Relatório de Estágio...1 Introdução Relativamente ao presente Relatório de Estágio, este está organizado em três partes. A primeira diz respeito à análise crítica das atividades

18/19

Relatório de Estágio

Mestrado em Ensino da Matemática no 3º ciclo do Ensino Básico e no Secundário

Autor: Ana Isabel Machado Fernandes

Orientador: Dr. António Guedes de Oliveira

Coordenador: Dr. Samuel António de Sousa Dias Lopes

Junho 2019

Índice

Introdução ................................................................................................................................................1

Análise crítica das atividades desenvolvidas no âmbito da PES ...............................................................2

Parte Didática: Operações com polinómios

Operações com polinómios ......................................................................................................................8

1. Polinómio na variável 𝑥 .................................................................................................................9

2. Operações com polinómios ........................................................................................................ 10

3. Regra de Ruffini ........................................................................................................................... 13

4. Teorema do Resto ....................................................................................................................... 16

Resumo .................................................................................................................................................. 18

+ Exercícios ........................................................................................................................................... 19

Parte Científica: Divisibilidade de polinómios – algoritmo de Euclides

Algoritmos de Euclides .......................................................................................................................... 20

1.1. Domínios Euclidianos.................................................................................................................. 20

1.2. Extensão do algoritmo de Euclides............................................................................................. 21

1.3. Não Unicidade do máximo divisor comum ................................................................................ 25

Aplicações do algoritmo de Euclides ..................................................................................................... 30

2.1. Aritmética modular .................................................................................................................... 30

2.2. Inverso modular via Euclides ...................................................................................................... 30

2.3. Inverso modular via Fermat ....................................................................................................... 32

2.4. Frações contínuas e aproximações diofantinas ......................................................................... 34

Bibliografia............................................................................................................................................. 37

1

Introdução

Relativamente ao presente Relatório de Estágio, este está organizado em três partes. A

primeira diz respeito à análise crítica das atividades desenvolvidas no âmbito da prática de

ensino supervisionada (PES), onde, de uma forma geral, abordo o desempenho e avaliação dos

alunos, o enquadramento no funcionamento e organização da escola e a atividade letiva, entre

outros temas que considero relevantes.

A segunda parte diz respeito à parte didática e tem como objetivo funcionar como

material de apoio à lecionação. Por isso, optei por elaborar um subcapítulo de um manual

escolar de Matemática A, cujo tema será as operações com polinómios e será destinado aos

alunos do 10º ano de escolaridade.

A terceira parte diz respeito a um trabalho científico/didático de teor mais avançado.

Esta tem como objetivo apresentar algumas das aplicações do algoritmo de Euclides. Irei

primeiro explorar o algoritmo de Euclides tradicional, uma extensão deste e de um terceiro, e,

por fim, abordar algumas das suas aplicabilidades. Este domínio está subdividido em duas

partes: a primeira diz respeito ao algoritmo de Euclides, a segunda diz respeito às suas

aplicações. O objetivo deste trabalho é mostrar como o algoritmo de Euclides é tão poderoso e

com imensas aplicações.

Em suma, considero que o presente Relatório de Estágio é um reflexo de todo o processo

evolutivo a que me propus.

Análise crítica das atividades desenvolvidas no âmbito da PES

2


Este foi um ano de muitas aprendizagens! Ao longo desta caminhada, consegui refletir sobre a

importância e o papel que um professor desempenha enquanto mediador de toda a aprendizagem dos

alunos. Percebi que é através deste que os alunos constroem o conhecimento, preparando-se, assim,

para o futuro. Confirmei que a missão de um professor é, como vulgarmente se diz, “ensinar”, e

reforcei, também, o conceito de que os alunos são seres curiosos que devem ser acompanhados e

orientados na sua evolução.

Ao longo desta viagem, pude adquirir novos conhecimentos e aprendizagens que me serão

úteis no futuro, ao exercer esta profissão. No início, tive receios e medos, como qualquer um que

desconhece o que lhe será apresentado, isto porque a teoria e a prática são complementares, mas não

similares. Quando entramos ao serviço, fomos “bombardeadas” com tarefas que jamais pensávamos

que fossem necessárias para o arranque de um novo ano letivo.

Pela primeira vez, vi a escola por detrás das aulas, ou seja, como tudo é preparado para o

começo de um novo ano letivo. Pude ter contacto e ver como tudo se processa. Tive a minha primeira

reunião com o departamento de matemática e ciências experimentais, a primeira reunião de grupo,

os primeiros conselhos de turma e, para além disso, fiz parte do grupo que elaborou a planificação

anual do 7º ano de escolaridade, de acordo com as aprendizagens essenciais e o perfil do aluno à saída

da escolaridade obrigatória, discutimos e elaboramos, também, o projeto, assim como a planificação

e os critérios de classificação, para a oficina de matemática, destinada aos alunos do 7º ano de

escolaridade. Estas etapas foram de extrema importância, uma vez que nunca tinha tido contacto com

essas tarefas e percebi que são essenciais, pois, a partir destas, se estruturaram as aulas, ou seja, estes

elementos constituem um guião que os docentes devem seguir, de forma a preparar as atividades

letivas e adaptá-las aos alunos.

Para além disto, antes do início das aulas, o núcleo de estágio esteve a elaborar as grelhas de

observação/avaliação para cada ano de escolaridade de modo a que, ao longo das aulas, pudéssemos

avaliar os alunos e, quando chegássemos ao final de cada período, tivéssemos elementos de avaliação

necessários para podermos classificá-los de forma justa e imparcial.

Para além desta grelha, elaborou, também, uma grelha de autoavaliação destinada aos alunos,

que lhes foi fornecida a meio e no final de cada período, de modo a que estes se pudessem autoavaliar.

Posteriormente, reuníamos para dar um feedback a cada a aluno de forma a este saber se estávamos

ou não de acordo com a sua avaliação. A meu ver, este feedback é bastante importante uma vez que

os alunos têm a oportunidade de modificar a sua postura dentro da sala de aula, de forma a não serem

surpreendidos no final de cada período.


3

Durante este ano, consegui observar que os alunos são realmente muito diferentes, pude

comprová-lo com as duas turmas do 9º ano que lecionei. Enquanto numa os alunos eram motivados,

participativos e tinham gosto pela matemática, o que se refletia nas suas atitudes e interesses, na outra

os alunos eram mais distantes, com mais dificuldades e com pouco interesse. Isto fez com que tivesse

que agir de duas formas distintas, adequando o discurso e as atividades para que todos os alunos

conseguissem alcançar os objetivos e obtivessem o aproveitamento máximo. Esta situação foi positiva

para a minha aprendizagem, visto que compreendi que nem todas as tarefas se adequam a todos os

alunos, por vezes, somos forçados a fazer “um percurso mais longo” para explicar algo novo, de modo

a que aqueles que têm mais dificuldades consigam entender o que se pretende.

Além disto, enquanto núcleo de estágio, selecionamos uma tarefa na área da resolução de

problemas, que avaliamos em duas fases, onde se pretendia que, para além de darem a resposta ao

problema, explicassem como tinham chegado a ela. Era de esperar que os alunos com melhores

resultados chegassem facilmente à resposta do problema e que, de uma forma clara, conseguissem

explicar o seu raciocínio, no entanto, isso não aconteceu, estes alunos tiveram uma grande dificuldade

em explicar o raciocínio, de modo que, pensaram bem e conseguiram chegar à resposta ao problema,

mas não conseguiram “passar para o papel” o raciocínio que fizeram para lá chegar, em contrapartida,

alguns dos alunos que revelavam mais dificuldades conseguiram, de uma forma correta, explicar como

chegaram à resposta. Esta era uma tarefa em duas fases, o que fez com que tivéssemos de adequar o

feedback, de modo que os alunos o entendessem e conseguissem melhorar as suas produções. Para

mim, esta revelou-se uma tarefa complicada, visto que os alunos, por vezes, não “aceitam” muito bem

este tipo de exercícios, pois consideram que a segunda fase não tem utilidade prática, talvez porque

não estejam habituados a lidar com este tipo de tarefas. Dar um feedback adequado a cada a aluno, é

um trabalho difícil e só com a experiência esta ação se torna verdadeiramente eficaz.

Com as sessões semanais de apoio, com pequenos grupos de alunos do 7º ano que

apresentavam muitas dificuldades de aprendizagem, pudemos, de uma forma direta, perceber quais

as dificuldades que estes alunos apresentavam e agir em conformidade com isso, de forma a que estes

pudessem ultrapassá-las e ter um melhor aproveitamento escolar. Porém, percebi que isto só acontece

se os alunos estiverem predispostos a isso, uma vez que se estes não quiserem ser “ajudados” esta

tarefa torna-se bastante complicada, quase impossível.

Como a orientadora cooperante apenas tinha turmas do 3º ciclo e do ensino profissional,

assistimos a uma aula de MACS, de 11º ano, em que foi abordado o tema “distribuição normal”, e a

uma aula de matemática A, de 12º ano, sobre “as propriedades das funções exponenciais e

logarítmicas”, para diversificarmos a nossa experiência letiva. Constatamos que foi verdadeiramente

importante termos contacto com os diferentes níveis e tipos de ensino, para conseguirmos perceber

quais as tarefas e os métodos de aprendizagem a adotar em situações semelhantes.


4

Todos os alunos são diferentes, até porque não há seres humanos iguais. Dependendo dos

objetivos que os discentes traçaram para a sua vida, o desempenho e a atitude deles são distintos, ou

seja, com a minha experiência, percebi que a maior parte dos jovens do ensino profissional está na

escola por obrigação para cumprir a escolaridade obrigatória, o que exige que o professor adeque as

suas estratégias pedagógicas. Julgo que, nestas turmas em concreto, o professor tenha que ser como

o “canivete suíço” de Macgyver, isto é, deve ter sempre na manga diferentes opções letivas tendo em

conta a reação dos alunos. Preparar estas opções é muito trabalhoso, mas, para mim, pode ser algo

vantajoso, pois faz com que tenhamos que diversificar as nossas metodologias de trabalho, de modo

a que estes sintam que realmente aquilo que lhes ensinamos será importante para o futuro deles e

que vejam nessas tarefas algo útil que possam um dia mais tarde usar. Os alunos das turmas de

matemática A de 12º são mais empenhados, pois os seus objetivos são, também, mais exigentes.

No que diz respeito à gestão das aulas, senti, inicialmente, algumas dificuldades, uma vez que

dava demasiada importância ao cumprimento do plano de aula e ao tempo despendido para a

realização das tarefas o que, por vezes, fazia com que não observasse os alunos e não lhes desse o

feedback adequado. Ao libertar-me da necessidade de cumprir meticulosamente o estipulado no

plano de aula e do tempo despendido na realização das tarefas, fiquei mais liberta e consegui observar

melhor os alunos, percebendo quais as metodologias que deveria adotar, de forma a cumprir os

objetivos propostos para a aula e a fazer com que todos os alunos executassem, com sucesso, as

tarefas propostas.

No início do ano letivo, participamos numa sessão de formação para aprendermos a utilizar o

Google Drive, que permitiu a comunicação e organização do núcleo de estágio, e a app Classroom, que

estava incluída nas aplicações disponibilizadas pelo Google, esta foi um instrumento essencial de

comunicação entre alunos e professores ao longo do ano letivo. Ao longo dos dois primeiros períodos

realizamos questionários no Google e, posteriormente, estes foram disponibilizados aos alunos através

da aplicação Classroom, para podermos avaliar o conhecimento adquirido pelos alunos e recolher

informações sobre as aprendizagens não realizadas, de forma a podermos, mais tarde, aplicar tarefas

de recuperação.

Em relação à avaliação, o núcleo de estágio ajudou na elaboração dos instrumentos de

avaliação e dos respetivos critérios de classificação e realizou, autonomamente, fichas de avaliação e

os respetivos critérios de classificação para cada uma das turmas de 7º e 9º anos, fazendo

acomodações para os alunos que necessitassem, tendo em conta a educação inclusiva. Além disso,

construímos uma tarefa de avaliação a pares destinada aos alunos da turma do ensino profissional,

bem como o respetivo guião e os parâmetros de avaliação.

Isto revelou-se de extrema importância, uma vez que pude perceber que temos que adaptar

as avaliações consoante os alunos que temos, e que é necessário diversificar as nossas tarefas para


5

que os alunos retirem o proveito máximo. Contudo, por em prática as minhas constatações não foi

fácil, mesmo tendo disponíveis vários recursos e uma panóplia de exercícios, isto porque é preciso

adaptar o material e utilizá-lo de uma forma diversificada, com o objetivo de motivar os discentes para

a aprendizagem da disciplina. Quanto à elaboração dos critérios de classificação, percebi que é algo

bastante trabalhoso, pois temos que pensar em várias formas de resolução de uma mesma questão, e

como distribuir a pontuação, de modo a dar mais cotação ao objetivo da questão e menos às etapas

que o aluno tem que realizar até lá chegar.

Para além de tudo isto, tivemos a oportunidade de ajudar a elaborar a prova final adaptada a

nível de escola, o que nos permitiu compreender a importância da adequação das provas às

características dos alunos que dela beneficiam. Claro que, para que as provas fossem completamente

justas, seria necessário elaborar uma prova para cada aluno, contudo, como tal não é possível, os

professores procuram elaborar a prova tendo em conta as características dos diferentes alunos.

Ainda nos foi possível participar, nas reuniões finais do primeiro período, estas permitiram

avaliar os conteúdos apreendidos pelos alunos, nas diferentes disciplinas, sendo que, através dos

resultados obtidos se aferiu a necessidade de elaborar acomodações para os alunos que revelavam

maiores dificuldades de aprendizagem.

Como atividades extras, dinamizamos um concurso de postais de natal, sendo que estes

deviam ser decorados com elementos matemáticos. Os alunos aderiram em massa à atividade, muitos

até incluíram elementos que ainda não tinham adquirido, são disso exemplo as equações, as

exponenciais e os logaritmos, o triângulo de Pascal, a linguagem binária e as obras matemáticas, o que

revela o seu interesse e empenho na tarefa. Para além desta atividade, preparamos os alunos para os

concursos Olimpíadas da Matemática e Canguru Matemático, é de notar, ainda neste âmbito, que

preparamos uma turma de nono ano para o concurso “Matemáticas na Raia”, organizado

conjuntamente pela Asociación Galega do Profesorado de Educación Matemática (AGAPEMA) e pela

Associação de Professores de Matemática (APM), sendo que a turma em causa conseguiu um honroso

2º lugar.

Relativamente, à atividade postais de natal, considero que esta foi uma boa forma de aliar os

gostos e a criatividade dos alunos à matemática, enquanto que os concursos permitiram que os alunos

adquirissem gosto e interesse pela disciplina, bem como novas estratégias para a resolução de

problemas. Esta atividade permitiu, igualmente, promover o raciocínio, para que os discentes, perante

atividades do mesmo carácter, conseguissem utilizar habilidades e estratégias para poderem alcançar

os seus objetivos mais rapidamente.

Ainda no âmbito das atividades promovidas, orientamos os alunos de duas turmas, na

planificação de uma aula destinada aos pais, encarregados de educação, professores e outros

elementos da comunidade educativa realizada na Mostra da Escola. Os temas destas aulas foram


6

“Esculturas do MIEC (Museu Internacional de Escultura Contemporânea) e Matemática” que permitiu

uma conexão da respetiva obra à matemática e “Curiosidades Matemáticas” que alimentou a

curiosidade dos alunos, relativamente às aplicações práticas da matemática.

Para os alunos, este tipo de atividade é importante, visto que é uma forma de lhes mostrar que

a matemática é muito mais do que aquilo que eles aprendem na sala de aula, fazendo com que ganhem

um gosto especial pela disciplina. Deveriam existir mais atividades deste género nas escolas, para que

a matemática deixasse de ser assustadoramente teórica e passasse a ser vista pelos discentes como

algo prático, útil e interessante, para além disso, seria uma forma de escapar aos métodos tradicionais

de ensino.

Por fim, dinamizamos uma oficina “Construção de testes/questionários no Google Forms”, no

Fórum Educa – Encontros de educação de Santo Tirso, sendo o Fórum Educa uma ação de formação

acreditada pelo conselho científico-pedagógico da formação contínua e destinada a educadores e

professores do concelho de Santo Tirso, organizada pelo centro de formação de professores Sebastiâo

da Gama, pertencente a Santo Tirso e Valongo e pela Câmara de Santo Tirso, com uma duração de três

horas e meia. Esta ação teve um feedback bastante positivo por parte dos participantes.

Enquanto estagiária, esta participação na oficina, fez-me ver que, para além das aulas, temos

também que nos atualizar em termos científicos, de modo a podermos inserir as atualizações nas

nossas aulas. Não quer isto dizer que em todas as aulas devemos utilizar algo novo, significa apenas

que é importante diversificar recursos e instrumentos de trabalho, aproveitando aquilo que são

ferramentas gratuitas e que facilmente podem ser adaptadas aos nossos alunos, desta forma,

aproveitamos os recursos tecnológicos que temos ao nosso dispor.

Em suma, apesar das dificuldades sentidas, a PES mostrou-se uma excelente oportunidade de

aprendizagem ao favorecer a aquisição e desenvolvimento de novos conhecimentos e práticas

profissionais, pessoais e sociais. Considero que ao longo deste processo, cresci muito como pessoa e

como profissional. Percebi que cada aluno é um ser individual e que o processo de ensino-

aprendizagem difere sempre que os atores deste processo se alterem.

Durante todo este ano demonstrei ser assídua e pontual e revelei um grande sentido de

responsabilidade no cumprimento das tarefas propostas, apresentando uma evolução positiva na

forma de dar as aulas, demonstrando rigor da linguagem oral e escrita, revelando uma grande

capacidade de comunicação e de interação com os alunos, tentando sempre que possível fazer com

que o questionamento destes se tornasse promotor de aprendizagens significativas e do pensamento

crítico e compreendendo que ser professor implica uma necessidade permanente de

atualização/desenvolvimento do conhecimento científico, pedagógico e cultural.

Na minha opinião, no âmbito escolar, o envolvimento dos estagiários é compreendido e

interpretado das mais variadas formas, para nós é um momento de aproximação à atividade que


7

pretendemos desempenhar no futuro, é o culminar de todos os anos de formação, é o momento para

o qual nos preparamos durante cinco anos. Para o meio escolar é uma oportunidade de transmitir

saberes e novas experiências aos futuros profissionais da área. Para mim, o professor tem de ser capaz

de trabalhar individualmente e em grupo, sendo estes dois elementos partes integrantes do

desenvolvimento profissional, nunca esquecendo que os conhecimentos não são estanques, pelo que

é constantemente necessário evoluir, esta evolução só é possível através do estudo e da formação.

8

Operações com polinómios Parte Didática

Operações com polinómios

Atividade Inicial 1

Considera os seguintes monómios

𝐴(𝑥) = 8 × 26𝑥4

𝐵(𝑥) = −10

𝐶(𝑥) = −3

4𝑥3

𝐷(𝑥) = 18𝑥2

𝐸(𝑥) = −4 × (−8

4) 𝑥

𝐹(𝑥) = 0

1. Indica:

a) aqueles que são constantes;

b) aqueles que são nulos;

c) dois monómios semelhantes.

2. Para cada um dos polinómios:

a) escreve-os na forma canónica;

b) indica a parte numérica ou coeficiente;

c) indica a parte literal;

d) indica o grau do monómio.

3. Se somar dois monómios ainda continuo a ter sempre um monómio? Porquê?

9


1. Polinómio na variável 𝒙

Recorda que um polinómio é um monómio ou uma expressão ligando

monómios, não semelhantes, por sinais de adição ou subtração. A cada

um dos monómios chama-se termo do polinómio.

Reduzir um polinómio é escrevê-lo de forma a que não apareçam termos

semelhantes.

Ordenar um polinómio é escrevê-lo segundo as potências crescentes ou

decrescentes da variável.

Polinómio na variável 𝒙

Um polinómio na variável 𝒙, designa-se por 𝑃(𝑥), na forma reduzida

e ordenada, é uma expressão da forma:

𝑃(𝑥) = 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛 (forma reduzida)

onde:

𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 ∈ ℝ e 𝑎0 ≠ 0 são os coeficientes do

polinómio

𝑎𝑛 diz-se o termo independente

𝑛 ∈ ℕ0 diz-se o grau do polinómio

Exemplo: Seja 𝑃(𝑥) = 2𝑥4 + 𝑥3 −3

2𝑥2 + 5𝑥 − 2

𝑛 = 4 (é um polinómio do quarto grau)

𝑎0 = 2, 𝑎1 = 1, 𝑎2 = −3

2, 𝑎3 = 5 e 𝑎4 = −2

−2 é o termo independente

Um polinómio diz-se completo se os seus coeficientes forem todos não

nulos. A forma reduzida de um polinómio completo de grau 𝑛 tem 𝑛 +

1 termos.

Um polinómio constante não nulo, 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 (com 𝑎𝑛 ≠ 0), tem grau

𝟎. O grau do polinómio nulo, 𝑃(𝑥) = 0, é indefinido. O polinómio nulo

pode ser considerado como tendo qualquer grau.

Exemplo 1 Reduzir e ordenar um polinómio

1.1 Escreve numa forma reduzida e ordenada o polinómio:

𝑃(𝑥) = −3𝑥3 + 4𝑥 − 2𝑥4 − 2 − 2𝑥

1.2 Indica o grau do polinómio 𝑃(𝑥).

Resolução

1.1 𝑃(𝑥) = −2𝑥4 − 3𝑥3 + 4𝑥 − 2𝑥 − 2 =

= −2𝑥4 − 3𝑥3 + 2𝑥 − 2

1.2 O polinómio tem grau 4.

1. Depois de reduzir e ordenar cada

um dos polinómios, indica:

o grau;

o termo independente.

1.1. 2𝑥 − 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥3

1.2. 2

3𝑥 − 𝑥2 +

𝑥5

4−1

2𝑥

10


2. Operações com polinómios

Recorda:

Dois polinómios na mesma variável são idênticos (ou iguais) se e só se

os coeficientes dos termos de igual grau são iguais.

Vamos recordar a adição, a subtração e a multiplicação de polinómios.

Adição

Na adição de polinómios, determinamos a forma reduzida do polinómio

soma reduzindo os termos semelhantes, e eliminando as somas nulas.

Subtração

A subtração de polinómios pode ser encarada como a adição do

polinómio aditivo com o polinómio simétrico do polinómio subtrativo.

Multiplicação

A multiplicação de polinómios processa-se efetuando todos os produtos

possíveis de um termo de um deles por um termo do outro e adicionando

os resultados obtidos.

Exemplo 2 Adição, subtração e multiplicação de

polinómios

Considera os polinómios

𝐴(𝑥) = −3𝑥3 − 2𝑥2 + 1 e 𝐵(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥

Determina na forma reduzida os polinómios:

2.1 𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥) 2.2 𝐴(𝑥) × 𝐵(𝑥)

Resolução

2.1 𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥) = −3𝑥3 − 2𝑥2 + 1 − 𝑥2 + 3𝑥 =

= −3𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 + 1

2.2 𝐴(𝑥) × 𝐵(𝑥) = (−3𝑥3 − 2𝑥2 + 1) + (𝑥2 − 3𝑥) =

= −3𝑥5 + 9𝑥4 − 2𝑥4 + 6𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥

= −3𝑥5 + 7𝑥4 + 6𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥

2. Considera os polinómios

𝐴(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥4 e 𝐵(𝑥) = 𝑥2 +

3𝑥 − 2

2.1. Indica o grau de 𝐴(𝑥) e de 𝐵(𝑥)

2.2. Calcula:

a) 𝐴(𝑥) + 𝐵(𝑥);

b) 𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥).

2.3. Calcula 𝐴(𝑥) × 𝐵(𝑥) e indica o

grau de 𝐴(𝑥) × 𝐵(𝑥).

Decorre da definição de produto de monómios a seguinte propriedade

relativa à multiplicação de polinómios.

Dados polinómios não nulos 𝐴(𝑥) e 𝐵(𝑥), o grau do polinómio 𝐴(𝑥) ×

𝐵(𝑥) é igual à soma dos graus de 𝐴(𝑥) e de 𝐵(𝑥).

Demonstração:

Sejam 𝐴(𝑥) e 𝐵(𝑥) dois polinómios de grau 𝑛 e 𝑚, respetivamente.

𝐴(𝑥) = 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛, 𝑎0 ≠ 0

𝐵(𝑥) = 𝑏0𝑥𝑚 + 𝑏1𝑥

𝑚−1 +⋯+ 𝑏𝑚−1𝑥 + 𝑏𝑚, 𝑏0 ≠ 0

No produto 𝐴(𝑥) × 𝐵(𝑥) o termo de maior grau é o que se obtém

calculando:

𝑎0𝑥𝑛 × 𝑏0𝑥

𝑚 = 𝑎0𝑏0𝑥𝑛+𝑚 (𝑎0𝑏0 ≠ 0)

Portanto, o grau de 𝐴(𝑥) × 𝐵(𝑥) é 𝑛 +𝑚, ou seja, é igual à soma dos

graus de 𝐴(𝑥) e de 𝐵(𝑥).

11


Divisão euclidiana ou divisão inteira de polinómios

A divisão euclidiana ou a divisão inteira de polinómios pode ser realizada

através de um algoritmo muito semelhante ao que se utiliza para a

divisão euclidiana de números naturais. Esta é uma operação muito útil

no estudo de funções polinomiais. Permite-nos, por exemplo, fatorizar

polinómios, escrevendo-os como produto de polinómios de grau inferior.

Assim, efetuar a divisão euclidiana de um polinómio 𝐴(𝑥) por um

polinómio não nulo 𝐵(𝑥) é determinar o quociente 𝑄(𝑥) e o resto 𝑅(𝑥),

sendo únicos, tais que:

𝐴(𝑥) = 𝐵(𝑥) × 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)

onde 𝑅(𝑥) ou é o polinómio nulo ou tem grau inferior ao grau de 𝐵(𝑥).

Neste contexto:

𝐴(𝑥) é o polinómio-dividendo;

𝐵(𝑥) é o polinómio-divisor;

𝑄(𝑥) é o polinómio-quociente;

𝑅(𝑥) é o polinómio-resto.

Vamos calcular o quociente e o resto da divisão do polinómio 𝐴(𝑥) =

2𝑥3 − 3𝑥2 + 1 pelo polinómio 𝐵(𝑥) = 𝑥 + 1.

1.º Escrever o dividendo á esquerda do divisor, ordenando os termos por

ordem decrescente de grau. Quando o polinómio não é completo,

escrever o termo em falta com coeficiente nulo.

2𝑥3 − 3𝑥2 + 0𝑥 + 1 𝑥 + 1

2.º Dividir o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau

do divisor, ou seja, neste exemplo, divide-se 2𝑥3 por 𝑥.

2𝑥3 − 3𝑥2 + 0𝑥 + 1 𝑥 + 1

2𝑥2

3.º Multiplicar este resultado pelo divisor e adicionar o simétrico do

produto ao dividendo, como, 2𝑥2(𝑥 + 1) = 2𝑥3 + 2𝑥2.

2𝑥3 − 3𝑥2 + 0𝑥 + 1 𝑥 + 1

−2𝑥3 − 2𝑥2 2𝑥2

− 5𝑥2 + 0𝑥 + 1

4.º O polinómio obtido no passo anterior é agora encarado como novo

dividendo. Repetir, para este, os dois passos anteriores.

2𝑥3 − 3𝑥2 + 0𝑥 + 1 𝑥 + 1

−2𝑥3 − 2𝑥2 2𝑥2 − 5𝑥 + 5

− 5𝑥2 + 0𝑥 + 1

5𝑥2 + 5𝑥

5𝑥 + 1

−5𝑥 − 5

−4

O processo termina quando o polinómio-resto for nulo ou tiver grau

inferior ao do divisor.

12


2𝑥3 − 3𝑥2 + 1 = (𝑥 + 1)(2𝑥2 − 5𝑥 + 5) + (−4)

Quando o resto da divisão euclidiana de um polinómio 𝐴(𝑥) por um

polinómio 𝐵(𝑥) é zero, diz-se que o polinómio 𝐴(𝑥) é divisível pelo

polinómio 𝐵(𝑥).

Exemplo 3 Divisão euclidiana de polinómios

Determina o quociente e o resto da divisão de

𝐴(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥3 − 𝑥 + 1 por 𝐵(𝑥) = 𝑥2 + 2

Resolução

𝑥4 + 2𝑥3 + 0𝑥2 − 𝑥 + 1 𝑥2 + 2 Também se

escreve o termo

nulo do dividendo.

𝑥4 + 2𝑥3 + 0𝑥2 − 𝑥 + 1 𝑥2 + 2 𝑥4: 𝑥2 = 𝑥2

𝑥2

𝑥4 + 2𝑥3 + 0𝑥2 − 𝑥 + 1 𝑥2 + 2 −𝑥2

× (𝑥2 + 2)

= −𝑥4 − 2𝑥2

−𝑥4 − 2𝑥2 𝑥2 + 2𝑥

2𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 1

𝑥4 + 2𝑥3 + 0𝑥2 − 𝑥 + 1 𝑥2 + 2

−𝑥4 − 2𝑥2 𝑥2 + 2𝑥 − 2

2𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 1

−2𝑥3 − 4𝑥

−2𝑥2 − 5𝑥 + 1

2𝑥2 + 4

−5𝑥 + 5

2𝑥3: 𝑥2 = 2𝑥 −2𝑥(𝑥2 + 2) = −2𝑥3 − 4𝑥

2𝑥2: 𝑥2 = 2 −2(𝑥2 + 2) = −2𝑥2 − 4

A divisão terminou porque o resto obtido, −5𝑥 + 5, tem

grau inferior ao grau do divisor (𝑥2 + 2), isto é:

grau𝑅(𝑥) < grau𝐵(𝑥)

Logo, pode-se escrever:

𝑥4 + 2𝑥3 − 𝑥 + 1 = (𝑥2 + 2)(𝑥2 + 2𝑥 − 2) + (−5𝑥 + 5)

𝐴(𝑥) 𝐵(𝑥) 𝑄(𝑥) 𝑅(𝑥)

Então, 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 2 e 𝑅(𝑥) = −5𝑥 + 5.

3. Determina o polinómio-quociente

e o polinómio-resto da divisão

euclidiana de

a) −𝑥4 + 2𝑥3 − 5𝑥 + 7 por

4𝑥 − 8

b) 3𝑥4 + 5𝑥3 − 𝑥 + 1 por 𝑥2 + 2

c) 𝑥4 + 4𝑥2 − 5 por 𝑥 + 1

d) −𝑥4 + 𝑥5 − 5𝑥 − 2 por 𝑥 − 1

e) 2𝑥4 − 7𝑥3 + 6𝑥 − 21 por

2𝑥 − 7

f) 𝑥2 − 4 por 𝑥 + 2

Com este exemplo verificámos a existência de dois únicos polinómios

𝑄(𝑥) e 𝑅(𝑥) tais que:

𝐴(𝑥) = 𝐵(𝑥) × 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)

sendo o grau de 𝑅(𝑥) inferior ao grau de 𝐵(𝑥). O mesmo se passa no

caso geral.

13


3. Regra de Ruffini

Dado um polinómio 𝑃(𝑥) e um número real 𝑎 ∈ ℝ, o quociente e o resto

da divisão euclidiana de 𝑃(𝑥) por 𝑥 − 𝑎 podem ser obtidos pela

aplicação da regra de Ruffini, uma regra prática cujo nome é uma

homenagem ao seu autor, o matemático italiano Paolo Ruffini.

Vamos calcular o quociente e o resto da divisão de 𝑥4 + 2𝑥3 − 𝑥2 +

3𝑥 − 4 por 𝑥 − 2.

1.º Num quadro como o seguinte, escrever os coeficientes do dividendo

𝑥4 + 2𝑥3 − 𝑥2 + 3𝑥 − 4, por ordem decrescente do grau dos seus

termos, e o 2 (𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 2, valor que anula o divisor) na

disposição indicada.

1 2 −1 3 −4

2

2.º Escrever na terceira linha o primeiro elemento de primeira linha.

1 2 −1 3 −4

2

1

3.º Multiplicar o valor que se desce por 2, escrevendo o resultado na

segunda linha, como se segue, e adicionar com o valor de cima

escrevendo o resultado abaixo.

1 2 −1 3 −4

2 2 × 1

1 4

4.º Multiplicar novamente, o valor encontrado por 2 e escrever o

resultado na segunda linha, adicionando, como no caso anterior, o

valor de cima.

1 2 −1 3 −4

2 2 2 × 4

1 4 7

5.º Repetir o processo até se esgotarem os coeficientes.

1 2 −1 3 −4

2 2 8 14 34

1 4 7 17 30 = 𝑟

Coeficientes do polinómio quociente Resto

O grau do quociente é 3. Assim, 𝑄(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 + 7𝑥 + 17 e 𝑅(𝑥) =

30. Portanto,

𝑥4 + 2𝑥3 − 𝑥2 + 3𝑥 − 4 = (𝑥 − 2)(𝑥3 + 4𝑥2 + 7𝑥 + 17) + 30

14


Exemplo 4 Aplicar a regra de Ruffini

Considera os polinómios:

𝐴(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 + 2 e 𝐵(𝑥) = 𝑥 + 1

Determina o polinómio-quociente e o polinómio-resto da

divisão euclidiana de 𝐴(𝑥) por 𝐵(𝑥):

a) utilizando o algoritmo da divisão;

b) utilizando a regra de Ruffini.

Resolução

a)

2𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 + 2 𝑥 + 1

−2𝑥3 − 2𝑥2 2𝑥2 − 5𝑥 + 10

−5𝑥2 + 5𝑥 + 2

5𝑥2 + 5𝑥

10𝑥 + 2

−10𝑥 − 10

−8

𝑄(𝑥) = 2𝑥2 − 5𝑥 + 10 e 𝑅(𝑥) = −8

b) Sabendo que 𝑥 + 1 = 𝑥 − (−1) e utilizando a regra de

Ruffini, tem-se:

2 −3 5 2

−1 −2 5 −10

2 −5 10 −8

Polinómio-quociente: 2𝑥2 − 5𝑥 + 10;

Polinómio-resto: −8


𝐴(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 +1

2 e

𝐵(𝑥) = 𝑥 − 3

Determina o polinómio-quociente e o

polinómio-resto da divisão euclidiana

de 𝐴(𝑥) por 𝐵(𝑥)

a) utilizando o algoritmo da

divisão;

b) utilizando a regra de Ruffini.

5. Utiliza a regra de Ruffini para

determinar o quociente e o resto

das seguintes divisões

a) −𝑥4 + 𝑥2 − 4𝑥 + 5 por 𝑥 + 1

b) 5𝑥 − 𝑥2 + 4 − 3𝑥2 por 𝑥 − 1

c) 9𝑥4 − 3𝑥2 + 𝑥 + 5 por 𝑥 +1

3

d) −2𝑥3 + 4𝑥2 + 8𝑥 + 7 por

𝑥 − 2

𝑃(𝑥) 𝑎𝑥 − 𝑏

𝑅(𝑥) 𝑄(𝑥)

𝑃(𝑥) 𝑥 −𝑏

𝑎

𝑅(𝑥) 𝑎 × 𝑄(𝑥)

A regra de Ruffini também é válida para determinar o quociente e o resto

da divisão euclidiana de um polinómio 𝐴(𝑥) por um polinómio 𝐵(𝑥) da

forma 𝑎𝑥 − 𝑏, 𝑎 ≠ 0.

Neste caso, procedemos da seguinte forma.

Sabe-se que

𝐴(𝑥) = (𝑎𝑥 − 𝑏) × 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)

Como

𝑎𝑥 − 𝑏 = 𝑎 (𝑥 −𝑏

𝑎)

e, portanto,

𝐴(𝑥) = 𝑎 × (𝑥 −𝑏

𝑎) × 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥),

concluí-se que, na divisão de 𝐴(𝑥) por (𝑥 −𝑏

𝑎), o polinómio-quociente é

𝑎 × 𝑄(𝑥) e o polinómio-resto é 𝑅(𝑥).

15


Exemplo 5 Aplicar a regra de Ruffini

Aplica a regra de Ruffini para determinar o polinómio-

quociente e o polinómio-resto da divisão euclidiana de

𝐴(𝑥) por 𝐵(𝑥) onde:

𝐴(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥2 − 2 e 𝐵(𝑥) = 2𝑥 + 4

Confirma o resultado que obtiveste recorrendo ao

algoritmo da divisão euclidiana de polinómios.

Resolução

𝐵(𝑥) = 2𝑥 + 4 = 2(𝑥 + 2)

Vamos aplicar a regra de Ruffini considerando como

polinómio-divisor 𝑥 + 2 , não esquecendo que o

polinómio-quociente que vamos obter não é o pretendido.

1 −3 2

−2 −2 10

1 −5 12

2 × 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 5

Logo, 𝑄(𝑥) =1

2𝑥 −

5

2 e 𝑅(𝑥) = 12

Confirmação

𝑥2 − 3𝑥 + 2 2𝑥 + 4

−𝑥2 − 2𝑥 1

2𝑥 −

5

2

−5𝑥 + 2

5𝑥 + 10

12

6. Utiliza a regra de Ruffini para

efetuar as seguintes divisões

a) −𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 1 por

3𝑥 + 6

b) 2𝑥4 − 2 por 2𝑥 − 1

c) 3𝑥3 + 𝑥2 − 2 por 4𝑥 + 8

Exemplo 6 Polinómios iguais

Dois polinómios são iguais quando admitem uma mesma

forma reduzida.

Considera os polinómios 𝐴(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 e

𝐵(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑏), com 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ\{0}.

Sabendo que 𝐴(𝑥) = 𝐵(𝑥), determina 𝑎 e 𝑏.

Resolução

𝐴(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏

𝐵(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + 𝑏𝑥 − 𝑎𝑥 − 𝑎𝑏 =

= 𝑥2 + (𝑏 − 𝑎)𝑥 − 𝑎𝑏

Os polinómios são iguais se os termos semelhantes

tiverem coeficientes iguais. Assim,

𝐴(𝑥) = 𝐵(𝑥) ⟺ 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑥2 + (𝑏 − 𝑎)𝑥 − 𝑎𝑏 ⟺

⟺ {𝑎 = 𝑏 − 𝑎𝑏 = −𝑎𝑏

⟺ {2𝑎 = 𝑏

𝑏 + 𝑎𝑏 = 0⟺ {

2𝑎 = 𝑏𝑏(1 + 𝑎) = 0

⟺ {2𝑎 = 𝑏

𝑏 = 0 ∨ 𝑎 = −1

𝑏≠0⇔ {

𝑏 = −2𝑎 = −1

Logo, 𝑎 = −1 e 𝑏 = −2.

7. Determina 𝑚 e 𝑛 de modo que os

polinómios 𝐴(𝑥) = −𝑚𝑥2 + 6𝑥 +

2 e 𝐵(𝑥) = 8𝑥2 + 9𝑥 + (𝑛 − 2) −

3𝑥 sejam iguais.


𝐴(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 1 e

𝐵(𝑥) = 𝑥 + 1

Determina 𝑎, 𝑏 e 𝑐 de modo que

𝐵(𝑥) × (𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐 = 𝐴(𝑥) − 2

16


4. Teorema do Resto

O valor numérico de um polinómio para determinado valor da variável

obtém-se, substituindo a variável por esse valor e calculando o valor da

expressão numérica assim obtida.

Exemplo: Sendo 𝑃(𝑥) = 𝑥 + 4 , o seu valor numérico para 𝑥 = 2 é

𝑃(2) = 2 + 4 = 6.

O teorema que se segue permite-nos determinar o resto da divisão

euclidiana de um polinómio por um binómio da forma 𝑥 − 𝑎 sem efetuar

a divisão.

Teorema do resto

O resto da divisão euclidiana de um polinómio 𝑃(𝑥) por 𝑥 − 𝑎, 𝑎 ∈ ℝ

é 𝑃(𝑎).

Demonstração:

Uma vez que (𝑥 − 𝑎) tem grau 1, então o resto é constante. De acordo

com a definição de divisão euclidiana de 𝑃(𝑥) por 𝑥 − 𝑎, temos 𝑃(𝑥) =

(𝑥 − 𝑎) × 𝑄(𝑥) + 𝑟 , em que 𝑄(𝑥) e 𝑟 são, respetivamente, o

polinómio-quociente e o resto.

Então, 𝑃(𝑎) = (𝑎 − 𝑎) × 𝑄(𝑎) + 𝑟 = 0 × 𝑄(𝑎) + 𝑟 = 0 + 𝑟 = 𝑟.

Logo, 𝑃(𝑎) = 𝑟, c.q.m.

Exemplo 7 Aplicar o teorema do resto

Sendo 𝑃(𝑥) = −𝑥3 + 2𝑥2 − 3 determina o resto da

divisão de 𝑃(𝑥) por 𝑥 + 2.

Resolução

Pelo teorema do resto, o resto da divisão 𝑃(𝑥) por 𝑥 + 2

é igual a 𝑃(−2).

𝑃(−2) = −(−2)3 + 2 × (−2)2 − 3 = 8 + 8 − 3 = 13

O resto da divisão 𝑃(𝑥) por 𝑥 + 2 é 𝑃(−2) = 13.

9. Determina o resto da divisão de

𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 4 por 𝑥 + 3 ,

sem efetuar a divisão.

10. Considera o polinómio

𝑃(𝑥) = 𝑥4 − (𝑘 + 1)𝑥2 + 3𝑘𝑥 − 2.

Determina o valor de 𝑘 de modo

que o resto da divisão de 𝑃(𝑥) por

𝑥 + 1 seja −2.

1 −7 16 −16

4 4 −12 16

1 −3 4 0

Raiz ou zero de um polinómio

Consideremos o polinómio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 7𝑥2 + 16𝑥 − 16.

𝑃(4) = 43 − 7 × 42 + 16 × 4 − 16 = 0. Como 𝑃(4) = 0, diz-se que 𝟒

é uma raiz ou um zero do polinómio 𝑷(𝒙). Efetuando a divisão inteira

de 𝑃(𝑥) por 𝑥 − 4 obtemos o resto 𝑅(𝑥) = 𝑃(4) = 0, ou seja, 𝑃(𝑥) é

divisível por 𝑥 − 4 e, neste caso, temos 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 4)(𝑥2 − 3𝑥 + 4).

Apresentamos agora um teorema que relaciona a definição anterior com

o teorema do resto.

17


Teorema

Um polinómio 𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥 − 𝑎 se, e só se, 𝑎 é um zero de

𝑃(𝑥), ou seja, 𝑃(𝑎) = 0.

Demonstração:

Se 𝑃(𝑎) = 0, então, pelo teorema do resto, o resto da divisão de 𝑃(𝑥)

por 𝑥 − 𝑎 é 0. Logo, 𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥 − 𝑎.

Reciprocamente, se 𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥 − 𝑎, então 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎) ×

𝑄(𝑥) e 𝑃(𝑎) = (𝑎 − 𝑎) × 𝑄(𝑎) = 0 × 𝑄(𝑎) = 0, isto é 𝑎 é um zero de

𝑃(𝑥).

Exemplo 8 Dividir por 𝒙 − 𝒂

Considera o polinómio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 2𝑥 + 1.

8.1. Verifica se 𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥 + 1.

8.2. Verifica se 𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥 − 1.

8.3. Exprime 𝑃(𝑥) na forma do produto 𝑃(𝑥) = (𝑥 +

1) × 𝑄(𝑥)

Resolução

8.1. 𝑃(−1) = (−1)3 − 2 × (−1)2 − 2 × (−1) + 1 =

= −1 − 2 + 2 + 1 = 0

Como 𝑃(−1) = 0, o polinómio 𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥 + 1.

8.2. 𝑃(1) = (1)3 − 2 × (1)2 − 2 × (1) + 1 =

= 1 − 2 − 2 + 1 = −2

Como 𝑃(1) ≠ 0, o polinómio 𝑃(𝑥) não é divisível por 𝑥 −

1.

8.3. Usando a regra de Ruffini para dividir 𝑃(𝑥) por 𝑥 + 1.

1 −2 −2 1

−1 −1 3 −1

1 −3 1 0

𝑄(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 1 e o resto 0 , como já tínhamos

concluído. Então, 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥2 − 3𝑥 + 1).

11. Verifica que o polinómio 𝑃(𝑥) =

−2𝑥3 + 𝑥2 + 6𝑥 é divisível por

11.1. 𝑥 − 2

11.2. 2𝑥 + 3

12. Considera o polinómio

𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 𝑎𝑥2 − 2𝑥 + 𝑏.

Determina 𝑎 e 𝑏 sabendo que

𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥 − 1 e

dividido por 𝑥 + 2 dá resto 1.

13. Mostra que o polinómio 𝑃(𝑥) =

𝑥3 + 4𝑥2 − 29𝑥 − 12 é divisível

por 𝑥 − 4 e determina 𝑄(𝑥) de

modo que 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 4) ×

𝑄(𝑥).

Com base no exemplo anterior, observa que

𝑥3 − 2𝑥2 − 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1) × (𝑥2 − 3𝑥 + 1)

Grau 3 Grau 1 Grau 2

Quando um polinómio 𝑃(𝑥) de grau 𝑛 ∈ ℕ é divisível por 𝑥 − 𝑎, existe

um polinómio 𝑄(𝑥) de grau 𝑛 − 1 tal que 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎) × 𝑄(𝑥).

18


Resumo

Polinómio na variável 𝒙

Um polinómio de grau 𝒏 (𝒏 ∈ ℕ𝟎) na variável 𝒙, designa-se por 𝑷(𝒙), na forma reduzida e ordenada,

é uma expressão da forma:

𝑃(𝑥) = 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛

com 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 ∈ ℝ e 𝑎0 ≠ 0.

Adição, subtração e multiplicação de polinómios

Dados dois polinómios 𝐴(𝑥) e 𝐵(𝑥), tem-se

𝐴(𝑥) + 𝐵(𝑥) é o polinómio soma de 𝐴(𝑥) com 𝐵(𝑥);

𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥) é o polinómio diferença entre 𝐴(𝑥) e 𝐵(𝑥);

𝐴(𝑥) × 𝐵(𝑥) é o polinómio produto de 𝐴(𝑥) por 𝐵(𝑥).

Dados polinómios não nulos 𝐴(𝑥) e 𝐵(𝑥), o grau do polinómio 𝐴(𝑥) × 𝐵(𝑥) é igual à soma

dos graus de 𝐴(𝑥) e de 𝐵(𝑥).

Divisão euclidiana de polinómios

Efetuar a divisão euclidiana de um polinómio 𝐴(𝑥) por um polinómio não nulo 𝐵(𝑥) é determinar o

quociente 𝑄(𝑥) e o resto 𝑅(𝑥), tais que:

𝐴(𝑥) = 𝐵(𝑥) × 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)

Sendo o grau de 𝑅(𝑥) inferior ao grau de 𝐵(𝑥) ou sendo 𝑅(𝑥) o polinómio nulo.

Regra de Ruffini

A regra de Ruffini é um método que simplifca o algoritmo da divisão euclidiana para casos em que o

divisor é do tipo 𝑥 − 𝑎, com 𝑎 ∈ ℝ.

Exemplo

Determina o quociente 𝑄(𝑥) e o resto 𝑅 da divisão euclidiana de 2𝑥4 + 5𝑥3 − 3𝑥 − 7 por 𝑥 + 2.

2 5 0 −3 −7

−2 −4 −2 4 −2

2 1 −2 1 −9

Assim, 𝑄(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 + 1 e 𝑅 = −9.

Teorema do Resto

Dado um polinómio 𝑃(𝑥) e 𝑎 ∈ ℝ o resto da divisão euclidiana de um polinómio 𝑃(𝑥) por 𝑥 − 𝑎, é

𝑃(𝑎).

Divisão de um polinómio por 𝒙 − 𝒂, com 𝒂 ∈ ℝ

Na divisão de 𝑃(𝑥) e 𝑥 − 𝑎, tem-se:

o resto é 𝑃(𝑎);

𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥 − 𝑎 se e somente se 𝑃(𝑎) = 0.

Polinómio-resto

Polinómio-quociente

Polinómio-divisor

Polinómio-dividendo

19


+ Exercícios

1. Considera as constantes reais 𝑎 e 𝑘 e os

polinómios 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥3 − 𝑘𝑥2 − 4𝑥 + 4 e

𝑄(𝑥) = 𝑘𝑥2 + 𝑥 + 4.

Sabe-se que:

𝑃(𝑥) é divisível pelo monómio 𝑥 − 2;

O termo de maior grau de 𝑃(𝑥) × 𝑄(𝑥)

é 15𝑥5.

Quais podem ser os valores de 𝑎 e 𝑘 , respectivamente?

(A) 5 e 3 (B) 3 e 5 (C) 1 e 15 (D) 15 e 1

2. Considera os polinómios: 𝐴(𝑥) = 2𝑥3 +

3𝑥2 − 4 , 𝐵(𝑥) = 𝑥𝑛 + 𝑥 − 1 (𝑛 ∈ ℕ) e

𝐶(𝑥) = 4𝑥5 + 2

2.1. Determina na forma reduzida os seguintes produtos e indica os respetivos graus. a) 𝐴(𝑥) × 𝐶(𝑥) b) 𝐵(𝑥) × 𝐶(𝑥)

2.2. Determina o valor de 𝑛 de forma que: a) 𝐵(𝑥) × 𝐶(𝑥) seja um polinómio de

grau 9. b) [𝐴(𝑥)]2 × 𝐵(𝑥) seja um polinómio de

grau 8. 3. Num recipiente com a forma de um prisma

retangular regular introduziu-se uma

pirâmide, tal como é sugerido na figura.

Sabendo que a altura da pirâmide é de 3 𝑐𝑚,

determina o polinómio que dá, em 𝑐𝑚3 , o

volume livre no recipiente, em função de 𝑥.

4. Utilizando o algoritmo da divisão inteira de

polinómios, determina o quociente e o resto

da divisão de 𝐴(𝑥) por 𝐵(𝑥).

a) 𝐴(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 e 𝐵(𝑥) = 𝑥 − 3 b) 𝐴(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 + 2𝑥 + 1 e 𝐵(𝑥) = 𝑥 − 2

c) 𝐴(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥2 + 𝑥 + 1 e 𝐵(𝑥) = 𝑥2 − 2

d) 𝐴(𝑥) = 2𝑥4 + 3𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1 e

𝐵(𝑥) = 𝑥2–𝑥 e) 𝐴(𝑥) = 4𝑥5 + 3𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 e 𝐵(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥

f) 𝐴(𝑥) = 𝑥3 +19

12𝑥2 +

19

24𝑥 +

1

8 e

𝐵(𝑥) = 𝑥 +1

3

g) 𝐴(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑘𝑥 + 𝑘 e 𝐵(𝑥) = 𝑥 – 1

5. Determina o valor de 𝑘 ∈ ℝ sabendo que:

a) O resto da divisão inteira de 𝐴(𝑥) = 𝑥4 +𝑥3 − 𝑘𝑥2 − 3 por 𝐵(𝑥) = 𝑥 + 4 é 𝑅(𝑥) = −3;

b) O resto da divisão inteira de 𝐴(𝑥) =−2𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑘𝑥 − 7 por 𝐵(𝑥) = 𝑥 − 2 é 𝑅(𝑥) = 3.

6. Determina 𝐴(𝑥) , de modo que 7𝑥3 −

18𝑥2 + 8𝑥 = (𝑥2 − 2𝑥) × 𝐴(𝑥).

7. Considera o polinómio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 +

𝑚𝑥 + 𝑛, (𝑚, 𝑛 ∈ ℝ).

Determina os valores de 𝑚 e 𝑛 sabendo que:

𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥 + 3;

O resto da divisão inteira de 𝑃(𝑥) por 𝑥 −1 é 28.

8. Usando a Regra de Ruffini, calcula o

quociente 𝑄(𝑥) e o resto 𝑅(𝑥) da divisão do

polinómio 𝑃(𝑥) pelo polinómio 𝐵(𝑥) e

escreve 𝑃(𝑥) na forma

𝑃(𝑥) = 𝐵(𝑥)𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥).

a) 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 e 𝐵(𝑥) = 𝑥 − 1 b) 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 + 3 e 𝐵(𝑥) = 𝑥 − 1

c) 𝑃(𝑥) = 𝑥5 + 2𝑥3 − 4𝑥 − 5 e 𝐵(𝑥) = 2𝑥– 4

d) 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥^2 −1

2 e 𝐵(𝑥) = 2𝑥 − 1

9. Indica quais destas divisões são exatas, sem

efetuar cálculos:

a) (3𝑥2 − 6𝑥 − 9) ÷ (𝑥 + 1) b) (𝑥3 − 2𝑥2 − 6𝑥 + 2) ÷ (𝑥 − 2) c) (2𝑥3 + 4𝑥2 − 7𝑥 − 14) ÷ (𝑥 + 2)


20

Divisibilidade de polinómios – algoritmo de Euclides

1. Algoritmo de Euclides

1.1 Domínios Euclidianos

Definição 1.1 Seja 𝑅 um domínio de integridade e 𝑑: 𝑅\{0} → ℕ0 uma função. Diz-se que 𝑅 é

um domínio euclidiano se:

i. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅\{0} 𝑎|𝑏 ⟹ 𝑑(𝑎) ≤ 𝑑(𝑏);

ii. ∀𝑎 ∈ 𝑅 ∀𝑏 ∈ 𝑅\{0} ∃ 𝑞, 𝑟 ∈ 𝑅: 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟, 𝑐𝑜𝑚 𝑟 = 0 𝑜𝑢 𝑑(𝑟) < 𝑑(𝑏)

Dizemos que 𝑞 e 𝑟 são o quociente e o resto, respetivamente. Representamos 𝑞 = 𝑎 quo 𝑏 e

𝑟 = 𝑎 rem 𝑏, apesar de 𝑞 e 𝑟 não precisarem de ser únicos. E, assim sendo, a função 𝑑 é de-

signada por função euclidiana em 𝑅.

Definição 1.2 Seja 𝑅 um anel e sejam 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0 ou 𝑏 ≠ 0. Diz-se que 𝑐 é um máximo di-

visor comum de 𝑎 e 𝑏 e escrevemos 𝑐 = 𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 𝑏) se:

i. 𝑐|𝑎 e 𝑐|𝑏;

ii. ∀𝑐′ ∈ 𝑅, se 𝑐′|𝑎 e 𝑐′|𝑏, então 𝑐′|𝑐.

Definição 1.3 Seja 𝑅 um anel e sejam 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅. Diz-se que 𝑚 é um mínimo múltiplo comum

de 𝑎 e 𝑏 e escrevemos 𝑚 = 𝑚𝑚𝑐 (𝑎, 𝑏) se:

i. 𝑎|𝑚 e 𝑏|𝑚;

ii. ∀ 𝑚′ ∈ 𝑅, se 𝑎|𝑚′ e 𝑏|𝑚′, então 𝑚|𝑚′.

Definição 1.4 Designa-se 𝑢 ∈ 𝑅 por unidade todo o elemento que admite inverso multiplica-

tivo, 𝑣 ∈ 𝑅, tal que 𝑢 ∙ 𝑣 = 1.

Definição 1.5 Os elementos 𝑎 e 𝑏 dizem-se associados se 𝑎 = 𝑢𝑏, para uma unidade 𝑢 ∈ 𝑅. E,

escrevemos 𝑎~𝑏.

Definição 1.6 Em ℤ, 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) ≥ 0. Neste caso, dizemos que dois inteiros 𝑎 e 𝑏 são primos

entre si se 𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 𝑏) é igual a 1.

Iremos omitir a demonstração do seguinte lema.

Lema 1.1 O 𝑚𝑑𝑐 em ℤ tem as seguintes propriedades. Para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ.

i. 𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 𝑏) = |𝑎| ⇔ 𝑎|𝑏;

ii. 𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 𝑎) = 𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 0) = |𝑎| e 𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 1) = 1;

iii. 𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 𝑏) = 𝑚𝑑𝑐 (𝑏, 𝑎);

iv. 𝑚𝑑𝑐 (𝑎,𝑚𝑑𝑐 (𝑏, 𝑐)) = 𝑚𝑑𝑐 (𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 𝑏), 𝑐);

v. 𝑚𝑑𝑐 (𝑐 ⋅ 𝑎, 𝑐 ∙ 𝑏) = |𝑐| ⋅ 𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 𝑏);

vi. |𝑎| = |𝑏| ⇔ 𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 𝑐) = 𝑚𝑑𝑐 (𝑏, 𝑐).

O algoritmo que estudámos no curso é basicamente o seguinte:


21

Algoritmo 1.1 Algoritmo de Euclides tradicional

Entrada: 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑅, onde 𝑅 é um domínio euclidiano com 𝑑 uma função euclidiana.

Saída: 𝑚𝑑𝑐 de 𝑓 e 𝑔.

1. 𝑟0 ← 𝑓, 𝑟1 ← 𝑔

2. 𝑖 ← 1

Enquanto 𝑟𝑖 ≠ 0 fazer 𝑟𝑖+1 ← 𝑟𝑖−1 rem 𝑟𝑖, 𝑖 ← 𝑖 + 1

3. Devolver 𝑟𝑖−1

Exemplo 1.1 Seja 𝑅 = ℤ, 𝑓 = 108 e 𝑔 = 30

𝒊 0 1 2 3 4 5

𝒓𝒊 108 30 18 12 6 0

108 = 3 ∙ 30 + 18

30 = 1 ∙ 18 + 12

18 = 1 ∙ 12 + 6

12 = 2 ∙ 6 + 0

(1)

Podemos observar que

𝑚𝑑𝑐 (108, 30) = 𝑚𝑑𝑐 (30, 18) = 𝑚𝑑𝑐 (18, 12) = 𝑚𝑑𝑐 (12, 6) = 𝑚𝑑𝑐 (6, 0) = 6

Concluímos assim que, 𝑚𝑑𝑐 (108, 30) = 6.

1.2 Extensão do algoritmo de Euclides

Nesta seção vamos apresentar uma extensão do algoritmo 1.1 que não calcula apenas o má-

ximo divisor comum, mas também uma representação dele, como combinação linear das en-

tradas. Generaliza representações como, por exemplo:

6 = 18 − 1 ∙ 12 = 18 − (30 − 1 ∙ 18) = 2(108 − 3 ∙ 30) − 30 = 2 ∙ 108 − 7 ∙ 30.

Algoritmo 1.2 Extensão do algoritmo de Euclides

Entrada: 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑅, onde 𝑅 é um domínio euclidiano.

Saída: 𝑙 ∈ ℕ, 𝑟𝑖, 𝑠𝑖, 𝑡𝑖 ∈ 𝑅 para 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙 + 1 e 𝑞𝑖 ∈ 𝑅 para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙, como calculado abaixo.

1. 𝑟0 ← 𝑓, 𝑠0 ← 1, 𝑡0 ← 0,

𝑟1 ← 𝑔, 𝑠1 ← 0, 𝑡1 ← 1,

2. 𝑖 ← 1

Enquanto 𝑟𝑖 ≠ 0 fazer

𝑞𝑖 ← 𝑟𝑖−1 quo 𝑟𝑖,

𝑟𝑖+1 ← 𝑟𝑖−1 − 𝑞𝑖𝑟𝑖,

𝑠𝑖+1 ← 𝑠𝑖−1 − 𝑞𝑖𝑠𝑖,

𝑡𝑖+1 ← 𝑡𝑖−1 − 𝑞𝑖𝑡𝑖,

𝑖 ← 𝑖 + 1.

3. 𝑙 ← 𝑖 − 1

Devolver 𝑙, 𝑟𝑖, 𝑠𝑖, 𝑡𝑖 para 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙 e 𝑞𝑖 para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙


22

Notamos que o algoritmo termina porque os 𝑑(𝑟𝑖) são números inteiros diferentes de zero e

estritamente decrescentes para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙, onde 𝑑 é uma função euclidiana em 𝑅. Os elemen-

tos 𝑟𝑖 para 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙 + 1 são os restos e os 𝑞𝑖 para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙 são os quocientes no algoritmo

de Euclides estendido. Os elementos 𝑟𝑖, 𝑠𝑖 𝑒 𝑡𝑖 formam a 𝒊-ésima linha no algoritmo de Eucli-

des estendido, para 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙 + 1.

Todos os resultados intermédios calculados pelo algoritmo são úteis para várias tarefas em

álgebra computacional.

Enquanto que o algoritmo 1.1 apenas nos fornece o 𝑚𝑑𝑐 de dois números este novo algoritmo

fornece-nos o 𝑚𝑑𝑐 como combinação linear dos dois números.

Exemplo 1.2

1. Como em (1), consideramos 𝑅 = ℤ, 𝑓 = 108 e 𝑔 = 30.

A seguinte tabela ilustra o cálculo.

𝒊 𝒒𝒊 𝒓𝒊 𝒔𝒊 𝒕𝒊

0 108 1 0

1 3 30 0 1

2 1 18 1 −3

3 1 12 −1 4

4 2 6 2 −7

5 0 −5 18

Podemos observar na linha 4 que 𝑠4 e 𝑡4 são os coeficientes inteiros para escrever o

𝑚𝑑𝑐 como combinação linear de 𝑓 e 𝑔. Para além disso, sabemos que o resto anterior

ao valor 0 nos fornece o valor do 𝑚𝑑𝑐 (108, 30), assim

𝑚𝑑𝑐 (108, 30) = 6 = 2 ∙ 108 + (−7) ∙ 30.

2. Seja 𝑅 = ℚ[𝑥], 𝑓 = 12𝑥3 + 13𝑥2 + 4𝑥 − 2 , 𝑔 = 8𝑥2 + 6𝑥 − 2 . O cálculo do algo-

ritmo de Euclides tradicional é o seguinte.

Notamos que a linha 𝑖 + 1 é obtida a partir das duas anteriores, calculando primeiro o

quociente 𝑞𝑖 = 𝑟𝑖−1 𝑞𝑢𝑜 𝑟𝑖 e, em seguida, para calcular 𝑟𝑖, 𝑠𝑖 e 𝑡𝑖 , respetivamente,

subtrai-se à linha 𝑖 − 1 o quociente a multiplicar pela entrada na linha 𝑖 dessa coluna.


0 12𝑥3 + 13𝑥2 + 4𝑥 − 2 1 0

1 3

2𝑥 +

1

2 8𝑥2 + 6𝑥 − 2 0 1

2 2𝑥 + 2 4𝑥 − 1 1 −3

2𝑥 −

1

2

3 0 −2𝑥 − 2 3𝑥2 + 4𝑥 + 2

Temos 𝑙 = 2 e da segunda linha, o 𝑚𝑑𝑐 de 𝑓 e 𝑔 é

4𝑥 − 1 = 1 ∙ (12𝑥3 + 13𝑥2 + 4𝑥 − 2) + (−3

2𝑥 −

1

2) ∙ (8𝑥2 + 6𝑥 − 2).


23

Para uma visão global do algoritmo, é conveniente considerar as matrizes

𝑅0 = (𝑠0 𝑡0𝑠1 𝑡1

) e 𝑄𝑖 = (0 11 −𝑞𝑖

) para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙

em 𝑅2×2 e 𝑅𝑖 = 𝑄𝑖⋯𝑄1𝑅0 também podemos escrever 𝑅𝑖 = 𝑄𝑖𝑅𝑖−1 para 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙.

Mais do que provar a validade do algoritmo 1.2, vejamos o seguinte lema com algumas propri-

edades do algoritmo de Euclides estendido.

Lema 1.2 Para 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙, temos que

i. 𝑅𝑖 ∙ (𝑓𝑔) = (

𝑟𝑖𝑟𝑖+1

) ;

ii. 𝑅𝑖 = (𝑠𝑖 𝑡𝑖𝑠𝑖+1 𝑡𝑖+1

) ;

iii. 𝑚𝑑𝑐 (𝑓, 𝑔) ~ 𝑚𝑑𝑐 (𝑟𝑖, 𝑟𝑖+1) ~ 𝑟𝑙;

iv. 𝑠𝑖𝑓 + 𝑡𝑖𝑔 = 𝑟𝑖 (também é válido para 𝑖 = 𝑙 + 1);

v. 𝑠𝑖𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖𝑠𝑖+1 = (−1)𝑖;

vi. 𝑚𝑑𝑐 (𝑟𝑖 , 𝑡𝑖) ~ 𝑚𝑑𝑐 (𝑓, 𝑡𝑖);

vii. 𝑓 = (−1)𝑖(𝑡𝑖+1𝑟𝑖 − 𝑡𝑖𝑟𝑖+1), 𝑔 = (−1)𝑖+1(𝑠𝑖+1𝑟𝑖 − 𝑠𝑖𝑟𝑖+1), com a convenção de que

𝑟𝑙+1 = 0.

Demonstração:

i. Vamos demonstrar por indução em 𝑖. No caso 𝑖 = 0 temos que

𝑅0 (𝑓𝑔) = (

𝑠0 𝑡0𝑠1 𝑡1

) (𝑓𝑔) = (

𝑠0𝑓 + 𝑡0𝑔𝑠1𝑓 + 𝑡1𝑔

) = (𝑓𝑔) = (

𝑟0𝑟1)

é uma afirmação verdadeira.

Queremos provar que 𝑅𝑖−1 ∙ (𝑓𝑔) = (

𝑟𝑖−1𝑟𝑖) ⟹ 𝑅𝑖 ∙ (

𝑓𝑔) = (

𝑟𝑖𝑟𝑖+1

).

Se 𝑅𝑖 = 𝑄𝑖𝑅𝑖−1, temos que

𝑅𝑖 ∙ (𝑓𝑔) = 𝑄𝑖𝑅𝑖−1 (

𝑓𝑔) = 𝑄𝑖 (

𝑟𝑖−1𝑟𝑖) = (

0 11 −𝑞𝑖

) (𝑟𝑖−1𝑟𝑖) = (

𝑟𝑖𝑟𝑖−1 − 𝑞𝑖𝑟𝑖

) = (𝑟𝑖𝑟𝑖+1

) ,

concluímos assim que 𝑅𝑖 ∙ (𝑓𝑔) = (

𝑟𝑖𝑟𝑖+1

) é verdadeira para todo o 𝑖.

ii. Vamos demonstrar por indução em 𝑖. No caso 𝑖 = 0 temos que

𝑅0 = (𝑠0 𝑡0𝑠1 𝑡1

)


Queremos provar que 𝑅𝑖−1 = (𝑠𝑖−1 𝑡𝑖−1𝑠𝑖 𝑡𝑖

) ⟹ 𝑅𝑖 = (𝑠𝑖 𝑡𝑖𝑠𝑖+1 𝑡𝑖+1

).


𝑅𝑖 = 𝑄𝑖𝑅𝑖−1 = (0 11 −𝑞𝑖

) (𝑠𝑖−1 𝑡𝑖−1𝑠𝑖 𝑡𝑖

) = (𝑠𝑖 𝑡𝑖

𝑠𝑖−1 − 𝑞𝑖𝑠𝑖 𝑡𝑖−1 − 𝑞𝑖𝑡𝑖) =

= (𝑠𝑖 𝑡𝑖𝑠𝑖+1 𝑡𝑖+1

),

concluímos assim que 𝑅𝑖 = (𝑠𝑖 𝑡𝑖𝑠𝑖+1 𝑡𝑖+1



24

iii. De i. concluímos que

(𝑟𝑙0) = 𝑄𝑙 …𝑄𝑖+1𝑅𝑖 (

𝑓𝑔) = 𝑄𝑙 …𝑄𝑖+1 (

𝑟𝑖𝑟𝑖+1

).

Ao compararmos a primeira entrada em ambos os lados observamos que 𝑟𝑙 é uma

combinação linear de 𝑟𝑖 e 𝑟𝑖+1 e consequentemente um qualquer divisor comum de 𝑟𝑖

e 𝑟𝑖+1 divide 𝑟𝑙 . Por outro lado, det𝑄𝑖 = |0 11 −𝑞𝑖

| = 0 × (−𝑞𝑖) − 1 × 1 = −1 e a

matriz 𝑄𝑖 é invertível em 𝑅, com inversa igual a 𝑄𝑖−1 = (

𝑞𝑖 11 0

), e portanto,

(𝑟𝑖𝑟𝑖+1

) = 𝑄𝑖+1−1 …𝑄𝑙

−1 (𝑟𝑙0).

Assim, tanto 𝑟𝑖 como 𝑟𝑖+1 são divisíveis por 𝑟𝑙 e temos que 𝑟𝑙~𝑚𝑑𝑐 (𝑟𝑖, 𝑟𝑖+1). Em par-

ticular, isso é verdade para 𝑖 = 0, de modo que 𝑚𝑑𝑐 (𝑓, 𝑔)~𝑚𝑑𝑐 (𝑟0, 𝑟1)~𝑟𝑙.

iv. De i. e ii. temos que 𝑅𝑖 ∙ (𝑓𝑔) = (

𝑟𝑖𝑟𝑖+1

) e 𝑅𝑖 = (𝑠𝑖 𝑡𝑖𝑠𝑖+1 𝑡𝑖+1

).

𝑅𝑖 ∙ (𝑓𝑔) = (

𝑟𝑖𝑟𝑖+1

) ⟺ (𝑠𝑖 𝑡𝑖𝑠𝑖+1 𝑡𝑖+1

) ∙ (𝑓𝑔) = (

𝑟𝑖𝑟𝑖+1

) ⟺ (𝑠𝑖𝑓 + 𝑡𝑖𝑔

𝑠𝑖+1𝑓 + 𝑡𝑖+1𝑔) = (

𝑟𝑖𝑟𝑖+1

)

⟺ {𝑠𝑖𝑓 + 𝑡𝑖𝑔 = 𝑟𝑖

𝑠𝑖+1 + 𝑡𝑖+1 = 𝑟𝑖+1.

Da primeira linha do sistema provamos a afirmação 𝑠𝑖𝑓 + 𝑡𝑖𝑔 = 𝑟𝑖.

v. Temos que 𝑅𝑖 = 𝑄𝑖…𝑄1𝑅0, assim

𝑠𝑖𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖𝑠𝑖+1 = det𝑅𝑖 = det𝑄𝑖 …det𝑄1 det 𝑅0 = det𝑄𝑖 …det𝑄1 |𝑠0 𝑡0𝑠1 𝑡1

| =

= det𝑄𝑖…det𝑄1 |1 00 1

| = (−1) × …× (−1) × 1 = (−1)𝑖 , como queríamos mos-

trar. Em particular, isto implica que 𝑚𝑑𝑐 (𝑠𝑖, 𝑡𝑖)~1 e que 𝑅𝑖 é invertível.

vi. Suponhamos que 𝑝 é um divisor de 𝑡𝑖. Se 𝑝|𝑓, então 𝑝|𝑠𝑖𝑓 + 𝑡𝑖𝑔 = 𝑟𝑖. Por outro lado,

se 𝑝|𝑟𝑖 então 𝑝 também divide 𝑠𝑖𝑓 = 𝑟𝑖 − 𝑡𝑖𝑔 e, portanto 𝑝 divide 𝑓, desde que 𝑠𝑖 e 𝑡𝑖

sejam primos entre si.

vii. Para provar esta alínea multiplicamos ambos os membros de i. por 𝑅𝑖−1 obtendo-se

(𝑟0𝑟1) = 𝑅𝑖

−1 (𝑟𝑖𝑟𝑖+1

) = (−1)𝑖 (𝑡𝑖+1 −𝑡𝑖−𝑠𝑖+1 𝑠𝑖

) (𝑟𝑖𝑟𝑖+1

).

Assim,

(𝑟0𝑟1) = (−1)𝑖 (

𝑡𝑖+1 −𝑡𝑖−𝑠𝑖+1 𝑠𝑖


) ⟺ (𝑓𝑔) = (−1)𝑖 (

𝑡𝑖+1𝑟𝑖 − 𝑡𝑖𝑟𝑖+1−𝑠𝑖+1𝑟𝑖 + 𝑠𝑖𝑟𝑖+1

)

⟺ {𝑓 = (−1)𝑖(𝑡𝑖+1𝑟𝑖 − 𝑡𝑖𝑟𝑖+1)

𝑔 = (−1)𝑖 (−𝑠𝑖+1𝑟𝑖 + 𝑠𝑖𝑟𝑖+1),

como queríamos mostrar.

Irei omitir a demonstração do seguinte teorema por se tratar de uma consequência imediata

do algoritmo 1.2.

Teorema 1.1 (Teorema de Bézout) Se 𝑅 um domínio euclidiano e 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑅 então existe 𝑚𝑑𝑐

entre 𝑓 e 𝑔. Além disso, se 𝑐 = 𝑚𝑑𝑐 (𝑓, 𝑔), existem 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑅 tais que 𝑐 = 𝑠𝑓 + 𝑡𝑔.


25

1.3 Não Unicidade do máximo divisor comum

Do ponto de vista matemático a não unicidade do máximo divisor comum não é um problema.

Contudo, quando estamos a implementar, no software, uma função que calcule o 𝑚𝑑𝑐 esta

tem de ter uma saída única.

Como ℚ é um corpo, então ∀𝑎 ≠ 0 ∈ ℚ é uma unidade em ℚ e temos que 𝑢𝑎~𝑎 em 𝑅 =

ℚ[𝑥], ∀𝑢 ≠ 0 ∈ ℚ e ∀𝑎 ∈ 𝑅.

Se quisermos definir 𝑚𝑑𝑐 (𝑓, 𝑔) ∈ ℚ[𝑥] como um único elemento, qual deveremos escolher?

Noutras palavras, como escolhemos um representante dentre todos os múltiplos de 𝑎? Uma

escolha razoável seria o polinómio mónico.

Definição 1.7 Designamos por polinómio mónico o polinómio que tem o coeficiente de maior

grau igual a 1.

Definição 1.8 𝑙𝑐(𝑎) ∈ ℚ\{0} é o coeficiente guia de 𝑎 ∈ ℚ[𝑥].

Definição 1.9 Seja 1/𝑙𝑐(𝑎) ∙ 𝑎 = 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑎) a forma normal de 𝑎 ∈ ℚ[𝑥].

Para que isto funcione num domínio euclidiano 𝑅 arbitrário assumimos que selecionamos al-

guma forma normal, 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑎) ∈ 𝑅, para cada 𝑎 ∈ 𝑅 de forma a que 𝑎 ~ 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑎).

Definição 1.10 Chamamos 𝑙𝑢 (𝑎) ou unidade líder de 𝑎 a 𝑢 tal que 𝑎 = 𝑢 ∙ 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑎) (onde,

𝑢 ∈ 𝑅 é uma unidade).

Definição 1.11 Definimos 𝑙𝑢 (0) = 1 e 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (0) = 0.

As duas propriedades a seguir são claramente verdadeiras:

dois elementos de 𝑅 têm a mesma forma normal se, e somente se, forem associados;

a forma normal de um produto é igual aos produtos das formas normais.

Definição 1.12 Na forma normal, dizemos que um elemento 𝑎 está normalizado quando

𝑙𝑢 (𝑎) = 1.

Se 𝑅 = ℤ, 𝑙𝑢 (𝑎) = 𝑠𝑖𝑔𝑛 (𝑎), se 𝑎 ≠ 0 e 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑎) = |𝑎| definem uma forma normal, de

maneira a que um inteiro 𝑎 ∈ 𝑅 está normalizado se, e somente se, for não negativo.

Quando 𝑅 = 𝐹[𝑥] , onde 𝐹 é um corpo, então sendo 𝑙𝑢 (𝑎) = 𝑙𝑐 (𝑎) e 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑎) = 1/

𝑙𝑐 (𝑎) ∙ 𝑎 definem uma forma normal e um polinómio diferente de zero está normalizado se,

e somente se, for mónico.

Dada esta forma normal, define-se o 𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 𝑏) como o único associado normalizado de todos

os máximos divisores comuns de 𝑎 e 𝑏, e similarmente 𝑚𝑚𝑐 (𝑎, 𝑏) como o associado norma-

lizado de todos os mínimos múltiplos comuns de 𝑎 e 𝑏. Assim, 𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 𝑏) > 0 para 𝑅 = ℤ e

𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 𝑏) é mónico para 𝑅 = 𝐹[𝑥] se pelo menos o 𝑎 ou o 𝑏 forem diferentes de zero e

𝑚𝑑𝑐 (0,0) = 0, em ambos os casos.


26

Omitimos a demonstração do seguinte lema.

Lema 1.3 O 𝑚𝑑𝑐 em ℤ tem as seguintes propriedades. Para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ.

i. 𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 𝑏) = 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑎) ⇔ 𝑎|𝑏;

ii. 𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 𝑎) = 𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 0) = 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑎) e 𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 1) = 1;

iii. 𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 𝑏) = 𝑚𝑑𝑐 (𝑏, 𝑎);

iv. 𝑚𝑑𝑐 (𝑎,𝑚𝑑𝑐 (𝑏, 𝑐)) = 𝑚𝑑𝑐 (𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 𝑏), 𝑐);

v. 𝑚𝑑𝑐 (𝑐 ⋅ 𝑎, 𝑐 ∙ 𝑏) = 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑐) ⋅ 𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 𝑏);

vi. 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑎) = 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑏) ⇔ 𝑚𝑑𝑐 (𝑎, 𝑐) = 𝑚𝑑𝑐 (𝑏, 𝑐).

No caso polinomial, verifica-se que é útil ter uma forma normal para o 𝑚𝑑𝑐, pelo que devemos

modificar o algoritmo de Euclides tradicional, de modo a que todos os restos 𝑟𝑖 sejam norma-

lizados.

Algoritmo 1.3 Extensão do algoritmo de Euclides

Entrada: 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑅, onde 𝑅 é um domínio euclidiano com forma normal.

Saída: 𝑙 ∈ ℕ , 𝜌𝑖 , 𝑟𝑖, 𝑠𝑖, 𝑡𝑖 ∈ 𝑅 para 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙 + 1 e 𝑞𝑖 ∈ 𝑅 para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙 , como calculado

abaixo.

1. 𝜌0 ← 𝑙𝑢 (𝑓), 𝑟0 ← 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑓), 𝑠0 ← 𝜌0−1, 𝑡0 ← 0,

𝜌1 ← 𝑙𝑢 (𝑔), 𝑟1 ← 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑔), 𝑠1 ← 0, 𝑡1 ← 𝜌1−1,

2. 𝑖 ← 1

Enquanto 𝑟𝑖 ≠ 0 fazer

𝑞𝑖 ← 𝑟𝑖−1 quo 𝑟𝑖,

𝜌𝑖+1 ← 𝑙𝑢 (𝑟𝑖−1 − 𝑞𝑖𝑟𝑖),

𝑟𝑖+1 ← (𝑟𝑖−1 − 𝑞𝑖𝑟𝑖)/𝜌𝑖+1,

𝑠𝑖+1 ← (𝑠𝑖−1 − 𝑞𝑖𝑠𝑖)/𝜌𝑖+1,

𝑡𝑖+1 ← (𝑡𝑖−1 − 𝑞𝑖𝑡𝑖)/ 𝜌𝑖+1,

𝑖 ← 𝑖 + 1.

3. 𝑙 ← 𝑖 − 1

Devolver 𝑙, 𝜌𝑖 , 𝑟𝑖, 𝑠𝑖, 𝑡𝑖 para 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙 e 𝑞𝑖 para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙.

Os elementos 𝑟𝑖 para 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙 + 1 são os restos e os 𝑞𝑖 para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙 são os quocientes. Os

coeficientes de Bézout de 𝑓 e 𝑔 são os elementos 𝑠𝑙 e 𝑡𝑙 que satisfazem 𝑠𝑙𝑓 + 𝑡𝑙𝑔 =

𝑚𝑑𝑐 (𝑓, 𝑔).

Exemplo 1.2 (continuação) agora implementando o algoritmo 1.3.

2. Considerando agora os restos mónicos, calculámos

𝒊 𝒒𝒊 𝝆𝒊 𝒓𝒊 𝒔𝒊 𝒕𝒊

0 12 𝑥3 +13

12𝑥2 +

1

3𝑥 −

1

6

1

12 0

1 𝑥 +1

3 8 𝑥2 +

3

4𝑥 −

1

4 0

1

8


27

2 𝑥 + 1 1

3 𝑥 −

1

4

1

4 −

3

8𝑥 −

1

8

3 1 0 −1

4𝑥 −

1

4

3

8𝑥2 +

1

2𝑥 +

1

4

Da segunda linha, o 𝑚𝑑𝑐 (𝑓, 𝑔) é

𝑥 + 1 =1

4(12𝑥3 + 13𝑥2 + 4𝑥 − 2) + (−

3

8𝑥 −

1

8) (8𝑥2 + 6𝑥 − 2).

De novo, mais do que provar a validade do algoritmo 1.3, vejamos o seguinte lema.

Lema 1.4 Para 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙, temos que

i. 𝑅𝑖 ∙ [𝑓𝑔] = [

𝑟𝑖𝑟𝑖+1

] ;

ii. 𝑅𝑖 = [𝑠𝑖 𝑡𝑖𝑠𝑖+1 𝑡𝑖+1

] ;

iii. 𝑚𝑑𝑐 (𝑓, 𝑔) = 𝑚𝑑𝑐 (𝑟𝑖, 𝑟𝑖+1) = 𝑟𝑙;

iv. 𝑠𝑖𝑓 + 𝑡𝑖𝑔 = 𝑟𝑖 (também é válido para 𝑖 = 𝑙 + 1);

v. 𝑠𝑖𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖𝑠𝑖+1 = (−1)𝑖(𝜌0⋯𝜌𝑖+1)

−1;

vi. 𝑚𝑑𝑐 (𝑟𝑖 , 𝑡𝑖) = 𝑚𝑑𝑐 (𝑓, 𝑡𝑖);

vii. 𝑓 = (−1)𝑖𝜌0⋯𝜌𝑖+1(𝑡𝑖+1𝑟𝑖 − 𝑡𝑖𝑟𝑖+1), 𝑔 = (−1)𝑖+1𝜌0⋯𝜌𝑖+1(𝑠𝑖+1𝑟𝑖 − 𝑠𝑖𝑟𝑖+1).

Demonstração:

i. Vamos demonstrar por indução em 𝑖. No caso 𝑖 = 0 temos que

𝑅0 (𝑓𝑔) = (

𝑠0 𝑡0𝑠1 𝑡1

) (𝑓𝑔) = (

𝜌0−1 0

0 𝜌1−1)(

𝑓𝑔) = (

𝜌0−1𝑓 + 0

0 + 𝜌1−1𝑔

) =

(

1

𝑙𝑢(𝑓)𝑓

1

𝑙𝑢(𝑔)𝑔)

=

= (𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑓)

𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑔)) = (

𝑟0𝑟1)


Queremos provar que 𝑅𝑖−1 ∙ (𝑓𝑔) = (

𝑟𝑖−1𝑟𝑖) ⟹ 𝑅𝑖 ∙ (

𝑓𝑔) = (

𝑟𝑖𝑟𝑖+1

).


𝑅𝑖 ∙ (𝑓𝑔) = 𝑄𝑖𝑅𝑖−1 (

𝑓𝑔) = 𝑄𝑖 (

𝑟𝑖−1𝑟𝑖) = (

0 1𝜌𝑖−1−1 −𝑞𝑖𝜌𝑖−1

−1 ) (𝑟𝑖−1𝑟𝑖) =

= (𝑟𝑖

(𝑟𝑖−1 − 𝑞𝑖𝑟𝑖)𝜌𝑖−1−1 ) = (

𝑟𝑖𝑟𝑖+1

),

concluímos assim que 𝑅𝑖 ∙ (𝑓𝑔) = (

𝑟𝑖𝑟𝑖+1


ii. Vamos demonstrar por indução em 𝑖. No caso 𝑖 = 0 temos que

𝑅0 = (𝑠0 𝑡0𝑠1 𝑡1

)



28

Queremos provar que 𝑅𝑖−1 = (𝑠𝑖−1 𝑡𝑖−1𝑠𝑖 𝑡𝑖

) ⟹ 𝑅𝑖 = (𝑠𝑖 𝑡𝑖𝑠𝑖+1 𝑡𝑖+1

).


𝑅𝑖 = 𝑄𝑖𝑅𝑖−1 = (0 1𝜌𝑖−1−1 −𝑞𝑖𝜌𝑖−1

−1 )(𝑠𝑖−1 𝑡𝑖−1𝑠𝑖 𝑡𝑖

) =

= (𝑠𝑖 𝑡𝑖

(𝑠𝑖−1 − 𝑞𝑖𝑠𝑖)𝜌𝑖−1−1 (𝑡𝑖−1 − 𝑞𝑖𝑡𝑖)𝜌𝑖−1

−1 ) = (𝑠𝑖 𝑡𝑖𝑠𝑖+1 𝑡𝑖+1

),

concluímos assim que 𝑅𝑖 = (𝑠𝑖 𝑡𝑖𝑠𝑖+1 𝑡𝑖+1


iii. De i. concluímos que

(𝑟𝑙0) = 𝑄𝑙 …𝑄𝑖+1𝑅𝑖 (

𝑓𝑔) = 𝑄𝑙 …𝑄𝑖+1 (

𝑟𝑖𝑟𝑖+1

).

Como todos os elementos envolvidos são normalizados ao compararmos a primeira

entrada em ambos os lados observamos que 𝑟𝑙 é uma combinação linear de 𝑟𝑖 e 𝑟𝑖+1 e

consequentemente um qualquer divisor comum de 𝑟𝑖 e 𝑟𝑖+1 divide 𝑟𝑙. Por outro lado,

det𝑄𝑖 = |0 1𝜌𝑖+1−1 −𝑞𝑖𝜌𝑖+1

−1 | = 0 × (−𝑞𝑖𝜌𝑖+1−1 ) − 1 × 𝜌𝑖+1

−1 = −𝜌𝑖+1−1 e a matriz 𝑄𝑖 é in-

vertível em 𝑅, com inversa igual a 𝑄𝑖−1 = (

𝑞𝑖 𝜌𝑖+11 0

), e portanto,

(𝑟𝑖𝑟𝑖+1

) = 𝑄𝑖+1−1 …𝑄𝑙

−1 (𝑟𝑙0).

Assim, tanto 𝑟𝑖 como 𝑟𝑖+1 são divisíveis por 𝑟𝑙 e temos que 𝑟𝑙 = 𝑚𝑑𝑐 (𝑟𝑖, 𝑟𝑖+1). Em par-

ticular, isso é verdade para 𝑖 = 0, de modo que 𝑚𝑑𝑐 (𝑓, 𝑔) = 𝑚𝑑𝑐 (𝑟0, 𝑟1) = 𝑟𝑙.

iv. De i. e ii. temos que 𝑅𝑖 ∙ (𝑓𝑔) = (

𝑟𝑖𝑟𝑖+1

) e 𝑅𝑖 = (𝑠𝑖 𝑡𝑖𝑠𝑖+1 𝑡𝑖+1

).

𝑅𝑖 ∙ (𝑓𝑔) = (

𝑟𝑖𝑟𝑖+1

) ⟺ (𝑠𝑖 𝑡𝑖𝑠𝑖+1 𝑡𝑖+1

) ∙ (𝑓𝑔) = (

𝑟𝑖𝑟𝑖+1

) ⟺ (𝑠𝑖𝑓 + 𝑡𝑖𝑔

𝑠𝑖+1𝑓 + 𝑡𝑖+1𝑔) = (

𝑟𝑖𝑟𝑖+1

)

⟺ {𝑠𝑖𝑓 + 𝑡𝑖𝑔 = 𝑟𝑖

𝑠𝑖+1 + 𝑡𝑖+1 = 𝑟𝑖+1.

Da primeira linha do sistema provamos a afirmação 𝑠𝑖𝑓 + 𝑡𝑖𝑔 = 𝑟𝑖.

v. Temos que 𝑅𝑖 = 𝑄𝑖…𝑄1𝑅0, assim

𝑠𝑖𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖𝑠𝑖+1 = det𝑅𝑖 = det𝑄𝑖 …det𝑄1 det 𝑅0 = det𝑄𝑖 …det𝑄1 |𝑠0 𝑡0𝑠1 𝑡1

| =

= det𝑄𝑖…det𝑄1 |1 00 1

| = (−𝜌𝑖+1−1 ) × …× (−𝜌0

−1) × 1 = (−1)𝑖(𝜌0…𝜌𝑖+1), como

queríamos mostrar. Em particular, isto implica que 𝑚𝑑𝑐 (𝑠𝑖, 𝑡𝑖) = 1 e que 𝑅𝑖 é inver-

tível.

vi. Suponhamos que 𝑝 é um divisor de 𝑡𝑖. Se 𝑝|𝑓, então 𝑝|𝑠𝑖𝑓 + 𝑡𝑖𝑔 = 𝑟𝑖. Por outro lado,

se 𝑝|𝑟𝑖 então 𝑝 também divide 𝑠𝑖𝑓 = 𝑟𝑖 − 𝑡𝑖𝑔 e, portanto 𝑝 divide 𝑓, desde que 𝑠𝑖 e 𝑡𝑖

sejam primos entre si, não esquecendo o facto de todos os elementos envolvidos se-

rem normalizados.

vii. Para provar esta alínea multiplicamos ambos os membros de i. por 𝑅𝑖−1 obtendo-se

(𝑟0𝑟1) = 𝑅𝑖

−1 (𝑟𝑖𝑟𝑖+1

) = (−1)𝑖(𝜌0…𝜌𝑖+1) (𝑡𝑖+1 −𝑡𝑖−𝑠𝑖+1 𝑠𝑖


).

Assim,


29

(𝑟0𝑟1) = (−1)𝑖(𝜌0…𝜌𝑖+1) (

𝑡𝑖+1 −𝑡𝑖−𝑠𝑖+1 𝑠𝑖


) ⟺

⟺ (𝑓𝑔) = (−1)𝑖(𝜌0…𝜌𝑖+1) (

𝑡𝑖+1𝑟𝑖 − 𝑡𝑖𝑟𝑖+1−𝑠𝑖+1𝑟𝑖 + 𝑠𝑖𝑟𝑖+1

) ⟺

⟺ {𝑓 = (−1)𝑖(𝜌0…𝜌𝑖+1)(𝑡𝑖+1𝑟𝑖 − 𝑡𝑖𝑟𝑖+1)

𝑔 = (−1)𝑖 (𝜌0…𝜌𝑖+1)(−𝑠𝑖+1𝑟𝑖 + 𝑠𝑖𝑟𝑖+1),

como queríamos mostrar.


30

2. Aplicações do algoritmo de Euclides

2.1 Aritmética modular

Aritmética modular é a aritmética dos restos de expressões numéricas módulo um inteiro di-

ferente de zero. Portanto, dada uma expressão 𝑒 envolvendo números inteiros e operações

aritméticas +,−,∙, podemos calcular 𝑒 módulo um número 𝑚 muito eficientemente, primeiro

reduzindo todos os inteiros módulo 𝑚 e então, passo a passo, executando uma operação arit-

mética em ℤ e novamente, reduzindo imediatamente o resultado módulo 𝑚, como por exem-

plo:

𝑒 = 20 ∙ (−89) + 32 ≡ 6 ∙ 2 + 4 ≡ 12 + 4 ≡ 5 + 4 ≡ 9 ≡ 2 (mod 7)

Desta forma, as regras básicas para calcular com congruências são

𝑎 ≡ 𝑏 (mod 𝑚) ⇒ 𝑎 ∗ 𝑐 ≡ 𝑏 ∗ 𝑐 (mod 𝑚) (2)

onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ e ∗ é uma das operações aritméticas em ℤ.

Contudo, quando estamos a trabalhar em aritmética modular, temos que ter atenção com a

lei do corte e a divisão. Por exemplo, temos 0 ∙ 2 ≡ 2 ∙ 2 ≡ 0 (mod 4) mas 0 ≢ 2 (mod 4).

Também podemos usar aritmética modular com polinómios sobre um anel 𝑅. Aqui, o módulo

não trivial mais simples é um polinómio linear 𝑥 − 𝑢 com 𝑢 ∈ 𝑅. Para qualquer polinómio 𝑓 ∈

𝑅[𝑥], o polinómio 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑢) tem 𝑢 como zero, e portanto é divisível por 𝑥 − 𝑢.

Se 𝑞 =𝑓(𝑥)−𝑓(𝑢)

𝑥−𝑢, então 𝑓 = 𝑞 ∙ (𝑥 − 𝑢) + 𝑓(𝑢), desde que 𝑓(𝑢) seja um polinómio constante

com grau menor do que 1 = grau (𝑥 − 𝑢). Pela unicidade do resto, 𝑓(𝑢) é o resto de 𝑓 na

divisão por 𝑥 − 𝑢, ou seja, (𝑓 rem (𝑥 − 𝑢)) = 𝑓(𝑢) e 𝑓 ≡ 𝑓(𝑢)(mod (𝑥 − 𝑢)). Assim, calcu-

lar o módulo 𝑢 é o mesmo que avaliar em 𝑢. O que vimos anteriormente, pode ser usado para

verificar a igualdade de expressões polinomiais.

Assim, o conceito matemático por detrás da aritmética modular é o anel da classe de resíduos.

Se 𝑅 é um anel (digamos 𝑅 = ℤ ou 𝑅 = 𝐹[𝑥]) e 𝑚 ∈ 𝑅, então ⟨𝑚⟩ = 𝑚𝑅 = {𝑚𝑟: 𝑟 ∈ 𝑅}, o

conjunto de todos os múltiplos de 𝑚, é o ideal gerado por 𝑚. E, o anel da classe de resíduos

𝑅/𝑚𝑅 = 𝑅/⟨𝑚⟩ = {𝑓 mod 𝑚: 𝑓 ∈ 𝑅} consiste em todas as classes de resíduos [𝑓] =

{𝑓 + 𝑚𝑟: 𝑟 ∈ 𝑅} para 𝑓 ∈ 𝑅 . Por exemplo, se tomarmos 𝑅 = ℤ e 𝑚 = 5 , então [3] =

{⋯ ,−12,−7,−2, 3, 8, 13,⋯ } é uma classe de resíduos do anel ℤ/5ℤ =

{0 mod 5, 1 mod 5, 2 mod 5, 3 mod 5, 4 mod 5}. Os elementos de [3] podem ser caracteriza-

dos como os inteiros que têm resto 3 na divisão por 5 e quaisquer dois deles são congruentes

módulo 5. Também escrevemos ℤ𝑚 para ℤ/𝑚ℤ.

Se considerarmos 𝑅 = ℚ[𝑥] e 𝑚 = 𝑥2 − 𝑥 − 1 então [12𝑥 + 7] consiste em todos os polinó-

mios com resto igual a 12𝑥 + 7 na divisão por 𝑥2 − 𝑥 − 1 e quaisquer dois deles são congru-

entes módulo 𝑥2 − 𝑥 − 1.

2.2 Inverso modular via Euclides

Expressões como o inverso de um elemento módulo 𝑚 fazem sentido? Em caso afirmativo

como podemos calcular o seu valor? O seguinte teorema dá uma resposta quando o anel sub-

jacente 𝑅 é um domínio euclidiano.

Teorema 2.1 Seja 𝑅 um domínio euclidiano, 𝑎,𝑚 ∈ 𝑅 e 𝑆 = 𝑅/𝑚𝑅 . Então 𝑎 mod 𝑚 ∈ 𝑅 é

uma unidade se, e somente, se 𝑚𝑑𝑐 (𝑎,𝑚) = 1. Neste caso, o inverso modular de 𝑎 mod 𝑚

pode ser calculado através do algoritmo de Euclides estendido.


31

Demonstração: Temos

𝑎 é invertível módulo 𝑚 ⟺ ∃ 𝑠 ∈ 𝑅 𝑠𝑎 ≡ 1 mod 𝑚

⟺ ∃ 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑅 𝑠𝑎 + 𝑡𝑚 = 1

pelo algoritmo 1.2, temos que 𝑚𝑑𝑐 (𝑎,𝑚) = 1

Por outro lado, se 𝑚𝑑𝑐 (𝑎,𝑚) = 1 ⟹ ∃𝑠, 𝑡 ∈ 𝑅: 𝑠𝑎 + 𝑡𝑚 = 1 então pelo teorema 1.1 𝑠, 𝑡 ∈

𝑅.

Exemplo 2.1

1. Seja 𝑅 = ℤ, 𝑚 = 43 e 𝑎 = 17. Então, 𝑚𝑑𝑐 (𝑎,𝑚) = 1 e o algoritmo de Euclides es-

tendido calcula


0 43 1 0

1 2 17 0 1

2 1 9 1 −2

3 1 8 −1 3

4 1 2 −5

Da tabela, podemos concluir que,

1 = 2 ∙ 43 + (−5) ∙ 17.

Assim,

(−5) ∙ 17 ≡ 38 ∙ 17 ≡ 1 mod 43

e, consequentemente 38 é o inverso de 17 módulo 43.

2. Seja 𝑅 = ℚ[𝑥], 𝑚 = 𝑥3 − 𝑥 + 2 e 𝑎 = 𝑥2

Então, o algoritmo de Euclides estendido calcula o 𝑚𝑑𝑐 (𝑎,𝑚)

𝑥3 − 𝑥 + 2 = 𝑥 ∙ 𝑥2 + (−𝑥 + 2)

𝑥2 = (−𝑥 − 2) ∙ (−𝑥 + 2) + 4

𝑥2

4=1

4(−𝑥 − 2) ∙ (−𝑥 + 2) + 1

Assim, 1 pode ser escrito como combinação linear de 𝑎 e 𝑚, ou seja,

1 =𝑥2

4−1

4(−𝑥 − 2) ∙ (−𝑥 + 2)

=𝑥2

4−1

4(−𝑥 − 2) ∙ (𝑥3 − 𝑥 + 2 − 𝑥 ∙ 𝑥2)

=𝑥2

4−1

4(−𝑥 − 2) ∙ (𝑥3 − 𝑥 + 2) −

1

4(−𝑥 − 2)(−𝑥 ∙ 𝑥2)

= −1

4(−𝑥 − 2) ∙ (𝑥3 − 𝑥 + 2) + 𝑥2 ∙ (

1

4−1

4(−𝑥 − 2)(−𝑥))

=1

4(𝑥 + 2) ∙ (𝑥3 − 𝑥 + 2) + 𝑥2 ∙ (

1

4−𝑥2

4−2𝑥

4)

= (𝑥

4+2

4) ∙ (𝑥3 − 𝑥 + 2) + (−

𝑥2

4−2𝑥

4+1

4) ∙ 𝑥2

Pelo algoritmo de Euclides estendido temos que


32

1 = (𝑥

4+2

4) (𝑥3 − 𝑥 + 2) + (−

𝑥2

4−2𝑥

4+1

4)𝑥2

e, consequentemente (−𝑥2

4−2𝑥

4+1

4) é o inverso de 𝑥2 módulo 𝑥3 − 𝑥 + 2.

Uma consequência deste teorema é que se 𝑆 = ℤ𝑝 para 𝑝 ∈ ℕ primo ou 𝑆 = 𝐹[𝑥]/⟨𝑝⟩, para

um corpo 𝐹 e 𝑓 ∈ 𝐹[𝑥] um polinómio irredutível, de modo que 𝑓 não tenha um fator não

constante de grau menor que o grau de 𝑓, então qualquer elemento de 𝑆\{0} é uma unidade

de forma a que S seja um corpo.

Usaremos a notação 𝔽𝑝 para o corpo finito ℤ𝑝 com 𝑝 elementos. Mais geralmente, se 𝑓 ∈

ℤ𝑝[𝑥] = 𝔽𝑝[𝑥] é um polinómio irredutível de grau 𝑛, então 𝔽𝑝[𝑥]/⟨𝑓⟩ é um corpo finito 𝔽𝑞

com 𝑞 = 𝑝𝑛 elementos. De facto, esta construção funciona para qualquer potência de primo

𝑞, nomeadamente existem polinómios irredutíveis em 𝔽𝑞[𝑥] de qualquer grau e quaisquer

dois polinómios irredutíveis do mesmo grau levam a corpos isomorfos.

Exemplo 2.2 Seja 𝑅 = 𝔽5[𝑥], 𝑓 = 𝑥3 − 𝑥 + 2 e 𝑎 = 𝑥2. Então, 𝑓 não tem zeros em 𝔽5 e por-

tanto é irredutível, já que o seu grau é 3. Assim, 𝔽125 = 𝔽5[𝑥]/⟨𝑓⟩ é um corpo1. Do exemplo

2.1 (2) a última linha no algoritmo de Euclides estendido para 𝑓 e 𝑎 é

(𝑥

4+2

4) (𝑥3 − 𝑥 + 2) + (−

𝑥2

4−2𝑥

4+1

4)𝑥2 = 1 ⟺

⟺ (4𝑥 + 8)(𝑥3 − 𝑥 + 2) + (−4𝑥2 − 8𝑥 + 4)𝑥2 = 1

Como 4 ≡ −1mod5, 8 ≡ −2mod5, −4 ≡ 1mod5 e −8 ≡ 2mod5.

Assim, em 𝔽5

1 = (−𝑥 − 2)(𝑥3 − 𝑥 + 2) + (𝑥2 + 2𝑥 − 1)𝑥2.

Consequentemente, 𝑥2 + 2𝑥 − 1 é o inverso de 𝑥2 módulo 𝑓. Logo, 𝛼2 + 2𝛼 − 1 = (𝛼2)−1

em 𝔽125.

2.3 Inverso modular via Fermat

Enquanto que na secção anterior vimos como calcular o inverso modular via Euclides, nesta

nova seção veremos que o pequeno teorema de Fermat também nos é útil para calcular os

inversos em ℤ𝑝.

Seja 𝑝 ∈ ℕ um primo e 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ. Então o teorema binomial implica que

(𝑎 + 𝑏)𝑝 = ∑ (𝑝𝑖)

0≤𝑖≤𝑝

𝑎𝑝−𝑖𝑏𝑖 = 𝑎𝑝 + 𝑝𝑎𝑝−1𝑏 +𝑝(𝑝 − 1)

2𝑎𝑝−2𝑏2 +⋯+ 𝑏𝑝.

Se 0 < 𝑖 < 𝑝, então o coeficiente binomial

(𝑝𝑖) =

𝑝!

𝑖! (𝑝 − 𝑖)!

é divisível por 𝑝, uma vez que o numerador é divisível por 𝑝, enquanto que o denominador

não é. Temos assim a surpreendente consequência de que (𝑎 + 𝑏)𝑝 ≡ 𝑎𝑝 + 𝑏𝑝 mod 𝑝, ou

equivalentemente (𝛼 + 𝛽)𝑝 = 𝛼𝑝 + 𝛽𝑝 em ℤ𝑝, com 𝛼 = 𝑎 mod 𝑝 e 𝛽 = 𝑏 mod 𝑝.

1 Pode provar-se que 𝔽5/⟨𝑓⟩ é isomorfo a 𝔽125.


33

Mais geralmente, obtemos que

(𝑎 + 𝑏)𝑝𝑖≡ 𝑎𝑝

𝑖+ 𝑏𝑝

𝑖 mod 𝑝, para todo 𝑖 ∈ ℕ. (3)

Demonstração: Vamos demonstrar por indução em 𝑖. No caso 𝑖 = 0

(𝑎 + 𝑏)𝑝0≡ 𝑎𝑝

0+ 𝑏𝑝

0 mod 𝑝 ⟺ (𝑎 + 𝑏) ≡ 𝑎 + 𝑏 mod 𝑝

é uma afirmação verdadeira. Queremos mostrar que se (𝑎 + 𝑏)𝑝𝑖≡ 𝑎𝑝

𝑖+ 𝑏𝑝

𝑖 mod 𝑝 então

(𝑎 + 𝑏)𝑝𝑖+1≡ 𝑎𝑝

𝑖+1+ 𝑏𝑝

𝑖+1 mod 𝑝.

(𝑎 + 𝑏)𝑝𝑖+1= (𝑎 + 𝑏)𝑝

𝑖(𝑎 + 𝑏)𝑝 ≡ (𝑎𝑝

𝑖+ 𝑏𝑝

𝑖) (𝑎𝑝 + 𝑏𝑝) ≡ 𝑎𝑝

𝑖𝑎𝑝 + 𝑏𝑝

𝑖𝑏𝑝

≡ 𝑎𝑝𝑖+1+ 𝑏𝑝

𝑖+1mod𝑝.

Usando esta propriedade, obtemos uma elementar e bonita prova do seguinte teorema da

teoria dos números, que – numa forma mais geral – terá muitas aplicações em polinómios de

factorização e teste de primalidade.

Teorema 2.2 (Pequeno Teorema de Fermat) Se 𝑝 ∈ ℕ é um primo e 𝑎 ∈ ℤ , então 𝑎𝑝 ≡

𝑎 mod 𝑝 e se 𝑝 ∤ 𝑎 então 𝑎𝑝−1 ≡ 1 mod 𝑝.

Demonstração: É suficiente provar a afirmação para 𝑎 ∈ {0,⋯ , 𝑝 − 1}, que fazemos por indu-

ção em 𝑎. O caso 𝑎 = 0 é trivial.

Seja 𝑎 > 1, temos

𝑎𝑝 = ((𝑎 − 1) + 1)𝑝

por (3),

((𝑎 − 1) + 1)𝑝≡ (𝑎 − 1)𝑝 + 1𝑝

e, pela hipótese de indução,

(𝑎 − 1)𝑝 + 1𝑝 ≡ (𝑎 − 1) + 1 = 𝑎 mod 𝑝,

Se 𝑎 ≠ 0, então 𝑎 é invertível módulo 𝑝 e pelo Teorema 2.1 a afirmação segue multiplicando-

se por 𝑎−1 mod 𝑝.

O teorema de Fermat fornece-nos, assim, uma alternativa para calcular os inversos em ℤ𝑝

desde que 𝑎𝑝−2𝑎 = 𝑎𝑝−1 ≡ 1mod𝑝 com 𝑎 ∈ ℤ e 𝑝 ∤ 𝑎, temos que 𝑎−1 ≡ 𝑎𝑝−2mod𝑝.

Exemplo 2.3 Vamos calcular o inverso de 43 módulo 31, usando o algoritmo de Euclides e

usando o teorema de Fermat.

Usando o algoritmo de Euclides, temos que


0 43 1 0

1 1 31 0 1

2 2 12 1 −1

3 1 7 −2 3

4 1 5 3 −4


34

2 2 −5 7

1 13 −18

Da tabela, podemos concluir que,

1 = 13 ∙ 43 + (−18) ∙ 31


Usando o teorema de Fermat, temos que

4330 ≡ 1mod31 e 43−1 ≡ 4329mod31

Como 43 ≡ 12mod31 e 29 = 1 ∙ 24 + 1 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20. Para calcular 4329 =

1229mod31 basta calcular (((122)2)2)2 ∙ ((122)2)2 ∙ (122)2 ∙ 12mod31. Assim,

(122)2 ≡ 28mod31,

((122)2)2 = 282 ≡ 9mod31 e

(((122)2)2)2 = 92 ≡ 19mod31.

Podemos concluir que,

(((122)2)2)2 ∙ ((122)2)2 ∙ (122)2 ∙ 12 = 19 ∙ 9 ∙ 28 ∙ 12 ≡ 13mod31


Com este exemplo conseguimos perceber que, de um ponto de vista computacional, calcular

o inverso modular via Euclides é mais rápido do que via Fermat.

2.4 Frações contínuas e aproximações diofantinas

Seja 𝑅 um domínio euclidiano, 𝑟0, 𝑟1 ∈ 𝑅 e 𝑞𝑖, 𝑟𝑖 ∈ 𝑅 para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙 sejam os quocientes e os

restos no tradicional algoritmo de Euclides 1.1 para 𝑟0, 𝑟1. Quando eliminamos os restos suces-

sivamente, obtemos algo deste género

𝑟0𝑟1=𝑞1𝑟1 + 𝑟2𝑟1

= 𝑞1 +𝑟2𝑟1= 𝑞1 +

1𝑟1𝑟2

= 𝑞1 +1

𝑞2 +𝑟3𝑟2

= 𝑞1 +1

𝑞2 +1𝑟2𝑟3

= 𝑞1 +1

𝑞2 +1

𝑞3 +𝑟4𝑟3

= ⋯ = 𝑞1 +1

𝑞2 +1

𝑞3 +1

⋱

+1𝑞𝑙

.

Isto é designado por expansão da fração contínua de 𝑟0/𝑟1 ∈ 𝐾, onde 𝐾 é o corpo das frações

em 𝑅. Em geral, elementos arbitrários de 𝑅 podem ocorrer no lugar do 1 nos “numeradores”

de uma fração contínua, mas quando todos eles tomam o valor 1, como acima, uma represen-

tação de 𝑟0/𝑟1 por uma fração contínua, é calculada pelo tradicional algoritmo de Euclides.

Para abreviar, escrevemos [𝑞1, … , 𝑞𝑙] para a fração contínua

𝑞1 +1

𝑞2 +1

⋱

+1𝑞𝑙⋱

.


35

Exemplo 2.4 Podemos reescrever o algoritmo de Euclides (1) para 𝑟0 = 108 e 𝑟1 = 30 da se-

guinte forma.

𝑞1 = ⌊𝑟0𝑟1⌋ = ⌊

108

30⌋ = 3,

𝑟2𝑟1=𝑟0𝑟1− 𝑞1 =

18

30,

𝑞2 = ⌊𝑟1𝑟2⌋ = ⌊

30

18⌋ = 1,

𝑟3𝑟2=𝑟1𝑟2− 𝑞2 =

12

18,

𝑞3 = ⌊𝑟2𝑟3⌋ = ⌊

18

12⌋ = 1,

𝑟4𝑟3=𝑟2𝑟3− 𝑞3 =

6

12,

𝑞4 = ⌊𝑟3𝑟4⌋ = ⌊

12

6⌋ = 2,

𝑟5𝑟4=𝑟3𝑟4− 𝑞4 = 0.

Assim, a expansão da fração contínua 108/30 ∈ ℚ é

108

30=18

5= [3, 1, 1, 2] = 3 +

1

1 +1

1 +12

.

Se 𝑅 = ℤ então um mesmo elemento 𝛼 ∈ ℝ pode ser representado por uma fração contínua

(infinita) no sentido em que os seus segmentos iniciais convergem para o valor absoluto de 𝛼.

Como podemos calcular estas frações contínuas? Uma resposta válida será usarmos as regras

do tradicional algoritmo de Euclides estendido 1.2 para calcular os quocientes 𝑞1, 𝑞2, … para

(𝑟0, 𝑟1) ∈ ℤ2 e que podem ser reformuladas da seguinte forma: defina-se

𝛼1 =𝑟0𝑟1, 𝑞1 = ⌊𝛼1⌋, 𝛽2 = 𝛼1 − 𝑞1, 𝛼2 =

1

𝛽2

e, em geral,

𝑞𝑖 = ⌊𝛼𝑖⌋, 𝛽𝑖+1 = 𝛼𝑖 − 𝑞𝑖, 𝛼𝑖+1 =1

𝛽𝑖+1.

Começando com um número arbitrário 𝛼1, este processo define a expansão da fração contínua

de 𝛼1, como podemos observar na tabela 2.1.

Exemplo 2.5

1. Seja 𝛼1 = √3, obtemos

𝑞1 = ⌊𝛼1⌋ = 1, 𝛽2 = 𝛼1 − 𝑞1 = −1+ √3,

𝛼2 =1

𝛽2=

1

−1 + √3=

−1− √3

(−1 + √3)(−1 − √3)=−1 − √3

−2=1

2+1

2√3 ≈ 1.366,

𝑞2 = ⌊𝛼2⌋ = 1, 𝛽3 = 𝛼2 − 𝑞2 = −1

2+1

2√3,

𝛼3 =1

𝛽3=

2

−1 + √3= 1 + √3 ≈ 2.723,

𝑞3 = ⌊𝛼3⌋ = 2, 𝛽4 = 𝛼3 − 𝑞3 = −1+ √3 = 𝛽2.

E, então o processo repete-se infinitamente obtendo √3 = [1, 1, 2 ,… ].

2. Seja 𝛼1 = √5, obtemos

𝑞1 = ⌊𝛼1⌋ = 2, 𝛽2 = 𝛼1 − 𝑞1 = −2+ √5,

𝛼2 =1

𝛽2=

1

−2 + √5=

−2− √5

(−2 + √5)(−2 − √5)=−2 − √5

−1= 2 + √5 ≈ 4.236,


36

𝑞2 = ⌊𝛼2⌋ = 4, 𝛽3 = 𝛼2 − 𝑞2 = −2 + √5 − 4 = −2+ √5 = 𝛽2.

Repete-se o processo infinitamente e temos que √5 = [2, 4, … ].

Em ambos os casos a parte sublinhada indica o período dessa sequência periódica.

A tabela 2.1 dá exemplos de frações contínuas de número reais.

𝒓 ∈ ℝ Expansão da fração contínua de 𝒓

8

29 [0, 3, 1, 1, 1, 2 ]

√8

29 [0, 1, 1, 9, 2, 2, 3, 2, 2, 9, 1, 2, 1, 9, 2, 2, 3, 2, 2, 9, 1, 2 , … ]

√3 [1, 1, 2, 1, 2 , … ]

√23

[1, 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 14, 1, 10, 2, 1, 4, 12, 2, 3, 2, 1, 3, 4, 1, 1, 2, 14, 3, 12,… ]

√5 [2, 4, 4, … ]

𝜋 [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4,… ]

ℯ [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1, 1, 18, 1, 1, 20,… ]

𝜙 =1 + √5

2 [1, 1, 1, … ]

log2 (6

5) [0, 3, 1, 4, 22, 4, 1, 1, 13, 137, 1, 1, 16, 6, 176, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 31,3, 1, 1, 5, … ]

Tabela 2.1 Exemplos de representações de números reais em frações contínuas

A expansão da fração contínua de um número irracional 𝛼 ∈ ℝ é uma excelente ferramenta

para aproximar 𝛼 por um número racional com um denominador “pequeno”. A teoria subs-

tancial da aproximação diofantina lida com tais questões. Assim, a qualidade das aproximações

é melhor descrita na forma

|𝛼 −𝑝

𝑞| ≤

1

𝑐𝑞2 (4)

Isto também é válido para todas as aproximação de frações contínuas com 𝑐 = 1. De três apro-

ximações de frações contínuas, pelo menos uma satisfaz (4) com 𝑐 = √5, e para qualquer 𝑐 >

√5 existem números reais 𝛼 que têm apenas algumas aproximações racionais com (4). Para

compararmos, esta aproximação, por frações contínuas, é aproximadamente duas vezes me-

lhor de quando o estamos a fazer usando frações decimais, onde restringimos que 𝑞 é uma

potência de 10 e podendo assim alcançar-se um erro de aproximação de 1/(2𝑞).

37

Bibliografia

Negra, Cristina; Martinho, Emanuel. Sem Limites: Matemática A 10º ano. 1 ed. Carnaxide:

Santillana Constância, 2007.

Costa, Belmiro; Rodrigues, Ermelinda. Novo Espaço: Matemática A 10º Ano. 1 ed. Porto: Porto

Editora, 2010.

Martins, Ana; Salomé, Helena; Silva, Liliana dos Prazeres; da Silva Pereira, José Carlos. 12

Matemática A Preparar o exame 2018. Lisboa: Raiz Editora, 2017.

Ferreira Neves, Maria Augusta; Guerreiro, Luís; Pinto Silva, António. Máximo 10: Matemática

A 10º ano. 1 ed. Porto: Porto Editora, 2018.

Von zur Gathen, Joachim; Gerhard, J urgen. Modern Computer Algebra. 2 ed. Cambridge:

Cambridge University Press, 2003.

Marques Smith, Paula; Mendes Martins, Paula. Matemática discreta. 1 ed. Braga: Universidade

do Minho, Departamento de Matemática, 2009.

Backhouse, Roland; F. Ferreira, João. On Euclid’s algorithm and elementary number theory.

Nottingham: School of Computer Science, University of Nottingham, 2009, em:

http://eprints.nottingham.ac.uk/1856/1/scp-rationals.pdf.

Assis, Azevedo. Apontamentos da disciplina de álgebra I. Braga: Universidade do Minho,

Departamento de Matemática, 2010.

Marques Smith, Paula; Mendes Martins, Paula; Roçadas, Luís. Álgebra: Exercícios resolvidos e

exercícios propostos. Lisboa: Escolar Editora, 2015.

http://eprints.nottingham.ac.uk/1856/1/scp-rationals.pdf

Documents

Relatório de Estágio...1 Introdução Relativamente ao presente Relatório de Estágio, este está organizado em três partes. A primeira diz respeito à análise crítica das atividades