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Rejane Corrrea da Rocha
Matemática Financeira
Universidade Federal de São João del-Rei
2012
2
Capítulo 5
Matemática Financeira
Neste capítulo, os conceitos básicos de Matemática Financeira e algumas aplicações, dos quais podemos destacar: juros, capitalização simples e compostas, descontos, equivalência de taxas, séries de pagamentos e planos de amortização. Estes assuntos têm um amplo campo de aplicação, pois suas técnicas são necessárias em operações de financiamento de qualquer natureza. Os conceitos e aplicações discutidos a seguir neste capítulo foram baseados em Vieira Sobrinho (2006) e Puccini (2011).
5.1. Conceitos Básicos
Começaremos nosso estudo apresentando a nomenclatura que será utilizada na
disciplina e alguns conceitos básicos que serão centrais no desenvolver das nossas
atividades.
A Matemática Financeira é um corpo de conhecimento que estuda a mudança de
valor do dinheiro com o decurso de tempo; para isso, cria modelos que permitem
avaliar e comparar o valor do dinheiro em diversos pontos do tempo.
Capital (C): Entende-se por capital, do ponto de vista da Matemática Financeira,
qualquer valor em moeda e disponível em determinada época, sendo esse
considerado o valor inicial de uma operação financeira.
Esse valor inicial pode ser
numerário ou depósitos bancários disponíveis;
valor de um título de dívida no início de um processo financeiro; e
valor de ativos físicos (prédios, máquinas, veículos e outros) no início de um
processo financeiro.
Operação Financeira: é o ato econômico pelo qual determinado agente possuidor
de capital (C) – denominado credor – transfere esse capital (C) a outro agente
3
econômico – denominado tomador – mediante condições previamente
estabelecidas.
Normalmente, as condições previamente estabelecidas em uma operação
financeira envolvem
a remuneração paga pelo tomador ao credor pela utilização do capital (C);
os prazos e as formas de devolução do capital (C) e da remuneração
acordada; e
as garantias de pagamento que o tomador apresentará ao credor.
Juro (J): é a remuneração do capital acordado entre o credor e o tomador em uma
determinada operação financeira.
O credor, ao se dispor do capital em uma operação financeira, para avaliar a taxa
de remuneração para os seus recursos, deve atentar para os seguintes fatores:
Risco: probabilidade de o tomador do capital não resgatar o dinheiro.
Despesas: todas as despesas operacionais, contratuais e tributárias para a
formalização da operação financeira à efetivação da cobrança.
Inflação: índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto
para o prazo do empréstimo.
Ganho (ou lucro): fixado em função das demais oportunidades de
investimentos, justifica-se pela privação, por parte do credor, da utilidade
do capital.
Portanto, a receita de juros deve ser suficiente para cobrir o risco, as despesas e a
perda do poder aquisitivo do capital, além de proporcionar certo lucro ao seu
aplicador.
Taxa de Juros ( i ): é a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no final de um
certo período de tempo e o capital inicialmente aplicado (ou emprestado).
4
Matematicamente, essa razão é especificada como segue:
C
Ji (1)
em que i é a taxa de juros, J o valor dos juros e C o capital inicial . Normalmente,
expressamos a taxa de juros em termos percentuais. Para tal, multiplicamos taxa
dada em (1) por 100 e acrescentamos o símbolo (%).
Nota: O capital inicial também chamado de principal (P). Se você consultar
diferentes bibliografias, você verá que existem inúmeras nomenclaturas para
designar capital inicial. Daqui em diante, toda vez que nos referirmos a capital
inicial utilizaremos P.
Exemplo 5.1 Qual a taxa de juros cobrada num empréstimo de $ 1.000,00 a ser
resgatado por $ 1.300,00?
Dados: Capital inicial = P = 1.000,00
Juros: = J = 1.300,00 – 1.000,00 = 300,00
Taxa de juros = i = ?
Solução
Utilizando a fórmula dada em (1) temos: %3030,01000
300
P
Ji .
A taxa de juros em 30% refere-se ao período da operação, não especificado no
exemplo. Se o prazo dessa operação for de 1 ano, a taxa é de 30% ao ano; se for de
8 meses, a taxa é de 30% para o período de 8 meses.
Os números que expressam a taxa de juros são acompanhados de uma expressão
que indica a temporalidade da taxa. Essas expressões são abreviadas da seguinte
forma:
ad – ao dia;
am – ao mês;
ab – ao bimestre;
at – ao trimestre;
aq – ao quadrimestre;
as – ao semestre; e
aa – ao ano.
5
5.2. Capitalização Simples
Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o
capital inicial; não incide, pois, sobre os juros acumulados.
Neste regime de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo, ou
seja, se quisermos converter a taxa diária em mensal, basta multiplicarmos a taxa
diária por 30; se desejarmos uma taxa anual, tendo a mensal, basta multiplicarmos
esta por 12, e assim por diante.
Para obtermos o valor dos juros no regime de capitalização simples utilizamos a
expressão
niPJ (2)
em que J é valor dos juros, P é valor do capital inicial ou principal, i é taxa de juros
no período e n prazo.
Nota: O período e o prazo devem estar na mesma unidade de tempo, isto é, se a
taxa é ao mês o prazo deve ser dado em meses. Caso eles estejam em unidade de
tempo diferentes, deve-se fazer a conversão de um deles para que esteja na mesma
unidade
Exemplo 5.2 Você tomou um empréstimo de R$ 20.000,00 pelo prazo de 5 meses,
sabendo-se que a taxa cobrada é do 2% ao mês. Qual o valor dos juros
correspondentes ao empréstimo?
Dados: P = 20.000,0
n = 5 meses
i = 2% am
J = ?
Solução 2000502,020000 niPJ
Logo, o valor dos juros pagos pelo empréstimo foi de R$2.000,00
6
Exemplo 5.3 Qual é a taxa de juros mensais de um capital de R$ 2.500,00 que foi
aplicado durante 7 meses, rendendo juros de R$ 787,50.
Dados: P = 25.000,00
J = 7.875,00
n = 7 meses
i = ?
Solução: 045,072500
50,787
nP
JiniPJ ou 4,5% am.
Logo, a taxa de juros da aplicação foi de 4,5% ao mês.
Exemplo 5.4 Calcule o prazo de uma aplicação de R$75.000,00, sabendo-se que
foram obtidos juros de R$ 6.000,00 a uma taxa de 4% ao trimestre.
Dados: P = 75.000,00
J = 6.000,00
i = 4% at
n = ?
Solução: 204,075000
6000
iP
JnniPJ trimestres ou 6 meses.
Logo, o prazo da aplicação foi de 6 meses.
Antes de introduzirmos o conceito de montante, veremos a seguinte situação
prática:
Situação 5.1 Um empréstimo de R$23.000,00 é liquidado por R$ 29.200,00 no
final de 152 dias. Calcule a taxa mensal de juros.
Nesta situação são dados o capital inicial e o valor no qual o empréstimo foi
liquidado. Em Matemática Financeira esse valor de liquidação é chamado de
montante ou valor futuro. Quando subtraímos o montante pelo capital inicial
obtemos o valor do juros pagos pelo empréstimo, isto é, 62002300029200 J .
7
Assim, para esse exemplo temos 001773,015223000
6200
nP
Ji ou 0,1773% ad
Como estamos trabalhando com o sistema de capitalização simples, basta
multiplicarmos a taxa diária por 30 para encontramos a taxa mensal pedida. Dessa
forma, temos
Taxa Mensal = 5,32% 30 0,1773%
Agora vamos introduzir esse conceito formalmente.
Montante (S) é a soma do capital inicial mais os juros referentes ao período da
aplicação. Também pode ser denotado de valor futuro.
Podemos escrever a expressão do montante da seguinte forma:
JPS (3)
Como niPJ , substituindo em (3) temos que niPPS .
Assim, no sistema de capitalização simples
)1( niPS (4)
Exemplo 5.5 Você aplicou um capital de R$10.000,00, pelo prazo de 12 meses, à
taxa de 1,5% ao mês. Qual foi o montante dessa aplicação?
Dados: P = 10.000,00
n = 12 meses
i = 1,5% ao mês
Solução: 800.11)12015,01(000.10)1( niPS
Logo, o montante da aplicação foi de R$11.800,00.
Exemplo 5.6 Sabendo-se que a taxa de juros é de 2,5% ao mês e que faltam oito
meses para o seu vencimento, determine o valor atual de um título cujo valor de
resgate é de R$30.000,00.
8
Dados: S = 30.000,00
n = 8 meses
i = 2,5% ao mês
P = ?
Solução: 000.25)8025,01(
000.30
)1()1(
ni
SPniPS
Logo, o valor atual do título é de R$25.000,00
Exemplo 5.7 Um empréstimo de R$30.000,00 deverá ser quitado por R$
60.000,00 no final de 24 meses. Determinar as taxas mensal e anual cobradas
nessa operação.
Dados: S = 60.000,00
P = 30.000,00
n = 24 meses
i = ?
Solução:
04167,024
11224
30000
60000)241()1( iiiniPS
Logo, a taxa i é igual a 4,167%.
Lista de Exercícios 1
1) Determine o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado por
a) 4 meses a 2% am.
b) 8 meses a 6% aa.
c) 85 dias a 2,5% am.
2) O montante de uma dada aplicação é $ 12.000,00. Sabe-se que o prazo da
operação foi de quatro meses e que o juro gerado foi de R$1.500,00. Determine:
a) o capital aplicado.
b) a taxa de juros mensal da aplicação.
3) Determine o prazo em que um dado capital dobra de valor se aplicado a uma
taxa de 5% a.m. Em quanto tempo esse capital triplicaria?
9
4) O valor nominal de um título é 7/5 do seu valor atual. Sendo o prazo de
aplicação de seis meses, qual a taxa de juros mensal aplicada?
5) Por quanto tempo um capital deve ser aplicado a 30% aa para que os juros
gerados correspondam a 2,5 vezes o valor do capital?
5.3. Capitalização Composta
O regime de juros compostos é mais comum no dia a dia do sistema financeiro e do
calculo econômico. Nesse regime, o valor dos juros cresce em função do tempo, isto
é, os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos
juros do período seguinte. Assim, podemos dizer que
Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital
inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior.
Nota: A nomenclatura é a mesma utilizada em capitalização simples, isto é, S, o
montante, P, o capital inicial, n, o prazo e i, a taxa.
A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais
complexa que aquela já vista para a capitalização simples. Mas o conceito é o
mesmo, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros
correspondentes ao prazo da aplicação ou da dívida.
Para facilitar o entendimento, vamos ver mais uma situação prática.
Situação 5.2 Suponha que um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado à taxa de 4% ao
mês, durantes 4 meses. Qual é o montante desse capital no final do período?
Como ainda não conhecemos uma fórmula para a solução fácil e rápida desse
problema, mas sabemos que a taxa de juros para cada período unitário incide
sobre o capital inicial mais os juros acumulados, calculemos o montante mês a mês.
Esse cálculo é apresentado no quadro a seguir.
10
MÊS
CAPITAL NO INÍCIO DO MÊS
JUROS CORRESPONDENTES
AO MÊS
MONTANTE NO FINAL DO MÊS
1 2 3 4
1.000,00 1.040,00 1.081,00 1.124,86
1.000,00 x 0,04 = 40,00 1.040,00 x 0,04 = 41,60 1.081,00 x 0,04 = 43,26 1.124,86 x 0,04 = 45,00
1.040,00 1.081,60 1.124,86 1.169,86
Fonte: o autor
Logo, o valor do montante no final do quinto mês é de R$1.169,86. Podemos
observar que o montante no final de cada mês constitui-se no capital inicial do
mês seguinte. No entanto, essa forma de cálculo é trabalhosa e demorada.
Para que possamos fazer esse cálculo de maneira mais fácil, vamos deduzir uma
fórmula para o montante, partindo do desenvolvimento anterior, mas sem que
sejam efetuadas as operações de multiplicação e soma, apenas usando a
propriedade distributiva do produto em relação à soma.
Tomando Si como sendo o montante no momento i , temos
S0= 1000
11 1,041000 0,04)(11000 10000,04 1000 S
2111
2 1,041000 0,04)(11,0410001,0410000,04 1,041000 S
3222
3 1,041000 0,04)(11,0410001,0410000,04 1,041000 S
4333
4 1,041000 0,04)(11,0410001,0410000,04 1,041000 S
Assim, o valor do montante no final do quarto mês é dado 44 1,041000 S .
Como 1,044= 1,16986, temos que 1169,86 1,169861000 S4 , que é o mesmo
valor calculado anteriormente.
Generalizando a situação acima apresentada, podemos escrever:
11
nnn
n iPiiPiPS
iPiiPiPS
iPiiPiPS
iPiPPS
PS
)1()1()1(
)1()1()1(
)1()1()1(
)1(
11
322
3
2
2
1
0
Para facilitar, faremos S = Sn, pois sempre calculamos o montante para um prazo já
previamente estabelecido. Assim, a fórmula final do montante é dada por
ni 1P S (5)
Exemplo 5.8 Qual é o montante de uma aplicação de R$ 25.000,00, pelo prazo de
5 meses, à taxa de 3% ao mês?
Dados: P = 25.000,00
n = 5 meses
i = 3% am
S = ?
Solução: 85,289811,0325000 i 1P S5n
Logo, o montante no final do prazo é de R$28.981,85
Exemplo 5.9 No final de um ano, a Sra. Maria deverá efetuar um pagamento de
R$100.000,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros
devidos, correspondentes a uma taxa de 2% ao mês. Qual o valor emprestado?
Dados: S = 100.000,00
n = 1 ano = 12 meses
i = 2% ao mês
P = ?
Solução:
32,788491,02
100000 P
i 1 Pi 1P S
12n
n
S
12
Logo, o valor do empréstimo tomado por Maria foi de R$ 32,849.78 .
Exemplo 5.10 A loja “Topa Tudo” financia a venda de uma mercadoria no valor de
R$1.600,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 2.275,36
no prazo de 10 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?
Dados: S = 2.275,36
P = 1.600,00
n = 10 meses
i = ?
Solução
0358,0
10358,10358,14221,114221,1)1(
)1(600.1
36,275.2)1(600.136,275.2i 1P S
1010
1010n
i
iii
ii
Logo, a taxa mensal cobrada pela loja “Topa Tudo” é de 3,58%.
Exemplo 5.11 Em que prazo um empréstimo de R$3.000,00 pode ser quitado em
um único pagamento de R$5.131,02 sabendo-se que a taxa contratada é de 5%
a.m?
Dados: S = 5.131,02
P = 3.000
i = 5% am
n = ?
Solução
1104879,0
53669,0
)05,1ln(
)71034,1ln(
)71034,1ln()05,1ln()71034,1ln()05,1ln(71034,1)05,1(
)05,1(3000
02,5131)05,01(300002,5131i 1P S
n
nn
nnn
nn
Logo, o prazo do empréstimo foi de 11 meses.
13
Lista de Exercícios 2
1) Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um
capital de $ 100.000,00 à taxa de 3,75% ao mês.
2) Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição
financeira é de 12,486%, determinar qual o prazo em que um empréstimo de $
20.000,00 será resgatado por $ 36.018,23.
3) Uma empresa obtém um empréstimo de $ 700.000,00, que será liquidado, de
uma só vez, no final de dois anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao
ano, calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado.
4) Em que prazo uma aplicação de $ 374.938,00, à taxa de 3,25% ao mês, gera um
resgate de $ 500.000,00.
5) Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se
aplicado a 3,755% ao mês?
5.4. Equivalência de Taxas
Dizemos que duas ou mais taxas referenciadas a períodos unitários distintos são
equivalentes quando produzem o mesmo montante no final de determinado
tempo, pela aplicação de um mesmo capital inicial.
No regime de capitalização simples encontrar taxas equivalentes é bastante
simples, pois nesse regime as taxas são proporcionais. Por exemplo, se temos uma
taxa de 12% ao ano, essa taxa equivale a uma taxa de 1% ao mês. Como um ano
corresponde a 12 meses, para encontrar a taxa mensal equivalente dividimos,
nesse caso, a taxa anual por 12.
Poderíamos, também, pensar em uma taxa trimestral equivalente para uma taxa
mensal de 2%. Nesse caso, para encontrarmos a equivalência, devemos multiplicar
a taxa mensal por 3, o que daria uma taxa trimestral 6%.
14
No regime de capitalização composta, como os juros crescem em função do tempo,
para que possamos calcular a equivalência de duas taxas referenciadas a períodos
diferentes precisamos deduzir uma relação entre essas.
Utilizando a definição de taxas equivalentes, podemos dizer que se a taxa mensal
(im) equivale a taxa anual (ia), então a igualdade a seguir é verdadeira:
1212 )1()1()1()1( mama iiiPiP (6)
Da igualdade acima, temos
para determinar a taxa anual conhecida a mensal: 1)1( 12 ma ii
para determinar a taxa mensal conhecida a anual: 1)1( 12/1 am ii
Exemplo 5.12 Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês.
Solução: 2682,012682,11)02,01(1)1( 1212 aama iiii
ou 26,82%
Exemplo 5.13 Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano.
Solução: 04,0104,11)60103,1(1)60103,01( 12/112/1 mi ou 4%
Como no dia a dia os períodos a que se referem as taxas que se têm e as taxas que
se desejam são os mais variados, vamos apresentar uma fórmula genérica, que
possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja,
1)1( / cd
cd ii (7)
em que:
id é a taxa para o prazo que desejo;
ic é a taxa para o prazo que conheço;
d /c é a equivalência dos prazos, sendo d o prazo desejado e c o prazo
que conheço na unidade do prazo desejado.
Nota: Para calcular a taxa, os períodos devem ter a mesma unidade!
15
Exemplo 5.14 Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano.
Solução: 2899,01)65,01( 360/183
183 i ou %99,28
Exemplo 5.15 Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês.
Solução: 2222,11)05,01( 30/491
491 i ou 122,22%
Saiba mais: Leia Relações de equivalência entre taxas de juros disponível em:
<http://www.proativams.com.br/files_aberto/Leiturascomplementares3.doc>.
Acesso em: 27 jul. 2011.
Lista de Exercícios 3
1) Qual a taxa mensal de juros compostos cobrada num empréstimo de $
64.000,00, que deverá ser quitado no prazo de 117 dias, por $ 79.600,00?
2) Uma aplicação de $ 3.800,00 proporcionou um rendimento de $ 2.400,00 no
final de 208 dias. Determinar as taxas diária, mensal, trimestral e anual de juros
compostos dessa operação.
5.5. Descontos
A operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro
de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer
determinar o seu valor atual.
O desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor de resgate de um
título e o seu valor presente na data da operação, ou seja,
D = S – P (8)
em que D representa o valor monetário do desconto, S o seu valor futuro (valor
assumido pelo título na data do seu vencimento) e P o valor do desconto, que
também está associado a uma taxa e a determinado período de tempo.
16
5.5.1 Desconto Simples (ou Bancário ou Comercial)
Desconto simples é aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o
montante ou valor futuro. É amplamente utilizado no Brasil, geralmente nas
chamadas operações de “desconto de duplicatas” realizadas pelos bancos, sendo, e
por isso, também chamado de desconto bancário ou comercial. Obtemos esse
desconto multiplicando o valor de resgate do título pela taxa de desconto e pelo
prazo a decorrer até o seu vencimento, isto é,
ndSD (9)
em que d representa a taxa de desconto e n o prazo.
Para obtermos o valor presente, também chamado de valor descontado, subtraímos
o valor do desconto do valor futuro do título, ou seja,
DSP (10)
Substituindo (9) em (10) temos:
)1( ndSP (11)
Exemplo 5.16 Encontre o valor do desconto simples de um título de R$2.000,00,
com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês.
Dados: S = 2.000,00
n = 90 dias = 3 meses
d = 2,5% ao mês
D = ?
Solução: 1503025,02000 ndSD
Logo, o valor do desconto é de R$150,00
Exemplo 5.17 Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 180
dias, cujo valor de resgate é de R$1.000,00 e cujo valor atual é de R$880,00?
Dados: S = 1.000,00
17
P = 880,00
n = 180 dias = 6 meses
d = ?
Solução
02,06
12,012,06
1000
88016)61(1000880)1(
dd
ddndSP
Logo, a taxa de desconto é de 2% a.m.
5.5.2 Desconto Composto
Desconto composto é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o montante ou
valor futuro, deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente
anterior. É obtido em função de cálculos exponenciais e praticamente não é
utilizado, tendo uma importância meramente teórica.
Quando trabalhamos com desconto composto, para n períodos unitários, a taxa de
desconto incide, no primeiro período, sobre o valor futuro do título; no segundo
período, sobre o valor futuro do título menos o valor do desconto correspondente
ao primeiro período; no terceiro período, sobre o valor futuro do título menos os
valores dos descontos referentes ao primeiro e ao segundo período, e assim
sucessivamente até o enésimo, de forma que
nnnn
n dSddSdSddSP
dSddSdSddSP
dSddSdSddSP
dSSdSP
)1()1()1()1()1(
)1()1()1()1()1(
)1()1)(1()1()1(
)1(
111
3222
3
2
2
1
Assim, o valor líquido de um título, de prazo igual a n períodos unitários, calculado
com base no desconto composto pela expressão
ndSP )1( (12)
18
Exemplo 5.18 Uma duplicata no valor de R$28.000,00, com 150 dias para o seu
vencimento, é descontada a uma taxa de 2% ao mês, de acordo com o conceito de
desconto composto. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do
desconto concedido.
Dados: S = 28.000,00
n = 150 dias = 5 meses
d = 2% ao mês
P = ?
D =?
Solução
22,690.278,309.25000.28
78,309.2502,01000.28)1(5
PSD
dSP n
Logo, o valor líquido da duplicata é de R$25.309,78 e o valor do
desconto é de R$2.690,22.
Exemplo 5.19 Um título, com 90 dias a vencer, foi descontado à taxa de 3% ao
mês, produzindo um desconto no valor de $ 1.379,77. Calcular o valor nominal do
título.
Dados: D = 1.379,77
d = 3% ao mês
n = 90 dias = 3 meses
S = ?
Solução
04,800.15087327,0
77,379.1
)912673,01(77,379.1912673,077,379.1
)03,01(77,379.1)1( 3
S
SSS
SSdSSPSD n
Logo, o valor de nominal do título é de R$15.800,04.
19
Lista de Exercícios 4
1) Uma duplicata de R$70.000,00, com 90 dias a decorrer até o seu vencimento,
foi descontada por um banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido
entregue ou creditado ao cliente.
2) Sabendo-se que o desconto de uma duplicata no valor de $ 25.000,00, com 150
dias a vencer, gerou um crédito de R$ 22.075,06 na conta do cliente,
determinar a taxa de desconto.
3) Determinar o valor nominal ou de face de um título, com 144 dias para o seu
vencimento, que, descontado à taxa de 48% ao ano, proporcionou um valor
atual (valor líquido creditado) de R$ 38.784,00.
4) Calcular o valor atual de um título de valor de resgate igual a R$ 90.000,00, com
4 meses a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3,25% ao mês.
5) Calcular a que taxa mensal um título de $ 100.000,00, com 75 dias a vencer,
gera um desconto no valor de R$ 11.106,31.
5.6. Séries de Pagamentos
As séries de pagamentos podem ser definidas como uma sucessão de pagamentos
ou recebimentos e com vencimentos sucessivos.
Dentro da Matemática Financeira tradicional, as séries de pagamentos são objeto
de uma classificação muito ampla e complexa. Para facilitar o seu entendimento,
vamos começar apresentando as principais características das séries de
pagamentos:
O número de termos é finito; não vamos tratar aqui das “rendas perpétuas”,
cujo número de termos é infinito.
20
Os vencimentos dos termos de uma série de pagamentos podem ocorrer no
final de cada período (termos vencidos ou postecipados) ou no início (termos
antecipados), o entendimento desta classificação, como veremos, é de
fundamental importância.
Com base nessas características, podemos classificar as séries de da seguinte
forma:
1. Série de pagamentos iguais com termos vencidos;
2. Série de pagamentos iguais com termos antecipados;
3. Série de pagamentos variáveis com termos vencidos;
4. Série de pagamentos variáveis com termos antecipados.
Como este é um tema bastante extenso, nesta seção iremos desenvolver somente
as séries de pagamentos iguais com termos vencidos. Para mais detalhes consulte
Vieira Sobrinho (2006) e outras obras indicadas no final deste capítulo.
5.6.1 Séries de pagamentos iguais com termos vencidos (ou postecipados)
Como já foi dito, as séries de pagamentos de pagamentos iguais com termos
vencidos são aquelas em que os pagamentos ocorrem no final do período e não na
origem. Para cada termo da série de pagamento ou recebimento igual utilizaremos
a nomenclatura “R”. As demais variáveis serão representados pelos símbolos já
conhecidos: i é a taxa de juros, coerente com a unidade de tempo (mês, trimestre,
ano), n é o número de prestações quase sempre coincidente com o número de
períodos unitários, P é o principal, capital inicial, valor atual ou valor presente, e S
é montante ou valor futuro.
Para introduzir esse conceito vamos propor situações práticas e a partir do
desenvolvimento e da solução dessas deduziremos às fórmulas. Para tanto, vamos
utilizar somente os conhecimentos de Matemática Financeira até agora contidos
neste capítulo, além de algumas noções de matemática elementar.
21
Começaremos com situação em que teremos uma série de pagamentos em que são
conhecidos os valores dos pagamentos ou recebimentos e desejamos calcular o
valor do montante.
Situação 5.3 Determinar o valor do montante, no final do 4° mês, de uma série de
4 aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de $ 100,00 cada uma , a uma
taxa de 2% ao mês, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do
primeiro mês, ou seja, a 30 dias da data tomada como base (“momento zero”), e
que a última, no final do 5° mês, é coincidente com o momento em que é pedido o
montante.
Para calcular o montante pedido, vamos utilizar o conhecimento que temos de
capitalização composta, ou seja, utilizando a fórmula niPS )1( vamos calcular
isoladamente o montante de cada prestação no final do 4º mês. Assim, temos
00,100)02,1(100
00,102)02,1(100
04,104)02,1(100
12,106)02,1(100
0
4
1
3
2
2
3
1
S
S
S
S
Podemos observar que a última parcela é aplicada exatamente no dia em que se
pede o valor do montante; logo, esta não terá rendimento algum. O montante final
ou total será igual ao somatório dos montantes individuais, ou seja,
16,41210000,1024,10412,1064321 SSSSSt .
Portanto, o montante de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, de R$100,00
cada uma, à taxa de 2% ao mês, dentro do conceito de séries de pagamentos com
termos vencidos, é de R$ 412,16.
No entanto, o cálculo do montante, como foi feito, é muito trabalhoso. E se
tivéssemos 60, 120 ou 240 prestações? Para facilitar nosso trabalho, vamos tentar
aplicar uma fórmula que permita chegar ao valor final por um caminho mais curto
e rápido.
22
Sabemos que 4321 SSSSSt . Substituindo 1S , 2S , 3S e 4S pelos seus
respectivos valores, sem efetuarmos os cálculos, temos
0123 )02,1(100)02,1(100)02,1(100)02,1(100 tS
Como o valor 100,00 é constante em todos os termos, pode ser colocado em
evidência:
])02,1()02,1()02,1()02,1[(100 0123 tS
Como a soma 3213210 )02,1()02,1()02,1(1])02,1()02,1()02,1()02,1[(
representa a soma de uma progressão geométrica de razão 1,04, pois o número de
parcelas é finito, dessa forma, podemos aplicar a fórmula da a soma dos termos de
uma PG
1
11
q
aqaS
n
PG (13)
em que, 1a representa o primeiro termo da série, n o número de termos e q a
razão.
Sabendo-se que 1)02,1( 0
1 a , q = 1,02 e n = 4, temos
102,1
1)02,1(1100
4
tS (14)
Desenvolvendo a expressão (14), temos
16,41202,0
082432,0100
02,0
1)02,1(100
4
tS
Portanto, chegamos ao valor do montante correspondente à aplicação de 4
parcelas iguais, sem calcular os montantes isolados.
Como no problema R = 100,00, n = 5 e i = 0,04, substituindo na expressão (14) os
valores numéricos pelos seus símbolos correspondentes, temos a fórmula genérica
i
iRS
n
t
1)1(
23
Para simplificar, faremos SSt , temos
i
iRS
n 1)1( . (15)
Exemplo 5.20 Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 por mês, durante três anos, em
um “Fundo de Renda Fixa”, à taxa de 1% ao mês. Quanto terá essa pessoa no final
desse prazo?
Dados: R = 1000,00
n = 36 prestações (36meses=3anos)
i = 1% ao mês (aplicações mensais)
S = ?
Solução:
87,4307604687,43100001,0
1)01,1(1000
1)1( 36
i
iRS
n
Portanto, o valor da aplicação no final do prazo será de R$43.076,87.
Para calcular o valor da prestação ou do recebimento em situações em que
conhecemos o valor do montante, basta isolar R na equação (15). Assim, temos
1)1(
ni
iSR (16)
Exemplo 5.21 Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente num “Fundo de
Renda Fixa”, durante 3 anos, para que possa resgatar R$ 200.000,00 ao final de 36
meses, sabendo que o fundo proporciona um rendimento de 1,2% ao mês?
Dados: S= 200.000,00
n = 36 meses = 36 prestações
i = 1,2% ao mês
R = ?
24
Solução
45,44740,0223720,0200000
1012,1
012,0200000
1)1( 36
ni
iSR
Portanto, o valor da aplicação mensal deverá se de R$4.474,45 para
que possa ter um montante de R$200.000,00 no final de 3 anos.
Agora veremos mais um exemplo em que n é a incógnita.
Exemplo 5.22 Quantas prestações de $ 4.000,00 devem ser aplicadas
trimestralmente, à taxa de 7% ao trimestre, para acumular um montante de $
100.516,08 ao final de certo prazo? E qual esse prazo?
Dados: R = 4.000,00 por trimestre
S = 100.516,08
i = 7% ao trimestre
n = ? (n° de trimestres)
Solução
1599999999,1407,1ln
)75903,2ln(75903,2ln07,1ln
175903,107,1000.4
07,008,516.100107,1
107,1
07,008,516.100000.4
1)1(
n
i
iSR
n
nn
nn
Logo, o prazo é de 15 trimestres.
Nota: Como a unidade de tempo está coerente com a taxa, não é
necessária nenhuma conversão.
Para situação em que temos uma série de pagamentos em que são conhecidos os
valores dos pagamentos ou recebimentos e desejamos calcular o valor presente,
partiremos da seguinte situação prática:
Situação 5.4 Qual o valor que, financiado à taxa de 2% ao mês, pode der pago ou
amortizado em 4 prestações mensais, iguais e sucessivos de $ 100,00 cada uma?
25
O que se quer é o valor presente dessa série de 4 parcelas iguais. Para isso, vamos
utilizar as ferramentas que conhecemos para solucionar esses problemas. Com
relação a valor presente ou atual, somente sabemos resolver os casos com
pagamentos simples, ou seja, aqueles que apresentam um único pagamento. Assim,
vamos resolver o problema por partes, admitindo-se que cada prestação
corresponda a um financiamento isolado.
Na situação prática, o valor de cada prestação, R$ 100,00, representa o montante
(ou valor futuro) isolado de capital inicial que desconhecemos, aplicado à taxa de
2% ao mês, e por prazos que vão de 1 a 4 meses. O que queremos é determinar o
capital inicial ou o valor presente dessas prestações no “momento zero”. Os
valores presentes das 4 prestações são calculadas como segue:
77,380
38,92923845,000,10002,1
100,100
23,94942322,000,10002,1
100,100
12,96961169,000,10002,1
100,100
04,9898039,000,10002,1
100,100
4321
44
33
22
11
PPPPP
P
P
P
P
t
Assim, o valor financeiro (ou o valor presente), que pode ser pago ou amortizado
em 4 prestações iguais, mensais e consecutivas de R$ 100,00 cada uma, dentro do
conceito de série de pagamento, com termos vencidos, é de R$380,77.
Agora, utilizando somente conhecimentos de matemática elementar,
substituiremos P1, P2, P3 e P4 pelos seus respectivos valores, sem efetuar os
cálculos, temos
432102,1
100,100
02,1
100,100
02,1
100,100
02,1
100,100 tP
Colocando o valor 100 em evidência, temos:
432102,1
1
02,1
1
02,1
1
02,1
100,100tP
26
Os termos que aparecem dentro dos colchetes constituem uma soma de PG de
razão 02,1
1. Como o calculo com expressões fracionárias é um pouco mais
complexo, vamos aplicar o conceito de “Mínimo Múltiplo Comum” e transformar
esta série numa soma de mais fácil visualização e cálculo. Efetuando os cálculos,
temos
4
123
02,1
102,102,102,100,100tP
O numerador da expressão entre colchetes constitui-se numa soma de PG, de
razão 1,02, com número de termos igual a 4. Aplicando a fórmula conhecida (13),
temos
77,3808077,3100
02,102,0
102,1100
02,1
102,1
102,11
1004
4
4
4
tP (17)
Substituindo na expressão (17) os valores numéricos pelos respectivos símbolos e
considerando PPt , temos a fórmula genérica
ii
iRP
n
n
)1(
1)1( (18)
Exemplo 5.23 Qual o valor atual de série de 30 prestações iguais, mensais e
consecutivas de R$ 400,00 cada uma, considerando uma taxa de 4% ao mês?
Dados: R = 400,00
n = 30 prestações = 30 meses
i = 4% ao mês
P = ?
Solução
81,916.629203,1740004,0)04,1(
1)04,1(400
)1(
1)1(30
30
ii
iRP
n
n
Logo, o valor atual é de R$6.916,81.
27
Para calcularmos o valor da prestação ou da aplicação na situação em que
conhecemos o valor atual, basta isolarmos R em (18). Dessa forma temos que
1)1(
)1(
n
n
i
iiPR (19)
Nota: Sem dúvida alguma, na prática, o cálculo da prestação quando conhecemos o
valor presente é o mais utilizado.
Exemplo 5.24 Um empréstimo de R$10.000,00 é concedido por uma instituição
financeira para ser liquidado em 24 prestações iguais, mensais e consecutivas.
Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% ao mês, calcular o valor da prestação.
Dados: P =10.000,000
n = 24 prestações mensais
i = 3% ao mês
R = ?
Solução
47,590059047,010000103,1
03,003,110000
1)1(
)1(24
24
n
n
i
iiPR
Logo, o valor de cada prestação é de R$590,47.
Exemplo 5.25 Calcule o número de prestações semestrais de R$ 1.500,00 cada
uma, capaz de liquidar um financiamento de R$10.974,00, à taxa de 10% ao
semestre.
Dados: R = 1500,00
P = 10974,00
i = 10% ao semestre
n = ?
28
Solução:
semestresn
i
iiPR
n
n
nn
nn
n
n
n
n
n
n
1479,131,1ln
72,3ln
725538,33669,0
3669,11,1
3669,11,1)13669,1(
1,111,13669,1
1,01,111,113669,011,1
1,01,113669,0
11,1
1,01,100,109741500
1)1(
)1(
Logo, o número de prestações semestrais é igual a 14.
Lista de Exercícios 5
1) Calcular o montante, no final de 2 anos, correspondentes à aplicação de 24
parcelas iguais e mensais de $ 1.000,00 cada uma, dentro do conceito de termos
vencidos, sabendo-se que a taxa de juros é de 3,5% ao mês.
2) Quanto devo aplicar mensalmente durante 15 meses, à taxa de 3,25% ao mês,
para que tenha $ 150.000,00 no final do 15° mês, dentro dos conceitos de
termos antecipados?
3) Um veículo “zero km” foi adquirido por $ 220.000,00, sendo 70% financiados
em 12 parcelas iguais. Sabendo-se que a financeira cobra uma taxa de 4,5% ao
mês, calcular o valor da prestação mensal.
5.7. Sistemas de Amortização
5.7.1 Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)
O Sistema Francês de Amortização é mais conhecido no Brasil como Tabela Price.
Esse sistema consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações
periódicas iguais e sucessivas, dentro do conceito de termos vencidos, em que o
29
valor de cada prestação, ou pagamento, é composto por duas parcelas distintas:
uma de juros e outra de capital (chamada amortização).
É importante ressaltar que o Sistema Francês (ou Tabela Price) não implica
necessariamente prestações mensais, como se entende normalmente. As
prestações podem ser também trimestrais, semestrais ou anuais, desde que sejam
iguais, periódicas, sucessivas e de termos vencidos.
Nota: A denominação “Tabela Price” se deve ao nome do matemático, filósofo e
teólogo inglês Richard Price, que incorporou a teoria dos juros compostos às
amortizações de empréstimos (ou financiamentos).
A denominação “Sistema Francês”, de acordo com o autor citado, deve-se ao fato de
o mesmo ter-se efetivamente desenvolvido na França.
Para calcular o valor das prestações utilizaremos a mesma fórmula das séries de
pagamentos com termos vencidos, isto é,
1)1(
)1(
n
n
i
iiPR
A parcela de juros é obtida multiplicando-se a taxa de juros (mensal, trimestral,
semestral ou anual) pelo saldo devedor existente no período imediatamente
anterior (mês, trimestre, semestre ou ano). A parcela de amortização é
determinada pela diferença entre o valor da prestação e o valor da parcela de
juros. Assim, o valor da parcela de juros referente à primeira prestação de uma
série de pagamentos mensais é igual à taxa mensal multiplicada pelo valor do
capital emprestado ou financiado (que é o saldo devedor inicial).
Situação 5.5. Calcular os valores das parcelas de juros e amortização referente à
primeira prestação, de um empréstimo de $ 8.530,20, à taxa de 3% ao mês, para
ser liquidada em 10 prestações iguais.
30
a) Valor prestação
103,1
03,003,120,8530
1)1(
)1(10
10
n
n
i
iiPR
R = 8.530,20 0,11723 = 1.000,00
b) Valor da parcela de juros (J)
J = i P = 0,03 x 8.530,20 = 255,91
c) Valor da parcela de amortização (A)
A = R – J = 1.000,00 – 7255,91 = 744,09
Para que possamos determinar as parcelas de juros e as parcelas de amortização
correspondentes às demais prestações, é necessário convencionar o seguinte:
Jt é a parcela de juros referente ao período de ordem t (t = 1, 2, 3, ..., n)
At é a parcela de amortização referente à prestação de ordem t (t = 1, 2, 3,
...,n)
Pt é o saldo devedor referente ao período de ordem t (t = 0, 1, 2, 3, ...,n -1)
O valor da parcela de juros referente à primeira prestação será representado por
J1, da segunda por J2, da quinta por J5 e assim sucessivamente. Da mesma forma
para as parcelas de amortização. Quanto ao saldo devedor, o saldo inicial será
representado por P0.O saldo devedor no final do primeiro período, após a dedução
da primeira amortização A1, será representado por P1, e o saldo devedor no final
do segundo período, após a dedução da segunda amortização A2, será representado
por P2, e assim por diante. Generalizando, temos
tt
tt
ttt
JRA
PiJ
APP
1
1
Voltando ao exemplo, vamos calcular as parcelas de juros e amortização
referentes à segunda prestação.
42,76658,2331000
58,23311,778603,0
11,778609,74420,8530
22
12
101
JRA
PiJ
APP
31
Assim, operando da mesma forma para as demais prestações, teremos os valores
apresentados na Tabela 5.1 para a série de 10 prestações, que denominaremos
Plano de Pagamento do Empréstimo.
Tabela 5.1: Plano de Pagamento do Empréstimo: sistema francês.
Fonte: Vieira Sobrinho, 2006
5.7.2 Sistema de Amortização Constante (SAC)
O Sistema de Amortização Constante (SAC) consiste em um plano de amortização
de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em progressão
aritmética, dentro do conceito de termos vencidos, em que o valor de cada
prestação é composto por uma parcela de juros e outra parcela de capital (ou
amortização).
A parcela de capital é obtida dividindo-se o valor do empréstimo (ou
financiamento) pelo número de prestações, enquanto o valor da parcela de juros é
determinado multiplicando-se a taxa de juros pelo saldo devedor existente no
período imediatamente anterior.
t Saldo
Devedor Pt
Amortização At
Juros Jt
Prestação R
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8.530,20
7.786,11
7.019,69
6.230,28
5.417,19
4.579,71
3.717,10
2.828,61
1.913,47
970,87
-
-
744,09
766,42
789,41
813,09
837,48
862,61
888,49
915,14
942,60
970,87
-
255,91
233,58
210,59
186,91
162,52
137,39
111,51
84,86
57,40
29,13
-
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
Total - 8.530,20 1.469,80 10.000,00
32
Generalizando, temos que, no SAC,
o valor da amortização constante é dado por
n
PA 0 ,
em que P0 é o valor do empréstimo ou do financiamento que é igual ao
saldo devedor inicial, e n é o número de pagamentos ou prestações.
O valor do saldo devedor de ordem t é
)( tnAPt
O valor da parcela de juros de ordem t é
)1(1 tnAiPiJ tt
O valor da prestação de ordem t é
11 tniAJAR tt
Situação 5.6 Elaborar um plano de pagamentos, com base no Sistema de
Amortização Constante, correspondente a um empréstimo de $ 100.000,00, à taxa
de 3% ao mês, a ser liquidada em 10 prestações mensais.
A amortização constante é dada por 000.1010
000.1000 n
PA , e dessa forma,
temos:
1ª prestação: 000.13000.10003,0000.1011 JAR
2° prestação: 700.12000.9003,0000.1022 JAR
em que o valor $ 90.000,00 refere-se ao saldo devedor existente no período
imediatamente anterior, após o pagamento da 1ª. parcela de amortização de $
10.000,00.
A Tabela 5.2 apresenta o plano global de pagamento com os valores das prestações
desdobrados em amortizações e juros.
33
Tabela 5.2: Plano de pagamento do empréstimo: sistema SAC.
T Saldo
Devedor Pt
Amortizações Constantes (A)
Juros Jt
Prestações Rt
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100.000,00
90.000,00
80.000,00
70.000,00
60.000,00
50.000,00
40.000,00
30.000,00
20.000,00
10.000,00
-
-
10.000,00
10.000,00
10.000,00
10.000,00
10.000,00
10.000,00
10.000,00
10.000,00
10.000,00
10.000,00
-
3.000,00
2.700,00
2.400,00
2.100,00
1.800,00
1.500,00
1.200,00
900,00
600,00
300,00
-
13.000,00
12.700,00
12.400,00
12.100,00
11.800,00
11.500,00
11.200,00
10.900,00
10.600,00
10.300,00
Total - 100.000,00 16.500,00 116.500,00
Fonte: Vieira Sobrinho, 2006
Analisando a Tabela 5.2, podemos verificar que as prestações decresceram a uma
razão constante de $ 300,00, razão essa dada pela multiplicação da taxa pela
amortização constante, ou seja, 0,03 x 10.000,00 = 300,00.
Lista de Exercícios 6
1) Fazer um plano de amortização de um empréstimo de R$ 8.530,20, a ser
liquidado
em 10 prestações pela Tabela PRICE, com a taxa de juros de 3% ao mês.
2) Fazer um plano de amortização de um empréstimo de R$ 27.000,00, a ser
liquidado em 9 prestações pelo sistema de amortização constate, com a taxa de
juros de 2,4% ao mês.
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3) Montar o plano de amortização de uma dívida de R$ 100.000,00 a serem pagos
em 5 prestações anuais, a uma taxa de 12% ao ano, de acordo com o sistema de
amortização constante (SAC).
Caro(a) aluno(a).
Chegamos ao final deste Capítulo em que estudamos os
conceitos básicos de Matemática Financeira. Para se
aprofundar no conteúdo estudado, sugerimos que você consulte
as bibliografias básicas, Vieira Sobrinho (2006) e Puccini
(2011), e também as complementares, Puccini (2006), Samanez
(2006) e Veras (2001).
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Respostas dos Exercícios
CAPÍTULO 5
Lista 1 1) a)$1080,00 b) $1040,00 c) $1070,83 2) a) $10500,00 b) 3,57% 3) 20 meses. 40 meses. 4) 6,67% a.m. 5) 8,33 anos
Lista 2 1) $ 144.504,39 2) 5 trimestres (ou 15 meses) 3) $ 1.708.984,38 4) 9 meses. 11 meses.
Lista 3 1) i = 5,75% a.m. i = 0,24% a.d.; i = 7,32% a.m.; i = 23,59% a.t.; e i = 133,33% a.a.
Lista 4 1) R$ 64.330,00. 2) 2,34%. 3) R$ 20.662,12. 4) R$ 78.858,12. 5) 4,6% ao mês.
Lista 5 1) $ 36.666,53 2) $ 7.669,04 3) $ 16.888,59
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Referências
PUCCINI, A. L. Matemática financeira objetiva e aplicada. 7.ed. São Paulo:
Saraiva, 2006.
PUCCINI, E. C. Matemática financeira e análise de investimentos. Florianópolis:
Departamento de Ciências da Administração / UFSC; [Brasília]: CAPES : UAB, 2011.
204p.
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos.
4.ed. São Paulo: Pearson, 2006. 288p.
VERAS, L. L. Matemática financeira. 4 ed. São Paulo: Atlas, 2001.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira. 7.ed. São Paulo: Atlas, 2006.
416p.
