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1. INTRODUÇÃO
Vibração ou oscilação é todo movimento cuja sua repetição acontece após certo
intervalo de tempo e sistemas vibratórios são caracterizados por possuírem um meio de
armazenamento da energia potencial (elemento de massa e/ ou elemento de mola), um meio
para armazenar energia cinética (elemento de massa) e outro responsável pela perda gradual
de energia (elemento amortecedor).
O experimento realizado é caracterizado como um sistema forçado amortecido e com
um grau de liberdade, isto significa que, no decorrer do experimento, a vibração era gerada
por uma excitação harmônica inserida no sistema, as perdas de energia durante o experimento
foram consideradas e, tomando-se mão de hipóteses simplificadoras, adotou-se o sistema
como discreto (uma coordenada independente descreve o movimento). De forma sucinta, o
experimento consistiu na análise da vibração lateral de uma viga, causada pelo
desbalanceamento de um disco que rotacionava sobre a mesma.
Este relatório tem por finalidade determinar o fator de amortecimento do sistema, além
de gerar gráficos como o da amplitude, resposta e ângulo de fase em função da relação de
frequência (r) tanto para o modelo experimental como para o teórico, finalizando com suas
respectivas análises.
5
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1. Vibração Forçada amortecida com um grau de liberdade
Vibração forçada é aquela que ocorre quando o sistema sofre ação de forças externas
durante o movimento. As forças que atuam sobre o sistema podem ser aleatórias ou
determinísticas caracterizando o movimento vibratório. Abaixo estão listadas as excitações
mais comuns com suas respectivas respostas.
F(t) harmônica: x(t) harmônica monofrequencia;
F(t) periódica não harmônica: x(t) harmônica multifrequencia;
F(t) aperiódica de curta duração: x(t) transiente;
F(t) aleatória (ou randômica): x(t) aleatória.
A excitação harmônica pode ser facilmente encontrada em sistemas mecânicos como,
por exemplo, automóveis se deslocando sobre estrada de perfil senoidal, chaminés altas
submetidas a vórtices, ou mesmo o experimento em questão, o qual nada mais é do que uma
máquina rotativa desbalanceada.
A resposta de um sistema forçado amortecido tem a mesma forma da excitação
(função harmônica), a mesma frequência da excitação (ω), entretanto é atrasada em relação à
excitação de um ângulo de fase , conforme será mostrado adiante.
Em geral, todo e qualquer sistema vibratório é contínuo (possui infinitos graus de
liberdade), contudo, para efeito de análises físicas e matemáticas, estes sistemas são
simplificados para um modelo físico, onde então é adotada a condição de um sistema discreto
(com finitos graus de liberdade).
2.2. Vibração lateral de uma viga proveniente de um desbalanceamento
2.2.1. Generalidades
O sistema real (Fig. 1) é composto por uma viga e um rotor cujo disco encontra-se
desbalanceado devido à ausência de massa (Fig. 2). Ao se fornecer a excitação harmônica ao
sistema, a estrutura movimenta-se e o desbalanceamento do disco (excentricidade e) gera uma
força centrífuga Fo determinante para a resposta do movimento.
6
Fig. 1 – Modelo real Fig. 2 – Disco do rotor
Como em todo sistema oscilatório, a rigidez (keq), a massa equivalente (meq) e
amortecimento (Ceq) são propriedades intrínsecas especificadas após a determinação das
hipóteses simplificadoras.
2.2.2. Modelagem Matemática
Como dito anteriormente, a resposta gerada por uma excitação harmônica é também
harmônica e com uma única frequência, tratando-se de um sistema com 1GDL, a mesma pode
ser obtida pela segunda Lei de Newton, por meio da Eq.(1).
𝑚𝑒𝑞�̈� + 𝑐𝑒𝑞�̇� + 𝑘𝑒𝑞𝑥 = 𝐹(𝑡) (1)
Sabendo-se que essa equação é não homogênea, e o sistema sendo linear, aplica-se o
Princípio da Superposição dos Efeitos (PSE) para determinar sua solução geral x(t), que agora
é dada pela solução homogênea xh(t) somada a sua solução particular xp(t).
𝑥(𝑡) = 𝑥ℎ(𝑡) + 𝑥𝑝(t) (2)
Em regime permanente de operação a parcela homogênea, xh(t), da resposta possui
tendência nula, como mostrado na Eq.(3).
lim𝑡→∞
𝑥(𝑡) = 𝑥𝑝(𝑡) (3)
A solução particular (resposta forçada), xp(t), que representa a resposta permanente no
tempo, caracteriza-se pela presença de uma amplitude (X), uma frequência (ω) e um ângulo
de fase (), de acordo com a Eq.(4).
𝑥(𝑡) = 𝑋𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝜃) (4)
Sendo a função harmônica da excitação F(t) = F0cos(ωt), a equação do movimento
passa a ser:
𝑚𝑒𝑞�̈� + 𝑐𝑒𝑞�̇� + 𝑘𝑒𝑞𝑥 = 𝐹𝑜 cos 𝜔𝑡 (5)
A solução particular da Eq.(5) é harmônica, admite-se então que ela esteja na forma
dada pela Eq.(6). Onde X e correspondem à amplitude e ao ângulo de fase da resposta,
respectivamente.
𝑥𝑝(𝑡) = 𝑋 cos(𝜔𝑡 − 𝜙) (6)
Substituindo a Eq.(6) na Eq.(5), chega-se à Eq.(7):
7
𝐹𝑜 cos 𝜔𝑡 = 𝑋 [(𝑘𝑒𝑞 − 𝑚𝑒𝑞ω2)cos (𝜔𝑡 − 𝜑) − 𝑐𝑒𝑞𝜔 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 − 𝜑) (7)
Com o auxílio das relações trigonométricas a seguir, substituindo-as na Eq.(7) e
fazendo as devidas comparações algébricas,
cos(𝜔𝑡 − 𝜙) = cos 𝜔𝑡 cos 𝜙 + 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 sen 𝜙 sen(𝜔𝑡 − 𝜙) = sen 𝜔𝑡 cos 𝜙 − 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 sen 𝜙
Obtém-se o resultado a seguir:
𝑋[(𝑘𝑒𝑞 − 𝑚𝑒𝑞𝜔2) cos 𝜑 + 𝑐𝑒𝑞𝜔 𝑠𝑒𝑛𝜑] = 𝐹𝑜
𝑋[(𝑘𝑒𝑞 − 𝑚𝑒𝑞𝜔2) sen 𝜑 − 𝑐𝑒𝑞𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜑] = 0 (8)
Portanto, solucionando-se a Eq.(8), tem-se o resultado mostrado na Eq.(9).
𝑋 =𝐹𝑜
[(𝑘−𝑚𝜔2)2+𝑐2𝜔2]1/2 (9)
Divide-se, então, o numerador e o denominador da Eq.(9) pela rigidez (keq) e fazem-se
as devidas substituições:
𝑤𝑛 = √𝐾𝑒𝑞
𝑚𝑒𝑞 (10)
𝜉 =𝑐
𝑐𝑐=
𝑐
2𝑚𝑤𝑛= 2𝜉𝑤𝑛 (11)
𝛿𝑒𝑠𝑡 =𝐹𝑜
𝑘= 𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑠𝑜𝑏 𝑎 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐹𝑜 (12)
𝑟 =𝜔
𝜔𝑛= 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 (13)
Com isso, chega-se a equação da amplitude de vibração:
𝑋 =𝐹0 𝑘𝑒𝑞⁄
√(1−𝑟2)2+(2𝜉𝑟)² (14)
Sendo a fase:
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (2∗𝜉∗𝑟
1−𝑟2 ) (14.1)
Logo, pode-se concluir que a amplitude de vibração depende de todos os parâmetros
do movimento: rigidez (keq), massa (meq, na determinação de r), amortecimento (𝜉) e
excitação (F0).
2.3. O Experimento
2.3.1. Modelo Físico
Na Fig. 3 está representado o modelo físico adotado para o sistema do experimento, o
qual se constitui de uma mola (keq) disposta verticalmente presa em uma de suas
extremidades; de uma massa (meq) ligada à outra extremidade da mola, um amortecedor, além
do elemento responsável pelo desbalanceamento do sistema (m).
8
Fig. 3 – Modelo físico para o desbalanceamento rotativo
2.3.2. Hipóteses simplificadoras
A adoção de hipóteses simplificadoras é importantíssima na análise dinâmica, uma vez
que facilita o desenvolvimento matemático. Entretanto, deve-se ter cautela ao estabelecer tais
hipóteses, pois deve haver um compromisso entre simplicidade e precisão: o modelo deve ser
o mais simples possível, mas deve reter as características essenciais do sistema real.
Quando se faz a verificação do modelo, e se constata que existe uma discrepância
significativa entre os resultados teóricos e experimentais, a causa do problema,
geralmente,está na adoção de simplificações inadequadas.
As hipóteses simplificadoras adotadas nesse modelo foram:
As propriedades de rigidez do sistema estão concentradas na viga;
Considera-se como elemento de massa (meq) a massa do motor somado à
parcela equivalente da massa da viga;
A oscilação se dá apenas no plano vertical (um grau de liberdade);
2.3.3. Modelo Matemático
A partir do modelo físico e das hipóteses simplificadoras adotadas, faz-se necessário
identificar e solucionar as equações matemáticas do sistema. Duas vertentes de cálculos são
importantes: a analítica e a experimental, onde cada uma possui sua forma particular de
resolução que, no final seus resultados podem ser percentualmente comparados através de
erros.
2.3.3.1.Rigidez Equivalente
A dedução da rigidez é feita a partir do Teorema de Mohr, o qual descreve a relação
entre o momento fletor e as deformações que este produz em uma estrutura, neste caso, uma
viga. A Fig. 4 mostra o esquema da deflexão da viga.
9
Fig. 4 - Esquema da deflexão da viga
De acordo com a teoria de áreas e momentos de Mohr, pode-se encontrar a distância
Δy do ponto B ao C, que representa o valor do momento estático, representado na figura
abaixo:
Fig. 5 – Diagrama de áreas
𝑀𝑐 =𝑃
2 .
𝐿
2=
𝑃𝐿
4 (15)
Como o motor está posicionado no meio da viga, pode-se afirmar que o peso em cada
apoio será P/2, e a distância horizontal de B a C será L/2. Logo, a deflexão da viga é expressa
na Eq.(16):
∆𝒀 = 𝑨. 𝒙, (16)
Onde:
A= área do triângulo
x’= distância de B ao centro do triângulo retângulo que é igual a 2/3*L/2.
Para se determinar a deflexão, é necessário o valor da distância vertical do triangulo
retângulo (∆Y):
∆𝑌 = (𝐿
2.
𝑃𝐿
4𝐸𝐼.
1
2) .
2
3.
𝑙
2 (17)
∆𝒀 =𝑷𝑳𝟑
𝟒𝟖𝑬𝑰 (18)
Sabe-se que a força peso se relaciona com ∆𝑌 e K de acordo com Lei de
Hooke, portanto:
P=K. ∆𝑌 (19)
Isolando K da Eq.19 e substituindo ∆Y da Eq. (18), chega-se ao valor da rigidez:
10
𝑲 =𝟒𝟖𝑬𝑰
𝑳³ (20)
Onde,
E é o módulo de elasticidade do material da viga;
I é o momento de inércia da seção transversal do material da viga;
L é o comprimento da viga.
Este valor também poderia ser retirado da base de dados do RAO, conforme destacado
na tabela a seguir:
Tab. 1 – Molas Equivalentes (RAO)
2.3.3.2. Massa equivalente
A massa equivalente foi obtida através da base de dados do livro RAO, marcado na
tabela a seguir, por outro lado, com o auxílio da Fig. 6, de conhecimentos de mecânica dos
sólidos e cálculo diferencial, abaixo será apresentada uma breve sucinta dedução da fórmula
tabelada.
11
Tab. 2 – Massas Equivalentes (RAO)
Dedução:
Fig. 6 – Esquema da disposição das massas
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2=
−𝑀
𝐸𝐼
∫𝑑2𝑦
𝑑𝑥2= ∫
−𝐹
2∗
𝑥
𝐸𝐼
∫𝑑𝑦
𝑑𝑥= ∫
−𝐹
2𝐸𝐼∗
𝑥2
2+ 𝐶1
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 0 quando 𝑥 =
𝑙
2
0 =−F
2EI∗
l2
8+ C1
C1 =Fl2
16EI
y(x) =−F
4EI∗
x3
3+ C1 ∗ x + C2
Quando y=0, C2=0, então:
12
𝑦(𝑥) =−𝐹𝑥3
12𝐸𝐼+ 𝐶1 ∗ 𝑥
𝑌 =−𝐹𝑥3
12𝐸𝐼+
𝐹𝑙2
16𝐸𝐼
𝑌 =−𝐹𝑙3
48𝐸𝐼(
3𝑥
𝑙−
4𝑥3
𝑙3)
Tal que:
−𝐹𝑙3
48𝐸𝐼= 𝑌𝑜
Yo representa a deflexão máxima da viga
em L/2.
Então:
𝑌 = 𝑌𝑜 (3𝑥
𝑙−
4𝑥3
𝑙3) ; 0 ≤ 𝑥 ≤
𝑙
2
A energia de deflexão máxima da viga é
igual ao trabalho máximo da força, pela Eq.(21):
𝐹 =1
2𝐹 ∗ 𝑌𝑜 (21)
O valor da massa distribuída pode ser
encontrado a partir do cálculo da energia
cinética máxima, a seguir:
= 2 ∗ {1
2
𝑚
𝑙∫ 𝑦2̇(𝑥, 𝑦)𝑑𝑚
𝑙
2
0
} +1
2(�̇�𝑚𝑎𝑥)2̇ 𝑀
=𝑚𝑤𝑛2
𝑙∫ 𝑌2(𝑥)𝑑𝑥 +
1
2𝜔𝑛2𝑌2 max∗ 𝑀
𝑙
2
0
=𝑚𝑤𝑛2
𝑙∫ 𝑌𝑜2 (
9𝑥2
𝑙2+
16𝑥6
𝑙6−
24𝑥4
𝑙4) 𝑑𝑥
𝑙
2
0
+ 1
2𝑌𝑜2𝑀𝜔𝑛2
=𝑚𝑤𝑛2𝑌𝑜2
𝑙[9𝑥3
3𝑙2+
16𝑥7
7𝑙6−
24𝑥5
5𝑙4]
𝑙/20
+1
2𝑌𝑜2𝑀𝜔𝑛2
=1
2∗ 𝑌𝑜2𝑊𝑛2 (
17𝑚
35+ 𝑀)
Fazendo a devida equivalência com a
fórmula da Energia Cinética, tem-se que a
massa equivalente é:
𝑚𝑒𝑞 =17𝑚
35+ 𝑀
(22)
Onde,
m é a massa da viga;
M é a massa do motor e seus acessórios.
2.3.3.3. Desbalanceamento
Um sistema desbalanceado é caracterizado quando o centro de massa de um corpo
rígido em rotação não coincide com o centro de rotação, isto gera uma força centrífuga (Fig.
2), como mostra a equação a seguir:
𝐹0 = 𝑚𝑒𝜔2 (23)
13
2.3.3.4. Amortecimento
A principal característica de um sistema amortecido é o fator de amortecimento (𝜉),
para sistemas desbalanceados, este fator é calculado utilizando-se a Eq.(14), a qual é analisada
na situação mais crítica do movimento, ou seja, quando r =1. Portanto, substituindo-se este
valor de r, além do valor de F0, Eq.(23), na Eq.(14), tem-se a equação do fator de
amortecimento:
𝜉 =𝑚∗𝜔2∗𝑒
2∗𝑋∗𝑘𝑒𝑞 (24)
Onde,
X e ω são valores de amplitude e frequência na ressonância.
Com a fundamentação teórica concluída, agora serão apresentados os materiais,
métodos e resultados obtidos.
14
3. MATERIAIS
O experimento foi realizado numa bancada universal para testes de vibração, na qual
foi anexado o sistema de viga biapoiada, anexado em seu ponto médio um disco
desbalanceado, como pode ser observado na ilustração a seguir:
Fig.6 - Ilustração de uma bancada universal para testes de vibração
Bancada universal para teste de vibração;
Viga de seção transversal retangular;
Disco desbalanceado;
Motor;
Unidade de controle de excitação;
Lâmpada estroboscópica;
Micrômetro
15
DADOS
VIGA ρ - massa específica 7800 kg/m³
E - Módulo de eslaticidade 210 GPa
L - comprimento 0,838 m
b - base da seção transversal 0,0254 m
h - altura da seção transversal 0,0127 m
DISCO φdisco - diâmetro do disco 0,12 m
esp - espessura do disco 0,0063 m
mdf - massa do disco c/ o furo 0,4046 kg
FURO e - excentricidade 0,038 m
φfuro - diâmetro do furo 0,0133 m
espf - espessura do furo 0,0063 m
me - massa excentrica (furo) 0,006827 kg
MOTOR mmotor - massa do motor 3,618 kg
Tab. 3 – Banco de dados do experimento
16
4. MÉTODOS
O experimento constituiu em medir a amplitude e a fase de vibração de uma viga
sujeita a diversas frequências de excitação. A viga, apoiada nas extremidades, possuia um
motor com um disco desbalanceado posicionado no ponto médio da mesma. O motor era
ligado à unidade de controle de excitação e preso à viga rigidamente, ou seja, através dele a
rotação inserida na unidade de excitação era transmitida à viga, fazendo-a vibrar, é importante
ressaltar que as perdas de energia foram consideradas (sistema amortecido). A estrutura que
unia o motor à viga possuía uma haste, que era ligado a uma palheta metálica; o micrometro
estava logo abaixo, possibilitando a medição da amplitude.
O experimento em si foi bem simples de ser realizado, inseria-se valores de frequência
para o sistema e colhia-se do mesmo valores de amplitude e fase correspondentes àquela
rotação. Iniciou-se pela frequência de ressonância, já conhecida por sua fase (90°), e, a partir
dela foram feitas cinco medições com frequências menores e quatro com frequências
superiores a ela.
17
5. RESULTADOS
Conforme explicado no item acima, no experimento foram dadas 10 (dez) entradas de
frequência e, para cada valor, foram observadas uma amplitude e uma fase, como é mostrado
na tabela seguinte. Para efeito de cálculos é necessário que a rotação esteja em Hz, por isso
duas colunas para esses valores.
Amplitude
(mm)
Rotação Ângulo de fase
(°) rpm rad/s
1 0,14 700 73,30 210
2 0,14 800 83,77 215
3 0,22 900 94,25 240
4 0,511 1000 104,72 210
5 1,24 1050 109,95 160
6 2,21 1150 120,42 90
7 0,513 1250 130,90 40
8 0,16 1400 146,60 70
9 0,17 1500 157,08 30
10 0,24 1600 167,55 60
Tab. 4 – Dados experimentais
Como pode ser observado na tabela, a maior amplitude corresponde à frequência de
1150 rpm (ou 19,17 rad/s) e à fase 90°, que já era sabida. Sabe-se que o maior valor de
amplitude é atingido na ressonância, quando a frequência de excitação de iguala à frequência
natural do sistema, portanto, pode-se concluir que a frequência natural experimental deste
sistema é 1150 rpm (ou 19,17 rad/s).
Para dar continuidade aos resultados do experimento, deve-se calcular a frequência
natural analítica ou teórica do sistema, para isso, deve-se encontrar rigidez e massa
equivalentes.
Rigidez equivalente
Como demonstrado anteriormente, a rigidez equivalente será calculada através da
Eq.(20):
𝑲 =𝟒𝟖𝑬𝑰
𝑳³
Como “E” e “L” já foram listados na Tab. 3, basta calcular o momento de inercia da
seção transversal da viga, onde “b” e “h” estão dispostos na mesma tabela, portanto:
𝐼 =𝑏ℎ3
12 𝐼 =
25,4∗10−3∗(12,7∗10−3)3
12 𝐼 = 4,335 ∗ 10−9 𝑚4
Keq então pode ser calculado:
18
𝐾 =48𝐸𝐼
𝐿³=
48∗210∗109∗4,335∗10−9
0,838³= 74,266.10³ N/m
Massa equivalente
Como demonstrado anteriormente, a massa equivalente será calculada através da
Eq.(22), deve-se atentar para os detalhes das massas envolvidas, onde m corresponde à massa
da viga (que pode ser calculada com os dados da Tab. 3) e M à soma das massas do motor e
do disco, considerando-se o furo.
𝑚𝑒𝑞 =17𝑚
35+ 𝑀
Então, para encontrar a massa m, basta multiplicar seu volume total pela massa
específica do material:
m = b*h*L*ρ m = 0,0254* 0,0127* 0,838* 7800 = 2,108 kg
M = 3,618+ 0,4046 = 4,022 kg
Logo, a massa equivalente será:
𝑚𝑒𝑞 =17𝑚
35+ 𝑀 =
17∗2,108
35+ 4,022 = 5,047 kg
Frequência Natural Analítica
𝑤𝑛 = √𝐾𝑒𝑞
𝑚𝑒𝑞 𝑤𝑛 = √
74,266.10³
5,047= 121,308 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑜𝑢 1558 𝑟𝑝𝑚
Com as frequências naturais experimentais e analíticas em mãos, é possível calcular o
erro percentual relativo, relação de frequência (r) e o fator amplificação (R) para ambos os
casos.
Erro percentual da frequência natural relativo ao valor experimental:
𝐸𝑟𝑟𝑜𝜔𝑛% =|𝜔𝑛𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 − 𝜔𝑛𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜|
𝜔𝑛𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙∗ 100 =
|120,42 − 121,308|
120,42= 0,73%
O erro ficou entre 0 e 1%, um valor completamente aceitável.
Gráfico das Amplitudes teóricas e experimentais em função da relação de
frequência
Deve-se fazer um gráfico comparando as amplitudes obtidas experimentalmente com
as obtidas teoricamente. As amplitudes experimentais foram medidas no micrômero durante o
experimento, e as teóricas são encontradas utilizando-se a força resultante do processo de
desbalanceamento. De acordo com a Eq.(23), o desbalanceamento pode ser encontrado
substituindo os valores da rotação, da excentricidade e da massa excêntrica.
O gráfico X = ⨍(r) deve ser obtido com o auxilio de uma tabela como base de dados.
Lembrando que:
19
Amplitude [Eq.(14)]:
𝑋 =𝐹0 𝑘𝑒𝑞⁄
√(1 − 𝑟2)2 + (2𝜉𝑟)²
E r que também já foi apresentado na fundamentação teórica [Eq.13)]:
𝑟 =𝜔
𝜔𝑛
Portando, utilizando-se o EXCEL, é possível criar uma tabela como base de dados e
plotar o gráfico em questão:
X
r Experimental Analítico
0,6087 0,14 0,030
0,69565 0,14 0,047
0,78261 0,22 0,078
0,86957 0,511 0,150
0,91304 1,24 0,235
1 2,21 1,877
1,08696 0,513 0,360
1,21739 0,16 0,163
1,30435 0,17 0,127
1,3913 0,24 0,108
Tab. 5 – Dados de X = ⨍(r)
Gráfico 1 – Amplitude em função da relação de frequência: X = ⨍(r)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,5 1 1,5
Am
plit
ud
e (
X)
Relação de frequência: r=ω/ωn
Experimental
Analítico
20
Gráfico dos Fatores de Amplificação teóricos e experimentais em função
da relação de frequência
Deve-se criar o gráfico que relaciona os Fatores de Amplificação teóricos e
experimentais com a relação de frequência R = ⨍(r). O fator de amplificação, ainda não
apresentado no relatório, é uma relação entre a amplitude da vibração no regime permanente,
X, e o deslocamento devido à aplicação estática da amplitude dessa mesma força, F0/keq, ou
seja, o fator de amplificação é a relação entre o efeito dinâmico da aplicação da força
harmônica F(t) e o efeito estático da aplicação da amplitude dessa mesma força.
𝑅 =𝑋𝐹0
𝑘𝑒𝑞
=1
√(1 − 𝑟2)2 + (2𝜉𝑟)²
Para criar a tabela de dados, apenas esta fórmula será utilizada, diferentemente da
amplitude, o fator de amplificação experimental não é colhido no ato do experimento e deve
ser calculado assim como o teórico. Apesar das relações de frequências experimentais e
analíticas serem muito parecidas, são diferentes, o que irá gerar uma pequena discrepância nos
valores de R.
R
r Experimental Analítico
0,61 1,588 1,575
0,70 1,937 1,911
0,78 2,578 2,520
0,87 4,087 3,912
0,91 5,964 5,566
1,00 43,627 37,051
1,09 5,459 6,018
1,22 2,071 2,167
1,30 1,425 1,476
1,39 1,068 1,101
Tab. 6 – Dados de R = ⨍(r)
21
Gráfico 2 – Fator de amplificação em função da relação de frequência: R= ⨍(r)
Gráfico das fases teóricas e experimentais em função da relação de
frequência
Deve-se fazer um gráfico comparando as fases obtidas experimentalmente com as
obtidas teoricamente. As fases experimentais foram medidas com o auxílio da lâmpada
estroboscópica durante o experimento, e as teóricas são encontradas utilizando-se a fórmula já
apresentada anteriormente Eq.(14.1), a qual está intimamente relacionada ao fator de
amortecimento (𝜉) e à relação de frequência.
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (2 ∗ 𝜉 ∗ 𝑟
1 − 𝑟2)
Uma tabela com valores experimentais e analíticos foi criada como base de dados para
o gráfico.
r Experimental Analítico
0,61 210 1,2
0,70 215 1,7
0,78 240 2,6
0,87 210 4,4
0,91 160 6,6
1,00 90 57,5
1,09 40 -8,6
1,22 70 -3,4
1,30 30 -2,5
1,39 60 -2,0
Tab. 7 – Dados de = ⨍(r)
0,000
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
9,000
10,000
0,00 0,50 1,00 1,50
Fato
r d
e A
mp
lific
ação
(R
)
Relação de frequência: r=ω/ωn
Experimental
Analítico
22
Gráfico 3 – Ângulo de Fase em função da relação de frequência: = ⨍(r)
-50
0
50
100
150
200
250
300
0,00 0,50 1,00 1,50
Ân
gulo
de
Fas
e (
)
Relação de frequência: r=ω/ωn
Experimental
Analítico
23
6. CONCLUSÃO
Este experimento foi relativamente simples de ser realizado, porém de suma
importância para o entendimento de sistemas desbalanceados. Conhecer que a ausência de
massa num determinado sistema causa forças centrífugas responsáveis pela maior parte das
características vibratórias do sistema, por exemplo, é fundamental. A escolha adequada das
hipóteses simplificadoras também é crucial para o engenheiro, uma vez que uma falha nessa
fase da análise pode acarretar grandes prejuízos.
O experimento em geral gerou erros baixíssimos, principalmente na análise da
frequência natural que foi menor que 1%, isso significa que, se o experimento tivesse esse
objetivo apenas, seria altamente eficiente. Entretanto, sabe-se que outros objetivos eram
previstos, como comprar as amplitudes, fatores de amplificação e fases.
As amplitudes experimentais e teóricas podem ser analisadas através do Gráfico 1,
onde se observa certa proximidade de ambas e um erro também relativamente pequeno. A
amplitude era medida no micrômero, com leitura de fácil entendimento, portanto, é
justificável o erro baixo, pois não houve grandes perdas nem necessitava de grande
concentração para sua medição.
Com relação ao fator de amplificação, é notável no gráfico que as linhas experimentais
quase se igualam, ratificando um erro muito baixo. Isso se deve ao fato deste parâmetro variar
quase que totalmente com a relação de frequência, e como as frequências naturais
experimental e analítica eram muito próximas, o erro ficou ainda menor.
O gráfico da fase ficou bastante estranho, a linha experimental não ficou semelhante à
linha analítica, além de que o próprio gráfico experimental ficou um pouco destorcido do que
ele deveria ser. Acredita-se que isso se deva a erros de medições, uma vez que para se
encontrar a fase, utilizava-se a lâmpada estroboscópica focada no transferidor que oscilava,
dificultando bastante a precisão da medida. Já os valores analíticos foram calculados através
da equação Eq.(14.1), e ainda assim divergiram de certa forma do esperado.
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7. REFERÊNCIAS
RAO, S.S. Vibrações mecânicas – 4ª Edição. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008;
THOMSON, W. T. Teoria da vibração: com aplicações. 3ª ed. Rio de Janeiro: Editora
Interciência, 1978;
SOEIRO, N.S. Notas de Aula, Apostila de Vibrações Mecânicas. Pará: Universidade
Federal do Pará, 2013.
SOEIRO, N.S. Curso de Fundamentos de Vibrações e Balanceamento de Rotores.
Belém, 2008.
