UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

VIBRAÇÕES MECÂNICAS

RELATÓRIO - AULA PRÁTICA N°2

DETERMINAÇÃO DO FATOR DE AMORTECIMENTO E FREQUÊNCIA NATURAL: TÉCNICA DO DECREMENTO

LOGARÍTMICO

Profa. Dra. Maria Lúcia Machado Duarte

Alunos: Filipe Cotta Lanna Castro Queiroz 2009020400Joel Laguárdia Reis 2010020582Luiz Paulo Rodrigues Miranda 2009019118

Belo Horizonte, 12 de março de 2014

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1) INTRODUÇÃO:

Nesta segunda prática foram realizadas três técnicas distintas para obtenção da frequência

natural e do fator de amortecimento de um sistema vibratório: decremento logarítmico de picos

consecutivos e alternados e linearização da envoltória. Foram utilizados dados medidos por um

analisador de espectro em frequência e um acelerômetro em duas barras em balanço de

materiais diferentes. Posteriormente, os métodos citados foram tratados com técnicas

computacionais e foram então obtidos os valores para os dois sistemas para efeito de

comparação e análise.

2) OBJETIVOS:

- Aplicar as técnicas de decremento logarítmico de picos consecutivos e alternados e

linearização da envoltória;

- Analisar os resultados práticos e determinar a melhor técnica para cada material;

- Avaliar possíveis fontes de erros nos cálculos e na prática em geral.

3) REVISÃO TEÓRICA:

O Decremento Logarítmico (δ) é uma maneira de se determinar o fator de amortecimento

de uma dada estrutura de forma experimental. Esse método utiliza a razão de queda das

oscilações livres de um sistema e é determinado pela logaritmo neperiano da razão entre dois

picos/vales consecutivos. Sabe-se também que o fator de amortecimento pode ser determinado

encontrando-se o valor de dois picos/vales que estejam separados por um número de ciclos

conhecido. Ou seja:

δ=lnx1xn+1n

( I )

Para cada x na equação I, tem-se:

x (t )=X e−ξωd t sen (√1−ξ2ωnt+ϕ )Sendo que, na região da envoltória o valor de seno é sempre o mesmo para qualquer x,

tem-se que:

δ=ξ ωn τ d(II )

Uma vez que o período amortecido é inversamente proporcional a frequência amortecida,

pode-se mostrar que:

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δ=ξ ωn2π

ωn√1−ξ2

Para ξ≪1, podemos afirmar que:

ξ= δ2π

(III )

Onde:

δ é a razão entre duas amplitudes durante a oscilação;

ωd é a frequência de amortecimento do sistema;

τd é o período do sistema;

xn é a amplitude da curva em uma crista ou vale n;

ξ é um fator de amortecimento.

Na Análise de Pico Alternado ...

O método de Linearização da Envoltória é uma técnica que trabalha no domínio do

tempo que consiste em aplicar o logaritmo neperiano na equação da envoltória dada pela

equação (IV), o que resulta em uma equação de forma similar à equação da reta, que se

comporta de forma linear com seus coeficientes de inclinação e termo independente, dada pela

equação (V). A partir do coeficiente de inclinação b, é possível obter o produto entre a frequência

angular natural ωn e o fator de amortecimento ξ, conforme explicitado a seguir:

X ( t)=X 0e−ξ ωn t (IV)

onde X 0 é a maior amplitude possível do sistema. Aplicando o logaritmo neperiano nos dois lados

da equação, tem-se:

ln X (t)=ln X0+b t (V)

onde b=−ξ ωn é o coeficiente de inclinação da reta que pode ser construída com a equação (V).

Juntamente com a equação da frequência angular amortecida (VI) a seguir, é possível então

calcular o valor da frequência angular natural ωn e do fator de amortecimento ξ.

ωd=ωn√1−ξ2 (VI)

ωd=2πτd

(VII)

sendo τ d o período amortecido do sistema.

A Formulação de Euler para determinação das características vibracionais de uma viga

submetida a vibração de flexão, pode ser explicada através da observação da seguinte figura,

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onde uma viga está sendo submetida a um esforço cortante, a um momento fletor e a uma

distribuição de carga por unidade de comprimento.

Figura 1 – Diagrama de corpo livre de um elemento diferencial da viga

Fazendo-se o somatório de forças na direção Y e fazendo os devidos desenvolvimentos,

teremos a seguinte equação:

c2∂4 y∂ x4

+ ∂2 y∂ t2

=0(VIII )

Onde:

c=√ EIρATem-se, portanto, que a equação VII possui derivada segunda em relação ao tempo (t) e

derivada quarta em relação à posição (x). Dessa forma, sabemos que serão necessárias quatro

condições de contorno e mais duas condições inicias para se encontrar a solução para tal

equação. Utilizando o método de separação de variáveis, encontram-se as frequências naturais

de flexão. As quais podem ser calculadas através da seguinte equação:

ωi=(β i l )2√ EIρA l 4

(IX )

Abaixo encontra-se os valores de β il para a condição da viga a ser analisada (em

balanço).

β il (modos de flexão) para viga Engastada-Livre

1º = 1,875104

2º = 4,694091

3º = 7,854757

4º = 10,995541

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4) DESCRIÇÃO DO ENSAIO E INSTRUMENTAÇÃO UTILIZADA:

Foi fixado um acelerômetro de massa m=29,5 gà extremidade livre de uma viga engastada

em sua extremidade oposta. Este acelerômetro foi ligado a um analisador de espectro de

frequência, no qual foi previamente ajustado o tipo de análise a ser feita e os parâmetros de

sensibilidade do transdutor e frequência de captura de sinais. A montagem está ilustrada na

Figura 1 com suas respectivas medidas na Tabela I. Na Figura 1 é possível visualizar as duas

vigas utilizadas. A de alumínio está à esquerda e a de plástico está à direita na imagem.

Tabela I - Medidas da montagem do experimento

Dimensões da Viga (conforme Figura 1)

356 mm L Comprimento total45 mm a Comprimento em cima da base metálica (ponta da viga até início da extremidade livre)27 mm c Comprimento até o 1/2 sargento

40,34 mm b Largura da base da viga2,82 mm h Espessura

Figura 2 - Montagem da viga engastada

Foi aplicado um impulso único com o dedo à viga, que passou a vibrar com um movimento

periódico e de amplitude cada vez menor. A aceleração do movimento periódico foi captada pelo

analisador de espectro e os resultados armazenados para posterior análise. O mesmo

procedimento foi realizado igualmente para as duas vigas.

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5) RESULTADOS E DISCUSSÃO:

Os resultados obtidos no experimento foram representados de forma gráfica nas Figuras 1

e 2 a seguir. Observa-se que há o uso da técnica da janela exponencial para tratamento dos

dados, cuja curva é representada an cor vermelha. Os dados sem o uso da janela exponencial

estão representados com a cor azul.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0-0.50

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

Viga de Alumínio Sem janela Com janela

Tempo (s)

Ampl

itude

(gRM

S)

Figura 3: Curva de resposta – Alumínio

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50Viga de Composto Sem janela Com janela

Tempo (s)

Ampl

itude

(gRM

S)

Figura 4: Curva de resposta – Composto

A partir dos dados das Figuras 1 e 2 pode-se retirar os valores do período amortecido de

forma visual ou com a seleção de dados individuais, que foram fornecidos em tabela em Excel.

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Com os dados em Excel e obtenção dos pontos de amplitude máxima consecutivos e alternados

através de algoritmo em MATLAB, foram obtidos os períodos amortecidos para essas duas

técnicas. O período amortecido da técnica de picos consecutivos também é o período utilizado na

técnica de linearização da envoltória.

Tabela II – Período amortecido para as curvas (em segundos)

Alumínio s/ Janela Alumínio c/ Janela Compósito s/ Janela Compósito c/ Janela

Período (τ d) (Picos Consecutivos)

0,095703 0,095703 0,090332 0,090332

Período (τ d) (Picos Alternados)

0,107421 0,107421 0,101074 0,101074

Observa-se que desde o cálculo do período os dois métodos já apresentam diferenças. Isto

se deve provavelmente à taxa de amostragem do experimento. Quanto menor esta taxa for,

menor a probabilidade de que os picos obtidos em amostragem discreta correspondam aos picos

do sistema real analisado. Neste experimento, os valores discrepantes da amplitude máxima das

vibrações em diferentes picos causaram uma diferença pequena de valores do período.

Para a técnica da linearização da envoltória com janela, foram selecionados os dados dos

picos e então construída uma curva exponencial no Excel, que representa a envoltória, ilustrada

na Figura 5. Juntamente com a figura, encontra-se o valor de R² = 1, o que mostra que o ajuste a

uma curva exponencial é muito satisfatório. O valor do expoente -1,143 já mostra que o valor de b

antes mesmo da linearização.

0.000 0.400 0.800 1.200 1.600 2.0000.0000.0500.1000.1500.2000.2500.3000.3500.4000.450

f(x) = 0.427716404405904 exp( − 1.14254840005319 x )R² = 0.999973903477827

Envoltória / Alumínio com Janela

Envoltória / Alumínio com JanelaExponential (Envoltória / Alumínio com Janela)Exponential (Envoltória / Alumínio com Janela)

Tempo (s)

Ampl

itude

(gRM

S)

Figura 5: Envoltória – Alumínio com janela

Aplicando-se o logaritmo neperiano nos valores da amplitude e reconstruindo o gráfico,

conforme a equação (V), tem-se na Figura 4 a envoltória linearizada para o alumínio sem janela,

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e sua respectiva equação da reta, de onde se tira o valor de b = -1,1425. Observa-se também o

valor de R² = 1 para a reta.

Dado que b=−ξ ωn, e com as equações (VI) e (VII), é possível obter o valor das duas

variáveis ωn e ξ . Para o alumínio sem janela, esse processo com o Excel não foi repetido. Para

agilizar a obtenção dos resultados, poupou-se a etapa gráfica e foi utilizado um algoritmo no

MATLAB para computar os parâmetros desse sistema. Isto também foi feito para os demais

valores obtidos na técnica de linearização da envoltória deste relatório.

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00-3.5000

-3.0000

-2.5000

-2.0000

-1.5000

-1.0000

-0.5000

0.0000

f(x) = − 1.14254840005319 x − 0.849294909549329R² = 0.999973903477827

Envoltória Linearizada / Alumínio com Janela

ln(x(t))Linear (ln(x(t)))

Tempo (s)

log

(x)

Figura 6: Envoltória linearizada – Alumínio com janela

Os fatores de amortecimento obtidos para os sistemas de viga de alumínio e de material

composto com a técnica da linearização da envoltória estão presentes na Tabela II.

Tabela III – Fator de amortecimento para as curvas com a técnica da linearização da envoltória

Alumínio s/ Janela Alumínio c/ Janela Compósito s/ Janela Compósito c/ JanelaFator de Amortecimento (ξ )(Linearização da envoltória)

0,017618 0,139655 0,278187 0,378975

Os valores variam entre análise sem janela e com janela. Isto acontece porque a janela

exponencial, um ajuste matemático, causa diferenças nos valores após tratamento de dados. A

diferença percentual é de 87,4% para o alumínio e de 26,6% para o compósito.

Com a aplicação dos métodos dos picos consecutivos e alternados, equações (I) a (III), os

valores do decremento e do fator de amortecimento e frequência natural obtidos com o cálculo

em MATLAB foram os apresentados nas tabelas III e IV, respectivamente.

A diferença percentual de decremento entre as duas técnicas é de 24,5% para o alumínio e

de 0% para o material compósito. Isto também se repetiu para o cálculo do fator de

amortecimento. No cálculo da frequência natural, os erros para os dois materiais são, 8

respectivamente, de 10,8% e 10,61%. A técnica de picos consecutivos apresentou frequências

naturais maiores e fatores de amortecimento menores que a técnica de picos alternados.

Tabela IV – Decremento para as curvas com as técnicas de picos consecutivos e picos alternados

Alumínio s/ Janela Compósito s/ JanelaDecremento (δ ) (Picos Consecutivos)

0,014392 0,216838

Decremento (δ ) (Picos Alternados)

0,019065 0,216838

Tabela V – Fator de amortecimento e frequência natural para e as curvas com as técnicas de picos consecutivos e picos alternados

Alumínio s/ Janela Compósito s/ JanelaFator de Amortecimento (ξ)(Picos Consecutivos)

0,002290 0,034510

Fator de Amortecimento (ξ)(Picos Alternados)

0,003034 0,034510

Frequência Natural (ωn) (Picos Consecutivos) [rad/s]

65,673346 75,390972

Frequência Natural (ωn) (Picos Alternados) [rad/s]

58,516628 67,388059

Assim, o material com o maior fator de amortecimento, em todas as técnicas, é o material

compósito. Materiais compósitos não feitos com diversas construções. O material analisado era

predominantemente polimérico, uma classe de materiais amplamente utilizada para mitigar

vibrações. Portanto, o resultado correspondeu com o esperado, que era o do sistema oscilatório

com material compósito ter um amortecimento maior que o sistema com material metálico.

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