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0 Trabalho Prático Resistência de Materiais II Nuno Almeida

Resistencia materiais

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    Trabalho Prtico

    Resistncia de Materiais II

    Nuno Almeida

  • Trabalho Prtico Resistncia de Materiais II 2012/2013

    1

    Resumo

    Este trabalho prtico parte integrante da avaliao contnua da unidade curricular de Resistncia

    de Materiais II..

  • Trabalho Prtico Resistncia de Materiais II 2012/2013

    2

    1 | Introduo ....................................................................................................................................... 5

    2 | Propriedades da seco ................................................................................................................... 7

    3 | Valor mximo de P ........................................................................................................................... 8

    3.1 | Diagramas esforos................................................................................................................... 8

    3.2 | Seco mais desfavorvel ....................................................................................................... 10

    3.3 | Estudo da seco mais desfavorvel (seco F) ..................................................................... 10

    3.3.1 | Flexo composta (N+M)................................................................................................... 11

    3.3.2 | Tenso tangencial (devido ao esforo transverso - V) .................................................... 12

    3.3.3 | Pontos mais desfavorveis .............................................................................................. 14

    3.4 | Verificao segurana (regime elstico) ................................................................................. 14

    4 | Dimensionamento das barras AD, BE e CF .................................................................................... 16

    4.1 | Diagramas de esforos ............................................................................................................ 16

    4.2 | Seces mais desfavorveis .................................................................................................... 18

    4.3 | Dimensionamento barra AD ................................................................................................... 18

    4.3.1 | Pr-dimensionamento flexo composta ...................................................................... 18

    4.3.2 | Pontos mais desfavorveis .............................................................................................. 21

    4.3.3 | Verificao da segurana ................................................................................................. 21

    4.4 | Dimensionamento barra BE .................................................................................................... 24

    4.4.1 | Pr-dimensionamento ..................................................................................................... 24

    4.4.2 | Verificao da segurana ................................................................................................. 26

    4.5 | Dimensionamento barra CF .................................................................................................... 27

    4.5.1 | Pr-dimensionamento ..................................................................................................... 27

    4.5.2 | Verificao da segurana ................................................................................................. 28

    5 | Concluses ..................................................................................................................................... 30

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    3

    ndice de Figuras

    Fig. 1 Estrutura fornecida para anlise ............................................................................................... 5

    Fig. 2 Seco Transversal fornecida .................................................................................................... 6

    Fig. 3 Seco Transversal Geometria e propriedades ..................................................................... 7

    Fig. 4 Diagrama de Momento Fletor .................................................................................................. 8

    Fig. 5 Diagrama de esforo transverso ............................................................................................... 9

    Fig. 6 Diagrama de esforo axial ......................................................................................................... 9

    Fig. 7 Esforos atuantes na seco F ................................................................................................ 10

    Fig. 8 Flexo composta e pontos de interesse ................................................................................. 11

    Fig. 9 Diagrama de tenses (clculo de c) ....................................................................................... 12

    Fig. 10 Diagrama tenses (clculo de mx) ...................................................................................... 13

    Fig. 11 Diagrama de Momento Fletor .............................................................................................. 16

    Fig. 12 Diagrama de esforo transverso ........................................................................................... 17

    Fig. 13 Diagrama de esforo axial ..................................................................................................... 17

    Fig. 14 Orientao do perfil .............................................................................................................. 18

    Fig. 15 Perfis IPE ............................................................................................................................... 20

    Fig. 16 Diagramas de tenses e pontos desfavorveis ..................................................................... 21

    Fig. 17 Orientao do perfil .............................................................................................................. 24

    Fig. 18 Perfis metlicos IPE240 e IPE300 .......................................................................................... 25

    Fig. 19 Orientao do perfil .............................................................................................................. 27

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    4

    ndice de Tabelas

    Tabela 1 Dados fornecidos ................................................................................................................. 6

    Tabela 2 Propriedades da seco transversal .................................................................................... 7

    Tabela 3 Influncia dos esforos nas seces .................................................................................. 10

    Tabela 4 Perfis IPE ............................................................................................................................ 19

    Tabela 5 Tenses mximas ............................................................................................................... 20

    Tabela 6 Tenses mximas ............................................................................................................... 22

    Tabela 7 Tenses de referncia ........................................................................................................ 22

    Tabela 8 Perfis IPE ............................................................................................................................ 25

    Tabela 9 Tenses mximas ............................................................................................................... 26

    Tabela 10 Tenses de referncia ...................................................................................................... 27

    Tabela 11 Perfis IPE .......................................................................................................................... 28

    Tabela 12 Tenses mximas ............................................................................................................. 28

    Tabela 13 Tenses de referncia ...................................................................................................... 28

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    5

    Captulo Um

    1 | Introduo

    Este trabalho prtico consiste na anlise de uma estrutura em ao sujeita a um determinado

    carregamento. Esta anlise dever incidir sobre o valor mximo que podem valer as cargas atuantes

    (neste caso P), numa determinada barra (viga), para uma determinada seco transversal

    fornecida, de modo a verificar a segurana em regime elstico.

    Posteriormente, para as restantes barras (pilares), dever ser feito o dimensionamento utilizando

    perfis metlicos, com base no valor de P calculado anteriormente.

    Fig. 1 Estrutura fornecida para anlise

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    6

    Fig. 2 Seco Transversal fornecida

    Os dados fornecidos, para os parmetros em falta na estrutura foram os indicados na

    Tabela 1.

    Tabela 1 Dados fornecidos

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    7

    rea (cm2): 91,361

    Momentos Inrcia (cm4): y 4736,728

    z 10295,764

    Captulo Dois

    2 | Propriedades da seco

    O primeiro passo foi o de encontrar as propriedades da seco fornecida, e para tal recorreu-se ao

    software da Autodesk Autocad. Sabendo que a seco fornecida era cotada em relao linha

    mdia, procedeu-se ao desenho da seco real (Fig. 3), e determinaram-se as suas propriedades

    conforme indicado na Tabela 2.

    Fig. 3 Seco Transversal Geometria e propriedades

    Tabela 2 Propriedades da seco transversal

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    8

    Captulo Trs

    3 | Valor mximo de P

    O que pedido que se calcule o valor mximo que P pode assumir, de modo a verificar a

    segurana, em regime elstico (ser portanto a carga de cedncia a que leva a que a primeira

    fibra da barra entre em cedncia). Este clculo pedido para a barra DEF.

    3.1 | Diagramas esforos

    O passo seguinte, com recurso ao software F-Tool, foi o de obter os diagramas de esforos a que a

    estrutura est sujeita para que se consiga perceber em que zonas (seces), a estrutura est sujeita

    aos maiores esforos, pois ser a que ir ceder em primeiro lugar.

    Fig. 4 Diagrama de Momento Fletor

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    9

    Fig. 5 Diagrama de esforo transverso

    Fig. 6 Diagrama de esforo axial

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    10

    Seco Eesq

    Edir

    Ebaixo

    F

    M -76,1P -76,1P 0P -96,5P

    V -51,3P 45,9P 6,4P -50,1P

    N -17,8P -11,5P -97,1P -50,1P

    3.2 | Seco mais desfavorvel

    Uma vez obtidos os diagramas de esforos, pode-se denotar que a seco aparentemente mais

    desfavorvel a F, pois l que se apresentam os maiores esforos. No entanto poder haver

    alguma dvida relativamente seco E, que possui um esforo axial superior ao da seco F

    (embora os outros no o sejam).

    Se analisarmos o quadro seguinte,

    Tabela 3 Influncia dos esforos nas seces

    Podemos facilmente concluir que a conjugao de esforos em F maior que em qualquer das

    outras seces. Desta forma o estudo da seco mais desfavorvel ir incidir na seco F.

    3.3 | Estudo da seco mais desfavorvel (seco F)

    Sero agora calculados as tenses mximas a que esta seco est sujeita para de seguida se

    proceder verificao de segurana da mesma.

    Fig. 7 Esforos atuantes na seco F

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    11

    3.3.1 | Flexo composta (N+M)

    Fig. 8 Flexo composta e pontos de interesse

    Podemos perceber pela Fig. 8, que a tenso mxima atua no ponto A, e nesse ponto que

    devido aos esforos de momento fletor e esforo axial que a seco atinge a tenso de

    cedncia em primeiro lugar. Calcular-se- a tenso mxima neste ponto, bem como nos

    outros dois assinalados (B e C), mais tarde se explicar porqu.

    Clculo:

    || =||

    +

    ||

    . +

    ||

    .

    =11.5

    91.361 10+

    96.5

    4736.728 10! 12.05 10"

    = 246749.934#$

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    12

    Da mesma forma,

    % =11.5

    91.361 10+

    96.5

    4736.728 10! 5.95 10" = 122476,385#$

    A tenso no ponto B, conforme se pode verificar pelo diagrama da Fig. 8, zero.

    3.3.2 | Tenso tangencial (devido ao esforo transverso - V)

    Agora calcular-se- a tenso tangencial mxima a atuar na seco. Para tal ir ser

    desenhado na linha mdia, o diagrama de tenses.

    Fig. 9 Diagrama de tenses (clculo de c)

    Para o clculo da tenso em C, recorre-se seguinte expresso,

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    13

    '( =). *

    . +

    Onde,

    * = . ,

    Logo,

    * = 20.5 6.45 = 132.225-./

    '( =50,1 132,225 100

    4736,728 10! 1 10"= 13985,334#$

    Da mesma forma calcula-se a tenso em B, que corresponde tenso tangencial mxima.

    Fig. 10 Diagrama tenses (clculo de mx)

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    14

    Assim,

    * = 120.5 6.452 +15.982 2.972 = 149,992-./

    ' =50,1 149,992 100

    4736,728 10! 1 10"= 15864,536#$

    No ponto A, conforme se pode constatar pelo diagrama de tenses, a tenso tangencial

    zero.

    3.3.3 | Pontos mais desfavorveis

    Inicialmente poderiam ter sidos considerados apenas os pontos de tenses mximas

    (pontos A e B), para averiguar de seguida a segurana da estrutura. No entanto haviam

    alguns outros pontos da seco que poderiam suscitar dvidas, se pela conjugao de

    tenses (normal e tangencial), no entrariam em cedncia primeiro. Ou seja, as tenses

    tangenciais no ponto A so nulas, mas as tenses normais so mximas. Da mesma forma

    no ponto B, as tenses normais so nulas e as tangenciais mximas. No ponto C existe o

    contributo de ambas, da se fazer a verificao deste ponto (que parece ser o stio onde a

    contribuio conjugada das duas tenses maior). Esta foi a razo pela qual se escolheram

    estes pontos, e consoante as situaes podero ser escolhidos tantos pontos quanto

    quisermos.

    3.4 | Verificao segurana (regime elstico)

    Agora que so conhecidas as tenses nos pontos mais desfavorveis, ser determinada, atravs da

    frmula de Von Mises a Tenso de Referncia (456), que nos permitir comparar com a respetiva

    tenso de cedncia do material e aferir se realmente esta seco (que era a mais desfavorvel da

    barra DEF), verifica a segurana ou no.

    Uma vez que desconhecemos um parmetro que influencia a carga que est a atuar na estrutura (o

    valor de P), atravs deste clculo que o iremos descobrir. Desta forma, e uma vez que a tenso de

    referncia vai ser comparada com a tenso de cedncia, o valor de P obtido representa o valor

    mximo que P pode assumir para verificar a segurana da barra DEF - em regime elstico.

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    15

    Ento,

    456 = [" + 3 1'2"]9.:

    Por sua vez,

    456

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    16

    Captulo Quatro

    4 | Dimensionamento das barras AD, BE e CF

    O pretendido nesta fase dimensionar os pilares da estrutura tendo em conta o valor de P que foi

    anteriormente calculado. Para efetuar o dimensionamento de tais elementos sero utilizados perfis

    metlicos (a escolha incidiu apenas na gama IPE para no dispersar muito a escolha) e no ser tida

    em conta a encurvadura.

    Toda a sequncia de clculo bastante semelhante ao realizado no captulo anterior, logo a

    apresentao desse mesmo clculo ser doravante mais resumida.

    4.1 | Diagramas de esforos

    Iniciamos este processo de dimensionamento, por traar os diagramas de esforos atuantes na

    estrutura, mais uma vez, para perceber onde se situam as seces mais desfavorveis (sujeitas a

    maiores esforos), nos respetivos pilares a dimensionar (AD, BE e CD), mas agora utilizando o valor

    de P=0.952 kN/m.

    Fig. 11 Diagrama de Momento Fletor

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    17

    Fig. 12 Diagrama de esforo transverso

    Fig. 13 Diagrama de esforo axial

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    18

    4.2 | Seces mais desfavorveis

    Com os diagramas traados facilmente se verificam quais as seces mais desfavorveis, elas so a

    seco A, B e C, nos pilares AD, BE e CF respetivamente, pois so as que esto sujeitas a maiores

    esforos.

    4.3 | Dimensionamento barra AD

    Uma vez que se desconhece o perfil a utilizar ( de resto esse o propsito do dimensionamento), ir

    ser feito um pr-dimensionamento escolhendo alguns possveis perfis e depois verificando a

    segurana para os mesmos. Se verificarem, so adotados, se no verificarem temos que passar a

    um perfil acima do anterior e voltar a fazer a verificao.

    4.3.1 | Pr-dimensionamento flexo composta

    Seco mais desfavorvel: Seco A

    Perfil: IPE

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    19

    Wel,y A

    (cm3) (cm2)

    300 557 53,8

    360 904 72,7

    400 1160 84,5

    IPE

    || =|J|

    =+

    |KL|

    ML . +

    |KN|

    MN . O (1)

    Conseguimos determinar,

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    20

    mx

    (Mpa)

    300 213,54

    360 132,20

    400 103,33

    IPE

    A= 53,8 cm2

    Iy= 8356 cm4

    Wel,y= 557 cm3

    Wpl,y= 628 cm3

    A= 72,7 cm2

    Iy= 16270 cm4

    Wel,y= 904 cm3

    Wpl,y= 1019 cm3

    Novamente atravs da frmula (1), calculam-se as tenses mximas para cada perfil.

    De onde se apuram os seguintes resultados:

    Tabela 5 Tenses mximas

    Qualquer um destes valores inferior tenso de cedncia do material (235MPa), apesar do

    IPE300 ter um valor prximo do limite. Este no entanto um resultado preliminar.

    Adotaram-se os perfis IP300 e IPE360 para prosseguir o pr-dimensionamento (o IPE360 devido

    aplicao da regra prtica).

    Perfis:

    Fig. 15 Perfis IPE

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    21

    4.3.2 | Pontos mais desfavorveis

    Fig. 16 Diagramas de tenses e pontos desfavorveis

    Conhecidos estes pontos, podem de seguida ser feitos os clculos para cada perfil, das tenses

    mximas em cada ponto, verificando desde logo se verificam individualmente a segurana ou

    no.

    4.3.3 | Verificao da segurana

    || =|J|

    =+

    |KL|

    ML . +

    |KN|

    MN . O (1)

    ' =SN.TLML.U

    (2)

    * = . , = VWX,L"

    (3)

    Nota: Como as seces esto tabeladas, e devido ao facto de se ter de calcular o momento

    esttico relativamente a meia seco do perfil (simtrico), pode simplificar-se o clculo

    recorrendo equao (3).

  • Trabalho Prtico Resistncia de Materiais II 2012/2013

    22

    A B C

    300 0,000 213,540 198,307

    360 0,000 132,200 122,873

    A B C

    300 15,200 3,729 11,239

    360 11,240 2,605 8,272

    IPE

    mx (Mpa)

    mx (Mpa)

    IPE

    Seco B Seco C

    300 213,64 199,26

    360 132,28 123,71

    ref (Mpa)IPE

    Daqui resultam os seguintes resultados:

    Tabela 6 Tenses mximas

    E como se pode verificar todas as tenses so inferiores tenso de cedncia (235MPa), bem

    como todas as tenses tangenciais inferiores a 6L

    /= 135,677$.

    Resta agora fazer a verificao segundo Von Mises, para se obter um valor de tenses que diz

    respeito s vrias tenses em conjunto.

    456 = [" + 3 1'2"]9.:

  • Trabalho Prtico Resistncia de Materiais II 2012/2013

    23

    Confirma-se ento que a seco mais desfavorecida a B e verifica-se ao mesmo tempo a

    segurana, pois a tenso de referncia inferior tenso de cedncia do material.

    Conclui-se tambm que o mtodo prtico foi eficaz, embora de modo bastante conservativo, e

    deve por isso ser verificado, principalmente em casos em que os custos associados escolha de

    um perfil acima do necessrio possam ser decisivos.

    Perfil escolhido para o pilar AD: IPE300

  • Trabalho Prtico Resistncia de Materiais II 2012/2013

    24

    4.4 | Dimensionamento barra BE

    O procedimento agora idntico ao anterior. Sero apresentadas apenas os pontos onde existem

    diferenas.

    4.4.1 | Pr-dimensionamento

    Seco mais desfavorvel: Seco B

    Perfil: IPE

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    25

    Wel,y A mx

    (cm3) (cm2) (Mpa)

    220 252 33,4 258,80

    240 324 39,1 203,40

    300 557 53,8 121,00

    IPE

    A= 53,8 cm2

    Iy= 8356 cm4

    Wel,y= 557 cm3

    Wpl,y= 628 cm3

    A= 39,1 cm2

    Iy= 3892 cm4

    Wel,y= 324 cm3

    Wpl,y= 367 cm3

    Assim sendo, selecionaram-se os perfis:

    Tabela 8 Perfis IPE

    Ao fazer-se a primeira verificao para a flexo composta, verifica-se desde j que o perfil

    IPE220 no verifica a segurana pois a tenso mxima obtida superior tenso de cedncia.

    Prosseguem-se as verificaes para os outros perfis.

    Perfis:

    Fig. 18 Perfis metlicos IPE240 e IPE300

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    26

    A B C

    240 0,000 203,400 186,789

    300 0,000 121,770 113,084

    A B C

    240 4,620 1,077 3,405

    300 3,210 0,788 2,375

    IPE

    mx (Mpa)

    mx (Mpa)

    IPE

    Os pontos mais desfavorveis so nos mesmos locais que no clculo da viga anterior e assim

    passou-se verificao de segurana.

    4.4.2 | Verificao da segurana

    || =|J|

    =+

    |KL|

    ML . +

    |KN|

    MN . O (1)

    ' =SN.TLML.U

    (2)

    * = . , = VWX,L"

    (3)

    Apuraram-se os seguintes valores:

    Tabela 9 Tenses mximas

    Ambos os perfis verificam para j a segurana, naqueles pontos. Para o confirmar, e verificar a

    segurana da estrutura, calculamos a tenso de referncia de Von Mises (agora s para a seco

    B, que a mais desfavorecida).

  • Trabalho Prtico Resistncia de Materiais II 2012/2013

    27

    240

    300

    203,41

    121,78

    IPE ref (Mpa)

    Tabela 10 Tenses de referncia

    (Regra prtica)

    Pode-se concluir que ambos os perfis verificam a segurana.

    Em princpio a escolha do perfil recairia sobre o IPE240, mas ir ser feito o dimensionamento da

    ltima viga (CF) e decidir nessa altura.

    4.5 | Dimensionamento barra CF

    4.5.1 | Pr-dimensionamento

    Seco mais desfavorvel: Seco C

    Perfil: IPE

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    28

    Wel,y A mx

    (cm3) (cm2) (Mpa)

    300 557 53,8 195,95

    360 904 72,7 121,83

    400 1160 84,5 95,48

    IPE

    A B C

    300 0,000 195,950 181,972

    360 0,000 121,830 113,230

    A B C

    300 10,810 2,678 7,995

    360 8,000 2,940 5,884

    IPE

    mx (Mpa)

    mx (Mpa)

    IPE

    300

    360

    196,00

    121,94

    IPE ref (Mpa)

    E pela regra prtica:

    P5Q, 2 443.40 = 886.80-./

    Seleo de perfis:

    Tabela 11 Perfis IPE

    Todos estes perfis verificam, para j a segurana, vamos no entanto prosseguir apenas com o

    IPE300 e o IPE360. Considerando os mesmos pontos desfavorecidos, caractersticas das seces

    (ver Fig. 16 e Fig. 15), fez-se a verificao da segurana da estrutura.

    4.5.2 | Verificao da segurana

    Tabela 12 Tenses mximas

    E finalmente as tenses de referncia (para o ponto B, pois o mais desfavorvel).

    Tabela 13 Tenses de referncia

  • Trabalho Prtico Resistncia de Materiais II 2012/2013

    29

    (Regra prtica)

    Nesta viga, o perfil mais indicado o IPE300, pois verifica a segurana (tenso de referncia

    menor que a tenso de cedncia), e por uma questo de uniformizao podemos agora dizer

    que na viga anterior a escolha tambm ser um IPE300 (em detrimento do IPE240).

    Perfil escolhido para o pilar BE: IPE300

    Perfil escolhido para o pilar CF: IPE300

  • Trabalho Prtico Resistncia de Materiais II 2012/2013

    30

    Captulo Cinco

    5 | Concluses

    As concluses que se retiram deste trabalho podem ser explanadas em alguns pontos:

    Devero ser verificados vrios pontos intermdios aos pontos de localizao das tenses

    mximas, pois a combinao de tenses pode provocar uma tenso total superior s

    mximas de forma individualizada.

    Aps o dimensionamento, talvez fosse necessrio refazer os diagramas de esforos, mas

    agora com as caractersticas dos perfis escolhidos e verificar se realmente h necessidade

    de manter os mesmos perfis (uma vez que iro haver mudanas nos esforos devido s

    alteraes da geometria/propriedades dos perfis).

    O mtodo da regra prtica funcionou em todas as ocasies, embora, neste caso de forma

    conservativa aumentando sempre um escalo srie do perfil.