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1. RESUMO Em todas as maquinas rotativas, pode-se identificar a problemática do desbalanceamento
rotativo, algumas de forma mais que outras, o qual a vibração ocorre devido a um deslocamento do centro de massa em relação ao centro geométrico. Sabe-se, que este tipo de problema pode trazer seriíssimas avarias a maquina e/ou estrutura que a suporta, se a freqüência de rotação se igualar a freqüência natural do sistema. Além de problemas como ruído intenso que muitas vezes prejudicam a saúde do operador. A fim de reduzir a energia vibracional do sistema, é necessário que se conheçam o parâmetros envolvido com o fenômeno, para ter minimizar ao máximo os danos causados pelo mesmo. Utilizando uma modelagem por parâmetros concentrados, transforma-se um sistema continuo em um sistema discreto, e assim, facilitando a analise e controle aos níveis de confiabilidade necessários.
2. INTRODUÇÃO
As literaturas de engenharia mostra que existem vários tipos problemas associados a vibração forçada em um sistema com 1 GDL e amortecido. Desta forma, um tipo destes problemas pode ser caracterizado como desbalanceamento rotativo, sendo que a sua aplicabilidade em problemáticas envolvendo vibrações em estruturas é bastante relevante. As estruturas que sustentam máquinas que apresentam tal problema, conseqüentemente vibram o que faz necessário o conhecimento e o controle da amplitude de vibração deste sistema, para que o mesmo não venha a falha quando entrar em ressonância o movimento rotativo do motor. Para o completo conhecimento a cerca do problema deve-se e determinar dos seus principais parâmetros do sistema que são rigidez, massa e amortecimento equivalente. Para isso, devemos representar o modelo matemático relacionando as propriedades dos sistemas, de forma, que possamos chegar à solução do problema.
Neste trabalho será abordado o desbalanceamento rotativo em uma viga bi-apoiada com amortecimento estrutural (esterético), com o qual se pode determina os valores de rigidez, massa e amortecimento equivalente, bem como, a freqüência natural associada ao seu grau de liberdade, neste caso, é apenas um.
3. OBJETIVOS
No experimento do sistema massa iremos:
• Determinar a rigidez equivalente • Determinar a massa efetiva e equivalente • Obter o fator de amortecimento na ressonância e a constante de amortecimento
equivalente • Plotar o gráfico fator de amplificação x relação de freqüência experimental e analítico • Plotar o gráfico amplitude x relação de freqüência experimental e analítico • Plotar o gráfico ângulo de fase x relação de freqüência
4. MATERIAIS UTILIZADOS
Os materiais utilizados na experiência foram:
• Bancada universal para teste de vibração (TecQuipment) • Motor elétrico • Lâmpada estroboscopica • Viga de aço de seção retangular • Controlador de rotação • Trena e paquímetro
2
• Balança • Micrometro embutido na bancada
A figura 1 (a) ilustra como a bancada para este experimento foi montada.
Figura 1 – (a) Configuração da bancada universal para o experimento do desbalanceamento; (b) obtençao do angulo
de fase; (c) Detalhe do motor desbalanceado no meio da viga. 5. METODOLOGIA
A metodologia em que este trabalho se baseada segue como etapa inicial o conhecimento do problema físico e a partir deste a concepção do modelo físico e matemático por parâmetros concentrados, de forma, que o valor da freqüência natural e relação de freqüência são determinados analiticamente e experimentalmente, onde se determina o erro relativo. Posteriormente, plotar-se os gráficos, considerando o amortecimento na ressonância, do ângulo de fase, fator de amplificação e amplitude variando com a relação de freqüência. Vale ressaltar, que os calculo que serão feito para o modelo analítico serão mostrados na fundamentação teórica.
Descrevendo experimento de forma resumida, colocamos uma viga, de aço e massa conhecida, presa em uma bancada de forma que esta represente uma viga bi-apoiada. Um motor de massa conhecida é preso no meio da viga. Ao eixo do motor, existe um disco com um furo para gerar o desbalanceamento. Então, conectamos este junto ao um controlador de rotação e a lâmpada estroboscopica, e ainda, um sistema elétrico conectado a haste do motor que quando fechado o circuito é emitido um flash de luz da lâmpada. Quando o sistema começa a vibrar, é possível mesurar a amplitude por esta distancia de contato. Como a resposta da vibração tem a mesma freqüência que a excitação, defasado por um ângulo de fase, assim, cada vez que o circuito é fechado tem-se um ciclo por uma unidade tempo, ou seja, a freqüência do flash será a mesma da excitação e podemos observar o ângulo de fase através de uma escala que existe no disco acoplado ao motor. Utiliza-se o papel milimetrado para medir as amplitudes e o deslocamento da caneta. As hipóteses adotadas para o problema foram:
• Dissipação esterética pela viga • Modela-se como uma viga bi-apoida, por parâmetros concentrados
6. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
6.1. Rigidez para viga bi-apoida
Para obtermos a rigidez de uma viga bi-apoiada com o carregamento aplicado no meio da mesma, devemos considerar que o deslocamendo da viga é proporcional a força aplicada, de forma
(a) (b) (c)
3
que o maior valor da flexa será exatamente aonde este carregamento foi aplicado. Portanto, para equaçao de deformaçao elastica da viga, temos: 𝑃 = 𝑘𝑦 (1)
A figura 3 mostra o diagrama de corpo livre para uma viga bi-apoiada, com a representaçao do momento fletor, a qual a viga é submetida.
Figure 3 – Diagrama de corpo livre de uma viga bi-apoida.
Assim, determinamos os valores de momento fletor antes do carregamento e depois do
carregamento. Assim para valores de 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿/2, temos:
𝑀 𝑥 = −𝑃𝑥!2 (2)
E para !
!≤ 𝑥 ≤ 𝐿:
𝑀 𝑥 =𝑃 𝑥! − 𝐿
2 (3)
Como a equaçao como o carregamento é aplicado de forma que a deformaçao será simetrica, a
equaçao do deslocamento em funçao do comprimento da viga será a mesma. Sabendo que A equaçao da linha elastica é dada por:
𝐸. 𝐼𝑑!𝑦𝑑𝑥! = 𝑀 𝑥
(4)
Substituindo o valor do momento, temos:
𝐸. 𝐼𝑑!𝑦𝑑𝑥! = −
𝑃𝑥2
Calculando a primeira integral da equação, temos a equação da declividade, 𝐶! é a primeira
constante de integraçao que será determinada.
4
𝐸. 𝐼𝑑𝑦𝑑𝑥 = −
𝑃𝑥!
4 + 𝐶! (5)
Calculando a segunda integral da equaçao, temos a equaçao da flexa, onde 𝐶! é a segunda
constante de integraçao a ser determinada.
𝐸. 𝐼.𝑦 𝑥 = −𝑃𝑥!
12 + 𝐶!𝑥 + 𝐶! (6)
Assim, para encontrar os valores de 𝐶! e 𝐶! deve-se utilizar as condições de contorno do
problema.
𝑥 =𝐿2 →
𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0
𝑥 = 0 → 𝑦(0) = 0
Substituindo os valores de x na equação da declividade e equação da flexa, os valores de 𝐶! e 𝐶!,
serão:
𝐶! = 0
𝐶! =𝑃𝐿!
16 Finalmente, substituindo os valores de 𝐶! e 𝐶! na equação da linha elástica, os valores de 𝐶! e
𝐶!, temos:
𝐸. 𝐼.𝑦 𝑥 = −𝑃𝑥!
12 +𝑃𝐿!𝑥16
Arrumando a equação, final da linha elatica para qualquer valor de x, será:
𝑦 𝑥 =𝑃𝑥(−4𝑥! + 3𝐿!)
48𝐸. 𝐼 (7)
Sendo a equaçao para o deslocamento máximo da flexa, em 𝑥 = 𝐿/2, será:
𝑦!"# = 𝑦 𝐿/2 =𝑃𝐿!
48𝐸. 𝐼 (8)
Portanto, o valor do deslocamento máximo da viga na equação de deformação elástica
equivalente, o valor da rigidez do sistema será: 𝑃𝑦 = 𝑘!" =
48𝐸. 𝐼𝐿! (9)
5
6.2. Massa efetiva e equivalente para uma viga bi-apoiada A fim de determinar a massa equivalente do sistema, devemos considerar a influência da massa
da viga juntamente com massa do motor no movimento oscilatório. Para isso, utiliza-se os valores das energias cineticas para cada corpo, contudo, deve-se lembra que o sistema se comporta como um corpo rigido. Assim, temos:
𝐸!!" = 𝐸!!"#"$ + 𝐸!!"#$
(10)
Como procurar-se o valor da massa efetiva da viga, olharemos primeiro para a energia cinetica
para quer ponto infinitesimal deste corpo. Na figura 4 mostro modelo fisico arranjado para este problema.
Figure 4 – Modelo físico para determinação da massa efetiva.
A partir do elemento infinitesimal da viga, a energia cinetica para este elemento:
𝑑𝐸!!"#$ =12𝑑𝑚!"#$𝑦!
(11)
Considerando que as propriedades da viga nao variam com seu comprimento, a densidade linear
da viga para o elemento infintesimal será:
𝑑𝑚 = 𝛾𝑑𝑥 (12) Substituindo na equaçao da energia cinética e integrando no intervalo de x igual a 0 à L
𝑑𝐸!!"#$!
!=
12 𝛾𝑑𝑥𝑦
!!
!
Porém, podemos considerar apenas a metade da viga, devido a simetria da mesma, onde temos:
𝐸!!"#$ = 2 𝛾12𝑦
!𝑑𝑥!/!
! ∴ 𝐸!!"#$ = 𝛾 𝑦!𝑑𝑥
!/!
!
(13)
6
Para determinar o valor da velocidade podemos utilizar uma relaçao entre a deformação estática e a deformação dinâmica da viga. Na figura 5 representa o modelo considerando a deformações estáticas e dinâmicas.
Figura 4 – Equiparação entre os deslocamentos estaticos e dinâmicos.
Então, relacionando proporcionalmente os deslocamentos com as suas posiçoes, obtem-se:
𝑦∆(𝑥) =
𝑧∆(𝐿/2) ∴ 𝑦 =
∆(𝑥)∆(𝐿/2) 𝑧
(14)
Derivando o deslocamento y no tempo, temos o valor da velocidade para quaisquer pontos da
viga.
𝑦 =∆(𝑥)∆(𝐿/2) 𝑧
(15)
Substituindo na equação da energica cinetica da viga e ordenando os coeficientes, temos:
𝐸!!"#$ =𝛾
∆(𝐿/2)! 𝑧! ∆(𝑥)!𝑑𝑥
!/!
!
(16)
Onde ∆(𝑥) é a equaçao da linha elastica e ∆(𝐿/2) é a equaçao da flexa maxima para a viga bi-
apoiada, demonstrada anteriormente. Assim, relacionando as equações do deslocamento em quelquer ponto e deslocamento máximo, obtem-se:
∆(𝑥) =𝑥∆ 𝐿/2 (−4𝑥! + 3𝐿!)
𝐿! Substituindo na equação da energia cinética, chega-se em:
𝐸!!"#$ =𝛾
∆(𝐿/2)!𝐿! 𝑧!∆ 𝐿/2 ! 𝑥!(−4𝑥! + 3𝐿!)!𝑑𝑥
!/!
!
Simplificando e reorganizando os termos da equaçao, temos:
𝐸!!"#$ =𝛾𝐿! 𝑧
! (9𝐿!𝑥! − 24𝑥!𝐿! + 16𝑥!)𝑑𝑥!/!
!
(17)
Resolvendo a integral definida, obtemos:
𝐸!!"#$ =1735
𝛾𝐿!𝐿!
2 𝑧!
7
E finalmente, a equação da energia cinética da viga e o valor da massa efetiva.
𝐸!!"#$ =1735𝑚!"#$𝑧!
2 (18)
Substituindo a equaçao da energida cinetica da viga na equaçao de energia cinetica de todo o
sistema, determinamos
12𝑚!"𝑦! =
12𝑚!"#"$𝑦! +
1735𝑚!"#$𝑧!
2 (19)
Assim a equação que determina a massa equivalente do sistema será:
𝑚!" = 𝑚!"#"$ +1735𝑚!"#$ (20)
6.3. Vibração forçada
O modelo físico de um sistema com 1 GDL, amortecido e forçado, gerado a partir do problema
real, é mostrado na figura 5 a seguir.
Figure 5 – Modelo real e físico de um sistema com 1GDL, com amortecimento esteretico e vibração forçada
Onde 𝑚!" é a massa equivalente, 𝑘!" é a rigidez equivalente e 𝑐!" é a constante de
amortecimento equivalente. Se 𝑥 for medido a partir do ponto de equilíbrio estático massa 𝑚!", aplicando a segunda lei de Newton e considerarmos o força excitadora que varia no tempo 𝐹(𝑡) temos a seguinte equação do movimento
𝑚!"𝑥 + 𝑐!"𝑥 + 𝑘!"𝑥 = 𝐹(𝑡) (21)
Onde para resolver a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem, assumimos a
solução a forma:
𝑥 𝑡 = 𝑥! 𝑡 + 𝑥!(𝑡) (22) Sendo 𝑥! 𝑡 e 𝑥!(𝑡) sao a solução homogenea e particular da equaçao do movimento,
respectivamente. Contudo a 𝑥! 𝑡 é solucionado com um problema de valor inicial, no entanto, tende a zero quando a maquina entra em regime, de forma, que apenas 𝑥!(𝑡) é soluçao da equaçao, como mostra a figura 6.
8
Figura 6 –Solução homogenea, particular e geral para o caso sub-amortecido.
Assim para a força externa, de natureza harmonica, obtemos a seguinte expressão:
𝐹 𝑡 = 𝐹!𝑒!"# = 𝐹! sin𝜔𝑡 (23) E a resposta particular da vibração terá a mesma natureza, porem defasada de um ângulo 𝜑.
𝑥! 𝑡 = 𝑋𝑒!(!"!!) = 𝑋! sin(𝜔𝑡 − 𝜑) (24) Sendo 𝑋! e 𝜑 são amplitude e fase, respectivamente. E seus valores são solução da equaçao do
movimento, deste modo, amplitude será determinada por:
𝑋! =𝐹!/𝑘!"
1− 𝑟! ! + 2𝑟ξ ! 𝑜𝑢 𝑋! =
𝐹!(𝑘!" −𝑚!"𝜔!)! + (𝑐!"𝜔) !
(25)
E a fase será determinada utilizando
𝜑 = tan!!2𝑟ξ1− 𝑟! 𝑜𝑢 𝜑 = tan!!
𝑐!"𝜔(𝑘!" −𝑚!"𝜔!
(26)
O valor de ξ pode ser obtido, na regiao de ressonância, ou seja, 𝑟 = 1, como:
ξ =𝐹!/𝑘!"2𝑋!
9
6.4. Desbalanceamento rotativo
Figura 7 – Rotação da massa desbalanceadora.
Na figura 7 mostra uma aplicaçao de um modelo simplificado de um sistema com um 1 GDL, amortecido e forçado para o problema de desbalanceamento em maquinas rotativas. A massa total da maquina será M, e a massa desbalanceadora será m. A força centrifuga, representada por 𝐹!"#$%!&, pode ser decomposta nas direçoes x e y ou horizontal e vertical. Assim, o somatorio de forças na direçao da força centrifuga para o sistema físico em questão, temos:
𝐹! = 𝑚𝑎! ∴ 𝐹! = 𝑚!𝜔!𝑒 (27)
Sendo que 𝑚! é a massa desbalanceadora e 𝑒 é a excentricidade. Se a posição angular da massa
for medida considerando a posição vertical, então sua componente da excitaçao será dada por
𝐹 𝑡 = 𝑚!𝜔!𝑒 sin𝜔𝑡 (28) Então a equação do movimento pode ser extraida da mesma forma que anteriormente.
𝑚!"𝑥 + 𝑐!"𝑥 + 𝑘!"𝑥 = 𝑚!𝜔!𝑒 sin𝜔𝑡 (29) A solução da equação será, portanto, idêntica ao que foi mostrado para o modelo de vibração
forçada amortecida com 1 GDL. Subtituindo o valor da força desbalanceadora (eq.(25)) nas equações da amplitude e da fase mostrada anteriormente, considerando como nossa solução a o movimento em regime, ou seja, 𝑥(𝑡) = 𝑥!(𝑡).
𝑋! =𝑚!𝜔!𝑒 /𝑚!"𝜔!!
1− 𝑟! ! + 2𝑟ξ ! → 𝑋! =
𝑈𝑚!"
𝑟!
1− 𝑟! ! + 2𝑟ξ ! (30)
Onde U é caracterizado como o desbalancemento, 𝑚!×𝑒. Outrossim, pode-se definir o fator de
amplificação (R), como sendo:
𝑅 =1
1− 𝑟! ! + 2𝑟ξ !=
𝑋!𝐹!/𝑘!"
(31)
Seguindo com as caracteristicas do fator de amplificaçao pode ser notada como a partir dos
graficos mostrados na figura 8, que mostra a relaçao R com a relaçao de frequencia (r) e ainda a
10
relaçao com ângulo de fase para diferentes valores de ξ, ou seja, super-amortecido, sub-amortecimento e criticamente amortecido.
Figura 8 – Variação de X e 𝜑 com a relação de frequência.
7. DISCURSSÕES E RESULTADOS Neste tópico, devemos calcular o valor de freqüência natural de forma analítica para isso
devemos conhecer a rigidez equivalente da viga e o valor da massa efetiva e equivalente. Onde o ultimo, foi determinado pesando a massa da viga e a massa do conjunto motor . Já rigidez foi determinada a partir dos dados obtidos da geometria da viga. Considerando que a mesma é feito de aço com módulo de elasticidade igual a 207 GPa, seção transversal retangular de 1”x1/2”, comprimento de 0,837 m e massa de 2,086 kg. Além do motor desbalanceado, de 2,972 kg, que tem massa desbalanceadora de 0,0085 kg e a excentricidade de 0,038 m. Portanto, sabemos pela teoria que o problema deve ser tratado é,na verdade, um sistema sub-amortecido, sendo assim, os valor do fator de amortecimento esperado para o experimento deverar ser menor que 1. E para a relaçao de frequencia, sabemos que a fase deverá ser igual a 1. A partir destes parametros podemos calcular frequência natural, rigidez e massa equivalente do sistema.
Massa Equivalente Rigidez Equivalente
Freqüência Natural Analítica
𝑘!" =48𝐸𝐼𝑙! 𝑚!" = 𝑚!"#"$ +
1735𝑚!"#$
𝜔!_! =𝑘!"𝑚!"
𝑘!" = 5𝑥10! 𝑁/𝑚
𝑚!" = 3,9852 kg
𝜔!_! = 116,358 rd/s
Com os dados experimentais medidos, utilizando o micrometro embutido e a lampada
estroboscopica, podemos determinar o valores de fase e amplitude para cada rotaçao controlada pelo controlador de rotação, e ainda, identificar a regiao de ressonancia atraves da fase, que deverá ser igual a 90, onde a relação de frequência será igual a 1,encontrando assim a frequência natural experimentalmente. Na tabela 1, mostra os dados obtido para cada valor de frequência de rotação do motor, amplitude e fase.
11
Tabela 1 – Valores da fase e amplitude variando com 𝜔 e 𝜔!_!!" obtida na ressonância.
𝜔 (RPM) Fase (graus) Amplitude_exp (m) 𝜔!_!"# (RPM)
r_exp = 𝜔/𝜔!_!"#
825 14 2,40E-‐04 1200 0,688 925 10 2,70E-‐04 1200 0,771 1025 5 3,50E-‐04 1200 0,854 1125 4 6,20E-‐04 1200 0,938 1175 10 1,40E-‐03 1200 0,979 1200 90 7,37E-‐03 1200 1,000 1275 150 8,70E-‐04 1200 1,063 1325 200 5,90E-‐04 1200 1,104 1400 165 4,60E-‐04 1200 1,167 1600 160 3,00E-‐04 1200 1,333 1700 205 2,90E-‐04 1200 1,417
Com os dados referentes ao motor desbalanceado e frequência de rotação poderemos calcular o
valor da forças desbalanceadoras e fator de amplificação experimental para cada uma dessas rotações. Na tabela 2, temos os valores da força desbalanceadora e fator de amplificação variando com a frequência natural.
Tabela 2 – Valores da força desbalanceadora e fator de amplificação experimental.
𝜔 (rd/s) Força desbal. (N) Fator Amplificação (R_exp) 86,39 2,411 5,372 96,86 3,031 4,807 107,33 3,721 5,075 117,81 4,483 7,463 123,04 4,890 15,447 125,66 5,100 77,967 133,51 5,758 8,153 138,75 6,218 5,119 146,60 6,942 3,575 167,55 9,067 1,785 178,02 10,236 1,529
Então para r = 1, Calcula-se o fator de amortecimento esteretico da viga, utilizando a força
desbalanceadora e amplitude (deslocamento máximo) para esta condição, e ainda o valor da rigidez equivalente. De posse do valor de ξ, podemos calcular o valor da constande de amortecimento estrutural do sistema.
Fator de Amortecimento
Constante de amortecimento
ξ =𝐹!/𝑘!"2𝑋!
𝑐!" = 2ξ 𝑘!"𝑚!"
ξ = 0,0067
𝑐!" = 6,23 𝑁. 𝑠/𝑚
12
Utilizando o valor do fator de amortecimento, pode-se calcular analiticamente, valores de amplitudes (com a eq. 31), e ainda deteminar os valores de relação de frequência analítica utilizando a rigidez e a massa equivalente. Na tabela 3 são apresentados os valores determinados Analiticamente com equações mostradas na fundamentação teórica.
Tabela 3 – Amplitude, relação de freqüência e fator de amplificação para cada valor 𝜔.
𝜔 (RPM) 𝜔!_! (RPM) r_a Amplitude_a (m) Fator de amplificação (R_a) 825 1111,113 0,742 9,96E-‐05 1,229 925 1111,113 0,832 1,83E-‐04 2,259 1025 1111,113 0,922 4,64E-‐04 5,728 1125 1111,113 1,012 3,95E-‐03 48,718 1175 1111,113 1,057 7,72E-‐04 9,530 1200 1111,113 1,080 5,71E-‐04 7,041 1275 1111,113 1,147 3,37E-‐04 4,163 1325 1111,113 1,192 2,73E-‐04 3,373 1400 1111,113 1,260 2,19E-‐04 2,703 1600 1111,113 1,440 1,57E-‐04 1,932 1700 1111,113 1,530 1,42E-‐04 1,746
Seguindo a metodologia proposta, podemos enfim esboçar o gráfico da amplitude variando com
a relação de freqüência analítico-experimental. A figura 9 mostra o gráfico da relação de freqüência x amplitude.
Figura 9 – Variação de X a relação de frequência.
E ainda, fazendo uso das tabelas 1, 2 e 3 é possível plotar os valores de fator de amplificação e ângulo de fase variando com a relação de freqüência. A figura 10 (a) exibi os valores de fatores de amplificação variando com a relação de freqüência analítico-experimental e a figura 10 (b) representa o valores de ângulo de fase variando com a relação de freqüência.
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008
0 0,5 1 1,5 2
Amplitu
de (m
)
Relação de frequência
Experimental
AnalíOco
13
Figura 10 – (a) Variação de R com a relação de freqüência; (b) variação de 𝜑 com a relação de frequência.
Com isso nota-se uma discrepância entre valores das freqüências naturais e relação de freqüência, na ressonância, experimental e analítica. Desta forma, determinar-se o valor do erro relativo ao experimento.
Erro relativo a 𝛚𝐧
Erro relativo a 𝒓 na ressonância
erroωn =ωn_exp − ωn_a
ωn_exp×100
error =rexp − rarexp
×100
erroωn = 7,4%
error = 8%
8. CONCLUSÕES
Como já foi discutido, muitas são as aplicações de sistemas contínuos onde podemos aplicar a
modelagem por parâmetros concentrados, onde temos um sistema de vibração forçada, com 1 GDL e com amortecimento, sendo assim este trabalho nos mostra-se como pode-se determinar o valor da freqüência natural, rigidez, massa e amortecimento equivalente, neste caso como temos apenas o amortecimento estrutural (esterético) percebe-se como o seu valor é ínfimo, o que significa que para reduzir o tempo de ressonância (maior amplitude) pode ser introduzido no sistema um elemento de amortecimento viscoso ou viscoelastico.
Observa-se ainda, que o erro encontrado para o valor da freqüência natural foi em torno de 7,4%, o que valida o experimento nas condições na qual foi realizado. Sabe-se que este erro referente a forma como foi medido as amplitudes, de forma, a inferir erros como paralaxe e mal contato do circuito elétrico. Contudo, como pode ser observado no gráfico da figura 10 (b) existe uma grande dispersão nos resultados, o que nos leva a linearizar o gráfico, e obter os erros nos mesmo. E ainda, quando comparado com o gráfico da figura 8, podemos perceber que a medição do ângulo de fase não foi tão coerente como deveria. Isto acontece devido da freqüência de flash da lâmpada ser diferente da freqüência de rotação do motor. Alem disto, podem existir erros devido a as hipóteses e simplificações feitas para este modelo, principalmente no que se diz respeito à modelagem por parâmetros concentrados.
A prática experimental da analise de vibração lateral em uma viga bi-apoiada mostro-nos que a resposta do sistema, em amplitude, relação de freqüência e fator de amplificação no domínio do tempo, apresenta-se como suficiente para determinação de parâmetros essenciais a monitoração de equipamentos submetidos a este tipo de regime (desbalanceamento), tornando possível o controle
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0 0,5 1 1,5 2
Fator d
e Am
plificaçao (R)
Relação de Frequência (r)
Experimental
AnalíOco
0 0,5 1
1,5 2
2,5 3
3,5 4
0 0,5 1 1,5
Ângulo de fase (rad
)
Relação de Frequência (a) (b)
14
desses referidos parâmetros, de tal forma que se faça o equipamento trabalhar permanentemente em regime ideal, fora da ressonância, condição que poderá levar falha do material.
9. REFERÊNCIAS
Inman, D. J. Engineering Vibration. Pearson Prentice Hall. 2th Ed. United States of America.
2001. Rao, S. S. Mechanical Vibrations. Pearson Prentice Hall. 4th Ed. United States of America. 2004.
Pg. 20 e 42 Soeiro, N. S. Curso de fundamentos de vibração. Universidade Federal do Pará, 2008. Soeiro, N. S. Notas de Aula, 2011.
15
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE TECNOLOGIA - ITEC
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA - FEM
DANILO DE SOUZA BRAGA
07188002201
VIBRAÇAO LATERAL EM UMA VIGA BIAPOIADA COM
AMORTECIMENTO ESTRUTURAL (DESBALANCEAMENTO
ROTATIVO)
1º Semestre / 2011
16
SUMÁRIO
1. RESUMO................................................................................................................................... 1
2. INTRODUÇÃO........................................................................................................................ 1
3. OBJETIVOS............................................................................................................................. 1
4. MATERIAIS UTILIZADOS................................................................................................... 1
5. METODOLOGIA..................................................................................................................... 2
6. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA........................................................................................... 2
6.1 Rigidez para viga bi-apoida............................................................................................. 2
6.2 Massa efetiva e equivalente para uma viga bi-apoiada................................................. 5
6.3 Vibração forçada.............................................................................................................. 7
6.4 desbalanceamento rotativo.............................................................................................. 8
7. RESULTADO E DISCURSSÕES......................................................................................... 10
8. CONCLUSOES....................................................................................................................... 13
9. REFERÊNCIAS...................................................................................................................... 14
