6-68

6 TORO SIMPLES

Toro simples ocorre quando a resultante na seo for um binrio cujo plano de ao o da prpria seo.

Considerando a barra de seo circular AB submetida em A e B a toques iguais e opostos T e T, cortada em por

um plano perpendicular em algum ponto arbitrrio C, conforme

Figura 6.1: Barra circular submetida a toro.

O diagrama de corpo livre da parte BC da barra deve incluir as foras de cisalhamento elementares dF,

perpendiculares ao raio da barra, que a parte AC aplica em BC quando a barra torcida, conforme

Figura 6.2: Aes elementares de toro dF.

As condies de equilbrio para BC requerem que o sistema dessas foras elementares seja equivalente a um

torque interno T, igual e oposto a T. Chamando de a distncia perpendicular da fora dF ao eixo da barra, ou

centro de toro, ponto onde as tenses de cisalhamento da toro so iguais a zero, e supondo que a soma dos

momentos das foras de cisalhamento dF em relao ao eixo da barra seja igual em intensidade ao torque T,

pode-se escrever:

Equao 6.1

Ou, uma vez que dF = dA, com sendo a tenso de cisalhamento do elementos de rea dA,

Equao 6.2

Embora a relao obtida expresse uma importante condio que deve ser satisfeita pelas tenses de cisalhamento

em qualquer seo transversal, ela no nos informa como essas tenses so distribudas na seo transversal.

Sabe-se que o torque aplicado barra produz tenses de cisalhamento nas faces perpendiculares ao eixo

longitudinal da barra. Entretanto, as condies de equilbrio requerem a existncia de tenses iguais nas faces

formadas pelos dois planos que contm o eixo da barra. Uma visualizao de que essas tenses realmente

ocorrem na toro pode ser feita atravs da considerao de uma barra formada por tiras separadas e fixadas por

6-69

meio de pinos a discos colocados em suas extremidades, conforme ilustra a Figura 6.3.

Figura 6.3: Barra torcida formada por tiras fixadas nas extremidades.

Se forem pintadas marcas em duas tiras adjacentes, observa-se que as tiras deslizam uma em relao a outra,

quando so aplicados torques iguais e opostos nas extremidades. Embora esse deslizamento no ocorra

realmente em uma barra de material coesivo e homogneo, a tendncia ao deslizamento existir, mostrando

assim que ocorrem tenses em planos longitudinais bem como em planos perpendiculares ao eixo da barra.

6.1 DEFORMAES POR TORO EM UMA BARRA DE SEO CIRCULAR

Considere uma barra de seo circular conectada a um suporte rgido em uma de suas extremidades, conforme

ilustra a Figura 6.4.

Figura 6.4: Barra circular em balano torcida.

Se um torque T aplicado extremidade livre, a barra sofrer rotao em torno do seu eixo central, com a

extremidade livre girando de um ngulo chamado de ngulo de toro. Dentro de determinados valores de T, o

ngulo proporcional ao T e ao comprimento L da barra.

Uma importante propriedade de uma barra circular de seo cheia quando submetida a toro que toda a seo

permanece plana e indeformada. Embora vrias sees transversais ao longo da barra sofram rotaes de

diferentes valores, cada seo transversal gira como um disco rgido (Figura 6.5a). Isso no valido para sees

circulares vazadas ou prismticas. Quando uma barra de seo no circular submetida a toro, suas vrias

sees transversais empenam e no permanecem planas (Figura 6.5b).

6-70

Figura 6.5: Seo circular e no circular torcida.

As dedues apresentadas nesse captulo so fundamentadas na hiptese de barras com extremidades rgidas.

A determinao das deformaes de cisalhamento em uma barra circular de comprimento L e raio c, que foi

torcida de um ngulo (Figura 6.6a), ser feita destacando-se da barra um cilindro de raio e considerando-se

um pequeno elemento quadrado formado por dois crculos adjacentes e duas linhas retas adjacentes traadas

antes da aplicao de qualquer torque, conforme Figura 6.6b. Quando a barra torcida, o elemento assume o

formato de um losango (Figura 6.6c).

Figura 6.6: Barra circular de material homogneo torcida de .

Como a deformao por cisalhamento em um elemento medida pela variao dos ngulos formados pelos lados

daquele elemento e, como os crculos que definem dois dos lados do elemento considerado aqui permanecem

inalterados, a deformao de cisalhamento deve ser igual ao ngulo entre as linhas AB e AB (com expresso

em radianos). Das hipteses simplificadoras, ou seja, para pequenos valores de , pode-se expressar o

comprimento do arco AA como AA = L. Da seo transversal da extremidade tem-se ainda que AA = ,

portanto:

Equao 6.3

Sendo e expressos em radianos. A equao nos diz que a deformao por cisalhamento na extremidade de uma

barra circular varia linearmente com a distncia do eixo da barra. Portanto, a deformao de cisalhamento

mxima obtida quando = c.

Equao 6.4

Eliminando na Equao 6.3, pode-se expressar a deformao de cisalhamento em funo da deformao

mxima de cisalhamento.

6-71

Equao 6.5

6.2 TENSES POR TORO EM BARRAS CIRCULARES

Considerando o material homogneo e trabalhando em seu regime elstico linear, a relao entre tenso e

deformao de cisalhamento pode ser escrita em funo do mdulo de elasticidade transversal G.

Equao 6.6

Substituindo-se a Equao 6.6 em ambos os lados da Equao 6.5, chega-se a:

Equao 6.7

A equao mostra que a tenso de cisalhamento na barra circular varia linearmente com a distncia do eixo da

barra, conforme mostra a Figura 6.7a para sees cheias e Figura 6.7b para sees anelares.

Figura 6.7: Tenses de cisalhamento em barras circulares.

No caso da seo anelar, verifica-se que:

Equao 6.8

Lembrando-se que a soma dos momentos das foras elementares aplicadas em qualquer seo transversal da

barra circular deve ser igual intensidade T do torque, substituindo a Equao 6.7 na Equao 6.2:

Equao 6.9

6-72

A integral no ltimo membro representa o momento polar de inrcia J3 com relao ao seu centro, portanto:

Equao 6.10

Ou, resolvendo para max:

Equao 6.11

Ou ainda, para uma distncia qualquer do eixo da barra, a tenso calculada como:

Equao 6.12

6.3 NGULO DE TORO EM BARRAS CIRCULARES

Sendo a barra em balano da Figura 6.8, de comprimento L e seo transversal cheia de raio c, solicitada por um

momento toror T em sua extremidade livre.

Figura 6.8: Barra em balano solicitada por um torque T.

Sabendo que:

Equao 6.13

Igualando o segundo e o quarto termos da equao, o ngulo de toro escrito como:

Equao 6.14

3 O momento polar de inrcia de um crculo de raio c

, e de uma seo anelar,

.

6-73

Sendo expresso em radianos. A relao obtida mostra que o ngulo de toro proporcional ao momento toror

T aplicado na barra.

No caso da barra AB mostrada na Figura 6.9a devem ser consideradas quatro partes diferentes: AC, CD, DE e

EB.

(a) (b)

Figura 6.9: Barra com diferentes dimetros (a) e com seo varivel (b).

O ngulo de toro total da barra , ou seja, o ngulo em que a extremidade A gira em relao a extremidade B,

obtido com a soma dos ngulos de toro de cada parte.

Equao 6.15

Sendo Ti, Li, Ji e Gi o momento toror, o comprimento o momento polar de inrcia e o mdulo de elasticidade

transversal de cada parte.

No caso de uma barra com seo varivel, Figura 6.9b, a Equao 6.14 pode ser aplicada a um disco de espessura

dx. O ngulo de toro da barra , portanto:

Equao 6.16

Na qual o momento polar de inrcia uma funo de x, J(x).

6.4 ELEMENTOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS

Uma barra ou tubo circular submetido a um torque pode ser classificado como estaticamente indeterminado,

quando a equao do momento na condio de equilbrio aplicada em torno de sua linha neutra, no for o

suficiente para determinar os torques desconhecidos que sobre ele atuam. A Figura 6.10 ilustra essa situao,

sendo a barra metade macia e metade tubular. Como pode-se observar no diagrama de corpo livre, os torques de

reao de apoio TA e TB so desconhecidos, e requerido que:

Equao 6.17

Como apenas uma equao de equilbrio aplicvel e h duas incgnitas, o problema estaticamente

6-74

indeterminado.

Figura 6.10: Barra estaticamente indeterminada submetida a um torque.

A condio de compatibilidade necessria requer que o ngulo de toro de uma extremidade do eixo em relao

outra seja nulo, portanto:

Equao 6.18

Utilizando a Equao 6.14 e entendendo que o torque interno no segmento AC, T1 = TA positivo, e no segmento

CB, T2 = TB negativo, a equao de compatibilidade reescrita como:

Equao 6.19

Resolvendo para o torque TB:

Equao 6.20

E para TA:

Equao 6.21

6.5 TORO EM ELEMENTOS DE SEO NO CIRCULAR

As frmulas obtidas para as distribuies de deformao e tenso sob um torque aplicam-se somente a elementos

com uma seo transversal circular. As dedues foram fundamentadas na hiptese de que a seo transversal do

elemento permanecia plana e indeformvel; e a validade dessa hiptese depende da axissimetria do elemento,

isto , depende do fato de que sua aparncia permanea a mesma quando ele visto de uma posio fixa e girado

sobre seu eixo por um ngulo arbitrrio.

6-75

Uma barra quadrada mantm a mesma aparncia somente quando e girada em 90 ou 180. Seguindo a mesma

linha de raciocnio, pode-se mostrar que as diagonais da seo transversal quadrada da barra e as linhas que

unem os pontos mdios dos lados daquela seo permanecem retas, conforme ilustra a Figura 6.11.

Figura 6.11: Barra prismtica torcida.

No entanto, por causa da falta de axissimetria da barra, qualquer outra linha traada em sua seo transversal

se deformara quando a barra for girada, e a prpria seo transversal empenar ficando fora de seu plano

original.

Portanto, as equaes que definem, respectivamente, as distribuies de deformao e tenso elsticas em um

eixo de seo circular, no podem ser utilizadas para elementos de seo no circulares. Por exemplo, seria errado

supor que a tenso de cisalhamento na seo transversal de uma barra quadrada varie linearmente com a

distncia a partir do centro da barra e seja, portanto, maior nos cantos da seo transversal. Como ser visto a

tenso de cisalhamento na realidade e zero nesses pontos.

Considere um pequeno elemento cbico localizado em um dos cantos da seo transversal de uma barra quadrada

submetida a um torque com eixos coordenados paralelos s arestas do elemento, conforme ilustra a Figura 6.12.

Como a face do elemento perpendicular ao eixo y parte da superfcie livre da barra, todas as tenses nessa face

devem ser zero, ou seja, yx = 0, yz = 0, zx = 0 e zy = 0. Portanto, para manter o equilbrio do elemento chega-se a

concluso de que xy = 0 e xz = 0.

Figura 6.12: Elemento cbico obtido em um dos cantos de uma barra prismtica submetida a toro.

Assim, ambas as componentes da tenso de cisalhamento na face do elemento perpendicular ao centro da barra

so iguais zero. Portanto, no h tenso de cisalhamento nos cantos da seo transversal da barra.

Figura 6.13: Tenses mximas em uma barra prismtica torcida.

6-76

Ao se torcer um modelo de borracha de uma barra de seo transversal quadrada, pode-se verificar facilmente

que no h deformaes e, portanto, no h tenses que ocorrem ao longo das arestas da barra, enquanto as

maiores deformaes, ou seja, as maiores tenses ocorrem ao longo do centro de cada uma das faces da barra,

conforme mostra a Figura 6.13.

Figura 6.14: Definio dos parmetros a, b, T e L para clculo da tenso mxima e ngulo de toro em barras prismticas.

A determinao das tenses em barras de seo transversal no circular submetidas a um torque est alm do

escopo deste texto. No entanto, os resultados obtidos da teoria da elasticidade para barras retas com uma seo

transversal retangular uniforme sero indicados. Chamando de L o comprimento da barra, por a e b,

respectivamente, o lado maior e o lado menor de sua seo transversal, e por T a intensidade dos torques

aplicados barra, conforme Figura 6.14, vemos que a tenso de cisalhamento mxima ocorre ao longo da linha de

centro da face maior da barra e igual a:

Equao 6.22

O ngulo de toro, portanto, pode ser expresso como:

Equao 6.23

Os coeficientes c1 e c2 dependem somente da relao a/b e so dados na. Note que as essas equaes so vlidas

somente dentro do intervalo elstico."

a/b c1 c2 a/b c1 c2

1,0 0,208 0,1406 3,0 0,267 0,263

1,2 0,219 0,1661 4,0 0,282 0,281

1,5 0,231 0,1958 5,0 0,291 0,291

2,0 0,246 0,229 10,0 0,312 0,312

2,5 0,258 0,249 0,333 0,333

Tabela 6.1: Coeficientes para barras retangulares em toro.

6.6 TORO EM ELEMENTOS DE PAREDES FINAS ABERTAS

A distribuio de tenses de cisalhamento em um elemento no circular pode ser visualizada mais facilmente

utilizando-se a analogia com uma membrana. Uma membrana elstica e homognea presa a uma moldura rgida

e submetida a uma presso uniforme em um dos seus lados constitui um problema anlogo ao de uma barra

submetida a um torque, isto , a determinao da deformao da membrana depende da soluo da mesma

equao diferencial parcial da determinao das tenses de cisalhamento na barra. Mais especificamente, se Q

6-77

um ponto da seo transversal da barra e Q o ponto correspondente da membrana, conforme a Figura 6.15, a

tenso de cisalhamento em Q ter a mesma direo da tangente horizontal membrana em Q, e sua

intensidade ser proporcional inclinao mxima da membrana em Q. Alm disso, o torque aplicado ser

proporcional ao volume entre a membrana e o plano da moldura rgida. No caso da membrana da Figura 6.15,

que est presa a uma moldura retangular, a curva mais inclinada ocorre no ponto mdio N do lado maior da

moldura. Assim, verificamos que a tenso de cisalhamento mxima em uma barra de seo transversal

retangular ocorrera no ponto mdio N do lado maior daquela seo.

Figura 6.15: Esquema da membrana para a determinao das tenses cisalhantes da toro.

A analogia com uma membrana pode ser utilizada com a mesma eficincia para visualizar as tenses de

cisalhamento em qualquer barra reta de seo transversal no circular, uniforme. Particularmente, pode ser

utilizada tambm em elementos de paredes finas com sees transversais mostradas na Figura 6.16, que esto

submetidas ao mesmo torque. Utilizando a analogia nota-se que, como o mesmo torque aplicado a cada

elemento, o mesmo volume estar localizado sob cada membrana, e a inclinao mxima ser a mesma em cada

caso. Assim, para um elemento de paredes finas de espessura uniforme e de forma arbitrria, a tenso de

cisalhamento mxima a mesma que para uma barra retangular com um valor muito grande de a/b, e pode ser

determinada pela Equao 6.22 com c1 = 0,333.

Figura 6.16: Dimenses a e b de barras com paredes finas.

6-78

6.7 TORO EM ELEMENTOS VAZADOS DE PAREDES FINAS

Considere um elemento vazado cilndrico de seo no circular submetido a um torque, conforme Figura 6.17.

Embora a espessura t da parede possa variar ao longo da seo transversal, ser considerado que permanece

pequena comparada com as outras dimenses do componente. Agora, destacamos do componente uma parte da

parede AB limitada por dois planos transversais por uma distncia x uma da outra, e por dois planos

longitudinais perpendiculares a parede. Como a parte AB est em equilbrio, a soma das foras que atuam sobre

ela na direo longitudinal x deve ser zero. Contudo, as nicas foras envolvidas so as foras de cisalhamento FA

e FB que atuam nas extremidades da parte AB. Portanto:

Equao 6.24

Figura 6.17: Barra vazada cilndrica de seo no circular submetida a um torque.

A fora FA pode ser expressa como o produto da tenso de cisalhamento longitudinal, A, na pequena face em A,

pela rea tAx daquela face:

Equao 6.25

Embora a tenso de cisalhamento seja independente da coordenada x do ponto considerado, ela pode variar

atravs da parede; assim, tA representa o valor mdio da tenso calculado atravs da parede. Expressando FB de

maneira similar e substituindo FA e FB na Equao 6.24:

Equao 6.26

Ou,

Equao 6.27

Como A e B foram escolhidos arbitrariamente, a equao expressa que o produto .t da tenso de cisalhamento

longitudinal e da espessura t da parede e constante atravs do elemento, e seu valor conhecido como fluxo de

cisalhamento na parede da barra de seo vazada.

Destacando um pequeno elemento da parte AB da parede, conforme Figura 6.18. Como as faces superior e

inferior desse elemento so partes da superfcie livre do componente vazado, as tenses nessas faces so iguais

zero. As componentes de tenso indicadas nas outras faces por setas tracejadas tambm so zero, enquanto que,

aquelas representadas por setas solidas, so iguais. Assim, a tenso de cisalhamento em qualquer ponto de uma

seo transversal de um componente vazado paralela parede da superfcie e seu valor mdio calculado atravs

6-79

da parede satisfaz a condio .t = cte = f.

Figura 6.18: Seo transversal do elemento vazado no circular.

Considerando um pequeno elemento da seo da parede, de comprimento ds, conforme Figura 6.19a. A rea do

elemento dA = t ds, e a intensidade da fora de cisalhamento dF que atua no elemento :

Equao 6.28

Figura 6.19: Localizao de um elemento da seo da parede de uma barra vazada no circular (a), .

Um momento dM0 dessa fora em relao a um ponto arbitrrio O dentro da cavidade do elemento pode ser obtido

multiplicando-se dF pela distncia perpendicular p do ponto O at linha de ao de dF.

Equao 6.29

Contudo, o produto p ds igual a duas vezes a rea dAINT do tringulo de ds a O na Figura 6.19b. Portanto:

Equao 6.30

Como a integral atravs da seo da parede do membro esquerdo da Equao 6.30 representa a soma dos

momentos de todas as foras de cisalhamento elementares que atuam sobre a seo da parede, e como essa soma

igual ao torque T aplicado ao componente vazado:

Equao 6.31

6-80

Sendo constante o fluxo de cisalhamento f:

Equao 6.32

em que AINT a rea limitada pela linha de centro da parede atravs da seo, conforme ilustra a Figura 6.20.

Figura 6.20: Definio da rea interna da seo transversal da barra vazada no circular.

A tenso de cisalhamento em qualquer ponto da parede pode ser expressa em termos do torque T, substituindo-

se f da Equao 6.25 na Equao 6.32 e resolver para .

Equao 6.33

em que t a espessura da parede no ponto considerado e AINT a rea limitada pela linha de centro. Lembramos

que representa o valor mdio da tenso de cisalhamento atravs da parede. No entanto, para deformaes

elsticas, a distribuio de tenses de um lado a outro da parede pode ser considerada uniforme, e a Equao 6.33

dar o valor real da tenso de cisalhamento em um determinado ponto.

O ngulo de toro de uma barra de seo vazada de parede fina pode ser obtido utilizando-se um mtodo da

energia. Supondo uma deformao elstica, a densidade de energia de deformao pode ser escrita como:

Equao 6.34

E, portanto, a energia de deformao :

Equao 6.35

O trabalho de um torque definido como:

6-81

Equao 6.36

Substituindo a Equao 6.33 na Equao 6.34 e o resultando na Equao 6.35, e igualando ao trabalho do torque,

Equao 6.36, sendo que para se ter equilbrio, a energia de deformao igual ao trabalho realizado pelo torque,

chega-se a:

Equao 6.37

em que a integral calculada ao longo da linha de centro da seo da parede.