TUTORIAL:

Representação de sinais periódicos por Série de Fourier

Allan Eduardo Feitosa, 2019 (Aluno de pós-graduação da área de concentração “Sistemas Eletrônicos” da Engenharia Elétrica da USP)

Resumo

Vamos apresentar uma breve introdução ao conceito de representação

de sinais periódicos por meio da série de Fourier, juntamente com as

suas motivações, suas principais características e as consequências

práticas, que são interessantes para seu uso em Engenharia Elétrica e

ciências em geral.

1. Visão Geral Um sinal em função do tempo 𝑠(𝑡), periódico com período 𝑇 > 0, tem representação em série de Fourier dada pela expressão

𝒔 𝒕 =𝒂𝟎𝟐+ 𝒂𝒏

∞

𝒏=𝟏

𝐜𝐨𝐬𝟐𝝅𝒏𝒕

𝑻+ 𝒃𝒏 𝐬𝐞𝐧

𝟐𝝅𝒏𝒕

𝑻,

com 𝑎0, 𝑎𝑛 e 𝑏𝑛 coeficientes reais. Alternativamente, a série pode ser expressa por1

𝒔 𝒕 = 𝑨𝟎 + 𝑨𝒏𝐜𝐨𝐬𝟐𝝅𝒏𝒕

𝑻+ 𝝓𝒏

∞

𝐧=𝟏

,

com 𝐴0, 𝐴𝑛 e 𝜙𝑛 coeficientes reais e 0 ≤ 𝜙𝑛 ≤ 2𝜋.

1Existe uma terceira forma de representação que comentaremos mais a frente, que é mais apropriada para aplicações na área de estudo de processamento de sinais.

Em outras palavras: um sinal 𝑠(𝑡) periódico pode ser escrito como uma soma infinita (?) de senos e cossenos, ponderados por coeficientes 𝑎𝑛 e 𝑏𝑛.

Deve-se notar também que as frequências angulares dos senos e cossenos são harmonicamente relacionadas. Isto é, dada a sequência:

2𝜋

𝑇,4𝜋

𝑇,6𝜋

𝑇,… ,

2𝜋𝑛

𝑇,… =

2𝜋𝑛

𝑇𝑛≥1

,

o n-ésimo termo se relaciona com o primeiro (chamado de frequência fundamental), segundo a relação

𝜔𝑛 =2𝜋𝑛

𝑇= 𝑛𝜔1, 𝑛 ≥ 1.

Definimos o período fundamental da sequência harmonicamente relacionada como:

𝑇1 =2𝜋

𝜔1= 𝑇.

Por exemplo, um sinal 𝑠 𝑡 com período 𝑇 = 0.1𝑠 será dado pela série

𝑠 𝑡 =𝑎02+ 𝑎𝑛

∞

𝑛=1

cos 20𝜋𝑛𝑡 + 𝑏𝑛 sen 20𝜋𝑛𝑡 ,

com os termos de senos e cossenos com frequências harmonicamente relacionadas:

20𝜋, 40𝜋, 60𝜋,… , 20𝜋𝑛,… =2𝜋𝑛

0.1𝑛≥1

.

Até aqui, definimos o que é a representação em Série de Fourier de um sinal 𝑠(𝑡) de período 𝑇.

Mas o que significa tudo isso?

Porque podemos representar 𝑠 𝑡 desta forma?

Qual a intuição por trás da representação por uma série de senos e cossenos harmonicamente relacionados?

E, igualmente importante, que interpretações podemos tirar representando um sinal por sua série de Fourier e como isso ajuda o cientista/engenheiro?

Além disso, há outras questões mais formais, como “o que é uma série?” e “o que significa representar uma função por uma série?”

A seguir, vamos tentar investigar a intuição e motivação por trás dessa visão geral e procurar responder tais perguntas. Para isto, vamos tomar um pequeno desvio e estudar um pouco o polinômio e a série de Taylor. Valerá a pena! ;)

2. Buscando intuição e motivação: Aproximando funções pelo polinômio de Taylor

Dada uma função 𝑓 𝑡 (vamos considerar funções contínuas por simplicidade), uma boa aproximação em torno de 𝑡 = 𝑡0 pode ser obtida pela reta tangente no ponto 𝑡0, 𝑓 𝑡0 , que é:

𝑔 𝑡 = 𝑓 𝑡0 + 𝑓′ 𝑡0 𝑡 − 𝑡0 ,

onde 𝑓′ 𝑡0 é a derivada da função 𝑓 calculada em 𝑡 = 𝑡0. Esta função é chamada de Polinômio de Taylor de Primeira Ordem em torno de 𝑡0, e a aproximação

𝑓 𝑡 ≈ 𝑔 𝑡 ,

funcionará bem ao redor de 𝑡 = 𝑡0.

Exemplo: Aproximando 𝑓 𝑡 = 𝑒𝑡 em torno de 𝑡 = 0. Temos que 𝑓′ 0 = 𝑓 0 = 𝑒0 = 1 e, portanto,

𝑔 𝑡 = 1 + 𝑡.

No gráfico da Figura 1 ao lado, podemos notar como o erro

𝑓 𝑡 − 𝑔(𝑡)

se torna menor quanto mais próximo do ponto 0,1 estivermos. Neste ponto, temos

𝑓 𝑡 = 𝑔 𝑡 ,

e, portanto, a aproximação é sem erros neste ponto. A medida que nos distanciamos de 0,1 , o erro ao aproximar 𝑓 𝑡 por 𝑔 𝑡

aumenta.

8

Figura 1: Aproximação de 𝑓 𝑡 = 𝑒𝑡 por um polinômio de Taylor de primeira ordem em torno de 𝑡 = 0. O erro de aproximação é mostrado para 𝑡 ∈ 0.5, 1, 1.5 .

Para melhorar a aproximação da função em torno de 𝑡 = 𝑡0, podemos acrescentar um termo de segundo grau na expressão da reta tangente

ℎ 𝑡 = 𝑔 𝑡 +𝑓′′ 𝑡0 𝑡 − 𝑡0

2

2,

onde 𝑓′′ 𝑡0 é a segunda derivada da função 𝑓 calculada em 𝑡 = 𝑡01.

Este é o Polinômio de Taylor de Segunda Ordem em torno de 𝑡0, e esperamos que a aproximação

𝑓 𝑡 ≈ ℎ 𝑡 ,

seja melhor que a aproximação por 𝑔 𝑡 em torno de 𝑡 = 𝑡0.

Para refletir: por que faz sentido utilizar a segunda derivada como coeficiente do termo quadrático? (Dica: pense porque utilizamos a primeira derivada no caso de 𝑔(𝑡)).

1 O fator ½ é necessário para garantir que as derivadas de segunda ordem da função 𝑓 e da aproximação ℎ tenham o mesmo valor em 𝑡 = 𝑡0. Isto é desejado, pois esperamos que o comportamento de 𝑓 e de 𝑔 seja o mais parecido possível próximo de 𝑡 = 𝑡0.

Utilizando uma aproximação por polinômio de Taylor de segunda ordem, isto é

ℎ 𝑡 = 1 + 𝑡 +𝑡2

2,

(verifique!), vemos no gráfico da Figura 2 ao lado como ficam o erro de aproximação

𝑓 𝑡 − ℎ 𝑡 ,

e da mesma forma podemos observar que este se torna menor quanto mais próximo do ponto 0,1 estivermos. Além disso, a aproximação

apresenta menor erro que a aproximação de primeira ordem. Adendo: Podemos pensar em uma aproximação de ordem zero, que é dada por 𝑧 𝑡 = 𝑓 𝑡0 , que neste caso se tornaria

𝑧 𝑡 = 1,

e esta seria a aproximação mais simples de ser feita em torno do ponto 0,1 .

10

Figura 2: Aproximação de 𝑓 𝑡 = 𝑒𝑡 por um polinômio de Taylor de segunda ordem em torno de 𝑡 = 0. O erro de aproximação é mostrado para 𝑡 ∈ 0.5, 1, 1.5 .

Assim, podemos nos perguntar se é possível conseguir aproximações melhores acrescentando termos de ordem superior ao polinômio aproximador.

O polinômio de Taylor de ordem 𝑁 é a generalização do que vimos, e é dado pelo expressão

𝑝 𝑡 = 𝑓 𝑛 𝑡

𝑛!𝑡 − 𝑡0

𝑛

𝑁

𝑛=0

,

em que 𝑓 𝑛 é a n-ésima derivada da função 𝑓.

Observe na animação ao lado como que a aproximação para 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑡 se torna melhor em pontos mais afastados de 𝑡0 = 0 a medida que 𝑁 aumenta.

Fonte: Wikipedia. Autor: Oleg Alexandrov

E se fizermos, com ousadia, 𝑁 se tornar um número tão grande quanto se queira? Em linguagem matemática, o que acontece se fizermos 𝑁 → ∞ no polinômio de Taylor?

A resposta é que desta ousadia nasce a Série de Taylor (em torno de 𝑡0), dada por

𝑇 𝑡 = 𝑓 𝑛 𝑡0

𝑛!𝑡 − 𝑡0

𝑛

∞

𝑛=0

,

e, se a função 𝑓 é bem comportada e a série acima converge (?), podemos afirmar com tranquilidade que

𝑇 𝑡 = 𝑓 𝑡 , ∀𝑡 ∈ Dom 𝑓 .

Este resultado é bastante forte. Porém, antes de qualquer coisa, o que é uma série e o que significa dizer que ela converge?

2.1 Séries: in a nutshell Uma série é, de forma simplificada, a soma dos termos de uma sequência infinita. Genericamente, dada uma sequência

𝑎𝑛 𝑛≥1 = 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛, … , 𝑎𝑛 ∈ ℝ,

a sua série será a soma de todos os seus elementos, isto é:

𝑎𝑛

∞

𝑛=1

,

E, se for possível atribuir um valor finito a esta soma, chamamos este valor de soma da série. Neste caso (apenas) dizemos que a série é convergente.

Exemplo clássico: A série geométrica

A partir da sequência

𝑔𝑛 𝑛≥1 = 𝑎, 𝑎𝑟, 𝑎𝑟2, … , 𝑎𝑟𝑛−1, … , 0 < 𝑟 < 1,

podemos definir a série

𝑔𝑛

∞

𝑛=1

= 𝑎𝑟𝑛−1∞

𝑛=1

,

que sabemos (ou deveríamos saber) ter valor finito dado por

𝑆 = lim𝑗→∞

𝑎𝑟𝑛−1𝑗

𝑛=1

=𝑎

1 − 𝑟.

Assim, uma sequência com 𝑎 = 1 e 𝑟 = 1 2 e sua soma será 𝑆 = 2.

2.3 Representação de funções por séries Séries podem ser utilizadas para representar funções. Por exemplo, as seguintes funções tem representação por Série de Taylor (em torno de 𝑡 = 0) dadas por:

𝑒𝑡 = 1 + 𝑡 +𝑡2

2+ 𝑡3

6+

𝑡4

24+⋯ =

𝑡𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

,

cos(𝑡) = 1 −𝑡2

2!+𝑡4

4!− ⋯ =

−1 𝑛

2𝑛 !𝑡2𝑛

∞

𝑛=0

,

sen 𝑡 = 𝑡 −𝑡3

3!+𝑡5

5!− ⋯ =

−1 𝑛

2𝑛 + 1 !

∞

𝑛=0

𝑡2𝑛+1.

Achou as representações dessas funções parecidas? Não é mera coincidência, já que elas são relacionadas pela expressão

𝑒𝑗𝑡 = cos 𝑡 + 𝑗sen(𝑡).

Exemplo: na Figura 3 ao lado, temos as aproximações para a função 𝑓 𝑡 = sen(𝑡) em torno de 𝑡 = 0. Perceba que quanto maior o valor de 𝑁 os polinômios aproximam melhor valores mais distantes do ponto (0,0). Para 𝑁 → ∞, teremos

sen 𝑡 = 𝑡 −𝑡3

3!+𝑡5

5!− ⋯

= −1 𝑛

2𝑛 + 1 !

∞

𝑛=0

𝑡2𝑛+1.

Figura 3: Aproximações para a função 𝑓 𝑡 = sen(𝑡) em torno de 𝑡 = 0 para 1 ≤ 𝑁 ≤ 13.

Até aqui... Demos uma desviada razoável da Série de Fourier para a Série de Taylor, mas ganhamos várias ideias que vão nos ajudar a dar a intuição necessária para entender a primeira. As principais são:

1. Podemos aproximar uma função tem torno de um ponto utilizando um polinômio de ordem 𝑁.

2. Para valores maiores de 𝑁, esta aproximação se torna melhor, em termos do erro cometido. A aproximação também melhora para pontos mais distantes do ponto escolhido.

3. Se fizermos 𝑁 → ∞, obtemos a Série de Taylor, e se esta convergir, ela representa a função original em todos os pontos de seu domínio.

Devemos também reforçar que estas aproximações permitem descrever mais facilmente funções, facilitando o trabalho do cientista e do engenheiro em seu trabalho.

3. Representação de Funções Periódicas: a Série de Fourier

Agora já sabemos que séries (convergentes) podem ser utilizadas para

representar funções, e que essas séries são generalizações de

aproximações por funções mais simples (polinômios no caso de Taylor).

Vamos retomar os conceitos que vimos no início. Relembrando, a Série

de Fourier é uma representação para sinais periódicos.

3.1 Sinais periódicos Matematicamente, uma função 𝑠 𝑡 é periódica se

𝑠 𝑡 = 𝑠 𝑡 + 𝑇 ,

para um período 𝑇 > 0. Isto que dizer que a função apresenta “cópias” de si mesma a cada deslocamento de 𝑇 no tempo.

Os exemplos mais imediatos de funções periódicas são as funções seno e cosseno, e por diversas razões, podemos considerá-las as funções períodicas elementares1.

Esta ideia de função periódica elementar nos ajudará a justificar o formato da Série de Fourier.

1Por exemplo, lembre que estas funções surgem naturalmente como sendo a projeção sobre os eixos 𝑥 e 𝑦 da distância de um ponto no círculo trigonométrico em relação à origem, e se esse ponto se desloca uniformemente na circunferência, o valor desta projeção definirá as funções cosseno e seno, respectivamente.

3.1 Sinais periódicos Matematicamente, uma função 𝑠 𝑡 é periódica se

𝑠 𝑡 = 𝑠 𝑡 + 𝑇 ,

para um período 𝑇 > 0. Isto que dizer que a função apresenta “cópias” de si mesma a cada deslocamento de 𝑇 no tempo.

Figura 4: Exemplo de uma função periódica arbitrária com período 𝑇 = 1.

Figura 4: Exemplo de uma função periódica arbitrária com período 𝑇 = 1. Note que o período 𝑇 pode ser verificado de inúmeras formas distintas.

3.2 Tentando aproximar uma função “em torno de seu periodo” Relembrando, a motivação por trás do polinômio de Taylor era aproximar uma função ao redor de um ponto. Vamos tentar algo um pouco diferente para funções periódicas: ao invés de fazer isso ao redor de um ponto, vamos tentar aproximar a função “ao redor de um período”.

Incialmente em Taylor, utilizamos a função que representava a reta tangente no ponto escolhido, e neste ponto, a reta e a função se igualavam. Vamos tentar, para a função períodica da Figura 4, aproximar por uma outra função com mesmo período e que seja “tão elementar” quanto a reta no caso de Taylor.

A questão é: qual função periódica e “elementar” parece ser adequada para esta aproximação “por período”?

Analizando o gráfico da função na Figura 4, uma escolha razoável é usar a função seno com período 𝑇 = 1.

A questão é: qual deve ser a amplitude desse seno? Afinal, é intuitivo imaginar que algumas escolhas de amplitude serão melhores que outras.

Por exemplo, uma amplitude de 0.2 parece muito mais razoável neste caso do que uma amplitude de 1000. Como fazer esta ideia de escolha da melhor amplitude precisa e objetiva?

Podemos utilizar o critério do mínimo erro quadrático médio2. Primeiro definimos o erro quadrático, e sendo 𝑏1 a amplitude do seno, ele é

𝐸𝑞 𝑡 = 𝑠 𝑡 − 𝑏1 sen 2𝜋𝑡 2,

e o Erro Quadrático Médio (em um período) será

𝐸𝑞𝑚 =1

𝑇 𝐸𝑞(𝑠)𝑡+𝑇

𝑡

𝑑𝑠. (1)

2Este é o mesmo critério que utilizamos quando aproximamos pontos por uma função utilizando mínimos quadrados. Para saber mais sobre o assunto, ver ...

Não temos a intenção aqui de justificar o porquê de escolhermos o Erro Quadrático Médio como critério, então vamos apenas tomá-lo como uma escolha razoável.

3Esta expressão para a norma depende da definição de um produto interno no espaço vetorial das funções. Neste caso, dado duas funções 𝑓 𝑡 e 𝑔(𝑡) ele pode ser dado pela integral de 𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 calculada no intervalo [𝑡, 𝑡 + 𝑇].

Não tenham medo de Algelin, ela é muito amiga! Entretanto, é fácil visualizar na Figura 5 ao lado porque o erro quadrático médio faz sentido. Se pensarmos nas funções no intervalo 𝑡, 𝑡 + 𝑇 como vetores num espaço vetorial, podemos pensar no erro como a diferença entre os vetores 𝑠(𝑡) e 𝑏1 sen(2𝜋𝑡). A norma (ou módulo) desse vetor é dada pela expressão3

𝑒(𝑡) = 𝑒2 𝑡 𝑑𝑡𝑡+𝑇

𝑡

,

que é a raiz quadrada do erro quadrático médio multiplicado por 𝑇.

Assim, minimizar a norma do erro 𝑒(𝑡) é equivalente a minimizar o erro quadrático médio. Isso acontece quando 𝑠 𝑡 e 𝑏1 sen(2𝜋𝑡) são perpendiculares!

Assim, temos a melhor escolha da amplitude do seno de período 𝑇 = 1, segundo o critério do mínimo erro quadrático médio.

Desta forma, 𝑏1 sen(2𝜋𝑡) será a projeção de 𝑠 𝑡 sobre sen(2𝜋𝑡) . Vamos pular algumas passagens matemáticas (não é o foco neste momento demonstrar todos os passos, mas encorajamos que a matemática seja verificada!). A amplitude 𝑏1, quando queremos a projeção de 𝑠 𝑡 sobre sen(2𝜋𝑡), é dada por

𝑏1 = 2

𝑇 𝑠 𝑡 sen 2𝜋𝑡 𝑑𝑡𝑡+𝑇

𝑡

. (2)

Figura 5: Função 𝑠(𝑡) da Figura 4 junto com a função 0.1821 sen(2𝜋𝑡), de mesmo período. A amplitude foi calculada segundo a expressão 2 .

Assim, temos na Figura 5 a função 0.1821 sen(2𝜋𝑡) como nossa primeira tentativa de aproximação da função s(𝑡), e sabemos que ela minimiza o erro quadrático médio. Outra forma de visualizar este fato é pelos gráficos da Figura 6, que mostram o erro quadrático médio em função de 𝑏1.

Figura 6: Erro quadrático médio (calculado por (1) ) em função de 𝑏1, com −1 ≤ 𝑏1 ≤ 1. O gráfico à direita apresenta um zoom ao redor do valor mínimo, cujo valor de 𝑏1 é dado por (2).

3.3 Melhorando a aproximação

Agora, vamos usar outra intuição que tiramos do polinômio de Taylor: como podemos somar mais termos a nossa aproximação de forma a diminuir o erro?

Com o polinômio de Taylor, adicionamos termos de ordem 𝑁 que tinham relação com as derivadas de ordem 𝑁, e sempre a igualdade entre aproximação e a função no ponto escolhido era mantida intacta.

Lembrando que estamos aproximando funções “em torno do seu período”, existem outras funções que podemos utilizar mantendo a aproximação em torno do período intacta, assim como Taylor fazia em torno de um ponto?

A resposta é sim! Basta que as funções sejam harmonicamente relacionadas!

Figura 7: Gráficos das funções 𝑓 𝑥 = sen(2𝜋𝑛𝑡), 1 ≤ 𝑛 ≤ 5.

Na Figura 7 ao lado, temos funções senos harmonicamente relacionados, isto é, suas frequências angulares são do tipo

𝜔𝑛 =2𝜋𝑛

𝑇,

para 1 ≤ 𝑛 ≤ 5. Podemos perceber que existe uma coerência entre as funções harmonicamente relacionadas: elas preservam uma periodicidade em 𝑇 = 1s. Isto é, para um deslocamento de 𝑇 = 1s, as funções serão cópias de si mesma. Ainda mais, estas cópias terão um número inteiro de períodos.

Logo, funções períodicas harmonicamente relacionadas preservam o período da função correspondente a 𝑛 = 1, que é o período fundamental 𝑇1 = 𝑇.

Na aproximação da função 𝑠(𝑡) da Figura 5, podemos acrescentar mais um termo na função aproximadora

𝑓 𝑡 = 0.1821 sen 2𝜋𝑡 + 𝑏2 sen(4𝜋𝑡) ,

e sabemos que somando este termo preservamos o período de 𝑠(𝑡). O valor da amplitude 𝑏2 é calculada usando o critério do mínimo erro quadrático médio, ou seja

𝑏2 =2

𝑇 𝑠 𝑡 sen(4𝜋𝑡)𝑡+𝑇

𝑡

𝑑𝑡.

A Figura 8 a seguir ilustra como a aproximação é modificada com o acréscimo do termo 𝑏2 sen(4𝜋𝑡).

Figura 8: Função 𝑠(𝑡) da Figura 4 junto com as aproximações utilizando termos com aprimeira, segunda e terceira harmônicas.

Temos a impressão que a aproximação é melhor utilizando dois senos harmonicamente relacionados, com 𝑛 = 1,2. De fato, o erro quadrático médio diminui com o acréscimo de 𝑏2 sen(4𝜋𝑡):

Intuitivamente, podemos ir acrescentando mais senos e calcular os coeficientes como para valores maiores de 𝑛

𝑏𝑛 =2

𝑇 𝑠 𝑡 sin

2𝜋𝑛𝑡

𝑇𝑑𝑡

𝑡+𝑇

𝑡

,

com 𝑇 = 1s. A figura 9 a seguir ilustra várias aproximações com acréscimos de senos harmônicos até 𝑛 = 5, e uma tabela com os valores do erro quadrático médio (Eqm).

Aproximação 𝑓1 𝑡 = 𝑏1 sen 2𝜋t 𝑓2 𝑡 = 𝑓1 𝑡 + 𝑏1 sen 2𝜋t

Erro quadrático médio 0.002847 0.002185

Figura 9: Função 𝑠(𝑡) da Figura 4 junto com as aproximações utilizando termos com a primeira, segunda e terceira harmônicas.

Eqm

𝑓1(𝑡) 0.002847

𝑓2(𝑡) 0.002185

𝑓3(𝑡) 7,9392.10−4

𝑓4(𝑡) 3,7029.10−4

𝑓5(𝑡) 0

Segundo a Figura 9 anterior, para 𝑛 = 5 a função aproximadora iguala o sinal 𝑠(𝑡) e o erro quadrático se anula; isto acontece porque a expressão de 𝑠 𝑡 é justamente 𝑠 𝑡 = 0.1821 sen 2𝜋𝑡 + 0.0364 sen 4𝜋𝑡 + 0.0528 sen 6𝜋𝑡 + 0.0291 sen 8𝜋𝑡 + 0.0272 sen 10𝜋𝑡 .

Dessa forma, aplicando o método para calcular as amplitudes 𝑏𝑛, encontramos exatamente os valores do sinal original.

E se quisermos acrescentar mais harmônicas senoidais além de 𝑛 = 5? Segundo o critério do mínimo erro quadrático médio, a expressão

𝑏𝑛 =2

𝑇 𝑠 𝑡 sin

2𝜋𝑛𝑡

𝑇𝑑𝑡

𝑡+𝑇

𝑡

,

para 𝑠 𝑡 como dado acima, será nula para 𝑛 > 5, isto é,

𝑏𝑛 = 0, 𝑛 > 5.

Uma ultima questão: E se tentássemos aproximar 𝑠(𝑡) por cossenos da forma

𝑎𝑛 cos2𝜋𝑛𝑡

𝑇, 𝑛 ≥ 1 ,

utilizando o método do mínimo erro quadrático médio? A resposta é que os coeficientes 𝑎𝑛 seriam todos nulos; ou seja, a expressão

𝑎𝑛 =2

𝑇 𝑠 𝑡 c𝑜𝑠

2𝜋𝑛𝑡

𝑇𝑑𝑡

𝑡+𝑇

𝑡

,

será nula para todo 𝑛 ≥ 1.

A intuição disso para o caso 𝑛 = 1 pode ser vista na Figura 10 a seguir, onde temos o sinal 𝑠(𝑡) e um cosseno de mesmo período e com amplitude igual a 𝑏1. Repare como há pouquíssima correlação entre os pontos dos dois gráficos para um mesmo valor de 𝑡.

Figura 10: Função 𝑠(𝑡) e um cosseno com mesmo período 𝑇 = 1s e com amplitude igual a 𝑏1.

Podemos exterder este argumento para outros cossenos harmonicamente relacionados: eles terão pouca correlação com um sinal que é composto por soma de termos do tipo

𝑏𝑛 sen2𝜋𝑛𝑡

𝑇 .

Exercício: com o que vimos até aqui, dado o seguinte sinal 𝑟 𝑡 = 0.5 sin(4𝜋𝑡) + 0.3 cos(8𝜋𝑡) + 0.15 cos 12𝜋𝑡 + 0.25 sin 16𝜋𝑡 + 0.07 cos(20𝜋𝑡)

determine o período fundamental 𝑇 de 𝑟(𝑡) e os coeficientes 𝑎𝑛 e 𝑏𝑛 para 𝑛 ≥ 1.

Figura 11: Sinal 𝑟(𝑡)

3.4 Conclusões até aqui...

Propomos a criação de um método para aproximar sinais períodicos “em torno de

seu período”, utilizando o critéiro do mínimo erro quadrático médio para escolher

as amplitudes.

Além disso, aumentando o número de termos aproximadores, conseguimos

melhorar a aproximação, ou mesmo igualar no caso que o sinal seja uma soma de

termos senoidais (ou cossenoidais).

Lembrando que isso este procedimento foi inspirado no polinômio de Taylor e sua

aproximação em torno de um ponto.

Dessa forma, podemos aproximar um sinal períodico por uma soma de senos e cossenos harmonicamente relacionados

𝑠 𝑡 ≈ 𝑎𝑛

𝑁

𝑛=1

cos2𝜋𝑛𝑡

𝑇+ 𝑏𝑛 sen

2𝜋𝑛𝑡

𝑇,

e essa aproximação pode ser melhor aumentando o número 𝑁 de termos de senos e cossenos.

Uma questão importante é: e se 𝑠(𝑡) tiver valor médio em um período diferente de zero? Esta pergunta é relevante, pois uma soma de senos e cossenos sempre vai ter valor médio nulo em um período. Solucionamos isso acresentando na aproximação um termo constante

𝑠 𝑡 ≈ 𝑐 + 𝑎𝑛

𝑁

𝑛=1

cos2𝜋𝑛𝑡

𝑇+ 𝑏𝑛 sen

2𝜋𝑛𝑡

𝑇,

Este termo deve ser igual ao valor médio do sinal 𝑠 𝑡 , logo

𝑐 =1

𝑇 𝑠 𝑡 𝑑𝑡𝑡+𝑇

𝑡

.

Acontece que esta expressão pode ser pensada como sendo o cálculo de 𝑎𝑛 para 𝑛 = 0 e dividida por 2:

𝑎𝑛 =2

𝑇 𝑠 𝑡 c𝑜𝑠

2𝜋𝑛𝑡

𝑇𝑑𝑡

𝑡+𝑇

𝑡

→ 𝑎0 =2

𝑇 𝑠 𝑡 𝑑𝑡𝑡+𝑇

𝑡

= 2𝑐

→ 𝑐 =𝑎02.

Assim, temos

𝑠 𝑡 ≈𝑎02+ 𝑎𝑛

𝑁

𝑛=1

cos2𝜋𝑛𝑡

𝑇+ 𝑏𝑛 sen

2𝜋𝑛𝑡

𝑇.

3.5 O exemplo mais célebre: a onda quadrada

Com esta nova ferramenta para aproximar sinais periódicos, devemos tentar testá-la com sinais mais gerais do que somas de senos e cossenos. O mais famoso exemplo é a onda quadrada.

Figura 12: Onda quadrada 𝑞(𝑡) de período 𝑇 = 1s

No intervalo 0,1 , temos

q 𝑡 = 1, 0 ≤ 𝑡 < 0.5−1, 0.5 ≤ 𝑡 < 1

Desenvolvendo as expressões para os coeficientes 𝑎0, 𝑎𝑛 e 𝑏𝑛, temos

𝑎0 = 0

𝑎𝑛 = 0, ∀𝑛 ≥ 1

𝑏𝑛 =

4

𝜋𝑛, 𝑛 ímpar

0, 𝑛 par

Os gráficos da figura seguinte mostram a aproximação para 𝑛 =1,10,20 e 40. É possível perceber visualmente que maiores valores de 𝑛 melhoram a aproximação para uma onda quadrada, como esperávamos.

Figura 13: Aproximações para a onda quadrada, para 𝑛 = 1,10,20 e 40.

3.6 A Série de Fourier: o retorno

Da mesma maneira que fizemos com o polinômio de Taylor, fica a pergunta: e se fizermos 𝑛 se tornar tão grande quanto se queira. Ou, rigorosamente, para 𝑛 → ∞, conseguimos algo como a Série de Taylor?

A resposta é sim, e assim surge a Série de Fourier

𝑆 𝑡 =𝑎02+ 𝑎𝑛

∞

𝑛=1

cos2𝜋𝑛𝑡

𝑇+ 𝑏𝑛 sen

2𝜋𝑛𝑡

𝑇,

que vimos no início deste tutorial. Assim como a Série de Taylor, prova-se que uma função períodica e “bem comportada” 𝑠 𝑡 tem representação em série de Fourier dada acima, ou seja,

𝑠 𝑡 = 𝑆 𝑡 .

Mas o que é ser “bem comportada”? A onda quadrada 𝑞(𝑡) que vimos no exemplo tem representação por série de Fourier dada por

𝑆 𝑡 = 4

𝜋𝑛sen(2𝜋𝑛𝑡)

∞

𝑛=1

.

Será que 𝑞(𝑡) pode ser considerada comportada o suficiente para afirmamos que 𝑞 𝑡 = 𝑆(𝑡) para todo 𝑡? A onda quadrada apenas assumes os valores 1 e -1, mas

𝑆 0.5 = 4

𝜋𝑛sen(𝜋𝑛)

∞

𝑛=1

= 0

∞

𝑛=1

= 0.

Ou seja, a série assume um valor diferente 𝑞(𝑡) para 𝑡 = 0.5s. Isso ocorre devido a descontinuidade da onda quadrada em torno de 𝑡 = 0.5s.

3.7 Outras formas de representar a Série de Fourier Vimos no começo deste tutorial uma outra forma de represetação da Série, dada por

𝑠 𝑡 = 𝐴0 + 𝐴𝑛cos2𝜋𝑛𝑡

𝑇+ 𝜙𝑛

∞

n=1

,

com 𝐴0, 𝐴𝑛 e 𝜙𝑛 coeficientes reais e 0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋. Esta representação é equivalente à que temos trabalhado até aqui, com a seguinte relação entre os coeficientes

𝐴0 =𝑎𝑜2, 𝐴𝑛 = 𝑎𝑛

2 + 𝑏𝑛2 𝑒 𝜙𝑛 = arctan

𝑏𝑛𝑎𝑛

.

Este formato da série de Fourier é útil em engenharia elétrica, pois

trabalha com amplitudes e fases de cossenóides, o que torna fácil sua

descrição em termos de fasores1.

Se quisermos retornar desta segunda representação para a primeira, a

relação é dada por

𝑎0 = 2𝐴0, 𝑎𝑛 = 𝐴𝑛 cos(𝜙𝑛) e 𝑏𝑛 = 𝐴𝑛 sen 𝜙𝑛 .

1Se você ainda não sabe o que é um fasor, não se preocupe, eles ainda serão parte da sua graduação.

Existe uma terceira representação da série de Fourier, que é dominante na área de Processamento de Sinais, que é

𝑺 𝒕 = 𝒄𝒏

∞

𝒏=−∞

𝒆𝒋𝟐𝝅𝒏𝒕𝑻 ,

com coeficientes 𝑐𝑛 complexos. A relação entre esta representação e a primeira é dada por

𝒄𝟎 =𝒂𝟎𝟐, 𝒄𝒏 = 𝒂𝒏 + 𝒋𝒃𝒏.

Esta é a represetação complexa da Série de Fourier: tem várias facilidades e permite intuições mais profundas de seu significado.