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NILZA TOMIE NISHIMURA
RELATO DE EXPERIÊNCIA
IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA – UEL
ORIENTADORA: Profª. Drª. REGINA LUZIA CORIO DE BURIASCO
ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA
Fevereiro - 2008 - LONDRINA
GOVERNO DO ESTADO DO PARANÁSECRETARIA DO ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEEDSUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUEDPROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE
NILZA TOMIE NISHIMURA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – UM ESTUDO EM SALA
DE AULA
Relato de experiência apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional.Orientadora: Profª Drª Regina Luzia Corio de Buriasco.
UEL - LONDRINA – 2008
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SUMÁRIO
1. IDENTIFICAÇÃO 41.1. ÁREA 41.2. PROFESSORA PDE 41.3. PROFESSORA ORIENTADORA IES 4
2. TEMA DE ESTUDO DA INTERVENÇÃO 43. TÍTULO 44. A PROPOSTA 45. AS INTENÇÕES 46. OS CONTEÚDOS 57. OS PROCEDIMENTOS 58. A JUSTIFICATIVA 69. OS ESTUDOS REALIZADOS 710. AS OFICINAS 13
10.1. O ENCONTRO COM OS ALUNOS 1310.2. A EXPERIÊNCIA REALIZADA COM OS ALUNOS 14
11. AS CONSIDERAÇÕES 4612. AS REFERÊNCIAS 50
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RELATO DE EXPERIÊNCIA
1. IDENTIFICAÇÃO
1.1 ÁREA: Matemática1.2 PROFESSORA PDE: Nilza Tomie Nishimura1.3 PROFESSORA ORIENTADORA IES: Profª. Drª. Regina Luzia
Corio de Buriasco
2 TEMA DE ESTUDO DA INTERVENÇÃO: Resolução de Problemas
3 TÍTULO: Resolução de problemas - um estudo em sala de aula
4 A PROPOSTA
Esta é uma proposta de ensino, elaborada a partir de
problemas a ser aplicada em uma turma de 5ª série de um Colégio
Estadual, localizado na cidade de Londrina, norte do Estado do Paraná,
que pretende oportunizar ao aluno o trabalho em pequenos grupos,
instigando-o a refletir, investigar e descobrir, incentivando-o a discutir e
buscar soluções, contribuindo com uma aprendizagem mais
significativa para que desenvolva o pensamento autônomo e crítico, por
meio da Resolução de Problemas. A tarefa de resolvê-los favorece a
reflexão exigindo paciência e perseverança do aluno.
5. AS INTENÇÕES
Possibilitar ao aluno estabelecer algumas relações entre situações contextualizadas e campos da matemática.
Explorar os caminhos possíveis para a resolução do problema. Promover integração entre alunos por meio de atividades em
grupo.
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Desenvolver hábito de pesquisa. Estimular o desenvolvimento das habilidades de pensar e criar. Usar a Resolução de Problemas como meio e como meta. Desenvolver atitudes de cooperação. Incentivar a troca de idéias. Resolver problema que envolva o significado da adição e
multiplicação. Efetuar a multiplicação como abreviatura da soma de parcelas
iguais. Estabelecer relações entre aritmética e álgebra. Observar regularidades numéricas. Determinar padrões. Usar a linguagem algébrica para expressar padrões.
6. OS CONTEÚDOS
Na resolução dos problemas escolhidos para o
desenvolvimento da oficina aqui relatada, há a possibilidade de abordar
vários conteúdos matemáticos, tais como:
adição de números naturais; produto de números naturais; medida de tempo; medida de comprimento; sistema monetário; noções de álgebra.
7. OS PROCEDIMENTOS
Distribuir o problema para grupos de 3 alunos,
desafiando-os para que resolvam sem limite de tempo. Observar os
procedimentos de resolução que os alunos estão tomando, analisando
cada passo da tarefa. Se necessário, em vez de dar pistas, será
perguntado: Como? O quê? Para quê? Onde? Por quê? Mas se perceber
que encontraram algum obstáculo e esse está ligado a algum conteúdo
que eles desconhecem, aproveitar para apresentá-lo, discutindo a idéia
matemática presente para que, a partir dessa discussão, defina de que
forma podem utilizar esse conteúdo para a resolução do problema.
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Após a resolução do problema, discutir coletivamente
todas as possíveis estratégias e procedimentos utilizados e as soluções
encontradas. Nesse sentido, é de bastante relevância:
coletar e discutir diferentes respostas; discutir as possibilidades de resposta; a tentativa de se chegar à resposta certa; a justificativa da resposta; a liberdade de mudanças no meio do caminho; a valorização dos procedimentos que os alunos utilizarem; a valorização da resposta encontrada.
8. A JUSTIFICATIVA
O fracasso escolar dos alunos representado por seu baixo
rendimento em matemática é um fenômeno bastante discutido. A maior
preocupação de todo professor de matemática é mediar a apropriação de
conceitos para ajudá-los, por meio da matemática, a compreender,
explicar ou organizar a sua realidade. Contudo, usualmente na sala de
aula, a matemática ensinada, com ênfase nas regras e símbolos,
rigorosamente cobrados, tem sido tomada como uma das responsáveis
pelo baixo rendimento, uma vez que parece não levar o aluno à
compreensão dos procedimentos utilizados. Será que a matemática
“ensinada” na escola corresponde àquela que pode ser utilizada também
em situações comuns da vida cotidiana? Existe a possibilidade de
mudanças na prática educacional para reverter esse quadro de fracasso
que gera tanta angústia em professores e alunos?
Uma possibilidade que se apresenta, e que ainda parece
ser um desafio, é trabalhar os conteúdos essenciais/relevantes em
matemática por meio da estratégia da Resolução de Problemas. Esta se
apresenta como uma alternativa promissora para que o aluno
construa/aproprie-se do conhecimento matemático, mediante
experiências próprias, incorporando algo mais em sua vivência, que
possa servir como ferramenta para transpor dificuldades com
competência.
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A Resolução de Problemas tomada aqui enquanto
aproximação ao “fazer matemático”, encarada numa perspectiva de
compreensão conceitual mais do que mero desenvolvimento mecânico
de ‘habilidades’, pode ajudar o estudante a se converter em aprendiz
independente, intérprete e usuário da matemática. Para cumprir essas
metas, as aulas devem se tornar espaço e contexto em que a
matemática adquira sentido no movimento contínuo de analisar e
compreender, de perceber estruturas e relações estruturais, de
expressar-se oralmente e por escrito com argumentos claros e
coerentes (Buriasco, 2006).
O trabalho, em princípio, apresentará um relato de uma
oficina desenvolvida em uma escola pública paranaense. As
informações nas quais pretendo basear este estudo poderão
compreender: registros em diários de campo ou gravações em áudio de
discussões, reflexões e intervenções, ora da professora-pesquisadora
com um grupo colaborativo de professores que ensina matemática, ora
em sala de aula. A partir dessas informações poderão ser elaboradas
narrativas reflexivas escritas que se constituem tanto no modo de
apresentação, organização e análise de informações, quanto em objeto
de estudo desse trabalho.
9. OS ESTUDOS REALIZADOS
Para entender o real significado ou função que
desempenha a matemática nas atividades do dia a dia é necessária a
participação dos alunos na apropriação/construção de idéias
matemáticas. É fundamental que o professor crie ambiente no qual eles
usem sua capacidade natural e insaciável de explicação e
conhecimento, possibilitando a buscarem informações desejadas,
investigando, superando dificuldades, desenvolvendo assim, a
capacidade humana de transformar a sociedade em que vivem. De
acordo com o Currículo Básico do Estado do Paraná:
[...] aprender matemática é muito mais do que manejar fórmulas, saber fazer contas ou marcar x na resposta
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correta: é interpretar, criar significados, construir seus próprios instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber estes mesmos problemas, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de conceber, projetar e transcender o imediatamente sensível (PARANÁ, 1992, p.66).
Na Resolução de Problemas, enquanto estratégia
metodológica, o professor utiliza tarefas nas quais o aluno é estimulado
a investigar, a explorar, ou seja, é dada ao aluno a oportunidade de
aproximar-se do fazer matemática do mesmo modo que os
matemáticos fazem. Isto porque será primordialmente do aluno a
escolha das direções a seguir, não tendo apenas uma única maneira
correta ou errada de fazer. O aluno aborda o problema da maneira que
lhe parece mais apropriada e com a qual se sente mais à vontade,
podendo desenvolver a imaginação, organização, senso crítico e, tudo
isso, no tempo que seu próprio ritmo define. A satisfação de fazer um
bom trabalho pode se fazer presente no lidar com as situações, não
apenas por acertar em cheio a resposta de algum problema, mas
também por simplesmente sentir que está trabalhando sobre um tema
que lhe pareça importante. Assim é possível lidar com a Matemática de
modo criativo. Pois aprender
[...] matemática não é simplesmente compreender a Matemática já feita, mas ser capaz de fazer investigação de natureza matemática (ao nível adequado a cada grau de ensino). Só assim se pode verdadeiramente perceber o que é a Matemática e a sua utilidade na compreensão do mundo e na intervenção sobre o mundo. Só assim se pode realmente dominar os conhecimentos adquiridos. Só assim se pode ser inundado pela paixão “detetivesca” indispensável á verdadeira fruição da Matemática. Aprender Matemática sem forte intervenção da sua faceta investigativa é como tentar andar de bicicleta vendo os outros andar e recebendo informação sobre como o conseguem. Isso não chega. Para verdadeiramente aprender é preciso montar a bicicleta e andar, fazendo erros e aprendendo com eles (BRAUMANN, 2002,p.5 apud PONTE, 2006, p.19).
Ou então:
[...] o prazer em estudar Matemática é a alegria de resolver um problema, de sorte que, quanto maior a dificuldade na resolução, maior a satisfação (BURIASCO, 1995, p. 17).
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A realização de tarefas de Resolução de Problemas na
sala de aula proporciona o envolvimento dos alunos em processos
relevantes da atividade matemática como a observação, a identificação
de questões, a formulação e teste de conjecturas, a justificação ou
mesmo prova, a argumentação; a reflexão; a avaliação, com momentos
de descoberta, de retrocessos e de avanços, da elaboração de
conjecturas e da procura das suas provas. O aluno desenvolve uma
atitude positiva nas questões matemáticas, por meio de um trabalho
autônomo, com iniciativa, criatividade, espírito explorador.
Na disciplina de Matemática, como em qualquer outra disciplina escolar, o envolvimento ativo do aluno é uma condição fundamental da aprendizagem. O aluno aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos e afetivos com vista a atingir um objetivo. Esse é, precisamente, um dos aspectos fortes das investigações. Ao requerer a participação do aluno na formulação das questões a estudar, essa atividade tende a favorecer o seu envolvimento na aprendizagem(PONTE; BROCADO; OLIVEIRA, 2006, pág. 23).
Resolver um problema é encontrar um caminho onde nenhum outro é conhecido de antemão, encontrar um caminho a partir de uma dificuldade, encontrar um caminho que contorne um obstáculo, para alcançar um fim desejado, mas não alcançável imediatamente, por meios adequados (KRULIK,1997,pág.01).
A estratégia metodológica da Resolução de Problemas
pode ser desenvolvida em todas as partes do currículo, fornece
múltiplos pontos de entrada para os alunos com diferentes níveis de
competência, reforçando as aprendizagens mais elementares. Muitas
vezes, o processo da resolução de um problema pode implicar na
exploração do contexto além do que está posto no enunciado,
acarretando com isso, a formulação de questões alternativas, não raro,
uma atividade de investigação.
O ponto de partida no desenvolvimento de conteúdos é a
colocação de tarefas, numa situação de desafio, de reflexão, de
levantamento de hipóteses, de exercício de criatividade, de discussão e
de enfrentamento na busca de encontrar várias formas de resolvê-la,
cabendo ao aluno decidir a melhor maneira de encontrar o resultado e
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verificá-lo, buscando assim o desenvolvimento do raciocínio e da
consciência crítica, absolutamente necessário para que seja um agente
de mudanças capaz de participar da transformação da sociedade.
Os conteúdos matemáticos devem ter relevância social,
pois propiciam conhecimentos básicos necessários a qualquer
indivíduo.
Mais do que desenvolver a atividade intelectual do
indivíduo, a apropriação de conceitos e procedimentos matemáticos
propicia a leitura de mundo e o pensamento autônomo, o que significa
uma contribuição para o exercício pleno da cidadania e, para que isso
ocorra, é necessário saber contar, calcular, comparar, medir, analisar e
interpretar informações, resolver problemas.
As Diretrizes Curriculares para a Educação Básica da
Rede Pública Estadual coloca que é possível identificar alguns campos
do conhecimento matemático, denominados conteúdos estruturantes,
cuja seleção e abordagem são pontos imprescindíveis (Paraná, 2007).
Entende-se por conteúdos estruturantes os conhecimentos de grande amplitude, conceitos ou práticas que identificam e organizam os campos de estudos de uma disciplina escolar, considerados fundamentais para a compreensão do objeto de ensino. Constituem-se historicamente e são legitimados nas relações sociais (p.18).
Os conteúdos estruturantes propostos são:
• Números e Álgebra;• Geometria;• Funções;• Tratamento da Informação.
A flexibilidade para o desenvolvimento de um conteúdo
dá possibilidade de tratar os temas de Matemática com mais
autonomia, respeitando ritmos individuais.
Somente o desempenho satisfatório de manter o
equilíbrio entre as necessidades práticas da matemática excedendo o
limite da experiência concreta, estabelece a continuidade entre a
escola e a vida no caminho para a construção de uma autonomia
intelectual.
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Apresentar o conteúdo mais de uma vez, utilizando
diferentes abordagens, integrando-o com outros conteúdos a serem
trabalhados, torna o primeiro um veículo para o desenvolvimento de
várias idéias fundamentais que conduzem o aluno à possibilidade de
raciocínio e ação.
No caso, por exemplo, da Álgebra, seu estudo deve
ocorrer desde as primeiras séries da Educação Básica de modo a dar
oportunidade para os alunos realizarem suas primeiras explorações que
propiciem o desenvolvimento de capacidades para reconhecer
regularidades, estabelecer padrões e fazer generalizações. A ênfase
pode ser colocada em situações significativas para o aluno, nas quais,
por exemplo, as regularidades possam ser percebidas, até porque é
possível desenvolver a idéia de relação, também essencial em
Matemática, por meio de regularidades e do trabalho com padrões
generalizados. É relevante que o processo de desenvolvimento da
álgebra seja um instrumento matemático oriundo do estabelecimento
de padrões e regularidades nas resoluções de problemas em processos
de generalizações, desenvolvidos a partir da geometria e da aritmética
(Viola, 2007).
As interpretações da Álgebra podem ser assim descritas:
Interpretação Função das letras Objetivo Exemplo
Generalização da Aritmética
Fazem parte de modelos que
permitem generalizar
propriedades.
Permite representar, para qualquer número, idéias ou relações que valem para números
específicos.
Complete:Medida do
lado do quadrado
Perímetro
1 4x12 4x23 4x34 4x45 4x5n 4xn
Estudo de procedimentos para resolver
certos problemas
Expressar um valor
desconhecido (incógnitas específicas)
Estabelecer relações matemáticas entre a incógnita e demais dados do problema
Um esquilo encontrou 50 nozes num período de 5 dias. Em cada dia encontrou 3 nozes a mais que no dia anterior. Quantas nozes o esquilo encontrou em cada dia?
(Usando a letra x para representar a quantidade inicial de nozes, temos a equação:
5012963 =++++++++ xxxxx
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Estudo das relações entre quantidades
Expressar variáveis
Descrever aspectos de um objeto ou um
fenômeno, possibilitando a compreensão de seu
funcionamento, ou mesmo dedução de novas propriedades.
Um encanador A cobra por cada serviço feito um valor fixo de R$60,00 mais R$18,00 por hora de trabalho. Um outro encanador B cobra um valor fixo de R$24,00 mais R$36,00 por hora de trabalho. Sendo t o tempo, medido em horas, para quais valores de t o encanador A fica mais barato que o B?Existindo noções de variável independente e variável dependente a relação entre elas pode ser uma função, comona expressão que representa o problema
t3624y{
t1860y{
+=+=
na qual o valor de ydepende de t .
Estudo das estruturas
Símbolos arbitrários de uma estrutura
estabelecida por certas
propriedades.
Ter em mente referenciais(geralmente números reais), quando
utilizar símbolos, e operar com eles sem ter
de voltar a esses referenciais.
Simplifique a expressão )²3(3 ++ xx .
Para resolver essa expressão, calcula-se primeiro ( )²3+x ,
considerando )3( +x um número.
Quadro1: Concepções da Álgebra
FONTE: MORI, Iracema e ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: Idéias e Desafios. Manual do Professor, 5ª série, São Paulo: Saraiva, 2006
Uma intenção deste trabalho é proporcionar aos alunos, a
partir de problemas, a busca de regularidades (padrões) e a representá-
las matematicamente, uma vez que na álgebra o foco é estabelecer
procedimentos e relações e expressá-los numa forma simplificada geral
(COXFORD E SHULTE, 1995, pág.24).
10. AS OFICINAS
As oficinas foram desenvolvidas durante 3 sábados assim
distribuídas:
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• 1º dia: 11/08/2007, das 8h às 12h• 2º dia: 18/08/2007, das 8h às 12h• 3º dia: 25/08/2007, das 8h às 12h
Os 32 alunos participantes dessa oficina são matriculados
regularmente na 5ª série de um colégio da rede estadual de ensino do
município de Londrina.
10.1. O ENCONTRO COM OS ALUNOS
Entrei na sala de aula e aguardei ansiosamente os
alunos. Começaram a chegar, aos poucos, alguns olhares desconfiados,
outros desafiadores, como quem diz “não somos fáceis, vai ter que nos
engolir”. Senti uma sensação estranha. Apesar da experiência no
magistério, algo dizia que dariam trabalho. Quando todos já estavam
sentados em suas carteiras, me apresentei: “sou Nilza, Professora em
um município aqui perto, mas durante três sábados, a partir de hoje,
trabalharei junto com vocês...”. Apontei um aluno e pedi que ele se
apresentasse e escrevesse seu nome no quadro-de-giz e depois disse a
ele que escolhesse um colega, colocasse o nome dele no quadro-de-giz
e fizesse a apresentação. Aquele que foi apresentado escolheu outro e
apresentou, e assim sucessivamente até que todos os nomes estavam
postos no quadro-de-giz. Para promover integração entre alunos formei,
9 grupos, enlaçando os nomes que estavam no quadro-de-giz, de três
em três. Alguns reclamaram, pois gostariam de estar com outros
colegas. Mas disse a eles que eles teriam oportunidade de formar
grupos em outro momento de trabalho. Verifiquei, então, que a turma
era formada por alunos de várias turmas de 5ª série do colégio.
Disseram que estavam ali porque foram convocados para
“Recuperação”. Muita conversa, chamei atenção e pareceu que deu
certo. Para desenvolver atitudes de cooperação negociei com eles as
regras que deveriam ser respeitadas na sala de aula durante o trabalho
nos três sábados. Pedi a eles que me ajudassem nas regras. Senti que
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gostaram da idéia. Então cada grupo foi indicando o que eles achavam
que deveria ser respeitado, fui escrevendo no quadro-de-giz,
respeitando exatamente aquilo que me disseram. Para os grupos é
importante:
• comunicar a professora quando for necessário se levantar da carteira;
• colocar o lixo no cesto;• não comer durante a aula;• respeitar os colegas e a professora;• não brincar durante a aula;• não fazer uso do celular;• não dar risada à toa;• falar em voz baixa quando estiver discutindo as questões do
grupo;• não riscar a parede;• não fazer ‘gracinha’;• não brigar com os colegas;• não sair da sala sem permissão da professora.
Fiquei feliz com a participação de todos, pois percebi que
a partir daí começaram a demonstrar o quanto é possível se
comprometer com o bom andamento da oficina.
10.2. A EXPERIÊNCIA REALIZADA COM OS ALUNOS
1º dia:
PROBLEMA 1
SISTEMA DE TRANSPORTE1
O diagrama abaixo mostra parte do sistema de transporte de uma cidade da Zedelândia, com três linhas de metrô. Ele dá a indicação de onde você está no momento e a indicação do lugar aonde você quer ir.
1 Problema retirado de prova do PISA – Programa Internacional de Avaliação de Estudantes, da OECD - Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômicos.
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O preço da passagem é estabelecido em função do número de estações percorridas (sem contar a estação na qual você iniciou a viagem). Cada estação percorrida custa 1 zed.
O tempo de viagem entre duas estações adjacentes é de aproximadamente 2 minutos.
O tempo para mudar de uma linha para outra, na junção, é de aproximadamente 5 minutos.
O diagrama indica a estação em que você está no momento (“origem”) e a estação para onde você quer ir (“Destino”). Marque no diagrama o melhor itinerário em termos de custo e tempo, e indique, abaixo, o preço que você terá que pagar e o tempo aproximado da viagem.Preço: .................................................................................zeds
Tempo aproximado da viagem: .........................................minutos.
Distribuí o problema para cada grupo e dado ao grupo
um tempo para a sua leitura. O desafio é para que tentassem resolver,
cabendo ao grupo a definição da forma como resolveriam o problema.
Não foi dado limite de tempo.
Neste relato, para representar os diálogos são utilizadas
as notações:
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P ─ Professora
T ─ Turma
G ─ Grupo
A ─ Aluno.
No momento de discussão sobre o problema observo
expressões comuns de ansiedade, expectativa e medo. Alguns ficam à
vontade para falar.
G:- Não estamos entendendo nada, Professora.
Peço que leiam novamente e discutam a forma de chegar
à resposta do problema.
A:- Professora, parece difícil porque eu nunca vi um problema parecido
com esse.
A:- O que é zed?
A:- Zed é a moeda de Zedelândia, né Professora? Mas Zedelândia não
existe, é um local de mentira, então não existe uma moeda zed.
P:- Isso mesmo. Zedelândia é um país fictício (é uma país de faz de
conta), então Zed é uma moeda de faz de conta.
A:- Ahhhh!!!!!
Insisto para que leiam com bastante atenção e observem
a figura do problema. Como não dei dicas pude observar um misto de
olhares desconfiados.
A1:- Já sei Professora, essa figura representa a linha do metrô. É como
se fosse o desenho do trajeto de ônibus que vai até o centro da cidade
de Londrina. A única diferença é que a gente paga um só valor, e no
caso do problema tem que pagar de estação em estação.
P:- Isso mesmo.
A1 é um menino esperto, com um olhar desconfiado e
uma cara de danado. Ao entrar na sala me olhou com indiferença e
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pensei que tinha vindo para “bagunçar”, porém mostrou-se um aluno
extremamente interessado.
A2:- Então Professora, essa estação do problema é como se fosse o
terminal de ônibus. Lá é possível trocar de ônibus.
P:- Gostei da comparação.
Notei que A2 é um menino que já reprovou algumas
vezes, aparenta ter mais idade que os colegas da sala. Aliás, muitos
demonstram já ter repetido alguma série. Notei que ele começou a se
interessar pelo problema e pela discussão em grupo.
Pela minha experiência profissional é possível concluir
que olhares desconfiados e de satisfação permeiam as atitudes dos
alunos. Talvez seja o desconfiar do novo e a satisfação de poderem
falar, discutir, dar opiniões, de serem ouvidos.
Preocupei-me com os alunos a serem atendidos, quem
são e quais dificuldades que eles demonstram, dando ênfase ao
trabalho de atendimento de grupo por grupo, ouvindo, perguntando,
orientando.
Confesso que eles encontraram bastante dificuldade em
entender o problema proposto e muitos não chegaram à resposta
esperada.
Percebi também que os grupos escrevem pouco.
Procuram discutir o problema e dar a solução diretamente. Ainda insisti,
pedindo que fizessem um relato escrito da forma como resolveram o
problema, ou seja, a estratégia e procedimento usado para a resolução
do problema.
Antes da primeira discussão dos resultados no quadro-de-
giz observo o que eles escreveram:
“Nós utilizamos a cabeça para fazer o trabalho do
Sistema de Transporte, o nosso grupo pensou na seguinte forma
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primeiramente olhando a linha de metrô e finalmente conseguimos
chegar ao resultado final do trabalho.”
Insisto novamente perguntando como eles utilizaram a
“cabeça”, o que eles pensaram, mas o que percebo é uma dificuldade
enorme em relatar o que ocorreu.
Outro grupo escreve:
“Nós lemos três vezes para saber o preço de cada
estação e quantos minutos de uma a outra.”
Pergunto a eles que após a leitura qual foi a forma que
eles encontraram para dar o resultado do problema e eles não
conseguem me dar uma explicação.
Outras explicações:
“É que para andar de uma estação para outra precisa
pagar um zed, então contamos da origem até o destino, trocando de
estação da linha B para a linha A, dava 8 zeds e como para ir de uma
estação para outra demora 2 minutos e precisa trocar de estação uma
vez então o tempo gasto é de 21 minutos”
“Nós somamos cada estação por 1 zed e 2 minutos para
chegar ao destino. Então o preço deu 9 zeds e o tempo aproximado de
18 minutos.” Nesse caso o grupo não considerou a mudança de estação
o que implicou em um tempo aquém do gasto.
Após a resolução do problema, para discutir
coletivamente todas as soluções encontradas, pedi que um aluno de
cada um dos 9 grupos escrevesse no quadro-de-giz os passos que
seguiram para resolver o problema e as soluções encontradas.
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Assim sete dos nove grupos foram ao quadro-de-giz, os
outros, ainda que eu tenha insistido não quiseram ir. Respeitei a
decisão deles.
• É de aproximadamente 7 minutos. O preço é de 8 zeds. Tempo
aproximado da viagem 7 minutos.
• O nosso grupo pensou na seguinte forma: olhando a indicação da
estação de metrô e contando os minutos que percorremos, 9 zeds e
26 minutos.
• É que um zed é para fazer a estação de metrô. Para ir de estação
em estação, demora 2 minutos e paga 2 zeds.
• Preço-7 zeds. Tempo aproximado da viagem 40 minutos.
• O preço da viagem era de R$ 1,00 cada zed.
• O preço é de 9 zeds e o tempo 17 minutos.
• Preço 9 zeds e o tempo de viagem aproximadamente 29 minutos.
Eu resolvi o meu problema pagando menos e viajando menos tempo.
Preço: 8 zeds. Tempo aproximado da viagem: 21 minutos.
Pedi que os grupos fossem até o quadro-de-giz para
explicar o que estava posto ali. Apenas alguns grupos se dispuseram a
falar. Não insisti com os outros porque eu tinha como objetivo não
obrigá-los a fazer do meu jeito, mas mostrar o quanto a explicação
deles era necessária. Um dos grupos disse que passou por sete
estações por isso sete zeds. Outro mostra o trajeto que escolheu e
responde vinte e seis minutos e oito zeds. O outro mudou a resposta,
pois perceberam seu erro e colocaram oito zeds e vinte e dois minutos.
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Não falo se os grupos acertaram ou erraram a resolução
do problema, mas percebo a necessidade de discutir o problema com
eles.
P:- Quantas linhas de metrô existem?
G:- São três linhas , Professora.
P:- Então observem com atenção a Origem e o Destino da viagem.
A:- Ah, Professora, é preciso mudar de linha, né?
P:- Claro.
A:- Têm dois trajetos para fazer a viagem.
A:- Não, tem três.
A:- É, mas nos três trajetos precisa mudar duas vezes de estação.
P:- Gostaria que todos prestassem atenção na figura. Vamos fazer o
seguinte: darei mais um tempo para vocês discutirem o problema e
tentarem refazê-lo.
Como um grupo havia colocado R$ 1,00 em vez de 1 zed,
aproveitei para provocar uma discussão sobre o Sistema Monetário. Os
alunos lembraram que, atualmente a unidade monetária brasileira é o
real e as unidades menores, os submúltiplos, são os centavos. Falei que
desde 1942, o Brasil adotou um sistema monetário centesimal, ou seja,
a unidade monetária tem como submúltiplo o centavo, que representa
um centésimo da unidade que é R$1,00. Questionados, os alunos
colocaram que os centavos são representados apenas por moedas e
que existe moeda de R$1,00, mas que também existem cédulas de R$
1,00; R$2,00; R$5,00; R$10,00; R$20,00; R$50,00 e R$100,00.
Perguntei se eles tinham conhecimento de outro tipo de moeda além do
real e eles citaram o dólar, a moeda japonesa (aproveitei para informá-
los que o nome dela é iene), o euro. Sugeri a eles que fizessem uma
pesquisa sobre as moedas de diferentes países.
Questionei os alunos sobre as medidas de tempo e de
comprimento, considerando que elas estavam presentes na tarefa. Eles
demonstraram conhecimento sobre o assunto. Então discutimos sobre a
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unidade padrão da medida de comprimento, seus múltiplos e
submúltiplos. Foi citado que na figura do problema foi usado o
centímetro como medida, mas que estava representando uma medida
maior que é o quilômetro.
Para incentivar a troca de idéias, foi dada mais uma
oportunidade para que mudassem o que fosse preciso na resolução do
problema. Para isso, os elementos de um grupo puderam se comunicar
com os elementos de outros grupos.
Os grupos discutiram durante algum tempo e refizeram o
problema. Após refazerem o problema, corrigiram o que fizeram no
quadro. Todos corrigiram o preço e colocaram 8 zeds. Alguns chegaram
à conclusão do tempo em pouco mais de vinte minutos. Após a
explicação dada por um aluno, todos perceberam que a junção entre a
Linha B e a Linha C não interferia em mudança de estação se eles
quisessem seguir direto até a linha A para chegar ao destino.
Como alguns alunos falaram que foram somando 1 zed a
cada estação, coloquei no quadro-de-giz:
811111111 =+++++++
P:- Tem jeito de escrever essa soma de forma diferente?
A:- Pode juntar o um mais um, igual a dois quatro vezes, Professora.
A:- Então, nesse caso, pode somar dois mais dois duas vezes?
Continuo colocando no quadro-de-giz conforme eles vão
falando:
844
82222
811111111
=+=+++
=+++++++
Alguém diz:
A:- Pode multiplicar o um por oito que dá o mesmo resultado.
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Outro aluno complementa:
A:- Ah, então pode multiplicar o dois por quatro e o quatro por dois.
Coloco no quadro-de-giz:
842
824
818
=×=×=×
Pedi que olhassem com bastante atenção e me
dissessem o que era possível observar. Fiquei aguardando um bom
tempo enquanto eles discutiam no grupo. Após esperar e não obter
nenhuma resposta, e considerando que esse era um obstáculo que eles
tinham que transpor para entenderem as outras questões a serem
discutidas, perguntei:
P:- Vocês perceberam que a multiplicação abrevia a soma de parcelas
iguais?
A:- A gente já viu isso com a nossa Professora, agora eu entendi mais
um pouco. Acho que não vou esquecer mais.
Neste caso minha intenção era que o aluno
estabelecesse relações entre a adição e a multiplicação.
O estudo das operações iniciado pela adição seguida da
multiplicação está fundamentada nos argumentos de que a adição está
ligada a idéia de “juntar” e a multiplicação pode ser apresentada como
um adição de parcelas iguais, sendo entendida como uma extensão da
adição.
P:- Vamos pensar mais um pouco. Se eu percorro oito estações eu
multiplico um zed por oito e encontro a resposta que é de oito zeds. O
que posso fazer se forem nove estações?
A:- Multiplica o um por nove.
22
P:- E se forem seis estações?
A: - Multiplica o um por seis.
Continuo perguntando para várias situações, escrevendo
no quadro-de-giz:
zedsestaçõeszedzedsestaçõeszedzedsestaçõeszedzedsestaçõeszedzedsestaçõeszedzedsestaçõeszedzedsestaçõeszedzedsestaçõeszed
zedestaçãozed
991
881
771
661
551
441
331
221
111
=×=×=×=×=×=×=×=×
=×
P:- E se fossem dez estações?
P:- E se fossem quinze estações?
P:- E se fossem “ene” estações?
Sistematizo, em seguida, aqui a fala de um aluno.
zedseneestaçõesenezed """"1 =×
Escrevo no quadro-de-giz e inicio a discussão sobre o que
é n. Os alunos chegaram à conclusão de que, nesse caso, o n
representa qualquer número de estações.
A observação das representações do mesmo padrão
ajuda os alunos na identificação de suas propriedades. O uso de
símbolos ao generalizar a descrição dessas propriedades, prepara-os
para o uso de incógnitas e variáveis futuramente.
O objetivo de propiciar aos alunos o estabelecimento de
relações entre aritmética e álgebra, desenvolvendo a percepção de
regularidade e a generalização da situação proposta, foi alcançado.
PROBLEMA 2
23
Observe a seqüência de triângulos abaixo:
Quantos ∆ são necessários para formar as figuras que fazem parte dessas posições?
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª6ª 7ª 8ª 9ª 10ª12ª 20ª 35ª 43ª 50ª
Ao entregar a tarefa para o grupo, percebi muito
interesse por parte da maioria dos grupos. Dos 9 grupos apenas 2 não
tinham entendido a tarefa. Pedi que lessem com atenção e
observassem as figuras. Outros grupos começaram a tarefa fazendo os
desenhos da seqüência. Enquanto isso:
G:- Professora, é preciso continuar desenhando?
P:- O grupo deve decidir como fará a tarefa.
Percebi, então, que um grupo conseguiu entender a
tarefa.
Outro continuava sem saber o que fazer.
P:- Observem a seqüência. A primeira figura tem quantos triângulos?
G:- Tem um. E a segunda tem quatro. A terceira tem nove. E como
vamos saber quanto tem a quarta?
P:- Pensem.
G:- Está aumentando triângulos. Mas de que lado?
P:- Observem atentamente. O triângulo tem quantos lados?
G:- Tem três. A gente pode começar desenhando tudo de novo para ver
se a gente consegue ver de que lado o triângulo está aumentando.
P:- Pode. Façam como vocês acharem que vai dar certo.
24
Assim o grupo começou desenhando desde a 1ª figura.
Desenhada a 3ª figura, começou a discussão. Um aluno dizia que
aumentava do lado direito. Outro dizia que aumentava do lado de
‘baixo’. Notei que a minha presença incomodava o grupo durante a
discussão, por isso saí de perto para deixá-los mais à vontade para
discutirem.
Um dos grupos fez até a 7ª figura e um dos membros
disse:
G:- Cansa ficar fazendo esses triângulos.
P:- Mas precisa ficar fazendo tantos triângulos?
G:- Acho que sim. Senão como a gente vai saber quantos triângulos
precisa em todas essas figuras do exercício?
P:- Será que não tem outro jeito de descobrir? Pensem na possibilidade
de resolver de forma mais simples?
G: - A gente vai ter que pensar.
P: - Ótimo.
A partir daí não interferi no encaminhamento que os
grupos estavam dando na resolução da tarefa. Como eles já tinham
uma estratégia de resolução e estavam no processo de busca por meio
de tentativas de encontrar a solução, a minha intervenção seria
desnecessária. Observei que discutiam muito. Pude perceber uma
grande tensão nas discussões, acredito que isso faz parte da
criatividade que carrega sentimentos de ansiedade, confiança,
entusiasmo e frustrações. E por meio disso é possível explorar os
caminhos possíveis para a resolução de problemas.
Terminada a tarefa iniciamos as discussões. Nesse caso,
os grupos concluíram que para encontrar qualquer figura bastava
multiplicar o número por ele mesmo.
Fiquei em dúvida quanto à compreensão dos alunos ao
me dar essa resposta e perguntei:
25
P:- E se fosse a nonagésima figura?
T:- Noventa vezes noventa.
P: - E a septuagésima segunda?
T:- Setenta e duas vezes setenta e dois.
P:- E se fosse n(enésima) figura?
T:- “Ene” vezes “ene”.
P:- E o que quer dizer o “ene”?
T:- A posição de qualquer figura.
Os alunos conseguiram chegar à generalização por meio
da observação da regularidade, por isso quis avançar para ajudar os
alunos a se envolverem com a álgebra.
Retomando a multiplicação, fiz a seguinte pergunta:
P:- É possível representar o cem vezes cem de outro jeito?
T:- Basta multiplicar e dar o resultado.
P:- Muito bem. E se não multiplicar?
A:- Nossa professora ensinou, mas não era com triângulo, era com o
quadrado.
P:- O que você aprendeu?
A:- Aprendi que cem vezes cem é igual a cem ao quadrado.
Coloquei no quadro-de-giz:2100100100 =×
P:- Essa representação cem ao quadrado (apontei no quadro) tem um
nome. Vocês se lembram desse nome?
T:- É potenciação.
Relembramos oralmente a potenciação trabalhando em
exemplos numéricos, levando em conta apenas o fato de que a
potenciação ser um produto de fatores iguais, retomando o papel do
expoente, da base e da potência.
26
Aproveitando que o aluno citou que 2100100100 =× e
considerando os resultados que eles chegaram na resolução da tarefa,
perguntei:
P:- Os resultados que vocês encontraram fazem parte de uma
seqüência. Vamos escrever essa seqüência no quadro-de-giz. Alguém
pode fazer isso?
Um aluno se levantou e escreveu:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 225, 400
P:- O que representa cada um desses números?
T:- Representa o resultado de uma multiplicação.
P:- O resultado de uma multiplicação tem nome?
T:- Tem. É produto.
P:- Se eu fizer uma vez um, é um produto e se eu fizer um ao
quadrado?
T:- Aí é potência.
P:- Então se eu for colocando o quadrado dos números naturais a partir
do um eu obtenho a seqüência.
Eles observaram que aí a seqüência não teria fim,
portanto é infinita. Um aluno mostrou que faltavam alguns números
entre 100 e 225 e entre 225 e 400. Pedi que completassem na folha.
Assim que todos terminaram um aluno colocou no
quadro-de-giz o que tinha feito na folha:
27
Figura 1
A:- Professora, então todos esses números são quadrados?
P:- Sim. Então como podemos chamar essa seqüência?
T:- Seqüência dos números que são quadrados.
Continuamos discutindo e os alunos concluíram:
“Seqüência dos Números Quadrados”.
Percebi que conteúdos como potenciação e seqüência
numérica, que eu não havia previsto, estavam presentes na resolução
do problema.
As seqüências de figuras ou de números permitem
perceber padrões e desenvolver a habilidade de generalização.
2º dia:
Relembramos inicialmente o contrato didático. Os grupos
de 3 elementos foram formados respeitando a escolha dos próprios
alunos. Fiquei insegura. Achei que com isso os grupos poderiam
interferir no bom andamento da aula, visto que alguns alunos que
tinham dado trabalho no início da aula do sábado anterior estavam no
mesmo grupo.
Entreguei então como tarefa, a atividade abaixo:
Problema 3
Considere a seqüência de figuras:∆ ∆ο□ ο□
Qual é a figura das posições abaixo?
9ª 11ª 13ª 15ª
29ª 30ª 37ª 100ª
Os grupos leram atentamente o enunciado da tarefa.
Ficaram agitados, mas pude observar que o motivo era o entusiasmo ao
28
resolver o problema. Circulei entre os grupos, aguardando algum
questionamento. Não fizeram. Procurei não interferir.
Terminada a tarefa, negociamos como seria feita a
discussão das soluções encontradas. Os grupos preferiram colocar no
quadro.
Nessa tarefa, apenas um grupo não conseguiu chegar à
resposta correta. Comecei fazendo perguntas para esse grupo.
P:- Como chegaram à nona figura da seqüência?
G:- Contando de três em três. Aí contamos mais 1.
P:- Ótimo. E para saber qual era a trigésima sétima figura?
G:- Fomos somando doze mais doze até chegar perto do número trinta
e sete.
P:- E aí?
G:- O número que deu foi trinta e seis, que é um quadrado, daí
contamos trinta e sete, um triângulo. Ah, não contamos direito porque
colocamos um círculo.
Percebi então que o grupo entendeu a formação da
seqüência e o erro foi apenas distração.
Continuei questionando:
P:- Por que vocês começaram contando de três em três e depois de
doze em doze?
G:- Quando a gente descobriu o décimo segundo elemento que é um
quadrado, vimos que todo doze tinha que dar um quadrado. Então se
todo doze dá um quadrado, por exemplo, o vinte e quatro dá um
quadrado. Aí resolvemos contar de doze em doze. Porque no décimo
terceiro a gente contou o quadrado mais o elemento que vem depois.
Um aluno de outro grupo disse:
A:- O nosso grupo viu que o quadrado cai no número divisível por três.
P:- E o que é número divisível?
A:- Quando divide e não tem resto.
29
P:- E como vocês sabem quais são os números divisíveis por três?
G:- A gente foi vendo na tabuada do três. Chegou no trinta. Aí fomos
contando de três em três, até chegar no cento e dois.
P:- Por que no cento e dois?
G:- Porque a gente precisava do elemento de número cem.
P:- E o que vocês fizeram para saber qual era o elemento de número
cem?
G:- Como a gente foi até o cento e dois que é quadrado, voltamos dois
elementos que dá no triângulo.
P:- E o trigésimo oitavo elemento?
G:- Fomos até o número trinta e nove e voltamos um número que é o
círculo.
P:- Ao ver a tabuada do três e ir contando de três em três, vocês foram
obtendo resultados. Qual é o nome dado a esses resultados da
multiplicação?
A:- O resultado da multiplicação é produto.
P:- Todos esses produtos têm um nome e estão relacionados com o três.
A:- Então é produto de três.
P:- Esse “produto de três” tem um nome.
T:- A gente já viu isso. São múltiplos de três.
Provoquei uma discussão com a turma para que eles
pensassem no que um dos grupos havia feito: Para encontrar a 37ª
figura, “primeiro” chegaram no número 36, contaram mais um para o
37”. Disseram que é porque contaram de 3 em 3 até chegar ao 36 e
depois contaram mais 1 para chegar no 37. Questionei o que era esse
“mais 1”. Disseram que era o que estava faltando. Ficamos um bom
tempo falando a mesma coisa até que um aluno disse que se dividisse
o 37 por 3, dá 12 e sobra 1. Então o 1 era o resto. Para ver se dava
certo, fizeram, no quadro-de-giz, várias divisões e verificaram se o resto
tinha a ver com as figuras:
30
Figura 2
Chegando à seguinte conclusão: se o resto é 1, a figura é
um ∆; se o resto for 2, a figura é um o; então se o resto é 0, a figura é
um □.
As regularidades são importantes para a Matemática e
isso precisa ser “percebido” pelo aluno. Essa tarefa da seqüência de
figuras permite perceber padrões e desenvolver a habilidade de
generalização.
Concluí que os alunos conseguiram desenvolver relações
de grande importância para a percepção de regularidade o que facilitou
a estruturação e a generalização da situação proposta.
O maior destaque dessa atividade, além da percepção de
padrões, foi observar a abordagem de dois conteúdos: múltiplos e
divisores. Ainda que eles já tivessem domínio sobre eles, esse foi um
momento de usá-los com compreensão.
Problema 4
Siga os comandos e preencha o quadro abaixo:
31
Número NúmeroSoma dos números
Diferença dos
números
Soma dos resultados
Diferença dos
resultados
Alguma observação?
Essa atividade foi entregue aos grupos. Falo que não há
necessidade de completar todas as linhas se conseguir chegar a
alguma conclusão antes.
A tabela foi construída com 10 linhas porque com uma
única escolha de números não é possível enxergar alguma relação
entre os números escolhidos e os resultados obtidos e assim fazer a
generalização.
Dou um tempo para que se familiarizem com a tarefa.
G:- Não entendemos.
Outro grupo:
G:- É para completar de acordo com o que está escrito na linha de
cima?
P:- Sim. Observem os comandos.
G:- Que número eu preciso colocar?
Observo então que a questão não está bem formulada.
Em vez de apenas “número”, deveria ter colocado “um número
qualquer”. Então falo:
P:- Nas duas primeiras colunas coloquem um número que vocês
escolherem.
A:- Pode ser três e depois dez, Professora?
P:- Fiquem à vontade. Escolham o número que vocês quiserem.
G:- Na terceira coluna eu somo os dois números que a gente escolheu?
32
P:- Sim.
Fiquei aguardando para que fossem completando a
tabela. Apenas um grupo foi preenchendo uma linha de cada vez.
Nesse caso, o grupo me chama e diz:
G:- Tem que juntar esses dois números (apontam para os números
escolhidos na 1ª e na 2ª coluna). E aqui precisa ver a diferença desses
dois números (novamente apontam para os números). Depois tem que
somar os resultados das duas contas e ver a diferença das duas contas?
P:- Isso mesmo.
Outros grupos preencheram inicialmente as duas
primeiras colunas com os números escolhidos. Fiquei circulando entre
os grupos e notei que um grupo não entendeu o comando da terceira
coluna.
P:- O que é soma?
G:- É o resultado da conta de mais.
P:- O que diz o comando?
G:- Soma dos números. É para somar os dois números que escolhemos?
P:- É sim.
G:- Então a diferença de resultados é fazer a conta de menos com os
dois números?
Continuo circulando pelos grupos.
G:- Professora, aqui não tem jeito de fazer. Como a gente vai tirar sete
de um?
Vejo que há um outro erro no comando da quarta coluna.
Como eles têm idéia apenas dos números naturais seria necessário que
no comando “Diferença dos números” colocasse “Diferença do maior
33
pelo menor número”. Oriento a todos o que deve ser feito em relação a
esse comando. Que sempre tirem o menor número do maior.
G:- Então a gente precisa trocar o um e o sete de lugar.
P:- O que vocês acham?
A:- Acho que precisa porque senão não dá certo.
A:- E se a gente fizer sete menos um não vai ter problema, nem precisa
mudar de posição.
P:- Pensem sobre isso.
G:- Os resultados que estão nos comandos das duas últimas colunas é o
resultado das contas?
P:- É sim.
Certamente se os comandos estivessem mais claros não
haveria muita dúvida por parte dos grupos.
O grupo que foi preenchendo linha por linha me chamou
quando havia terminado a 6ª linha e concluíram:
G:- Professora, a gente já sabe o que acontece. O dobro do primeiro
número é a soma dos resultados e o dobro do segundo número é a
diferença dos resultados.
Nesse caso o grupo havia preenchido a primeira coluna
sempre com um número maior que o número da 2ª coluna. Sugiro
então que não sigam a ordem em que estavam escolhendo os números,
para ver se isso acontecia para o caso do 1º número ser menor que o 2º
número.
Alguns grupos completaram o quadro e não fizeram a
observação. Chamo atenção para isso e aguardo mais um pouco.
Concluída a tarefa por parte de todos os grupos,
iniciamos a discussão.
P:- Alguém tem algo a dizer sobre a tarefa?
34
G:- A gente viu que soma é o dobro do maior número e a diferença é o
dobro do menor número.
Fiquei surpresa com a rápida observação do grupo e
também porque outros grupos chegaram à mesma conclusão. Apenas
um grupo concluiu que somando o número maior com ele mesmo dá a
soma dos resultados e somando o menor número com ele mesmo dá a
diferença.
P:- Dê um exemplo.
G:- Dez mais dez dá vinte e trinta mais trinta dá sessenta.
P:- Expliquem.
G:- Os números que a gente escolheu foi dez e trinta. Somando dá
quarenta e diminuindo dá vinte. Se a gente somar os resultados
quarenta mais vinte dá sessenta e fazer quarenta menos vinte dá vinte.
Então dez mais dez dá vinte e trinta mais trinta dá sessenta.
P:- Tem um jeito diferente de representar dez mais dez e trinta mais
trinta.
G:- Acho que não.
P:- Pensem sobre isso.
Um grupo me chama e um aluno diz:
A:- É aquele negócio de abreviar a soma que a senhora falou outro dia?
A idéia de relação, importantíssimo para a Matemática,
pode ser desenvolvido por meio de regularidades executando
atividades que contemplem padrões generalizados.
A oficina desse dia me deixou muito feliz. A tarefa
pareceu quase que uma brincadeira, pois os alunos participaram
ativamente da resolução. A insegurança que eu tinha no início da aula
sobre a formação dos grupos foi desnecessária. Acho que a aula foi
“legal”, segundo a observação de um aluno, porque eles trabalharam
35
com colegas em que tinham afinidade e assim a discussão fluiu. Com
isso, decidi que no 3º dia de oficina eu não iria interferir na formação
dos grupos porque eles demonstraram o quanto sabem valorizar o
trabalho coletivo e cooperativo, respeitando o trabalho de cada
elemento do seu grupo e também dos outros. Também levei em conta
que, deixá-los à vontade foi a forma para incentivá-los a continuar
demonstrando esse fato.
3º dia
Iniciamos a aula retomando as regras (contrato didático).
Os grupos de 3 alunos foram formados a partir do
interesse deles.
Feito os grupos notei que eles já ficaram aguardando a
distribuição da tarefa.
Entrego o problema e peço que leiam com atenção.
Problema 5
Se quiser construir uma parede de tijolos, cujo comprimento é duas vezes maior que
a sua altura e se, a parede tiver que levar duas unidades de altura, poder-se-á fazer
um número diverso de formas, dependendo do comprimento que se queira:
Existe apenas uma forma de parede com o
comprimento 1, pondo o tijolo em pé.
Existem duas formas de construir uma parede
de comprimento 2. A primeira forma é colocá-
los lateralmente um no topo do outro. A
segunda é colocá-los longitudinalmente junto
um do outro.
Existem três formas de construção para
paredes de comprimento 3.
36
a) Quantas formas diferentes se consegue encontrar para uma parede de
comprimento 4?
b) Quantas formas diferentes se consegue encontrar para uma parede de
comprimento 5?
c) Repare então para o número de formas que encontrou, para uma parede de
comprimento 1, 2, 3, 4 e 5. Será que consegue descobrir alguma coisa que seja
familiar em todos estes casos?
Aguardo a leitura e as primeiras discussões acerca do
problema.
Observo alguma insegurança por parte de alguns grupos.
P:- Entenderam?
G:- Mais ou menos.
P:- O problema está falando sobre o que?
G:- Sobre parede e tijolos.
P:- Leiam novamente com bastante atenção.
Percebo que os alunos estavam querendo saber quantas
eram as possibilidades. Nem tinham começado a fazer(desenhar) e já
queriam a resposta.
A:- Professora, o que é lateralmente e longitudinalmente?
P:- Alguém pode me dizer o que quer dizer essas palavras?
Nenhum grupo ou aluno se manifestou. Pergunto quem
quer ir ao quadro-de-giz. Um aluno se levanta e vai.
P:- Desenhe dois tijolos na mesma posição.
O aluno desenha um tijolo e ao lado mais um tijolo
“deitado”.
37
Figura 3
P:- Desenhe dois tijolos na mesma posição, porém, ele não pode ficar
“deitado”.
O aluno desenha dois tijolos “em pé”.
Figura 4
P:- Agora junte os dois tijolos deitados um sobre o outro. Depois junte
os dois tijolos que estão “em pé” um ao lado do outro.
O aluno desenha. No quadro ficou assim:
Figura 5
P:- Quem pode me dizer quais tijolos estão colocados lateralmente?
Um aluno lembra que lateral no jogo de futebol é ao lado
então deduz que são os tijolos que ficam ao lado do outro.
Nesse caso não disse simplesmente o significado de cada
palavra, porque se o aluno busca caminhos para a compreensão
estabelecendo relações com o que se conhece, desenvolve,
especialmente a autonomia.
Aguardo um bom tempo para que eles discutam o
problema. Alguns alunos ficam só olhando e não conseguem interagir
com os seus respectivos grupos. Parece que a dificuldade foi a
38
interpretação do enunciado, talvez pelo fato de conter palavras
desconhecidas como “lateralmente” e “longitudinalmente”.
Depois de algum tempo, vejo que os grupos começam a
fazer os primeiros desenhos. Feito o primeiro desenho pelos grupos
olhei e verifiquei que estavam encaminhando corretamente. Apenas um
grupo desenhou dois tijolos “em pé” e dois tijolos nos extremos na
forma “triangular”, ou seja, alterando o formato.
P:- Existe tijolo triangular?
G:- Tem sim.
P:- No problema o formato do tijolo é assim?
G:- Não.
P:- Então porque o grupo está alterando o formato do tijolo? O problema
permite essas alterações?
O grupo não respondeu. Apagaram e desenharam
conforme o formato mostrado no enunciado do problema.
Percebi que, ao entenderem o enunciado do problema,
todos ficaram entusiasmados em resolvê-lo. Queriam ir ao quadro para
mostrar o que estavam conseguindo fazer. Pedi que aguardassem.
Assim que todos terminaram o item a, deixei que fossem fazer as
representações no quadro-de-giz.
Como muitos alunos queriam ir ao quadro-de-giz decidi
“sortear” pelo número da chamada quem iria fazer os desenhos.
Sorteado o 1º número o aluno foi até o quadro e fez a primeira
representação, depois foi o 2º, e assim sucessivamente até o 5º aluno.
Então eles mesmos disseram que não havia mais possibilidade.
Figura 6
Deixei-os à vontade fazendo o item b. Quando percebi
que tinham terminado, indaguei:
39
P:- É possível desenhar quantas formas com seis tijolos?G:- Muitas
formas.
P:- Então representem essas formas na folha.
Percebi que eles estavam ansiosos em ver quantas
formas era possível desenhar com 6 tijolos. Novamente os alunos
queriam ir ao quadro mostrar o que tinham feito. Combinamos que um
aluno de cada grupo iria fazer as representações no quadro-de-giz. E se
necessário, sortearíamos mais alunos para desenhar todas as
possibilidades.
E assim eles fizeram:
Figura 7
Terminado a tarefa no quadro-de-giz, orientei para que
fizessem o item c. Aguardei um bom tempo e o alunos não conseguiam
enxergar. Então eu disse:
P:- Vamos organizar esses dados num quadro?
G:- Como assim?
P:- Coloquem os dados que vocês já têm num quadro. Discutam em
grupo como podem fazer isso.
Uma das formas de comunicação matemática é o uso de
quadro para representar as conclusões de um determinado fato.
40
Eles já sabiam o que era um quadro, pois tinham
trabalhado com um na aula anterior.
Circulando entre os grupos, percebi que todos estavam
aproveitando o quadro do enunciado do problema, completando com os
dados que tinham.
Um grupo fez:
Figura 8
Preenchido o quadro não estavam conseguindo descobrir
nada. Eu intervi:
P:- Vocês podem melhorar esse quadro.
G:- Mas não tem mais jeito de fazer nada. A gente já colocou todos os
dados que a gente tinha.
P:- Pensem sobre isso.
41
Um grupo resolveu tirar as figuras e colocar no quadro-
de-giz o número de paredes.
Pedi para que um aluno colocasse no quadro-de-giz a
forma como o grupo preencheu o quadro.
Figura 9
Interpretando o quadro:
P:- Quantas paredes diferentes é possível fazer com um tijolo?
T:- Uma parede.
P:- E com dois tijolos?
T:- Duas paredes.
P:- E com três tijolos?
T:- Três paredes.
P:- Com quatro tijolos, quantas paredes foi possível desenhar?
T:- Cinco paredes.
P:- Quantas paredes vocês desenharam com cinco tijolos?
T:- Oito paredes.
P:- Quantas paredes diferentes vocês desenharam com seis tijolos?
T:- Treze paredes.
P:- O que há de familiar em todos os casos?
42
A1:- Até três tijolos aumenta de um em um, depois na quantidade de
quatro tijolos aumentou dois, depois aumentou três e por último
aumentou seis tijolos.
A2:- Até três tijolos aumentou de um em um, com quatro aumentou 2,
com cinco foi o dobro de quatro e com seis tijolos foi o dobro de seis
mais um.
P:- O que se pode concluir disso?
T:- Não dá para concluir mais nada.
Resolvi apagar a primeira coluna do quadro. Ficou assim:
Paredes1235813
Quadro 2: Número de paredes
Sugeri que a discussão ocorresse com a turma toda.
Ficaram bem animados, até que um aluno concluiu:
8513
538
325
213
112
+=+=+=+=+=
Outro aluno fez a seguinte colocação:
A:- Também pode ser assim:
123
235
358
5813
=−=−=−=−
43
O objetivo desse problema era que eles estabelecessem
relações e chegassem à generalização. Penso que se o tempo fosse
maior eu teria citado Fibonacci e motivando-os a pesquisar sobre quem
foi ele aproveitando a oportunidade de envolver a Matemática com
História. Mas acredito que quando tiverem oportunidade, em algum
momento da vida escolar, de discutirem a Seqüência de Fibonacci com
certeza irão se lembrar da generalização feita em sala de aula, já que a
participação foi bastante ativa. Nenhum aluno ficou fora das
discussões. Todos buscaram a resposta para a proposta, e nenhum
aluno se sentiu diminuído por não conseguir enxergar o que o colega
concluiu, porque todos estavam inseridos no processo de resolução,
portanto o mérito é da turma.
11. AS CONSIDERAÇÕES
Do resultado da Oficina de Resolução de Problemas, pude
verificar, num primeiro momento, alunos inseguros na resolução de
questões matemáticas. Fiquei surpresa em observar que alguns alunos
resistiam em aceitar desafios matemáticos, porém entendi que, para o
problema apresentado eles se preocupavam em aliar a um outro
problema já trabalhado em sala de aula, ou seja, encontrar um modelo
para a resolução do mesmo. Quando supostamente encontravam, não
verificavam os resultados e nem reconheciam quando a resposta não
era adequada à situação.
Então aproveitei esse diagnóstico para estudar os
caminhos percorridos pelos alunos no processo de resolução,
levantando elementos e dentro das possibilidades, corrigindo os
desvios observados.
Problemas diagnosticados Encaminhamento dado para a superação das dificuldades
44
•Individualismo•Procura de um único caminho para a resolução de problemas•Desânimo na primeira dificuldade encontrada•Busca apenas dos resultados•Desvalorização do enunciado como componente importante do problema
•Trabalho em grupo para o favorecimento de troca de idéias e aprendizagem mútua.•Observação da presença da matemática no dia-a-dia levando-os a perceber que existem problemas não rotineiros e que para essas situações os procedimentos matemáticos diferenciados são úteis para compreendê-la.•Incentivo aos alunos, por meio de questionamentos, animando-os a discutir e buscar soluções por meio de diferentes encaminhamentos.•Orientação aos alunos no reconhecimento de seus bloqueios e incentivo na superação dessas dificuldades levando-os a reconhecer a satisfação e o prazer que experimentam quando encontram um caminho para a solução.•Demonstração nas discussões com os grupos o valor dos encaminhamentos de resolução.•Ênfase dada à leitura, seja individual ou coletiva, levantando questionamentos com a turma para que cada aluno entenda a necessidade desse procedimento como uma das fases de resolução do problema.
Quadro 3: Diagnóstico e superação de problemas
Procurei fazer um trabalho em que os alunos foram
encorajados a exprimir suas idéias a respeito das coisas, partindo de
questões simples, idéias que muitas vezes pela minha lógica eram
erradas, porém consegui respeitá-las e com isso os alunos adquiriram
confiança em mim, o que facilitou o trabalho em sala de aula.
Analisando cada passo do aluno na resolução das tarefas,
perguntando como? O quê? Por quê? Para quê? Os alunos percebem a
atitude de curiosidade, de investigação, tornando possível proporcionar
a eles dentro desse contexto, a oportunidade de elaborar um plano de
ação para atingir determinados objetivos.
Todo o trabalho desenvolvido nas Oficinas ocorreu de
forma gradativa, exigindo tempo e paciência. Valeu à pena, pois percebi
o aflorar da criatividade dos alunos, percebendo detalhes, parecendo
sentir uma compulsão natural para encontrar a solução de outros
desafios apresentados.
A liberdade dada aos alunos na comunicação de idéias,
procurando estratégias e procedimentos para resolver problemas,
falando, escrevendo, desenhando, representando, completando ou
construindo tabelas, estabelecendo relações por meio de atividades em
grupos promoveu atitudes como a valorização do trabalho coletivo e a
45
troca de experiências na aprendizagem e no desenvolvimento de
habilidades importantes. Além disso, ainda sonho com a aprendizagem
matemática de forma que eu interfira o mínimo possível no que os
alunos sejam capazes de fazer sozinhos, ou seja, que o meu papel seja
o de colaboração, orientação e de incentivo no ensino/aprendizagem da
matemática de forma significativa, buscando desenvolver a autonomia
dos alunos. Assim eles terão oportunidade de aprender importantes
idéias matemáticas a partir de descobertas, mostrando diferentes
talentos, capacidades, sucessos, necessidades e interesses em relação
à matemática, envolvendo-se afetivamente no processo de
investigação usando seu senso criativo, consolidando assim o seu
pensamento, explorando relações, emitindo opiniões com fundamento e
espírito crítico. Para isso, coloco no quadro a seguir alguns pontos que
considero fundamentais para as aulas de matemática na escola.
Nas aulas de matemática é necessário
Para proporcionar
•a promoção de um ambiente que estimule a comunicação de idéias matemáticas e tempo necessário para o cumprimento das tarefas propostas.
•o encorajamento para que os alunos apresentem e defendam suas idéias.
•o desenvolvimento de atividades que requeiram do aluno iniciativa e independência.
•o estímulo à curiosidade dos alunos por meio de tarefas diversificadas.
•o desenvolvimento de ações que promovam ajuda aos alunos a se libertarem do medo de cometer erros, respeitando suas idéias.
•a exposição dos alunos apenas a críticas construtivas.
•a incorporação de conhecimentos essenciais em sua atuação futura no meio social.
•o desenvolvimento da capacidade de argumentação e o estímulo à emissão de opiniões com fundamento e espírito crítico.
•o desenvolvimento da capacidade intelectual do aluno propiciando a leitura de mundo e pensamento autônomo.
•a valorização da Matemática como ferramenta para compreender o mundo à sua volta.
•o desenvolvimento da capacidade de analisar um problema em qualquer contexto que se apresente.
•a autonomia no enfrentamento de problemas no cotidiano buscando por meio de experiências próprias a maneira mais eficiente de se encontrar resultados;
•o desenvolvimento da capacidade de “fazer matemática” por mérito próprio.
•o aumento na auto-estima.
•o desenvolvimento da capacidade de tomar decisões respeitando e discutindo opiniões de outras pessoas, de troca construtiva de idéias
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e cooperação.
•a confiança nas próprias capacidades.
Quadro 4: Alguns pontos fundamentais para as aulas de matemática
na escola.
A participação dos alunos ocorreu de forma dinâmica e
criativa. Alunos que inicialmente me pareceram inseguros na resolução
de tarefas começaram a demonstrar interesse e até iniciativa no
trabalho em grupo. Foi prazeroso observar mudanças no
comportamento e a satisfação de poder discutir questões matemáticas
de forma bastante envolvente. A turma que eu conheci no 1º dia de
oficina, que me causou bastante preocupação pelo comportamento
duvidoso ou pelo desinteresse visível, já não existe mais, percebi no 3º
dia da Oficina uma turma de alunos compromissados e curiosos na
resolução de suas tarefas.
O uso da Resolução de Problemas possibilitou aos alunos
uma aprendizagem de atitudes, considerando que opiniões pessoais se
formaram e as várias estratégias utilizadas pelos alunos para chegar às
soluções de problemas sugeriram apreciações e comparações,
proporcionando uma mudança significativa no cotidiano da sala de
aula.
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O importante foi que os alunos começaram a se
interessar pelo porquê dos fatos, fazendo conjecturas, emitindo
opiniões com fundamento e espírito crítico. Mais do que a satisfação
dos alunos em participar das aulas ativamente está a minha satisfação
enquanto professora atuante há 29 anos em perceber que ainda é
possível mudanças na educação. Portanto, não abdico de meus sonhos
em relação à educação, pois uma vez que, cada dúvida por parte dos
alunos gerou uma aprendizagem nova para mim, pois me forçou a
desenvolver várias estratégias de ação, resolvendo um problema em
conjunto com a turma, trabalhando com discussões de interesse
individual, de pequenos grupos e da turma toda.
12. AS REFERÊNCIAS
BURIASCO, Regina L. C. de. Sobre a Resolução de Problemas (I). NOSSO FAZER, Ano 1, n.º5. Secretaria Municipal de Educação, Londrina, 1995. p. 1.
BURIASCO, Regina L. C. de. Sobre a Resolução de Problemas (II). NOSSO FAZER, Ano 1, n.º6. Secretaria Municipal de Educação, Londrina, 1995. p. 1.
GOLDENBERG, E. Paul. Quatro Funções da Investigação na Aula de Matemática. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/mem/textos/goldenberg.doc> Acesso em: 11 dez 2002.
KRULIK, S.; REYS, R.E. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997.
MORI, Iracema e ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: Idéias e Desafios. Manual do Professor, 5ª série, São Paulo: Saraiva, 2006.
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Currículo Básico para a Escola Pública do Estado do Paraná. Curitiba, SEED,1990.
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PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba, 2006.
PONTE, J. P.; BROCADO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo horizonte: Editora Autêntica, 2005.
THE NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATEMATICS. As Idéias da Álgebra/organizadores Arthur F. Coxford, Alberto P. Shulte; traduzido por Hygino H. Domingues. São Paulo, Atual ,1995.
VIOLA DOS SANTOS, João Ricardo. O que alunos da Escola Básica mostram saber por meio de sua produção escrita em matemática. 2007. 114 p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Universidade Estadual de Londrina, p. 31 a 43.
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