RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - edaet.usuarios.rdc.puc-rio.bredaet.usuarios.rdc.puc-rio.br/AET2-Anal_Tensoes.pdf · Introdução Variações percentuais do comprimento (alongamento ou

APLICAÇÃO DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Análise de Tensões e Carregamentos

Introdução Variações percentuais do comprimento (alongamento ou encurtamento) de elementos

de um componente são chamadas de deformações longitudinais. Estas variações

são ocasionadas pelos carregamentos que atuam sobre os componentes.

t P

Li

L

Li

LiLf

Deformação longitudinal de um

elemento da superfície do

componente

Comprimento de um elemento arbitrário

inscrito na superfície do componente

antes deste sofrer o carregamento P

Comprimento inicial = Li

O elemento é alongado após a

aplicação do carregamneto P

Comprimento final = Lf

sx

sz

sy

tyx

txz

txy

tyz tzy tzx

Y

X

Z

O paralelepípedo ou volume elementar e a representação

do estado de tensão no ponto

zyzxz

yzyxy

xzxyx

stt

tst

tts

s

O paralelepípedo ou volume elementar e a representação

do estado de tensão no ponto

A

PAPdAPF xx

A

xx sss 0.0.0

000

000

00A

Pxs

O paralelepípedo ou volume elementar e a representação do

estado de tensão no ponto

t

tt

s

ss

22

cos..0cos

1...0..0

2cos12

cos.0cos

1..cos.0.cos.0

''''''''

2

'''''

senA

Psen

A

PAsenPdAsenPF

A

P

A

PAPdAPF

yxyx

A

xyxy

xx

A

xxx

t

s

22

cos..

2cos12

.

''

2

'

senA

Psen

A

P

A

Psen

A

P

xy

y

000

02cos12

22

022

2cos12

'''

'''

st

ts

A

Psen

A

P

senA

P

A

P

yxy

yxxDa mesma forma:

sc

p

dq/2

sc

D=r/2

r0

ri p

t

X

D

l

sc

sl

p

X

t

Dp

t

tDpltltDpF ccc

2

.

2

20...2.2.0

ss

t

Dpld

Dp

dsenltF ccr

.2

...

2.

2....20 sq

qs

t

pD

D

tt

D

tpD

ll4

14

21

2

ss

t

pDl

2s

l

r

c

p

t

Dp

s

s

s

00

00

002

.

Y

O paralelepípedo elementar – tensões principais

sx

sz

sy

tyx

txz

txy

tyz tzy tzx

Y

X

Z

zyzxz

yzyxy

xzxyx

stt

tst

tts

s

3

2

1

00

00

00

s

s

s

s

.

3

.2

0..

321

222

3

222

2

1

32

2

1

3

principaistensõesasouvaloresautoossãoque

raízestemticocaracteríspolinômioouEquação

I

I

I

III

xyzxzyzyxzyxzyx

zyxzxyyzxzyx

zyx

sss

tstststttsss

tttssssss

sss

sss

z

y

x

zzyyzxxz

zzyyyxxy

zzxyyxxx

v

v

v

v

v.v.v.

v.v.v.

v.v.v.

vdeaçãominDeter

principaistensõesdasumacadaatuamondeplanosossão

:incipaisPrPlanos

1

1

1

1

1111

1111

1111

1

0

0

0

sstt

tsst

ttss

X

Z

Y

3

2

1

00

00

00

s

s

s

s

zyzxz

yzyxy

xzxyx

stt

tst

tts

s

Análise de Tensões 3D

Estado tridimensional de tensões

Cálculo das tensões e planos principais

Cálculo das tensões normal e tangencial num plano qualquer

dado pela sua normal n

My documents/MathCad/Solutions/Análise de

Tensões

1- Definição do Estado de T ensão: tensor das tensões

sx 60 sy 120 sz 10 txy 40 txz 50 tyz 60

T

sx

txy

txz

txy

sy

tyz

txz

tyz

sz

T

60

40

50

40

120

60

50

60

10

2- Definição do plano a partir de sua normal n com relação aos eixos coordenados x,y,z e

cálculo da tensão total Sn e das componentes normal sn e tangencial ao plano tn

nx1

4 ny

1

2 nz 1 nx

2 ny

2 nz 0.829

n

nx

ny

nz

Sn T n Sn

76.458

20.251

25.792

ModSn Sn Sn

ModSn 83.193 snSn

ModSn

sn

0.919

0.243

0.31

cosA sn n

cosA 0.094

sn Sn n tn Sn Sn sn2

sn 7.855 tn 82.821

3- Cálculo das tensões e planos principais através de auto-valores e auto-vetores do tensor

das tensões

D eigenvals T( ) V eigenvecs T( )

D

64.023

85.25

148.773

V

0.447

0.364

0.817

0.854

0.1

0.511

0.268

0.926

0.266

OBS: A coluna n da matriz do autovetor corresponde ao enésimo auto valor dado na

matriz dos autovalores

4- Cálculo das tensões principais através da solução da equação correspondente ao

determinante característico.

Cálculo dos invariantes I1, I2, e I3, e estabelecimento da equação característica:

I1 sx sy sz I1 170

I2 sx sy sx sz sy sz txy2

txz2

tyz2

I2 2.3 103

I3 sx sy sz 2 txy txz tyz sx tyz2

sy txz2

sz txy2

I3 8.12 105

F s( ) s3

I1 s2

I2 s I3

Resolvendo a equação característica através de um dos dois algoritmos do MatCAD tem-se:

v F s( ) coeffs s

812000

2300

170

1

r polyroots v( ) r

64.023

85.25

148.773

rT

64.023 85.25 148.773( )

I

I3

I2

I1

1

rr polyroots I( ) rr

64.02

85.25

148.77

Y

X

Z

sx

txz tzx

sx

Q T M

Exemplo:

Tensões que atuam no

paralelepípedo

elementar

representativo de um

ponto material de um

eixo de um redutor que

transmite 10 hp. Tem-

se que:

sx =305 MPa

txz =105 MPa

ZYX ,,00105

000

1050305

s

1- Definição do Estado de T ensão: tensor das tensões

sx 305 sy 0 sz 0 txy 0 txz 150 tyz 0

s

sx

txy

txz

txy

sy

tyz

txz

tyz

sz

s

305

0

150

0

0

0

150

0

0

2- Cálculo das tensões e planos principais através de auto-valores e auto-vetores do tensor dastensões

D eigenvalss( ) V eigenvecss( )

D

366.407

61.407

0

V

0.925

0

0.379

0.379

0

0.925

0

1

0

OBS: A coluna n da matriz do autovetor corresponde ao enésimo auto valor dado na matrizdos autovalores

3- Cálculo das tensões principais através da solução da equação correspondente aodeterminante característico.

Cálculo dos invariantes I1, I2, e I3, e estabelecimento da equação característica:

I1 sx sy sz I1 305

I2 sx sy sx sz sy sz txy2

txz2

tyz2

I2 2.25 104

I3 sx sy sz 2 txy txz tyz sx tyz2

sy txz2

sz txy2

I3 0

F Ps( ) Ps3

I1 Ps2

I2 Ps I3

Resolvendo a equação característica através de um dos dois algoritmos do MatCAD tem-se:

v F Ps( ) coeffs Ps

0

22500

305

1

r polyrootsv( ) r

61.407

0

366.407

rT

61.407 0 366.407( )

I

I3

I2

I1

1

rr polyrootsI( ) rr

61.41

0

366.41

sx

sz

sy

tyx

txz

txy

tyz tzy tzx

Y

X

Z

sx

sy

tyx txy

Y

X

Z

sy

Estado

Uniaxial

sy

Y

X

Z

sy

sy

Estado

Biaxial

Y

X

sy

tyx

tyx

txy

txy

sx

sx

Estado

Uniaxial

Y

X

sy

Estado

Biaxial

Estado Triaxial

Estados de Tensão: triaxial e casos particulares

A Res. Mat. tem como

funções definir e analisar

os estados de tensão para

os pontos (críticos) dos

componentes estruturais.

sx= s1 P P

sx= s1

X

Tensões em componentes prismáticos sob esforço normal

H.BA,D

A

A

P

4

2

s

sx= s1

M

M

sx= s1

X

Y

y

Z

Tensões em componentes prismáticos sob momento fletor

1264

34 H.BI,

DI

I

y.M

s

Q

Q

txy

X

Y

y

Z

Tensões em componentes prismáticos sob esforço cortante

perfiltiposeçãoA

Q

gulartanreseçãoA.

Q.

circularseçãoA.

Q.

estáticomomentoME,D

I

B.I

ME.Q

alma

t

t

t

t

2

3

3

4

64

4

T

X

Y

Z

r

txa

X

a

txa

txa

tax

tax

Tensões em componentes prismáticos sob momento torçor

3232

440

4iDD

J,D

J

J

r.T

t

X

r

sl

X

C

Tensões em componentes tubulares sob pressão interna

t

D.p

t

D.p

l

c

4

2

s

s

sc

sl

sc

p

D

t

Exemplo: vaso de pressão

com costado cilíndrico de

paredes finas. Tensões

atuantes em ponto da

superfície externa do

vaso, longe dos tampos

de fechamento localizados

nas suas extremidades

CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA CONTRA O

ESCOAMENTO

• Os critérios de resistência procuram prever se

uma estrutura poderá falhar através da

comparação entre suas variáveis de solicitação

e resistência.

• Para solicitações estáticas e falhas por

escoamento, um critério de resistência

procurará prever se haverá escoamento num

dado ponto da estrutura.

CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA CONTRA O

ESCOAMENTO

s3

s1

s2

seq

s1= Sy

s

Sy

CASO 3-D

CASO 1-D

equivalente

CASO 1-D

ensaio Mises Tresca Normal Max. Coulomb-Mohr

seq= Sy

Convenção:

Representação tri-axial:

321 sss

Representação bi-axial:

0

III

III

s

ss

Freire, PUC-Rio, UPB

Dezembro 2009


Setembro 2010


Fevereiro 2011 Freire, PUC-Rio, UPB

Setembro 2011


Dezembro 2009


Setembro 2010



Setembro 2011

Critério de Tresca ou da Máxima Tensão

Cisalhante

Ocorrerá escoamento se a tensão cisalhante máxima que atua no estado

triaxial de tensão do ponto crítico da estrutura for igual ou maior que a

tensão cisalhante máxima que atua nos pontos do corpo de prova do

ensaio uniaxial de tração no instante do escoamento.

yeq

y

ENSAIOD

S

S

31

max

31

3max22

sss

tss

t

Critério de Mises ou da Máxima Energia de

Distorção

Ocorrerá escoamento se a energia de distorção que atua no estado triaxial

de tensão do ponto crítico da estrutura for igual ou maior que a energia de

distorção que atua nos pontos do corpo de prova do ensaio uniaxial de

tração no instante do escoamento.

yeq

yDD

S

SE

EDE

ED

323121

2

3

2

2

2

1

'

2

1

2

32

2

31

2

21

3

...

..3

1

2.

.3

1

sssssssssss

ssssss

SOLICITAÇÕES E TENSÕES EM DUTOS

Pressão interna, p:

e, considerando-se um tubo

com tampos,

enterrado,

Momento fletor, M:

Momento torçor, T:

Esforço normal, N:

Esforço cortante, Q:

t

Dpc

.2

.s

t

Dpl

.4

.s

tD

M

I

cMl

..

.4.2

s

tD

N

A

Nl

..s

tD

Q

A

Qlc

..t

t

Dpl

.2

..s

l

r c



Setembro 2011

tD

T

J

rTlc

..

.2.2

t

T P

M

p

Um tubo para duto constituído de material API 5L

X70 tem diâmetro 18” e espessura ½”.

Determinar, segundo o critério da energia de

distorção, a possibilidade de ocorrer escoamento

nos pontos mais solicitados do tubo se ele estiver

submetido:

a) ao esforço trativo P = 106 N

b) à pressão interna p = 10 MPa (considerar o

tubo fechado)

c) ao momento fletor M = 108 Nmm

d) ao momento torçor T = 2 x 108 Nmm

e) Ao esforço cortante Q = ½ 106 N

f) à combinação dos esforços acima

Q

Um tubo para duto constituído de material

API 5L X70 tem diâmetro 18” e espessura

½”. Determinar, segundo o critério da

energia de distorção, a possibilidade de

ocorrer escoamento nos pontos mais

solicitados do tubo se ele estiver

submetido:


b) à pressão interna p = 10 MPa

(considerar o tubo fechado)



e) ao esforço cortante Q = ½ 106 N


T P

M

p Q

Sy 70 6.89 Sy 482.3

P 106

Q 10( )6 1

2 p 10 M 10

8 T 2 10

8

D 18 25.4 D 457.2 t1

225.4 t 12.7

1) sPP

4D

2D 2t( )

2

sP 56.386 FSPSy

sP FSP 8.553

2) spc pD

2t spc 180 FSp

Sy

spc FSp 2.679

por T resca

spl pD

4t spl 90

3) sM

MD

2

64D

4D 2t( )

4

sM 52.149 FSMSy

sM FSM 9.249

4)tT

TD

2

32D

4D 2t( )

4

tT 52.149 FSTSy

tT 3 FST 5.34

5)tQ

4

3Q

4D

2D 2t( )

2

tQ 37.591FSQ

Sy

tQ 3 FSQ 7.408

6) smisesA sP spl( )2

spc2

sP spl( ) spc 3 tT tQ( )2

smisesA 227.242 FSASy

smisesA FSA 2.122

smisesB sP sM spl( )2

spc2

sP sM spl( ) spc 3 tT( )2

smisesB 210.329 FSBSy

smisesB FSB 2.293

A

B

Q

M

p

. P T

T P

M

p

Um tubo para duto constituído de material API 5L

X70 tem diâmetro 18” e espessura ½”.

Determinar, segundo o critério da energia de

distorção, a possibilidade de ocorrer escoamento

nos pontos mais solicitados do tubo se ele estiver

submetido:


b) à pressão interna p = 10 MPa (considerar o

tubo fechado)



e) Ao esforço cortante Q = ½ 106 N


Q

P 106

Q 10( )6 1

2 M 10

8 T 2 10

8

D 18 25.4 D 457.2 t1

225.4 t 12.7

1) sPP

4D

2D 2t( )

2

sP 56.386 sP2P

D t sP2 54.82

3) sM

MD

2

64D

4D 2t( )

4

sM 52.149 sM24M

D2t

sM2 47.962

4) tT

TD

2

32D

4D 2t( )

4

tT 52.149 tT 22T

D2

t

tT 2 47.962

5)

tQ

4

3Q

4D

2D 2t( )

2

tQ 37.591 tQ2

4

3Q

D t tQ2 36.547

Fórmulas aproximadas ….

Fórmulas elementares para os estados planos

Estado plano de tensões: as tensões paralelas a uma determinada

direção são nulas. Pode ser representado através do paralelepípedo

elementar projetado no plano onde as tensões são nulas (que, por

exemplo, pode corresponder à superfície livre de um componente

estrutural).

Estado plano de deformações: as deformações atuantes numa

determinada direção são nulas.

Y

X

tyx

txy

Estado

Plano

sy

tyx

txy

sx sx

sx

sy

tyx txy

Y

X

Z

sy

Estado

Plano

sy

Estado plano de tensões: através do equilíbrio do prisma

elementar as tensões que atuam num plano de topo a Z

podem ser definidas

Y

X tyx

txy

sy

sx

tn + sn +

n

Y

X

Z

sy

n

Estado plano de tensões: através do equilíbrio do prisma

elementar as tensões que atuam num plano de topo a Z

podem ser definidas

sx

Y

X

tyx

txy

Estado

Plano

sy

tyx

txy sx

sy Y

X tyx

txy

sy

sx

tn + sn +

n

0

0

2

F

F

0

0

42

1

2

222

0

2222

0

321

22

2

IIIIIIIII

IIIIII

xyyxyx

II,I

xyyx

xyyxyx

quepara

:quesetemaindasdeformaçõedeplanoestadoopara

ntetriaxialmedorepresentaplanoestadooparaconvenção

e

tensõesdeplanoestadooparaconvençãoeprincipaistensões

cossenF

sencosF

sss

sss

sss

tssss

s

tss

t

tssss

s

X

sx

sn +

n

tn +

Y

tyx sy

txy

Estado Plano de Tensões

Dadas as tensões atuantes em planos ortogonais x e y, calcular:

- as tensões principais s I e s II

- a tensão cisalhante máxima tmax = t

- a tensão de von Mises

- os coeficientes de segurança contra o escoamento

- as deformações

My documents/MathCad/Solutions/Estado Plano

1-Dados de entrada

sx 20 106

sy 100 106

txy 110 106

Sy 400 106

E 200 109

0.3

2-Fórmulas para o estado plano de tensões

sMises sx2

sy2

sx sy 3txy2

tmaxIeII1

2sx sy( )

24 txy

2

sIsx sy

2tmaxIeII sII

sx sy

2tmaxIeII sIII 0

tmax maxsI sII

2

sIII sII

2

sI sIII

2

x1

Esx sy( ) y

1

Esy sx( ) z

Esx sy( ) xy

txy

E2 1 ( )

rad1

2atan 2

txy

sx sy

graus rad180

I1

EsI sII( ) II

1

EsII sI( )

FSMisesSy

sMises FStmax

Sy

2tmax

3- Resultados

sMises 2.207 108

tmax 1.253 108

sI 1.653 108

sII 8.53 107

sIII 0

x 2.5 104

y 5.3 104

xy 1.43 103

z 1.2 104

I 9.544 104

II 6.744 104

rad 0.536 graus 30.695

FSMises 1.813 FStmax 1.596


Dezembro 2009


Setembro 2010



Setembro 2011


Dezembro 2009


Setembro 2010



Setembro 2011

Sy = 250 MPa, aço A36

Su = 400 MPa, aço A36

s

E = Aços (200 GPa), Alumínio (70 GPa)

Relações entre Tensões e Deformações

Regime elástico: deformações

elásticas >> pláticas

Regime elasto-plástico:

deformações elásticas e plásticas

com a mesma ordem de grandeza

Regime plástico: deformações

plásticas >> elásticas

Relações entre Tensões e Deformações

s

p e

t

Deformação total

Deformação elástica

Deformação plástica

P P

sx= s1= P/A

X

x= s1/E

no regime élástico e linear

A partir do Ensaio de Tração relações

entre tensões e deformações podem ser

estabelecidas.

zx

xy

xx

E

E

UniaxialCaso

s

s

sx= s1 P P

sx= s1

X

Y

Z

0IIIz

IIIII

IIII

yxy

yxx

EE

EE

tambéme

EE

EE

BiaxialCaso

ss

ss

s

s

ss

s

s

sx

sy

x

y

xyIII

xyxyxy

y

x

GE

PurotoCisalhamen

ocorreondeBiaxialCaso

tss

tt

12

0

0

T X

Y

Z

r

txa

X

a

txa

txa

tax

tax

I

II

IIIIIIIII

III

yxI

yxyxyx

II,I

E

se

E

GeralBiaxialCaso

ss

s

s

1

0

2900

21

1

12

450

245

2

sx

sy tyx txy

Y

X

Z

sy

Roseta para determinar

deformações em Estado

Biaxial Geral

X

Y 45

GE

PurotoCisalhamen

EE

EE

BiaxialCaso

E

E

UniaxialCaso

xyxyxy

yxy

yxx

xxy

xx

tt

ss

s

s

s

s

12

GE

GE

GE

E

E

E

GeralCaso

zyzyzy

xzxzxz

xyxyxy

xyzz

zxyy

zyxx

tt

tt

tt

sss

sss

sss

12

12

12

1

1

1

Os Extensômetros de Resistência Elétrica, EREs, medem somente encurtamentos ou alongamentos

nas direções dos seus fios paralelos. Assim, a mudança ou distorção do ângulo reto xy é avaliada a

partir das medições lineares determinadas para três direções independentes que passem pelo ponto,

por exemplo, x, y e .

Assim, para a determinação das deformações principais que atuam num ponto da superfície de um

corpo são necessárias três informações independentes que são conseguidas com a instalação de uma

roseta composta por três extensômetros, comumente posicionados a 0, 45 e 900.

2900

22

22

1

2

2

4522

45222

45

22

222

24

2

1

2

450

45

245

2

45

45

0

2

2

yx

yx

yxII,I

III

yxyxyx

II,I

yxxy

xyyxyx

xyyxyx

xyyx

yxII,I

seI

.tg

.

.

.sen.cos

sencos

X

Y

P

450

Definição do estado de deformação através de três ERES

My documents/MathCad/Solutions/RosetaAnálise de Deformações e Tensões

para Rosetas Triplas

Entrar com deformações em , módulo de elasticidade em GPa

Determina deformações em e tensões em PaOBS: Para rosetas duplas, considerando x e y como eixos ortogonais, entrar com 45 igual ao valor médio das

deformações atuantes em x e y

x 100 106

y 500 106

45 950 106

E 200 109

0.3

Ix y

2

1

2x y( )

2x y 2 45( )

2

xy x y 2 45( )II

x y

2

1

2x y( )

2x y 2 45( )

2

txyE xy

2 1 ( )

sxE

1 2

x y( )

Ângulo Principal

syE

1 2

y x( )

d atan2 45 x y( )

x y

sIE

1 2

I II( )

radd

2 graus

d

2

180

sIIE

1 2

II I( ) graus deve ser medido positivamente a partir

do eixo x e será:

I no primeiro quadrante se 45 menor que a

I no segundo quadrante se 45 maior que aTensões nos planos x e y

sx 5.495 107

sy 1.165 108

ax y

2

45 9.5 104

a 3 104

txy 1 10

8

Deformações e Tensões Principais rad 0.636 graus 36.449

I 9.801 104

II 3.801 104

sI 1.903 108

sII 1.891 107

Notar que uma tensão principal é zero e que as tensões pricipais deverão ser renomeadas para algarismosarábicos

X

σ x=250MPa

α=300 +

σ α +

n α

σα +

Y

τyx=200MPa

σ y=150MPa

τxy Figura

O estado de tensão num ponto de uma placa de aço

está mostrado na Figura. Determine a tensão normal no plano α e a deformação normal ao longo da direção α.

)30.0,200( GPaE

1-Dados de entrada

sx 250 106

sy 150 106

txy 200 106

E 200 109

0.3

30

180 0.524 cos ( ) 0.866 sin ( ) 0.5


ssx sy

2

sx sy

2cos 2( ) txy sin 2( ) s 3.982 10

8

tsx sy

2 sin 2( ) txy cos 2( ) t 5.67 10

7

s ortsx sy

2

sx sy

2cos 2

2

txy sin 2

2

s ort 1.795 106

Lembrar que: A sx sy A 4 108

B s s ort B 4 108

sIsx sy

2

1

2sx sy( )

24txy

2 sI 4.062 10

8

sIIsx sy

2

1

2sx sy( )

24txy

2 sII 6.155 10

6 sIII 0

x1

Esx sy( ) y

1

Esy sx( ) z

Esx sy( ) xy

txy

E2 1 ( )

1

Es s ort( ) 1.988 10

3

rad1

2atan 2

txy

sx sy

graus rad180

I1

EsI sII( ) II

1

EsII sI( ) I 2.04 10

3 II 6.4 10

4

Estado Plano de Tensões

Dadas as tensões atuantes em planos ortogonais x e y, calcular:

- as tensões principais s I e s II

- a tensão cisalhante máxima tmax = t

- a tensão de von Mises

- os coeficientes de segurança contra o escoamento

- as deformações

My documents/MathCad/Solutions/Estado Plano

1-Dados de entrada

sx 20 106

sy 100 106

txy 110 106

Sy 400 106

E 200 109

0.3


sMises sx2

sy2

sx sy 3txy2

tmaxIeII1

2sx sy( )

24 txy

2

sIsx sy

2tmaxIeII sII

sx sy

2tmaxIeII sIII 0

tmax maxsI sII

2

sIII sII

2

sI sIII

2

x1

Esx sy( ) y

1

Esy sx( ) z

Esx sy( ) xy

txy

E2 1 ( )

rad1

2atan 2

txy

sx sy

graus rad180

I1

EsI sII( ) II

1

EsII sI( )

FSMisesSy

sMises FStmax

Sy

2tmax

3- Resultados

sMises 2.207 108

tmax 1.253 108

sI 1.653 108

sII 8.53 107

sIII 0

x 2.5 104

y 5.3 104

xy 1.43 103

z 1.2 104

I 9.544 104

II 6.744 104

rad 0.536 graus 30.695

FSMises 1.813 FStmax 1.596

X

σ x=250MPa

α=300

+

σ α +

n α

σα +

Y

τyx=200MPa

σ y=150MPa

τxy Figura

Equações da Elasticidade

Documents

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - edaet.usuarios.rdc.puc-rio.bredaet.usuarios.rdc.puc-rio.br/AET2-Anal_Tensoes.pdf · Introdução Variações percentuais do comprimento (alongamento ou