RESOLUÇÃO COMENTADA DA PROVA DE MATEMÁTICA … · RESOLUÇÃO COMENTADA DA PROVA DE MATEMÁTICA ENEM-2016 Equipe de bolsistas que participaram da resolução da prova: • Caio

Universidade Federal de Campina Grande

Centro de Ciências e Tecnologia

Unidade Acadêmica de Matemática

Programa de Educação Tutorial

Tutor: Prof. Dr. Daniel Cordeiro de Morais Filho

RESOLUÇÃO COMENTADA DA PROVA DE

MATEMÁTICA ENEM-2016

Equipe de bolsistas que participaram da resolução da prova:

• Caio Antony Gomes de Matos Andrade

• Fábio Lima de Oliveira

• Ismael Sandro da Silva

• José Marcos Herculano Macedo

• Leticia Dornellas Dias

• Lucas da Silva

• Lucas Hariel Cavalcanti de Oliveira

• Lucas Siebra Rocha

• Luciana Alves dos Santos

• Luis Filipe Ramos Campos da Silva

• Otacilia Meira de Freitas Neta

• Rodrigo Marques Faustino da Silva

Grupo PET-Matemática UFCG http://www.dme.ufcg.edu.br/pet/

2

APRESENTAÇÃO

Campina Grande, 03 de novembro de 2017

Mais uma vez o Grupo PET-Matemática-UFCG oferece aos alunos, professores e demais

interessados, a resolução da prova de Matemática do ENEM do ano passado, de 2016. As questões

foram resolvidas por nossos petianos, sob minha supervisão.

Continuamos seguindo o mesmo princípio: não nos interessa exibir resoluções geniais e

imediatas, “macetes” que, porventura, possam dirimir a importância do estudo sério e da verdadeira

aprendizagem. Interessa-nos, sim, contribuir com seriedade na formação dos alunos que farão essa

prova, mostrando as soluções mais naturais, que um aluno poderia dar ao resolver as questões, sem

esquecer - sem dúvidas - de oferecer algumas dicas que um olhar mais perspicaz e mais treinado

pode perceber.

Há muito de pessoal na resolução de cada questão, inerente de cada integrante do Grupo

que a resolveu, por isso o autor de cada resolução é citado ao enunciar a resolução da questão.

Respeitamos a maneira pessoal de cada um e as opiniões pessoais sobre a prova, até mesmo

opiniões que, em raros momentos, contradizem as nossas. Parabenizamos nossos petianos por mais

essa realização.

Leitores, esperamos que aproveitem, e, não é demais repetir o que já se conhece: não há

sucesso sem estudo dedicado e honesto, e isso toma tempo.

Dedique-se. Boa leitura e esperamos contribuir para que façam uma boa prova de

Matemática do ENEM 2017!

Prof. Daniel Cordeiro de Morais Filho

Tutor Grupo PET-Matemática-UFCG


3

Questão 136

Comentários e resolução feito por José Marcos_____________________________

Uma cisterna de 6 000 L foi esvaziada em um período de 3 h. Na primeira hora foi utilizada

apenas uma bomba, mas nas duas horas seguintes, afim de reduzir o tempo de

esvaziamento, outra bomba foi ligada junto com a primeira. O gráfico, formado por dois

segmentos de reta, mostra o volume de água presente na cisterna, em função do tempo.

Qual é a vazão, em litro por hora, da bomba que foi ligada no início da segunda hora?

A)1 000

B)1 250

C)1 500

D)2 000

E)2 500

• Resolução

Sejam 𝑏1, 𝑏2, a primeira e a segunda bomba, respectivamente. Em uma hora com 𝑏1 ligada,

esvazia 1000 𝐿, ou seja,

𝑏1 =1000

1 = 1000 𝐿

ℎ⁄ . (I)

E em duas horas com 𝑏1 e 𝑏2 ligadas, esvazia 5000 𝐿, com isso,

𝑏1 + 𝑏2 =5000

2 = 2500 𝐿

ℎ⁄ . (II)

Substituindo (I) em (II), temos

1000 + 𝑏2 = 2500 ⇒ 𝑏2 = 1500 𝐿ℎ⁄


4

• Resposta: Alternativa (C)

• Comentários:

A questão está bem escrita, no entanto, não é uma questão que aborda os conteúdos do

Ensino Médio. A questão requer do aluno a interpretação do gráfico. Quanto a resolução da

questão, é preciso tomar cuidado, pois os alunos têm que ler o enunciado com atenção, “nas

duas horas seguintes foram ligadas as duas bombas ao mesmo tempo”, por desatenção os

alunos podem pensar ou ler a questão como se uma única bomba estivesse ligada nas

últimas 2 horas antes do esvaziamento. Por isso, é preciso estar atento à interpretação da

questão.

Tópicos específicos abordados na questão:

Grandezas geométricas.

• Nível da questão: Fácil.

Questão 137

Comentários e resolução feito por Luciana Alves______________________________

O procedimento de perda rápida de “peso” é comum entre os atletas dos esportes de

combates. Para participar de um torneio, quatro atletas da categoria até 66 kg, Peso-Pena,

foram submetidos e dietas balanceadas e atividades físicas. Realizaram três “pesagens”

antes do início do torneio. Pelo regulamento do torneio, a primeira luta deverá ocorrer entre

o atleta mais regular e o menos regular quanto aos “pesos”. As informações com base nas

pesagens dos atletas estão no quadro.

Atle

tas

1ª

Pe

sa

ge

m

(kg)

2ª

Pe

sa

ge

m

(kg)

3ª

Pe

sa

ge

m

(kg)

Mé

dia

Me

dia

n

a

Desvio

pa

drã

o

I 78 72 66 72 72 4,90

II 83 65 65 71 65 8,49

III 75 70 65 70 70 4,08

IV 80 77 62 73 77 7,87

Após as três “pesagens”, os organizadores do torneio informaram aos atletas quais deles

se enfrentariam na primeira luta. A primeira luta foi entre os atletas


5

a) I e III. b) I e IV. c) II e III. d) II e IV. e) III e IV.

• Resolução:

Para sabermos qual o atleta mais regular e o menos regular na categoria até 66 kg basta analisarmos os valores do desvio padrão já informado na tabela dada. Pois um baixo desvio padrão indica que os pontos dos dados tendem a estar próximos da média ou do valor esperado. Um alto desvio padrão indica que os pontos dos dados estão espalhados ou distantes dos valores esperado. Assim, podemos concluir que dos participantes submetidos ao procedimento de perda rápida, foram classificados para se enfrentarem na primeira luta, o atleta II como sendo o menos regular, cujo desvio é maio, e o atleta III o mais regular, cujo desvio é menor.


• Comentários:

Essa é uma questão “boa”, pois, se o candidato for atencioso, perceberá de imediato que ele só precisa saber e entender o conceito de “desvio padrão”. E assim, o aluno ganha um tempo extra para resolver as questões que é necessário uma dedicação maior para encontrar a solução.

• Tópicos específicos abordados na questão:

Estatística.


Questão 138

Comentários e resolução feito por Lucas Siebra_______________________________

De forma geral, os pneus radiais trazem em sua lateral uma marcação do tipo abc/deRfg, como 185/65R15. Essa marcação identifica as medidas do pneu da seguinte forma:

• abc é a medida da largura do pneu, em milímetro;

• de é igual ao produto de 100 pela razão entre a medida da altura (em milímetro) e a medida da largura do pneu (em milímetro);

• R significa radial;

• fg é a medida do diâmetro interno do pneu, em polegada. A figura ilustra as varáveis relacionadas com esses dados.


6

O proprietário de um veículo precisa trocar os pneus de seu carro e, ao chegar a uma loja,

é informado por um vendedor que há somente pneus, com os seguintes códigos: 175/65R15, 175/75R15, 175/80R15, 185/60R15 e 205/55R15. Analisando, juntamente com o vendedor, as opções de pneus disponíveis, concluem que o pneu mais adequado para seu veículo é o que tem menor altura.

Desta forma, o proprietário do veículo deverá comprar o pneu com a marcação: A) 175/65R15 B) 175/75R15 C) 175/80R15 D) 185/60R15 E) 205/55R15

• Resolução:

Sabendo que o proprietário do veículo irá comprar o pneu de menor altura, devemos analisar o de da marcação, que é dado por

𝑑𝑒 = 100 ∙ℎ

𝑙,

com ℎ sendo a altura e 𝑙 a largura do pneu. Daí, para cada uma das opções teremos:

A) 𝑑𝑒 = 55 = 100 ∙ℎ

205;

B) 𝑑𝑒 = 65 = 100 ∙ℎ

175;

C) 𝑑𝑒 = 75 = 100 ∙ℎ

175;

D) 𝑑𝑒 = 80 = 100 ∙ℎ

175;

E) 𝑑𝑒 = 60 = 100 ∙ℎ

185.

Ou seja,

A) ℎ = 55 ∙205

100;

B) ℎ = 65 ∙175

100;

C) ℎ = 75 ∙175

100;

D) ℎ = 80 ∙175

100;

E) ℎ = 60 ∙185

100.


7

Já que queremos a menor altura, vejamos que podemos eliminar as alternativas C) e D), pois

65 ∙175

100< 75 ∙

175

100< 80 ∙

175

100.

Resta-nos verificar dentre as alternativas A), B) e E) qual delas possui a menor altura

ℎ:

A) ℎ = 55 ∙205

100; B) ℎ = 65 ∙

175

100; E) ℎ = 60 ∙

185

100.

Como o denominador 100 é comum a todas alternativas, basta realizarmos as

multiplicações para obtermos: A) ℎ = 11.275; B) ℎ = 11.375; E) ℎ = 11.100. Assim, o proprietário deverá comprar o pneu com a marcação indicada na letra E). Resposta: Alternativa (E)

• Comentário: Apesar de ser uma questão simples, ela demanda cálculos laboriosos e requer atenção

com cada elemento da marcação indicada. Por isso, deve-se sempre buscar a melhor

maneira de analisar as possíveis respostas e assim, notar quais alternativas “fazem mais

sentido” e quais podem ser eliminadas, assim, como eliminamos as alternativas (C) e (D).

• Tópicos específicos abordados na questão: Cálculos Aritméticos.


Questão 139

Comentários e resolução feito por Ismael Sandro______________________________

A figura representa o globo terrestre e nela estão marcados os pontos A, B e C. Os pontos A e B estão localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo meridiano. É traçado um caminho do ponto A até C, pela superfície do globo, passando por B, de forma que o trecho de A até B se dê sobre o paralelo que passa por A e B e, o trecho de B até C se dê sobre o meridiano que passa por B e C. Considere que o plano 𝛼 é paralelo à linha do equador na figura


8

A projeção ortogonal, no plano 𝛼, do caminho traçado no globo pode ser representada por

a) b) c) d) e) Resolução: Por projeção ortogonal, entende-se a figura que obteremos no plano 𝛼 quando baixarmos

a perpendicular ao plano contendo o caminho.


9

Intuitivamente, pode-se entender a projeção ortogonal de um objeto em um plano como a penumbra projetada por um feixe de raios luminosos que estejam sobre o referido objeto. No caso do caminho viríamos algo similar a

• Resposta: Alternativa (E)

• Comentário:

A questão não demanda grandes dificuldades técnicas para sua resolução, podendo ser

resolvida sob uma perspectiva mais intuitiva. Talvez a dificuldade dessa questão se

estabeleça em virtude de que o conceito de projeções ortogonais seja pouco explorado no

Ensino Médio. O enunciado da questão é claro e não apresenta erros.


Geometria; Projeção Ortogonal.


Questão 140

Comentários e resolução feito por Luis Filipe__________________________________

Diante da hipótese do comprometimento da qualidade da água retirada do volume morto

de alguns sistemas hídricos, os técnicos de um laboratório decidiram testar cinco tipos de

filtros de água.

Dentre esses, os quatro com melhor desempenho serão escolhidos para futura

comercialização.

Nos testes, foram medidas as massas de agentes contaminantes, em miligrama, que não

são capturados por cada filtro em diferentes períodos, em dia, como segue:

- Filtro 1 (F1): 18 mg em 6 dias;




- Filtro 5 (F5): 3 mg em 2 dias.


10

Ao final, descarta-se o filtro com a maior razão entre a medida da massa de contaminantes

não capturados e o número de dias, o que corresponde ao de pior desempenho.

O filtro descartado é o

a) F1.

b) F2.

c) F3.

d) F4.

e) F5.

• Resolução:

Vamos encontrar a razão (divisão) entre as medidas das massas de contaminantes não

capturados e o número de dias, para todos os filtros mencionados na questão. Assim, temos:

- Razão (F1): 18

6= 3.

- Razão (F2): 15

3= 5.

- Razão (F3): 18

4=

9

2= 4,5.

- Razão (F4): 6

3= 2.

- Razão (F5): 3

2= 1,5.

Comparando essas razões, concluímos que a maior razão entre elas é a Razão (F2).

Logo, o filtro com o pior desempenho e que deve ser descartado é o Filtro 2 (F2).

• Resposta: alternativa (b)

• Comentários:

A questão segue o estilo de questões do ENEM, pois trata de uma situação real, não

apresenta erros em sua elaboração, mas infelizmente não traz assuntos específicos do

Ensino Médio e isso é ruim, uma vez que é uma prova voltada ao ensino médio


Razão e Proporção


Questão 141

Comentários e resolução feito por Ismael Sandro______________________________

Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por


11

sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e 𝐸0 uma constante real positiva.

Considere que 𝐸1 e 𝐸2 representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente.

a) 𝐸1 = 𝐸2 + 2

b) 𝐸1 = 102 ∙ 𝐸2 c) 𝐸1 = 103 ∙ 𝐸2

d) 𝐸1 = 109

7 ∙ 𝐸2

e) 𝐸1 = (9

7) ∙ 𝐸2

Resolução: Inicialmente temos

(𝐼) 9,0 =2

3log (

𝐸1

𝐸0) ⇒ 27 = 2log (

𝐸1

𝐸0)

e

(𝐼𝐼) 7,0 =2

3log (

𝐸2

𝐸0) ⇒ 21 = 2log (

𝐸2

𝐸0)

Uma propriedade de logaritmos assegura que log (𝑥

𝑦) = log(𝑥) − log (𝑦). Usando esta

propriedade em (𝐼) e (𝐼𝐼) e depois fazendo (𝐼) − (𝐼𝐼) obtemos:

27 − 21 = [2 log(𝐸1) − 2 log(𝐸0)] − [2 log(𝐸2) − 2 log(𝐸0)] ⇒

⇒ 6 = 2(log(𝐸1) − log(𝐸2)) = 2log (𝐸1

𝐸2) ⇒

⇒ 3 = log (𝐸1

𝐸2) ⇒ 103 =

𝐸1

𝐸2⇒ 103𝐸2 = 𝐸1.

Neste último passo utilizamos a definição de logaritmo de um número, a saber:

log𝑏 𝑎 = 𝑥 ⟺ 𝑎 = 𝑏𝑥.

Lembremos também que quando o “b” na última definição acima é omitido significa que

ele é igual a 10, que o caso da questão.


• Comentário:

A questão demanda, em geral, somente conhecimentos de propriedades básicas dos

logaritmos, podendo ser essa a maior dificuldade da questão. Diante disso, é importante que


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se tenha uma noção básica, ao menos, desse conceito. Um aspecto que vale mencionar é

o de que a questão deixa implícito que a variável 𝑀 da equação apresentada na questão

representa a magnitude de um terremoto na escala Richter. Apesar de ser bastante intuitivo,

é sempre pertinente registrar o que representa cada variável.


Logaritmos.

• Nível da questão: Médio.

Questão 142

Comentários e resolução feito por José Marcos_________________________________

Um paciente necessita de reidratação endovenosa feita por meio de cinco frascos de soro

durante 24ℎ. Cada frasco tem um volume de 800 𝑚𝐿 de soro. Nas primeiras quatro horas,

deverá receber 40% do total a ser aplicado. Cada mililitro de soro corresponde a 12 gotas.

O número de gotas por minuto que o paciente deverá receber após as quatro primeiras

horas será

a)16

b)20

c)24

d)34

e)40

• Resolução

Primeiro, iremos separar os dados do

enunciado:

5 frascos de soro durante 24 ℎ,

1 frasco de soro é igual à 800 𝑚𝐿 de soro,

nas 4 primeiras horas recebe 40% do total.

1 𝑚𝐿 = 12 gotas.

Vejamos que, como 1 frasco possui 800 𝑚𝐿 , então 5 frascos possui 5 𝑥 800 = 4000 𝑚𝐿 de

soro, além disso, nas primeiras 4 horas ele recebeu 40% do total, ou seja,

40% de 4000 = 0,4 x 4000 = 1600 mL. Com isso, ainda falta o paciente receber

60% de 4000 = 0,6 x 4000 = 2400 mL.

Queremos mostrar o número de gotas por minutos das últimas 20 ℎ que o paciente deverá

tomar o remédio. Para isso, precisamos converter as 20 ℎ em 𝑚𝑖𝑛 e converter 2400mL em

𝑔𝑜𝑡𝑎𝑠, com isso, temos:

2400 𝑥 12

20 𝑥 60 =

24 𝑥 12

2 𝑥 6= 24

𝑔𝑜𝑡𝑎𝑠𝑚𝑖𝑛⁄ . (𝐼)

• Resposta: Alternativa (D)

Dica PET- Matemática -

UFCG

Não faça as multiplicações logo

de início, tente simplificar as

frações para facilitar na hora da

resolução, observe em (𝐼).


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• Comentários:

É uma questão contextualizada e fácil de ser resolvida. Contudo o ENEM é um exame que

avalia os alunos do ensino médio, e essa questão não aborda os conteúdos do ensino médio.

É preciso nesse tipo de questão identificar e separar as informações dadas no enunciado

para facilitar na hora da resolução.


Porcentagem, transformação de medidas.


Questão 143

Comentários e resolução feito por Leticia Dornellas______________________________

É comum os artistas plásticos se apropriarem de entes matemáticos para produzirem, por

exemplo, formas e imagens por meio de manipulações. Um artista plástico, em uma de suas

obras, pretende retratar os diversos polígonos obtidos pelas intersecções de um plano com

uma pirâmide regular de base quadrada.

Segundo a classificação dos polígonos, quais são possíveis de serem obtidos pelo artista

plástico?

A) Quadrados, apenas.

B) Triângulos e quadrados, apenas.

C) Triângulos, quadrados e trapézios, apenas.

D) Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros irregulares, apenas.

E) Triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos, apenas.

• Resolução:

Para resolver a questão, precisaremos escolher um ponto de referência, para que

possamos traçar os planos e facilitar as visualizações. O ponto de referência escolhido é a

base da pirâmide, neste caso podemos ter planos paralelos, perpendiculares ou oblíquos a

base.

Se o plano for paralelo à base, iremos obter quadrados, como segue a imagem:


14

Se o plano for perpendicular à base, iremos obter triângulos e trapézios, como podemos

ver:

Se o plano for oblíquo a base, poderemos obter triângulos, quadriláteros irregulares e

pentágonos. Por exemplo:

Resposta: Alternativa (E)

• Comentários:

A questão é interessante, pois é bem contextualizada e mostra que a matemática também

está presente nas artes. A questão é fácil, porém requer que os alunos possuam uma boa

visão geométrica, para que possam imaginar os planos intersectando a pirâmide.

• Tópicos específicos abordados na questão

Geometria Plana e Espacial.



15

Questão 144

Comentários e resolução feito por Fábio Lima_________________________________

Um reservatório é abastecido com água por uma torneira e um ralo faz a drenagem da

água desse reservatório. Os gráficos representam as vazões Q, em litro por minuto, do

volume de água que entra no reservatório pela torneira e do volume que sai pelo ralo, em

função do tempo t, em minuto.

Em qual intervalo de tempo, em minuto, o reservatório tem uma vazão constante de

enchimento?

a) De 0 a 10

b) De 5 a 10

c) De 5 a 15

d) De 15 a 25

e) De 0 a 25

• Resolução:

O reservatório terá uma vazão constante de enchimento, no intervalo de tempo onde a

vazão da torneira e a vazão do ralo forem simultaneamente constantes e a vazão da torneira

for maior que a do ralo. Marquemos nos gráficos onde essas funções (Torneira e Ralo) são

constantes, ou seja, onde graficamente elas estão paralelas ao eixo x, que nesse caso,

representa o tempo em minutos, e dessa forma elas não apresentam variação com relação

ao eixo y, aqui representado pela vazão em litros por minuto.


16

Assim, pelos gráficos, podemos perceber que o reservatório tem uma vazão constante de

enchimento no intervalo de 5 a 10 minutos.

• Resposta: Alternativa (B)

• Comentários:

Essa é uma boa questão, pois não apresenta informações confusas e possui uma

contextualização interessante, sem a utilização de dados excessivos. Dessa forma, o aluno

pode ganhar tempo na hora de sua resolução. Embora o assunto trabalhado na questão seja

função, ela pode facilmente ser resolvida sem que o aluno lembre de todo o conteúdo em si,

por meio da interpretação do gráfico.


Função, Interpretação de gráficos.

• Nível da questão: Fácil

Intervalos onde

as funções são

constantes


17

Questão 145

Comentários e resolução feito por Lucas da Silva______________________________

O LIRAa, Levantamento Rápido do Índice de Infestação por Aedes aegypti, consiste num

mapeamento da infestação do mosquito Aedes aegypti. O LIRAa é dado pelo percentual do

número de imóveis com focos do mosquito, entre os escolhidos de uma região em avaliação.

O serviço de vigilância sanitária de um município, no mês de outubro do ano corrente,

analisou o LIRAa de cinco bairros que apresentaram o maior índice de infestação no ano

anterior. Os dados obtidos para cada bairro foram:

I. 14 imóveis com focos de mosquito em 400 imóveis no bairro;

II. 6 imóveis com focos de mosquito em 500 imóveis no bairro;

III. 13 imóveis com focos de mosquito em 520 imóveis no bairro;

IV. 9 imóveis com focos de mosquito em 360 imóveis no bairro;

IV. 15 imóveis com focos de mosquito em 500 imóveis no bairro.

O setor de dedetização do município definiu que o direcionamento das ações de controle

pelo bairro que apresentou o maior índice do LIRAa.

As ações de controle iniciarão pelo bairro

a) I.

b) II.

c) III.

d) IV.

e) V.

• Resolução

O nosso problema se resume em encontrar a maior razão de imóveis com focos de

mosquito nos bairros I, II, III, IV e V. Inicialmente, façamos algumas comparações.

Observe que 15

500>

6

500 ·, pois, 15 > 6. Como 520 > 500, é sabido que

1

500>

1

520.

Multiplicando a última desigualdade por 13 em ambos os lados, obtemos 13

500>

13

520. Ora,

sabe-se que 15 > 13, dividindo por 500 em ambos os lados tem-se 15

500>

13

500.

A partir de agora, vamos fazer algumas simplificações e comparações. Veja que


18

15

500=

5 ∙ 3

5 ∙ 100=

3

100=

2 ∙ 3

2 ∙ 100=

6

200 ,

14

400=

2 ∙ 7

2 ∙ 200=

7

200

e

9

360=

1

40=

5 ∙ 1

5 ∙ 40=

5

200 .

Como,

5

200 <

6

200 <

7

200 ,

então,

9

360 <

15

500 <

14

400 .

Ademais, sabendo que

15

500>

13

500

e

15

500>

6

500 ,

temos,

14

400>

15

500>

13

500

ou seja,

14

400>

15

500>

6

500 .

Portanto, pode-se observar que os direcionamentos das ações de controle iniciarão pelo

bairro I, pois foi o que apresentou a maior razão.

Resposta: Alternativa (A).

• Comentário:

A questão é simples, pois apenas exige que o aluno saiba simplificar e comparar

frações. Porém, como o Enem é um exame que avalia alunos do ensino médio ao invés

de optar por problemas como o apresentado, deveria optar por questões que abordem

conteúdos específicos do ensino médio.


19

•Tópicos específicos abordados na questão:

Razão

•Nível da questão: Fácil.

Questão 146

Comentários e resolução feito por Lucas Hariel_________________________________

Um dos grandes desafios do Brasil é o gerenciamento dos seus recursos naturais,

sobretudo os recursos hídricos. Existe uma demanda crescente por água e o risco de

racionamento não pode ser descartado. O nível de água de um reservatório foi monitorado

por um período, sendo o resultado mostrado no gráfico. Suponha que essa tendência linear

observada no monitoramento se prolongue pelos próximos meses.

Nas condições dadas, qual o tempo mínimo, após o sexto mês, para que o reservatório

atinja o nível zero de sua capacidade?

Dica PET- Matemática - UFCG

Você pode aplicar os dados da

questão na fórmula que define uma

função afim, 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃, e, a partir

daí, resolver um sistema para

descobrir os valores de 𝒂 e de 𝒃.


20

• Resolução:

Consideremos 𝑓 a função que relaciona a porcentagem do nível do reservatório aos

meses do ano. Observe que o gráfico é de uma função afim. Logo, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. No gráfico,

percebe-se que, no primeiro mês, a capacidade era de 30% e, no sexto mês, era de 10%.

Logo, 𝑓(1) = 30 e 𝑓(6) = 10. A partir desses dados, podemos calcular o valor de 𝑎. Sendo

assim:

𝑓(6)−𝑓(1)

6−1=

10−30

5= −

20

5= −4.

Agora, calculemos o valor de 𝑏. Como 𝑓(1) = 30, tem-se:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⇒ 𝑓(1) = −4 ∙ 1 + 𝑏 ⇒ 𝑓(1) = −4 ∙ 1 + 𝑏 ⇒ 30 = −4 ∙ 1 + 𝑏 ⇒ 𝑏 = 34.

Logo, 𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 34 (I). Como queremos calcular o tempo mínimo, após o sexto mês,

para que o reservatório atinja o nível zero de sua capacidade, consideremos 𝒇(𝒙) = 𝟎. Logo,

substituindo em (I), tem-se:

−4𝑥 + 34 = 0 ⇒ 𝑥 =34

8=

17

4= 8,5 ⇒ 𝑥 = 8 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑒 𝑚𝑒𝑖𝑜.

Porém, queremos o período necessário a partir do sexto mês para que o reservatório

atinja o nível zero. Então:

8,5 − 6 = 2,5


21

Portanto, o tempo mínimo, após o sexto mês para que o reservatório atinja o nível zero é

de 𝟐 meses e meio.

• Resposta: Alternativa (A)

• Comentário:

Apesar de dificilmente o nível de água de um reservatório obedecer a uma tendência

linear ao longo dos meses, a questão é interessante e bem contextualizada por tratar do

racionamento de água no Brasil.


Função afim.

• Nível da questão: médio.

Questão 147


Um posto de saúde registrou a quantidade de vacinas aplicadas contra febre amarela nos últimos cinco meses:

o 1° mês: 21; o 2° mês: 22; o 3° mês: 25; o 4° mês: 31; o 5° mês: 21.

No início do primeiro mês, esse posto de saúde tinha 228 vacinas contra febre amarela em estoque. A política de reposição do estoque prevê a aquisição de novas vacinas, no início do sexto mês, de tal forma que a quantidade inicial em estoque para os próximos meses seja igual a 12 vezes a média das quantidades mensais dessas vacinas aplicadas nos últimos cinco meses.

Para atender essas condições, a quantidade de vacinas contra febre amarela que o posto

de saúde deve adquirir no início do sexto mês é A) 156. B) 180. C) 192. D) 264. E) 288.

• Resolução: Primeiramente, calculemos a média dos 5 primeiros meses:

21 + 22 + 25 + 31 + 21

5=

120

5= 24.


22

Já que a quantidade em estoque deve ser igual a média dos últimos 5 meses vezes 12, obtemos

24 ∙ 12 = 2 ∙ 12 ∙ 12 = 2 ∙ 144 = 288. Ora, no início do primeiro mês esse posto possuía 228 vacinas e foram gastas 120 durante

os 5 meses subsequentes. Logo, restaram 228 − 120 = 108.

Assim, como encontramos que se deve ter 288 vacinas em estoque, o posto de saúde deve adquirir

288 − 108 = 180 novas vacinas.


• Comentário:

A questão, aparentemente simples, requer bastante atenção pois dentre as alternativas há a opção de se marcar 288 (valor que deve estar em estoque no início do sexto mês), o que pode levar o aluno ao erro. Portanto, é necessário sempre redobrar a atenção ao que é pedido.

• Tópicos específicos abordados na questão: Média aritmética.


Questão 148

Comentários e resolução feito por Leticia Dornellas_____________________________

Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3000 ºC e diminui 1% de sua

temperatura a cada 30 min.

Use 0,477 como aproximação para log10 3 e 1,041 como aproximação para log10 11.

O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 ºC é mais próximo de

A) 22.

B) 50.

C) 100.

D) 200.

E) 400.


23

• Resolução

Como a temperatura reduzirá 1% (reduzi 1% equivale a calcular 99%) a cada

30 min, e queremos encontrar o tempo corrido quando a temperatura for igual a

30 ºC, vejamos o que irá ocorrer a cada 30 min.

Assim teremos a seguinte Progressão Geométrica, quando 𝑛-ésimo termo for

igual 30.

3000 ⋅ (99

100)

𝑛

= 30

Daí

⇒ (99

100)

𝑛

=30

3000 =

1

100

⇒ log10 (99

100)

𝑛

= log10

1

100

⇒ 𝑛 ∙ log10 (99

100) = log10

1

100

⇒ 𝑛 ∙ log10 99 − log10 100 = log10 1 − log10 100

⇒ 𝑛 ∙ log10 99 − 2 = − 2

⇒ 𝑛 = −2

log10 99 − 2

⇒ 𝑛 = −2

log10 99 − 2=

−2

log10 11.3.3 − 2

⇒ 𝑛 =−2

log10 11 + log10 3 + log10 3 − 2

⇒ 𝑛 =−2

0,477 + 1,041 + 1,041 − 2

⇒ 𝑛 =−2

−0,005= 400.

Dica PET-

Matemática UFCG

Vale lembrar que

a função

logarítmica é a

inversa da função

exponencial, como

queremos

encontrar o valor

de 𝑛, iremos

“aplicar” o

logaritmo em

ambos os lados da

equação.


24

Somos levados a marcar a letra E, mas devemos lembrar que 𝑛 é o número de ciclos de 30

min, e como a questão pede em horas, vale lembrar que 1ℎ = 60 min = 2 ∙ 30 min, como

temos 400 ciclos de 30 min, temos 200 horas.


• Comentários:

A questão é contextualizada, apresenta um nível de dificuldade alto, pois o aluno deverá

perceber que se trata de uma Progressão Geométrica. Além disso, terá que lembrar que a

função logarítmica é a inversa da função exponencial, e ainda saber quando aplicar o

logaritmo, e isso tudo deve ser feito em um curto período de tempo.

• Tópicos específicos abordados na Questão:

Progressões Geométricas e Logaritmos.

• Nível da questão: Difícil

Questão 149

Comentários e resolução feito por Caio Antony________________________________

Um petroleiro possui reservatório em formato de um paralelepípedo retangular com as

dimensões dadas por 60 m x 10 m de base e 10 m de altura. Com o objetivo de minimizar o

impacto ambiental de um eventual vazamento, esse reservatório é subdividido em três

compartimentos, A, B e C, de mesmo volume, por duas placas de aço retangulares com

dimensões de 7 m de altura e 10 m de base, de modo que os compartimentos são

interligados, do reservatório, apenas uma parte de sua carga vazará.

Suponha que ocorra um desastre quando o petroleiro se encontra com sua carga máxima:

ele sofre um acidente que ocasiona um furo no fundo do compartimento C.

Para fins de cálculo, considere desprezíveis as espessuras das placas divisórias.


25

Após o vazamento, o volume de petróleo derramado terá sido de:

A) 1,4 × 103 𝑚3

B) 1,8 × 103 𝑚3

C) 2,0 × 103 𝑚3

D) 3,2 × 103 𝑚3

E) 6,0 × 103 𝑚3

• Resolução:

Primeiramente a compreensão do que aconteceria se, de fato, houvesse um furo no fundo

do compartimento C. Após o vazamento, todo o petróleo do compartimento C e da região

acima dos compartimentos vazaria, mas não vazaria o petróleo nos compartimentos A e B.

As figuras 1 e 2 mostram, respectivamente, como ficaria o reservatório antes e depois do

vazamento: (Onde o petróleo é identificado pela região azul.)

Figura 1.

Figura 2.


26

Uma vez compreendido o problema, nos resta fazer os cálculos. Calculemos então o

volume dos sólidos, para então soma-los:

Figura 3.

Figura 4.

Como ambos os sólidos são prismas, vamos calcular seus volumes por:

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 × 𝐿𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 × 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

Assim, obtemos:

𝑉1 = 60 × 10 × 3 𝑚

𝑉2 = 20 × 10 × 7 𝑚

De onde o volume total de petróleo derramado é de:

𝑉𝑇 = 60 × 10 × 3 + 20 × 10 × 7 = (60 × 3 + 20 × 7) × 10

= (180 + 140) × 10 = (320) × 10 = 3,2 × 103 𝑚3

Portanto, a alternativa correta é a alternativa (D)

Resposta: Alternativa (D)

DICA PET-MATEMÁTICA-

UFCG:

Não faça as multiplicações

até que elas sejam

necessárias. Muitas vezes,

você pode colocar fatores

em evidência ou

simplificar!


27

• Comentários:

A questão é simples, pede uma compreensão básica de geometria espacial (calcular

volume de prismas). Os pontos mais importantes para a resolução do problema é o bom

senso. Após uma pesquisa, o autor desse comentário não conseguiu encontrar nada que

apontasse que petróleo realmente seja armazenado dessa forma, e portanto, o mesmo não

pode comentar sobre se a contextualização é válida ou não.

• Tópicos específicos abordados na questão

Geometria Espacial.


Questão 150

Comentários e resolução feito por Otacilia Meira________________________________

O setor de recursos humanos de uma empresa pretende fazer contratações para adequar-se ao artigo 93 da Lei no. 8.213/91, que dispõe:

Art. 93. A empresa com 100 (cem) ou mais empregados está obrigada a preencher de 2% (dois por cento) a 5% (cinco por cento) dos seus cargos com beneficiários reabilitados ou pessoas com deficiência, habilitadas, na seguinte proporção:

I. Até 200 empregados. . . . . . . . . . . . . . . . .2%;

II. De 201 a 500 empregados. . . . . . . . . . . . 3%; III. De 501 a 1 000 empregados . . . . . . . . . . 4%; IV. De 1 001 em diante . . . . . . . . . . . . . . . . . 5%

Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 3 fev. 2015

Constatou-se que a empresa possui 1 200 funcionários, dos quais 10 são reabilitados ou

com deficiência, habilitados.

Para adequar-se à referida lei, a empresa contratará apenas empregados que atendem

ao perfil indicado no artigo 93.

O número mínimo de empregados reabilitados ou com deficiência, habilitados, que deverá

ser contratado pela empresa é

a) 74

b) 70

c) 64

d) 60

e) 53

• Resolução

Como a empresa tem 1200 funcionários, então, segundo a Lei, a empresa deve preencher

5% de seus cargos com beneficiários reabilitados ou com deficiência.


28

A empresa já dispõe de 10 beneficiários. Considere 𝑥 o número de empregados que a empresa deve contratar para cumprir com a Lei.

Obs: Devemos calcular os 5% em cima do valor total de funcionários, ou seja, o número

que a empresa já tinha mais o número que ela contratou!

Desta forma, temos


• Comentário:

É uma questão interessante, pois apresenta um contexto verdadeiro e isto é bom, pois

mostra a Matemática em diferentes contextos. Além disto, o texto é claro e que não permite

uma interpretação ambígua.


Porcentagem e equação do primeiro grau.

• Nível da Questão: Fácil.

Questão 151


Uma pessoa comercializa picolés. No segundo dia de certo evento ela comprou 4 caixas

de picolés, pagando 𝑅$ 16,00 a caixa com 20 picolés para revende-los no evento. No dia

anterior, ela havia comprado a mesma quantidade de picolés, pagando a mesma quantia, e


Devido às alternativas dadas na questão, temos duas dicas que pode facilitar no cálculo ou até mesmo chegar mais rápido na resposta certa.

1ª. Note que 1000

20= 50,

valor próximo à resposta certa que é 53.

2ª. Se quisermos efetuar a divisão no método da chama, veremos que o primeiro número do quociente será 5 e como a única alternativa que começa com 5 é 53, logo a resposta certa é a letra (E).


29

obtendo um lucro de 𝑅$ 40,00 (obtido exclusivamente pela diferença entre o valor da venda

e o de compra dos picolés) com a venda de todos os picolés que possuía.

Pesquisando o perfil do público que estará presente no evento, a pessoa avalia que será

possível obter um lucro 20% maior do que o obtido com a venda no primeiro dia do evento.

Para atingir seu objetivo, e supondo que todos os picolés disponíveis foram vendidos no

segundo dia, o valor de venda de cada picolé, no segundo dia, deve ser

a) 𝑅$ 0,96.

b) 𝑅$ 1,00.

c) 𝑅$ 1,40.

d) 𝑅$ 1,50.

e) 𝑅$ 1,56.

• Resolução:

Sabendo que o lucro da venda de sorvetes no primeiro dia foi de 𝑅$ 40,00 e que o objetivo

de lucro no segundo dia era de 20% a mais, temos

R$ 40,00 ⋅20

100= 𝑅$ 8,00.

Assim, o lucro a ser obtido no segundo dia é de

𝑅$ 48,00.

O valor gasto na compra de picolés é obtido através do produto do número de caixas pelo

preço de cada caixa, daí

𝑅$ 16,00 ⋅ 4 = R$ 64,00.

Somando o lucro a ser obtido no segundo dia e o valor gasto na compra das caixas de

picolé, encontramos o valor de todo o dinheiro a ser conseguido no segundo dia, ou seja,

𝑅$ 48,00 + 𝑅$ 64,00 = 𝑅$ 112,00.

Por fim, sabendo que cada caixa tem 20 picolés e como são 4 caixas, então o total de

picolés a serem vendidos é 20 ∙ 4 = 80.

Dividindo o valor de todo o dinheiro a ser obtido no segundo dia pelo número de picolés

a serem vendidos, obtemos

112 ÷ 80 = 1,4.

Logo, o valor da venda de cada picolé, no segundo dia, deve ser 𝑅$ 1,40.

• Resposta: Alternativa (c)

• Comentários:


Sempre que puder, multiplique os

valores dados em percentuais na

forma fracionária


30

Embora seja uma boa questão, possui muitas informações e por isso para sua resolução

deve ser feita uma leitura bem atenciosa. Não apresenta dados inseridos desnecessários

desnecessário e assim o candidato precisa da leitura completa, ou seja, todos os dados nela

contidos são úteis para a compreensão do que se está pedindo.


Porcentagem


Questão 152

Comentários e resolução feito por Leticia Dornellas______________________________

O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros

fatores, de o adversário ser canhoto ou destro.

Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O

técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém,

não poderão ser ambos canhotos.

Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição?

A) 10!

2!×8!−

4!

2!×2!

B) 10!

8!−

4!

2!

C) 10!

2!×8!− 2

D) 6!

4!+ 4 × 4

E) 6!

4!+ 6 × 4

• Resolução

Como queremos encontrar o número de possibilidades de escolha de dois tenistas, de

forma que ambos os tenistas não sejam canhotos, primeiramente, que descobriremos

quantas possibilidades de formar pares temos, e então subtrair as possibilidades de obter

dois canhotos das possibilidades que já havíamos.

Para a resolução dessa questão, podemos recorrer a formula de combinação simples:

𝐶𝑛,𝑝 =𝑛!

𝑝! × (𝑛 − 𝑝)!

Onde 𝑛 é a quantidade de elementos de um conjunto, e 𝑝 é um número natural menor ou

igual a 𝑛, que representa a quantidade de elementos que irão formar os agrupamentos.

Sejam

𝑛 = 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠 = 10 e 𝑝 = 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑗𝑜𝑔𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 = 2

Assim,


31

10!

2! × (10 − 2)!=

10!

2! × 8!

Agora devemos subtrair as chances de obtermos dois canhotos. Neste caso, considere

𝑛 = 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑛ℎ𝑜𝑡𝑜𝑠 = 4 e 𝑝 = 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑗𝑜𝑔𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 = 2

Daí, 4!

2! × (4 − 2)!=

4!

2! × 2!

Finalmente, a possibilidade de escolha dos tenistas é 10!

2! × 8!−

4!

2! × 2!


• Comentários:

A questão é adequada ao ENEM, pois é bem contextualizada e cobra um conteúdo

específico do ensino médio, que difere da maioria das questões do ENEM.


Análise Combinatória.

• Nível da questão: Médio

Questão 153

Comentários e resolução feito por Luciana Alves________________________________

O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que usa notação posicional de base dez para representar números naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é formado por hastes apoiadas em uma base. Cada haste corresponde a um a posição no sistema decimal e nelas são colocadas argolas; a quantidade de argolas na haste representa o algarismo daquela posição. Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os símbolos U, D, C, M, DM e CM que correspondem, respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da direita e as demais ordens do número no sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para esquerda), até a haste que se encontra mais à esquerda.

Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não seguiram a disposição usual.


32

Nessa disposição, o número que está representado na figura é a) 46 171. b) 147 016. c) 171 064. d) 460 171. e) 610 741.

• Resolução:

Como o próprio texto dado na questão explica, o ábaco é um instrumento de notação posicional, então para resolver esse problema temos apenas que organizar as ordens das casas decimais sendo esta da direita para esquerda conforme a figura abaixo.


• Comentários: Essa questão está bem elaborada e contextualizada, pois é possível entender claramente as informações necessárias para manusear o ábaco visto que, este é um


33

instrumento matemático importante, que pode auxiliar os alunos no processo de contagens e cálculos principalmente nas séries inicias.


Sistema de numeração decimal.


Questão 154


Os alunos de uma escola utilizaram cadeiras iguais às da figura para uma aula ao ar livre.

A professora, ao final da aula, solicitou que os alunos fechassem as cadeiras para guardá-

las. Depois de guardadas, os alunos fizeram um esboço da vista lateral da cadeira fechada.

Qual é o esboço obtido pelos alunos?

a)

Dica PET-Matemática-UFCG

Perceba que a parte de

cima da cadeira, quando

fechada, é a mesma em cada

uma das alternativas da

questão. As perspectivas se

diferenciam apenas quanto à

estrutura da parte de baixo

das cadeiras.


34

b)

c)

d)

e)

• Resolução:


35

A cadeira representada pela gravura possui um apoio para o braço (círculo vermelho) e

pernasas quais, pela vista frontal, estão dispostas em forma de “x”, duas na frente e mais

duas atrás.

Lateralmente, o braço da cadeira é vista como uma reta horizontal apoiada por duas

varetas verticais (círculo azul).

Como só é possível ver lateralmente duas das pernas, a projeção das que aparecem

nessa visualização são, ambas, paralelas. Além disso, as pernas estão ligadas a uma vareta

disposta horizontalmente (círculo verde) segundo a vista lateral.


36

A única que possui essa disposição é a letra “c”.


• Comentário:

É uma questão interessante, pois exige uma percepção aguçada de quem a resolve,

muito embora seja relativamente simples identificar a alternativa que mais se assemelha à

gravura. Questões assim, mesmo simples, podem confundir bastante a quem estiver

realizando a prova do ENEM.


Vistas e perspectivas.

• Nível da questão: fácil

Questão 155

Comentários e resolução feito por Rodrigo Marques_____________________________

Para garantir a segurança de um grande evento público que terá início às 4 ℎ da tarde, um organizador precisa monitorar a quantidade de pessoas presentes em cada instante. Para cada 2 000 pessoas se faz necessária a presença de um policial. Além disso, estima-se uma densidade de quatro pessoas por metro quadrado de área de terreno ocupado. Às 10 ℎ da manhã, o organizador verifica que a área do terreno já ocupado equivale a um


37

quadrado com lados medindo 500 𝑚. Porém, nas horas seguintes, espera-se que o público aumente a uma taxa de 120 000 pessoas por hora até o início do evento, quando não será mais permitida a entrada de público. Quantos policiais serão necessários no início do evento para garantir a segurança?

a) 360 b) 485 c) 560 d) 740 e) 860

• Resolução:

Coloquemos primeiramente as informações apresentadas no enunciado: • Início do evento 4ℎ da tarde; • 2000 pessoas por policial; • 4 pessoas por metro quadrado;

• Às 10ℎ da manhã já está ocupado uma área que equivale a um quadrado com 500 𝑚 de lado;

• Chegam mais 120000 pessoas por hora. Como para cada 2000 pessoas precisa de um policial, vejamos quantas pessoas estarão

no início do evento. Como às 10h da manhã já está ocupado um quadrado com 500 metros de lado, então estão ocupando uma área 𝐴 de

𝐴 = 500 ⋅ 500 = 250000 𝑚2.

Sabendo que cabem 4 pessoas num metro quadrado, então, às 10h da manhã já tinha 𝑃1

pessoas, sendo

𝑃1 = 4 ⋅ 250000. Agora falta ver quantas pessoas ainda chegarão. Tendo em vista que o evento começará

às 4 horas da tarde, ou seja 16ℎ, faltam ainda 6 horas para o evento começar. Sendo assim,

chegarão ainda 𝑃2 pessoas

𝑃2 = 6 ⋅ 120000. Dessa forma, no início do evento teremos um total de P pessoas, onde

𝑃 = 𝑃1 + 𝑃2 = 4 ⋅ 250000 + 6 ⋅ 120000. Agora já sabemos a quantidade de pessoas que estão no início do evento, então, como

para cada 2000 pessoas precisamos de um policial, basta dividir o total de gente por 2000.

Assim, o total 𝑡 de policial será

𝑡 =(4 ⋅ 250000 + 6 ⋅ 120000)

2000=

4 ⋅ 250 ⋅ 1000 + 6 ⋅ 120 ⋅ 1000

2000


38

𝑡 =4 ⋅ 250 + 6 ⋅ 120

2=

4 ⋅ 250

2+

6 ⋅ 120

2=

4

2⋅ 250 +

6

2⋅ 120

𝑡 = 2 ⋅ 250 + 6 ⋅ 60 = 500 + 360 = 860.


• Comentários: Essa questão não é difícil, mas é necessário organizar as informações

e utilizá-las objetivando a resolução da questão. Ela é interessante porque exige uma boa

intepretação juntamente com o tratamento dessas informações. Além do mais, está bem

contextualizada e é aplicável no cotidiano.


área e proporção.


Questão 156

Comentários e resolução feito por Lucas Siebra________________________________

A permanência de um gerente em uma empresa está condicionada à sua produção no semestre. Essa produção é avaliada pela média do lucro mensal do semestre. Se a média for, no mínimo, de 30 mil reais, o gerente permanece no cargo, caso contrário, ele será despedido. O quadro mostra o lucro mensal, em milhares de reais, dessa empresa, de janeiro a maio do ano em curso.

Qual deve ser o lucro mínimo da empresa no mês de junho, em milhares de reais, para o

gerente continuar a cargo no próximo semestre? A) 21. B) 29. C) 30. D) 31. E) 35.

• Resolução: Já que todos os dados e as alternativas estão na mesma unidade de medida,

trabalharemos com os dados em milhares: O lucro médio mensal 𝐿 do semestre é dado pela média aritmética dos lucros mensais

durante os 6 meses de avaliação do gerente. Ou seja,

𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + 𝐿4 + 𝐿5 + 𝐿6

6,

com 𝐿1 sendo o lucro médio no primeiro mês e assim por diante.


39

Para o gerente permanecer no cargo, o lucro médio 𝐿 deve ser, no mínimo, de 30 mil reais. Daí,

𝐿 ≥ 30 ⇒ 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + 𝐿4 + 𝐿5 + 𝐿6

6≥ 30 ⇒

21 + 35 + 21 + 30 + 38 + 𝐿6

6≥ 30 ⇒

21 + 35 + 21 + 30 + 38 + 𝐿6 ≥ 180 ⇒ 145 + 𝐿6 ≥ 180 ⇒

𝐿6 ≥ 35. Assim, o lucro mínimo da empresa no mês de junho, ou seja, no sexto mês, em

milhares de reais, para o gerente continuar no cargo é 35. Resposta: Alternativa (E).

• Comentário:

Trata-se de uma questão bem elaborada que, mesmo envolvendo o conceito de média aritmética, conteúdo recorrente nas questões de matemática do Enem, traz um diferencial de não pedir o valor da média em si, mas uma de suas parcelas.


Média Aritmética.


Questão 157

Comentários e resolução feito por Caio Antony_________________________________

Um adolescente vai a um parque de diversões tendo, prioritariamente, o desejo de ir a um

brinquedo que se encontra na área IV, dentre as áreas I, II, III, IV e V existentes. O esquema

ilustra o mapa do parque, com a localização da entrada, das cinco áreas com os brinquedos

disponíveis e dos possíveis caminhos para se chegar a cada área. O adolescente não tem

conhecimento do mapa do parque e decide ir caminhando da entrada até chegar à área IV.


40

Suponha que relativamente a cada ramificação, as opções existentes de percurso pelos

caminhos apresentem iguais probabilidades de escolha, que a caminhada foi feita

escolhendo ao acaso os caminhos existentes e que, ao tomar um caminho que chegue a

uma área distinta da IV, o adolescente necessariamente passa por ela ou retorna.

Nessas condições, a probabilidade de ele chegar à área IV sem passar por outras áreas

e sem retornar é igual a

A) 1 96⁄

B) 1 64⁄

C) 5 24⁄

D) 1 4⁄

E) 5 13⁄

• Resolução

O método usado para a resolução desse problema será:

- Descobrir quais caminhos o adolescente pode tomar para ir da entrada à área IV sem

passar por outras áreas;

- Calcular a probabilidade de que cada um desses caminhos seja tomada (Usando a parte

do enunciado que diz “Suponha que relativamente a cada ramificação, as opções existentes

de percurso pelos caminhos apresentem iguais probabilidades de escolha”);

- Somar a probabilidade de que cada caminho seja tomado (o que é possível pelo fato de

que tais opções são mutuamente excludentes).


41

Comecemos observando que são possíveis as seguintes escolhas: (Nomearemos as

ramificações para simplificar a escrita)

Figura 1.

Figura 2.

(*) Na Figura 1, a ramificação A possibilita dois caminhos, e portanto, a probabilidade de

escolher o correto é de 12⁄ . Na ramificação B, analogamente, a probabilidade de

escolhermos o caminho que leva à área IV é também de 1 2⁄ . Na ramificação C, temos três

caminhos possíveis, e assim, a chance de escolher o certo é de 1 3⁄ . Concluímos assim que

a probabilidade do caminho descrito pela Figura 1 ser tomado é de:


42

𝑃1 = 12⁄ × 1

2⁄ × 13⁄ .

Já na Figura 2, as três ramificações X, Y e Z nos dão, cada uma, duas possibilidades de

caminhos diferentes. Assim, em cada uma delas, a probabilidade de tomar o caminho correto

é de 1 2⁄ . Portanto, a probabilidade de tomarmos o caminho descrito na Figura 2 é de:

𝑃2 = 12⁄ × 1

2⁄ × 12⁄ .

(**) Portanto, a probabilidade de que o adolescente tome o caminho descrito pela Figura 1

ou o caminho descrito pela Figura 2 é de:

𝑃𝑇 = 12⁄ × 1

2⁄ × 13⁄ + 1

2⁄ × 12⁄ × 1

2⁄ =

= 12⁄ × 1

2⁄ × (12⁄ + 1

3⁄ ) = 12⁄ × 1

2⁄ × 56⁄ = 5

24⁄ .

Concluímos assim que a alternativa correta é a (C). Para finalizar essa discussão, segue

uma dica extensa sobre probabilidades:

• Resposta: Alternativa (C).

• Comentários:

A questão envolve uma boa contextualização, é de um bom nível e cobra de maneira

adequada o importante conteúdo de probabilidade. Considero-a, portanto, uma boa questão.

DICAS PET-MATEMÁTICA-UFCG:

Comecemos observando que probabilidades são sempre números entre 0 e 1, e

portanto, se sua resposta der menor que 0 ou maior que 1, ela está errada.

A segunda observação pertinente é que multiplicar dois números entre 0 e 1 nos da um

resultado que é menor do que os dois números originais! Usaremos esse fato para

compreender um pouco melhor o que foi feito acima.

Na parte (*) da resolução, calculamos a probabilidade de o adolescente tomar o caminho

correto na ramificação A e também na ramificação B e também na ramificação C. Note

que esse “e” está restringindo a probabilidade do evento acontecer, isto é, está

diminuindo suas chances. Como já vimos que multiplicar dois números entre 0 e 1 nos

da um número ainda menor que os dois, nada mais natural do que multiplicar a

probabilidade de que o adolescente tome o caminho correto na bifurcação A, na B e na

C.

Já na parte (**) da resolução, calculamos a probabilidade de que o adolescente tome a

rota descrita pela figura 1 ou a de que tome a rota descrita pela figura 2. Assim, estamos

aumentando as chances de que ele tome uma “boa” rota! Portanto, é fácil lembrar de

que nesse caso somaremos as probabilidades (só por que elas são mutuamente

excludentes, caso não fossem, não seria tão simples assim!), pois estamos aumentando

as chances de que o adolescente chegue no lugar correto.


43


Probabilidade


Questão 158


Em uma cidade, o número de casos de dengue confirmados aumentou consideravelmente

nos últimos dias. A prefeitura resolveu desenvolver uma ação contratando funcionários para

ajudar no combate à doença, os quais orientarão os moradores a eliminarem criadouros do

mosquito Aedes aegypti, transmissor da dengue. A tabela apresenta o número atual de

casos confirmados, por região da cidade.

A prefeitura optou pela seguinte distribuição dos funcionários a serem contratados: I. 10 funcionários para cada região da cidade cujo número de casos seja maior que a

média dos casos confirmados. II. 7 funcionários para cada região da cidade cujo número de casos seja menor ou igual à

média dos casos confirmados. Quantos funcionários a prefeitura deverá contratar para efetivar a ação? A)59 B)65 C)68 D)71 E)80

• Resolução

Para conseguirmos a média dos casos de dengue confirmados nas regiões precisamos

somar todos os casos e dividir pela quantidade de regiões dado no enunciado da questão.

Com isso, temos

237 + 236 + 158 + 159 + 160 + 278 + 300 + 278 = 1832 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜𝑠. Nas 8 regiões dadas no enunciado, tivemos 1832 casos confirmados. Com isso, tivemos

uma média de


44

1832

8= 229 𝑚é𝑑𝑖𝑎.

Agora iremos observar as regiões que têm mais de 229 e as que tem menos casos

confirmados de dengue.

Como 5 das regiões tiveram mais casos confirmados do que a média, então por I, temos:

5 𝑥 10 = 50 funcionários.

E como 3 das regiões tiveram menos casos confirmados do que a média, então por II,

obtemos:

3 𝑥 7 = 21 funcionários

Logo, a prefeitura deverá contratar 71 funcionários.


• Comentários:

A questão não apresenta erros ortográficos nem conceituais. No entanto, o texto é longo,

tornando assim a leitura cansativa. Ademais, é uma questão fácil e interessante de ser

abordada, pois envolve situações contextualizadas.


Estatística.


Questão 159


Cinco marcas de pão integral apresentam as seguintes concentrações de fibras (massa

de fibra por massa de pão):

• Marca A: 2 𝑔 de fibras a cada 20 𝑔 de pão;

• Marca B: 5 𝑔 de fibras a cada 40 g de pão;

• Marca C: 5 𝑔 de fibras a cada 100 𝑔 de pão;

• Marca D: 6 𝑔 de fibras a cada 90 𝑔 de pão;

• Marca E: 7 𝑔 de fibras a cada 70 𝑔 de pão.

Recomenda-se a ingestão do pão que possui a maior concentração de fibras.

A marca a ser escolhida é

a) A.

b) B.

c) C.

d) D.

e) E.

• Resolução:


45

Observe o quadro, no qual, a última coluna representa a Concentração de Fibras, em

gramas (Razão da massa de fibra por massa de pão):

𝑀𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝐹𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 (𝑔)

𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑃ã𝑜 (𝑔)

𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐹𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 (𝑔)

𝐴 2 50 2/50 = 0,040 𝐵 5 40 5/40 = 0,125 𝐶 5 100 5/100 = 0,050 𝐷 6 90 6/90 = 0,067 𝐸 7 70 7/70 = 0,100

Portanto, como a maca B possui a maior concentração de fibras, então ela deve ser a

escolhida.


• Comentários:

Essa é uma boa questão, pois as informações apresentadas são facilmente

interpretadas, sem riscos de ambiguidades. É uma questão de contextualização bem real,

onde as pessoas podem utilizar a matemática para manter sua vida saudável.


Comparações entre frações.


Questão 160

Comentários e resolução feito por Rodrigo Marques__________________________

Uma família resolveu comprar um imóvel num bairro cujas ruas estão representadas na figura. As ruas com nomes de letras são paralelas entre si e perpendiculares às ruas identificadas com números. Todos os quarteirões são quadrados, com as mesmas medidas, e todas as ruas têm a mesma largura, permitindo caminhar somente nas direções vertical e horizontal. Desconsidere a largura das ruas.


46

A família pretende que esse imóvel tenha a mesma distância de percurso até o local de

trabalho da mãe, localizado na rua 6 com a rua E, o consultório do pai, na rua 2 com a rua E, e a escola das crianças, na rua 4 com a rua A. Com base nesses dados, o imóvel que atende as pretensões da família deverá ser localizado no encontro das ruas

A) 3 e C B) 4 e C C) 4 e D D) 4 e E E) 5 e C

• Resolução:

Vejamos que o consultório do pai e o trabalho da mãe é simétrico em relação a rua 4.

Assim, a casa da família só poderá estar localizada na rua 4. Observemos as possibilidades que estão nas alternativas. Apenas os itens b),c) e d) estão

na rua 4, podendo descartar as alternativas a) e e). Avaliemos então quais dos itens b,c e d, representados pelos pontos H,G e F da figura a seguir, respectivamente, são equidistantes do consultório do pai, do trabalho da mãe e da escola das crianças.


47

• O ponto H dista 2 das escolas das crianças, mas dista 4 do trabalho da mãe e do consultório do pai.

• O ponto G dista 3 dos três locais.

• O ponto F dista 2 do trabalho da mãe e do consultório do pai, mas dista 4 das escolas das crianças.

Assim, o local da casa será no ponto E que é o encontro da rua 4 com a Rua D.

• Resposta: alternativa (d)

• Comentários:

Essa questão é interessante porque pode ser algo aplicado na vivência do aluno.

Ademais, o problema foi bem claro e coeso no seu enunciado


Simetria, espaços métricos.


Questão 161

Comentários e resolução feito por Luis Filipe___________________________________

Um senhor, pai de dois filhos, deseja comprar dois terrenos, com áreas de mesma

medida, um para cada filho. Um dos terrenos visitados já está demarcado e, embora não

tenha um formato convencional (como se observa na Figura B), agradou ao filho mais velho

e, por isso, foi comprado. O filho mais novo possui um projeto arquitetônico de uma casa

que quer construir, mas, para isso, precisa de um terreno na forma retangular (como

mostrado na figura A) cujo comprimento seja 7m maior do que a largura.

Figura A Figura B


48

Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa encontrar um terreno retangular

cujas medidas, em metro, do comprimento e da largura sejam iguais, respectivamente, a

a) 7,5 e 14,5.

b) 9,0 e 16,0.

c) 9,3 e 16,3.

d) 10,0 e 17,0.

e) 13,5 e 20,5.

• Resolução:

Primeiramente, iremos calcular a área do terreno, que está sendo representado pela

Figura B. Para realizar o cálculo dessa área, podemos dividir a Figura B em dois triângulos.

Como indicado na figura seguinte:

É importante lembrar que a área de qualquer triângulo é dado pela expressão 𝐴 =𝑏.ℎ

2 ,

onde 𝑏 é a base e ℎ é a altura. Denotaremos por 𝐴1 a área do triângulo maior, por 𝐴2 a área

do triângulo menor e por 𝐴𝑡 a área total do terreno. Assim,

𝐴1 =15 . 15

2=

225

2= 112,5 𝑚2.

𝐴2 =3 . 21

2=

63

2= 31,5 𝑚2.

𝐴𝑡 = 𝐴1 + 𝐴2

𝐴𝑡 = 112,5 + 31,5 = 144 𝑚2.

Como foi mencionado na questão que tanto o terreno representado pela Figura A, quanto

o terreno representado pela Figura B, apresentam áreas de mesma medida, podemos

afirmar que o terreno representado pela Figura A, também possui área igual a 144 𝑚2.

Assim, podemos encontrar as medidas dos seus lados, fazendo:

𝑥(𝑥 + 7) = 144 ⇒ 𝑥² + 7𝑥 − 144 = 0. (𝐼)

Resolvendo agora a equação (𝐼), temos:


49

𝛥 = 72 − 4 . 1 . (−144) = 49 + 576 = 625.

Encontrando as raízes,

𝑥′ =− 7 + √625

2=

− 7 + 25

2= 9.

𝑥′′ =− 7 − √625

2=

− 7 − 25

2= −16.

Como não se pode ter uma largura negativa, desprezamos a raiz negativa encontrada e

concluímos que a largura do terreno é de 9𝑚. Já que foi mencionado na questão, que o

comprimento do terreno representado pela Figura A é 7𝑚 maior do que a largura, o

comprimento do terreno é de 16𝑚.


• Comentários:

A questão pode induzir o aluno ao erro visto que solicita as medidas, em metro, do

comprimento e da largura respectivamente, enquanto que nas alternativas todas as

primeiras medidas são menores do que as segundas, o que não pode ocorrer, pois a questão

afirma no enunciado que o comprimento é 7m maior do que a largura.

O assunto abordado na questão é de extrema importância, que é o assunto de Áreas

de Figuras Planas; mas poderia ser uma questão que exigisse mais um pouco do aluno esse

conhecimento tão importante.


Equação do 2º grau e Áreas de Figuras Planas.


Questão 162

Comentários e resolução feito por Luciana Alves________________________________

Preocupada com seus resultados, uma empresa fez um balanço dos lucros obtidos nos últimos sete meses, conforme dados do quadro.

Mês I II III IV V VI VII

Lucro (em milhões de reais)

37 33 35 22 30 35 25

Avaliando os resultados, o conselho diretor da empresa decidiu comprar, nos dois meses subsequentes, a mesma quantidade de matéria-prima comprada no mês em que o lucro mais se aproximou da média dos lucros mensais dessa empresa nesse período de sete meses.


50

Nos próximos dois meses, essa empresa deverá comprar a mesma quantidade de matéria-prima comprada no mês

a) I. b) II. c) IV. d) V. e) VII.

• Resolução:

Inicialmente precisamos saber a média dos lucros nesse período de sete meses.

Calculando média:

𝑀é𝑑𝑖𝑎 =37+33+35+22+30+35+25

7=

217

7= 31.

Em seguida analisaremos a tabela dada e verificaremos em qual mês o lucro se

aproximou mais da média dos lucros. Assim, é possível observar que a média encontrada

se aproxima mais de 30 milhões que é o lucro obtido no mês V.


• Comentários:

Essa questão está bem contextualizada, pois menciona a situação real de uma empresa. Sendo assim, é possível entender as informações necessárias para resolução da mesma.


Estatística.


Questão 163


Um marceneiro está construindo um material didático que corresponde ao encaixe de

peças de madeira com 10 cm de altura e formas geométricas variadas, num bloco de

madeira em que cada peça se posicione na perfuração com seu formato correspondente,

conforme ilustra a figura. O bloco de madeira já possui três perfurações prontas de bases

distintas: uma quadrada (Q), de lado 4 cm, uma retangular (R), com base 3 cm e altura 4

cm, e uma em forma de um triângulo equilátero (T), de lado 6,8 cm. Falta realizar uma

perfuração de base circular (C).

O marceneiro não quer que as outras peças caibam na perfuração circular e nem que a

peça de base circular caiba nas demais perfurações e, para isso, escolherá o diâmetro do

círculo que atenda a tais condições. Procurou em suas ferramentas uma serra copo (broca

com formato circular) para perfurar a base em madeira, encontrando cinco exemplares, com


51

diferentes medidas de diâmetros, como segue: (I) 3,8 cm; (II) 4,7 cm; (III) 5,6 cm; (IV) 7,2 cm

e (V) 9,4 cm.

Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para √2 e √3 , respectivamente. Para que seja

atingido o seu objetivo, qual dos exemplares de serra copo o marceneiro deverá escolher?

a)I b)II

c)III d)IV

e)V

• Resolução

Temos 3 casos para analisar: o do quadrado, o do retângulo e o do triangulo.

Inicialmente investiguemos o caso do quadrado. Devemos encontrar um valor do diâmetro

que esteja entre o diâmetro do “maior” círculo que caiba dentro do quadrado (círculo inscrito),

e do “menor” círculo onde o quadrado caiba (círculo circunscrito).

Chamemos o diâmetro do círculo de 𝑝.

Diâmetro do círculo inscrito:

Este círculo tem diâmetro 𝑝 igual a medida da base do quadrado, ou seja, 4 cm.

Diâmetro do círculo circunscrito:

Este círculo tem diâmetro 𝑝 igual a medida da diagonal do quadrado.

A diagonal 𝑝 do quadrado é igual a lado 𝑙 do quadrado multiplicada por √2, ou seja,

𝑝 = 𝑙 𝑥 √2.

Com isso, temos:

(Círculo inscrito) (Círculo circunscrito)


52

𝑝 = 4 𝑥 √2 = 4 𝑥 1,4 = 5,6 𝑐𝑚

Com isso, concluímos que

4 < 𝑝 < 5,6 (𝐼)

Já que, caso 𝑝 = 4 ou 𝑝 = 5,6, o círculo caberá no do quadrado ou o quadrado caberá no

círculo.

Logo, a única alternativa que satisfaz (𝐼) é a medida do diâmetro; 4,7 𝑐𝑚. Não sendo

necessário analisar os outros casos.


• Comentários:

Apesar da questão possuir muitas informações, não é preciso trabalhar com todas.

Basicamente, o único polígono que será trabalhado é o quadrado. O aluno conseguindo

perceber isso na primeira leitura do enunciado, ele pode resolver a questão rapidamente.


Polígonos.


Questão 164

Comentários e resolução feito por Fábio Lima________________________________

Em um exame, foi feito o monitoramento dos níveis de duas substâncias presentes (A e

B) na corrente sanguínea de uma pessoa, durante um período de 24 ℎ, conforme o resultado

apresentado na figura. Um nutricionista, no intuito de prescrever uma dieta para essa

pessoa, analisou os níveis dessas substâncias, determinando que, para uma dieta semanal

eficaz, deverá ser estabelecido um parâmetro cujo valor será dado pelo número de vezes

em que os níveis de A e de B forem iguais, porém, maiores que o nível mínimo da substância

A durante o período de duração da dieta.


53

Considere que o padrão apresentado no resultado do exame, no período analisado, se

repita para os dias subsequentes.

O valor do parâmetro estabelecido pelo nutricionista, para uma dieta semanal, será igual

a

a) 28.

b) 21.

c) 2.

d) 7.

e) 14.

• Resolução:

Circule no gráfico os pontos onde os níveis das substâncias são iguais e em seguida

marque um “X”, onde esses níveis são iguais e, ao mesmo tempo, maiores que o nível da

substância A.


54

No período de 24 ℎ, 4 vezes o nível da substância A é igual o nível da substância B, mas

em apenas duas delas, o nível das substâncias é maior que o nível mínimo da substância.

Assim, como o gráfico mostra o nível dessas substâncias num período de 1 dia (24ℎ) e

queremos saber o valor da dieta semanal (7 dias). Então, esse valor é dado por

2 ∙ 7 = 14

Dessa forma, o valor do parâmetro é 14.


• Comentários:

Questão simples, mas deve se ter um cuidado ao finalizá-la, pois o candidato pode ser

levado ao erro, caso não perceba, que o valor da dieta é “semanal”, ou que os níveis das

substâncias precisam ser “maiores que o nível mínimo da substância A”. Entretanto, esse é

um detalhe para a resolução. É uma boa questão, uma vez que não apresenta ambiguidades

ou informações desnecessárias.


Estatística


Questão 165

Comentários e resolução feito por Caio Antony________________________________

Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos

para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de

o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça,

um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma

trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis

em função do tempo, nas simulações realizadas.


55

Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser

alterada para que o objetivo fosse alcançado.

Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B

deverá

A) Diminuir em 2 unidades.

B) Diminuir em 4 unidades.

C) Aumentar em 2 unidades.

D) Aumentar em 4 unidades.

E) Aumentar em 8 unidades.

• Resolução

Comecemos descobrindo qual é o coeficiente angular

inicial da trajetória linear descrita pelo foguete. Como o

mesmo é lançado do ponto (0,0) e passa pelo ponto

(6,12) (onde aqui a primeira coordenada é o tempo 𝑡 e a

segunda é a altura ℎ), podemos encontrar a equação

que descreve sua trajetória (afinal de contas, dois

pontos definem uma reta!).

Vários métodos podem ser usados para essa parte da

resolução. Para evitar decorar fórmulas, usaremos um

método que só depende de um sistema de equações e

de saber com o que se parece a equação de uma reta.

Para tal, lembremos que uma reta é descrita por:

ℎ = 𝑎𝑡 + 𝑏

Onde 𝑎 é o chamado coeficiente angular, o qual a questão procura. Assim, como sabemos

que a reta passa por (0,0) e (4,16) (lembre-se que em um par ordenado a primeira

coordenada é o valor de 𝑡, e a segunda é o de ℎ), podemos construir o sistema:

{0 = 0𝑎 + 𝑏

12 = 6𝑎 + 𝑏 ⇒ 𝑏 = 0 𝑒 𝑎 =

12

6= 2.


Coloque a equação da reta

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

Em um software matemático e

teste vários valores para os

coeficientes 𝑎 e 𝑏. Observe o

motivo de o coeficiente 𝑎 ser

chamado de coeficiente angular.

Que nome você daria ao

coeficiente 𝑏?


56

De onde descobrimos que o antigo coeficiente angular deve ser 𝑎 = 2.

Agora, devemos encontrar a equação da reta descrita

pelo novo lançamento do foguete que passa pelos

pontos (0,0) e o vértice da parábola. Analisando a figura,

vemos que o vértice da parábola é o ponto (4,12), de

onde podemos montar o sistema

{ 0 = 0𝑎′ + 𝑏′16 = 4𝑎′ + 𝑏′

⇒ 𝑏′ = 0 𝑒 𝑎′ = 16

4= 4

E assim, vemos que o novo coeficiente angular deve ser

𝑎′ = 4. Portanto, o coeficiente angular foi de 𝑎 = 2 para

𝑎′ = 4. Assim, aumentamos 2 unidades, de onde a

resposta correta é a alternativa (C).


• Comentários:

Pessoalmente, considero uma questão inadequada, pois o aluno precisa fazer

exatamente o mesmo cálculo duas vezes. Já que o objetivo é verificar se o mesmo possui

tal conhecimento de funções polinomiais de primeiro grau, creio que a questão seria mais

adequada se perguntasse “qual deve ser o coeficiente angular da reta que representa a nova

trajetória”, ao invés de pedir para comparar as duas.


Funções afins.


Questão 166

Comentários e resolução feito por Lucas Silva__________________________________

Para a construção de isolamento acústico numa parede cuja área mede 9 m², sabe-se

que, se a fonte sonora estiver a 3 m do plano da parede, o custo é de R$ 500,00. Nesse tipo

de isolamento, a espessura do material que reveste a parede é inversamente proporcional

ao quadrado da distância até a fonte sonora, e o custo é diretamente proporcional ao volume

do material do revestimento. Uma expressão que fornece o custo para revestir uma parede

de área A (em metro quadrado), situada a D metros da fonte sonora, é

a) 500 . 81

𝐴 . 𝐷2

b) 500 . 𝐴

𝐷2


Pudemos encontrar o vértice da

parábola diretamente pelo fato de

a questão nos ter dado um gráfico.

Caso nos só tivéssemos a equação

da parábola, que é da forma

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Poderíamos encontrar esse ponto

fazendo

𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = (−𝑏

2𝑎,−(𝑏2 − 4𝑎𝑐)

4𝑎).


57

c) 500 . 𝐷2

𝐴

d) 500 . 𝐴 . 𝐷2

81

e) 500 . 3 . 𝐷2

𝐴

• Resolução:

Sejam 𝐶𝑝 o custo do isolamento acústico na parede cuja área mede 𝐴, onde a fonte

sonora está a 𝐷 𝑚 do plano da parede e 𝑒 a espessura do material. Segue do enunciado

do problema que 𝑒 é inversamente proporcional a 𝐷2 e 𝐶𝑝 é diretamente proporcional a

𝑉 (volume do material), ou seja,

𝑒 =1

𝐷2 (I) (inversamente proporcional)

e

𝐶𝑝 = 𝛼 ∙ 𝑉 (II) (diretamente proporcional)

O volume do material é dado pelo produto da área pela espessura do material, ou seja,

𝑉 = 𝑒 . 𝐴.

Substituindo 𝑉 em (II), obtemos

𝐶𝑝 = 𝛼 ∙ 𝑒 ∙ 𝐴. (III)

De (I) e (III), temos

𝐶𝑝 = 𝛼 ∙ 1

𝐷2 ∙ 𝐴 = 𝛼 ∙𝐴

𝐷2 . (IV)

No problema é dito que R$ 500,00 é o custo de um isolamento acústico em uma parede

cuja área mede 9 𝑚2 e a fonte sonora está a 3 𝑚 do plano da parede. Então, segue de

(IV) que

500,00 = 𝛼 ∙ 9

32 ⇒ 500,00 = 𝛼 ∙ 9

9 ⇒ 500,00 = 𝛼 (V)

Substituindo 𝛼 em (IV), obtemos

𝐶𝑝= 500,00 ∙𝐴

𝐷2.

Resposta: Alternativa (B)


58

• Comentário:

Nota-se fortemente a vontade de se ter uma contextualização sobre o conteúdo de

proporcionalidade nessa questão. Para o objetivo do Enem a questão, está adequada,

pois tenta fazer uma contextualização simples com texto curto que deixa claro o objetivo

do problema. Entretanto, se o intuito da questão é mostrar ao aluno onde se pode ver o

conteúdo no dia a dia, então essa deixa a desejar, visto que não é tão comum no dia-a-

dia do aluno.


Razão e proporção.

•Nível da questão: Médio

Questão 167

Comentários e resolução feito por Ismael Sandro_______________________________

A fim de acompanhar o crescimento de crianças, foram criadas pela Organização Mundial da Saúde (OMS) tabelas de altura, também adotadas pelo Ministério da Saúde do Brasil. Além de informar os dados referentes ao índice de crescimento, a tabela traz gráficos com curvas, apresentando padrões de crescimento estipulados pela OMS.

O gráfico apresenta o crescimento de meninas, cuja análise se dá pelo ponto de

intersecção entre o comprimento, em centímetro, e a idade, em mês completo e ano, da criança.

Uma menina aos 3 anos de idade tinha altura de 85 centímetros e aos 4 anos e 4 meses

sua altura chegou a um valor que corresponde a um ponto exatamente sobre a curva p50.


59

Qual foi o aumento percentual da altura dessa menina, descrito com uma casa decimal, no período considerado?

a) 23,5% b) 21,2% c) 19,0% d) 11,8% e) 10,0%

• Resolução: Segundo a questão, a análise do crescimento das meninas é realizada com base no ponto

de intersecção entre o comprimento, em centímetro, e a idade, em mês completo e ano, da criança. O ponto referente à menina citada no texto está indicado na figura abaixo:

O aumento da altura da menina em centímetros é dado por:

105𝑐𝑚 − 85𝑐𝑚 = 20 𝑐𝑚

Em percentual

20

85≈ 0,235 = 23,5%.

• Resposta: alternativa (a)

• Comentário:

A questão tem um enunciado claro e preciso; não apresenta erros. No enunciado

contém uma especificação que é crucial para que se interprete a questão corretamente, isso

é importante para a ruptura do paradigma de que os enunciados longos, típicos do ENEM,

que não influenciam diretamente na resolução das questões, um ponto que é alvo de muitas

críticas ao ENEM.


Tratamento da Informação, porcentagem.



60

Questão 168

Comentários e resolução feito por Luis Filipe___________________________________

Ao iniciar suas atividades, um ascensorista registra tanto o número de pessoas que entram quanto o número de pessoas que saem do elevador em cada um dos andares do edifício onde ele trabalha. O quadro apresenta os registros do ascensorista durante a primeira subida do térreo, de onde partem ele e mais três pessoas, ao quinto andar do edifício.

Número de pessoas

Térreo 1º andar

2º andar

3º andar

4º andar

5º andar

que entram no elevador

4 4 1 2 2 2

que saem do elevador

0 3 1 2 0 6

Com base no quadro, qual é a moda do número de pessoas no elevador durante a subida

do térreo ao quinto andar? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

• Resolução:

Vamos construir um novo quadro a partir do que foi mencionado na questão, onde colocaremos o número de pessoas em cada andar, fazendo o balanço de quantas pessoas entram (+) e saem (-) em cada andar.

Número de pessoas em cada andar

Térreo 1º andar 2º andar 3º andar 4º andar 5º andar

4 − 0 = 4 4 + 4 − 3= 5

5 + 1 − 1= 5

5 + 2 − 2= 5

5 + 2 − 0= 7

7 + 2 − 6= 3

Lembrando que moda é o número que aparece com maior frequência e analisando esse

novo quadro, podemos concluir que o número de pessoas por andar que aparece com maior frequência é o número 5, ou seja, a moda é 5.


61


• Comentários:

É uma questão bem interessante, porque por mais que o conceito de moda pareça

simples para alguns, é um dos conceitos estatísticos mais importantes para um aluno de

Ensino Médio, visto que esse conceito pode ser encontrado em várias situações do cotidiano

e dependendo do curso de graduação que o aluno for fazer, esse conceito será necessário.


Estatística.


Questão 169

Comentários e resolução feito por Luciana Alves______________________________

Primeiramente precisamos saber quanto foi o aumento que as capitais da Região Nordeste tiveram para podermos analisar o percentual.

Observando a tabela abaixo:

Capital da Região Nordeste

Ano 1940 2000

População Residente 1270729 10162346

Aumento da população 1270729 − 10162346 = 8891617

1270729 ⇒ 100%

8891617 ⇒ 𝑥

Assim, temos que: 1270729

8891617=

100%

𝑥⇒

⇒ 1270729𝑥 = 8891617 × 100% ⇒ 1270729𝑥 = 889161700 ⇒

⇒ 𝑥 =889161700

1270729= 699,7256%.


• Comentários: É uma questão simples, pois não requer muita reflexão do aluno. A

linguagem utilizada está bem clara, no entanto exige atenção do aluno para não fazer interpretação errada sobre o que a questão pede.

• Tópicos específicos abordados na questão: Regra de três e porcentagem.


DICA PET-

MATEMÁTICA-UFCG

Encontre primeiro o

valor referente ao

aumento da população

ao invés de calcular

direto o percentual.

Note ainda que,

quando usamos apenas

os primeiros algarismos

da fração, obtemos: 889

127= 7. Ou seja,

podemos ver o valor

exato da alternativa,

sem fazer muitas

contas.


62

Questão 170

Comentários e resolução feito por Lucas Hariel________________________________

O cultivo de uma flor rara só é viável se do mês do plantio para o mês subsequente o

clima da região possuir as seguintes peculiaridades:

• a variação do nível de chuvas (pluviosidades), nesses meses, não for superior a 50

mm;

• a temperatura mínima, nesses meses, for superior a 15°C;

• ocorrer, nesse período, um leve aumento não superior a 5°C na temperatura máxima.

Um floricultor, pretendendo investir no plantio dessa flor em sua região, fez uma gráfico

com as condições previstas para os 12 meses seguintes nessa região.

Com base nas informações do gráfico, o floricultor verificou que poderia plantar essa flor

rara.

O mês escolhido para o plantio foi:

a) janeiro;

b) fevereiro;

c) agosto;

d) novembro;

DICA PET- MATEMÁTICA-UFCG

Construa uma tabela que relacione os

meses do ano a esses três requisitos

solicitados pela questão. O gráfico não

disponibiliza diretamente a variação do nível

de chuva e o aumento na temperatura

máxima; então, sugiro que use o mesmo

princípio da questão 154 para resolver esse

impasse!


63

e) dezembro.

• Resolução:

Primeiramente, observe no gráfico que os meses cuja temperatura mínima é superior a

15°C são os de setembro a abril. Dentre esses meses, os que possuem um leve aumento

não superior a 5°C em sua temperatura máxima são os de dezembro a janeiro. Ainda, dentre

esses meses, o único que possui uma variação no nível de chuvas não superior a 50mm é

o de janeiro. Portanto, o mês que satisfaz essas três condições é justamente o de janeiro.

• Resposta: Alternativa (a)

• Comentário:

essa questão exige uma interpretação apurada dos dados, superando certas

dificuldades impostas pela sobreposição dos gráficos que indicam, respectivamente, a

pluviosidade, a temperatura máxima e a mínima, sem mencionar a presença de mais eixos

do que se verifica em gráficos convencionais.


Estatística.

• Nível da questão: fácil;

Questão 171

Comentários e resolução feito por Leticia Dornellas __________________________

Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a

tampa de concreto tem contorno de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para

determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em

questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como

eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola:

𝑦 = 9 − 𝑥², sendo x e y medidos em metros.

Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 2

3 da área do retângulo cujas

dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.

Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?

A) 18

B) 20

C) 36


64

D) 45

E) 54

• Resolução

Primeiramente iremos fazer um esboço do túnel, vale lembrar que o chão é o eixo x,

enquanto a altura do túnel é o eixo y.

Sabemos que a área sob a parábola é igual a 2

3 da área do retângulo cujas dimensões

são, respectivamente, iguais à base e à altura da parábola.

Para encontrar a base da parábola, mediremos o túnel em relação ao chão, para tal,

consideraremos a distância entre as raízes da parábola.

Para encontrarmos as raízes, faremos 𝑦 = 0. Daí

9 − 𝑥2 = 0 ⇔ 9 = 𝑥2 ⇔ ±√9 = 𝑥 ⇔ ±3 = 𝑥

A distância entre os pontos (-3,0) e (3,0) é

𝑑 = √(3 − (−3))² + (0 − 0)² = √6² = 6.

Logo, a base do túnel é igual a 6m.

Para encontrar a altura do túnel, consideraremos o valor máximo assumido por y na

parábola, neste caso, seu vértice. Para encontrar o vértice da parábola, teremos que lembrar

da fórmula vértice da parábola.

𝑉 = (𝑥, 𝑦) = (−𝑏

2𝑎,−∆

4𝑎) = (

−0²

−2,−(02 − 4. (−1). 9

−4) = (0,9)

Portanto a altura do túnel é de 9m.

Por fim, a área de da parábola deve ser

𝐴𝑝 =2

3∙ 𝐴𝑟

Onde 𝐴𝑝 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 e 𝐴𝑟 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑡â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

𝐴𝑝 =2

3∙ 6 ∙ 9 =

2

3∙ 3 ∙ 2 ∙ 9 = 4 ∙ 9 = 36𝑚²


DICA PET-MATEMÁTICA-UFCG

Não lembra a fórmula do vértice da

parábola? Há outras formas de

encontrar a altura, poderíamos calcular

o ponto médio entre as duas raízes, e

então encontrar o valor de y nesse

ponto.


65

• Comentários:

A questão é bem contextualizada, e requer apenas conhecimentos básicos sobre

parábolas, que é um conteúdo que os alunos já estão familiarizados, sendo assim, não

requer tanto tempo para sua resolução.


Funções Quadráticas e Elementos das Parábolas.


Questão 172

Comentários e resolução feito por Lucas da Silva______________________________

Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por

quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras

e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é

composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma

senha. O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por

a) 102 . 262.

b) 102 . 522.

c) 102 . 522. 4!

2! .

d) 102 . 262. 4!

2!

e) 102 . 522. 4!

2! .2!


66

• Resolução:

Como a senha deve ser composta por quatro caracteres,

sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou

minúsculas). Então, teremos 10 possiblidades de escolher os

algarismos de 0 a 9 e 52 possiblidades de letras distintas,

visto que o alfabeto tem 26 letras e estamos considerando as

maiúsculas diferentes das minúsculas. Vejamos que para

montar uma senha do tipo

Letra - Letra - algarismo - algarismo

temos 10 possiblidades para o primeiro caractere, 10

possiblidades para o segundo, 52 possiblidades para o

terceiro e, por fim, 52 possiblidades para o quarto caractere.

Então, pelo principio da contagem, temos 10 ∙ 10 ∙ 52 ∙ 52 =

102 ∙ 522 possibilidades de montar uma senha desse tipo.

Entretanto essa não é a única. Note que podemos ter as seguintes configurações

Letra - Letra - algarismo – algarismo;

Letra - algarismo - Letra – algarismo;

Letra - algarismo - algarismo – Letra;

algarismo - Letra - Letra - algarismo;

algarismo - Letra - algarismo – Letra;

algarismo - algarismo – Letra – Letra.

Todas essas configurações possuem 102 ∙ 522 possibilidades de gerar uma senha

diferente. Portanto, temos 6 ∙ (102 ∙ 522) possibilidades de senha com as indicações dadas

no problema. Mas, baseado nas alternativas, veja que

6 ∙ (102 ∙ 522) =4!

2! ∙ 2! (102 ∙ 522).

Resposta: alternativa (E).

• Comentário:

Problemas que envolvem contagem, em geral, não são simples de resolver e este

não é diferente. Na questão, é essencial ver que as permutações de número com número e

Dica PET-Matemática

Após descobrir as possibilidades de formar

uma senha de um tipo, como por exemplo Letra

- Letra - algarismo – algarismo.

Utilize o conceito de permutação com

repetição, pois estamos em busca de

determinar todas as possibilidades de senhas,

ou seja, faça uma permutação de 4 elementos

onde 2 elementos se repetem 2 vezes, isto é,

4!

2! ⋅ 2!= 6.

Por fim, multiplique 4!

2!⋅2! pela quantidade de

possibilidades de uma única disposição que é

10. 10 . 52 . 52.


67

letra com letra já são contadas pelo princípio fundamental da contagem. Por isso, restam só

as seis possibilidades listadas acima. No geral, o problema é bem contextualizado.


Princípio fundamental da contagem e combinação.

• Nível da questão: Difícil

Questão 173


A distribuição de salários pagos em uma empresa pode ser analisada destacando-se a

parcela do total da massa salarial que é paga aos 10% que recebem os maiores salários.

Isso pode ser representado na forma de um gráfico formado por dois segmentos de reta,

unidos em um ponto P, cuja abscissa tem valor igual a 90, como ilustrado na figura.

No eixo horizontal do gráfico tem-se o percentual de funcionários, ordenados de forma

crescente pelos valores de seus salários, e no eixo vertical tem-se o percentual do total da

massa salarial de todos os funcionários.

O índice de Gini, que mede o grau de concentração de renda de um determinado grupo,

pode ser calculado pela razão 𝐴

𝐴+𝐵, em que 𝐴 e 𝐵 são as medidas das áreas indicadas no

gráfico.


68

A empresa tem como meta tornar seu índice de Gini igual ao do país, que é de 0,3. Para

tanto, precisa ajustar os salários de modo a alterar o percentual que representa a parcela

recebida pelos 10% dos funcionários de maior salário em relação ao total da massa salarial.

Para atingir a meta desejada, o percentual deve ser

a) 40%;

b) 20%;

c) 60%;

d) 30%;

e) 70%.

• Resolução:

Queremos calcular a massa salarial dos 10% que recebem maior salário, supondo que o

índice de Gini seja de 0,3. Logo:

𝐴

𝐴 + 𝐵= 0,3 ⇒

𝐴 = 0,3𝐴 + 0,3𝐵 ⇒

𝐴 − 0,3𝐴 = 0,3𝐵 ⇒

0,7𝐴 = 0,3𝐵 ⇒


69

𝐴 =0,3 ∙ 𝐵

0,7⇒

𝐴 =3

7𝐵.

A área do triângulo retângulo maior pode ser calculada da seguinte forma:

𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

2=

100∙100

2= 50 ∙ 100 = 5000.

Perceba que, no gráfico:

𝐴 + 𝐵 = 5000 (I).

Então, como 𝐴 =3

7𝐵, temos:

3

7𝐵 + 𝐵 = 5000 ⇒

10

7𝐵 = 5000 ⇒ 𝐵 = 3500.

Substituindo em (I), tem-se:

𝐴 + 3500 = 5000 ⇒ 𝐴 = 1500.

Perceba que a região que corresponde à área 𝐵1 é um triângulo retângulo e a que

corresponde à 𝐵2 é um trapézio. Logo:

𝐵1 =90 ∙ 𝑦

2= 45𝑦

𝐵2 =𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎∙(𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟+𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟)

2=

10∙(𝑦+100)

2= 5 ∙ (𝑦 + 100) = 5𝑦 + 500.

Sendo 𝐵1 + 𝐵2 = 𝐵, tem-se:

𝐵 = 𝐵1 + 𝐵2 = (45𝑦) + (5𝑦 + 500) = 50𝑦 + 500.

Como 𝐵 = 3500, segue-se que:

𝐵 = 50𝑦 + 500 ⇒ 3500 = 50𝑦 + 500 ⇒ 𝑦 = 60.

Entretanto, queremos a massa salarial dos 10% que mais recebem; logo, pelo gráfico,

percebe-se que isso corresponde ao restante da massa salarial acumulada. Isto é:


70

100 − 𝑦 = 100 − 60 = 40

Portanto, para atingir a meta desejada, o percentual é de 40%.


• Comentário: é uma questão contextualizada interessante por envolver assuntos que

geralmente não se veem reunidos em situações do dia a dia, que são a Geometria Plana e

a Estatística;


Geometria plana e estatística.

• Nível da questão: Difícil.

Questão 174

Comentários e resolução feito por Caio Antony_________________________________

Densidade absoluta (d) é a razão entre a massa de um corpo e o volume por ele ocupado.

Um professor propôs à sua turma que os alunos analisassem a densidade de três corpos:

𝑑𝐴, 𝑑𝐵, 𝑑𝐶. Os alunos verificaram que o corpo A possuía 1,5 vez a massa do corpo B e esse,

por sua vez, tinha 3

4 da massa do corpo C. Observaram, ainda, que o volume do corpo A era

o mesmo do corpo B e 20% maior do que o volume do corpo C.

Após a análise, os alunos ordenaram corretamente as densidades desses corpos da

seguinte maneira

A) 𝑑𝐵 < 𝑑𝐴 < 𝑑𝐶

B) 𝑑𝐵 = 𝑑𝐴 < 𝑑𝑐

C) 𝑑𝐶 < 𝑑𝐵 = 𝑑𝐴

D) 𝑑𝐵 < 𝑑𝐶 < 𝑑𝐴

E) 𝑑𝐶 < 𝑑𝐵 < 𝑑𝐴

• Resolução

Conforme a definição de densidade que a questão oferece:

𝑑 =𝑚

𝑉.


71

Onde 𝑚 é a massa do corpo e 𝑉 é o volume. Analisemos cada frase do enunciado

- Os alunos verificaram que o corpo A possuía 1,5 vez a massa do corpo B e esse, por sua

vez, tinha 3

4 da massa do corpo C.

Essa frase nos diz que

𝑚𝐴 = 1,5 𝑚𝐵 e 𝑚𝐵 =3

4𝑚𝐶.

Aqui, devemos colocar todas as massas em função de uma, a nossa escolha.

Colocando então em função de 𝑚𝐶, Obtemos:

𝑚𝑐 = 1𝑚𝑐, 𝑚𝐵 =3

4𝑚𝐶 e 𝑚𝐴 = 1,5 𝑚𝐵 = 1,5 (

3

4 𝑚𝐶) =

9

8𝑚𝐶

- Observaram, ainda, que o volume do corpo A era o mesmo do corpo B e 20% maior do que

o volume do corpo C.

Deste trecho, obtemos que

𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 = 120%𝑉𝐶 = 1,2 𝑉𝐶 =6

5 𝑉𝐶

Portanto, calculemos cada densidade, colocando-as e

função de 𝑑𝐶:

𝑑𝐴 =𝑚𝐴

𝑉𝐴=

98⁄ 𝑚𝐶

65⁄ 𝑉𝐶

=9 × 5

6 × 8

𝑚𝐶

𝑉𝐶=

45

48𝑑𝐶 < 𝑑𝐶

𝑑𝐵 =𝑚𝐵

𝑉𝐵=

34⁄ 𝑚𝐶

65⁄ 𝑉𝐶

=3 × 5

6 × 4 𝑚𝐶

𝑉𝐶=

15

24𝑑𝐶 < 𝑑𝐶

Uma vez que

15

24<

45

48

Temos

𝑑𝐵 < 𝑑𝐴.

Assim, concluímos

𝑑𝐵 < 𝑑𝐴 < 𝑑𝐶 .

Portanto, a alternativa correta é a A.

OBSERVAÇÃO: Para uma dica de como comparar frações, procure a resolução comentada

da prova do ENEM de 2014 no site do PET-MATEMÁTICA-UFCG, na sessão de material,

DICAS PET-MATEMÁTICA-

UFCG:

Muitos alunos tem

dificuldades em frações, mas

a verdade é que elas ajudam

muito na simplificação das

contas. Nunca é tarde demais

pra aprender a usa-las e

admirá-las!


72

ano 2015, página 33. Lá, o ex-bolsista Emanuel Carlos dá uma ótima dica de como comparar

frações!


• Comentários:

Considero uma ótima questão, com uma boa contextualização e que cobra bem o

conteúdo de frações, conteúdo em que muitos alunos do ensino médio têm dificuldades.

Também é interessante como você deve comparar valores, mas não sabe exatamente quais

esses valores são, pedindo assim certa capacidade de abstração do aluno.

• Tópicos específicos abordado na questão:

Comparação entre frações

Nível da questão: Fácil.

Questão 175

Comentários e resolução feito por Rodrigo Marques____________________________

No tanque de um certo carro de passeio cabem até 50 𝑙 de combustível, e o rendimento médio deste carro na estrada é de 15 𝑘𝑚/𝑙 de combustível. Ao sair para uma viagem de 600 𝑘𝑚 o motorista observou que o marcador de combustível estava exatamente sobre uma das marcas da escala divisória do medidor, conforme a figura a seguir:

Como o motorista conhece o percurso, sabe que existem, até a chegada a seu destino,

cinco postos de abastecimento de combustível, localizados a 150 𝑘𝑚, 187 𝑘𝑚, 450 𝑘𝑚,

500 𝑘𝑚 e 570 𝑘𝑚 do ponto de partida. Qual a máxima distância, em quilômetro, que poderá percorrer até ser necessário reabastecer o veículo, de modo a não ficar sem combustível na estrada?

a) 570 b) 500 c) 450 d) 187 e) 150


73

• Resolução:

Vejamos que na figura, o tanque está divido em 8 partes e o ponteiro está indicando que

6 dessas partes está preenchida de gasolina. Logo, no tanque ainda há 6

8 da capacidade

total. Como a capacidade total é 50 𝑙, segue que ainda se tem,

𝐺 =6

8⋅ 50 =

3

4⋅ 50 =

3 ⋅ 25

2 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠.

Como o carro anda 15 𝑘𝑚 por litro, com essa quantidade de gasolina obtida anteriormente, o carro conseguirá percorrer

𝐷 =3 ⋅ 25

2⋅ 15 =

3 ⋅ 15 ⋅ 25

2= 562,5 𝑘𝑚.

Assim, o carro conseguirá percorrer até 500 𝑘𝑚 sem faltar combustível.


• Comentários: A questão exige a compreensão do conceito de fração e o uso dele

em situações contextualizadas. Esse problema merece um destaque, pois a

contextualização está muito bem empregada.


Frações.


Questão 176


Soba orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7 e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10 e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.

Qual é o número de andares desse edifício? A) 40. B) 60. C) 100. D) 115. E) 120.


74

• Resolução: Algo a se notar que será importante para a resolução da questão é que os andares em

que João trabalha são todos múltiplos de 2 somados de 1 e os que Pedro trabalha são múltiplos de 3 somados de 1.

Daí, para facilitar nossos cálculos, consideremos o andar 1 como sendo o andar 0, o andar 2 como sendo o andar 1, o andar 3 como o 2 e assim por diante.

Ou seja, João efetuou reparos nos andares 0, 2, 4, 6, e assim sucessivamente, sendo todos esses andares múltiplos de 2.

Além disso, Pedro trabalhou nos andares 0, 3, 6, 9, e assim sucessivamente. Isto é, nos andares múltiplos de 3.

Nos é informado que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos por João e por Pedro. Sendo esses andares, pelo que vimos, múltiplos de 2 e de 3. Ou seja, múltiplos de 6:

0, 6, 12, ⋯. Como eles realizaram trabalhos em exatamente 20 andares e coincidiram de terminar no

último andar do edifício, com o primeiro andar sendo o 0, o vigésimo será o 19 ∙ 6 = 114. Lembremos que subtraímos 1 de todos os andares. Assim, devemos somar 1 à resposta

encontrada a fim de compensa-lo e obtermos que o número de andares no edifício é: 114 + 1 = 115.


• Comentário:

Trata-se de uma questão difícil, pois traz o conceito de multiplicidade que, caso não fosse usado, seria gasto um maior tempo para enumerar todos os andares comum, fato que poderia prejudicar o restante da prova.


Multiplicidade

• Nível da questão: Difícil. Questão 177

Comentários e resolução feito por Otacilia Meira________________________________

Em uma cidade será construída uma galeria subterrânea que receberá uma rede de canos para o transporte de água de uma fonte (F) até o reservatório de um novo bairro (B).

Após avaliações, foram apresentados dois projetos para o trajeto de construção da galeria: um segmento de reta que atravessaria outros bairros ou uma semicircunferência que contornaria esses bairros, conforme ilustrado no sistema de coordenadas xOy da figura, em que a unidade de medida nos eixos é o quilômetro.


75

Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas características do solo, a construção de 1𝑚 de galeria via segmento de reta demora 1,0 ℎ, enquanto que 1𝑚 de construção de

galeria via semicircunferência demora 0,6 ℎ. Há urgência em disponibilizar água para esse bairro.

Use 3 como aproximação para 𝜋 e 1,4 como aproximação para √2. O menor tempo possível, em hora, para conclusão da construção da galeria, para atender

às necessidades de água do bairro, é de

a) 1260

b) 2520

c) 2800

d) 3600

e) 4000

• Resolução

• Resolução

Aplicando o Teorema de Pitágoras no quadrado 𝐴𝐹𝐶𝑂 de diagonal 𝐹𝑂̅̅ ̅̅ , temos

𝐹𝑂̅̅ ̅̅ 2 = 12 + 12 ⇒ 𝐹𝑂̅̅ ̅̅ = √2 𝑘𝑚.


76

Analogamente temos 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ = √2 𝑘𝑚. Logo,

𝐹𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐹𝑂̅̅ ̅̅ + 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ = √2 𝑘𝑚 + √2 𝑘𝑚 = 2√2 𝑘𝑚 = 2000√2 𝑚.

Sabendo que no trajeto em linha reta cada 1𝑚 de galeria é construído em 1,0ℎ, segue que

a construção dos 2000√2 𝑚 será concluído em 2000√2 ℎ.

Para a construção da galeria via uma semicircunferência, temos que a distância da fonte

F para o bairro B é dada por 𝜋𝑟𝑘𝑚, onde 𝜋𝑟 é o comprimento da semicircunferência e 𝑟 é o

raio. Desta forma

𝐹𝐵̅̅ ̅̅ = 𝜋√2 = 3√2𝑘𝑚 = 3000√2𝑚. (I)

Sendo cada 1𝑚 da galeria via semicircunferência construído em 0,6ℎ e considerando 𝑥

como o tempo total para construção da galeria via semicircunferência temos

𝑥 = 3000√2 ∙ 0,6 = 3000√2 ∙ 6

10= 300√2 ∙ 6 = 1800√2 ℎ. (II)

Observe que o tempo da construção da galeria via linha reta e via semicircunferência tem

√2 como fator comum, desta forma comparando os valores (I) e (II) temos que construir a

galeria via semicircunferência é mais rápido.

Como a questão pede o menor tempo possível só precisamos estimar o valor de √2 uma

vez, sendo assim,

1800√2 ℎ = 1800 ∙ 1,4ℎ = 2520ℎ.


• Comentário:

É uma boa questão, pois é bem contextualizada não apresentando erros na escrita e

possui um texto claro e sem ambiguidade.


Trigonometria, expressões algébricas, distância entre dois pontos e conversão de medida.

• Nível da Questão: Fácil


77

Questão 178

Comentários e resolução feito por Lucas da Silva_______________________________

Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da

produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões

indicadas na figura. O Silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga

cuja capacidade é de 20 m³. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para

transportar os grãos para a usina de beneficiamento.

Utilize 3 como aproximação para 𝜋.

O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o

volume de grãos armazenados no silo é

a) 6

b) 16

c) 17

d) 18

e) 21

• Resolução:

Observe que o silo e composto de um cilindro e um cone. Então, o volume do silo é a

soma do volume do cilindro com o volume do cone. Lembrando que o volume do cilindro

é 𝑉𝑐 = 𝜋ℎ𝑟2 e o do cone é dado por 𝑉𝑝 =𝜋𝑦𝑣2

3, onde 𝑟 e 𝑣 são raios da base do cilindro e

do cone, e ainda ℎ e 𝑦 são as alturas do cilindro e do cone, respectivamente. Daí, o


78

volume do Silo será 𝑉𝑎 = 𝜋ℎ𝑟2 + 𝜋𝑦𝑣2

3. Segue do enunciado da questão que 𝑟 = 𝑣 = 𝑦 =

3𝑚 e ℎ = 12𝑚. Basta substituir os valores em 𝑉𝑎 = 𝜋ℎ𝑟2 + 𝜋𝑦𝑣2

3. Logo,

𝑉𝑎 = 𝜋 ∙ 12 ∙ 32 + 𝜋 ∙ 3 ∙ 32

3 = 𝜋 ∙ 12 ∙ 32 + 𝜋 ∙ 32 ⇒

𝑉𝑎 = 13 ∙ 𝜋 ∙ 32 = 13 ∙ 3 ∙ 32 = 27 ∙ 13 = 351 𝑚3

Veja que

18 =360𝑚3

20 𝑚3 >351𝑚3

20 𝑚3 > 340 𝑚3

20 𝑚3 = 17 .

Portanto, o caminhão precisará de pelo menos 18 viagens para transportar todo o volume

de grãos.

Resposta: alternativa (D).

• Comentário:

Essa é uma questão de aplicação de fórmula que traz uma contextualização muito

simples. Portanto, o aluno que souber das formulas acertará facilmente. Nota-se ainda

que os dados foram bem colocados e o enunciado da questão está bem claro.


Geometria Espacial.

•Nível da questão: Fácil.

Questão 179

Comentários e resolução feito por Ismael Sandro_____________________________

Em uma empresa de móveis, um cliente encomenda um guarda-roupa nas dimensões 220 cm de altura, 120 cm de largura e 50 cm de profundidade. Alguns dias depois, o projetista, com o desenho elaborado na escala 1:8, entra em contato com o cliente para fazer sua apresentação.

No momento da impressão, o profissional percebe que o desenho não caberia na folha de papel que costumava usar. Para resolver o problema, configurou a impressora para que a figura fosse reduzida em 20%.

A altura, a largura e a profundidade do desenho impresso para a apresentação serão,

respectivamente,

a) 22,00 cm, 12,00 cm e 5,00 cm.

b) 27,50 cm, 15,00 cm e 6,25 cm.

c) 34,37 cm, 18,75 cm e 7,81 cm.

d) 35,20 cm, 19,20 cm e 8,00 cm.


79

e) 44,00 cm, 24,00 cm e 10,00 cm.

Resolução:

Se o projeto foi realizado em escala 1:8 isso significa que cada centímetro no papel

corresponde a 8 centímetros na vida real. Cada medida do desenho foi ainda reduzida em

20%, isto é, serão 80% da medida inicial. Assim, se 𝑥 é uma das medidas do objeto em

tamanho real a medida 𝑦 no desenho final é dada por:

𝑦 = 80% (1

8) 𝑥 = (

80

100) (

1

8) 𝑥 =

1

10𝑥.

Daí, concluímos que as medidas da altura, largura e profundidade, valem

respectivamente:

o (1

10) ∙ 220 = 22 𝑐𝑚;

o (1

10) ∙ 120 = 12 𝑐𝑚;

o (1

10) ∙ 50 = 5 𝑐𝑚.

• Resposta: alternativa (a)

• Comentário:

A questão tem um enunciado claro e preciso; não apresenta erros. No enunciado

contém uma especificação que é crucial para que se interprete a questão corretamente,

isso é importante para a ruptura do paradigma de que os enunciados longos, típicos do

ENEM, que não influenciam diretamente na resolução das questões, um ponto que é alvo

de muitas críticas ao ENEM.


Porcentagem e Escala.


Questão 180

Comentários e resolução feito por Otacilia Meira_______________________________

A London Eye é uma enorme roda-gigante na capital inglesa. Por ser um dos monumentos construídos para celebrar a entrada do terceiro milênio, ela também é conhecida como Roda do Milênio. Um turista brasileiro, em visita à Inglaterra, perguntou a um londrino o diâmetro (destacado na imagem) da Roda do Milênio e ele respondeu que ele tem 443 pés.

Dica PET-Matemática

Note que as alternativas todas

têm valores diferente, com

isso bastava ter calculado uma

das medidas em questão para

se obter a resposta!


80

Disponível em: www.mapadelondres.org. Acesso em: 14 maio 2015 (adaptado)

Não habituado com a unidade pé, e querendo satisfazer sua curiosidade, esse turista consultou um manual de unidades de medidas e constatou que 1 pé equivale a 12 polegadas, e que 1 polegada equivale a 2,54 cm. Após alguns cálculos de conversão, o turista ficou surpreendido com o resultado obtido em metros.

Qual a medida que mais se aproxima do diâmetro da Roda do Milênio, em metro? a) 53

b) 94

c) 113

d) 135

e) 145

• Resolução

Sabemos que 1 pé equivale a 12 polegadas e que 1 polegada equivale 2,54 cm. Assim,

considere 𝑥 o valor em cm de 12 polegadas, ou seja, 1 pé, desta forma

𝑥 = 12 ∙ 2,54

Para facilitar os cálculos usaremos 2,5 como valor de 1 polegada, desta forma

𝑥 = 12 ∙ 2,5 = 12 ∙5

2= 6 ∙ 5 = 30 𝑐𝑚.

Seja 𝑦 o diâmetro da London Eye em cm, como o diâmetro vale 443 pés, temos

𝑦 = 443 ∙ 30 = 13290 𝑐𝑚.

Ou ainda,

𝑦 =13290 𝑐𝑚

100= 132,9𝑚.

Como consideramos 1 polegada como sendo 2,5 cm, devemos aproximar a resposta

para o valor mais próximo acima de 132,9 m. Logo a resposta certa é a letra (E), 135 m.


81


• Comentário:

Esta é uma questão bem escrita, que apresenta um texto claro e que expõem todos os

dados necessários para poder obter êxito na resolução da questão. Vale ressaltar uma

pequena correção no contexto da questão, pois, no início a informação dada é que o

diâmetro da London Eye é de 443 pés, mas esta é a altura, a London Eye possui cerca de

393 pés de diâmetro, mas este é um equívoco que não interfere na resolução da questão.


Transformação de medida e expressão algébrica.

• Nível da Questão: Fácil.

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RESOLUÇÃO COMENTADA DA PROVA DE MATEMÁTICA … · RESOLUÇÃO COMENTADA DA PROVA DE MATEMÁTICA ENEM-2016 Equipe de bolsistas que participaram da resolução da prova: • Caio