Representação de sistemas de dados mostrados

Na aula anterior introduzimos o tema de sistemas discretos e recordamosaspectos sobre transformada Z, que é uma ferramenta imprescindível para trabalhar neste campo

Hoje nos deteremos em dois aspectos fundamentais

Na aula anterior, foi apresentado o sistema de controle digital genérico, vide figura que pode ser esquematizada na seguinte forma:

Neste modelo, o relógio garante que o sistema discreto irá trabalhar com um período de amostragem constante.

Representação Discreta do Subsistema: D/A – Processo – A/D

Em geral, a referência r(t) (sinal de entrada) é gerada internamente pelo computador, desta forma o diagrama pode ser representado como:

• Na figura o sistema está parcialmente descrito na variável “z” e parcialmente na variável “s”. • Para projetar o controlador Gz, é necessário que o sistema todo esteja representado em apenas uma única variável.• Isto é feito determinando a função de transferência discreta do subsistema discreto composto por D/A – processo – A/D, ou seja:

Observações

A seguir nos deteremos um momento neste elemento

O conversor D/A de ordem zero aproxima os valores amostrados por um polinômio de ordem zero, conforme mostrado na figura abaixo.

Para determinar a resposta de G(s) (processo) a essa entrada, é necessário aplicar a transformada de Laplace sabendo que:

A transformada de Laplace é:

A resposta y(s) do processo devido à entrada é

Segundo a figura

Sendo que y(kT) é obtido de y(t) fazendo apenas t = kT.

Esta resposta y(t) passa pelo conversor A/D e gera y(kT).

A transformada Z de y(kT) será:

Fazendo:

Teremos:

Segundo o operador atraso:

Logo,

devido a

Assim,

deve ser interpretada como a transformada – Z da seqüência obtida pela amostragem do sinal

Já se definiu anteriormente

Como a resposta ao impulso Y(z) é igual à função de transferência do sistema H(z), temos:

Logo, para calcular H(z) devem-se seguir os seguintes passos:

A equação pode ser determinada utilizando apenas a tabela

Encontre na tabela a transformada inversa de

e encontre na tabela a transformada – Z de

Faça

Finalmente, a função de transferência discreta do sistema D/A – G(s) – A/D

será

Exemplo 1: Considere o seguinte sistema dinâmico com interface A/D e D/A:

Calcule a função de transferência discreta:

Solução:A função de transferência H(z) é obtida realizando-se os passos da página anterior:

1-

2- logo, segundo a tabela temos:

utilizou-se a linha (6) da tabela

Finalmente, 3-

a=4;G=tf(a,[1 a]);T=0.1;Gz=c2d(G,T)

Se

0.6703-z0.3297H(z)

0.1T4

a

0.3297----------z - 0.6703

Exemplo 2: Considere o sistema de controle digital abaixo,

O período de amostragem da parte discreta é: 0,1segTrace o gráfico de y(kT) x kT devido a entrada r(kT) tipo degrau unitário..

Solução: Para determinar y(kT) é necessário primeiramente representar todo sistema na variável Z, onde obtemos:

Os pólos são:

Temos:

Aplicando a propriedade de deslocamento:

Finalmente, a resposta transitoria sera:

Gz=tf([0.0952 0],[1 -1.8096 0.9048],0.1)figure(1)step(Gz)

Esta é a resposta completa se quer ver quão mesmo obteve teoricamente até o instante de amostragem 17

Gz=tf([0.0952 0],[1 -1.8096 0.9048],0.1)figure(1)step(Gz,2)

n=[0.0952 0]d=[1 -1.8096 0.9048]figure(2)dstep(n,d)