Relatório 2 - Meia Potência

7/26/2019 Relatório 2 - Meia Potência

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Centro de Estudos Aeronáuticos UFMGDepartamento de Engenharia Mecânica

Av. Antônio Carlos, 6627 – Pampulha – 31270-901Belo ori!onte – "inas #erais

Universidade Federal de Minas Gerais

Engenharia Aeroespacial

Centro de Estudos Aeronáuticos

Vibrações Mecânicas

Meia - ot!ncia

Henrique Boaventura Medeiros – 2011020470

1. Introdução





A determinação experimental do amortecimento em estruturas mecânicas pode ser feitaatravés da utilização da técnica da Meia Potência. Esta técnica baseia-se na utilização de três pontos

de freuência! obtidos através do sinal da "unção de #esposta em "reuência $"#"%! e é aplic&vel a baixos valores de amortecimento! uando '& mais de uma freuência natural presente e uando'ouver uma (rande uantidade de dados.

2. Objetivos

Primeiramente! pretende-se! nesse ensaio! obter "unç)es de #esposta em "reuência $"#"% para a excitação (erada em um determinado sistema estrutural. A partir disso! pretende-se encontrar o fator de amortecimento para cada um dos picos vis*veis nas funç)es de resposta encontradas. Por fim! analisar-se-& mais a fundo a técnica de Meia Potência utilizada para se obter as respostas! osmateriais utilizados no experimento e as poss*veis fontes de erro do sistema.

+om a utilização de um Analisador de Espectro em "reuência! um Aceler,metro e umMini 'aer! determinar-se-& experimentalmente os valores dos fatores de amortecimento da vi(ade aço utilizando a técnica da Meia Potência. Essa técnica tem como base utilizar três picos obtidosatravés do sinal da "unção de #esposta em "reuência $"#"%.

3. Revisão Teórica

Técnica da Meia Potência

/iferente da técnica do /ecremento 0o(ar*tmico! a técnica da Meia Potência nos permiteobter o fator de amortecimento viscoso $ou estrutural% de um sistema a partir da resposta nodom*nio da freuência. Enuanto a resposta no dom*nio do tempo parte de um re(ime de vibraçãolivre! a resposta no dom*nio da freuência nos permite trabal'ar com re(imes de vibração forçada.Assim! para deduzirmos as euaç)es utilizadas na técnica de Meia Potência! devemos considerar arazão entre a resposta do sistema e a força de excitação respons&vel por produzir tal resposta. Essarazão é o ue c'amamos de "unção de #esposta em "reuência $"#"%.

Pode-se desenvolver a técnica de Meia Potência a partir de parâmetros f*sicos do sistema oua partir de parâmetros dinâmicos. 1 desenvolvimento a partir de parâmetros f*sicos é mostrado ase(uir.

Figura 1 - Função de Resposta em Frequência

Vibrações Mecânicas Página 1 0!0"!201#





/ada uma função "$t% 2 "3cos4t! a euação de movimento torna-se5

t F kx xc xm ω cos3

=++ 678

A solução desta euação pode ser escrita na forma5

( )[ ] %cos$cos%$ φ ω φ ω ξω −+−⋅⋅= −d d

t X t e X t x n 698

1nde5

•

m

k n =ω

•

:7 ξ ω ω −= nd

•

nm

c

ω ξ

9=

•

k

F st

3=δ

n

r ω ω =

A função de resposta em freuência! como representada acima! pode ser definida como5

|α (ω)|=| X F |= 1

√ (k −ω2m)2+(ωc )2

6;.78

( ) ( ) 9999 977

ξ δ r r X st +−

= 6;.98

−=

97

9arctan

r

r g

ξ φ

6;.;8

1nde " representa a excitação (erada no sistema e < a amplitude causada por essaexcitação.

e considerarmos peuenos valores de amortecimento! podemos dizer ue a amplitudem&xima ocorre na ressonância! ou se=a! uando a freuência de vibração se assemel'a a freuêncianatural do sistema. Assim5






|α (ω )max|=|α (ω)ω=ωn|=

1

2ξ=Q

6>.78

Q X X

n st st

==

≈

= ξ δ δ

ω ω 9

7

max

6>.98

1 valor do coeficiente de amplitude em ressonância também é denominado Fator Q ou

Fator de Qualidade do sistema. 1s pontos R1 e R2 onde o fator de amplificação cai paraQ

√ 2 são

denominados Pontos de Meia-Potência! porue a potência absorvida $?@% pelo amortecedor $ou pelo resistor em um circuito elétrico% respondendo 'armonicamente a dada freuência é

proporcional ao uadrado da amplitude5

ΔW =πcωX 2 68

A diferença entre as freuências associadas com os pontos de meia-potência R1 e R2 dosistema é denominada Largura de Banda do sistema. Para determinar os valores de R1 e R2!fazemos substituiç)es e manipulaç)es de modo ue5

999

7 7997 ξ ζ ζ +−−=r

999

9 7997 ξ ζ ζ ++−=r 6B8

Para valores peuenos de C! a Euação $B% pode ser aproximada como5

ξ ω

ω 97

9

79

7

9

7 −≈

==

n

Rr

ξ

ω

ω 97

9

99

9

9

9 +≈

==

n

Rr

6D8

Pela Euação $D%!

ξ ω ω ω ω ω ω ω ω 999

7

9

97979

9

7

9

9 >%$%%$$ nn R R =−=−+=− 68

Fsando a relação

ω1+ω2=2ωn 6G8

na Euação $77%! constatamos ue a lar(ura de banda ?4 é dada por5

Vibrações Mecânicas Página $ 0!0"!201#





ξ ω ω ω ω n979

≈−=∆ 6738

Hrabal'ando a Euação 6;.78 para ω=ωn ! temos5

|α (ω )max|=| X max F |= 1

√ (k −ωn2m )

2

+(ωnc )2

|α (ω)max|= 1

ωn c 6778

e considerarmos o valor da amplitude m&xima! decrescida por um fator1

√ 2 ! temos5

1

√ 2|α (ω )max|=

1

√ 2ωnc=

1

√ (k −ω2m )2+(ωc )2

Assim! desenvolvendo o resultado acima! temos5

√ 2ωn c=√ (k −ω2m )2+ (ωc )2

2ωn

2c2=(k −ω

n

2m)2+ (ωn

c )2

ω4m

2−ω2 (2km−c

2 )+(k 2−2ωn2c2)=0 6798

A solução da Euação 6798 é dada por5

ω1,2

2 =(2km−c

2 )2m

2 ±

c √ c2+4km

2m2

=067;8

e subtrairmos as soluç)es acima encontradas! encontraremos o se(uinte resultado5

ω2

2−ω

1

2=2c √ c2+4 km

2m2

=c√ c2+4km

m2

67>8

Ao dividir a Euação 67>8 por ωn

2

! temos ue5






ω2

2−ω1

2

ωn

2 =

c√ c2+4km

m2

m

k =

c√ c2+4 kmmk

678

abendo ueξ=

c

cc=

c

2√ km ! temos5

ω2

2−ω1

2

ωn

2 =√ 16 ξ

2(ξ2+1)=4 ξ√ (ξ2+1)

67B8

#etomando a 'ipItese de ue estamos considerando baixos valores de amortecimento!c'e(amos ao se(uinte resultado5

ω2

2−ω1

2

ωn

2 =4 ξ

ω

ωω

(¿¿2−ω1)2ωn

ωn2

=4 ξ

(¿¿2−ω1)(¿¿2+ω1)

ωn

2 =¿

¿¿

Δω

ωn

=2ξ=η67D8

A Euação 67D8 resume então o ue c'amamos de técnica da meia potência.

Aorteciento !iscoso " Aorteciento #strutura$

Juando falamos de amortecimento viscoso! parte-se do pressuposto de ue a força de atritorespons&vel por amortecer o sistema é proporcional K velocidade em ue ele se encontra. L& uandose trata de amortecimento estrutural! entende-se como a dissipação de ener(ia causada por fricçãodevido ao movimento relativo entre componentes do sistema. 1 comportamento da ener(iadissipada! nesse caso! depende do sistema mecânico em uestão! porém! na maior parte das vezes! érepresentado pelo modelo de +oulomb! no ual a força é proporcional ao deslocamento relativoentre as superf*cies deslizantes.

%. &escrição do #nsaio

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Ftilizando um Analisador de Espectro em "reuência! um Aceler,metro $transdutor deresposta em aceleração%! um Amplificador de inais! um Mini 'aer e um istema ibratIrioimples $vi(a de aço! em balanço%! mostrados nas "i(s. $9!;!> e %! mediu-se a resposta de vibração

livre no dom*nio da freuência! a partir de uma determinada excitação (erada pelo Mini 'aer. A partir da curva (erada! determina-se então os valores do fator de amortecimento para cadafreuência observada! o ue nos permite fazer uma an&lise mais profunda em relação K técnica daMeia Potência e Ks poss*veis fontes de erro do experimento.

Além da função de resposta em freuência! o Analisador de Espectro em "reuênciatambém nos disponibiliza um (r&fico de +oerência. Através deste! é poss*vel controlar tanto asobreposição de modos de vibração uanto a presença de ru*do indese=ado no sistema vibratIrio.

Nos dois sistemas estruturais foi feito o mesmo procedimento5 prendeu-se a vi(a em umasuspensão e fixou-se o aceler,metroO conectou-se o aceler,metro ao analisador e entrou-se com asinformaç)es necess&rias $i.e.! sensibilidade do aceler,metro e do Mini 'aer! nmero de pontos demedição! intervalo de freuência a ser medido! nmero de mediç)es a serem efetuadas%O excitou-se

a vi(a com o Mini 'aerO e selecionaram-se as respostas.1 sinal de resposta selecionado é a "unção de #esposta em "reuência $"#"%! (erada peloanalisador pela técnica da Hransformada #&pida de "ourier $""H%. A partir das curvas (eradas!

podem ser determinados experimentalmente os valores do fator de amortecimento.

Figura 2 - Analisador de Espectro em Frequência.

Figura 3-Amplificador de Sinais

Vibrações Mecânicas Página # 0!0"!201#





Figura -!ini S"a#erFigura $-!ontagem do Sistema %i&rat'rio

Simples

Para realização da pr&tica! diversos parâmetros de resposta e correç)es foram utilizados oumodificados no analisador de espectro em freuência! inclusive a sensibilidade do transdutor e doMini 'aer! as uais foram a=ustadas conforme as curvas de calibração dispon*veis no laboratIrio!"i(s. $ e B% respectivamente.

Figura (-)ertificado de cali&ração do transdutor.






Figura *-)ertificado de cali&ração do !ini S"a#er.

'. Resu$tados e An($ises

/urante a pr&tica foram obtidas duas "unç)es de #esposta em "reuência $"#"%! =untamente com as respectivas +oerências. As "i(s. $ e 73% apresentam as curvas de "#" $(QN% emfunção da "reuência $Rz% e as "i(s. $G e 77% apresentam os valores de +oerência em função da"reuência $Rz%.

Figura +-Função de Frequência em Resposta para a ,iga li,re li,re.

Vibrações Mecânicas Página % 0!0"!201#





Figura -)oerência para a ,iga li,re li,re.

Figura 1-Função de Frequência em Resposta para a ,iga engastada li,re.

Vibrações Mecânicas Página 0!0"!201#





Figura 11-)oerência para a ,iga engastada li,re.

1s resultados obtidos no experimento! "#" $(QN%! foram exportados para o software Excel eentão representados de forma (r&fica nas "i(s. $ a 77%! sendo dispostos em função da freuência.

A partir dos dados das "i(s. $ e 73% p,de-se retirar os valores referentes Ks freuênciasnaturais do sistema $picos de "#"% de forma visual ou com a utilização de rotinas no software

Excel. S importante ressaltar ue os valores de pico da "#" $(QN% devem ser tomados onde a+oerência apresenta valores i(uais ou prIximos da unidade.

Para a vi(a livre-livre podemos selecionar uatro picos e para a vi(a en(astada-livre cinco picos! desconsiderando-se o primeiro pico pelo fato da +oerência ser muito menor ue a unidade!como é poss*vel observar na "i(. $77%.

1s resultados obtidos para a vi(a de aço en(astada-livre com a técnica da Meia Potênciaestão presentes na Habela 7.

Habela 7-#esultados obtidos com a técnica da Meia Potência para a vi(a en(astada-livre.

Viga

Engasta

da Livre

Parâmet

ros Pico 1 Pico 2 Pico 3 Pico 4 Pico 5

Q 2&#0"%4 7&40$$1 4&024 &%4$%% 1&7#%12

ωn 12&0 2"2&0 41%&0 #20&0 %7"&0

Q /√ 2 1&%42#1 "&2$4$ $&"2%#$ #&#0#7 1&2"02"

ω1 12%&1 2"0&2 41$&% #17&2 %#4&0

ω2 1$0&% 2"$&2 421&4 #22&# %%&0

ξ 0&01047 0&00"" 0&000 0&004$" 0&0142






1s resultados obtidos para a vi(a de aço livre-livre com a técnica da Meia Potência estão presentes na Habela 9.

Habela 9-#esultados obtidos com a técnica da Meia Potência para a vi(a livre-livre.

Vig

a

Liv

re

Liv

re

Parâmet

rosPico 1 Pico 2 Pico 3 Pico 4

Q 12&"$47

0

$0&$1

%

1#&%$%

#

4%&$0%7

$ωn 10#&0 24&0 141"&0 1"44&0

Q /√ 2 %&%#$$721&1"4

11&07"

%

$4&1"4

$ω

1 104&7 22&0 1402&0 1"40&%

ω2 10#&# 24& 14$1&0 1"47&2

ξ 0&00%# 0&004$ 0&0102" 0&00207

ApIs a conclusão do ensaio! podemos considerar ue as principais fontes de erros este=amrelacionadas ao in*cio da obtenção dos dados! ou se=a! até ue o sistema atin=a sua estabilidadeO oru*do intr*nseco ao local e do meio de realização da pr&ticaO deficiências dos euipamentos e atémesmo do procedimento para realização do ensaioO o operador dos euipamentos e também a formacomo se deu a aplicação da força de excitação $através de um Mini 'aer ao invés de um martelode excitação instrumentado com transdutor de força acoplado%O incertezas e erros de calibração do

aceler,metro e do analisador de espectro em freuência.A ener(ia dissipada por um sistema e conseuentemente o amortecimento variam com afreuência. Hal consideração pode ser observada nas Habs. $7 e 9%. 1 amortecimento do tipo viscosovaria linearmente com a freuência! enuanto o estrutural permanece constante.

). *onc$usão

Pode-se perceber ue os valores do amortecimento foram diferentes! apesar de estarem prIximos para os casos em ue se analisou a função de ponto e a função de transferência. 1s picosintermedi&rios das representaç)es podem ter ori(em na interferência ue o sistema sofre durante o

per*odo de vibração.1 amortecimento do sistema é mel'or representado pelo amortecimento estrutural! =& ue omeio ue envolve o sistema possui caracter*sticas de amortecimento menos relevantes ue oamortecimento (erado pela estrutura.

Por meio das an&lises efetuadas durante o relatIrio! nota-se ue o método da Meia-Potênciaé bastante til e eficaz uando dese=a-se obter o fator de amortecimento do sistema a partir de suarespectiva resposta em freuência. +ontudo! deve-se ficar atento Ks 'ipIteses simplificadoras! dadoue elas podem reduzir sua aplicabilidade5

• 1 amortecimento do sistema deve ser peuenos $ ξ<0,05 %O

• 1s picos são considerados como sendo ori(inados devido ao fen,meno de ressonância! ouse=a! eles sI ocorrem nas freuências naturais do sistema analisado.






1s erros pertinentes ao experimento! como =& dito! podem estar diretamente relacionadoscom as fontes de ru*do externo! como por exemplo uma m&uina prIxima ao laboratIrio sendoutilizada! a prIpria incerteza de medição do analisador de espectro em freuência! o processo de

monta(em dos componentes! entre outros.Porém! para a finalidade do experimento! pode-se dizer ue ele cumpriu o seu papel! permitindoaos alunos entender o comportamento de sistemas amortecidos e o processo de c&lculos dosdiversos parâmetros com o empre(o de técnicas distintas.

+. Re,erências -ib$ior(,icas

678 - /uarte! P. /. $937B%. otas de !ula de "i#ra$%es Mec&nicas' Telo Rorizonte5 F"MU.

698 - /uarte! P. /. $937B%. Procedimentos (ara ela#ora$)o do relat*rio da 1+ !ula Pr,tica' TeloRorizonte5 F"MU.

6;8 - #A1! . . $933%. "i#ra$%es Mec&nicas' ão Paulo5 Pearson Prentice Rall.

6>8 - ilva! /. . $933G%. "i#ra$%es Mec&nicas - otas de !ula 2+ "ers)o' "oz do V(uaçu5FNV1EHE.


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Relatório 2 - Meia Potência