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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Marlene Lima de Oliveira Carvalho REPRESENTAÇÕES PLANAS DE CORPOS GEOMÉTRICOS TRIDIMENSIONAIS: UMA PROPOSTA DE ENSINO VOLTADA PARA A CODIFICAÇÃO E DECODIFICAÇÃO DE DESENHOS Ouro Preto 2010

REPRESENTAÇÕES PLANAS DE CORPOS …‡ÃO... · 3. Tridimensionalidade ... actividades envolviendo el uso de materiales que se puedan manosear y recursos ... 1988) y para la apropiación

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  • UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CINCIAS EXATAS E BIOLGICAS

    DEPARTAMENTO DE MATEMTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAO MATEMTICA

    Marlene Lima de Oliveira Carvalho

    REPRESENTAES PLANAS DE CORPOS GEOMTRICOS

    TRIDIMENSIONAIS: UMA PROPOSTA DE ENSINO VOLTADA

    PARA A CODIFICAO E DECODIFICAO DE DESENHOS

    Ouro Preto

    2010

  • Marlene Lima de Oliveira Carvalho

    REPRESENTAES PLANAS DE CORPOS GEOMTRICOS

    TRIDIMENSIONAIS: UMA PROPOSTA DE ENSINO VOLTADA

    PARA A CODIFICAO E DECODIFICAO DE DESENHOS

    Dissertao apresentada Banca

    Examinadora, como exigncia parcial

    obteno do Ttulo de Mestre em Educao

    Matemtica pelo Mestrado Profissional em

    Educao Matemtica da Universidade

    Federal de Ouro Preto, sob orientao da

    Prof. Dr. Roseli de Alvarenga Corra.

    Ouro Preto

    2010

  • Catalogao: [email protected]

    C331r Carvalho, Marlene Lima de Oliveira.

    Representaes planas de corpos geomtricos tridimensionais [manuscrito] : uma proposta de ensino voltada para a codificao e decodificao de desenhos/ Marlene Lima de Oliveira Carvalho. 2010.

    249 f.: il., color., tab. Orientadora: Profa. Dra. Roseli de Alvarenga Corra. Dissertao (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto de Cincias Exatas e Biolgicas. Departamento de Matemtica. rea de concentrao: Educao Matemtica.

    1. Geometria slida - Teses. 2. Recursos informacionais - Teses. 3. Tridimensionalidade - Teses. I. Universidade Federal de Ouro Preto. II. Ttulo. CDU: 517.982.25

  • UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CINCIAS EXATAS E BIOLGICAS

    DEPARTAMENTO DE MATEMTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAO MATEMTICA

    REPRESENTAES PLANAS DE CORPOS GEOMTRICOS

    TRIDIMENSIONAIS: UMA PROPOSTA DE ENSINO VOLTADA

    PARA A CODIFICAO E DECODIFICAO DE DESENHOS

    Autora: Marlene Lima de Oliveira Carvalho

    Orientadora: Prof. Dr. Roseli de Alvarenga Corra

    Este exemplar corresponde redao final da Dissertao

    defendida por Marlene Lima de Oliveira Carvalho e aprovada

    pela Comisso Examinadora.

    01 julho de 2010.

    __________________________________________________

    Prof. Dr. Roseli de Alvarenga Corra UFOP (orientadora)

    COMISSO EXAMINADORA

    _________________________________________

    Prof. Dr. Maria Manuela M. S. David UFMG

    _________________________________________

    Prof. Dr. Ana Cristina Ferreira UFOP

    2010

  • Autorizo, exclusivamente para fins acadmicos ou cientficos, a reproduo total ou parcial

    desta dissertao por processos de fotocopiadoras ou eletrnicos.

    ASSINATURA:___________________________ LOCAL E DATA:________________

  • Aos meus filhos, Gustavo, Rafael

    e Mateus e ao meu marido,

    Marcelo, com muito amor.

  • Agradecimentos

    A Deus, pela coragem de iniciar esta pesquisa e pela fora para

    poder conclu-la.

    Maria, luz em meu caminho.

    minha me, exemplo de fora, coragem e determinao, por ter

    sido a maior responsvel por tudo. Sua dedicao aos meus estudos

    trouxe-me at aqui.

    minha irm Nan, exemplo de dedicao educao, pelo

    incentivo e apoio de sempre.

    querida orientadora Prof Roseli, pela amizade, carinho, apoio e

    incentivo durante a caminhada.

    querida Prof Ana Cristina, que, alm da inestimvel

    contribuio quando da qualificao, foi incansvel no apoio

    durante todo o curso.

    Prof Maria Manuela, por aceitar nosso convite e pelas valiosas

    contribuies concedidas na qualificao.

    Ao meu querido amigo Davis, por todo companheirismo e ajuda,

    nos momentos bons e difceis. Meu anjo da guarda neste

    Mestrado.

    direo da escola onde realizamos a pesquisa de campo e aos

    alunos que dela participaram.

    Especialmente, aos meus filhos, Gustavo, Rafael e Mateus, por

    compreenderem minha ausncia, mesmo muitas vezes estando

    prximos, e ao Marcelo, marido, amigo e companheiro fiel em

    todas as minhas empreitadas, pelo amor e carinho em todos os

    momentos.

    Aonde quer que v, levo voc no olhar...

    Muito obrigada!

  • RESUMO

    Esta pesquisa tem por objetivo identificar as contribuies de uma sequncia de atividades

    envolvendo o uso de materiais manuseveis e recursos informticos para a codificao

    (produo) e decodificao (leitura e interpretao) de desenhos de figuras tridimensionais.

    Tambm se coloca como objetivo da pesquisa a produo de uma proposta pedaggica

    para o Ensino Mdio, como produto final da investigao. O presente estudo surgiu da

    preocupao com o ensino e a aprendizagem da Geometria Espacial, delimitado,

    posteriormente, para as representaes planas de objetos geomtricos tridimensionais, o

    foco deste estudo. A pesquisa estruturou-se, teoricamente, nas investigaes de Parzysz

    (1988, 1991, 2006) sobre as representaes planas dos objetos tridimensionais e a

    existncia das geometrias concreta (G0), espao-grfica (G1), protoaxiomtica (G2) e

    axiomtica (G3); nos trabalhos de Mitchelmore (1980) sobre os estgios de

    desenvolvimento representacional de algumas figuras espaciais desenhadas em perspectiva

    e nos estudos de Gutirrez (1998a) sobre atividades desenvolvidas com mdulos

    construdos com multicubos. A etapa experimental da pesquisa desenvolveu-se atravs de

    um estudo com abordagem qualitativa, com base na concepo, elaborao e aplicao de

    uma sequncia de atividades, envolvendo materiais manuseveis e recursos informticos.

    A pesquisa de campo foi realizada com alunos do 3 ano do Ensino Mdio de uma escola

    pblica na regio metropolitana de Belo Horizonte. Os resultados mostraram que a

    sequncia de atividades contribuiu, dentre outros aspectos, para o equilbrio entre o polo

    do sabido e o polo do visto (PARZYSZ, 1988) e para a apropriao de algumas regras

    de desenhos de corpos geomtricos tridimensionais, como a representao em perspectiva

    paralela e a representao em projeo ortogonal das vistas. Conclui-se, pois, que a

    sequncia de atividades proposta na pesquisa contribuiu para o progresso dos alunos para a

    codificao e decodificao de representaes planas de corpos geomtricos

    tridimensionais.

    Palavras-chave: Geometria Espacial. Representaes planas. Corpos geomtricos

    tridimensionais. Recursos informticos. Materiais manuseveis.

  • ABSTRACT

    This research has the objective of indentifying the contributions of a sequence of activities,

    involving the use of manipulative materials and computer resources for coding (producing)

    and decoding (reading and comprehension) drawings of three-dimensional figures. Another

    of this research is the production of a pedagogical proposal for high school, as a final

    product of investigation. This study originated from a concern with the teaching and

    learning on space geometry, limited afterwards to plane representations of three-

    dimensional geometrical objects, the focus of this study. The research was theoretically

    structured on investigations from PARZYSZ (1988, 1991, 2006) about the plane

    representations of three-dimensional objects and the existence of concrete geometry (G0),

    spatial-graphical (G1), proto-axiomatic (G2) and axiomatic (G3); on the studies of

    Mitchelmore (1980) about the stages of representational development of some space

    figures drawn in perspective and on the studies of Gutirrez (1998a) about the activities

    developed with modules built with multicubes. The experimental stage of this research

    was developed through a study with a qualitative approach, based in the conception,

    elaboration and application of sequences of activities, involving manipulative materials

    and computer resources. The field research was performed with pupils from public a high

    school, in the metropolitan area of Belo Horizonte. The results showed that the sequence of

    activities contributed, among other aspects, for the balance between the polo of known

    and the polo of seen (PARZYSZ, 1988) and for the appropriation of some rules of

    drawing of three-dimensional geometrical objects, as a representation in parallel

    perspective and the representation in orthogonal projection of views. Concludes, then, the

    sequence of proposal activities in this research contributed for the progress of the pupils for

    the coding and decoding of plane representations of three-dimensional geometrical objects.

    Key-words: Space Geometry. Plane representations. Three-dimensional geometrical

    objects. Computer resources. Manipulative materials.

  • RESUMEN

    Esta investigacin tiene por objetivo identificar las contribuciones de una secuencia de

    actividades envolviendo el uso de materiales que se puedan manosear y recursos

    informticos para la codificacin (produccin) y decodificacin (lectura e interpretacin)

    de diseos de figuras tridimensionales. Tambin se pone como objetivo de la investigacin

    la produccin de una propuesta pedaggica para la Enseanza Secundaria, como producto

    final de la investigacin. El presente estudio surgi de la preocupacin con la enseanza y

    el aprendizaje de la Geografa Espacial, delimitando, posteriormente, para las

    representaciones planas de objetos geomtricos, el foco de este estudio. La investigacin se

    estructur, tericamente en las investigaciones de Parzysz (1988, 1991, 2006) sobre las

    representaciones planas de los objetos tridimensionales y la existencia de las geometras

    concreta (G0), espacio grfica (G1), protoaxiomtica (G2) y axiomtica (G3), en los

    trabajos de Mitchelmore (1980) sobre las etapas de desarrollo representacional de algunas

    figuras espaciales diseadas en perspectiva y en los estudios de Gutirrez (1998a) sobre

    actividades desarrolladas con mdulos construidos con multicubos. La etapa experimental

    de la pesquisa se desarroll a travs de un estudio con abordaje cualitativa, con base en la

    concepcin, elaboracin y aplicacin de una secuencia de actividades, envolviendo

    materiales que pueden ser manoseados y recursos informticos. La investigacin de campo

    fue realizada con alumnos del 3. ao de la Enseaza Secundaria de una escuela pblica de

    una ciudad metropolitana de Belo Horizonte. Los resultados mostraron que la secuencia de

    actividades contribuy, entre otros aspectos, para el equilibrio entre el polo del sabido y

    el polo del visto (PARZYSZ, 1988) y para la apropiacin de algunas reglas de diseo de

    cuerpos geomtricos tridimensionales, como la representacin en perspectiva paralela y la

    representacin en proyeccin ortogonal de las vistas. Se concluye, pues, que la secuencia

    de actividades propuestas en la investigacin contribuy para el progreso de los alumnos

    para la codificacin y decodificacin de representaciones planas de cuerpos geomtricos

    tridimensionales.

    Palabra clave: Geometra espacial. Representaciones planas. Cuerpos geomtricos

    tridimensionales. Recursos informticos. Materiales que pueden ser manoseados.

  • LISTA DE FIGURAS

    Figura 1 Elementos de visualizao integrados soluo de uma tarefa matemtica ........... 29

    Figura 2 Perspectiva cnica ou central ................................................................................... 38

    Figura 3 Perspectiva cilndrica ou paralela ............................................................................ 38

    Figura 4 Perspectiva cavaleira ................................................................................................ 39

    Figura 5 Perspectiva axonomtrica ........................................................................................ 40

    Figura 6 Representaes planas de mdulo multicubo .......................................................... 41

    Figura 7 Relaes entre figuras e suas representaes ........................................................... 45

    Figura 8 Conjecturas sobre perpendicularidade ..................................................................... 46

    Figura 9 Quadriltero ou tetraedro? ....................................................................................... 47

    Figura 10 Experimento de decodificao ................................................................................. 47

    Figura 11 Tipo de pirmide utilizada nos experimentos de Parzysz (1988) ............................ 49

    Figura 12 Investigao sobre possveis representaes de cubo .............................................. 53

    Figura 13 Desenhos tpicos dos estgios de desenvolvimento representacional ...................... 58

    Figura 14 Desenhos previstos para os estgios de representao do prisma triangular ........... 60

    Figura 15 Desenhos de experimentos que confirmam os resultados de Mitchelmore ............. 61

    Figura 16 Representaes dos mdulos multicubos ................................................................. 63

    Figura 17 Tela do software Poly .............................................................................................. 69

    Figura 18 Tela do software Pepakura ...................................................................................... 70

    Figura 19 Exemplos de respostas dadas questo 1 do pr-teste ............................................ 82

    Figura 20 Protocolos de Elena e de Tlio - atividade 2 do pr-teste ........................................ 85

    Figura 21 Desenhos representativos das trs categorias questo 3 do pr-teste .................... 86

    Figura 22 Protocolo dos desenhos de Lilian para a questo 3 do pr-teste .............................. 88

    Figura 23 Exemplos de respostas dadas - questo 1 do ps-teste ............................................ 94

    Figura 24 Exemplos de representaes das categorias questo 2 do ps-teste ..................... 96

    Figura 25 Exemplos de desenhos feitos na atividade 1 ............................................................ 107

    Figura 26 Exemplos de respostas dadas - atividade 2 .............................................................. 110

    Figura 27 Desenho feito por Fernanda ..................................................................................... 113

    Figura 28 Protocolo dos desenhos de Cssia ............................................................................ 114

    Figura 29 Caixa e corpos geomtricos 3D utilizados na atividade de percepo ttil ............. 118

    Figura 30 Protocolo dos desenhos de Tlio atividade 4 ........................................................ 118

    Figura 31 Regio apagada diversas vezes por Tlio ................................................................ 119

    Figura 32 Protocolo dos desenhos de Natlia atividade 4 ..................................................... 120

    Figura 33 Resultados de Tlio e Natlia atividade 5 ............................................................. 123

    Figura 34 Protocolo dos desenhos de Tlio - atividade 16 ...................................................... 125

    Figura 35 Protocolo dos desenhos de Natlia - atividade 16 ................................................... 127

  • Figura 36 Codificao de mdulos multicubos atividade 6 .................................................. 132

    Figura 37 Protocolo da descrio feita por Tlio - atividade 6 ................................................ 133

    Figura 38 Protocolo da descrio feita por Natlia - atividade 6 ............................................. 134

    Figura 39 Parte problemtica na descrio feita por Natlia .................................................... 134

    Figura 40 Representaes decodificadas - atividade 6 ............................................................. 136

    Figura 41 Mdulos multicubos reconstrudos atividade 6 .................................................... 137

    Figura 42 Telas do Multicubos Virtuais para realizao da 1 parte da atividade 7 ............. 139

    Figura 43 Protocolo da ficha de anlise de Tlio e Elena atividade 7 - 1 Parte ................... 142

    Figura 44 Tela do aplicativo Multicubos Virtuais ................................................................ 143

    Figura 45 Protocolo da ficha de anlise de Tlio e Elena atividade 7 - 2 Parte ................... 144

    Figura 46 Alunos realizando a 4 Parte da atividade 7 ............................................................. 146

    Figura 47 Produes iniciais em perspectiva isomtrica atividade 7 - 4 Parte .................... 148

    Figura 48 Mdulo virtual construdo por Tlio e Elena atividade 7 - 4 Parte ..................... 148

    Figura 49 Desenho inicial de Tlio .......................................................................................... 149

    Figura 50 Perspectiva isomtrica feita por Tlio - atividade 7 - 4 Parte ................................. 149

    Figura 51 Perspectiva isomtrica. Tentativas de Tlio - atividade 7 - 4 Parte ........................ 150

    Figura 52 Projees ortogonais feitas por Tlio - atividade 7 - 4 Parte .................................. 151

    Figura 53 Mdulo virtual construdo por Natlia e Ronaldo atividade 7 - 4 Parte .............. 152

    Figura 54 Projees ortogonais feitas por Natlia - atividade 7 - 4 Parte ............................... 152

    Figura 55 Perspectiva isomtrica feita por Natlia - atividade 7 - 4 Parte .............................. 153

    Figura 56 Mdulo virtual construdo por Natlia repetio da 4 Parte, atividade 7 ............ 153

    Figura 57 Perspectiva isomtrica feito por Natlia- repetio da 4 Parte, atividade 7 ............ 154

    Figura 58 Protocolo da ficha de anlise de Tlio atividade 7 - 4 Parte ................................ 156

    Figura 59 Representaes de Tlio e Cssia em rede pontilhada virtual ................................. 158

    Figura 60 Representaes de Natlia e Lilian em rede pontilhada virtual ............................... 159

    Figura 61 Mdulos multicubos descritos por Tlio e por Natlia atividade 15 .................... 161

    Figura 62 Representaes decodificadas - atividade 15 ........................................................... 162

    Figura 63 Poliedros e corpos redondos .................................................................................... 165

    Figura 64 Confeco de slidos em modelo casca atividade 10 ........................................ 171

    Figura 65 Resultados da atividade 11 ....................................................................................... 172

    Figura 66 Atividades 8, 9, 10 e 11 Protocolo da Ficha de Anlise de Natlia ...................... 173

    Figura 67 Atividades 8, 9, 10 e 11 Protocolo da Ficha de Anlise de Anita ......................... 173

    Figura 68 Modelo esqueleto de slidos geomtricos atividade 12 .................................... 177

    Figura 69 Diagonal do quadrado atividade 12 ...................................................................... 178

    Figura 70 Protocolo de Tlio e Lilian item 1 atividade12 ................................................. 178

    Figura 71 Diagonal do cubo Desenhos de livros ................................................................... 179

  • Figura 72 Diagonal do cubo atividade 12 ............................................................................. 179

    Figura 73 Protocolo de Tlio e Lilian item 2 atividade12 ................................................. 180

    Figura 74 Pirmide de base quadrada Desenhos de livros .................................................... 181

    Figura 75 Protocolo de Tlio e Lilian item 4 atividade12 ................................................. 181

    Figura 76 Elementos da pirmide quadrangular atividade 12 ............................................... 182

    Figura 77 Protocolo de Tlio e Lilian itens 3 e 5 atividade12 ........................................... 182

    Figura 78 Tela do software Poly .............................................................................................. 184

    Figura 79 Poliedros de Plato impressos em folha de papel .................................................... 185

    Figura 80 Protocolo de Natlia atividade 13 ......................................................................... 187

    Figura 81 Aluna desenhando as arestas no visveis dos slidos platnicos ........................... 188

    Figura 82 Poliedros de Plato construdos com palitos de dentes e balas de goma ................. 188

    Figura 83 Desenho do tetraedro completado por Natlia atividade 13 ................................. 189

    Figura 84 Desenhos do cubo completado por Natlia atividade 13 ...................................... 189

    Figura 85 Desenhos do octaedro completado por Natlia atividade 13 ................................ 190

    Figura 86 Protocolo de Natlia Ficha de anlise atividade 13 ........................................... 190

    Figura 87 Protocolo dos desenhos de Tlio - atividade 14 ...................................................... 193

    Figura 88 Protocolo dos desenhos de Natlia - atividade 14 ................................................... 194

    LISTA DE QUADROS

    Quadro 1 Resultados do experimento de decodificao (PARZYSZ, 1988, p. 83) ............... 48

    Quadro 2 Tipos de Geometria (PARZYSZ, 2006, p. 130) ..................................................... 55

    Quadro 3 Distribuio cronolgica das atividades realizadas ............................................... 76

    Quadro 4a Objetivos do pr-teste ............................................................................................ 77

    Quadro 4b Objetivos do ps-teste ........................................................................................... 78

    Quadro 5 Respostas questo 1, letra (c), do pr-teste e do ps-teste .................................. 92

    Quadro 6 Objetivos das atividades ........................................................................................ 104

    Quadro 7 Atividade 1 ............................................................................................................. 106

    Quadro 8 Atividade 2 ............................................................................................................. 108

    Quadro 9 Discusso sobre a pertinncia do ponto C ao plano ............................................ 111

    Quadro 10 Atividade 3 ............................................................................................................. 111

    Quadro 11 Discusso sobre a perpendicularidade entre as diagonais do quadrado ................. 113

    Quadro 12 Discusso sobre a perpendicularidade entre as diagonais da base da pirmide ..... 115

    Quadro 13 Atividade 4 ............................................................................................................. 117

    Quadro 14 Atividade 5 ............................................................................................................. 122

    Quadro 15 Atividade 16 ........................................................................................................... 124

  • Quadro 16 Quadro comparativo: atividade 4 e atividade 16 Tlio ..................................... 128

    Quadro 17 Quadro comparativo: atividade 4 e atividade 16 Natlia .................................. 129

    Quadro 18 Atividade 6 ............................................................................................................. 130

    Quadro 19 Discusso na etapa de decodificao da atividade 6 .............................................. 135

    Quadro 20 Atividade 7 ............................................................................................................. 138

    Quadro 21 Atividade 7 1 Parte ............................................................................................. 139

    Quadro 22 Discusso sobre a questo 1 da atividade 7 1 Parte ........................................... 140

    Quadro 23 Discusso sobre a questo 2 da atividade 7 1 Parte ........................................... 141

    Quadro 24 Atividade 7 2 Parte ............................................................................................. 143

    Quadro 25 Atividade 7 3 Parte ............................................................................................. 145

    Quadro 26 Atividade 7 4 Parte ............................................................................................. 145

    Quadro 27 Percepo de ambiguidade no desenho - atividade 7 4 Parte ............................. 155

    Quadro 28 Atividade 7 5 Parte ............................................................................................. 157

    Quadro 29 Atividade 15 ........................................................................................................... 160

    Quadro 30 Atividade 8 ............................................................................................................. 164

    Quadro 31 Discusso sobre bases de objetos geomtricos - atividade 8 .................................. 166

    Quadro 32 Atividade 9 ............................................................................................................. 167

    Quadro 33 Atividade 10 ........................................................................................................... 170

    Quadro 34 Atividade 11 ........................................................................................................... 171

    Quadro 35 Atividade 12 ........................................................................................................... 175

    Quadro 36 Atividade 13 ........................................................................................................... 183

    Quadro 37 Os slidos platnicos - atividade 13 ....................................................................... 187

    Quadro 38 Atividade 14 ........................................................................................................... 192

    LISTA DE TABELAS

    Tabela 1 Respostas questo 1, letra (a), do pr-teste ........................................................... 79

    Tabela 2 Respostas questo 1, letra (b), do pr-teste ........................................................... 80

    Tabela 3 Respostas questo 1, letra (d), do pr-teste ........................................................... 80

    Tabela 4 Respostas questo 1, letra (e), do pr-teste ........................................................... 81

    Tabela 5 Respostas questo 2, letra (a), do pr-teste ........................................................... 83

    Tabela 6 Respostas questo 2, letra (b), do pr-teste ........................................................... 83

    Tabela 7 Respostas questo 2, letra (c), do pr-teste ........................................................... 84

    Tabela 8 Categorizao dos desenhos produzidos na questo 3 do pr-teste ......................... 87

    Tabela 9 Respostas questo 4 do pr-teste .......................................................................... 89

    Tabela 10 Respostas questo 5 do pr-teste .......................................................................... 90

  • Tabela 11 Respostas questo 1, letra (d), do ps-teste .......................................................... 93

    Tabela 12 Respostas questo 1, letra (e), do ps-teste .......................................................... 93

    Tabela 13 Categorizao dos desenhos produzidos na questo 2 do ps-teste ........................ 95

    Tabela 14 Respostas questo 3 do ps-teste .......................................................................... 97

    Tabela 15 Respostas questo 4 do ps-teste .......................................................................... 98

    Tabela 16 Respostas questo 5 do ps-teste .......................................................................... 99

    Tabela 17 Respostas questo 6 do ps-teste .......................................................................... 99

    Tabela 18 Respostas questo 7 do ps-teste .......................................................................... 100

    Tabela 19 Resultados da atividade 1 ........................................................................................ 106

    Tabela 20 Resultados da atividade 2 ........................................................................................ 109

    Tabela 21 Resultados da atividade 3 ........................................................................................ 112

  • SUMRIO

    PREFCIO ................................................................................................................. 16

    INTRODUO .......................................................................................................... 18

    A escolha do tema ........................................................................................................ 18

    Questo de pesquisa e objetivos ................................................................................... 22

    Estrutura da pesquisa .................................................................................................... 23

    CAPTULO 1 - Visualizao e desenho no ensino de Geometria ............................. 25

    1.1 Visualizao geomtrica ................................................................................ 25

    1.2 O desenho no ensino de Geometria ................................................................ 30

    1.2.1 Objeto, desenho, imagem mental, conceito ................................................... 33

    1.2.2 Desenhos de objetos tridimensionais ............................................................. 37

    1.2.2.1 Perspectiva central e perspectiva paralela ...................................................... 37

    1.2.2.2 Projeo ortogonal ......................................................................................... 40

    CAPTULO 2 - O estudo das representaes planas: referencial terico ............ 43

    2.1 O estudo de Bernard Parzysz ......................................................................... 43

    2.2 Os critrios de Mitchelmore ........................................................................... 56

    2.3 A contribuio de Angel Gutirrez ................................................................ 61

    2.4 Sntese final e implicaes para nossa investigao ...................................... 64

    CAPTULO 3 - Aspectos metodolgicos do estudo ................................................... 66

    3.1 Recursos didtico-pedaggicos ...................................................................... 66

    3.2 Procedimentos metodolgicos ....................................................................... 70

    3.2.1 A escola e os participantes da pesquisa ......................................................... 71

    3.2.2 Instrumentos de pesquisa ............................................................................... 73

    CAPTULO 4 - Descrio e anlise do pr-teste e do ps-teste 77

    4.1 Pr-teste .......................................................................................................... 78

    4.2 Ps-teste ......................................................................................................... 91

    4.3 Do pr-teste para o ps-teste: algumas consideraes ................................... 101

    103

  • CAPTULO 5 - O estudo de dois casos: Descrio das atividades, apresentao

    e anlise dos resultados

    5.1 Atividade 1 ..................................................................................................... 106

    5.2 Atividades 2 e 3 .............................................................................................. 108

    5.3 Atividades 4, 5 e 16 ........................................................................................ 116

    5.4 Atividades 6, 7 e 15 ........................................................................................ 130

    5.5 Atividades 8, 9, 10 e 11 .................................................................................. 164

    5.6 Atividade 12 ................................................................................................... 174

    5.7 Atividade 13 ................................................................................................... 183

    5.8 Atividade 14 ................................................................................................... 192

    5.9 Consideraes a respeito do Estudo de Caso ............................................... 194

    CONSIDERAES FINAIS .................................................................................... 196

    REFERNCIAS ......................................................................................................... 200

    APNDICES ............................................................................................................... 205

    Apndice A Convite .................................................................................................. . 206

    Apndice B Pr-teste ................................................................................................... 207

    Apndice C Atividades propostas .............................................................................. 210

    Apndice D Painel de desenhos da Atividade 5 Percepo ttil .............................. 232

    Apndice E Rede pontilhada triangular ..................................................................... 233

    Apndice F Rede pontilhada quadriculada ................................................................. 234

    Apndice G Ps-teste .................................................................................................. 235

    Apndice H Protocolos da Atividade 6 - representaes dos mdulos multicubos .... 239

    Apndice I Protocolos da Atividade 15 - representaes dos mdulos multicubos .. 240

    Apndice J Questionrio para avaliao final do curso ............................................. 241

    Apndice K Certificado de participao ..................................................................... 243

  • 16

    Prefcio1

    Leia o seguinte texto, supondo que depois ser questionado sobre ele:

    ______________________________________________________________

    Um jornal melhor do que uma revista. Um cume ou encosta

    melhor do que uma rua. No incio parece que melhor correr do que

    andar. preciso experimentar vrias vezes. Prega vrias partidas, mas

    fcil de aprender. Mesmo as crianas podem ach-lo divertido.

    Uma vez com sucesso, as complicaes so minimizadas. Os

    pssaros raramente se aproximam. Muitas pessoas, s vezes, fazem-no

    ao mesmo tempo, contudo isso pode causar problemas. preciso muito

    espao. necessrio ter cuidado com a chuva, pois destri tudo. Se no

    houver complicaes, pode ser muito agradvel. Uma pedra pode servir

    de ncora. Se alguma coisa se partir, perdemo-lo e no teremos uma

    segunda chance.

    _____________________________________________________________

    Cada frase parece fazer sentido, mas se voc como a maioria, ficou com a

    sensao de que na realidade no percebeu praticamente nada do contedo. Volte atrs e,

    tendo em mente que o presente texto fala sobre papagaios de papel, leia-o novamente e

    compare com a primeira leitura.

    * * * * * * *

    Consegue ver a diferena da sua compreenso nessa segunda leitura? Agora

    possvel visualizar mentalmente tudo o que dito no texto. Essa visualizao quase

    sempre sinnimo de entendimento. Na verdade, quando sabemos do que se trata, muito

    fcil compreender e assim contribuir para uma memorizao e motivao sobre o assunto.

    [...]

    Na disciplina de Matemtica passa-se algo de semelhante. A maioria dos alunos no

    consegue visualizar os elementos e conceitos matemticos. De fato, a maior parte da

    Matemtica infelizmente ainda apresentada de uma maneira muito abstrata e formal. O

    que parece ser concreto para um professor de Matemtica, pode no ser visto da mesma

    maneira por parte de seus alunos.

    [...]

    preciso pintar as ideias matemticas dadas aos alunos.

    1 Este prefcio corresponde a uma parte do artigo Dificuldades na visualizao de objetos

    matemticos de Jos Orlando Gomes de Freitas, Revista do Professor de Matemtica, n.29, 1995,

    p.9. Texto extrado do livro Effective Problem Solving, de Marvin Levine (1988).

  • 17

    Na consecuo de nossa pesquisa, propomos atividades baseadas no uso de materiais

    manipulveis e materiais informticos com o intuito de favorecer a formao das imagens

    mentais de nossos alunos e, assim, verificar as possveis vantagens da utilizao desses

    recursos no desenvolvimento das habilidades de estudantes do Ensino Mdio para produzir

    e interpretar desenhos de corpos geomtricos tridimensionais. Acreditamos ser preciso

    pintar as ideias matemticas dadas aos alunos.

  • 18

    INTRODUO

    A escolha do tema

    Desde que iniciei minha profisso como professora de Matemtica, h 15 anos,

    venho trabalhando com alunos do Ensino Mdio; em escolas particulares, no curso diurno

    e em escolas pblicas, no noturno.

    Nesse contexto, venho observando a postura dos alunos suas facilidades,

    dificuldades, medos, desinformao e pr-conceitos diante dos tpicos de Geometria e,

    mais especificamente, de Geometria Espacial, por ser esse assunto estudado com maior

    rigor e profundidade no nvel de ensino a que me referi anteriormente, ou pelo menos o

    deveria ser, de acordo com os programas curriculares que regem a Educao Bsica

    brasileira.

    Dessas observaes no metdicas, verdade, ao longo desses anos, pude fazer

    algumas inferncias no tocante ao ensino da Geometria Espacial, na Educao Bsica, de

    um modo geral. Contudo, acabei fixando meu olhar no nvel de ensino em que sempre

    atuei o Ensino Mdio.

    Relato a seguir minhas experincias em ambas as realidades: escolas particulares e

    escolas pblicas.

    Nas escolas particulares venho trabalhando com todas as sries que constituem o

    Ensino Mdio. Nessas escolas, o programa curricular praticamente o mesmo. Assim, a

    Geometria Espacial estudada no 2 semestre do 2 ano e retomada no 3 ano, visto que

    oferecido o 3 ano integral (preparatrio para vestibular). Em relao ao 2 ano, percebo

    que h, entre um nmero significativo de alunos, dificuldades para compreender os

    desenhos dos slidos geomtricos cubos, pirmides, cilindros, cones, etc. que so

    apresentados nos livros e apostilas e maior dificuldade ainda para fazer, eles prprios, os

    desenhos que representam os slidos geomtricos estudados.

    Procuro desenvolver os contedos evitando ao mximo a utilizao das frmulas

    especficas da Geometria Espacial, buscando subsdios naquelas que fundamentam a

    Geometria Plana, como Teorema de Pitgoras, rea de tringulo, rea de retngulo, rea de

    crculo, comprimento de circunferncia. Assim, os tpicos da Geometria Espacial so

    desenvolvidos pautando-se nos desenhos e na utilizao das frmulas fundamentais da

    Geometria Plana. Em relao aos desenhos, o processo exige a interpretao das figuras

  • 19

    quando estas j fazem parte do enunciado da questo ou a realizao do desenho

    representativo do slido geomtrico referido no enunciado.

    Linhas auxiliares e complementares feitas sobre os desenhos permitem perceber,

    por exemplo, que para calcular a diagonal de um cubo, sabendo a medida de sua aresta,

    basta aplicar o Teorema de Pitgoras duas vezes consecutivas: a primeira, para calcular a

    diagonal da base, sendo esta a hipotenusa do tringulo retngulo formado juntamente com

    as arestas da base, as quais assumem o papel dos catetos do mesmo tringulo; a segunda,

    para calcular a prpria diagonal do cubo, a qual assume o papel de hipotenusa do tringulo

    retngulo formado juntamente com a aresta representativa da altura e a diagonal da base,

    calculada anteriormente.

    Para mim notrio um maior xito entre aqueles alunos que conseguem utilizar os

    desenhos como ferramenta para o desenvolvimento das etapas de resoluo de um

    problema. Geralmente, os alunos que no alcanam tal xito tambm so aqueles que no

    conseguem fazer os desenhos, tampouco traar elementos dos slidos geomtricos, tais

    como altura e aptema da pirmide, aptemas de polgonos, diagonais de cubos e

    paraleleppedos, seces transversais e meridianas, etc.

    Outra questo que sempre chamou a ateno que a maioria dos alunos oriundos de

    outras escolas, que ingressa no 3 ano das escolas particulares, no estudou Geometria

    Espacial ou afirma que o estudo foi realizado atravs de formulrios (lista de frmulas).

    Nas escolas pblicas a situao no muito diferente, com dois agravantes: a

    fundamentao da Geometria Plana apresenta maiores lacunas e muitos alunos terminam a

    Educao Bsica sem nunca terem estudado Geometria Espacial.

    Com essa perspectiva acerca do ensino da Geometria Espacial e j cursando o

    Mestrado, comecei a buscar, atravs de leituras, informaes que me ajudassem a

    compreender esse quadro atual do ensino da Geometria. Por que seu abandono? Por que

    tantos alunos fracassam no estudo da Geometria Espacial? Ser que senso comum

    afirmar que os desenhos desempenham papel fundamental na aprendizagem da Geometria

    Espacial?

    A importncia da Geometria sinalizada nos Parmetros Curriculares Nacionais de

    Matemtica (BRASIL, 1998) que, embora reconheam o pouco destaque e quase abandono

    dado a esse contedo nas aulas de Matemtica, apontam que

  • 20

    [...] ela desempenha um papel fundamental no currculo, na medida em

    que possibilita ao aluno desenvolver um tipo de pensamento particular

    para compreender, descrever e representar, de forma organizada, o

    mundo em que vive. Tambm fato que as questes geomtricas

    costumam despertar o interesse dos adolescentes e jovens de modo

    natural e espontneo. Alm disso, um campo frtil de situaes-

    problema que favorece o desenvolvimento da capacidade para

    argumentar e construir demonstraes (BRASIL, 1998, p.122).

    Ao se perguntar para um aluno ou mesmo para um professor qual a importncia de

    se estudar Geometria, recorrente a resposta que a Geometria est em toda parte. Ela est

    presente no trabalho, na escola, em casa, onde quer que se v. Tudo isso verdade, mas

    restringe a importncia e a potencialidade da Geometria, no que diz respeito aos seus

    aspectos mais formativos.

    Segundo Hoffer (1981), a Geometria tem o carter de potencializar o

    desenvolvimento de habilidades bsicas, que, alm de auxiliarem a aprendizagem da

    Matemtica, preparam os alunos para situaes do seu cotidiano. Dentre elas, citamos as

    habilidades visuais, as habilidades verbais e as habilidades de desenho.

    A Geometria , claramente, um conhecimento que exige o sentido da viso, mas

    seus aspectos visuais geralmente no so explorados de modo satisfatrio. Estudos

    (DOUGHERTY, 1975; TOBIAS, 1978, apud HOFFER, 1981) mostram que uma parcela

    significativa de alunos que apresentam dificuldade de aprendizagem em Matemtica

    tambm apresenta baixa percepo espacial, demonstrando uma relao direta entre a

    aprendizagem da Matemtica e as habilidades visuais propiciadas pela Geometria.

    A disciplina de Geometria possui uma diversidade de termos, definies precisas,

    postulados e teoremas que descrevem propriedades de figuras geomtricas. Alguns alunos

    tm dificuldades para descrever um conceito ou expressar ideias de maneira precisa.

    Segundo Hoffer (1981), a Geometria pode ajud-los a desenvolver habilidades verbais,

    desde que se desenvolva o contedo respeitando o nvel de desenvolvimento em que se

    encontram.

    Citaremos como exemplo a experincia que tivemos numa entrevista realizada para

    o trabalho de uma disciplina do Mestrado. Entrevistamos um aluno de pr-vestibular,

    recm formado no Ensino Mdio e transcrevemos, a seguir, um trecho do dilogo2:

    P - Voc chegou a estudar prisma hexagonal?

    A - No. De nome assim, eu no lembro, no.

    2 Usamos P para identificar a professora/entrevistadora e A para identificar o aluno.

  • 21

    P - Voc lembra se vocs estudaram tetraedro? Este nome te recorda alguma coisa?

    A - Na poca, se falasse com certeza eu ia ficar sem saber o que que era. Hoje, pra mim, j

    mais fcil.

    P - Hoje voc sabe o que um tetraedro?

    A - Sim.

    P - Como voc definiria um tetraedro?

    A - Tetra por ser quatro e edro por ser lado. Ento um tetraedro um quadrado.

    Podemos perceber que, realmente, o problema existe e no se restringe linguagem

    matemtica. A Geometria, com seu vocabulrio abundante, pode e deve ser utilizada no

    aprimoramento dessas habilidades verbais comprometidas.

    O estudo de tpicos de Geometria tambm favorece o desenvolvimento de

    habilidades de desenho, pois fornece oportunidades para os alunos expressarem suas

    ideias atravs de desenhos e diagramas. Em situaes posteriores, seja em sua vida

    profissional, em sua carreira acadmica ou no seu dia a dia, os alunos provavelmente tero

    maior necessidade de fazer um desenho de uma situao geomtrica do que provar um

    teorema (HOFFER, 1981).

    Entretanto, resultados de pesquisas desenvolvidas no Brasil e no exterior, como as

    de Moraco (2006), Gutirrez (1998a, 1996), Nacarato e Passos (2003), Kaleff (1996) e

    Parzysz (1988), somados minha experincia como professora em salas de aula de

    Matemtica no Ensino Mdio, confirmam pontos nevrlgicos no ensino de Geometria

    Espacial no Ensino Mdio, como seu abandono, dificuldades relacionadas visualizao

    espacial, dificuldades relacionadas representao plana dos slidos geomtricos.

    A opo por trabalhar com o Ensino Mdio justifica-se pelo fato de o panorama que

    se verifica em relao Geometria Espacial ensinada nesse segmento ser o mesmo

    verificado para a Geometria em geral. Entretanto, neste contexto, surge uma dificuldade

    ainda maior, que o trabalho com os corpos tridimensionais. Lima et al (2006) afirmam

    que

    o grande desafio de ensinar Geometria a alunos do 2 grau fazer a

    transio do plano para o espao. Embora estejamos habituados a figuras

    geomtricas tridimensionais (convivemos todo o tempo com planos,

    cubos, esferas, cones, cilindros, etc.) no 2 grau que tais figuras so

    estudadas, pela primeira vez, de forma sistemtica. Esta ampliao de

    horizontes nem sempre fcil para o aluno (p.161).

  • 22

    Acreditando que preciso pintar as ideias matemticas dadas aos alunos 3, na

    presente pesquisa, procurei focalizar as representaes bidimensionais4 de corpos

    tridimensionais. Como ocorrem os processos de codificao e decodificao5 de desenhos

    de corpos geomtricos tridimensionais? Quais so os estudiosos que veem desenvolvendo

    trabalhos com esta temtica? Como desenvolver a habilidade para o desenho em nossos

    alunos? Por que os alunos apresentam dificuldade em produzir e interpretar os desenhos

    utilizados para representar os slidos geomtricos? Estes so alguns pontos que me

    instigam e encorajam a fazer a caminhada.

    Questo de pesquisa e objetivos

    Considerando o levantamento realizado e nossa hiptese de trabalho sobre a

    importncia do desenho para a aprendizagem de Geometria Espacial na formao de

    estudantes do Ensino Mdio, formulamos o problema da pesquisa como explicitado a

    seguir:

    Quais so as contribuies de uma sequncia de atividades

    envolvendo o uso de materiais manuseveis e recursos

    informticos para a codificao e decodificao de desenhos de

    corpos geomtricos tridimensionais, realizadas por alunos do

    Ensino Mdio?

    O objetivo do presente trabalho construir, implementar e analisar uma sequncia

    de atividades de Geometria Espacial, envolvendo materiais manuseveis e recursos

    informticos. O foco de tais atividades o desenvolvimento das habilidades de alunos do

    Ensino Mdio para codificar (desenhar) e decodificar (interpretar) desenhos de corpos

    geomtricos tridimensionais. Em decorrncia dessa investigao, tambm estabelecemos

    como objetivo a produo de uma proposta pedaggica voltada para o ensino de Geometria

    Espacial no Ensino Mdio, constituda de atividades direcionadas para a codificao e

    decodificao de desenhos de figuras espaciais.

    3 Vide prefcio

    4 Representaes bidimensionais so representaes feitas no plano. Em nosso estudo, fazemos

    referncia aos desenhos. Assim, nesta pesquisa usaremos os termos representaes grficas,

    representaes bidimensionais e representaes planas como sinnimos de desenhos. 5 Usaremos codificao como o ato de desenhar e decodificao como o ato de interpretar desenhos

    feitos.

  • 23

    Estrutura da dissertao

    No presente tpico INTRODUO apresentamos a nossa trajetria como

    docente, o porqu da escolha do tema, a questo da pesquisa e os objetivos.

    Nosso trabalho est organizado em cinco captulos, cujos contedos descrevemos

    brevemente a seguir.

    No CAPTULO 1 tratamos do papel da visualizao no processo de ensino e

    aprendizagem da Geometria, bem como apresentamos algumas interpretaes dadas

    visualizao espacial no campo da Educao Matemtica. Apontamos a relao entre

    objeto, desenho, imagens mentais e conceitos geomtricos, destacando a importncia das

    representaes planas de corpos geomtricos tridimensionais na construo do pensamento

    geomtrico. Trazemos, a seguir, um breve esclarecimento sobre perspectiva central,

    perspectiva paralela e sobre as projees ortogonais.

    No CAPTULO 2, trazemos o referencial terico, o qual est fundamentado nos

    estudos de Parzysz (1988, 1991, 2006) sobre os problemas da representao plana de

    figuras espaciais no ensino da Geometria, no trabalho de Mitchelmore (1980) - que prope

    a existncia de estgios de desenvolvimento de desenhos em perspectiva - e nos estudos de

    Gutirrez (1998a, 1996), que aborda as dificuldades comuns no ensino da Geometria

    Espacial e aponta a importncia da aprendizagem das tcnicas de projeo.

    O CAPTULO 3, constitudo por dois subitens, foi destinado aos aspectos

    metodolgicos desta pesquisa. No primeiro item, apresentamos informaes sobre os

    recursos didtico-pedaggicos utilizados nas atividades propostas na presente pesquisa.

    No segundo tpico do captulo, descrevemos os procedimentos adotados na pesquisa de

    campo. Apresentamos informaes sobre a escola, sobre os alunos participantes da

    pesquisa e sobre os instrumentos utilizados na coleta de dados. Por fim, apresentamos um

    quadro com a distribuio cronolgica das atividades realizadas.

    No CAPTULO 4, descrevemos o pr-teste e o ps-teste, apresentamos os

    resultados e analisamos os dados coletados. O pr-teste e o ps-teste foram analisados

    considerando todos os participantes, com o objetivo de termos uma viso geral do

    experimento e, assim, verificar a validade da sequncia de atividades como uma proposta

    de ensino.

    No CAPTULO 5, trazemos o estudo de dois casos, de Natlia e de Tlio, fazendo a

    descrio das atividades, a apresentao dos resultados e a anlise dos dados coletados, sob

    a luz de nosso referencial terico.

  • 24

    Por fim, apresentamos nossas consideraes finais sobre o estudo realizado,

    sintetizamos os principais resultados, buscando, atravs deles, responder a nossa questo

    de pesquisa.

    Os resultados desta pesquisa propiciaram a produo de uma proposta de ensino

    voltada para a codificao e decodificao de representaes planas de corpos geomtricos

    tridimensionais. A proposta de ensino gerada como produto final desta pesquisa

    apresentada em encarte anexado ao texto dissertativo.

    Antes, porm, de apresentarmos nossa investigao, devemos esclarecer alguns

    termos que sero utilizados no mbito de nossa pesquisa: representaes bidimensionais,

    codificao e decodificao de desenhos. Representaes bidimensionais so

    representaes feitas numa superfcie plana, como a folha de papel ou a tela do

    computador. Em nosso estudo, fazemos referncia aos desenhos. Assim, usaremos os

    termos representaes grficas, representaes bidimensionais e representaes planas

    como sinnimos de desenhos. Procurando evitar interpretaes ambguas, esclarecemos

    que representaes tridimensionais so representaes feitas no espao tridimensional,

    como os modelos de corpos geomtricos espaciais construdos com varetas, madeira ou

    outro material manusevel. Assim, o desenho em perspectiva de um cubo, por exemplo,

    uma representao bidimensional, enquanto que um modelo em madeira uma

    representao tridimensional da mesma figura geomtrica. Usaremos codificao como o

    ato de desenhar ou, ainda, como sinnimo produo dos desenhos e decodificao como

    o ato de ler e interpretar desenhos feitos.

  • 25

    CAPTULO 1 - Visualizao e desenho no ensino de Geometria

    Este captulo est dividido em duas partes. Na primeira discutimos o papel da

    visualizao no processo de ensino e aprendizagem da Geometria. Tambm apresentamos

    algumas interpretaes dadas visualizao espacial no campo da Educao Matemtica.

    Na segunda parte abordamos a relao entre objeto, desenho, imagens mentais e conceitos

    geomtricos na construo do pensamento geomtrico, bem como fazemos uma breve

    explanao sobre perspectiva central, perspectiva paralela e sobre as projees ortogonais.

    1.1 Visualizao geomtrica

    [...] o raciocnio visual na matemtica importante por si prprio e,

    portanto, ns precisamos desenvolver e dar total status s atividades

    matemticas puramente visuais (DREYFUS6, 1991, citado por

    GUTIRREZ, 1996, p.17).

    O ponto de partida para a definio do objeto de estudo desta pesquisa foi o

    interesse pela visualizao geomtrica. Iniciamos nosso levantamento bibliogrfico a

    respeito desse tema at chegarmos componente da visualizao referente s

    representaes planas de figuras geomtricas tridimensionais, foco de nossa investigao.

    Historicamente, a visualizao na Geometria Euclidiana j foi questionada e at

    mesmo apontada como um dos motivos para a reduo da nfase dada ao ensino da

    Geometria. Em sua pesquisa, Pavanello (1989), ao buscar explicaes sobre as causas do

    descaso com o ensino de Geometria, extraiu, entre os matemticos, explicaes que se

    concentram em torno de questes geralmente relacionadas com o rigor, com a visualizao

    e com a subordinao da Geometria lgebra.

    Quanto questo da visualizao, criticava-se o tratamento da Geometria com base

    em aspectos visuais, visto que desta maneira eram induzidos, intuitivamente, certos

    resultados sem a utilizao enftica de axiomas, alm do que se apontava que a

    visualizao, at ento valorizada nos trabalhos de Euclides, limitava a Geometria a duas

    6 Dreyfus, T. (1991). On the status of visual reasoning in mathematics and mathematics education,

    in Furinghetti, F. (ed.) Proceedings of the 15th P.M.E. conference. Univ. de Genova: Genova, Italy.

    v. 1, p. 33-48.

  • 26

    ou trs dimenses. Essas questes estavam inseridas em um contexto de ascenso do rigor

    axiomtico e das geometrias no euclidianas.

    Em contrapartida, a autora argumenta que

    a visualizao, conseguida pela representao por desenhos das situaes

    que se quer analisar, aumenta o grau de compreenso que delas se tem. Se

    as representaes podem induzir a iluses, podem tambm proporcionar

    uma viso mais clara do problema a resolver. A falta de um bom sistema

    de representao numrica dificultou bastante o avano da aritmtica

    desde os gregos. O desenvolvimento s foi possvel a partir da utilizao

    dos algarismos indu- arbicos e do sistema posicional, nos quais est

    presente, incontestavelmente, o aspecto visual (PAVANELLO, 1989,

    p.18).

    Hoje reconhecido o papel da visualizao na construo do pensamento

    geomtrico e apresenta-se em situaes corriqueiras do dia a dia ou como componente de

    estudo de diversas reas do conhecimento. A visualizao espacial tem sido estudada em

    numerosas ocasies e por pessoas com diferentes pontos de vista e com interesses e

    enfoques especficos. Assim, em alguns casos apontada por educadores matemticos,

    matemticos e psiclogos educacionais sob uma perspectiva utilitria para o ensino da

    Matemtica e, mais especificamente, da Geometria; em outros casos tem sido objeto de

    estudo de diversas escolas psicolgicas, como por exemplo, a piagetiana; e, em outras

    ocasies, tem sido estudada sob o ponto de vista de atividades especializadas, como a

    Arquitetura, a Engenharia, a Fsica ou a Matemtica, por exemplo.

    Devido a essa diversidade de grupos de investigao, com objetivos e contextos

    especficos, vrios termos equivalentes so utilizados como sinnimo, como percepo

    espacial, imaginao espacial, visualizao e visualizao espacial. Em Educao

    Matemtica, quando o estudo se refere Geometria Espacial, empregam-se geralmente os

    termos visualizao ou visualizao espacial (GUTIRREZ, 1992).

    Resgatando o aspecto semntico7 das palavras visualizar e visualizao,

    encontramos:

    visualizar. Transformar conceitos abstratos em imagens mentalmente visveis.

    visualizao. 1. Ato ou efeito de visualizar. 2. Transformao de conceitos

    abstratos em imagens reais ou mentalmente visveis.

    7 Novo Dicionrio Aurlio da Lngua Portuguesa. Disponvel em

    http://www.dicionariodoaurelio.com. Acesso em 21/12/2009

  • 27

    Visto que nossa pesquisa tem como foco a codificao e a decodificao de

    desenhos representativos de objetos estudados na Geometria Espacial, destacaremos

    algumas interpretaes dadas para visualizao espacial no campo da Educao

    Matemtica.

    Segundo Gutirrez (1992), autores de diversas escolas psicolgicas, como Bishop

    (1980, 1983, 1989), Bishop & Nickson (1983), Gaulin (1985), Gaulin & Puchalska (1987),

    Hoffer (1981, 1987, 1988) e Presmeg (1986),

    [...] interpretam a visualizao espacial como um conjunto de habilidades,

    predominantemente mentais, que permitem aos indivduos atuarem no

    contexto das representaes grficas matemticas, tomando este contexto

    em um sentido amplo que abarca as representaes usuais dos diferentes

    campos matemticos como Geometria, Anlise, lgebra, Aritmtica,

    Estatstica, etc. (p.18).

    Ainda, segundo Gutirrez (1992),

    [...] o termo visualizao espacial no contexto da Matemtica se refere,

    portanto, a certas habilidades mentais que tem a ver com a aprendizagem

    da Matemtica e que controlam a criao, transformao, transmisso e

    utilizao das diferentes formas de representao dos conceitos

    matemticos nas aulas (naturalmente, dentro deste conjunto de conceitos

    tm um papel de destaque os relativos Geometria e, sobretudo,

    Geometria Tridimensional) (p.20).

    Especificamente, no contexto da visualizao em Geometria, Kaleff (2003), aponta

    que

    Ao visualizar objetos geomtricos, o indivduo passa a ter controle sobre

    o conjunto das operaes mentais bsicas exigidas no trato da Geometria.

    Alguns exemplos destes tipos de operaes so apresentados a seguir:

    identificar uma determinada figura plana, isolando-a dos demais

    elementos de um desenho; reconhecer que algumas propriedades de um

    objeto (real ou imagem mental) so independentes de caractersticas

    fsicas como tamanho, cor e textura; identificar um objeto ou desenho

    quando apresentado em diferentes posies; produzir imagens mentais de

    um objeto e visualizar suas transformaes e movimentos; relacionar um

    objeto a uma representao grfica ou a uma imagem mental dele mesmo;

    relacionar vrios objetos, representaes grficas ou imagens mentais

    entre si; comparar vrios objetos, suas representaes grficas ou suas

    imagens mentais para identificar semelhanas e diferenas entre eles

    (p.16).

  • 28

    Por no percebermos contradies entre as referncias citadas e retomando nosso

    foco de pesquisa, esclarecemos que adotaremos em nosso estudo as conotaes, aqui

    referenciadas, para o termo visualizao.

    Segundo Gutirrez (1996), a visualizao integrada por quatro elementos

    principais: imagens mentais, representaes externas, processos de visualizao e

    habilidades de visualizao.

    O autor caracteriza imagens mentais no contexto da Matemtica pela unificao da

    terminologia utilizada por vrios dos autores citados, procurando integrar os conceitos

    definidos por eles. Para o autor, a imagem mental qualquer tipo de representao

    cognitiva de um conceito ou propriedade matemticos por meio de elementos visuais ou

    espaciais (p.9) e concorda com Yakimanskaya (1991, apud GUTIRREZ, 1996, p.6), ao

    considerar que as imagens so as unidades bsicas operativas do raciocnio espacial.

    Uma representao externa pertinente visualizao qualquer tipo de

    representao verbal ou grfica de conceitos ou propriedades, incluindo figuras, desenhos,

    diagramas, etc. que contribuem para criar ou transformar imagens mentais e construir o

    raciocnio visual (p.9,10).

    Um processo de visualizao uma ao mental ou fsica onde as imagens

    mentais esto envolvidas (p.10). Existem dois processos realizados na visualizao: a

    "interpretao visual de informaes" para criar imagens mentais e a "interpretao de

    imagens mentais" para gerar informaes.

    Para executar os processos necessrios na resoluo de um problema matemtico,

    os estudantes devem ser capazes de escolher entre diversas habilidades visuais. Segundo

    Gutirrez (1996, p.10), os principais tipos de habilidades so:

    - "Percepo de figura base": habilidade de identificar uma determinada

    figura isolando-a de um fundo complexo.

    - "Constncia perceptual": habilidade de reconhecer que algumas

    propriedades de um objeto (real ou em uma imagem mental) so

    independentes do tamanho, cor, textura ou posio, e permanecer no

    confuso quando um objeto ou figura percebida em diferentes

    orientaes.

    - "Rotao mental": habilidade de produzir imagens mentais dinmicas

    para visualizar uma configurao em movimento.

    - "Percepo de posies no espao": habilidade de relacionar um objeto,

    figura ou imagem mental consigo mesmo.

    - "Percepo de relaes espaciais": habilidade de relacionar vrios

    objetos, figuras e/ou imagens mentais uns com os outros ou

    simultaneamente consigo mesmo.

    - "Discriminao visual: habilidade de comparar vrios objetos, figuras

    e/ou imagens mentais para identificar semelhanas e diferenas entre eles

    (GUTIRREZ, 1996, p.10)

  • 29

    Estabelecendo uma relao entre os quatro principais elementos que integram a

    visualizao, o diagrama da Figura 1 resume os passos a serem seguidos quando se utiliza

    a visualizao para resolver uma tarefa. O enunciado da tarefa apresentado aos alunos

    interpretado e transformado em uma representao externa, adequada para gerar uma

    imagem mental. Essa primeira imagem inicia um processo de raciocnio visual no qual os

    alunos, dependendo da tarefa, usam algumas de suas habilidades visuais para executar

    diversos processos e outras imagens mentais e/ou representaes externas podem ser

    geradas antes que os alunos cheguem resposta. No caso da Geometria 3D, as

    representaes externas podem ser associadas aos objetos e desenhos que os representam.

    Figura1. Elementos de visualizao integrados soluo de uma tarefa matemtica (GUTIRREZ,

    1996, p. 11)

    Quando se aborda o processo de ensino e aprendizagem de Geometria Espacial, a

    visualizao pode ser considerada como um dos processos envolvidos nas diferentes

    maneiras de representaes das figuras 3D. Entende-se que a representao pode ser

    bidimensional, como o desenho feito em um papel ou na tela do computador; pode ser

    tridimensional, atravs de modelos concretos, ou mesmo pode ser realizada atravs da

    linguagem ou de gestos.

    Os Parmetros Curriculares Nacionais de Matemtica (1998) fazem referncia s

    representaes planas das figuras 3D como um dos trs objetos de estudo do espao e das

    formas:

  • 30

    (1) o espao fsico, ele prprio - ou seja, o domnio das materializaes;

    (2) a geometria, concebida como modelizao desse espao fsico domnio das figuras geomtricas;

    (3) o(s) sistema(s) de representao plana das figuras espaciais - domnio das representaes grficas. (BRASIL, 1998, p.122, grifo

    nosso)

    A esses objetos correspondem trs questes relativas aprendizagem que so

    ligadas e interagem umas com as outras:

    (1) a do desenvolvimento das habilidades de percepo espacial; (2) a da elaborao de um sistema de propriedades geomtricas e de uma linguagem que permitam agir nesse modelo;

    (3) a de codificao e de decodificao de desenhos. (BRASIL, 1998, p.123, grifo nosso).

    Assim, focando nosso interesse de investigao nos processos de codificao e

    decodificao de desenhos, tratamos, no prximo tpico, de questes especficas das

    representaes planas de corpos geomtricos 3D.

    1.2. O desenho no ensino de Geometria

    Estudos realizados (KALEFF, 1996, 2003; NACARATO e PASSOS, 2003;

    GUTIRREZ, 1992, 1998a; PARZYSZ, 1988, 1991) vm demonstrando que os desenhos

    de figuras geomtricas so essenciais para a construo do pensamento geomtrico e

    elaborao de conceitos geomtricos. Gravina (1996) e Pais (1996) afirmam que o desenho

    associado ao objeto geomtrico desempenha papel fundamental na formao da imagem

    mental, essncia do processo de construo dos conceitos geomtricos.

    Os documentos oficiais do ensino brasileiro tambm reconhecem a importncia do

    desenho no ensino de Geometria. No que diz respeito s representaes planas das figuras

    espaciais, os PCN (1998, p.125) afirmam que [...] as principais funes do desenho so

    visualizar fazer ver, resumir; ajudar a provar; ajudar a fazer conjecturas (o que se pode

    dizer).

    Por outro lado, paralelamente constatao de que os desenhos desempenham

    importante papel na construo do pensamento geomtrico, essas pesquisas apontam

    tambm para a grande dificuldade dos alunos em lidar com esse tipo de registro. Segundo

    Nacarato e Passos (2003),

  • 31

    A dificuldade que as pessoas apresentam em ler o que as representaes

    bidimensionais de objetos tridimensionais traduzem pode estar na

    incapacidade de identificar os diferentes elementos que compem estes

    objetos. Dessa forma, elas no conseguem representar para si prprias

    determinadas propriedades desses objetos, em prejuzo do processo de

    aprendizagem da geometria (p.82).

    importante que os alunos aprendam, mediante instrues especficas, a ler,

    interpretar e produzir representaes planas usuais de corpos geomtricos 3D, como meio

    de favorecer-lhes a compreenso da Geometria Espacial e a consolidao de sua

    aprendizagem. A literatura especializada (GUTIRREZ, 1998a; PARZYSZ, 1988;

    HOFFER, 1981; MITCHELMORE, 1980) preconiza que as habilidades para desenho

    podem ser desenvolvidas metodicamente, ou seja, essas habilidades so ensinveis, desde

    que sejam fornecidas experincias apropriadas.

    A utilizao do desenho para a representao dos conceitos geomtricos

    mencionado por Pais (1996), como um dos recursos didticos mais fortemente

    consolidados no ensino e na aprendizagem da Geometria. Entretanto, pesquisas

    (NACARATO e PASSOS, 2003; PAIS, 1994) constatam que a representao plana de

    objetos 3D, realizada em superfcies de dimenso dois (folha de papel ou tela do

    computador), pouco explorada em sala de aula. Consequentemente, percebe-se a grande

    dificuldade por parte dos alunos quando solicitados a produzir e interpretar desenhos

    geomtricos (KALEFF, 1996), o que interfere diretamente na compreenso de conceitos

    como rea e volume.

    No que diz respeito aos desenhos encontrados nos livros didticos, nota-se a

    ausncia de regras de representao claras e explcitas. Os desenhos no so

    acompanhados de comentrios sobre o prprio desenho. Pais (1994) apresenta algumas

    observaes obtidas a partir de uma anlise de 25 livros didticos, utilizados no ensino de

    Matemtica da Frana, cujo enfoque foi o prprio grafismo utilizado para representao de

    noes geomtricas de corpos redondos. O autor afirma que os tipos de representaes

    encontradas tambm se aplicam ao contexto brasileiro. Os desenhos encontrados nos livros

    apresentam certo nmero de elementos caracterizando o equilbrio da figura, geralmente

    em relao aos referenciais horizontal e vertical. Por exemplo, para a representao de um

    cilindro, normalmente adotada uma perspectiva cavaleira; existem dois segmentos

    verticais, representando duas geratrizes; uma elipse representando o crculo da base

    superior; representando a base inferior aparece uma elipse tendo a metade em trao

  • 32

    pontilhado e a outra metade em trao contnuo, uma meia elipse ou uma elipse toda em

    trao contnuo. Entretanto, constata-se que o tipo de representao de figuras

    tridimensionais com todos os traos contnuos, normalmente apresenta uma sria

    ambiguidade na leitura do desenho. Um dos elementos de equilbrio dessas configuraes

    pode ser reconhecido pela posio dos eixos das elipses que so sempre paralelos s bordas

    da pgina.

    Estendendo o estudo de Pais, aplicado aos corpos redondos, podemos tambm

    perceber uma grande influncia das bordas da pgina sobre as representaes grficas de

    conceitos geomtricos, como sugere Parzysz (1988, 1991). Por exemplo, dois segmentos

    perpendiculares so normalmente representados por um segmento paralelo s bordas

    superior e inferior e outro paralelo s bordas laterais da folha de papel.

    importante ressaltar que as representaes planas suscitam os processos de

    codificao (produo do desenho) e de decodificao (leitura e interpretao do desenho),

    que so fortemente imbricados um sobre o outro no processo de construo dos conceitos

    geomtricos.

    O desenvolvimento das habilidades de representar bidimensionalmente atravs de

    desenhos - corpos tridimensionais e de interpretar os desenhos dos slidos geomtricos -

    impressos nos livros, nos textos referentes ao tema, em revistas, jornais, etc. constitui

    uma das etapas do processo de desenvolvimento da viso espacial dos alunos, o qual deve

    ser estimulado pela oferta de uma diversidade de atividades, visto que, como j dito

    anteriormente, as habilidades para desenho podem ser desenvolvidas metodicamente,

    desde que sejam fornecidas experincias apropriadas.

    Entretanto, se por um lado possvel que o desenho auxilie na aprendizagem da

    Geometria, por outro, como afirmam alguns pesquisadores, pode se tornar um obstculo,

    uma vez que o aluno pode considerar caractersticas particulares da representao que no

    pertencem ao conjunto das propriedades geomtricas que definem o objeto. O desenho

    apenas uma instncia fsica de representao do objeto.

    preciso que sejam esclarecidos aspectos particulares de alguns termos envolvidos

    em nosso estudo, bem como se explicite qual o papel que cabe a cada um deles no

    processo de construo do pensamento geomtrico e na elaborao de atividades voltadas

    para o ensino de Geometria. Assim, no prximo tpico, tratamos de quatro termos que

    causam controvrsia devido s diferentes formas pelas quais so utilizados: objeto,

    desenho, imagem mental e conceito.

  • 33

    1.2.1. Objeto, desenho, imagem mental, conceito

    Segundo Pais (1996), quatro elementos so fundamentais no processo de ensino e

    aprendizagem de Geometria Euclidiana, plana e espacial: objeto, desenho, imagem mental

    e conceito.

    O termo objeto interpretado como sendo uma parte material, concreta, palpvel

    do mundo real e que pode ser associada a alguns conceitos geomtricos. Assim, o termo

    objeto utilizado como sinnimo de material fsico (GUTIRREZ, 1998a), material

    manipulvel (NACARATO, 2005) ou material concreto (KALEFF, 2003, FIORENTINI e

    MIORIM, 1990). Por exemplo, o objeto associado ao conceito de cubo pode ser um cubo

    construdo com cartolina, varetas, argila ou madeira.

    Nesta dissertao, assim como Pais (1996), utilizamos o termo objeto apenas em

    sua acepo concreta (p.66), como sinnimo dos termos material manipulvel,

    material manusevel, modelo concreto e material concreto.

    No processo de construo do pensamento geomtrico, devido a sua relativa

    facilidade de manipulao, o objeto pode ser considerado como uma forma primria de

    representao do conceito. Primria no sentido de que ele a forma mais acessvel e

    imediata sensibilidade humana (PAIS, 1996, p. 68). Esses materiais tm uma natureza

    particular e concreta, de onde surge o grande desafio didtico de se conseguir estabelecer

    relaes entre os mesmos e as questes que levariam abstrao.

    Pais (IBID) aponta que o problema que surge com o uso desses materiais que

    sua natureza contrasta frontalmente com a generalidade e a abstrao dos conceitos

    visados, surgindo tambm da a necessidade de se transpor sua prpria materialidade.

    (p.67).

    Para o autor, esses recursos podem contribuir para a aprendizagem da Geometria,

    desde que seu uso seja bem planejado e fundamentado teoricamente e, ainda, que sua

    utilizao no se limite a uma simples atividade ldica.

    Assim como o objeto, o desenho tambm de natureza essencialmente concreta e

    particular e, portanto, oposta s caractersticas gerais e abstratas do conceito. Os desenhos

    so amplamente utilizados na Geometria. A importncia do desenho para a aprendizagem

    geomtrica destaca-se na sua utilizao para representar desde noes fundamentais at o

    caso de ilustrar conceitos e teoremas clssicos. Quando associados ao objeto geomtrico,

    desempenham um papel fundamental na formao da imagem mental. Para Pais (IBID), o

    desafio posto atividade didtica , assim como no caso dos objetos materiais, a

    necessidade de transpor a natureza do desenho, correlacionando particular e geral, concreto

  • 34

    e abstrato. Assim, o domnio das informaes tcnicas presentes em um desenho deve ser

    ensinado, para que o aluno consiga decodificar as informaes geomtricas contidas nessa

    representao.

    Pais (1996) analisa as imagens mentais que podem ser associadas aos conceitos

    geomtricos, inspirando-se nos trabalhos de Denis (1979, 1989)8, dedicados teoria

    cognitiva. Essas imagens, ao contrrio dos dois elementos j citados, tm uma natureza

    essencialmente subjetiva e abstrata, no sentido de estar ainda em pensamento. Nesse

    sentido, h certa correlao entre as imagens mentais e o conhecimento intuitivo, cuja

    utilizao e explicitao, por parte do indivduo, no exigem um raciocnio mais elaborado.

    Segundo Pais (1996),

    assim, como as noes geomtricas so ideias abstratas e, portanto,

    estranhas sensibilidade exterior do homem, a formao de imagens

    mentais uma consequncia quase que exclusiva do trabalho com

    desenhos e objetos. [...] Para os interesses do ensino de geometria, so os

    objetos e os desenhos que podem principalmente estimular a formao de

    boas imagens e, neste contexto, elas constituem uma terceira forma de

    representao das noes geomtricas (p.70, grifo nosso).

    Segundo Pais (IBID), a generalidade e a abstrao dos conceitos geomtricos so

    construdas gradativamente num processo dialtico entre a influncia do mundo fsico e a

    reflexo intelectual sobre esse mundo. Conceito um elemento de natureza puramente

    abstrata e geral e refere-se ao aspecto racional e objetivo da cincia. O conceito geomtrico

    est correlacionado ao aspecto terico do conhecimento geomtrico, enquanto o objeto e o

    desenho esto correlacionados ao aspecto experimental e a imagem mental, ao aspecto

    intuitivo do conhecimento geomtrico (GONSETH, 1945, apud PAIS, 1996). A

    compreenso da natureza dos conceitos um processo evolutivo [...] no qual o aluno

    pode, inclusive, reviver dificuldades ocorridas na prpria evoluo histrica do conceito

    (p.71). perante essas dificuldades que os alunos buscam estabelecer relaes entre o

    conceito e sua representao e [...] nesse processo de conceitualizao que o aluno lana

    mo de recursos que lhe so mais prximos e disponveis, entrando em cena as

    representaes por objetos e desenhos e, posteriormente, pelas imagens mentais (PAIS,

    1996, p.71).

    8 DENIS, M. (1979). Les Images Mentales. Paris: Presse Universitaire Franaise.

    DENIS, M. (1989). Image et Cognition. Paris: Presse Universitaire Franaise.

  • 35

    Conclumos, pois, que na construo do conhecimento geomtrico terico, os

    objetos e os desenhos no ocupam o lugar dos aspectos intuitivos e abstratos inerentes

    Geometria, mas, sim, situam-se como recursos auxiliares desses aspectos na construo

    dos conceitos. Isto , objeto, desenho, imagem mental e conceito so elementos que se

    complementam e, concomitantemente, intervm no processo de ensino e aprendizagem da

    Geometria. O exerccio de observao, descrio, representao e anlise das formas

    geomtricas favorece a formao das imagens mentais que fundamentam o pensamento

    geomtrico.

    Apesar de os desenhos de figuras geomtricas serem representaes externas de

    construtos subjetivos e abstratos, ao contrrio das imagens mentais, que so representaes

    internas ao sujeito, os processos de leitura e produo dos mesmos so alimentados por

    constantes buscas no campo da abstrao. As imagens internas e externas interagem, num

    processo dialtico, a caminho da construo dos conceitos geomtricos. Assim, ao se tratar

    dos processos de codificao e decodificao de representaes planas de corpos

    geomtricos tridimensionais, foco de nossa pesquisa, acreditamos ser de fundamental

    importncia nos atermos um pouco mais s imagens mentais envolvidas nesses processos.

    Vrios significados tm sido atribudos imagem mental. Na psicologia cognitiva,

    um significado de "imagem mental", apoiada por Denis, Kosslyn, Paivio, Shepard e outros,

    o de uma imagem criada na mente, na memria, sem qualquer suporte fsico

    (GUTIRREZ, 1996). Esses pesquisadores esto interessados em compreender como as

    imagens mentais so criadas e salvas na mente de uma pessoa.

    Segundo Gutirrez (1996), os significados dados por esses psiclogos s imagens

    mentais no so partilhados por muitos psiclogos educacionais, nem por matemticos,

    professores de Matemtica ou educadores matemticos. Uma das principais razes para

    essa discordncia que, em Matemtica, a utilizao de desenhos, figuras, diagramas ou

    representaes de computador, faz parte da atividade cotidiana em salas de aula. Em

    oposio abordagem da psicologia cognitiva, educadores matemticos consideram que as

    representaes mentais e representaes externas, isto , no mentais, tm de interagir para

    alcanar um melhor entendimento e para resolver problemas.

    Em seu trabalho, Gutirrez (1996) procura estabelecer um quadro terico especfico

    caracterizando a atividade de visualizao aplicvel ao ensino e aprendizagem da

    Matemtica, fundamentando-se em estudiosos com o mesmo objetivo, como

    Yakimanskaya (1991), Clements (1982), Presmeg (1986), Bishop (1983) e Kosslyn (1980).

  • 36

    Segundo Yakimanskaya9 (1991, apud GUTIRREZ, 1996, p.6), imagem mental

    uma representao interna criada a partir da percepo sensorial das relaes espaciais, e

    isso pode ser expresso em uma variedade de formas verbais ou grficas, incluindo grficos,

    imagens, desenhos, linhas, etc..

    Dentre as diversas definies encontradas, na presente pesquisa, imagem mental

    ser entendida como em Yakimanskaya (1991, apud GUTIRREZ, 1996). Alm disso,

    coadunamos com Gonseth (1945, apud PAIS, 1996) ao afirmar que a imagem mental est

    correlacionada ao aspecto intuitivo do conhecimento geomtrico.

    Pais (1996), em consonncia com Gutirrez (1996), considera que, para os

    interesses do ensino de Geometria, so os objetos e os desenhos que podem principalmente

    estimular a formao de boas imagens, isto , a partir deles que se processa a

    interpretao visual das informaes para a formao das imagens mentais.

    Outro referencial que trazemos para essa pesquisa, ao buscarmos aprofundar nossos

    conhecimentos sobre a influncia do uso de materiais manuseveis e recursos informticos

    na formao da imagem mental, baseia-se em um estudo intitulado A intuio das formas

    (Percepo estereognstica), descrito por Piaget e Inhelder (1993).

    Segundo Piaget e Inhelder (1993),

    Denomina-se percepo estereognstica, em neurologia e em psicologia

    experimental, o reconhecimento ttil (relativo a objetos invisveis) dos

    objetos slidos. A denominao, tornada corrente, todavia defeituosa,

    porque tais percepes ultrapassam muito as fronteiras do perceptivo

    puro e supem, em geral, a traduo das percepes tteis e dos

    movimentos em imagens mentais (p.19).

    A experincia realizada pelos autores consistiu em apresentar a crianas de 2 a 7

    anos de idade um determinado nmero de objetos, que consistem em objetos familiares

    (uma bala, tesoura, etc.) e em cartes de formas geomtricas (um quadrado, um crculo,

    etc.). As crianas, ento, deveriam tocar e apalpar10

    tais objetos sem v-los e depois

    nome-los, desenh-los e reconhec-los dentre diversos desenhos preparados, escolha.

    Segundo Piaget e Inhelder (1993), a partir de sete a oito anos, a criana j faz a correlao

    entre as formas e a coordenao das aes, mas ainda apresenta dificuldade em desenhar as

    9 Yakimanskaya, I.S. (1991): The development of spatial thinking in schoolchildren (Soviet

    Studies in Mathematics Education vol. 3). (N.C.T.M.: Reston, USA). 10

    Apalpar: tocar com a mo para conhecer pelo tato. (Novo Dicionrio Aurlio da Lngua

    Portuguesa. Disponvel em < http://www.dicionariodoaurelio.com>. Acesso em 15/01/2010).

  • 37

    figuras que requerem agrupar muitos elementos, como os ngulos e os lados paralelos.

    Observaram, ainda, que as crianas tiveram mais facilidade em reconhecer do que em

    desenhar.

    Tal experincia constitui-se em traduzir a percepo ttil do objeto invisvel em

    uma imagem de carter visual que, no caso da nossa pesquisa, um desenho. Por isso, o

    estudo desses fatos pode servir tanto para analisar o mecanismo da percepo ttil quanto a

    construo das representaes. Em nossa pesquisa, focaremos nossa ateno nas

    construes das representaes planas de objetos 3D.

    1.2.2. Desenhos de objetos tridimensionais

    O uso do desenho em Geometria Espacial exige, quase sempre, o recurso da tcnica

    da perspectiva, que serve para colocar em evidncia a terceira dimenso do objeto

    representado. O uso da perspectiva uma das grandes dificuldades encontradas pelos

    alunos na aprendizagem dos conceitos espaciais. Para Bonafe (1988, apud PAIS, 1996)

    parte das dificuldades do ensino de Geometria Espacial ocorre

    [...] quando o aluno ainda no tem imagens mentais suficientemente

    operacionais para decodificar um desenho em perspectiva e [...] tanto a

    produo de um desenho em perspectiva pelo aluno, como a sua leitura,

    podem constituir-se em obstculos considerveis para a aprendizagem

    (p.69).

    Trazemos, a seguir, um breve esclarecimento sobre perspectiva central, perspectiva

    paralela e sobre as projees ortogonais

    1.2.2.1. Perspectiva central e perspectiva paralela

    Quando olhamos para um objeto 3D, temos a sensao de profundidade e relevo: as

    partes mais prximas parecem-nos maiores e as mais distantes parecem-nos menores. As

    fotografias mostram os objetos do mesmo modo como os percebemos pessoalmente,

    transmitindo, no plano do papel que um plano bidimensional, uma ideia das trs

    dimenses largura, altura e profundidade. Ao se fazer um desenho, se a inteno

    transmitir essa mesma ideia, preciso recorrer a um modo especial de representao plana:

    a perspectiva.

    Segundo Pavanello (1989), a descoberta da perspectiva foi, por sua vez, decorrente

    da necessidade de imprimir realismo representao de cenas nas pinturas, e veio,

    posteriormente, contribuir para o desenvolvimento da geometria projetiva. (p.18).

  • 38

    A projeo em perspectiva representa graficamente as trs dimenses de um objeto

    em um nico plano, de maneira a transmitir a ideia de profundidade, mesmo usando apenas

    as duas dimenses possveis em um plano.

    H dois tipos de perspectivas: a perspectiva central ou cnica e a perspectiva

    paralela ou cilndrica (KODAMA, 2006; MIRANDA, 2006). Na perspectiva central

    definido um ponto, chamado ponto de fuga (PF), para onde convergem algumas das linhas

    retas paralelas, isto , por esse ponto passam as linhas de profundidade (Figura 2). O

    paralelismo con