palavras-chave

Operador de Wiener-Hopf-Hankel, função quase periódica, função contínua por troços, invertibilidade, propriedade de Fredholm.

resumo

Algumas aplicações da Física-Matemática, nomeadamente problemas de difracção de ondas electromagnéticas, podem-se traduzir por sistemas deequações integrais caracterizadas por operadores de Wiener-Hopf-Hankel. Nesta tese, são analisados estes operadores com dois tipos específicos desímbolos de Fourier: quase periódicos e contínuos por troços. Relativamente aos operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos de Fourier quase periódicos, são descritos alguns avanços alcançadosrecentemente e que fornecem critérios de invertibilidade e de descrição dapropriedade de Fredholm destes operadores actuando em espaços de Lebesgue. Associados, também, a problemas de difracção de ondas electromagnéticassurgem operadores de Wiener-Hopf-Hankel a actuar em espaços de potenciais de Bessel, que no caso particular de os índices de suavidade dos referidosespaços serem nulos, isto é, considerando espaços de Lebesgue, prova-se que é possível reduzir o problema da sua invertibilidade a um problema emgeral mais simples, que é o da verificação se o operador de Toeplitz menos Hankel equivalente é um operador de Fredhom de índice nulo. No caso de os símbolos de Fourier serem funções contínuas por troços obtém-se uma condição suficiente para que sejam operadores de Fredholm e uma fórmula que permite computar o respectivo índice de Fredholm, bem como uma condição necessária e suficiente para que tais operadores sejam operadoresde Fredholm, desde que se verifique uma certa relação de dependência dossímbolos de Fourier.

keywords

Wiener-Hopf-Hankel operator, almost periodic function, piecewise continuous function, invertibility, Fredholm property.

abstract

Some mathematical-physics applications can be translated for systems of integral equations characterized by operators of Wiener-Hopf-Hankel. This is the case of some electromagnetic waves diffraction problems. In this thesis, these operators with two specific types of Fourier symbols are analyzed: almost periodic and piecewise continuous. Relatively to the operators of Wiener-Hopf-Hankel with almost periodic Fourier symbols acting between Lebesgue spaces, some advances, that supply a invertibility and Fredholm property criterion, reached recently are described. Related, also, with some electromagnetic waves diffraction problems appear Wiener-Hopf-Hankel operators acting between Bessel potentials spaces, that in the particular case of the smoothness indices of the related spaces to be null,that is, considering Lebesgue spaces, is proved that it is possible to reduce the problem of its invertibility to a in general simpler problem, that is of the verification if the equivalent Toeplitz minus Hankel operator is a Fredhom operator of null index. In the case of the Fourier symbols to be piecewise continuous functions it was gotten a sufficient condition so that they areFredholm operators and a formula that allows computing the respective Fredholm index, as well as a necessary and sufficient condition so that such operators are Fredholm operators, since that the Fourier symbols verifies a certain relation of depen-dence.

Conteúdo

1 Introdução 6

2 Operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos quase periódicos em es-

paços de Lebesgue 11

2.1 Definições Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Operadores do tipo de convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Operadores de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos AP . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos APW . . . . . . . . . . . . . 34

3 Operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos contínuos por troços em

espaços de potenciais de Bessel 39

3.1 Operadores de Wiener-Hopf-Hankel em espaços de potenciais de Bessel . . . . 393.2 Adições algébricas de operadores de Toeplitz e operadores de Hankel . . . . . . 413.3 Operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos contínuos por troços . . . . 52

4 Conclusão 59

1

Índice

∆-relação após extensão, 22álgebra

C∗, 9de Banach, 9de Wiener, 4

AP-factorizaçãoà direita, 30assimétrica, 24

APW-factorizaçãoà direita, 36anti-simétrica, 36assimétrica, 34

classe de regularidade, 21classe dos multiplicadores de Fourier, 15coeficiente de Fourier, 7

equivalência após extensão, 21espaço

de Hardy, 11de potenciais de Bessel, 17

espectro de Bohr-Fourier, 22expoente conjugado, 13

funçãocontínua por troços, 37quase periódica, 22

imagem, 18indice de Fredholm, 18inverso generalizado, 20involução, 9

média de deslocamento, 23

matrizde Hilbert, 6de Toeplitz, 5de Laurent, 5

núcleo, 18norma

do operador, 11euclidiana, 11

operadorde convolução de Mellin, 40convolução, 14, 17d-normal, 19de Hankel, 39de Toeplitz, 39de Toeplitz mais/menos Hankel, 39equivalente, 21Fredholm, 18Hankel, 6, 16integral singular de Cauchy, 12invertível, 20n-normal, 19normalmente solúvel, 18propriamente d-normal, 18propriamente n-normal, 18semi-Fredholm, 18Wiener-Hopf, 14Wiener-Hopf-Hankel, 17

polinómio quase periódico, 22projector de Riesz, 12propriedade de regularidade, 21

2

3

regularizador, 19

símbolo de Fourier, 14

transformaçãode Mellin, 40

transformadade Fourier, 13de Fourier inversa, 13

valor médio de Bohr, 22

Lista de Símbolos

AP ......................................... 24 L(X, Y )......................................... 14APW ......................................... 35 Lp(X) ......................................... 12AP± ......................................... 25 Lp+(R) ......................................... 12APW± ......................................... 36 L∞e (R) ......................................... 12B ......................................... 50 L∞e (T) ......................................... 47B−1 ......................................... 50 `0 ......................................... 12B0 ......................................... 50 l2 ......................................... 7B−1

0 ......................................... 50 `e ......................................... 12C(T) ......................................... 41 M ......................................... 42C± ......................................... 14 M(φ) ......................................... 24d(A) ......................................... 20 Mp(R) ......................................... 17D ......................................... 13 Mo

φ ......................................... 42f±(τ) ......................................... 41 n(A) ......................................... 20GB ......................................... 24 n(η) ......................................... 42H∞(C±)......................................... 14 N ......................................... 7Hp(C±) ......................................... 14 NR+ ......................................... 42Hp

+(T) ......................................... 13 PC(R) ......................................... 39Hp−(T) ......................................... 14 PCp(R) ......................................... 39

Hp+(T) ......................................... 14 PR ......................................... 14

Hs,p(Ω) ......................................... 19 PT ......................................... 14Hs,p(Ω) ......................................... 19 QR ......................................... 14Hφ ......................................... 18 QT ......................................... 14Im(A) ......................................... 20 R ......................................... 43Ind(A) ......................................... 20 R ......................................... 52J ......................................... 18 r+ ......................................... 12JT ......................................... 41 sgn ......................................... 16JT ......................................... 42 s(η) ......................................... 42k(φ) ......................................... 25 SR ......................................... 14Ker(A) ......................................... 20 SR+ ......................................... 42

4

5

ST ......................................... 14Sp(PCN×N) ......................................... 42T ......................................... 7T+ ......................................... 43Wφ ......................................... 16W oφ ......................................... 16

WHφ ......................................... 19‖ · ‖CN×N ......................................... 13‖ · ‖(C(T))N×N ......................................... 41‖ · ‖Hs,p(Ω) ......................................... 19‖ · ‖

eHs,p(Ω) ......................................... 19‖ · ‖l2 ......................................... 9‖ · ‖L(X,Y ) ......................................... 14‖ · ‖Lp(T) ......................................... 12‖ · ‖L∞(T) ......................................... 12‖ · ‖(Lp(T))N ......................................... 13‖ · ‖(L∞(T))N×N ......................................... 13‖ · ‖Mp(R) ......................................... 17[·]R ......................................... 54ζ ......................................... 39λ± ......................................... 39Ω(φ) ......................................... 24∼ ......................................... 23∗∼ ......................................... 23∗∆ ......................................... 24Υ ......................................... 42

Capítulo 1

Introdução

Com o pretexto de resolver um problema de equilíbrio radioactivo, Nobert Wiener e EberhardHopf apresentaram, em 1931, um método de resolução de equações integrais do tipo

cf(ξ) +

∫ ∞

0

k(ξ − η)f(η)dη = g(ξ), ξ ∈ R+

onde c ∈ C, k ∈ L1(R) e f, g ∈ L2(R+) e nas quais c e k são fixos, g é dado e f é o quese pretende determinar. Desde então e devido à sua grande aplicabilidade em questões daFísica-Matemática, vários autores dedicaram-se ao estudo deste tipo de equações integrais edos operadores que delas resultam, i.e. os operadores de Wiener-Hopf,

Wφf(ξ) = cf(ξ) +

∫ ∞

0

k(ξ − η)f(η)dη, ξ ∈ R+ (1.1)

com φ pertencente à chamada álgebra de Wiener , ou seja φ é tal que admite a representaçãoφ = c+ Fk, onde c ∈ C, k ∈ L1(R) e F denota a transformação de Fourier.

Relacionados com os operadores de Wiener-Hopf estão os operadores de Toeplitz, na medidaem que algumas das propriedades dos primeiros podem ser obtidas por uma reformulação deresultados já conhecidos para os segundos. O aparecimento destes operadores remonta a 1911,quando Otto Toeplitz, no artigo [32], com o intuito de estudar sistemas lineares infinitos daforma

. . . ......

......

... . . .

· · · a0 a−1 a−2 a−3 a−4 · · ·· · · a1 a0 a−1 a−2 a−3 · · ·· · · a2 a1 a0 a−1 a−2 · · ·· · · a3 a2 a1 a0 a−1 · · ·· · · a4 a3 a2 a1 a0 · · ·

. . . ......

......

... . . .

...f−2

f−1

f0

f1

f2

...

=

...g−2

g−1

g0

g1

g2

...

,

eml2(Z) :=

(aj)j∈Z :

∑j∈Z

|aj|2 <∞,

6

7

debruçou-se sobre as matrizes de Laurent

LM =

. . . ......

......

... . . .

· · · a0 a−1 a−2 a−3 a−4 · · ·· · · a1 a0 a−1 a−2 a−3 · · ·· · · a2 a1 a0 a−1 a−2 · · ·· · · a3 a2 a1 a0 a−1 · · ·· · · a4 a3 a2 a1 a0 · · ·

. . . ......

......

... . . .

. (1.2)

Considerando apenas o bloco inferior direito de (1.2) obtêm-se as matrizes de Toeplitz

TM =

a0 a−1 a−2 · · ·a1 a0 a−1 · · ·a2 a1 a0 · · ·...

...... . . .

, (1.3)

que podem ser descritas pela regra ajk = aj−k, onde (aj)j∈Z é uma sucessão de númeroscomplexos.

Neste texto usa-se a notaçãoN := 0, 1, 2, . . ..

Apesar de no artigo [32] Toeplitz tratar essencialmente de matrizes de Laurent, tambémprova que as matrizes de Toeplitz induzem um operador limitado em

l2 = l2(N) :=

(aj)j∈N :∑j∈N

|aj|2 <∞,

se e só se existe uma função essencialmente limitada em

T := z ∈ C : |z| = 1 (1.4)

cuja sucessão de coeficientes de Fourier é a sucessão (aj)j∈Z (e daí que o seu nome tenha sidoatribuído a este tipo de operadores).

Enquanto que as matrizes de Toeplitz se caracterizam por serem constantes nas diagonaisparalelas à diagonal principal, as matrizes introduzidas por Hermann Hankel em 1861 na suatese de doutoramento (e que por isso se denominam por matrizes de Hankel), caracterizam-se por serem matrizes constantes nas diagonais paralelas à diagonal secundária. Assim, asmatrizes de Hankel são da forma

HM =

a0 a1 a2 a3 · · ·a1 a2 a3 a4 · · ·a2 a3 a4 a5 · · ·a3 a4 a5 a6 · · ·...

......

... . . .

; (1.5)

8

logo, as suas entradas são definidas por ajk = aj+k (j, k ∈ N) onde (aj)j∈N é uma sucessão denúmeros complexos. Assim, aos operadores induzidos por este tipo de matrizes infinitas e quepodem ser definidos como se segue

H : l2 −→ l2

(bj)j∈N 7→

(∑k∈N

aj+kbk

)j∈N

, (1.6)

chamam-se operadores Hankel .

Um dos primeiros resultados sobre matrizes de Hankel foi obtido por L. Kronecker, em1881, e estabelece que a série de potências

a(z) =∑j∈N

ajzj

representa uma função racional se e só se a matriz de Hankel HM (que lhe é associada naforma (1.5)) tem imagem com dimensão finita.

Em 1920, as matrizes de Hankel tornam a aparecer num trabalho de H. Hamburger, onde éintroduzido o problema da existência de uma medida positiva µ em R tal que para uma dadasucessão (aj)j∈N de números reais se tem que

aj =

∫Rξjdµ(ξ),

para todo j. Tal é conhecido por problema do momento de Hamburger e o respectivo critériode solubilidade afirma que µ existe se e só se a matriz de Hankel HM é positiva semi-definida.

Como exemplo, considere-se a matriz de Hankel mais conhecida, definida por

ajk =1

j + k + 1, (j, k ∈ N)

e que se denomina por matriz de Hilbert , devido ao facto de, em 1906, David Hilbert terprovado que o operador,

H : l2 −→ l2

(bj)j∈N 7→

(∑k∈N

1

j + k + 1bk

)j∈N

,

induzido por essa matriz ser um operador limitado, isto é, a série

cj =∑k∈N

1

j + k + 1bk

converge para todo j ∈ N e existe uma constante M tal que se verifica a condição

‖c‖l2 ≤M‖b‖l2 ,

9

onde c = (cj)j∈N, b = (bj)j∈N e

‖ · ‖l2 =

(∑j∈N

|aj|2) 1

2

.

Apesar de todo o operador limitado em l2 ser representável por uma matriz infinita, o queHilbert provou para as matrizes com o seu nome nem sempre é verdadeiro, ou seja, nem todamatriz infinita induz um operador limitado em l2. Assim, foi alcançado um importante avançona teoria dos operadores de Hankel quando Z. Nehari demonstrou, em 1957, que

o operador de Hankel (1.6) induzido pela matriz (1.5) é limitado em l2 se e só se existeuma função ψ essencialmente limitada em T tal que para todo j ∈ N

aj = ψj,

onde ψj := 12π

∫ π−π ψ(eiξ)e−ijξdξ (j ∈ Z) são os coeficientes de Fourier de ψ.

Por volta de 1970, o interesse nos operadores de Hankel começou a crescer, em parte devidoaos vários assuntos onde este tipo de operadores ocupam uma posição relevante, nomeadamentena teoria de sistemas lineares, teoria da aproximação, teoria da predição e outros.

Outra das razões pela qual os operadores de Hankel despertaram o interesse de váriosautores, prende-se com a sua relação com os operadores de Toeplitz. Tal como com os oper-adores de Wiener-Hopf, alguns autores conseguiram tirar partido de resultados conhecidos ede técnicas desenvolvidas para os operadores de Toeplitz, por forma a obter progressos paraos operadores de Hankel, destacando-se neste ponto o trabalho de S. C. Power que para alémde estudar a álgebra C∗ gerada por operadores de Hankel e operadores de Toeplitz em [25],também se debruçou sobre a análise espectral dos operadores de Hankel em [24], bem comona interacção de operadores de Wiener-Hopf e operadores de Hankel em [26] e [27].

Posteriormente, vários foram os autores que estudaram os operadores resultantes da adiçãoalgébrica de operadores de Wiener-Hopf (Toeplitz) com os operadores de Hankel (ver [2], [4],[11], [17], [21], [22], [31]). Em grande parte, o crescente interesse despertado, por volta de 1990,neste tipo de operadores e em particular nos operadores de Wiener-Hopf-Hankel (operadoresque resultam da adição de um operador de Wiener-Hopf com um operador de Hankel) está rela-cionado com a sua aplicabilidade a problemas concretos da Física-Matemática, nomeadamenteem problemas de difracção de ondas electromagnéticas que podem ser reduzidos a sistemas deequações integrais caracterizadas por este tipo de operadores (ver [10], [12], [19], [20]).

Após esta contextualização histórica da evolução dos operadores de Wiener-Hopf, oper-adores de Toeplitz e dos operadores de Wiener-Hopf-Hankel, sendo os últimos o objecto centralda presente dissertação, passa-se à descrição dos objectivos desta sem deixar de salientar queas definições rigorosas de algumas das entidades matemáticas que são referidas, nesta intro-dução, encontram-se nas secções 2.1, 2.2 e 2.3 pretendendo-se que estas sejam o repositóriodos conceitos necessários à compreensão das restantes.

10

De salientar que no caso dos operadores de Wiener-Hopf-Hankel com o símbolo de Fourierpertencente às classes das funções contínuas, das funções contínuas por troços ou das funçõespares, a sua teoria está perfeitamente estabelecida, mas o mesmo não se passa, por exemplo, naclasse das funções quase periódicas (AP ), ou na subclasse APW de AP . Assim, considerandooperadores de Wiener-Hopf-Hankel a actuar em espaços de Lebesgue com índice de integrabil-idade 2, nas secções 2.4 e 2.5 descrevem-se os resultados recentemente obtidos, em [22] e [21],para as classes AP e APW , respectivamente.

Para resolver alguns problemas de difracção de ondas electromagnéticas, houve a necessi-dade de se considerar operadores de Wiener-Hopf-Hankel a actuar em espaços de potenciais deBessel (ver [7], [10], [11], [12]). Com as mesmas motivações consideram-se, no Capítulo 2, op-eradores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos contínuos por troços em espaços de potenciaisde Bessel e obtém-se uma condição suficiente para o operador ser um operador de Fredholm,usando a noção de ∆-relação após extensão introduzida em [9]. Utilizando resultados de [16]relativos a operadores de Toeplitz mais Hankel, incluídos na secção 3.2, já se consegue obteruma condição necessária e suficiente para que o operador de Wiener-Hopf-Hankel, com sím-bolos contínuos por troços em espaços de potenciais de Bessel, seja um operador de Fredholm,num caso particular em que os símbolos do operador de Wiener-Hopf e do operador de Hankelexibem uma determinada relação de dependência, que não é mais que a igualdade dos referidossímbolos quando os índices de suavidade, dos espaços de potencias de Bessel, são nulos, ouseja quando o operador de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos contínuos por troços actua entreespaços de Lebesgue.

Capítulo 2

Operadores de Wiener-Hopf-Hankel com

símbolos quase periódicos em espaços de

Lebesgue

2.1 Definições Básicas

Uma álgebra de Banach consiste num espaço de Banach A, munido de uma operação demultiplicação,

A×A −→ A

(f, g) 7−→ fg,

associativa, distributiva e que satisfaz a seguinte condição, para todo f, g ∈ A :

‖fg‖A ≤ ‖f‖A‖g‖A.

A uma álgebra de Banach A com uma involução, i.e. com uma aplicação

.∗ : A −→ A

f 7−→ f ∗

que satisfaz as seguintes condições, para todo f, g ∈ A, α ∈ C :

(i) (αf + g)∗ = αf ∗ + g∗

(ii) (fg)∗ = g∗f ∗

(iii) (f ∗)∗ = f,

chama-se álgebra C∗ se ‖ff ∗‖A = ‖f‖2A, para todo f ∈ A.

11

12

Seja 1 ≤ p ≤ ∞, ∅ 6= X ⊆ R e (X,Σ, µ) um espaço de Lebesgue que será identificadoapenas por X, Lp(X) representa o espaço de Banach de funções complexas mensuráveis emX, tal que a norma ‖f‖Lp(X) é finita, com

‖f‖Lp(X) =

(∫X

|f(ξ)|pdξ) 1

p

, se 1 ≤ p <∞

e

‖f‖L∞(X) = ess supξ∈X

|f(ξ)|, se p = ∞.

Em particular, L2(X) munido com o produto interno definido por

< f(ξ), g(ξ) > =

∫X

f(ξ)g(ξ)dξ

é um espaço de Hilbert, enquanto que o espaço L∞(X), das chamadas funções essencialmentelimitadas, munido com a respectiva norma, com as operações algébricas usuais entre funçõese com a involução definida pela passagem ao complexo conjugado é uma álgebra C∗.

Denota-se por Lp+(R)o subespaço de Lp(R) constituído pelas funções com suporte contidono fecho de R+ e por L∞e (R) o subespaço de L∞(R) das funções pares, ou seja,

Lp+(R) = f ∈ Lp(R) : supp(f) ⊂ R+,

L∞e (R) = f ∈ L∞(R) : f(−ξ) = f(ξ), ξ ∈ R.

Ir-se-á usar frequentemente o operador `0de extensão por zero

`0 : Lp(R+) −→ Lp+(R),

o operador `e de extensão par`e : Lp(R+) −→ Lp(R)

e o operador r+ de restrição à semi-recta positiva

r+ : Lp(R) −→ Lp(R+).

Para 1 ≤ p <∞, Lp(T) representa o espaço de Banach das funções complexas de domínioT (cf.(1.4)) e mensuráveis à Lebesgue cuja norma definida por

‖f‖Lp(T) =( 1

2π

∫ π

−π|f(eiθ)|pdθ

)1/p

é finita, enquanto que L∞(T) denota a álgebra C∗ das funções complexas definidas em T emensuráveis à Lebesgue cuja norma

‖f‖L∞(T) = ess supτ∈T

|f(τ)|

13

também é finita.

Dado um espaço vectorial K arbitrário, KN denotará o espaço de vectores com N entradasem K e KN×N o espaço vectorial das matrizes N ×N igualmente com entradas em K.

O operador identidade será denotado por IK ou somente por I caso seja claro, pelo contexto,qual é o espaço vectorial associado e a matriz identidade em KN×N por IN .

No caso de K = C, considera-se CN munido da norma euclidiana e CN×N da norma

‖A‖CN×N = max‖ξ‖=1

‖Aξ‖CN ,

usualmente conhecida como norma do operador .Assim,

(Lp(T)

)N representa o espaço de Banach das funções mensuráveis à Lebesgue

f : T −→ CN

tal que a norma

‖f‖(Lp(T))N =

(1

2π

∫ π

−π‖f(eiθ)‖pCNdθ

)1/p

é finita e (L∞(T))N×N a álgebra de Banach de funções essencialmente limitadas e mensuráveisà Lebesgue

f : T −→ CN×N

tal que é finita a seguinte norma

‖f‖(L∞(T))N×N = ess supτ∈T

‖f(τ)‖CN×N.

Os espaços Hp+(T), em que 1 ≤ p ≤ ∞, conhecidos como espaços de Hardy , são constituídos

pelas funções f, analíticas em D = z ∈ C : |z| < 1, tais que é finita a norma

‖f‖Hp+(T) = sup‖fr‖p : 0 ≤ r < 1

onde‖fr‖p =

( 1

2π

∫ π

−π|f(reiθ)|pdθ

)1/p

se 1 ≤ p <∞

e‖fr‖∞ = ess sup

θ|f(reiθ)|.

Equivalentemente, pode-se definir os espaços de Hardy do seguinte modo para 1 ≤ p ≤ ∞

Hp+(T) =

f ∈ Lp(T) : fn = 0, n ∈ Z−

onde fn = 1

2π

∫ π−π f(eiξ)e−inξdξ (n ∈ Z) são os coeficientes de Fourier de f .

14

O espaço das funções f ∈ Lp(T) cujos coeficientes de Fourier, f(n), são nulos para todo ninteiro não negativo denota-se por Hp

−(T) e por Hp+(T) o espaço constituído pelo conjugado

complexo de todas as funções de Hp+(T), i.e.,

Hp−(T) =

f ∈ Lp(T) : fn = 0, n ∈ Z+ ∪ 0

Hp

+(T) =f ∈ Lp(T) : fn = 0, n ∈ Z+

.

O operador integral singular de Cauchy em (Lp(T))N , com 1 < p <∞ definido por

(STf)(τ) =1

πi

∫T

f(η)

η − τdη, τ ∈ T,

onde o integral é encarado no sentido do valor principal de Cauchy, é um operador linear elimitado em (Lp(T))N à custa do qual se definem os projectores de Riesz em T

PT =I + ST

2e QT =

I − ST

2.

Similarmente, define-se o operador integral singular de Cauchy em Lp(R), com 1 < p <∞,

(SRf)(ξ) =1

πi

∫R

f(η)

η − ξdη, ξ ∈ R,

e os projectores de RieszPR =

I + SR

2e QR =

I − SR

2.

Seja C+ = z ∈ C : Imz > 0 e C− = z ∈ C : Imz < 0.Denota-se por H∞(C±) o conjunto das funções limitadas e analíticas em C± e por H∞

± (R)

o conjunto das funções, de L∞(R), que são limite não tangencial de funções em H∞(C±).

Uma função f , analítica em C±, pertence aHp(C±) (0 < p <∞) se for satisfeita a condição

sup±ξ>0

∫R|f(η + iξ)|pdξ <∞.

O conjunto das funções que são limite não tangencial de funções em Hp(C±), denota-se porHp±(R), que no caso de 1 ≤ p <∞ consiste num subespaço fechado de Lp(R).

Seja A : X → Y um operador linear limitado entre os espaços vectoriais normados X e Y .O espaço vectorial, L(X, Y ), dos operadores lineares limitados entre espaços vectoriais

normados é também um espaço vectorial normado com norma definida por

‖A‖L(X,Y ) = sup‖ϕ‖X=1

‖Aϕ‖Y .

Se X = Y escreve-se L(X) em vez de L(X, Y ).

Se X e Y forem espaços de Banach e A ∈ L(X,Y ), denota-se por X∗ o espaço dual de Xe o operador adjunto de A por A∗ ∈ L(Y ∗, X∗).

15

Em particular, o espaço dual de Hp+(T) é o espaço Hq

+(T) onde q é o expoente conjugadode p, ou seja, q é tal que 1

p+ 1

q= 1 (para p, q ∈ (1,∞)).

Se f ∈ L1(R) define-se, respectivamente, a transformada de Fourier e a transformada deFourier inversa como se segue:

Ff(ξ) = f(ξ) =

∫Reiξxf(x)dx (2.1)

F−1f(x) = f (x) =1

2π

∫Re−ixξf(ξ)dξ. (2.2)

Pelo Teorema de Plancherel, pode-se estender os operadores lineares limitados F e F−1 aL2(R), obtendo, tal como em L1(R), operadores lineares limitados neste espaço.

Denota-se por S(R) o espaço das funções teste de decrescimento rápido em R e por S ′(R)

o espaço das distribuições temperadas em R.Dado que o decrescimento rápido de f ∈ S(R) assegura a convergência dos integrais em

(2.1) e (2.2), é possível definir a transformação de Fourier e a sua inversa em S(R) e extendera distribuições, desde que se considere distribuições temperadas. Isto é, para todo φ ∈ S ′(R)

e para todo f ∈ S(R), define-se:

φ(f) = φ(f) e φ(f) = φ(f ),

ou seja, associa-se a cada distribuição temperada a sua transformada de Fourier e a suatransformada de Fourier inversa, que também são distribuições temperadas.

Em ambos os espaços S(R) e S ′(R), a transformação de Fourier e a sua transformaçãoinversa são operadores lineares limitados.

16

2.2 Operadores do tipo de convolução

O operador de convolução em L2(R) define-se por

(k ∗ f)(ξ) =

∫Rk(η − ξ)f(η)dη, ξ ∈ R

e devido à bem conhecida propriedade da transformação de Fourier

(k ∗ f)(ξ) = k(ξ) · f(ξ), ξ ∈ R,

pode-se reescreverk ∗ f = F−1k · Ff.

Por isso, a todo o operador do tipo

W 0φ = F−1φ · F : L2(R) −→ L2(R) (2.3)

chama-se operador de convolução em L2(R), onde φ ∈ L∞(R) se designa por símbolo de Fourierdo operador (2.3).

Assim sendo, note-se que (k ∗ f)(ξ) = (W 0bkf)(ξ), para todo ξ ∈ R.

À restrição do operador de convolução em L2(R), W 0φ , à semi-recta positiva, após considerar

um domínio com elementos de suporte em R+, chama-se operador de Wiener-Hopf em L2,

Wφ = r+W0φ : L2

+(R) −→ L2(R+). (2.4)

Como exemplo de um operador de convolução, destaca-se o operador singular integral deCauchy em R

SR = W 0−sgn,

onde

sgn(ξ) =

−1 se ξ < 0

0 se ξ = 0,

1 se ξ > 0

e como exemplo de operadores de Wiener-Hopf destacam-se o já referido operador (1.1) e ooperador singular integral de Cauchy em R+

(W−sgnf)(ξ) = (SR+f)(ξ) =1

πi

∫ ∞

0

f(η)

η − ξdη, ξ ∈ R. (2.5)

Como se irá observar mais adiante, nomeadamente na Proposição 2.2, os operadores (2.3)e (2.4) são limitados. No entanto, apesar de em diversos contextos ser interessante considerar

17

estes operadores em espaços de Lebesgue com índice de integrabilidade p 6= 2, é necessárioconsiderar uma subclasse dos símbolos de Fourier, definida a seguir, que garanta a limitaçãodos operadores de convolução e de Wiener-Hopf para tais índices de integrabilidade.

Assim, ao conjunto dos símbolos de Fourier φ ∈ L∞(R) tal que o respectivo operador deconvolução,

W 0φ : Lp(R) −→ Lp(R), 1 < p <∞

está bem definido e é limitado em Lp(R) chama-se classe dos multiplicadores de Fourier edenota-se por Mp(R). Munido da norma ‖φ‖Mp = ‖W 0

φ‖L(Lp(R)) e das operações algébricasusuais entre funções, Mp(R) é uma álgebra de Banach.

Por exemplo, uma função pertencente à álgebra de Wiener pertence a Mp(R).

Proposição 2.1 [15] Os operadores

W 0φ = F−1φ · F : Lp(R) −→ Lp(R)

eWφ = r+F−1φ · F : Lp+(R) −→ Lp(R+)

são simultaneamente limitados ou ilimitados e relativamente às respectivas normas e verifica-se que ‖W 0

φ‖L(Lp(R)) = ‖Wφ‖L(Lp+(R),Lp(R+)).

Demonstração: Como para todo f ∈ Lp+(R)

‖Wφf‖Lp(R+) = ‖`0Wφf‖Lp(R) ≤ ‖W 0φf‖Lp(R),

tem-se que ‖Wφ‖L(Lp+(R),Lp(R+)) ≤ ‖W 0φ‖L(Lp(R)).

Por outro lado, para qualquer ε > 0 existe g ∈ Lp(R) tal que supp(g) ⊂ [−d, d] comd ∈ R+, ‖g‖Lp(R) = 1 e ‖W 0

φg‖Lp(R) ≥ ‖W 0φ‖L(Lp(R)) − ε.

Considerando uma nova função (Vcg)(ξ) = g(ξ − c) com c > d, é óbvio que ‖Vcg‖Lp(R) =

‖g‖Lp(R) = 1 e supp(Vcg) ⊂ R+. Donde, tendo em consideração o operador de restrição aointervalo C = [−c,+∞[

rc : Lp(R) −→ Lp(C),

vemlimc→∞

‖rcW 0φg‖Lp(C) = ‖W 0

φg‖Lp(R)

e para um c suficientemente grande, deduz-se que

‖Wφ‖L(Lp+(R),Lp(R+)) ≥ ‖WφVcg‖Lp(R+) = ‖rcW 0φg‖Lp(C) ≥ ‖W 0

φg‖Lp(R) − ε

≥ ‖W 0φ‖L(Lp(R)) − ε− ε = ‖W 0

φ‖L(Lp(R)) − 2ε

o que implica que ‖Wφ‖L(Lp+(R),Lp(R+)) ≥ ‖W 0φ‖L(Lp(R)). 2

18

Proposição 2.2 [15] Se φ ∈ L∞(R) então o operador Wφ é limitado e

‖Wφ‖L(L2+(R),L2(R+)) = ‖φ‖L∞(R).

Demonstração: Usando o Teorema de Plancherel pode-se escrever:

‖W 0φf‖L2(R) = ‖F−1φ · Ff‖L2(R) =

1√2π‖√

2πF−1φ · Ff‖L2(R)

=1√2π‖φ · Ff‖L2(R).

Aplicando a definição de ‖ · ‖L2(R), resulta que para todo f ∈ L2(R)

‖W 0φf‖L2(R) =

1√2π

(∫R| φ(ξ) · Ff(ξ) |2 dξ

) 12

61√2π

(∫R(ess sup|φ(ξ)|)2|Ff(ξ)|2dξ

) 12

= ‖φ‖L∞(R) ·1√2π‖Ff‖L2(R)

donde se concluí, usando novamente o Teorema de Plancherel, que

‖W 0φf‖L2(R) ≤ ‖φ‖L∞(R) · ‖f‖L2(R),

ou seja, ‖W 0φ‖L(L2(R)) ≤ ‖φ‖L∞(R). Logo pela proposição anterior Wφ é limitado.

Se ε > 0 então existe um conjunto mensurável E ⊂ R com medida positiva (não nula) talque |φ(ξ)| ≥ ‖φ‖L∞(R) − ε, para todo ξ ∈ E.

Seja g ∈ L2(R) tal que supp(g) ⊂ E e ‖g‖L2(R) = 1. Se f =√

2πF−1g então ‖f‖L2(R) =

‖g‖L2(R) e

‖W 0φf‖L2(R) =

1√2π‖φ · Ff‖L2(R) = ‖φ · g‖L2(R) =

(∫E

|φ(ξ) · g(ξ)|2d(ξ)) 1

2

≥(∫

E

(‖φ‖L∞(R) − ε)2 · |g(ξ)|2d(ξ)) 1

2

= (‖φ‖L∞(R) − ε) · ‖g‖L2(R) = ‖φ‖L∞(R) − ε,

logo ‖Wφ‖L(L2+(R),L2(R+)) ≥ ‖φ‖L∞(R). 2

Note-se que, das duas proposições anteriores e da definição de Mp(R), se infere queM2(R) = L∞(R).

Ao operadorHφ = WφJ : Lp+(R) −→ Lp(R+)

com 1 < p < ∞, φ ∈ Mp(R) e J o operador de reflexão definido por Jf(ξ) = f(ξ) = f(−ξ),para todo ξ ∈ R, chama-se operador de Hankel em Lp.

19

No caso de φ = c+Fk pertencer à álgebra de Wiener, o operador de Hankel é passível deser reescrito na forma

(Hφf)(ξ) =

∫ ∞

0

k(ξ + η)f(η)dη, ξ ∈ R+.

Ao operadorWφ +Hψ : Lp+(R) −→ Lp(R+),

com φ, ψ ∈ Mp(R), resultante da adição de um operador de Wiener-Hopf com um operadorde Hankel, denomina-se operador de Wiener-Hopf-Hankel em Lp e no caso de φ = ψ denota-sesimplesmente por WHφ.

O espaço de potenciais de Bessel , Hs,p(R) (1 < p < ∞, s ∈ R), é constituído pelasdistribuições temperadas ϕ tais que a sua norma ‖ϕ‖Hs,p(R) é finita, ou seja,

Hs,p(R) = ϕ ∈ S ′(R) : ‖ϕ‖Hs,p(R) = ‖F−1λs · Fϕ‖Lp(R) <∞,

onde λ(ξ) =√

1 + ξ2.

Seja Ω um subconjunto aberto de R. Por Hs,p(Ω) denota-se, naturalmente, os espaços depotenciais de Bessel com índices s ∈ R e 1 < p <∞ definidos sobre Ω:

Hs,p(Ω) = rΩHs,p(R),

onde rΩ denota o operador de restrição a Ω. Adicionalmente, define-se

Hs,p(Ω) = ϕ ∈ Hs,p(R) : supp(ϕ) ⊂ Ω.

A norma de Hs,p(Ω) é a norma induzida por Hs,p(R), enquanto que a norma de Hs,p(Ω) édefinida como a norma do espaço quociente Hs,p(R)/Hs,p(R\Ω), ou seja

‖ϕ‖Hs,p(Ω) = infψ∈ eHs,p(R\Ω)

‖ϕ+ ψ‖Hs,p(R)

Assim, o operadorW 0φ = F−1φ · F : Hs,p(R) −→ Hs,p(R),

com φ ∈Mp(R), designa-se por operador de convolução em Hs,p(R).

Saliente-se que as diversas propriedades dos espaços de potenciais de Bessel podem-seencontrar descritos em [33] e [34], por exemplo.

Proposição 2.3 Seja 1 < p <∞ e s ∈ R. Se φ ∈Mp(R) então o operador

W 0φ : Hs,p(R) −→ Hs,p(R)

é limitado.

20

Demonstração:Seja ϕ ∈ Hs,p(R) então, pela definição de Hs,p(R), F−1λs · Fϕ ∈ Lp(R), logo usando a

definição de ‖ · ‖Hs,p(R) tem-se que

‖W 0φϕ‖Hs,p(R) = ‖F−1λs · FF−1φ · Fϕ‖Lp(R)

= ‖F−1φ · FF−1λs · Fϕ‖Lp(R). (2.6)

Como por hipótese φ ∈Mp(R), resulta de (2.6) que

‖W 0φϕ‖Hs,p(R) ≤ ‖F−1φ · F‖L(Lp(R)) · ‖F−1λs · Fϕ‖Lp(R)

= ‖W 0φ‖L(Lp(R)) · ‖ϕ‖Hs,p(R).

2

É também possível definir operadores de Wiener-Hopf, operadores de Hankel e conse-quentemente operadores de Wiener-Hopf-Hankel em espaços de potenciais de Bessel. Estesúltimos serão considerados no Capítulo 2, onde se prova a respectiva limitação e da qual seinfere a limitação dos operadores de Wiener-Hopf e dos operadores de Hankel nos referidosespaços.

2.3 Operadores de Fredholm

Sejam X e Y espaços de Banach, A ∈ L(X, Y ) e B ∈ L(Y,X).

O núcleo e a imagem de A são definidos, respectivamente, por

KerA = x ∈ X : Ax = 0 e ImA = Ax : x ∈ X.

Diz-se que A é um operador de Fredholm se:i) é normalmente solúvel , isto é, o subespaço ImA é fechado em Y ;ii) n(A) = dim(KerA) <∞ e d(A) = dim(CokerA) = dim(Y/Im(A)) <∞.

Se, porventura, o operador A normalmente solúvel tiver n(A) <∞ e d(A) = ∞ diz-se queA é propriamente n-normal , enquanto que se n(A) = ∞ e d(A) < ∞, A diz-se propriamented-normal .

Neste contexto, define-se o índice de Fredholm de A por

Ind(A) = n(A)− d(A).

No caso de A ser um operador de Fredholm o índice de Fredholm de A é um número inteiro,mas se A for propriamente n-normal ou propriamente d-normal então o índice de Fredholmde A é igual a −∞ ou +∞, respectivamente.

O operador A designa-se por operador semi-Fredholm se pelo menos um dos números n(A)

e d(A) é finito. Assim, denota-se por Φ+(X, Y ) o conjunto dos operadores com n(A) < ∞ e

21

por Φ−(X, Y ) o conjunto dos operadores com d(A) <∞. No caso de A ∈ Φ+(X, Y ) diz-se queA é um operador n-normal , caso A ∈ Φ−(X, Y ) diz-se que A é um operador d-normal .

Pelos factos de A ser um operador normalmente solúvel se e só se A∗ também o for,n(A) = d(A∗) e d(A) = n(A∗) pode-se afirmar que A é um operador de Fredholm se e só seA∗ também o for e reescrever o índice de Fredholm de A na forma

Ind(A) = d(A∗)− n(A∗) = −Ind(A∗).

O operador B diz-se um regularizador à esquerda de A se BA−IX = KX , comKX : X → X

a ser um operador compacto, e um regularizador à direita de A se AB − IY = KY , comKY : Y → Y a ser um operador compacto. Se um operador for simultaneamente regularizadorà esquerda e à direita de A então chama-se apenas regularizador de A.

Apesar da existência de um regularizador à esquerda/direita implicar que o operador sejapropriamente n-normal/d-normal o recíproco, em geral, não é válido, verificando-se no entantotal no caso de se considerar espaços de Hilbert, por exemplo.

Em alguma literatura, em vez dos termos regularizador à esquerda/direita usam-se Fred-holm à esquerda/direita. Tal deve-se ao facto de um operador ser um operador de Fredholmse e só se possuir um regularizador, ou ainda, se e só se possuir um regularizador à esquerdae um regularizador à direita.

O teorema seguinte foi originalmente provado por F. V. Atkinson.

Teorema 2.4 Se A ∈ L(X, Y ) e B ∈ L(Y, Z) são operadores de Fredholm, então BA ∈L(X,Z) também é um operador de Fredholm e

Ind(BA) = Ind(A) + Ind(B).

Este resultado pode ser generalizado a operadores semi-Fredholm, como deixa claro o Teoremaque se segue.

Teorema 2.5 Se A ∈ Φ±(X, Y ) e B ∈ Φ±(Y, Z) então BA ∈ Φ±(X,Z).

Supondo agora que B é um regularizador de A então A é um operador de Fredholm, maspor outro lado A também é um regularizador de B logo B também é um operador de Fredholm.Assim, aplicando o Teorema 2.4

Ind(BA) = Ind(A) + Ind(B). (2.7)

Por hipótese BA = IX +K, onde K é um operador compacto. Então, tendo em consideraçãoque o operador IX +K é um operador de Fredholm de índice nulo, concluí-se por (2.7) que

0 = Ind(A) + Ind(B).

O seguinte enunciado resume a conclusão acabada de verificar.

22

Teorema 2.6 Se B é um regularizador de A, então Ind(B) = −Ind(A).

Com isto, é possível mostrar que o índice de Fredholm é estável sob a perturbação decompactos.

Teorema 2.7 Se A ∈ (X, Y ) é um operador de Fredholm e K : X → Y é um operadorcompacto então A+K também é um operador de Frehholm e

Ind(A+K) = Ind(A).

Demonstração: Seja B ∈ L(X, Y ) um regularizador de A, isto é, BA − IX = KX eAB − IY = KY onde KX : X → X e KY : Y → Y são operadores compactos. Como B étambém um regularizador de A+K já que

B(A+K) = IX + (KX +BK︸ ︷︷ ︸compacto

) (A+K)B = IY + (KY +KB︸ ︷︷ ︸compacto

),

pode-se afirmar que A+K, tal como B é um operador de Fredholm e concluir pelos Teoremas2.4 e 2.6 que

Ind(A+K) = −Ind(B) = Ind(A).

2

Note-se que este último teorema também é passível de generalização a operadores de semi-Fredholm. Opta-se no entanto por não incluir nesta dissertação esse resultado dado que nãoserá utilizado. Aliás, tal sucede também ao resultado anterior que se optou por incluir nãopelo seu uso directo, mas por se considerar um resultado de relevo e estruturante.

Um operador T ∈ L(Y,X) é um inverso generalizado de A se satisfaz as identidades

ATA = A TAT = T.

Apesar de T não ser em geral único, no caso de A ser invertível , isto é, no caso de existirum operador A−1 ∈ L(Y,X) tal que

A−1A = IX AA−1 = IY ,

então T é único e coincide com A−1.

Sabe-se que o operador normalmente solúvel A possuí um inverso generalizado se e só seImA e KerA são subespaços complementáveis em X e Y , respectivamente. Se dim(Y/ImA) <

∞ então ImA é complementável em Y (ver Lema 4.21 de [29]), logo como o núcleo de umoperador de Fredholm é sempre complementável então qualquer operador de Fredholm possuíum inverso generalizado.

No caso de a equação Ax = y ser solúvel para um dado y ∈ Y e de T ser um inversogeneralizado de A então é porque existe x0 ∈ X tal que Ax0 = y, logo

ATy = ATAx0 = Ax0 = y,

23

ou seja Ty é solução da equação Ax = y, o que deixa bem expressa a utilidade da existênciade um inverso generalizado.

De seguida, é apresentada uma tabela (transcrita de [8]) que resume as chamadas pro-priedades de regularidade, de um operador linear limitado a actuar entre espaços de Banach,isto é, das propriedades que dependem directamente do núcleo e da imagem do operador.

Operador A n(A) = 0 n(A) < ∞ kerA é comple-mantável

kerA é fechado

d(A) = 0

invertível invertível à di-reita e Fred-holm

invertível à di-reita

sobrejectivo

d(A) < ∞

invertível à es-querda e Fred-holm

Fredholm regularizável àdireita

A ∈ Φ−(X, Y )

ImA écomplementável

invertível à es-querda

regularizável àesquerda

inverso general-izado –

ImA é fechado

injectivo A ∈ Φ+(X, Y )

–

normalmentesolúvel

Sejam X1, X2, Y1 e Y2 espaços de Banach. Dois operadores T : X1 −→ Y1 e S : X2 −→ Y2

dizem-se equivalentes se existirem operadores lineares e limitados E : Y2 −→ Y1 e F : X1 −→X2 tal que

T = ESF.

Para denotar tal relação de equivalência entre os operadores T e S escreve-se:

T ∼ S.

A relevância da noção anterior reside no facto de os operadores equivalentes pertenceremà mesma classe de regularidade, isto é, se um dos operadores possuí determinada propriedadede regularidade (da tabela anterior) então o outro operador também verifica essa mesmapropriedade.

T e S dizem-se equivalentes após extensão e denota-se tal por

T∗∼ S

24

se existem espaços de Banach X e Y e operadores lineares, limitados e invertíveis E e F talque [

T 0

0 IX

]= E

[S 0

0 IY

]F. (2.8)

Se, em (2.8), no lugar do operador IX , se tem um operador entre espaços de BanachT∆ : X1∆ −→ X2∆ linear limitado e invertível diz-se que T é ∆-relacionado após extensão comS e denota-se por

T∗∆ S.

Neste caso, se S possuí determinada propriedade de regularidade então T também possuíessa mesma propriedade. O recíproco não se pode no entanto exibir.

2.4 Operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos AP

Definição 2.8 A álgebra das funções quase periódicas, que se denota por AP , consiste namenor subálgebra fechada de L∞(R) que contém as funções eλ (eλ(ξ) = eiλξ, ξ ∈ R) comλ ∈ R, isto é

AP = algL∞(R)eλ : λ ∈ R.

Considere-se agora o conjunto das funções complexas de variável real que admitem a rep-resentação

f(ξ) =n∑j=1

rjeiλjξ, com n ∈ N, rj ∈ C e λj ∈ R

a que se chamam polinómios quase periódicos e releve-se o facto de AP não ser mais de que ofecho do conjunto destes polinómios em L∞(R).

Para cada φ ∈ AP , sabe-se que:i) existe e é finito o valor médio de Bohr [14]

M(φ) = limα→∞

1

|Iα|

∫Iα

φ(ξ)dξ

onde Iαα∈Γ =

]ξα, ηα[α∈Γ

com Γ ⊂ R+ uma subclasse ilimitada e ξα − ηα → ∞ quandoα→∞.

Adicionalmente, o valor M(φ) é independente da escolha da família de intervalos Iα.ii) O espectro de Bohr-Fourier

Ω(φ) = λ ∈ R : M(e−λφ) 6= 0

é no máximo contável.

Daqui em diante, denota-se por GB o grupo dos elementos invertíveis da álgebra de BanachB.

Enuncia-se agora um importante teorema da teoria das funções quase periódicas.

25

Teorema 2.9 [5] Se φ ∈ GAP então existe k(φ) ∈ R e ψ ∈ AP tal que

φ(ξ) = eik(φ)ξeψ(ξ), para todo ξ ∈ R.

O valor real k(φ) chama-se média de deslocamento de φ e pode ser determinado pela fórmula

k(φ) = limα→∞

(argφ)(ηα)− (argφ)(ξα)

ηα − ξα

onde Iαα∈Γ =

]ξα, ηα[α∈Γ

com Γ ⊂ R+ uma subclasse ilimitada e ξα − ηα → ∞ quandoα→∞.

Definição 2.10 AP± é a menor subálgebra de L∞(R) que contém as funções eλ com ±λ ≥ 0,

isto é,AP± = algL∞(R)eλ : ±λ ≥ 0.

Equivalentemente, pode-se dizer que

AP± = φ ∈ AP : M(e−λφ) = 0, para ± λ < 0

já que

M(e−λφ) =

rj se λ = λj

0 se λ /∈ λ1, ..., λn, para qualquer φ =

n∑j=1

rjeλj ∈ AP.

O teorema seguinte, relativo a operadores de Wiener-Hopf em L2 com símbolos em AP

e que fornece um critério de invertibilidade e de descrição da propriedade de Fredholm, àcusta do sinal da média de deslocamento do símbolo de Fourier do operador, é o mote para osresultados que mais à frente se apresentam relativos aos operadores de Wiener-Hopf-Hankel

WHφ = r+F−1φ · F(IL2+(R) + J) (2.9)

= r+F−1φ · F ler+ : L2+(R) −→ L2(R+)

com φ ∈ GAP.

Teorema 2.11 [13], [18] Seja φ ∈ GAP e

Wφ : L2+(R) −→ L2(R+).

(i) Se k(φ) > 0 então o operador Wφ é propriamente n-normal e invertível à esquerda.

(ii) Se k(φ) < 0 então o operador Wφ é propriamente d-normal e invertível à direita.

(iii) Se k(φ) = 0 então o operador Wφ é invertível.

26

Para o estabelecimento de um resultado semelhante ao anterior, mas para os operadores(2.9) são necessárias algumas propriedades dos operadores de Wiener-Hopf-Hankel, que seenunciarão adiante, bem como a definição da seguinte factorização do símbolo de Fourier dooperador, da qual depende o referido resultado.

Definição 2.12 A função φ ∈ GAP possuí uma AP-factorização assimétrica se admite umarepresentação da forma

φ = φ−eλφe

onde λ ∈ R, φ− ∈ GAP−, φe ∈ GL∞e (R).

No caso de φ admitir uma AP-factorização assimétrica com λ = 0, ou seja

φ = φ−φe,

denomina-se esta factorização por AP-factorização assimétrica canónica.

O Teorema seguinte assegura a unicidade, a menos de uma constante, da AP -factorizaçãoassimétrica caso exista, mas antes disso segue-se um lema necessário para a demonstraçãodesse resultado

Lema 2.13 [5] A função φ ∈ GAP± se e só se existe ψ ∈ AP± tal que φ = eψ.

Demonstração: Se existe ψ ∈ AP+ tal que φ = eψ então

φ =∞∑j=0

ψj

j!

mas como, para todo j, ψj ∈ AP+ concluí-se que φ ∈ AP+ e mais concretamente φ ∈ GAP+,

já que e−ψ = φ−1 ∈ AP+.

Por outro lado, supondo que φ ∈ GAP+ ⊂ GH∞+ (R) tem-se que Wφ é um operador in-

vertível, cujo inverso é o operador Wφ−1 , logo usando o Teorema 2.11 deduz-se que a média dedeslocamento de φ é nula. Por isso, pelo Teorema 2.9, existe ψ ∈ AP tal que

φ = eψ,

faltando então provar apenas que ψ ∈ AP+.

Tendo em conta que AP é o fecho do conjunto dos polinómios quase periódicos, considera-sea sucessão de polinómios quase periódicos (pn) tal que

‖ψ − pn‖L∞(R) → 0.

Consequentemente‖eψ − epn‖L∞(R) → 0

27

e, porque por hipótese se supôs φ = eψ ∈ GAP+, para n suficientemente grande

epn ∈ GAP+ ⊂ GH∞+ (R).

Um polinómio quase periódico pn pode ser escrito na forma

pn = p+n + p−n (2.10)

onde p±n ∈ H∞± (R).

Pelo facto de H∞± (R) ser uma álgebra de Banach (com identidade)

ep±n ∈ G0H

∞± (R) ⊂ GH∞

± (R)

onde G0H∞± (R) := eb : b ∈ H∞

± (R) denota a componente principal de GH∞± (R).

Usando (2.10)epn︸︷︷︸

∈GH∞+ (R), para n suf. grande

= ep+n︸︷︷︸

∈GH∞+ (R)

ep−n

donde resulta que ep−n ∈ GH∞

+ (R) para n suficientemente grande.Com isto,

ep−n ∈ H∞

+ (R) ∩H∞− (R) = C

para n suficientemente grande e consequentemente p−n ∈ C para n suficientemente grande.Por (2.10), pn ∈ H∞

+ (R) para n suficientemente grande, logo

ψ ∈ H∞+ (R) ∩ AP = AP+.

A prova, para o caso de φ ∈ GAP−, é em tudo similar ao caso anterior. 2

Teorema 2.14 [22] Se φ ∈ GAP admite duas AP-factorizações assimétricas

φ = φ(1)− eλ1φ

(1)e φ = φ

(2)− eλ2φ

(2)e

então λ1 = λ2, φ(1)− = γφ

(2)− e φ(1)

e = γ−1φ(2)e , γ ∈ C \ 0.

Demonstração: Da igualdade φ(1)− eλ1φ

(1)e = φ

(2)− eλ2φ

(2)e resulta que

ϕeλ1−λ2 = φ(2)e

(φ(1)e

)−1 (2.11)

onde ϕ =(φ

(2)−)−1

φ(1)− ∈ GAP−.

Como o segundo membro de (2.11) é uma função par, então o primeiro membro tambémo é. Assim, para todo ξ, tem-se

ϕ(ξ)eλ1−λ2(ξ) = ϕ(ξ)eλ2−λ1(ξ).

28

Tal é equivalente a

ϕ(ξ)e2(λ1−λ2)(ξ) = ϕ(ξ). (2.12)

Como ϕ ∈ GAP− e ϕ ∈ GAP+, pode-se usar o Lema 2.13, garantindo assim a existênciadas funções ψ ∈ AP− e σ ∈ AP+ tais que

ϕ = eψ ϕ = eσ. (2.13)

Usando as últimas igualdades em (2.12) obtém-se

eψ(ξ)+2i(λ1−λ2)(ξ) = eσ(ξ)

donde resulta que λ1 = λ2 e ϕ = γ ∈ AP− ∩ AP+ = C.Por (2.13) tem-se que ϕ = eψ = γ ∈ C \ 0, logo pela definição de ϕ e por (2.11)

γ =(φ

(2)−)−1

φ(1)− γ = φ(2)

e

(φ(1)e

)−1

ou equivalentementeφ

(1)− = γφ

(2)− φ(1)

e = γ−1φ(2)e .

2

É bem conhecido (ver por exemplo [6]) que os operadores de Wiener-Hopf-Hankel se rela-cionam com os operadores de Hankel através das identidades

Wφϕ = Wφ`0Wϕ +Hφ`0Heϕ

Hφϕ = Wφ`0Hϕ +Hφ`0Weϕ

donde se obtém, adicionando membro a membro, a seguinte igualdade

WHφϕ = Wφ`0WHϕ +Hφ`0WHeϕ. (2.14)

Com base em (2.14), pode-se ainda obter a igualdade

WHφϕ = Wφ`0WHϕ +Hφ`0WHϕ −Hφ`0WHϕ +Hφ`0WHeϕ

= WHφ`0WHϕ +Hφ`0WHeϕ−ϕ, (2.15)

donde se concluí que se φ ∈ H∞− (R) ou ϕ é uma função par então

WHφϕ = WHφ`0WHϕ (2.16)

isto porque Hφ = 0 caso ϕ ∈ H∞− (R). 2

Lema 2.15 [22] Se ϕ ∈ H∞− (R), ψ ∈ L∞(R) e φ ∈ L∞e (R) então

WHϕψφ = Wϕ`0WHψ`0WHφ.

29

Demonstração: Usando (2.16) pode-se escrever que

WHϕψφ = WHϕ`0WHψφ,

mas como φ se supôs uma função par, usando novamente (2.16), vem

WHϕψφ = WHϕ`0WHψ`0WHφ.

Por fim, utilizando esta igualdade e tendo em conta que Hϕ = 0, já que ϕ ∈ H∞− (R) obtém-se

WHϕψφ = Wϕ`0WHψ`0WHφ.

2

Teorema 2.16 [22] Se φ ∈ GAP admite uma AP-factorização assimétrica

φ = φ−eλφe

então

(i) o operador (2.9) é propriamente n-normal e invertível à esquerda, caso λ > 0

(ii) o operador (2.9) é propriamente d-normal e invertível à direita, caso λ < 0

(iii) o operador (2.9) é invertível, caso λ = 0.

Demonstração: Como φ− ∈ AP− = AP ∩ H∞− (R) tem-se que φ− ∈ H∞

− (R), dondeusando o Lema 2.15 se concluí que

WHφ = WHφ−eλφe = Wφ−`0WHeλ`0WHφe

= Wφ−`0(Weλ +Heλ)`0WHφe . (2.17)

Por outro lado, como φ− ∈ GAP− pode-se usar o Lema 2.13 garantindo-se assim a existên-cia da função ψ ∈ AP− tal que φ− = eψ, daí que k(φ−) = 0. Logo, pelo Teorema 2.11, Wφ− éinvertível.

O operador `0 também é invertível, bem como o operador WHφe cujo inverso é o operador`0WHφ−1

e`0.

Com isto e pela igualdade (2.17) se concluí que os operadores WHφ e WHeλ são equiva-lentes.

Caso λ < 0, têm-se duas consequências imediatas: k(eλ) < 0 e eλ ∈ AP− o que por suavez implica que eλ ∈ H∞

− (R), logo Heλ = 0.

Usando novamente o Teorema 2.11, já que WHeλ = Weλ , pode-se afirmar que o operadorWeλ é propriamente d-normal e invertível à direita e consequentemente também se pode afirmaro mesmo para o operador WHφ.

30

Caso λ > 0, pelo que foi concluído no caso anterior tem-se que o operador

WHe−λ = We−λ

é propriamente d-normal e invertível à direita.Considerando o operador adjunto de WHeλ , ou seja,

(WHeλ)∗ = (Weλ)

∗ + (Heλ)∗ = Weλ + (WeλJ)∗

= We−λ + JWe−λ = We−λ + JWe−λJJ

= We−λ + JHe−λJ,

como He−λ = 0 tem-se que(WHeλ)

∗ = We−λ ,

logo WHeλ é propriamente n-normal e invertível à esquerda.Por fim, se λ = 0 então φ = φ−φe logo

WHφ = Wφ−`0WHφe

e comoWφ− eWHφe são ambos operadores invertíveis concluí-se queWHφ também é invertível.2

Garantida a existência de um inverso ou de inverso lateral do operador (2.9), conforme osinal de λ referente à suposta AP -factorização assimétrica do símbolo de Fourier do operador,no teorema seguinte consegue-se definir explicitamente tal operador.

Teorema 2.17 [22] Se φ ∈ GAP admite uma AP-factorização assimétrica

φ = φ−eλφe

então o operador definido por

T = `0r+F−1φ−1e · F`er+F−1e−λ · F`er+F−1φ−1

− · F` : L2(R+) −→ L2+(R)

onde ` : L2(R+) −→ L2(R) denota um operador de extensão arbitrário, é:

(i) o inverso à esquerda do operador (2.9), se λ > 0

(ii) o inverso à direita do operador (2.9), se λ < 0

(iii) o inverso do operador (2.9), se λ = 0.

Demonstração: Tendo em conta a AP -factorização assimétrica de φ pode-se escrever ooperador WHφ da seguinte forma:

WHφ = r+F−1φ−eλφe · F`er+ = r+F−1φ− · FF−1eλ · FF−1φe · F`er+= r+A−EAe`

er+

31

onde A− = W 0φ−, E = W 0

eλe Ae = W 0

φe.

Se λ ≤ 0 então tendo em conta que r+`0r+ = r+

WHφT = r+A−EAe`er+`0r+A

−1e `er+E

−1`er+A−1− `

= r+A−EAe`er+A

−1e `er+E

−1`er+A−1− `.

Pelo facto de o operador A−1e preservar a propriedade par do seu símbolo de Fourier, o

primeiro factor `er+ pode desaparecer, isto é,

`er+A−1e `er+ = A−1

e `er+,

obtendo-se assim da igualdade anterior:

WHφT = r+A−EAeA−1e `er+E

−1`er+A−1− `

= r+A−E`er+E

−1`er+A−1− `.

Como se supôs λ ≤ 0, E−1 é um “factor mais” e A− é um “factor menos” (ver [11]), logo

`er+E−1`er+ = E−1`er+, A−`

er+ = A−

donde resulta que

WHφT = r+A−EE−1`er+A

−1− `

= r+A−A−1− `

= r+` = IL2(R+).

Se λ ≥ 0, usando argumentos similares aos utilizados no caso anterior, ou seja, usando ofacto de A−1

− e E−1 serem “factores menos” e de Ae preservar a propriedade par do seu símbolode Fourier, obtém-se que

TWHφ = `0r+A−1e `er+E

−1`er+A−1− `r+A−EAe`

er+

= `0r+A−1e `er+E

−1`er+A−1− A−EAe`

er+

= `0r+A−1e `er+E

−1EAe`er+

= `0r+A−1e Ae`

er+

= `0r+`er+

= `0r+ = IL2+(R).

Intersectando os dois casos anteriores resulta que λ = 0 e que o operador T é o inverso deWHφ. 2

32

Corolário 2.18 Se φ ∈ GAP admite uma AP-factorização assimétrica

φ = φ−eλφe

então o operador T , definido no teorema anterior, é um inverso generalizado de WHφ.

Ainda relativamente ao Teorema 2.16, note-se que a invertibilidade do operador (2.9) ficagarantida com a existência de uma AP -factorização assimétrica canónica.

A seguir definem-se outras factorizações de funções quase periódicas, que possibilitam aobtenção de um resultado semelhante ao Teorema 2.16 alínea (iii), mas agora dependente deum outro tipo de factorização, já utilizada em [5], por exemplo.

Definição 2.19 A função φ ∈ GAP admite uma AP-factorização à direita se

φ = ϕ−eλϕ+

onde ϕ± ∈ GAP± e λ ∈ R.

Também se denomina a factorização anterior por AP-factorização à direita canónica seλ = 0.

A factorização que se segue não é mais do que um caso particular de uma AP -factorizaçãoà direita, onde o factor da direita é definido à custa do factor da esquerda como se segue:

Definição 2.20 A função φ ∈ GAP admite uma AP-factorização anti-simétrica com índiceλ se

φ = φ−e2λφ−1− ,

onde φ− ∈ GAP− e λ ∈ R.

Para se obter o referido resultado (que fornece uma condição suficiente para a invertibil-idade do operador (2.9)) são necessários os resultados seguintes, que relacionam os tipos deAP-factorizações atrás definidos com a AP-factorização assimétrica.

Teorema 2.21 [22] Seja φ ∈ GAP e Φ = φφ−1.

(i) Se φ admite uma AP-factorização assimétrica, φ = φ−eλφe, então Φ admite uma AP-factorização anti-simétrica com o mesmo factor φ− e índice λ.

(ii) Se Φ admite uma AP-factorização anti-simétrica, Φ = ψ−e2λψ−1− , então φ admite uma

AP-factorização assimétrica com o mesmo factor ψ− e índice λ e com o factor paraφe = e−λψ

−1− φ.

33

Demonstração:(i) Como φ = φ−eλφe onde φ− ∈ GAP−, φe ∈ GL∞(R) tal que φe = φe tem-se que

φ−1 = φ−1e e−λφ

−1− , logo

φ−1 = φ−1e e−λφ

−1− = φ−1

e eλφ−1− .

Donde se concluí que Φ admite a seguinte AP -factorização anti-simétrica

Φ = φφ−1 = φ−e2λφ−1− .

(ii) Da AP -factorização anti-simétrica de Φ = ψ−e2λψ−1− , onde ψ− ∈ GAP− e λ ∈ R,

resulta queφφ−1 = ψ−e2λψ

−1− (2.18)

ou seja,

φ = ψ−e2λψ−1− φ

= ψ−eλeλψ−1− φ. (2.19)

Seja φe = eλψ−1− φ então φe = e−λψ

−1− φ, mas por (2.18)

ψ−1− φφ−1 = e2λψ

−1−

ou equivalentementee−λψ

−1− φ = eλψ

−1− φ

isto éφe = φe.

Logo, por (2.19)

φ = ψ−eλφe

= ψ−eλφe.

2

Teorema 2.22 [22] Se φ ∈ GAP admite uma AP-factorização à direita, φ = ϕ−eλϕ+, entãoφ admite uma AP-factorização assimétrica, φ = φ−eλφe, com φ− = ϕ−ϕ

−1+ e φe = ϕ+ϕ+.

Demonstração: Dado que φ = ϕ−eλϕ+, onde ϕ− ∈ GAP− e ϕ+ ∈ GAP+ tem-se que

Φ = φφ−1 = ϕ−eλϕ+ϕ−1+ eλϕ

−1− = ϕ−ϕ

−1+ eλeλϕ+ϕ

−1− = ϕ−ϕ

−1+︸ ︷︷ ︸

∈GAP−

e2λ ϕ+ϕ−1−︸ ︷︷ ︸

∈GAP+

.

Seja φ− = ϕ−ϕ−1+ , note-se que φ−1

− = ϕ+ϕ−1− , logo

Φ = φ−e2λφ−1− ,

34

isto é, Φ admite uma AP -factorização anti-simétrica, o que implica pelo teorema anterior queφ admite uma AP -factorização assimétrica

φ = φ−eλφe

onde φ− = ϕ−ϕ−1+ , φe = e−λφ

−1− φ = e−λϕ+ϕ

−1− ϕ−eλϕ+ = ϕ+ϕ+. 2

Em relação ao teorema anterior, se a suposta AP -factorização à direita for canónica, ouseja se λ = 0, então está garantida a existência de uma AP -factorização assimétrica canónica.Consequentemente, pelo Teorema 2.16 alínea (iii), pode-se afirmar que:

Corolário 2.23 Se φ ∈ GAP admite uma AP-factorização à direita canónica então o oper-ador (2.9) é invertível.

É conhecido que se φ ∈ GAP admite uma AP -factorização à direita canónica

φ = ϕ−ϕ+

então o operador de Wiener-Hopf

Wφ : L2+(R) −→ L2(R+) (2.20)

é invertível e dado que ϕ± ∈ GAP± ⊂ H∞± (R) pode-se usar a Proposição 2.17 de [5], obtendo-se

o inverso do operador anterior

(Wφ)−1 = `0Wϕ−1

+`0Wϕ−1`0.

Note-se então que no corolário anterior concluí-se o mesmo, mas agora para os operadoresde Wiener-Hopf-Hankel,

WHφ : L2+(R) −→ L2(R+),

cujo inverso, dado pelo Teorema 2.17, é o operador

T = `0Wφ−1e`eWφ−1

−`

com φ = φ−φe.

2.5 Operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos APW

Nesta secção serão considerados operadores de Wiener-Hopf-Hankel

WHφ : L2+(R) −→ L2(R+) (2.21)

onde o símbolo de Fourier φ pertence à álgebra APW definida como se segue.

35

Definição 2.24 APW é o subconjunto de AP das funções cujas respectivas séries de Fouriersão absolutamente convergentes,

APW =φ(ξ) =

∑j

cjeiλjξ :

∑j

|cj| <∞

onde cj ∈ C são os chamados coeficientes de Fourier e λj ∈ R.

Munido com a norma ‖φ‖APW =∑

j |cj| e das operações usuais entre funções, APW éuma álgebra de Banach.

Observação: Considere-se λ ∈ R fixo e (Vλf)(ξ) = f(ξ − λ), ξ ∈ R.

(Vλf)(ξ) =

∫Reiξxf(x− λ)dx =

∫Reiξ(η+λ)f(η)dη

= eiξλ∫

Reiξηf(η)dη = eiξλf(ξ)

logoVλ = W 0

eλ

o que significa que W 0eλ

não é mais que um operador de translação.

Se φ ∈ APW eW 0φ : Lp(R) −→ Lp(R)

então

‖W 0φg‖Lp(R) = ‖F−1

(∑j

cjeλj

)· Fg‖Lp(R)

≤∑j

|cj|︸ ︷︷ ︸<∞

·‖F−1eλj · F︸ ︷︷ ︸W 0eλj

g‖Lp(R)

donde, pela observação anterior, se concluí que para algum c ∈ R,

‖W 0φg‖Lp(R) ≤ c · ‖g‖Lp(R)

ou seja, APW ⊂Mp(R).

Além disso,

‖φ‖Mp = sup‖g‖=1

‖W 0φg‖Lp(R) ≤ sup

‖g‖=1

∑j

|cj| · ‖F−1eλj · Fg‖Lp(R)

=∑j

|cj| = ‖φ‖APW .

Resumindo,‖φ‖APW ≥ ‖φ‖Mp .

36

Definição 2.25 As subalgebras APW± de APW definem-se da seguinte forma

APW± = φ ∈ APW : M(e−λφ) = 0, ±λ < 0

ou alternativamente porAPW± = APW ∩ AP±.

Para a classe de funções APW pode-se reformular o Teorema 2.9:

Teorema 2.26 [5] Se φ ∈ GAPW então existe ϕ ∈ APW e k(φ) ∈ R tal que, para todoξ ∈ R,

φ(ξ) = eik(φ)ξeϕ(ξ).

Definição 2.27 A função φ ∈ GAPW possuí uma APW-factorização assimétrica se admiteuma representação da forma

φ = φ−eλφe

onde λ ∈ R, φ− ∈ GAPW−, φe ∈ GL∞e (R).

A relevância da existência de uma APW -factorização assimétrica e sua vantagem rela-tivamente a uma AP -factorização assimétrica, reside na sua existência para toda a funçãopertencente a GAPW . Por outras palavras, enquanto que para uma AP -factorização as-simétrica só foi provada, na secção anterior, a sua unicidade a menos de uma constante, parauma APW -factorização assimétrica para além disso será demonstrada a sua existência.

Com isto, para os operadores (2.21) é possível obter resultados semelhantes ao da secçãoanterior, mas desta vez sem a necessidade de supor a existência de um tipo de factorização dosímbolo de Fourier do operador, visto que, como se verá a seguir, a existência de uma APW -factorização assimétrica (caso particular de uma AP -factorização assimétrica) está assegurada.

Teorema 2.28 [21] Se φ ∈ GAPW então φ admite (pelo menos) uma APW-factorizaçãoassimétrica e caso admita duas APW-factorizações assimétricas

φ = φ(1)− eλ1φ

(1)e ,

φ = φ(2)− eλ2φ

(2)e

então λ1 = λ2, φ(1)− = γφ

(2)− , φ

(1)e = γ−1φ

(2)e , γ ∈ C \ 0.

Demonstração: Relativamente à unicidade, a menos de uma constante, a demonstraçãoé similar à do Teorema 2.14, com as devidas adaptações à classe de funções APW .

Prova-se de seguida a existência.O Teorema 2.26 garante a existência de ϕ ∈ APW e de k(φ) ∈ R tal que

φ(ξ) = eik(φ)ξeϕ(ξ). (2.22)

37

Como ϕ pertence a APW admite a representação da forma

ϕ(ξ) =∑j

cjeiλjξ, cj ∈ R,

ou então de forma equivalente, pode-se escrever ϕ como a soma de funções de APW+ e APW−

ϕ(ξ) =∑λj<0

cjeiλjξ +

∑λj≥0

cjeiλjξ

=∑λj<0

cjeiλjξ −

∑λj≥0

cje−iλjξ +

∑λj≥0

cje−iλjξ +

∑λj≥0

cjeiλjξ

=∑λj<0

cjeiλjξ −

∑αj≤0

cjeiαjξ +

∑λj≥0

cj(e−iλjξ + eiλjξ) (2.23)

onde αj = −λj, para todo j tal que λj ≥ 0.

Sejaϕ−(ξ) =

∑λj<0

cjeiλjξ −

∑αj≤0

cjeiαjξ ∈ APW−

eϕe(ξ) =

∑λj≥0

cj(e−iλjξ + eiλjξ) ∈ L∞(R)

por (2.23) pode-se concluir queϕ = ϕ− + ϕe (2.24)

onde ϕe = ϕe.

Usando (2.24) na igualdade (2.22) tem-se que

φ(ξ) = eik(φ)ξeϕ−(ξ)+ϕe(ξ) = eϕ−(ξ)eik(φ)ξeϕe(ξ)

= φ−(ξ)eik(φ)ξφe(ξ) (2.25)

onde φ− = eϕ− ∈ GAPW− e φe = eϕe ∈ GL∞e (R). 2

Com este teorema, em particular com a garantia da existência de uma APW -factorizaçãoassimétrica para φ ∈ GAPW, revelada pela igualdade (2.25)

φ = φ−ek(φ)φe

é possível apresentar os resultados seguintes, cujas demonstrações são em tudo semelhantes àssuas congéneres da secção anterior, salvo as óbvias adaptações à presente classe de funções.

Teorema 2.29 [21] Seja φ ∈ GAPW.

(i) Se k(φ) > 0 então o operador (2.21) é propriamente n-normal e invertível à esquerda.

(ii) Se k(φ) < 0 então o operador (2.21) é propriamente d-normal e invertível à direita.

(iii) Se k(φ) = 0 então o operador (2.21) é invertível.

38

Teorema 2.30 [21] Seja φ ∈ GAPW e

T = `0r+F−1φ−1e · F`er+F−1e−k(φ) · F`er+F−1φ−1

− · F` : L2(R+) −→ L2+(R)

onde φ− ∈ GAPW−, φe ∈ GL∞e (R) e ek(φ) são os factores de uma APW-factorização as-simétrica de φ e ` : L2(R+) −→ L2(R) representa um operador de extensão arbitrário.

Então, o operador T é:

(i) o inverso à esquerda do operador (2.21), se k(φ) > 0

(ii) o inverso à direita do operador (2.21), se k(φ) < 0

(iii) o inverso do operador (2.21), se k(φ) = 0.

Consequentemente T é também um inverso generalizado do operador (2.21).

Tal como na secção anterior se definiram AP -factorizações à direita e anti-simétrica é agorafeito o mesmo para funções de APW .

Definição 2.31 A função φ ∈ GAPW admite uma APW-factorização à direita se

φ = ϕ−eλϕ+

onde ϕ± ∈ GAPW± e λ ∈ R.

Também se denomina a factorização anterior por APW-factorização à direita canónica seλ = 0.

Definição 2.32 A função φ ∈ GAPW admite uma APW-factorização anti-simétrica comíndice λ se

φ = φ−e2λφ−1− ,

onde φ− ∈ GAPW− e λ ∈ R.

Mais uma vez e para os tipos de factorização atrás definidos, é possível obter resultadosem tudo similares, incluindo as respectivas demonstrações, aos Teoremas 2.21 e 2.22 da secçãoanterior. De tais resultados se deduz imediatamente que o operador (2.21) é invertível, se o seusímbolo de Fourier é uma função pertencente a GAPW que admite uma APW -factorizaçãoà direita canónica. No entanto, tendo em conta o Corolário 9.8 de [5], que garante que aexistência de uma APW -factorização à direita canónica é condição necessária e suficientepara a invertibilidade do operador

Wφ : L2+(R) −→ L2(R+) (2.26)

(o que não acontece em AP , onde só é condição suficiente), pode-se reformular o resultadodescrito atrás da seguinte forma:

Teorema 2.33 [21] Seja φ ∈ GAPW. Se o operador (2.26) é invertível então o operador(2.21) também é invertível.

Capítulo 3

Operadores de Wiener-Hopf-Hankel com

símbolos contínuos por troços em espaços

de potenciais de Bessel

3.1 Operadores de Wiener-Hopf-Hankel em espaços de po-

tenciais de Bessel

Definição 3.1 A classe das funções contínuas por troços, que se denota por PC(R), é con-stituída pelas funções φ ∈ L∞(R) tal que para todo ξ ∈ R os limites

limx→ξ±

φ(x) e limξ→±∞

φ(ξ)

existem.

Munido da norma ‖ · ‖L∞(R) e das operações algébricas usuais entre funções, PC(R) é umaálgebra de Banach.

Definição 3.2 O fecho da álgebra das funções constantes por troços em R, relativamente ànorma de Mp(R), denota-se por PCp(R).

Daqui em diante usar-se-ão as seguintes notações:

λ−(ξ) = ξ − i , λ+(ξ) = ξ + i e ζ(ξ) =λ−(ξ)

λ+(ξ)com ξ ∈ R.

Teorema 3.3 Se λs−φ1λ−r+ , λs−φ2

(λ+

)−r ∈Mp(R) então o operador

Wφ1 +Hφ2 : Hr,p(R+) −→ Hs,p(R+) com r, s ∈ R e 1 < p <∞ (3.1)

é limitado.

39

40

Demonstração: Considere-se a seguinte igualdade

Wφ1 = EWψ1F (3.2)

onde os operadores E, Wψ1 e F são definidos como se segue:

E = r+F−1λ−s− · F`0 : Lp(R+) −→ Hs,p(R+),

F = F−1λr+ · F : Hr,p(R+) −→ Lp+(R)

eWψ1 = r+F−1 λs−φ1λ

−r+︸ ︷︷ ︸

ψ1

·F : Lp+(R) −→ Lp(R+).

Para todo ϕ ∈ Hr,p(R+) tem-se que

Fϕ = F−1λr+ · Fϕ = F−1λr+λ−rλr · Fϕ

= F−1λr+λ−r · FF−1λr · Fϕ

= W 0λr+λ

−rg

onde g = F−1λr · Fϕ.Sabe-se, pela definição de Hs,p(R), que g ∈ Lp(R), logo concluí-se que F é um operador

limitado, já que λr+(ξ)λ−r(ξ) = (ξ + i)r(1 + ξ2)−r/2 ∈ PCp(R) ⊂Mp(R).

Similarmente se prova que, tal como F , E também é um operador limitado, já que paratodo f ∈ Lp(R+)

Ef = r+F−1λ−s− λsFF−1λ−s · F`0f = Wλ−s− λsh

com h = F−1λ−s · F`0f ∈ Hs,p(R) (ver §2.3.8 de [33]). Dado que λ−s− (ξ)λs(ξ) ∈ PCp(R) ⊂Mp(R), o operador E é, de facto, um operador limitado.

Por (3.2) e porque E, F são operadores lineares limitados, os operadores Wφ1 e Wψ1 sãoequivalentes. Mas, o operador Wψ1 é por hipótese limitado, então o operador Wφ1 também éum operador limitado.

Por outro lado,

Hφ2 = EWψ2JF (3.3)

comWψ2 = r+F−1 λs−φ2

(λ+

)−r︸ ︷︷ ︸ψ2

·F : Lp−(R) −→ Lp(R+).

Dado que J é um operador isométrico, é fácil verificar que o operador JF é limitado.Assim sendo, devido também à limitação dos operadores E e Wψ2 , também o operador Hφ2 élimitado.

Por fim, como os operadores Wφ1 e Hφ2 são limitados também o operador (3.1) é limitado.2

41

3.2 Adições algébricas de operadores de Toeplitz e oper-

adores de Hankel

Sejam φ, ψ ∈(L∞(T)

)N×N . O operador

Tφ = PTφ · PT :(Hp

+(T))N −→ (

Hp+(T)

)Ndesigna-se por operador de Toeplitz em

(Hp

+(T))N e o operador

Hψ = PTψ · JTPT :(Hp

+(T))N −→ (

Hp+(T)

)Npor operador de Hankel em

(Hp

+(T))N , onde (JTf)(τ) = 1

τf( 1

τ), τ ∈ T, é o operador de reflexão

em T .Assim, o operador

Tφ ±Hψ :(Hp

+(T))N −→ (

Hp+(T)

)N (3.4)

designa-se por operador de Toeplitz mais/menos Hankel em(Hp

+(T))N .

No caso de φ = ψ denota-se o operador de Toeplitz menos Hankel por THφ.

Quanto à propriedade de Fredholm dos operadores (3.4) sabe-se que é necessário que φ ∈(GL∞(T)

)N×N para que o operador seja d-normal ou n-normal. No entanto, para algumassubclasses de

(GL∞(T)

)N×N são conhecidas condições necessárias e suficientes para que estesoperadores sejam operadores de Fredholm, nomeadamente para a classe C(T), das funçõescontínuas em T, que munida da norma

‖f‖(C(T))N×N = max ‖f(τ)‖CN×N : τ ∈ T

constituí uma subálgebra de Banach de(L∞(T)

)N×N .

Proposição 3.4 Sejam φ, ψ ∈(C(T)

)N×N e 1 < p <∞. Os operadores (3.4) são operadoresde Fredholm em

(Hp

+(T))N se e só se

det φ(τ) 6= 0, para todo τ ∈ T

Em [16] e para a classe das funções contínuas por troços em T,(PC(T)

)N×N ou seja aclasse de funções f ∈ (L∞(T))N×N para as quais existem os limites

f±(τ) = limε→0

f(τe±iε), para todo τ ∈ T,

que também constitui uma subálgebra de Banach de(L∞(T)

)N×N , é estabelecido um critérioque fornece uma condição necessária e suficiente para que um operador de Toeplitz mais Hankelem(Hp

+(T))N seja um operador de Fredholm.

42

A partir de tal resultado e efectuando as alterações adequadas é possível estabelecer umresultado semelhante para operadores de Toeplitz menos Hankel em

(Hp

+(T))N , que enunciar-

se-á mais adiante, sendo que de seguida se introduzem alguns preliminares necessários à suademonstração.

O operadorM : (Lp(R+))N −→ (Lp(R))N ,

com 1 < p <∞ definido por

(Mf)(ξ) =

∫ ∞

0

η−1+1/p−iξf(η)dη (ξ ∈ R)

é um operador linear limitado e invertível que se denomina de transformação de Mellin e àcusta do qual se define o operador de convolução de Mellin

M0φ = M−1φ ·M : (Lp(R+))N −→ (Lp(R+))N

com φ ∈ (L∞(T))N×N , que possuí as seguintes propriedades:

• (M0sINf)(ξ) = (SR+f)(ξ) = 1

πi

∫∞0

f(ρ)ρ−ξ dρ, ξ ∈ R,

onde s(η) = coth π(η + i/p), η ∈ R e

SR+ : (Lp(R+))N −→ (Lp(R+))N

é o operador singular integral de Cauchy em R+.

• (M0nIN

f)(ξ) = (NR+f)(ξ) = 1π

∫∞0

f(η)η+ξ

dη, ξ ∈ R,

onde n(η) = senh−1 π(η + i/p), η ∈ R.

Seja JT o operador definido por JTf(τ) = f(τ) = f(τ−1), τ ∈ T e Sp(PCN×N) a menor

subálgebra fechada de L((Lp(T))N

)que contém os projectores de Riesz PT e QT, o operador

de reflexão JT, todos os operadores compactos em (Lp(T))N e os operadores de multiplicação

φ· : (Lp(T))N −→ (Lp(T))N ,

com φ ∈ (PC(T))N×N .

Lema 3.5 [16] [28] Seja 1 < p <∞.

(i) Para τ ∈ −1, 1, existe um homomorfismo entre álgebras de Banach

Υ : Sp(PCN×N) −→ L

((Lp(R+))2N

),

que actua da seguinte forma nos elementos geradores de Sp(PCN×N):

Υ(ST) =

SR+ −NR+

NR+ −SR+

, Υ(JT) =

0 I

I 0

e Υ(φ·) = diag(φ+(τ)I, φ−(τ)I).

43

(ii) Para τ ∈ T+ = τ ∈ T : Imτ > 0, existe um homomorfismo entre álgebras de Banach

Υ : Sp(PCN×N) −→ L

((Lp(R+))4N

)que actua da seguinte forma nos elementos geradores de Sp

(PCN×N):

Υ(ST) =

SR+ −NR+ 0 0

NR+ −SR+ 0 0

0 0 SR+ −NR+

0 0 NR+ −SR+

, Υ(JT) =

0 0 0 I

0 0 I 0

0 I 0 0

I 0 0 0

e Υ(φ·) = diag(φ+(τ)I, φ−(τ)I, φ+(τ)I, φ−(τ)I).

(iii) Um operador A ∈ Sp(PCN×N) é um operador de Fredholm em (Lp(T))N se e só se o

operador Υ(A) for invertível para todo τ ∈ −1, 1 ∪ T+.

Lema 3.6 [16] Sejam as matrizes p1 ∈ Cn×m e p2 ∈ Cm×n tais que p2p1 = Im. Se p = p1p2 ∈Cn×n e a ∈ Cn×n então a matriz pap+ (In− p) é invertível em Cn×n se e só se a matriz p2ap1

é invertível em Cm×m.

Antes de se passar à demonstração do Teorema 3.7, considere-se, ainda, o operador

PN =1

2

I + SR+ −NR+

NR+ I − SR+

e note-se que se τ ∈ −1, 1 então, pelo Lema 3.5.(i),

Υ(PT) = Υ(I + ST

2

)= PN (3.5)

e se τ ∈ T+ então, pelo Lema 3.5.(ii),

Υ(PT) =

PN 0

0 PN

. (3.6)

Teorema 3.7 Seja φ, ψ ∈ (PC(T))N×N e 1 < p <∞. O operador

Tφ −Hψ :(Hp

+(T))N −→ (

Hp+(T)

)N (3.7)

é um operador de Fredholm se e só se para todo η ∈ R = R∪±∞ e para todo τ ∈ T+∪−1, 1

det ϕ(τ, η) 6= 0,

44

onde

ϕ(τ, η) = (1 + s(η))φ+(τ) + (1− s(η))φ−(τ) + τn(η)(ψ−(τ)− ψ+(τ)) (3.8)

para todo τ ∈ −1, 1 e

ϕ(τ, η) = (1 + s(η))

φ+(τ) 0

0 φ+(τ)

+ (1− s(η))

φ−(τ) 0

0 φ−(τ)

+ n(η)

0 ψ−(τ)− ψ+(τ)

ψ−(τ)− ψ+(τ) 0

(3.9)

para todo τ ∈ T+.

Demonstração: O operador (3.7) é equivalente após extensão ao operador

C = PTφ · PT − PTψ · JTPT +QT

= PT(φ · −ψτ−1 · JT)PT +QT (3.10)

logo, Tφ − Hψ é um operador de Fredholm em (Hp(T))N se e só se C é um operador deFredholm em (Lp(T))N .

Para estudar a propriedade de Fredholm de C pode-se usar o Lema 3.5.(iii) já que C ∈Sp(PCN×N).

i) Caso τ ∈ −1, 1.

Tendo em conta que Υ é um homomorfismo entre álgebras de Banach, resulta de (3.10)que

Υ(C) = Υ(PT)(Υ(φ·)−Υ(ψ·)Υ(τ−1·)Υ(JT)

)Υ(PT) + Υ(QT).

Pela definição de QT e por (3.5)

Υ(QT) = Υ(I − PT) = I −Υ(PT) = I − PN ,

por outro lado pelo Lema 3.5.(i)

Υ(ψ·)Υ(τ−1·)Υ(JT) =

ψ+(τ)I 0

0 ψ−(τ)I

τI 0

0 τI

0 I

I 0

=

0 τψ+(τ)I

τψ−(τ)I 0

logo

Υ(C) = PN

φ+(τ)I −τψ+(τ)I

−τψ−(τ)I φ−(τ)I

PN + (I − PN).

45

Pelas propriedades do operador de convolução de Mellin (ver pág.42) concluí-se que

Υ(C) = M0c

onde o símbolo c é dado por

c(η) = p(η)a(τ)p(η) + (I2N − p(η))

com

p(η) =1

2

(1 + s(η))IN −n(η)IN

n(η)IN (1− s(η))IN

, a(τ) =

φ+(τ) −τψ+(τ)

−τψ−(τ) φ−(τ)

,logo Υ(C) é invertível se e só se c(η) é invertível para todo η ∈ R.

Dado que a matriz p(η) admite a seguinte factorização, para cada η ∈ R,

p(η) = p1(η)p2(η),

com p1 =

αINβIN

, p2 =[γIN δIN

]onde α, β, γ, δ ∈ C tal que

αγ = 12(1 + s(η))

αδ = −12n(η)

βγ = 12n(η)

βδ = 12(1− s(η)).

Pelo facto de p2p1 = IN e de

p2ap1 = p2

φ+(τ) −τψ+(τ)

−τψ−(τ) φ−(τ)

p1

= αγφ+(τ)− αδτψ−(τ)− βγτψ+((τ)) + βδφ−(τ)

=1

2ϕ(τ, η),

onde ϕ(τ, η) é definido como em (3.8).Usando o Lema 3.6 concluí-se que

det c(η) 6= 0 se e só se det ϕ(τ, η) 6= 0.

Resumindo, Υ(C) é invertível se e só se det ϕ(τ, η) 6= 0, para todo τ ∈ −1, 1 e para todoη ∈ R.

ii) Caso τ ∈ T+.

46

Tal como no caso anterior calcula-se Υ(C) e obtém-se, usando a igualdade (3.10) e o Lema3.5.(ii),

QN

φ+(τ)I 0 0 −τψ+(τ)I

0 φ−(τ)I −τψ−(τ)I 0

0 −τψ+(τ)I φ+(τ)I 0

−τψ−(τ)I 0 0 φ−(τ)I

QN + (I −QN)

onde QN =

PN 0

0 PN

.Ora, este operador não é mais que um operador de convolução de Mellin com símbolo

q(η)b(τ)q(η) + (I4N − q(η)) (3.11)

onde

q(η) =

p(η) 0

0 p(η)

, b(τ) =

φ+(τ) 0 0 −τψ+(τ)

0 φ−(τ) −τψ−(τ) 0

0 −τψ+(τ) φ+(τ) 0

−τψ−(τ) 0 0 φ−(τ)

.

Por forma a usar um procedimento similar ao do caso anterior, é conveniente proceder àtroca da segunda pela terceira coluna e da segunda pela terceira linha em (3.11). Note-seque o determinante da matriz resultante desta permutação é igual ao determinante da matriz(3.11) e que q(η) e b(η) são transformados respectivamente em

q∗(η) =1

2

(1 + s(η))IN 0 −n(η)IN 0

0 (1 + s(η))IN 0 −n(η)IN

n(η)IN 0 (1− s(η))IN 0

0 n(η)IN 0 (1− s(η))IN

,

b∗(τ) =

φ+(τ) 0 0 −τψ+(τ)

0 φ+(τ) −τψ+(τ) 0

0 −τψ−(τ) φ−(τ) 0

−τψ−(τ) 0 0 φ−(τ)

.

A matriz q∗ admite a seguinte factorização, para cada η ∈ R fixo,

q∗(η) = q1(η)q2(η)

47

com q1 =

αI2NβI2N

, q2 =[γI2N δI2N

]onde α, β, γ, δ ∈ C tal que

αγ = 12(1 + s(η))

αδ = −12n(η)

βγ = 12n(η)

βδ = 12(1− s(η)).

Pelo facto de q2q1 = I2N concluí-se, pelo Lema 3.6, que Υ(C) é invertível se e só se q2b∗q1é invertível. Mas

q2b∗q1 =

1

2vϕ(τ, η)v−1

com v =

IN 0

0 τIN

e ϕ(τ, η) definido como em (3.9), logo Υ(C) é invertível se e só se

det ϕ(τ, η) 6= 0 para todo τ ∈ T+ e para todo η ∈ R.Por fim, aplica-se o Lema 3.5.(iii) e chega-se ao desejado. 2

No que à invertibilidade dos operadores (3.4) diz respeito, ainda não foi possível estabelecerum critério necessário e suficiente para o seu caso mais geral. No entanto, no caso de seconsiderar operadores

Tφ +Hφ : H2+(T) −→ H2

+(T), φ ∈ L∞(T)

é demonstrado em [1] que o operador é invertível se e só se for um operador de Fredholmde índice nulo. Pela análise da demonstração de tal resultado fica claro a sua validade para1 < p <∞ (ver também [16], §3.6), bem como para operadores de Toeplitz menos Hankel, talcomo se passa a demonstrar.

Observação: Sendo L∞e (T) a álgebra C∗ das funções pares em L∞(T), ou seja

L∞e (T) = φ ∈ L∞(T) : JTφ(τ) = φ(τ), τ ∈ T,

se ψ ∈ L∞e (T) entãoTHφψ = THφTHψ.

Teorema 3.8 [1] Seja φ ∈ L∞(T) e

THφ = Tφ −Hφ : Hp+(T) −→ Hp

+(T) (1 < p <∞). (3.12)

Então Ker(THφ) = Im(THχKφ) ou Ker(TH∗

φ) = 0, onde Kφ = τ ∈ T : φ(τ) = φ(τ−1) = 0e χKφ é a função característica em Kφ.

48

Demonstração: Suponha-se que Ker(TH∗φ) não é trivial, ou seja, que existe g+ ∈ Hq

+(T),

onde q é o expoente conjugado de p, tal que TH∗φg+ = 0 e g+ 6= 0.

Dado que a função χKφ é par, pela observação anterior,

THφTHχKφ= THφχKφ

mas, tendo em conta a definição de Kφ, tem-se que

THφTHχKφ= 0,

isto é,Im(THχKφ

) ⊂ Ker(THφ),

logo para finalizar basta mostrar que Ker(THφ) ⊂ Im(THχKφ). Para tal, suponha-se que

f+ ∈ Ker(THφ), isto é, f+ ∈ Hp+(T) e THφf+ = 0.

Definam-se as seguintes funções

f(τ) = f+(τ)− τ−1f+(τ−1) f−(τ) = φ(τ)f(τ)

g(τ) = φ(τ)g+(τ) g−(τ) = g(τ)− τ−1g(τ−1)

entre as quais f− ∈ Hp−(T) e g− ∈ Hq

−(T), já que para todo τ ∈ T

PTf−(τ) = PTφ(τ) · [f+(τ)− τ−1f+(τ−1)]

= PTφ(τ) · (I − JT)f+(τ)

= PTφ(τ) · (I − JT)PTf+(τ)

= THφf+(τ)

= 0

ou seja, f− ∈ KerPT = Hp−(T). Similarmente se prova que g− ∈ Hq

−(T).

Da definição de g−, obtém-se que

g−(τ) = −τ−1g−(τ−1) = −JTg−(τ).

Tendo em conta queJT :

∑n∈Z

fneiθn 7−→

∑n∈Z

f−1−neiθn

e que g− ∈ Hq−(T), determinando os coeficientes de Fourier de g− concluí-se que

g− = 0,

o que tem como consequência imediata que g(τ) = τ−1g(τ−1). Por outro lado, da definição def resulta que f(τ) = −τ−1f(τ−1), logo conjugando estas duas últimas igualdades tem-se que

(fg)(τ−1) = −(fg)(τ). (3.13)

49

Das definições de g e f−, respectivamente, concluí-se que

fg = fφg+ = f−g+,

pelo facto de f− ∈ Hp−(T) e g+ ∈ Hq

+(T), tem-se que f−g+ ∈ H1−(T), donde se concluí, usando

(3.13) e determinando os coeficientes de Fourier, que

fg = f−g+ = 0.

Como g+ ∈ Hq+(T) e g+ 6= 0 pode-se concluir que g+(τ) 6= 0, quase em toda a parte de T (ver

Teorema 17.18 de [30]), logo

f− = φf = 0. (3.14)

Resulta, desta última igualdade que, para todo τ ∈ T, φ(τ−1)f(τ−1) = 0, logo

(JTφ)f = 0. (3.15)

Se f = 0 então (1− χKφ)f = 0, por outro lado, se f 6= 0 então por (3.14) e (3.15) tem-seque JTφ = φ = 0, ou seja, para todo τ ∈ T

φ(τ) = φ(τ−1) = 0,

o que implica, pela definição de Kφ, que Kφ = T, logo

(1− χKφ)f = 0.

Finalmente, usando o facto de que TH1−χKφf+ = 0, concluí-se que f+ ∈ Im(THχKφ). 2

Teorema 3.9 [1] Se φ ∈ L∞(T) e o operador (3.12) é um operador de Fredholm entãoKer(THφ) = 0 ou Coker(THφ) = 0.

Demonstração: Pelo facto de φ ∈ GL∞(T) ser condição necessária para que o operador(3.12) seja um operador de Fredholm, pela definição de Kφ se concluí que Kφ é vazio, daí que

χKφ = 0

e consequentemente, usando o Teorema 3.8 concluí-se que

Ker(THφ) = Im(χKφ) = 0 ou Ker(TH∗φ) = 0.

2

Outra conclusão que resulta dos resultados anteriores e que reduz o problema da invert-ibilidade do operador (3.12) a um problema que, em geral, é mais simples é o seguinte:

50

Corolário 3.10 Seja φ ∈ L∞(T). O operador (3.12) é invertível se e só se THφ é um operadorde Fredholm e Ind(THφ) = 0.

O teorema seguinte expressa claramente a utilidade que os resultados obtidos para oper-adores de Toeplitz menos Hankel podem ter no estudo de operadores de Wiener-Hopf-Hankel,na medida em que estabelece uma equivalência entre estes dois tipos de operadores.

Introduzem-se, primeiro, os seguintes operadores que serão usados na demonstração doreferido teorema:

• O operador B0 é um isomorfismo isométrico de L∞(R) em L∞(T) (e de H∞+ (R) em

H∞+ (T)) definido por

(B0ϕ)(τ) = ϕ(i1 + τ

1− τ

), τ ∈ T \ 1,

e cujo inverso é dado por

(B−10 ψ)(ξ) = ψ

(ξ − i

ξ + i

), ξ ∈ R.

• O operador B definido por

(Bψ)(ξ) =

√2

ξ + iψ(ξ − i

ξ + i

), ξ ∈ R,

é um isomorfismo isométrico de Lp(T) em Lp(R) (e de Hp+(T) em Hp

+(R)) cujo inversoé dado por

(B−1ϕ)(τ) =i√

2

1− τϕ(i1 + τ

1− τ

), τ ∈ T \ 1.

Note-se ainda que, para todo φ ∈Mp(R),

Bφ ·B−1 = (B0φ)ILp(R). (3.16)

Teorema 3.11 Seja φ ∈Mp(R) e 1 < p <∞. O operador de Wiener-Hopf-Hankel

WHφ : Lp+(R) −→ Lp(R+)

e o operador de Toeplitz menos Hankel

THB0φ : Hp+(T) −→ Hp

+(T)

são equivalentes.

Demonstração: O operador de extensão por zero,

`0 : Lp(R+) −→ Lp+(R),

51

é invertível. Logo o operador de Wiener-Hopf-Hankel é equivalente ao operador `0WHφ, istoé

WHφ ∼ `0WHφ = `0r+F−1φ · F(ILp+(R) + J)

= P+F−1φ · F(ILp+(R) + J)P+ : Lp+(R) −→ Lp+(R)

onde P+ = `0r+.

Dado que o projector de Riesz PR = FP+F−1 : Lp(R) −→ Hp+(R) é uma aplicação sobre-

jectiva e JF = FJ tem-se que

WHφ ∼ FP+F−1φ · F(ILp+(R) + J)P+F−1

= PRφ · (ILp+(R) + J)PR : Hp+(R) −→ Hp

+(R).

Usando os operadoresB eB−1 definidos anteriormente, consegue-se obter um operador definidoem Hp

+(T) equivalente a WHφ:

WHφ ∼ B−1PRφ · (ILp+(R) + J)PRB : Hp+(T) −→ Hp

+(T).

Como PT = B−1PRB obtém-se que

WHφ ∼ PT(B−1φ ·B)PT + PT(B−1φ · JB)PT : Hp+(T) −→ Hp

+(T),

por fim por (3.13) e pelo facto de JB = −BJT concluí-se que

WHφ ∼ PT(B0φ)PT − PT(B0φ)JTPT

= THB0φ : Hp+(T) −→ Hp

+(T)

2

Usando o último teorema e o Corolário 3.10 pode-se estabelecer o seguinte resultado,relativo à invertibilidade de um operador de Wiener-Hopf-Hankel.

Corolário 3.12 Seja φ ∈Mp(R) e 1 < p <∞. O operador de Wiener-Hopf-Hankel

WHφ : Lp+(R) −→ Lp(R+)

é invertível se e só se o operador

THB0φ : Hp+(T) −→ Hp

+(T)

é um operador de Fredholm de índice nulo.

52

3.3 Operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos con-

tínuos por troços

A cada função matricial ψ(ξ), mensurável em R, com limites

ψ(ξ±) = ψ(ξ ± 0) = limη→+0

ψ(ξ ± η) e ψ(±∞) = ψ(∞± 0) = limξ→±∞

ψ(ξ)

associa-se a função matricial

ψp(ξ, η) =ψ(ξ + 0) + ψ(ξ − 0)

2+ψ(ξ + 0)− ψ(ξ − 0)

2coth π(η + i/p),

1 < p <∞, ξ ∈ R = R ∪ ∞ e η ∈ R.

Considere-se o caso particular do operador de Wiener-Hopf-Hankel (3.1) cujos símbolos deFourier φ1, φ2 ∈ PC(R).

Como ψ1 = λs−φ1λ−r+ , ψ2 = λs−φ2(λ+)−r ∈ PCp(R) ⊂Mp(R) é possível obter (ver [7], pág.

99) o operadorWΦW : Lp+(R)× Lp+(R) −→ Lp(R+)× Lp(R+)

ΦW =[Φij

]i,j=1,2

=

λs−(φ1 − φ2

(φ1

)−1φ2

)λ−r+ −λs−φ2

(φ1

)−1(λ−)−s

(λ+)r(φ1

)−1φ2λ

−r+ (λ+)r

(φ1

)−1(λ−)−s

∆-relacionado após extensão comWφ1+Hφ2 , já que existem operadores E e F lineares limitadose invertíveis tais que Wφ1 +Hφ2 0

0 Wφ1 −Hφ2

= E

WΦW 0

0 IY

F.Observação: No caso de no operador (3.1) os índices de suavidade r e s serem nulos e

φ1 = φ2 = φ ∈Mp(R), então pelo que foi dito atrás, entre os operadores WHφ e

WHΦ : Lp+(R)× Lp+(R) −→ Lp(R+)× Lp(R+)

com Φ =

[0 −φ(φ)−1

1 (φ)−1

], existe uma ∆-relação após extensão. Mas, como Φ admite a factor-

ização Φ = Φ1Φ2 onde

Φ1 =

[φ(φ)−1 0

0 1

], Φ2 =

[0 −1

1 (φ)−1

]obtém-se a igualdade

WΦ = WΦ1`0WΦ2

onde os dois últimos operadores do segundo membro são invertíveis, logo

WΦ ∼ WΦ1 .

53

Atendendo à definição de Φ1 fica claro que

WΦ1

∗∼ Wφgφ−1 .

Com istoWHφ

∗∆ WΦ ∼ WΦ1

∗∼ Wφgφ−1 ,

donde se concluí, devido ao facto das relações anteriores serem transitivas, que o operadorWHφ pertence (pelo menos) à mesma classe de regularidade de W

φgφ−1 .

Como se verá a noção de ∆-relação após extensão permite a obtenção do teorema seguinte,mas com a sua utilização e em especial através da redução, atrás justificada, do estudo daspropriedades de regularidade de um operador de Wiener-Hopf-Hankel ao estudo das mesmaspropriedades mas de um operador de Wiener-Hopf, foi possível obter recentemente, em [3]e [23], progressos na teoria dos operadores de Wiener-Hopf-Hankel em L2.

Considere-se Φ±ij = Φij(ξ ± 0), s(η) = coth π(η + i/p) com ξ ∈ R, η ∈ R e tenha-se emconta que

(ΦW )p(ξ, η) =

Φ+

11+Φ−112

+Φ+

11−Φ−112

s(η)Φ+

12+Φ−122

+Φ+

12−Φ−122

s(η)

Φ+21+Φ−21

2+

Φ+21−Φ−21

2s(η)

Φ+22+Φ−22

2+

Φ+22−Φ−22

2s(η)

.Efectuando alguns cálculos obtém-se o determinante de (ΦW )p em função do determinante deΦW :

det (ΦW )p(ξ, η) =Φ+

11 + Φ−112

· Φ+22 + Φ−22

2− Φ+

12 + Φ−122

· Φ+21 + Φ−21

2

+[Φ+

11 + Φ−112

· Φ+22 − Φ−22

2+

Φ+11 − Φ−11

2· Φ+

22 + Φ−222

−Φ+21 + Φ−21

2· Φ+

12 − Φ−122

− Φ+21 − Φ−21

2· Φ+

12 + Φ−122

]s(η)

+[Φ+

11 − Φ−11

2· Φ+

22 − Φ−222

− Φ+21 − Φ−21

2· Φ+

12 − Φ−122

]s2(η)

=Φ+

11Φ+22 + Φ+

11Φ−22 + Φ−11Φ

+22 + Φ−11Φ

−22 − Φ+

12Φ+21 − Φ+

12Φ−21 − Φ−12Φ

+21 − Φ−12Φ

−21

4

+[2Φ+

11Φ+22 − 2Φ−11Φ

−22 − 2Φ+

12Φ+21 + 2Φ−12Φ

−21

4

]s(η)

+[Φ+

11Φ+22 − Φ+

11Φ−22 − Φ−11Φ

+22 + Φ−11Φ

−22 − Φ+

12Φ+21 + Φ+

12Φ−21 + Φ−12Φ

+21 − Φ−12Φ

−21

4

]s2(η)

bastando, para finalizar, ter em consideração que

det ΦW (ξ±) = Φ±11Φ±22 − Φ±12Φ

±21

54

logo,

det (ΦW )p(ξ, η) =det ΦW (ξ+) + det ΦW (ξ−) + F (ξ)

4

+det ΦW (ξ+)− det ΦW (ξ−)

2s(η)

+det ΦW (ξ+) + det ΦW (ξ−)− F (ξ)

4s2(η) (3.17)

onde F (ξ) = Φ+11Φ

−22 + Φ−11Φ

+22 − Φ+

12Φ−21 − Φ−12Φ

+21.

Observação: De agora em diante assume-se que

λs± = |λ±|sei(arg(λ±))s, com arg(λ+) ∈ [−π/2, 3π/2[ e arg(λ−) ∈ [π/2, 5π/2[

Dado queζs(ξ) =

∣∣∣λ−λ+

∣∣∣sei( arg(λ−)−arg(λ+))s

tem-se como consequência da suposição anterior que

limξ→−∞

ζs(ξ) = 1 e limξ→+∞

ζs(ξ) = e2πis, s ∈ R.

Sendo [ψ(ξ)]R a notação para o incremento de ψ(ξ) quando ξ varia em R de −∞ até +∞,tem-se também que

[arg ζs(ξ)]R = 2πs.

Teorema 3.13 Sejam φ1, φ2 ∈ PCp(R).Se inf |det (ΦW )p(ξ, η)| 6= 0, com ξ ∈ R, η ∈ R então o operador de Wiener-Hopf-Hankel

(3.1) é um operador de Fredholm e caso tal aconteça

Ind(Wφ1 +Hφ2) + Ind(Wφ1 −Hφ2) = Ind(WΦW )

= − 1

2π

[arg det (ΦW )p(ξ, η)

]R− 1

4π

[arg

(det ΦW (+∞) + det ΦW (−∞) + F (∞)

2

+ (det ΦW (+∞)− det ΦW (−∞)) coth π(η + i/p)

+det ΦW (+∞) + det ΦW (−∞)− F (∞)

2coth2 π(η + i/p)

)]R

onde

F (∞) =(φ1φ

−11 + φ1φ

−11 − 2φ−1

1 φ2φ−11 φ2 + (−1)r+sφ−1

1 φ2φ−11 φ2

+ (−1)−r−sφ−11

˜φ2φ−11 φ2

)(+∞).

Demonstração: Dado que Wφ1 + Hφ2

∗∆ WΦW e que ΦW ∈

[PCp(R)

]2×2

concluí-se

que a condição inf |det (ΦW )p(ξ, η)| 6= 0, com ξ ∈ R, η ∈ R, é suficiente para que o operadorWφ1 +Hφ2 e o operador Wφ1 −Hφ2 sejam operadores de Fredholm (ver §4 de [15]).

55

Relativamente ao índice de Fredholm do operadorWΦW (que como consequência da ∆−relaçãocoincide com a soma dos índices de Wφ1 +Hφ2 e de Wφ1 −Hφ2 ), tem-se em conta que (ver §4de [15]):

Ind(WΦW ) = − 1

2π

[arg det (ΦW )p(ξ, η)

]R− 1

2π

[arg det (ΦW )p(∞, η)

]R.

Assim, a fórmula do índice, explicitada no enunciado, é obtida directamente de (3.17) edos seguintes cálculos

F (∞) = φ1φ−11 (+∞) + φ1φ

−11 (−∞)− 2φ−1

1 φ2(+∞)φ−11 φ2(−∞)

+ (−1)r+sζr−s(−∞)φ−11 (−∞)φ2φ

−11 φ2(+∞)

+ (−1)−r−sζs−r(−∞)φ−11 (+∞)φ2φ

−11 φ2(−∞)

= φ1φ−11 (+∞) + φ1φ

−11 (−∞)− 2φ−1

1 φ2(+∞)φ−11 φ2(−∞)

+ (−1)r+sφ−11 (−∞)φ2φ

−11 φ2(+∞)

+ (−1)−r−sφ−11 (+∞)φ2φ

−11 φ2(−∞)

=((φ1φ

−11 + φ1φ

−11 − 2φ−1

1 φ2φ−11 φ2

+ (−1)r+sφ−11 φ2φ

−11 φ2 + (−1)−r−sφ−1

1˜φ2φ−11 φ2

)(+∞).

2

No caso particular, de no resultado anterior, não existirem descontinuidades em R a fórmulado índice toma a seguinte forma:

Ind(Wφ1 +Hφ2) + Ind(Wφ1 −Hφ2) = Ind(WΦW )

= −r − s− 1

2π

(arg (−1)r+s +

[arg φ1

(φ1

)−1]R

)− 1

4π

[arg

(det ΦW (+∞) + det ΦW (−∞) + F (∞)

2

+(det ΦW (+∞)− det ΦW (−∞)) coth π(η + i/p)

+det ΦW (+∞) + det ΦW (−∞)− F (∞)

2coth2 π(η + i/p)

)]R

.

Tal é visionado porque calculando o determinante de ΦW obtém-se

det ΦW = λs−(λ+

)rφ1

(φ1

)−1λ−r+

(λ−)−s

= (−1)r−sζr+sφ1

(φ1

)−1

logo, pela observação anterior,

[arg det ΦW (ξ)]R = [arg (−1)r−s]R + [arg ζr+s(ξ)]R + [arg φ1

(φ1

)−1]R

= arg (−1)r−s + 2π(r + s) + [arg φ1(φ1)−1]R.

56

Teorema 3.14 Seja φ ∈ PCp(R) e 1 < p <∞. O operador de Wiener-Hopf-Hankel

WHφ : Lp+(R) −→ Lp(R+)

é um operador de Fredholm se e só se, para todo τ ∈ T+ ∪ −1, 1 e para todo η ∈ R,

det ϕ(τ, η) 6= 0,

onde

ϕ(τ, η) = (1 + s(η)− τn(η))B0φ+(τ) + (1− s(η) + τn(η))B0φ

−(τ)

para todo τ ∈ −1, 1 e

ϕ(τ, η) =

(1− s(η))B0φ−(τ) n(η)B0φ

−(τ)

n(η)B0φ−(τ) (1− s(η))B0φ

−(τ)

+

(1 + s(η))B0φ+(τ) −n(η)B0φ

+(τ)

−n(η)B0φ+(τ) (1 + s(η))B0φ

+(τ)

se τ ∈ T+.

Demonstração: Consequência imediata da aplicação do Teorema 3.11, seguido da apli-cação do Teorema 3.7, que é possível porque B0 é um homeomorfismo o que implica queB0φ ∈ PCp(T). 2

Enquanto que o Teorema 3.13 fornece uma condição suficiente para que um operador deWiener-Hopf-Hankel entre espaços de potencias de Bessel seja um operador de Fredholm,o Teorema 3.14, no caso particular de os índices suavidade serem nulos e dos símbolos dooperador de Wiener-Hopf e do operador de Hankel serem iguais, já fornece uma condiçãonecessária e suficiente para a propriedade de Fredholm.

No entanto, usando a técnica de levantamento dos índices de suavidade, já utilizada noTeorema 3.3, é possível generalizar o último teorema, obtendo então uma condição necessáriae suficiente para a propriedade de Fredholm de operadores de Wiener-Hopf-Hankel, entreespaços de potenciais de Bessel, que também verificam uma certa relação de dependênciaentre os símbolos do operador de Wiener-Hopf e do operador de Hankel.

57

Teorema 3.15 Seja ψ = λs−φ1λ−r+ ∈ PCp(R) e 1 < p <∞ então o operador de Wiener-Hopf-

HankelWφ1 +Hφ2 : Hr,p(R+) −→ Hs,p(R+) com r, s ∈ R

onde φ2 = (−ζ)rφ1, é um operador de Fredholm se e só se, para todo τ ∈ T+ ∪ −1, 1 e paratodo η ∈ R

det ϕ(τ, η) 6= 0

ondeϕ(τ, η) = (1 + s(η)− τn(η))B0ψ

+(τ) + (1− s(η) + τn(τ))B0ψ−(τ)

para todo τ ∈ −1, 1 e

ϕ(τ, η) =

(1− s(η))B0ψ−(τ) n(η)B0ψ

−(τ)

n(η)B0ψ−(τ) (1− s(η))B0ψ

−(τ)

+

(1 + s(η))B0ψ+(τ) −n(η)B0ψ

+(τ)

−n(η)B0ψ+(τ) (1 + s(η))B0ψ

+(τ)

se τ ∈ T+.

Demonstração: Pela igualdade (3.2)

Wφ1 = EWψF

onde os operadoresE = r+F−1λ−s− · F`0 : Lp(R+) −→ Hs,p(R+),

F = F−1λr+ · F : Hr,p(R+) −→ Lp+(R)

são limitados, concluí-se que Wφ1 e Wψ são operadores equivalentes.Por outro lado,

EHψF = r+F−1λ−s− · F`0r+F−1λs−φ1λ−r+ · FJF−1λr+F

= r+F−1φ1λ−r+ · FJF−1λr+F

= r+F−1φ1λ−r+ (λ+)r · FJ (3.18)

mas, tendo em conta que

φ2(ξ) = (−ζ(ξ))rφ1(ξ)

=(− ξ − i

ξ + i

)rφ1(ξ)

= (λ+)r(ξ)λ−r+ (ξ)φ1(ξ)

substituindo em (3.18) obtém-se que

EHψF = r+F−1φ2 · FJ = Hφ2 ,

58

ou seja, os operadores Hφ2 e Hψ são também operadores equivalentes.Assim, sendo

Wφ1 +Hφ2 ∼ Wψ +Hψ︸ ︷︷ ︸WHψ

: Lp+(R) −→ Lp(R+).

Dado que se supôs ψ ∈ PCp(R) pode-se aplicar o Teorema anterior e chegar ao desejado. 2

Capítulo 4

Conclusão

As secções iniciais desta dissertação, 2.1- 2.3, pretende-se que constituam uma compilação dedefinições e resultados necessários à compreensão quer das restantes secções quer da teoriasubjacente aos operadores de Wiener-Hopf-Hankel.

Em geral, um operador de Wiener-Hopf-Hankel consiste na adição algébrica de um oper-ador de Wiener-Hopf com um operador de Hankel, no entanto a abordagem adoptada foi nosentido de considerar apenas operadores de Wiener-Hopf mais Hankel, podendo-se obter resul-tados semelhantes para operadores de Wiener-Hopf menos Hankel efectuando as necessáriasadaptações algébricas.

A apresentação e análise dos resultados recentemente obtidos, em [21] e [22], descritos nassecções 2.4 e 2.5, é realizada no espírito de tais artigos, considerando, assim, operadores deWiener-Hopf mais Hankel com símbolos quase periódicos a actuar em espaços de Lebesguecom índice de integrabilidade 2. No entanto, os resultados apresentados, nomeadamente oscritérios de invertibilidade e de descrição da propriedade de Fredholm, dependentes ou nãoda existência de um determinado tipo de factorização do símbolo de Fourier do operadorconforme se considere símbolos pertencentes à classe das funções quase periódocas ou à suasubclasse APW, podem ser generalizados a espaços de Lebesgue com índice de integrabilidade1 < p < ∞, desde que se considere símbolos pertencentes à classe dos multiplicadores deFourier.

No Capítulo 3 são considerados operadores de Wiener-Hopf-Hankel, a actuar entre espaçosde potenciais de Bessel. Dado que estes são equivalentes (no caso particular de os índicesde suavidade serem nulos, ou seja, considerando espaços de Lebesgue com índice de integra-bilidade 1 < p < ∞) a determinados operadores de Toeplitz menos Hankel foi possível tirarpartido de resultados de [1] e [16], efectuando as necessárias adaptações algébricas já queestes estão estabelecidos para operadores de Toeplitz mais Hankel, e reduzir o problema dainvertibilidade de tais operadores ao da verificação se o respectivo operador equivalente é umoperador de Fredholm de índice nulo. Este último problema é em geral mais simples, do queo problema inicial, até porque pode ser usada a condição necessária e suficiente dada pelo

59

60

Teorema 3.7 para verificação da propriedade de Fredholm.No caso particular de os símbolos de Fourier pertencerem ao fecho da clase das funções

contínuas por troços é obtida, usando a noção de ∆−relação após extensão, uma condiçãosuficiente para que o operador de Wiener-Hopf-Hankel seja um operador de Fredholm, bemcomo uma fórmula que permite computar o respectivo índice de Fedholm. Com base emresultados de [16] já foi possível apresentar uma condição necessária e suficiente para que ooperador atrás referido seja um operador de Fredholm, se bem que tal condição está sujeitaà verificação de certa relação de dependência entre os símbolos de Fourier do operador e deque o referido símbolo multiplicado por certos pesos pertença ao fecho da classe das funçõescontínuas por troços. Destas condições, basta que se verifique a igualdade entre os símbolos,se o operador actua entre espaços de Lebesgue com índice de integrabilidade 1 < p <∞, paraque se obtenha tal condição.

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