Relação entre Resposta Transitória de Malha Fechada e Resposta em

Frequência de Malha Fechada

22

2

2 nn

n

sssT

sR

sC

222222

2

4

nn

njT

Valor Máximo do Módulo da Resposta em Frequência de Malha Fechada

2

221;

12

1

nppM2

2

Relação entre Pico da Magnitude da Resposta em Frequência e Percentual de

Ultrapassagem

Banda Passante da Resposta em Frequência

É definida como sendo a frequência onde o valor da curva de magnitude vale -3dB

244211

244214

24421

242

2

242

242

p

BW

sBW

nBW

T

T

Para o Tempo de Subida Temos

Relação entre Resposta Transitória de Malha Fechada e Resposta em Frequência de Malha

Aberta

• Margem de Fase e Relação de Amortecimento:

42

1

412

2

tgM

Relação entre Resposta Transitória de Malha Fechada e Resposta em Frequência de Malha

Aberta

• A banda Passante de Malha Fechada é igual a frequência na qual a magnitude de malha aberta esta entre -6 e -7,5 dB se a fase estiver entre -135º e -225º e então podemos utilizar as equações abaixo:

244211

244214

24421

242

2

242

242

p

BW

sBW

nBW

T

T

Exemplo:

• Para o sistema mostrado abaixo estime o Tempo de Estabilização e o Tempo de Pico Utilizando a resposta em frequência de malha aberta:

-

R(s) C(s)

+ 63

50

sss

segundosT

T

T

tg

s

s

sBW

M

M

BW

14,5

232,0432,0432,02132,0

45,3

244214

32,03167,0412

2

35145180

5,3

242

242

42

1

000

%6,34%100x%100x..%

36,1

232,0432,0432,02132,01

5,3

244211

22 32,0132,0

1

242

2

242

2

eePU

segundosT

T

T

P

P

p

BW

EXERCÍCIO• Através da resposta em frequência de malha aberta estime o

Percentual de Ultrapassagem do sistema para uma entrada degrau unitário se K=40. Qual a margem de ganho para o sistema com este valor de K?

-

R(s) C(s)

+ 254

)5(2

sss

sK

Solução

• Freqüência de zero dB 7,8 rad/seg. Observando o diagrama de fase nessa freqüência, a margem de fase é 9°. Usando a Eq. (10.73) ou a Fig. 10.48, a relação de amortecimento vale 0,08. Dessa forma, %UP vale 78%.

Projeto Através da Resposta em Frequência

• Por Ajuste do Ganho;

• Por atraso de fase;

• Por avanço de fase;

• Por avanço-atraso de fase.

Metodologia de Projeto por ajuste de ganho

• Calcule a relação de amortecimento para o %U.P. desejado;

• Calcule a Margem de Fase necessária;• Trace o diagrama de Bode para um valor qualquer de K

(preferencialmente um valor que permita traçar o gráfico assintótico mais facilmente);

• Verifique no gráfico de bode em que frequência ocorre o ângulo na qual a margem de fase é atendida;

• Calcule no gráfico de módulo na frequência encontrada; quantos Decibéis são necessários para que nesta frequência o módulo se torne ZERO dB;

• Calcule o ganho adicional a ser acrescentado.

Projeto no Domínio da Frequência através do ajuste do ganho de

malha aberta • Exemplo: Calcule,

utilizando as técnicas de resposta em frequência, o ganho K de malha aberta, para que o sistema ao lado apresente uma resposta ao degrau unitário com %U.P.= 9,5%

-

R(s) C(s)

+ )100(36

100

sss

K

6,0095,0ln

095,0ln22

Exemplo

• Primeiro traçamos o diagrama de Bode de módulo e fase para um ganho total de malha aberta igual a 100, ou seja K=1.

0

42

1

42

1

2,59

6,0416,02

6,02

412

2

M

M

M

tg

tg

Exemplo

• Neste caso percebemos que para que o módulo seja zero dB na margem de fase desejada precisamos aumentar o gráfico de módulo em 55,2 dB ou seja em um ganho K=575,44