30º.

Fonte: Stewart, 2006, p.260

2º passo - Um diagrama é traçado para visualizar e explorar a situação

mencionada pelo enunciado do problema. O OA traz o diagrama, para que o aluno

interage com ele.

Figura 30: Diagrama dinâmico da atividade 4

Fonte: Elaborado pelo autor

3º passo - O aluno é levado a analisar as informações trazidas pelo enunciado do

problema, observando na tela os dados que, já nas notações matemáticas, são

apresentados ao aprendiz: são =dt

dθ0,06 rad/s, =θ 30º, lado b = 4 m e o lado c = 5 m.

Page 132: REIS, 2013 - Dissertação - OA

132

Como este é o primeiro problema em que se aplica a estratégia de resolução de forma

explícita, o OA auxilia em detalhes mais complicados.

4º passo - É o momento de localizar o dado ou a taxa de variação procurada,

utilizando uma notação adequada. No problema, a taxa procurada é a variação da área

em relação ao tempo, que pode ser representada por:

dt

dA.

5º passo - O aluno deve pensar/buscar uma equação que relacione os dados

presentes (em sua totalidade ou alguns deles) no problema. Isso exige que ele pense

minuciosamente em equações matemáticas aprendidas ao longo da vida estudantil. Caso

o aluno não se recorde, o OA traz a equação θsencbA ...2

1= , isto é, a área de um

triângulo é igual à metade do produto dos lados pelo seno do ângulo compreendido

entre os mesmos. É uma equação favorável, porém não fornece a taxa procurada

dt

dA.

6º passo - Aplicar a regra da cadeia para fazer o elo entre os dados, obtendo uma

nova equação, que é dt

dcb

dt

dA θθcos...

2

1= . Nesta, a taxa de variação procurada se faz

presente. Nota-se que b e c são constantes e que a variável é o ângulo θ .

7º passo - Substituir os dados, o que é realizado com o auxílio do OA que

mostra, passo a passo, como realizar a substituição:

3,006,0.30cos.5.4.2

1cos...

2

1=⇒=⇒=

dt

dA

dt

dA

dt

dcb

dt

dA θθ m²/s.

8º passo - A resposta então é interpretada. A cada segundo que se passa, a área

tem uma variação de 0,3 m². O aluno é convidado a retornar ao diagrama interativo e

observar a situação, isto é, verificar que realmente a área está crescendo com o passar

do tempo.

Atividade 5: Escada em Movimento

A atividade foi desenvolvida de modo a permitir maior autonomia do aluno e,

para verificar o seu aprendizado, é pedido que este problema, a partir do segundo passo

da estratégia de resolução de problemas, seja realizado com as mídias lápis e papel.

Assim, traçam-se os objetivos pretendidos:

a) Permitir maior autonomia na resolução de um problema de fenômeno físico

de taxas relacionadas;

Page 133: REIS, 2013 - Dissertação - OA

133

b) Analisar a aprendizagem adquirida ao longo da utilização do OA;

c) Trabalhar com a estratégia de resolução de problemas;

d) Permitir ao aluno a construção de seus próprios significados da estratégia.

A estratégia de resolução ainda é apresentada pelo OA como ferramenta auxiliar,

ou seja, é exposta na tela, porém, as ajudas estão ocultas. Caso o aluno não consiga

realizar algum dos passos, a sugestão é que ele interaja com a estratégia.

Cada passo da estratégia traz o botão de ajuda, que pode ser acessado para

compreender os procedimentos ou simplesmente conferir a resposta. Ao utilizar os

botões de ajuda, o aluno deve relatar numa folha que foi necessário tal recorrência.

Figura 31: Menu – estratégia de resolução para o problema da atividade cinco

Fonte: Elaborado pelo autor

O primeiro passo é ler e compreender o problema; o segundo, traçar um

diagrama realizado juntamente (de forma interativa) com o OA. O problema proposto é

o seguinte:

Quadro 43: Problema trazido pela quinta atividade

Uma escada com 13 m de altura está em pé e apoiada em uma parede, quando

sua base começa a escorregar, afastando-se da parede. No momento em que a

base está a 12 m da casa, ela escorrega a uma taxa de 5 m/s. A que taxa o topo

da escada escorrega para baixo nesse momento?

Fonte: Adaptado Thomas, 2002, p.203

O diagrama interativo é apresentado pelo OA. Ao clicar no botão “iniciar”, o

aluno acompanha o movimento relatado pelo enunciado, isto é, a escada escorregando

pela parede. E, ao final do movimento, as notações surgem na tela do computador.

Page 134: REIS, 2013 - Dissertação - OA

134

Figura 32: Diagrama dinâmico da atividade 5

Fonte: Elaborado pelo autor

A partir deste ponto, o aluno é convidado a trilhar a resolução do problema

sozinho., anotando os passos na sua folha resposta. Caso ele precise de ajuda, o OA traz

a estratégia de resolução sob a forma de ajuda em tela, como já relatado. Assim, espera-

se que o aluno seja capaz de dar prosseguimento a esta resolução a partir das

competências trabalhadas até então.

Atividade 6: Onda Circular

Nesta atividade, o nível de ajuda do OA é mais limitado. A estratégia de

resolução é retirada da tela. É apresentado apenas um botão de “ajuda”.

Figura 33: Tela da sexta atividade com o primeiro botão de ajuda

Fonte: Elaborado pelo autor

Caso o aluno recorra a este botão, a estratégia de resolução é apresentada.

Page 135: REIS, 2013 - Dissertação - OA

135

Figura 34: Tela da sexta atividade com o botão ajuda sendo requerido

Fonte: Elaborado pelo autor

Ainda mantendo dúvidas, o aluno pode recorrer a outro botão de ajuda,

denominado “ajuda 2”, em que aparecerá a resolução dos passos da estratégia. Estas

ajudas são relatadas na mídia folha, caso o aluno tenha necessidade de acessá-las. Tais

relatos servem para avaliar o nível de autonomia do aluno para resolver a situação

proposta. O problema apresentado é o seguinte:

Quadro 44: Problema trazido pela sexta atividade

Uma pedra jogada em um lago produz onda circular, cujo raio cresce a uma taxa

constante de 1 m/s. Com que rapidez estará variando a área englobada pela onda

crescente ao final de 10 segundos?

Fonte: Anton; Bivens e Davis, 2007, p.222

O diagrama é interativo pelo OA, e, a partir deste momento, o aluno deve

prosseguir a resolução do problema, expondo no papel os passos seguidos para tal

resolução.

Figura 35: Diagrama dinâmico da atividade 6

Fonte: Elaborado pelo autor

Assim, os objetivos da atividade são:

Page 136: REIS, 2013 - Dissertação - OA

136

a) Verificar a contribuição do OA na resolução de problemas físicos de taxas

relacionadas;

b) Analisar a eficiência da estratégia apresentada;

c) Analisar se o aluno foi capaz de resolver o problema com o menor número de

ajudas;

d) Permitir uma maior autonomia do aluno ao resolver um problema de Taxas

Relacionadas;

e) Verificar em que medida houve a contribuição do OA na resolução de

problemas.

Atividade 7: Balão Subindo

Essa atividade, que é a última idealizada, dá ao aluno uma maior autonomia,

devendo ele estar munido das mídias lápis, papel e OA. Um problema é apresentado em

tela, mas não se traz ajuda alguma (nem a estratégia, nem os passos ou a resolução dos

seus passos). O aluno é convidado a resolver em sua folha de ofício a seguinte situação-

problema.

Quadro 45: Problema trazido pela sétima atividade

Um balão de ar quente, subindo na vertical a partir do solo, é rastreado por um

telêmetro3 (DICIONÁRIO ..., 2013) colocado a 500 pés de distância do ponto de

decolagem. No momento em que o ângulo de elevação do telêmetro é de 45º, o

ângulo aumenta a uma taxa de 0,14 rad/min. A que velocidade o balão sobe

nesse momento?

Fonte: Thomas, 2002, p.199

Essa atividade foi proposta tendo como objetivos os seguintes pontos:

a) Verificar se houve aprendizado e assimilação da estratégia de resolução de

problemas;

b) Analisar se houve aprendizado quanto à resolução de problemas de

fenômenos físicos de Taxas Relacionadas;

c) Verificar em que medida se deu a autonomia do aluno na resolução;

d) Analisar em que medida o OA contribui para o aprendizado deste conteúdo.

3 Instrumento para medir distâncias rapidamente entre um ponto e o observador.

Page 137: REIS, 2013 - Dissertação - OA

137

Desse modo, finaliza-se a sequência didática idealizada como o OA, cujo intuito

foi auxiliar o ensino e aprendizagem na resolução de problemas de fenômenos físicos de

Taxas Relacionadas. O próximo capítulo traz o relato da aplicação das atividades do

OA.

Page 138: REIS, 2013 - Dissertação - OA

138

6 RESULTADOS DA APLICAÇÃO

6.1 Coleta de dados

Os dados desta pesquisa foram coletados por meio de observações presenciais do

pesquisador, interação dos participantes com as seções do OA, utilização de outras

mídias além do computador, como lápis e papel, e através de conversas com os

participantes, isto de acordo com o que orientam Lüdke e André (1986), para os quais o

pesquisador é parte inerente do processo da pesquisa.

6.2 Os sujeitos da pesquisa

A pesquisa teve como sujeitos os alunos dos cursos de Engenharia e

Licenciatura Plena em Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas

Gerais, os quais estavam cursando ou já tinham cursado a disciplina de Cálculo. Foram

escolhidos 11 participantes, dos quais 6 (seis) são do curso de Engenharia e 5 (cinco) do

curso de Licenciatura Plena em Matemática. O convite foi realizado pelo pesquisador e

pelo orientador em duas turmas de Engenharia e a única turma de Matemática da

PUCMG no campus Coração Eucarístico, turmas nas quais o orientador lecionava. Nas

turmas, foi avisado que os alunos participantes contribuíriam para uma pesquisa de

Mestrado Profissional, e o tema da pesquisa também foi relatado e esclarecido. Deste

modo, dos alunos que se interessaram e compareceram aos encontros, foram

selecionados os 11 sujeitos, cuja seleção foi feita de acordo com os seguintes critérios:

disponibilidade para participar dos encontros, grau de interesse em participar da

pesquisa e se já tinham estudado o conteúdo de Taxas Relacionadas.

Para esta pesquisa, o interesse de que os participantes já tivessem estudado o

conteúdo de Taxas Relacionadas era no sentido de auxiliar o trabalho de construção de

um OA mais eficiente, uma vez que esses estudantes já teriam uma visão do conteúdo,

poderiam contribuir com sugestões. Assim, a escolha dos 11 participantes deu-se de

modo a permitir contribuições para a pesquisa no que diz respeito a duas situações:

processos cognitivos oferecidos pelo OA e possíveis alterações a serem realizadas no

OA.

6.3 Aplicação do OA

Page 139: REIS, 2013 - Dissertação - OA

139

A aplicação foi realizada em três encontros, sendo que, inicialmente, cada

participante escolheu um nome/pseudônimo (F3, I, Borges, Jojo, Flores, Oliveira, Hugo,

Jayne, Aluno XXIII, Nenem e B que deveria ser utilizado durante as anotações e

encontros.

Cada um dos encontros teve duração de 1 hora e 30 minutos, e foram realizados

no laboratório de Informática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

(PUC Minas), no prédio do Mestrado de Ensino de Ciências e Matemática. Nesse

espaço, foi possível estabelecer a interação de todos os alunos com o OA e,

concomitantemente, com as mídias lápis e papel, anotando as novidades ou reflexões

que perceberam com a utilização do OA.

Nesses encontros, o papel do pesquisador era direcionar, observar e fazer

registros dos participantes durante a aplicação do OA. O pesquisador dizia a seção do

OA que seria trabalhada no encontro e como os alunos deveriam proceder com as

anotações, pois tal material seria utilizado para coleta de dados referentes à pesquisa.

Em cada encontro, o participante recebia uma folha e um lápis para anotar suas

reflexões, análises, conclusões e realizar algumas das atividades propostas. Em

momento algum o pesquisador interferiu no trabalho OA/Participante a fim de obter os

dados com maior precisão.

Pediu-se permissão aos participantes para fotografar um dos encontros.

Figura 36: Aplicação do OA aos Participantes da Pesquisa.

Fonte: Foto do autor

No primeiro encontro, trabalhou-se com a seção do OA denominada taxa de

variação – revisão de conceitos. Nesse momento, os conceitos como taxas de variação

Page 140: REIS, 2013 - Dissertação - OA

140

média e instantânea, inclinação da reta tangente e da reta secante a uma determinada

curva, velocidades média e instantânea e derivada, foram revisitados pelos participantes.

No segundo encontro, trabalhou-se com a seção Regra da Cadeia – Taxas

Relacionadas (Revisão), momento no qual foram abordados os conceitos de regra da

cadeia, sua utilização para relacionar taxas de variação (taxas relacionadas) e suas

notações matemáticas. Ainda no segundo encontro, e, posteriormente, no terceiro, os

participantes começaram a desenvolver a seção de atividades, seção esta que foi

concluída por alguns participantes nesse mesmo encontro, fazendo, assim, desnecessária

a presença destes no encontro seguinte.

A investigação terá uma continuidade no GRUPIMEM4, do qual o pesquisador

faz parte. Nesta dissertação, a preocupação com a aplicação do OA estava voltada para

possíveis reestruturações (interação dos sujeitos com o OA) e análise dos aspectos de

ressignificação e significação dos conceitos pelos sujeitos de pesquisa (processo de

cognição), motivos pelos quais deu-se a preferência por sujeitos que conheciam o

conteúdo de Taxas Relacionadas. A partir dos relatos que serão apresentados, foi

possível analisar que o OA trouxe ressignificações e significações do conteúdo, uma vez

que contribuiu para um novo olhar dos sujeitos de pesquisa sobre o conteúdo, além de

ter permitido alterações no OA para contribuir na aprendizagem do conteúdo.

6.4 Principais Resultados

Para apurar os resultados da interação dos participantes com o OA, dois aspectos

foram analisados:

a) A interação dos participantes com o OA;

b) O processo de cognição oferecido pelo OA.

No primeiro, procurou-se analisar como os participantes reagiram à linguagem

utilizada na programação do OA, como se portaram frente às instruções indicadas em

tela e aos textos explicativos; a interação com as animações, a visualização dos vídeos,

gráficos, diagramas, os comandos, sobretudo no que diz respeito à clareza e

objetividade dessas ferramentas na comunicação das propostas apresentadas. Tais

critérios de análise, segundo Nascimento (2007), devem ser uma preocupação quanto à

criação de um OA e sua utilização.

4 GRUPIMEM – Grupo de Pesquisa em Informática e Metodologia para o Ensino de Matemática. Instituição: PUCMinas.

Page 141: REIS, 2013 - Dissertação - OA

141

No segundo ponto, procurou-se verificar as contribuições cognitivas oferecidas

pelo OA, como: a sequência didática trazida pelo OA – analisou-se essa sequência

ajudou a potencializar a visão dos participantes sobre o conteúdo e se a estratégia de

resolução de problemas de fenômenos físicos, baseada em Polya (1977) e em Stewart

(2006), contribui para uma maior autonomia dos participantes quanto à proposta

apresentada.

6.4.1 A interação dos sujeitos com o OA

Foi possível observar que os participantes não apresentaram dificuldades com os

comandos comuns de nenhum dos programas oferecidos pela mídia computador (isto é,

a utilização do mouse e do teclado para iniciar o OA, o modo de entrar nas seções, a

forma de preencher campos apresentados, como avançar e retroceder nas atividades e a

utilização dos botões presentes no OA). No OA, o programador idealizou os recursos

para funcionar do mesmo modo que em outros programas mais usuais. Assim, os

participantes manusearam o OA com tranquilidade. O que é confirmado por Milani

(2001), Behrens (2010) e Moran (2010), ao defenderem que a tecnologia, em especial o

computador, é uma mídia da geração atual, o que faz com que haja um ganho no tempo

de explicação sobre os comandos básicos e da resistência dos alunos por parte da

utilização dessa tecnologia.

Quanto aos comandos presentes no OA, os participantes levantaram sugestões,

como a que foi apresentada por Jayne:

Figura 37: 1º Relato da participante Jayne

Fonte: Dados da pesquisa

Durante as atividades, a participante sentiu a necessidade de um retorno por

parte do OA, já que era necessário pressionar a tecla “enter” para obter feedbacks e/ou

prosseguir na resolução da mesma.

Outra sugestão foi apresentada pela participante Flores. Ao terminar a segunda

atividade, a participante se deparou com um comando, o qual achou dúbio. A sua

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142

interpretação fez com que retornasse ao início da atividade e viesse novamente

preenchendo todos os dados já apurados por ela. Diante disso, ela sugeriu que:

Figura 38: Relato da participante Flores

Fonte: Dados da Pesquisa

Literalmente, ela registrou que: “8º C2 – nesta frase, entendi que deveria voltar

ao 2º exercício e não ir em análise da resposta. Então, para voltar ao 8º tive que

preencher e marcar tudo novamente. Acredito que a frase em C2 pode ser escrita de uma

forma que leve o aluno a clicar em análise da resposta”.

Estas sugestões não depreciam o OA, mas, pelo contrário, trazem contribuições

para a questão da comunicação entre usuário/computador. Tais sugestões estão em

conformidade com Amante e Morgado (2001), que, ao descreverem as fases de criação

de um OA, afirmam que a fase da avaliação pode ser considerada como a aplicação, não

sendo determinística, isto é, o OA pode sofrer alterações de modo a facilitar o

envolvimento do participante com o mesmo.

Após a aplicação do OA, programador e pesquisador revisaram tais sugestões,

inserindo-as no OA como fator contribuidor oriundo de usuários (participantes da

pesquisa) que interagiram com a versão anterior. Assim, o processo de criação é

dinâmico e nunca estará finalizado, conforme bem diz Mâcedo (2007), para o qual um

OA deve ser flexível e de fácil utilização. Acolhendo tais sugestões, as mudanças foram

realizadas.

Durante a utilização do OA, outras mudanças ocorreram a partir das observações

realizadas pelo pesquisador e pelo programador. Um dos exemplos foi a questão do

botão “próximo” presente nas atividades. Esse botão, em tela, teve a visualização

comprometida, uma vez que o participante necessitava utilizar a barra de rolagem para

vê-lo. Tal situação fez com que alguns participantes, até perceberem a presença do

referido botão, tentassem resolver o sozinhos e sem a interação do OA o que se

apresentava em tela. Perante tal situação um comando foi inserido na tela inicial do OA,

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143

a fim de que o aluno percebesse sua presença e pudesse acessá-lo sem prejudicar o

andamento das atividades.

Outra mudança realizada foi a respeito de uma dificuldade comum aos

participantes e apresentada na seção Atividades. Na segunda atividade, o terceiro passo

consistia em preencher os campos indicados com os dados presentes no enunciado do

problema. O enunciado do problema diz que “[...] A corrente elétrica reduz a uma taxa

de 1/3 A/s [...]”. Ao preencher os dados, o comando presente no OA é explícito (Se a

resposta for em forma de fração, digite o valor com 4 casas decimais, usando o ponto

para dividir parte inteira de parte fracionária). Os participantes compreenderam o

enunciado, mas a palavra reduz passou despercebida pelos olhos deles. O referido termo

(reduz) corresponde, na Matemática, ao sinal de negativo, de modo que , no exercício,

tem-se -1/3. Porém, todos os participantes insistiram em preencher o campo com sinal

positivo, o que fez com que o feedback apresentado pelo OA pedia para retornar e ler

com atenção o enunciado.

Figura 39: Tela do OA referente a segunda atividade.

Fonte: Elaborado pelo autor

A situação relatada pode ser visualizada na figura acima. O feedback neste

momento não auxiliou muito os participantes, que liam e reliam o enunciado, sem,

contudo, conseguirem avançar e/ou identificar o erro. Somente depois de muito insistir,

passaram para as próximas atividades, e outros, após muitas tentativas, conseguiram

compreender onde estava o erro. Desse modo, o pesquisador pensou em acrescentar no

feedback os seguintes dizeres: “Quando uma taxa de variação se reduz

matematicamente, expressa-se por um número negativo o seu valor”, sendo que essa

frase fora acrescentada após a aplicação. Apesar de o erro apresentado ser conceitual, é

possível, com um feedback, tentar desviar do mesmo, de modo que a mudança fora

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144

realizada para auxiliar o processo cognitivo, de acordo com Silva (2007), as atividades

devem motivar os alunos, e não ao contrário, oferecerem resistência, de modo a fazê-los

abandonar o processo. Por tal motivo mudou-se o feedback para auxiliar o aluno.

Assim, o processo de criação do OA se mostrou dinâmico, e, a cada interação,

novas sugestões poderão ocorrer para facilitar a comunicação entre OA e aluno. O OA

pode ser reutilizado e revisado para atender a necessidade de aprendizagem, o que é

proposto por Wiley (2009).

6.4.2 Análise dos processos cognitivos oferecidos pelo OA

No primeiro encontro, os participantes realizaram os tópicos da seção Taxa de

variação – revisão de conceitos. Uma folha e um lápis foram dados a cada participante

para que anotassem o que julgaram importante, os seus cálculos, as suas conclusões,

dentre outras anotações. Vale ressaltar aqui que os participantes sentiram a necessidade

de ter folha e lápis para produzirem seus conhecimentos a partir da utilização do OA, o

que está de acordo com o que mostram Borba e Penteado (2001) quando alegam que de

modo algum uma mídia (computador/OA) torna obsoletas outras mídias (lápis e papel)

durante o processo de aprendizagem.

Em conformidade com Lucchesi et al. (2007) e Bardy et al. (2007), foi possível

observar que, com a utilização desse recurso pedagógico, cada participante evoluiu

conforme as suas limitações e no seu tempo. Alguns dos participantes esmiuçaram a

seção em pouco tempo, fazendo suas anotações e reflexões de forma ligeira; outros

fizeram segundo diz Tavares (2007) et al.: de forma mais reflexiva, avançando e

retrocedendo para fixar e avaliar o conceito. Exploraram os comandos de forma

pertinente para compreender propostas e conceitos. É o que se pode verificar sobre os

relatos da participante Jojo. Ela percorreu pela seção, observando os textos, as

animações, os gráficos, as tabelas e diagramas com uma atenção e concentração

perceptíveis. Ela visualizava a animação várias vezes, fazia anotações, repetia

procedimentos e expunha as conclusões encontradas, tudo isso a partir de análises,

reflexões, avanços e retrocessos durante a utilização do OA. Para esta pesquisa, uma das

conclusões pertinentes é exposta a seguir:

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145

FFigura 40: 1º Relatos da participante Jojo

F

O

Fonte: Dados da pesquisa

Durante o processo de utilização do OA, a participante pôde construir as duas

premissas ao avançar pela seção, tudo com calma, destreza e reflexão. Das duas

premissas, conclui-se que é possível pensar em duas análises. A primeira: traços de uma

aprendizagem significativa, na qual a participante realizou conexões entre conceitos

abordados e chegou à sua conclusão a partir de análises e reflexões oferecidas e

permitidas pela utilização do recurso; e a segunda: a aluna anotou apenas os conceitos

trazidos pelo OA, repetindo-os e não compreendendo-os. Em conformidade com

Lachini (2001), caso tenha sido feita a primeira análise, é possível perceber que houve o

aprendizado do conceito, pois a participante, a partir de estudos realizados no OA, foi

capaz de verbalizar e descrever os fenômenos expostos.

Prata et al. (2007) descrevem que, através da utilização de um OA, é possível

que haja o desenvolvimento do raciocínio e da criatividade. Foi possível verificar que a

participante Jayne fez elos entre os seus conhecimentos prévios e a forma que o

conteúdo foi exposto pelo OA, desenvolvendo, assim, o seu raciocínio sobre o assunto

em estudo.

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146

Figura 41: 2º Relato da participante Jayne

Fonte: Dados da pesquisa

A participante expõe que já era de seu conhecimento a relação (taxa de variação

média inclinação de uma reta secante a uma curva dada velocidade média).

Contudo, ela deixa ver também que, com a utilização do OA, foi possível visualizar tal

relação e ampliar os conhecimentos sobre o assunto. Assim sendo, para produzir

conhecimento, segundo Fagundes (1999), é preciso fazer reestruturações das

“significações anteriores, produzindo boas diferenciações e integrando ao sistema as

novas significações” (p.24), o que é exposto na fala de Jayne: “Nunca tivesse pensando

neste conteúdo desta maneira”. O que se percebe no caso de Jayne é que uma nova

assimilação foi incorporada.

Frota e Couy (2007) defendem a representação e a visualização no estudo do

Cálculo, assim como Stewart (2006) e Anton, Bivens e Davis (2007), que trabalham

com a proposta de os conceitos presentes no Cálculo sejam construídos mediante

representações matemáticas, sejam elas gráficas, tabulares, algébricas, diagramais,

verbais ou descritivas. Essas representações, a partir da visualização, contribuem para o

aprendizado de conceitos e definições. O participante Nenem expõe tal contribuição ao

dizer:

Figura 42: Relato do Participante Nenem

Fonte: Dados da pesquisa

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147

A visualização do fenômeno, a dinamicidade oferecida pelo OA e as formas de

representação do conteúdo, isto é, o auxílio a partir de tabelas numéricas, gráficos e

notações matemáticas esclarecidas, são elementos enaltecidos pelo participante, pois

tais representações facilitaram a ampliação de seu conhecimento sobre o assunto. Em

complemento ao processo da visualização dos gráficos, Thomas (2002, p.16) diz que

“Os gráficos ajudam por apresentar uma representação visual de conceitos e relações.”

O participante Borges corrobora a inferência de Thomas ao dizer que:

Figura 43: Relato do participante Borges

Fonte: Dados da pesquisa

Vale ressaltar que, por hora, estes conceitos intrínsecos não haviam ficado

esclarecidos para o participante, na disciplina de Cálculo. Porém, é possível verificar

que a ideia conceitual foi assimilada através da visualização dos gráficos e das

animações presentes no OA.

A participante Flores também expõe as suas conclusões realizadas a partir do

estudo da seção, referindo que, através da visualização e das explicações trazidas pelo

OA, foi possível assimilar de forma clara os conceitos pretendidos, além de que os

gráficos dinâmicos auxiliaram no aprendizado.

O primeiro dia de aplicação do OA já demonstrou contribuições significativas da

utilização deste recurso. Já no segundo dia, os participantes passaram pela seção Regra

da Cadeia – Taxas Relacionadas (revisão), e após explorarem esta seção, começaram a

desenvolver a seção Atividades. Alguns dos participantes conseguiram terminar neste

segundo encontro todo o trabalho oferecido pelo OA, o que, em certa medida, está em

conformidade com Tarouco e Dutra (2007), que dizem que, ao construir um OA, deve-

se ter a preocupação quanto ao número de atividades e o tempo disponível para

desenvolvê-las, de modo que não se torne massante ou não tome um tempo demasiado

longo para utilizá-lo.

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148

Outros participantes ainda utilizaram o terceiro encontro para finalizar a

proposta do OA, o que leva a analisar que, para trabalhar o conteúdo do OA, sugere-se

de duas a três aulas de 1h30 min, sem a presença significativa do professor, deixando

aluno e OA interagirem.

Figura 44: 3 º Relato da participante Jayne.

Fonte: Dados da pesquisa

A intervenção de terceiros nessa circunstância pode ficar a cargo do professor.

Lachini (2001) alega que, ao utilizar tal recurso, a postura do professor passa da atitude

ativa para a atitude passiva, e a do aluno passa de atitude passiva para ativa. Deve-se

deixar o aluno ser mais autônomo em seu aprendizado, deixá-lo construir suas redes de

significações e intervir em momentos de extrema necessidade.

No segundo dia, iniciou-se a seção Regra da cadeia – Taxas Relacionadas

(Revisão). Contribuições como as já citadas anteriormente foram relatadas. A seção

levou o aluno a compreender a ligação entre a regra da cadeia e o que são Taxas

Relacionadas. Tal compreensão é exposta pela participante Jojo:

Figura 45: 2º Relato da participante Jojo

Fonte: Dados da pesquisa

Com a utilização do OA, a participante observa e conclui que, pela cadeia, é

possível fazer o elo entre taxas de variações. Barros e Meloni (2006) alegam que uma

das dificuldades do ensino de cálculo é a habilidade de construir a compreensão dos

conceitos. A participante Jojo, através de seu relato, mostra que foi possível

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149

compreender a utilização da regra da cadeia para relacionar taxas de variações,

superando possivelmente a dificuldade de observar tal análise.

A seção Atividades foi o momento de maior expectativa do pesquisador, pois era

preciso observar se os participantes iriam compreender a aplicação de taxas de variação

relacionadas resolvendo problemas de fenômenos físicos a partir da utilização do OA e,

por conseguinte, se a estratégia apresentada iria auxiliá-los.

As quatro primeiras atividades da seção, juntamente com a estratégia de

resolução, ofereciam conhecimentos prévios para a resolução das três últimas

atividades, como já abordado no capítulo anterior. Isso provocou duas situações. A

primeira foi o fato de alguns dos participantes serem ótimos “preenchedores de dados” e

“tabuladores” na utilização do OA. Eles estavam preocupados em avançar pelas

atividades, fazendo-as de forma mecânica e tecnicista. Passaram pelas quatro primeiras

atividades e pela estratégia sem refletir sobre a dinâmica proposta. Porém, ao se

depararem com o desafio das três últimas atividades, em que o nível de auxílio do OA é

menor, as dificuldades surgiram. Assim, tiveram de retroceder e observar com mais

atenção os passos trazidos pelo OA. Esse retrocesso tomou tempo, o que sugere ao

professor que, antes de iniciar a utilização do recurso, frize as palavras reflexividade,

observação e calma, na tentativa do OA auxiliar na aprendizagem do conteúdo.

A segunda situação refere-se aos participantes que exploraram minuciosamente

todas as atividades, esmiuçando cada proposta, fazendo suas anotações, reflexões e

contribuições. Tais participantes, quando chegaram às últimas atividades, apresentaram

menos dificuldades de compreender e elaborar suas respostas.

A participante Jayne demonstra ser uma aluna enquadrada no grupo da segunda

situação, pois, durante as atividades, fez suas anotações, ponderações e conclusões, e, ao

resolver as três últimas atividades, conseguiu realizar as resoluções, de forma

significativa, demonstrando aprendizagem. Foi possível verificar em suas anotações a

estratégia sugerida pelo OA para a realização a última atividade. É importante ressaltar

que a sétima atividade não traz nenhum auxílio do OA para resolver o problema

proposto. Porém, com as relações estabelecidas durante a realização das atividades

anteriores e seus conhecimentos prévios sobre o assunto, a participante conseguiu

resolver a atividade:

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150

Figura 46: Resolução da atividade 7 por “Jayne”

Fonte: Dados da pesquisa

A participante não expõe os passos da estratégia de forma organizada, mas é

possível verificar a presença do diagrama e setas para indicar movimentos (o 2º passo

sugerido pela estratégia: desenhar o diagrama da situação). Ela consegue, ainda, mostrar

os dados trazidos pelo problema e o dado procurado (3º e 4º passos da estratégia), além

de expor a equação que relaciona os dados, a regra da cadeia, a substituição dos dados

(5º, 6º e 7º passos da estratégia). Somente a análise da resposta não foi evidenciada pela

participante. Assim, a estratégia de resolução apresentada auxiliou a participante na

conclusão da atividade.

A participante F3 fez o mesmo processo e, a partir da quinta atividade, foi

possível verificar traços da estratégia pedagógica sugerida pelo OA. Inclusive a

participante os expõe segundo os passos (1º, 2º, ..., 8º).

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151

Figura 47: Resolução da participante F3

Fonte: Dados da pesquisa

No quinto passo, é possível verificar que a participante utiliza do tópico “ajuda”

oferecido pelo OA, o que, segundo ela, foi utilizado somente para conferir se estava

realizando corretamente a atividade. No sexto passo, há dificuldades quanto ao emprego

da regra da cadeia, mas, com êxito, a participante conclui a resolução da atividade,

inclusive tecendo uma breve interpretação sobre a resposta encontrada.

Com estas atividades e relatos, é possível demonstrar o benefício da estratégia

apresentada, a qual foi baseada em Stewart (2006) e Polya (1977) e a contribuição que o

OA pode dar como instrumento de auxílio para potencializar o conteúdo de Taxas

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152

Relacionadas. Nas atividades 6 e 7, a participante não expõe claramente os passos da

estratégia, mas os realiza na sequência aprendida durante as atividades anteriores.

Inclusive, é possível analisar que o modo como ela desenhou o diagrama da sétima

atividade foi uma contribuição do OA.

Figura 48: Esboço do diagrama da atividade 7 realizado por uma participante.

Fonte: Dados da pesquisa

A contribuição do diagrama interativo é elucidada pelo Aluno XXIII que, ao

finalizar a terceira atividade, diz:

Figura 49: Relato do participante Aluno XXIII

Fonte: Dados da pesquisa

Literalmente, é dito que: “O sinal negativo da resposta me mostra que a minha

base está diminuindo; achei interessante a exposição do diagrama, talvez eu ficaria me

perguntando o porque se não tivesse visto a base diminuindo.”

O participante expõe que foi possível compreender a resposta da atividade a

partir da visualização do fenômeno oferecida pelo diagrama presente no OA. Assim, é

possível verificar que o OA contribui na resolução de problemas de fenômenos físicos

sobre Taxas Relacionadas a partir do trabalho visual.

O participante Hugo relata que, mesmo tendo utilizado o OA, compreendido os

passos da estratégia, conseguido aplicá-la às atividades 5, 6 e 7, uma questão ainda lhe

era pertinente: o 5º passo sugere lembrar equações, principalmente aquelas originadas

de figuras geométricas (Teorema de Pitágoras, Volume, Área, Semelhança de

Triângulos dentre outras) que utilizaria para relacionar os dados. O participante relata

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153

que, nesse momento, a resolução do problema fica mais complicada, uma vez que ele

não se lembra de muitas equações aprendidas nos níveis fundamental e médio, o que

está em conformidade com Nasser, Sousa e Torraca (2012), cujos investigadores alegam

que uma das dificuldades de compreender os problemas de Taxas Relacionadas é

revisitar o ensino médio/fundamental e buscar equações geométricas que auxiliem na

resolução destes problemas.

Figura 50: Relato do participante Hugo

Fonte: Dados da pesquisa

O relato acima do participante Hugo expõe sua dúvida sobre a resolução de

problemas de Taxas Relacionadas. Ele recorre ao auxílio do OA para verificar uma

equação que poderia ser utilizada na atividade, visto que ele alega não se lembrar de

nenhuma. Após uma conversa, Hugo relata que tem dificuldades de lembrar equações

matemáticas como as de áreas, volumes, trigonométricas dentre outras. Tal observação

levanta outra questão: De que modo implementar no OA equações necessárias aos

problemas de Taxas Relacionadas?

Por fim, é possível verificar que o OA trouxe contribuições como a visualização

gráfica e dinâmica, auxiliando na compreensão dos conceitos e nas representações

matemáticas e permitindo assimilações e conexões entre conteúdos pertinentes para

compreender o que vem a ser um problema de fenômeno físico de Taxas Relacionadas.

O OA ainda contribui quanto às explicações sob a forma textual e/ou visual que

auxiliaram as significações conceituais e as resoluções de problemas pretendidos. A

estratégia de resolução de problemas de fenômenos físicos sobre Taxas Relacionadas

permitiu uma maior autonomia do participante em resolver esses tipos de problemas.

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154

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Com a revisão de literatura, procurou-se analisar a questão norteadora desta

dissertação a qual consistiu em duas etapas: a primeira, construir um Objeto de

Aprendizagem; e a segunda, verificar as contribuições oferecidas pelo Objeto de

Aprendizagem criado.

Sobre a primeira etapa, o OA foi criado com sete atividades que se referem a

problemas de fenômenos físicos de taxas relacionadas respaldados na metodologia de

resolução de problemas. Para criar as atividades segundo a metodologia adotada, o

conteúdo de Taxas Relacionadas presentes em livros/textos didádicos de Cálculo foi

consultado, observando-se a maneira como Stewart (2006), Thomas (2002) e Anton;

Bivens e Davis (2007) expõem o conteúdo de Cálculo no que se refere a taxas

relacionadas, a sequência didática utilizada para abordar tal conteúdo, os conceitos

necessários (limite, derivada, regra da cadeia e taxas) para a compreensão do conceito

de taxas relacionadas, os exemplos apresentados e os problemas propostos. Assim,

atenderam-se parcialmente os objetivos específicos buscados por esta pesquisa:

a) Verificar a abordagem metodológica do conteúdo de Taxas Relacionadas em

livros/textos didáticos de Cálculo;

b) Elaborar atividades sobre taxas relacionadas que atendam à metodologia de

Resolução de Problemas;

c) Construir um Objeto de Aprendizagem para trabalhar as atividades

desenvolvidas.

Durante a construção do OA, tomou-se cuidado em aliar visualização,

movimentação e interação entre mídia e usuário, processos permitidos pela utilização da

TIC, bem como as diferenciadas representações matemáticas, sugeridas por Frota e

Couy (2007) e Stewart (2006), sendo este último o autor que apresenta a “regra dos

quatros”, anteriormente mencionada, e que foi utilizada para facilitar o ensino e

aprendizagem do conteúdo de Cálculo.

A segunda etapa, que é verificar as contribuições do OA construído, se deu

durante a aplicação desse objeto, momento no qual foi possível observar que o OA

facilitou a assimilação do conteúdo e a resolução de problemas sobre taxas relacionadas,

o que pode ser constatado das observações feitas durante a realização das atividades e

dos relatos dos sujeitos participantes. Aconteceram contribuições, do OA para com os

participantes da pesquisa. Contribuições como: a visualização oferecida pelo Objeto,

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155

que permitiu uma melhor assimilação dos conceitos apresentados. A dinamicidade

presente nos diagramas, em alguns dos gráficos e os vídeos que complementaram a

resolução dos problemas foi outro fator contribuinte com o aprendizado. Cada

participante desenvolveu as atividades no tempo em que achou pertinente. A questão de

poder avançar e o retroceder pelas telas do OA, contribui para potencializar o

aprendizado de forma gradual. A interação aluno-OA, que, além de favorecer a

aprendizagem e permitir novas descobertas, como, exposto por uma participante, que ao

revisitar um conceito já estudado, pôde compreende-lo melhor, fazendo a

ressignificação do conceito através devido aos recursos oferecidos pelo OA, foi

considerado como uma forma agradável de se estudar. Estas contribuições

complementam os objetos específicos desta pesquisa, quais sejam aplicar as atividades

e, após a análise dos resultados, estabelecer as possíveis reestruturações, visando uma

nova metodologia para o estudo de Taxas Relacionadas com a resolução de problemas

físicos, elaborando, assim, o produto desta dissertação.

Após a aplicação das atividades e as devidas reformulações, o OA pode ser

considerado uma nova metodologia a ser utilizada por professores e alunos na tentativa

de permitir e/ou potencializar o aprendizado sobre o conteúdo de taxas relacionadas.

Assim, o objetivo geral desta pesquisa foi alcançado: criar um Objeto de Aprendizagem

para facilitar o ensino e a aprendizagem de Taxas Relacionadas com a Resolução de

Problemas de Fenômenos Físicos.

Algumas questões ainda são inerentes quando se trata de criar e/ou utilizar

Objetos de Aprendizagens como metodologia de ensino:

a) Quais são e como superar as dificuldades para desenvolver OA’s que

utilizem as potencialidades das TIC’s, permintindo o ensino e a

aprendizagem?

b) Como um professor poderá utilizar um OA em suas aulas e qual deve ser a

postura adotada por este professor durante a utilização desse objeto?

Apesar de não serem as únicas, estas questões complementam ou ficam em

aberto para futuros pesquisadores que tenham interesse no assunto.

Espera-se, com esta pesquisa, oportunizar aos docentes, licenciandos e

interessados por esta temática conhecer mais uma metodologia de ensino e

aprendizagem estruturada sob a forma de um OA.

A realização desta pesquisa contribuiu para o desenvolvimento da capacidade

em, enquanto professor, buscar por recursos que fomentem a reflexão sobre a prática

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156

pedagógica, de modo a trabalhar o ensino e a aprendizagem de Cálculo de forma

dinâmica, diversificada e mais significativa.

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157

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162

APÊNDICES

PRODUTO DA DISSERTAÇÃO

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INTRODUÇÃO

Neste apêndice, são apresentadas as sete atividades e uma estratégia para

resolução das mesmas, as quais constituem um facilitador para o estudante no trabalho

com o conceito de taxa de variação relacionada e na resolução de problemas físicos. As

atividades foram elaboradas a partir de problemas presentes nos livros de Cálculo

Diferencial e Integral de Stewart (2006), Thomas (2002) e Anton; Bivens e Davis

(2007).

Nas três primeiras atividades, trabalha-se de forma implítica com a estratégia de

resolução de problemas de Taxas Relacionadas. O aluno interage com o OA, que

oferece auxílio na resolução destas atividadeso, e, assim, resolve os problemas

propostos pelas atividades, de modo a não perceber que está a utilizar a estratégia

elaborada.

Após a terceira atividade, a estratégia de resolução de problemas é apresentada,

sendo sugerido que o aluno aplique-a nas próximas quatro atividades, nas quais, devido

à revelação da estratégia, o nível de auxílio do OA é reduzido na tentativa de

autonomizar, o aluno quanto à resolução de problemas de Taxas Relacionadas.

Desse modo, apresenta-se parte do produto desta dissertação sob a forma de

orientações gerais de utilização do OA quanto à seção de Atividades.

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Instruções gerais para acessar as atividades no OA.

Na tela de “Menu” escolher o botão “Atividades”.

Figura 1: Tela menu do OA

Fonte: Elaborado pelo autor

Ao escolher o botão de atividades, o OA encaminhará o aluno para o “Menu

Atividades”, que contém: 7 atividades e uma vídeo-aula sobre o conceito e a utilização

da estratégia de resolução de problemas. Desse modo, o aluno deve percorrer cada botão

na ordem em que aparacem.

Figura 2: Menu atividades.

Fonte: Elaborado pelo autor

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Instruções gerais para a resolução da primeira atividade.

A atividade deve ser resolvida observando os comandos apresentados no OA, os

quais estão respaldados na metodologia de Resolução de Problemas e seguem a

estratégia de resolução de problemas apresentada nesta dissertação de forma implícita.

Dessa forma, o aluno tem auxílio do OA durante a resolução da atividade.

Atividade 1: Termodinâmica

1º Passo - Ler o enunciado para a compreensão do problema.

Quadro 1: Problema da atividade 1.

A Lei de Boyle estabelece que, quando uma amostra de gás está comprimida a

uma temperatura constante, a pressão P e o volume V satisfazem a equação PV =

C, onde C é uma constante. Suponha que, em certo instante, o volume é de 600

cm³, a pressão é de 150 kPa e a pressão cresce a uma taxa de 20 kPa/min. A que

taxa está decrescendo o volume nesse instante?

Fonte: Stewart, 2006, p.260.

2º Passo - Representar a situação, sempre que possível, através de um diagrama, para

melhor visualizá-la.

Figura 3: Diagrama da atividade 1.

Fonte: Elaborado pelo autor

3º Passo - Retirar do enunciado os dados presentes, escolhendo notações matemáticas

favoráveis. Neste problema, tem-se:

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O volume (V = 600 cm³), a pressão (P=150 kPa), velocidade instantânea (no exato

momento) da pressão ( =dt

dP20 kPa/min) e a relação PV = C.

Figura 4: Dados da atividade 1.

Fonte: Elaborado pelo autor

4º Passo - Verificar qual é o dado procurado, escolhendo, para isso, uma notação

favorável. O dado procurado neste problema é a taxa de variação do volume que está

diminuindo dt

dV. No OA, este passo vem com uma pergunta de múltipla escolha.

Figura 5: Dado procurado da atividade 1.

Fonte: Elaborado pelo autor

5º Passo - Buscar por uma equação que auxilie na resolução da proposta apresentada.

Esta equação é cedida pelo problema: PV = C.

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Figura 6: Equação da atividade 1.

Fonte: Elaborado pelo autor

6º Passo - Aplicar a regra da cadeia na equação para relacionar as taxas pretendidas.

Figura 7: Regra da cadeia relativa à atividade 1.

Fonte: Elaborado pelo autor

7º Passo - Substituir os dados apresentados pelo problema na equação gerada pela regra

da cadeia.

Figura 8: Substituição de dados relativo à atividade 1.

Fonte: Elaborado pelo autor

8º Passo - Interpretar a resposta encontrada.

Figura 9: Interpretação da resposta da atividade 1.

Fonte: Elaborado pelo autor

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Instruções gerais para a resolução da segunda atividade.

A atividade deve ser resolvida observando os comandos apresentados no OA e

que são respaldados na metodologia de Resolução de Problemas, seguindo a estratégia

de resolução de problemas apresentada nesta dissertação de forma implícita. Desse

modo, o aluno tem auxílio do OA durante a resolução da atividade.

Atividade 2: Variação da Resistência em um Circuito

1º Passo - Ler atentamente ao enunciado.

Quadro 2: Problema da atividade 2.

Variando a voltagem: A voltagem V (volts), a corrente I (em ampères) e a resistência R

(ohms) de um circuito elétrico estão relacionadas entre si pela equação V = RI. Suponha

que V esteja aumentando a uma taxa de 1 volt/s, enquanto I está diminuindo a uma taxa

de 1/3 A/s. Sendo o tempo dado em s, encontre a taxa com a qual R está variando

quando V = 12 V e I = 2A.

Fonte: Adaptado Thomas, 2002, p.203.

2º Passo - Interagir com o diagram presente no OA, observando a dinamicidade:

Figura 10: Diagrama da atividade 2.

Fonte: Elaborado pelo autor

3º Passo - Retirar do enunciado os dados fornecidos, escolhendo notações matemáticas

adequadas para os mesmos. Para este problema, tem-se:

=dt

dV1 volt/s (a taxa de variação da voltagem em relação ao tempo no exato momento),

dt

dI= -1/3 A/s (a taxa de variação da corrente elétrica em relação ao tempo), V = 12

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Volts (a voltagem no momento), I = 2A (a corrente elétrica no instante) e a equação

matemática fornecida V = RI.

Figura 11: Dados da atividade 2.

Fonte: Elaborado pelo autor

4º Passo - Escrever na notação matemática adequada o dado procurado pela atividade. O

OA traz uma questão de múltipla escolha, na qual o aluno deve optar por: dt

dR (a taxa de

variação da resistência em relação ao tempo).

Figura 12: Dado procurado na atividade 2.

Fonte: Elaborado pelo autor

5º Passo - Verificar uma equação que relaciona os dados. Esta equação é fornecida pelo

enunciado do problema: V = IR.

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6º Passo - Aplicar a regra da cadeia para relacionar as taxas.

Figura 13: Aplicação da regra da cadeia na atividade 2.

Fonte: Elaborado pelo autor

7º Passo - Substituir os dados na equação encontrada ao aplicar a regra da cadeia,

obtendo, assim, o dado procurado, isto é, a taxa de variação pretendida.

Figura 14: Substituição de dados utilizando as equações.

Fonte: Elaborado pelo autor

8º Passo - Interpretar a resposta encontrada.

Figura 15: Interpretação da resposta realizada pela OA.

Fonte: Elaborado pelo autor

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Instruções gerais para a resolução da terceira atividade.

A atividade deve ser resolvida observando os comandos apresentados no OA e

que estão respaldados na metodologia de Resolução de Problemas e seguindo a

estratégia de resolução de problemas apresentada nesta dissertação de forma implícita.

Desse modo, o aluno tem auxílio do OA durante a resolução da atividade.

Atividade 3: Variação linear da altura de um triângulo.

1º Passo - Ler atentamente o problema.

Quadro 3: Problema da Atividade 3.

A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enquanto a área do triângulo

cresce a uma taxa de 2 cm²/min. A que taxa está variando a base do triângulo quando a

altura é 10 cm e a área 100 cm²?

Fonte: Stewart, 2006, p.260.

2º Passo - Esboçar um diagrama para a situação.

Figura 16: Diagrama interativo da atividade 3.

Fonte: Elaborado pelo autor

3º Passo - Retirar do enunciado os dados apresentados. Este passo é divido em duas

etapas: a primeira, reconhecer notações matemáticas adequadas para representar os

dados presentes no enunciado; e a segunda, preencher, nos campos destinados, os

valores dos mesmos. Neste problema, os dados são: dt

dh= 1 cm/s (a variação da altura

em relação ao tempo ou a velocidade com que a altura cresce ou ainda à taxa com que a

altura cresce), dt

dA= 2 cm²/s (a variação da área em relação ao tempo ou a velocidade

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com que a área cresce ou a taxa com que a área está crescendo), h = 10 cm (altura do

triângulo no momento) e A = 100 cm² (área deste triângulo no instante indicado).

Figura 17: Reconhecimento dos dados e preenchimento dos mesmos no OA

Fonte: Elaborado pelo autor

4º Passo - Localizar o dado procurado pelo problema proposto na atividade. Neste caso,

dt

db (a taxa de variação da base em relação ao tempo ou a velocidade com que a base

cresce ou decresce em relação ao tempo). Tal ação é realizada no próprio OA em forma

de múltipla escolha.

Figura 18: Resposta correta ao quarto passo da atividade 3.

Fonte: Elaborado pelo autor

5º Passo - Buscar uma equação que tenha alguns dos dados presentes. A equação que

poderá ser utilizada é a de A, área de um triângulo qualquer, que é dada pelo

semiproduto da sua base pela sua altura 2

.hbA= .

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6º Passo - Aplicar a regra da cadeia para relcionar as taxas.

2

.hbA= Regra da Cadeia

dt

dbh

dt

dhb

dt

dA

2

1

2

1+=

7º Passo - Substituir os dados na equação obtida através da regra da cadeia, o que é

realizado de forma explicativa pelo próprio OA.

Figura 19: Passo sete da atividade 3.

Fonte: Elaborado pelo autor

8º Passo - Interpretar a resposta obtida. A base do triângulo está diminuindo (sinal

negativo) 1,6 cm a cada segundo.

Instruções gerais para compreender a estratégia de resolução de problemas.

Esse momento consta de uma videoaula sobre a estratégia para resolução de

problemas de fenômenos físicos a respeito de Taxas Relacionadas. Deve-se assistir a um

problema sendo resolvido pela aplicação da estratégia. Posteriormente, em tela, a

estratégia é apresentada e pode-se recorrer à ela sempre que necessário.

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Figura 20: Estratégia de Resolução – forma textual.

Fonte: Elaborado pelo autor

A figura mostra uma das telas da videoaula.

Figura 21: Estratégia de Resolução forma videoaula.

Fonte: Elaborado pelo autor

Instruções gerais para a resolução da quinta atividade.

A atividade deve ser resolvida observando os comandos apresentados no OAe

que estão respaldados na metodologia de Resolução de Problemas, e seguindo a

estratégia de resolução de problemas apresentada nesta dissertação, porém, agora de

forma explícita. Desse modo, o aluno tem auxílio do OA durante a resolução da

atividade com a utilização da estratégia de resolução.

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Atividade 4: Variação da Área de um Triângulo

1º passo - Ler atentamente o problema quantas vezes necessário:

Quadro 4: Problema da atividade 4.

Dois lados de um triângulo são 4 m e 5 m, e o ângulo entre eles está crescendo a

uma taxa de 0,06 rad/s. Encontre a taxa segundo a qual a área está crescendo

quando o ângulo entre os lados do comprimento fixo é 30º.

Fonte: Stewart, 2006, p.260.

2º passo – O diagrama é traçado pelo OA e cabe ao aluno observar e interagir

com o mesmo.

Figura 22: Triângulo 2

Fonte: Elaborado pelo autor

3º passo – Analisar os dados procurados pelo problema.

Figura 23: Dados da atividade 3.

Fonte: Elaborado pelo autor

4º passo - É o momento de localizar o dado ou a taxa de variação procurada,

utilizando uma notação adequada. No problema, a taxa procurada é a variação da área

em relação ao tempo, que pode ser representada por:

dt

dA.

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Figura 24: Dado procurado pela atividade 4.

Fonte: Elaborado pelo autor

5º passo - O aluno deve pensar/buscar uma equação que relacione os dados

presentes (em sua totalidade ou em partes) no problema. Isso faz com que ele pense

minuciosamente em equações matemáticas aprendidas ao longo da vida estudantil. Caso

o aluno não se recorde, o OA traz a equação θsencbA ...2

1= , isto é, a área de um

triângulo é igual à metade do produto dos lados pelo seno do ângulo compreendido

entre os mesmos. É uma equação favorável, mas que não fornece a taxa procurada

dt

dA.

Figura 25: Equação utilizada na atividade quatro.

Fonte: Elaborado pelo autor

6º passo - Aplicar a regra da cadeia para fazer o elo entre os dados, obtendo uma

nova equação, que é dt

dcb

dt

dA θθcos...

2

1= . Nesta equação, a taxa de variação procurada

se faz presente. Nota-se que b e c são constantes e que a variável é o ângulo θ .

7º passo - Substituir os dados, o que é realizado com o auxílio do OA que

mostra, passo a passo, como realizar a substituição:

3,006,0.30cos.5.4.2

1cos..

2

1=⇒=⇒=

dt

dA

dt

dA

dt

dbc

dt

dA θθ m²/s.

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Figura 26: Passos 6 e 7.

Fonte: Elaborado pelo autor

8º passo - A resposta é, então, interpretada. A cada segundo que se passa, a área

tem uma variação de 0,3 m². O aluno é convidado a retornar ao diagrama interativo e

observar a situação, isto é, verificar que realmente a área está crescendo com o passar

do tempo.

Instruções gerais para a resolução da quinta atividade.

A atividade deve ser resolvida observando-se os comandos apresentados no OAe

que estão respaldados na metodologia de Resolução de Problemas, seguindo a estratégia

de resolução de problemas apresentada nesta dissertação de forma implícita. Desse

modo, o aluno tem auxílio do OA durante a resolução da mesma. Contudo, nesta

atividade, o aluno deverá estar munido das mídias lápis e papel, a fim de desenvolver a

resolução da atividade.

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Atividade 5: Escada em movimento.

1º Passo - Ler atentamente o problema.

Quadro 5: Problema da atividade 5.

Uma escada com 13 m de altura está em pé e apoiada em uma parede, quando

sua base começa a escorregar, afastando-se da parede. No momento em que a

base está a 12 m da casa, ela escorrega a uma taxa de 5 m/s. A que taxa o topo

da escada escorrega para baixo nesse momento?

Fonte: Adaptado Thomas, 2002, p.203

2º Passo - Traçar o diagrama, que está presente no OA de forma dinâmica.

Figura 27: Diagrama da atividade 5.

Fonte: Elaborado pelo autor

Os demais passos da estratégia ficam presentes na tela sob a forma de um Menu.

Para obter ajuda, deve-se clicar no botão referente ao passo do qual se tem dúvida.

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Figura 28: Menu estratégia de resolução.

Fonte: Elaborado pelo autor

Ao clicar no botão desejado, o OA traz explicações de como proceder para obter

êxito no passo. Por exemplo, ao clicar no botão relativo ao 5º passo (achar uma equação

que tenha dados presentes no problema), tem-se a seguinte ajuda:

Figura 29: Ajuda relativo ao 5º passo.

Fonte: Elaborado pelo autor

A interação com este Menu serve para esclarecer dúvidas ou confirmar os passos

realizados nas mídias lápis e papel.

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Instruções gerais para a resolução da sexta atividade.

A atividade deve ser resolvida observando-se os comandos apresentados no OA

e que estão respaldados na metodologia de Resolução de Problemas, seguindo a

estratégia de resolução de problemas apresentada nesta dissertação de forma implícita.

Desse modo, o aluno tem auxílio do OA durante a resolução da mesma. Porém, nesta

atividade, o aluno deverá estar munido das mídias lápis e papel, a fim de desenvolver a

resolução do problema.

Atividade 6: Onda circular.

1º Passo - Ler atentamente o problema.

Quadro 6: Problema da atividade 6.

Uma pedra jogada em um lago produz onda circular, cujo raio cresce a uma taxa

constante de 1 m/s. Com que rapidez estará variando a área englobada pela onda

crescente ao final de 10 segundos?

Fonte: Anton; Bivens e Davis, 2007, p.222.

2º Passo - Esboçar o diagrama para facilitar a visualização.

Figura 30: Diagrama atividade 6.

Fonte: Elaborado pelo autor

Os demais passos são ocultados pelo OA, que sugere ao aluno desenvolver a

resolução por si mesmo. Caso o aluno necessite relembrar de algum dos passos da

estratégia, ele deverá recorrer ao botão “ajuda” presente na tela. Este botão explicitará

os passos da estratégia para auxiliá-lo na resolução.

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Figura 31: Botão de ajuda atividade 6.

Fonte: Elaborado pelo autor

Figura 32: Acesso ao botão de ajuda atividade 6.

Fonte: Elaborado pelo autor

O botão de “Ajuda 2” detalha os passos da estratégia. Caso o aluno ainda

necessite tirar dúvidas sobre os passos ou confirmar suas anotações, basta recorrer a

essa função.

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Figura 33: Recorrendo-se ao botão de “ajuda 2” na atividade 6.

Fonte: Elaborado pelo autor

Instruções gerais para a resolução da sétima atividade.

Esta atividade tem como objetivo verificar o aprendizado do aluno. Desse modo,

não há auxílio do OA. Deve-se resolver o problema com as mídias lápis e papel e

através do conhecimento adquirido ao longo das demais atividades e da vídeo-aula

apresentada.

Atividade 7: Balão subindo.

1º Passo - Ler atentamente o problema.

Quadro 7: Problema da atividade 7.

Um balão de ar quente, subindo na vertical a partir do solo, é rastreado por um

telêmetro colocado a 500 pés de distância do ponto de decolagem. No momento

em que o ângulo de elevação do telêmetro é de 45º, o ângulo aumenta a uma taxa

de 0,14 rad/min. A que velocidade o balão sobe nesse momento?

Fonte: Thomas, 2002, p.199

2º Passo – Será responsabilidade do aluno esboçar um diagrama para visualizar a

situação. Sugere-se um diagrama como o esboçado por um aluno que utilizou o OA em

questão.

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Figura 34: Esboço do diagrama realizado por um usuário.

Fonte: Elaborado pelo autor

3º Passo - Verificar os dados presentes no enunciado do problema. Neste caso:

x = 500 pés.

dt

dθ= 0,14 rad/min.

θ = 45º

4º Passo - Verificar o dado procurado. Nesta situação, utilizando uma notação

adequada, tem-se dt

dy.

5º Passo - Achar uma equação que relacione os dados presentes. A equação é

500

ytg =θ .

6º Passo - Utilizar a regra da cadeia para relacionar as taxas.

500

ytg =θ Regra da Cadeia

dt

d

dt

dy

dt

dy

dt

d θθ

θθ .²sec.500.

500

1.²sec =⇒= .

7º Passo - Substituir os dados na equação obtida através da regra da cadeia, cuja ação é

realizada por um aluno que utilizou o OA.

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Figura 35: Substituindo os dados na atividade 7.

Fonte: Elaborado pelo autor

8º Passo - Interpretar a resposta: dt

dy= 140 pés/s. A velocidade com o balão está, neste

momento, de 140 pés a cada segundo.