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PIBIC/FAPEMIG/UFU Edital Nº 07/2011 RELATÓRIO PARCIAL DE TRABALHO RELATÓRIO PARCIAL DE TRABALHO TÍTULO: “Otimização topológica do reforço de estruturas de concreto armado com fibras de carbono” Aluno: Ana Cecilia Rios Porfirio Ferreira Orientador: Jesiel Cunha Período: março de 2012 a fevereiro de 2013 UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL

Relatório Parcial -Otimização topológica do reforço de estruturas de concreto armado com fibras de carbono

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Relatório parcial do artigo Otimização topológica do reforço de estruturas de concreto armado com fibras de carbono

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PIBIC/FAPEMIG/UFUEdital Nº 07/2011

RELATÓRIO PARCIAL DE TRABALHORELATÓRIO PARCIAL DE TRABALHO

TÍTULO: “Otimização topológica do reforço de estruturas de

concreto armado com fibras de carbono”

Aluno: Ana Cecilia Rios Porfirio FerreiraOrientador: Jesiel CunhaPeríodo: março de 2012 a fevereiro de 2013

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL

Page 2: Relatório Parcial -Otimização topológica do reforço de estruturas de concreto armado com fibras de carbono

Sumário1 Introdução..................................................................................... 01;2 Metodologia................................................................................... 05;3 Procedimentos e resultados ......................................................... 06;

6.1; Dimensionamento do reforço de vigas com PRFC ….......... 06;6.2; Dimensionamento do reforço aos esforços cortantes.......... 09;6.3; Dimensionamento do reforço ao momento fletor................. 21

Referências......................................................................................... 27

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1 Introdução

Devido principalmente às boas relações resistência e rigidez / peso, os materiais

compostos são cada vez mais utilizados em estruturas de engenharia civil

(HOLLAWAY; HEAD, 2001, LOPEZ-ANIDO; NAIK, 2000, BURGOYNE, 1999,

MOSALLAM, 2002). Um material composto clássico é constituído por uma matriz

polimérica, reforçada por fibras, onde a resistência e a rigidez são dados pelo tipo,

quantidade, orientação e posição do reforço.

Em relação aos materiais tradicionais da construção civil (aço, madeira e concreto),

os materiais compostos destacam-se pelas qualidades estruturais e construtivas.

Seja para recuperação ou criação de novas estruturas, os compostos apresentam

algumas vantagens em relação aos materiais tradicionais, como a alta resistência e

a leveza, as propriedades anti-corrosão, a estabilidade dimensional, os baixos

custos de instalação e de recuperação e a modularidade (NETO; PARDINI, 2006,

KIM, 1995, JONES, 1975).

Uma das principais aplicações dos materiais compostos na construção civil é o

reforço de estruturas de concreto armado utilizando PRFC (Polímero Reforçado por

Fibra de Carbono). Lajes, vigas, pilares, paredes e outros elementos estruturais

podem ser reforçados (BEBER, 2003, CAMPAGNOLO; SILVA FILHO; BEBER, 1999,

FORTES, 2000, MACHADO, 2002).

As causas da necessidade de reforço em estruturas de concreto armado são

variadas, porém as preponderantes dizem respeito a falhas de concepção, de

execução e de mudanças de projeto. Mais especificamente, pode-se citar a

alteração no modo de utilização da edificação, o desgaste natural da estrutura, as

falhas durante a elaboração dos projetos (falta de controle no limite de flechas, por

exemplo), entre outras.

A simulação numérica das peças de concreto reforçadas por PRFC implica na

obtenção de um modelo que reproduza o comportamento estrutural em condições

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reais de serviço. Para obtenção deste modelo e execução das simulações, as

seguintes etapas são necessárias:

Avaliação das propriedades elásticas do PRFC e do concreto;

Criação de modelos numéricos das peças reforçadas, considerando diversas

situações de composição de materiais e de geometria, visando a

compreensão do comportamento estrutural do conjunto peça/reforço;

Obtenção da distribuição do reforço usando um procedimento automatizado

de otimização;

A partir dos resultados da otimização, criar modelos numéricos próximos do

que é executado na prática, onde o reforço é aplicado na forma de faixas;

Verificar o desempenho estrutural das peças reforçadas otimizadas.

O procedimento básico de reforço de peças de concreto armado usando compostos

PRFC é de colar faixas ou tecidos nas regiões tracionadas. As faixas cobrem partes

da superfície da peça, enquanto que os tecidos podem cobrir até a superfície

completa. Neste caso, estudos indicam que a cobertura de toda a superfície pelo

reforço cria dificuldades na verificação da qualidade da colagem/aderência, além de

impedir o livre movimento de saída da umidade, aumentando o processo de

descolamento (TENG et al., 2002). Por outro lado, considerando uma mesma área

de reforço, as faixas largas são preferíveis às faixas estreitas, pois diminuem os

riscos de descolamento.

No projeto de reforços à flexão se consideram, fundamentalmente, os mesmos

princípios que se empregam em reforços mediante chapas de aço: equilíbrio da

seção, compatibilidade de deformações e hipóteses Navier-Bernoulli (seções planas

permanecem planas após deformação) (MACHADO, 2005).

A Figura 1 ilustra o esquema de reforço de peças à flexão.

Page 5: Relatório Parcial -Otimização topológica do reforço de estruturas de concreto armado com fibras de carbono

Figura 1 - Reforço de lajes à flexão.

Em contraponto ao reforço tradicional, que utiliza principalmente chapas de aço, as

vantagens da técnica de reforço com fibras de carbono são a alta resistência e a alta

rigidez do material, possibilitando a utilização de reforço com baixa espessura e

baixo peso, gerando pequeno acréscimo de carga permanente. Além disso, destaca-

se a flexibilidade das mantas de fibra de carbono, que se adaptam a qualquer forma,

sendo de execução simples, precisa e rápida, com mão-de-obra reduzida. O material

exige pouca manutenção e, além disso, é altamente resistente à corrosão,

possuindo grande durabilidade.

As simulações numéricas das peças reforçadas permitem variar com facilidade a

geometria do reforço, os materiais, as condições de carregamento e de apoio. A

compreensão prévia do comportamento da estrutura reforçada (Figura 2) através

das simulações numéricas agiliza, otimiza e simplifica a realização dos testes

experimentais, reduzindo tempo e custos.

www.abcp.org.br

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Figura 2 - Esquema de reforço de peças à flexão.

A modelagem numérica será feita pelo Método dos Elementos Finitos, usando-se o

programa ANSYS® (ANSYS, 2010), que possui elementos específicos de materiais

compostos, além do módulo de otimização.

Para problemas que apresentam estruturas com geometrias, condições de contorno

e de carregamento complexas, a solução exata do comportamento mecânico (por

exemplo, determinação do campo de deslocamentos e de tensões), obtida através

de procedimentos tradicionais da matemática, não é evidente ou mesmo não é

possível. Para estes casos deve-se usar um método aproximado de análise. Nesta

categoria se destacam os métodos numérico-computacionais, onde o principal é o

Método dos Elementos Finitos (MEF). O MEF é essencialmente uma técnica de

análise numérica que busca soluções aproximadas para problemas regidos por

equações diferenciais.

Uma dificuldade para o projeto da estrutura reforçada consiste em definir a melhor

forma de distribuir as mantas ou faixas de fibras de carbono na superfície da peça.

Normalmente recorre-se à experiência, à facilidade construtiva e ao princípio de

funcionamento estrutural do elemento reforçado. No entanto, para geometrias

complexas das peças e para condições de contorno e de carregamento

diferenciadas, a escolha da melhor distribuição do reforço não é evidente. A

determinação de uma configuração de reforço eficiente em uma estrutura é

habitualmente associada a um processo de “tentativa e erro”, cujo resultado não

garante com segurança que tenha sido encontrado o projeto ótimo. A otimização

matemática, nestes casos, pode ser uma ferramenta interessante para encontrar

armadura

PRFC

Laje/viga

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soluções mais eficientes. Em particular, a otimização estrutural busca a criação de

estruturas com melhor desempenho e menor consumo de material, reduzindo os

custos.

O objetivo geral deste projeto é analisar o comportamento/desempenho estrutural de

peças de concreto armado reforçadas por fibras de carbono (PRFC), através de

simulações numéricas, usando a otimização topológica para definir a região de

aplicação do reforço.

Os objetivos específicos são:

- Obter a distribuição do reforço usando um procedimento automatizado de

otimização topológica, permitindo economia de material;

- Simular numericamente as estruturas reforçadas (vigas, lajes com furos, consolos,

entre outras) usando o Método dos Elementos Finitos, para compreender o

comportamento mecânico (resistência e rigidez) e verificar o desempenho do

reforço.

O resultado das simulações deve indicar que a otimização topológica pode ser uma

interessante ferramenta de apoio ao projeto do reforço de estruturas de concreto

armado com fibras de carbono.

Não existe no Brasil norma que regulamente o reforço de estruturas da engenharia

civil com materiais compostos (fibras de carbono, principalmente). As formulações

analíticas comumente usadas no dimensionamento são simplificadas, podendo levar

a imprecisões de cálculo. Assim, é importante saber o domínio de validade e a

precisão das expressões analíticas e dos procedimentos de cálculo utilizados.

A validação dos métodos de dimensionamento, a utilização de novos materiais e

novas concepções estruturais depende de um conhecimento preciso do

comportamento das peças. Neste sentido, as simulações numéricas através do

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Método dos Elementos Finitos permitem modelagens detalhadas que se aproximam

da situação real encontrada nas estruturas. É possível inclusive evidenciar algumas

características de difícil verificação experimental.

A comparação quantitativa dos resultados numéricos poderá esclarecer pontos do

dimensionamento nos estados limites último e de utilização, auxiliando o projeto e a

análise de estruturas de concreto armado reforçadas por fibras de carbono.

O uso de uma ferramenta de otimização facilita e automatiza o procedimento de

aplicação do reforço, auxiliando ao projetista principalmente em casos de estruturas

com geometria complexa, onde o projeto do reforço não é evidente. O resultado da

otimização pode levar a economia de material de reforço.

No contexto do Projeto de Pesquisa do orientador, este projeto trata da análise do

comportamento de estruturas da construção civil em que se utilizam os materiais

compostos como elementos de reforço. Espera-se contribuir para a difusão deste

tipo de tecnologia, que é recente.

2 Metodologia

Do ponto de vista geral, a simulação numérica de uma estrutura reforçada passa

pelas seguintes etapas:

Estudo dos processos de dimensionamento do reforço fazendo uso do PRFC

Estudo do processo de elaboraçao de modelos de elementos finitos fazendo

uso do software ANSYS®.

Dimensionamento do reforço de PRFC na estrutura.

Criação do modelo de elementos finitos da estrutura sem reforço;

Criação do modelo de elementos finitos da estrutura reforçada;

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Obtenção da distribuição otimizada do reforço através da otimização

topológica;

Obtenção do modelo de elementos finitos da estrutura com reforço em faixas,

a partir do resultado da otimização topológica;

Verificação do desempenho estrutural da estrutura reforçada otimizada.

Do ponto de vista de implementação, este projeto tem como característica principal a

utilização de simulação computacional.

Inicialmente foi feita uma revisão de materiais compostos e suas aplicações na

engenharia civil, em particular no que se refere às estruturas em materiais

compostos estratificados. Foi feito também o estudo do reforço de estruturas de

concreto armado e de compostos fibras de carbono/resina epóxi.

3 Procedimentos e resultados

3.1 Dimensionamento do reforço de vigas com PRFC

Para o calculo do reforço, foi escolhida uma viga de concreto armado bi-apoiada,

com vão de 4m, espessura de 15 cm e altura de 40 cm. O carregamento

uniformemente distribuido inicial é de 3086,5 kgf/m, incluindo peso proprio.

(MATTOS, 2003)

O reforço será dimensionado para que a viga suporte um carregamento final de

4166,78 kgf/m, correspondente a um aumento de 35% no carregamento inicial.

Foram utilizados os seguintes parametros para o dimensionamento da viga:

fck = 21 Mpa

Cobrimento da armadura = 1,5

bw = 15 cm

h = 40 cm

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d = 36,5 cm

Aço: CA-50

A Figura 3 mostra a viga a ser reforçada pelo PRFC.

Figura 3 – Viga de concreto armado a ser reforçada. Fonte: Mattos (2003)

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Submeteu-se a viga a um aumento de 35% de sua carga, totalizando um esforço

cortante de 8333,55 kgf nas extremidades, em que foi calculado o excedente ao

suportado pelo concreto e aço, com dados fornecidos na Tabela 1, e um momento

fletor maximo de 8333,55 kgf.m.

Tabela 1 – Dados da viga utilizados no calculo do reforço

Parametro Definição ValorAs (cm2)

bw (cm)

h (cm)

d = (cm)

Es (Gpa)

Vc (kgf)

Vn (kgf)

Vs (kgf)

Vf (kgf)

f'c (Mpa)

fcd (kgf/m2)

fyd (kgf/m2)

L (m)

εc

εs

Area de armadura

Dimensão da base da seção transversal

Altura da viga

Altura útil da viga

Modulo de elasticidade do aço

Cortante resistido pelo concreto na seção

Cortante total na seção

Cortante resistido pelo aço na seção

Cortante resistido pelo material composto na

seção

Resistencia do concreto a compressão

Resistencia do concreto

Resistencia do aço

Comprimento do vão da viga

Deformação do concreto

Deformação do aço

4,8

15

40

36,5

210

3242

11666,97

5400

3024,97

21

1500000

50000000

4

≤ 0,0035

≤ 0,001

Dimensionou-se o reforço fazendo uso de Polímeros Reforçados de Fibra de

Carbono, as formulações presentes na ACI 440-2R e ACI-318/318R-105. Para tal,

optou-se pelo polimero Sika Carbodur ®, o SIKADUR® 30, para que pudessem ser

utilizados os parâmetros e propriedades deste para calculo, fornecidos na Tabela 2.

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Tabela 2 – Dados do Polimero Reforçado com Fibras de Carbono. Fonte: Sika

Carbodur® (2005).

Parametro Definição Valorw (mm)

CE

Ef (Gpa)

εfu

ffu (kgf/m2)

tf (mm)

Espessura de uma tira de PRFC

Modulo de elasticidade do PRFC

Deformação maxima suportada pelo PRFC

Resistencia ultima do PRFC

Espessura de uma camada de material composto

50

0,95

155

0,019

240000000

1,2

6.2 Dimensionamento do reforço aos esforços cortantes

O dimensionamento do reforço aos esforços cortantes seguiu a ACI-318/318R-105.

Desta forma, todos os dados obtidos foram calculados no sistema americano de

unidades, e os resultados finais puderam ser convertidos para o sistema

internacional de unidades.

O posicionamento das tiras de PRFC na viga obedeceram à necessidade de reforça-

la aos esforços cortantes excedentes, que pode ser visualizado no diagrama de

esforço cortante da viga disposto na Figura 4. Nesse, onde o esforço cortante

tornou-se maior que o valor suportado pela viga inicialmente, admitiu-se a urgencia

do polímero.

Figura 4 – Diagrama de esforços cortantes para a viga com sobrecarga.

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Calculou-se o cortante a ser suportado pelo polimero, onde o coeficiente 0,85 é

aplicado como fator de segurança na contribuição do PRFC, em função de ser uma

tecnica nova.

Vn = Vc + Vs + 0,85.Vf (1)

onde:

Vc = Cortante resistido pelo concreto na seção (lb);

Vf = Cortante resistido pelo material composto na seção (lb);

Vn = Cortante total na seção (lb);

Vs = Cortante resistido pelo aço na seção (lb);

A expressão geral que permitiu o calculo da area de reforço necessaria em função

de outros parâmetros, ou outros dados tais como o ângulo ideal de posicionamento

das fibras, pode ser utilizada a partir do cortante a ser sustentado pelo PRFC.

Um limite razoável do máximo esforço cortante a ser suportado pelo polimero se

baseou na capacidade resistente do concreto, e foi imposto para estabelecer as

bases onde julgou-se que o uso do PRFC não atendia ao reforço de forma completa.

Vf = Afv.ffe(sinβ + cosβ).d f ≤ 4.√f'c.bw.d (2)

sf

onde:

Afv = Area total de uma camada de reforço transversal de PRFC (in 2);

ffe = Resistencia do PRFC sob cortante quando ao rompimento da viga (Psi);

β = Orientação das fibras em relação ao eixo longitudinal da viga (º);

df = Profundidade do PRFC em cisalhamento (in);

sf = Espaçamento das tiras de PRFC. Se continuas, o espaçamento minimo deve ser

igual ao valor da espessura da tira. (in);

f'c = Resistencia do concreto a compressão (Psi);

bw = Dimensão da base da seção transversal (in);

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d = Distancia ao centroide de tração do aço (in);

Visando determinar a area de PRFC que atinge o máximo potencial de ruptura, fez-

se uso da equação (3).

Afv = 2.n.tf.wf (3)

onde:

n = Numero de camadas de PRFC com fibras orientadas em um ângulo β para o

esforço cortante;

tf = Espessura de uma camada de material composto (in);

wf = Espessura de uma tira de PRFC (in);

Para a obtenção da resistencia do PRFC sob cortante quando ao rompimento da

viga, utilizou-se da expressão (4), onde foi requerido o fator de redução R. Este fator

pode ser calculado através das equações de (5) a (9), que permitiram a obtençao

dos muitos parametros utilizados para o calculo deste.

ffe = R.ffu (4)

R = k1.k2.Le ≤ 0,005 (5)

468.εfu εfu

k1 = ( f'c ) 2/3 (6)

(4000) 2/3

k2 = dfe (7)

df

Le = 1 .Lo (8)

√n

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Lo = 2500 (9)

(tf.Ef)0,58

onde:

ffu = Estado ultimo de tensão do PRFC (Psi);

R = Fator de redução para o estado ultimo de tensão do PRFC para encontrar o

estado de tensão quando ao rompimento;

k1 = Fator de multiplicação do comprimento efetivo do reforço ao concreto;

k2 = Fator de multiplicação do comprimento efetivo do reforço ao esquema

envolvente;

Le = Comprimento efetivo do PRFC (in);

εfu = Deformação maxima suportada pelo PRFC;

dfe = Profundidade efetiva do PRFC em cisalhamento, considerando apenas as

areas suficientemente envolvidas (in);

Lo = Comprimento efetivo de uma camada de PRFC (in);

Ef = Modulo de elasticidade do PRFC (Psi);

Para a obtenção da profundidade efetiva do PRFC (d fe), foi necessario analisar se o

reforço sera envolvido na viga em forma de “U”, ou seja, pela face inferior e laterais

desta, ou apenas nas laterais. No primeiro caso, utiliza-se a equação (10), para o

segundo, a equação (11).

dfe = df – Le (10)

dfe = df – 2.Le (11)

Obteve-se também o espaçamento máximo entre cada faixa de PRFC, através da

equação (12). O espaçamento minimo corresponde a 5 cm, que deve ser adotado

para a situação onde este é considerado ausente.

sf,max = wf + d (12)

4

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Há um limite para o valor total de esforço cortante a ser suportado pelo reforço,

obedecendo a expressão (13).

Vs + Vf ≤ 8.√f'c.bw.d (13)

Foram efetuados cálculos para o envolvimento da viga em “U” e apenas nas laterais,

com e sem espaçamento entre as faixas de PRFC, e com variação de ângulo de 45º

e 90º.

6.2.1 Envolvimento da viga em “U”

A Figura 5 mostra a disposiçao do reforço de PRFC, para um envolvimento da viga

tanto na face inferior, quanto as laterais, formando um ângulo de 90º com o plano

longitudinal, e com faixas espaçadas com o valor ideal calculado.

Figura 5 - Disposição das faixas de polimero reforçado de carbono a 90º, para o

envolvimento da viga em “U”, com espaçamento entre as faixas.

Para o envolvimento da viga pelo PRFC em forma de “U”, obteve-se o espaçamento

necessario entre as camadas paralelas deste, para uso de apenas uma camada

colada à viga.

Page 17: Relatório Parcial -Otimização topológica do reforço de estruturas de concreto armado com fibras de carbono

Os parâmetros calculados para obter o espaçamento necessario estão dispostos na

Tabela 3.

Tabela 3 – Dados e resultados calculados para a viga envolta de PRFC em forma de

“U”, com inclinação do reforço de 90º e tiras espaçadas.

Parametros Definição Resultadosdf (cm)

ffe (kgf/m2)

dfe (cm)

sf, max (cm)

Le (cm)

sf (cm)

sf,adotado (cm)

n (camadas)

β (º)

Afv (cm2)

Lo (cm)

Le (cm)

k1

k2

R

y (m)

Lefec (m)

Profundidade do PRFC em cisalhamento

Resistencia ultima do PRFC

Profundidade efetiva do PRFC em cisalhamento

Espaçamento máximo entre as tiras de PRFC

Comprimento efetivo do PRFC

Espaçamento entre as tiras de PRFC

Espaçamento entre as tiras adotado.

Numero de camadas de PRFC.

Orientação das fibras em relação

Area total de uma camada de reforço

Comprimento efetivo de uma camada de PRFC

Comprimento efetivo do PRFC

Fator de multiplicação

Fator de multiplicação

Fator de redução para o estado ultimo de

tensão

Vão da viga onde não há necessidade de reforço

Comprimento da lateral da viga onde há

excedente de esforço

36,5

16991241,43

34,47

14,12

2,03

20,912

14,00

1

90

1,2

2,03

2,03

0,83

0,94

0,26

2,86

0,57

Page 18: Relatório Parcial -Otimização topológica do reforço de estruturas de concreto armado com fibras de carbono

6.2.2 Envolvimento da Viga apenas nas laterais, com camadas paralelas, com ângulo de 90º

A Figura 6 mostra a disposiçao do reforço de PRFC, para um envolvimento da viga apenas

em suas faces laterais, formando um ângulo de 90º com o plano longitudinal, e com faixas

espaçadas com o valor ideal calculado.

Figura 6 - Disposição das faixas de polimero reforçado de carbono a 90º, para o

envolvimento da viga apenas nas laterais, com espaçamento entre as tiras.

Para a disposição do PRFC apenas nas laterais, com camadas paralelas e um

ângulo de 90º, obteve-se o espaçamento necessario entre as fitas, para uso de

apenas uma camada colada à viga.

Todos os parâmetros calculados para obter o espaçamento necessario estão

dispostos na Tabela 4.

Tabela 4 - Dados e resultados calculados para a viga envolta de PRFC com faixas

paralelas, espaçadas, e com inclinação de 90º.

Parametros Definição Resultadosdf (cm)

ffe (kgf/m2)

dfe (cm)

sf, max (cm)

Le (cm)

sf (cm)

Profundidade do PRFC em cisalhamento

Resistencia ultima do PRFC

Profundidade efetiva do PRFC em cisalhamento

Espaçamento máximo entre as tiras de PRFC

Comprimento efetivo do PRFC

Espaçamento entre as tiras de PRFC

32,44

14,12

18733,84,29

14,12

2,03

19,68

Page 19: Relatório Parcial -Otimização topológica do reforço de estruturas de concreto armado com fibras de carbono

sf,adotado (cm)

n (camadas)

β (º)

Afv (cm2)

Lo (cm)

Le (cm)

k1

k2

R

y (m)

Lefec (m)

Espaçamento entre as tiras adotado.

Numero de camadas de PRFC.

Orientação das fibras em relação

Area total de uma camada de reforço

Comprimento efetivo de uma camada de PRFC

Comprimento efetivo do PRFC

Fator de multiplicação

Fator de multiplicação

Fator de redução para o estado ultimo de

tensão

Vão da viga onde não há necessidade de reforço

Comprimento da lateral da viga onde há

excedente de esforço

14

1

90

1,2

2,03

2,03

0,83

0,89

0,26

2,86

0,57

6.2.3 Envolvimento da Viga apenas nas laterais, com camadas paralelas, com ângulo de 45º

A Figura 7 mostra a disposiçao do reforço de PRFC, para um envolvimento da viga

apenas em suas faces laterais, formando um ângulo de 45º com o plano longitudinal,

e com faixas espaçadas com valor ideal calculado.

Figura 7 - Disposição das faixas de polimero reforçado de carbono a 45º, para o

envolvimento da viga apenas nas laterais, com espaçamento entre as tiras.

Page 20: Relatório Parcial -Otimização topológica do reforço de estruturas de concreto armado com fibras de carbono

Na situação onde o PRFC é posicionado apenas nas laterais, com camadas

paralelas e um ângulo de 45º, obteve-se o espaçamento necessario entre as tiras,

para uso de apenas uma camada colada à viga.

Todos os parâmetros calculados para obter o espaçamento necessario estão

dispostos na Tabela 5.

Tabela 5 - Dados e resultados calculados para a viga envolta de PRFC com faixas

paralelas, espaçadas, e com inclinação de 45º.

Parametros Definição Resultadosdf (cm)

ffe (kgf/m2)

dfe (cm)

sf, max (cm)

Le (cm)

sf (cm)

sf,adotado (cm)

n (camadas)

β (º)

Afv (cm2)

Lo (cm)

Le (cm)

k1

k2

R

y (m)

Lefec (m)

Profundidade do PRFC em cisalhamento

Resistencia ultima do PRFC

Profundidade efetiva do PRFC em cisalhamento

Espaçamento máximo entre as tiras de PRFC

Comprimento efetivo do PRFC

Espaçamento entre as tiras de PRFC

Espaçamento entre as tiras adotado.

Numero de camadas de PRFC.

Orientação das fibras em relação

Area total de uma camada de reforço

Comprimento efetivo de uma camada de PRFC

Comprimento efetivo do PRFC

Fator de multiplicação

Fator de multiplicação

Fator de redução para o estado ultimo de

tensão

Vão da viga onde não há necessidade de reforço

Comprimento da lateral da viga onde há

excedente de esforço

36,5

15990341,06

32,44

14,12

2,03

27,83

14,00

1

45

1,2

2,03

2,03

0,94

0,89

0,26

2,87

0,565

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6.2.4 Envolvimento da Viga em “U”, com ângulo de 90º, sem espaçamento

A Figura 8 mostra a disposiçao do reforço de PRFC, para um envolvimento da viga tanto na

face inferior, quanto as laterais, formando um ângulo de 90º com o plano longitudinal, e sem

espaçamento entre as faixas.

Figura 8 - Disposição das faixas de polimero reforçado de carbono a 90º, para o

envolvimento da viga em “U”, sem espaçamento entre as tiras.

Para o posicionamento em forma de “U”, com camadas paralelas e um ângulo de

90º, sem espaço entre as tiras e para aplicação de uma unica camada de reforço,

calculou-se o cortante a ser suportado naquela situação, e comparou-o ao

necessario, visando posteriormente diminuir o uso de material fazendo uso da

otimização topologica.

Tabela 6 - Dados e resultados calculados para a viga envolta de PRFC em forma de

“U”, com inclinação do reforço de 90º sem espaçamento.

Parametros Definição Resultadosdf (cm)

ffe (kgf/m2)

dfe (cm)

sf, max (cm)

Vf, max (lb)

Profundidade do PRFC em cisalhamento

Resistencia ultima do PRFC

Profundidade efetiva do PRFC em cisalhamento

Espaçamento máximo entre as tiras de PRFC

Cortante máximo suportado pelo PRFC

36,5

15990341,06

32,44

14,12

18,733,84

Page 22: Relatório Parcial -Otimização topológica do reforço de estruturas de concreto armado com fibras de carbono

Vf, disposponivel (lb)

Le (cm)

sf (cm)

n (camadas)

β (º)

Afv (cm2)

Lo (cm)

Le (cm)

k1

k2

R

y (m)

Lefec (m)

Cortante disponível para o design escolhido

Comprimento efetivo do PRFC

Espaçamento entre as tiras de PRFC

Numero de camadas de PRFC.

Orientação das fibras em relação

Area total de uma camada de reforço

Comprimento efetivo de uma camada de PRFC

Comprimento efetivo do PRFC

Fator de multiplicação

Fator de multiplicação

Fator de redução para o estado ultimo de tensão

Vão da viga onde não há necessidade de reforço

Comprimento da lateral da viga onde há

excedente de esforço

32813,53

2,03

5

1

90

1,2

2,03

2,03

0,83

0,94

0,26

2,90

0,55

6.2.5 Envolvimento da Viga apenas nas laterais, com camadas paralelas e sem espaçamento entre elas, com ângulo de 90º.

A Figura 9 mostra a disposiçao do reforço de PRFC, para um envolvimento da viga

apenas em suas faces laterais, formando um ângulo de 90º com o plano longitudinal,

e sem espaçamento entre as faixas.

Figura 9 - Disposição das faixas de polimero reforçado de carbono a 90º, para o

envolvimento da viga apenas nas laterais, com espaçamento entre as tiras.

Page 23: Relatório Parcial -Otimização topológica do reforço de estruturas de concreto armado com fibras de carbono

Na situação onde o PRFC é posicionado apenas nas laterais, com camadas

paralelas e um ângulo de 90º, sem espaçamento entre as tiras, para uso de apenas

uma camada colada à viga, calculou-se o cortante a ser suportado naquela situação,

e comparou-o ao necessario, visando posteriormente diminuir o uso de material

fazendo uso da otimização topologica.

Todos os parâmetros calculados para obter o espaçamento necessario estão

dispostos na Tabela 7.

Tabela 7 - Dados e resultados calculados para a viga envolta de PRFC com faixas

paralelas, sem espaçamento, e com inclinação de 90º.

Parametros Definição Resultadosdf (cm)

ffe (kgf/m2)

dfe (cm)

sf, max (cm)

Vf, max (lb)

Vf, disposponivel (lb)

Le (cm)

sf (cm)

n (camadas)

β (º)

Afv (cm2)

Lo (cm)

Le (cm)

k1

k2

R

y (m)

Lefec (m)

Profundidade do PRFC em cisalhamento

Resistencia ultima do PRFC

Profundidade efetiva do PRFC em cisalhamento

Espaçamento máximo entre as tiras de PRFC

Cortante máximo suportado pelo PRFC

Cortante disponível para o design escolhido

Comprimento efetivo do PRFC

Espaçamento entre as tiras de PRFC

Numero de camadas de PRFC.

Orientação das fibras em relação

Area total de uma camada de reforço

Comprimento efetivo de uma camada de PRFC

Comprimento efetivo do PRFC

Fator de multiplicação

Fator de multiplicação

Fator de redução para o estado ultimo de tensão

Vão da viga onde não há necessidade de reforço

Comprimento da lateral da viga onde há

excedente de esforço

36,5

15990341,06

32,44

14,12

18,733,84

30880,59

2,03

5

1

90º

1,2

2,03

2,03

0,83

0,89

0,26

2,90

0,55

Page 24: Relatório Parcial -Otimização topológica do reforço de estruturas de concreto armado com fibras de carbono

6.2.6 Envolvimento da Viga apenas nas laterais, com camadas paralelas e sem espaçamento entre elas, com ângulo de 45º.

A Figura 8 mostra a disposiçao do reforço de PRFC, para um envolvimento da viga

apenas em suas faces laterais, formando um ângulo de 45º com o plano longitudinal,

e sem espaçamento entre as faixas.

Figura 10 - Disposição das faixas de polimero reforçado de carbono a 45º, para o

envolvimento da viga apenas nas laterais, sem espaçamento entre as tiras.

Para o caso em que PRFC é disposto apenas nas laterais, com camadas paralelas e

um ângulo de 45º, sem espaçamento entre as tiras, para uso de apenas uma

camada colada à viga, calculou-se o cortante a ser suportado naquela situação, e

comparou-o ao necessario, visando posteriormente diminuir o uso de material

fazendo uso da otimização topologica.

Todos os parâmetros calculados para obter o espaçamento necessario estão

dispostos na Tabela 8.

Tabela 8 - Dados e resultados calculados para a viga envolta de PRFC com faixas

paralelas, sem espaçamento, e com inclinação de 45º.

Parametros Definição Resultadosdf (cm)

ffe (kgf/m2)

dfe (cm)

sf, max (cm)

Profundidade do PRFC em cisalhamento

Resistencia ultima do PRFC

Profundidade efetiva do PRFC em cisalhamento

Espaçamento máximo entre as tiras de PRFC

36,5

15990341,06

32,44

14,12

Page 25: Relatório Parcial -Otimização topológica do reforço de estruturas de concreto armado com fibras de carbono

Vf, max (lb)

Vf, disposponivel (lb)

Le (cm)

sf (cm)

n (camadas)

β (º)

Afv (cm2)

Lo (cm)

Le (cm)

k1

k2

R

y (m)

Lefec (m)

Cortante máximo suportado pelo PRFC

Cortante disponível para o design escolhido

Comprimento efetivo do PRFC

Espaçamento entre as tiras de PRFC

Numero de camadas de PRFC.

Orientação das fibras em relação

Area total de uma camada de reforço

Comprimento efetivo de uma camada de PRFC

Comprimento efetivo do PRFC

Fator de multiplicação

Fator de multiplicação

Fator de redução para o estado ultimo de tensão

Vão da viga onde não há necessidade de reforço

Comprimento da lateral da viga onde há

excedente de esforço

18733,84

43671,75

2,03

5

1

45

1,2

2,03

2,03

0,83

0,89

0,26

2,90 m

0,55 m

6.3 Dimensionamento do reforço ao momento fletor

Para o dimensionamento do reforço das vigas, considerou-se para o modelo de viga

reforçada os mesmos conceitos de dimensionamento da viga sem reforço, ou seja,

ela foi dimensionada do modo padrão para as seções de concreto armado à flexão

no estado limite ultimo, porém introduzindo-se o PRFC, que atuará no combate à

tração juntamente com a armadura da peça (CHAVES, 2010). Como não foi possível

descarregar totalmente a peça, houve deformações iniciais em decorrência do

carregamento remanescente. Os diagramas de equilíbrio para o ELU podem ser

vistos na Figura 10.

Page 26: Relatório Parcial -Otimização topológica do reforço de estruturas de concreto armado com fibras de carbono

Figura 10 - Diagramas de equilíbrio para dimensionamento no Estado Limite Último

com reforço ao momento fletor em PRFC. Fonte: Chaves (2010).

As condições para o equilíbrio são:

Md =Rcd ×z→Md =bw×0,85×fcd ×0,8x×(d−0,4x) (14)

Md =Rsd ×z+Rfd ×z1 →Md =As ×fyd ×(d−0,4x)+Af ×σf ×(d−0,4x) (15)

onde:

Md = momento fletor de calculo (kgf.m);

Rcd = resultante de calculo a compressão no concreto (kgf);

Rsd = resultante de calculo a tração do aço (kgf);

x = posição da linha neutra (m);

Rfd = resultante de calculo a tração do reforço (kgf);

As = area de aço correspondente ao carregamento inicial (cm 2);

fyd = resistencia de calculo do aço (kgf/m 2);

Os valores de momento fletor de cálculo (M d) e área de aço (As) para o

carregamento inicial foram de 6173 kgf.m e 4,8 cm 2, respectivamente.

Primeiramente, a fim de se determinar a deformação total e a inicial do aço (ε ti e εsi),

realizou-se um alívio de carga para a execução do reforço, de 3086,5 kgf/m para

2204,65 kgf/m, o que fez com que o momento passasse para 4409,29 kgf.m. Assim,

aplicou-se esses valores na equação (13) para determinação da posição da linha

Page 27: Relatório Parcial -Otimização topológica do reforço de estruturas de concreto armado com fibras de carbono

neutra (x) nesta situação, considerando bw = 15 cm. Obteve-se x = 8,55 cm. De

posse desse valor, calculou-se a resultante de cálculo à compressão do concreto,

através da equação (16).

Rcd = 0,85×bw× fcd ×(0,8x) (16)

Rcd = 13328,5 kgf

Assim, determinou-se a tensão de cálculo no aço (σsd), através da equação (17),

admitindo

Rsd = Rcd

σsd = Rsd (17)

As

σsd = 27767711,31 kgf/m2

Então, foram determinadas a deformação inicial do aço ( εsi) e a deformação total

inicial (εti), através das equações (18) e (19), respectivamente.

εsi = σsd (18)

Es

εsi = 1,30 %o

εti = εsi × ( h − x ) (19)

(d − x)

εti = 1,46 %o

Page 28: Relatório Parcial -Otimização topológica do reforço de estruturas de concreto armado com fibras de carbono

Posteriormente, a fim de se determinar as condições de operação da viga quando

submetida ao carregamento final e a área de reforço (A f) a ser utilizada, determinou-

se o valor de momento fletor de cálculo para essa situação, que foi de 8333,55

kgf×m.

Novamente através da equação (13), a posição da linha neutra resultou em x = 2,25

cm. Admitindo-se a deformaçao do concreto ( εc) a 3,5%o, determinou-se a

deformação do aço (εs) através da equação (20).

εs = ( d − x ) (20)

εc x

εs = 5,46 %o

Com a deformação do aço, determinou-se a deformação total ( εt) através da

equação (21).

εt = εs × (h − x) (21)

(d − x)

εt = 4,14 %o

Para encontrar a deformação (εf) e a tensão no reforço (σf) utilizou-se as equações

(22) e (23).

εf = εt −εti (22)

εf = 2,68 %o

σf = Ef × εf (23)

σf = 41614963,62 kgf/m2

Page 29: Relatório Parcial -Otimização topológica do reforço de estruturas de concreto armado com fibras de carbono

Por fim, para determinar a área de reforço (Af), utilizou-se a equação (14) de

equilíbrio, porém acrescida de dois coeficientes de redução do reforço,

transformando-se na equação (24). Estes coeficientes são: φ, que foi obtido através

da expressão (25) e ψf, que por recomendação da ACI tem valor de 0,85 (CHAVES,

2010).

Como εsy < εs < 0,005, φ = 0,84.

Md = φ × [As × fyd × (d − 0,4x) + Af × σf × ψf × (h − 0,4x)] (24)

Af = 3,06 cm2

⎧ 0,90, se εs ≥ 0,005

|0,70 + 0,20 ( ε s −ε sy), se εsy < εs < 0,005 (25)

φ = ⎨ 0,005 − εsy

| 0,70, se εs ≤ εsy

Dividindo-se a área de reforço encontrada pela espessura das faixas (t f), de 0,14 cm,

e também pelo numero de camadas adotadas (n'), o comprimento de faixa ao longo

da largura da viga a ser adotado (b'), conforme mostra a expressão (26).

b' = Af (26)

n.tf

Para a adoção de duas camadas ao longo da largura da viga, obteve-se um

comprimento de:

b' = 12,8 cm

Distribuiu-se o reforço por toda a face inferior da viga, de forma a cobri-la por inteiro,

percorrendo um comprimento de 3,80 m, conforme disposto na Figura 11.

Page 30: Relatório Parcial -Otimização topológica do reforço de estruturas de concreto armado com fibras de carbono

Figura 11 – Disposição das fibras de carbono em viga de concreto armado a ser

estudada.

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Dissertação de Mestrado. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, 2004.

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