Resistencia materiais

0

Trabalho Prático

Resistência de Materiais II

Nuno Almeida

Trabalho Prático Resistência de Materiais II 2012/2013

1

Resumo

Este trabalho prático é parte integrante da avaliação contínua da unidade curricular de Resistência

de Materiais II..


2

1 | Introdução ....................................................................................................................................... 5

2 | Propriedades da secção ................................................................................................................... 7

3 | Valor máximo de P ........................................................................................................................... 8

3.1 | Diagramas esforços................................................................................................................... 8

3.2 | Secção mais desfavorável ....................................................................................................... 10

3.3 | Estudo da secção mais desfavorável (secção F) ..................................................................... 10

3.3.1 | Flexão composta (N+M)................................................................................................... 11

3.3.2 | Tensão tangencial (devido ao esforço transverso - V) .................................................... 12

3.3.3 | Pontos mais desfavoráveis .............................................................................................. 14

3.4 | Verificação segurança (regime elástico) ................................................................................. 14

4 | Dimensionamento das barras AD, BE e CF .................................................................................... 16

4.1 | Diagramas de esforços ............................................................................................................ 16

4.2 | Secções mais desfavoráveis .................................................................................................... 18

4.3 | Dimensionamento barra AD ................................................................................................... 18

4.3.1 | Pré-dimensionamento – flexão composta ...................................................................... 18

4.3.2 | Pontos mais desfavoráveis .............................................................................................. 21

4.3.3 | Verificação da segurança ................................................................................................. 21

4.4 | Dimensionamento barra BE .................................................................................................... 24

4.4.1 | Pré-dimensionamento ..................................................................................................... 24


4.5 | Dimensionamento barra CF .................................................................................................... 27

4.5.1 | Pré-dimensionamento ..................................................................................................... 27


5 | Conclusões ..................................................................................................................................... 30


3

Índice de Figuras

Fig. 1 – Estrutura fornecida para análise ............................................................................................... 5

Fig. 2 – Secção Transversal fornecida .................................................................................................... 6

Fig. 3 – Secção Transversal – Geometria e propriedades ..................................................................... 7

Fig. 4 – Diagrama de Momento Fletor .................................................................................................. 8

Fig. 5 – Diagrama de esforço transverso ............................................................................................... 9

Fig. 6 – Diagrama de esforço axial ......................................................................................................... 9

Fig. 7 – Esforços atuantes na secção F ................................................................................................ 10

Fig. 8 – Flexão composta e pontos de interesse ................................................................................. 11

Fig. 9 – Diagrama de tensões (cálculo de τc) ....................................................................................... 12

Fig. 10 – Diagrama tensões (cálculo de τmáx) ...................................................................................... 13

Fig. 11 – Diagrama de Momento Fletor .............................................................................................. 16

Fig. 12 – Diagrama de esforço transverso ........................................................................................... 17

Fig. 13 – Diagrama de esforço axial ..................................................................................................... 17

Fig. 14 – Orientação do perfil .............................................................................................................. 18

Fig. 15 – Perfis IPE ............................................................................................................................... 20

Fig. 16 – Diagramas de tensões e pontos desfavoráveis ..................................................................... 21


Fig. 18 – Perfis metálicos IPE240 e IPE300 .......................................................................................... 25



4

Índice de Tabelas

Tabela 1 – Dados fornecidos ................................................................................................................. 6

Tabela 2 – Propriedades da secção transversal .................................................................................... 7

Tabela 3 – Influência dos esforços nas secções .................................................................................. 10

Tabela 4 – Perfis IPE ............................................................................................................................ 19

Tabela 5 – Tensões máximas ............................................................................................................... 20


Tabela 7 – Tensões de referência ........................................................................................................ 22

Tabela 8 – Perfis IPE ............................................................................................................................ 25


Tabela 10 – Tensões de referência ...................................................................................................... 27

Tabela 11 – Perfis IPE .......................................................................................................................... 28

Tabela 12 – Tensões máximas ............................................................................................................. 28

Tabela 13 – Tensões de referência ...................................................................................................... 28


5

Capítulo Um

1 | Introdução

Este trabalho prático consiste na análise de uma estrutura em aço sujeita a um determinado

carregamento. Esta análise deverá incidir sobre o valor máximo que podem valer as cargas atuantes

(neste caso P), numa determinada barra (viga), para uma determinada secção transversal

fornecida, de modo a verificar a segurança – em regime elástico.

Posteriormente, para as restantes barras (pilares), deverá ser feito o dimensionamento utilizando

perfis metálicos, com base no valor de P calculado anteriormente.

Fig. 1 – Estrutura fornecida para análise


6

Fig. 2 – Secção Transversal fornecida

Os dados fornecidos, para os parâmetros em falta na estrutura foram os indicados na

Tabela 1.

Tabela 1 – Dados fornecidos


7

Área (cm2): 91,361

Momentos Inércia (cm4): y 4736,728

z 10295,764

Capítulo Dois

2 | Propriedades da secção

O primeiro passo foi o de encontrar as propriedades da secção fornecida, e para tal recorreu-se ao

software da Autodesk – Autocad. Sabendo que a secção fornecida era cotada em relação à linha

média, procedeu-se ao desenho da secção real (Fig. 3), e determinaram-se as suas propriedades

conforme indicado na Tabela 2.

Fig. 3 – Secção Transversal – Geometria e propriedades

Tabela 2 – Propriedades da secção transversal


8

Capítulo Três

3 | Valor máximo de P

O que é pedido é que se calcule o valor máximo que P pode assumir, de modo a verificar a

segurança, em regime elástico (será portanto a carga de cedência – a que leva a que a primeira

fibra da barra entre em cedência). Este cálculo é pedido para a barra DEF.

3.1 | Diagramas esforços

O passo seguinte, com recurso ao software F-Tool, foi o de obter os diagramas de esforços a que a

estrutura está sujeita para que se consiga perceber em que zonas (secções), a estrutura está sujeita

aos maiores esforços, pois será aí que irá ceder em primeiro lugar.

Fig. 4 – Diagrama de Momento Fletor


9

Fig. 5 – Diagrama de esforço transverso

Fig. 6 – Diagrama de esforço axial


10

Secção Eesq

Edir

Ebaixo

F

M -76,1P -76,1P 0P -96,5P

V -51,3P 45,9P 6,4P -50,1P

N -17,8P -11,5P -97,1P -50,1P

3.2 | Secção mais desfavorável

Uma vez obtidos os diagramas de esforços, pode-se denotar que a secção aparentemente mais

desfavorável é a F, pois é lá que se apresentam os maiores esforços. No entanto poderá haver

alguma dúvida relativamente à secção E, que possui um esforço axial superior ao da secção F

(embora os outros não o sejam).

Se analisarmos o quadro seguinte,

Tabela 3 – Influência dos esforços nas secções

Podemos facilmente concluir que a conjugação de esforços em F é maior que em qualquer das

outras secções. Desta forma o estudo da secção mais desfavorável irá incidir na secção F.

3.3 | Estudo da secção mais desfavorável (secção F)

Serão agora calculados as tensões máximas a que esta secção está sujeita para de seguida se

proceder à verificação de segurança da mesma.

Fig. 7 – Esforços atuantes na secção F


11

3.3.1 | Flexão composta (N+M)

Fig. 8 – Flexão composta e pontos de interesse

Podemos perceber pela Fig. 8, que a tensão máxima atua no ponto A, e é nesse ponto que

devido aos esforços de momento fletor e esforço axial que a secção atinge a tensão de

cedência em primeiro lugar. Calcular-se-á a tensão máxima neste ponto, bem como nos

outros dois assinalados (B e C), mais tarde se explicará porquê.

Cálculo:

|��á�| =|�|

�+

|��|

� . ��á� +

|��|

� . ��á�

⇔ ��á� =11.5�

91.361 × 10��+

96.5�

4736.728 × 10�!× 12.05 × 10�"

⇔ ��á� = 246749.934�#�$


12

Da mesma forma,

⇔ �% =11.5�

91.361 × 10��+

96.5�

4736.728 × 10�!× 5.95 × 10�" = 122476,385�#�$

A tensão no ponto B, conforme se pode verificar pelo diagrama da Fig. 8, é zero.

3.3.2 | Tensão tangencial (devido ao esforço transverso - V)

Agora calcular-se-á a tensão tangencial máxima a atuar na secção. Para tal irá ser

desenhado na linha média, o diagrama de tensões.

Fig. 9 – Diagrama de tensões (cálculo de τc)

Para o cálculo da tensão em C, recorre-se à seguinte expressão,


13

'( =)�. *� �. +

Onde,

*� = �. ,

Logo,

*� = 20.5 × 6.45 = 132.225-./

'( =50,1� × 132,225 × 10�0

4736,728 × 10�! × 1 × 10�"= 13985,334�#�$

Da mesma forma calcula-se a tensão em B, que corresponde à tensão tangencial máxima.

Fig. 10 – Diagrama tensões (cálculo de ττττmáx)


14

Assim,

*� = 120.5 × 6.452 +15.982 ∗ 2.972 = 149,992-./

'�á� =50,1� × 149,992 × 10�0

4736,728 × 10�! × 1 × 10�"= 15864,536�#�$

No ponto A, conforme se pode constatar pelo diagrama de tensões, a tensão tangencial é

zero.

3.3.3 | Pontos mais desfavoráveis

Inicialmente poderiam ter sidos considerados apenas os pontos de tensões máximas

(pontos A e B), para averiguar de seguida a segurança da estrutura. No entanto haviam

alguns outros pontos da secção que poderiam suscitar dúvidas, se pela conjugação de

tensões (normal e tangencial), não entrariam em cedência primeiro. Ou seja, as tensões

tangenciais no ponto A são nulas, mas as tensões normais são máximas. Da mesma forma

no ponto B, as tensões normais são nulas e as tangenciais máximas. No ponto C existe o

contributo de ambas, daí se fazer a verificação deste ponto (que parece ser o sítio onde a

contribuição conjugada das duas tensões é maior). Esta foi a razão pela qual se escolheram

estes pontos, e consoante as situações poderão ser escolhidos tantos pontos quanto

quisermos.

3.4 | Verificação segurança (regime elástico)

Agora que são conhecidas as tensões nos pontos mais desfavoráveis, será determinada, através da

fórmula de Von Mises a Tensão de Referência (�456), que nos permitirá comparar com a respetiva

tensão de cedência do material e aferir se realmente esta secção (que era a mais desfavorável da

barra DEF), verifica a segurança ou não.

Uma vez que desconhecemos um parâmetro que influencia a carga que está a atuar na estrutura (o

valor de P), é através deste cálculo que o iremos descobrir. Desta forma, e uma vez que a tensão de

referência vai ser comparada com a tensão de cedência, o valor de P obtido representa o valor

máximo que P pode assumir para verificar a segurança da barra DEF - em regime elástico.


15

Então,

�456 = [�" + 3 × 1'2"]9.:

Por sua vez,

�456 ≤ <�

Faz-se então esta verificação para cada um dos pontos desfavoráveis considerados.

Em A,

�456= = [246749,934�" + 3 × 0]9.: ≤ 235000

⇔ � ≤ 0.952>�/.

Em B,

�456@ = [0" + 3 × 115864,536�2"]9.: ≤ 235000

⇔ � ≤ 8,552>�/.

Em C,

�456% = [1122476,385�2" + 3 × 113985,334�2"]9.: ≤ 235000

⇔ � ≤ 1,882>�/.

Assim, destes três valores terá que ser escolhido o menor, para garantir que a segurança seja

verificada.

Escolha final: A ≤ B. CDEFG/H


16

Capítulo Quatro

4 | Dimensionamento das barras AD, BE e CF

O pretendido nesta fase é dimensionar os pilares da estrutura tendo em conta o valor de P que foi

anteriormente calculado. Para efetuar o dimensionamento de tais elementos serão utilizados perfis

metálicos (a escolha incidiu apenas na gama IPE para não dispersar muito a escolha) e não será tida

em conta a encurvadura.

Toda a sequência de cálculo é bastante semelhante ao realizado no capítulo anterior, logo a

apresentação desse mesmo cálculo será doravante mais resumida.

4.1 | Diagramas de esforços

Iniciamos este processo de dimensionamento, por traçar os diagramas de esforços atuantes na

estrutura, mais uma vez, para perceber onde se situam as secções mais desfavoráveis (sujeitas a

maiores esforços), nos respetivos pilares a dimensionar (AD, BE e CD), mas agora utilizando o valor

de P=0.952 kN/m.

Fig. 11 – Diagrama de Momento Fletor


17

Fig. 12 – Diagrama de esforço transverso

Fig. 13 – Diagrama de esforço axial


18

4.2 | Secções mais desfavoráveis

Com os diagramas traçados facilmente se verificam quais as secções mais desfavoráveis, elas são a

secção A, B e C, nos pilares AD, BE e CF respetivamente, pois são as que estão sujeitas a maiores

esforços.

4.3 | Dimensionamento barra AD

Uma vez que se desconhece o perfil a utilizar (é de resto esse o propósito do dimensionamento), irá

ser feito um pré-dimensionamento “escolhendo” alguns possíveis perfis e depois verificando a

segurança para os mesmos. Se verificarem, são adotados, se não verificarem temos que passar a

um perfil acima do anterior e voltar a fazer a verificação.

4.3.1 | Pré-dimensionamento – flexão composta

� Secção mais desfavorável: Secção A

� Perfil: IPE

� <� = 235�I$

� Orientação do perfil – o momento máximo deve atuar no eixo de maior inércia

Fig. 14 – Orientação do perfil

Sabendo que:


19

Wel,y A

(cm3) (cm2)

300 557 53,8

360 904 72,7

400 1160 84,5

IPE

|��á�| =|J|

=+

|KL|

ML . ��á� +

|KN|

MN . O�á� (1)

Conseguimos determinar,

��á� ≤ <� ⇔ ��

P5Q,�≤ <�

⇔116,11

P5Q,�≤ 235000

⇔P5Q,� ≥ 494,09-./

Com o valor do módulo de flexão já é possível escolher um perfil com um valor aproximado a

este (sempre superior).

No entanto apenas foi verificada a segurança para a flexão composta e como é sabido a secção

está sujeita a mais esforços. Estes esforços podem inviabilizar uma possível escolha que se tenha

feito com base no valor do módulo de flexão anteriormente calculado. Existe para isso uma

regra prática que consiste em escolher um perfil que tenha aproximadamente o dobro do valor

do módulo de flexão calculado.

Para este caso em concreto será utilizado o módulo de flexão calculado inicialmente, e

paralelamente será utilizada a regra prática em termos comparativos.

Através das tabelas técnicas da Arcelor Mittal fornecidas na unidade curricular foram escolhidos

como “possíveis” perfis os IPE constantes na Tabela 4.

Tabela 4 – Perfis IPE


20

σσσσmáx

(Mpa)

300 213,54

360 132,20

400 103,33

IPE

A= 53,8 cm2

Iy= 8356 cm4

Wel,y= 557 cm3

Wpl,y= 628 cm3

A= 72,7 cm2

Iy= 16270 cm4

Wel,y= 904 cm3

Wpl,y= 1019 cm3

Novamente através da fórmula (1), calculam-se as tensões máximas para cada perfil.

De onde se apuram os seguintes resultados:

Tabela 5 – Tensões máximas

Qualquer um destes valores é inferior à tensão de cedência do material (235MPa), apesar do

IPE300 ter um valor próximo do limite. Este é no entanto um resultado preliminar.

Adotaram-se os perfis IP300 e IPE360 para prosseguir o pré-dimensionamento (o IPE360 devido

à aplicação da regra prática).

Perfis:

Fig. 15 – Perfis IPE


21

4.3.2 | Pontos mais desfavoráveis

Fig. 16 – Diagramas de tensões e pontos desfavoráveis

Conhecidos estes pontos, podem de seguida ser feitos os cálculos para cada perfil, das tensões

máximas em cada ponto, verificando desde logo se verificam individualmente a segurança ou

não.

4.3.3 | Verificação da segurança

|��á�| =|J|

=+

|KL|

ML . ��á� +

|KN|

MN . O�á� (1)

' =SN.TLML.U

(2)

*� = �. , = VWX,L

" (3)

Nota: Como as secções estão tabeladas, e devido ao facto de se ter de calcular o momento

estático relativamente a meia secção do perfil (simétrico), pode simplificar-se o cálculo

recorrendo à equação (3).


22

A B C

300 0,000 213,540 198,307

360 0,000 132,200 122,873

A B C

300 15,200 3,729 11,239

360 11,240 2,605 8,272

IPE

σσσσmáx (Mpa)

ττττmáx (Mpa)

IPE

Secção B Secção C

300 213,64 199,26

360 132,28 123,71

σσσσref (Mpa)IPE

Daqui resultam os seguintes resultados:


E como se pode verificar todas as tensões são inferiores à tensão de cedência (235MPa), bem

como todas as tensões tangenciais inferiores a 6L

√/= 135,677��$.

Resta agora fazer a verificação segundo Von Mises, para se obter um valor de tensões que diz

respeito às várias tensões em conjunto.

�456 = [�" + 3 × 1'2"]9.: ≤ <�

Após realizar os cálculos e considerando a secção B e C novamente, pois ainda restam algumas

dúvidas de qual será a mais desfavorável, obtiveram-se as seguintes tensões de referência.

Tabela 7 – Tensões de referência

(Regra prática)


23

Confirma-se então que a secção mais desfavorecida é a B e verifica-se ao mesmo tempo a

segurança, pois a tensão de referência é inferior à tensão de cedência do material.

Conclui-se também que o “método prático” foi eficaz, embora de modo bastante conservativo, e

deve por isso ser verificado, principalmente em casos em que os custos associados à escolha de

um perfil acima do necessário possam ser decisivos.

Perfil escolhido para o pilar AD: IPE300


24

4.4 | Dimensionamento barra BE

O procedimento agora é idêntico ao anterior. Serão apresentadas apenas os pontos onde existem

diferenças.

4.4.1 | Pré-dimensionamento

� Secção mais desfavorável: Secção B

� Perfil: IPE

� <� = 235�I$



Novamente, através dos esforços e da relação

��á� ≤ <� ⇔ ��

P5Q,�≤ <�

Obtemos o valor para o módulo de flexão, valor necessário para escolhermos o perfil.

P5Q,� ≥ 247,87-./

Se utilizarmos a regra prática - P5Q,� ≥ 2 × 247,87 = 495,74-./


25

Wel,y A σσσσmáx

(cm3) (cm2) (Mpa)

220 252 33,4 258,80

240 324 39,1 203,40

300 557 53,8 121,00

IPE

A= 53,8 cm2

Iy= 8356 cm4

Wel,y= 557 cm3

Wpl,y= 628 cm3

A= 39,1 cm2

Iy= 3892 cm4

Wel,y= 324 cm3

Wpl,y= 367 cm3

Assim sendo, selecionaram-se os perfis:


Ao fazer-se a primeira verificação para a flexão composta, verifica-se desde já que o perfil

IPE220 não verifica a segurança pois a tensão máxima obtida é superior à tensão de cedência.

Prosseguem-se as verificações para os outros perfis.

Perfis:

Fig. 18 – Perfis metálicos IPE240 e IPE300


26

A B C

240 0,000 203,400 186,789

300 0,000 121,770 113,084

A B C

240 4,620 1,077 3,405

300 3,210 0,788 2,375

IPE

σσσσmáx (Mpa)

ττττmáx (Mpa)

IPE

Os pontos mais desfavoráveis são nos mesmos locais que no cálculo da viga anterior e assim

passou-se à verificação de segurança.


|��á�| =|J|

=+

|KL|

ML . ��á� +

|KN|

MN . O�á� (1)

' =SN.TLML.U

(2)

*� = �. , = VWX,L

" (3)

Apuraram-se os seguintes valores:


Ambos os perfis verificam para já a segurança, naqueles pontos. Para o confirmar, e verificar a

segurança da estrutura, calculamos a tensão de referência de Von Mises (agora só para a secção

B, que é a mais desfavorecida).


27

240

300

203,41

121,78

IPE σσσσref (Mpa)


(Regra prática)

Pode-se concluir que ambos os perfis verificam a segurança.

Em princípio a escolha do perfil recairia sobre o IPE240, mas irá ser feito o dimensionamento da

última viga (CF) e decidir nessa altura.

4.5 | Dimensionamento barra CF

4.5.1 | Pré-dimensionamento

� Secção mais desfavorável: Secção C

� Perfil: IPE

� <� = 235�I$



Obtido o respetivo módulo de flexão:

P5Q,� ≥ 443.40-./


28

Wel,y A σσσσmáx

(cm3) (cm2) (Mpa)

300 557 53,8 195,95

360 904 72,7 121,83

400 1160 84,5 95,48

IPE

A B C

300 0,000 195,950 181,972

360 0,000 121,830 113,230

A B C

300 10,810 2,678 7,995

360 8,000 2,940 5,884

IPE

σσσσmáx (Mpa)

ττττmáx (Mpa)

IPE

300

360

196,00

121,94

IPE σσσσref (Mpa)

E pela regra prática:

P5Q,� ≥ 2 × 443.40 = 886.80-./

Seleção de perfis:


Todos estes perfis verificam, para já a segurança, vamos no entanto prosseguir apenas com o

IPE300 e o IPE360. Considerando os mesmos pontos desfavorecidos, características das secções

(ver Fig. 16 e Fig. 15), fez-se a verificação da segurança da estrutura.



E finalmente as tensões de referência (para o ponto B, pois é o mais desfavorável).



29

(Regra prática)

Nesta viga, o perfil mais indicado é o IPE300, pois verifica a segurança (tensão de referência

menor que a tensão de cedência), e por uma questão de uniformização podemos agora dizer

que na viga anterior a escolha também será um IPE300 (em detrimento do IPE240).

Perfil escolhido para o pilar BE: IPE300

Perfil escolhido para o pilar CF: IPE300


30

Capítulo Cinco

5 | Conclusões

As conclusões que se retiram deste trabalho podem ser explanadas em alguns pontos:

� Deverão ser verificados vários pontos intermédios aos pontos de localização das tensões

máximas, pois a combinação de tensões pode provocar uma tensão total superior às

máximas de forma individualizada.

� Após o dimensionamento, talvez fosse necessário refazer os diagramas de esforços, mas

agora com as características dos perfis escolhidos e verificar se realmente há necessidade

de manter os mesmos perfis (uma vez que irão haver mudanças nos esforços devido às

alterações da geometria/propriedades dos perfis).

� O método da regra prática funcionou em todas as ocasiões, embora, neste caso de forma

conservativa – aumentando sempre um escalão à série do perfil.

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