UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA (CCET)

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

Física Experimental D

(Professor Michel Venet)

Turma A

Relatório Prática 3:

Campo Magnético e Indutância

Grupo 7:

Evandro Santos, R.A.: 418816

Gustavo Cardoso da Silva R.A.: 418510

São Carlos, 21.11.12

Objetivos

Objetivos gerais: Analisar a configuração de campos magnéticos gerados por

correntes em bobinas. Estudar a lei da indução de Faraday. Caracterizar o

funcionamento de transformadores, que consiste no conceito de indutância mútua.

Resumo

O objetivo do experimento foi verificar o comportamento de campos magnéticos em

solenoides e bobinas. Como o valor do campo não é fixo em todo dos pontos, os

valores podem ser observados em tabelas ao longo da apresentação de dados.

Vamos responder também qual será o campo resultante no centro da bobina de

Helmholtz quando passamos correntes em mesmo sentido e sentidos opostos. Esses

valores serão apresentados na seção de resultados, mas, pode-se perceber que,

quando os campos estão em sentidos opostos, eles se subtraem, quando estão em

mesmo sentido, eles se somam.

Em outra parte da experiência procurou-se analisar o efeito da indução magnética

para diferentes materiais no núcleo do indutor. Basicamente foi montado um

transformador de tensão. Os valores de cada caso podem ser vistos na apresentação

de resultados. Pode-se perceber que há materiais que permitem o aumento da tensão

na bobina secundária ou a redução da tensão. O numero de espiras também tem

influência na tensão gerada na bobina secundária.

Introdução Teórica

A Lei de Ampère [1]:

Em 1819, o físico dinamarquês Hans Christian Oersted verificou que uma bússola era

defletida quando era colocada paralelamente a um fio portador de corrente. Tal

orientação era perpendicular a esse fio.

Foi observado então que correntes de fios longos produziam campo magnético de

forma circular em volta do fio, com sentido anti-horário para quem olha a corrente

saindo do plano do papel. A Figura 1 [1] ilustra esse fato.

Figura 1: Campo magnético devido a uma corrente

Ampère foi quem resolveu analisar quantitativamente os campos magnéticos

produzidos por correntes.

Sabemos que, como não foi provada a existência de monopólios magnéticos, que:

( )

E temos então, para uma curva fechada C qualquer orientada, com orientação definida

no sentido das linhas de força do campo da figura 1:

∮ ( )

Das experiências de Ampère segue que esta integral é proporcional à corrente que

atravessa a curva C (se a corrente for estacionária). Chegamos à expressão integral

da lei de Ampère:

∮ ( )

Onde µ0 chama-se permeabilidade magnética no vácuo.

Analogamente, temos a forma diferencial da lei:

( )

A lei de Biot-Savart [1]:

A lei de Biot-Savart é uma lei de permite obter o campo magnético em diferentes

pontos do espaço gerado por elementos de corrente, sem que necessariamente exista

simetria de distribuição, ao contrário da lei de Ampère, que exige que se tenha algum

tipo de artifício para calcular o campo. Um elemento de campo dB criado por um

elemento de corrente é dado por:

( ) ( )

E, um campo magnético em um ponto do espaço é dado por:

∮

( )

Onde a integral tem que ser em caminho fechado pois nossa hipótese exige uma

corrente estacionária.

É possível deduzir, através da Lei de Biot-Savart, que o campo magnético no interior

de uma bobina finita é dado por:

Para as bobinas de Helmholtz, temos a seguinte validade:

( )

[ ( ) ] ( )

Para bobinas que passam corrente no mesmo sentido e,

( )

[ ( ) ]

( )

Para correntes em sentidos opostos.

A Lei da Indução [1]:

O uso em larga escala de energia elétrica em todo mundo é devido à lei da indução de

Faraday.

Faraday descobriu o fenômeno da indução quando enrolou 70m de fio de cobre em

torno de um bloco de madeira e ligou em um galvanômetro. Ele ficou desapontado

quando ligou a corrente estacionária em outra bobina idêntica ao lado e o

galvanômetro não marcava corrente. Mas percebeu que enquanto ligava e desligava o

circuito via uma deflexão no ponteiro do galvanômetro. Ou seja, isso significa que

havia corrente induzida enquanto havia variação no fluxo de campo magnético pela

bobina.

Apresentamos então, a equação que Faraday obteve com os experimentos:

( )

Onde ε é a força eletromotriz induzida e Ф é o fluxo de campo magnético na superfície

C da bobina.

O sinal de (-) significa que a força eletromotriz é tal que se opõe ao sentido de

variação do fluxo, segundo a Lei de Lenz1.

A lei da indução de Faraday tem aplicação direta em fontes de tensão alternadas.

Indutância mútua e auto-indutância [1]:

Consideremos dois solenoides coaxiais de mesmo comprimento l, um de raio R1 e N1

espiras e outro de raio R2 e N2 espiras, como na figura 2:

Figura 2: Indutância mútua entre dois solenoides

Se fizermos passar corrente estacionária i1 pelo solenoide 1 vaos ter o campo igual a:

( )

Dentro do solenoide. Fora, ele é igual a zero.

Então o fluxo produzido por B1 sobre as N2 espiras é:

( ) ∮ ( )

( )

Definindo então:

1 Mais detalhes na sec 9.2 do livro Curso de Física Básica, V. 3, presente na bibliografia do roteiro.

( ) ( )

Chamamos L21 de indutância mútua.

Se fizermos o mesmo procedimento com i2 vamos chegar que L21=L12, justificando o

nome indutância mútua.

Além da indutância mútua. Temos a auto-indutância, dada por:

( )

Resultados totalmente análogos são feitos na bobina 2. É possível demonstrar

também que:

√

( )

Transformadores [5]:

Inventado em 1831, por Michael Faraday, os transformadores são dispositivos que

funcionam através da indução de corrente de acordo com os princípios do

eletromagnetismo, ou seja, ele funciona baseado nos princípios eletromagnéticos da

Lei de Faraday e da Lei de Lenz, onde se afirma que é possível criar uma corrente

elétrica em um circuito uma vez que esse seja submetido a um campo magnético

variável, e é por necessitar dessa variação no fluxo magnético que os transformadores

só funcionam em corrente alternada. A baixo segue uma imagem de um esquema de

transformador.

Figura 3: Esquema de transformador

O transformador é baseado em dois princípios: o primeiro, descrito via lei de Biot-

Savart, afirma que corrente elétrica produz campo magnético (eletromagnetismo); o

segundo, descrito via lei da indução de Faraday, implica que um campo magnético

variável no interior de uma bobina ou enrolamento de fio induz uma tensão elétrica nas

extremidades desse enrolamento (indução eletromagnética). A tensão induzida é

diretamente proporcional à taxa temporal de variação do fluxo magnético no circuito. A

alteração na corrente presente na bobina do circuito primário altera o fluxo magnético

nesse circuito e também na bobina do circuito secundário, esta última montada de

forma a encontrar-se sob influência direta do campo magnético gerado no circuito

primário. A mudança no fluxo magnético na bobina secundária induz uma tensão

elétrica na bonina secundária.

No caso dos transformadores de dois enrolamentos, é comum se denominá-los como

enrolamento primário e secundário, existem transformadores de três enrolamentos

sendo que o terceiro é chamado de terciário. A tensão na bobina secundaria pode

aumentar ou diminuir dependendo da permeabilidade magnética do local onde ocorre

o fluxo do campo.

Procedimento Experimental

Primeiramente, selecionamos os solenoides que serão utilizados. Escolhem-se dois

solenoides de raios iguais, mas comprimentos diferentes. Escolhem-se mais uma

dupla de solenoides com raios idênticos e comprimentos desiguais que diferem dos

anteriores. Para todos os solenoides anotar os valores de n (densidade de espiras) e r

(raio). Com o uso do gerador de tensão, aplicar uma tensão DC ao solenoide. Anota-

se o valor de corrente i. Com o auxílio do Teslameter, medir o campo magnético no

eixo central do solenoide. Medir dentro e fora da bobina, em diferentes pontos do eixo.

Anotar o valor do campo em função da posição do Teslameter. Em outra parte, será

ligada a Bobina de Helmholtz em uma tensão DC. Aplicar primeiramente duas

correntes de mesmo sentido em cada bobina. Com o Teslameter, medir o campo

magnético ao longo do eixo central. Medir dentro e fora da bobina. Anotar o valor do

campo em função da posição. Fazer o mesmo procedimento para correntes opostas

nas bobinas. Repetir e anotar as medições com o Teslameter. Escolher duas bobinas

diferentes e medir separadamente a auto-indutância de cada um. Uni-las por um tubo,

assim montando um transformador. Ligar uma das bobinas no gerador de tensão AC.

Anotar o valor da força eletromotriz induzida na segunda espira. Colocar diferentes

materiais no interior do solenoide para verificar o que acontece com a tensão induzida.

Materiais utilizados

Bobinas solenoides com diferentes números de espiras, medidor de campo

magnético, multímetros, régua, fonte de tensão AC e DC, paquímetro, barras de

diferentes materiais, modelo de transformador com núcleo de ferro.

Resultados e Discussão

Primeiramente, procurou-se medir o campo magnético no interior de 3 solenóides

finitos a fim de determinar a intensidade do campo em função da posição. Abaixo

segue a tabela de dados do campo magnético em função da posição.

Dados das bobinas

Bo

bin

a 1

Comprimento (mm) 170,0 incerteza (+-mm) 0,5

Diâmetro (mm) 42,00 incerteza (+-mm) 0,05

Relação diâmetro/ comprimento 0,254545455

Material do fio Cobre

Bo

bin

a 2

Comprimento (mm) 375,0 incerteza (+-mm) 0,5

Diâmetro (mm) 27,00 incerteza (+-mm) 0,05

Relação diâmetro/ comprimento 0,072

Material do fio Cobre

Bo

bin

a 3

Comprimento (mm) 116,0 incerteza (+-mm) 0,5

Diâmetro (mm) 52,00 incerteza (+-mm) 0,05

Relação diâmetro/ comprimento 0,448275862

Material do fio Cobre

Tabela 1: Tabela de informações sobre das bobinas

Na primeiro caso, temos que solenoide começa na posição x=4,5cm, e termina em

x=21,5 cm.

Tabela do campo em função da posição para a bobina 1

posição inicial(mm) incerteza (+-mm) campo (T) incerteza (+-T)

0,0 0,5 0,09 0,01

20,0 0,5 0,17 0,01

40,0 0,5 0,71 0,01

60,0 0,5 1,69 0,01

80,0 0,5 2,04 0,01

100,0 0,5 2,11 0,01

120,0 0,5 2,11 0,01

140,0 0,5 2,08 0,01

160,0 0,5 2,02 0,01

180,0 0,5 1,90 0,01

200,0 0,5 1,60 0,01

220,0 0,5 0,70 0,01

240,0 0,5 0,11 0,01

260,0 0,5 0,01 0,01

Tabela 2: Tabela de intensidade de campo magnético em função da posição.

Os gráficos a seguir comparam a função teórica para o solenoide analisado e os

respectivos pontos experimentais:2

Figura 4: Gráfico teórico bobina 1

2 Os gráficos teóricos têm as bobinas situadas na origem.

Figura 5: Gráfico experimental bobina 1.

Para o próximo solenoide foi assumido que o campo é simétrico em relação ao

centro da mesma. Por isso, a tabela só mostra os pontos em relação a uma metade do

solenoide. O nosso solenoide começa na posição x=2,7cm e não termina.

Tabela do campo em função do tempo para a bobina 2

posição inicial(mm) Incerteza (+- mm) campo (mT) Incerteza (+-T)

0,0 0,5 0,15 0,01

20,0 0,5 0,72 0,01

40,0 0,5 2,32 0,01

60,0 0,5 2,58 0,01

80,0 0,5 2,58 0,01

100,0 0,5 2,58 0,01

120,0 0,5 2,55 0,01

140,0 0,5 2,56 0,01

160,0 0,5 2,56 0,01

180,0 0,5 2,56 0,01

200,0 0,5 2,55 0,01

220,0 0,5 2,53 0,01

240,0 0,5 2,54 0,01

260,0 0,5 2,54 0,01

Tabela 3: Tabela de intensidade de campo magnético em função da posição.

Os gráficos a seguir fazem a comparação do que era esperado teoricamente e dos

valores experimentais.

Figura 6: Gráfico teórico para bobina 2

Figura 7: Gráfico experimental bobina 2.

O próximo solenoide se inicia em x=3,4cm e termina em x=15,0 cm.

Tabela do campo em função do tempo para a bobina 3

posição inicial(mm) Incerteza (+- mm) Campo (T) Incerteza (+- T)

0,0 0,5 0,18 0,01

20,0 0,5 0,53 0,01

40,0 0,5 1,27 0,01

60,0 0,5 1,70 0,01

80,0 0,5 1,83 0,01

100,0 0,5 1,84 0,01

120,0 0,5 1,73 0,01

140,0 0,5 1,38 0,01

160,0 0,5 0,47 0,01

180,0 0,5 0,19 0,01

200,0 0,5 0,05 0,01

Tabela 4: Tabela de intensidade de campo magnético em função da posição relativa

ao centro do solenóide 3.

Gráficos de comparação:

Figura 8: Gráfico teórico bobina 3.

Figura 9: Gráfico experimental bobina 3.

Observando os resultados, podemos comentar como se comporta o campo magnético

dentro de cada tipo de bobina. Vemos que o comportamento do campo é

aproximadamente constante quanto menor for a relação r/l. A maior relação r/l é a

última bobina, por isso ela esta longe de ter um campo magnético em seu interior

constante.

Na segunda parte da experiência procurou-se medir o campo magnético na bobina de

Helmoltz. Abaixo segue os dados de campo magnético e posição quando existe uma

corrente elétrica de 0,75 A em cada percorrendo-as em mesmo sentido e sentido

oposto, respectivamente.

Dados da Bobina de Helmoltz

Numero de espira em cada bobina 77

diâmetro de cada bobina(mm) 195 incerteza (+-mm) 0,5

Material Cobre

Tabela 5: Tabela de informações da bobina de Helmoltz.

Tabela do campo em função da posição para a bobina de Helmoltz com correntes em mesmo sentido.

Posição (mm) incerteza (+-mm) Campo incerteza (+-T)

-200,0 0,5 0,26 0,01

-180,0 0,5 0,33 0,01

-160,0 0,5 0,35 0,01

-140,0 0,5 0,40 0,01

-120,0 0,5 0,42 0,01

-100,0 0,5 0,45 0,01

-80,0 0,5 0,47 0,01

-60,0 0,5 0,49 0,01

-40,0 0,5 0,48 0,01

-20,0 0,5 0,49 0,01

0,0 0,5 0,49 0,01

20,0 0,5 0,49 0,01

40,0 0,5 0,50 0,01

60,0 0,5 0,46 0,01

80,0 0,5 0,45 0,01

100,0 0,5 0,44 0,01

120,0 0,5 0,40 0,01

140,0 0,5 0,39 0,01

160,0 0,5 0,33 0,01

180,0 0,5 0,30 0,01

200,0 0,5 0,26 0,01

Tabela 6: Tabela de intensidade de campo magnético em função da posição relativa

ao centro da bobina de helmoltz com corrente em mesmo sentido.

Tabela do campo em função da posição para a bobina de Helmoltz com correntes em sentidos opostos.

Posição (mm) incerteza (+-mm) Campo (mT) incerteza (+-T)

-200,0 0,5 0,15 0,01

-180,0 0,5 0,18 0,01

-160,0 0,5 0,19 0,01

-140,0 0,5 0,20 0,01

-120,0 0,5 0,20 0,01

-100,0 0,5 0,19 0,01

-80,0 0,5 0,16 0,01

-60,0 0,5 0,13 0,01

-40,0 0,5 0,08 0,01

-20,0 0,5 0,00 0,01

0,0 0,5 -0,05 0,01

20,0 0,5 -0,12 0,01

40,0 0,5 -0,16 0,01

60,0 0,5 -0,22 0,01

80,0 0,5 -0,27 0,01

100,0 0,5 -0,29 0,01

120,0 0,5 -0,30 0,01

140,0 0,5 -0,29 0,01

160,0 0,5 -0,28 0,01

180,0 0,5 -0,25 0,01

200,0 0,5 -0,24 0,01

Tabela 7: Tabela de intensidade de campo magnético em função da posição relativa

ao centro da bobina de helmoltz com corrente em sentidos opostos.

A partir desses dados construiu-se graficos do campo magnético em função da

posição (teóricos e experimentais):

Figura 10: Valores teóricos para bobina com correntes de mesmo sentido.

Figura 11: Valores experimentais, para corrente no mesmo sentido.

Figura 12: Valores teóricos da bobina percorrida por corrente em sentidos opostos.

Figura 13: Valores experimentais da bobina percorrida por corrente em sentido oposto.

A inverção do valor do campo nos gráficos não importa, pois sabemos que se trata

numa inversão de ponto de vista, apenas, trocando x por –x, se for o caso. O sinal dos

campos só indica os sentidos dos mesmos dentro da bobina.

Na terceira parte da experiência montou-se um transformador com dois solenóides e

procurou-se medir a tensão elétrica em função variando a bobina secundaria e

também variando o meio no qual o campo magnético flui. Abaixo segue os dados dos

transformadores.

Primeira montagem Segunda montagem montagem

Material do núcleo do solenoide Alúminio Material do núcleo do solenóide Vácuo

Comprimento da bobina induzida (mm) 375 +-0,5

Comprimento da bobina induzida (mm) 375 +-0,5

Densidade de espiras da bobina induzida (mm^-1)

Densidade de espiras da bobina induzida (mm^-1)

Comprimento da bobina indutora (mm) 184 +-0,5

Comprimento da bobina indutora (mm) 184 +-0,5

Densidade de espiras da bobina indutora (mm^-1) 2

Densidade de espiras da bobina indutora (mm^-1) 2

tensão na bobina indutora(V) 4,68 +-0,01 tensão na bobina indutora(V) 4,37+-0,01

tensão na bobina induzida (V)

(3,12 +- 0,01)*10^-3 tensão na bobina induzida (V)

(3,91 +- 0,01)*10^-3

corrente na fonte (A) 2,64 +- 0,01 corrente na fonte (A) 5,50+-0,01

Terceira montagem Quarta montagem

Material do núcleo do solenoide ferro Material do núcleo do solenóide Bronze

Comprimento da bobina induzida (mm) 375 +-0,5

Comprimento da bobina induzida (mm) 375 +-0,5

Densidade de espiras da bobina induzida (mm^-1)

Densidade de espiras da bobina induzida (mm^-1)

Comprimento da bobina indutora (mm) 184 +-0,5

Comprimento da bobina indutora (mm) 184 +-0,5

Densidade de espiras da bobina indutora (mm^-1) 2

Densidade de espiras da bobina indutora (mm^-1) 1,25

tensão na bobina indutora(V) 5,49 +-0,01 tensão na bobina indutora(V) 5,33+-0,01

tensão na bobina induzida (V)

(37,02 +- 0,01)*10^-3 tensão na bobina induzida (V)

(3,92 +- 0,01)*10^-3

corrente na fonte (A) 2,64 +- 0,01 corrente na fonte (A) 5,70 +- 0,01

Tabela 8: Tabela de informações da montagem do solenóide e valores da tensão em

função do dieletrico.

Conclusões O experimento realizado permitiu verificar grandezas constantes que são características de cada material, vimos que valores de permissividade elétrica são diferentes dependendo do tipo de material utilizado dentro de um capacitor. Como consequência se torna possível aumentar a capacitância de um capacitor pelo simples fato de inserir um material no seu interior. Um ganho de capacitância permite de fato armazenar mais carga para um mesmo valor de ddp, aumentando também seu tempo de descarga, que sabemos ser proporcional ao produto RC. Para o indutor não foi muito diferente, verificamos que o indutor ganha ou perde indutância ao introduzir materiais dentro do mesmo. Verificamos dois núcleos diferentes, um deles reduzindo sua indutância original (no vácuo, sem núcleo), e o outro aumentando. Segundo fundamentação teórica concluímos também que somente materiais de origem ou espécie ferromagnética possuem a permeabilidade relativa maior que a do vácuo, consequentemente somente eles podem aumentar a indutância de um indutor em um circuito RL. Como ficou pré-estabelecido que o conhecimento do comportamento de filtros, analisamos os circuitos de tal forma a pegar uma boa faixa de tensões nos capacitores/indutores para colocá-los no gráfico e possibilitar fazer nossa curva de ajuste de modo a obter o valor das permissividades elétricas/permeabilidades magnéticas. Só por efeito de observação mencionamos aqui que o capacitor é um filtro passa baixo e o indutor é um filtro passa alto.

Questões

1- Discuta/desenvolva os modelos físicos que envolvem o cálculo do campo magnético para configurações geométricas como as bobinas trabalhadas na prática.

Os modelos foram desenvolvidos nos fundamentos teóricos, e foram baseados na Lei de Biot-Savart, que diz a configuração de cada ponto do espaço na forma de campo magnético. Os parâmetros que envolvem tal cálculo são a densidade de fios, a corrente que atravessa os fios, e principalmente o raio e o diâmetro dos solenoides. Dependendo da situação nos aproximamos cada vez mais de uma caso ideal, que é a bobina infinita. Os parâmetros que entram no caso ideal são: o raio e o comprimento do solenoide. Vemos que quanto menor for a razão R/L, mais próximos chegamos de um solenoide ideal.

2- Discuta aplicações práticas dos diferentes tipos de transformadores. Os transformadores são aplicados em diversos aparelhos eletrônicos, são utilizados para transformar a tensão da usina para nossa casa, e da nossa casa para os aparelhos também o usamos. A tensão é transformada novamente para os aparelhos, e geralmente utilizamos um circuito que transforma tensão alternada em contínua.

3- As prováveis fontes de erros sistemáticos são: estimar a densidade de fios, a posição do teslameter dentro do solenoide, entre outros. Tais erros não foram suficientes para comprometer o experimento realizado, os aparelhos costumavam ter bastante precisão e pouco erro relacionado, desde que fossem utilizados de forma correta. Por exemplo, o teslameter precisou ser calibrado antes de cada medição no interior dos solenoides.

Bibliografia

1- Nussenzveig, H. M. Curso de física básica, vol. 3 – eletromagnetismo.

2- Apostila de física experimental B. 2009.

3- Halliday & Resnick, Fundamentos de Física vol. 3 – Ed. LTC

4- http://minerva.ufpel.edu.br/~egcneves/disciplinas/mte/caderno_mte/circ_magn.p

df 5- http://pt.wikipedia.org/wiki/Transformador