!

Trabalho Computacional!Mestrado Integrado em Engenharia eletrotécnica e de Computadores!

Matemática!Computacional!!!

2015/2016!–!2º!ano!8!1º!Semestre!

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! ! ! ! ! ! ! ! André!Ferreira!–!81715!

! Catarina!Aleixo!–!81731!

João!Ramiro!–!81138!

José!Miragaia!–!81567!

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Matemática Computacional | 2015/2016

2

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Índice!

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Capa88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888881!

Índice888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888882!

Introdução888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888883!

Grupo!I!

1.!

a.! 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888385!b.! 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888687!c.! 8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888887!

2.! !a.! 8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888789!b.! 88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888889810!c.! 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888810!d.! 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888811!e.! 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888811!

Grupo!II!

a.! 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888811!b.! 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888812!c.! 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888812!d.! 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888812!

Grupo!III!

1.! 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888813814!2.! 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888814!3.! !

a.! 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888815!b.! 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888815!c.! 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888815!

4.! 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888815816!5.! 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888816!6.! 888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888817!! !

Matemática Computacional | 2015/2016

3

Grupo!I!

Introdução!

Este% trabalho% corresponde% à% resolução% de% exercícios% presente% no% enunciado% do% projeto% de%Matemática% Computacional,% cujo% objetivo% é% mostrar% aos% alunos% o% impacto% que% a% análise%numérica% tem% no% mundo% atual.% O% programa% utilizado% na% resolução% das% questões% foi% o%Mathematica.%No%eGmail%enviado%encontraGse%todo%o%código%utilizado.%%

Exercício!1!

Este%exercício%tem%como%objetivo%usar%métodos%iterativos,%mais%especificamente%o%de%newton,%encontrar%as%raízes%da%função:%

1" =

1$% + '( −

1'*

%%

Onde:%% %R=225Ω%% C%=%0.6x%10,-.//////////L%=%0.5%H%

Alínea!a)!

Transformando%a%equação%anterior%em%função%de%w,%com%Z=%75Ω,%obtémGse%a%função%f%definida%do%seguinte%modo:%

2 ' =8

50625 −2' + 6×10,8'

%%

%Os%zeros%da%função%são:%w%=%G21109.2,%w%=%G157.909,%w%=%157.909,%w%=%21109.2.%%1º%ponto%fixo%positivo%(w%=%157.908875342499)%%ConsiderouGse%o%intervalo%[150,160]%que%contém%o%ponto%fixo,%para%avaliar%a%convergência%do%método.%%As%quatro%condições%suficientes%para%que%o%método%convirja%são:%2/ ∈ / (%[150,160]%%1ª)%f[150]×f[160] /= /−7.23176×10,@@ /< /0%%2ª)% f′/ w = /−2/(6×10,8 + %

DE) − %D + 6×10

,8/' ≠ 0, ∀' ∈ [150,160],% como% se% pode%observar%na%figura%1:%%%%%

%

Matemática Computacional | 2015/2016

4

152 154 156 158 160

4. 10 8

3. 10 8

2. 10 8

1. 10 8

152 154 156 158 160

1.6 10 6

1.8 10 6

2. 10 6

2.2 10 6%

%

%

%

%

%

%

3ª)f/′′[w] /= //−2 6×10,8 + %DE

%+ I/(,%./KL-.×@M,8/K)

DN /< 0/, ∀' ∈ [150,160],%como%se%pode%

observar%no%gráfico%da%figura%2.%

%

%

%

%

%

%

%

%

4ª)% /|P[@QM]||PR[@QM]| = //7.32458// < /10//e// |P[@-M]||PR[@-M]| = //2.13285// < /10%

Ordem%de%convergência:%%

Como%f′′[157.90887534249902] /= /−3.86005×10,I ≠ /0,%pela%definição%de%ordem%de%

convergência,%a%ordem%é%2.%

ConcluiGse%então%o%método%de%Newton%converge%para%o%ponto%fixo%w%=%157.90887534249902,%

com%ordem%de%convergência%quadrática,%qualquer%que%seja%wM ∈ 150,160 .%

%2º%ponto%fixo%positivo%(w%=%21109.22091049946)%%ConsiderouGse%o%intervalo%[21100,21200]%que%contém%o%ponto%fixo,%para%avaliar%a%convergência%do%método.%%

Figura%2:%Gráfico%de%f’’[w]%no%intervalo%[150,160]%

Figura%1:%Gráfico%de%f’[w]%no%intervalo%[150,160]%

Matemática Computacional | 2015/2016

5

21120 21140 21160 21180 21200

1.525 10 8

1.52 10 8

1.515 10 8

1.51 10 8

1.505 10 8

21120 21140 21160 21180 21200

7. 10 13

6. 10 13

5. 10 13

4. 10 13

3. 10 13

2. 10 13

1. 10 13

As%quatro%condições%suficientes%para%que%o%método%convirja%são:%2/ ∈ / (%[21100,21200]%%1ª)%f[21100]×f[21200] /= //−1.93713×10,@V /< /0%%2ª)% f′/ w = /−2/(6×10,8 + %

DE) − %D + 6×10

,8/' ≠ 0, ∀' ∈ [21100,21200],% como% se%pode%observar%na%figura%3:%%%%%

%

%

%

%

%

3ª)f/′′[w] /= //−2 6×10,8 + %DE

%+

I/ ,%.WL-.×@M,8/KDN /< 0/, ∀' ∈ [21100,21200],% como% se%

pode%observar%no%gráfico%da%figura%4.%

%

%

%

%

%

%

%

%

4ª)% /|P[%@@MM]||PR[%@@MM]| = //9.22293// < /100//e// |P[%@%MM]||PR[%@%MM]| = //90.5847/ < /100%

Ordem%de%convergência:%%

Como%f′′[21109.22091049946] /= /−7.20121×10,@V ≠ /0,%pela%definição%de%ordem%de%

convergência,%a%ordem%é%2.%

Figura%3:%Gráfico%de%f’[w]%no%intervalo%[21100,21200]%

Figura%4:%Gráfico%de%f’’[w]%no%intervalo%[21100,21200]%

Matemática Computacional | 2015/2016

6

ConcluiGse%então%o%método%de%Newton%converge%para%o%ponto%fixo%w%=%21109.22091049946,%com%ordem%de%convergência%quadrática,%qualquer%que%seja%wM ∈ 21100,21200 .%

Alínea!b)!

As% iterações% do%método%de%Newton,% para% aproximar% o% valor% da% 1ª% raiz% positiva% de% f w ,/que%verificam%o%critério%de%paragem,%encontramGse%na%tabela%1.%

n% 'X%0% 150%1% 157.3245842472031%2% 157.9056361315317%3% 157.9088752428226%4% 157.908875342499%5% 157.908875342499%

%%%O%cálculo%dos%erros%encontraGse%na%tabela%2,%tomando%como%valor%exacto%de%'%a%aproximação%final% que% verifica% o% critério% de% paragem% definido% no% enunciado% do% problema.% Neste% caso,%tomouGse%o%valor%de%'Q/.%%

Y% ZXL@ZX

@ %%

ZXL@ZX

%ZXL@ZX % %

ZXL@ZX V %

0% 0.207765% 0.0738779% 0.00934114% 0.0011811%1% 0.00423765% 0.00554383% 0.00948813% 0.0162387%2% 1.75135×10G6% 0.0000307718% 0.00949979% 2.93275%3% ≈0% ≈0% ≈0% ≈0%

%%%NoteGse%que,%para%n=3,%o%valor%dos%erros%é%aproximadamente%zero%pois%o%programa%usado%não%permite%conhecer%a%precisão%desses%valores.%Observando% a% tabela% 2,% verificamos% que,% à% medida% que% o% n% aumenta,% os% valores% da% quarta%coluna% estabilizam,% o% que% confirma% a% ordem% quadrática% do%método.% Assim,% uma% estimativa%para%o%coeficiente%assintótico%de%convergência%é%0.00949979.%%As% iterações% do%método%de%Newton,% para% aproximar% o% valor% da% 2ª% raiz% positiva% de% f w ,/que%verificam%o%critério%de%paragem,%encontramGse%na%tabela%3.%

n% 'X%0% 21000%1% 21109.22292576601%2% 21109.22091049956%

%%%

Tabela%1:%Iteradas%para%o%1º%ponto%fixo%

Tabela%2:%Erros%para%o%1º%ponto%fixo%

Tabela%3:%Iteradas%para%o%2º%ponto%fixo%

Matemática Computacional | 2015/2016

7

O%cálculo%dos%erros%encontraGse%na%tabela%4,%tomando%como%valor%exacto%de%'%a%aproximação%final% que% verifica% o% critério% de% paragem% definido% no% enunciado% do% problema.% Neste% caso,%tomouGse%o%valor%de%'%/.%%%

Y% ZXL@ZX

@ %%

ZXL@ZX

%ZXL@ZX % %

ZXL@ZX V %

0% 0.0000139259% 9.62304×10G8% 4.59507×10G12% 2.19418×10G16%1% 2.10701×10G9% 4.69355×10G8% 0.0000232899% 0.0115568%2% ≈0% ≈0% ≈0% ≈0%

%%%NoteGse%que,%para%n=2,%o%valor%dos%erros%é%aproximadamente%zero%pois%o%programa%usado%não%permite%conhecer%a%precisão%desses%valores.%Observando% a% tabela% 4,% verificamos% que,% à% medida% que% o% n% aumenta,% os% valores% da% quarta%coluna% estabilizam,% o% que% confirma% a% ordem% quadrática% do%método.% Assim,% uma% estimativa%para%o%coeficiente%assintótico%de%convergência%é%0.0000232899.%%Alínea!c)!

O% valor% teórico% do% coeficiente% assintótico% de% convergência% [\/para% o% ponto% fixo% w/ =/157.90887534249902/é%dado%por%%%

2RR 157.908875342499022R 157.90887534249902

2! = /0.00949986%%O% valor% teórico% do% coeficiente% assintótico% de% convergência% [\/para% o% ponto% fixo% w/ =21109.22091049946/é%dado%por%%%

2RR 21109.220910499462R 21109.22091049946

2! = /0.0000236916%Para%ambas%as%raízes%positivas,%pode%concluirGse%então%que,%os%valores%estimados%para%a%ordem%e%factor%assintótico%de%convergência%estão%de%acordo%com%os%valores%teóricos.%%Exercício!2!

Alínea!a)!

A%função%f[w]%pode%ser%escrita%como:%%

f[w] /= //−75 +1

150625 + − 2

' + 6×10,8'%%

%A%função%g w = /w − 2f[w]vem%então:%%

Tabela%4:%Erros%para%o%2º%ponto%fixo%

Matemática Computacional | 2015/2016

8

160 170 180 190 200

0.05

0.10

0.15

0.20

160 170 180 190 200

155

160

165

g w = /w − 2 −75 +1

150625 + − 2

' + 6×10,8'%

%

%Para%que%o%método%convirja,%as%três%condições%que%têm%que%ser%verificadas%são%as%seguintes:%%1ª)%g w %é%de%classe%(@%no%intervalo% 150,200 %%De%facto,%a%função%g w /%é%contínua%e%a%sua%derivada%dada%por%%

g′ w = 1 +2 6×10,8 + 2

'% − 2' + 6×10,8'

150625 + − 2

' + 6×10,8'% V %

%

%também%é%contínua%(vejaGse%o%seu%gráfico%na%figura%5).%%2ª)%g([150,200]) ⊂ [150,200]%%A%representação%gráfica%de%g'[w]%no%intervalo%[150,200]%é%a%seguinte:%%%%%%%%%%%%%%%%%Sendo%gR w > /0/para%w ∈ / [150,200],%então%g%é%crescente%em%[150,200].%Como%além%disso%g 150 = /156.8280309214416/e% g[200] /= /165.3896295332373,% a% monotonicidade% de% g%permite%concluir%que%g([150,200]) ⊂ [150,200].%Vejamos%o%gráfico%de%g w /nesse%intervalo%na%figura%6.%

%%%%%%%%%%

Figura%5:%Gráfico%de%g’[w]%no%intervalo%[150,200]%

Figura%6:%Gráfico%de%g[w]%no%intervalo%[150,200]%

Matemática Computacional | 2015/2016

9

160 170 180 190 200

0.0005

0.0010

0.0015

3ª) maxD∈[@QM,%MM]/

|g′[w]| /= /L, 0 < /L < 1 A% função% g′[w]/é% sempre% positiva% no% intervalo% considerado,% logo/|g′[w]| /= /g′[w].% Assim% a%

representação%gráfica%de% gR w /é%igual%à%de%g′[w]/%já%efetuada%atrás%na%figura%5.%A% função%g′[w]/% é% crescente% no% intervalo% considerado% como% se% observa.% Também%gR w > 0%para%w[150,200],%como%se%pode%ver%na%figura%7.%

%

%%%%%%%%%%%%%Então,%neste%intervalo,%max[/|g′[w]|] /= /max[g′[w]] /= / [g′[200]] /= //0.21365// = /L/ < /1.%ConfirmaGse%a%existência%de%um%único%ponto%fixo%para%a%função%g%no%intervalo/[150,200]:/z/ =//157.909.% Além% disso,% a% sucessão% w[n + 1] /= /g[w[n]] /= /w[n] − 2f[w[n]]/converge% para%esse%ponto%fixo%qualquer%que%seja%a%aproximação%inicial%'M[150,200].%%Estudo%da%ordem%de%convergência%do%método:%

Como% g/R z = / gR 157.90887534249902 = /0.142903/ ≠ 0% concluiGse% que% a% ordem% de%

convergência% do% método% é% linear% e% o% coeficiente% assintótico% de% convergência% K\ /=/|g′[157.90887534249902]| /= //0.142903.%%Alínea!b)!

As% iterações% do%método%de%Newton,% para% aproximar% o% valor% da% 1ª% raiz% positiva% de% f w ,/que%verificam%o%critério%de%paragem,%encontramGse%na%tabela%5.%

%

%

%

%

Figura%7:%Gráfico%de%g’’[w]%no%intervalo%[150,200]%

Matemática Computacional | 2015/2016

10

n% 'X%0% 200%1% 165.3896295332373%2% 159.0228061588605%3% 158.0690487537727%4% 157.9317850713509%5% 157.9121496348881%6% 157.9093432580307%%%7% 157.9089422093196%%%8% 157.908884897988%9% 157.9088767080095%10% 157.9088755376349%11% 157.9088753703845%12% 157.908875346484%%%13% 157.9088753430685%

%%%O%cálculo%dos%erros%encontraGse%na%tabela%6.%ConsiderouGse%o%valor%exacto%de%'%igual%à%raiz%positiva.%%

Y% ZXL@ZX

@ %%

ZXL@ZX

%ZXL@ZX % %

ZXL@ZX V %

0% 0.528969% 0.0374038% 0.000187019% 9.35094×10G7%1% 0.407273% 0.148906% 0.0199052% 0.00266086%2% 0.151761% 0.143791% 0.129084% 0.115882%3% 0.0572433% 0.143031% 0.892975% 5.57505%4% 0.0216325% 0.142921% 6.23846% 272.306%5% 0.00817728% 0.142906% 43.6448% 13329.5%6% 0.0030912% 0.142904% 305.405% 652692%7% 0.00116855% 0.142903% 2137.13% 3.1961×107%8% 0.000441742% 0.142903% 14955.1% 1.56508×109%9% 0.00016699% 0.142903% 104652% 7.66394×1010%10% 0.0000631263% 0.142903% 732327% 3.75291×1012%11% 0.0000238633% 0.142903% 5.12462×106% 1.83774×1014%12% 9.02093×10G6% 0.142903% 3.58609×107% 8.99915×1015%

% Alínea!c)!

Observando% a% tabela% 6,% verificamos% que,% à%medida% que% o% n% aumenta,% os% valores% da% terceira%

coluna%estabilizam,%o%que%confirma%a%ordem%linear%do%método,%pelo%que%uma%estimativa%para%o%

coeficiente% assintótico% de% convergência% é% 0.142903.% Pode% concluirGse% então% que,% o% valor%

estimado%para% a% ordem%e% fator% assintótico%de% convergência% estão%de% acordo% com%os% valores%

teóricos%determinados%em%a).%

%%%

Tabela%5:%Iteradas%para%o%1º%ponto%fixo%positivo%

Tabela%6:%Erros%para%o%1º%ponto%fixo%positivo%

Matemática Computacional | 2015/2016

11

Alínea!d)!

Para% que% a% convergência% seja% supralinear,% tem% que% se% determinar% α% de% modo% que%gR 157.90887534249902 = 0./Usando% o% programa% mathematica,% determinouGse% o% valor%o = /2.33346.%%Alínea!e)!

A% função%2% não% está% definida% para%' = 0.% Assim,% não% existe% nenhum% intervalo% fechado% que%contenha% simultaneamente% a% primeira% raiz% positiva% da% função%2% e%'M = −200.% Deste%modo%não%é%possível%garantir%a%convergência%do%método.%

%

Grupo!II

Alínea!a)!

PretendeGse%aproximar%esta%função%pelo%Método%dos%Mínimos%Quadrados%(MMQ), usando%a%função%de%ajustamento%p:/ℝ ⟶ ℝ%da%forma: %

g(r) = /a + b/Exp[cr], r ∈ [0,3], a, b, c ∈ ℝ./%Com%a%utilização%do%MMQ,%pretendeGse%minimizar%a%função:%

w[x, y, z] = ([|] − x − y/~[z/Ä[|]])%8

ÅÇ@/

O%minimizante%(a,b,c)%desta%função%é%solução%do%seguinte%sistema:%

/Éw/Éx = 0/Éw/Éy = 0/Éw/Éz = 0

//⟺

−2 | − x − y/~ z/Ä | = 08

ÅÇ@

−2~ z/Ä | | − x − y/~ z/Ä | = 08

ÅÇ@

−2/Ä | /y/~ z/Ä | | − x − y/~ z/Ä | = 08

ÅÇ@

%

%Este%sistema%corresponde à equação vectorial .(x, y, z) = 0, onde%. x, y, z = .@, .%, .V e

.@ = −2 | − x − y/~ z/Ä |8

ÅÇ@

.% = −2~ z/Ä | | − x − y/~ z/Ä |8

ÅÇ@

%

.V = −2/Ä | /y/~ z/Ä | | − x − y/~ z/Ä |8

ÅÇ@%

%

!

Matemática Computacional | 2015/2016

12

Alínea!b)!

A rotina utilizada para calcular no mathenmatica a matriz Jacobiana da função F da alínea anterior é: F[a_,%b_,%c_]%:=F1[a,%b,%c],%F2[a,%b,%c],%F3[a,%b,%c];%JacobianMatrix[funs_List,%vars_List]%:=%Outer[D,%funs,%vars];%J%=%JacobianMatrix[F[a,%b,%c],%a,%b,%c]%J%//%MatrixForm; %

Alínea!c)!

A%solução%do%sistema%G%valores%dos%parâmetros%a,%b,%c%que%minimizam%Q[a,b,c] são:%a=1.98215%b=G4.98174%c=G0.503306%

!

Alínea!d)!

O% gráfico% da% função% aproximadora% g(r)% com%os% pontos% da% tabela% dada% está% representado% na%figura%8.%%%%%%%%%%%%%%%%%%A%soma%dos%quadrados%dos%desvios%para%os%valores%de%a,%b%e%c%calculados%na%alínea%anterior%é:%%

Q[a,b,c]=0.0000186073.%%%%%%%%%%

Figura 8: Gráfico g[r] com os pontos da tabela dada

Matemática Computacional | 2015/2016

13

Grupo!III!

Exercício!1!

Nesta% pergunta% é% pedido% que% se% trace% os% gráficos% dos% polinómios% de% Legendre% de% ordem% k%(entre%1%e%10)%e%confirmar%que%estes%polinómios%teriam%k%zeros%reais%e%distintos%no%intervalo%[G1,1]%de%forma%simétrica.%%

Para%obter%os%polinómios%usámos%a%função%LegendreP,%usando%de%seguida%Plot%para%formar%os%gráficos.%

%

%

%

%

%

%

%

)

)

)

)

)

%

%

%

%

%

%

%

%

%

%

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Figura%13:%p(5)%com%5%zeros%entre[G1,1]% Figura%14:%p(6)%com%6%zero%entre[G1,1]%

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-0.5

0.5

1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

-1.0-0.50.51.0

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura%9:%p(1)%com%1%zero%entre[G1,1]% Figura%10:%p(2)%com%2%zeros%entre[G1,1]%

Figura%11:%p(3)%com%3%zeros%entre[G1,1]% Figura%12:%p(4)%com%4%zeros%entre[G1,1]%

Matemática Computacional | 2015/2016

14

%

%

%

% %

%

%

%

%

%

)

)

Com%recurso%à%função%CountRoots%da%linguagem%de%programação%Mathematica,%que%nos%indica%

o%número%de% raízes/zeros%de%uma% função,% concluímos%que% todos%os% zeros%dos%polinómios%de%

Legendre%encontramGse%no%intervalo%x[G1,%1].%

Para%verificar%que%os%zeros%se%encontram%distribuídos%de%forma%simétrica%à%origem,%observámos%

que% a% função% era% sempre% par% ou% ímpar,% o% que% implica% que% os% zeros% situados% à% esquerda% da%

origem%são%simétricos%aos%da%direita.%%

Exercício!2!

Foi% pedido% que% se% desenvolvesse% um% programa% que% recebia% um% intervalo% e% devolvesse% o%

número% de% zeros% (n)% existentes% no% intervalo% do% polinómio,% após% uma%mudança% de% variável.%

Para% realizar%esta% tarefa,%é%utilizada%a% função%NSolve%do%Mathematica%para%obter%os% zeros.%À%

lista%de%zeros%obtida%aplicaGse%a%mudança%de%variável%pedida%no%enunciado.%%

%

%

%

%

%

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura%15:%p(7)%com%8%zeros%entre[G1,1]% Figura%16:%p(8)%com%8%zeros%entre[G1,1]%

Figura%17:%p(9)%com%9%zero%entre[G1,1]% Figura%18:%p(10)%com%10%zero%entre[G1,1]%

Matemática Computacional | 2015/2016

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Exercício!3!

Alínea!a)%

Recebendo%um%intervalo%[a,%b]%e%um%inteiro%n%(números%de%zeros%do%polinómio%de%Legendre%de%ordem% n)% é% pedido% para% calcular% os% pesos% (Aj)% através% do% método% dos% coeficientes%indeterminados.% Com% estes% dados% é% possível% criar% um% sistema% de% equações% lineares% que% é%capaz%de%determinar%os%pesos.%

//1 ⋯ 1⋮ ⋱ ⋮~MX ⋯ ~XX

//àM/…àX

%=%

y − x⋮

yY+1−xY+1

Y+1

%

É%utilizada%a%função%LinearSolve%do%Mathematica%para%encontrar%os%valores%de%àä.%

Alínea!b)%

AplicaGse%a%quadratura%de%GaussGLegendre%para%obter%um%valor%aproximado%do%integral,%usando%a% função% da% alínea% anterior% para% obter% os% pesos% e% usando% ainda% a% função% desenvolvida% na%pergunta%2%para%obter%os%x_j,%que%são%os%zeros%do%polinómio%de%Legendre%de%ordem%n.%

Alínea!c)!!

%Y%%

sin sin 5~å

0

/ç~% ~2

1 + 25~2

1

−1

/ç~%

1% G0.55302% 0,0714286%2% 2.62456% 0,0416667%3% G0.74618% 0,0651629%4% 0.541481% 0,0517221%5% 0.333866% 0,061532%6% 0.384434% 0,0553551%7% 0.314335% 0,0596751%8% 0.326785% 0,0568519%9% 0.4393% 0,0587851%10% 0.287853% 0,0575017%

% % % %

Exercício!4!

Era%pedido%para%calcular%o%integral%de%uma%função%através%da%regra%de%integração%composta%de%

Simpson%com%n%nós%de%integração%(fornecido).%

Para%usar%a%regra%de%integração%composta%de%Simpson%é%necessário%saber%qual%o%tamanho%do%

intervalo% entre% os% nós% (h)% que% corresponde% ao% tamanho% total% do% intervalo% a% dividir% pelo%

número%de%nós.%

Tabela%7:%Erros%para%o%1º%ponto%fixo%positivo%

Matemática Computacional | 2015/2016

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y−xY = ℎ%.%Sendo%que%èX(2)%=%

ℎ3 / 2 ~0 + 2 ~Y + 4 2 ~21−1

ê/2|=1 + 2 2 ~2|

ê2−1|=1 / .%

Ou%seja%a%soma%dos%todos%os%f(x)%em%que%o%1%e%ultimo%são%somados%com%coeficiente%1,%somando%%

com%os%de%2%em%2%a%partir%do%3º,%até%que%o%seu%próximo%elemento%não%pertença%aos%nós%de%

integração%ou%que%este%seja%o%ultimo%da%lista%,%estes%possuem%um%coeficiente%de%4,%com%os%de%2%

em%2%a%partir%do%4º,%até%o%seu%próximo%elemento%não%pertença%aos%nós%de%integração%ou%que%

este% seja% ou% ultimo% da% lista,% estes% possuem% um% coeficiente% de% 2.% A% função% encontraGse%me%

anexo.%

Exercício!5!

Foi% chamada% a% função% resolvida%na%pergunta% anterior% com%as% funções% e% intervalos% referidos.%

Escolhendo%n’s%específicos%referidos%na%tabela%fornecida%pelos%docentes.%%

Para%o%1º%integral:%

sin sin 5~å

0

/ç~%

% %

%

~2

1 + 25~2

1

−1

/ç~%

%

%

%

%

%

!

!

n% Sn% |IGSn|% Razão%10% 0,352475% 0,004823% 0,0134985%20% 0,360238% 0,00294% 0,609579%40% 0,357418% 0,00012% 0,0408163%80% 0,357304% 6EG06% 0,05%160% 0,357298% 0% 0%

n% Sn% |IGSn|% razão%10% 0,057207% 0,000819% 0,0141144%20% 0,058057% G3,1EG05% 0,0379902%40% 0,058026% 0% 0%80% 0,058026% 0% 0%160% 0,058026% 0% 0%

Tabela%8:%Erros%para%o%1º%ponto%fixo%positivo%

Tabela%9:%Erros%para%o%1º%ponto%fixo%positivo%

Matemática Computacional | 2015/2016

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Exercício!6!

Para%n=10,% o%método%usado%na% alínea%5% é%mais% próximo%do% resultado%pretendido%do%que%no%

método%usado%na%alínea%3.c).%%Ou%seja,%o%método%de%Simpson%é%mais%eficiente%do%que%o%método%

da%quadratura%GaussGLegendre%visto%que%se%obtém%um%certo%número%próximo%da%solução%com%

menos%iterações%(menor%n)%do%que%seria%necessário,%para%obter%um%número%semelhante,%com%

recurso%ao%método%de%GaussGLegendre.%

Nota:% Para% o% integral% (2),% o% método% da% quadratura% GaussGLegendre% é% ligeiramente% mais%

próximo% do% que% o% de% Simpson.% Porém,% para% além% do% primeiro% ser% um% método% com% maior%

oscilação%de%valores%com%a%variação%de%n,%no% integral% (1)%o%método%de%Simpson%é%claramente%

melhor.!

%