Resistência dos Materiais

Eng. Mecânica, Produção

UNIME – 2016.2

Prof. Corey

Lauro de Freitas, Fevereiro, 2016.

1 Introdução: O conceito de tensão

Conteúdo

Conceito de Tensão

Revisão de Estática

Diagrama de Corpo Livre da Estrutura

Diagrama de Corpo Livre das Componentes

Equilíbrio dos Nós

Análise de Tensão

Análise e Projeto

Carga Axial e Tensão Normal

Carga Centrada e Carga Excêntrica

Tensão de Cisalhamento

Exemplo de Tensões de Cisalhamento

Tensão de Esmagamento em Conexões

Análise de Tensão e Exemplos de Projetos

Determinação da Tensão Normal - Barras

Tensões de Cisalhamento - Conexões

Tensões de Esmagamento - Conexões

Tensões em Barras com Duas Força

Tensões sobre um Plano Inclinado

Tensão Máxima

Tensão sob Carregamentos Gerais

Estado de Tensão

Fator de Segurança

Conceito de Tensão

• O objetivo principal do estudo da mecânica dos materiais é proporcionar ao futuro engenheiro de maneira simples e lógica os meios para analisar e projetar várias máquinas e estruturas que suportam cargas, aplicando alguns princípios fundamentais.

• Tanto a análise e desenho de uma determinada estrutura envolvem a determinação de tensões e deformações. Este capítulo é dedicado ao conceito de Tensão.

Revisão de Estática

• A estrutura é projetada para suportar uma carga de 30 kN.

• Realiza-se uma análise estática para determinar a força interna de cada elemento estrutural e as forças de reação nos apoios.

• A estrutura consiste de uma barra com seção transversal retangular e uma barra com seção transversal circular, unidas por pinos (momento igual a zero nas rótulas e junções).

Diagrama de Corpo Livre da Estrutura

• A estrutura é separada dos apoios e as forças de reação são indicadas.

• Ay e Cy não podem ser determinados a

partir dessas equações.

∑ M C=0=A x (0. 6 m )−(30 kN ) (0 . 8 m )

Ax=40 kN

∑ F x=0= Ax+C x

Cx=−Ax=−40 kN

∑ F y=0=A y+C y−30 kN=0A y+C y=30 kN

• Condições para o equilíbrio estático:

Diagrama de Corpo Livre das Componentes• Além da estrutura completa, cada componente

(barra) deve satisfazer as condições de equilíbrio estático.

∑ M B=0=−A y (0 .8 m )

A y=0

• Considere o diagrama de corpo livre da barra AB:

C y=30 kN

Substituindo a equação de equilíbrio na equação anterior, temos

• Resultados:

A=40 kN→ Cx=40 kN← C y=30 kN↑

As forças de reação são direcionados ao longo do eixo da barra.

Equilíbrio dos Nós

• A estrutura é separada em duas barras simples, ou seja as barras são submetidas a apenas duas forças que são aplicadas nas extremidades.

• Para o equilíbrio, as forças devem ser paralela a um eixo entre os pontos de aplicação de força, igual em magnitude, e em direções opostas.

∑ F⃗B=0F AB

4=

FBC

5=

30 kN3

F AB=40 kN FBC=50 kN

• Os nós devem satisfazer as condições de equilíbrio estático, e as forças podem ser obtidas através do triângulo de forças correspondentes:

Análise de Tensão

• Conclusão: a estrutura suporta com segurança a carga de 30 kN, uma vez que a tensão solicitante é menor do que a tensão admissível.

σ all=165 MPa

• A partir das propriedades do material para o aço, a tensão admissível é

• A partir de uma análise estática:FAB = 40 kN (compressão)

FBC = 50 kN (tração)

A estrutura pode suportar com segurança a carga de 30 kN?

dBC = 20 mm σ BC=PA

=50×103 N

314×10-6 m2=159 MPa

• Em qualquer seção através da barra BC, a força interna é de 50 kN com uma intensidade de força ou tensão de

Análise e Projeto• O projeto de novas estruturas requer a

seleção de materiais apropriados e dimensões de componentes que atendam requisitos de desempenho.

• Por razões baseadas no custo, peso, disponibi-lidade, etc; a barra BC será construída de alumínio (all = 100 MPa). Qual a escolha apropriada para o diâmetro desta barra?

σ all=PA

A=Pσall

=50×103 N100×106 Pa

=500×10−6 m2

A=πd 2

4

d=√4 Aπ

=√4 (500×10−6m2)π

=2, 52×10−2m=25 . 2 mm

• Uma barra de alumínio de 26 milímetros ou mais de diâmetro é suficiente.

Carga Axial e Tensão Normal• A resultante das forças internas para uma bar-

ra axialmente carregada é normal para uma seção de corte perpendicular ao eixo axial da barra.

σ = limΔA→0

ΔFΔA

σ med =PA

• A intensidade da força nessa seção é definida como a tensão normal.

• A distribuição real das tensões é estaticamen-te indeterminada, ou seja, não pode ser encon-trada a partir das condições de equilíbrio somente.

• A tensão normal em um determinado ponto pode não ser igual à tensão média, mas a resultan-te da distribuição de tensões deve satisfazer:

P=σmed A=∫ dF=∫A

σ dA

Carga Centrada e Carga Excêntrica

• A distribuição de tensões em barras excentrica-mente carregadas, não pode ser uniforme ou simétrica.

• A distribuição uniforme de tensão em uma seção infere que a linha de ação para a resul-tante das forças internas passa pelo centroide da seção considerada.

• A distribuição uniforme de tensão só é possível se a linha de ação das cargas concentradas nas extremidades das seções passarem através do centroide da seção considerada. Este tipo de carregamento é chamado de carga centrada.• Se a barra estiver excentricamente carregada, então a resultante da distribuição de tensões em uma seção deve produzir uma força axial aplicada no centroide e um momento conjugado.

Tensão de Cisalhamento• Forças P e P’ são aplicadas transversalmente à

barra AB.

τ med=PA

• A tensão média de cisalhamento correspondente é,

• A resultante da distribuição da força de cisalha-mento interna é definida no corte da seção e é igual à carga P (força cortante).

• Correspondentes forças internas atuam no plano de seção transversal C e são chamadas forças de cisalhamento.

• A distribuição da tensão de cisalhamento varia de zero na superfície da barra até um valor máximo que pode ser muito maior do que o valor médio.

• A distribuição das tensões de cisalhamento não pode ser considerada uniforme.

Exemplo de Tensões de Cisalhamento

Cisalhamento Simples Cisalhamento Duplo

τ med=PA

=FA

τ med=PA

=F

2 A

Tensão de Esmagamento em Conexões

• Parafusos, rebites, pinos criam tensões ao longo da superfície de esmagamento, ou de contato, nos elementos que eles se conectam.

σ e=PA

=P

t d

• A intensidade da força média correspondente é chamada de tensão de esmagamento

• A resultante da distribuição de força na superfície é igual e oposta à força exercida sobre o pino.

Análise de Tensão e Exemplos de Projetos

• Determinar as tensões nas barras e conexões da estrutura mostrada.

• A partir de uma análise estática:FAB = 40 kN (compressão)

FBC = 50 kN (tração)

• Deve-se considerar a máxima tensão normal em AB e BC, e a tensão de cisalhamento e tensão de esmagamento em cada conexão.

Determinação da Tensão Normal - Barras• A barra está com uma tensão normal devido uma

força axial de 50 kN (tração).

• A barra AB é comprimida com uma força axial de 40 kN e tensão normal média de 26,7 MPa.

• As seções de área mínima nas extremidades, não sofrem tensões devido a compressão da barra.

A=(20 mm ) (40 mm−25 mm )=300×10−6 m2

σ BC ,ext=PA

=50×103 N300×10−6 m2

=167 MPa

• Nas extremidades achatadas da barra, a menor área transversal ocorre na linha central do furo,

• No centro da barra, a tensão normal média na seção transversal circular (A =314x10-6 m2) é BC

= +159 MPa.

Tensões de Cisalhamento - Conexões• A área da seção transversal de pinos em

A, B e C,

A=πr 2=π (25 mm2 )

2

=491×10−6 m2

τC , med=PA

=50×103 N491×10−6m2

=102 MPa

• A força no pino em C é igual à força exercida pela barra BC, o valor médio da tensão de cisalhamento no pino em C é

• O pino em A é em cisalhamento duplo com uma força total igual à força exer-cida pela barra AB dividida por dois.

τ A ,med=PA

=20 kN

491×10−6 m2=40 , 7 MPa

PE=15 kN

PG=25 kN (Maior )

τ B ,med=PG

A=

25 kN

491×10−6 m2=50 ,9 MPa

• Avaliar a tensão de cisalhamento média correspondente,

Tensões de Cisalhamento - Conexões

• Divida o pino B em 5 partes para determinar a seção com a maior força cortante,

Tensões de Esmagamento - Conexões

• Para determinar a tensão de esmagamento nominal em A na barra AB, temos t = 30 mm e d = 25 mm,

σ e=Ptd

=40 kN(30 mm ) (25 mm )

=53 ,3 MPa

• Para determinar a tensão de esmagamento no apoio em A, temos t = 2 (25 mm) = 50 mm e d = 25 mm,

σ e=Ptd

=40 kN(50 mm ) (25 mm )

=32 , 0 MPa

Tensões em Barras com Duas Forças

• Vamos mostrar que as forças axiais ou transversais podem produzir tanto tensões normais e de cisalhamento com relação a um plano que não seja um corte perpendicular ao eixo barra .

• Forças axiais aplicadas em um elemento de barra, provocam apenas tensões normais em um plano de corte perpendicular ao eixo barra.

• Forças transversais agindo em parafusos e pinos provocam apenas tensões de cisalhamento no plano perpendicular ao eixo do parafuso ou pino.

• Passe uma seção através da barra formando um ângulo θ com o plano normal.

σ=FAθ

=P cosθA0

cosθ

=PA0

cos2 θ

τ=VAθ

=PsenθA0

cosθ

=PA0

senθ cosθ

• As tensões normais e de cisalhamento média sobre o plano inclinado são

Tensões sobre um Plano Inclinado

F=P cosθ V =Psen θ

• Decompondo P em componentes normais e tangenciais à seção oblíqua,

• Das condições de equilíbrio, as forças distribuídas sobre o plano deve ser equiva-lente à força P.

• A tensão máxima normal ocorre quando o plano de referência é perpendicular ao eixo da barra (θ=0),

σ m=PA0

τ '=0

• A tensão máxima de cisalhamento ocorre para uma inclinação de + 45 º com relação ao eixo da barra,

τ m=PA0

sen 45 cos 45=P

2 A0

=σ '

Tensão Máxima

σ=PA0

cos2θ τ=PA0

sen θ cosθ

• Tensões normais e cisalhantes em um plano inclinado

Tensão sob Carregamentos Gerais• Um elemento submetido a uma

combinação de cargas em geral é cortado em dois segmentos por um plano que passa por Q

• Para o equilíbrio, uma distribuição igual e oposta de forças internas e tensões deve ser exercida sobre o outro segmento do elemento.

σ x=limΔA→0

ΔF x

ΔA

τ xy=limΔA→0

ΔV yx

ΔAτ xz=lim

ΔA→ 0

ΔV zx

ΔA

• A distribuição de componentes da tensão interna pode ser definida como,

• Componentes de tensão são definidas para os planos cortados paralelamente aos eixos x, y e z. Para o equilíbrio, tensões iguais e opostas são exercidas sobre os planos ocultos.

• Segue-se que apenas 6 componentes de tensão são necessárias para definir o estado completo de tensão.

• A combinação de forças geradas pela tensão devem satisfazer as condições para o equilíbrio:

∑ F x=∑ F y=∑ F z=0

∑ M x=∑ M y=∑ M z=0

∑ M z=0=( τxy ΔA ) a− (τ yx ΔA ) a

τ xy=τ yx

Similar, τ yz=τ zy e τ zx=τ xz

• Considere os momentos em torno do eixo z:

Estado de Tensão

Fator de Segurança

FS=Fator de segurança

FS=σu

σall

=Tensão limiteTensão admissível

Elementos estruturais ou máquinas devem ser concebidos de tal forma que as tensões de trabalho (solicitantes) sejam menores do que a resistência final do material (resistente).

Considerações para um fator de segurança:

• Incerteza nas propriedades do material

• Incerteza de cargas

• Incerteza das análises

• Número de ciclos de carga

• Tipos de falha

• Requisitos de manutenção e os efeitos de deterioração

• Importância da barra para a integridade de toda estrutura

• Risco à vida e à propriedade

• Influência sobre a função da máquina