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• Representação e características • Operações I – Adição (subtração) – Multiplicação por um escalar • Decomposição • Operações II – Produto de Vetores • Produto Escalar • Produto Vetorial 1 Vetores

Representação e características Operações I –Adição (subtração) –Multiplicação por um escalar Decomposição Operações II –Produto de Vetores Produto Escalar

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• Representação e características

• Operações I– Adição (subtração)– Multiplicação por um escalar

• Decomposição

• Operações II– Produto de Vetores

• Produto Escalar• Produto Vetorial

1

Vetores

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2

Vetores

Mapa 1: a partir do centro do terreno ande um metro;

Mapa 2: a partir do centro do terreno ande um metro na direção perpendicular ao portão;

Mapa 3: a partir do centro do terreno ande um metro se aproximando do portão e na direção perpendicular a ele.

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3

Procura em todos os pontos do círculocom raio de 1m e centro na pedra.

Procura nos pontos A e B.

Vai direto ao local.

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4

Informações completas: tamanho (1m) direção (perpendicular ao muro que contém o portão) sentido (se aproximando do portão)

grandezas VETORIAIS

→representação →simbólica:

→geométrica: segmento de reta orientado

d

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São iguais: mesmo módulo mesma direção mesmo sentido

Independentemente de serem aplicados em pontos diferentes.

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Operações:

• Adição

• Multiplicação por um escalar

7

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Procedimento geométrico: ADIÇÃO

213 ddd

1)

2)

Representação Simbólica:

Representação Geométrica

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3 1 2 2 1d d d d d

A ordem não importa!

A figura é um paralelogramo: • Vetores se somam pela regra do paralelogramo:

Consiste na obtenção do vetor resultante graficamente.

Procedimento geométrico: ADIÇÃO

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Procedimento geométrico: ADIÇÃO

4 1 2 3d d d d

• Mais de 2 vetores

4 1 2 3( )d d d d

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Procedimento geométrico: MULTIPLICAÇÃO

1d

3d

2d

3 13d d

2 12d d

0Se a mesma direção de d

d

o mesmo sentido o módulo igual a d

0 d

mesma direção de d

sentido oposto ao de

módulo igual a

d

d

Se

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Procedimento geométrico: ADIÇÃO

• Módulo:

2 2

3 1 2 1 22 cosd d d d d

• Direção: ângulo que o vetor faz com um eixo de referência.

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a b b a

1)

A comutatividade da soma de vetores já foi demonstrada. Ela permite trocar a ordem dos vetores em uma soma.

2)

O vetor 0

e é o elemento neutro da soma de vetores.

Ele é um vetor com módulo zero.

Existe

tal que3)

a e a

e V

b V

0a b

tal que

Existe

O vetor b a

é o vetor simétrico da soma de vetores.

a

-a

Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real

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A soma de

4) ( ) ( )a b c a b c

É a propriedade de Associatividade da soma de vetores já mencionada.

Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real

( )a c

de um vetor a

com um vetor simétrico c

define a subtração de vetores. Para realizá-la é suficiente aplicar aregra do paralelogramo a esses vetores

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Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real

As propriedades 1 (comutativa) e 4 (associativa) permitem escrever a soma de vetores sem os parênteses, uma vez que a ordem em que os vetores são somados não altera o resultado, isto é,

cbacbacba

)()(

5) ( ) ( )a a

)( a

a

)(A comparação entre os módulos, as direções e os sentidos dos vetores

e mostram que eles são iguais.

onde e são dois números reais.

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Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real

6) ( )b c b c

onde é um número real.

É a propriedade de distributiva.

Vamos supor inicialmente que 0

cbcb

a

a

16 e 461646

Semelhança de triângulos (123 e 146) permite escrever:

o segmento de reta orientado é o vetor b

o segmento de reta orientado

46

14 é o vetor a

o segmento de reta orientado 16 é o vetor c

o triângulo 146 define a soma ba e tem como

resultado o vetor a

)( bacba

isto é:

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Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real

7)

É uma consequência da regra que define a soma de vetores e das propriedades geométricas de um triângulo.

a b a b a b

Triângulo construído com os vetores ab

bac

, e

Os lados de um triângulo satisfazem a desigualdade triangular, isto é

bacba

bac

sendo

a b a b a b

Ela mostra claramente que, em geral, o módulo da soma de vetores é menor do que a soma dos módulos dos vetores. A igualdade só se verificase os vetores forem colineares (com a mesma direção e o mesmo sentido).

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Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real

As propriedades demonstradas anteriormente permitem simplificação de expressões vetoriais e a decomposição dos vetores em bases ortogonais.

0))(87()25(43

baxaba

Exemplo 1: Simplifique as seguintes expressões vetoriais:

4( ) 3( 2 ) 4[5(2 3 ) ] 0a c b a b a b c

a)

b)

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Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real

3 4(5 2 ) (7 8( )) 0a b a x a b

Exemplo 1: Simplifique a seguinte expressão vetorial:

3 20 8 56 56 0

(3 8 56) (20 56) 0

7645 76 0

45

a b a a b

a b

a b a b

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Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real

Exemplo 1: Simplifique a seguinte expressão vetorial:

4 4 3 6 40 60 4 0

(1 3 40) (4 6 60) (4 4) 0

70 3536 70 0

36 1835

18

a c b a b a b c

a b c

a b a b b

a b

4( ) 3( 2 ) 4[5(2 3 ) ] 0a c b a b a b c

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Exemplo 2:

Na figura a seguir estão representados os alguns vetores.

a) Realize geometricamente as operações descritas nos itens de a até e. b) Qual é em cada um dos casos o módulo e a direção do vetor ? d

51 ddd

32dd

1

1

d

dd

31 2ddd

541 dddd

a)

b)

c)

d)

e)

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Projeção de vetores (Decomposição)

• As regras para a somar de vetores e multiplicar vetores por números reais apresentadas têm o inconveniente de dependerem da qualidade dos desenhos elaborados.

• Representar os vetores em bases apropriadas:

x

y

Por uma questão de simplicidade, escolhe-se

representar todos os vetores de um plano em termos de

dois vetores unitários perpendiculares.

Vetores unitários são aqueles que tem módulo um

yx ddd 111

jsendjdd yyˆ)(ˆ

111

ididd xxˆ)cos(ˆ

111

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2xd

2d

2 2ˆ

x xd d i

2 2ˆ

y yd d j

negativa

yx ddd 222

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Exercício

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Exercício

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Produto Escalar

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cosabba

zzyyxx

zyxzyx

babababa

kbjbibkajaiaba

)ˆˆˆ()ˆˆˆ(

kbjbibb

kajaiaa

zyx

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

0ˆˆˆˆˆˆ

1ˆˆˆˆˆˆ

kjkiji

kkjjii

a

b

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Produto Escalar

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zzyyxx bababaabba cos

ab

bababa zzyyxx cos

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Produto Vetorial

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bac

Regra da mão direita

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Produto Vetorial

30

)(21

21

senvvv

vvv

)(21

21

senvvn

vvvn

v