Renato Darcio Noleto Silva...SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones 2 Renato Darcio Noleto Silva Ensino de Pirâmides na construção

1 SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones

Universidade do Estado do Pará

Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação Centro de Ciências Sociais e Educação Departamento de Matemática, Estatística e Informática Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática

Renato Darcio Noleto Silva

Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones

Belém 2019


Renato Darcio Noleto Silva

Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones

Dissertação apresentada como requisito para obtenção do título de Mestre em Ensino de Matemática pelo Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática, Universidade do Estado do Pará. Linha de Pesquisa: Metodologia para Ensino de Matemática no Nível Médio. Orientadora: Profa. Dra. Cinthia Cunha Maradei Pereira.

Belém 2019



À minha família: mãe, pai, irmãos, minha esposa Elcitânia, a meus filhos Juan Pietro e Ellen Beatriz, pela paciência em minha ausência,

pela compreensão e amor demonstrado em todos os momentos de luta e

de alegrias. Amo vocês!


Agradecimentos

A Deus, pela proteção e escolha dos meus caminhos.

Aos meus pais, responsáveis pelo cidadão que me tornei.

Aos meus irmãos pela companhia e cumplicidade.

A minha querida esposa Elcitânia, pela escolha de viver ao meu lado e compartilhar

de muitos momentos importantes, inclusive este.

Aos meus queridos filhos Juan Pietro e Ellen Beatriz, por me inspirarem e iluminarem.

Aos meus familiares e amigos, pelo apoio e confiança.

Aos companheiros Marcio, Samuel e Wedson, pela parceria e paciência na jornada.

Em especial, a minha orientadora Dra. Cinthia Cunha Maradei Pereira pela confiança,

apoio, serenidade, cuidado e orientação.

Ao prof. Dr. Fábio Alves e Maria de Lourdes, pela constante disponibilidade de ajudar

e co-orientar.

Ao Prof. Pedro Franco de Sá pelo incentivo.

A parceria da Secretária Glads Serra, apoio e cuidado.

Ao coordenador Prof. Dr. Ducival, parceiro e amigo.

Ao prof. Dr. Miguel Chaquian pelas oportunidades e parceria.

Aos meus colegas de turma, novos amigos.

A meus queridos alunos, envolvidos no experimento.

Aos graduandos Daiane, Fernanda e Jardel, pelo apoio na pesquisa.

Aos demais professores, pela paciência e dedicação.

A todos os servidores da UEPA que me acolheram e me trataram com respeito e

carinho.

Ao Instituto Federal do Maranhão, à Secretaria Estadual de Educação e ao Fundo de

Amparo à Pesquisa e ao Desenvolvimento Científico e Tecnológico do Maranhão, pelo

apoio profissional e financeiro, tornando possível esse sonho.

A todos que contribuíram direta e indiretamente com o desenvolvimento deste

trabalho.

Muito Obrigado!


Eu quase que nada sei, mas desconfio de muita coisa. Grande Sertão: Veredas

Guimarães Rosa


RESUMO

SILVA, Renato D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones. 2019. 293f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2019.

Este trabalho apresenta os resultados de uma pesquisa que objetivou observar como os alunos do 3º ano do ensino médio desenvolvem potencialidades a partir de uma sequência didática com o uso e construção de aplicativos para smartphones, quando estudam Pirâmides. Para alcançar tal finalidade, optamos pela Engenharia Didática como metodologia de pesquisa, a qual desenvolveu-se em quatro etapas. Inicialmente foram feitas as análises prévias como primeira das etapas, composta pelos aspectos históricos, curriculares e matemáticos das Pirâmides; uma revisão de estudos sobre o tema; a consulta a discentes sobre o processo de ensino-aprendizagem desse conteúdo e sua relação com a utilização de tecnologias. A segunda etapa da pesquisa, concepção e análise a priori, apresenta a descrição da Engenharia Didática na concepção de Artigue, Teoria da Gênese Instrumental de Rabardel, Sequência Didática na perspectiva de Zabala e algumas considerações sobre Tecnologias no ensino de Matemática. A terceira e quarta etapas da pesquisa, experimento e análise, foram realizadas em uma escola pública estadual de São João dos Patos- MA com quinze alunos do 3º ano do ensino médio. Para a validação, fizemos uso as análises a priori e posteriori em cada atividade desenvolvida durante a experimentação, a qual demos tratamento qualitativo, seguida da confrontação entre os dados obtidos entre a análise a priori e posteriori. Os resultados da comparação apontam para instrumentação e instrumentalização da plataforma App Inventor II e dos aplicativos construídos, e que o processo da Gênese Instrumental ocorreu pela mobilização de esquemas novos e preexistentes, constatando que na metodologia de ensino obtivemos efeitos positivos, o que acarretou em uma melhora significativa no desempenho dos discentes na resolução de questões envolvendo Pirâmides. Além disso, o processo de desenvolvimento das atividades, nos mostraram que os estudantes aprenderam estruturar algebricamente as relações entre elementos da Pirâmide de maneira colaborativa e motivadora. Palavras-chave: Pirâmides. Aplicativos. Ensino.


ABSTRACT

SILVA, Renato D. N. Teaching of Pyramids in the construction of applications for smartphones. 2019. 293f. Dissertation (Masters in Mathematics Teaching) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2019.

This work presents the results of a research that had as objective to observe how the students of the 3rd year of High School appropriate the knowledge related to Pyramids when using and constructing applications for smartphones. In order to achieve this goal, Didactic Engineering was chosen as a research methodology, which was developed in four stages. Initially, preliminary analyzes were made, the first stage of the research, composed of the historical, curricular and mathematical aspects of the Pyramids; a review of studies on the subject; the consultation of 3rd year high school students about the teaching-learning process of this content and its relation with the use of technologies. The second stage of the research, conception and analysis a priori, presents the description of Didactic Engineering in Artigue's conception, Rabardel's Theory of Instrumental Genesis, Didactic Sequence in Zabala's perspective and some considerations on Mathematics teaching. The third and final stage of the research, experiment and analysis was carried out at a state public school in São João dos Patos-MA with fifteen students from the 3rd year of high school. For the validation, we used the a priori and posteriori analyzes in each activity developed during the experiment, which we gave qualitative treatment, followed by the comparison between the data obtained in the two stages. The results of the comparison point to the instrumentation and instrumentation of the App Inventor II platform and the applications built, and that the process of Instrumental Genesis occurred by the mobilization of new and preexisting schemes, noting that in the teaching methodology we obtained positive effects, which resulted in a significant improvement in students' performance in solving questions involving Pyramids. In addition, the process of developing activities, showed us that students learned to structure algebraically the relationships between elements of the Pyramid in a collaborative and motivating way. Key Words: Pyramids. Applications. Teaching.


LISTA DE DIAGRAMAS

Diagrama 1- Etapas da Engenharia Didática ............................................. 29

Diagrama 2: Esquema de instrumentalização do App Inventor nas

atividades propostas.................................................................................... 253


LISTA DE FIGURAS

Figura 1- Localização territorial do médio sertão maranhense.......................... 26

Figura 2- Estrutura arquitetônica da Pirâmide de Djoser .................................. 35

Figura 3- Pirâmide de Quéops (Khufu).............................................................. 37

Figura 4- Museu do Louvre (1989) ................................................................... 38

Figura 5- Questão ENEM (2009) – Pirâmide .................................................... 45

Figura 6- Pirâmide definida por planos.............................................................. 50

Figura 7- Pirâmides de bases diversas.............................................................. 52

Figura 8- Pirâmide ilimitada............................................................................... 53

Figura 9- Pirâmide limitada................................................................................ 54

Figura 10- Classificação de uma Pirâmide de acordo com a base poligonal.... 55

Figura 11- Seção transversal da Pirâmide...................................................... 56

Figura 12- Classificação das Pirâmides quanto a inclinação............................. 56

Figura 13- Pirâmide triangular regular- tetraedro............................................... 57

Figura 14- Relações notáveis na Pirâmide triangular regular............................ 59

Figura 15- Triângulo retângulo que destaca a relação entre a e 𝑙.................... 60

Figura 16- Relações notáveis na Pirâmide de base quadrada.......................... 61

Figura 17- Triângulo retângulo que destaca a relação entre r e 𝑙..................... 61

Figura 18- Relações notáveis na Pirâmide de base hexagonal regular............ 62

Figura 19- Triângulo equilátero que destaca a relação entre r e a.................... 63

Figura 20- Seção da Pirâmide e sua relação com a base ……………………… 71

Figura 21- Pirâmides de volumes semelhantes………………………………….. 72

Figura 22- Prisma triangular…………………………………………………..……. 73

Figura 23- Decomposição do prisma em tetraedros…………………………….. 73

Figura 24- Congruência do volume de tetraedros……………………………….. 74

Figura 25- Resposta de atividade proposta por Viana....................................... 84

Figura 26: Respostas de atividade proposta por Boiago................................... 88

Figura 27: Janelas do GeoGebra com um modelo matemático........................ 89

Figura 28: Resolução de atividade proposta por Borsoi.................................... 92

Figura 29: Conversões de registro de atividades.............................................. 92

Figura 30: Resolução de atividade proposta por Bittencourt............................. 93

Figura 31: Resolução de atividade proposta por Schonornberger.................... 99


Figura 32: Modelo das Situações de Atividades Instrumentais......................... 125

Figura 33: Ambiente Designer do App Inventor II............................................. 139

Figura 34: Ambiente Blocks do App Inventor II ................................................ 139

Figura 35: Tela do aplicativo VOLPIR (Volume da Pirâmide) ........................... 140

Figura 36: Programação em blocos da tela do volume da Pirâmide

hexagonal............................................................................................................ 141

Figura 37: Impressões iniciais de juros simples................................................. 144

Figura 38: Estruturação da programação do bloco de juros simples................. 145

Figura 39: Aplicativo, estrutura e validação da questão 9................................. 146

Figura 40: Aplicativo de juros simples personalizado pelo aluno...................... 148

Figura 41: Imagem do aluno construindo o aplicativo de juros simples............ 148

Figura 42: Esboço do aplicativo para o cálculo de área do trapézio................ 149

Figura 43: Aplicativo criado por aluno para cálculo da área do triângulo......... 150

Figura 44: Pirâmide de Kukulcán...................................................................... 160

Figura 45: Imagem da fachada frontal e superior da FAESF............................ 162

Figura 46: Ideia preliminar da área de uma Pirâmide (Aluna N13)................... 163

Figura 47: Ideia preliminar do volume de uma Pirâmide (Aluno H8)................ 163

Figura 48: Pirâmide pentagonal regular............................................................. 167

Figura 49: Figuras selecionadas para a AI-3..................................................... 169

Figura 50: Definição de Pirâmides para o aluno G7.......................................... 172

Figura 51: Registro das respostas da AI-4 pela aluna N13............................... 174

Figura 52: Construção coletiva do conceito de Pirâmide regular...................... 175

Figura 53: Quadro valor do apótema- aluna N13............................................... 182

Figura 54: Resposta da aluna N13 à questão a (valor apótema)...................... 183

Figura 55: Resposta da aluna N13 à questão b (valor apótema)...................... 183

Figura 56: Resposta da aluna N13 à questão c (valor apótema)...................... 184

Figura 57: Esboço da tela do aplicativo apótema da base da Pirâmide (aluna

N13)................................................................................................................... 184

Figura 58: Interpretação dos blocos pela aluna N13 no cálculo do apótema... 189

Figura 59: Preenchimento do quadro de valores com o aplicativo construído

(Aluna A1)........................................................................................................... 194

Figura 60: Cálculo manual – do quadro atividade móbile (Aluna A1)................ 194

Figura 61: Cálculo manual – valor do móbile (Aluna A1).................................. 195


Figura 62: Cálculo manual do apótema da Pirâmide de base triangular

regular (Aluna A1)............................................................................................... 196

Figura 63: Cálculo manual do lado da base da Pirâmide triangular regular

(Aluna A1) .......................................................................................................... 196

Figura 64: Quadro de valores área da base (Aluno H8).................................... 202

Figura 65: Questão a tela 1 - atividade barraca (Aluno H8).............................. 202

Figura 66: Questão b tela 1 - atividade barraca (Aluno H8).............................. 202

Figura 67: Questão c tela 1 - atividade barraca (Aluno H8).............................. 203

Figura 68: Questão d tela 1 - atividade barraca (Aluno H8).............................. 203

Figura 69: Blocos de programação (Aluno H8).................................................. 206

Figura 70: Quadro área lateral (Aluno H8)........................................................ 209

Figura 71: Questão a sobre a área lateral (Aluno H8)...................................... 209

Figura 72: Questão b sobre a área lateral (Aluno H8)...................................... 209

Figura 73: Questão c sobre a área lateral (Aluno H8)...................................... 209

Figura 74: Questão d sobre a área lateral (Aluno H8)....................................... 210

Figura 75: Questão e sobre a área lateral (Aluno H8)....................................... 210

Figura 76: Programação em blocos tela área lateral (Aluno H8)....................... 211

Figura 77: Quadro área total (Aluno H8)........................................................... 214

Figura 78: Resposta para a questão a – área total da Pirâmide (Aluno H8)..... 214

Figura 79: Resposta para a questão b – área total da Pirâmide (Aluno H8)..... 215

Figura 80: Resposta para a questão c – área total da Pirâmide (Aluno H8)..... 215

Figura 81: Resposta para a questão d – área total da Pirâmide (Aluno H8)..... 215

Figura 82: Programação em blocos tela área lateral (Aluno H8)....................... 217

Figura 83: Extensão da atividade (para casa)................................................... 219

Figura 84: Proposta do docente para encontrar o apótema da Pirâmide.......... 220

Figura 85: Esboço das telas do aplicativo para a questão barracas (Aluno F6) 220

Figura 86: Construção coletiva de aplicativos.................................................... 225

Figura 87: Preenchimento do quadro teste do aplicativo barraca – quadro a

(Aluna O14)......................................................................................................... 226

Figura 88: Preenchimento do quadro de teste do aplicativo barraca – quadro

b (Aluna O14)..................................................................................................... 227

Figura 89: Preenchimento do quadro de teste do aplicativo barracas –

quadro c (Aluna O14)......................................................................................... 227


Figura 90: Resolução da questão barracas utilizando o aplicativo.................... 227

Figura 91: Resolução da questão barracas com o uso do quadro de pincel..... 228

Figura 92: Quadro de valores volume da Pirâmide (Aluna C3)......................... 232

Figura 93: Resposta para a questão a – volume da Pirâmide (Aluna C3)......... 232

Figura 94: Resposta para a questão b – volume da Pirâmide (Aluna C3)......... 232

Figura 95: Resposta para a questão c – volume da Pirâmide (Aluna C3)......... 233

Figura 96: Estrutura de blocos do aplicativo volume da Pirâmide (Aluna C3)... 237

Figura 97: Utilização de novos esquemas (Aluna C3)....................................... 237

Figura 98: Esboço do aplicativo volume do iceberg (Aluna O14)..................... 240

Figura 99: Resposta da questão 1- Ativ. volume do iceberg (Aluna O14)....... 243





Figura 104:Gravação de vídeo aula construção de aplicativos (Aluno P15)..... 254


LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1- Evolução do IDEB – Maranhão......................................................... 27

Gráfico 2: Percentual de alunos que já fizeram uso de algum aplicativo.......... 119

Gráfico 3: Número de estudantes x seleção correta dos sólidos (pergunta a). 171

Gráfico 4: Número de estudantes x seleção correta dos sólidos (pergunta b). 171

Gráfico 5: Número de estudantes x seleção correta dos sólidos (pergunta c). 171

Gráfico 6: Número de estudantes x seleção correta dos sólidos (pergunta d). 172


LISTA DE QUADROS

Quadro 1- Resumo de médias das avaliações externas................................... 27

Quadro 2- Resultados da aplicação de questão ENEM.................................... 46

Quadro 3: Classificação nominal das Pirâmides de acordo com a base 55

Quadro 4 - Relação de textos selecionados...................................................... 79

Quadro 5- Distribuição de estudantes na pesquisa de Viana ........................... 82

Quadro 6- Objetivos dos trabalhos revisados.................................................... 103

Quadro 7: Relação de textos complementares................................................. 107

Quadro 8: Descrição de atividades de acordo com o modelo SAI................... 127

Quadro 9: Leis que proíbem a utilização de smartphones em sala de aula.... 134

Quadro 10: Atividades desenvolvidas no curso de nivelamento....................... 143

Quadro 11: Generalização do modelo de SD.................................................... 152

Quadro 12: Fase x Conteúdo da SD................................................................. 153

Quadro 13: Cronograma de atividades da SD.................................................. 155

Quadro 14: Codificação da identificação dos estudantes................................. 158

Quadro 15: Atividades desenvolvidas no experimento..................................... 159

Quadro 16: Principais características geométricas do tempo de Kukulcán

segundo alunos................................................................................................. 161

Quadro 17: Divisão de grupos da atividade individual 2.................................. 164

Quadro 18: Respostas por grupo a respeito de faces laterais triangulares...... 165

Quadro 19: Resposta do grupo “G5” para sólidos de faces laterais

triangulares........................................................................................................ 166

Quadro 20: Respostas dos grupos -vértice fora da base.................................. 166

Quadro 21: Resposta dos grupos sobre as cartas que possuem Pirâmides.... 167

Quadro 22: Identificação de Pirâmides (Grupo G4).......................................... 168

Quadro 23: Respostas dos alunos sobre a definição de Pirâmides.................. 171

Quadro 24: Observações dos alunos sobre Pirâmides retas e oblíquas........... 174

Quadro 25: Resumo dos aplicativos criados na SD.......................................... 177

Quadro 26: Possível construção de aplicativo para o cálculo do apótema....... 181

Quadro 27: Sequência de ações para a construção do aplicativo calculadora

de elementos da Pirâmide................................................................................. 186

Quadro 28: Ações de construção da tela lado x apótema................................ 187


Quadro 29: Resposta da aluna N13 à programação dos blocos...................... 188

Quadro 30: Construção do aplicativo para o cálculo de gasto do móbile

(Aluna A1).......................................................................................................... 192

Quadro 31: Possível construção de aplicativo para o cálculo da base............. 200

Quadro 32: Construção do “aplicativo-área da base” (Aluno H8)..................... 204

Quadro 33: Ações de construção da tela área da base.................................... 205

Quadro 34: Possível construção de aplicativo para o cálculo da face lateral... 208

Quadro 35: Construção do “aplicativo-área lateral” (Aluno H8)........................ 211

Quadro 36: Possível construção de aplicativo para o cálculo da área total...... 213

Quadro 37: Construção do “aplicativo-área total” (Aluno H8)........................... 216

Quadro 38: Construção do aplicativo para o cálculo de gasto da barraca

(Aluno F6)- Tela 1............................................................................................... 221

Quadro 39: Construção do aplicativo para o cálculo de gasto da barraca

(Aluno F6) -Tela 2............................................................................................... 222

Quadro 40: Construção do aplicativo para o cálculo de gasto da barraca (Aluno F6) - Tela 3..............................................................................................

224

Quadro 41: Socialização de resultados do aplicativo para a questão barracas 228

Quadro 42: Possível construção de aplicativo para o cálculo do volume......... 231

Quadro 43: Construção do aplicativo- volume da Pirâmide (Aluna C3)............ 233

Quadro 44: Ações de construção do aplicativo volume da Pirâmide................ 235

Quadro 45: Aplicativo Volume do iceberg (Aluna O14)..................................... 241

Quadro 46: Avaliação do curso de nivelamento (Críticas)................................ 249

Quadro 47: Avaliação do curso de nivelamento (Elogios)................................ 249

Quadro 48: Oferta de minicursos em eventos ................................................. 256


LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Abordagem inicial da aula pelo professor........................................... 114

Tabela 2: Prática do conteúdo proposta pelo professor..................................... 114

Tabela 3: Utilização do smartphone em sala de aula nas aulas de Matemática 117

Tabela 4: Tempo médio de utilização do smartphone fora de sala de aula....... 118


LISTA DE SIGLAS

CF Constituição Federal

CGI Comitê Gestor da Internet no Brasil

ENEM Exame Nacional do Ensino Médio

IDEB Índice de Desenvolvimento da Educação Básica

INEP Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira

LDB Lei de Diretrizes e Bases da Educação

MSM Médio Sertão Maranhense

PCN Parâmetros Curriculares Nacionais

SAEB Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica

SD Sequência Didática

URE Unidade Regional de Educação

URESJP Unidade Regional de Educação de São João dos Patos


SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ……………………………………………………………........... 21

1. 1. ESTUDOS PRELIMINARES ……………………………………………………. 32

1.1. Estudos sobre Pirâmides .……………..…………………………………… 33

1.1.1. Aspectos Históricos.………………………………………………….. 33

1.1.2. Aspectos Curriculares..……………………………………..………... 39

1.1.3. Aspectos Matemáticos ………………………………………............ 48

1.1.3.1 Elementos e definições……………………………………… 49

1.1.3.2 Classificação de Pirâmides…………………………………. 55

1.1.3.3 Seção transversal de uma Pirâmide……………………….. 56

1.1.3.4 Pirâmide Regular…………………………………………….. 56

1.1.3.5 Relações Notáveis entre os elementos da base de um

Pirâmide regular e elementos da circunferência inscrita ou

circunscrita……………………………………………………………..

56

1.1.3.6 Áreas da superfície de uma Pirâmide………………………. 65

1.1.3.7 Volume da Pirâmide………………………………………….. 68

1.1.3.8 Volume do tetraedro………………………………………….. 75

1.1.3.9 Volume de uma Pirâmide qualquer…………………………. 75

1.2. Revisão de estudos …………………………………………………………. 77

1.2.1 Dos objetivos dos trabalhos revisados……………………………… 102

1.3. Consulta a discentes………………………………………………………… 110

1.3.1 Perfil da amostra………………………………………………………. 111

1.3.2 Os discentes e as tecnologias……………………………………….. 115

1.3.3 Dificuldades dos discentes na aprendizagem de assuntos

relacionados a Pirâmides…………………………………………………… 119

2. REFERENCIAL TEÓRICO E METODOLOGIA…….…………………........... 123

2.1. A Teoria da Instrumentação ….…………………………………………… 123

2.2. Aspectos da Engenharia Didática …………………………..…………….. 129

2.3. As tecnologias digitais e o ensino de Matemática ………………………. 133

2.3.1. A ferramenta tecnológica utilizada………………..…………………. 138

2.3.2. Curso de Nivelamento…………………………………………........... 142

2.4. Sequência Didática ……………………………………..………………….. 151


3. EXPERIMENTO E ANÁLISE……………………………………………………. 157

CONSIDERAÇÕES FINAIS …………………………………………………….. 246

REFERÊNCIAS …………………………………………………………………... 257

APÊNDICES ………………………………………………………………........... 266

APÊNDICE A- Termo de consentimento do estudante............................. 266

APÊNDICE B- Termo de consentimento do professor.............................. 267

APÊNDICE C- Questionário do aluno....................................................... 268

APÊNDICE D- Questionário de afinidade com o conteúdo Pirâmides...... 270

APÊNDICE E- Relatório do curso de nivelamento.................................... 272

APÊNDICE F- Avaliação do curso de nivelamento................................... 274

APÊNDICE G- Tabulação de dados questionário aluno........................... 275

APÊNDICE H- Texto de atividade introdutória.......................................... 285

APÊNDICE I- Autorização de divulgação do nome da escola.................. 286

APÊNDICE J- Jogo Baralho Geométrico.................................................. 287

ANEXOS ....................................................................................................... 292

ANEXO A- Moldes Pirâmides................................................................... 292


INTRODUÇÃO

Em tempos de olhares voltados para resultados educacionais e para o

crescimento da implementação de sistemas de avaliações externas de larga escala

da educação básica no Brasil o docente precisa dedicar grandes esforços na busca

da ampliação do seu leque de habilidades para realizar de forma responsável as

múltiplas e complexas competências a ele atribuídas junto à modernização da escola.

Nesse contexto, um dilema bem conhecido é no que tange à utilização de tecnologias

no ensino; a qual, de um lado, o desafio é possibilitar ao estudante a utilização de

recursos tecnológicos e por outro lado, aliar tais recursos a um aprendizado

contextualizado e mais próximo da realidade do aluno.

A sociedade passa, atualmente, por uma revolução digital que permite a

utilização de tecnologias em atividades das mais variadas, e esta aplicação se

estende também à escola. O hábito de comunicação via carta perdeu espaço para o

uso de e-mails, para ambientes virtuais sociais e para aplicativos de envio de

mensagem; as tábuas de calcular cederam espaço para as modernas calculadoras e

softwares on e off-line. Dessa forma, não podemos negar a influência tecnológica no

ensino, e não podemos desconsiderar o fato de que as tecnologias desempenham um

papel fundamental no processo ensino-aprendizagem, principalmente, a partir do

desenvolvimento de softwares de visualização, cálculo e construção de figuras

geométricas, além do fato de reconhecer que os mesmos se tornaram ferramentas

potencialmente apropriadas para o ensino. De acordo com Borba et al,

a noção de experimentação com tecnologias pode inicialmente ser entendida como o uso de tecnologias informáticas no estudo de conceitos ou na exploração de problemas matemáticos. Contudo, existem especificidades com relação às formas de uso dessas tecnologias nessa perspectiva (BORBA et al, 2014, p.50-51).

Para os Parâmetros Curriculares Nacionais- PCN (BRASIL, 1999, p.42), “o

impacto da tecnologia na vida de cada indivíduo vai exigir competências que vão além

do simples lidar com as máquinas”. Para a Base Nacional Comum Curricular- BNCC

(BRASIL, 2017a) a competência é definida como a mobilização de conhecimentos

(conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais),

atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, o mesmo

documento cita 23 (vinte e três) vezes o termo “tecnologia digital” como recurso para


atingir as habilidades prescritas para as áreas do ensino médio, a exemplo, a

Matemática.

Na sala de aula, nem sempre a Matemática é encarada com o perfil

requerido nos documentos balizadores sob os olhares de professores e alunos, que

citam diversos fatores que contribuem para obstrução parcial ou total do sucesso de

ambos nos resultados esperados a nível de índices educacionais avaliados em larga

escala, e, sobretudo num olhar de formação integral do aluno como cidadão. Um

discurso recorrente de vários docentes que tiveram sua formação pelas décadas de

80 e 90 é que “não estudaram adequadamente Geometria por se encontrar nas

páginas finais do livro didático”.

A esse respeito, Almeida (2015) aponta outros motivos para a pouca

importância dada à Geometria no período supracitado, as quais considera tal ensino

“desastroso”, causado inicialmente pelo abandono da área a partir do Movimento da

Matemática Moderna e agravado pela implantação da Lei nº 5692/71 que tratava das

Diretrizes e Bases da Educação Nacional que promoveu a fusão dos antigos cursos

primários e ginasial em um único curso de 1º grau de 8 anos e um ensino de 2º grau

voltado para a profissionalização, o que permitiu ao professor estruturar seu programa

de ensino de acordo com as condições dos alunos, dessa forma, inegavelmente os

conteúdos de Geometria ficaram à margem de temas trabalhados no currículo.

Docentes e discentes apontam que diversas são as dificuldades que

influenciam o bom desempenho escolar, ambos concordam que a Matemática é uma

matéria que requer atenção especial em todo o processo de ensino e de

aprendizagem. De todo modo, não podemos viver sob a ótica de pretérito, deve-se

buscar alternativas para modificar o presente, afinal vivemos em uma sociedade

dinâmica que requer da escola o mesmo dinamismo sob pena de descrédito da sua

função social. Portanto a escola, o currículo e o ensino necessitam reinventarem-se e

consequentemente acompanhar as tendências sociais mais atuais.

Nesse sentido, o ensino de Matemática deve ser instrumento educacional

que desempenha um papel crítico e social capaz de integralizar o aprendizado de

forma que construa assim uma base de conhecimentos que permita ao aluno um

pensar amplo na resolução dos diversos problemas encontrados no seu cotidiano.

Sob essa perspectiva, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997, p.40),

apontam que “é preciso que o aluno perceba a Matemática como um sistema de

códigos e regras que a tornam uma linguagem de comunicação de ideias e permite


modelar a realidade e interpretá-la”, que abra e espaço para a busca de diversos

meios que podem ser utilizados para a exploração dos processos no ensino, donde a

informática se torna uma grande aliada, pois sujeito e objeto se aproximam ao serem

mediados pelo professor que faz uso do computador como instrumento (Penteado,

1999).

No âmbito geométrico, as Pirâmides se destacam por se tratarem de

sólidos poliédricos com contextualização e aplicabilidade em ramos de várias áreas,

como a arquitetura, além do contexto histórico guardião de mistérios milenares

principalmente no Egito, fato que exige o empenho do aluno para a compreensão de

suas propriedades e relações. Assim, pesquisadores como Kotzé (2007), Proença

(2008), Santos (2003) e Vasconcelos (2004, apud VIANA ,2015) mostram que alunos

do Ensino Fundamental, Médio e Superior apresentam dificuldades para resolver

questões relativas à formação de conceitos e ao desenvolvimento de habilidades

geométricas como um todo, assim, acredita-se que a mesma dificuldade ocorra com

o estudo de Pirâmides.

Salientamos que ao tratarmos aqui do termo “contextualização” nos

referimos a evitar o tratamento a questões matemáticas focadas em definições,

resoluções baseadas em algoritmos e objetivos específicos. Por conseguinte, embora

não pretendamos nos aprofundar teoricamente sobre o termo, corroboramos com Reis

e Nehring (2017) quando afirmam que a contextualização tem por finalidade maior

estabelecer sentidos e possibilitar a negociação de significados para a aprendizagem

dos conceitos, pois saber as definições não garante aprendizagem, porque tais

definições não fazem sentido em diferentes situações.

Atualmente, os softwares computacionais e aplicativos para smartphones

têm sido muito utilizados em diversos contextos da sociedade como ferramentas para

resolver situações do cotidiano e não diferente devem ser utilizados nas salas de aula,

como elemento de contextualização, facilitação da compreensão e do aprendizado.

Assim, o acesso e a utilização de computadores e smartphones ganham cada vez

mais importância nas escolas de educação básica no Brasil, uma vez que a assinatura

do Decreto Presidencial nº 6.300 de 12 de dezembro de 2007 dispõe sobre o

Programa Nacional de Tecnologia Educacional – Proinfo, torna possível a utilização

de computadores no ambiente escolar a partir da instalação de laboratórios de

informática, que oportuniza professores e alunos fazerem uso de recursos de


Matemática na área de Geometria, a exemplo, a utilização dos softwares GeoGebra,

Cabri Geométrie, Poly e Calques 3D.

Sob essa ótica, compreendemos os esforços empreendidos em programas

como o e-proinfo, que infelizmente padecem a mercê da subutilização pelos seus

usuários, provocados por fatores como a falta de habilidade , sobrecarga de trabalho

e má formação docente para o uso de tecnologias, além da indisponibilidade de

internet de boa qualidade, o que dificulta o planejamento adequado para o uso destas

ferramentas em sala de aula. Tais fatos se justificam pela necessidade da existência

de uma proposta que contemple o uso destes recursos, que revitalize, potencialize e

motive docentes e discentes a explorar tecnologias, pois ainda são poucos os

professores que as utilizam em sua prática pedagógica.

Ao mesmo tempo em que o uso de tecnologias já é uma realidade bem

frequente em algumas escolas do país (Brasil, 2017b), por outro lado, há pouca

utilização de softwares e aplicativos nas escolas da Região do Médio Sertão

Maranhense, realidade que ocorre esporadicamente a partir de iniciativas individuais

de poucos docentes, situação que segundo Penteado (1999, p. 298), “tem sido um

dos fatores que dificultam a consolidação do seu uso nas escolas, uma vez que o

professor é tido como um elemento fundamental nesse processo”.

Dados atuais apontam para uma realidade que proporcione a incorporação

de atividades com viés tecnológicos, de acordo com números do Comitê Gestor de

Internet no Brasil -CGI in Brasil (2017b), no ano de 2015, 83% das escolas públicas

da zona urbana no Brasil possuíam laboratórios de informática, descresceu para 81%

em 2016, no entanto, apenas 61% fazem uso destes em 2015, com decaimento para

59% em 2016.

O estudo indica ainda que os professores que utilizam tecnologias indicam

muitas percepções sobre seu uso em atividades pedagógicas, no qual 55% afirmam

que passaram a ter menos trabalho no planejamento e elaboração de materiais

didáticos; 67% disseram que houve favorecimento quanto às possibilidades de

estabelecer contato com professores e com especialistas de outras escolas; 85%

passou a adotar novos métodos de ensino; e; 94% passou a ter acesso a materiais

mais diversificados ou de melhor qualidade.

Do ponto de vista dos alunos, a pesquisa mostra que 85% fazem uso da

internet com frequência, que 77% dos entrevistados utilizam smartphone. Outro fato

a ser considerado é que no ano de 2016, 49% dos docentes afirmaram utilizar a


internet do smartphone em atividades com os alunos; 52% dos alunos utilizam o

smartphone para desenvolver atividades para a escola e 39% disseram já terem

utilizado o smartphone para atividades na escola. A realidade descrita no estudo, abre

espaço para muitas discussões e reflexões, que servirão para o enriquecimento deste

trabalho.

Diante do exposto, justificamos a escolha do tema Estudo das Pirâmides

com a construção de aplicativos no App Inventor II1, por acreditarmos que o processo

de construção de aplicativos atende a nossas expectativas quanto a introduzir noções

de relações entre elementos, cálculo de áreas e volumes de Pirâmides por meio de

atividades contextualizadas que motivem os estudantes e justifique a importância do

uso de tecnologias no ensino. O tema apresenta também uma lacuna em termos de

pesquisas, além de um enorme emaranhado de fórmulas que dificultam a

compreensão e aplicabilidade em questões nos moldes das avaliações em larga

escala.

Uma experiência vivida por este pesquisador, foi quanto à aplicação de um

teste como um dos instrumentos de coleta de dados em pesquisa proposta na

disciplina de currículo e avaliação no nosso curso de mestrado, realizada numa escola

da região do Médio Sertão Maranhense-MSM, quando sugerido a utilização de

calculadora para a resolução de questões propostas, vários relatos de alunos

direcionaram-se para a proibição que qualquer tecnologia dentro da sala de aula, fato

que diverge da realidade apontada no relatório nacional da CGI (BRASIL, 2017b).

Contrapondo-se a uma visão totalitária de modelo de ensino que expõe de

forma clara a predominância de aulas expositivas, Demo afirma que:

A velha aula vive ainda da quimera do ''fazer a cabeça do aluno'', via relação discursiva, decaída na exportação e na influência autoritária, sem perceber que isto, no fundo, sequer se diferencia do fenômeno da fofoca. A educação encontra no ensinar e aprender apenas apoios instrumentais, pois realiza-se de direito e de fato no aprender a aprender. Dentro desse contexto, caduca a diferença clássica entre professor e aluno, como se um apenas ensinasse, outro apenas aprendesse. Ambos colocam-se o mesmo desafio, ainda que em estágios diversos. A pedagogia da sala de aula vai esvaindo-se

irremediavelmente, porque está equivocada na raiz (DEMO,1995, p.130)

1 Plataforma livre para criação de aplicativos em código aberto, desenvolvida pela Google atualmente mantida pelo Massachussets institute of Technology- MIT.


Nesse contexto, cabe uma reflexão sobre o que, e como fazer para propor

intervenções que possam contribuir para o aprendizado, consequentemente elevar o

nível de proficiência em avaliações externas dos alunos considerados no universo da

pesquisa em estudo. Além das razões já explicitadas, fizemos a escolha pela região

do MSM como universo desta pesquisa pelo fato de, segundo o Núcleo de Tecnologia

Educacional da URESJP, 100% das escolas de ensino médio da rede estadual de

ensino possuírem laboratórios de informática e professores com formação adequada

na área.

O estado do Maranhão organiza sua rede a partir de uma subdivisão em

19 (dezenove) Unidades Regionais de Educação (URE´s), a qual a URE de São João

dos Patos- URESJP é composta por dezesseis municípios (Fig.1), estrutura que

jurisdiciona vinte e três escolas localizadas nas sedes dos municípios e mais quinze

anexos localizados nas zonas rurais, somam 10.153 alunos matriculados nas séries

do ensino médio, dados do último censo.

Figura 01- Localização territorial do MSM

Fonte: URE/SILVA (2015)

A preocupação quanto aos resultados obtidos em avaliações externas dos

últimos cinco anos nas escolas da região supracitada nos preocupou frente ao objeto

de pesquisa. Na condição de Diretor Regional de Educação, entre os anos de 2012 a

2015, sempre tive o cuidado de buscar alternativas de trabalho que pudessem

contribuir com a prática dos docentes, consequentemente com a melhoria da

aprendizagem em cada sala de aula sob nossa responsabilidade. Porém após

tabulados os dados coletados a partir dos resultados do Exame Nacional do Ensino

Médio- ENEM do ano de 2014, verificou-se que os mesmos revelaram os menores

níveis de desempenho educacional do estado, segundo o Instituto Nacional de

Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira - INEP, como referências as


médias: 417, 71 (2011), 431,97 (2012), 427,80 (2013) e 447,48 (2014), além de

colocação no último lugar no ranking das unidades URE`s, que por conseguinte possui

um dos menores desempenhos entre os estados brasileiros.

Ao acentuar a discussão sobre os indicadores, ressalta-se a média ENEM

complementada pelos simulados desenvolvidos pelo Programa de Avaliação em larga

escala do estado do Maranhão (Avalia Maranhão) da escola que serviu de amostra

para esta pesquisa, destacou seus últimos resultados, por meio do programa de

acompanhamento pedagógico da URESJP a partir do Quadro 1:

Quadro 1- Resumo de médias das avaliações externas da amostra

Ano Média ENEM

2011 462,27

2012 463,12

2013 453,63

2014 467,48

2015 451,89

2016 455,72*

2017 457,32*

Fonte: INEP2/URE*

Embora o Exame não reúna quantificadores e qualificadores suficientes

para uma análise mais completa sobre o aprendizado, vale ressaltar que o último

Índice de Educação Básica do Ensino Médio da Rede Estadual de Ensino do

Maranhão foi de 3,1 abaixo da meta para o estado que era de 3,3 e, da média do

país (3,5) (Gráfico 1) com reprovação de 18% no ano de 2015, o que indica a

necessidade de mudança na educação na região. Tal fato preocupou a Secretaria

Estadual de Ensino e a Supervisão de Avaliação do estado, e não diferente, nos

encheu de questionamentos, ao mesmo tempo em que abre-se espaço para dar

suporte ao ensino nos ambientes escolares.

Segundo a plataforma QEdu (2018), o IDEB de 3,4 obtido pelo ensino

médio da Rede Estadual de Ensino no Maranhão cresceu em 2017, mas não atingiu

a meta e não alcançou os 6,0 pontos, ao ter como desafio proporcionar aprendizado

adequado aos alunos da rede.

2 INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA (2016).


Gráfico 1- Evolução do IDEB – Maranhão

Fonte: qedu.org.br/Inep (2018)

Nesse sentido, torna-se necessária a busca pelo conhecimento de

métodos e atividades de ensino como um processo que toma forma no contexto

escolar e na rotina dos docentes pelo fato de não existir uma “fórmula mágica” que

garanta o sucesso do aprendizado. É consensual, porém desafiador, o

reconhecimento da necessidade de perspicácia de cada docente tentar encontrar

caminhos para melhorar sua prática, assim os próprios PCN (1997), sugerem a

utilização de recursos para se “fazer Matemática” na sala de aula, a citar: recurso

à resolução de problemas, recurso à história da Matemática, recurso aos jogos e

recurso às tecnologias da educação.

De acordo com nossa experiência docente, observações empíricas,

leituras e reflexões realizadas ao longo do curso de Mestrado Profissional em

Ensino de Matemática na Universidade do Estado do Pará, percebemos uma

lacuna a respeito de pesquisas referentes ao ensino de Pirâmides, situação essa

que nos estimulou a pesquisar sobre o assunto.

Pensamos que problemas que envolvem a relação de elementos, cálculo

de áreas, cálculo de volumes e resolução de problemas com Pirâmides, constituem

um obstáculo cognitivo ao aluno, e que os aplicativos construídos no App Inventor

II podem contribuir como opção para diminuir a “precariedade metodológica” do

ensino destes assuntos, além de dar um novo sentido à existência dos laboratórios

de informática nas escolas, ademais, acreditamos que o uso de um recurso

diferente do lápis, papel e borracha, pode permitir ao professor observar, por meio

da ação dos alunos, como e o que entendem de determinado conteúdo.


Nesse contexto, buscamos em nossa pesquisa responder as seguintes

questões:

• De que maneira os estudantes aprendem sobre Pirâmides a partir da

construção de aplicativos para tecnologias móveis no App Inventor II?

• Os alunos avançam nos conhecimentos a cerca de Pirâmides a partir de uma

sequência didática desenvolvida com o uso do App Inventor II?

Assim, empreendemos esse estudo, cujo objetivo foi observar como os

alunos do 3º ano do ensino médio desenvolvem potencialidades a partir de uma

sequência didática com o uso e construção de aplicativos para smartphones,

quando estudam Pirâmides.

Para o bom desenvolvimento da pesquisa e consignação de parâmetros

a partir do objetivo geral, estabelece-se especificamente:

• Elaborar um curso de nivelamento no App Inventor II para que os alunos

conheçam ferramentas e recursos da plataforma, necessários para realizar a

construção dos aplicativos.

• Identificar que ações os estudantes mobilizam na construção dos aplicativos e

por consequência aprendem sobre Pirâmides.

• Observar como esse ambiente de construção de aplicativos pode contribuir

para a aprendizagem de Pirâmides.

Escolhemos como metodologia de pesquisa os pressupostos da

Engenharia Didática de Artigue (1988) por meio das etapas (Diagrama 1): Análise

prévias; Concepção e Análise a priori; Experimentação e análise a posteriori; e;

Validação. Considera-se que essa última permite confirmar ou não as hipóteses a

partir do confronto entre as análises a priori e a posteriori.

Diagrama 1- Etapas da Engenharia Didática

Fonte: Autor (2018)


Para responder à questão proposta, buscamos aporte teórico na

abordagem Instrumental de Rabardel (1995), por acreditarmos que uma análise

poderá ser feita à luz dessa teoria que observe as ações e noções matemáticas

mobilizadas pelos alunos na construção dos aplicativos e na resolução de

situações-problema.

Para a caracterização da amostra faremos uso de uma coleta de dados

a partir de questionário que aborda a relação do aluno com o objeto de pesquisa

quanto às suas dificuldades de ensino e relações de aprendizagem. Na etapa

experimental, oferecemos, inicialmente, um curso de 30 horas aos sujeitos da

pesquisa como forma de nivelamento para a criação dos aplicativos matemáticos,

utilizamos atividades, fichas de observação e gravação em áudio e vídeo.

Apesar da plataforma disponibilizar a construção de aplicativos em

dispositivos móveis como smartphones e tablets, para este estudo nos limitaremos

apenas à nomenclatura do primeiro, por razões que apontam que

aproximadamente 98% da população em estudo possui o smartphone e menos de

10% possui tablet, segundo o questionário aplicado nesta pesquisa.

A pesquisa está organizada em três capítulos, a qual o primeiro

apresenta análises preliminares, donde trataremos da produção de informações

essenciais ao estudo. Este mesmo aborda “aspectos históricos”, “aspectos

curriculares” e “aspectos matemáticos”. Em seguida, apresenta uma revisão

sistemática de estudos, desenvolvida a partir do tema nos últimos cinco anos de

trabalhos científicos realizados no país, seguida da caracterização da amostra a

partir de consulta a discentes e a relação do objeto de pesquisa com a utilização

de tecnologias.

No segundo capítulo, serão tratadas as concepções e análises a priori,

pois a partir das informações preliminares, obtivemos subsídios necessários para o

detalhamento desta etapa, a qual apresentaremos nossas escolhas a partir dos

objetivos e hipóteses para o desenvolvimento prático do estudo, à luz da teoria da

abordagem Instrumental de Rabardel (1995), detalhamento da ferramenta

computacional escolhida para propormos a Sequência Didática- SD, que nos deu

suporte para a elaboração das sessões de ensino, além da metodologia da

pesquisa com a Engenharia Didática.


No capítulo seguinte, denominada Experimentação e Análise,

detalharemos toda a proposta para as sessões de ensino desenvolvidas com

sujeitos e lócus da pesquisa. Discorreremos sobre os registros, anotações, áudios

e vídeos, produzidos durante os encontros com os alunos, tratadas a partir do

confronto das informações adquiridas nas análises a priori e a posteriori.


1. ESTUDOS PRELIMINARES

Este capítulo tem como objetivo, apresentar resultados de um estudo de

Pirâmides em seus aspectos históricos, curriculares e matemáticos, além de uma

revisão de estudos sobre trabalhos mais recentes que envolvam o tema. Segundo

Artigue et al (1995),

Em uma pesquisa de engenharia didática, a fase de concepção baseia-se não apenas em um arcabouço teórico didático geral e no conhecimento didático previamente adquirido no campo de estudo, mas também em um certo número de análises preliminares. Os mais frequentes são: A análise epistemológica dos conteúdos contemplados no ensino; A análise do ensino tradicional e seus efeitos; A análise das concepções dos alunos, das dificuldades e obstáculos que determinam sua evolução; A análise do campo de restrições onde a efetiva realização didática será localizada;e ; é claro, tudo isso é feito levando em conta os objetivos específicos da investigação (ARTIGUE ET AL, 1995, p. 38).

Com isso, aprofundamos os fundamentos que balizaram os estudos e as

atividades utilizadas no nosso experimento, além de utilizar tais conteúdos para

elaborarmos nossas sessões de ensino.

Nos aspectos históricos, resgatamos fatos que serviram de base para

contextualizar questões propostas sobre o tema na SD. Os aspectos curriculares

trataram de identificar as habilidades e competências exigidas em avaliações externas

e também levadas em consideração nos objetivos das atividades propostas e os

aspectos matemáticos que deram suporte teórico e epistemológico ao objeto da

pesquisa. Buscamos também apontar a contribuição de vários autores, que têm se

dedicado nos últimos anos a estudos e pesquisas sobre o ensino de Pirâmides e

Tecnologias.

Por fim, apresentamos os resultados de uma pesquisa de campo no qual

fora realizado consulta a alunos do 3º ano do ensino médio de escolas do MSM. O

objetivo do estudo de campo foi de caracterizar a amostra e identificar elementos que

nos permita compreender de que maneira as Pirâmides são consideradas no contexto

educacional. Verificamos também a relação dos estudantes com o uso de tecnologias

móveis com destaque para os smartphones, como estratégia didática nas escolas

envolvidas no estudo.


Assim, toda a fundamentação teórica apresentada neste tópico teve um

papel importante para o planejamento, desenvolvimento e análise do estudo proposto

para este trabalho.

1.1 Estudos sobre Pirâmides

Nesta subseção, apresentaremos o resultado de leituras referentes aos

aspectos históricos, curriculares e matemáticos por compreendermos que sejam de

grande relevância para a construção da Sequência Didática.

1.1.1 Aspectos Históricos

Os aspectos históricos contribuem para a compreensão do ensino de

Pirâmides como uma construção da humanidade que emerge no currículo de maneira

interdisciplinar, uma vez que os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998)

destacam a importância da História da Matemática como um dos caminhos para “fazer

Matemática” na sala de aula.

Neste trabalho, a contextualização histórica é relevante no que tange à

compreensão de problemas ligados a fenômenos apresentados em questões

propostas por professores nas atividades em classe, bem como na resolução de

questões de avaliações externas, além do que consideramos a História da Matemática

como elemento de aproximação do conteúdo matemático ao “lado subjetivo” do ser

humano e da valorização pessoal de personagens e fatos que contribuíram para o

desenvolvimento do conhecimento disposto nas fontes de registro de conhecimento

ao longo dos séculos.

Acreditamos que vale a pena investir nesses aspectos históricos como

estratégia para contextualização de fatos que venham elucidar os motivos pelas quais

se apresentam problemas do passado da humanidade que persistem até hoje, ou que

sofreram algum tipo de mudança ao longo dos anos.

Para Chaquiam (2017),

[...] a história da matemática, combinada com outros recursos didáticos e metodológicos, pode contribuir para a melhoria do ensino e da aprendizagem da Matemática, emerge como uma possibilidade de buscar uma nova forma de ver e entender a Matemática, tornando-a mais contextualizada, mais


integrada com outras disciplinas, mais agradável, mais criativa e mais humanizada. (CHAQUIAM, 2017, p.14)

Historicamente, o surgimento do termo Pirâmide, bem como sua

importância e influência histórico-social reforça a compreensão mais ampla da

trajetória dos conceitos e métodos da Matemática sem necessariamente se tornar um

tema ou assunto específico, mas de forma a integrá-la com a pluralidade cultural, pois

apresenta, assim, as Pirâmides como elemento matemático proveniente de diferentes

origens e contextos, motivadas por problemas de ordem prática (religião, arquitetura)

e por problemas vinculados a outras ciências (Física, Astronomia), bem como por

problemas relacionados a investigações internas à própria Matemática.

Segundo a Enciclopédia Barsa Planeta (2012), o termo Pirâmide tem

origem do grego pyramis, que significa túmulo, acervo ou montão de objetos que se

assentam sobre uma base larga e terminam em ponta. Da Geometria, significa

poliedro, cuja base é um polígono qualquer e suas faces laterais são triângulos com

um vértice comum. Na arquitetura, história e arqueologia, a Pirâmide é conhecida

como uma estrutura apontada que geralmente apresenta-se na base quadrangular,

com superfícies lisas ou em degraus feitas de pedras ou tijolos, com função funerária

(Egito) ou religiosa (Pré-colombianas).

Não apenas nos fatores citados acima, as Pirâmides se encontram nos

contextos mais variados do dia-a-dia, em que seu introito, segundo o historiador grego

Heródoto (484- 425 a.C.) tem início no Egito antigo, de maneira que a cultura popular

teve um importante papel, tanto nas construções, com as fantasiosas especulações

de que foram construídas por visitantes do espaço, a partir da utilização de raios

antigravidade (MACGILVRAY in FAZIO, 2011, p. 42 ). Nessa perspectiva, têm-se

utilizado do termo “Pirâmide” em diversos contextos: nas tumbas para os faraós, nos

conhecimentos interdisciplinares, como a Pirâmide alimentar e financeira, na

Geometria molecular com a Pirâmide trigonal, nas fundações de prédios, na

engenharia e na arquitetura com o museu do Louvre, dentre outras.

A arquitetura é uma das áreas que possui contextualização mais rica em

detalhes sobre Pirâmides. Segundo MacGilvray in Fazio et al (2011), os primeiros

registros da construção de uma Pirâmide e também a primeira construção

monumental em pedra do Egito atribui-se a Imhotep, arquiteto da Terceira Dinastia

Egípcia, que projetou para o faraó Djoser (2.630 - 2.611 a.C.) um complexo funerário

em Saqqara, no subúrbio de Mênfis. A planta baixa do complexo possui a forma de


um retângulo de 14 hectares, em que a Pirâmide escalonada de Djoser possui base

de 121x109 metros e seu exterior revestido em arenito, construído com estrutura para

durar a “eternidade”. A Figura 2 retrata um pouco a estrutura e construção da

edificação piramidal de Djoser:

Figura 2- Estrutura arquitetônica da Pirâmide de Djoser

Fonte: MACGILVRAY In FAZIO et al (2011, p. 43)

A estrutura disposta no complexo de Djoser, era o emblema do deus-sol

adorado em Heliópolis, com significados próprios, possui “inicialmente uma forma

escalonada e verticalizada como o zigurate3, cujo pico recebia os primeiros raios de

luz da manhã” (MACGILVRAY In FAZIO et al, 2011, p. 43). Acrescenta-se a tais

informações que a forma da Pirâmide de Djoser também faz referência ao ciclo do

renascimento anual da natureza, uma vez que quando as águas dos rios baixavam,

as primeiras vegetações apareciam em pequenos outeiros, capaz de lembrar a forma

do templo.

3 É uma forma de templo, criada pelos sumérios e comum para os babilônios e assírios, pertinente à época do antigo vale da Mesopotâmia e construído na forma de Pirâmides terraplanadas. (https://pt.wikipedia.org/wiki/Zigurate)

https://pt.wikipedia.org/wiki/Zigurate

https://pt.wikipedia.org/wiki/Zigurate


Após o complexo de Saqqara, outras Pirâmides foram construídas e

modificadas por Sneferu (2.575 – 2.551 a.C.), um dos primeiros faraós da Quarta

Dinastia. Segundo MacGilvray In Fazio et al (2011), a Pirâmide de Huni (último faraó

da terceira dinastia), localizada em Meidum a cerca de 80 km de Mênfis, fora

modificada por Sneferu com acréscimo de camadas- uma técnica de arquitetura da

época- e tinha previsão de possuir 92m de altura caso tivesse sido concluída, pois,

teve algumas de suas partes superiores danificadas e sofreu rupturas, o que mais

tarde lhe rendeu o apelido de Pirâmide “cebola”.

O colapso de Meidum, afetou outra Pirâmide de Sneferu, localizada em

Dahshur, 45 km ao sul de Mênfis, o que ocasionou modificações que mais tarde lhe

renderia o apelido de Pirâmide “torta”. Nesse contexto, outro templo veio a ser

construído com 104,8 m acima do solo e base quadrada de 220m de lado que ficou

conhecida pelo nome de Pirâmide Norte ou “vermelha”, devido a oxidação do calcário

branco usado em seu núcleo.

Três dessas grandes construções marcaram a História, pelo seu valor

simbólico, importância arqueológica e Matemática. Os descendentes de Sneferu:

Khufu, Khafre e Menkauré (ou Quéops, Quéfren e Miquerino, tradução para o grego),

herdaram o conhecido termo “Pirâmides de Gizé” (2.550- 2.460 a.C.) e o título de

faraós da Quarta Dinastia. De acordo com muitos historiadores, nenhuma sociedade

no mundo deu tanta importância para garantir a vida após a morte como o povo

egípcio. Sob esta óptica, os estudos e debates tem sido em torno de teorias que vão

desde padrões do corpo humano e previsões apocalípticas do fim do mundo até as

mais convencionais como as tumbas para os faraós, figuras mais ilustres da época.

As dimensões da Pirâmide de Quéops (Fig. 3) são as que chamam mais

atenção e despertam a maioria dos estudos. Com base quadrada de lado igual a

230,1m ocupa 52.600m2, laterais que se elevam a um ângulo de 51º 50` 40``, atinge

a altura de 146,6 metros e é quase toda construída em calcário, responsável pela

maioria dos estudos ao longo dos 4.500 anos de sua existência (Ibid., 2011).

Muitas inscrições em notações hieroglíficas foram encontradas em tumbas

e monumentos egípcios, que, segundo Boyer (1996), podiam ser lidos, mas, como se

tratavam de documentos cerimoniais não representam as melhores fontes de

informação quanto às ideias Matemáticas, porém deixam claro que os egípcios além

de dominar as técnicas de arquitetura, sabiam contar e medir precisamente, pois as

Pirâmides exibem alto grau de precisão na construção e orientação, demonstra


também que a astronomia era o ponto forte no conhecimento egípcio, principalmente

pelos conhecimentos sobre a inundação anual do rio Nilo que muito contribuíram para

a sistematização de conhecimentos adquiridos e conhecidos até hoje.

Figura 3- Pirâmide de Quéops (Khufu)

Fonte: www.lmc.ep.usp.br

Do ponto de vista da arquitetura mundial, os anos que se seguiram após as

Pirâmides de Gizé tiveram muitos avanços e transformações positivas de maneira que

o templo mortuário de Mentuhotep II no Reino Médio (2.040-1.640 a.C.); o templo da

Rainha-Faraó Hatshepsut (1.473- 1.458 a.C) no Novo Reino; os portões de Pilones

do templo de Eduf (237-57 a.C.), Pirâmide do Mausoleum de Qui Shihuang (246-208

a.C.) na província de Shaanxi na China, Pirâmide do Céstio (18-12 a.C) localizada em

Roma, Pirâmide do Sol (II d.C) em Teotihuacan- México, Pirâmide de El Catillo (XII

d.C) em Yucatán-México, tiveram características que marcaram a arquitetura mundial

e influenciam até os dias atuais.

Muitos estudos se acentuaram acerca dos aspectos arquitetônicos,

artísticos e históricos, aqui direcionados para a arquitetura, sem ter como objetivo

principal esta área de conhecimento, mas em buscar uma contextualização e

aplicação em outras áreas afins à Matemática e nas questões aplicadas ao Ensino do

sólido. Como exemplo desta influência, obras mais recentes podem ser citadas:

Transamérica Pyramid em San Francisco (1972), a Pirâmide de Karlshure em

Karlshure na Alemanha (1825), o Museu do Louvre em Paris (1989), Figura 4, a


Pyramid Arena em Memphis (Tennessee- EUA, 1991), o Luxor Hotel em Las Vegas

(1993), e Hotel Ryugyong, de 105 andares em Pyongyang- Coreia do Norte (2011).

Figura 4- Museu do Louvre (1989)

Fonte: www.veja.com.br

No recorte histórico apresentado, expõe-se o quão relacionado com o

cotidiano o objeto desta pesquisa é e foi ao longo dos séculos. Nesse contexto, as

Pirâmides oferecem a possibilidade de estudo dos fatores históricos, abre-se espaço

para o estudo da sua forma como um modelo matemático.

Conhecer um pouco da história das Pirâmides oportuniza aprender

caminhos lógicos para a construção do pensamento crítico e perceber as suas

influências para o mundo moderno. Uma abordagem que envolva a História da

Matemática contribui como suporte na elaboração de questões associadas ao tema,

contribui para a redução das possibilidades de uma aula tornar-se meramente

expositiva e unidirecional, no qual o momento de aprendizagem possua conexão mais

próxima com a realidade, o que permitiu o desenvolvimento de habilidades que

permitam análises mais abrangentes sobre o conteúdo estudado a partir de diálogos,

debates, pesquisas bibliográficas, além do que há importância no potencial

explicativo, que permite ao aluno conhecer e desenvolver sentidos estéticos e éticos

em relação a fatos e questões do mundo.

Segundo os PCN+,

A abordagem tradicional, que se restringe à métrica do cálculo de áreas e volumes de alguns sólidos, não é suficiente para explicar a estrutura de moléculas e cristais em forma de cubos e outros sólidos, nem tampouco justifica a predominância de paralelepípedos e retângulos nas construções arquitetônicas ou a predileção dos artistas pelas linhas paralelas e perpendiculares nas pinturas e esculturas. Ensinar Geometria no ensino médio deve possibilitar que essas questões aflorem e possam ser discutidas e analisadas pelos alunos. (PCN+, 2002, p.119)


Aprender Geometria não implica especificamente efetuar cálculos sobre

medidas, áreas e volumes, mas envolve um discussão densa e reflexiva capaz de

envolver elementos de naturezas diversas como a história, a aplicação e a

contextualização com a natureza.

Optamos por dedicar uma seção deste trabalho à História das Pirâmides

por acreditar que na abordagem de um conteúdo matemático a partir de

contextualização histórica pode dar sentido mais amplo, social e cultural à

necessidade de se resolver problemas e aguçar os aspectos atitudinais e

motivacionais do estudante, além de tornar a aula mais dinâmica e interessante do

ponto de vista crítico, assim, várias questões da SD proposta por esse trabalho

seguirão a linha da contextualização via fatores históricos da Pirâmides em

consonância com as questões propostas no ENEM.

1.1.2 Aspectos Curriculares

Nos documentos oficiais, o ensino de Pirâmides na educação básica

escolar no Brasil, está inserida no eixo espaço e forma (Geometria), organização esta

que se consolidou após várias reformas curriculares. Ao partir do pressuposto de que

passagens históricas contribuíram essencialmente para a compreensão do papel da

escola sobre a nossa sociedade e que, com o fim da ditadura militar em 1985, vários

documentos oficiais foram discutidos, elaborados e implementados ao longo dos anos.

No bojo das literaturas prescritas, surge a necessidade de planejar e avaliar

o ensino e as políticas públicas voltadas para a educação. Mesmo que o interesse

pela avaliação sistêmica, na organização do setor nacional já se manifestasse nos

anos 30, foi a partir dos anos 90 que consolidou-se o Sistema Nacional de Avaliação

de Educação Básica- SAEB, o qual desencadeou muitas outras ações capazes de

instituir metas e acompanhamento de escolas e redes de ensino, destas podemos

citar abaixo:

• Sistema Nacional de Avaliação de Educação Básica (SAEB) em

1990- Após a Conferência Mundial de Educação (1990) vários

estados e município brasileiros tiveram a iniciativa de implantar

avaliações próprias, no entanto, após o SAEP (Sistema de

Avaliação das Escolas Públicas), consolidou-se o SAEB que realiza

avaliações a cada 2 anos.


• O Exame Nacional do Ensino Médio -ENEM (1998) tornou-se

parte do sistema nacional de avaliação educacional composto

também pelo SAEB e ENADE, proporciona parâmetros de

qualidade para políticas públicas nacionais. Considera

competências e habilidades como parâmetros avaliativos.

• A Prova Brasil (2005) - Instituída a partir de competências e

habilidades para o ensino fundamental, ficou conhecida pelo termo

por sua abrangência universal em atendimento às 4ª e 8ª séries (5º

e 9º ano), e servir como parâmetro para o cálculo do IDEB (Com a

criação do PDE) por sala de aula, escola, municípios e estado. Tal

sistemática foi consolidada após as redefinições de competências

do INEP para atender ao artigo 9º, inciso V da LDB em 1997:

“coletar, analisar e disseminar informações sobre a educação”

(BRASIL, 1996).

Antes da reforma de Francisco Campos, a Geometria era concebida

especificamente como uma disciplina, ou seja, os conhecimentos geométricos fizeram

parte do currículo brasileiro desde as organizações curriculares iniciais, mais tarde

realocados na disciplina Matemática. Com a última LDB (1996), a Matemática tornou-

se disciplina obrigatória e o currículo foi tratado em linhas gerais, já nas orientações

curriculares para o ensino médio, a disciplina é subdividida em eixos a partir de

conteúdos básicos assim organizados: números e operações; funções; Geometria;

Análise de dados e probabilidade, observa-se, que embora estejam subdivididos em

blocos de conteúdo, orienta-se que não sejam trabalhados de forma estanque.

Segundo as DCNEM,

o estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano, como, por exemplo, orientar-se no espaço, ler mapas, estimar e comparar distâncias percorridas, reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, saber

usar diferentes unidades de medida. (BRASIL, 1997, p. 77)

Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 1997),

apresentaram uma proposta no que se refere a competências indicadas para a Base

Nacional Curricular Comum prevista na LDB (1996), descreve inclusive habilidades

básicas para o ensino e aprendizagem de Matemática do ensino médio e das


tecnologias, a ela relacionada (BRASIL, 1997). Por outro lado, propõe uma leitura

generalista sobre Geometria, pauta-se na compreensão e ampliação da percepção de

espaço e construção de modelos para interpretar questões da Matemática e de outras

áreas do conhecimento.

Atenta para as relações entre as representações planas nos desenhos,

mapas e na tela do computador com os objetos que lhes deram origem, orienta o

desenvolvimento de novas formas planas ou espaciais e suas propriedades a partir

dessas representações, essenciais para a leitura do mundo mediante os olhos das

outras ciências. O documento, enfatiza ainda a possibilidade de fazer-se uso de

programas de softwares de Geometria Dinâmica como facilitadores da aprendizagem

em construções, calculadoras, modelações e relações geométricas possibilita o

desenvolvimento de atividades interdisciplinares.

Sem pretensão normativa e com objetivo de facilitar a organização do

ensino no âmbito escolar, os PCN + (BRASIL, 2002) surgem como orientações

educacionais complementares aos PCN, apresenta a Matemática em conjunto com

as ciências na natureza, além das competências gerais, temas estruturadores,

organização do trabalho escolar e estratégias para a ação frente ao ensino de

Matemática. No documento, a articulação com as demais disciplinas é um ponto de

extrema relevância, apresenta, assim como competência frente à investigação e

compreensão como estratégias para o enfrentamento de situações problemas,

especificamente à Geometria:

Compreender a Matemática como ciência autônoma que investiga relações, formas e eventos e desenvolve maneiras próprias de descrever e interpretar o mundo. A forma lógica dedutiva que a Geometria utiliza para interpretar as formas geométricas e deduzir propriedades dessas formas é um exemplo de como a Matemática lê e interpreta o mundo à nossa volta. (PCN+, 2002, p.114)

Geometria e medidas são temas que possibilitam o desenvolvimento de

competências pretendidas com relevância científica, cultural e articulação lógica. O

fato de estar presente em formas naturais e construídas, faz da Geometria um tema

de extrema relevância e possibilidades de abordagens de ensino. No ensino médio,

abordar formas planas e tridimensionais, sua representação em desenhos,

planificações, modelos e objetos encontrados no mundo concreto, torna o cálculo de

áreas, volumes, propriedades estruturais e métricas apenas parte do trabalho a ser


desenvolvido no ensino. Os PCN +, afirmam que para desenvolver o raciocínio

geométrico de forma mais completa,

a escola deve contemplar o estudo de propriedades de posições relativas de objetos geométricos; relações entre figuras espaciais e planas em sólidos geométricos com diferentes características; propriedades de congruência e semelhança de figuras planas e espaciais; análise de diferentes representações das figuras planas e espaciais, tais como desenho, planificações e construções com instrumentos de medida e construção. (BRASIL, 2002, p. 120)

A partir da afirmação acima, acredita-se que para o planejamento escolar

são tomados os devidos cuidados com o intuito de assegurar o ensino baseado em

tais características, considera o ato de “fazer contas” um mero executor do processo

de aprendizagem.

No Brasil, existem muitos olhares sobre o processo avaliativo no ensino de

Matemática, com propostas de mudanças de práticas avaliativas cada vez mais

reflexivas, que objetivam garantir a qualidade do ensino e da aprendizagem, contudo,

a prática dessas tendências precisam ser coesas e exequíveis de forma que possam

contribuir com processos avaliativos internos e externos à escola, o que não ocorre

segundo as estatísticas do ensino brasileiro, pois de acordo com dados do Sistema

de Avaliação da Educação Básica-SAEB disponíveis no site www.qedu.org , apontam

que em 2013, o índice dos alunos que aprenderam o básico em Matemática caiu para

11% no que tange a alunos do 9º ano, em seguida, recompondo-se para 14% em

2015 (LEEMAN, 2018).

O modelo de avaliação em larga escala do SAEB, as matrizes do ENEM, o

Projeto Político Pedagógico da escola, aliados à falta de qualificação docente em lidar

com as questões de ordem pedagógica, priorizam na maioria das vezes um ensino

meramente conteudista, sem considerar as particularidades discentes no tocante ao

domínio tecnológico, que faz parte da vida do aluno, o que gerou muitas divergências

e dúvidas na formação do jovem. Destaca-se ainda que desde o movimento da

Matemática Moderna, diversos estudos nacionais e internacionais apontam para a

resolução de problemas como foco principal para o desenvolvimento da

aprendizagem, uma vez que a problematização de situações aproxima o aluno de

situações reais do cotidiano.

Na prática, o que acorre com maior frequência é, segundo Pavanello e

Nogueira (2006), que a avaliação em Matemática na educação tem se centrado nos

http://www.qedu.org/

http://www.qedu.org/


conhecimentos específicos e na contagem de erros, torna-se uma avaliação

meramente somativa que não só seleciona os estudantes, mas os compara entre si e

atribui-os um agrupamento com parâmetro atribuído às notas por eles obtidos. Para

que exista um caráter mais subjetivo, entende-se que deverá existir uma avaliação

mais informativa, a qual a classificação por notas não seja o único parâmetro a ser

considerado, nem fator determinante a ser seguido como indicador da aprendizagem.

Segundo Dante (1999), a avaliação deve ser vista como um diagnóstico

contínuo e dinâmico e cita a observação e registro, provas, testes, trabalhos,

entrevistas e conversas informais, autoavaliação e fichas avaliativas como

instrumentos avaliativos, acrescenta que os mesmos não podem ser utilizados como

sanção, punição ou apenas para ajuizar valores.

Buriasco (2004, apud Pavanello e Nogueira 2006) lembra que mesmo que

a avaliação seja feita de forma tradicional, baseada na resolução de exercícios, é

possível ir para além da resposta final, considera características apresentadas pelo

aluno que as responde como: capacidade de comunicação, o modo como interpretou,

suas atitudes frente aos questionamentos, e o conhecimento matemático absolvido

na aula. Dessa forma, o professor potencializará a sua análise.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) recomendam que o

ensino de Matemática deve priorizar o ensino por competências e habilidades voltadas

para comunicação, investigação, formulação e resolução de problemas, tomadas de

decisões, interpretação da própria realidade, aperfeiçoamento de conhecimentos e

valores e a trabalhar cooperativamente, de forma contextualizada, na prática, tais

metodologias não são utilizadas.

De acordo com as devolutivas pedagógicas das avaliações de larga escala

do Ministério da Educação, que dispõe da fundamentação teórica e metodológica,

afirma que, segundo Perrenoud (2013, apud BRASIL, 2015),

o processo educativo esteve durante muito tempo conectado a modelos que preconizam o conhecimento como algo que os detentores doam aos não detentores, fazendo do professor um mero doador de informações pré-definidas a seus alunos. A abordagem da pedagogia por competências surgiu no final do século XX como alternativa para tentar resolver esse problema. O cerne dessa abordagem reside na mudança da relação da escola com o saber, rompendo a lógica extensiva, enciclopedista e inerte da relação com o saber em favor de uma lógica integradora, mobilizadora e atuante da relação

dos cidadãos com esse mesmo saber. (PERRENOUD 2013 apud BRASIL,

2015, p.5)


Dessa forma, o estereótipo do “antigo” professor conteudista, detentor do

saber e protagonista do ensino passa a dar lugar ao professor orientador, mobilizador

do conhecimento e dá ao aluno o caráter de responsável pelo seu desenvolvimento.

A Organização para o Comércio e Desenvolvimento Econômico (OCDE) em 2003 por

Richen & Salganick (2003, apud BRASIL, 2015, p. 6), liderou estudos que definiu

competência como “a capacidade de colocar em ação um conjunto organizado de

saberes (conhecimentos), de saber fazer (habilidades) e de atitudes que permitam a

realização de certo número de tarefas complexas”.

No mesmo documento definiu habilidade como a ação de saber fazer algo

pontualmente de maneira mais específica, enquanto a competência é o saber fazer

algo complexo que demande do aluno o uso harmônico de várias habilidades. Assim,

o ENEM é organizado pelo INEP numa matriz que elenca descritores baseados em

habilidades e competências, e considera que cada competência é relevante para a

vida do estudante e associa-se a um grande número de tarefas que ele deve saber

realizar.

O documento cita alguns tipos de conhecimento, dos quais o geométrico

requer que o aluno identifique características das figuras geométricas planas e

espaciais; grandezas, reconheça unidades de medida e escalas; calcule

comprimentos, áreas e volumes; e utilize ângulos; posições de retas; simetrias de

figuras planas ou espaciais; congruência e semelhança de triângulos; teorema de

Tales; relações métricas nos triângulos; circunferências; trigonometria do ângulo

agudo para resolver problemas.

Para a Matriz de elaboração das provas do ENEM, o ensino de Pirâmides

está ancorado na competência de área 2 que prevê a utilização do conhecimento

geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela,

destaca para tal competência as habilidades 6, 7, 8 e 9, assim descritas:

H6- interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço

tridimensional e sua representação no espaço bidimensional;

H7- Identificar características de figuras planas ou espaciais;

H8- Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de

espaço e forma; e;

H9- Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de

argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.


A resolução de problemas não deve ser entendida apenas como meio de

resolver questões voltada ao tradicional método repetitivo e algoritimizado, pois

segundo Polya (1995, p.15) para se resolver um problema, precisa-se compreendê-

lo, estabelecer um plano faz relação com as informações dadas e as que se pretende

descobrir, executar o plano e em seguida examinar a solução obtida, além de

considerar o nível de conhecimento geométrico do aluno.

Já o SAEB (BRASIL, 2008), aponta descritores que norteiam os itens das

provas aplicadas. Mais específico, o documento enquadra as Pirâmides nos tópicos:

D2 – Reconhecer aplicações das relações métricas do triângulo retângulo em um

problema que envolva figuras planas ou espaciais;

D3 – Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações

ou vistas;

D4 – Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de

poliedros expressa em um problema; e;

D13- Resolver problema que envolvam a área total e/ou o volume de um sólido

(prisma, Pirâmide, cilindro, cone, esfera).

No ENEM, as provas de Matemática e suas Tecnologias são aplicadas no

segundo dia de exame, em quatro tipos de cadernos que se distinguem pelas cores:

amarela, azul, cinza e rosa. No entanto, as provas possuem as mesmas questões,

que se revezam apenas em aspectos de ordem numérica. O item abaixo, é a questão

170, que foi retirada do caderno 5 (prova amarela), página 27, do ano de 2009. Todos

os cadernos do exame encontram-se disponíveis no site do INEP, além de estudos,

pesquisas e avaliações periódicas sobre o sistema educacional brasileiro.

Figura 5: Questão ENEM (2009) - Pirâmide

Fonte: INEP (2009)


A questão disposta na Figura 5 traz um item, presente nos moldes do

ENEM e expõe características de contextualização e dados implícitos que requerem

do estudante um olhar mais crítico sobre o problema. Ao aplica-la, pudemos identificar

a habilidade “H8” que espera que a resolução de uma situação-problema que envolva

conhecimentos geométricos de espaço e forma de uma maneira ampla e

contextualizada. Por outro lado, apresenta exatamente o que é pedido no descritor

“D13”, ao solicitar, de maneira implícita, que o estudante calcule o volume de uma

parte da “vela”.

Para a resolução do item, percebe-se que embora, o enunciado cite o termo

“tronco”, sua definição não é determinante para encontrar a resposta esperada, uma

vez que ao identificar os elementos dados (altura e arestas) e considerar as seções e

espaçamentos, basta calcular o volume da Pirâmide maior, o volume da Pirâmide

menor e subtrair os dois volumes, encontra, assim, o resultado esperado, que é de

189 cm3, portanto possui a letra “b” como resposta.

Aplicado o Item acima numa turma com 39 alunos de 3º do ensino médio

de uma escola pública da região do MSM, obteve-se os seguintes resultados:

Quadro 2: Resultados da aplicação de questão ENEM Percentual de respostas às alternativas

a b c d e

5,1% 20,5% 7,8% 23% 43,6%

Fonte: Autor (2018)

Os dados nos mostram que apenas 20,5% (8 alunos) responderam

corretamente o item (letra b). Com a alternativa “e” a mais marcada, motivo pelo qual,

acreditamos que os alunos a escolheram por calcularem a área da base e

multiplicaram pela altura, deveriam subtrair os centímetros dos espaços, ao deixar de

lado a subtração da Pirâmide menor.

Como vimos, o ensino de Matemática, especificamente da Geometria é

fruto de histórica discussão e mudanças curriculares, que perpassa por reformas até

chegarem a atual BNCC (2017), porém o ensino por competências com foco na

resolução de problemas é consenso na literatura atual e fruto de ampla dinâmica

histórica. Dessa forma, descritores, habilidades e competências devem ser levados

em consideração como base para o planejamento, execução e avaliação do ensino

de Matemática. Além dos desafios apontados desde o início desta pesquisa, o


docente deverá estar atento, ainda, a outras questões relativas ao ensino que citam o

letramento matemático, a evolução das práticas de ensino, a formação continuada de

professores, a colaboração dos diferentes atores no processo, a organização da

complementaridade entre educação formal e não formal, o desafio tecnológico, da

diversidade e da pesquisa, como implicadores que impactam sobre as questões da

aprendizagem, abrem espaço para o prosseguimento de pesquisas posteriores.

Para a BNCC, o ensino de Pirâmides não é tratado de forma específica, no

entanto, o ensino de Geometria é lembrado nas competências específicas de

Matemática e suas tecnologias para o ensino médio:

Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos, em seus campos – Aritmética, Álgebra, Grandezas e Medidas, Geometria, Probabilidade e Estatística – para interpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos contextos, analisando a plausibilidade dos resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a construir argumentação consistente. (BRASIL, 2017a, p. 523)

A competência descrita acima é abrangente. No entanto, recortes mais

específicos são apresentados nas habilidades, o que garante alguns direitos de

aprendizagem dos alunos:

- (EM13MAT306) Resolver e elaborar problemas em contextos que envolvem fenômenos periódicos reais, como ondas sonoras, ciclos menstruais, movimentos cíclicos, entre outros, e comparar suas representações com as funções seno e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem apoio de aplicativos de álgebra e Geometria. - (EM13MAT309) Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos (cilindro e cone) em situações reais, como o cálculo do gasto de material para forrações ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados. - (EM13MAT504) Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras. (BRASIL, 2017, p.533)

A BNCC é o mais novo documento de referência curricular para a educação

básica no Brasil e encontra-se em fase de implementação, as quais as redes de ensino

terão dois anos para reorganizar seus currículos e literaturas. Dessa forma, livros

didáticos, Projetos Políticos Pedagógicos das Escolas e até grades curriculares

sofrerão mudanças, de forma a organizarem-se com as novas orientações.

A utilização de tecnologias digitais e a menção da utilização de softwares e

softwares dinâmicos são constantemente lembrados nos direitos de aprendizagem, o


no que sugere-se a utilização destes em experimentos e a possibilidades de

aprofundar a participação ativa dos estudantes no processo de resolução de

problemas. Dos PCN (BRASIL,1998) à BNCC (BRASIL, 2017b), torna-se um

consenso que o ensino de Pirâmides cabe ser trabalhado quando incluído o ensino

de Geometria, pois não verifica-se habilidade específica para o nosso objeto de

estudo. No entanto, o mesmo deve ser desenvolvido como parte do currículo, muito

embora haja a determinação de descritores por meio das prescrições curriculares

atuais, ressalta-se a aplicabilidade das Pirâmides em vários aspectos que não podem

ser avaliados por meio de questões objetivas, semelhantes aos das propostas nos

exames e avaliações externas, pois de acordo com Brasil,

as matrizes de Referência de Matemática, diferentemente do que se espera em um currículo, não trazem orientações ou sugestões de como trabalhar em sala de aula. Além disso, não mencionam certas habilidades e competências que, embora sejam importantes, não podem ser medidas por meio de uma prova escrita. Em outras palavras, as Matrizes de Referência de Matemática do SAEB e Prova Brasil não avaliam todos os conteúdos que devem ser trabalhados pela escola no decorrer dos períodos avaliados. Sob esse aspecto, parece também ser evidente que o desempenho dos alunos em uma prova com questões de múltipla escolha não fornece ao professor indicações de todas as habilidades e competências desenvolvidas nas aulas de matemática. (BRASIL, 2008, p. 77)

Nesse contexto, cabe a busca de alternativas que contribuam

metodologicamente para o ensino e para uma aprendizagem contínua capaz de

agregar conhecimento aos resultados de avaliações externas e ao mesmo tempo

aprendizagens necessárias para a formação de um cidadão crítico e participativo.

Compreendemos a importância dos aspectos históricos, matemáticos e

curriculares que envolvem o ensino de Pirâmides. No entanto, precisamos analisar os

estudos mais recentes acerca do tema, dessa forma, prosseguimos com as análises

preliminares, propondo a seguir, uma revisão de estudos sobre os aspectos

matemáticos.

1.1.3 Aspectos Matemáticos

O estudo de Pirâmides pouco tem sido objeto de pesquisas científicas e

não possui destaque no currículo brasileiro. No entanto, é abordado na maioria dos

livros didáticos de Matemática do ensino médio no eixo da Geometria, considerada a


algumas décadas no Brasil apenas como conteúdo racional, centrado em definições

e demonstrações, fato que dificulta a aprendizagem.

Sabe-se que a Geometria, segundo o dicionário Aurélio é

a ciência que investiga as formas e dimensões dos seres matemáticos ou ramo da matemática que estuda as formas plana e espacial com as suas propriedades, ou ainda, ramo da matemática que estuda a extensão e as propriedades das figuras e dos sólidos (Ferreira, 1999, p. 983)

Atualmente, estudar Geometria vai além das definições, uma vez que

estudos norteiam a pesquisa sobre Geometria no Brasil (Sena e Dorneles, 2013),

valorizaram a contextualização (Reis e Nehring, 2017), a resolução de problemas

(Polya,1995), a experimentação por meio de materiais manipuláveis (Kallef, 2007), a

utilização de softwares (Salazar, 2009) e que tratam do estudo de Geometria Dinâmica

(Almeida, 2015), ao mesmo tempo em que a Geometria encontra-se presente nas

formas naturais e construídas, é essencial à descrição, à representação, à medida e

ao dimensionamento de uma infinidade de objetos e espaços na vida diária e nos

sistemas produtivos e de serviços, seja ela plana, espacial, métrica ou analítica

(PCN+, 2002).

A Geometria é parte fundamental da matemática para o âmbito teórico,

curricular e do cotidiano. Segundo PCN (2002) o ensino de Geometria não se trata de

focar prioritariamente demonstrações ou memorização de postulados, mas de

proporcionar a validação de relações matemática a partir de deduções lógicas, além

de permitir ao aluno fazer relações dentro e fora da matemática, de maneira que os

temas devem garantir articulações entre diferentes ideias e conceitos a fim de garantir

significação para sua aprendizagem.

Por outro lado, ao delimitar o tema para o Ensino de Pirâmides, requer-se

a consideração de características importantes que contribuam na comunicação

adequada de definições e termos próprios para posteriormente fazer uso adequado

de propriedades, relações matemáticas, cálculo de áreas e volumes.

1.1.3.1 Elementos e Definições.

Frequentemente utiliza-se o senso comum para exemplificar e conceituar

Pirâmides no dia-a-dia, ao atribuir sua forma majoritariamente à ideia das históricas


Pirâmides do Egito (base quadrangular). No entanto, para efeito matemático, torna-se

importante defini-las com maior precisão. Segundo Euclides (2009), do livro XI de “Os

elementos”, considera-se que Pirâmide é um sólido que tem comprimento, largura e

profundidade que possui uma superfície em sua extremidade. Tal definição evidencia

a necessidade de considerarmos a figura como sólida/maciça contida por superfícies

planas, ou sólida construída a partir de um plano até um ponto, de forma que limite

capacidade e volume, e, consequentemente uma superfície, no exemplo abaixo,

segue uma Pirâmide de base triangular (Fig.6).

Figura 6- Pirâmide definida por planos

Fonte: Autor (2018)

A identificação dos elementos contidos na figura é de suma importância

para comunicação matemática a definição do objeto de pesquisa e na resolução de

problemas, assim podemos destacar os elementos matemáticos da Pirâmide disposta

na figura acima:

• Vértices (V): A, B, C, P.

• Arestas da base (Ab): AB, BC, CA.

• Arestas laterais (AL): AP, BP, CP.

• Base (B): ∆ABC.

• Faces laterais (FL): ∆APB, ∆BPC, ∆CPA.

• Planos (PL): α, β, λ e θ.

A não compreensão da definição de Pirâmides poderá gerar obstáculos

cognitivos ao aluno ao ocasionar déficit de habilidades de reconhecimento de

elementos fundamentais para possíveis aplicações no processo de resolução de

problemas, ou seja, questões relativas à formação de conceitos e ao desenvolvimento

de habilidades geométricas.


Nesse contexto, propomos algumas reflexões sobre um dos itens do ENEM

2012:

João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever

um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção

desse deslocamento no plano da base da pirâmide.

O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre

em linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de

M a C. O desenho que Bruno deve fazer é:


A habilidade que se pretende avaliar segundo as matrizes do ENEM é a

H6- interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço

tridimensional e sua representação no espaço bidimensional. Para que o item acima

possua uma solução dentro das alternativas disponibilizadas precisa-se que a base

da Pirâmide em questão seja quadrada. Daí tem-se como resposta o trajeto descrito

na alternativa “c”, bastando para isso, que se observe a imagem planificada. Por outro

lado, vale ressaltar a importância do estudante saber que existem Pirâmides que

podem apresentar diversos tipos de bases. Dessa forma, quando considera-las como

um sólido cuja base é um polígono qualquer e suas faces laterais são triângulos com

um vértice comum, cabe lembrar ainda que as bases poligonais poderão apresentar-

se na forma côncava, e ainda assim continuam a representar uma Pirâmide:

Figura 7- Pirâmides de bases diversas

(a) Pirâmide de base côncava quadrangular

(b) Pirâmide de base côncava pentagonal

(c) Pirâmide de base côncava octogonal

(d) Pirâmide de base convexa quadrangular

(e) Pirâmide de base convexa pentagonal

(f) Pirâmide de base convexa octogonal

Fonte: Autor (2018)

As Pirâmides a, b e c da Figura 7 possuem bases côncavas, enquanto as

Pirâmides d, e e f possuem bases convexas.


O tipo de base de cada sólido deverá ficar evidente como um elemento

determinante para a identificação de propriedades pertinentes a cada sólido, fato que

aponta para a necessidade de uma atividade que oportunize ao estudante identificar

cada uma das propriedades que envolva a sua representação e nomenclatura.

Dolce e Pompeo (1985, 2005) consideram que a Pirâmide poderá ser

limitada ou ilimitada. Esta última atribui a reunião das semirretas de origem em P e

passam pelos pontos da região poligonal (côncavo ou convexo) delimitado por A1 A2...

An, de n lados e um ponto P fora do seu plano.

Figura 8- Pirâmide ilimitada

Fonte: DOLCE; POMPEO, v. 10, p. 185 (2005)

Uma Pirâmide ilimitada convexa possui: n arestas, n diedros e n faces (que

são ângulos ou setores angulares planos). Podendo ainda ser seccionada.

• Secção:

É uma região poligonal plana (polígono plano) com um só vértice em cada

aresta, ou seja, polígono resultante de um corte.

• Superfície:

É a reunião das faces dessa Pirâmide. É uma superfície poliédrica convexa

ilimitada.

A Pirâmide limitada são aquelas que consideram um polígono convexo A1,

A2, A3,..., An, contido em um plano α e um ponto P, não pertencente a α, uma vez que

todos os segmentos de reta que possuem um extremo pertencente ao polígono e o

outro extremo P. Conclui-se que a reunião de todos esses segmentos de reta é um

poliedro chamado Pirâmide convexa limitada ou, simplesmente, Pirâmide (Paiva,

2009). Nesse sentido, ocorre o entendimento de que para ser uma Pirâmide, não deve


necessariamente existir o preenchimento da mesma como sólida ou maciça, por outro

lado já há o cuidado com a superfície que a envolva, necessariamente, que questões

como essas sejam discutidas com os estudantes. Neste trabalho, optamos por

abordar apenas as Pirâmides limitadas como Sólido Geométrico.

Descrevemos abaixo uma Pirâmide limitada pela secção que definiu sua

base a partir dos pontos A1, A2, A3, An-1, An.

Figura 9- Pirâmide limitada

Fonte: Autor (2018)

A partir da imagem da Figura 9, ficam evidentes os seguintes elementos:

• O ponto P é chamado de vértice da Pirâmide;

• O polígono A1, A2, A3,..., An é chamado de base da Pirâmide, sendo A1,

A2, A3,... e An, os vértices da base;

• Os segmentos de reta 𝐴1𝐴2 , 𝐴2𝐴3

, ... , 𝐴𝑛−1𝐴𝑛 , da base são chamados

arestas da base.

• Os segmentos de reta 𝐴1𝑃 , 𝐴2𝑃 , 𝐴3𝑃 , 𝐴𝑛−1𝑃 , 𝐴𝑛𝑃 , são chamados

arestas laterais.

• Os triângulos ∆A1PA2, ∆A2PA3,...,∆An-1PAn, são chamadas faces

laterais;

• A distância entre o vértice P e o plano da base é chamado de altura da

Pirâmide.

• A reunião das faces laterais da Pirâmide é chamada de Superfície

Lateral. A área dessa superfície é chamada área lateral e indicada por

Sl.


• A reunião da superfície lateral com a superfície da base da Pirâmide

chamamos Superfície Total. A área desta superfície é chamada área

total e é indicada por St.

Assim, uma Pirâmide possui 1 base, n faces laterais (triangulares), n+1

faces, n arestas laterais, 2n arestas, 2n diedros, n+1 vértices, n+1 ângulos poliédricos

e n triedros (Dolce e Pompeo, 2005).

1.1.3.2 Classificação das Pirâmides

Nomenclatura de acordo com a base

Uma Pirâmide será denominada triangular, quadrangular, pentagonal, etc.,

conforme a base for respectivamente um triângulo, quadrado, pentágono, e assim por

diante.

Quadro 3- Classificação nominal das Pirâmides de acordo com a base

Polígono da base Pirâmide

Triângulo Triangular

Quadrilátero Quadrangular

Pentágono Pentagonal

Hexágono Hexagonal Fonte: Autor (2018)

A Figura 10 ilustra essa classificação:

Figura 10- Classificação de uma Pirâmide de acordo com a base poligonal

Pirâmide triangular

(a base é um triângulo) Pirâmide quadrangular

(a base é um quadrilátero) Pirâmide pentagonal

(a base é um pentágono) Pirâmide hexagonal

(a base é um hexágono)

Fonte: Autor (2008)


1.1.3.3 Secção transversal de uma Pirâmide

Segundo Dolce e Pompeo (2005) é qualquer intersecção não vazia e não

unitária da Pirâmide com um plano paralelo à sua base (Fig.11).

Figura 11- Secção transversal da Pirâmide

Fonte: Autor (2018)

Toda secção transversal da Pirâmide é um polígono semelhante à sua

base.

1.1.3.4 Pirâmide Regular

Além de suas bases, uma Pirâmide poderá ser também classificada em

reta ou oblíqua (Fig. 12). Pirâmide reta é aquela cuja projeção ortogonal do vértice

sobre o plano da base é o centro da base. Caso a base seja um polígono inscritível,

isto é, admita uma circunferência circunscrita com centro, a partir do mesmo incentro4

do polígono, em geral é adotado como o centro da base. Na Pirâmide oblíqua isso não

ocorre.

Figura 12- Classificação das Pirâmides quanto a inclinação

Pirâmide reta Pirâmide oblíqua

Fonte: Autor (2018)

4 Ponto de intersecção das bissetrizes internas de um triângulo.


De acordo com Dante (2009, p.443) “uma Pirâmide é denominada regular

se, e somente se, sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal de seu

vértice sobre o plano da base é o centro dessa base”. O centro de um polígono regular

é o centro da circunferência inscrita ou circunscrita nesse polígono, ou seja, é uma

Pirâmide reta que tem como base um polígono regular e ser necessariamente reta.

A Pirâmide regular da Figura 13 é denominada tetraedro. Uma Pirâmide

regular apresenta as seguintes características:

• As Arestas laterais 𝐴𝑉 , 𝐵𝑉 , 𝐶𝑉 são congruentes e as faces laterais são

triângulos isósceles congruentes (no caso do tetraedro, as faces são triângulos

equiláteros).

• A base é inscritível a uma circunferência e estabelecem relações notáveis com

esta.

• O apótema da Pirâmide regular, denotado por g (𝑀𝑉), é a altura da face lateral

relativa à aresta da base.

• O apótema da base, indicado por a (𝑀𝑂 ), é a distância do centro da base à

aresta da base.

O tetraedro é uma Pirâmide triangular. Possui as seis arestas congruentes

entre si, quando este for na forma regular.

Figura 13- Pirâmide triangular regular- tetraedro

Fonte: Autor (2018)

Uma abordagem pouco comum em questões de avaliações externas são

as que relacionam as bases das Pirâmides com outros elementos: raios, diâmetros,

apótemas e lados da base, no entanto, não são incomuns de encontrar no cotidiano

situações que exigem uma percepção acerca de tais relações.


Destacamos um item da prova de 2015 do ENEM:

O tampo de vidro de uma mesa quebrou-se e deverá ser substituído por

outro que tenha a forma de círculo. O suporte de apoio da mesa tem o formato de

um prisma reto, de base em forma de triângulo equilátero com lados medindo 30

cm. Uma loja comercializa cinco tipos de tampos de vidro circulares com cortes já

padronizados, cujos raios medem 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 cm e 60 cm. O

proprietário da mesa deseja adquirir nessa loja o tampo de menor diâmetro que

seja suficiente para cobrir a base superior do suporte da mesa. Considere 1,7

como aproximação para √3. O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em

centímetros, é igual a:

Embora a Pirâmide não seja o sólido citado, na questão, o ponto de partida

para se chegar à solução seria o mesmo, uma vez que o respondente precisa ter

noção das relações entre elementos, em que uma possível solução seria:

Considerando o raio do tampo como rt e o raio do

círculo r circunscrito ao triângulo equilátero de lado l =

30 cm. De acordo com o enunciado, rt > r.

Assim rt > 𝒍√𝟑

𝟐 → rt >

𝟑𝟎.𝟏,𝟕

𝟐 → rt > 17

Entre os cortes já padronizados, o tampo de menor

diâmetro tem raio 18 cm, assim disposta na alternativa

“a”.

Fonte: www.objetivo.com

No item acima, o objetivo seria encontrar a medida do raio, no entanto, a

habilidade esperada de acordo com as matrizes do ENEM é a H7- identificar

características de figuras planas ou espaciais. Torna-se necessário que o discente

saiba como identificar e relacionar elementos como raio, apótema e lado em busca de

http://www.objetivo.com/

http://www.objetivo.com/


caminhos possíveis para chegar ao resultado corretamente, além de serem possíveis

caminhos para o cálculo de áreas e volumes (quando considerada toda a Pirâmide).

1.1.3.5 Relações notáveis entre os elementos da base de uma Pirâmide regular

e elementos da circunferência inscrita ou circunscrita

Compreender as relações existentes entre lados da base, raio da

circunferência circunscrita, arestas laterais, alturas da base e da Pirâmide é um dos

principais obstáculos enfrentados por alunos e professores. Destacaremos a seguir

algumas relações notáveis entre a Pirâmide regular, sua base e uma circunferência

que circunscreva esta base. Aqui, daremos destaque às Pirâmides regulares de base

triangular, quadrada e hexagonal.

Relações entre elementos da Pirâmide de base triangular

Considere a base da Pirâmide, representada pelo triângulo equilátero ∆ABC;

a (𝑀𝑂 ) a medida do apótema; M o ponto médio do lado 𝒍 (𝐴𝐵 ); h (𝑀𝐶) a medida da

altura da base; r (𝑂𝐴 ) o raio da circunferência circunscrita; S a superfície do triângulo

∆ABC; g (𝑀𝑉) o apótema da Pirâmide; e; H (𝑂𝑉 ) a medida da altura da Pirâmide.

Figura 14 – Relações notáveis na Pirâmide triangular regular

Fonte: Autor (2018)

Relação: a partir do triângulo ABC, da figura 14, obtemos a relação entre

o apótema a da base da Pirâmide em função do lado 𝑙.


Demonstração: Seja a o apótema e 𝑙 o lado do triângulo equilátero ABC

definido como base. A medida de a e 𝑙

2 são congruentes às medidas dos dois catetos,

𝑂𝑀 e 𝑀𝐴 respectivamente, do triângulo AOM, retângulo em M e ângulos internos

iguais a 30º e 60º (Fig. 15). Se 𝑡𝑔𝐴 =𝑎

𝑙/2, e, 𝑡𝑔30° =

√3

3, então

2𝑎

𝑙=

√3

3. Logo, 𝑎 =

𝑙√3

6.

Figura 15- Triângulo retângulo que destaca a relação entre a e 𝑙

Fonte: Autor (2018)

Além da relação entre o apótema (a) e o lado (𝑙), pode-se analogamente,

obter outras relações, das quais dispõe-se abaixo:

ℎ =𝑙√3

2 𝑎 =

𝑟

2 𝑙 = 𝑟√3

𝑆 =𝑙2√3

4

𝑔2 = 𝐻2 + 𝑎2 𝑎 =

𝑙√3

6

Relações entre elementos da Pirâmide de base quadrada

Considere a base da Pirâmide, representada pelo quadrado ABCD; a (𝑀𝑂 )

a medida do apótema; M o ponto médio do lado 𝒍 (𝐴𝐵 ); d (𝐷𝐵 ) a medida da diagonal

da base; r (𝐴𝑂 ) é o raio da circunferência; S é a superfície do quadrado; L a aresta

lateral da Pirâmide; g (𝑀𝑉) o apótema da Pirâmide e H (𝑂𝑉 )a medida da altura da

Pirâmide.


Figura 16: Relações notáveis na Pirâmide de base quadrada

Fonte: Autor (2018)

Relação: a partir do quadrado ABCD, da Figura 16, obtemos a relação

entre o raio r da circunferência circunscrita em função do lado 𝑙.

Demonstração: Seja r o raio e 𝑙 o lado do quadrado ABCD definido como

base. A medida de r e 𝑙 são congruentes às medidas do cateto e da hipotenusa, 𝐴𝑂 e

𝐴𝐷 respectivamente, do triângulo retângulo isósceles ∆AOD (Fig. 17) possui os

demais ângulos internos de soma igual 45°. Se cos𝐴 =𝑟

𝑙, e, cos45° =

√2

2, então

𝑟

𝑙=

√2

2. Logo, 𝑟 =

𝑙√2

2.

Figura 17- Triângulo retângulo que destaca a relação entre r e 𝑙

Fonte: Autor (2018)

Além da relação entre o raio (r) e o lado (𝑙), pode-se analogamente, obter

outras relações, das quais dispõe-se abaixo:

𝑙 = 𝑟√2 𝑎 =𝑙

2

𝑑 = 𝑙√2


𝑆 = 𝑙2 𝐿2 = 𝐻2 + 𝑟2 𝑎 =

𝑟√2

2

Relações entre elementos da Pirâmide de base hexagonal

Considere a base da Pirâmide, representada pelo hexágono regular

ABCDEF (Fig. 18); a (𝑀𝑂 ) a medida do apótema; M o ponto médio do lado 𝒍 (𝐴𝐵 ); d

(𝐴𝐷 ) a medida da diagonal; r (𝐴𝑂 ) é a medida do raio da circunferência; S é a

superfície do hexágono; L a medida da aresta lateral da Pirâmide; g (𝑀𝑉) a medida

do apótema da Pirâmide e H (𝑂𝑉 )a medida da altura da Pirâmide.

Figura 18: Relações notáveis na Pirâmide de base hexagonal regular

Fonte: Autor (2018)

Relação: a partir do hexágono regular ABCDEF, da Figura 18, obtemos a

relação entre o raio r da circunferência circunscrita em função do apótema a.

Demonstração: Seja r o raio e a o apótema do hexágono ABCDEF definido

como base. A medida de r e a são congruentes às medidas da hipotenusa e do cateto,

𝐴𝑂 e 𝑂𝑀 respectivamente. Considere o triângulo retângulo ∆AOM (Fig. 19), uma vez

que 𝑂𝑀 também é altura (ℎ) do triângulo equilátero ∆AOB de lado r. Se a altura (ℎ) de

um triângulo equilátero qualquer é ℎ =𝑙√3

2, e, r= 𝑙, 𝑂𝑀 = ℎ =a, então a=

𝑟√3

2.


Figura 19- Triângulo equilátero que destaca a relação entre r e a

Fonte: Autor (2018)

Além da relação entre o raio (r) e o apótema (a), pode-se analogamente,

obter outras relações, das quais dispõe-se:

𝑙 = 𝑟 𝑎 =

𝑙√3

2

𝑑 = 2𝑟

𝑆 =3. 𝑙2√3

2 𝐿2 = 𝑔2 + (

𝑙

2)

2

𝑎 =𝑟√3

2

Relações como as apresentadas acima estão presentes em diversas

situações do cotidiano e também em questões de avaliações externas, como a seguir:

A figura mostra a pirâmide de Quéops, também conhecida como a

Grande Pirâmide. Esse é o monumento mais pesado que já foi construído pelo

homem da Antiguidade. Possui aproximadamente 2,3 milhões de blocos de rocha,

cada um pesando em média 2,5 toneladas. Considere que a pirâmide de Quéops

seja regular, sua base seja um quadrado com lados medindo 214 m, as faces laterais

sejam triângulos isósceles congruentes e suas arestas laterais meçam 204 m.


O valor mais aproximado para a altura da pirâmide de Quéops, em metros, é a) 97,0. b) 136,8. c) 173,7. d) 189,3. e) 240,0.

O item fora extraído do ENEM para Pessoas Privadas de Liberdade – PPL

no ano de 2016. Para resolvê-lo, precisa-se identificar os elementos piramidais e

relacioná-los a triângulos retângulos como componentes piramidais, de forma que

estarão atentos à habilidade H8- Resolver situação-problema que envolva

conhecimentos geométricos de espaço e forma, ao mesmo tempo em que se adequa

ao descritor do SAEB (D2) – Reconhecer aplicações das relações métricas do

triângulo retângulo em um problema que envolva figuras planas ou espaciais.

Um caminho possível para resolver a pergunta seria baseado nas

observações quanto aos elementos da Pirâmide e na utilização do Teorema de

Pitágoras, como sugerido abaixo:

Inicialmente, considera-se o modelo matemático da Pirâmide em

questão:

Em seguida identifica-se os elementos da

Pirâmides em que estão, e inserimos os valores

correspondentes.

Dados os valores correspondentes às arestas

laterais e da base, devemos considerar os triângulos

retângulos BMV e MOV, sendo M o ponto médio de BC,

então (Med) BM=OM=107 e (Med) BV= 204, utilizando

o teorema de Pitágoras, sabemos que (Med)MV2=2042-

1072. Em seguida relacionamos o triângulo retângulo MOV a partir do Teorema de

Pitágoras, assim: MV2=OM2+OV2 →2042-1072=1072+h2, logo h≅ 136,8 metros.

Portanto a letra “b” é a alternativa correta.


O item acima requer o estabelecimento de inter-relações de propriedades

tanto internas a figura, quanto entre figuras (planas ou espaciais), além de deduzir

propriedades e reconhecer classes. No nível de conhecimento Geométrico exigido, as

definições têm significado e os alunos formulam argumentos informais (Lindquist e

Shulte,1994), de maneira a apresentar nível da dedução informal de Van Hiele.

1.1.3.6 Áreas da superfície de uma Pirâmide

Para calcular a área da superfície de uma Pirâmide precisa-se considerar

a área da base e área lateral. Como a base deverá ser um polígono, deve-se

considerar suas propriedades, pois cada figura possui suas peculiaridades. Por outro

lado, as faces laterais são triângulos, portanto a área lateral de uma Pirâmide é

determinada pela reunião das suas faces laterais. A área dessa superfície é chamada

Área Lateral da Pirâmide aqui denotada por Sl, logo

Sl= soma das áreas das faces laterais

A superfície total de uma Pirâmide é determinada pela reunião da superfície

lateral com a superfície da base da Pirâmide. A área dessa superfície é chamada Área

Total da Pirâmide aqui denotada por St, em que a Sb é a área da base, assim:

St=Sb+Sl

Nesse contexto, o cálculo de áreas de superfícies são assuntos largamente

cobrados em sala de aula e nas avaliações externas. O item abaixo foi extraído do

Programme for International Student Assessment - PISA5. É uma das questões

liberadas para apreciação e análise aberta, ou seja, por professores, alunos e

instituições brasileiras. Nela, a contextualização é baseada no telhado da casa de uma

fazenda na forma de Pirâmide que objetiva saber se o estudante domina o cálculo da

área.

5 Coordenado pela Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE) uma

iniciativa de avaliação comparada, aplicada de forma amostral a estudantes matriculados a partir do 7º ano do ensino fundamental na faixa etária dos 15 anos, idade em que se pressupõe o término da escolaridade básica obrigatória na maioria dos países.


FAZENDAS

Você pode ver aqui a fotografia de uma casa de fazenda com o telhado

em forma de pirâmide. Abaixo está o modelo matemático do telhado da casa

preparado por um estudante e ao qual foram acrescentadas as medidas.

O chão do sótão, denominado ABCD no modelo, é um quadrado. As

vigas que suportam o teto são as laterais do bloco (prisma retangular) EFGHKLMN.

E está no meio de AT, F está no meio de BT, G está no meio de CT e H está no

meio de DT. Todas as laterais da pirâmide, no modelo, têm o comprimento de 12

m.

Questão 1- Calcule a área total do chão do sótão ABCD.

Para iniciar a resolução das questões 1, 2 e 3, necessitamos visualizar

matematicamente a seguinte figura:

Para encontrar a solução basta apenas considerar que ABCD = 12x12 =

144 m² (as unidades não são necessárias para a solução segundo a pergunta) para

a área do andar do sótão.

Questão 2- Calcule o comprimento de EF, uma das laterais horizontais do bloco.

Para responder à questão, observa-se a face lateral da Pirâmide:


Outra possibilidade de resposta também seria: EF é paralelo a AB e

passa pelo ponto médio de AT e BT, no triângulo ABT, portanto EF = 6 m.

O objetivo da questão foi avaliar a compreensão do aluno quanto às

propriedades dos triângulos.

Questão 3- Determine a área da superfície de um painel triangular do teto. Explique

como você encontrou sua resposta.

Objetivando avaliar a habilidade do aluno para calcular áreas de

superfícies triangulares, a resposta à questão poderá percorrer vários caminhos:

(a) Utilizar o teorema de Pitágoras para encontrar a altura e depois a

relação da metade da base x altura;

(b) Fazer uso do método trigonométrico;

(c) Aplicar a fórmula de Heron, dentre outras.

Dessa forma, podemos encontrar a partir da utilização de relações entre

os triângulos:

Fonte: http://download.inep.gov.br/download/internacional/pisa/Itens_Liberados_Matematica.pdf

Muito embora o item tenha sido elaborado a partir de objetivos específicos

do PISA, o mesmo permite avaliar se o estudante desenvolveu a habilidade (ENEM)

H9 - Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos

http://download.inep.gov.br/download/internacional/pisa/Itens_Liberados_Matematica.pdf

http://download.inep.gov.br/download/internacional/pisa/Itens_Liberados_Matematica.pdf


propostos como solução de problemas do cotidiano, também associado ao descritor

13 do SAEB, que trata de resolver problemas que envolvam a área total e/ou o volume

de um sólido (prisma, Pirâmide, cilindro, cone, esfera). Pode-se ainda ser acrescidas

várias perguntas: (a) qual a área do telhado? Bastando para isso, apenas o produto

do valor encontrado (36√3) por quatro. Vale ressaltar que estudar as superfícies da

Pirâmide pressupõe o domínio de vários conteúdos matemáticos básicos como:

relações métricas, trigonométricas, geométricas, razão, proporção e área de figuras

planas.

Outro aspecto importante é que a prova do PISA diferencia-se das demais

avaliações em larga escala brasileiras por apresentar questões de múltipla escola e

questões abertas. Nas questões abertas valoriza-se o procedimento. No entanto, não

pretendemos aqui analisar a fundo a Avaliação Internacional, mas torna-se relevante

compreendermos como o objeto de estudo desse trabalho é abordado em diversos

contextos com vistas ao Ensino. Para maior aprofundamento no tema sugerimos o

acesso ao Portal do Instituto Anísio Teixeira- INEP.

1.1.3.7 Volume da Pirâmide

Partimos do pressuposto de que volume de um sólido é a quantidade de

espaço ocupada por ele. O conceito de sólido nos permite compreender que este é

maciço e possui volume, quando não é maciço, possui apenas capacidade. Uma

forma de verificar o volume de um sólido é a partir da secção paralela da base ao

ápice. Para isso, podemos recorrer ao Princípio de Cavalieri.

As Pirâmides e as secções possuem uma relação “vida ativa” no meio

geométrico. Arquimedes de Siracusa (cerca de 287 a.C.-212 a.C.) estudou poliedros

convexos, não regulares, que possuem todas as faces regulares e todos os ângulos

poliédricos congruentes. O ato de seccionar as regiões próximas ao vértice de cada

poliedro, subtrai-se uma Pirâmide regular de todos os vértices dos sólidos

denominados Sólidos arquimedianos dão origem a novas formas que ganham

destaque no século XX. A utilização da bola de futebol na copa de 70 construída com

a retirada de Pirâmides de bases pentagonais de um icosaedro é um exemplo, ao

mesmo tempo em que o mesmo poliedro deu origem a nova fórmula de carbono em

1985 (Paiva, 2009).


Ao conceber o volume da Pirâmide na forma demonstrativa, o estudante

possui conhecimento considerado no penúltimo nível de Van Hiele, pois no nível da

dedução o aluno

compreende o significado da dedução como uma maneira de estabelecer a teoria geométrica no contexto de um sistema axiomático. São percebidos a inter-relação e o papel de termos não definidos, axiomas, postulados, definições, teoremas e demonstrações. Nesse nível a pessoa é capaz de construir demonstrações, e não apenas memoriza-las; [...]; compreende a interação das condições necessárias e suficientes; é capaz de fazer distinções entre uma afirmação e sua recíproca. (CROWLEY in LINDQUIST e SHULTE, 1994, p. 4)

Tal nível de resolução, no Brasil é mais comum em cursos de Ensino

Superior, por outro lado, espera-se que no ensino médio o aluno consiga resolver

situações-problema que envolvam conhecimentos geométricos de espaço e forma

(H8- ENEM, 2009), dessa forma, o item abaixo é exemplo de questão proposta de

acordo com a prova do ENEM do ano de 2011.

Uma indústria fabrica brindes promocionais em forma de pirâmide. A

pirâmide é obtida a partir de quatro cortes em um sólido que tem forma de um cubo.

No esquema, estão indicados o sólido original e a pirâmide obtida a partir dele.

Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mesmos. O ponto

O é central na face superior do cubo. Os quatro cortes saem de O em direção às

arestas AD, BC, AB e CD, nessa ordem. Após os cortes, são descartados quatro

sólidos.

Os formatos dos sólidos descartados são

a) todos iguais.

b) todos diferentes.

c) três iguais e um diferente.

d) apenas dois iguais.

e) iguais dois a dois.


Para encontrar a forma dos quatro sólidos, é preciso visão focada nas três

dimensões da figura, dessa forma, uma possível solução seria:

Inicialmente poderão ser observados os

prismas triangulares congruentes AEIDHJ e

BIFCJG que serão descartados a partir de dois

cortes determinados pelos planos ADIJ e BCJI.

Dessa forma, resulta o prisma de base triangular

ABICVJ.

Em seguida, destaca-se o ponto O

(Médio entre os vértices I e J). Ao seccionar o

prisma triangular (ao lado) com os cortes ABO

e CDO, descarta-se duas Pirâmides

congruentes ABIO e CDJO, e, resulta-se daí a

Pirâmide ABCDO. Temos então a alternativa

“e” como resposta.

A questão acima pode ser resolvida por outro processo e destaca-se por

possibilitar o desenvolvimento de mais de uma habilidade segundo as matrizes

avaliativas oficiais. O SAEB aponta os descritores D3 – Relacionar diferentes

poliedros ou corpos redondos com suas planificações ou vistas e D13- Resolver

problema que envolvam a área total e/ou o volume de um sólido (prisma, Pirâmide,

cilindro, cone, esfera). Por outro lado, a Matriz do ENEM qualifica o problema na

habilidade 8 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos

de espaço e forma. Nesse contexto, o aluno não precisa necessariamente

desenvolver uma capacidade de demonstração baseada no sistema axiomático, seu

nível encontra-se pautado no 3º nível de Van Hiele (dedução informal) e busca uma

habilidade além do campo das demonstrações e dos cálculos, baseada na

observação.

Compreender como encontrar o volume de uma Pirâmide é uma das

principais dificuldades dos alunos segundo dados coletados em nossa pesquisa. Em

muitos casos, professores e alunos se prendem ao cálculo do volume quando já se


conhece e área da base, e até mesmo a altura, suficientes para substituir na fórmula

(Ab.h)/3 e encontrar o resultado esperado. No entanto, muitas outras relações e

propriedades que envolvem volumes não se reduz apenas ao cálculo do volume do

sólido hão de ser estudadas.

De acordo com Lima et al (2006), existem algumas considerações

importantes que servirão de auxílio para determinar o volume da Pirâmide:

Lema 1.1 Se o vértice de uma Pirâmide se move em um plano paralelo à

base, o volume dessa Pirâmide não se altera.

Lema 1.2 A secção e a base de uma Pirâmide são figuras semelhantes, e

a razão da semelhança é h/H.

Lema 1.3 A razão entre áreas de figuras semelhantes é o quadrado da

razão de semelhança.

A Figura 20 mostra uma Pirâmide de vértice V, base ABC (triangular

apenas para simplificar o desenho) e altura H. Um plano paralelo a ABC, dista h do

vértice V, produz uma secção DEF nesta Pirâmide. Ao considerar S1 e S1 as áreas

das superfícies limitadas pelos triângulos ABC e DEF respectivamente.

Figura 20- Seção da Pirâmide e sua relação com a base

Fonte: Adaptado de Lima et al (2006)

Ao imaginar inúmeras secções entre os pontos V e O e paralelas à base,

podemos perceber que existirá uma relação determinada pelas bases formadas com

os cortes e que podem inclusive se relacionar com outras figuras de base com mesma

área.

Teorema 1.1 Duas Pirâmides de mesma base e mesma altura têm o

mesmo volume (LIMA ET AL, 2006, p. 317).


Considere duas Pirâmides de mesma base ABC, vértices V1 e V2 e com a

mesma altura H. Um plano paralelo ao plano (ABC) e dista h dos vértices das

Pirâmides, produziu secções DEF e D1E1F1 nas duas Pirâmides (Fig. 21).

Figura 21- Pirâmides de volumes semelhantes

Fonte:Adaptado de Lima et al (2006)

Seja S a área da base ABC e sejam S1 e S2 as áreas das secções DEF e

D1E1F1, respectivamente. Pelos argumentos já apresentados, temos que:

𝑆1

𝑆= (

ℎ

𝐻)

2

=𝑆2

𝑆

De onde concluímos que S1 = S2, e, pelo Princípio de Cavalieri, as duas

Pirâmides possuem o mesmo volume, como queríamos demonstrar.

Como já mencionado, outra forma de determinar o volume de um sólido é

a partir da secção de um outro sólido de maior volume.

Teorema 1.2-O volume de uma Pirâmide triangular é igual a um terço do

produto da área da base pela altura (LIMA ET AL, 2006, p. 318).

Vamos considerar um tetraedro de vértices A, B, C e D, sua face ABC será

a base, e o ponto D como vértice dessa Pirâmide, vamos representa-lo por D-ABC.

Seu volume será representado por V(D-ABC)= V(B-ACD)=… etc, depende-se de qual

face consideramos como base.

Agora, consideremos um prisma triangular cujas bases são os triângulos

ABC e DEF (Fig. 22).


Figura 22- Prisma triangular

Fonte: Adaptado de Lima et al (2006)

Seja S a área de ABC e h a altura do prisma. Sabe-se que o volume é Sh.

Divide esse prisma em três tetraedros: A – DEF, E- ACF e E-ABC (Fig. 22).

Sejam V1, V2 e V3 os volumes respectivos dos três tetraedros citados e seja

V o volume do prisma. Pelo teorema anterior, temos que o volume de uma Pirâmide

não se modifica quando, mantém a base fixa, movemos o vértice em um plano paralelo

a esta base.

Concluímos que:

V1= V(A- DEF) = V(A- DBF) = V(A- DBC) = V(C- ABC)

V2= V(D- ACF) = V(B- ACF) = V(F- ABC)

V3= V(D-ABC)

Observemos, assim, a decomposição do prisma em tetraedros de mesmo

volume (Fig.23).

Figura 23- Decomposição do prisma em tetraedros

Fonte: Adaptado Lima et al (2006)


Conclui-se então que o volume do prisma é igual a soma do volume dos

três tetraedros: D-ABC, E-ABC e F – ABC, de mesma base e mesma altura do prisma.

Logo, cada um deles tem volume igual a um terço do volume do prisma.

As Pirâmides triangulares regulares apresentam particularidades que

podem ser aplicadas em situações reais do dia a dia como a produção de embalagens

em seu formato, além de peças decorativas, arquitetura e muitos outros contextos.

Por outro lado, outra maneira de se chegar ao volume da Prisma pelo

método da composição é por meio da adição de volumes piramidais:

Teorema 1.3- Todo prisma triangular é a soma de três Pirâmides

triangulares (tetraedros) equivalentes entre si (DOLCE E POMPEO, 2005, p. 191).

Seja o prisma triangular ABCDEF.

Figura 24- Congruência do volume de tetraedros

Fonte: Adaptado de Dolce e Pompeo (2005)

Para Dolce e Pompeo (2005), ao seccionar o prisma pelo plano que contém

os pontos A, C e E, obtemos o tetraedro T1 = E(ABC) e a Pirâmide quadrangular

E(ACFD). Ao cortar a Pirâmide E(ACFD) pelo plano que contêm os pontos C, D e E,

obtemos o tetraedro T2 = C(DEF) ou T2 = E(CDF) e T3 = E(ACD), temos que o prisma

ABCDEF = T1 + T2 + T3 → Vprisma = V1 + V2 + V3.

As Pirâmides T1 = E(ABC) e T2 = C(DEF) ou T2 = E(CDF), têm o mesmo

volume, pois possuem as bases (ABC e DEF) congruentes e a mesma altura (a ado

prisma). Então, VT1= VT2. (I)


As Pirâmides T2 = C(DEF) ou T2 = E(CDF) e T3 = E(ACD), têm o mesmo

volume, pois têm as bases (CDF e ACD) congruentes (note que CD é diagonal do

paralelogramo ACFD) e a mesma altura (distância de E ao plano ACFD). Então, VT2=

VT3. (II).

De (I) e (II) vem: VT1= VT2= VT3.

1.1.3.8 Volume do tetraedro

Seja Sb a área da superfície da base e h a medida da altura do prisma da

Figura 24. Notemos que Sb é a área superfície da base e h é a medida da altura do

tetraedro T1. Do teorema anterior, VT1= VT2= VT3: VT1+ VT2+ VT3= Vprisma → 3. VT = Sb.h

→ VT=1/3. Sb.h

1.1.3.9 Volume de uma Pirâmide qualquer

Seja Sb a área da superfície da base e h a medida da altura de uma

Pirâmide qualquer. Esta Pirâmide é soma de (n - 2) tetraedros.

V = VT1+ VT2+ …+ VT (n-2) → V = 1/3. Sb(1)h + 1/3. Sb(2)h +…+ 1/3. Sb(n-2)h →

→ V= 1/3 (Sb(1)+ Sb(2)+ … + Sb(n-2)).h → V= 1/3.Sb.h

Dessa forma, Podemos concluir que o volume de uma Pirâmide qualquer,

é um terço do produto da área da superfície da base pela medida da altura.

Após a generalização, verifica-se a possibilidade de resolução de

problemas ligados ao tema. Para exemplificar, utilizamos uma questão do Vestibular

da FUVEST do ano de 2015, em que a partir de uma contextualização inicial, pede-se

para calcular o volume de uma Pirâmide ainda a ser identificada pelo aluno.

O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o

paralelepípedo reto ABCDEFGH.


Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE = 2cm,

AD = 4 cm e AB = 5 cm. A medida do segmento AS que faz com que o volume do

sólido seja igual a 4/3 do volume da pirâmide SEFGH é:

a) 2cm b) 4cm c) 6cm d) 8cm e) 10m

Para encontrar o comprimento AS na questão, torna-se necessário considerar

a Pirâmide em destaque e fixar o valor desconhecido da altura (h) correspondente à

medida AS. Em seguida estabelecer as relações entre a soma dos dois sólidos

SABCD e ABECDEFGH e igualar à 4/3 do volume do primeiro sólido, assim:

VSABCD + VABCDEFGH = 4/3 VSEFGH

1/3 . 5 . 4 . h + 5 . 4 . 2 = 4/3 . 1/3 . 5 . 4 . (h + 2) ⇔

⇔h/3 + 2 = 4/9 . (h + 2) ⇔ h = 10

Com a questão acima, pretende- se resolver questões ligadas ao descritor

13 da Avaliação Nacional de Rendimento Escolar – ANRESC. A mesma compõe o

Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica- SAEB: D13- Resolver problema


envolvendo a área total e/ou o volume de um sólido (prisma, Pirâmide, cilindro, cone,

esfera).

A partir dos problemas propostos nesta seção, fica evidente que no estudo

de Pirâmides não basta apenas desenvolver cálculos exaustivos, mas que o sujeito

compreenda o problema de forma contextualizada e que habilidades precisam ser

desenvolvidas para solucionar questões próximas do seu convívio diário, sem

esquecer da formalização necessária do conteúdo estudado. O estudo teórico

desenvolvido nessa fase nos propiciou produzir informações para o desenvolvimento

de embasamento matemático da nossa pesquisa, complementado com o

entendimento sobre os aspectos de outros estudos que se seguem.

1.2 Revisão de Estudos

Nesta categoria apresentaremos tendências e perspectivas para o tema em

estudo. Nosso objetivo foi revisar propostas e metodologias para o ensino de Pirâmides

em busca de resultados de trabalhos produzidos a partir do ano de 2013. Dessa forma

pudemos perceber a importância da atualização quanto aos desdobramentos científicos

empreendidos ao nosso tema e a temas correlatos.

Neste trabalho, optamos por uma revisão sistemática de estudos, por acreditar

que as plataformas contribuem substancialmente para a otimização na busca de pesquisas

com qualidade acadêmica reconhecida. Segundo Gil (2008), para a adequada formulação

de um problema, requer-se uma revisão bibliográfica preliminar na qual o pesquisador

precisa tomar contato com certo número de livros ou artigos periódicos de maneira a

formular um problema viável.

Por outro lado, Sampaio e Mancini (2007), afirmam que as revisões

sistemáticas de estudo, são particularmente úteis para integrar as informações de um

conjunto de estudos realizados separadamente sobre determinada temática, que podem

apresentar resultados conflitantes e/ou coincidentes, além de identificar temas que

necessitam de evidência, auxilia na orientação para investigações futuras, e permite

incorporar um espectro maior de resultados relevantes, ao invés de limitar conclusões a

apenas alguns artigos.

Assim, este trabalho procurou, por meio dos contributos dos estudos individuais

fornecer uma visão da investigação existente na área da Educação Matemática, conforme

procedimentos a seguir:


Utilizada a ferramenta de busca on-line Google Acadêmico encontramos

trabalhos publicados. Em seguida os submetemos ao protocolo de revisão com os

seguintes critérios:

Inclusão:

(a) Serão incluídos trabalhos publicados e disponíveis integralmente em

bases de dados científicas.

(b) Serão incluídos trabalhos recentes (publicados a partir de 2013).

(c) Serão incluídos trabalhos que já possuam aprovação pela comunidade

científica.

Exclusão:

(a) Serão excluídos trabalhos que não tratam do tema em nível do ensino

médio.

(b) Serão excluídos trabalhos que ainda não foram concluídos.

(c) Serão excluídos trabalhos que apresentam conclusões sem apresentar o

método utilizado.

Para delimitarmos o universo da pesquisa, utilizamos o termo Geometria

Espacial por encontrar dificuldades em localizar trabalhos que considerassem apenas a

palavra-chave “Pirâmide”, e, acrescentou-se Van Hiele, por considerarmos importante o

entendimento sobre o nível de conhecimento geométrico para amadurecimento das ideias

sobre o tema. Na primeira busca, realizada em 04/11/2017, a ferramenta Google

Acadêmico localizou 37 (trinta e sete trabalhos) apenas em língua portuguesa a partir das

palavras-chave: Geometria Espacial, Ensino, Pirâmides, Tecnologias e Van Hiele; 13

(treze) trabalhos foram selecionados para leitura e 24 (vinte e quatro) foram arquivados

para outras oportunidades de pesquisa.

Ao analisar os resultados dos trabalhos encontrados, algumas questões

essenciais foram evidenciadas, e, por sua importância para a seleção dos mesmos.

Apresentamos os artigos publicados em revista: Viana (2015); e; Santos e

Weber(2014), dissertações de Pereira (2017), Palles (2013) e Boiago (2015) em

educação Matemática. Em Ensino de Matemática tiveram incluídas as dissertações

de Borsoi (2016), além dos trabalhos de Schnornberger (2014) e Medeiros (2014), a

dissertação de Souza (2016) em Ensino de Ciências e Educação Matemática, as

dissertações de Cordeiro (2014), Bittencourt (2014), Zilkha (2014), e Moraes (2014)

do mestrado Profissional de Matemática em Rede.


Após a seleção, os textos foram lidos na íntegra, resumidos, e destacados

os seguintes aspectos: referenciais teóricos utilizados, objetivos, procedimentos

metodológicos utilizados e principais resultados alcançados, em um processo de

maior aproximação com os textos considerados como nosso corpus de pesquisa.

O quadro a seguir organiza em ordem alfabética os autores, destaca título

e fonte, de forma que os mesmos possam ser melhor identificados ao longo da análise:

Quadro 4 - Relação de textos selecionados

Trabalho Título Instituição Autores

T1 Utilização do GeoGebra na construção de instrumentos:

Pantógrafo.

Dissertação- IMPA RJ

BITTENCOURT, P. M.

T2 Área de figuras planas: uma

proposta de Ensino com modelagem matemática.

Dissertação- Universidade Federal de Uberlândia

BOIAGO, C. E. P.

T3

GeoGebra 3D: no ensino médio: uma possibilidade para a

aprendizagem da Geometria Espacial.

Dissertação- Universidade

Federal do Rio Grande do Sul

BORSOI, Caroline.

T4 Utilização do GeoGebra na

Construção de Instrumentos: Elipsógrafo


CORDEIRO, J. C. da S.

T5 Construção de sólidos

geométricos com a aplicação de softwares educativos.

TCC Esp. Universidade Estadual da

Paraíba

MEDEIROS, R. B de.

T6

A Geometria Espacial no ensino médio: um estudo sobre o uso do material concreto na resolução de

problemas

Dissertação: Universidade

Federal do Rio de Janeiro

MORAES, L.de S.

de.

T7 Um estudo do icosaedro a partir da visualização em Geometria

Dinâmica

Dissertação- Pontifícia

Universidade Católica de São

Paulo

PALLES, C. Molina

T8

Projetos de modelagem matemática no ensino para a aprendizagem de Geometria Espacial no 2º ano do ensino

médio

Dissertação- Universidade

Federal de Ouro Preto

PEREIRA, L. David.

T9 Realidade no Espaço Virtual:

Micromundo do Ensino de Geometria.

Artigo- Revista NUPEM

SANTOS, R. P. dos; WEBER, J. M.

T10 O uso da pletora de poliedro no ensino de Geometria Espacial

TCC grad.- Universidade

Federal do Rio Grande do Sul

SCHNORNBERGER, Thiago.


T11 A formulação e a resolução de

problemas geométricos com base nos sólidos geométricos.

Dissertação- Universidade Estadual da

Paraíba

SOUZA, S. A. de

T12 Avaliação dos desenhos de

planificação de figuras geométricas no Ensino Básico

Artigo -Revista Estudos de avaliação

educacional- SP

VIANA, O. Aparecida

T13 Utilização do GeoGebra na construção de instrumentos:

Teodolito.


ZILKHA, P. M.

Fonte: Autor (2018)

Dos trabalhos analisados, não encontramos nenhum com o título que

tenha abordado especificamente pelo nosso objeto de estudo, no entanto, quatro

deles menciona Pirâmides como parte da produção científica.

O estudo desenvolvido por Pereira (2017) buscou identificar e analisar as

possíveis contribuições da realização do Projeto “As formas geométricas da nossa

cidade”. Utiliza a modelagem matemática à aprendizagem de conteúdos de Geometria

Espacial com alunos do 2º ano do ensino médio. No projeto, os alunos definiram

subtemas e em seguida desenvolveram atividades de modelagem Matemática

propostas pelo professor a partir da visitação de vários pontos da cidade de Viçosa-

MG, a partir do registro do diário de campo.

De caráter qualitativo, no trabalho, foram desenvolvidos revisão literária,

pesquisa de campo, elaboração de execução de projeto de intervenção pedagógica

baseado na modelagem Matemática a 38 alunos do 2º ano do ensino médio de uma

escola da rede estadual de Viçosa-MG.

Como fundamentação, o autor analisou quatro pesquisas sobre Geometria

espacial com modelagem matemática a partir dos trabalhos de Silva (2010), Heil

(2012), Oliveira (2012) e Paraízo (2012) que trataram de Geometria Espacial, além

dos trabalhos de Reinheimer (2011); Zakauskas (2012) e Sousa (2014) que tratavam

de modelagem. Apoiou-se nas ideias de Burak (1992) sobre modelagem, a partir de

cinco etapas para o desenvolvimento das atividades propostas, Biembengut e Hein

(2005), Barbosa (2001a) e Hernandez e Ventura (1998) no sentido de alinhar a teoria

de projetos com a teoria da modelagem. Utilizou uma SD como projeto, criou assim

um produto educacional.

Para o autor, com base nas obras revisadas,


- a partir do Movimento da Matemática Moderna, na década de 1970, muitos

professores não estavam preparados para trabalhar essa nova abordagem, impulsionada pela necessidade de atender à expansão tecnológica a partir da segunda metade do século XX; - os graduandos em formação ainda apresentam uma postura de desconfiança quanto à eficácia do uso de situações-problema como estratégia de ensino; já os estudantes do ensino médio desenvolveram a autonomia, o trabalho em equipe, a responsabilidade e a possibilidade de aprendizagem com os próprios erros; - Oliveira (2012) constata uma evolução significativa dos alunos quanto à (res) significação dos conceitos trabalhados e uma subida de nível na escala de Van Hiele, o que reforçou “a crença nas potencialidades da Teoria de Van Hiele como um caminho teórico e metodológico promissor capaz de sustentar um projeto consistente de ensino de Geometria, integrando todos os segmentos da Educação Básica, da Educação Infantil até o ensino médio” (PEREIRA, 2017, p. 17- 31).

Nessa perspectiva, o autor chegou a diversas observações necessárias

para balizamento de sua pesquisa além de algumas reflexões sobre as propostas

desenvolvidas, ao corroborar com as ideias de vários autores estudados:

encontramos concordância com essa ideia em Burak (2009, p.1123) ao defender que a Modelagem Matemática possibilita ao estudante a construção e o desenvolvimento de competências importantes e necessárias para os desafios do mundo atual, tais como: “saber observar, explorar e investigar; estabelecer relações, classificar e generalizar; ou ainda, instrumentalizá-lo de forma a argumentar, poder tomar decisões e criticar”. (PEREIRA, 2017, p. 106).

Além do citado, foram encontradas algumas dificuldades que permeiam o

ambiente de pesquisa: entender a forma pela qual poderíamos unir as características

da modelagem Matemática com a teoria dos projetos; estabelecimento do tema geral

do projeto. No entanto, reforça que tais intempéries serviram para verificar a

importância das palavras de Soistak e Burak (2005c, p.9 apud Pereira, 2017) que

afirmam que as dificuldades surgidas no desenvolvimento das atividades de

modelagem matemática, precisam ser vencidas e o desafio de enfrentar esses

obstáculos torna o processo de ensino para a aprendizagem da Matemática mais

prazeroso e significativo, uma vez que os problemas encontrados devem ser

resolvidos a partir do interesse dos alunos (PEREIRA, 2017, p. 106).

O autor conclui ao focar o desenvolvimento de Projetos de modelagem

matemática, e afirma que a metodologia empregada contribui para:

1- o contato direto e ativo do aluno com seu ambiente de estudo e para o trabalho

com situações problemas.


2- o surgimento de uma nova dinâmica da sala de aula a partir de experiências

interativas.

3- a formação integral do aluno e para o desenvolvimento da curiosidade e do

interesse pela investigação.

4- uma interação diferenciada dos alunos com os conteúdos de Matemática e para

sua aprendizagem.

5- a quebra de barreiras na sala de aula e para a superação de dificuldades na

aprendizagem.

6- uma mudança no processo de ensino que pode gerar mais segurança e

autonomia nos alunos.

7- o desenvolvimento da criticidade e de competências importantes para a vida

dos alunos.

Viana (2015) desenvolveu um trabalho voltado para a discussão da

planificação de superfícies como forma de contribuir para a avaliação de propriedades

das figuras geométricas espaciais. A pesquisa teve como objetivo analisar desenhos

de planificação elaborados por 842 estudantes de 9º ano do Ensino Fundamental e 3º

ano do ensino médio (Quadro 5), de modo a analisar e avaliar: a) A identificação de

propriedades das figuras geométricas espaciais mais comuns estudadas ao longo do

ensino básico; b) O estabelecimento de relações espaciais designadas como noções

projetivas referentes à construção do espaço representativo. Entendido por muitos

professores como tarefa simples; no entanto, encontra-se certo grau de dificuldade de

identificação de uma representação da imagem da figura planificada pelo estudante,

fator que desafia muitos docentes a buscar outras alternativas de recursos como

materiais manipuláveis ou softwares de geometria dinâmica.

Quadro 5- Distribuição de estudantes na pesquisa de Viana

Fonte: Viana (2015)


A autora transversa um olhar sobre a planificação de superfícies de sólidos

(prismas, Pirâmides, cilindro, cone e esfera) a partir de descritores das avaliações em

larga escala em paralelo com a Teoria do desenvolvimento do pensamento

geométrico de Van Hiele (1986) e da teoria das representações semióticas de

Reymond Duval. Para ela, os resultados encontrados: “permitem questionar os

pressupostos adotados pelos sistemas de avaliação em larga escala, que incluem

questões de planificação em suas provas com base nos descritores de suas matrizes

de referência”, possibilitou analisar por outro lado que:

questões desse tipo não revelam as dificuldades que tem o estudante em coordenar os pontos de vista da figura e em estabelecer as relações concernentes a medidas e ângulos – conceitos imprescindíveis no estudo da geometria métrica e de posição. (VIANA, 2015, p.866).

As matrizes de referências para avaliações em larga escala destacam as

habilidades básicas e necessárias para cada bloco de conteúdo a partir de seu eixo,

que consideram a planificação de superfícies de figuras espaciais uma delas. No

ensino de Pirâmides, muitos alunos possuem dificuldades de visualização e desenho

das figuras espaciais na folha do caderno, ou seja, no plano. Ao desenvolver

atividades de sua pesquisa, analisou desenhos de planificação superfícies de

Prismas, Pirâmides, Cones, Cilindros e Esferas.

A pesquisa apoiou-se nos princípios piagetianos acerca da construção das

noções projetivas relativas à construção do espaço representativo, organizou análises

referentes a níveis de desenvolvimento dessas noções em categorias. Os PCN

(BRASIL, 1997, apud VIANA, 2015) sugerem que devem ser dadas oportunidades que

permitam a exploração de propriedades de figuras tridimensionais a fim de favorecer

a formação de conceitos e o desenvolvimento do pensamento geométrico.

Os níveis de análise foram organizados em categorias que variam de um a

cinco, em que o mais baixo caracteriza-se pelo estabelecimento de noções

topológicas e a não identificação de propriedades das figuras até o nível mais elevado,

o cinco, as quais os desenhos revelaram a identificação das principais propriedades

e o estabelecimento de relações projetivas e euclidianas. A partir desses critérios, foi

possível que a autora pudesse discutir a planificação de superfícies como forma de

contribuir para a avaliação das propriedades das figuras geométricas espaciais.


Os desenhos de planificação de superfícies produzidas pelos alunos foram

interpretados à luz da teoria dos registros de representação semiótica de Duval

(2009), sob o entendimento que o mesmo afirma que embora a apreensão dos objetos

matemáticos seja conceitual, a atividade cognitiva sobre esses objetos só é possível

por meio das representações semióticas. Nessa perspectiva, “pedir ao estudante que

desenhe a planificação – ao contrário de solicitar o reconhecimento de uma

planificação pronta – pode contribuir para a representação (e não apenas para a

percepção) das propriedades das figuras geométricas espaciais”. (VIANA, 2015,

p.866).

A pesquisa concluiu que os estudantes envolvidos (mesmo os de ensino

médio), demonstraram fraco desempenho, em média 35,5% dos participantes não

conseguiram responder às atividades propostas, não identifica as principais

propriedades das figuras espaciais e também tinham dificuldades de estabelecer as

relações projetivas e euclidianas e que oportuniza o estudante desenhar a planificação

de superfícies– ao contrário de solicitar o reconhecimento de uma planificação pronta

– pode contribuir para a representação (e não apenas para a percepção) das

propriedades das figuras geométricas espaciais.

Exemplos de planificações executadas pelos alunos, apresentadas de

acordo com os 5 níveis de análise considerados. Codificações utilizadas: PA-

paralelepípedo, PI-Pirâmide, PH- Prisma hexagonal, PP- Prisma pentagonal, CI-

Cilindro e CO-Cone.

Figura 25: Resposta de atividade proposta por Viana

Fonte: VIANA (2015, p. 859)


O trabalho de Boiago (2015) investigou as contribuições de uma proposta

de ensino baseada numa SD que envolveu o cálculo de área de figuras planas com

composição e decomposição de formas geométricas e um processo de modelagem

de logotipos figurais para o ensino de Geometria Plana, que utilizou o software de

Geometria Dinâmica GeoGebra6 e requereram procedimentos um tanto diferenciados

por envolver processos cognitivos que merecem ser mais bem entendidos do que as

proposições dos livros didáticos.

O autor destaca o caráter social e científico da Matemática:

[...] são evidenciados os aspectos utilitários da matemática na formação do cidadão verificáveis nas compras, no cálculo do aumento dos salários, nas estatísticas publicadas nos jornais, na utilização das grandezas e medidas em muitas situações do cotidiano, no segundo, coloca-se foco no desenvolvimento das formas de pensamento demonstráveis pelo sujeito que investiga, compreende, relaciona, argumenta, generaliza e representa aspectos estruturais da matemática. Essas justificativas podem ser vistas nos parâmetros curriculares nacionais do ensino fundamental (BRASIL, 1998) apud (BOIAGO, 2015, p.15)

No trabalho, os conteúdos são classificados em três categorias: conteúdos

conceituais (que envolvem fatos e princípios), conteúdos procedimentais -que indicam

um saber fazer- e atitudinais -que envolvem normas, valores e atitudes (BOIAGO,

2015, p. 16). Organiza ainda uma revisão de estudos com categorizações e autores

consultados em dificuldades dos alunos no ensino de Geometria, baseados nas

principais fontes Baldini (2004), Chiummu (1998), Facco (2003), Frade (2012) Perrota

e Perrota (2005) e Pirola (2000); com relação aos conceitos, baseia-se nos estudos

de Sternberg (2000) e define a perspectiva cognitiva clássica da aprendizagem

significativa de David Ausubel (Ibid, p.16); nas pesquisas referentes à aprendizagem

de área de figuras planas, verificou-se uma discussão muito ampla no que se refere à

dimensão conceitual desse conteúdo (ALMOULOUD et al., 2004; BALDRINI, 2004;

FACCO, 2003; MACHADO, 2011; NUNES, 2011; PAULA, 2011; SANTOS, 2011), no

entanto, chama atenção para a ausência de trabalhos que discutam a dimensão

procedimental dos conteúdos em Geometria.

Ao parafrasear Valente (1999), o autor faz referência à utilização do

computador no ensino de Geometria ao afirmar que

6 Software de Geometria Dinâmica, gratuito, que permite a visualização e a construção de figuras geométricas planas e espaciais dentre outras funções como calculadoras e criação de simuladores matemáticos.


a aprendizagem deixa de ser a simples memorização da informação transmitida pelo professor e passa a ser a construção do conhecimento realizada pelo aluno de maneira significativa, em que o professor será o mediador do processo de formação de conceitos e de procedimentos. (BOIAGO, 2015, P. 17).

Apoia-se na revisão sobre modelagem, nos autores Bassanezi (2006),

Bienbengut e Hein (2007), Silveira (2007), Barbosa (2001) e Burak (2010), no entanto,

observa que poucos exploram essa metodologia para o ensino de conceitos e

procedimentos de Geometria. As análises foram fundamentadas na teoria da

aprendizagem significativa de procedimentos, feitas a partir dos registros de

representação semiótica com vistas a interpretar os desenhos e símbolos utilizados

pelos alunos como registros, na perspectiva de Raymond Duval (2003, 2011 e 2012).

Outros estudos de revisão consideraram Luna (1997), Alves (1992) e

autores que tratam da engenharia didática como Régine Douady (1986, 1987) além

de já ter mencionado a teoria dos registros de representação semiótica de Raymond

Duval (1993, 1994, 1995), todos citados por Facco (2003). Sobre modelagem e

Geometria, Reinheimer (2011) respaldado em Ausubel (2003) com a aprendizagem

significativa em Geometria.

O estudo apontou, ainda, alguns obstáculos apontados por Bisognin e

Bisognin (2012) que analisaram as percepções de professores que concluíram um

curso de Mestrado em Ensino de Matemática e que utilizaram a modelagem

matemática em suas dissertações para a implementação de atividades, numa

perspectiva de repercussões no ensino e na aprendizagem docente e discente:

- Ao que se refere ao eixo de possibilidade de mudança na prática docente, foram encontrados relatos de professores indicando que a modelagem favorece o desvencilhar de aulas livrescas e a utilização de metodologias que promovem mudanças de concepções sobre o Ensino de Matemática; - Para o eixo das dificuldades no exercício da docência com modelagem Matemática, os professores queixaram-se do tempo, da quantidade de leitura e interpretações de situações para que atividade de modelagem seja bem sucedida, o trabalho com a leitura e a escrita e a insegurança dos alunos em ter que construir algo novo, já que estes estão acostumados ao fato de ser o professor a figura responsável pela condução das tarefas; - E, por fim, o eixo das repercussões em que, para os docentes, o desenvolvimento desse tipo de atividade promove uma transformação no modo de pensar e agir no âmbito da sala de aula, uma mudança de concepção sobre o que é ensinar Matemática; para os discentes, a modelagem promove um maior contato com o conteúdo matemático e o desenvolvimento da capacidade de trabalhar em grupo. (BOIAGO, 2015, 25-26).


O pesquisador tratou de elencar obstáculos e resistências de acordo com

quadro de categorias propostas por Silveira e Caldeira (2012), que subdividem os

obstáculos e resistências em aplicações com modelagem matemática:

(a) Professor e suas relações com o trabalho;

(b) Professores e suas relações com a escola;

(c) Professor e suas relações com o currículo;

(d) Alunos e suas relações com a modelagem;

(e) Professores e suas relações com as famílias dos alunos.

Buscou ainda analisar a utilização de tecnologias como outra tendência da

Educação Matemática a partir dos estudos de Pereira (2012) e constatou que os

alunos demonstraram segurança quanto aos conceitos explorados com o auxílio do

GeoGebra, apresentou capacidades de interação, conjectura e reflexão sobre os

conceitos em questão.

Outra abordagem feita no trabalho, encontra-se em torno do ensino de

Geometria de acordo com os documentos oficiais, demonstrou a importância de dar

atenção ao que está prescrito nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998)

no que tange aos indicadores que organizam parte do currículo de Matemática, em

que é previsto o ensino por competências e habilidades e distribui o currículo de

Matemática em blocos, o que deu origem ao termo “espaço e forma”.

Para o ensino médio, os documentos PCN (1998), PCN+(2002) PCNEM (2002) e OCNEM(2006), apresentam quatro unidades temáticas: geometrias plana, espacial, métrica e analítica e indicam o estudo de definições e propriedades, posições relativas de objetos métricos, relações entre figuras espaciais e planas, sólidos geométricos, propriedades de congruência e semelhança de figuras bidimensionais e tridimensionais, análise de diferentes representações das figuras planas e espaciais, tais como desenho, planificações e construções com instrumentos.(BOIAGO, 2015, p. 31).

A aprendizagem significativa é amplamente apresentada em seguida, na

qual discorre sobre os processos de solução de problemas, estudados e citados por

vários pesquisadores da área da psicologia, como, por exemplo, Echeverría e Pozo

(1998), Mayer (1992), Polya (1978) e Sternberg (2000). Trata especificamente do

estudo de semiótica de Duval e da utilização de softwares no Ensino de Matemática

com Valente (1999).

Participaram da pesquisa 37 alunos do terceiro ano do ensino médio do

Instituto Federal do Triângulo Mineiro Campus Ituiutaba-MG. Sua aplicação foi


realizada em sala de aula em horários de aulas normais. O trabalho desenvolvido tem

características que o classificam como pesquisa do professor, conforme definições de

André (2006), Fazenda (2005), Ludke (2001a, 2001b) e Zeichner (1998).

A proposta foi composta pelas fases descritas a seguir:

• 1ª fase: Levantamento dos conhecimentos prévios acerca da composição e

decomposição e do cálculo de área de figuras geométricas planas;

• 2ª fase: Elaboração e aplicação da SD para o tema;

• 3ª fase: Aplicação do trabalho com a modelagem matemática.

O trabalho evidenciou alguns aspectos importantes como a organização do

professor (tempo e modo de tratar os conteúdos relativos ao conteúdo de Geometria);

disponibilização de computadores para os alunos; persistência por parte dos alunos;

e necessidade de o professor ter uma experiência prévia com a modelagem, e possui

uma proposta caracterizada como de campo ou naturalística. A SD foi elaborada com

base nas condições para a aprendizagem significativa de Ausubel (2003) e realizado

levantamento de desempenho dos participantes numa prova (pontuação dos acertos

e erros) como forma de diagnosticar os conhecimentos prévios sobre o tema.

Figura 26: Respostas apresentadas para atividade apresentada por Boiago

Fonte: BOIAGO (2015, P. 73)

Boiago (2015) analisou figuras, palavras e expressões empregadas pelos

participantes nas respostas das questões com base nos processos de formação, de

tratamento e de conversão dos registros de representações semióticas, formou

categorias relativas à apreensão operatória das figuras geométricas, conforme

definições de Duval (2010, 2011, 2012). As fases da modelagem foram descritas e

relacionadas com as fases propostas por Barbosa (2001); Bassanezi (2006);

Biembengut e Hein (2007); e; Burak (2010). A fase de obtenção do modelo foi descrita

com base nas etapas de solução de problemas, conforme elencadas por Brito (2006).

Os processos cognitivos desencadeados pela representação do modelo na tela do


GeoGebra (Fig.27) foram descritos com base nas categorias relativas à apreensão

operatória da Geometria de Duval (2011) e no papel da informática no ensino e na

aprendizagem, conforme Valente (1999).

O autor conclui a pesquisa com destaque ao trabalho com a modelagem

matemática de logotipos figurais, pois segundo ele, permite que o professor modifique

a dinâmica da sala de aula, assume um papel de orientador ao invés de mero

transmissor do conhecimento, o que pode favorecer a formação de atitudes mais

favoráveis à Matemática. Nesta perspectiva, a figura do professor orientador é aquela

voltada para acompanhar de perto o raciocínio dos alunos, mostra/aponta caminhos

para que eles alcancem seus objetivos, descreve todo o desenvolvimento da

modelagem matemática de logotipos figurais, que evidenciou alguns processos

cognitivos empregados pelos alunos e que podem contribuir para a compreensão de

vários conceitos e procedimentos referentes à Geometria Plana básica como na

Figura 27.

Figura 27: Janelas do GeoGebra com um modelo matemático

Fonte: BOIAGO (2015, p. 161)

O trabalho de Borsoi (2016) fez um estudo sobre possibilidades de

aprendizagem de Geometria Espacial com o GeoGebra 3D a partir de uma SD que

objetiva provocar o desenvolvimento espacial, enfatiza a interação dinâmica entre o

objeto tridimensional e diferentes planos de corte a partir de tecnologias. A pesquisa

apoiou-se nas ideias de Van Hiele apud (Crowley,1994), Duval (2003, 2012) e

Gutiérrez (1992, 1998) e possui estruturação na Engenharia Didática como

metodologia de pesquisa.

Segundo a autora, a importância da utilização de tecnologias é evidente na

atualidade, que é


praticamente impossível negar ou omitir a forma como as novas tecnologias da informação e da comunicação (TIC´s) vêm transformando a sociedade, as relações e a própria forma de pensar e agir do ser humano. Principalmente nas últimas décadas, percebe-se um avanço no uso destas novas tecnologias no panorama educacional, não apenas por este novo perfil de sociedade, altamente tecnológica, mas principalmente pelo seu valioso potencial na construção do conhecimento. A tecnologia, quando utilizada de forma correta, traz uma nova configuração para a sala de aula, transformando-a em um espaço de construção de conceitos e de exploração de argumentos e hipóteses. (BORSOI, 2016, p. 13).

A partir da questão de pesquisa: de que forma o software de Geometria

Dinâmica GeoGebra pode contribuir no desenvolvimento da habilidade de

visualização espacial e na melhor compreensão de conceitos relativos à Geometria

Espacial? - A pesquisadora aplica uma sequência e realiza a análise a priori e a

posteriori como forma de validar o desenvolvimento dos alunos no tema, e organiza

um GeoGebrabook como produto do trabalho, para uso de professores e alunos da

educação básica.

Em sua discussão teórica, subdivide a capítulo em duas seções: a primeira

traz um breve apanhado do panorama do ensino da Geometria Espacial na Educação

Básica, na qual Pais (2006) sinaliza a valorização do enfoque experimental e o uso de

situações de problemas cotidianos como características significativamente presentes

nos livros analisados da última década quanto ao ensino de Geometria, identifica

fortes mudanças ao longo da história, dada à importância desta unidade curricular ao

longo dos anos, além de grandes discussões sobre o tema em eventos nacionais e

internacionais.

Traz em seguida, diversos estudos sob a perspectiva de Van Hiele. Por

outro lado, Kaleff (2003, apud Borsoi 2016), afirma que “a habilidade da visualização

é tão ou mais importante do que a de calcular numericamente e a de simbolizar

algebricamente e que os educadores tomam consciência sobre a importância para a

formação global do aluno”, dessa forma, o ambiente de Geometria Dinâmica

GeoGebra 5.0 3D ganha destaque em seguida.

Na segunda seção, trata das possibilidades do GeoGebra 3D segundo os

trabalhos de Gravina (2015), que afirma que “pode-se rotacionar a construção

realizada e assim obter visualizações sob todos pontos de vista do objeto, geram

sequenciais “sólidos em movimento” que enriquecem a imagem mental e,


mesmo que os softwares não ofereçam novos tipos de registro em comparação com aqueles produzidos com lápis e papel, eles estabelecem outro modo de produção. Por exemplo, com softwares de geometria dinâmica, as representações figurais podem ser manipuladas como se fossem objetos reais e isto ajuda na exploração heurística de situações matemáticas. (DUVAL, 2011 apud BORSOI, 2015, p. 22)

Segundo Fischbein (1993, apud GRAVINA, 2015), os objetos geométricos,

sejam eles tecnológicos ou manipulativos se constituem de duas componentes

essenciais: a conceitual e a figural e a correlação entre estas duas é indispensável. A

componente conceitual representa as propriedades que caracterizam um tipo de

objeto por intermédio de linguagem natural escrita, simbólica ou falada, com maior ou

menor grau de formalismo, permita descobrir características formais e informais sobre

o objeto estudado, afirma Borsoi (2016).

A proposta foi implementada em uma turma de 3º ano do ensino médio de

uma escola da rede pública estadual de Farroupilha/RS, no ano de 2015 e cada

atividade da sequência analisada segundo as teorias estudadas, sobre a visualização

e sobre o GeoGebra (Fig. 28), consideram ainda o modelo de Van Hiele descrita por

Crowley (1994).

Por fim, a autora conclui que

-A abordagem tradicional da Geometria Espacial, que em alguns casos, vêm se restringindo ao estudo de área e volumes, está distante de convencer o aluno de que a Geometria se relaciona com o mundo que o cerca e de promover o desenvolvimento de habilidades e do pensamento geométrico. Entendemos que o trabalho com a Geometria deve ser mais investigativo, instigando o aluno a explorar e analisar situações geométricas;

- o uso da tecnologia e em especial, nos softwares de Geometria Dinâmica,

torna-se uma possibilidade de potencializar o estudo da Geometria Espacial, mais significativamente e interessante aos olhos do aluno; - O uso do GeoGebra 3D permitiu a exploração de representações muito próximas dos objetos reais e de uma rica variedade de representações de um mesmo objeto. Assim, a partir de seu uso, verificou-se a possibilidade de superar dificuldades quanto ao processo de representação mental destes objetos, essencial para a formalização dos conceitos em Geometria. (BORSOI, 2016, p. 108-109).

Mesmo com o uso do software, torna-se imprescindível o uso do registro

no caderno.


Figura 28: Resolução de atividade proposta por Borsoi

Fonte: BORSOI (2016, p. 94)

A atividade descrita na Figura 28 é amostra de uma proposição com o uso

da figura construída no GeoGebra, sua visualização e tentativa de resolução com

papel, lápis e borracha (mesmo sem sucesso), ao mesmo tempo em que a autora

lembra que ficou evidente que ao longo de toda proposta, e conforme já apontado no

decorrer das atividades, a atuação dos alunos em atividades que mobilizaram todas

as apreensões descritas por Duval (2003) no conjunto de atividades aplicadas.

Figura 29: Conversões de registro de atividades

Fonte: BORSOI (2016, p. 102)

Na Figura 29, a autora solicita que o aluno converta o registro de uma

atividade: objeto 3D → lei da função e o software produz, de forma imediata, a

conversão lei da função → gráfico. Segundo seu trabalho, “os alunos classificaram


esta atividade como a mais complexa e disseram que ‘tinha um pensamento

diferente...’ e ‘tínhamos que pensar mais...’ (BORSOI, 2016, p. 102). Conclui ainda

que ao interagir com o software de Geometria Dinâmica, os tratamentos e as

conversões do registro figural se processaram de forma diferenciada, uma vez que as

possibilidades de interação e manipulação permitiram a construção de relações mais

significativas entre representações de um objeto e as imagens mentais dos alunos

(IBID, 2016, p. 108).

Em Bittencourt (2014), Cordeiro (2014) e Zilkha (2014) encontramos um

estudo com o objetivo de estudar os efeitos da visualização do ensino de conteúdos

matemáticos com o GeoGebra na construção pantógrafo (Fig. 30), elipsógrafo e

teodolito respectivamente. Os três trabalhos apresentam as mesmas características e

partes. Neles estão dispostos aspectos históricos e organizam passos para a

construção do elipsógrafo, do pantógrafo e do teodolito com o GeoGebra além de

apontar justificativas pedagógicas e Matemáticas para as atividades desenvolvidas.

O trabalho baseia-se no uso do instrumento sem preocupar-se em definir o

que classifica ou pode ser considerado um instrumento e de que forma este contribui

como tecnologia. Tal observação deixa uma lacuna sobre o esforço a mais que o

docente terá para a orientação do estudante quanto ao uso do instrumento

adequadamente à tarefa proposta.

Figura 30: Resolução de atividade proposta por Bittencourt

Fonte: BITTENCOURT (2014, p. 61)

Os autores observam que a retirada da disciplina de desenho geométrico

representa uma grande perda para o desenvolvimento do aluno e das habilidades

necessárias ao apontar que a manipulação de instrumentos mediante simulação por

meios virtuais, contribui até mesmo para a motivação. Bittencourt (2014) destaca que

a atividade mostrou tornar suas aulas mais atrativas e facilitar o aprendizado de seus

alunos. Segundo Zilkha (2014) a visualização pode ser feita de vários ângulos.


Aparentemente, a figura funcionou bem, mas quando girada encontrou-se alguns

erros, que não seriam percebidos no plano. Para Cordeiro (2014), “a construção do

elipsógrafo estimula a construção do conhecimento matemático devido à utilização de

um software que transforma a linguagem algébrica em linguagem geométrica e, vice-

versa, oferece ao aluno a possibilidade de relacionar os temas aprendidos de forma

rápida e eficaz”.

Numa análise qualitativa, no estudo de Medeiros (2014), o ensino de

Geometria Plana e Espacial foi desenvolvido com o auxílio dos softwares

educacionais sketchUp e Visual Class de forma atrativa, interativa e dinâmica para

alunos do 2º ano do ensino médio.

As atividades foram estruturadas em duas etapas, de maneira que a

primeira trata da criação de sólidos geométricos com canudos e barbantes para o

desenvolvimento de uma visão tridimensional e a segunda etapa, a criação de objetos

geométricos relaciona jogos e questões de Geometria em oficinas.

As novas tecnologias nos dão diversas possibilidades para o

desenvolvimento de material que apresente uma maior interatividade entre os

estudantes e professores. A partir dos softwares [...] os alunos podem usar

ferramentas que possibilitam aprender de forma mais prazerosa, afirma Medeiros

(2014). O autor finalizou o trabalho ao enfatizar os aspectos que positivaram o

processo, que sinalizou para o maior interesse, despertar da criatividade e um

crescimento qualitativo na aprendizagem de Geometria, e que a busca por

metodologias alternativas, nesse caso o uso de tecnologias, supera as dificuldades

de ensino e consequentemente reflete na aprendizagem.

O trabalho de dissertação de mestrado de Moraes (2014) apresentou uma

proposta de utilização de materiais didáticos no ensino de Geometria Espacial com

foco na resolução de problemas, baseadas nas teorias de Van Hiele, Gutirrez e uma

abordagem das contribuições da Neurociência no ensino e na aprendizagem de

Matemática, possui como finalidade desenvolver habilidades de visualização e de

resolução de problemas. A autora realizou uma revisão bibliográfica para fundamentar

a elaboração da proposta. Elaborou a atividade, orientou para a resolução dos

problemas propostos e apontou que sua proposição é apenas um complemento para

a rotina escolar, além de sugerir a adequação de materiais e atividades, mas ressalta

que é indispensável que atividades não rotineiras são necessárias para tornar o

ensino mais agradável de ser ensinado e de ser aprendido.


O objetivo da pesquisa de Palles (2013) foi estudar a visualização

geométrica dos “registros figurais dinâmicos”, definido pela autora como registro

figural utilizado e ambientes de geometria dinâmica, por meio da Teoria dos Registros

de Representações Semióticas. A pesquisadora utiliza o aporte teórico de Duval

(2003, 2004 e 2012) associada ao software Cabri 3D7, utilizou a teoria citada na

análise dos resultados de uma SD proposta por Possani (2012), para a construção de

uma fórmula para o cálculo da medida do volume de um icosaedro e buscar meios

para saber se a mesma permite o desenvolvimento da visualização de acordo com

Duval (2004). Para a autora,

a tecnologia pode ser usada na educação matemática como um instrumento motivador na realização de tarefas exploratórias e de investigação à medida que facilitam as construções geométricas e suas modificações para que os alunos possam se dedicar à análise dos resultados. (PALLES, 2013, p. 13)

Ao corroborar com Duval (2004 apud PALLES 2013, p. 13), a autora afirma

que “a visualização é a atividade cognitiva, intrinsecamente semiótica, ao considerar

esta atividade de representação e não apenas de percepção” e Garcia (2006 apud

PALLES, 2013, p.13) afirma que “a visualização torna-se uma forma mais efetiva para

uma melhor compreensão da Matemática apesar das linguagens verbais e escritas

serem as mais utilizadas em sala de aula”, a autora desenvolve uma revisão

bibliográfica as quais acrescentou os autores Garcia (2007) na educação Matemática,

Alves (2004), na área de informática Cavalca (1997) e Becker (2009).

A pesquisa apoia-se na psicologia da Gestalt, pelo caráter de estudos da

percepção, aprendizagem e solução de problemas. Na sua revisão de estudos pôde

identificar diversos elementos de outros teóricos como Piaget, Vigostky e Van Hiele

que contribuísse com o tema, dedica-se a responder sua questão de pesquisa: Quais

os elementos essenciais para o desenvolvimento da visualização estão presentes em

uma SD para a construção da fórmula para o cálculo de medida do volume do

icosaedro por meio do software dinâmico Cabri 3D? (PALLES, 2013, p. 8). Afirma

ainda ter identificado que o desenvolvimento das habilidades visuais é um fator

importante e comum a outras áreas, a exemplo informática, cultura e atividade e

desenho.

7 Software de Geometria Dinâmica, pago, que permite visualização e a construção de figuras planas e espaciais.


Os procedimentos metodológicos adotados nesse trabalho perpassam

inicialmente pelo estudo de caso, ao assumir um caráter analítico, busca a semiótica

como aporte teórico e que após a análise documental, analisou as situações

apresentadas na sequência de Possani (2012) a fim de identificar elementos

essenciais das configurações envolvidas, pois para Palles:

A conversão de uma representação “é a transformação dessa função, em uma interpretação em outro registro, conservando a totalidade ou parte somente do conteúdo da representação inicial” (Duval, 2012, pag. 272). São exemplos de conversões: a ilustração que converte uma representação linguística em representação figural8, a ilustração que converte uma representação linguística numa determinada língua em outra representação linguística de outra língua, dentre outros. (PALLES, 2013, p.37).

Após a análise de cada atividade proposta na sequência, a autora faz as

considerações baseadas no aporte teórico, em que descreveu toda a atividade e

chama a atenção para a existência de muitas lacunas a respeito da visualização

espacial, e conclui que percebeu –se o papel heurístico da figura em grande parte das

atividades, no entanto, as atividades deveriam ser melhor exploradas, pelo fato de que

as mesmas prenderam –se muito a um “passo a passo”. Outra observação foi quanto

aos tratamentos figurais e consequentemente as apreensões sequencial, perceptiva

e operatória, assim, o conjunto de atividades que compõe a sequência não permite o

desenvolvimento da visualização (PALLES, 2013, p. 69).

De caráter experimental, o trabalho de Santos e Weber (2014) fazem um

estudo sobre “Realidade no espaço virtual: micromundos no ensino de Geometria”,

com o objetivo de investigar o potencial de ambientes virtuais em 3D para o ensino de

Geometria Espacial. Utiliza o ambiente Second Life9 para a o auxílio na criação de

conceitos sobre poliedros.

Os autores apoiaram-se no conceito de polifonia de Bakhtin para a

diferenciação entre o discurso utilizado no laboratório de informática e no discurso

encontrado em sala de aula, consideram ainda que no mesmo ambiente é possível

considerar várias “vozes” que possuem o mesmo valor, nesse caso, considera-se o

diálogo entre o aluno, o objeto e o professor, no experimento.

8 é uma representação gráfica de uma marca comercial ou da sigla de uma instituição, apresentada

na forma de figura. 9 Second Life- Ambiente virtual tridimensional que simula aspectos da vida real e do cotidiano das pessoas inclusive com a utilização de avatares.


A partir da nova realidade que considera a inclusão digital ocorrida

atualmente, é impossível não considerar a relação que os alunos possuem com as

tecnologias digitais, nesse contexto, os autores buscam fundamentação no

construcionismo de Papert, em que o mesmo defende que:

podem existir obstáculos nesse processo relacionados à possibilidade de haver conflito entre o novo conhecimento e o que se observa na experiência cotidiana. Segundo ele, os micromundos são como “um ambiente de aprendizagem interativa baseado no computador onde os pré-requisitos estão embutidos no sistema e onde os aprendizes podem tornar-se ativos, arquitetos construtores de sua própria aprendizagem” (PAPERT, 1985, p.151) apud (SANTOS E WEBER, 2014, p. 156)

Sob o ponto de vista exposto acima, os autores trazem uma reflexão acerca

da importância do micromundo como proposta pedagógica capaz de sanar problemas

pedagógicos existentes na estrutura do conhecimento, à medida em que proporciona

ao aluno a construção de situações de erro a partir do ambiente, valoriza este erro

como ponto de partida para o estudo.

Outro aspecto importante do trabalho é a análise do objeto, tratada no

modelo de desenvolvimento do pensamento geométrico de Van Hiele, pois os autores

citam o modelo como uma possibilidade para identificar se houve aprendizado do

objeto proposto, pois Santos e Weber (2014) afirmam que segundo Van Hiele (1985),

é imprescindível que o professor conheça o nível do pensamento geométrico em que

o aprendiz se encontra para que tenha condições de aproximar-se deste em seu

planejamento. Desta forma, pode-se utilizar os níveis propostos pelo modelo para

avaliar a aquisição do conhecimento geométrico proposto na pesquisa.

As atividades da pesquisa foram desenvolvidas a partir da criação de um

laboratório no Second Life com seis salas que contém vinte e oito objetos dispostos

estrategicamente para a construção do conceito de poliedros a partir das fases do

desenvolvimento de Van Hiele. Participaram do experimento, 107 alunos do ensino

médio de duas escolas do Rio Grande do Sul. Os alunos dividiram-se em grupos de

até quatro integrantes, criaram um avatar para cada grupo e desenvolveram

atividades dentro e fora da sala de aula, com e sem a presença do professor. Os

sólidos foram distribuídos por salas com níveis diferentes e com perguntas abertas e

de identificação de elementos, de acordo com os níveis considerados pelo modelo de

Van Hiele, direcionadas a cada um quando clicados com duração estipulada a cada

pergunta.


No desenvolvimento das atividades no ambiente virtual, o professor,

independente de estar a distância, comunicava-se com os alunos via chat. Sobre

algumas posturas dos discentes envolvidos, cabe destacar duas fases do aprendizado

de Van Hiele: a interrogação e a orientação dirigida. Elas estavam presentes nas

intervenções do professor quando questionou sobre escolhas dos alunos frente às

perguntas propostas. Segundo os autores,

a partir da análise dos textos apresentada, podemos considerar que as interações entre objetos e avatares, por conversação ou de forma visual, foram fundamentais para que houvesse reflexões acerca de conceitos envolvidos na construção de um poliedro e avanços no pensamento geométrico. Notamos também que a disposição dos objetos, aliada a postura do professor, preconizou o domínio do dialogismo nas interações textuais, o que foi determinante para a presença de uma aprendizagem mais centralizada nas ações dos aprendizes. Portanto, consideramos que a imersão no laboratório virtual construído no Second Life propiciou simulações importantes para a evolução do pensamento geométrico do sujeito, o que nos faz crer que o micromundo em questão pode ser um diferencial para o desenvolvimento do pensamento geométrico. (SANTOS e WEBER, 2014, p. 167).

Fica clara a necessidade de abrirmos espaço para atividades e

metodologias aplicadas a partir de tecnologias digitais, uma vez que tais recursos

fazem parte do cotidiano, hoje, da maioria dos lares brasileiros, e a escola não pode

ficar à margem da realidade social vivenciada pelos nossos alunos. Dessa forma, a

interpretação dada à atividade desenvolvida no trabalho corrobora com tal importância

dada, e demonstra-se o modelo de Van Hiele como importante teoria para

compreender o nível de ensino e aprendizado em Geometria a ser trabalhado pelo

professor.

Schnornberger (2014) aplicou uma SD que explora atividades de

visualização bidimensional e tridimensional com o objeto digital de aprendizagem

Pletora de Poliedros10 (Fig. 31), a partir do estudo de caso numa escola de ensino

médio da rede estadual da cidade de Canoas-RS.

O pesquisador coletou dados a partir dos resultados de exercícios e

atividades propostas como diagnósticas com questões propostas no Exame Nacional

do ensino médio e vestibulares de diversas instituições. Os aspectos socioeconômicos

também foram verificados a partir de um questionário e os aspectos pedagógicos, em

10 Objeto digital de aprendizagem. Disponível para download em http://www.uff.br/cdme/ ou

http://www.cdme.im-uff.mat.br/. (SCHNORNBERGER, 2014, p.7)

http://www.uff.br/cdme/

http://www.uff.br/cdme/

http://www.cdme.im-uff.mat.br/

http://www.cdme.im-uff.mat.br/


um diário de campo, no qual registrou suas percepções sobre as atividades com base

na sua fundamentação teórica.

Figura 31: Resolução de atividade proposta por Schonornberger

Fonte: SCHNORNBERGER (2014, p. 51)

Para o estudo, utilizou-se como principais bases a teoria do

desenvolvimento do pensamento geométrico de Van Hiele (1957 apud Kallef 1994), e

sobre tecnologias Garcia (2012), Gravina et al.(1996, 2012) e Azevedo (2010).

“Entendo que na escola não há, atualmente, como todos os professores

utilizarem o laboratório de informática ou projetos ao mesmo tempo, mas uma

atividade prática como a proposta, contribui para sair da rotina da sala de aula”, afirma

Schnornberger (2014, p. 62).

O trabalho de Souza (2016), desenvolveu um estudo de caso, que objetiva

analisar o processo de formulação e resolução de problemas geométricos por alunos

do 3º ano do ensino médio, com base em atividades que se utilizam de materiais

manipulativos e atividades fundamentadas nos estudos de Stoyanova e Ellerton

(1996). Tal pesquisa foi desenvolvida no âmbito de um projeto submetido ao Programa

Observatório da Educação, da CAPES, e descreve-se como natureza qualitativa. Os

dados criados, foram coletados por meio de entrevista com base em Marconi e

Lakatos (2003), escrita dos alunos, áudios e vídeos.

Sobre o objeto de pesquisa, delimitou-se os sólidos de Platão, no entanto,

foram utilizados diversos sólidos em acrílico nas formas de cubo, cones, esferas,

Pirâmides e prismas além de moldes em cartolina guache.


Os resultados apresentaram que os discentes possuem grande dificuldade

em conteúdos geométricos, fortes implicadores de dificuldades na resolução de

problemas. Dessa forma, na formulação, muitos equívocos foram apresentados pelas

tentativas de participação de elaboração de problemas geométricos, uma vez que o

produto de tais atividades, embaraçaram-se entre situações não geométricos, e,

geométricos com ou sem dados numéricos, demonstra haverem apenas uma mesma

estratégia tanto ao elaborar, quanto ao responder aos problemas.

Medeiros e Santos (2007) citados no trabalho, partem do princípio de que

na Matemática, a atividade de reformulação é tão importante quanto a resolução,

constituindo um rico potencial didático, associada à criatividade a ao pensamento

contextualizado dos alunos enquanto Silver (1997) destaca que é fundamental para a

disciplina de Matemática a para a natureza do pensamento matemático, com a

promoção de abordagens mais criativas aos alunos (SOUZA, 2016).

Em suas referências bibliográficas, o autor aponta que a Geometria é um

dos assuntos presentes no ensino fundamental e médio tão importantes como

quaisquer outros e que, de acordo com os PCN (Brasil, 1998, 2002) tal conteúdo

deverá ser abordado na forma de espiral em todos os anos de estudo dos níveis

citados, aprofundou a abordagem de acordo com a série. No entanto, muitos

professores ainda resistem em trabalhar Geometria no currículo escolar nas mais

variadas séries. Por outro lado, autores como Pavanello (1993), Lorenzato (1995,

2002), que fazem parte do referencial teórico do trabalho em questão, apresentam

causas e consequências que justificam a importância do tema na educação básica,

donde Pavanello e Andrade (2002) acrescentam que a Geometria é uma das áreas

da Matemática que mais propiciam o desenvolvimento de capacidades intelectuais

como a criatividade e a percepção espacial.

A metodologia de resolução de problemas, embora não sejam tão efetivas

nas aulas de Matemática, é conhecida por muitos professores, e na Geometria

Espacial permite, dentre muitas possibilidades,

usar as formas geométricas para apresentar ou visualizar partes do mundo real é uma capacidade importante para a compreensão e construção de modelos para a resolução de questões de matemática e de outras disciplinas. Como parte integrante desse tema, o aluno poderá desenvolver habilidades de visualização, de desenho, de argumentação lógica e de aplicação na busca de solução para problemas. (BRASIL, 2002, p. 120 apud SOUZA, 2016, p.19).


Além de um histórico sobre o ensino de Geometria no Brasil, o trabalho

apresenta abordagem no âmbito das tecnologias e cita possibilidade do

desenvolvimento de atividades nos softwares poly e GeoGebra. O autor aborda Kaleff

(2003) para fundamentar-se em materiais manipulativos, critica a abordagem de

Geometria no quadro, apenas com desenhos na lousa e com o pincel não associou-

os com objetos do cotidiano. Neste trabalho, defende-se uma abordagem com

materiais didáticos concretos, de baixo custo e de grande valor sócio cultural, para o

ensino e aprendizagem de Geometria, pois ajuda o aluno a desenvolver a habilidade

da visualização, a construir, a explorar, comparar, fazer descobertas e analisar

propriedades, afirma Souza (2016).

O trabalho destaca diversos pontos de vista sobre a resolução de

problemas por meio das pesquisas de Branca (1997), Zuffi e Onuchic (2007), Onuchic

(1999), Van de Walle (2009), Calejjo e Vila (2004), e, Polya (1997), em que o último

sugere quatro etapas para a resolução de problemas: compreensão, elaboração de

um plano, execução do plano, e, retrospecto ou verificação. Destaca que por meio da

resolução de problemas devemos deixar de lado a sequência: “definição, exercício,

problemas” e passar a usar a tríade sequencial “problema, definição, exercícios e mais

problemas”. Acentua a contribuição de Rego e Paiva (2009) e DÀmbrósio (2008).

Smole e Diniz (2001) contribui com as definições sobre resolução de problemas e os

classifica em problemas convencionais e não-convencionais, esta última categoria

subdividida em: problemas sem solução, com mais de uma solução, com excesso de

dados e de lógica.

Na análise de resultados, Souza (2016) se reportou a Bogdan e Biklen

(1994) no processo de busca e de organização sistemática de transcrição de

entrevistas, notas e de campo e outros materiais acumulados ao longo da pesquisa,

destacam os problemas geométricos e não geométricos.

O autor detalha minunciosamente todas as situações problema

desenvolvidas apoiados nas ideias de Kaleff (2003), e não economiza nos registros e

diálogos entre os envolvidos, e, por fim, conclui que apesar das atividades baseadas

em material manipulativo serem mais atrativas, contrastam-se com as dificuldades na

resolução e formulação de problemas geométricos, principalmente por não terem base

em relação a conceitos e propriedades dos sólidos. Para o autor, “um bom ensino de

Matemática deve propiciar aos alunos a exploração do seu raciocínio, o


desenvolvimento de estratégias para a resolução de problemas e o potencial criativo

dos alunos.” (SOUZA, 2016, p. 116).

Conclui que a aprendizagem dos alunos deve ser efetivada a partir de

tarefas além das rotineiras e que a resolução de problemas está diretamente ligada à

criatividade. Com a apresentação da proposta de resolução de problemas

geométricos, os sujeitos da pesquisa sentiram-se menos intimidados pela Matemática.

Observa-se nas pesquisas supracitadas que o ensino de geometria embora

ainda se apresente numa abordagem clássica ou tradicional, muitas intervenções

pedagógicas com a utilização de tecnologias e material concreto empregadas com

êxito. Por outro lado, percebemos que não há um cuidado em relaciona-las com as

competências e habilidades necessárias para o êxito do estudante em avaliações

externas de larga escala, ainda distante da prática docente, embora já haja o cuidado

com questões mais contextualizadas que permitem observar atitudes e procedimentos

dos estudantes sobre o objeto de estudo, desta forma, acreditamos que a

contextualização das questões empregadas neste trabalho irão contribuir no tocante

à integralização do tema com o alinhamento às matrizes avaliativas externas.

1.2.1 Dos objetivos dos trabalhos revisados

O quadro abaixo, apresenta o objetivo principal de cada trabalho lido na

revisão de estudos, como forma de sintetizar as principais ideias por eles

apresentados. Procuramos categorizá-los em três grupos por níveis de pesquisa de

acordo com Selltiz (1967, apud GIL, 2008, p. 27): estudos descritivos, estudos

explicativos e estudos exploratórios. As pesquisas descritivas “têm como objetivo

primordial a descrição das características de determinada população ou fenômeno ou

o estabelecimento de relações entre variáveis”; “as pesquisas explicativas têm como

preocupação principal a identificação de fatores que determinam ou que contribuem

para a ocorrência dos fenômenos”; e; os estudos exploratórios “têm como principal

finalidade desenvolver, esclarecer e modificar conceitos e ideias, tendo em vista a

formulação de problemas mais precisos ou hipóteses pesquisáveis para estudos

posteriores” (GIL, 2008, p. 27).


Quadro 6- Objetivos dos trabalhos revisados

Código Categoria Título Objetivo

T8

Estudos Descritivos

PEREIRA, L. David. Projetos de modelagem matemática no ensino para a aprendizagem de Geometria Espacial no 2º ano do ensino médio.

Identificar e analisar as possíveis contribuições da realização de Projetos de modelagem matemática à aprendizagem de conteúdos de Geometria Espacial, por alunos do 2º ano do ensino médio.

T12

VIANA, O. Aparecida. Avaliação dos desenhos de planificação de figuras geométricas no Ensino Básico.

Analisar desenhos de planificação de superfícies elaborados por estudantes de ensino básico, de modo a avaliar: (a) A identificação de

propriedades das figuras geométricas espaciais mais comuns estudadas ao longo do ensino básico.

(b) O estabelecimento de relações espaciais designadas como noções projetivas referentes à construção do espaço representativo.

T2

Estudos Explicativos

BOIAGO, C. E. P. Área de figuras planas: uma proposta de ensino com modelagem matemática.

Verificar quais são as contribuições de uma proposta de ensino de Geometria Plana.

T3

BORSOI, Caroline. Geogebra 3D: no ensino médio: uma possibilidade para a aprendizagem da Geometria Espacial.

Provocar o desenvolvimento do pensamento geométrico espacial, nisso tira-se proveito dos recursos de representação que se tem no software, especialmente aquele que diz respeito a interação dinâmica entre as representações do objeto tridimensional e diferentes planos de corte.

T1

BITTENCOURT, P. M. Utilização do GeoGebra na construção de instrumentos: Pantógrafo. Facilitar a visualização do

ensino de determinados conteúdos matemáticos.

T4

CORDEIRO, J. C. da S. Utilização do GeoGebra na Construção de Instrumentos: Elipsógrafo.

T13 ZILKHA, P. M.


Estudos Exploratórios

Utilização do GeoGebra na construção de instrumentos: Teodolito.

T5

MEDEIROS, R. B de. Construção de sólidos

geométricos com a aplicação de softwares

educativos.

Auxiliar alunos do ensino médio com o estudo de Geometria a partir de softwares educacionais.

T6

MORAES, L.de S. de. A Geometria Espacial no ensino médio: um estudo sobre o uso do material concreto na resolução de problemas.

Utilizar os diversos tipos de materiais concretos existentes para resolver problemas.

T7

PALLES, C. Molina Um estudo do icosaedro a partir da visualização em Geometria Dinâmica.

Analisar por meio da Teoria dos Registros de Representações Semióticas de Duval uma SD para a construção de uma formula para cálculo de volume do icosaedro.

T9

SANTOS, R. P. dos; WEBER, J. M.

Realidade no Espaço Virtual: Micromundo do ensino de Geometria.

Investigar o potencial de ambientes virtuais em 3D para o ensino de Geometria Espacial

T10

SCHNORNBERGER, Thiago.

O uso da pletora de poliedro no ensino de Geometria Espacial

Testar e analisar as contribuições do uso de objetos digitais de aprendizagem em sala de aula, com softwares, no ensino e na aprendizagem de Geometria Espacial.

T11

SOUZA, S. A. de A formulação e a

resolução de problemas geométricos com base

nos sólidos geométricos.

Analisar o processo de formulação e resolução de problemas geométricos por alunos do 3º ano do ensino médio, com base em atividades que se utilizam de materiais manipulativos

Fonte: Autor (2018)

Seguem alguns comentários sobre os trabalhos analisados e suas

contribuições para nossa pesquisa.

Dentre as treze pesquisas analisadas, nove delas (T1, T2, T3, T4, T5, T7,

T9, T10, T13) utilizam softwares matemáticos para o ensino de Geometria Espacial e

utilizam na maioria das vezes o software GeoGebra, no entanto, apenas “T3”, “T7” e

“T10” propõem atividades específicas sobre o ensino de Pirâmides, contudo, os


trabalhos “T6”, “T8”, “T11” e “T12” utilizam material manipulativo ao invés de softwares

e apresentam atividades consideráveis sobre o objeto de pesquisa.

Os estudos aqui analisados apresentam atividades que tratam de

planificação de superfícies, elementos, classificação, relação de Euler, área total,

volume, tronco, resolução de problemas, história, construção com material concreto

reciclável, construção de Pirâmides com software de Geometria Dinâmica, resolução

de problemas com Pirâmides e construção de outros sólidos a partir da Pirâmide

(icosaedro). A sequência de conteúdos comumente apresentada nos livros didáticos

são consideradas mais importantes por parte dos professores, que se por um lado

desconhecem teorias que tratam sobre o conhecimento geométrico, por outro, não

apresentam nenhuma abordagem instrumental dos softwares utilizados,

consequentemente priorizadas no desenvolvimento do conteúdo de sala de aula numa

abordagem clássica de ensino que se utilizam de tecnologias como um diferencial da

explanação do conteúdo.

Outra característica observada foi o fato da utilização da modelagem

Matemática em quase um terço dos trabalhos analisados: “T2”, “T5”. “T6”, “T8”. Tais

indicadores apontam que o ensino tradicional está a cada dia mais deixado distante

do primeiro plano para o desenvolvimento de propostas de ensino de Matemática, ao

permitir que o docente aplique diferentes procedimentos e metodologias em sua

prática, com o favorecimento de um ensino amplo e diversificado em contribuição à

formação de um aluno mais crítico e autônomo.

Os estudos de “T8” e “T12”, revelam características dos estudantes na

construção e desenvolvimento de competências importantes e necessárias para

enfrentar os desafios do mundo atual como saber observar, explorar e investigar;

estabelecer relações, classificar e generalizar; ou ainda, instrumentalizá-lo de forma a

argumentar, poder tomar decisões e criticar, ao mesmo tempo em que pode-se

perceber que o ensino de planificações não deve prescindir da construção das noções

constitutivas do espaço representativo, e que planificar figuras espaciais não é tão

simples como muitos pensam, no entanto, ferramentas tecnológicas como softwares

tem papel importante para o desenvolvimento da capacidade de abstração do aluno e

um caminho possível nos dias atuais, mas que também podem ser potencializadas

por recursos que envolvam material concreto.

Na categoria de estudos explicativos, as pesquisas “T2” e T3”, apresentam

observações de semiótica e acompanham formas de apreensões figurais com a


utilização de atividades baseadas na manipulação de softwares ou não, ambas

contribuem para a exploração heurística de situações Matemáticas. Abre

possibilidades de estudos de outras características dos sólidos, ao mesmo tempo em

que fogem da mera abordagem clássica do cálculo de áreas e volumes como

prioridade para o ensino de Geometria Espacial, aplica-se também às Pirâmides. O

uso das ferramentas utilizadas explicitou representações muito próximas dos objetos

reais e de uma rica variedade de representações de um mesmo objeto, assim, superar

dificuldades quanto ao processo de representação mental destes objetos, essencial

para a formalização dos conceitos em Geometria que também foi um indicador

importante nestes trabalhos.

As pesquisas “T1”, “T4”, “T5”, “T6”, “T7”, “T9”, “T11” e “T13” revelaram a

valorização do enfoque experimental e o uso de situações do cotidiano como um

procedimento possível em detrimento das aulas baseadas na tríade: “definição,

exemplo seguida de resolução de exercícios”. “T1” destaca que manipulação de

instrumentos por meio de simulações virtuais, contribui para a motivação dos alunos,

“T4” afirma que mediante construção do elipsógrafo descortina aulas mais atrativas

que facilitam o aprendizado. “T5” ressalta em seu trabalho que a utilização do

Scatchup sinalizou para o maior interesse, o despertar da criatividade e o crescimento

qualitativo na aprendizagem de seus alunos. De outro ponto de vista, “T6”, alerta que

a utilização de material concreto é de suma importância desde que tenham uma

conexão com o exercício proposto, e que, por si só não adianta o material sem

atividade nem tampouco a atividade sem o material, porém, este serve apenas como

apoio para que o aluno desenvolva seu processo de raciocínio até que não seja mais

necessário o seu uso.

Verificamos uma lacuna quanto ao uso de questões nos moldes dos itens

cobrados em avaliações externas de larga escala, fator que julgamos de grande

relevância para o ensino, dessa forma optamos por abordar neste trabalho pelo fato

de ao mesmo tempo em que contribui para o aprendizado, oportuniza-se o

alinhamento entre currículo e objetivos de aprendizagem.

Acrescentamos ainda, a descrição dos trabalhos de Almeida (2015) e

Salazar (2009), por considerar que a leitura de ambos, contribuíram substancialmente

para o entendimento das questões ligadas aos aspectos conceituais deste trabalho.

Passamos agora a descrever algumas características das leituras e posteriormente

suas contribuições.


Quadro 07 - Relação de textos complementares Código Título Instituição Autores

TC1

A base do conhecimento para o

ensino de sólidos arquimedianos.

Pontifícia Universidade

Católica de São Paulo- PUCSP.

ALMEIDA, Talita C. S. de.

TC2

Gênese Instrumental na interação com o

Cabri 3D. Um estudo de transformações

geométricas no espaço

Pontifícia Universidade

Católica de São Paulo-PUCSP.

SALAZAR, J. V. Flores.

Fonte: Autor (2018)

O trabalho de Almeida (2015) teve como objetivo identificar os saberes

docentes mobilizados para que os sólidos arquimedianos sejam ensinados. Sem a

intenção de seguir o viés dos saberes docentes sobre o ensino de Geometria, torna-

se imprescindível termos uma visão geral para análise de aspectos importantes na

proposição de intervenção do experimento. Propõe uma reflexão sobre o ensino de

Geometria no Brasil e algumas concepções de base de conhecimento para o ensino

a partir de materiais manipulativos e softwares de geometria dinâmica.

Nos estudos de revisão, a autora se baseia nos sólidos arquimedianos, nos

trabalhos de Fernandes (2008), Silva (2008), Almeida (2010), Tramm (2002, 2011),

Silva e Almouloud (2013), Bicalho (2013); e; Rodrigues, Varbanek e Estevam (2013).

Nas considerações sobre os estudos realizados, a pesquisadora descreve que nas

pesquisas observadas os termos “sólido” e “poliedro” são tratados como sinônimos,

no entanto possuem definições diferentes. Apontamentos como a possibilidade de

promoção do diálogo da matemática com outras disciplinas quando o objeto

matemático é ensinado, atentou-se ainda para a importância da contextualização e

interdisciplinaridade nos Documentos Oficiais de Educação em Matemática também

são diferencias observados em seu trabalho.

Sobre o ensino, propõe uma análise dos trabalhos de Tardif (2002),

Gauthier (1998) e Shulman (1986, 1987) de maneira que aponta que os três autores

comungam com a ideia de que existe uma base de conhecimento para o ensino,

embora difícil de defini-la, por estar em constante mudança. Apresenta, por fim, uma

forma de abordagem do pedagógico alinhado ao matemático para a construção da

problemática do seu estudo, representada a partir da seguinte questão: qual a base

do conhecimento para o ensino dos sólidos arquimedianos na escola básica?


A metodologia empregada na pesquisa possui caráter exploratório, com

coleta e análise de dados mediante pesquisa bibliográfica sobre o conhecimento

matemático e tecnológico para o ensino, Teoria Antropológica do Didático,

organização praxeológica, saberes docentes e sólidos arquimedianos, truncamento

como modelo epistemológico de referência a partir dos tipos de truncamento e tarefas

posteriormente analisadas.

A autora apresenta algumas reflexões sobre Organizações Didáticas (OD)

compostas por tarefas, técnicas, tecnologias e teorias mobilizadas para o objeto da

pesquisa, a qual indica as técnicas como pontos centrais para o estudo didático.

Quanto às tecnologias, na sua maioria softwares que requerem conhecimento de

utilização, são fortes aliados no processo de ensino, mas que apresentaram limitações

quanto ao truncamento, e, que o conhecimento matemático arquimediano por si só

não é suficiente para apontar a base de conhecimento que o ensino exige.

Almeida (2015) conclui após reconhecer a importância das tecnologias

digitais como uma boa alternativa para o ensino de geometria e na superação de

práticas antigas do ensino. Reconhece a terceira categoria de Shulman (1986, 1987)

e colaboradores sobre o conhecimento pedagógico do conteúdo como conhecimento

didático específico que o professor deve possuir para ensinar um conteúdo a seus

alunos. Sobre o objeto da pesquisa, identifica a pouca literatura existente e

consequentemente a abordagem pouco efetivada nas salas de aula da educação

básica e encontra na Teoria Antropológica do Didático de Chevallard (1999) que

orienta o professor na escolha das situações que favorecem o ensino.

A pesquisa de Salazar (2009) teve como objetivo observar como os

estudantes do segundo ano do ensino médio apropriam-se das transformações

geométricas no espaço, quando interagem com o ambiente de Geometria Dinâmica

Cabri 3D, bem como qual raciocínio mobilizam quando desenvolvem atividades que

abrangem esse conteúdo. Nesse estudo, a autora utiliza os registros da semiótica de

Duval para analisar as relações ocorridas entre o instrumento, o sujeito e o objeto

propostos na Teoria da Gênese Instrumental de Rabardel. A metodologia de pesquisa

utilizada foi a Engenharia Didática, e para validar seu experimento, fez uso de

questionários, observações e gravações (em vídeo e nas telas dos computadores).

As atividades desenvolvidas permitem o desenvolvimento de uma

abordagem clara sobre os esquemas de utilização, capaz de destacar


sistematicamente os conceitos em ato e as regras de ação, como invariantes

operatórias de Vergnaud (1996) em cada atividade proposta.

O objetivo e a metodologia deste trabalho nos permitiu refletir sobre o tipo

de atividades a serem desenvolvidas capazes de validar a sequência nossa

sequência, uma vez que, inicialmente estávamos nos propondo a desenvolver o

ensino por atividades de redescoberta, mas para isso, pensamos num modelo de

permitia o aluno explorar aplicativos matemáticos, mas, uma das limitações

observadas nessa procura consistia no fato de que a grande maioria de aplicativos

e/ou objetos de aprendizagem disponíveis nos repositórios para o Ensino de

Matemática sobre o objeto da pesquisa, engessava a proposta do ponto de vista de

adequação à variedade de dados do problema e a grande maioria dos recursos

disponíveis, não nos permitiu construir o aplicativo aos moldes do problema, mas

apenas manuseá-lo, sem considerar o perfil do público selecionado para o

desenvolvimento de nosso estudo.

A autora conclui, mediante descrição dos aspectos mais importantes do

trabalho: quadro teórico e metodológico, a parte experimental, principais resultados e

as novas perspectivas de investigação. Da teoria da instrumentação, considerou de

grande relevância por permitir o detalhamento das ações da Gênese Instrumental. Da

semiótica, julgou positivo atentar para os olhares dos estudantes quanto à

visualização das figuras. Sobre a Engenharia Didática, apontou os ganhos da

organização metodológica indicadas pelos autores que a norteiam.

Os principais resultados alcançados foram:

- O Cabri 3D era um artefato para os estudantes, que após a experimentação

transformou-se em instrumento;

- A falta de experiência dos estudantes não se constituiu em obstáculo para os alunos,

resultado contrário do que pensava a autora;

- A autonomia de manuseio do software dos alunos foi crescente em cada atividade

proposta;

- As perspectivas futuras são de estudos com isomerias na interação com o Cabri 3D

ou com outros softwares que articulem ainda mais os ambientes informáticos com o

lápis e papel.

O trabalho desenvolvido por Salazar (2009) nos forneceu contribuições no

âmbito de olhar com mais profundidade no que tange à Teoria da Gênese Instrumental


de Rabardel (1995) bem como em como propor e analisar algumas atividades do

nosso experimento.

As pesquisas acima, apresentam atividades didáticas em sua maioria

voltados para os registros e representações semiótica, principalmente para a

visualização de figuras e registros escritos. Embora o trabalho de Almeida (2015) seja

direcionado especificamente para a formação docente, o mesmo nos oferece

embasamento

Para Zabala (1998),

a exposição de um tema, a observação, o debate, as provas, os exercícios, aplicações, etc., podem ter um caráter ou outro segundo o papel que se atribui, em cada caso, aos professores e alunos, à dinâmica grupal, aos materiais utilizados, etc. Mas o primeiro elemento que identifica um método é o tipo de ordem em que se propõe as atividades (ZABALA, 1998, p. 53)

No tocante à utilização de softwares, percebemos que poucos trabalhos

apresentaram cuidados com as etapas ordenadas de manuseio desses recursos no

tocante a suas etapas de apropriação de conhecimento agregado ao estudo do objeto.

Com essa afirmação, não pretendemos fazer juízo de valor de nenhuma metodologia

utilizada, pois cada uma delas possui aspectos suficientemente positivos. De qualquer

forma, queremos justificar a necessidade de utilização de um aporte teórico que nos

permita compreender como os alunos se apropriam do domínio dos softwares ao

mesmo tempo em que aprendem matemática, daí a importância do trabalho de

Salazar (2009).

Por tudo isso, esses estudos nos auxiliaram nas tomadas de decisão em

relação a vários pontos de nossa pesquisa, entre eles, a necessidade de conhecer o

nosso público no sentido de propormos uma SD na perspectiva ora apresentada,

portanto, realizar uma consulta com estudantes com o intuído de produzir informações

a respeito do processo de ensino e aprendizagem de Pirâmides, apresentadas a

seguir.

1.3 Consulta a discentes

Nesta subseção apresentamos de forma sucinta os principais resultados

de uma consulta realizada a 195 (cento e noventa e cinco) alunos do 3º ano do ensino

médio de escolas públicas estaduais jurisdicionadas à URE de São João dos Patos-


MA, durante os meses de junho de 2017 e maio de 2018. As informações foram

produzidas por meio da aplicação de um questionário (Apêndices C e D) composto

por perguntas com questões dicotômicas (sim ou não) e questões de múltipla escolha

referentes ao perfil discente (idade, sexo, escolaridade dos responsáveis, hábitos de

estudos e afinidade com a Matemática e com tecnologias digitais); à prática

pedagógica no ensino de Pirâmides percebidas pelos alunos; e, ao grau de dificuldade

quanto ao aprendizado deste conteúdo.

O objetivo desta consulta foi identificar o uso de tecnologias digitais e a

relação com o objeto de pesquisa, ao considerar características capazes de apontar

indícios que contribuam para a elaboração de uma SD que considere suas

características estudantis e de aprendizagem. Aplicado presencialmente pelo

pesquisador, foi tabulado em seguida com o auxílio da planilha eletrônica Microsoft

Excel.

A lista de perguntas foi subdividida em três etapas: (i) perfil sócio

econômico e estudantil; (ii) conhecimento e utilização de tecnologias; (iii) percepção

dos alunos quanto ao grau de dificuldade em estudar tópicos relacionados aos

conteúdos de Pirâmides. A primeira seção foi constituída de 22 perguntas que tinha

por objetivo identificar o perfil dos alunos consultados. As perguntas de 23 a 30 foram

destinadas ao conhecimento dos recursos tecnológicos e sua utilização em aulas de

Matemática e tinha por objetivo perceber como os alunos se apropriavam destes

recursos como instrumentos de auxílio ao processo de aprendizagem da Matemática

dentro e fora da escola. A terceira e última etapa, trazia 53 (cinquenta e três) tópicos

referentes ao estudo de Pirâmides. Os alunos foram questionados no tocante a suas

percepções quanto ao grau de dificuldade de aprendizagem sobre Pirâmides. As

opções utilizadas para identificar os níveis de dificuldade eram “muito fácil”, “fácil”,

“regula”, “difícil” e “muito difícil”, além da opção de não ter estudado cada um dos

tópicos. Os resultados estão dispostos no Apêndice G e seguem apenas um resumo

para contextualização.

1.3.1 Perfil da amostra – Quem foram os discentes consultados

A sistematização dos resultados indica que dentre os 195 alunos

consultados; 59,5% eram do gênero feminino e 40,5% do gênero masculino. Quanto

à faixa etária dos estudantes, percebeu-se um intervalo com amplitude expressiva,


com variação entre 15 a 22 anos. A distribuição apresenta desvio padrão de 4,132 e

coeficiente de variação igual a 24,2% o que aponta para uma amostra bastante

heterogênea, e que ao menos 22% dos estudantes consultados estão acima da média

das idades que é de 17 anos, considerada a mais adequada para a série, por outro

lado, a distorção é significativa com 22%.

Dos entrevistados; 35,4% já foram reprovados em alguma matéria. Destes,

71% ficaram reprovados em Matemática. Apesar do alto índice de reprovação, a

maioria dos entrevistados (52,9%) afirmaram gostar da disciplina. Os dados revelam

ainda que; 72,6% vive com o pai e 90,5% com a mãe. Observamos também a

formação escolar da família, que julgamos também possuir papel importante na vida

escolar e consequentemente no desempenho dos estudantes. Dessa forma nossos

estudos apontam que apenas 7,7% dos responsáveis masculinos dos entrevistados

possuem o ensino superior já para as responsáveis femininas, o número sobre para

23,6%. Por outro lado, 60% dos pais e 35,9% das mães, ainda possuem formação

abaixo do nível médio.

Outra questão relevante e que pode estar diretamente ligada ao rendimento

escolar está relacionada ao tempo dedicado ao estudo da Matemática. Quando

questionados sobre a frequência com que estudam matemática fora da escola; 51,3%

dizem que só estudam em horário extracurricular no período de prova, e apenas 7,7%

afirmam se ocupam frequentemente com o estudo da matéria. Considera-se para

nossa interpretação que a escolha pela opção “somente no período da prova”

corresponde a um intervalo de até cinco dias antes da aplicação do instrumento

avaliativo, e a opção “somente nas vésperas” corresponde ao intervalo restrito a

apenas um dia antes da aplicação da atividade avaliativa.

Segundo Piaget (1977, apud MOREIRA, 2017, p. 100), o crescimento

cognitivo do indivíduo se dá por acomodação e assimilação. Nesse sentido,

corroboramos com Piaget quando afirma que não há acomodação sem assimilação,

em que a segunda “designa o fato de que a iniciativa na interação do sujeito com o

objeto é do organismo” e que o indivíduo constrói esquemas de assimilação mental

para abordar a realidade, e a primeira, ocorre quando na tentativa assimilar o

organismo (mente) se modifica sem desistir, é quando ocorre a acomodação. E por

último, ocorre o equilíbrio entre acomodação e assimilação, a qual ocorre a adaptação

à situação, caso onde ocorra o aprendizado.


Nesses termos, a equilibração só ocorrerá com a modificação da mente do

aluno, com esforços próprios para assimilar o conteúdo estudado, o que se torna

distante da realidade. Assim acreditamos que os estudos complementares extraclasse

podem contribuir significativamente com a aprendizagem, fator que se apresenta de

maneira precária frente aso dados coletados e representam um desafio à proposta da

nossa pesquisa.

Também era de interesse desse estudo saber se os conteúdos são

compreendidos nas explicações dadas pelos professores em sala de aula, em que

10,8% dos entrevistados afirmam compreender as explicações do seu professor de

Matemática e apenas 18,9% demonstraram nunca ou poucas vezes haver assimilação

dos conteúdos ensinados. Por outro lado; 95,9% dos alunos consideram que o

docente possui domínio do conteúdo tratado, e apenas 4,1% dos professores não

demonstram domínio nas aulas. A esse respeito, reportamo-nos aos estudos de

Almeida (2015) em que afirma que o domínio do conteúdo matemático pelo professor

é importante, porém, insuficiente para lhe dar com as exigências matemáticas que o

ensino o envolve. Segundo a autora “os saberes envolvidos partem da interação de

três componentes particulares de conhecimento: matemático, didático e tecnológico.

Sobre a relação dos conteúdos de Matemática com o seu contexto diário,

26,7% afirmaram conseguir relacionar a atividades práticas; 56,9% disseram que as

vezes e 16,4% afirmaram que não conseguem relacionar. Porém; 32,3% dos alunos

afirmam que as aulas de Matemática conseguem despertar sua atenção; 57,4%

disseram que isso ocorre as vezes e 10,3% disseram que não despertam nem um

pouco.

Em razão dos dados considerados acima, acreditamos na interação com o

meio para que haja a compreensão do que é ensinado, nesse sentido Vygosky (1987,

apud MOREIRA, 2017, p.108), esclarece que “os processos mentais superiores

(pensamento, linguagem, comportamento volitivo) têm origem em processos sociais”.

Para ele, o desenvolvimento cognitivo só ocorre com a conversão de relações sociais

em funções mentais, e este desenvolvimento se dá por mediação, que para Vygotsky

é típica da cognição humana, portanto, o professor, as ferramentas e seus métodos

são elementos importantes no processo, na motivação, no despertar da atenção do

aprendiz.

Perguntamos aos alunos se já estudaram o conteúdo de Pirâmides e em

que ano/série isso ocorreu, como resposta, obtivemos um percentual de 88,2% de


sinalizaram positivamente, em que 47,7% afirmaram ter estudado o conteúdo no 2º

ano, outros 19,5% no 3º ano e 8,2% ainda no 1º ano. Em consideração à grande

maioria que já tenha estudado o tema, acreditamos que este será um facilitador do

nas atividades propostas nesse estudo.

A introdução a um novo conteúdo é um momento crucial para a motivação

e para o desenvolvimento de atitudes positivas pelo estudante, dessa forma,

resolvemos perguntar “como o seu professor de Matemática costuma iniciar um novo

conteúdo, ao incluir o estudo de Pirâmides?”. Os resultados coletados demonstram

que a tríade “definição, exemplificação e exercícios” ainda permanece nas

abordagens feitas pelos professores aparece com 72,8% na opinião dos estudantes,

seguida da história do conteúdo com 14,3% e a apresentação de situações problema

como ponto de partida para a introdução do conteúdo com 10,3% como mostra a

Tabela 1.

Tabela 01: Abordagem inicial da aula pelo professor

Abordagem Quant. %

Pela definição seguida de exemplos e exercícios. 142 72,8 Pela história do assunto para depois explorar os conceitos. 20 10,3 Por uma situação problema para depois introduzir o assunto. 28 14,3 Por um modelo para situação seguida de sua análise. 5 2,6 Por meio de jogos para depois sistematizar os conceitos. 0 0,0 Por meio de um experimento para chegar ao conceito. 0 0,0

Total 195 100,0 Fonte: Consulta a docentes (2018)

A tabela 2 apresenta os principais meios utilizados para exercitar os

conhecimentos assimilados nos conteúdos estudados. Assim para 42,1% dos alunos,

a prática de conteúdo é feita por listas de exercícios propostas pelo professor e para

48,7% o livro didático é a maior fonte de consulta para a resolução de questões.

Tabela 02: Prática do conteúdo proposta pelo professor

Abordagem Quant. %

Resolver a lista de exercícios propostos 82 42,1 Resolver atividades propostas nos livros didáticos 95 48,6 Participar de atividades com jogos 5 2,6 Pesquisar e responder questões de outras fontes 0 0,0 Outras formas 13 6,7 Não são propostas atividades de fixação 0 0,0



A resolução de questões, propostas em atividades escritas são fortemente

utilizadas para a acomodação e equilibração dos conteúdos assimilados (MOREIRA,

2017), no entanto não são os únicos recursos, nem tampouco garantem ser mais

eficazes para a aprendizagem. Nesse contexto abre-se espaço para experimentar-se

outros meios que possam, além de dinamizar, proporcionar oportunidades de

aprendizagem. Dessa forma, cabe analisar o potencial das tecnologias, apontados por

Almeida (2015) como uma das competências para o ensino. Propomos então a

consulta no próximo tópico.

1.3.2 Os discentes a as tecnologias

A utilização de Tecnologias Digitais pressupõe o domínio de ferramentas

que auxiliem no ensino e consequentemente para a aprendizagem, no entanto, a

tecnologia por si só não garante o sucesso nas ações educativas. No entanto, a

escrita, a leitura, visão, audição, comunicação, criação e aprendizagem são

constantemente influenciadas pelos recursos tecnológicos (BRASIL, 1997), assim,

tanto a escola como o professor assumem novos desafios, em que um deles traz o

que está disposto no cotidiano tecnológico dos estudantes para dentro da rotina

escolar.

Segundo Moreira (2017), quanto mais instrumentos o indivíduo aprende

usar, tanto mais se amplia, de modo quase ilimitado, a gama de atividades nas quais

pode aplicar suas novas funções psicológicas. Sobre esse aspecto, pretende-se

compreender o perfil tecnológico dos estudantes entrevistados. Assim, para 94,7%

dos estudantes não utilizam tecnologias nas aulas de Matemática.

Outro ponto crucial para o ensino de Matemática são as discussões sobre

avaliação na forma contínua ou processual, temática que revela a calculadora e

analogamente aplicativos de smartphones utilizados para o cálculo, como

instrumentos tecnológicos que auxiliam no processo avaliativo, permite que o aluno

considere o erro como parte do processo e permita identificar tropeços e acertos na

aprendizagem. Sobre isso, considera-se na perspectiva de Luckesi (2006), que

os erros da aprendizagem que emergem a partir de um padrão de conduta cognitivo ou prático já estabelecido pela ciência ou pela tecnologia servem positivamente do ponto de partida para o avanço, na medida em que são identificados ou compreendidos e sua compreensão é passo fundamental para sua superação. (LUCKESI, 2006, p. 57)


Chamamos a atenção para o fato de que o erro não poderá ser visto como

castigo, mas sim como virtude e possibilidade de superação, ao tempo em que

colocamos a instrumentalização como estratégia essencial na construção de

aplicativos e calculadoras para smartphones ao mesmo tempo em que permite ao

estudante compreender uma situação dada, buscar soluções, construir uma proposta

(tecnológica), testa-la, errar, corrigi-la e resolver o problema.

A respeito da utilização da calculadora, para os PCN,

constata-se que ela é um recurso útil para verificação de resultados, correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de auto avaliação. A calculadora favorece a busca e percepção de regularidades matemáticas e o desenvolvimento de estratégias de resolução de situações-problema pois ela estimula a descoberta de estratégias e a investigação de hipóteses, uma vez que os alunos ganham tempo na execução dos cálculos. Assim elas podem ser utilizadas como eficiente recurso para promover a aprendizagem de processos cognitivos. (BRASIL, 1997, p. 45)

De acordo com os PCN (1997), utilizar os aplicativos matemáticos permite

atuarem como ferramentas no processo de aprendizagem e fomentar a avaliação

como um processo, auto avaliação e o erro como possibilidade de aprendizagem.

Nesse sentido, apenas 15,9% dos alunos já se auto avaliaram; 44,1% não tiveram a

oportunidade e 40% não souberam responder. Acreditamos que além de utilizar a

ferramenta como um instrumento de aprendizagem e auto avaliação, esta tenha papel

decisivo na aprendizagem ao relativizar o cálculo mecânico ao proporcionar mais

eficiência no desenvolvimento de cálculos e atitudes positivas frente ao seu estudo.

Sobre o uso dos principais recursos tecnológicos disponíveis, perguntamos

quais deles não utilizados com maior frequência. Os dados mostram que “dispositivos

móveis” foi a opção mais frequente com 71,8%, seguido do computador com 37,9% e

calculadora com 16,9% enquanto apenas 4,1% afirmaram não fazer uso de nenhum

desses recursos. Por outro lado; 91,8% afirmaram que possuem dispositivos móveis

e 47,7% afirmaram que possuem computador ou notebook.

Nesse quesito, o relatório do Centro Regional de Estudos para o

Desenvolvimento da Sociedade da Informação- CETIC em 2016, mostrou uma

pesquisa sobre o uso das tecnologias da informação e comunicação das escolas

brasileiras- TIC Educação 2016 (BRASIL, 2017b), os dados revelaram que a

disponibilidade de internet nas escolas públicas brasileiras é de 95%; e que os


principais locais de acesso são sala de coordenação ou direção com 99% e os

laboratórios de informática são os que possuem menor acesso com 45%.

Os dados são compatíveis com a realidade regional, pois o Núcleo de

Tecnologias Educacionais da URE garantiu que 100% das escolas da região possuem

laboratórios, além dos dados que demonstram a forte influência tecnológica no

cotidiano dos alunos. Temos ainda que 63,6% dos alunos possuem internet em casa.

Um fator negativo para nosso contexto está em uma realidade que 93,3%

dos alunos afirmaram não ter acesso algum à internet no ambiente escolar, a não ser

por dados móveis de plano próprio. A esse respeito, percebemos que a prática escolar

regional em torno das tecnologias está muito distante de ser equiparada à nacional, o

que compromete o desenvolvimento de várias habilidades que poderiam ser

desenvolvidas com a utilização de tecnologias aplicadas ao ensino de maneira geral.

Motivados a compreender as relações aluno-tecnologia-professor,

resolvemos perguntar aos discentes se era frequente algum tipo atividade de

Matemática com a utilização de smartphones em sala de aula. A proibição foi o cenário

mais comum com 55,4%, seguida 20% que disseram existir algum tipo de um acordo

entre professor e aluno para a não utilização do aparelho e 19% disseram não haver

nenhum debate sobre o uso de smartphone em sala de aula, como aponta a tabela.

Tabela 03: Utilização do smartphone em sala de aula nas aulas de Matemática

Abordagem Quant. %

Há proibição da escola/professor quanto sua utilização na resolução de atividades

108 55,4

Há consenso entre aluno e professore para a não utilização.

39 20,0

O professor já propôs atividades que tinham como estratégia o uso de smartphone.

11 5,6

Já propus atividades que tinham como estratégia o uso de computadores, mas não smartphone.

0 0,0

A utilização de tecnologias digitais (computadores, smartphones, dentre outros) não faz parte das discussões em sala de aula.

37 19,0

Total 195 100,0 Fonte: Consulta a discentes (2018)

Ao considerar-se o aluno como o centro do processo educacional, e a

constante evolução das tecnologias no meio em que ele vive, acreditamos que a

proibição não seja a maneira mais adequada para estancar supostos problemas

“causados pela utilização de tecnologias” nas salas de aula. A substituição da razão


pela autoridade talvez se torne mais aceitável num ambiente de formação do

indivíduo. Uma das saídas seria o planejamento de atividades que envolvam a

ferramenta de forma que fique claro o momento mais adequado de utilização, dessa

forma, essa questão seja um dos pontos centrais e diferenciais da nossa proposta

metodológica. Por outro lado, existe ainda, acordos explícitos entre professor e aluno

podem trazer efeitos bastante positivos para o processo.

Segundo Brousseau (1980) apud DÀmore:

Em uma situação de ensino, preparada e realizada por um professor, o aluno normalmente tem como tarefa resolver o problema (matemático) que lhe é apresentado, mas o acesso a essa tarefa é feito por meio de interpretação das questões colocadas, das informações fornecidas, das obrigações impostas, que são constantes no modo de ensinar do professor. Esses hábitos (específicos) do professor esperados pelos alunos e os comportamentos do aluno esperados pelo docente constituem o contrato didático. (BROUSSEAU, 1980 apud DÀMORE, 2007, p.101)

De acordo com Brousseau (1980), podemos dizer que a autonomia do

aluno sob a utilização dos smartphones poderá se desenvolver à medida em que for

estabelecido o contrato e didático e propostas atividades com a utilização das

tecnologias. Dessa forma, será um bom começo para o uso nas aulas de Matemática.

A preocupação com as ferramentas tecnológicas são justificadas pelos dados da

Tabela 4, no qual o total de alunos que afirmaram ter smartphone (179) e fazer uso

da internet com frequência, 86 deles, o que representa 48% do total afirmaram que

não tem noção do tempo que passam a utilizar a internet por meio do smartphone,

pois utilizam a ferramenta a todo instante. Outros 18,4% afirmaram usar a internet por

meio do telefone móvel fora de sala de aula por mais de 6 horas.

Tabela 04: Tempo médio de utilização do smartphone fora de sala de aula

Intervalo Quant. %

Não utilizo 0 0,0 0 a 2 horas 24 13,4 2 a 4 horas 23 12,9 4 a 6 horas 13 7,3 Mais de 6 horas 33 18,4 Não tenho noção 86 48,0


Como a ferramenta que utilizaremos trata da programação de aplicativos,

mesmo que de maneira introdutória na forma de blocos, perguntamos aos alunos se


os mesmos têm noções de programação e se conhecem o App Inventor II. Destes,

apenas 7,7% afirmaram ter conhecimento básico de programação, apontam as

linguagens “C”, “R”, “Java” e “Phyton”. Dessa forma 92,3% não entendem o básico de

qualquer linguagem de programação, e 95,9% afirmaram não conhecer a plataforma

App Inventor II, representam um desafio para o desenvolvimento da pesquisa.

Há ainda, um fator que facilita nossa proposta: são os dados que apontam

que 63,1% dos entrevistados responderam que já fizeram uso de algum aplicativo no

smartphone, e que 75,9% dariam uma nota de 8 a 10 pela iniciativa do professor que

fizesse uso do smartphone em suas aulas. O segundo fator aponta na perspectiva

positiva que os alunos geram em torno da proposta de estudo de Matemática com o

uso de aplicativos, vejamos detalhes no Gráfico 2:

Gráfico 2: Percentual de alunos que já fizeram uso de algum aplicativo

Fonte: Consulta a discentes (2017-2018)

Corroboramos com o ponto de vista de Bittencourt (2014), pois acreditamos

que a motivação pode ser fator relevante no processo de ensino e aprendizagem, e

ao ter a perspectiva de notas entre 8 e 10, o aluno revela atitudes positivas para uma

aula com a utilização de instrumentos tecnológicos. Dessa forma, por fim, cabe

verificar quais as dificuldades que os alunos apresentam sobre assuntos relacionados

com o objeto da pesquisa.

1.3.3 Dificuldades dos discentes na aprendizagem de assuntos relacionados a

Pirâmides


Neste tópico analisaremos as respostas dadas pelos discentes a respeito

das suas percepções sobre o nível de dificuldades apresentadas no estudo de

Pirâmides.

Os resultados obtidos, apontam o grau de dificuldade dos discentes

entrevistados acerca do ensino de Pirâmides. Para isso, foram disponibilizados

conceitos em cinco níveis: “MF: Muito Fácil; F: Fácil; R: Regular; D: Difícil; MD: Muito

difícil”, em que cada entrevistado optou por uma alternativa.

Pudemos verificar que, por meio das informações levantadas que o

percentual de reprovação e metodologias utilizadas pelo professor associadas ao

pouco tempo de estudo da matéria em horários extra – classe, cultura familiar sobre

o estudo e a pouca importância do currículo para as atividades práticas do cotidiano,

apontam para a necessidades de uma mudança de postura de aluno, família,

professor e escola em rediscutir seu público e buscar novas diretrizes para o ensino

da disciplina, considera que, pelos dados, as tecnologias embora presentes no

cotidiano dos estudantes, pouco são protagonizadas como recurso no Ensino de

Matemática.

Os dados revelam que escola e discentes possuem um perfil potencial para

a proposição de atividades baseadas em Tecnologias Digitais, uma vez que os

sujeitos citados possuem imersão natural numa sociedade tecnológica. Sobre o

Ensino de Pirâmides, apesar de apresentar-se implicitamente no currículo em todos

os documentos oficiais que balizam o ensino médio, inclui-se as matrizes de avaliação

em larga escala e os livros didáticos, ainda existem tópicos pouco ou não explorados

ou apresentam-se como grande obstáculo aos alunos do ensino médio.

Os principais resultados mostraram que em média 36,1% dos alunos não

estudaram os conceitos básicos sobre Pirâmides; 24,6% consideram o tema com

dificuldade regular, 17,1% julgam difícil e 7,2% acham o tem muito difícil.

Dos tópicos específicos, os que aparecem com maior nível de dificuldade

(acham difícil ou muito difícil), segundo os alunos entrevistados, são:

- Ideia de superfície total de uma pirâmide qualquer- 32,5%;

- Cálculo do apótema da base de uma Pirâmide regular – 29,6%;

- Cálculo do volume da Pirâmide - 29,2%;

- Resolução de problemas que envolvam Pirâmides com dimensões em

que aparecem raízes- 31,8%; e;


- Resolução de problemas que envolvam Pirâmides que requeiram leitura

e interpretação de texto- 28,6%.

Um dado que chama atenção é que justamente os tópicos em destaque

encontram-se com margens entre 40% e 50% de percentuais de alunos que afirmam

não terem visto ou não lembram de terrem estudado em séries anteriores, o que indica

que em média, apenas 20% dos estudantes não possuem dificuldades em

compreender abordagens a cerca destes tópicos.

Sobre os processos avaliativos, são priorizados os instrumentos, como:

provas, atividades dos livros didáticos em detrimento de aspectos avaliativos

subjetivos e contínuos como a valorização do erro como aprendizagem e a auto

avaliação, esta última, apontada pelos PCN (1997) como uma potencialidade com a

utilização de calculadoras, o que abre espaço para o tema deste trabalho.

As Análises Preliminares foram compostas por aspectos históricos,

aspectos curriculares, aspectos matemáticos, revisão de estudos e consulta a

discentes sobre Pirâmides, a primeira seção permitiu sintetizar informações que nos

deram direcionamento para elaborar contextos baseados em fatos históricos para as

questões propostas. Dessa forma, os estudantes puderam compreender as situações

problemas num contexto de construção humana (Chaquiam, 2017).

É adequado afirmar que os aspectos curriculares permitiram refletir sobre

a importância das prescrições curriculares no tocante ao planejamento e possível

analise avaliativa dos saberes norteados pelas competências e habilidades.

A formalização das definições e demonstrações que o tema requer, foram

tratadas sob o olhar de Euclides (2009), Dolce e Pompeo (1985, 2005), Lima et al

(2006), Dante (2005) e Paiva (2009) na terceira seção, estudo que permitiu uma

análise de vários pontos de vista dos autores até chegarmos à adoção de Pirâmide

como sólido nas nossas abordagens.

A revisão de estudos sobre Pirâmides nos auxiliou a perceber dificuldades

que os alunos poderiam vir a apresentar durante o nosso experimento. Nesse sentido,

enfatizamos a importância de identificar e analisar as possíveis contribuições de

trabalhos que utilizam tecnologias. Representados nos estudos descritivos, os

trabalhos analisados nos propiciaram perceber antecipadamente algumas das

dificuldades de visualização, representação e construção do pensamento geométrico,

além da dificuldade de contextualização de questões.


Na categoria dos trabalhos explicativos, pode-se identificar que os

softwares permitem explorações de representações geométricas muito próximas dos

objetos reais e de uma rica variedade de representações de um mesmo objeto, além

de que os tratamentos e as conversões de registros se processaram de forma

diferenciada, amplia as possibilidades de interação e manipulação de figuras e

permitem a construção de relações mais significativas entre representações de um

objeto.

Os trabalhos explicativos apontam ainda no sentido de que o ensino de

Geometria deve ser mais investigativo e que instigue o aluno a explorar e analisar

situações mais profundamente relacionadas com o cotidiano. Dessa forma, apontam

para a importância de dar atenção ao que está prescrito nas orientações oficiais,

muitas vezes entendidas como ultrapassadas. Por fim, os trabalhos exploratórios nos

mostraram que as atividades de desenvolvidas com o uso de tecnologias necessitam

de aporte teórico que norteie a utilização das ferramentas e que o nível de

desenvolvimento do pensamento geométrico também colabora para a compreensão

no nível de atividades que se quer propor para os estudantes.

A consulta aos estudantes revelou que embora a escola não proponha

muitas atividades baseadas nas tecnologias, os alunos possuem forte relação com o

meio tecnológico, muito propensos a proposição de aulas com o uso das mesmas,

uma vez que ferramentas como os smartphones já são muito comuns entre os

estudantes. Alguns obstáculos como falta de internet livre para os alunos, pouca

habilidade de docentes para propor atividades com tais recursos e ausência de

laboratório com computadores suficientes para uma proposta com esses recursos

põem em risco uma metodologia que exija atividades diárias a todo o quadro escolar,

no entanto a possibilidade de oferta de oficinas ou cursos de curta duração seriam

opções plausíveis.

A seguir apresentamos o quadro teórico, a metodologia da pesquisa

utilizada, bem como os procedimentos metodológicos escolhidos, em busca de uma

análise concisa dos resultados.


2. REFERENCIAL TEÓRICO E METODOLÓGICO

Neste Capítulo, discorreremos sobre os resultados da segunda etapa da

pesquisa, com a apresentação dos principais fundamentos teóricos que basearam

nosso estudo; a relação do objeto de pesquisa com as Tecnologias Digitais e a

estruturação da SD que visa a experimentação. Neste sentido, apresentaremos as

concepções de Pierre de Rabardel (1995, 2002) sobre a Teoria Gênese Instrumental,

baseada nos estudos de Lev Vygotsky, a descrição dos pressupostos metodológicos

aplicados na pesquisa por meio da Engenharia Didática como metodologia da

pesquisa, seus instrumentos e recursos utilizados com base nos estudos de Artigue

et al (1995) e, por fim, as contribuições de Zabala (1998) que nos auxilia no processo

de elaboração da SD.

2.1 A teoria da Instrumentação

Frente aos diversos recursos tecnológicos como softwares, aplicativos,

sites e plataformas online voltados para o ensino de Matemática, reconhecemos que

estes podem auxiliar o professor no planejamento e execução de suas aulas, dos

quais alguns já são bastante conhecidas: o GeoGebra, o Sketch Up, o Calques 3D,

Cabri Geometrìe. Vale ressaltar que não basta apenas levar computador e data-show

para a sala de aula e executar as mesmas práticas repetitivas, baseadas no ensino

clássico, meramente reprodutivista; é necessário que o professor torne o computador

uma ferramenta pedagógica instrumentalizada (RABARDEL, 1995), propondo

atividades que complementem o ensino.

Nesse contexto, Dullius e Quartieri afirmam que

a utilização da tecnologia em sala de aula difere bastante da utilização que dela fazemos no dia a dia. Dessa forma, o planejamento, a colocação de objetivos, a escolha de materiais, a seleção de tarefas, a antecipação de questões, ganham uma dimensão central na prática do professor com recursos tecnológicos. (DULLIUS E QUARTIERI, 2015, p. 13)

A partir do Ensino Fundamental, as tecnologias são apontadas como

tendências metodológicas com grande potencial para a melhoria da qualidade do

ensino. Segundo os PCN (BRASIL, 1997, p. 6) os alunos deverão ser capazes de

“saber utilizar diferentes fontes de informação e recursos tecnológicos para adquirir e


construir conhecimentos”. Sob esse aspecto o próprio documento aponta a

calculadora como um valioso recurso para a verificação de resultados, correção de

erros e auto avaliação:

Como exemplo de uma situação exploratória e de investigação que se tornaria imprópria sem o uso de calculadora, poder-se-ia imaginar um aluno sendo desafiado a descobrir e a interpretar os resultados que obtém quando divide um número sucessivamente por dois (se começar pelo 1, obterá 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125; 0,015625). Usando a calculadora, terá muito mais condições de prestar atenção no que está acontecendo com os resultados e de construir o significado desses números. (BRASIL, 1997, p. 34)

Assim, a utilização de ferramentas que permitam ao aluno desenvolver as

habilidades necessárias, de acordo com os PCNEM (BRASIL, 2000), fazer uso de

tecnologias permite que a Matemática seja utilizada como ferramenta para entender

a tecnologia, e a tecnologia como ferramenta para entender a Matemática,

apresentam fortes contributos no processo de ensino e aprendizagem Matemática,

destaca-se assim, o App inventor II.

Considerar a interrelação entre homem e máquina para a aprendizagem de

um objeto matemático, cabe um estudo mais detalhado e teórico de forma que nos

permita compreender os processos de aquisição do conhecimento propiciados por

esta relação. Para isso, consideremos os estudos de Rabardel (1995), que desenvolve

a Teoria da Instrumentação e fornece elementos teóricos apropriados ao estudo da

ação do sujeito, mediado por um instrumento que possibilita utilizar a tecnologia em

situações de ensino e aprendizagem (sejam elas fora ou dentro da escola,

propriamente dita, como por exemplo, a educação à distância).

Um dos primeiros elementos teóricos da Gênese Instrumental de Rabardel

são as noções de esquema, artefato e instrumento.

A noção de esquema é fundamentada nos estudos de Vergnaud (1990), e

concentra-se basicamente em quatro elementos: antecipações do objetivo que se

quer atingir, regras de ação (que vão gerar a ação do sujeito), inferências (que

permitem que o sujeito avalie suas ações) e invariantes operatórios (são do tipo

proposição, função proposicional ou argumentos e que tornam operacional a ação do

sujeito).

Rabardel (1995) descreve as relações existentes entre o sujeito, a

ferramenta (artefato) e os esquemas de utilização cuja definição são:


- Sujeito: Indivíduo ou grupo de indivíduos (alunos) que desenvolvem as atividades

propostas ou são partícipes do estudo;

- Artefato: dispositivo material (Computador, smartphone ou lápis e borracha) ou

imaterial (software, aplicativo, figura ou gráfico) que se pretende transformar em

instrumento; Segundo Tsuji Jr (2016), “o termo artefato é utilizado para se referir a

objetos aos quais o sujeito não agregou esquemas de utilização”.

- Esquemas de utilização: Segundo Vergnaud apud Moreira (2017, p. 212), é “uma

organização invariante, de comportamentos para classes de situações” que permitem

que a ação do sujeito seja operatória.

- Objeto: Refere-se ao que se pretende aprender com a utilização da ferramenta

(conteúdo escolar, de trabalho).

Nesse sentido, a ideia principal da Gênese instrumental é a transformação

do artefato em Instrumento (Modelo SAI - Situações de Atividades Instrumentais)

que apresenta a relação entre o sujeito e o objeto mediadas pelo instrumento (Figura

32).

Figura 32: Modelo das Situações de Atividades Instrumentais

Fonte: Rabardel e Verillon (1985 apud RABARDEL, 2002, p. 43)

Para Rabardel (1995, apud ALENCAR, 2012), o modelo disposto acima,

destaca três polos investigativos: o sujeito, o objeto e o instrumento; além de

evidenciar as interações que intervêm da Atividade Instrumental: sujeito-objeto [S-O],

sujeito-instrumento [S-I], instrumento-objeto [I-O] e sujeito-objeto mediada pelo

instrumento [S(i)-O] que se desenvolvem num ambiente formado pelo conjunto de

condições que o sujeito considera para realizar sua atividade. Nesse contexto, o

instrumento é composto de dois componentes: artefato, produzido para o sujeito; e


os esquemas de utilização agregados, estes por sua vez são resultados da

construção do próprio sujeito ou da apropriação de esquemas já existentes.

Para Bittar (2015),

Em Antropologia, artefato é todo objeto (material ou simbólico) que sofreu algum tipo de ação humana. É importante observar que o processo de transformação de um artefato em instrumento é dinâmico. [...] À medida que o sujeito interage com o instrumento, novos esquemas são agregados a ele o que transforma o instrumento em um novo instrumento para o sujeito [...] Assim, um mesmo artefato se transforma em diferentes instrumentos para um mesmo sujeito. Analogamente, cada sujeito ao interagir com um artefato desenvolve esquemas que estão relacionados às suas experiências e conhecimentos, logo, o “seu” instrumento vai diferir do instrumento do outro. (BITTAR, 2016, p. 8-9)

Em nosso contexto de pesquisa, o aluno é o sujeito, o App Inventor II é o

artefato (considera-se que já possuem domínio de utilização do computador), no

entanto cada aplicativo criado é um produto da instrumentalização do artefato

instrumentalizado, e o objeto são os assuntos relacionados a Pirâmides, sendo os

esquemas, as ações desenvolvidas para a construção do objeto. Considera-se os

dados nas Análises Preliminares que indicam a quase unanimidade entre os

estudantes envolvidos nessa pesquisa: não conhecerem o App Inventor II, este será

o artefato, que mais tarde ao participarem de um curso de introdução à plataforma de

criação, os sujeitos passem a utilizar os comandos básicos e construir alguns

aplicativos matemáticos de maneira autônoma.

De acordo com a continuidade de construção de novos aplicativos, novos

esquemas serão desenvolvidos, o que gera novas possibilidades e o transforma em

um novo instrumento, além da conversão em incontáveis instrumentos para o mesmo

sujeito, de maneira a tornar o App Inventor II um instrumento diferente para diversos

alunos participantes, situação em que ocorre a instrumentalização.

De acordo com Rabardel (1995), a Gênese Instrumental possui duas

dimensões: Instrumentação e instrumentalização. A instrumentação, orientada

para o sujeito, condiciona o processo aos esquemas para resolver um determinado

problema de acordo com as potencialidades do artefato, enquanto na

instrumentalização, orientada para o artefato, configura-se num processo em que o

sujeito modifica, adapta e cria novas propriedades, muda o artefato de acordo com

suas necessidades. No caso de nossa investigação, quando o indivíduo cria o

aplicativo de acordo com sua necessidade (Tamanho de letras, cores, conteúdo,


funções e objetivos), este já demonstra utilizar o artefato, considera-o instrumento e

em seguida o modifica de acordo com o conteúdo, situação didática ou adidática.

Em outras palavras, a Gênese Instrumental resume-se no processo de

transformação de um artefato em um instrumento pelo sujeito, de tal forma que a

instrumentalização ocorre com a evolução dos componentes do artefato: seleção,

reagrupamento, produção, instituição de funções, que prolongam a concepção inicial

do artefato (BITAR, 2015). Expressamos um exemplo simples de análise, com

destaque de algumas tarefas possíveis, desenvolvidas em atividades sob a

perspectiva de Rabardel (1995) como parte das atividades que se relacionam com

instrumentos, como segue abaixo no Quadro 8.

Quadro 8: Descrição de atividades de acordo com o modelo SAI

Atividade Dimensões

Computador Plataforma App

Inventor II Aplicativo Pirâmides

Aluno liga o computador

Artefato - - objeto

Usa os comandos da máquina para

localizar e acessar a plataforma

Instrumento Artefato - -

Acessa a plataforma

- Artefato - -

Usa os comandos da plataforma para criar o ambiente do

aplicativo

- Instrumento Artefato Em estudo

Utiliza os blocos para a

programação dos comandos do

aplicativo

- Instrumento Artefato Em estudo

Testa o aplicativo criado

- Instrumento Artefato Prática

Aplicativo criado e testado.

- Instrumentalizada Instrumento Acomodação

dos esquemas Fonte: Adaptado de Rabardel (2018)

O exemplo apresentado no quadro acima é um modelo adaptado para

descrever a transformação do artefato em instrumento a partir do nosso estudo. Desse

modo, concordamos com Rabardel quando afirma que

o modelo, mesmo neste exemplo simples, não cobre todas as características das situações em que as atividades são mediadas por instrumentos: a gama


de instrumentos usados por um único sujeito em uma ação complexa; a natureza muito variável e às vezes coletiva dos contextos da ação; as finalizações específicas dos sujeitos, etc. No entanto, o instrumento está presente, e essa presença constitui a tríade resultante e as múltiplas interações que formam um núcleo comum, característico da classe de situações de atividade mediadas por instrumentos (RABADEL, 2002, p.44, tradução nossa).

Nesse sentido, a ação de ligar e manusear um computador quando já

possui habilidade, não torna a máquina um artefato e sim um instrumento, por outro

lado, quando essa mesma ação é feita pela primeira vez, para esse mesmo sujeito, é

considerada um artefato. O quadro descreve um conjuto de ações, com ordem

crescente de complexidade que compreende desde o primeiro contato do sujeito com

o artefato. Nesse momento, a construção de aplicativos passa por vários estágios de

agregação de esquemas até que o produto das ações (aplicativos) deixem o status

artefato e passe a instrumento, nesse conjunto de ações existe um fator implícito: para

que o aplicativo seja construído existe um conjunto de objetivos que delimitam um

conteúdo (objeto), fator que complementa a tríade: sujeito, instrumento e objeto.

Segundo Bittar (2015, p. 11), “a abordagem proposta por Rabardel coloca

o homem no centro do processo, porém sem deixar de considerar a máquina”, ou seja,

o que ele chama de abordagem antropotécnica, referente às abordagens

tecnocêntricas e antropocêntricas.

Ao considerarmos a necessidade e a importância de um aporte teórico que

norteie a utilização das ferramentas tecnológicas no ensino, o modelo SAI surge como

uma proposta adequada a nossas pretensões, pois nos permite explorar caminhos

que vão da ação à conceituação e formalização, coloca os aprendentes em um

movimento geral do desenvolvimento cognitivo. Dessa forma, ao corroborarmos com

as ideias de Rabardel (2002, p. 161), de que “os instrumentos não são

conceitualmente neutros, mas que contêm uma ‘visão de mundo’ que se impõe em

menor ou maior grau aos usuários, influencia, assim, o desenvolvimento de suas

competências”, dessa forma, acreditamos que os recursos tecnológicos podem

influenciar na aprendizagem do sujeito de acordo com a maneira com que o artefato

torna-se um instrumento. Sob essa perspectiva, acreditamos que as ideias propostas

pela Teoria da Gênese Instrumental podem contribuir com o nosso trabalho.


2.2 Aspectos da Engenharia Didática

Nesta seção, apresentaremos conceitos e etapas da Engenharia Didática

segundo Artigue et al (1995) e Artigue (1996) a fim de subsidiar a resolução da

questão de pesquisa, bem como determinados procedimentos metodológicos da

etapa experimental.

Segundo Almouloud e Silva (2012), o termo Engenharia Didática (Clássica

ou primeira geração) surgiu da didática da Matemática na década de 80 com Yves

Chevallard e Guy Brousseau, seguido de Michèle Artigue em 1989. Para Artigue et al

(1995), a engenharia didática como pesquisa é caracterizada por um esquema

experimental baseado em “realizações didáticas” em aula, ou seja, na concepção,

realização, observação e análises de sequências didáticas, confronto entre os

registros e posterior validação das sequências.

Para Carneiro (2005, p. 90), “a Engenharia Didática foi criada para atender

a duas questões: a) das relações entre pesquisa e ação no sistema de ensino; b) do

lugar reservado para as realizações didáticas entre as metodologias de pesquisa”.

Assim não seria demais afirmar que a metodologia é plenamente adequada para o

estudo aqui desenvolvido. Contudo, a pesquisa desenvolvida a partir da Engenharia

Didática não depende da observação de um grupo de controle, pois suas análises

ocorrem internas à pesquisa. Para Artigue et al,

as investigações que recorrem à experimentação em sala de aula estão geralmente dentro de uma abordagem comparativa com validação externa, baseada na comparação estatística do desempenho de grupos experimentais e grupos de controle. Este não é o caso da engenharia didática que se localiza, pelo contrário, no registro dos estudos de caso e cuja validação é essencialmente interna, baseada no confronto entre a análise a priori e a posteriori. (ARTIGUE ET AL, 1995, p. 37)

A Engenharia Didática como metodologia de pesquisa, dispõe de fases que

apresentam de uma distinção temporal de seu processo experimental: 1) Análises

Preliminares; 2) Concepção e Análise A Priori; 3) Aplicação de uma SD

(Experimentação) e 4) Análise A Posteriori e Validação.


Análises Preliminares de acordo com a Engenharia Didática

Com vistas a tomar um ponto de partida como proposta de aplicação de um

experimento, torna-se necessário conhecer os sujeitos que estarão envolvidos. No

âmbito da pesquisa, as análises prévias servem a esse propósito. Segundo Carneiro

(2005), a análise preliminar (ou prévia)

é “estruturada com objetivo de analisar o funcionamento do ensino habitual do conteúdo, para propor uma intervenção que modifique para melhor a sala de aula usual. A análise é feita para esclarecer os efeitos do ensino tradicional, as concepções dos alunos e as dificuldades e obstáculos que marcam a evolução das concepções”. (CARNEIRO, 2005, p. 96)

Com as análises prévias, o pesquisador deverá buscar um ponto de

equilíbrio entre o que é estudado tradicionalmente e o que ele pretende propor.

Segundo Artigue (1996 apud CARNEIRO, 2005, p.) a fase de concepção

baseia-se em um certo número de análises preliminares e não apenas no arcabouço

teórico e didático, cita a distinção entre três dimensões: 1) dimensão epistemológica,

associada às características do saber em jogo; 2) dimensão didática, relativa às

características do funcionamento do sistema de ensino; 3) dimensão cognitiva,

baseada nas características do público ao qual se dirige o ensino.

Na dimensão epistemológica, descrevemos parcialmente um histórico

sobre as Pirâmides e arquitetura do ponto de vista de MacGilvray in Fazio (2011) e

Boyer (1996), de maneira a salientar as contribuições do caráter arquitetônico ao

longo dos séculos até suas influências atuais: intuição, estrutura, elementos, forma e

cálculos, as Pirâmides são corpos de conhecimentos milenar, parte do acervo cultural

da humanidade. Sobre os aspectos matemáticos, priorizamos os contributos de Dolce

e Pompeo (1985, 2005), Lima et al (2006), Euclides (2009) e Paiva (2009).

Ainda numa revisão de estudos, buscamos características de trabalhos

associados ao ensino de Pirâmides por meio de tecnologias, no entanto, com

considerações dos trabalhos de Van Hiele (1957) o que nos permitiu uma visão mais

ampla do que é estudado nos últimos 5 (cinco) anos, a partir dos trabalhos de

Bittencourt (2014), Boiago (2015), Borsoi (2016), Cordeiro (2014), Palles (2013),

Pereira (2017), Santos e Weber(2014), Schnornberger (2014), Medeiros (2014) ,

Moraes (2014), Souza (2016), Viana (2015) e Zilkha (2014). Na dimensão didática

analisamos diversos documentos que baseiam o ensino no país: Constituição Federal,


Lei de Diretrizes e Bases, Parâmetros Curriculares Nacionais, Matrizes de elaboração

da Prova Brasil e ENEM, e, Base Nacional Comum Curricular e seus descritores.

Por fim da dimensão cognitiva, associada às características do público ao

qual se dirige o ensino: aplicamos questionários de pesquisa para identificar aspectos

da amostra de professores e alunos sobre o lócus e sua relação com o objeto,

tecnologias e obstáculos de aprendizagem.

Concepção e Análise A Priori

A concepção e análise “a priori” orienta o pesquisador a delimitar o tipo de

variáveis de interesse do estudo aos quais o ensino pode atuar, chamadas de

variáveis de comando que atendem a duas vertentes: macro e micro didáticas

Almouloud e Silva (2012). As variáveis macro didáticas são aquelas que preocupam-

se com a organização geral da engenharia; e as variáveis micro didáticas são relativas

a organização local, ou seja, a organização de uma sequência, uma fase (Artigue et

al, 1995).

De acordo com Carneiro (2012) a fase da análise A priori comporta uma

parte descritiva e uma parte preditiva. Nossas escolhas de variáveis efetuadas no

âmbito global e no âmbito local, descreve cada atividade proposta.

Nossas primeiras escolhas dizem respeito às variáveis macro:

• Observar e reconhecer as etapas de mudança do artefato para o instrumento

na perspectiva de Rabardel (1995) e suas contribuições para a aprendizagem

de Pirâmides;

• Analisar o processo de resolução de questões sobre Pirâmides sem a utilização

dos aplicativos a partir de habilidades desenvolvidas no processo de

exploração das ferramentas da plataforma App Inventor II;

• Identificar contribuições do processo de construção para questões nos moldes

das habilidades cobradas em avaliações de larga escala.

As escolhas relacionadas aos aspectos micro didáticos são articuladas com

previsões a respeito do comportamento dos alunos, assim, outra definição importante

prevista por essa fase é o controle das relações entre o comportamento dos alunos e

as atividades propostas. Para isso, apresentaremos algumas variáveis formuladas e

por fim, possam ser comparadas com os resultados finais de maneira a contribuir para

a validação da pesquisa:


• Seleção das ferramentas utilizadas para a construção dos aplicativos;

• Identificação das relações matemáticas utilizadas para encontrar solução às

questões propostas sobre Pirâmides;

• Execução dos comandos programados no aplicativo, pelo sujeito, em busca da

solução desejada.

Definidas nossas macro e micro variáveis, damos prosseguimento à

descrição das demais fases da Engenharia Didática em acordo com o corpus da nossa

pesquisa.

Experimentação

Esta é a etapa prática da pesquisa que está diretamente ligada às

atividades propostas pela SD. Para Almouloud e Silva (2012), esta fase “consiste na

aplicação da sequência didática, tendo como pressupostos apresentar os objetivos e

condições da realização da pesquisa, estabelecer o contrato didático e registrar as

observações feitas durante a experimentação”. Segundo Artigue et al (1995) os dados

coletados nessa fase são frequentemente preenchidos com outros obtidos a partir do

uso de metodologias externas, como questionários, entrevistas individuais ou em

pequenos grupos, aplicados em diferentes momentos de ensino ou durante o curso,

e em seguida comparadas nas análises “a priori” e “a posteriori”, e a validação das

hipóteses formuladas na pesquisa.

A SD será organizada na perspectiva de Zabala (1998), que classifica como

uma “série ordenada e articulada de atividades que formam as unidades didáticas”. O

detalhamento da sequência será feito na seção 2.4 neste trabalho, ao especificar os

elementos que servirão de aporte do estudo.

Nesse sentido, faremos um apanhado geral sobre os conceitos da

validação e análise como metodologia de confirmação da eficacia ou não da proposta

experimental.

Validação e Análise

Esta etapa consiste em retomar os registros ocorridos nas fases anteriores

e propor uma comparação de dados ao formular os resultados. Para Almouloud e Silva

(2012),


A análise a posteriori consiste em uma análise de um conjunto de dados colhidos ao longo da experimentação, como por exemplo, produção dos alunos, registros de observadores e registro em vídeo. Nessa análise, se faz necessário sua confrontação com a análise a priori para que seja feita a validação ou não das hipóteses formuladas na investigação. (ALMOULOUD E SILVA, 2012, p. 27)

A validação ocorre quando o confronto das informações coletadas na

primeira fase, podem resultar em subsídios que indiquem a confirmação das

hipóteses, podendo claro, ocorrer o contrário, a refutação. Se por um lado

o objetivo da análise a priori é determinar em que as seleções feitas permitem controlar os comportamentos dos alunos e seu significado. [...] baseada em um conjunto de hipóteses. A validação dessas hipóteses está, em princípio, indiretamente em jogo no confronto que ocorre na quarta fase entre uma análise a priori e uma análise a posteriori (ARTIGUE ET AL, 1995, p.45 -tradução nossa).

Esta é a fase que a coleta traduz-se em contribuições interpretativas ao

trabalho, pois o confronto de dados poderá revelar novas informações, ocorridas

experimentalmente, essenciais para validar ou não as atividades desenvolvidas.

Nesta fase, analisamos as informações produzidas por fichas de registro,

áudios e vídeos coletados ao longo de 12 (doze) encontros. Mas antes, iremos

discorrer sobre o contexto ao qual a tecnologia é identificada neste trabalho.

2.3 As Tecnologias Digitais e o Ensino de Matemática

Nas últimas décadas, muito se tem discutido sobre o uso de tecnologias no

ensino no Brasil e no mundo. Se de um lado há iniciativas e incentivos por parte dos

sistemas de ensino e das políticas públicas de governo, por outro, há obstáculos e

proibições. Em matéria publicada na Agência Legislativa (AL), órgão de notícias ligado

à Assembleia Legislativa do estado de Santa Catarina em 17 de abril de 2017, a

comissão da referida câmara analisou o projeto de lei nº 198/2016 que tratava da

permissão do uso de smartphones em sala de aula para fins pedagógicos, altera a Lei

nº 14.363 de 2008, que proibia a utilização do aparelho em escolas públicas e

privadas. Aprovado na Comissão de Comissão e Justiça, o projeto ainda aguarda ser

votado por outras comissões para finalmente ir à plenária. O Estado do Paraná vai

mais além pois já possui e Lei 18.118 de 24 de junho de 2004, que dispõe sobre a


proibição do uso de aparelhos/equipamentos eletrônicos em salas de aula. O

enunciado do caput do artigo acrescenta que a ferramenta pode ser utilizada desde

que para fins pedagógicos, sob orientação e supervisão do profissional de ensino.

Apesar de muitas citações em documentos que balizam o ensino por meio

da utilização de tecnologias, no Brasil, já tramitaram, sem sucesso até o momento,

vários projetos de lei na tentativa da proibição do uso de aparelhos eletrônicos, nisso

inclui-se os smartphones na sala de aula em todos os estabelecimentos de ensino

do país, por exemplo os PL nº 2.246a/2007 e 2.806/11, até então não

concretizados, no entanto percebemos que alguns estados brasileiros e até

alguns municípios conseguiram aprovar projetos, nesse sentido, fizemos uma

busca sobre regulamentações já existentes em estados e municípios no Brasil,

dispostas no Quadro 9:

Quadro 9: Leis que proíbem a utilização de smartphones em sala de aula Estado/Cidade* Lei Situação

Santa Catarina 14.363/08 Proíbe totalmente.

Paraná 18.118/04 Permite apenas o uso pedagógico.

Rio de Janeiro 5.222/08 Depende de autorização do estabelecimento: para

fins pedagógicos.

Rio de Janeiro* 4.734/08 Proíbe totalmente.

São Paulo 12.730/07 Proíbe totalmente.

Ceará 14.146/08 Proíbe totalmente.

Minas Gerais 14.486/02 Proíbe totalmente.

Rio Grande do Sul 12.884/08 Proíbe totalmente.

Distrito Federal 4.131/08 Proíbe totalmente.

Amazonas 3.198/07 Proíbe totalmente.

Recife* 17.837/12 Permite apenas o uso pedagógico. Fonte: Rodrigues et al (2018)

De acordo com dados da Anatel, o país já possui mais de 271 milhões de

aparelhos de telefones celulares, dessa forma, embora represente um desafio para os

professores e redes de ensino, questiona-se a proibição como o meio mais adequado

para contornar os efeitos negativos do mau uso das tecnologias cada vez mais

emergentes no contexto social do país. Segundo a coleta de dados que fizemos, para

este trabalho, 91,8% dos estudantes possuem smartphone, ao mesmo tempo em que

reafirma a inserção de tal recurso tecnológico no meio social dos sujeitos da pesquisa,

enquanto 55,4% dos discentes entrevistados afirmam que a proibição ocorre nas salas

de aula das escolas da região do MSM mesmo sem legislação especifica que proíba,


no entanto, o fato corrobora com a tendência de estados e municípios citados no

Quadro 9.

Ao retomar a matéria da Agência Legislativa do estado de Santa Catarina,

ressaltamos a opinião de vários consultados:

- A proposta promove a adequação a um novo contexto de necessidades de acesso de aprendizagem produzidas pelas relações criadas a partir do desenvolvimento tecnológico- Secretaria de Educação do Estado; - [...] desde que seja feito com planejamento , que a escola e o professor tenham um objetivo claro de aprendizagem com o uso do celular, que esteja incluído no Projeto Político Pedagógico, o aparelho tende a ser uma ferramenta com potencial enorme de interação, comunicação, e , inclusive de produção de conteúdo por parte dos estudantes- Mônica Rennemberg da Silva (Gerente de Tecnologias e Inovação da SEDSC). - Não podemos ir contra a tecnologia no ambiente da sala de aula, mas precisamos de uma estratégia, um projeto político pedagógico que estabeleça que o celular vai melhorar o processo de ensino e aprendizagem- Maurício Fernandes Moreira (Conselho Estadual de Educação-SC) . - A lei atual (2008) está em descompasso com a realidade. Proibir não é educar. Temos que orientar os alunos para que faça o uso produtivo da tecnologia para o estudo, de maneira a garantir o desenvolvimento deles. É nossa função de professor Luis Machado (Professor de filosofia do Instituto Estadual de Educação de Florianópolis – IEE). (AGÊNCIA LEGISLATIVA, 2017, p.3-5)

O contexto acima demonstra que o tema ainda não possui um consenso

metodológico, didático ou pedagógico, ainda com pouca literatura existente sobre as

tecnologias como ferramenta para o ensino, muito embora já exista uma política de

inclusão tecnológica escolar desde 2007, com o Decreto Presidencial nº 6.300 que

dispõe sobre o Programa Nacional de Tecnologia Educacional – Proinfo, estabelecido

a pouco mais de dez anos e já se encontre muitos trabalhos com a aplicação de

softwares no ensino. O Proinfo disponibiliza Núcleos de Tecnologia Educacional em

Unidades Regionais de Educação com computadores, internet e técnicos

responsáveis pela formação continuada de professores, o que ainda é insuficiente

para tornar o ambiente escolar informatizado.

Acreditamos que um dos grandes motivos para as divergências de pontos

de vista sobre a utilização do smartphone na sala de aula se deva pela ausência de

uma proposta definida em dimensões macro que apresentem resultados consistentes

para a formalização de uma política pública voltada para o ensino por meio de

tecnologias.

Borba e Penteado (2017) chamam atenção para preocupações existentes

em comunidades acadêmicas, principalmente da educação Matemática sobre os


“perigos” que a utilização da informática pode trazer para a aprendizagem dos alunos,

principalmente àqueles que concebem a matéria como matriz do pensamento lógico,

ao mesmo instante em que acreditam que a capacidade de raciocínio seja transferida

para o computador, no mesmo sentido inclui-se a utilização da calculadora.

Por outro lado, é consenso que os quadros de giz ou de pincel perderam

espaço inicialmente para retroprojetores e em seguida para data-shows. No entanto,

se a prática continuar a mesma, não garantirá que esse tipo de tecnologia irá

influenciar na aprendizagem, apesar de promover uma melhor ilustração dos

conteúdos, muito menos da forma com que habitualmente fazemos uso destas no dia-

a-dia, como no caso do smartphone.

Moran et al (2013) afirmam que uma escola de boa qualidade depende

também de um projeto político e pedagógico inovador, na qual a internet e outros

recursos sejam inseridos como componente pedagógico. Nesse contexto,

apresentamos o App Inventor II e a possibilidade da criação de aplicativos

matemáticos para aprender Matemática.

Utilizar a linguagem de programação em blocos do App inventor II aproxima

o professor e o aluno a partir do processo de construção conjunta de ideias, favorece

a organização do raciocínio e introduz a ideia de programação, além de que os

processos de resolução de questões propostas deverão se tornar mais ágeis e

capazes de serem calculadas e conferidas num processo auto avaliativo, pois

segundo os PCNEM,

o estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano [...] reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, saber usar diferentes unidades de medida [...] de apreciar a faceta da Matemática que trata de teoremas e

argumentações dedutivas. [...]para o cálculo de comprimentos, áreas e volumes. (BRASIL, 2002, p. 76).

Nesse sentido, corroboramos com as ideias de Walle (2009) que aponta

alguns benefícios do uso de calculadoras, dessa forma, acrescentamos ao contexto,

alguns aplicativos que podem ser construídos pelos estudantes que se enquadram no

perfil de calculadoras, aos quais são objetos de interesse neste tópico:

• Podem ser utilizados para desenvolver conceitos;

• Podem ser usados para exercitar;

• Fortalecem a resolução de problemas;


• Contribuem para economizar tempo na resolução de questões propostas;

• São comumente utilizadas na sociedade.

Para Borba e Penteado (2017, p. 37), “as calculadoras gráficas e softwares

além de naturalmente trazerem a visualização para o centro da aprendizagem

Matemática, enfatizam um aspecto fundamental da proposta pedagógica da disciplina:

a experimentação.” Nesse contexto, Walle (2009) afirma que a oposição prolongada

ao uso de calculadoras, sem propor atividades planejadas e avaliar seus resultados

está em grande parte baseada na desinformação, e cita alguns mitos e medos sobre

estudantes não aprenderam por causa das calculadoras, mesmo quando confrontam-

se com evidências contrárias:

Se as crianças usarem calculadoras, elas não aprenderão os “fundamentos”; as calculadoras tornam os estudantes preguiçosos; os estudantes devem aprender o “modo real” antes de usar as calculadoras; os estudantes se tornarão dependentes de mais das calculadoras. (WALLE, 2009, p. 131-132)

Voltamos tais exemplos para a utilização de calculadoras pelo fato de as

mesmas serem as preferidas quanto da escolha dos aplicativos para smartphones na

nossa proposta, no entanto, os comentários se estendem por analogia em grande

maioria a outros aplicativos que podem ser criados no App Inventor II. Dessa forma,

acreditamos que a utilização de calculadoras, assim como aplicativos não causam

nenhum dano à aprendizagem do estudante, os ambientes de resolução poderão ser

ampliados com a utilização das ferramentas e quando retirados dos estudantes elas

tendem a ser um recurso para a resolução de exercícios, pois os cálculos podem ser

verificados de maneira tradicional: com lápis e papel, dessa forma, os estudantes

poderão potencializar suas tomadas de decisões e utilizar o cálculo mental quando

necessário, corrobora assim com as ideias de Walle (2009).

Devido aos aspectos citados anteriormente, a mediação da aprendizagem

(Proposta por Vygotsky) por instrumentos tecnológicos (Proposta por Rabardel),

contextualiza o nosso tema ao explicitar elementos de estudo bastante robustos como

as relações entre objeto, sujeito e instrumento, seus esquemas de utilização e

propostas de atividades que venham contribuir com a realidade em que se encontra

as escolas brasileiras no tocante à realidade tecnológica atual. Face ao exposto, cabe

apresentar o App Inventor II como o instrumento de construção de aplicativos para o

ensino de Pirâmides, assim, apresentaremos alguns aspectos do recurso.


2.3.1 A ferramenta tecnológica utilizada

O App Inventor II é uma plataforma on line, de aplicação open source

(código aberto), ou seja, um modelo de desenvolvimento que promove

um licenciamento livre para a criação de design ou esquematização de um produto, o

que permite a redistribuição universal e o torna de simples acesso, manuseio ou

modificação, por qualquer indivíduo. O recurso permite a criação de aplicativos das

mais diversas características na extensão apk, executável em smartphones e tablets

com sistema operacional Android.

Inicialmente criada pela Google no ano de 2009 e mantida atualmente pelo

Massachusetts Institute of Thecnology-MIT, disponibiliza acesso a iniciantes de

programação, em diversos idiomas inclusive o português do Brasil.

A ferramenta apresenta potencial para inspirar o fortalecimento intelectual

e criativo do estudante. Dessa forma, professores e alunos podem construir ou criar

aplicativos diversos para um mesmo conteúdo ou para conteúdos diferentes, permite

considerar os processos didáticos para sua construção, complementados pela

validação de resultados de problemas propostos em exercícios e atividades. Segundo

o site oficial da plataforma MIT App Inventor, o projeto busca democratizar o

desenvolvimento de software, capacita especialmente os jovens, ao passar do

consumo para a criação de tecnologia.

Segundo Duda e Silva (2015), a construção dos comandos dos aplicativos

é efetuada por meio da chamada “programação visual”, na qual as ações são

estruturadas pela justaposição de blocos lógicos, semelhantes a peças de quebra-

cabeça, que facilitam a compreensão da programação, evita o desânimo quando um

“erro” de programação ocorre, possibilita fácil identificação e correção dos blocos e de

comandos. Nesse contexto, torna-se essencial para o ensino de Pirâmides, uma vez

que o conteúdo requer a utilização de estruturas em blocos que se assemelham a

álgebra. Por outro lado, para a construção dos aplicativos, essas estruturas devem

ser compreendidas como relações entre variáveis e elementos matemáticos

convertidas para blocos de programação.

Para o acesso à plataforma, o usuário deverá realizar um cadastro com

conta de e-mail da Google que proporciona livre acesso ao ambiente ao permitir a

construção dos aplicativos em dois ambientes diferentes: (a) designer - exibe a

aparência do aplicativo que se instalará na tela do smartphone ao ser aberto, além


das colunas: paleta, visualizador, componentes e propriedades, conforme ilustrado na

Figura 33.

Figura 33: Ambiente Designer do App Inventor II

Fonte: Autor (2018)

e; (b) Blocks (Blocos), a qual deve ocorrer a estruturação da programação das

ferramentas de comando organizadas no layout, como dispostos na Figura 34.

Figura 34: Ambiente Blocks do App Inventor II

Fonte: Autor (2018)

O ambiente de blocos dispõe de comandos de controle, lógica, Matemática,

texto, listas, cores, variáveis e procedimentos que permitem personalizar a aplicação

criada com a instrumentalização da plataforma para servir na construção de produto

ao processo educativo.


Na figura 35, apresentamos o exemplo da tela de um aplicativo construída

no App Inventor II, para o cálculo da área da base e do volume da Pirâmide de base

hexagonal, bem como sua programação.

Figura 35: Tela do aplicativo VOLPIR (Volume da Pirâmide)

Fonte: Autor (2018)

Na Figura 35, o layout da tela “Pirâmide Hexagonal Regular” possui

estruturas de blocos programadas para o calculo da área da base do hexágono a partir

da medida do lado e do volume da Pirâmide hexagonal a partir da área da base e da

altura, possui como elemento da paleta uma legenda ( ) na parte superior da tela,

que indica o tema trabalhado; dispõe de duas imagens ( ), uma da base e outra da

Pirâmide que expõe os elementos do objeto; uma caixa de entrada ( ) para que o

usuário digite a medida do lado do haxágono (base), que quando tocada com o dedo

sobre a tela ocasiona a exposição automática do teclado, seguida do botão ( ) que

calcula a área da base quando inserida a medida do lado; analogamente, uma caixa

de entrada de valores para digitar a medida da altura da Pirâmide que admite o mesmo

tratamento que a caixa de texto anterior, no entanto, possui como pré-requisito o

cálculo da área da base para calcular o volume.

A tela se completa com três botões: Limpar – utilizada quando se quer

calcular o valor da área da base e do volume ao atribuir novos valores após os já

calculados, o botão Voltar- direciona o aplicativo para a tela de apresentação, e por


fim, o botão Sair que fecha o aplicativo. Segue abaixo a programação em blocos da

tela do aplicativo.

Figura 36: Programação em blocos da tela do volume da Pirâmide hexagonal

Fonte: Autor (2018)

Os blocos de programação da Figura 36, estão estruturados de acordo com

a necessidade e a criatividade do usuário, o que permite alteração em qualquer etapa

do aprendizado. Por outro lado, a criatividade não basta por si só para garantir o

funcionamento correto do aplicativo, pois para isso, precisa-se da estrutura

matemática. A estrutura (A) refere-se à programação do botão calcular área da base

- quando tocado, “ajusta” a legenda “área” para o resultado dos valores digitados na

entrada (caixa de texto) - submetida à expressão 𝑆𝑏 =3.𝑙2√3

2. A estrutura (B) refere-se

à programação do botão calcular o volume da Pirâmide - quando tocado, “ajusta” a

legenda “volume” para o resultado dos valores digitados na entrada (caixa de texto) -

submetida à expressão 𝑆𝑏 =𝑆𝑏.ℎ

3. Já a estrutura (C) garante que quando o botão limpar

for tocado, os valores das caixas de texto medida do lado e medida da altura da

Pirâmide, e, das legendas área e volume limpem os valores dos elementos citados. A

estrutura (D) faz com que, ao ser pressionado o botão voltar, a tela se feche,

emergindo a tela inicial do aplicativo. Por fim, a estrutura (E) fecha todo o aplicativo

quando o botão sair for pressionado.

Nessa perspectiva, considera-se a potencialidade oferecida pelo processo

de construção dos aplicativos para o meio educacional, que ainda é bastante “tímida”

no ensino de matemática, mas por outro lado, ganha espaço no meio tecnológico ao

potencializar o processo de ensino e aprendizagem. Assim, nossa decisão de

construir aplicativos matemáticos não foi aleatória, partiu da dificuldade em encontrar


uma ferramenta que auxiliasse no cálculo e na compreensão de fórmula e relação dos

elementos da Pirâmide no desenvolvimento de questões que exigem cálculo sem

perder de vista o caráter contextualizado dos problemas propostos, parte de uma

construção do próprio aluno, ao invés de utilizarmos aplicativos já prontos.

Um dos fatores que nos motivou para a utilização do App Inventor II na

estruturação dos aplicativos foi a possibilidade de serem executados em um sistema

operacional popular, o Android, presente em 93% dos smartphones no Brasil (IDC,

2016). Outro fator relevante é a dispensabilidade de conhecimento técnico de

linguagens de programação para a estruturação dos aplicativos. Fato que se

constatou com a coleta de dados e em seguida, com a oferta de um curso para o

nivelamento dos alunos sobre o uso da plataforma.

Tais contribuições foram experimentadas e analisadas no curso de

nivelamento que se segue.

2.3.2 Curso de Nivelamento

Mediante a afirmativa dos alunos de desconhecerem a plataforma utilizada,

objetivamos oferecer subsídios para o primeiro contato e manuseio do App Inventor II

sem o direcionamento para o objeto da pesquisa, de maneira a identificar

prioritariamente os fatores que possibilitam ou dificultam o manuseio do artefato, além

de observar como ocorre o processo de Gênese Instrumental.

As atividades de nivelamento foram ofertadas com o título principal:

“Instrumentação do App Inventor II para a criação de aplicativos matemáticos”. À

frente das atividades esteve o Grupo de Pesquisa em Ensino da Matemática e

Tecnologia- GPEMT representado e ministrado pelo pesquisador deste estudo para

21 alunos do 3º ano do Ensino Médio do Centro de Ensino Integral Josélia Almeida

Ramos. As atividades de instrumentação ocorreram em 10 (dez) encontros de 3 horas

cada, durante o período compreendido entre 20 de junho de 2018 e 10 de agosto de

2018, no Núcleo de Tecnologia Educacional , biblioteca e auditório da escola definida

como lócus da pesquisa, no período de contraturno dos estudantes, das 15 a 18 horas.

Foram utilizados conteúdos básicos da Matemática para ensinar a

manusear as ferramentas da plataforma, de forma que a mesma deixe de ser artefato

e seja instrumentalizada pelos alunos com a construção de aplicativos. Segue abaixo

o resumo e descrição das principais atividades desenvolvidas que ocorreram em dias


alternados por conta dos jogos da Copa do Mundo da Rússia com os jogos da seleção

brasileira, consequentemente a adequação do calendário escolar de acordo com a

Portaria nº 174, de 22 de junho de 2018 do Ministério do Planejamento,

Desenvolvimento de Gestão.

Quadro 10: Atividades desenvolvidas no curso de nivelamento

Mês Dia Atividades

Junho

20 (quarta-feira)

- Sensibilização, justificativa, apresentação da metodologia e demais particularidades do curso. - Acesso e apresentação principais ferramentas do App Inventor II (Laboratório de informática-NTE)

21 (quinta-feira) - Orientação e construção de uma calculadora de operações básicas como primeiro aplicativo. (NTE)

26 (terça-feira) - Orientação e construção de aplicativo 2 - cálculo de juros simples - em telas múltiplas, relaciona algoritmos matemáticos e blocos de programação. (NTE)

Julho

03(terça-feira) - Conclusão das telas do aplicativo 2 e instalação no smartphone (NTE).

04 (quarta-feira) - Atividade de teste do aplicativo 2, realização de atividade proposta que relacionam o conteúdo (Biblioteca e NTE).

05 (quinta-feira) - Socialização grupal dos resultados obtidos (NTE).

09 (segunda-feira) - Atividade de planejamento de aplicativo 3 para um conteúdo à escolha do aluno, esboço, construção, programação e teste do aplicativo (NTE).

11(quarta-feira) - Atividade de aprimoramento do aplicativo de juros simples em apenas uma tela; utilização de lógica Matemática para a programação (NTE).

13 (sexta-feira) - Desenvolvendo um aplicativo de juros compostos em uma única tela (NTE).

Agosto 17 (sexta-feira) - Socialização de todas as atividades desenvolvidas no curso, em um mini seminário (Auditório).

Fonte: Autor (2018)

Os registros das atividades foram feitos por meio de roteiro de atividade,

fotos, áudio e vídeo. Para avaliação dos cursistas foram atribuídas três notas: (1)

Frequência- cada aluno inscrito iniciou o curso com nota 10, subtraindo-se 1 (um)

ponto a cada falta nos encontros; (2) Construção, instalação e testagem do aplicativo

2 com registro em atividade escrita; (3) Planejamento, criação, testagem do aplicativo

3 e socialização no mini seminário do encontro realizado no dia 17/08. Destes, os que

obtiverem média igual ou superior a 7 (sete), estarão aptos a participar das atividades

propostas no experimento.

Dos resultados, as principais ações registradas foram: conversas de

estudantes na busca de compreensão dos algoritmos matemáticos para a construção


da programação do aplicativo, dúvidas sobre a relação entre o algoritmo e a

programação em blocos, facilidade em resolver as questões propostas, com e sem a

utilização do aplicativo, além da capacidade de planejamento de telas para a

construção de aplicativos que resolvam problemas do dia-a-dia. Evidenciaremos

alguns registros escritos de uma atividade realizada em grupos de três alunos,

conforme ilustrado na Figura 37.

Figura 37: Impressões iniciais de juros simples

Fonte: Atividade escrita nivelamento (2018)

Como pudemos observar na imagem acima, o grupo de estudantes, que

para efeito dessa análise chamaremos de “G1”, demonstrou suas impressões iniciais

no sentido de que os juros são utilizados apenas para atrasos de transações

financeiras. No entanto, com a realização das atividades posteriores: como o

preenchimento de um quadro com valores e utilização do aplicativo para isso,

posterior socialização, discussão e construção, obteve-se uma interpretação de juros

mais ampla por parte dos componentes do “G1” e das demais equipes. Observou-se

também a importância dada a cada elemento para o cálculo de juros, bem como suas

relações para resolver os problemas propostos.

O aplicativo criado para o cálculo de juros simples possui quatro telas (Fig.

38), em que cada tela permite a entrada de três variáveis e o cálculo de uma quarta.

Uma delas calcula juros simples (j) em função do capital (c), taxa (i) e tempo (t); as

demais telas calculam o valor do capital, taxa e tempo em função das demais variáveis

independentes.

Conforme pudemos observar na pergunta inicial (Questão 1) e na pergunta

13, os estudantes já demonstram domínio sobre as ferramentas do artefato

(plataforma) utilizado, evolui para o status de instrumento, uma vez que verifica-se


nitidamente a reorganização e modificação dos esquemas de utilização do recurso

pelos alunos, de acordo com Rabardel (1995), no entanto, ao testar o aplicativo, o

mesmo grupo verificou um “erro”, ao “dividir por 3” no algoritmo, corrigido em seguida.

Figura 38: Estruturação da programação do bloco de juros simples


Na mesma atividade, foram propostas questões para testar o aplicativo

construído, bem como a possibilidade de manipulação do algoritmo para encontrar os

outros elementos que o envolvem: capital, taxa e tempo e em seguida, verificar os

dados com a utilização de caneta e papel. De posse do aplicativo já construído, os

alunos puderam verificar a os valores encontrados e compará-los com os cálculos

feitos à mão.

Nessa perspectiva, foram propostas as questões de 2 à 10, quando

selecionamos a atividade da equipe “G4”. No aplicativo, observa-se que o layout

permite a “entrada” dos valores dos juros simples, taxa e capital, de maneira que gere

a “saída” do valor do tempo, que nesse caso foi dado em anos. Nessa questão,

pudemos perceber que a mesma apresenta um ciclo que, partiu de uma situação

problema utilizada para testar o aplicativo, resolvida comumente pelo algoritmo

t=100.j/i.c, no entanto, entendido por uma outra linguagem: programação simples a

partir de estruturas em blocos que permite a conversão de linguagens, o entendimento

das relações entre seus elementos, mediada por tecnologia para a confirmação de

resultados e adequação da ferramenta de código aberto para outras ferramentas, o

que permite, daí fazer o processo inverso: ter uma situação da realidade, criar um

aplicativo e resolver problemas.

A partir da resolução de várias questões propostas sobre a utilização de

juros em diversos contextos, os estudantes perceberam aos poucos que a utilização

de juros simples não ocorre apenas quando ocorre o atraso em contas. Essa


percepção pode ser estendida a várias aplicações. Ao ter a possibilidade de modificar

os elementos da estrutura de blocos o aluno percebe erros e corrigi-los em seguida.

Figura 39: Aplicativo, estrutura e validação da questão 9


As tarefas proporcionaram ao aluno a possibilidade de visualizar as

relações existentes entre os elementos da tela do aplicativo, das fórmulas para o

cálculo de juros, dos blocos de programação e testá-los mediante cálculos

desenvolvidos à mão. Observe a Figura 39.

Na sequência, apresentamos a análise de dados produzidos na interação

dos sujeitos (alunos cursistas), orientados pelo professor mediador, com o objeto do

conhecimento (conteúdo matemático) de maneira a considerar o aplicativo como

produto do instrumento. No decorrer do diálogo que se estabeleceu entre os sujeitos,

elaborou-se um texto coletivo com a turma, de maneira que destacaram-se os alunos

“A1”, “A2”, “A3”, “A4” e “A5”. Apresentamos a transcrição deste diálogo a seguir:

Professor: Se ao invés de construir o aplicativo, para o cálculo de juros simples, em

quatro telas e configurar em apenas uma, como eu deveria proceder, alguém sabe?

Alunos: primeiro criaria a tela (em coro).

Professor: Isso mesmo. A1, o que mudaria no layout? Tiraria ou acrescentaria algum

elemento?

A1: professor, tiraria só os botões que levariam pra tela do capital, tempo e taxa.

Professor: nada mais?

Alunos: Não...

A1: peraí...


Professor: bem, se só temos uma tela, temos que ter campo de entrada de todas as

quatro variáveis, né?

A2: então tira a legenda do juro e coloca uma caixa de texto.

Professor: exatamente! Então que elementos eu teria para a tela do aplicativo?

Alunos: 1 legenda indicando a tela, quatro caixas de entrada pra inserir os valores...

Professor: O que mais?

A3: os botões: sair, limpar e calcular...e...

A4: as legendas que mostram que elemento colocar, e os organizadores também.

Professor: E nos blocos? O que mudaria? O algoritmo matemático? A programação?

Alunos: (silêncio)...

Professor: “peraí”, vamos comparar o que muda na prática na tela do aplicativo: se

os valores da variável serão digitados em três caixas de texto, sobra uma em branco,

então é lá que deverá aparecer o valor. Perceberam a utilização dos operadores

lógicos “se” e “então”?

A2: professor, as estruturas do aplicativo anterior não muda, certo?

Professor: certo.

A1: Então acrescenta o bloco lógico com se e então, só não sei como será para as

quatro caixas de texto.

Professor: você está vendo uma engrenagem azul no bloco? Clique pra ver o que

acontece... Tente compreender o que encaixar no se e então.

A5: Professor, e o que colocar no “se”?

Professor: Bom, onde sairá o resultado?

A5: na caixa de texto vazia...

A2: então, seleciona, vazio e indica a caixa de texto.

O diálogo ocorreu em torno de um questionamento do aluno A2 sobre uma

dúvida: professor, não poderíamos otimizar o tempo e o aplicativo para construí-

lo em apenas uma tela? Para isso, houve a necessidade de incremento de noções

de lógica formal com o uso do bloco “se, então”, por parte do mediador.

O aplicativo foi concluído, instalado e testado pelos alunos em grupos de

três componentes, no entanto alguns obstáculos foram inevitáveis, como alguns

grupos não conseguiram de imediato estruturar os blocos com os operadores lógicos,

em outros casos, houveram trocas de variáveis na estrutura, o que ocasionaram

alguns erros de programação, mas corrigidos em seguida. O aspecto que mais se


destacou na atividade foi a ajuda mútua entre os alunos. A Figura 40 resume a

estrutura.

Figura 40: Aplicativo de juros simples personalizado pelo aluno


O aluno A1, mencionado no diálogo, personalizou seu aplicativo de forma

que ao digitar os valores nas caixas de entrada com fonte na cor preta, em seguida

ao clicar no botão calcular, a resposta destaca-se em cor vermelha, fato que apresenta

indícios de instrumentalização do artefato, identificada pela autonomia na

personalização do aplicativo.

Figura 41: Imagem do aluno construindo o aplicativo de juros simples

Autor (2018)

Nesta proposta, tiramos o foco do conteúdo de juros, para observar a

percepção dos estudantes acerca da utilização do instrumento em outros conteúdos

matemáticos. Neste caso, o estudante A4 construiu o esboço para a construção de

um aplicativo que auxiliasse no cálculo da área de trapézios.


Figura 42: Esboço do aplicativo para o cálculo de área do trapézio


O objetivo dessa atividade era verificar se os alunos conseguiriam

personalizar o artefato de acordo com suas necessidades. A representação do layout

e dos blocos de programação pela equipe que aqui chamaremos de “G3”, retrata que

os seus membros já possuem a competência de comunicar os esquemas de utilização

das ferramentas para a resolução de um conteúdo matemático diferente da linha de

construção dos aplicativos propostos no curso. Todas as equipes responderam

corretamente à questão 14, fato que indica uma possível instrumentalização da

plataforma na construção dos aplicativos, pois

os processos de instrumentalização referem-se ao surgimento e evolução da componente artefato para o instrumento: selecionando, agrupando, produzindo, e definindo funções, transformando o artefato (estrutura, funções, etc.) enriquecendo as propriedades do artefato, cujos limites são difíceis de determinar. (RABARDEL, 1995, p. 111)

Como última tarefa, sugerimos que os estudantes voltassem ao laboratório,

pesquisassem sobre um tema de Matemática, e procedessem com a criação de um

novo aplicativo, ocasionou o incentivo, a criatividade e a autonomia para outros

conteúdos matemáticos, de forma a compreender se houve a instrumentalização da

plataforma.

Segundo Rabardel (1995),

os processos de instrumentação são relativos ao surgimento e evolução dos esquemas de utilização e da ação instrumental: sua constituição, seu


funcionamento, sua evolução por acomodação, coordenação e combinação, inclusão e assimilação recíproca, a assimilação de novos artefatos a esquemas preexistentes (RABARDEL, 1995, p.11)

Selecionamos o aplicativo criado pela equipe “G5”, conforme atividade

proposta na questão 15, permitiu uma autonomia maior do aluno, no sentido de que

quando o mesmo decide construir um aplicativo para conteúdo não determinado pelo

docente permite abrir um leque na escolha de elementos, ferramentas e temas

diversos, de acordo com sua necessidade, criatividade e possibilidade. Na questão,

demos liberdade de escolha de um conteúdo qualquer e construir um aplicativo que

resolvesse uma situação problema com o assunto escolhido.

Figura 43: Aplicativo criado por aluno para cálculo da área do triângulo


Todas as atividades propostas foram desenvolvidas pela maioria dos

alunos participantes. Dos 21 participantes, 17 concluíram as etapas com êxito,

lograram notas suficientes para a aprovação no curso.

As atividades desenvolvidas no primeiro contato com a App Inventor II nos

permitiram constatar as seguintes percepções:

- A construção permitiu que os estudantes se sentissem motivados por fazerem parte

da construção de um aplicativo, ao invés de apenas manuseá-los;

- O processo de desenvolvimento contribuiu para a identificação de aspectos que

indicam a instrumentação e instrumentalização e muito favorável à aprendizagem de


Pirâmides, com a capacidade de manuseio de tecnologias do grupo, sobretudo da

personalização dos aplicativos.

- Dar tratamento diferenciado ao erro, uma vez que ao serem testados, os aplicativos

permitem a correção de blocos de programação;

- Mesmo com a utilização de tecnologias, os alunos não deixaram de lado os cálculos

com lápis e papel;

- A plataforma possui limitações quanto ao ambiente gráfico;

- As atividades não dispensam a utilização de recurso complementares como

materiais manipulativos, sólidos Geométricos;

- Ao aplicativos facilitam, dinamizam e potencializam as resoluções de problemas por

reduzir os erros de cálculo;

- Cabe destacar, também, a relevância do trabalho realizado em grupo. As atividades

contribuíram significativamente com a interação entre os alunos a carca de sugestões

e opiniões a respeito dos aplicativos, sobretudo o da calculadora;

- O tipo de aplicativo mais adequados para nosso objeto de pesquisa é a construção

de calculadoras específicas para cada tópico estudado de Pirâmides.

Consideramos que os efeitos produzidos, pela primeira experiência com os

aplicativos foi muito proveitosa e potencializadora, dessa forma, torna-se bastante

adequada sua utilização nas tarefas propostas em nossa SD, a qual passaremos a

apresentar na próxima seção como foi organizada.

2.4 Sequência Didática (SD)

Ao considerar a realidade social em que se insere a maioria dos estudantes

evidenciadas pelos percentuais apresentados e as descritas nas subseções iniciais,

sob o ponto de vista tecnológico, elaboramos uma SD sobre os tipos e maneiras de

articular as atividades, que segundo Zabala (1998), são um dos traços diferenciais

que determinam a especificidade das propostas didáticas. Nesse contexto,

apresentamos a adequação de uma estrutura de SD que consideramos possuir

características procedimentais, que se encaixam no tema em estudo, conforme

destacado no Quadro 11.


Quadro 11: Generalização do modelo de SD Fase Descrição Encaminhamento

1 Apresentação por parte do docente de uma situação problemática.

O professor expõe aos alunos uma situação conflitante que pode ser solucionada por meios matemáticos.

2 Proposições de problemas ou questões e Busca de soluções.

Os alunos individualmente ou coletivamente orientados pelo professor expõem as respostas intuitivas ou suposições sobre o problema ou situação proposta.

3 Conceituação e algoritmo.

O professor apresenta uma atividade que conduza o aluno à descoberta de novos conceitos com ou sem o uso do aplicativo a partir de roteiros de atividades, o aluno a responde.

4 Elaboração de conclusões.

Os alunos, coletiva ou individualmente, mediados pelo professor, elaboram as conclusões que se referem às questões propostas nas atividades da etapa anterior.

5 Generalização das conclusões e síntese.

O professor demonstra a função do modelo conceitual e o algoritmo em todas as situações que cumprem determinadas condições.

6 Instrumentação e construção do aplicativo.

O professor solicita que o aluno individualmente ou coletivamente construa o aplicativo utilizado e se possível adeque à uma nova necessidade.

7 Aplicação. Os alunos aplicam o modelo em diversas situações.

8 Exercitação. Os alunos realizam exercícios com o uso do algoritmo.

9 Avaliação. Os alunos expõem os resultados obtidos nos exercícios escrito ou verbalmente.

Fonte: Adaptado de Zabala (1998)

Para compreender melhor a estruturação que pretendemos adotar para

abordar os conteúdos a partir do quadro acima, consideramos três categorias de

conteúdo: os conceituais, os procedimentais e os atitudinais. Segundo Zabala

(1998) os conteúdos conceituais dizem respeito ao desenvolvimento das capacidades

cognitivas, que permitem a operação com dados referentes a operação e ideias

associadas o objeto.

As atividades que podem garantir um conhecimento melhor do que cada aluno compreende implicam a observação do uso de cada um dos conceitos em diversas situações e nos casos em que o menino ou a menina os utilizam em explicações espontâneas. (ZABALA, 1998, p. 205).

Por outro lado, os conteúdos procedimentais estão associados ao saber

fazer, passíveis de verificação na aplicação dos conteúdos, com a utilização adequada

de instrumentos, algoritmos, além de fazer uma pesquisa, converter linguagens, e

outros aspectos associados a habilidades de execução e reflexão sobre tarefas

desenvolvidas.


No que tange aos conteúdos atitudinais, a subjetividade comportamental é

o grande desafio para a percepção de características e avaliação dos elementos

observados pelo docente, pois estão associados à atitudes e valores formados frente

a um conhecimento adquirido ou informação recebida. A iniciativa de tentar responder

às questões propostas nas aulas de Matemática, podem estar ligadas a muitos fatores

que influenciam no comportamento proativo, ao mesmo tempo em que a falta de

interesse pela mesma questão, por outro, pode estar ligado a questões sociais,

cognitivas. Nesse contexto, a reflexão, a inciativa, os conflitos e a relação interpessoal

podem ser levadas em consideração em vários momentos e atividades do processo.

Diferentemente da SD baseada na abordagem clássica vinculada à “tríade”

definição, exemplificação e exercitação - confirmada ser a abordagem mais usada nas

aulas de Matemática por 68,2% dos alunos entrevistados nas análises preliminares

desse estudo- além de flexível, o modelo adotado permite desenvolver conteúdos

fundamentalmente procedimentais no que se refere o uso de fórmulas e no

desenvolvimento de habilidades e competências associadas ao tema, além da

instrumentalização das tecnologias em favor do ensino, que permite analisar a

mediação entre o sujeito e o objeto mediada por tecnologia de acordo com a Gênese

Instrumental (Rabardel,1995).

Quanto aos conteúdos conceituais, estes destacam-se na compreensão

dos conceitos associados, no nosso caso no ensino de Pirâmides. Os conteúdos

atitudinais só aparecerão nas etapas que envolverem as trocas de ideias em diálogos

entre aluno-aluno e professor-aluno.

Nesse sentido, a organização a seguir (Quadro 12) procura explicitar os

tipos de conteúdos observados em cada fase da SD prevista no Quadro 11, em que

podemos observar que as praticamente todas as atividades propostas aparecem

conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais.

Quadro 12: Fase x Conteúdo da SD

Fase Conteúdo

Conceitual Procedimental Atitudinal

1. Apresentação por parte do docente de uma situação problemática.

X

2. Proposições de problemas ou questões e Busca de soluções.

X X X

3. Conceituação e algoritmo. X X

4. Elaboração de conclusões. X X X

5.Generalização das conclusões e síntese. X


6.Instrumentação e construção do aplicativo. X X X

7. Aplicação. X X

8. Exercitação. X X

9. Avaliação. X X X Fonte: Adaptado de Zabala (1998)

De acordo com o Quadro 11, planejamos a oferta nos encontros do

experimento, o maior número de fases possíveis, ao buscar aproximação da formação

integral do aluno, uma vez que tais atividades permitem compreender e orientar as

diferentes capacidades dos indivíduos. Segundo Zabala (1998), a proposta permite

que os alunos controlem o ritmo da sequência, atuando constantemente e utilizando uma série de técnicas e habilidades [...]. Ao mesmo tempo, encontram-se diante de uma série de conflitos pessoais e grupais de sociabilidade que é preciso resolver, o que implica que devam ir aprendendo a “ser’ de uma determinada maneira: tolerantes, cooperativos, respeitosos e rigorosos. (ZABALA, 1998, p. 61)

Nesse contexto, além dos aspectos propostos, deverão ser levadas em

consideração as habilidades, competências e direitos de aprendizagem dispostos em

documentos oficiais da educação brasileira, mesmo que não seja possível analisar

toda a gama de informações produzidas nesse estudo.

Na utilização do App Inventor II as atividades propostas na SD, causou o

sentimento da necessidade de instrumentalização das ferramentas disponíveis na

plataforma, ao oferecer uma noção básica das propostas de atividade com aplicativos.

Tal necessidade justifica o desenvolvimento do curso de nivelamento ora relatado pois

o que pode ser artefato para um, poderá ser instrumento para outro. Ressalta-se que

segundo coleta de dados apresentada nas análises preliminares em que 95,9% dos

estudantes entrevistados afirmaram não conhecer o App Inventor II e 92,3% disseram

não ter noção de programação, por isso, os resultados obtidos com o nivelamento,

nos serviu de parâmetro para a organização das atividades.

A SD proposta, foi organizada em doze seções de três aulas cada. As duas

primeiras sessões foram destinadas a atividades iniciais que objetivavam conceituar

e classificar Pirâmides. Foram aplicadas 2 (duas) atividades que totalizaram 6 (seis)

aulas em 2 (dois) encontros somente para o desenvolvimento das atividades que

envolvam aplicativos. Os tópicos conceituais propostos estão de acordo com as

dificuldades apontadas na coleta de dados com os alunos nos Apêndices C, D e G ,

além de considerações curriculares apresentadas no nosso estudo, que seguem a


seguinte ordem: “noções gerais sobre pirâmides” que englobam elementos,

classificação, ideias gerais e princípios básicos das pirâmides; “relações entre

elementos” que contemplem os cálculos que envolvem as relações entre a base

piramidal inscrita na circunferência (apótema, lado, altura, diagonal, raio); “cálculo de

áreas”; e “o cálculo de volumes”. O último encontro foi a socialização de todas as

atividades desenvolvidas.

No quadro abaixo, segue cronograma de distribuição das seções de ensino,

prevista para 36 horas/aula, distribuídas em 10 encontros com duração de duas horas

cada.

Quadro 13: Cronograma de atividades da SD Encontros Atividades Data Horários

1º Atividades Introdutórias 1 e 2 - atividade introdutória com o uso do baralho geométrico “noções gerais sobre pirâmides”

22/10 7h10 às 9h40

2º Atividades introdutórias 3 e 4 - atividade introdutória com o uso do baralho geométrico “noções gerais sobre pirâmides”

24/10 8h00 às 10h50

(intervalo 20min)

3º

Atividade móbile carnavalesco - atividade com o uso e construção de aplicativo para descobrir relação existente entre elementos da base: (a) lado e apótema de pirâmides de base triangular regular.

29/10 7h10 às 9h40

4º Socialização e avaliação de resultados. 31/10 8h00 às 10h50

5º Atividade móbile carnavalesco - Atividade relação “lado x apótema” de pirâmides de base triangular. (Momento A)

05/11 7h10 às 9h40

6º Atividade móbile carnavalesco - Atividade relação “lado x apótema” de pirâmides de base triangular. (momento B)

07/11 8h00 às 10h50

7º Socialização e avaliação de resultados. 12/12 7h10 às 9h40

8º Atividade barracas- Atividade áreas da pirâmide regular. (Momento B)

14/11 8h00 às 10h50

9º Atividade barracas- Atividade áreas da pirâmide regular. (momento B)

19/11 7h10 às 9h40

10ª Atividade Iceberg- Atividade volume das pirâmides de base regular (momento A)

21/11 8h00 às 10h50

11º Atividade Iceberg- Atividade volume das pirâmides de base regular (momento B)

26/11 7h10 às 9h40

12º Socialização e avaliação de resultados. 19/12 8h00 às 10h50 Fonte: Autor (2018)

Assim, nossas atividades foram compostas por 12 seções com três horas

aula cada, as quais as duas primeiras foram reservadas à introdução do conteúdo

com o objetivo de evidenciar elementos e propriedades das Pirâmides. Na turma


foram aplicadas quatro atividades introdutórias e três que envolvem a construção de

aplicativos, que totalizaram doze encontros. Os tópicos de Pirâmides que foram

contemplados nessa SD, estão de acordo com as dificuldades apontadas no

questionário (disponível no Apêndice G) além de considerações curriculares, didáticas

e pedagógicas apresentadas no nosso estudo, que seguem a seguinte ordem:

“noções gerais sobre Pirâmides” que englobam elementos, classificação, ideias gerais

e princípios básicos; “relações entre elementos” e os cálculos que envolvem as

relações entre a base piramidal inscrita na circunferência (apótema, lado, altura,

diagonal, raio); “cálculo de áreas”; e “o cálculo de volumes”.

As atividades foram propostas em ordem e grau de dificuldade a partir das

atividades que propõem de maneira intuitiva a definição de Pirâmides, a qual foi

formalizada ao final do primeiro momento de cada atividade proposta. É importante

ressaltar que as ferramentas do App Inventor II eram novas pra eles até a oferta do

curso de nivelamento, no entanto, o conteúdo de Pirâmides foi estudado por todos

ainda no 2º ano, mas sem o auxílio de tecnologias.

Os participantes de nossa pesquisa foram submetidos a três avaliações

que variavam de 0 a 10: (a) frequência e participação, (b) construção de aplicativo

proposto e (c) criação, instalação e apresentação de um aplicativo para um conteúdo

ainda desconhecido por eles.

A escolha da referida escola como lócus da pesquisa deu-se pelo pela

necessidade de incorporação de novas práticas que contribuam com a integralidade

na formação do aluno oferecida na perspectiva do Ensino Integral ainda em

implantação, além de que a mesma caracterizar uma amostra que representa a

realidade dos índices avaliativos externos da região do MSM.

Para registros, utilizamos gravações em vídeo, fichas de atividades e

software próprio para captação de imagens da tela do computador.

Passamos a descrever os sujeitos e seu envolvimento com o experimento

no capítulo que segue.


3. EXPERIMENTO E ANÁLISE

No presente capítulo, caracterizamos o lócus, os sujeitos e o

desenvolvimento do experimento, seguidos da análise das atividades segundo o

quadro teórico e a metodologia da pesquisa.

3.1 Caracterização da escola e dos sujeitos

3.1.1 A escola

As atividades experimentais foram realizadas no Núcleo de Tecnologia

Educacional da Unidade Regional de Educação, localizado no interior do Centro de

Ensino Integral Josélia Almeida Ramos da cidade de São João dos Patos, estado do

Maranhão. Ressaltamos contar com a respectiva autorização para publicar o nome da

escola, inclusive, todos os dados nela coletados.

O Centro de Ensino Integral Josélia Almeida Ramos- CEINJAR, antigo C.

E. Edson Lobão foi fundado no ano de 1981 com posteriores mudanças estruturais e

de nomenclatura. Na década de 90, ofertava Ensino Fundamental e em seguida

implementou gradativamente o Ensino Médio, no entanto, passou a se chamar Centro

de Ensino Integral Josélia Almeida Ramos a partir de 02 de janeiro de 2015. Com a

mudança limitou-se o atendimento a apenas o público de Ensino Médio, e em 2017 a

adesão à proposta de Ensino Integral através dos programas “Educa Mais” e “Escola

Digna” do Governo do Estado do Maranhão.

A escola possui como missão a formação de cidadãos críticos,

participativos e atuantes na sociedade em que vivem, no que diz respeito às ações

espontâneas que visam melhorar a sua comunidade ultrapassa os limites escolares,

valora o seu entendimento, sua participação e o exercício da cidadania.

No ano letivo de 2018, o CEINJAR funcionou no período matutino com

cinco turmas, vespertino com quatro turmas de 2º ao 3º ano do Ensino Médio regular,

e, 3 turmas de 1º ano são de tempo Integral as quais permanecem na escola das 7:

10 às 17:00, com dois intervalos de 15 minutos para lanche (matutino e vespertino) e

1 hora para almoço. Esses alunos têm diariamente nove horários de 50 minutos.

Quanto ao Ensino Regular (2º e 3º), seguem as normas que variam das normas do

integral, intervalo 15 minutos, duração de hora-aula 50 minutos, entretanto


permanecem na escola apenas um período (matutino ou vespertino) e seis horários

por dia (Matutino das 7:10h às 12:20h e vespertino das 13:00h às 18:00h. O turno

noturno é diferenciado, haja vista que nele funcionam duas modalidades de ensino, o

EJA (4 turmas) e o Regular (3 turmas) e, por ser noturno, tem intervalo 10 minutos e

duração de hora-aula é de 45 minutos.

No Ensino Integral, a escola oferece disciplinas básicas e eletivas, das

quais ofertamos o curso de nivelamento para a instrumentalização do App Inventor II

em acordo com os discentes envolvidos, desenvolvido em dez encontros de três horas

cada um. A etapa do experimento fora desenvolvida durante 6 (seis) semanas a partir

da data de 22 de outubro de 2018 nos horários regulares em que os envolvidos

participaram das atividades no Núcleo de Tecnologia Educacional-NTE, bem como as

atividades experimentais de construção de aplicativos para o ensino de Pirâmides.

3.1.2 Os sujeitos da pesquisa

No curso de nivelamento participaram inicialmente vinte estudantes do 3º

ano do Ensino Médio, dos quais houveram duas desistências iniciais e quinze

obtiveram média suficiente para a etapa experimental sobre Pirâmides. Para

preservarmos a identidade destes alunos, descrevemo-nos em códigos (Quadro 14)

e selecionamos aleatoriamente por meio de sorteio os nomes reais dos alunos

associados a cada código (mantidos em sigilo).

Quadro 14: Codificação da identificação dos estudantes

Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Aluno A B C D E F G H I J L M N O P Fonte: Autor (2018)

Além dos estudantes, participaram três alunos do curso de Licenciatura em

Matemática do Instituto Federal de Educação do Maranhão como observadores, que

também contribuíram com a gravação de vídeos, áudios e entrevistas.

No experimento, as atividades introdutórias tiveram momentos que foram

realizados em grupos de três alunos e as demais em caráter individual ao considerar

que a partir do 3º encontro (Quadro 13), foram realizadas no laboratório (NTE) com o

uso de computador. Priorizou-se uma máquina por aluno.


Para a construção dos aplicativos, fizemos um recorte do produto

educacional elaborado nesta pesquisa, de forma a priorizar três atividades que

abordam cálculo de relações entre os elementos, cálculo de áreas e volumes com a

construção de aplicativos. Para melhor compreensão da estrutura dos encontros

(Quadro 15), o número de atividades fora organizado conforme os objetivos

elaborados, o nível de dificuldade e a complexidade das construções.

Quadro 15: Atividades desenvolvidas no experimento

Atividade Duração Encontro

1 Atividade introdutória (AI-1) 50 min. 1º

2 Atividade introdutória (AI-2) 100 min.

3 Atividade introdutória (AI-3) 75 min. 2º

4 Atividade introdutória (AI-4) 75 min.

5 Atividade móbile carnavalesco 900 min. 3º ao 7º

6 Atividade barraca 360 min. 8º e 9º

7 Atividade iceberg 540 min. 10º a 12º

Fonte: Autor (2018)

Descrevemos cada atividade realizada nos doze encontros.

3.2 Atividades diagnósticas

Com o objetivo de coletar dados sobre como os participantes

compreendem Pirâmides, elaboramos quatro atividades introdutórias.

Atividade introdutória 1 (AI-1): Com duração de 50 min, a atividade foi

baseada em arguições após a leitura do fragmento de texto intitulado “os templos

maias”. A atividade visava identificar os primeiros conceitos de Pirâmides segundo os

estudantes.

Atividade introdutória 2 (AI-2): Intitulada Baralho Geométrico, tinha como

objetivo principal identificar visualmente características das Pirâmides, diferenciá-las

e classifica-las, além de permitir assim uma revisão geral sobre Sólidos Geométricos.

A referida tarefa dispôs de 32 cartas, de contorno azul, numeradas aleatoriamente que

continham um sólido geométrico por carta, além de 10 (dez) cartas de contorno

vermelho, com características gerais. Para esta tarefa, os alunos tiveram 100 min.

Com o objetivo de definirmos o objeto de estudo, elaboramos mais duas

atividades introdutórias.


Atividade introdutória 3 (AI-3): Chamada de caça Pirâmides, essa

atividade permitiu que os alunos fizessem a conceituação de Pirâmides ao utilizar as

figuras do baralho selecionadas pela atividade. Para esta, utilizamos 75min, realizada

na segunda seção de estudos. Os alunos foram divididos em equipes de três alunos

apenas para concorrerem entre si na forma de competição na realização da tarefa, no

entanto, os registros e as percepções foram feitos de forma individualizada.

Atividade introdutória 4 (AI-4): Com o título “Pirâmides Regulares” o

objetivo principal foi conceituar Pirâmides Regulares com o uso do Baralho

Geométrico e da ficha de atividades. Para esta, utilizamos 75min, realizada como

continuidade da segunda seção de estudos. Dessa forma seguimos as etapas de

realização na AI-3.

Em seguida, detalhamos cada atividade introdutória.

Atividade introdutória 1 (AI-1)

Inicialmente, os estudantes realizaram a leitura compartilhada do texto “os

templos maias” (Apêndice H), que apresentou uma imagem do templo piramidal de

Kukulcán (Figura 44).

Figura 44: Pirâmide de Kukulcán

Fonte: FTD (2015)

Na imagem, as formas geométricas que compõem o monumento podem

ser facilmente identificadas: um paralelepípedo retangular e um tronco de

Pirâmide. Após a leitura, o professor conduziu um diálogo baseado nas seguintes

perguntas previamente formuladas, em que todos os quinze estudantes participantes

responderam primeiramente na forma escrita e depois socializada verbalmente: (1) A


Pirâmide de Kukulcán e seu templo podem ser representados por dois sólidos

geométricos sobrepostos, você sabe quais são? Dos participantes, o aluno D4

escreveu: “cubo e Pirâmide de base quadrada”. A aluna M12 registrou: “um cubo e

um triângulo”.

Os outros treze alunos disseram que tratava-se de um “cubo e uma

Pirâmide”, com destaque para I9 que lembrou que a Pirâmide não tinha “ponta”. O

aluno I9 referia-se ao vértice, em que a imagem representa um tronco piramidal

sobreposto por um paralelepípedo retângulo.

Nas respostas coletadas, os estudantes identificam facilmente a forma

piramidal, por outro lado, descuidam quanto ao “cubo” no tocante às propriedades e

das medidas das arestas serem iguais, quando trata-se do paralelepípedo retângulo.

As respostas foram socializadas verbalmente em sala de aula e registradas em fichas,

com a consolidação quanto às figuras, construída pelos alunos, orientada pelo

docente.

A segunda pergunta foi quanto às características observadas nos sólidos:

(2) Quais as principais características apresentadas pelos dois sólidos da

figura? Segue abaixo respostas de cinco alunos selecionados aleatoriamente:

Quadro 16: Principais características geométricas do templo de Kukulcán segundo alunos

D4 A base de cada uma e a quantidade de lados

F6 Porque a Pirâmide é triangular, só muda o formato e a outra tem formas retangulares

A1 Uma tem lado retangular e a outra lados triangulares

M12 Uma é quadrada e a outra tem a forma triangular

I9 Uma é quadrada, a outra tem uma forma de triângulo sem a parte da ponta Fonte: Autor (2018)

As respostas dos demais não diferem muito das destacadas no Quadro 16,

altera-se apenas algumas palavras que não influenciam na semântica das frases,

porém, as características apontadas não se apresentam com densidade de critérios,

a ponto de citar arestas, vértices, faces e nem suas quantidades. Os estudantes não

demonstram atenção às características espaciais específicas das figuras em questão.

Ao serem questionados se conhecem outros sólidos além dos dispostos no

texto “os templos maia”, surgiram as seguintes respostas: esfera, cilindro, retângulo,

paralelepípedo, tetraedros, octaedros, cone, cilindro, prisma, de forma que não

houve uma distinção entre figuras planas e espaciais, ambas tratadas como sólidos.


Quando indagados pela pergunta 4: Você conhece projetos

arquitetônicos recentes na forma de Pirâmides, quais? Descreva. Dos

participantes, treze citaram as cúpulas de igrejas como resposta, e oito alunos citaram

o telhado da Faculdade de Floriano – FAESF como exemplo (Figura 45). A referência

ao prédio deu-se por motivo dos mesmos terem realizado uma visita técnica para

conhecer as dependências da Faculdade, promovida pela própria escola. Por outro

lado, as igrejas configuram-se numa fonte arquitetônica de Pirâmides utilizadas no dia

a dia.

Figura 45: Imagem da fachada frontal e superior da FAESF

Fonte: Google.com

A partir dos exemplos apresentados, pudemos perceber que os estudantes

não demonstraram dificuldades em identificar Pirâmides pela sua forma em ambientes

diversos do seu cotidiano. Por outro lado, percebemos a partir dos questionamentos

anteriores que muitos elementos essenciais para estudos mais aprofundados são

desconhecidos parcialmente: o tratamento das faces laterais como lados, ou a

Pirâmide como triângulo, citados pelos alunos M12 e I9 (Quadro 16).

Outra pergunta foi: (5) Supondo que existam grandes estruturas

arquitetônicas atuais na forma de Pirâmide, em vidro. Como calcular os gastos

da construção por meio do cálculo da área? Sete alunos afirmaram não saber ou

não lembrar como fazer para responder, enquanto os outros oito disseram que

“bastava calcular a metade do produto da base multiplicada pela altura”. Ocorreu

ainda o registro da aluna N13 (Figura 46), que considerou que calcular o custo

resume-se a calcular a área do triângulo (face lateral da Pirâmide), deixa de fora de

suas considerações o custo do material.


Figura 46: Ideia preliminar da área de uma Pirâmide (Aluna N13)

Fonte: Atividade escrita-diagnóstico (2018)

Por fim, ao perguntarmos: (6) Suponha que existam grandes depósitos

no formato piramidal, você sabe como calcular a capacidade volumétrica desses

depósitos? Dos participantes, onze afirmaram não saber, enquanto quatro disseram

que encontrariam a partir da “metade da área da Pirâmide ao cubo”. Dos estudantes

que responderam saber calcular o volume, a resposta apresentada foram idênticas ao

do estudante H8 (Figura 47). Ao considerar que o volume da Pirâmide é encontrado

quando multiplicamos um terço da área da base pela altura, acreditamos que H8

associou o volume ao “expoente 3” e a área da base dividida por 2 por tratar-se de

Pirâmide com faces laterais triangulares. Vejamos a resposta do aluno.

Figura 47: Ideia preliminar do volume de uma Pirâmide (Aluno H8)


A partir da atividade proposta, percebe-se que os envolvidos não

conseguem conceituar Pirâmides com clareza, pouco identificam as principais

características de figuras geométricas espaciais com precisão, não conseguem

prioritariamente distinguir figuras planas de espaciais, e não demonstram saber como

calcular a área e o volume da Pirâmide, mesmo já estudado o conteúdo no 2º ano do

Ensino Médio. Segundo Crowley in Lindquist e Shulte (1994), o nível de aprendizagem

dos estudantes analisados são o da “visualização e análise” ainda em

desenvolvimento, fato que os colocam muito abaixo do esperado, tendo em vista que

se encontram no 3º ano do Ensino Médio.

Sobre o cálculo de áreas e volumes, os resultados coletados representam

as dificuldades apontadas do questionário, ou seja, o grupo pesquisado apresenta

muita dificuldade em estabelecer relações entre elementos, o que dificulta no conceito

e compreensão de questões relacionadas ao tema.


As habilidades esperadas para às primeiras questões da atividade se

alinham à habilidade “H7” da matriz de itens do ENEM e ao descritor “D3” da matriz

de itens do SAEB, ambas compõem as questões de menor complexidade nos

Exames. As questões que tratam da área e volume objetivam especificamente a

diagnosticar as noções sobre os temas.

Acreditamos que, por serem de 3º ano do Ensino Médio, os envolvidos na

atividade possuem pouco conhecimento preliminar sobre o tema, fato que poderia

implicar negativamente no desempenho das próximas atividades. Como a

formalização da resolução das questões foram tratadas na aula, espera-se que tal

obstáculo seja superado.


Nesta atividade, objetivamos saber quais características dos sólidos

geométricos eram mais frequentes na visão dos alunos; se os estudantes

classificavam corretamente as Pirâmides em meio a outras formas conhecidas a partir

do baralho geométrico apresentado. Para essa atividade, dividiu-se a turma em

grupos de três componentes, que após decidirem quem começava a rodada,

revezaram-se em sorteio de cartas de bordas vermelhas, embaralhadas de forma a

selecionarem as respectivas cartas de bordas azuis de acordo com a característica

demandada. Os estudantes promoveram uma espécie de disputa em cada grupo de

forma que cada um identificasse as figuras (cartas azuis) correspondentes às

características apresentadas nas cartas vermelhas, por fim, cada equipe apresentaria

suas conclusões para o restante da turma.

Participaram dessa atividade todos os quinze alunos divididos em cinco

grupos que compostos a partir de sorteio distribuídos da seguinte maneira:

Quadro 17: Divisão de grupos da atividade individual 2

GRUPO 1 GRUPO 2 GRUPO 3 GRUPO 4 GRUPO 5

B2 D4 C3 E5 A1 F6 I9 G7 H8 J10 L11 N13 014 M12 P15 Fonte: Autor (2018)

Como cada grupo recebeu um conjunto de cartas (azuis e vermelhas) as

respostas foram registradas (individualmente em sua ficha) de acordo com o sorteio e

depois socializadas em consenso por grupo.


Na carta selecionada (Quadro 18), objetivamos identificar se os estudantes

possuem a noção de base (quando existir) e lateral do sólido. Segue abaixo o resumo

das respostas dos cinco grupos, associadas a ideia de Pirâmide:

Quadro 18: Respostas por grupo a respeito de faces laterais triangulares

Selecione as cartas que possuem os sólidos que apresentam todas as faces laterais triangulares.

Grupo Número das cartas selecionadas Observação do grupo

G1 30-01-18-09-12-10-29 e 13 As que tem lados triangulares.

G2 29-10-12-01-13-18-30-14 e 16 Deixaram em branco

G3 16-30-18-13-10-29-12-01-14 Deixaram em branco

G4 01-10-12-13-14-16-18-29-30-31-32 Porque tem laterais parecidas com um triângulo.

G5 22-25-01-18-10-32-30-14-12-13-29-09-17-31-20-16

Por serem vários triângulos


O “G1” deixou de selecionar as cartas “14” e “16” que referiam-se a um

octaedro e icosaedro respectivamente. Os sólidos possuem faces laterais

triangulares, no entanto acreditamos que houve uma dificuldade de identificar a base

e posteriormente as faces laterais. A observação do grupo para as cartas

selecionadas como respostas foi “as que tem lados triangulares” dessa forma,

acreditamos que os triângulos constantes nos sólidos “14” e “16” não caracterizam

laterais para os estudantes.

As cartas “31” e “32” tratavam de Pirâmides poligonais de bases octaédrica

e quadrilátera côncavas respectivamente, não identificadas com a característica

sugerida na carta sorteada, pelos grupos “G1”, “G2” e “G3”.

Todas as Pirâmides de bases convexas foram identificadas pelos cinco

grupos como possuidoras de faces laterais triangulares. Por outro lado, o grupo “G5”

selecionou as cartas “9”, “17”, “20”, “22” e “25” (Quadro 19). Pelas anotações e

socializações, tal escolha se deu sem a preocupação de identificar se os “triângulos”

localizavam-se na base ou na lateral.

Segue abaixo o recorte e as cartas selecionadas pelo grupo “G5” a qual

demos ênfase pela escolha equivocada.


Quadro 19: Resposta do grupo “G5” para sólidos de faces laterais triangulares

Cartas destacadas para análise.

Fonte: Atividade escrita- diagnóstico (2018)

A carta “9” traz a figura de um prisma de base triangular; a carta “17”

apresenta a figura de um cubo sobreposto de uma Pirâmide; a carta “20” representa

outro prisma de base triangular; a carta “22” indica um tronco de Pirâmide (sem

triângulos aparentes) e carta “25” representa um cone. Pelos motivos expostos,

acreditamos que a equipe possui dificuldades em identificar bases e faces laterais dos

sólidos, mesmo ao identificar as Pirâmides corretamente.

Questionados sobre os sólidos que possuem apenas um vértice que não

pertence à base, como mostra o Quadro 20, diversas foram as respostas.

Quadro 20: Respostas dos grupos -vértice fora da base

Selecione as cartas que possuem sólidos que apresentam apenas um vértice que não pertence à base.


G1 06 -

G2 06-07-16 Por não possuir bases

G3 01-10-18-12-29-25-13-30-31-32 Todas as Pirâmides.

G4 13-18-10-29-32-31-01-25 A 12 não possui um vértice fora da base, porque a base é a ponta.

G5 23-30-12-10-20 - Fonte: Atividade escrita- diagnóstico (2018)


A solicitação de que se identificasse as cartas correspondentes, além de

revelar mais uma característica das Pirâmides, mostrou mais uma vez que as bases

dos sólidos não são identificadas corretamente, fato revelado pela observação

descrita pelo grupo “G2” que as características apontadas na pergunta só ocorrem

quando o sólido “não possuir bases”. Esperávamos como respostas as seguintes

cartas: “01”, “10”, “12”, “13”, “18”, “25”, “29”, “30”, “31” e “32”. Os dados coletados nos

levaram a observar que os alunos associam a base à parte da figura que está voltada

para a parte debaixo da carta, daí o motivo da observação do grupo “G4” quando trata

da carta nº “12”, disposta na Figura 48.

Figura 48: Pirâmide pentagonal regular

Fonte: Autor (2018)

A Figura em questão trata-se de uma Pirâmide de base pentagonal com

um “giro” de 180º em relação ao eixo horizontal. Já o grupo “G3” ao acrescentar que

“Todas as Pirâmides” possuíam a característica em evidência, não atentou para o

único sólido que não pertence a tal afirmação: “O Cone” (Carta 25). Nos grupos “G4”

e “G5”, houveram algumas cartas que não foram selecionadas e deveriam.

Finalmente, perguntamos “quais dos sólidos dispostos nas cartas azuis

tratavam-se de Pirâmides?”. As respostas estão dispostas no Quadro 21:

Quadro 21: Resposta dos grupos sobre as cartas que possuem Pirâmides

Selecione as cartas que contém Pirâmides


G1 13-08-10-14 Tem bases retangulares e triangulares, e lateral formando uma Pirâmide.

G2 10-12-30-25-18-01-26 Por causa da forma triangular.

G3 01-10-18-12-29-13-30 São todas as de faces triangulares


G4 01-10-12-13-18-22-29-30-31-32 e 08 Na imagem 14 tem duas Pirâmides uma na outra e na 17 uma Pirâmide em cima do quadrado.

G5 30-29-10-18-12-01 Por terem uma forma triangular Fonte: Atividade escrita-diagnóstico (2018)

De acordo com o quadro acima, pudemos observar que nos grupos, os

alunos utilizam a “forma triangular” como principal característica das Pirâmides, sem

utilizarem a nomenclatura adequada quanto à base, um exemplo está no Quadro 22.

Quadro 22: Identificação de Pirâmides (Grupo G4)

Cartas destacadas para análise


Destacamos as observações do grupo “G4” que identificaram a existência

de sólidos que apesar de não serem Pirâmides, segundo eles são constituídos de

Pirâmides. Os mesmos se referem às cartas “14” (octaedro) e “17” (cubo sobreposto

por Pirâmide de base quadrada), de acordo com o Quadro 22. Por outro lado,

consideraram os troncos de Pirâmides contidos nas cartas “8” e “22” como Pirâmides.

Salientamos ainda que o grupo “G2” selecionou as cartas “25” e “26”, no entanto as

mesmas referem-se a um cone e tronco de cone respectivamente. Tais considerações

são indícios de que a noção de Pirâmides ainda precisa ser construída na turma, uma

vez que a Pirâmide é identificada pela sua forma, mas não pelos seus elementos

(base, faces, vértices, arestas).



A cada aluno foi distribuída uma ficha de atividades, com o objetivo de

conceituar Pirâmides. Solicitamos que os estudantes observassem os sólidos do

baralho geométrico distribuídos aleatoriamente (Figura 49). Tal atividade foi realizada

em grupos de três alunos de maneira a competir um com o outro na qual seus registros

fossem feitos individualmente. Segue abaixo a distribuição dos sólidos:

Figura 49: Figuras selecionadas para a AI-3


Após observar os sólidos (Figura 49), os alunos responderam às perguntas

seleciona as cartas que continham os sólidos correspondentes em suas fichas de

registro. Como o acerto foi quase unânime, representamos o número de cartas


selecionadas corretamente por estudante (Gráficos 03, 04, 05 e 06.) de acordo com

cada pergunta:

(a) Que sólidos são exemplos de poliedros que possuem faces laterais quadriláteras?

Gráfico 03: Número de estudantes x seleção correta dos sólidos (pergunta a)


(b) Que sólidos são exemplos de poliedros que possuem faces laterais triangulares?

Gráfico 04: Número de estudantes x seleção correta dos sólidos (pergunta b)


(c) Que sólidos possuem duas bases iguais e paralelas?

Gráfico 05: Número de estudantes x seleção correta dos sólidos (pergunta c)



(d) Que sólidos possuem apenas uma base?

Gráfico 06: Número de estudantes x seleção correta dos sólidos (pergunta d)


Ao final dos questionamentos a, b, c e d, abrimos espaço para uma possível

definição de Pirâmides. Em todas as perguntas feitas na AI-3, percebemos que houve

por parte dos alunos, um olhar mais apurado sobre as características dos sólidos

dispostos nas cartas. Ressaltamos que a maioria relacionou tais questionamentos a

um conceito mais generalizado. Os dados do Quadro 23 mostram que todos os quinze

estudantes conseguiram identificar a base, as faces laterais triangulares, e o vértice

não pertencente a esta base.

Segue abaixo a transcrição das respostas dos alunos:

Quadro 23: Respostas dos alunos sobre a definição de Pirâmides Estudantes Defina Pirâmide

A1 Possui uma base, um vértice e faces laterais triangulares.

B2 Pirâmide é um sólido de uma base, os lados triangulares e com um vértice.

C3 Sólidos que possuem uma base, um vértice e as laterais triangulares.

D4 Possui um vértice, uma base poligonal e as faces laterais triangulares.

E5 Um sólido que possui um vértice fora da base e tem todos os lados iguais.

F6 Pirâmides podem ter bases diferentes, possuir faces triangulares e um vértice fora da primeira base.

G7 São sólidos que possuem faces laterais triangulares, apenas um vértice (fora da base) e uma só base poligonal.

H8 São faces laterais triangulares, tem um vértice fora da Pirâmide (base), um sólido que tem uma base e um vértice fora da base e tem todos os lados iguais.

I9 Possui um vértice, uma base e as faces laterais triangulares.

J10 Possui uma base, um vértice e as faces laterais triangulares.

L11 Sólido que possui uma base, um vértice fora dela e faces laterais triangulares.

M12 São sólidos que possuem faces laterais triangulares, apenas um vértice e uma só base.

N13 É um sólido que possui as seguintes características: possui apenas uma base poligonal, um vértice fora dessa base e faces laterais triangulares.

O14 Possui um vértice, uma base e as faces laterais triangulares.


P15 Pirâmides pode ter base poligonal, porém faces triangulares e um vértice fora da base.


Nos registros, os estudantes mostraram que identificam características

fundamentais. Por outro lado, confundem termos básicos como lado e face, e não

identificam que a mesma questão possui “apenas um vértice” que não pertence à essa

base. Mostramos na Figura 50 a resposta do aluno G7.

Figura 50: Definição de Pirâmides para o aluno G7


Ressaltamos que no tocante às bases, não fizeram distinção entre

polígonos côncavos e convexos, quanto a faces laterais não mencionaram se estas

poderiam ser diferentes ou semelhantes e não demonstraram observações sobre a

Pirâmides retas ou obliquas. Ao final da atividade, foram apresentaram termos

característicos ao invés da formulação de estrutura mais formal sobre o que de fato

define Pirâmides. Dessa forma, o professor teve uma importante participação

interventiva, voltada para as falas e escritas, na qual propôs em conjunto, o seguinte

conceito para o entendimento: “Pirâmide pode ser compreendida como um sólido

geométrico delimitado por uma base poligonal e faces laterais triangulares a

partir do lado dessa base, e, fora dela possuem um único vértice em comum”.

Destacamos que a socialização das respostas dos alunos, associadas à

intervenção do professor cumpriu papel determinante para a compreensão do nosso

objeto de pesquisa. Na próxima e última atividade da etapa introdutória pretendemos

aprofundar ainda mais a classificação sobre Pirâmides.



O objetivo dessa tarefa foi de conceituar Pirâmide regular. A cada aluno foi

distribuída uma ficha de atividades retiradas no baralho geométrico. Segue abaixo a

distribuição dos sólidos, seguido das perguntas:

Procedimentos:

Observe os sólidos a seguir, faça o que se pede:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(1) Escreva quais as características comuns às figuras 1,2,3,4 e 7 em

relação à base e altura, e socialize em seguida com os demais colegas, orientados

pelo seu professor.

(2) Descreva as características mais relevantes dos sólidos 5, 6, 8 e 9,

quando à base e altura, socialize com as demais colegas e formulem uma conclusão

em conjunto, orientados pelo seu professor.


Solicitamos que os estudantes escrevessem suas impressões sobre os

dois questionamentos para posterior socialização, ao qual, destacamos as

respostas obtidas pela fala e registro escrito pela aluna N13 (Figura 51).

Figura 51: Registro das respostas da AI-4 pela aluna N13


Para N13, embora a base e a inclinação das Pirâmides mudem, as faces

laterais ainda conservam a característica triangular. Por outro lado, destaca que as

Pirâmides do segundo grupo representado pelos sólidos 5, 6, 8 e 9 são “caídas”, ao

referir-se à inclinação destas em relação à base e altura. Dessa forma, passamos a

apresentar as respostas dos demais participantes da atividade (Quadro 24).

Quadro 24: Observações dos alunos sobre Pirâmides retas e oblíquas Estudantes Conclusões

A1 Na primeira questão, todas elas são retas, na segunda, nenhuma delas é completamente reta (oblíqua).

B2 No primeiro conjunto, todas elas são retas. No segundo nenhuma delas é completamente reta (oblíqua).

C3 (1) As bases são diferentes, menos a 3 e 4, a altura é diferente também, menos a 3 e 4 porque são iguais, possuem um vértice fora da base. A segundo do grupo possui Pirâmides oblíquas exceto a 8.

D4 Aos sólidos 1,2, e 7 tem formas triangulares, bases diferentes exceto 3 e 4. A Pirâmide 8 e 9 possui bases iguais e formas iguais ao demais, e são polígonos.

E5 O primeiro grupo trata-se de Pirâmides retas, com bases diferentes, mas formando Pirâmides. O segundo grupo são Pirâmides não retas.

F6 As bases 1,2,3,4 e 7 são diferentes, mas todas elas são poligonais e sua altura é comum, e as laterais são triangulares.

G7 O primeiro conjunto refere-se a Pirâmides retas e o segundo a Pirâmides oblíquas.

H8 As figuras 3 e 4 são tem bases iguais, mas o primeiro grupo é sobre Pirâmides retas, no segundo figuras não retas.

I9 (1) As bases são diferentes, exceto a 3 e 4, no caso da altura as arestas são todas diferentes, exceto a 3 e 4. (2) Elas são oblíquas.

J10 (1) são Pirâmides retas (2) São Pirâmides oblíquas.

L11 (1) Ela é composta por uma base e um vértice. Sua base pode ser triangular, pentagonal, quadrada ou retangular. (2) Primeiro grupo são retas do segundo são oblíquas.


M12 (1) Aparentemente retas. (2) Aparentemente oblíquas.

N13 [...] é como elas são caídas para os lados, mas todas tem os lados triangulares novamente.

O14 As Pirâmides com suas bases e alturas são todas diferentes, exceto a 3 e 4, pois suas bases são iguais e alturas também.

P15 [...]As figuras 5 e 6 são Pirâmides oblíquas. As figuras 8 e 9 são figuras quadriláteras.


Dos participantes, nove estudantes identificaram de imediato que a

atividade trata-se de Pirâmides retas e oblíquas, mas sobre as bases, apenas

compararam as Pirâmides, mas não os lados da base de cada Pirâmide, fato que

necessitou de intervenção do professor para auxiliar na conclusão do conceito de

Pirâmides regulares, mediante a socialização das respostas.

Dessa forma, solicitamos que os alunos registrassem uma conclusão

construída em conjunto de toda a turma sobre o conceito de Pirâmide regular.

Mostramos a reposta, aqui representada pelo estudante P15 na Figura 52.

Figura 52: Construção coletiva do conceito de Pirâmide regular


De acordo com o registro disposto na figura, os estudantes conceituaram

Pirâmides regulares de maneira satisfatória, no entanto, vale ressaltar que uma

consequência desse conceito é que a Pirâmide seja reta.

Com as atividades introdutórias, pudemos registrar algumas percepções a

cerca do objeto de pesquisa. Na AI-1 fica evidente que os estudantes identificam

Pirâmide pela forma, reconhecem alguns elementos (lateral, triângulo, retângulo) de

maneira generalizada, o que não ocorreu com de outros elementos (faces, bases,

vértices, arestas).

Na AI-2, observa-se um maior cuidado em identificar faces laterais e base,

mas ainda não são determinantes para a construção de uma ideia clara que conceitue

Pirâmides a partir dos seus elementos, necessitou para isso uma terceira proposta.


Sequencialmente, a AI-3 objetivava definir Pirâmides a partir de uma

construção coletiva. Os estudantes identificaram muitas características importantes

do sólido, mas foi necessária a intervenção do professor para a formalização de um

conceito que mais se aproxime da definição.

Finalmente, a AI-4 propôs a conceituação de Pirâmides regulares tendo

como foco a delimitação do objeto para estudos posteriores. Identificamos que os

elementos e características da Pirâmide foram utilizados com maior propriedade, não

implicou em maiores obstáculos para os estudantes, prova disso, foi a construção do

conceito de Pirâmide regular construído coletivamente pelos próprios estudantes que,

identificaram inicialmente as Pirâmides oblíquas ou retas, e que a última condição

apresentada é determinante para a regularidade.

O diagnóstico proposto pelas atividades introdutórias nos permitiu ter ideia

dos conhecimentos matemáticos básicos do objeto de pesquisa, identificar possíveis

obstáculos epistemológicos (apesar de não ser o foco desta etapa do trabalho) além

de nos auxiliarem na elaboração das atividades que passamos a tratar.

3.3 Descrição do experimento

Cada atividade proposta nesta subseção está estruturada em fichas de

registro de atividades, que por conseguinte, constitui-se em dois Momentos: (A)

disponibiliza orientações para preenchimento de um quadro de valores propostos para

elementos das Pirâmides que partem de quantidades específicas à generalização da

relação existente entre tais elementos, de acordo com o objetivo específico proposto.

Cada objetivo fora elaborado de acordo com competências e habilidades previstas em

prescrições literárias previstas nas avaliações externas nacionais.

Outro aspecto considerado na etapa, é a utilização de um aplicativo

previamente construído pelo professor, disponibilizado para o preenchimento do

quadro, além da observância das análises preliminares deste estudo e nas atividades

introdutórias. A primeira etapa encerra-se com registros sobre as percepções dos

estudantes e posterior socialização.

A segunda etapa de cada atividade trata-se do Momento B, com foco na

proposição de uma questão contextualizada, o estudante deverá construir ou adaptar

um aplicativo que a resolva. Propomos ainda outras questões similares para


aprofundamento. Ressaltamos a importância da socialização das atividades

desenvolvidas.

Na construção de cada aplicativo foi observado o desenvolvimento de

esquemas mentais na perspectiva de Brousseau que permitiram a instrumentalização

da ferramenta App Inventor II à luz da Teoria da Instrumentalização de Rabardel

(1995) e como os estudantes aprendem sobre Pirâmides.

Os tópicos de conteúdos abordados foram selecionados de acordo com as

observações coletadas no questionário de entrevista e nas percepções constatadas

nas atividades introdutórias, priorizou-se a relação entre elementos da Pirâmide

regular, áreas e volumes (Quadro 25).

Quadro 25: Resumo dos aplicativos criados na SD

Aplicativo Conteúdo Atividade do Produto

Educacional

Calculadora de elementos das bases de Pirâmides

Calcula da medida de apótema, lado, raio e

diagonal da circunferência que circunscreve a base.

Atividade móbile carnavalesco

Calculadora de áreas da Pirâmide

Calcula as áreas da Pirâmide

Atividade barracas

Calculadora de volume da Pirâmide

Calcula o Volume da Pirâmide

Atividade iceberg


Para o desenvolvimento da SD foram necessárias duas etapas prévias: o

curso de nivelamento para manuseio da plataforma App Inventor II e as atividades

introdutórias seguida das atividades de Construção de aplicativos (Quadro 25). As

atividades experimentais com o uso e construção dos aplicativos foram sequenciadas

em observância às questões contextualizadas e à sequência dos conteúdos

geralmente dispostas nos livros didáticos, considera-se o nível de dificuldade.

No experimento destacamos a importância das disciplinas Ensino de

Matemática I, ministrada pelo professor Dr. Pedro Franco de Sá; Tecnologias de

Informática no Ensino de Matemática, ministrada pelos professores Dr. Fábio José

Alves da Costa e Dra. Cinthia Maradei Cunha Pereira, e das obras Ensino por

Atividade de Sá e Jucá (2014) e Aplicativos para o ensino de Matemática em app

inventor de Alves e Pereira (2016) que influenciaram na elaboração das atividades.


Neste terceiro capítulo, corroboramos com o modelo utilizado por Salazar

(2009) para descrever e analisar o experimento, desta forma, adaptamos o mesmo

para a construção da etapa.

3.4 Análise das atividades

Nesta subseção apresentamos as atividades experimentais de construção

de aplicativos com foco no Ensino de Pirâmides. Para a validação, destacamos as

análises a priori e a posteriori de acordo com a Engenharia Didática.

Em cada atividade atentaremos para os esquemas de utilização como

forma de observação quanto à apropriação desses esquemas no processo de

interação dos alunos com o artefato, a partir da utilização das ferramentas do App

Inventor II na construção dos aplicativos. Nesse contexto, a Gênese Instrumental nos

oferece subsídios teóricos para a análise das atividades móbile carnavalesco,

barracas e iceberg no sentido de “transformação” do artefato em instrumento.

Organizamos as atividades propostas, de acordo com a Ficha de

atividades, disposta a seguir:

Atividade 1 - Móbile carnavalesco

Momento A

Aplicativo: calculadora de elementos (Pirâmide de bases triangulares)

Procedimentos:

i) Considere a imagem da Pirâmide dada abaixo.

ii) Preencha a segunda coluna do quadro, substituindo as medidas dos dados,

dados na primeira coluna.

iii) Digite os valores da coluna 1 (um a um) na caixa de entrada do aplicativo,

teclando em seguida no botão “calcular apótema”.

iv) Preencha o quadro com os valores de saída obtidos no visor. Considere √𝟑 =

𝟏, 𝟕.


Lado (𝒍) 𝒍.√𝟑 Apótema (a)

60

51

48

36

24

18

12

6

1

𝒍

A partir do desenvolvimento das ações descritas nos itens i, ii, iii e iv,

responda o que se pede:

a) Em relação a coluna 2 e 3, você percebe alguma regularidade? Qual?

b) Descubra uma forma de calcular o valor do apótema (a) sem o aplicativo.

c) Calcule à mão, alguns valores encontrados e compare com os resultados

encontrados com o aplicativo.

d) Esboce um aplicativo com funções semelhantes ao aplicativo utilizado que

consiga chegar aos mesmos resultados encontrados no quadro, utilizando para √3

= 1,73. Construa esse aplicativo no App Inventor II.

Análise a priori

A etapa acima, é parte da atividade móbile carnavalesco e tem como

objetivo descobrir a relação matemática existente entre o lado e o apótema de uma

Pirâmide de base triangular regular, em seguida construir um aplicativo para o cálculo

das medidas do apótema em função do lado da referida Pirâmide. Tivemos o cuidado

de iniciar o estudo pela relação da base regular inscrita numa circunferência por

julgarmos de grande importância a relação entre as duas figuras para o estudo de

Pirâmides.


Com o preenchimento do quadro e posterior comparação das colunas,

espera-se que os alunos percebam que o apótema é a sexta parte de 𝑙√3. A relação

procurada poderá ser expressa pela fórmula a= 𝑙. √3/6 e ser manipulada em função

do que se quer encontrar. A descoberta da relação é imprescindível para a

estruturação dos blocos de programação.

Nas questões posteriores, os estudantes poderão registrar os resultados

do quadro associados à utilização da relação expressa pela fórmula encontrada. A

participação do docente é imprescindível como mediador na socialização.

Em seguida, para a construção do aplicativo, sugerimos um planejamento

prévio, representada através de desenho da tela a ser construída e posterior

estruturação do design e blocos de programação. Para a construção do design da

tela, selecionamos os organizadores para a “legendas”, “figuras”, “caixas de texto” e

“botões” na ferramenta “paleta” (todos devem ser arrastados para o visualizador de

tela). As ferramentas de execução deverão ser renomeadas para ser identificadas na

programação (botões e legendas).

Para a organização dos blocos de programação, o menu “blocos” deve ser

selecionado com o botão esquerdo do mouse e na coluna blocos, selecionar a

ferramenta de controle para o “botão” de cálculo do apótema, com ajuste para a

legenda de resultados, ao construir a fórmula com estruturas disponíveis em “blocos

matemáticos”. Conclui-se com a programação do botão limpar (legendas e caixa de

texto) e por fim, o botão “sair” que fechará a tela. Essas etapas básicas deverão ser

repetidas para a construção de outras telas desta atividade, e das atividades

posteriores.

O quadro abaixo apresenta uma possível solução para a construção do

aplicativo. As letras em vermelho destacam os principais elementos da tela indicados

na coluna “Elementos” ao lado. Em seguida a estruturação de programação em blocos

é destacada por números de acordo com a sua função.


Quadro 26: Possível construção de aplicativo para o cálculo do apótema

Design Componentes (elementos)

(a) Legenda de identificação da tela: Bases triangulares; (b) Imagem da base triangular inscrita numa circunferência (opcional); (c) Legenda: dicas de preenchimento; (d) Legenda: orientação de preenchimento; (e) Caixa de entrada: ao tocar, abre o teclado para digitação de valores; (f) Botão: Calcula a medida do apótema; (g) Legenda: resultado do calculo do apótema em função do lado; (h) Botão: Limpar (inicia os campos); (i) Botão 5: Sair.

Estrutura de programação em blocos

(1) Botão apótema da base- ajusta a medida do apótema (a) para a=( 𝑙.√3)/6. (2) Botão limpar- ajusta os resultados e a caixa de entrada para “ ” . (3) Botão sair- fecha a aplicação.

Fonte: Atividade escrita- ficha de atividades (2018)

O aplicativo deverá ser previamente construído pelo professor e

disponibilizado no início da atividade para os alunos. A disposição do instalador

poderá ser via blutooth, e-mail, whattsapp, cabo USB ou via QrCode. Para a última

opção o smartphone que irá instalar deverá possuir um leitor de QrCode instalado

(gratuito no playstory).

Acreditamos que os alunos possam desenvolver uma proposta próxima do

exemplo detalhado (Quadro 26) já que o curso de nivelamento tinha como objetivo

tais orientações.

Análise a posteriori

A análise será desenvolvida por cada tópico da atividade, e ao final de todos

os Momentos A e B, analisaremos os esquemas mobilizados pelo conjunto de

participantes da tarefa.

Preenchimento do quadro: Como todos os alunos receberam o instalador

via bluetooth e instalaram o aplicativo em seus smartphones, todos os quinze

preencheram corretamente o quadro de valores. Nesta etapa dispensamos as

unidades de medida, mas justificamos em sala que podem ser previamente definidas.


Escolhemos ao acaso a ficha de atividades da aluna N13 (Figura 53) para descrever

e analisar em toda a atividade.

Nesta tarefa, os alunos não tiveram dificuldades para o preenchimento do

quadro, tendo em vista que todos instalaram corretamente o aplicativo previamente

construído e o utilizaram adequadamente.

Destacamos a utilização do “ponto” ao invés de vírgulas para os números

decimais, tal evento se dá pela própria plataforma utilizar o ponto para números

decimais, para o entendimento dos estudantes não houve maiores complicações.

Figura 53: Quadro valor do apótema- aluna N13


Na pergunta: Em relação a coluna 2 e 3, você percebe alguma

regularidade? Qual? -Os estudantes perceberam sem muitas dificuldades a relação

existente entre as colunas ao verificar que os valores da segunda coluna divididos por

6 resultaram nos valores da terceira coluna, encontrados com o auxílio do aplicativo.

Destacamos os alunos G7 e H8 que identificaram tal regularidade por tentativa e erro,

os mesmos começaram a dividir cada valor encontrado na coluna 2 pelos números 2,

3, 4, 5 e 6 com a calculadora do smartphone. Os alunos B2, M12 e O14 fizeram

algumas tentativas aleatórias como subtrações pra depois utilizarem divisões, mas

todos conseguiram encontrar a regularidade.

A aluna (N13) relata que “antes desse quadro, a relação de lado e

apótema, para mim, não passava de uma fórmula, agora percebo que com o

aumento ou redução de um dos valores o outro também muda, e ainda tem outra

versão com tecnologia, com o aplicativo”. Com as palavras da aluna, percebemos

que além de identificar que a relação matemática existente entre os elementos,


percebeu superficialmente que podem ocorrer uma representação tecnológica pelo

uso do aplicativo. Segue abaixo o registro da referida aluna (Figura 54) sobre as

conclusões matemáticas.

Figura 54: Resposta da aluna N13 à questão a (valor apótema)


No item (b) pedimos que descubram uma forma de calcular o valor do

apótema (a) sem o aplicativo. Oito alunos citaram diretamente a fórmula da relação

entre o lado e o apótema da base da Pirâmide triangular regular. Os demais

descreveram por escrito o que ocorreu. A resposta da estudante analisada tentou

descrever com palavras e com a fórmula: “pegando os números da coluna 2 e

dividindo por 6”, resume ao lado que a= 𝑙. √3/6. Nesta etapa percebemos uma

compreensão nítida sobre as relações citadas, que se tornam importantes para a

resolução de problemas mais complexos. O exemplo destacado encontra-se

representado na Figura 55.

Figura 55: Resposta da aluna N13 à questão b (valor apótema)


Frente às críticas à utilização de calculadoras ou dos “perigos” causado

pelo uso das tecnologias em algumas comunidades acadêmicas (Borba e Penteado,

2017), resolvemos focar na necessidade de validar o entendimento do conteúdo, ao

abrir espaço pro cálculo na forma escrita. O item c) requer o cálculo manual de alguns

dos valores disponíveis no quadro, que mesmo explícitos reforçam o entendimento. O

registro da Figura 56, aponta que a estudante apenas reproduziu o constante na

segunda coluna e igualou à célula correspondente na terceira coluna, assim como

quatro de seus colegas. Por outro lado, dez dos seus colegas explicitaram a

substituição do valor do lado, a partir da fórmula.


Segue a resposta de N13:

Figura 56: Resposta da aluna N13 à questão c (valor apótema)


Para finalizar essa fase da atividade, pedimos que os estudantes

esboçassem um aplicativo com funções semelhantes ao aplicativo utilizado que

consiga chegar aos mesmos resultados encontrados no quadro, utilizando para

√𝟑 = 1,73. Construa esse aplicativo no App Inventor II.

No primeiro momento, os alunos fizeram um rascunho com lápis (ou

caneta) que simulou a tela do aplicativo a ser construído. Nesta etapa muitas dúvidas

surgiram, a mais frequente foi quanto a diferença de utilização da caixa de texto e a

legenda usada para dar a resposta encontrada. O professor orientou-os a utilizar um

retângulo para caixa de texto (digitável) e uma “reta” para a legenda (em branco) que

irá emitir o resultado. Tal informação deu o pontapé inicial aos rascunhos. A proposta

de N13 para a Tela (aplicativo a ser construído está representado na Figura 57.

Figura 57: Esboço da tela do aplicativo apótema da base da Pirâmide (aluna N13)



A figura acima mostra que a estudante utilizou os recursos mínimos para

a criação da tela: identificação (legenda), identificação da função lado (legenda), o

campo de entrada da medida do lado (legenda), identificação do resultado encontrado

para a medida do apótema (legenda), campo de resposta do resultado (legenda em

branco) e três botões (limpar, calcular e sair). Três propostas apresentaram o botão

calcular e substituir a legenda resultado. Cinco propostas trouxeram ideias de outras

relações da base da Pirâmide, como: cálculo da altura do triângulo e do raio da

circunferência que a circunscreve. Seis alunos apresentaram um modelo fora da

orientação do professor quanto a legenda e caixa de texto, necessitou de ajuste após

a socialização. Todos fizeram a correção.

Por outro lado, a proposta não apresenta uma previsão da estrutura dos

blocos, no entanto, outros cinco estudantes o fizeram, mas um apresentou a estrutura

com erros.

A atividade teve continuidade no laboratório de informática (NTE), em que

cada estudante ocupou um computador de mesa, acessou a plataforma App Inventor

II e colocou em prática as habilidades adquiridas no curso de nivelamento, acrescidas

nas novas informações sobre Pirâmides.

Descrevemos a seguir, o aplicativo desenvolvido pelos alunos.

Ressaltamos que acompanhamos as etapas de construção da aluna supracitada.

Embora haja algumas diferenças na organização dos instrumentos, a atividade só foi

considerada correta após a conferência com os valores propostos para “𝑙” no quadro

com respostas obtidas para “a” no mesmo quadro, observou-se a utilização de duas

casas decimais para a raiz de 3.

O Quadro 27 destaca a tela (do aplicativo), a paleta (ferramenta da

plataforma) e os instrumentos utilizados para a programação em blocos, para o cálculo

do apótema do aplicativo construído pelo aluno analisado. Salientamos que ao término

de seus aplicativos, cada estudante efetuou a instalação ao utilizar a geração do Qr

Code para leitura em seus aparelhos com sistema Operacional Android.


Quadro 27: Sequência de ações para a construção do aplicativo calculadora de elementos da Pirâmide

Tela Ferramentas Construção

Componentes (elementos)

(a) Legenda de identificação da tela; (b) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada da medida do lado (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (c) Botão calcular e legenda resultado; (d) Botão limpar; (e) Botão Sair.

Fonte: Experimento- prática de construção de aplicativo (2018)

Durante a construção do aplicativo surgiram algumas dúvidas por parte dos

sujeitos envolvidos. Transcrevemos um trecho das dúvidas da aluna N13, em diálogo

com o professor:

N13: Professor, e onde vai sair o resultado, é caixa de texto ou legenda?

Professor: Veja bem N13, quando você estiver utilizando o aplicativo, você pretende

modificar o valor encontrado com um toque na tela? Da mesma forma que faz quando

quer digitar o valor do lado?

N13: Não! Então devo selecionar a legenda. Mas tenho que apagar o nome, né?

Professor: Sim. Mas estabeleça propriedades que estipulem uma largura para a

legenda. Assim os resultados irão aparecer com espaço fixo.

O diálogo acima, destaca uma das principais dúvidas ocorridas entre os

estudantes: onde irá aparecer o valor do apótema? Esclarecida a dúvida e socializada,

os acertos passaram a ser frequentes.


O Quadro 28, detalha sistematicamente cada ação da aluna em destaque

para a construção da tela do aplicativo até sua programação. Cada linha representa a

relação do instrumento com as ações do sujeito para a construção do aplicativo.

Quadro 28: Ações de construção da tela lado x apótema

Atividade: calculadora de elementos

Ação (sujeito) Instrumento

Ferramenta da plataforma

Aplicativo

1 Iniciar novo projeto

Seleciona/clica Botão esquerdo do mouse

Barra de tarefas

- 2 Seleciona/clica

Idioma/botão esquerdo do mouse

Lista suspensa (Português do

Brasil)

3 Seleciona/clica-

arrasta Organização/org.hori-

zontal Paleta

Título (a) 4

Seleciona/clica-arrasta

Interface do usuário/legenda

5 Digita/edita Texto/fonte Propriedades

6 Seleciona/clica-

arrasta Organização/org.tabela

Paleta Caixa de

entrada (b) Medida do

lado (l)

7 Seleciona/clica-

arrasta Interface do usuário/caixa

de texto

8 Seleciona/clica-

arrasta Interface do

usuário/legenda

9 Define/digita/edita Legenda/Texto/fonte Propriedades

10 Seleciona/clica-

arrasta Organização/Horizontal

Paleta

Botão e resultado (c)

Calcular apótema (a) Resultado

11 Seleciona/clica-

arrasta Interface do usuário/botão

12 Define/digita/edita Botão/Texto/fonte Propriedades

13 Seleciona/clica-


usuário/legenda Paleta


15 Seleciona/clica-

arrasta Organização/horizontal

Paleta Botões limpar e sair (d) e (e). 16


Interface do usuário/ botões


18 Seleciona/clica-

arrasta Organização/ horizontal

Paleta

Imagem 19 Seleciona/clica-


usuário/imagem

20 Clica/enviar arquivo Imagem Propriedades

21 Redimensiona Imagem

22 Edita e renomeia os

componentes Legendas, botões e caixas

de texto Componentes

Pré-programação

23 Seleciona Ambiente da plataforma blocos Programação Fonte: Adaptado de Rabardel (2018)


A estudante N13 apresentou uma dificuldade com relação aos

organizadores, muitas vezes tentou a organização de legendas e caixas de texto sem

antes selecionar o organizador, mas observamos a troca de ideias entre estudantes

em computadores diferentes. Acreditamos que tal atitude promova o crescimento de

solidariedade. Com o objetivo de organizar esteticamente a aparência da tela, N13 fez

uso das propriedades de largura e altura para limitar a caixa de texto.

Após o estabelecimento das relações prévias para a etapa final,

apresentamos a programação dos blocos a partir da relação a= 𝑙. √3/6. Nesta etapa

da construção, destaque para a dúvida do aluno F6 que questionou se “a ordem dos

blocos e , provocam alguma alteração no resultado? O

professor usou o quadro para explicar a comutatividade nos dois casos. Assim,

esclareceu que a ordem dos dois blocos pode sim provocar resultado incorreto, e

quais as possibilidades de ocorrência. Para a programação em blocos, cada peça

deve ser selecionada, arrastada e encaixada de acordo com a estrutura requerida

matematicamente, o que implica o respeito às ferramentas da plataforma.

Cada grupo de blocos de mesma característica estão organizados por

cores: Controle (amarelo), lógica (verde), matemática (azul escuro), texto (rosa), listas

(azul claro), Cores (cinza), variáveis (laranja) e procedimentos (lilás). Assim, obtiveram

a seguinte estruturação básica:

Quadro 29: Resposta da aluna N13 à programação dos blocos


(1) Programação do botão calcular; (2) Programação do botão limpar; (3) Programação do botão sair.


Na programação do botão limpar, houveram alunos que utilizaram o bloco

ao invés de , obtendo-se para os dois casos, o mesmo efeito

prático. Outra mudança foi quanto ao botão sair que apresentaram as opções


e , também sem mudanças que interfiram no aplicativo. Para

as duas situações, consideramos adequadas e que atendem perfeitamente ao

propósito do aplicativo.

A programação resumiu-se em variáveis, operações e constantes

matemáticas expressas das fórmulas matemáticas associadas aos blocos de

programação.

Figura 58: Interpretação dos blocos pela aluna N13 no cálculo do apótema


Como pudemos observar na figura acima, para a conclusão do aplicativo,

foi necessária a estruturação dos blocos de acordo com a relação entre o lado e o

apótema. Após tal estruturação, cada aluno gerou o instalador do aplicativo, no

formato apk e de um Qr Code, utilizou-o para instalar e testar no cálculo dos valores

desejados.

Nesta atividade, a maioria dos estudantes seguiram a mesma sequência

de ações da análise a priori, realizaram satisfatoriamente a tarefa. Os alunos H8 e

P15 foram mais além e programaram uma relação as relações lado x raio. A atividade

apresentou-se com forte potencial para o desenvolvimento da questão proposta a

seguir.

Passamos a apresentar o Momento B da atividade. Nessa etapa, o aluno

parte da questão proposta, para a construção ou adaptação de uma aplicativo capaz

de simular os custos de construção do móbile a partir de diversos valores.

Momento B

Procedimentos:

i) Leia a questão proposta.


Móbile carnavalesco

Na tentativa de criar um móbile para um carro alegórico da escola de samba

“Unidos da Pirâmide”, a partir de uma estrutura de metal na forma de um tetraedro

(como na figura abaixo), o carnavalesco responsável percebeu que a base do

tetraedro deveria possuir um orifício para pendurar a estrutura, necessitando de três

hastes de suporte (AO,BO,CO) com 1,2m que vão do ponto médio de cada lado da

base até o baricentro (O).

Pretende-se ornamentar toda a estrutura metálica com um cordão de luzes led

especial, que custa R$ 180,00 por metro linear e que a medida desse cordão será

igual à soma de todo o metal gasto na estrutura. Sabendo que o metro linear do

metal empregado custa R$ 21,00. Qual será o gasto feito para a construção de tal

estrutura?

Situações como essa podem ocorrer no dia a dia, principalmente com alguém

que trabalhe numa metalúrgica. Você poderia desenvolver um aplicativo para

resolver esse tipo de questão?

ii) Analise o aplicativo construído na atividade final do Momento A e verifique se é

suficiente para responder o problema do móbile. Caso não seja, efetue modificações

na estrutura do mesmo, de forma que responda as questões a seguir:

Questões de verificação do aplicativo construído

1- Preencha o quadro em que são dados diversos valores diferentes do apótema de

tetraedros (coluna 1), com o aplicativo construído, calcule os valores

correspondentes aos lados (coluna 2). Com os valores do metal (R$ 21,00) e do led

(R$180,00), preencha a coluna do Gasto Total (R$).


Apótema (a)

Lado (𝒍)

Gasto (R$)

1

2

3

4

5

10

20

𝒍

2- Desenvolva o cálculo manual (com papel e caneta) de pelo menos uma situação

descrita numa linha do quadro:

3- Considerando a questão de construção carnavalesca, responda:

a) Qual a medida do metal a ser gasto na Pirâmide sem o suporte do baricentro?

b) Qual a medida encontrada apenas no suporte do baricentro?

c) Quanto deverá ser pago pelo metal utilizado?

d) Quanto deverá ser pago pelas lâmpadas de led utilizadas?

e) Custo total do projeto?

4- Numa Pirâmide de base triangular regular, tem-se o lado igual a 2cm, qual a

medida do apótema?

5- A base triangular de uma Pirâmide possui apótema igual a 5cm, quanto mede

seu lado?

6 – Socialize as soluções com o restante da turma, orientado pelo seu professor.

Análise a priori

Os alunos deverão criar um aplicativo que resolva a situação proposta e

calcule valores diversos dados no quadro de valores disponível da questão. A relação

procurada poderá ser expressa pela fórmula 𝑙 =2.a.√3. A descoberta da relação é

imprescindível para a estruturação dos blocos de programação e consequentemente,


encontrar os valores procurados para a resolução da questão, representados na

primeira (apótema) e segunda coluna (lado). Em seguida, os valores encontrados e a

quantidade de cada elemento deverão ser atribuídos ao material gasto e levados em

consideração para o preenchimento da terceira coluna.

Para a tarefa, o estudante poderá criar outro aplicativo, ou outra tela, ao

ainda adaptar o aplicativo construído no Momento A.


No desenvolvimento desta tarefa, não houveram muitas dificuldades com

relação à construção do aplicativo para o cálculo do lado em função do apótema, para

isso, foram usados praticamente os primeiros passos da primeira tela, com o

acréscimo dos valores.

Todos os quinze alunos conseguiram construir o aplicativo com a função

calcular o lado conhecendo o apótema, para isso, escreveram a função inversa de

a= 𝑙.√3/6 (𝑙 =2.a.√3) , por fim conseguiram finalizar a construção de forma que o gasto

pudesse ser calculado corretamente.

A aluna A1 foi além do solicitado. A mesma utilizou princípios da lógica

básica para a programação em blocos: programou o apótema em função do lado e

o lado em função do apótema. Orientações repassadas no curso de nivelamento.

Para isso, utilizou duas caixas de texto ao invés de uma legenda e uma caixa de texto,

dessa forma, ao digitar qualquer dos valores (lado ou apótema) o segundo valor será

encontrado. Tal escolha, foi iniciativa da estudante.

Vejamos a estrutura criada pela aprendiz no Quadro 30.

Quadro 30: Construção do aplicativo para o cálculo de gasto do móbile (Aluna A1)

Tela Componentes (elementos)

(a) Legenda de identificação da tela; (b) Imagem escolhida pela aluna (representa Pirâmide); (c) Caixa de texto: entrada da medida do lado; (d) Caixa de texto: entrada da medida do apótema; (e) Legendas: resultado do total de material gasto e custo do móbile em R$; (f) Botão sair; (g) Botão limpar; (h) Botão calcular: calcula o material e o custo a partir do lado e do apótema; (i) legendas dos valores de entrada (lado e apótema) e resultados (Material gasto e custo em R$).

Programação


(1) Programação do botão calcular; (2) Programação do botão sair; (3) Programação do botão limpar.


Em seguida, apresentamos parte do diálogo entre o professor a aluna

protagonista da atividade:

A1: Professor, posso ficar sem usar a legenda para o resultado?

Professor: pode sim, mas, você ainda consegue, depois do nivelamento?

A1: Acho que sim. Devo utilizar o se, então; não é?

Professor: Se, então; senão, se então. Mas tente!

A1: Mas a relação eu sei, não lembro o se...

Professor: reflita... onde quer que o resultado apareça? Na legenda? Não, né?

A1: Não! Na caixa de texto vazia.

Professor: Beleza! E depois?

A1: Sei que as relações para calcular lado e apótema, mas as outras do material e do

gasto?

Professor: Se você selecionar o botão calcular novamente dará erro. Mas se você

quiser criar um novo botão...

A1: Mas se eu encaixar o material e o gasto embaixo das já existentes?

Professor: Tenta!

Pela produção da aluna A1, se o usuário digita o valor do lado na caixa de

texto, o valor do apótema será calculado. Por outro lado, se o valor do apótema for

digitado na caixa de texto correspondente, o valor do lado será encontrado após tocar

o botão calcular (para isso utilizou-se o bloco se, então/senão, se então). Dentre os

envolvidos da pesquisa, onze conseguiram concluir o aplicativo, sendo que cinco


deles apenas adaptaram o já construído e três precisaram de orientação

individualizada. Vale destacar que o aluno M12 fez o seguinte comentário: “professor,

no próximo projeto vou colocar uma caixa de texto para podermos modificar o

valor dos materiais, vai que precisamos fazer uma pesquisa de preços...”. A

afirmação do estudante implica na compreensão das ferramentas da plataforma, além

de representar a percepção do aluno M12 frente à limitação do aplicativo construído,

o que demonstra a ocorrência da Gênese Instrumental.

Sobre os elementos matemáticos acrescidos, houve o entendimento para

que apenas fossem multiplicados os preços da questão aos valores do apótema e do

lado encontrado.

O amadurecimento das ideias ocorreu à medida em que os estudantes

compreendem o processo e personalizam o aplicativo de acordo com as suas

necessidades. Após a criação do aplicativo, passamos a analisar as questões de

verificação.

Figura 59: Preenchimento do quadro de valores com o aplicativo construído (Aluna A1)


A estudante repetiu equivocadamente a relação lado x apótema na coluna

de gastos, mas respondeu corretamente todos os valores procurados, depois replicou

à mão seu entendimento sobre a primeira linha do quadro de valores, ao encontrar o

valor correspondente de maneira correta (Figura 60).

Figura 60: Cálculo manual – do quadro atividade móbile(Aluna A1)



Nos registros escritos da aluna A1 (Figura 60), percebemos que a mesma

multiplicou o número de arestas (seis) à medida encontrada para a aresta e adicionou

ao produto do número de apótemas (três) pela medida do apótema, em seguida, o

resultado encontrado, foi multiplicado com o valor do metro de metal e do cordão de

led informado na questão, o que permitiu chegar em seguida ao preço a ser gasto na

estrutura. Todos os demais alunos participantes também responderam a mesma

questão corretamente.

Já na questão “chave” da atividade, A1 só respondeu corretamente as

letras “b”, “c” e “d” (exceto pela unidade de medida da letra “c”), pois na letra “a”

acreditamos que a mesma tenha se confundido e utilizado o mesmo valor do quadro

da questão. Já na letra “e” houve um erro de cálculo.

Figura 61: Cálculo manual – valor do móbile (Aluna A1)


Após ter efetuado os cálculos manualmente, o aplicativo criado foi utilizado

para a conferência dos valores encontrados, e a questão fora coletivamente discutida

e corrigida. No grupo de alunos, trazemos o percentual de acerto de cada letra da

“questão 3” antes da correção: a) 53,3%; b) 100%; c) 80,0%; d) 100%; e; e) 40%.

A próxima questão fora resolvida com a ajuda do aplicativo, no entanto, os

estudantes foram orientados a desenvolver as etapas de cálculo manualmente.


Figura 62: Cálculo manual do apótema da Pirâmide de base triangular regular (Aluna A1)


A correção visualizada na Figura 62 foi iniciativa da aluna. No contexto da

utilização do aplicativo, percebe-se uma atenção diferenciada ao erro frente à

resposta encontrada pela aluna para o cálculo da aresta da Pirâmide.

Figura 63: Cálculo manual do lado da base da Pirâmide triangular regular (Aluna A1)


Na socialização, percebemos que apenas um aluno não respondeu à

questão destacada acima. Na oportunidade foram tratados de caminhos para

encontrar outras relações entre Pirâmides regulares de bases diversas (quadrada,

pentagonal, hexagonal), além de aspectos gerais sobre o assunto.

Consideramos que A1 utilizou corretamente as ferramentas necessárias

para construir o aplicativo e resolver a questão proposta, pois conseguiu relacionar os

elementos da Pirâmide.

Algumas considerações sobre a atividade móbile carnavalesco

Ao analisar os resultados das tarefas desenvolvidas, tecemos as seguintes

considerações:

- Com a sequência das atividades, a intervenção do professor e a socialização dos

resultados encontrados, percebemos que os estudantes aos poucos adquiriram

familiaridade com os termos adequados para a comunicação sobre os elementos das

Pirâmides, antes identificado pelo diagnóstico como obstáculo para a compreensão

nas atividades propostas.

- O preenchimento do quadro de valores com a utilização do aplicativo permitiu a

identificação de regularidades entre colunas e posterior generalização nas


conclusões, fato que contribuiu a compreensão e o estabelecimento de relações de

elementos das Pirâmides permitiu obervar o resultado final expresso no aplicativo.

- O curso de nivelamento contribuiu significativamente para o desempenho na

construção dos aplicativos.

- Os alunos conseguiram elaborar hipóteses e planejar a construção das telas antes

da etapa virtual.

- As sistematizações em blocos permitiram estabelecer relações entre as grandezas

numéricas envolvidas, principalmente pelas tentativas de chegar ao resultado

empiricamente.

- O aplicativo permitiu comparar valores, identificar possíveis erros, agilizar o processo

de resolução de várias situações em média de tempo reduzido.

- A estudante A1 mobilizou noções matemáticas capazes de criar um novo esquema

de utilização, além de reutilizar esquemas preexistentes na construção do aplicativo e

resolução das questões, a partir do uso de diferentes ferramentas e recursos do App

Inventor II. Tal fato indica que o processo de Gênese Instrumental aconteceu.

- Um obstáculo encontrado, deu-se ao fato da heterogeneidade no tempo gasto para

a construção do aplicativo no App Inventor II. Os desafios encontrados foram:

qualidade da internet, habilidade do estudante com ferramentas computacionais, o

tempo de construção de cada aplicativo, dessa forma, sugerimos que a proposta de

ensino desenvolvida a partir da construção de aplicativos, pelo menos inicialmente,

não deve ser incorporada à rotina comum de ensino, dessa forma, acreditamos que

um curso extracurricular seja ofertado nas séries finais do ensino fundamental ou na

1ª série do Ensino Médio pela demanda de tempo empregada.

As respostas encontradas pelos estudantes retomam as palavras de

Pereira (2017) no que tange à Modelagem Matemática quando afirma que “saber

observar, explorar e investigar, estabelecer relações, classificar e generalizar, ou

ainda, instrumentalizá-lo de forma a argumentar, poder tomar decisões e criticar são

importantes para o desenvolvimento do aluno. Nosso trabalho não utiliza a

Modelagem Matemática, mas percebemos o potencial da utilização dos quadros de

valores para a generalização e tomadas de decisão.

Os resultados da atividade permitiram considerarmos que os alunos estão

instrumentados nas ferramentas utilizadas dentro do previsto na perspectiva da

Gênese Instrumental de Rabardel (1995), tendo em vista que não apresentaram

dificuldades no desenvolvimento do aplicativo e na resolução das questões propostas.


A relação entre o objeto estudado e o sujeito mediada pelo instrumento foi

complementar e possibilitou a assimilação do conteúdo, uma vez que a questão

proposta na atividade foi interpretada e resolvida satisfatoriamente.

A análise qualitativa permitiu verificar que a atividade proposta foi capaz de

cumprir seu papel na formação do aluno a uma tomada de consciência crítica sobre

situações de sua realidade no que se refere a situações de vida envolvendo Pirâmides,

concluímos que a atividade ajudou os alunos a identificarem etapas que permitam

realizar a leitura e interpretação da realidade, relacionar com a matemática escolar a

problemas vivenciados por estes.

Atividade 2 – Barracas

A segunda atividade exigiu um grau de dificuldade maior do que a atividade

1 por requerer a construção de um aplicativo com mais de uma tela. No Momento A,

a Tela 1- tratou da área da base da Pirâmide regular; Tela 2 – objetivou calcular a

área lateral; e; a Tela 3- teve a função de calcular a área total. No Momento B, foi

proposta a questão barracas para resolução e construção de aplicativo que permitiu

calcular várias situações com dimensões de barracas diferentes. Seguida de questões

complementares para uso do aplicativo.

A atividade atende aos requisitos previstos na matriz de elaboração do

ENEM que prevê a habilidade H9- “Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e

forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano”

e com o descritor D13- “Resolver problema envolvendo a área total e/ou o volume de

um sólido (prisma, Pirâmide, cilindro, cone, esfera)”.

Momento A

Procedimentos (Tela 1):

i) Considere as Pirâmides destacadas na primeira coluna do quadro de valores, bem

como os dados da segunda e terceira coluna.

ii) Digite os valores da segunda e terceira colunas nos campos de entrada

correspondentes do aplicativo, teclando em seguida no botão “calcular”.

iii) Preencha a quarta coluna de acordo com os dados das três primeiras colunas.

iv) Preencha a coluna “Área da base” (ou superfície da base) com valores obtidos

no aplicativo.


Base da Pirâmide (Regular)

Medida do lado (𝒍)

Medida do apótema* (a)

n. 𝒍.a Área da base

(Sb)

Triangular 10 3

Quadrada 7 5,5

Hexagonal 7 6

Octogonal 2 2,4

Polígono (n-lados)

𝒍 a

* A medida do apótema é um valor aproximado

A partir do desenvolvimento das ações descritas nos itens i, ii, iii e iv responda

o que se pede:

a) Em relação à quarta e quinta coluna, você percebe alguma regularidade? Qual?

b) Em relação à quarta e quinta coluna, você percebe alguma relação matemática?

Explique.

c) Faça uma pesquisa sobre a área da base da Pirâmide e descubra uma forma de

calcular sua área sem o aplicativo (utilize outras relações entre elementos para

encontrar a área aproximada.

d) Calcule manualmente, alguns valores encontrados no quadro de valores e

compare com os resultados do aplicativo.

e) Construa a tela de um aplicativo que possibilite calcular a área da base de

qualquer Pirâmide regular.

Análise a priori

A tarefa de construção da Tela 1, é parte da atividade barracas e tem como

objetivo descobrir uma maneira de calcular a área da base de uma Pirâmide regular

de base qualquer, em seguida construir um aplicativo que auxilie na resolução de uma

situação proposta.

A construção ocorre por meio da mobilização de noções de relações entre

elementos da base relacionados com uma circunferência circunscrita (aresta, lado,

raio, altura, diagonal).

A área da base poderá ser obtida a partir de algumas relações entre seus

elementos, descritos pelas fórmulas: 𝑆 =𝑙2√3

4 (Área da superfície da base triangular),

𝑆 = 𝑙2 (Área da superfície da base quadrada), 𝑆 =3.𝑙2√3

2 (Área da superfície da base

hexagonal), ou, 𝑆 =𝑛.𝑙2

4.𝑡𝑔(180º

4) (Área da superfície da base poligonal qualquer em que


n é o número de lados e 𝑙 é a medida do lado), ou ainda 𝑆 =𝑝.𝑎

2 (Área da superfície da

base poligonal qualquer onde p é o perímetro e o apótema).

A proposta inicial em todas as etapas de construção de telas dar-se-ão com

o preenchimento do quadro de valores e posterior comparação das colunas, espera-

se que os alunos percebam relações existentes sem que o professor apresente de

forma direta tais fórmulas. A relação ainda 𝑆 =𝑛.𝑙.𝑎

2 foi a escolhida para a atividade,

portanto. Sua descoberta é imprescindível para a estruturação dos blocos de

programação.

Nas questões posteriores, deverão ser registrados os resultados do quadro

associados à utilização da relação expressa pela fórmula encontrada. A participação

do docente é imprescindível como mediador na socialização e em possíveis

intervenções.

Uma fase já consolidada na atividade 1 é o planejamento prévio,

representada através de rascunho da tela a ser construída e posterior estruturação do

design e blocos de programação, que continuou nesta atividade. Para a construção

do design da tela, seguiremos as mesmas etapas dos aplicativos já construídos a

partir das ferramentas do App Inventor II.

Apresentamos a seguir (Quadro 31) uma possível proposta de construção

para a Tela 1 do aplicativo.

Quadro 31: Possível construção de aplicativo para o cálculo da base

Design Elementos

(a) Tela 1: Área de uma região poligonal; (b) Imagem do exemplo de uma base; (c) Caixa de entrada (medida do lado); (d) Caixa de entrada (medida do apótema); (e) Caixa de entrada (número de lados); (f) Legenda de resultados: Calcula a área do polígono (base da Pirâmide). (g) Botão 1: Calcula a área da base; (h) Botão 2: Limpa os campos (caixa de entrada e legenda) (i) Botão 3: Fechar o aplicativo; (j) Botão 4: Área Lateral (direciona para tela 2);



(1) Botão Calcular – Ao ser pressionado, ajusta a legenda (resultado) a Sb= 𝑙.a.n/2 (2) Botão limpar- ajusta as caixas de texto e legenda (resultado) para “ ”. (3) Botão Área Lateral- direciona para tela de cálculo da área lateral. (4) Botão fechar- fecha a tela.

Fonte: Autor (2018)

Na situação proposta, os estudantes devem pesquisar formas para se

chegar a área do quadrado (base da Pirâmide) a partir das relações existentes com a

circunferência circunscrita. Para o cálculo da área da base, as noções de apótema e

lados deverão ser mobilizadas, e por fim, representar suas relações na forma de

blocos de programação para se chegar ao resultado esperado, de acordo com as

dimensões e tipos de base das Pirâmides regulares.


Nesta atividade, todos os quinze estudantes identificaram corretamente a

relação entre a área da base (última coluna do quadro) e o número de lados, sua

medida e a medida do apótema do quadrado inscrito na circunferência.

Abaixo será analisado o trabalho do aluno H8, selecionado

aleatoriamente via sorteio. Analogamente a atividade anterior, trataremos cada

questão.

O estudante preencheu as duas últimas colunas com o auxílio do aplicativo

disponibilizado pelo professor (Quadro 31), em seguida deduziu que a relação

existente entre a quarta e quinta coluna, para o cálculo da área da base da Pirâmide

de base quadrada, “AB= 𝑙.a.n/2”, como mostra a Figura 64.


Figura 64: Quadro de valores área da base (Aluno H8)


Depois, justificou que a relação existente entre as colunas supracitadas é

que a última apresenta metade dos valores da penúltima coluna, além de concluir que

a “área da base é n.l.a dividido por 2” (Figura 65). No preenchimento do quadro,

percebemos que os esquemas utilizados são preexistentes, e tornaram a tarefa mais

fácil, ou seja, consolidou-se a generalização.

Figura 65: Questão a tela 1 - atividade barraca (Aluno H8)


Na questão seguinte, esperávamos que fosse explicitado a fórmula do

cálculo da área da base, no entanto, o aluno repetiu a resposta da questão anterior.

Figura 66: Questão b tela 1 - atividade barraca (Aluno H8)


Na tentativa de dar autonomia na busca de outras maneiras de se chegar

ao resultado esperado, solicitamos na questão “c” solicitou que o estudante buscasse

outra forma de calcular a área procurada, no entanto, a resposta obtida pelo mesmo,


foi insistentemente na mesma relação encontrada na questão anterior, mas oito

estudantes do grupo apresentaram outras formas, sendo a mais comum 𝑆𝑏 =𝑝.𝑎

2.

Figura 67: Questão c tela 1 - atividade barraca (Aluno H8)


Em relação ao item “d”, executar o cálculo à mão de valores já expostos no

quadro de valores não foi tarefa difícil. Dessa forma, o aluno identificou os valores

associados a cada variável, substituiu-os da relação algébrica e encontrou os

resultados corretamente (Figura 68).

Figura 68: Questão d tela 1 - atividade barraca (Aluno H8)


A questão “e” requer a construção de um aplicativo que execute as mesmas

funções que o aplicativo utilizado para o preenchimento do quadro de valores. Nesta

tarefa houveram algumas divergências nas construções da tela 1. Os estudantes A1,

P15, O14 e J10 utilizaram um organizador horizontal para cada uma das etapas: a, b,

c, d, e, e, f. Tais mudanças não implicaram na formatação final e nos resultados. A

aluna C3 selecionou e arrastou alguns elementos para a tela sem o organizador,

consequentemente, ao instalar, percebeu que a estética da tela fora comprometida,

corrigida em seguida.

Segue no Quadro 32 a construção feita pelo aluno H8. A tela só veio a ser

concluída após duas intervenções do docente. A primeira a respeito do espaçamento

adequado para comportar os quatro botões (desconfigurados após a instalação), e

quanto à abrir a tela 2 com o clique no botão área lateral.


Quadro 32: Construção do “aplicativo-área da base” (Aluno H8) Tela Paleta Componentes


(a) Legenda de identificação da tela; (b) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada da medida do lado (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (c) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada da medida do apótema (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (d) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada de número que incida a quantidade de lados (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (e) Legenda indicativa e legenda de resultados: apresenta o resultado quando o botão calcular é tocado; (f) Botão calcular; (g) Botão limpar; (h) Botão Sair; (i) Botão Área lateral: abre a tela dois – calcula a área lateral da Pirâmide.


Em sua primeira tentativa, na construção da atividade o aluno H8 utilizou

os blocos corretos para a mudança de tela, no entanto, não observara que o comando

“nome de tela” (nos blocos) deveria possuir os mesmos caracteres do nome da tela

para que ao ser tocado, o botão “direcione para a nova tela criada”.

As relações matemáticas foram desenvolvidas corretamente, tendo em

vista que trata-se de uma fórmula matemática bastante simples e muito próxima à da

atividade anterior.

A tela construída por H8 seguiu ações muito próximas do aplicativo

construído na atividade móbile, no entanto, o número de ferramentas (caixa de texto,


legenda e botões) exigiu tomadas de decisão mais independentes. Segue abaixo, o

quadro de ações com base na construção de H8.

Quadro 33: Ações de construção da tela área da base Atividade: calculadora de elementos (lado x apótema)



Aplicativo

1 Seleciona/clica Iniciar novo projeto/botão Barra de

comandos

- 2 Seleciona/clica

Idioma/botão esquerdo do mouse


Brasil)

3 Seleciona/clica-


zontal Paleta

Título (a) 4




6 Seleciona/clica-


Paleta Caixa de texto (b)

Medida do lado (l)

7 Seleciona/clica-


usuário/legenda


9 Seleciona/clica-


de texto Paleta

10 Seleciona/clica-


usuário/legenda Caixa de texto

(c) Medida do

apótema (a)


12 Seleciona/clica-


de texto Paleta

13 Seleciona/clica-


usuário/legendas Legendas

indicativas (d, e) 14 Define/digita/edita Legendas/Texto/fonte Propriedades

15 Seleciona/clica-


usuário/caixas de texto

Paleta

Caixas de texto (d, e) Número de lados (n),

Área da base (Sb)

16 Seleciona/clica-

arrasta Organização/org.tabela Botões

calcular (f, g, h,i) limpar,

sair e A.Lateral.

17 Seleciona/clica-

arrasta

Interface do usuário/ botões (calcular, sair, limpar e A. Lateral)





Pré-programação



Para a programação da tela, os botões de sair e limpar não tiveram

mudanças, pois necessitam das mesmas ações das etapas já realizadas. Sobre a

construção dos blocos, embora as relações entre as variáveis (lado, apótema e

número de lados) fossem “novas”, o conjunto de ações para a estruturação foi

semelhante.

Embora os alunos já definam Pirâmides, muitas dúvidas surgiram quanto à

forma da mesma, fato que necessitou do professor uma intervenção de maneira que

desenhe ou apresente uma Pirâmide de madeira mais concreta.

Figura 69: Blocos de programação (Aluno H8)


A tela construída, assim como as duas próximas servirão de base para a

construção dos aplicativo para o cálculo da barraca.

Segue abaixo, a ficha de atividades que orientará a construção da tela 2,

que objetiva o cálculo da área lateral de Pirâmides regulares.

Momento A


i) Considere as Pirâmides destacadas na primeira coluna do quadro de valores bem

como os dados da segunda e terceira.

ii) Digite os valores das colunas “𝑙.g” e “área da face lateral nos campos de entrada


iii) Preencha a coluna “Área da face lateral” (ou superfície da face lateral) com

valores obtidos no aplicativo.


Medida do lado (𝒍)

Apótema da Pirâmide (g)

𝒍.g Área da

face Área

lateral (Sl)


lateral (Sb)

Triangular 10 15

Quadrada 7 10

Hexagonal 7 7

Octogonal 2 5

Polígono (n-lados) 𝑙 g

* A medida do apótema é um valor aproximado

A partir do desenvolvimento das ações descritas nos itens i, ii, e iii, responda

o que se pede:

a) Em relação às colunas 4 e 5, você percebe alguma regularidade? Qual?

b) Em relação às colunas 4 e 5, você percebe alguma relação matemática?

Explique.

c) Qual a relação da coluna 1 com a área lateral de cada Pirâmide?

d) Faça uma pesquisa sobre como encontrar a área da face lateral da Pirâmide e

descubra uma forma de efetuar tal cálculo sem o aplicativo (utilize outras relações

entre elementos para encontrar a área aproximada).

e) Calcule manualmente, alguns valores encontrados e compare com os resultados

do aplicativo.

f) Construa a tela de um aplicativo que possibilite calcular a área da face lateral da Pirâmide.

Análise a priori

Para a tarefa, deveria ser identificado a regularidade existente entre as

linhas e colunas do quadro de valores, em seguida, estruturar uma tela com funções

semelhantes e que execute o mesmo cálculo.

Uma possibilidade de relação a ser estruturada é Sb= 𝑙.g./2, em que “Sb”

representa a área da superfície da base, “𝑙” representa a medida do lado da base da

Pirâmide e “g” o apótema da Pirâmide. Nessa tela, será necessário multiplicar a área

da face encontrada com a quantidade de faces laterais da Pirâmide.

Segue abaixo uma possível construção da tela:


Quadro 34: Possível construção de aplicativo para o cálculo da face lateral Design Elementos

(a) Tela 2: Área da face lateral da Pirâmide; (b) Imagem do exemplo de uma face lateral; (c) Caixa de entrada (medida do lado da base); (d) Caixa de entrada (medida do apótema g da Pirâmide); (e) Legenda de resultados: Calcula a área da face lateral da Pirâmide (base da Pirâmide); (f) Botão 1: Calcula a área de uma das faces laterais; (g) Botão 2: Área Total (direciona para tela 3); (h) Botão 3: Limpa os campos (caixa de entrada e legenda) (i) Botão 4: Fechar o aplicativo;


(1) Botão Calcular – Ao ser pressionado, ajusta a legenda (resultado) a Sb=l.g./2; (2) Botão limpar- ajusta as caixas de texto e legenda (resultado) para “ ”; (3) Botão fechar- fecha a tela; (4) Botão Área total- ao ser tocado abre a tela 3 para cálculo da área total.

Fonte: Autor (2018)

Ao final da programação em blocos, observamos uma representação

estrutural com a relação matemática utilizada para efetuar os cálculos exigidos nas

questões.


O preenchimento do quadro não apresentou dificuldades para os

estudantes. De acordo com cada base, os mesmos identificaram a quantidade de seus

lados, para posterior multiplicação com a área da face lateral encontrada. Segue

abaixo o quadro de valores preenchido pelo aluno H8 com o auxílio do aplicativo

disponibilizado pelo professor. Todos os quinze alunos realizaram a tarefa.


Figura 70: Quadro área lateral (Aluno H8)


O estudante desenvolveu nesta tarefa a mesma atitude que na anterior ao

praticamente repetir a mesma resposta nas questões a e b sobre o quadro (Figuras

72 e 73).

Figura 71: Questão a sobre a área lateral (Aluno H8)


Figura 72: Questão b sobre a área lateral (Aluno H8)


Questionado se para ele (H8) as perguntas a e b tratavam da mesma coisa,

o estudante respondeu que “sim”. Um detalhe a ser apontado é que esperávamos que

na questão a identificasse metade de maneira subjetiva, ou seja, o que representava

usualmente para o aluno, e na questão b a generalização, com as variáveis

matemáticas.

Já na questão c apenas um estudante não respondeu corretamente,

acreditamos que o mesmo não interpretou como esperávamos tal questão e deixou

em branco.

Figura 73: Questão c sobre a área lateral (Aluno H8)



Na questão, o aluno apenas repetiu a mesma relação matemática

encontrada no quadro. Esperávamos que apontasse a necessidade de encontrar a

medida de uma aresta par enfim chegar ao esperado. Nesse sentido, observamos que

a autonomia do estudante, em buscar novas alternativas não ficou explícita.

Figura 74: Questão d sobre a área lateral (Aluno H8)


Por outro lado, o estudante M12 socializou verbalmente o seguinte

exemplo: “Professor, eu só calculo a área lateral da Pirâmide, se tivermos o lado

da base e do apótema da mesma, agora se eu tiver o lado da base e a aresta

lateral da Pirâmide, essa forma não serve. Daí podemos usar o teorema de

Pitágoras pra encontrar a altura e só depois usar o aplicativo”. O professor

complementou: “ou utilizar a fórmula de Heron”. A resposta do aluno foi

considerável, exemplificada e demonstrada frente à toda a turma pelo mesmo.

Figura 75: Questão e sobre a área lateral (Aluno H8)


Assim como o aluno H8 (Figura 75), os demais alunos também

desenvolveram facilmente a tarefa, não havendo nenhuma dificuldade.

Na tela desenvolvida (Quadro 35), o estudante resolveu incluir toda a

estrutura para o cálculo da área lateral na tela do aplicativo. Para isso, acrescentou

mais uma caixa de texto e uma legenda, dessa maneira, ao tocar no botão calcular, o

aplicativo calcula a área lateral da Pirâmide, desde que o número de lados seja

informado na caixa de texto. A atitude do estudante representa que o mesmo

personalizou seu aplicativo, ao fazer uso adequado das ferramentas, demonstrou que

o processo da Gênese Instrumental ocorreu. Além deste, os estudantes J10, L11, O14

e B2 também realizaram a mesma ação (Figura 76).


Figura 76: Programação em blocos tela área lateral (Aluno H8)


O Quadro 35 descreve os principais comandos para a construção da tela

de cálculo da área lateral, desenvolvida pelo aluno H8:

Quadro 35: Construção do “aplicativo-área lateral” (Aluno H8) Tela Paleta Componentes


(a) Legenda de identificação da tela; (b) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada da medida do lado (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (c) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada da medida do apótema da Pirâmide (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (d) Legenda indicativa e legenda de resultado: apresenta o resultado da área da face lateral da Pirâmide;


(e) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada do número de lados da Pirâmide (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (f) Legenda indicativa e legenda de resultados: apresenta o resultado da área lateral quando o botão calcular é tocado; (g) Botão calcular; (h) Botão limpar; (i) Botão Sair; (j) Botão Área total: abre a tela três – calcula a área total da Pirâmide.


Para o desenvolvimento da atividade, foi possível o registro de um trecho

de da participação do aluno e professor:

H8: ... mas se eu quiser incluir logo o cálculo da área lateral, eu posso logo?

Professor: Antes de tentar, só me explica como pretende fazer...

H8: Assim, se a Pirâmide tiver base triangular, multiplico a área da face por três, se

tiver quatro, por quatro, e assim vai...

Professor: E como irá conseguir isso no aplicativo?

H8: Basta incluir uma caixa de texto para inserir o número de faces laterais. Se

forem iguais, claro!

Professor: Nesse caso, sim, porque trata-se de Pirâmides regulares.

O diálogo demonstra uma segurança quanto incluir o elemento número de

lados da base. Para o objeto da pesquisa, demonstra a identificação dos elementos

(faces) e suas implicações para a resolução da questão.

Por fim, segue a terceira etapa do Momento A da atividade barracas.


i) Considere as Pirâmides destacadas na primeira coluna do quadro de valores, bem

como os dois quadros anteriores referentes às telas 1 e 2.

ii) Preencha as colunas 2 e 3 com os dados dos quadros anteriores.

iii) Digite os valores das colunas 1, 2 e 3 nos campos de entrada correspondentes

do aplicativo, teclando em seguida no botão “calcular”.

iv) Preencha a coluna “Área total” (ou superfície total) com valores obtidos no

aplicativo.


Área da base (Sb)

Área da face lateral (Sfl)

Área lateral (Sl) Área Total

(St)

Triangular

Quadrada

Hexagonal

Octogonal

Polígono (n-lados)


A partir do desenvolvimento das ações descritas nos itens i, ii, iii e iv responda

o que se pede:

a) Em relação às colunas 1, 2 e 3, você percebe alguma regularidade? Qual?

b) Em relação às colunas 2, 3 e 4, você percebe alguma relação matemática?

Explique.

c) Faça uma pesquisa sobre como encontrar a área total da Pirâmide e descubra

uma forma de efetuar tal cálculo sem o aplicativo.

d) Calcule manualmente alguns valores encontrados e compare com os resultados

do aplicativo.

e) Construa a tela de um aplicativo que possibilite calcular a área total da Pirâmide.

Análise a priori

O objetivo desta etapa é calcular a área total de uma Pirâmide regular, em

seguida, construir um aplicativo que possa contribuir no cálculo de questões de área

da Pirâmide. Para a construção da tela, há necessidade da mobilização de noções de

área total como a soma da área da base e das faces laterais da Pirâmide. A tela do

aplicativo terá estrutura semelhante à demais já construídas. Devemos estruturar a

tela com as ferramentas do App Inventor II, renomear os componentes essenciais para

a programação, em seguida, estruturar os blocos de forma que atenda a relação

matemática St=Sb +Sf.n, a qual St é a área da superfície total da Pirâmide, Sb é a área

da superfície da base, Sf corresponde à área da superfície da face lateral e n é o

número de faces laterais.

Uma possível construção está disposta no Quadro 36.

Quadro 36: Possível construção de aplicativo para o cálculo da área total Design Elementos

Tela 3 (a)Legenda: Área da área total da Pirâmide; (b) Imagem do exemplo de uma Pirâmide Planificada; (c) Caixa de entrada (Área da base); (d) Caixa de entrada (Área da face da base); (e) Caixa de entrada (Número de lados da base); (f) Legenda de resultados: Calcula a área total da Pirâmide; (g) Botão 1: Calcula a área total; (h) Botão 2: Limpa os campos (caixa de entrada e legenda)


(i) Botão 3: Fechar o aplicativo; Estrutura de programação em blocos

(1) Botão Calcular – Ao ser pressionado, ajusta a legenda (resultado) a St=Sb +Sf.n (2) Botão limpar- ajusta as caixas de texto e legenda (resultado) para “ ”. (3) Botão fechar- fecha a tela.


Segue a produção do estudante H8:

Figura 77: Quadro área total (Aluno H8)


Todos os estudantes preencheram corretamente o quadro de valores, não

havendo a necessidade de intervenção docente.

O estudante (H8) identificou uma possível influência do número de lados

da base para o cálculo da área lateral. Apenas dois não responderam à questão a

contento. A aluna C3 expressou-se quanto à questão: “professor, o número de lados

da base será o número de faces laterais (triangulares) da Pirâmide, não?”. O

professor instigou: “Sim! Dessa forma, como fazemos para calcular a área

lateral?”. A réplica foi imediata: “Multiplica a área da face com o número de lados

da base”. Vejamos o registro do aluno:

Figura 78: Resposta para a questão a – área total da Pirâmide (Aluno H8)



A resposta discutida na Figura 78 foi perfeitamente relatada na questão b,

pelo aluno ao demonstrar o efeito provocado pela regularidade entre as colunas. Tal

percepção aponta para a construção de esquemas. Dessa maneira, acreditamos que

houve a compreensão do quadro de valores e das relações existentes, pois o aluno

H8 tratou a área total como a soma área da face lateral multiplicada pela quantidade

de lados (da base), somada à área da base. Abaixo o registro da resposta para a

questão b:

Figura 79: Resposta para a questão b – área total da Pirâmide (Aluno H8)


A Figura 80 traz a representação algébrica para o cálculo da área total,

conhecidos a área da base e faces laterais da Pirâmide.

Figura 80: Resposta para a questão c – área total da Pirâmide (Aluno H8)


O cálculo a mão representa uma simulação desenvolvida pelo próprio

estudante para o cálculo da Área total. Verifica-se que a representação algébrica foi

determinante para a generalização da área total.

Figura 81: Resposta para a questão d – área total da Pirâmide (Aluno H8)


Diante das etapas realizadas no Momento A, consideramos que os alunos

compreenderam as ideias básicas pra o calcula da área total da Pirâmide, assim,


acompanhamos o desenvolvimento da tela 3 do aplicativo da área da superfície total

da Pirâmide.

Segue no Quadro 37 a construção desenvolvida pelo aluno H8. Para a

construção da tela não houveram dificuldades, pois todos os quinze alunos

construíram sem atropelos. O modelo é básico e muito próximo das telas

desenvolvidas anteriormente.

Quadro 37: Construção do “aplicativo-área total” (Aluno H8) Tela Paleta Componentes


(a) Legenda de identificação da tela; (b) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada da Área da base (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (c) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada da medida da área da face lateral (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (d) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada do número de faces laterais (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (e) Legenda indicativa e legenda de resultados: apresenta o resultado da área total quando o botão calcular é tocado; (f) Botão calcular; (g) Botão limpar; (h) Botão Sair;


Segue parte do diálogo entre o professor e o aluno H8 para a construção

do mesmo:


Professor: Vamos lá! Quais as ferramentas que iremos utilizar na construção da tela

do aplicativo para o cálculo da área total?

H8: Primeiro o organizador, depois o título, seguida de organizador em tabela para

arrastar as legendas e caixas de texto.

Professor: Quantas? Para quais funções?

H8: Três caixas de texto para St, Sfl e Sl. Certo?

Professor: Muito bem, o que mais?

H8: Botões?

Professor: Antes dos botões?

H8: Ah! O resultado. Numa legenda...

Professor: E quanto aos blocos?

H8: Limpar e sair é do mesmo jeito, certo?

H8: A estrutura do botão é só seguir a fórmula...

Professor: Pode ser, desde que você compreenda o que significa cada variável da

fórmula.

Segue a construção da estrutura de blocos para a programação do botão

calcular, e sua relação com a estrutura algébrica identificada no quadro de valores.

Figura 82: Programação em blocos tela área lateral (Aluno H8)


A atividade trouxe a ideia de se utilizar três fases para o cálculo da área da

superfície da Pirâmide: área da base, área lateral e área total. Tal atitude permite

facilitar a compreensão do processo.


Apresentamos o Momento B da atividade barracas. A etapa trata da

construção de um aplicativo que ajude a resolver o problema do planejamento para a

construção de barracas públicas com base hexagonal e teto piramidal.

Momento B

Procedimento:


Barracas

(Cpcar- 2018) Com a intenção de padronizar as barracas dos vendedores

ambulantes, a prefeitura da cidade de Eulerópolis solicitou a uma empresa

especializada no ramo que fizesse um orçamento do material a ser empregado e do

custo para finalização das barracas.

Segue um esboço do que foi apresentado pela empresa:

O ponto O é a projeção ortogonal do ponto V sobre a base hexagonal regular

da barraca.

Considere: 7 2,6= e 2 1,4.=

No modelo apresentado, a parte hachurada indica onde existe tecido, ou seja,

no telhado e na parte de baixo da lateral, ao custo de R$ 2,00 o metro quadrado.

Além disso, em cada aresta está uma barra de alumínio ao custo de R$ 4,00 o

metro linear.

Se a empresa cobra uma taxa de mão de obra equivalente a 30% do custo de

todo o material gasto, então é correto afirmar que o custo total de uma barraca

padrão, em reais, é um número compreendido entre

a) 390 e 400

b) 401 e 410

c) 411 e 420


d) 421 e 430

A partir da questão dada, vamos desenvolver um aplicativo que resolva-a:

ii) Desenvolva o esboço, no seu caderno, de uma estrutura de construção do

aplicativo contendo o design da tela e estrutura lógica de blocos.

iii) Construa o aplicativo “Preço da barraca” usando a plataforma App inventor II,

responda as seguintes questões:

Análise a priori

Esta etapa da atividade tem como objetivo utilizar as ferramentas da

plataforma App Inventor II para construir um aplicativo que resolva a questão proposta

sobre as barracas.

A questão requer a utilização do Teorema de Pitágoras para encontrar a

aresta lateral do teto da barraca e do apótema da Pirâmide (teto), além dos conceitos

de área da Pirâmide e medidas dos elementos (arestas e lados).


No desenvolvimento desta tarefa, houveram muitas dúvidas em relação à

organização das ideias e para a estruturação do aplicativo. A questão exigiu uma

participação maior do professor. Nenhum estudante conseguiu resolver a atividade na

primeira tentativa, consequentemente o docente convidou vários alunos ao quadro

para exporem suas ideias de resolução e permitiu que a questão seja analisada como

atividade para casa. Outro destaque para a construção da barraca com canudos e

conectores do material conhecido como “Geolig” (Figura 83), construída pelos alunos

a partir do material disponibilizado pelo professor.

Figura 83: Extensão da atividade (para casa)

Fonte: Registro pessoal dos alunos


O “entrave matemático” ocorreu exatamente no instante em que houve a

necessidade de identificar a relação entre o lado da base da barraca e o apótema da

Pirâmide e sua aresta lateral. Apenas dois alunos conseguiram identificar tal relação

na segunda tentativa.

Para a compreensão dos estudantes, o docente apresentou a seguinte

proposta para encontrar a medida do apótema da Pirâmide, em seguida, a área da

face lateral.

Figura 84: Proposta do docente para encontrar o apótema da Pirâmide

Fonte: Autor (2018)

.

A proposta acima foi construída coletivamente pelo professor e alunos, com

vistas a superar o obstáculo conceitual. Em seguida, os estudantes conseguiram

identificar o perfil do aplicativo que resolva o problema, haja vista o esboço do aluno

F6 para as telas para a resolução da questão.

Figura 85: Esboço das telas do aplicativo para a questão barracas (Aluno F6)



O aluno F6 efetuou o esboço coletivamente com P15 e H8. Em seguida

construíram as telas disponíveis nos Quadros 38, 39 e 40. Observamos que a

estrutura utilizada é muito próxima do aplicativo anterior, no entanto com uma

complexidade um pouco maior no que tange os blocos para encontrar os valores

procurados, pois a preexistência de habilidades de utilização de ferramentas do App

Inventor II somadas ao já visto no conteúdo matemático foram primordiais para a

conclusão do aplicativo.

Vejamos as estruturas criadas pelos alunos nos Quadros 38 a 40.

Quadro 38: Construção do aplicativo para o cálculo de gasto da barraca (Aluno F6)

Tela 1 Componentes (elementos)

(a) Legenda de identificação da tela; (b) Caixa de texto: entrada da medida do lado da base; (c) Legenda: resultado da medida da aresta do teto; (d) Legenda: resultado da medida das cinturas hexagonais laterais; (e) Legenda: resultado da quantidade de metal gasto; (f) Legenda: resultado do gasto no metal (R$); (g) Botão calcular: calcula o custo do material (R$); (h) Botão limpar; (i) Botão sair; (j) Botão Tecido: abre nova tela para o cálculo do custo do tecido.

Programação

(1) Programação do botão calcular; (2) Programação do botão limpar; (3) Programação do botão sair; (4) Programação do botão abrir nova tela (tecido).


De acordo com a construção, a tela foi programada para calcular o gasto

com o metal empregado na construção. No intento, organizou a tela de forma que a

caixa de entrada “lado da base” seja a única ferramenta digitável, ou seja, as demais

ferramentas resumem-se em legendas de saída de resultados.


O botão calcular foi programado para ajustar as legendas: aresta do teto

(a), cintura hexagonal, quantidade total de metal (em metros), gasto com metal (R$).

A configuração do botão calcular apresenta:

- Raiz quadrada do lado ao quadrado somado a quatro para encontrara a aresta lateral

do teto da barraca (Pirâmide).

- O produto entre 3 (número de cinturas) por 6 (número de lados) pela medida de cada

lado, para calcular o total do metal empregado nas cinturas hexagonais.

- Para a quantidade total de metal (em metros lineares), somou-se 12 (soma das

medidas das colunas) ao total encontrado para as cinturas adicionado ao produto da

medida de cada aresta da Pirâmide do teto por 6 (número de arestas).

- Finaliza com o produto de 4 (preço do metro linear do metal) pela quantidade de

metal).

A estrutura descrita, representa a relação dos blocos de programação com

o conteúdo estudado. De maneira análoga, a estrutura de blocos (1) do Quadro 39

descreve a programação de blocos da tela 2 e da tela 3 (Quadro 40).



(a) Legenda de identificação da tela; (b) Caixa de texto: entrada da medida do lado da base; (c) Legenda: resultado da medida da do apótema do teto; (d) Legenda: resultado da área da superfície de uma face lateral do teto; (e) Legenda: resultado da área da superfície lateral do teto; (f) Legenda: resultado da área da superfície de baixo da lateral da barraca; (g) Legenda: resultado da área da superfície total do tecido usado para a barraca; (h) Legenda: resultado do valor gasto na barraca; (i) Botão calcular: calcula os resultados das legendas “c, d,e,f,g,h”. (j) Botão limpar; (l) Botão sair; (m) Botão Gasto total: abre nova tela para o cálculo do custo total da barraca.

Programação


(1) Programação do botão calcular; (2) Programação do botão limpar; (3) Programação do botão sair; (4) Programação do botão abrir nova tela (Gasto total).


A tela 3 foi a que menos apresentou dificuldades de construção, no entanto,

os estudantes tiveram dúvidas quanto à acrescentar os 30%. Segue parte do diálogo

entre professor e F6:

F6: Professor, para inserir os 30% da mão de obra, eu multiplico todo o gasto por 30%

é?

Professor: Vejamos... como represento 30% na forma de fração?

F6: trinta sobre cem.

Professor: Correto! Então, se multiplicarmos 30/100 pelo favor gasto, o que vamos

encontrar?

F6: O valor da mão de obra.

Professor: E o total do gasto, como fica?

F6: Basta somar o gasto a 30% dele mesmo, certo?

Professor: Correto! E como ficaria os blocos?

F6: VG + 30/100.VG que é igual a VG.(1+30/100), ou seja :

Professor: Muito bem! Ou ainda VG.1,3.

Segue a estruturação da terceira tela do aplicativo:




(a) Legenda de identificação da tela; (b) Caixa de texto: entrada do valor gasto com o metal da barraca; (c) Caixa de texto: entrada do valor gasto com o tecido da barraca; (d) Caixa de texto: entrada do valor a pagar na mão de obra; (e) Legenda: resultado do total gasto com a construção da barraca; (f) Botão calcular: calcula o gasto total de construção da barraca; (g) Botão limpar; (h) Botão fechar;

Programação

(1) Programação do botão calcular; (2) Programação do botão limpar; (3) Programação do botão sair;


Os três estudantes completaram a tarefa da construção em seguida

contribuíram com o professor no sentido de orientar individualmente os demais

colegas, que também conseguiram concluir seus aplicativos e seguir para a resolução

das questões de verificação do aplicativo.

Segue abaixo uma imagem que representa o compartilhamento de ideias

na construção dos aplicativos entre os alunos. Na imagem (Figura 86), o aluno P15 (a

esquerda) troca ideias com o aluno F6.


Figura 86:Construção coletiva de aplicativos


A seguir, as questões de verificação do aplicativo construído:

Questões de verificação do aplicativo construído

1- Utilizando o aplicativo “Preço da barraca”, preencha o quadro em que são dadas

medidas das dimensões de cinco tipos diferentes de barracas do mesmo modelo,

dessa forma, poderíamos calcular diversos orçamentos.

a) Vamos calcular o preço a pagar nas barras de alumínio, considerando que as

medidas da altura descritas na figura serão mantidas.

Tipo de barraca

Medida do lado da base

Barras do telhado

Barras na lateral

Total de barras

Preço a pagar nas barras

1 1,5m

2 3,0m

3 4,0 m

4 5,0m

5 10,0m

6 l

b) Calcule o preço a pagar no tecido, considerando que as alturas da barraca

descritas na figura serão mantidas.

Tipo de barraca

Medida do lado da base

Área do telhado

Área lateral da barraca

Área total de tecido

Preço a pagar no

tecido

1 1,5m


2 3,0m

3 4,0 m

4 5,0m

5 10,0m

6 l

c) Agora vamos calcular o preço total da barraca, considerando que as alturas da

barraca descritas na figura serão mantidas.

Tipo de barraca

Medida do lado da

base

Preço do tecido

Preço das barras

Mão de obra (30%)

Preço total a pagar

1 1,5m

2 3,0m

3 4,0 m

4 5,0m

5 10,0m

6 l

2- Agora responda a questão sobre o preço da barraca padrão.

A etapa de resolução da questão se deu após todos os alunos construírem

seus aplicativos. Como já vimos, os valores só estarão corretos se as estruturações

dos blocos estiverem de acordo com a questão matemática, dessa forma, destacamos

o preenchimento dos quadros de valores da atividade barracas, preenchido pela aluna

O14 (Figuras 88, 89,90).

Figura 87: Preenchimento do quadro teste do aplicativo barraca – quadro a (Aluna O14)



Figura 88: Preenchimento do quadro de teste do aplicativo barraca – quadro b (Aluna O14)


Figura 89: Preenchimento do quadro de teste do aplicativo barracas – quadro c (Aluna O14)


Após o preenchimento dos quadros de valores, a estudante respondeu à

segunda questão, que requer o valor da barraca proposto na questão inicial.

Inicialmente, o valor da medida do lado da base da barraca foi inserido na

caixa de texto no aplicativo, obtendo-se assim os seguintes resultados no smartphone:

Figura 90: Resolução da questão barracas utilizando o aplicativo

Fonte: Print das telas do aplicativo barracas (2018)


Ao considerar as alternativas dispostas na questão, nota-se que a resposta

encontrada no aplicativo torna a “letra c” a correta, no entanto, o gabarito apresenta a

“letra b” como correta. A diferença entre valores proporcionou uma discussão sobre

os resultados encontrados, o professor atuou como mediador.

Questionados sobre os motivos de o resultado do aplicativo e do gabarito

terem divergido, diversas foram as hipóteses iniciais:

Quadro 41: Socialização de resultados do aplicativo para a questão barracas Aluno Hipótese

C3 A estrutura de blocos contém um pequeno erro.

G7 Professor, é por causa das raízes que na questão estão aproximadas.

J10 Por causa da aproximação das raízes.

L11 Algum bloco trocado. Fonte: Registros de vídeo- experimento (2018)

Na oportunidade, foram discutidas outras possibilidades de se chegar à

solução de acordo com o gabarito, o que ocasionou a utilização do quadro pelos

alunos, para enfim, chegar ao resultado R$ 408, 72, de acordo com a questão (Figura

92).

Figura 91: Resolução da questão barracas com o uso do quadro de pincel

Fonte: Experimento (2018)

Algumas considerações sobre a atividade barracas

Diante das tarefas realizadas na atividade, nos cabe tecer algumas

considerações:

- A atividade permitiu o desenvolvimento de habilidades que vão além de calcular a

área parcial ou total de uma Pirâmide.


- A construção do aplicativo depende da relação matemática para a programação com

os blocos, para isso, o aluno deve ter domínio do conteúdo a ser estudado na

construção.

- As resoluções das questões não dependem exclusivamente do aplicativo, no entanto

o “software” permite a agilidade dos cálculos em várias situações de análise de um

contexto e tomada de decisões.

- A atividade atende a habilidade e descritor previsto na análise a priori.

- Os aplicativos foram desenvolvidos de acordo com o que prevê a análise a priori.

- Os alunos conseguiram elaborar hipóteses e planejar a construção das telas antes

e durante a etapa virtual.

- O aplicativo permitiu comparar valores, identificar possíveis erros, agilizar o processo

de resolução de várias situações em média de tempo reduzido.

A mobilização de esquemas preexistentes, adquiridos com a participação

nas etapas do minicurso e atividades anteriores permite considerarmos que os alunos

estão instrumentados nas ferramentas utilizadas dentro do previsto na perspectiva da

Gênese Instrumental de Rabardel (1995).

Apresentamos a última atividade que fez parte do experimento deste

estudo.

Atividade 3 – Iceberg

Esta atividade apresenta um texto adaptado de um livro didático de Paiva

(2009) e atende, assim como a atividade anterior, aos requisitos previstos na matriz

de elaboração do ENEM atenta à habilidade H9- “Utilizar conhecimentos geométricos

de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas

do cotidiano” e com o descritor D13- “Resolver problema envolvendo a área total e/ou

o volume de um sólido (prisma, Pirâmide, cilindro, cone, esfera)”.

Momento A

Procedimentos:

i) Considere as Pirâmides representadas pelas figuras abaixo.

ii) Complete o quadro preenchendo os valores dados.


iii) Digite os valores da segunda e terceira coluna nos campos de entrada


iii) Preencha a coluna “Volume” com valores obtidos no aplicativo.

Pirâmide Área da

base (Sb) Altura

(h) Sb.h Volume (V)

Triangular

Quadrada

Pentagonal

Hexagonal

n lados

A partir do desenvolvimento das ações descritas nos itens i, ii e iii, responda o

que se pede:

a) Em relação às colunas 4 e 5, você percebe alguma regularidade? Qual?

b) Em relação às colunas 4 e 5, você percebe alguma relação? Explique.

c) Calcule à mão, alguns valores encontrados e compare com os resultados do

aplicativo.

d) Construa a tela de um aplicativo que possibilite calcular o volume de qualquer

Pirâmide regular.

Análise a priori

O objetivo da atividade foi descobrir uma forma de calcular o volume da

Pirâmide, em seguida construir um aplicativo para resolver a questão iceberg.

Para calcular o volume, deverá ser preenchido o quadro de valores com

algumas medidas expressas nas imagens piramidais dadas na ficha de atividades

com o auxílio de um aplicativo disponibilizado.


Após o preenchimento do quadro de valores, alguns questionamentos

deverão ser respondidos para a descrição e análise dos mesmos.

Em seguida, a relação Vp=Sb.h/3 deverá ser convertida em uma estrutura

de programação por blocos. Os conhecimentos de área da base (Sb), altura (h)

deverão ser mobilizados para a conclusão da tarefa.

Para a construção do aplicativo, deverá ser estruturada uma tela com

caixas de entrada, legendas e botões suficientes para a programação em blocos. O

Quadro 42 apresenta uma possível solução para a construção do aplicativo.

Quadro 42: Possível construção de aplicativo para o cálculo do volume Design Elementos

(a) Título da Tela (legenda); (b) Imagens exemplos de Pirâmide he. (c) Caixa de entrada “Área da base”; (d) Caixa de entrada “medida da altura”; (e) Resultado do Volume (legenda); (f) Botão 1: calcular (ao preencher as duas caixas de texto e teclar “calcular” o resultado será mostrado em “e”); (g) Botão 2: Limpa os valores digitados em c e d; (h) Botão Sair: Fecha o aplicativo;


(1) Botão Calcular – Ao ser pressionado, ajusta o resultado (e) para V=1/3.Sb.h. (2) Botão limpar- ajusta as caixas de texto e o resultado para “ ” . (3) Botão fechar- fecha a tela.



Nesta atividade, a maioria dos estudantes seguiu uma sequência de ações

próxima da análise a priori, realizou a construção e respondeu aos questionamentos

de maneira satisfatória, o que demonstrou que os esquemas utilizados foram similares

aos da análise a priori.


Vejamos o quadro de valores preenchido pela estudante C3, com o auxílio

do aplicativo volume da Pirâmide (Figura 92).

Figura 92: Quadro de valores volume da Pirâmide (Aluna C3)


No preenchimento do quadro, a estudante identificou a possibilidades de

existirem outras variações para encontrara o volume que dependem da base.

Questionada sobre quais as outras possibilidades, ela interage: “se a base for

triangular, podemos utilizar várias maneiras como base vezes altura dividido por

dois, se for quadrada, eleva o lado ao quadrado... depois multiplica pelo terço

da altura”. É importante observar que outros alunos também perceberam o fato.

A seguir, as Figuras 94 e 95 corroboram com a percepção da aluna,

demonstrada da sua fala anteriormente, pois a mesma identifica a regularidade e a

relação matemática existente na questão.

Figura 93: Resposta para a questão a – volume da Pirâmide (Aluna C3)


Figura 94: Resposta para a questão b – volume da Pirâmide (Aluna C3)


Após considerar a relação como verdadeira, os exemplos são anotados na

ficha de atividades pela aluna, de acordo com o quadro de valores.


Figura 95: Resposta para a questão c – volume da Pirâmide (Aluna C3)


As questões anteriores reforçam a descoberta da relação volume da

Pirâmide, com a utilização do aplicativo para o preenchimento do quadro de valores.

A aluna complementa que: “essa atividade é muito parecida com as anteriores, só

modifica o conteúdo”. De fato, nesse contexto, cabe reconhecermos a semelhança

entre as etapas de desenvolvimento das atividades, não obstante, destacamos o

papel do professor para planejar as atividades, orientar os estudantes e intervir no

processo.

A seguir, a construção do aplicativo volume da Pirâmide, desenvolvido pela

estudante C3.

Quadro 43: Construção do aplicativo- volume da Pirâmide (Aluna C3) Tela Paleta Componentes



(a) Legenda de identificação da tela; (b) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada da Área da base (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (c) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada da medida da altura da Pirâmide (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (d) Legenda indicativa e legenda de resultado: apresenta o volume conhecidos a área da base e altura; (e) Botões calcular, limpar e sair respectivamente: ajusta o resultado do volume em função da área da base e altura; ajusta os valores das caixas de texto e legenda de resultado para “ ”;e ; fecha o aplicativo. (f) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada de valores para o número de lados (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (g) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada de valores para a medida do lado da base (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (h) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada de valores para a medida do apótema (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (i) Legenda indicativa e caixa de texto: entrada de valores para a medida da altura da Pirâmide (ao ser tocada, abre o teclado na tela do smartphone e permite entrada de valores); (j) Legenda indicativa e legenda de resultado: apresenta o volume da Pirâmide em função do número de lados, da medida do lado da base, do apótema e a altura da Pirâmide; (l) Botão Volume: ajusta o resultado do volume em função do número de lados, da medida do lado da base, do apótema e da altura da Pirâmide;


Na organização da tela (Quadro 43), existem duas possibilidades de

calcular o volume. A primeira requer a área da base e a altura da Pirâmide, na

segunda, com o conhecimento do número da lados da base, a medida do lado da

base, do apótema e da altura da Pirâmide. A aluna C3 foi a responsável pela

construção da tela. Da sua atividade extrai-se a seguinte declaração: “Professor, e


se eu não tiver a área da base? Vou construir outra possibilidade conhecendo

outros elementos.

Outros três alunos construíram seus aplicativos com duas telas, em que a

segunda requer outros elementos como raio da circunferência que circunscreve a

base, aresta lateral da Pirâmide e apótema da Pirâmide. Os demais alunos

construíram a ideia básica (a partir da área da base e da altura). Na atividade não

houve nenhuma dificuldade encontrada.

Com a construção da tela disposta no Quadro 43 pela aluna C3,

organizamos as ações de construção do aplicativo no quadro que se segue:

Quadro 44: Ações de construção do aplicativo volume da Pirâmide Atividade: calculadora de elementos



Aplicativo

1 Iniciar novo projeto

Seleciona/clica Botão esquerdo do mouse

Barra de tarefas

-

2 Seleciona/clica Idioma/botão esquerdo do

mouse


Brasil)

3 Seleciona/clica-


zontal Paleta

Título (a) 4




6 Seleciona/clica-


Paleta

Caixa de entrada (b)

Área da base (Sb)

7 Seleciona/clica-


usuário/legenda


9 Seleciona/clica-


de texto Paleta

10 Seleciona/clica-


usuário/legenda Caixa de entrada (c) Altura (h)


12 Seleciona/clica-


de texto Paleta

13 Seleciona/clica-


usuário/legenda Legenda de

Resultados (d) Volume (V)


15 Seleciona/clica-


usuário/legenda Paleta


17 Seleciona/clica-


zontal Paleta

Botões (e) Calcular,

Limpar e sair 18


Interface do usuário/botão



20 Seleciona/clica-

arrasta Interface do usuário/botão Paleta


22 Seleciona/clica-

arrasta Interface do usuário/botão Paleta


24 Seleciona/clica-


Paleta

Legendas indicativas (f,

g, h, i) 25


Interface do usuário/legendas

26 Define/digita/edita Legenda/Texto/fonte

27 Seleciona/clica-


usuário/caixas de texto

Caixas de texto (f,g,h,i) Número de lados (n), Medida do

lado (l), Medida do

apótema (a) e Altura (h)

28 Seleciona/clica-


usuário/legenda e legenda de resultado (j)


30 Seleciona/clica-


zontal Paleta Botão (l)

Volume (V) 31 Seleciona/clica-

arrasta Interface do usuário/botão


33 Seleciona/clica-

arrasta screen Componentes

Imagem (m) 34 Seleciona/clica-


usuário/imagem Paleta

35 Clica/seleciona arquivo/anexa

Imagem Propriedade




Pré-programação


A estrutura básica dos aplicativos construídos pelos demais alunos são

organizados com uma sequência de ações próximas das apresentadas acima.

Na programação das funções do aplicativo houveram alguns novos

esquemas ainda não observados. Para o botão limpar, foi utilizada a função “encolher

bloco”, ação permitida com clique na região em branco dos blocos, com o botão direito

do mouse. A aluna justifica sua ação: “Ah professor, usei o encolhimento do bloco

para o botão limpar porque haviam muitos elementos da tela no comando

limpar, e eu precisava de espaço”.


Do pondo de vista matemático, o volume foi compreendido a partir de

substituição de relações. Inicialmente a estudante utilizou o grupo de blocos

para encontrara o volume da Pirâmide a partir da área da

base e da altura da mesma. Após demonstrar o desejo de incluir elementos da base

para encontrar o volume, outra sequência de blocos foi construída com os blocos

para representar a relação l.a/2, encaixada em seguida

no bloco ao visar o produto com o número de lados n. Após visualizar a

relação V=Sb.h/3, encaixa a estrutura e reúne os dois conjuntos

e , como na Figura 95.

Figura 96: Estrutura de blocos do aplicativo volume da Pirâmide (Aluna C3)


Observou-se a utilização da duplicação de blocos, efetuada com o botão

direito do mouse, tal ação otimizou o tempo de construção da programação dos

blocos.

Figura 97: Utilização de novos esquemas (Aluna C3)



Na estruturação do aplicativo, percebemos que os estudantes

cuidadosamente escolhem cores, tamanhos de fontes, imagens e detalhes peculiares

a seu gosto e criatividade.

Nessa perspectiva a aluna C3, assim como os demais, utilizaram as

ferramentas necessárias para construir o aplicativo, e relacionou as ideias duas

atividades anteriores (Móbile e barracas) para o cálculo do volume, o que reflete a

pertinência da sequência.

Registra-se parte do diálogo sobre a ordem dos blocos matemáticos,

ocorrido entre dois alunos na construção do aplicativo, descrito nos Quadros 43 e 44:

D4: O meu aplicativo não está calculando corretamente, já modifiquei e instalei de

novo.

C3: Abre aí de novo, deixa eu ver... O que está acontecendo é que você organizou os

blocos e ficou entendido como 3/Sb.h, assim não tá correto.

D4: Ah tá... falta de atenção.... Mas, se eu não tiver a área da base?

C3: Aí vai depender dos dados que você tem, se é lado, apótema ou aresta... Vale

fazer uma pesquisa.

D4: Mas se eu quiser incluir mais informações que não cabem na tela?

C3: Na plataforma tem uma opção que cria uma barra de rolagem para esses casos,

basta clicar em propriedades e marcar a opção “rolável”.

C3: Outro detalhe importante é você estipular a largura e altura dos elementos, tipo:

legenda, caixa de texto, botão, organizador e por aí vai...

O recorte retrata que mesmo que o estudante consiga estruturar os blocos,

o resultado pode ser comparado e o possível erro identificado. A plataforma salva

automaticamente todo projeto construído, o que permite a retomada e correção de

maneira prática e fácil. Outro enfoque pode ser dado ao papel colaborativo da

atividade, em que os estudantes podem trocar experiências das mais variadas no

âmbito do instrumento ou do objeto, pois com a meta da atividade é automaticamente

determinada: Construir o aplicativo para o cálculo do volume.

Na sequência, a ficha de atividade descreve os procedimentos para a

execução da tarefa para o Momento B da atividade. A questão proposta, permite a

construção ou adaptação de uma aplicativo capaz de estimar o volume de um iceberg.


Momento B

Procedimento:


Iceberg

(Adaptado- PAIVA, 2009) É um bloco ou massa de gelo de grandes

proporções que, tendo se desprendido de uma geleira (por exemplo, das existentes

nas calotas polares, originárias da era glacial), de um glaciar ou de uma plataforma

de gelo continental, vagueia pelo mar, levado pelas águas dos mares árticos ou

antárticos. Disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Iceberg

Para calcular o volume de um iceberg, uma oceanógrafa observou que a parte

emersa do bloco de gelo era aproximadamente uma Pirâmide de base quadrada

com 10 km de aresta da base e 1,5 km de altura. Calculando a densidade do gelo e

da água do mar naquela região, a cientista estimou que 80% do iceberg estava

submerso. De acordo com esses pressupostos, qual era o volume aproximado do

iceberg?

A partir da questão dada, vamos desenvolver um aplicativo que ajude a

resolve-la:

ii) Desenvolva o esboço, no seu caderno, de uma estrutura de construção do

aplicativo contendo o design da tela e estrutura lógica de blocos.

iii) Construa o aplicativo “Volume do iceberg” usando a plataforma App inventor II,

em seguida, realize o teste do mesmo respondendo as seguintes questões:

Análise a priori

Esta etapa da atividade tem como objetivo utilizar as ferramentas da

plataforma App Inventor II para construir um aplicativo que encontre o volume do

iceberg. Tal aplicativo deverá possuir tela com ferramentas capazes de permitir o

manuseio para questões que envolvam o volume de Pirâmide. A adaptação ou

modificação da estrutura de um aplicativo construído também possui qualificações

aceitáveis.

Fonte:https://conteudofreela.com.br/infografi

co-iceberg-das-midias-sociais/

https://pt.wikipedia.org/wiki/Iceberg

https://pt.wikipedia.org/wiki/Iceberg


A questão requer a utilização do conteúdo de porcentagem como fator para

encontrar o volume da Pirâmide.


A tela foi esboçada por todos os quinze estudantes que participaram da

atividade. Como amostra, selecionamos o registro da estudante O14. Na tela, a

mesma planejou a utilização de organizadores horizontais e em tabela, legendas

indicativas e uma para resultado, caixas de texto e três botões (Figura 98).

Figura 98: Esboço do aplicativo volume do iceberg (Aluna O14)


O planejamento e construção da tela do aplicativo não representou muitas

dificuldades, no entanto, houve uma dúvida por parte da aluna sobre como

acrescentar a porcentagem: “Professor, entendo que o volume que vou calcular é

apenas da parte visível do iceberg, agora do restante submerso, como devo

fazer?” Na primeira tentativa a aluna não conseguiu, o que tornou necessária uma

nova intervenção docente com toda a turma para a construção coletiva de ideias que

contribuíram para a solução do problema.

Abaixo um recorte do diálogo que fomentou a ida de alguns alunos ao

quadro:

Professor: Vocês compreenderam como calcular o volume da Pirâmide, certo?

Coro: Sim professor! Compreendemos.

Professor: Se a parte submersa da Pirâmide representa oitenta porcento, a parte

visível corresponda a que percentagem?

E5, A1 e H8: A vinte porcento, professor.


Professor: O14, que relação utilizamos agora para descobrir o volume total da

Pirâmide. Vejam bem: volume Total!

O14: Regra de três!

Professor: Isso! E como estruturar isso em blocos de programação?

O14: Volume visível corresponde a vinte, volume total corresponde a cem.

Professor: Perfeito.

A intervenção do professor contribuiu com o entendimento matemático,

mas a estruturação passou por uma série de tentativas em que os próprios alunos

concluíram em ajudas mútuas. Dessa maneira, a estudante O14 acabou por adaptar

a estrutura do aplicativo de C3 em parceria. Ambos atuaram juntos e modificaram o a

construção do Quadro 43.

Para isso, a aluna C3, com a plataforma aberta selecionou a opção

“Projetos” na barra de tarefas e clicou em “exportar o projeto selecionado (.aia) para

o meu computador” disponibilizou-o, com a utilização de um pen drive, para O14 e

começaram a trabalhar simultaneamente em computadores diferentes.

Para a adaptação, decidiram excluir as etapas de 24 a 32 do Quadro 44, e

reestrutura-los com os dados referentes à porcentagem, permitiu enfim concluir o novo

aplicativo que calcula o volume visível e o volume total, este primeiro não previsto no

esboço (Figura 98). O aplicativo final está disposto no Quadro 45.

Quadro 45: Aplicativo Volume do iceberg (Aluna O14) Design Elementos

(a) Título da Tela (legenda); (b) Caixa de entrada “Área da base”. (c) Caixa de entrada “Altura da Pirâmide”; (d) Legenda de resultado “Volume visível”; (e) Legenda de resultado “Volume Total iceberg”; (f) Botões: Calcular, limpar e fechar.



(1) Botão Calcular – Ao ser pressionado, ajusta o resultado (d e e) para V=Sb.h/3 e Vt=Vv.100/20 respectivamente. (2) Botão fechar- fecha a tela. (3) Botão limpar- ajusta as caixas de texto e o resultado para “ ” .


Finalmente, o aplicativo construído foi utilizado para a resolução das

questões abaixo dispostas:

Questões de verificação do aplicativo construído 1- Utilizando o aplicativo “Volume da Pirâmide”, calcule o volume pedido na questão iceberg. 2 - Uma Pirâmide quadrangular regular de 13 cm de altura tem aresta lateral medindo 15 cm. Qual o volume dessa Pirâmide? 3- (FTD-2015) Um escultor pretende esculpir uma Pirâmide de base quadrangular a partir de um bloco de mármore com formato de cubo com 30 cm de aresta. A base e a altura da Pirâmide serão as mesmas do cubo. O volume de mármore que terá de ser retirado do bloco para a confecção da Pirâmide é de: a) 3 000 cm³ b) 9 000 cm³ c) 18 000 cm³ d) 27 000 cm³ e) 36 000 cm³ 4- (FTD-2015) Armênia trabalha com velas decorativas. Ela precisa produzir 30 velas com o formato de Pirâmide quadrangular que deverão medir 10 cm de altura e ter arestas da base medindo 10 cm. A parafina com que ela trabalha é vendida em blocos reto-retangulares que medem 20 cm de comprimento por 10 cm de largura e de altura. No mínimo, quantos blocos de parafina Armênia precisa comprar para produzir as 30 velas? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 5- Preencha as células em branco no quadro abaixo utilizando o aplicativo construído por você para calcular volume de Pirâmides, considerando que as Pirâmides indicadas na primeira tratam-se de poliedros regulares:


Pirâmide Lado da base (l)

Medida do

apótema da base (a)

Área da base (Sb)

Altura (h)

Volume (V)

Triangular 6

Quadrada 8

Pentagonal 2

Hexagonal 4

Decagonal 3

Pirâmide de n lados

6- Com a questão 5, você necessitou fazer alguma mudança na estrutura do aplicativo construído? Quais? Socialize com o professor e com os colegas.

A imagem abaixo foi printada da tela do smartphone da estudante O14. Nas

caixas de entrada foram digitados os valores 100 (área da base em km2) e 1,5 (km),

que em seguida, ao teclar o botão calcular calculou o volume visível em 50 km3 e

volume total do iceberg em 250 km3.

Figura 99: Resposta da questão 1- Ativ. volume do iceberg (Aluna O14)

Fonte: Print da tela aplicativo volume do iceberg (2018)

A realização da tarefa foi desenvolvida com êxito pela maioria dos

estudantes, o que demonstrou que o processo de Gênese Instrumental aconteceu ao

longo do processo de realização da atividade proposta.

As demais questões foram resolvidas a mão e conferidas no aplicativo

construído, de acordo com as Figuras 101 a 104.




Na resposta à segunda questão (Figura 100), a estudante encontrou a área

da base e a utilizou para encontrar o volume. à esquerda esboçou uma Pirâmide de

base quadrada, o que demonstra a necessidade de por vezes recorrer aos recursos

visuais.

A questão 3 foi resolvida por todos sem dificuldades.



Na quarta questão, novamente recorreu-se a representação visual com

desenhos sobre a Pirâmide e paralelepípedo. Os conceitos de volume foram utilizados

para resolve-la.




Diferentemente das demais questões da atividade, a questão 5 fora

deixada sem reposta com uma observação da estudante, que escreveu: “não utilizei

apótema no meu aplicativo”. De fato, pela construção desenvolvida no Momento B

da atividade, a mesma não contemplou a utilização do apótema, no entanto, a mesma

poderia ter recorrido a atividades anteriores.



A questão 6 oportunizou uma discussão sobre as mudanças a serem feitas

no último aplicativo. No entanto, a aluna C3 lembrou que não precisaria fazer

modificação, pois já havia pensado nessa possibilidade no aplicativo anterior,

inclusive, a mesma recorreu ao aplicativo, mas com uma diferença que foi utilizar a

medida do apótema de cada Pirâmide.

De fato, como a aluna O14 apenas modificou a estrutura do aplicativo

desenvolvido por C3 com ajuda da mesma, optaram por excluir a estrutura que

tratavam do volume com o apótema conhecido, o que impossibilitou responder à

questão 5.

Algumas considerações sobre a atividade iceberg

A atividade iceberg não trouxe muitas surpresas do pondo de vista dos

resultados coletados nas atividades anteriores, percebeu-se melhor domínio das

habilidades e a descoberta de novas ferramentas que melhoraram a aparência do

aplicativo (propriedades: cores, dimensões, fontes), outras ferramentas que otimizem

a construção (esconder e duplicar blocos) e manuseio dos blocos de operações

matemáticas, que permitiram decidir a ordem das operações.

A atividade contemplou as habilidades e descritores de documentos

curriculares prescritos, permitiu a socialização das ideias, interação entre os alunos e

generalização de alguns casos.


Apontamos a versatilidade apresentada pelos estudantes ao decidirem

adaptar o aplicativo construído anteriormente para a construção de um novo aplicativo

para a resolução da questão, tendo em vista que tratava-se basicamente do mesmo

conteúdo, o que excluiu a necessidade de iniciar um novo.

Matematicamente, o aplicativo se mostrou útil para a conferência de

resultados, por outro lado, não retirou o caráter subjetivo e necessidade de manuseio

de outras ferramentas como lápis, borracha e caneta pra efetuar os cálculos nas

questões propostas, a fim de mostrar-se um aliado complementar ao ensino.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

O entusiasmo movido pela novidade de adentrar a temática tecnológica

para o ensino da Matemática no Ensino Médio nos desafiou a rever conceitos, formular

hipóteses, mergulhar na leitura e tentar criar, se não novos conhecimentos, mas um

novo perfil de educador e de estudante. Dessa forma, reunimos pessoas, informações,

ideias, metodologias, ferramentas, teoria e prática. Enfim, após uma gama de etapas

e ações chegamos à conclusão deste estudo, consequentemente tecer nossas

considerações finais.

Sobre as questões relativas à aprendizagem de Pirâmides, em particular

as questões sobre que envolvem elementos: base, lado, aresta, raio, diagonal, face

lateral, altura, apótema, área e volume são comumente encontrados em livros

didáticos do Ensino Médio de todo o país. Por outro lado, há uma carência de

pesquisas científicas que aprofundem o estudo sobre o tema.

Há ainda que se considerar que trata-se de tema relevante no eixo da

Geometria Espacial, muito cobrada no contexto das avaliações externas, responsável

por índices que chamam atenção bienalmente com a publicação dos resultados de

proficiência pelo Ministério da Educação.

Outro aspecto relevante para o contexto ora apresentado, é a crescente

evolução dos dispositivos tecnológicos digitais nos ambientes externos à escola, que

por muitas vezes é excluído das propostas metodológicas escolares por diversos

motivos, que ganham ênfase pelo sucateamento de laboratórios de informática

subutilizados.


Assim, a pesquisa teve por objetivo observar como os alunos do 3º ano do

Ensino Médio apropriam-se dos conhecimentos ligados a Pirâmides, quando utilizam

e constroem aplicativos para dispositivos móveis, no nosso caso, para smartphone.

Nestas considerações finais, trataremos a respeito dos aspectos que

consideramos importante para o trabalho, tais como: o Quadro teórico e metodológico

utilizado, o experimento, os resultados e as possibilidades de investigações futuras.

Quadro Teórico e Metodológico

Consideramos que a abordagem Instrumental de Rabardel (1995, 2002) foi

pertinente para nosso estudo por acreditarmos que por meio dela pudemos observar

e analisar as ações dos estudantes interagiram com o ambiente da plataforma App

Inventor II, isto é, observar como acontece o processo de Gênese Instrumental do

aluno.

Especificamente, atentamos às questões ligadas a instrumentação e

instrumentalização, a transformação do artefato em instrumento e as relações

identificadas nas Situações de Atividade Instrumental (SAI) : sujeito-objeto [S-O],

sujeito-instrumento [S-I], instrumento-objeto [I-O] e sujeito-objeto mediada pelo

instrumento [S(i)-O] que se desenvolvem num ambiente formado pelo conjunto de

condições que o sujeito considera para realizar sua atividade.

A partir do modelo SAI, descrevemos as principais sequências de ações

que os alunos desenvolveram para construir os aplicativos, bem como as ferramentas

utilizadas e os produtos (aplicativos) construídos. As ações das construções iniciais

dos aplicativos em cada atividade proposta foram descritas nos Quadros 28, 33 e 44

e na análise a priori, estas identificam as etapas seguidas pelos alunos.

Para a organização da SD, nos pautamos nas ideias de Zabala (1998), no

entanto necessitamos fazer algumas adaptações iniciais, e modificações posteriores,

por não ser possível seguir à risca as etapas as etapas previstas. O conjunto de

atividades elaboradas para a SD compuseram um Produto Educacional com onze

atividades dos mais diversos assuntos sobre Pirâmides, dos quais selecionamos

apenas três para desenvolver no experimento.

Utilizamos a Engenharia Didática (Artigue,1988) como metodologia da

pesquisa. Diante dessa escolha, desenvolvemos as quatro fases previstas para

orientar as etapas, dessa forma, organizamos o texto em três capítulos: I- Análises

Preliminares; II- Concepção e análise a priori; e; III- Experimento, análise e validação.


Inicialmente apresentamos aspectos históricos, matemáticos e curriculares das

Pirâmides, e estudos que descrevem a utilização de tecnologias no ensino de

Geometria Espacial, pois não encontramos trabalhos específicos sobre Pirâmides.

Alguns desses trabalhos abordam estudos sobre a visualização de figuras

geométricas, o nível de pensamento geométrico, as contribuições da tecnologia para

o ensino de geometria e a resolução de problemas com o uso de tecnologias.

Na análise do experimento, utilizamos atividades com aplicativo e quadros

que ajudam o aluno a perceber a regularidade existente entre relações matemática

até chegarem a uma expressão algébrica, fundamental para a programação em

blocos e o funcionamento correto de novo aplicativo criado. Logo após o estudante

constrói um aplicativo que resolva uma questão proposta. Os principais conteúdos

abordados foram: relação entre elementos da Pirâmide (lado, apótema, aresta, base

e altura), área e volume da Pirâmide. Em cada atividade, descrevemos na análise a

priori os possíveis esquemas de utilização do App Inventor II pelos estudantes por

meio do SAI e suas possíveis sequências de ações, na análise a posteriori validamos

ou não as hipóteses levantadas na análise a priori.

Principais resultados

As primeiras experiências obtidas com a nossa proposta ocorreram no

curso de nivelamento. Na oportunidade, conforme Rabardel, a plataforma App

Inventor II constituía-se num artefato para os estudantes, já que todos os participantes

a desconheciam totalmente.

Observamos que a habilidade dos alunos com aplicativos para

smartphones contribuiu para a compreensão das funções propostas na criação das

telas. Por outro lado, alguns estudantes não possuíam habilidades com ferramentas

computacionais, o que representou algumas barreiras para o processo, superadas

posteriormente. O ambiente virtual da plataforma utilizado para as atividades

contribuiu para a superação dos obstáculos, com aparência e organização de

linguagem simples e objetiva.

Nas fichas de avaliação do curso de nivelamento, oitenta porcento dos

alunos concordam completamente que os recursos computacionais utilizados são

interessantes e trazem benefícios à aprendizagem. Consideramos a possibilidade de

teste do aplicativo construído, a facilidade de representar algebricamente uma


situação com o uso dos blocos e a capacidade de conferir resultados ou indicar o erro

como os principais contributos, segundo os alunos.

Solicitamos que os alunos deixassem uma crítica e um elogio ao curso,

dentre os quais resumimos algumas respostas abaixo:

Quadro 46: Avaliação do curso de nivelamento (Críticas) Aluno Crítica

E5 O curso é muito cedo (da tarde)

G7 No começo eu estava perdido na parte dos blocos, depois de duas aulas eu aprendi a configurar.

J10 Um só professor pra atender todo mundo demora

M12 -

P15 -

Fonte: Ficha de avaliação do curso de nivelamento

Quanto às críticas, as únicas encontradas nos registros foram as citadas

acima no Quadro 46, o que para o trabalho é motivo de satisfação, tendo em vista as

dificuldades de locomoção e da dupla jornada dos estudantes para participar do

projeto. Por outro lado, no tocante aos blocos, é comum que nos primeiros momentos

hajam dúvidas pelo universo de ferramentas disponíveis e pela ausência ou pouco

conhecimento da plataforma.

Alguns dos elogios citados pelos mesmos, em todas as fichas analisadas,

citamos dos mesmos alunos que teceram as críticas:

Quadro 47: Avaliação do curso de nivelamento (Elogios) Aluno Elogio

E5 Despertou o interesse para a conclusão dos aplicativos

G7 A forma de aprender os conteúdos pelo aplicativo é melhor

J10 O fato de ele ensinar uma coisa que a gente não usa na sala de aula e que ajudaria bastante

M12 Ajudou a construir o que a gente antes só usava

P15 Podemos fazer os aplicativos sobre vários assuntos e em qualquer lugar

Fonte: Ficha de avaliação do curso de nivelamento

No que se refere a elogios, concordamos que muitos estudantes ficaram

motivados com a ideia de colocar no seu smartphone uma construção própria, o

coloca na posição de autor, e não de mero usuário de um aplicativo. Outro destaque

dar-se à mutualidade colaborativa com troca de ideias e a pré-disposição em ajudar e

sugerir, ao mesmo tempo em que pudemos perceber que estudaram matemática sem

perceber, enquanto conversavam sobre possibilidades de construir seus aplicativos.


Com relação à plataforma, consideramos de fácil acesso, leve e que possui

peculiaridades muito positivas, como o salvamento imediato dos projetos. Toda ação

executada com a mesma é automaticamente salva sem colocar em risco as tarefas já

desenvolvidas. Outra característica que contribui positivamente é a organização dos

blocos de programação, dispostos em cores de acordo com as suas funções. Por outro

lado, deixa a desejar nos aspectos gráficos, pois os recursos de alocação nos

elementos da tela precisam de configurações que tornam-se por sua vez dificultadoras

do processo, o que ocasiona redimensionamentos imprevisíveis da tela criada para a

tela do smartphone.

O desenvolvimento das atividades, pode ser considerado satisfatório, tendo

em vista que os estudantes portaram-se como protagonista do processo de ensino, e

ao tomar a frente de decisões que os oportunizaram aprender a elaborar suas

próprias estratégias, criar novos esquemas, socializar suas descobertas e refletir

sobre seu papel como aprendiz numa sociedade submersa em evoluções

tecnológicas.

Assim, na etapa de introdução à plataforma App Inventor II, distribuída em

dez encontros que totalizaram em 30 horas, acreditamos ter atingido o nosso objetivo

de instrumentar os alunos com as ferramentas e recursos da plataforma, sem

introduzir noções de Pirâmides.

Justificamos que a instrumentação do App Inventor II ocorreu, segundo

Rabardel (1995, 2002), pelo fato de que as propostas de utilização das ferramentas

da plataforma para a construção dos aplicativos terem sido utilizadas com os

esquemas de uso criados pelos estudantes, similares aos esquemas esperados

previamente pelo orientador. As construções encontram-se registrados nas Figuras

38 a 44, bem como o diálogo sobre o assunto no segundo Capítulo.

A etapa de diagnóstico, compreendida entre as atividades introdutórias 1 e

4, nos confirmaram a dificuldade de compreensão de conceito, bem como a pouca

fundamentação acerca das nomenclaturas e relações existentes entre os elementos

das Pirâmides, por parte dos estudantes. Nos apontou também a necessidades de

haver recursos visuais em propostas de atividades (materiais ou virtuais) como

complementação, aspecto limitado no App Inventor II, a não ser pela possibilidade de

inserção de figuras nas telas dos aplicativos.


Diante de tais limitações, sugerimos que se utilize outros programas de

geometria dinâmica para visualização de figuras, como: GeoGebra ou Poly; ou até

mesmo materiais concretos como: sólidos de madeira ou palitos e réguas.

Finalmente, a etapa propositiva para a realização de atividades de Pirâmide

com aplicativos surge como a terceira e última proposta, de maneira que cada

atividade contou com dois Momentos (A e B). O primeiro baseia-se na utilização de

um aplicativo “pronto” para auxiliar no preenchimento do quadro de valores, descobrir

uma relação matemática e em seguida, o aluno deve construir um aplicativo

semelhante.

No segundo momento, cada aluno recebeu uma questão com nível mais

elevado sobre o tema proposto e constrói um aplicativo para resolve-la e testa o

aplicativo em ouras questões similares.

Nesta etapa, observamos uma familiaridade dos estudantes com as

ferramentas da plataforma, que uma vez já instrumentalizada, cede espaço para os

aplicativos se tornarem artefato.

As etapas chamadas de Momento A, atingiram o nosso objetivo quanto a

promover a construção de aplicativos semelhantes aos fornecidos pelo docente, pois

o artefato assim compreendido para cada uma das três atividades, foram cedendo

espaço para os esquemas de uso criados pelos estudantes durante o

desenvolvimento dessas atividades tornam-se similares aos esquemas previstos na

análise a priori de cada atividade (Móbile, barracas e iceberg). Neste contexto, a

análise a posteriori reuniu subsídios suficientes para reconhecermos que a

instrumentalização do App Inventor II e de cada aplicativo construído e as noções de

Pirâmides ocorreu. Dessa forma, o artefato transformou-se progressivamente em

instrumento.

Ao confrontarmos os Quadros: 26 com 27 (Associado com o Quadro 28);

31 com 32 (Associado com o Quadro 33); e; 42 com 43 (Associado ao Quadro 44),

fica visivelmente confirmado que a Gênese Instrumental ocorreu pelos detalhes

apresentados, corroborados com trechos das falas do professor e de alunos, que

reúne indícios de aprendizagem do conteúdo enquanto associam grandezas variáveis,

estruturam os blocos e organizam estruturas algébricas.

No Momento B de cada atividade, cada questão proposta recebeu uma

informação diferenciada do conteúdo inicial (percentual, produtos, somas e cálculo de

área de outras figuras), o que garante que não apenas algoritmos fossem


empregados. Surgiram exatamente nesses momentos, alguns obstáculos que

variaram de grau de dificuldade, o que tornou imprescindível a intervenção do docente

e a socialização de ideias entre os estudantes.

Durante o confronto de pontos de vistas para a programação dos

aplicativos do Momento B, surgiram várias ideias e contribuições que tenderam à

evolução de utilização de recursos e ferramentas de forma a reunir esquemas

preexistentes com novos esquemas, de forma que a construção do segundo aplicativo

(Momento B) apresentou em alguns casos novos elementos não previstos no curso

de nivelamento, muito menos nas análise a priori, como o caso da figura inserida como

plano de fundo na atividades iceberg.

A interação dos alunos com os blocos de programação do App Inventor II

facilitou a compreensão das relações existentes entre os elementos das Pirâmides e

permitiu a visualização de representações algébricas para a solução das questões

propostas, testar possibilidades com diferentes proposições de estruturação

permitiram o funcionamento do aplicativo.

A cada atividade proposta, os alunos descobriram relações algébricas entre

os elementos da Pirâmide com o auxílio do aplicativo e do quadro de valores, a ação

permitiu a visualização de regularidades existentes em problemas diversos, em outros

níveis de cognição e de realidade. Tais afirmações se dão pelos registros de vídeos e

escritos registrados, além de habilidades não previstas nas prescrições curriculares.

De acordo com o exposto, o polo [S-I], proposto por Rabardel, foi

plenamente atendido nas atividades propostas e no seu desenvolvimento pelos

estudantes.

Do ponto de vista das relações do instrumento e do objeto, percebemos

que a plataforma App Inventor II possui muitas ferramentas com potencial explorativo

que não foi possível abordarmos nesse trabalho, a exemplo: utilização de memória

para o próprio aplicativo, movimento de elementos gráficos na tela, sensores, novas

variáveis, programações lego e arduíno. Por outro lado, o conteúdo explorado possui

uma gama de temas de exploração em que a plataforma apresenta limitações que

impedem uma experiência mais exitosa, a citar: a construção da imagem das

Pirâmides com a utilização de seus elementos, a rotação e translação de figuras no

espaço, a ampliação e redução de figuras etc.


Diagrama 2: Relação Instrumento - Objeto

Fonte: Autor (2018)

Diante do exposto, reconhecemos o potencial do App Inventor II para as

questões ligadas a problemas que exigem cálculo, estruturação de relações

algébricas e a execução dessas estruturas programadas. Tal função proporciona uma

eficiência quanto à otimização do tempo nas aulas quando o aplicativo já está

construído, e durante o processo de construção revela o desenvolvimento de

habilidades cognitivas não previstas nas competências e habilidades prescritas

curricularmente, que contribuirão em decisões futuras do aluno não só na matemática,

mas em diversas áreas. Tais considerações tornam-se relevantes para o polo [I-O].

Quanto ao conhecimento de Pirâmides adquirido com o experimento,

constituiu-se a medida que os aplicativos propostos foram programados.

Consideramos que a escolha de cada bloco (ferramenta) de programação na

sequência de ações para a estruturação dos aplicativos dependeram exclusivamente

da decisão tomada de cada estudante, mas o funcionamento correto para o cálculo

de valores só foi corretamente executado, por causa da relação matemática utilizada.

Por outro lado, a escolha de elementos que constituem a tela dos aplicativos

dependem da vivência, criatividade e necessidade de cada estudante, o que contribui

para sua autonomia. Assim concordamos na relação exitosa entre os elementos

sujeito, instrumento e objeto, frente ao polo [S(i)-O].

Nesse sentido, de acordo com o modelo SAI, enfatizamos a importância da

composição da tríade:

• Sujeito (S): A1, B2, ..., P15;

• Instrumento (I): App Inventor II e seus recursos/ferramentas,

aplicativos, e conteúdos matemáticos; e

• Objeto (O): aplicativos matemáticos construídos sobre Pirâmides.


Chamamos atenção para a simplicidade da linguagem de programação da

plataforma, que por ser em blocos torna o processo mais acessível e possível para

leigos em programação. Assim, deixamos claro que, a nossa intenção não foi tratar

de aspectos ligados à programação computacional, pois estes poderiam inviabilizar a

proposta frente ao público atendido.

Com vistas a SD de acordo coma concepção de Zabala (1998), concluímos

nem sempre ser possível seguir a ordem das atividades previstas no Quadro 11, mas

corroboramos com sua afirmação que a classifica como uma “série ordenada e

articulada de atividades que formam as unidades didáticas”, pois embora não

tenhamos seguido detidamente o modelo proposto, mantivemos o ordenamento das

atividades, e essa característica garantiu a compreensão, assimilação e acomodação

das etapas (Moreira, 2017). Destacamos que um fator de relevância foi a

possibilidades de análise atitudinal dos educandos: cooperação, iniciativa e

proatividade.

Diante as atividades realizadas, é possível perceber indícios de conteúdos

conceituais, procedimentais e atitudinais de maneira implícita, que potencializaram as

ações instrumentais e permitiram a conclusão dos aplicativos.

Tais aspectos são demonstrados a etapa final dos experimentos expresso

na Figura 104, que mostra a gravação de uma videoaula para compor o Produto

Educacional desta pesquisa:

Figura 104: Gravação de vídeo aula construção de aplicativos (Aluno P15)

Fonte: Arquivo pessoal do aluno (2018)

Outros dois alunos também contribuíram com a gravação de vídeos, tal

atitude reflete o nível de confiança dos mesmos quanto aos temas estudados e frente

as ferramentas utilizadas. Alguns alunos recorreram a pesquisas em sites e vídeos


para a compreensão de conteúdo. Para a proposta julgamos natural tendo em vista

que buscamos a autonomia do aluno.

Acreditamos que as atividades propostas: móbile, barracas e iceberg,

foram entronizadas pela descoberta das relações. A programação de botões, caixas

de entrada e legendas foram oportunizadas pelo conhecimento de esquemas

preexistentes adquiridos no curso de nivelamento. Por conseguinte, a manipulação

desses blocos de programação e a organização da tela favorece a aprendizagem do

conteúdo, principalmente de maneira integrada aos quadros de valores e

complementarmente com recursos visuais (figuras, material concreto).

Se considerarmos o objeto matemático e o aplicativo disposto no início de

cada atividade como artefatos, concluímos que não seria possível o preenchimento

dos quadros sem o aplicativo, nem tampouco a construção de aplicativos sem o

conhecimento das relações matemáticas, a não ser que houvesse uma nova fonte de

informação sobre estes dois recursos. Dessa forma acreditamos que o quadro de

valores e aplicativos utilizados foram primordiais para atingirmos o objetivo do

trabalho.

Dessa forma, acreditamos que uma contribuição desta pesquisa é

reconhecer que o aplicativo possui função limitada quando apenas utilizado como uma

calculadora pelo estudante, que passaria do status de aprendiz para usuário, como

ocorre com a utilização de todo e qualquer aplicativo disponível para download no

mercado. A utilização pedagógica da proposta se torna adequada quando incorpora a

descoberta de relações matemáticas existentes em problemas do cotidiano,

proporciona o desenvolvimento de atividades experimentais que oportunizem o erro e

reflexão sobre este erro, utiliza as ferramentas do App Inventor II para personalizar

sua ferramenta de cálculo, sem excluir o potencial de quadros, tabelas, materiais

concretos e as contribuições docentes.

Atividades complementares relacionadas

Durante o desenvolvimento deste trabalho surgiram diversas

oportunidades de tratar sobre o tema e assim aprimorar as experiências que

contribuíram para a compreensão do quadro teórico e prático desta pesquisa. Trata-

se de eventos científicos das quais as propostas foram submetidas e aceitas

distribuídas no Quadro 49.


Quadro 48: Oferta de minicursos em eventos EVENTO/INSTITUIÇÃO CIDADE DATA

Mini curso -IFMA São João dos Patos- MA 10/10 a 11/12/2017

CEINJAR (SEDUC-MA) São João dos Patos- MA 20/06 a 13/08/2018

III SNTDE (UFMA) São Luís- MA 25, 26 e 27/07 de 2018

XIV SEMAFIS (IFPI) Teresina-PI 01, 02 e 03/08 de 2018

PAPMEM (IFMA) São João dos Patos- MA 06 a 09/08 de 2018

IV Mostra de Extensão (CTF) Floriano- PI 16 e 17/11 de 2018

Semana de Ciência e Tecnologia- SNCT/IFMA

S.J. dos Patos-MA 17 a 19/10 de 2018

Fonte: Autor (2018)

A submissão de propostas, a aceitação e execução dos eventos só foram

possíveis pela oportunidade do estudo da nossa temática. Os eventos tiveram efeitos

muito positivos e objetivaram a disseminação da plataforma App Inventor II, ainda

pouco conhecida por onde passamos.

Perspectivas futuras

Ao considerar os resultados desta investigação, podemos enveredar numa

pesquisa que trate de uma proposta de formação para professores que se utilizem da

construção de aplicativos para o ensino de conteúdos matemáticos. As contribuições

da Gênese Instrumental serão de grande valia para tal processo de formação, no

entanto poderemos agregar alguma outra teoria complementar que lide diretamente

com a formação de docentes, as a instrumentação é indispensável.

Como reconhecemos o potencial da plataforma para outros conteúdos

matemáticos e não matemáticos, poderemos desenvolver pesquisas com outros

conteúdos matemáticos diferentes da geometria, mais próximos da álgebra, e até

identificar os limites algébricos das ferramentas disponíveis.

Outra possibilidade seria o estudo da implantação de uma proposta

curricular voltada para o uso de tecnologias nas escolas da região do Médio Sertão

Maranhense, baseadas nos resultados da nossa pesquisa.

Paralelamente, caberão investigações sobre outras ferramentas de

construção de aplicativos simples que não beirem a programação computacional

formal.

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APÊNDICE A- Termo de consentimento do estudante


APÊNDICE B- Termo de consentimento do professor


APÊNDICE C- Questionário do aluno

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIASSOCIAIS E EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA PROGRAMA DE MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

Prezado(a) aluno (a), estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-aprendizagem da Matemática. Para o êxito deste trabalho necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.

QUESTIONÁRIO 1- (ALUNOS DO 3º ANO)

1- Idade: _______anos. 2- Gênero: □ Masculino. □ Feminino. □ Outro. 3- Série/Ano: □ 1º ano. □ 2º ano. □ 3º ano. 4- Rede de ensino em que estuda? □Municipal. □Estadual. □Federal. □Particular. □Outra. 5-Você já reprovou em matemática? □ Sim. □ Não. 5.1- Você já ficou reprovado (a) em alguma matéria de um dos blocos abaixo? (poderá

marcar mais de uma) □ Química, Física ou Biologia. □ História, filosofia ou sociologia. □ Língua portuguesa, estrangeira ou arte. 6- Com relação a disciplina de matemática: □ Não gosto. □Suporto. □Gosto. □Adoro. 7- Quem é seu responsável masculino? □Pai. □Avô. □ Tio. □Irmão. □Outro. □Não tenho. 7.1- Qual a escolaridade do seu responsável masculino? □Superior. □Médio. □Fundamental. □Fundamental incompleto. □Não estudou. 7.2- Seu responsável desenvolve atualmente alguma atividade remunerada? □ Sim. □ Não. 8- Quem é sua responsável feminina? □Mãe. □Avó. □ Tia. □Irmã. □Outra. □Não tenho. 8.1 - Qual a escolaridade da sua responsável feminina? □Superior. □Médio. □Fundamental. □Fundamental incompleto. □Não estudou. 8.2- Sua responsável desenvolve atualmente alguma atividade remunerada? □ Sim. □ Não. 9- Você já desenvolveu alguma atividade remunerada? □ Sim, trabalho atualmente. □ Sim, hoje não mais. □ Estágio. □ Não. 10-Quem lhe ajuda nas tarefas de matemática? □Professor particular. □Família. □ Amigos. □Outros. □Ninguém. 11- Com que frequência você estuda matemática fora da escola? □Todo dia. □ Somente nos finais de semana. □No período de prova (considerar até cinco dias). □Só na véspera da prova (considerar somente um dia antes). □Não estudo fora da escola. 12- Você consegue entender as explicações dadas nas aulas de matemática? □Sempre. □Quase sempre. □Às vezes. □Poucas vezes. □Nunca. 13- Quais formas de atividades e/ou trabalhos o seu Professor (a) de matemática mais utiliza para a avaliação da aprendizagem? □ Provas com questões abertas (subjetivas). □ Provas com questões de múltipla escolha. □ Provas com questões mistas (subjetivas e de múltipla escolha). □ Pesquisas. □ Projetos. □ Seminários. □ Experimentos. □ Outros. 14- Como você se sente quando está diante de uma avaliação em matemática? □ Contente. □ Tranquilo. □ Com medo. □ Preocupado. □ Com raiva. □ Com calafrios. 15- As aulas de Matemática despertam sua atenção de maneira que o (a) motive a estudar? □Sim. □Não. □ Às vezes. 16- Você consegue relacionar os conteúdos matemáticos ensinados em sala de aula com seu dia a dia? □ Sim. □ Não. □ Às vezes.


17- Seu professor de matemática demonstra domínio do conteúdo? □ Sim. □ Não. 18- Como você avalia as explicações do seu professor de matemática? □ Ruim. □ Regular. □ Suficiente. □ Boa. □ Excelente. 19- Você já estudou Pirâmides? □ Sim. □ Não. 19.1- Se já estudou sobre pirâmides, favor informe a série. □Ensino fundamental. □ 1º ano. □ 2º ano. □ 3º ano. 20- Para iniciar um novo conteúdo, seu professor de matemática, na maioria das aulas inicia: □ Com uma situação problema para depois introduzir o assunto. □ Com a história do assunto para depois explorar os conceitos. □ Pela definição seguida de exemplos e exercícios. □ Com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo. □ Com jogos para depois sistematizar os conceitos. □ Com um experimento para chegar ao conceito. 21- Para praticar o conteúdo de pirâmides seu professor costuma (ava): □ Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos. □ Apresentar jogos envolvendo o assunto. □ Solicitar que os alunos resolvessem os exercícios do livro didático. □ Solicitava que os alunos procurassem questões sobre o assunto para resolver. □ Não propõe questões de fixação. 22- Seu professor já lhe permitiu fazer auto avaliação sobre os conteúdos estudados? □ Sim. □ Não. □ Não sei responder. 23- Com que frequência seu professor faz uso de tecnologias digitais na aulas? □ Nunca. □ Raramente. □ Ocasionalmente. □ Quase sempre. □ Sempre. □ Oferta de minicursos com atividades complementares. 24- Você costuma fazer uso de quais tecnologias digitais no seu dia-a-dia (poderá marcar mais de uma): □Não costumo utilizar. □ Computador (notebook). □ Celular, tablet ou similares. □ Calculadora. □ Outro (a). 24.1- Possui tablet ou celular? □ Sim. □ Não. 24.2- Possui computador de mesa (notebook)? □ Sim. □ Não. 24.3 – Possui internet em casa? □ Sim. □ Não. 24.4 – Tem acesso à internet na escola? □ Sim. □ Não. 25- Com relação à utilização do celular na sala de aula, assinale a alternativa que mais se aproxima da sua realidade: □ Há alguma proibição do professor ou da escola quanto a utilização na resolução de atividades. □ Há consenso entre alunos e professores para a não utilização. □ O professor já propôs atividades que tinham como estratégia o uso de celular. □ O professor já propôs atividades que tinham como estratégia o uso de computadores, mas não celular. □ A utilização de tecnologias digitais (computadores, celulares, dentre outros) não faz parte das discussões em sala de aula. 26- Quanto tempo, em média, você faz uso do celular quando se encontra fora da sala de aula? □ Não utilizo. □ 0 a 2 horas. □ 2 a 4 horas. □ 4 a 6 horas. □ Mais de 6 horas. □ Não tenho noção, pois utilizo a todo instante. 27- Tem conhecimento básico de programação? □ Sim □ Não. caso tenha, quais?________________ 28- Você conhece o App Inventor 2? □ Sim □ Não 29- Você já fez uso de algum aplicativo de celular? □ Sim □ Não, quais?________________ 30- Que nota, você daria, a uma aula com a utilização de aplicativos de celulares? □ 0 a 2 □ 2 a 4 □ 4 a 6 □ 6 a 8 □ 8 a 10


APÊNDICE D- Questionário de afinidade com o conteúdo Pirâmides

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIASSOCIAIS E EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA PROGRAMA DE MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

Prezado(a) aluno (a), estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-aprendizagem da Matemática. Para o êxito deste trabalho necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.

QUESTIONÁRIO 2- (ALUNOS DO 3º ANO)

Com base na sua experiência quando você estudou pirâmides preencha o quadro a seguir.

(MF: Muito Fácil; F: Fácil; R: Regular; D: Difícil; MD: Muito difícil)

Conteúdo Não

estudei

Qual grau de dificuldade que você teve para

aprender?

MF F R D MD

Ideia de pirâmide ilimitada.

Definição de pirâmide.

Aresta da pirâmide.

Faces da pirâmide.

Vértice da pirâmide.

Altura da pirâmide.

Relação entre o número de arestas, faces e vértices. (V+F=A+2).

Ideia de superfície lateral de uma pirâmide qualquer.

Ideia da superfície total de uma pirâmide qualquer.

Classificação das pirâmides quanto a base.

Ideia de Pirâmide regular.

Ideia do apótema de uma pirâmide regular à altura de uma face lateral.

Ideia do apótema da base de uma pirâmide regular.

Ideia de tetraedro.

Ideia de tetraedro regular.

Ideia de secção paralela à base de uma pirâmide reta.

Princípio de Cavalieri.

Equivalência de tetraedros.

Decomposição de um prisma triangular em pirâmides.

Ideia de Pirâmide reta.

Ideia de Pirâmide oblíqua.

Planificação de uma pirâmide qualquer.

Cálculo da altura de uma pirâmide reta.

Cálculo da altura de uma pirâmide qualquer.

Cálculo do apótema lateral de uma pirâmide regular.

Cálculo do apótema lateral de uma pirâmide qualquer.


Cálculo do apótema da base de uma pirâmide regular, dado o lado de base.

Cálculo do raio de uma circunferência que circunscreve a base de uma pirâmide regular, conhecendo o lado da base.

Cálculo da diagonal de uma circunferência que circunscreve a base de uma pirâmide regular, conhecendo o apótema da base.

Cálculo da área da face lateral da pirâmide reta.

Cálculo da área da face lateral de uma pirâmide qualquer.

Cálculo da área da base da pirâmide regular com medidas de números inteiros.

Cálculo da área da base da pirâmide qualquer.

Cálculo da área lateral de uma pirâmide regular.

Cálculo da área lateral de uma pirâmide qualquer.

Cálculo da área total de uma pirâmide regular.

Cálculo da área total de uma pirâmide qualquer.

Cálculo da área total de uma pirâmide qualquer quando suas medidas forem números decimais.

Cálculo da área total de uma pirâmide qualquer quando suas medidas forem números reais (especificamente com raízes).

Cálculo do volume de uma pirâmide regular.

Cálculo do volume de uma pirâmide qualquer.

Cálculo do volume de uma pirâmide qualquer a partir de uma imagem dada.

Cálculo do volume de uma pirâmide qualquer conhecendo apenas as medidas e não dada uma imagem.

Cálculo do volume de uma pirâmide qualquer quando suas medidas forem números decimais.

Cálculo do volume de uma pirâmide qualquer quando suas medidas forem números reais (especificamente com raízes).

Cálculo do volume de uma pirâmide regular conhecendo apenas a aresta lateral e a aresta da base.

Resolução de problemas envolvendo pirâmides em que uma imagem é dada.

Resolução de problemas envolvendo pirâmides em que uma imagem não é dada, apenas medidas.

Resolução de problemas envolvendo pirâmides com dimensões inteiras.

Resolução de problemas envolvendo pirâmides com dimensões decimais.

Resolução de problemas envolvendo pirâmides com dimensões em que aparecem raízes.

Resolução de problemas envolvendo pirâmides que solicite medidas de capacidade.

Resolução de problemas envolvendo pirâmides que requeira leitura e interpretação de texto.

De já, agradecemos sua pré-disposição em contribuir com a nossa pesquisa. Muito Obrigado!


APÊNDICE E- Relatório do curso de nivelamento



APÊNDICE F- Avaliação do curso de nivelamento


APÊNDICE G- Tabulação de dados questionário aluno

Perfil da amostra – Quem foram os discentes consultados

Distribuição dos alunos do 3º ano por gênero

Gênero Quant. %

Feminino 116 59,5 Masculino 79 40,5 Outro 0 0,0

Total 195 100,0 Fonte: Consulta a discentes (2017-2018)

Distribuição de alunos por faixa etária

Idade Quant. %

15 2 1,03 16 47 24,10 17 106 54,36 18 24 12,31 19 10 5,13 20 3 1,54 21 2 1,03 22 1 0,51

Total 195 100,0 Fonte: Consulta a discentes (2017- 2018)

Percentual de alunos reprovados em alguma disciplina


Afinidade com a matemática segundo discentes

Afinidade Quant. %

Não gosto 34 17,4 Suporto 43 22,0 Gosto 103 52,9 Adoro 15 7,7

Total 195 100,0 Fonte: Consulta a discentes (2017- 2018)

Nível de formação escolar dos responsáveis dos alunos


Nível de escolaridade Resp. Masculino Resp. Feminino

Quant. % Quant. %

Não estudou 13 6,7 6 3,1 E. Fund. Incompleto 47 24,1 33 16,9 E. Fundamental 57 29,2 31 15,9 E. Médio 47 24,1 76 39,0 Ensino Superior 15 7,7 46 23,6 Não Sabe/Não tem 16 8,2 3 1,5

Total 195 100,0 195 100,0 Fonte: Consulta a discentes (2017- 2018)

Tempo de dedicação ao estudo de matemática fora da sala de aula


Compreensão das explicações do professor


Principais formas de avaliação segundo discentes

Tipo de avaliação Quant. %

Provas com questões múltipla escolha 76 39,0 Provas com questões abertas 37 19,0 Provas com questões mistas 48 24,6 Seminários 0 0,0 Pesquisas 16 8,2 Experimentos 0 0,0 Outras 18 9,2



Estado emocional dos estudantes no momento da avaliação


Relaciona a matemática com o cotidiano

Opinião Quant. %

Sim 52 26,7 Não 32 16,4 As vezes 111 56,9


Opinião dos alunos sobre a atenção nas aulas de matemática

Opinião Quant. %

Sim 63 32,3 Não 20 10,3 As vezes 112 57,4


Percentual de alunos que afirmaram já ter estudado Pirâmides


Série/ano em que estudou Pirâmides

Série/ano Quant. %

Ens. fundamental 13 6,7 1º ano 16 8,2 2º ano 93 47,7 3º ano 38 19,5 Não lembram 35 17,9



O professor inicia um novo conteúdo com a abordagem

Abordagem Quant. %

Pela definição seguida de exemplos e exercícios. 142 72,8 Pela história do assunto para depois explorar os conceitos. 20 10,3 Por uma situação problema para depois introduzir o assunto. 28 14,3 Por um modelo para situação seguida de sua análise. 5 2,6 Por meio de jogos para depois sistematizar os conceitos. 0 0,0 Por meio de um experimento para chegar ao conceito. 0 0,0


Para praticar o conteúdo costuma-se

Abordagem Quant. %

Resolver a lista de exercícios propostos 82 42,1 Resolver atividades propostas nos livros didáticos 95 48,6 Participar de atividades com jogos 5 2,6 Pesquisar e responder questões de outras fontes 0 0,0 Outras formas 13 6,7 Não são propostas atividades de fixação 0 0,0


Os discentes a as tecnologias

Utilização de tecnologias nas aulas de matemática segundo discentes em percentual


Percentual de alunos que puderam se auto avaliar



Recursos tecnológicos mais utilizados pelos discentes


Percentual de discentes que possuem celular ou tablet


Percentual de discentes que possuem computador ou notebook


Local de acesso à internet localizadas em zona urbana no Brasil

Local %

Sala do(a) coordenador(a) pedagógico(a) ou do(a) diretor(a) 99,0

Sala dos professores ou sala de reunião 93,0

Laboratório de informática 45,0

Sala de aula 82,0

Biblioteca ou sala de estudos para os alunos 69,0 Fonte: BRASIL (2017b)


Percentual de alunos que possuem internet em casa


Percentual de alunos que tem acesso à internet na escola


Utilização do celular em sala de aula nas aulas de matemática

Abordagem Quant. %

Há proibição da escola/professor quanto sua utilização na resolução de atividades

108 55,4

Há consenso entre aluno e professore para a não utilização.

39 20,0

O professor já propôs atividades que tinham como estratégia o uso de celular.

11 5,6

Já propus atividades que tinham como estratégia o uso de computadores, mas não celular.

0 0,0

A utilização de tecnologias digitais (computadores, celulares, dentre outros) não faz parte das discussões em sala de aula.

37 19,0



Tempo médio de utilização do celular fora de sala de aula

Intervalo Quant. %

Não utilizo 0 0,0 0 a 2 horas 24 13,4 2 a 4 horas 23 12,9 4 a 6 horas 13 7,3 Mais de 6 horas 33 18,4 Não tenho noção 86 48,0


Percentual de alunos que possuem noção de programação


Percentual de alunos que conhecem o App Inventor 2


Percentual de alunos que já fizeram uso de algum aplicativo



Nota atribuída a perspectiva de aulas com aplicativos celulares

Intervalo Quant. %

0 a 2 0 0,0

2 a 4 2 1,1

4 a 6 11 5,6

6 a 8 34 17,4

8 a 10 148 75,9


Nível de dificuldades dos discentes na aprendizagem de assuntos relacionados

a Pirâmides

Grau de dificuldade de aprendizagem de Pirâmides na opinião dos discentes

Conteúdo Não

Estudei Grau de dificuldade (%)

MF* F* R* D* MD*

Ideia de Pirâmide ilimitada. 59,4 1,6 3,6 22,4 8,9 4,1

Definição de Pirâmide. 19,0 7,7 24,6 37,4 9,7 1,5

Aresta da Pirâmide. 18,9 9,2 28,1 32,1 8,6 3,1

Faces da Pirâmide. 15,8 9,2 32,1 29,1 11,7 2,0

Vértice da Pirâmide. 15,5 8,8 25,8 34,0 14,4 1,5

Altura da Pirâmide. 17,4 7,2 27,7 34,9 12,3 0,5

Relação entre o número de arestas, faces e vértices. (V+F=A+2).

24,0 13,8 18,9 26,5 14,3 2,5

Ideia de superfície lateral de uma Pirâmide qualquer.

31,1 1,0 8,2 29,6 25,0 5,1

Ideia da superfície total de uma Pirâmide qualquer.

32,0 1,0 9,8 24,7 26,8 5,7

Classificação das Pirâmides quanto a base.

35,7 2,6 14,8 27,0 18,4 1,5

Ideia de Pirâmide regular. 36,4 1,5 9,2 27,7 22,1 3,1

Ideia do apótema de uma Pirâmide regular à altura de uma face lateral.

34,4 2,6 5,6 22,1 23,1 12,2

Ideia do apótema da base de uma Pirâmide regular.

37,4 1,5 5,6 23,6 21,0 10,8

Ideia de tetraedro. 42,6 2,1 7,7 16,9 21,0 9,7

Ideia de tetraedro regular. 48,0 1,0 5,6 18,4 20,9 6,1

Ideia de secção paralela à base de uma Pirâmide reta

43,9 2,6 5,1 16,3 17,3 14,8

Princípio de Cavalieri 45,1 1,6 8,8 18,7 15,0 10,8

Equivalência de tetraedros. 59,3 0,5 5,2 12,4 14,4 8,2

Decomposição de um prisma triangular em Pirâmides.

47,7 2,6 7,2 20,4 15,9 6,1

Ideia de Pirâmide reta. 35,2 3,1 10,7 29,6 16,3 5,1

Ideia de Pirâmide oblíqua. 42,9 3,1 5,1 20,4 21,4 7,1

Planificação de uma Pirâmide qualquer. 43,6 2,6 8,7 25,6 14,4 5,1


Cálculo da altura de uma Pirâmide reta. 26,5 3,6 12,2 36,7 16,3 4,6

Cálculo da altura de uma Pirâmide qualquer.

28,6 2,6 14,2 19,4 6,6 18,6

Cálculo do apótema lateral de uma Pirâmide regular.

38,8 1,5 7,7 23 21,4 7,6

Cálculo do apótema lateral de uma Pirâmide qualquer.

43,6 2,6 9,2 17,9 19,5 7,2

Cálculo do apótema da base de uma Pirâmide regular, dado o lado de base.

41,8 2,0 7,7 18,9 19,4 10,2

Cálculo do raio de uma circunferência que circunscreve a base de uma Pirâmide regular, conhecendo o lado da base.

31,1 2,6 11,7 21,9 23,0 9,7

Cálculo da diagonal de uma circunferência que circunscreve a base de uma Pirâmide regular, conhecendo o apótema da base.

43,9 3,6 5,6 20,9 16,3 9,7

Cálculo da área da face lateral da Pirâmide reta.

27,2 7,6 12,3 30,3 15,9 6,7

Cálculo da área da face lateral de uma Pirâmide qualquer.

30,1 6,6 10,2 30,6 16,3 6,1

Cálculo da área da base da Pirâmide regular com medidas de números inteiros.

36,7 6,1 12,2 24,0 13,8 7,1

Cálculo da área da base da Pirâmide qualquer.

26,2 6,7 14,4 35,8 12,8 4,1

Cálculo da área lateral de uma Pirâmide regular.

28,2 6,2 13,8 32,8 12,8 6,2

Cálculo da área lateral de uma Pirâmide qualquer.

30,8 4,6 13,3 30,8 15,4 5,1

Cálculo da área total de uma Pirâmide regular.

28,0 6,6 12,1 32,4 15,4 5,5

Cálculo da área total de uma Pirâmide qualquer.

31,6 6,2 10,4 26,4 16,6 8,8

Cálculo da área total de uma Pirâmide qualquer quando suas medidas forem números decimais.

44,1 2,6 9,7 18,5 15,4 9,7

Cálculo da área total de uma Pirâmide qualquer quando suas medidas forem números reais (especificamente com raízes).

40,8 4,1 8,2 22,4 12,8 11,7

Cálculo do volume de uma Pirâmide regular.

28,1 3,1 14,8 30,6 16,8 6,6

Cálculo do volume de uma Pirâmide qualquer.

29,1 4,6 9,7 31,1 19,4 6,1

Cálculo do volume de uma Pirâmide qualquer a partir de uma imagem dada.

32,1 5,6 10,7 16,5 27,9 7,1


Cálculo do volume de uma Pirâmide qualquer conhecendo apenas as medidas e não dada uma imagem.

38,3 3,6 7,1 28,6 17,3 5,1

Cálculo do volume de uma Pirâmide qualquer quando suas medidas forem números decimais.

43,9 3,6 6,1 21,9 18,4 6,1

Cálculo do volume de uma Pirâmide qualquer quando suas medidas forem números reais (especificamente com raízes).

41,5 1,5 6,2 21,5 20,0 9,2

Cálculo do volume de uma Pirâmide regular conhecendo apenas a aresta lateral e a aresta da base.

34,2 1,5 11,2 30,1 16,8 6,1

Resolução de problemas envolvendo Pirâmides em que uma imagem é dada.

34,7 2,6 8,7 25,0 23,4 5,6

Resolução de problemas envolvendo Pirâmides em que uma imagem não é dada, apenas medidas.

41,3 3,6 7,7 19,4 18,3 9,7

Resolução de problemas envolvendo Pirâmides com dimensões inteiras.

43,6 3,1 7,2 19,4 20,0 6,7

Resolução de problemas envolvendo Pirâmides com dimensões decimais.

51,0 3,1 6,1 15,3 15,8 8,7

Resolução de problemas envolvendo Pirâmides com dimensões em que aparecem raízes.

47,2 2,1 4,1 14,8 23,6 8,2

Resolução de problemas envolvendo Pirâmides que solicite medidas de capacidade.

50,0 1,5 5,1 16,3 18,4 8,7

Resolução de problemas envolvendo Pirâmides que requeira leitura e interpretação de texto.

40,8 3,6 9,2 17,8 18,9 9,7

Média Aritmética 36,1 3,8 11,2 24,6 17,1 7,2 Fonte: Consulta a discentes (2017- 2018)

*MF- Muito fácil; *F- Fácil; *R- Regular; *D- Difícil; *MD- Muito difícil;


APÊNDICE H- Texto de atividade introdutória

Os templos maias

[Os templos maias] eram espaços pequenos, localizados no topo das Pirâmides,

onde os reis realizavam alguns rituais. O templo era frequentado pelo rei, pela família real e

por alguns súditos. As Pirâmides maias eram fruto do grande conhecimento de Matemática e

arquitetura desse povo. Elas eram dedicadas aos deuses e não serviam como residência.

Uma mesma cidade podia ter até dez Pirâmides, dependendo da área ocupada. [...] Em El

Castillo no México, um detalhe arquitetônico homenageia o deus Kukulcán, uma serpente com

plumas. A construção da Pirâmide foi feita de maneira que, nos dois equinócios do ano (datas

em que o dia e a noite têm exatamente 12 horas de duração cada), os raios de Sol projetam

a sombra de uma serpente nas laterais da escadaria.

Extraído do site: <http://mundoestranho.abril.com.br/materia/como-eram-os-templos-maias>. Acesso

em: 12 nov. 2014

Fonte: FTD (2015)

A Pirâmide de Kukulcán e seu templo podem ser representados por dois sólidos

geométricos sobrepostos, você sabe quais são? Quais as diferenças entre esses sólidos?

Suas características? Você conhece outros tipos de sólidos? Outras Pirâmides? Existem

projetos arquitetônicos recentes na forma de Pirâmides, quais?

Supondo que existam grandes estruturas arquitetônicas atuais, em vidro. Como

calcular a quantidade de materiais gastos na construção? Suponha que existam grandes

depósitos no formato piramidal, como calcular a capacidade volumétrica desses depósitos?


APÊNDICE I- Autorização de divulgação do nome da escola


APÊNDICE J- Jogo Baralho Geométrico






ANEXO A- Moldes Pirâmides

Pirâmidetrangular regular

Pirâmide de base quadrada

Pirâmide pentagonal regular


Pirâmide hexagonal regular

Tetraedro

Octaedro

Documents

Renato Darcio Noleto Silva...SILVA, R. D. N. Ensino de Pirâmides na construção de aplicativos para smartphones 2 Renato Darcio Noleto Silva Ensino de Pirâmides na construção