UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

CAMPUS DARCY RIBEIRO

FACULDADE DE TECNOLOGIA

Laboratório 1

PÊNDULO COMPOSTO

Matheus Hoffmann Lisboa – 09/0043731

Brasília

23 de setembro de 2015

1. Desenvolvimento

1.1 Descrição resumida

O experimento consiste na obtenção de períodos de oscilação de um pêndulo

composto com três configurações distintas: apenas uma barra oscilando, com dois discos livres

para rodar presos à ponta da barra, e com dois discos engastados na ponta da barra.

Obtidos os períodos de oscilação para os três casos, pode-se calcular as frequências

naturais e momentos de inércia para cada um. A partir do experimento e das análises

experimentais é possível determinar o momento de inércia de qualquer corpo que possa ser

preso à barra metálica.

Foram coletadas as dimensões e massas da barra e dos discos, de forma que

possibilitasse o cálculo teórico das frequências naturais e momentos de inércia, a fim de

comparação entre resultados teóricos e experimentais.

1.2 Procedimento Experimental Adotado

1- Inicialmente, toma-se medidas das massas e dimensões dos componentes que

compõe o pêndulo composto, ou seja, barra metálica, discos, e elementos fixadores.

2- Fixa-se a barra ao suporte superior da bancada de modo que a mesma fique livre para

oscilar.

3- Desloca-se manualmente a barra para o lado, de forma que a mesma faça um ângulo

inferior a 15º com a posição de equilíbrio.

4- Soltando a barra, permite-se que a mesma realize 10 oscilações completas e, com o

auxílio de um cronômetro, é anotado o tempo que demora para tais oscilações

ocorrerem, de forma com que o erro aleatório advindo do tempo de reação do

operador do cronômetro seja reduzido.

5- Dez medidas de tempo para 10 oscilações são tomadas. Posteriormente, divide-se o

tempo obtido por 10, para obter o período de apenas uma oscilação.

6- Os passos 3, 4, e 5 são repetidos para os casos com dois discos livres presos à ponta

oposta ao suporte superior da barra, e com dois discos engastados na ponta oposta ao

suporte superior da barra.

1.3 Modelo Teórico

1.3.1 Pêndulo Composto sem o Par de Discos (PCSD)

Para se encontrar o valor da frequência natural teórica considerando apenas a barra,

será utilizado o somatório de momentos em torno do eixo de rotação O, no qual o pêndulo

encontra-se em seu máximo deslocamento angular.

Figura 1 – Pêndulo Composto sem o Par de Discos

Onde I é o momento de inércia.

Adotando-se que a oscilação ocorrerá para pequenos ângulos, onde θ é menor que 15

graus, pode-se considerar, com boa aproximação, que sen(θ) = θ. Logo, a equação torna-se

(

)

Sabendo que o momento de inércia I da barra é

(

)

Portanto, a frequência natural teórica é

√ ( )

(

)

1.3.2 Pêndulo Composto com Par de Discos Livres (PCDL)

Para este caso, utiliza-se o método da conservação de energia em relação ao eixo de

rotação, onde a energia total do sistema é a soma da energia cinética com a energia potencial

gravitacional.

Figura 2 – Pêndulo Composto com o Par de Discos Livre

Derivando-se a energia total com relação ao tempo e igualando a zero, encontra-se a

equação do movimento,

( )

(

)

Conhecendo o momento de inércia, , a frequência natural para o caso

PCDL é igual a,

√ ( )

(

)

1.3.3 Pêndulo Composto com Par de Discos Engastados (PCDE)

Analogamente ao caso anterior, a frequência natural do sistema será obtida através da

conservação de energia, gerando a equação do movimento,

( ( ))

Figura 3 – Pêndulo Composto com o Par de Discos Engastado

Onde é a soma dos momentos de inércia da barra e dos discos em relação

ao ponto O. Portanto, a frequência natural teórica fica da forma,

√ ( (

))

1.4 Momentos Teóricos de Inércia

Os momentos de inércia teóricos para cada caso são:

(

)

(

)

(

)

(

)

1.5 Resultados

1.5.1 Medições Realizadas

Para se caracterizar o pêndulo e realizar os cálculos, algumas medidas tiveram que ser

realizadas. Tais medidas e seus respectivos erros encontram-se nas Tabelas 1 e 2.

Tabela 1 – Componentes do experimento

PEÇA CARACTERÍSTICAS MONTAGEM FUNÇÃO

1 – Barra Metálica m = 0,834 ± 0,002 kg L = 0,6 ± 0,005 m

Uma ponta é fixada na bancada, e a outra no par de

discos metálicos.

Pendurar os discos metálicos e gerar o

movimento pendular

2 – Par de Discos mdiscos = 2,428 ± 0,002kg φ1,frontal = 0,028 ± 0,0005 m φ1,traseiro = 0,15 ± 0,0005 m φ2,frontal = 0,028 ± 0,0005 m φ2,traseiro =0,149 ± 0,0005 m

Preso na barra no rolamento inferior, podendo engastá-lo

através da trava parafuso e porca.

Influir no movimento Pendular oscilatório

da barra.

3 - Trava mtrava = 0,022 ± 0,002 kg Transpassando os discos e a barra e apertado com as

porcas.

Engastar o par de discos na barra.

Tabela 2 – Instrumentação do experimento

INSTRUMENTAÇÃO ERRO ASSOCIADO GRANDEZA A SER MEDIDA

Balança Digital 0,002 kg Massa da barra, discos e trava

Trena 0,0005 m Comprimento da barra e dimensões dos discos

Cronômetro 0,1 s Tempo de Oscilação

Para a medição dos períodos, algumas hipóteses foram consideradas, sendo elas:

A gravidade local é g = 9,7808439 m/s2.

Pequenos ângulos de oscilação para que valha a linearização senθ=θ sem grandes

erros.

Apesar de em uma situação real não haverem períodos e frequências naturais, mas sim

períodos e frequências amortecidos, para este experimento serão consideradas duas

hipóteses que visam se aproximar de uma situação de oscilação ideal

O amortecimento do ar é desprezado

O atrito nos rolamentos é desprezado

Não há movimento fora do plano de oscilação

Não há atrito da barra metálica oscilante com o quadro metálico do suporte.

Os períodos medidos para apenas uma oscilação se encontram na Tabela 3.

TABELA 3 – Períodos obtidos experimentalmente para os três casos

ENSAIO n = 1, ..., 10

PCSD PCDL PCDE

1 oscilação [s] 1 oscilação [s] 1 oscilação [s]

1 1,21 1,404 1,414

2 1,221 1,399 1,419

3 1,228 1,402 1,397

4 1,216 1,399 1,403

5 1,235 1,386 1,406

6 1,221 1,38 1,41

7 1,219 1,388 1,394

8 1,225 1,385 1,406

9 1,227 1,393 1,394

10 1,22 1,394 1,408

MÉDIA 1,2222 1,393 1,4051

DESVIO PADRÃO 0,00694 0,00804 0,00831

1.5.2 Resultado experimental para o primeiro caso, PCSD

Utilizando os períodos obtidos para este caso a fim de se obter a frequência natural

média, é usada a equação

Onde o resultado é,

Com isto, é possível calcular o momento de inércia médio através da equação,

(

)

1.5.3 Resultado experimental para o segundo caso, PCDL

Utilizando os períodos obtidos para este caso a fim de se obter a frequência natural

média, é usada a equação, onde o resultado é,

Com isto, é possível calcular o momento de inércia médio através da equação,

[

( )]

(

)

1.5.4 Resultado experimental para o terceiro caso, PCDE

Utilizando os períodos obtidos para este caso a fim de se obter a frequência natural

média, o resultado é,

Com isto, é possível calcular o momento de inércia médio através da equação,

( ( ))

1.5.5 Comparação entre resultado Teórico x Experimental

Para comparar os valores de frequências naturais e momentos de inércia teóricos e

experimentais, os resultados de ambos os métodos foram organizados nas Tabelas 4 e 5,

gerando os gráficos das Figuras 4 e 5, respectivamente.

Tabela 4 – Frequências de Oscilação: Experimental x Teórico

Método ωn PCSD [rad/s] ωn PCDL [rad/s] ωn PCDE [rad/s]

Experimental 5,1410 4,5106 4,4718

Teórico 5,1468 4,5215 4,4889

Erro Relativo [%] -0,1121 -0,2394 -0,3801

Tabela 5 – Momentos de Inércia: Experimental x Teórico

Método I PCSD [kg.m2] I PCDL [kg.m2] I PCDE [kg.m2]

Experimental 0,0767 0,6522 0,6916

Teórico 0,0765 0,6762 0,7002

Erro Relativo [%] 0,2641 -3,55 -1,2247

Figura 4 – Gráfico Comparativo de frequências de oscilação Teóricas x Experimentais

Figura 5 – Gráfico Comparativo de momentos de inércia Teóricos x Experimentais

4,4

4,5

4,6

4,7

4,8

4,9

5

5,1

5,2

1 2 3Fre

qu

ên

cias

Nat

ura

is [

rad

/s]

1-PCSD; 2-PCDL; 3-PCDE

Teórico

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

1 2 3

Mo

me

nto

s d

e In

érc

ia [

kg.m

^2]

1-PCSD; 2-PCDL; 3-PCDE

Teórico

1.6 Análise de Dados

As medidas de dimensão ou massa foram tomadas apenas uma vez para cada corpo

(em algumas poucas situações foram tiradas mais de uma medida, mas não há sentido em

apenas alguns parâmetros possuírem desvios padrão), logo, os erros associados a tais medidas

serão apenas os inerentes aos instrumentos de medição.

O crescimento dos momentos de inércia, tanto calculados teoricamente, quanto

obtidos experimentalmente, era esperado, visto que do caso PCSD para o PCDL ou PCDE foram

adicionados dois corpos de massa não desprezível que, de fato, somadas eram

aproximadamente três vezes maior que a massa apenas da barra.

No entanto, não houveram diferenças significativas entre as frequências de oscilação

observadas experimentalmente entre os casos PCDL e PCDE, apenas entre estes dois primeiros

com o caso PCSD. Na comparação entre resultados teóricos contra experimentais para as

frequências de oscilação foi observada uma diferença considerável. Este fato pode ser

explicado devido à observação prática dos períodos de oscilação não serem períodos naturais,

mas períodos amortecidos, pois não há sistema real que oscile com período natural, visto que

sempre haverão forças externas ou dissipativas agindo em tais sistemas. Já as frequências

calculadas teoricamente, são para casos ideais, sem ação de forças externas ou dissipativas,

por isso, estas recebem o nome de frequências naturais.

2. Conclusão

Como era esperado, o experimento comprovou diferenças nos momentos de inércia e

frequências de oscilação para cada um dos três casos considerados.

A adição de massas ao sistema elevou o momento de inércia e diminuiu a frequência

de oscilação, visto que essa varia inversamente com o momento de inércia. Este fato também

causou alterações no período de oscilação, que aumentou, visto que este depende

inversamente da frequência de oscilação.

Foi possível observar também que, apesar de ser um conceito amplamente explorado,

a frequência natural não descreve com precisão com qual frequência um sistema real oscila,

visto que esta é sempre influenciada por fatores externos, ou seja, é amortecida. No entanto,

para fins didáticos, uma boa aproximação foi alcançada, com discrepâncias bem pequenas,

considerando que ainda há o erro intrínseco da linearização feita na equação do movimento.

Era prevista uma diferença maior entre os períodos de oscilação dos casos PCDL e

PCDE, pois para o caso PCDL há a transformação de uma parte da energia do sistema em

movimento de rotação dos discos, o que acarretaria em um período de oscilação maior que no

caso PCDE, no qual toda energia (cinética e potencial gravitacional) é transformada em

movimento oscilatório. Essa diferença poderia ser mais evidente caso o ângulo de oscilação

não fosse limitado a pequenos ângulos.