1

Representação de Sistemas Dinâmicos

Profa. Vilma A. Oliveira USP São Carlos Março de 2011

Sumário 1. Sistemas físicos e modelos ..................................................................................................................................... 2

2. Descrição entrada-saída........................................................................................................................................ 2 2.1 Equações de sistemas dinâmicos...................................................................................................................... 2 2.2 Sistemas relaxados, causais e lineares descritos por operadores .................................................................... 3

Integral de superposição ...................................................................................................................................... 3 Integral de convolução ........................................................................................................................................ 5 Invariância no tempo ........................................................................................................................................... 5

2.3 Função de transferência ................................................................................................................................. 5

3 Representação espaço de estado............................................................................................................................ 6 3.1 Classificação de sistemas espaço de estado ..................................................................................................... 6 3.2 Linearização na vizinhança de um ponto fixo................................................................................................. 7 3.3 Sistemas lineares invariantes no tempo ........................................................................................................... 8 3.4 Solução, modos, resposta impulsiva, função de transferência...................................................................... 13

4. Sistemas equivalentes .......................................................................................................................................... 16

5 Sistemas lineares discretos no tempo .................................................................................................................. 17 5.1 Representação entrada-saída ......................................................................................................................... 17 5.3 Representação espaço de estado..................................................................................................................... 20

Solução no domínio do tempo ........................................................................................................................... 21 Função de transferência..................................................................................................................................... 21

6. Sistemas amostrados ........................................................................................................................................... 22 Domínio da freqüência ...................................................................................................................................... 22

6.2 Transformação bilinear ou aproximação de Tustin ...................................................................................... 23

2

1. Sistemas físicos e modelos Para o propósito de análise e projeto um sistema físico é em geral representado por um modelo simplificado que retém os atributos relevantes para o problema em questão. Um sistema físico pode ter diferentes modelos dependendo das condições da sua operação e aplicação. Na nomenclatura de controle os modelos de sistemas físicos são denotados sistemas e os sistemas físicos plantas ou processos. Por sua vez, os modelos podem ter diferentes representações matemáticas. O objetivo destas notas é apresentar as representações entrada/saída e espaço de estado de modelos de sistemas físicos bem como as suas propriedades principais. Referências usadas nesta aula: CHEN, C. T. “Linear System Theory and Design”, HRW, 1998 e RUGH, W. J. “Linear System Theory”, Prentice-Hall Information and System Sciences Series, 1996.

2. Descrição entrada-saída A descrição entrada-saída fornece uma relação matemática entre a entrada e saída do sistema. As propriedades do sistema são obtidas através da aplicação de entradas de teste. As entradas são denotadas por um vetor mx1, e as saídas por um vetor q x1, . A representação simplificada do sistema na forma de diagrama de blocos é:

Tmuuu ][ 1K= T

qyyy ][ 1K=

u ySistema

Notação: u ou u (.) denota um vetor definido em (-∞,∞); u(t) é usado para representar o valor de u no tempo t; u[t0, t1] significa que u é definido em [t0, t1]. A representação típica de um sistema de controle comumente encontrada é a mostrada no diagrama da Figura 1 em que r é a entrada de comando, n ruído do sensor, di perturbação de entrada da planta, d perturbação da saída da planta, y saída; K(s) e G(s) funções de transferência do controlador e processo, respectivamente.

y

n

uP r u

-

K(s) G(s)

d di

Figura1: Sistema a malha fechada.

2.1 Equações de sistemas dinâmicos

3

As equações diferenciais de um sistema são obtidas a partir das leis que descrevem o seu comportamento no tempo. Por exemplo, a lei de Newton e a lei de tensão e corrente de Kirchhoff são a base da construção das equações de movimento para sistemas mecânicos e para sistemas elétricos, respectivamente. Consultar os livros textos básicos de controle para exemplos. A forma mais geral de escrever uma equação diferencial linear de coeficientes constantes de ordem n é

)()()()()()(01

1

012

2

21

1

1 tubdt

tudbyadt

tdyadt

tydadt

tydadt

tyda m

m

mn

n

nn

n

nn

n

n ++=+++++ −

−

−

−

−−

−

− LL

onde é a saída e é a entrada e )(ty )(tu niai ,,0, L= e mjb j ,,0, L= constantes com

nm < . 2.2 Sistemas relaxados, causais e lineares descritos por operadores Definição: Se a saída de um sistema em 1tt = depender somente da entrada aplicada em 1tt = o sistema é chamado sistema instantâneo ou sistema sem memória. Definição: Um sistema é dito ser relaxado em t0 se e só se a saída y[t0, ∞) é excitada unicamente por u[t0, ∞). Pode-se escrever:

y[t0, ∞) = H u[t0, ∞) onde H é um operador, ou simplesmente:

Huty =)( (1)

Definição: Um sistema é dito ser causal ou não antecipatório se a saída do sistema no instante t não depender da entrada aplicada depois do tempo t; depende apenas da entrada aplicada no tempo t e antes do tempo t. Pode-se escrever:

],()( tHuty −∞= para t0 em (- ∞, ∞) para um sistema causal e relaxado. Definição: Um operador é linear se para entradas obter-se: 21 e uu

22112211 )( HuHuuuH αααα +=+ Integral de superposição O operador H para sistemas lineares e relaxados pode ser descrito em termos de uma integral de superposição, usando a função delta ou impulso de Dirac. Seja a função

4

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

Δ+≥

Δ+<≤Δ

<

=−Δ

1

11

1

1

0

,1,0

)(

tt

ttt

tt

ttδ

)( 1tt −Δδ é a chamada função pulso.

Se faz-se Δ → 0 tem-se:

)(lim:)( 101 tttt −=− Δ→Δ

δδ que é a chamada função impulso de Dirac ou função delta.

Seja y = H u Aproximando u por uma série de funções pulsos:

Δ−= ∑ Δ )()(: iii

tuttu δ

e substituindo u e supondo H linear tem-se:

Δ−== ∑ Δ )()]([ iii

tuttHHuy δ

fazendo , tem-se: ∫→∑→Δ ,0

∫∞

∞−−= τττδ dutHy )())(( (2)

e definindo ),()( ττδ tgtH =− , onde τ é o tempo em que a função δ é aplicada e t o tempo em que a saída é observada, tem-se

∫∞

∞−= τττ dutgty )(),()(

onde g t( , )τ é a chamada resposta impulsional do sistema e a integral é a integral de superposição. Portanto, se g t( , )τ for conhecida, a saída y(t) pode ser obtida para todo t. No caso multivariável a integral de superposição fica:

∫∞

∞−= τττ dutGty )(),()( (3)

com ),( τtG uma matriz formada pelas mq× ),( τtgij respostas impulsionais entre a saída i e a entrada j.

5

Observação: Um sistema linear relaxado pode ser interpretado como um operador linear que mapeia o espaço de funções contínuas por parte em (-∞, ∞) em outro espaço de funções contínuas por parte. Integral de convolução Invariância no tempo As características do sistema não mudam com o tempo. Diz-se que o sistema é fixo, ou estacionário. Definição: Um sistema linear e relaxado é invariante no tempo se e só se

yQHuQuHQ ααα == para ∀u e ∀α com Qα o operador de deslocamento:

.),()( ttutuQ ∀−= αα A resposta impulsional ),( τtg de um sistema relaxado e invariante no tempo depende apenas da diferença τ−t . De fato, pela definição de invariância no tempo tem-se:

)()()(., τδτδτ ααα −=−= tHQtHQgQ e, usando a definição de ),( τtg , pode-se escrever

)(.,))(( ατατδ +=+− gtH . Agora, pela definição de Qα, a equação )(.,)(., αττα += ggQ implica

),(),( ατατ ++= tgtg , ∀t, α, τ. Escolhendo α = -τ, tem-se

)0,(),( ττ −= tgtg , ∀t, τ Podemos concluir que a resposta impulsional de um sistema linear relaxado e invariante no tempo depende apenas da diferença entre t e τ. Portanto, pode-se obter a resposta y(t) em termos:

∫ −=t

tdutGty

0)()()( τττ (4)

que é a chamada integral de convolução. 2.3 Função de transferência Considere a integral de convolução (4):

6

∫ −=t

tdutGty

0)()()( τττ

utilizando a transformada de Laplace tem-se:

y(s) =G(s) u(s)

onde dada pela transformada de Laplace de definida por

denota a função de transferência entre u e y.

)(sG )(tG ∫∞ −=0

)(:)( dtetGsG st

Prova: Aplicando a transformada de Laplace em (4), tem-se para t0=0

∫ ∫∞ −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

0 0)()()( dtedutGsy sttτττ

Uma vez que o sistema é causal tem-se 0)( =−τtG para t>τ . Então,

∫ ∫∞ −∞

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

0 0)()()( dtedutGsy stτττ . Mudando a ordem de integração tem-se:

τττ dudtetGsy st )()()(0 0∫ ∫∞ ∞ −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= . Usando a propriedade de deslocamento da transformada de

Laplace: , tem-se )()( sGetGL sττ −=−

∫∞ −=0

)()()( ττ τ deusGsy s . E o resultado segue.

3 Representação espaço de estado

Equações diferenciais podem ser descritas como um conjunto de equações diferenciais de 1a ordem simultâneas. Para sistemas dinâmicos de dimensão finita, estas equações são representadas na forma espaço de estado como uma equação vetorial

),,(),,(

uxtHyuxtFx

==&

(5)

com mRu∈ a entrada, a saída e qRy∈ nRx∈ o chamado estado e e funções vetoriais. A descrição completa de sistemas dinâmicos requer um conjunto de condições iniciais para o estado com o tempo inicial.

(.,.,.)F (.,.,.)H

)( 0tx 0t Definição: O estado de um sistema em t0, x(t0), é a quantidade de informação em t0 que, juntamente com determina unicamente o comportamento do sistema para todo t≥t),[ 0 ∞∈ tu 0. 3.1 Classificação de sistemas espaço de estado Sistema autônomo: Se em (5) ),(),,( uxFuxtF = o sistema é dito ser autônomo. Sistema periódico: Se quando DxTt ∈+ ),( Dxt ∈),( e se )0,,()0,,( xTtFxtF += para todo

então Dxt ∈),( ).0,,()0,,( xTtFxtFx +==&

7

Sistema homogêneo linear: Se em (5) .)()0,,( xtAxtF =

em que [ ])()( tatA ij= é uma matriz real nxn com elementos contínuos por parte em um intervalo de tempo definido para t . )(taij

Sistema não homogêneo linear: Se em (5) )()()(),,( tutBxtAuxtF += com [ ])()( tbtB ij=

uma matriz real nxm e formados por elementos contínuos por partes. )(tu Sistema homogêneo, autônomo e linear: Se em (5) AxxF =)0,,0( com [ ] nn

ij RaA ×∈= . Para o caso linear, não autônomo e não homogêneo incluindo a saída y pode-se escrever as equações de estado e saída variantes no tempo

utDxtCyutBxtAx)()()()(

+=+=&

(6)

com A(.), B(.), C(.) e D(.) matrizes nxn, nxm, qxn e qxm e ),( ∞−∞∈t . Para simplificar a notação, em geral refere-se a este sistema como sistema (A(.),B(.),C(.),D(.)). A primeira equação é a equação de estado e a segunda a equação da saída. Para qualquer realização (A(.),B(.),C(.),D(.)) existe uma realização dual (A’(.),C’(.),B’(.),D’(.)). E finalmente, para o caso linear, autônomo e não homogêneo incluindo a saída y pode-se escrever as equações de estado e saída invariantes no tempo

DuCxyBuAxx

+=+= ,&

(7)

com A, B, C e D matrizes constantes. 3.2 Linearização na vizinhança de um ponto fixo Podemos estudar o comportamento de (5) para o caso autônomo na vizinhança de um ponto fixo (também chamado de ponto de equilíbrio) de um sistema não-linear, fazendo uma linearização (supondo que F e H sejam funções suaves) neste ponto. Suponha que seja um ponto fixo de (5). Para uma pequena perturbação

),( ee uxζ e v tem-se

vuuxx ee +=+= ,ζ (8)

Substituindo agora (8) em (5) obtém-se

),( vuxF ee ++= ζζ& (9) Assim, transformamos o ponto fixo de (5) no ponto fixo ),( ee ux ),( ee vζ . Supondo F na classe

, no mínimo, pode-se expandir (9) em uma série de Taylor em torno do ponto e então

2C ),( ee ux

....),( ,, +++= vFgradFgraduxFeeee ux

Tuux

Txee ζζ&

8

onde xFFgrad T

x ∂∂

= e uFFgrad T

u ∂∂

= são as matrizes Jacobianas de em relação a x e

u, respectivamente, dadas por

),( uxF

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

n

n

n

n

xF

xF

xF

xF

xF

L

LLL

K1

1

1

1

,

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

n

n

n

n

uF

uF

uF

uF

uF

L

LLL

K1

1

1

1

.

Dessa forma, desprezando os termos de ordem superior, tem-se

BvAvFgradFgradeeee ux

Tuux

Tx +=+= ζζζ ,,

& com A e B calculadas em . ),( ee ux 3.3 Sistemas lineares invariantes no tempo Considere a representação das equações espaço de estado e saída

DuCxyBuAxx

+=+= ,&

(10)

com A, B, C e D matrizes constantes. Um sistema com uma entrada (m=1) e uma saída (q=1) é chamado sistema SISO das iniciais de single input and single output, se não for o caso o sistema é chamado MIMO das iniciais de multiple input and multiple output. A correspondente matriz de transferência entre y e u é definida por:

)()()( sUsGsY = onde

DBAsICsG +−= −1)()(

Supõe-se que G(s) tem posto completo e Posto(G(s)=min(p,m). A seguinte notação é freqüentemente usada:

DBAsICDCBA

+−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −1)(:

),,,( DCBA = sistema dinâmico linear na forma espaço de estado.

O modelo espaço de estado tal que ),,,( DCBA DBAsICsG +−= −1)()( é denominado uma realização espaço de estado de G(s).

9

Representação espaço de estado e diagrama de blocos do sistema:

yu x

D

∫ C

A

B

Exemplo 1: Pêndulo invertido sobre um carrinho Considere o sistema de pêndulo invertido mostrado na figura apresentada a seguir (Chen, 1999).

Projetar um sistema de controle para manter o pêndulo invertido na posição vertical na presença de distúrbios aplicados ao ângulo θ e /ou na velocidade angular . É desejado que o sistema de controle retorne o carro à posição de referência ao final do processo de controle. (Não há entrada de referência para o carro). Considere os valores numéricos para :

θ&

bImM ,,,, l

. N/m/sec1.0,m*kg 0.006,m5.0,kg1.0,kg2 2 ===== bImM l As equações do pêndulo invertido no sistema do carrinho podem ser obtidas a partir do diagrama de corpo livre mostrados na figura abaixo com H e V as forças vertical e horizontal exercidas pelo carrinho sobre o pêndulo.

10

Somando as forças do diagrama do carro na direção do movimento linear tem-se:

HxbuxM −−= &&& ,

e somando as forças do diagrama do pêndulo na direção horizontal tem-se:

θθθθ

θ

senmmxm

xdtdmH

2

2

2

)(cos

)sin(

&l&&l&&

l

−+=

+=

]cos)([

)cos(

2

2

2

θθθθ

θ

&&&l

l

−−=

=−

senmdtdmmgV

Somando as forças do diagrama do pêndulo na direção vertical tem-se: :

θθθθθ coscos l&&&&l xmmgsenHVsen +=−+ Somando os momentos em torno do centróide do pendulo tem-se:

θθθ &&ll IHsenV =−− cos . Combinando as duas últimas equações tem-se:

θθθ cos)( 2 xmsenmgmI &&ll&&l −=++ As equações dinâmicas do sistema podem então ser resumidas em

θθθ

θθθθ

θθθθ

cos)(

]cos)([

)(cos)(

2

2

2

l&&l&&l

&&&l

&l&&l&&

xmsenmgmI

senmmgV

usenmmxmM

−−=+

−−=−

++−=+

Linearizando em torno de 0=θ e desprezando os termos tem-se e obtém-se as equações dinâmicas:

2)(θ& mgV =

11

.)(

)(2 θθ

θ

l&&l&&l

&&l&&&

mgxmmI

umxbxmM

=++

=+++

Agora, definindo as variáveis de estado como pode-se escrever a equação de espaço de estado:

xxxxxx && ==== 4321 ;,, θθ

BuAxx +=& .

Exercício 1: Obter as equações dinâmicas do pêndulo via a formulação Lagrangeana.

Exemplo 2: Sistema de suspensão magnética O sistema de suspensão magnética consiste de uma bola de metal que deve ser mantida através

de equilíbrio entre a força gravitacional e a força eletromagnética a uma distância z0 da bobina.

O diagrama esquemático do sistema é mostrado abaixo (Oliveira et al., 2005).

O modelo para o sistema é obtido a partir das equações: 2

02( , )

2 (1 / )L if z ia z a

−=

+

2

2 ( , )d zm mg f zdt

= + i

( ( ) )d L z iv Ridt

= +

em que f(.,.) é a força eletromagnética [N], i é a corrente na bobina [A], v é a tensão aplicada

[V], L(.) e R são a indutância [H] e a resistência da bobina [Ω], a é uma constante [m] e L0 =

L(0)-L(∞). Estas equações são não lineares, mas podem ser linearizadas em torno de um ponto

12

de equilíbrio. Os parâmetros são apresentados na Tabela 1. Nesta tabela, L é uma constante que

aproxima L(.) no ponto de equilíbrio. No equilíbrio ),( ee izfmg −= fornecendo para L

constante e : 0045.0=ez

)1(2

0 az

Lamg

i ee += .

Tabela 1: Parâmetros do sistema de suspensão magnética

massa da esfera metálica m [kg] 22,6x10 -3

resistência da bobina R [Ω] 19,9 indutância da bobina aproximada L [H] 0,520 indutância bobina no ponto de operação L0 [H] 2,49x10 -2

posição da bola no ponto de operação z0 [m] 4,5 x 10 -3

constante a a [m] 6,72 x 10 –3

Modelo do sistema na forma espaço de estado Pelas equações acima que regem o sistema, por meio de manipulação algébrica obtemos a representação do sistema de suspensão magnética na forma espaço de estado definindo-se

: ixzxzx === 321 e , &

),( vxFx =& onde

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=

LxRv

ax

xamL

g

x

F

3

21

230

2

.

12 .

E o ponto de equilíbrio é dado por . Teee izx ],0,[=

Linearizando em torno de ie e ze tem-se

)()(),(,,

evx

evx

eee vvvFxx

xFvxFxx

eeee

−∂∂

+−∂∂

+=− &&

Definindo

13

e

el

vvuxxx

−=−=

pode-se escrever BuAxx += ll

& onde

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=∂∂

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

∂∂

=

LxFB

LR

mk

mk

xFA

eeee vxvx 100

:;

00

0010

:,

12

,

com 2

0 01 2

2 2, ,,

[ (1 ) ] [ (1 ) ]e e e e

e e

e ez i z i

L i L if fk kz zi za aa a

∂ ∂= = = =∂ ∂+ + 3

e

0045.0=ez , , e, portanto, 447.0=ei ev Ri= 8.8952=ev .

3.4 Solução, modos, resposta impulsional, função de transferência Solução Teorema. A solução do sistema (6) é dada por )(tx

∫ −+−=t

dBu(tAexttAetx0

00 ))()()( τττ . (11)

Prova. Aplicando a transformada de Laplace no sistema (6) obtém-se

)()()( 0 sBusAxxssx +=−

)()()()( 10

1 sBuAsIxAsIsx −− −+−= e

)(])([)()( 10

1 suDBAsICxAsICsy +−+−= −− A partir da aproximação em série de Taylor em torno da origem para dada por Ate

n

tn

Atn

t

At

tAtAt t

tet

teee

000

=== ∂

∂+⋅⋅⋅+

∂∂

+=

14

pode-se obter

∑∞

=

=0 !

1k

kkAt Atk

e . A partir da transformada de Laplace

dteAtk

eL stkkAt −∞∫ ∑= )!

1( 0

e usando )1(!

+−= kk

sktL pode-se verificar que ∑∑ −−+− == kkkAt AssAseL )( 11)1( .

Uma vez que

pode-se obter ∑

∞

=

− =⋅⋅⋅+++=−=0

21 1)1()(k

ksssssf

111

0−−−∞ −=∑ )()( AsIAs

k. Desta forma pode-se escrever

11

11111 )()()( −

−

−−−−− −=

−=− AsI

sAsIsAsIs

e portanto . Considerando a aproximação em torno de obtém-se 1)( −−= AsIeL At 0=t

,))()(0

0 ∫ −+=t

dBu(tAexAtetx τττ

notando que o segundo termo de é a convolução de e)(tx At com B u(t). A solução y(t) é dada por

∫ −+−+−= tt dutDδBtACexttAC ety

00

0 )()()]()([)()( ττττ

Suponha u(t)=0, tem-se então a resposta à entrada nula: )(tx

00 )()( xttAetx −= .

Denotando

)(:),( 00 ttAett −=Φ

pode-se escrever

0000 ),()0,,,(:)( xttxttstx Φ== . A última equação é a chamada matriz de transição de estado a qual descreve a propagação do estado de t0 ao tempo t. Pode ser interpretada como um operador.

15

A solução única de para Axx =& 0)0( xx = é da forma .)( 0xAtetx = Modos do sistema

Para introduzir os modos de expressa-se como segue Axx =& Ate

][ 1)1(1

10

1

1

0

tnni

ti

tm

ii

m

i

tkn

kik

At

ii

i

ii

ii

etAteAeA

etAe

λλλ

λ

−−

=

=

−

=

++=

=

∑

∑∑

L

com mλλ ,,1 L os autovalores com multiplicidade distintos de A e m in

]])()[[)!1(

1!

1 )1(1lim knni

siik

ii

i

AsIsknk

A −−−

→

−−−−

= λλ

em que denota a derivada com respeito a s. O termo é chamado de modo do sistema .

)([.] l ézima−l tkik

ietA λ

Axx =&

Considere agora o caso em que 1=in . Neste caso

toma a forma: Ate

].))([ com 1

1lim −

→=

−−== ∑ AsIsAeAe is

it

n

ii

At

i

i λλ

λ

Para esse caso, existe um procedimento alternativo para computar usandoAte iii uvA = com

e autovetores a direita e a esquerda de A, ou seja, são obtidos a partir de

ni Rv ∈ nT

i Ru ∈ iv e i u 0)( =− ii vAIλ e 0)( =− AIu ii λ , respectivamente. De fato, com

e ],,[: 1 nvvQ L=

TnuuQ ],,[: 1

1 L=− e usando pode-se escrever 1],[ −= QdiagQA ni λλ L

∑ =−

−−−

−−

−−−

−=

−−=

−=

−=−

n

i iii

ni

ni

ni

suv

QssQdiag

QdiagsIQ

QQdiagsIAsI

11

111

11

111

)(

])(,,)[(

]),,[(

)],,[()(

λ

λλ

λλ

λλ

L

L

L

.

Aplicando a inversa de Laplace obtém-se .1

tn

iii

At ieuve λ∑=

=

Em particular, se jvx α=0 , então,

uma vez que . evexu vexuvxAtet tj

tnn

t jn ,:)0,( 001101 λλλ α=++==Φ L ijj

Ti vu δ=

16

Exercício 2. Obter para usando a decomposição para . Idem para

e . Comentar sobre a presença ou não de todos os modos do

sistema em .

Ate ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=39

10A Ate

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

2002

A ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

2012

A

Ate Resposta impulsional Para tem-se a resposta ao estado zero 0)( 0 =tx

∫ −+−=

∫−=

tt dutDBtACety

tt dButAetx

0

0

)()]()([)(

)()([)(

τττδτ

τττ

),0,;(:)( 0 uttstx = é chamada resposta ao estado zero e é a chamada resposta impulsional.

)()( tDBAtCe:tG δ+=

Notação: Solução do sistema (7) é dada por

zero) estado ao (resposta ),0,;(nula) entrada a (resposta )0,,;(),,;(

0

0000

uttsxttsuxtts

+=

Função de transferência A obtenção da relação entrada/saída é feita considerando x0=0:

]1)([)( DBAsICsG +−−=

)det()]det()([

)det(])([)(

AsIAsIDBAsIadjCD

AsIBAsIadjCsG

−−+−

=+−−

=

O polinômio det(sI-A) é o chamado polinômio característico de A e é denotado por Δ(s).

4. Sistemas equivalentes É fácil verificar que um dado sistema de equações diferenciais pode ter muitas descrições espaço de estado. A realização espaço de estado de uma função de transferência não é única. Através de uma mudança de variáveis

xTx = , T não singular

pode-se obter outra realização. Desde que existe uma infinidade de matrizes T existe uma infinidade de realizações.

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Definição: Seja T uma matriz nxn não singular com coeficientes no corpo dos números complexos C, e defina x Tx= . Então

uDxCyuBxAx

+=

+=&

é equivalente ao sistema , com),,,( DCBA DDCTCBTBATTA ==== −− ,,, 11 e T a transformação de equivalência. A relação ATTA 1−= é conhecida como transformação de similaridade e AA e são chamadas matrizes similares representando o mesmo operador. Definição: Dois sistemas são estado-zero equivalentes se e só se têm a mesma matriz resposta impulsional. São entrada-nula equivalentes se e só se para qualquer condição inicial x(t0) existir um estado inicial )( 0tx e vice-versa tal que os dois sistemas tenham a mesma resposta a entrada-nula. Teorema: Dois sistemas equivalentes são estado-zero e entrada-nula equivalentes. Prova. A primeira parte do teorema pode ser mostrada da seguinte forma. A matriz resposta impulsional do sistema é da forma ),,,( DCBA

)()( tDBAtCetG δ+= e para o sistema ),,,( DCBA é )()( tDBtAeCtG δ+= . Se

os dois sistemas são equivalentes, temos DDCTCBTBATTA ==== −− ,,, 11 . Conseqüentemente,

TeTe AttA 1−=

e )()()( 11 tDBCetDBTTeCTTtDBtAeC AtAt δδδ +=+=+ −− . Assim, os dois sistemas são estado-zero equivalentes. A segunda parte é mostrada como segue. A resposta entrada-nula do sistema é ),,,( DCBA

0)0()( xCety ttA −= e a resposta do ),,,( DCBA 0

)0(0

)0()( xTCexeCty ttAttA −− == .

Então, se escolhermos 01

0 xTx −= os dois sistemas apresentam a mesma resposta ao estado-zero.

5 Sistemas lineares discretos no tempo

5.1 Representação entrada-saída Sejam u(kT) seqüência de entrada; y(kT) seqüência de saída;

18

com k∈N e T o período da amostragem. Usamos )(:)( kukTu = e ,...2,1,0),(:)( == kkykTy

Equações a diferença Sistemas dinâmicos discretos podem ser descritos por equações a diferença. A forma mais geral de escrever uma equação a diferença linear de coeficientes constantes de ordem n é

u(k)b)u(kbm)u(kby(k)a)y(ka)y(ka...)n-y(kan)y(ka

m

n-n

01

0121

1121

+++…++=+++++++++

onde k é o instante de tempo, y(k) é a saída e u(k) a entrada e ni ,,1,a i L= , são constantes com m<n.

mi ,,1,bi L=

Exemplo Considere o ciclo de uma população de plantas daninhas onde a dinâmica de plantas daninhas anuais é descrita através de fatores dependentes e independentes da densidade de plantas e do número de sementes por área (densidade de sementes) nos sucessivos ciclos a partir do número de sementes do ciclo inicial. Assim, a densidade de sementes existentes no ciclo k+1 é determinado pela densidade de sementes do ciclo anterior k

)()()()1()()1(

kygvgoskygkygosky

−+=−+=+

onde y é o número de sementes por área, g, o, s e v são as taxas de sucesso de germinação, floração, fecundidade (número de sementes produzidas por planta) e de sementes viáveis no solo no ciclo seguinte, respectivamente, com g, o e s constantes. O segundo termo representa as gerações sobrepostas e portanto, se não ficaram sementes no solo durante um ciclo implica v=0. O modelo descrito pode ser reconhecido como uma equação a diferença do tipo acima com n= 1 e u=0. Tratando-se de sistemas lineares pode-se descrever a saída como uma seqüência ponderada da entrada por

∑∞

==

0)(),()(

mmumkgky (12)

Sistema causal Tem-se mkmkg <= ,0),( e portanto:

∑=

=k

mmumkgky

0)(),()( (13)

Para um sistema invariante no tempo tem-se

19

mkmkgmkg ≥−= ),(),(

L,1,0,)()()(0

=−= ∑=

kmumkgkyk

m (14)

Para uma entrada impulso

⎩⎨⎧

≠=

=−ikik

iku01

)(

tem-se que . 0),()( ≥= kkykg Seqüência discreta Considere agora a seqüência discreta

∑∞

=

−=

=

0)()(

)()()(

k

T

kTtt x

t * pt x t x

δ (15)

com p um trem de pulsos unitários de período T. Utilizando a transformada de Laplace obtém-se

.)(

))(*)(()(

0

kTs

k

T

ekTx

tptx L s x

−∞

=∑=

=(16)

Diferentemente do caso contínuo, a transformada de Laplace dos sinais discretizados resulta na seqüência representada no somatório em (16). Da mesma forma, considerando-se o somatório de convolução em (14), o uso da transformada de Laplace com auxílio de (16) produz a representação discretizada da função de transferência

.)(

)()()(

0

kTs

k

T

ekTg

susy s G

−∞

=∑=

= (17)

A função de transferência relacionando entrada e saída discretas é então dada em termos de uma seqüência infinita descrita no somatório em (17) e não na formulação algébrica de razão de polinômios como no caso contínuo. A análise de sistemas discretos, portanto, com o uso da transformada de Laplace não oferece simplificação do tratamento matemático comum aos sistemas contínuos. A solução para isto é o uso da transformada Z definida a seguir.

5.2 Transformada Z A transformada Z é uma aplicação matemática que faz corresponder a cada seqüência de números, uma função da variável complexa z. A variável complexa z é definida como

20

)]()(cos[ Tw jsen Tw e e

ez

Tσ

jw)T(σ

Ts

+=

=

=+

(18)

Usando (18) em (16) obtém-se a seguinte representação do sinal discreto na variável z

L zT x zT x x

zkTx kT Zx t x Z zx

--k

-kT

+++=

=== ∑∞

=

210

)2()()0(

)()()]([)(

x(z) é então uma série infinita de potências da variável z denominada transformada Z do sinal discretizado em (16). Da mesma forma, usando (18) obtém-se a transformada Z da função discretizada em (17). Em muitos casos é possível obter uma função explicita em z que representa esta série, utilizando propriedades de séries de potências, ou progressões aritméticas ou geométricas. A função assim obtida é referenciada como função em z . A transformada Z da seqüência discreta denotada por é então definida como )(kx )(zx

∑∞

=

−==0

)()]([)(k

kzkxkxZzx . (19)

Exemplo Seja a função degrau unitário u(t)=1(t). Na forma discreta tem-se

)(1)()( 00 kTkTxtxT == Aplicando a definição de transformada obtém-se

L+++= −− 211)( zzzX Observa-se que a função X(z) acima representa uma série geométrica do tipo

L+++= −− 21)( araarf e para tal série, sabe-se que,

rarf−

=1

)( .

No caso acima diz-se que a série f(r) converge para a função dada por a/1-r. Assim, fazendo a=1 e 1−= zr tem-se a transformada Z da da função degrau

1)( −= zzzX .

5.3 Representação espaço de estado

)()()()()()1(

kDukCxkykBukAxkx

+=+=+

(20)

Solução da equação de estado discreta

21

Similarmente ao caso contínuo pode-se obter a solução da equação de estado no domínio da freqüência via transformada Z. Aplicando a definição (19) tem-se

∑ ∑∞

=

∞

=

+−− +=+=+0 0

)1()1()1()]1([k k

kk zkxzzkxkxZ . Definindo 1+= kl , somando e subtraindo

no somador tem-se )(0x

)]0()([)0()0()()]1([1

xzxzxxzxzkxZ −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=+ ∑

∞

=

−

l

ll desde que )0()()(1

xzxzx −=∑∞

=

−

l

ll

Aplicando, portanto, a transformada Z na equação espaço de estado (20) acima tem-se:

)()()( 0 zBuzAxzxzzx +=− A solução da equação de estado é da forma:

)()()()( 10

1 zBuAzIzxAzIzx −− −+−= (17) e daqui,

)()()()( 01 zuzGzxAzICzy +−= − (18)

O primeiro termo de é a saída devido a entrada nula e o segundo termo a saída devido ao estado zero.

)(zy

Solução no domínio do tempo A solução do sistema discreto espaço de estado pode ser obtida a partir da função de transferência discreta. Função de transferência A função de transferência discreta pode ser obtida como:

DBAzICzG +−−= 1)()( (19) Pode-se tirar a transformada inversa de x(z) e y(z) para obter, similarmente ao caso contínuo as soluções para 0>k

∑

∑−

=

−−

−

=

−−

++=

+=

1

0

10

1

0

10

)()()(

)()(

k

i

ikk

k

i

ikk

kDuiBuCAxCAky

iBuAxAkx

e a resposta impulsional

22

⎩⎨⎧

>=

=010

B, kk-CAD, k

G(k) (20)

6. Sistemas amostrados

6.1 Aproximação com segurador de ordem zero na entrada Suponha o sistema excitado por um sinal discreto como no diagrama:

u(t) y(kT)y(t)u(kT)A/DD/A

Sistema(A,B,C,D)

Em que o bloco D/A é o conversor digital/analógico. Então, para um conversor D/A segurador de ordem zero tem-se

TkTtkTkTutu +≤≤= ),()( . Seja ),( TkTkTt +∈ . Pode-se então, escrever a solução das equações discretas para

TkTt += e a partir da solução do sistema contínuo no tempo apresentada anteriormente como:

kTt =0 )(tx

∫+ −++=+ TkT

kTTkTAAT dBuekTxeTkTx τττ )()()( )(

0 se- tem se- tem

e, se-tem, definindo agora,

=+→=→

−=−+=

ητητ

τητη

TkTTkT

ddTkT

então, tem-se,

∫ −−++=+0 ))(()()(T

AAT dTkTBuekTxeTkTx ηηη

e, finalmente

)()(

)(][)()(0

kTGukTFx

kTBudekTxeTkTx T AAT

+=

+=+ ∫ ηη

com as matrizes F e G definidas de acordo. Domínio da freqüência O diagrama de blocos entre u e y é da forma:

23

δ(t-kT) y(t) u(kT) u(t) y(kT)

(1-e-Ts)/s G(s) 1 (t=kT)

Supondo um segurador de ordem zero dado por um trem de pulso de peso 1 e duração T obtém-se:

./)1()]([)()(1)(1)(

setpLsZOHTtttp

sT−−==

−−=

A saída amostrada em t=kT é dada por )()()( tykTtkTy

k

−= ∑δ . Então, obtém-se a função de

transferência do sistema de a : )(kTu )(kTy

])([)1(

)]()1([)(

1

ssGz

sGseZzG

sT

Ζ−=

−=

−

−

(21)

usando a relação entre os planos s e z dada por e a transformada de Laplace sTez = )(sZOH . Esta aproximação é também referenciada por aproximação invariante ao degrau em decorrência da imposição em fazendo-se )()( kyty = kTt =

])([1)](1

1[ 11

ssGL

kTt

zGz

Z −=−

=

−−

(22) onde o lado esquerdo é e o lado direito em )(kTy )(ty kTt = . No Matlab pode-se usar o comando c2d (com opção ‘hold’). 6.2 Transformação bilinear ou aproximação de Tustin Na transformação de Tustin, a relação entre a variável s da transformada de Laplace e a variável z da transformada z é dada por

2/12/1

sTsTez sT

−+

≈= ou 112

+−

=zz

Ts . (21)

A transformação Tustin, também referenciada como transformação bilinear, corresponde à aproximação da integral

dttekTukT

∫= 0)()( (22)

24

pela regra trapezoidal ])()([2

)(1

0∑−

=

++=k

j

TjTejTeTkTu . Para TkTt += pode-se escrever,

usando

.2

)()()(

)()(

)()(

0

0

TkTeTkTekTu

dttedtte

dtteTkTuTkT

kT

kT

TkT

+++=

+=

=+

∫∫∫

+

+

Assim, tem-se a equação a diferença

)()([2

)()( kTeTkTeTTkTukTu ++=+− . (23)

Aplicando a transformada Z, obtém-se )(11

2)( 1

1

zezzTzu −

−

−+

= ou )(112)( zu

zz

Tze

+−

= .

Comparando a transformada de Laplace de (22) dada por )()( sessu = com a transformada Z de (23) obtém-se a relação entre s e z (21) Representação espaço de estado Considere agora o sistema na forma espaço de estado

DuCxyBuAxx

+=+=&

Aplicando a transformada de Laplace na equação acima obtém-se )()()0()( sBusAxxssx +=− .

Assim, utilizando a relação entre s e z (21) e aplicando a transformada Z com pode-se obter a equação no domínio do tempo (sem perda

de generalidade considera-se )]([)](([:)]([ 1 kTxZsxLZsxZ kTt == =

−

0)0( =x ).

))()1((2

))()1((2

)()1( kukuBTkxkxATkxkx +++++=−+ . Agrupando os termos em

, tem-se 1+k

)(2

)(2

)()1(2

)1(2

)1( kuBTkxATkxkuBTkxATkx ++=+−+−+ . Utilizou-se aqui

)()( sxtxL =Definindo

)1(:)1(2

)1(2

)1( +=+−+−+ kzTkuBTkxATkx

no tempo k tem-se

)(2

)()()2

( kuBTkzTkxATI +=− que fornece

25

)(2

)2

()()2

()( 11 kuBTATIkzTATIkx −− −+−=

Substituindo x(k) acima na equação para x(k+1) obtém-se

)()2

()()2

)(2

()1( 11 kuTBATIkzATIATIkz −− −+−+=+ .

Para obter a equação de saída discretizada substitui-se na equação de saída contínua. Em resumo, podemos escrever o sistema discretizado correspondente

)(kx

)()()1( kGukFzkz +=+ )()()( kJukHzky +=

com 1

22

−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

ATIATIF , TBATIG 1)2

( −−= , 1)2

( −−=ATICTH ,

2

)2

( 1 BTATICDJ −−+= .

No Matlab a seguinte forma espaço de estado é dada para a transformação Tustin

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+−−−−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−

BAICDAICBAIAIIA

DCBA

dd

dd11

11

)()())(())((

γαγγαγαγδαβγαδβ

com

βγδα

++

=zzs e TT ==−== βγδα ,,2,2 .

Comandos Matlab para esta transformação: sysd = c2d(sysc,Ts, 'tustin'), com sysc o sistema contínuo na forma sysc=ss(A,B,C,D) e Ts o tempo de amostragem. Para obter as matrizes do sistema discretizado utilizar [Ad,Bd,Cd,Dd]=ssdata(sysd) Referências CHEN, C. T. “Linear System Theory and Design”, HRW, 1998. ZHOU, K. “Robust Optimal Control”, Prentice-Hall, 1996. DESOER, C. A. “Linear System Theory”, Springer Verlag, 1991. RUGH, W. J. “Linear System Theory”, Prentice-Hall Information and System Sciences Series, 1996. ANTSAKLIS, P. J., MICHEL, A. N. “A Linear Systems Primer”, Birkhauser, 2007. OLIVEIRA, V.A., TOGNETTI, S. E. , SIQUEIRA, D. Robust controllers enhanced with design and implementation processes, IEEE Transactions on Education, vol. 49, n.3, pp. 370-382, 2006. http://ieeexplore.ieee.org/xpl/tocresult.jsp?isYear=2006&isnumber=34929&Submit32=Go+To+Issue