Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade · em diversos setores da sociedade, e mesmo em nossas pr oprias vidas. Dadas suas amplas potencialidades, e natural pensarmos

Resolucao Computacional de Problemasde Probabilidade

Lucio Fassarella

Universidade Federal do Espırito Santo

[email protected]

26 de maio de 2015

Lucio Fassarella (UFES) Probabilidade 26 de maio de 2015 1 / 63

Sumario

1 IntroducaoMatematica e Computador

2 Brevıssima Introducao as ProbabilidadesO Problema de Monty Hall

3 Resolucao Computacional de Problemas de ProbabilidadeFundamentosExemplosExercıcios/Problemas

4 Referencias


Introducao

O minicurso

Objetivos: aprender a resolver problemas de probabilidade atraves desimulacoes computacionais de ensaios aleatorios.

Metodologia: fundamentacao teorica, discussao exemplos eresolucao de exercıcios/problemas.

Requisitos: vontade de aprender, alem de material para escrita.

Suporte: Apostila (revisao, estudos posteriores,...):

http://www.luciofassarella.net/ensino/minicursos/2015rcpp


Introducao

O minicurso







Introducao

O minicurso







Introducao

O minicurso







Introducao

O minicurso







Introducao

Matematica e Resolucao de Problemas

Em Matematica, resolver problemas e fundamental!

“Eu acredito que os problemas sao o coracao da Matematicae espero que nos professores, nas aulas e seminarios e nos livros eartigos que escrevermos, enfatizemos isso cada vez mais, e quetreinemos nossos estudantes a serem melhores elaboradores esolucionadores de problemas do que nos mesmos somos.”Paul Halmos [Halmos, 1980]


Introducao Matematica e Computador

MATEMATICA & COMPUTADOR



Matematica & Computador

Vivemos uma era em que o uso do computador esta bastante difundidoem diversos setores da sociedade, e mesmo em nossas proprias vidas.

Dadas suas amplas potencialidades, e natural pensarmos no emprego docomputador na educacao, particularmente na educacao matematica.














“Os computadores liberam a matematica do mundo real docalculo manual, permitindo que ela possa ir mais rapido e maislonge do que jamais se poderia imaginar. Agora, e vital que aeducacao matematica tambem incorpore essa automacao.”Conrad Wolfram (Traducao livre)




O uso do computador na resolucao de problemas matematicos podeocorrer de duas formas diferentes, pelo menos:

Como ferramenta auxiliar para executar algoritmos preestabelecidosutilizados numa estrategia de resolucao concebida sem o subsıdio docomputador.

Como instrumento cognitivo que nos permite conceber estrategias deresolucao alternativas.

Talvez nao seja essencial distinguir essas duas formas de usar ocomputador na pratica, ate porque elas podem colaborar, se sobrepor ouse confundir em diversas situacoes ...

Chamo de abordagem algorıtmica a tentativa de resolver um problemapela elaboracao de um algoritmo especıfico, cuja execucao gera a solucaoexata ou uma aproximacao arbitrariamente proxima da solucao exata.




































Trabalhos recentes indicam a relevancia de desenvolvermos o uso docomputador ou da computacao simbolica no ensino de Probabilidade:

“Gracas a abundancia de computadores de baixo custo, agoratemos a oportunidade de melhorar o ensino de matematica emuma frente vastamente mais ampla e interessante, que iramelhorar a importancia da matematica aprendida pelos alunos.Por exemplo, com a ajuda do metodo de Monte Carlo, eprogramas como o Mathematica, a Probabilidade pode assumirum lugar proeminente na Matematica Escolar. Nesse caso,eliminamos a opressora dificuldade com os calculoscombinatorios. Alem disso, medidas importantes relacionadascom a distribuicao normal (de Gauss) e outras distribuicoesexponenciais tambem podem ser abordadas pelo metodo deMonte Carlo, tornando essa parte da matematica nao maiscomplicada do que meras contagens.”[Uhl-Woods, 2007, p.3] (Traducao livre)





“Gracas a abundancia de computadores de baixo custo, agoratemos a oportunidade de melhorar o ensino de matematica emuma frente vastamente mais ampla e interessante, que iramelhorar a importancia da matematica aprendida pelos alunos.

Por exemplo, com a ajuda do metodo de Monte Carlo, eprogramas como o Mathematica, a Probabilidade pode assumirum lugar proeminente na Matematica Escolar. Nesse caso,eliminamos a opressora dificuldade com os calculoscombinatorios. Alem disso, medidas importantes relacionadascom a distribuicao normal (de Gauss) e outras distribuicoesexponenciais tambem podem ser abordadas pelo metodo deMonte Carlo, tornando essa parte da matematica nao maiscomplicada do que meras contagens.”[Uhl-Woods, 2007, p.3] (Traducao livre)





“Gracas a abundancia de computadores de baixo custo, agoratemos a oportunidade de melhorar o ensino de matematica emuma frente vastamente mais ampla e interessante, que iramelhorar a importancia da matematica aprendida pelos alunos.Por exemplo, com a ajuda do metodo de Monte Carlo, eprogramas como o Mathematica, a Probabilidade pode assumirum lugar proeminente na Matematica Escolar.

Nesse caso,eliminamos a opressora dificuldade com os calculoscombinatorios. Alem disso, medidas importantes relacionadascom a distribuicao normal (de Gauss) e outras distribuicoesexponenciais tambem podem ser abordadas pelo metodo deMonte Carlo, tornando essa parte da matematica nao maiscomplicada do que meras contagens.”[Uhl-Woods, 2007, p.3] (Traducao livre)





“Gracas a abundancia de computadores de baixo custo, agoratemos a oportunidade de melhorar o ensino de matematica emuma frente vastamente mais ampla e interessante, que iramelhorar a importancia da matematica aprendida pelos alunos.Por exemplo, com a ajuda do metodo de Monte Carlo, eprogramas como o Mathematica, a Probabilidade pode assumirum lugar proeminente na Matematica Escolar. Nesse caso,eliminamos a opressora dificuldade com os calculoscombinatorios. Alem disso, medidas importantes relacionadascom a distribuicao normal (de Gauss) e outras distribuicoesexponenciais tambem podem ser abordadas pelo metodo deMonte Carlo, tornando essa parte da matematica nao maiscomplicada do que meras contagens.”[Uhl-Woods, 2007, p.3] (Traducao livre)




Uma pesquisa “realizada com o objetivo de investigar as contribuicoes quea insercao da tecnologia pode trazer a educacao estocastica” e que tevecomo questao descobrir “como os recursos tecnologicos podem ser uteispara a construcao de novos conhecimentos da Estocastica no EnsinoFundamental” chegou a seguinte conclusao pertinente:

“Tornou-se evidente que a insercao de tais recursos geraconhecimentos mais amplos e precisos, porem exige do professorum conhecimento teorico-metodologico muito mais aprofundadosobre o assunto. Alem disso, os resultados destacaram aimportancia da simulacao e do processo de interacao naeducacao estocastica.”[Souza, 2009, p.6]




Uma pesquisa “realizada com o objetivo de investigar as contribuicoes quea insercao da tecnologia pode trazer a educacao estocastica” e que tevecomo questao descobrir “como os recursos tecnologicos podem ser uteispara a construcao de novos conhecimentos da Estocastica no EnsinoFundamental” chegou a seguinte conclusao pertinente:

“Tornou-se evidente que a insercao de tais recursos geraconhecimentos mais amplos e precisos, porem exige do professorum conhecimento teorico-metodologico muito mais aprofundadosobre o assunto. Alem disso, os resultados destacaram aimportancia da simulacao e do processo de interacao naeducacao estocastica.”[Souza, 2009, p.6]


Brevıssima Introducao as Probabilidades

BREVISSIMA INTRODUCAO AS PROBABILIDADES




Probabilidade e um conceito matematico que define uma medida para apossibilidade de ocorrencia de eventos aleatorios.

O conceito e caracterizado de modo bastante geral e rigoroso pelosAxiomas de Kolmogorov (1903-1987), mas numa ampla variedade de casose suficiente considerar uma concepcao mais antiga e restrita que remontaa Cardano (1501-1576) e Laplace (1749-1827) – na qual o espacoamostral se decompoem em eventos elementares igualmente provaveis.

Apresentamos aqui somente a definicao de probabilidade e suainterpretacao frequentista; para detalhes, indicamos o livro elementar[Morgado et.al., 2005].
















Definicao

Dado um conjunto nao-vazio U (chamado espaco amostral), umaprobabilidade em U e uma funcao definida na classe S (U) dossubconjuntos de U que toma valores em R,

P : S (U)→ R,

e cumpre as seguintes condicoes:

P (E ) ∈ [0, 1] , ∀E ⊆ U;

P (∅) = 0, P (U) = 1;

Aditividade:

A, B ∈ U, A ∩ B = ∅ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) .




Definicao


P : S (U)→ R,


P (E ) ∈ [0, 1] , ∀E ⊆ U;

P (∅) = 0, P (U) = 1;

Aditividade:

A, B ∈ U, A ∩ B = ∅ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) .




Definicao


P : S (U)→ R,


P (E ) ∈ [0, 1] , ∀E ⊆ U;

P (∅) = 0, P (U) = 1;

Aditividade:

A, B ∈ U, A ∩ B = ∅ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) .




Definicao


P : S (U)→ R,


P (E ) ∈ [0, 1] , ∀E ⊆ U;

P (∅) = 0, P (U) = 1;

Aditividade:

A, B ∈ U, A ∩ B = ∅ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) .




O conceito de probabilidade possui diversas interpretacoes, umadelas sendo a interpretacao frequentista – a qual se baseia na nocao deexperimentos aleatorios:

experimentos aleatorios sao sequencias deexperimentos realizados sob condicoes relevantes iguais, mas cujosresultados podem ser diferentes.

A interpretacao frequentista e bastante intuitiva, mas nao esta isenta deproblemas conceituais relacionados a propria nocao de experimentoaleatorio e a existencia do limite de frequencias relativas. Para umadiscussao aprofundada, recomendo [Hajek, 2012].




O conceito de probabilidade possui diversas interpretacoes, umadelas sendo a interpretacao frequentista – a qual se baseia na nocao deexperimentos aleatorios:experimentos aleatorios sao sequencias deexperimentos realizados sob condicoes relevantes iguais, mas cujosresultados podem ser diferentes.





O conceito de probabilidade possui diversas interpretacoes, umadelas sendo a interpretacao frequentista – a qual se baseia na nocao deexperimentos aleatorios:experimentos aleatorios sao sequencias deexperimentos realizados sob condicoes relevantes iguais, mas cujosresultados podem ser diferentes.





Interpretacao frequentista das probabilidades:

Definicao

Numa sequencia finita de N experimentos aleatorios num sistema fısico, afrequencia relativa de um evento especifico E e definida pelo quociente donumero nE dos experimentos que tiveram resultados em E pelo numerototal de experimentos:

nE

N.

A probabilidade do evento E e definida pelo limite das frequenciasrelativas de E, considerando uma sequencia infinita de experimentosaleatorios no sistema fısico:

P (E ) = limN→∞

nE

N,





Definicao


nE

N.


P (E ) = limN→∞

nE

N,





Definicao


nE

N.


P (E ) = limN→∞

nE

N,




Teorema

Seja U um espaco amostral finito e P uma probabilidade em U comrespeito a qual todos elementos sao igualmente provaveis, i.e.,

P ({u}) = p0 , ∀u ∈ U.

Entao:

p0 =1

#U

e

P (E ) =#E

#U, ∀E ⊆ U.

Infelizmente, podemos nos enganar facilmente quando estimamos asprobabilidades de situacoes bastante simples.Isso acontece tipicamente no problema de Monty Hall...




Teorema


P ({u}) = p0 , ∀u ∈ U.

Entao:

p0 =1

#U

e

P (E ) =#E

#U, ∀E ⊆ U.





Teorema


P ({u}) = p0 , ∀u ∈ U.

Entao:

p0 =1

#U

e

P (E ) =#E

#U, ∀E ⊆ U.





Teorema


P ({u}) = p0 , ∀u ∈ U.

Entao:

p0 =1

#U

e

P (E ) =#E

#U, ∀E ⊆ U.

Infelizmente, podemos nos enganar facilmente quando estimamos asprobabilidades de situacoes bastante simples.

Isso acontece tipicamente no problema de Monty Hall...




Teorema


P ({u}) = p0 , ∀u ∈ U.

Entao:

p0 =1

#U

e

P (E ) =#E

#U, ∀E ⊆ U.



Brevıssima Introducao as Probabilidades O Problema de Monty Hall


O PROBLEMA DE MONTY HALL




Problema de Monty Hall:




Num programa de auditorio, os participantes de um jogo recebem a opcaode escolher uma dentre tres portas, atras de uma das quais ha um carro,enquanto atras das outras duas ha cabras – embora o participante conhecaos premios, somente o apresentador sabe o que ha atras de cada porta. Oparticipante comeca o jogo escolhendo uma das portas e, depois disso, oapresentador abre uma das portas que esconde uma cabra, deixandofechadas as outras duas; entao, o apresentador pergunta ao participante seele quer manter ou trocar de escolha, para ganhar o premio que estivaratras daquela porta que ele escolher por ultimo. Afinal, e vantajoso para oparticipante trocar sua escolha?




O Problema de Monty Hall teve ampla repercussao nos EUA no ano de1990, apos um artigo publicado na coluna “Ask Marilyn” da revistaParade.

A razao da repercussao: a solucao correta (dada por Marilyn) contrariavaa opiniao da grande maioria das pessoas, cerca de 92% daquelas que secorresponderam com a revista – dentre as quais foram contados “quase milPhDs (...), muitos deles professores de matematica”[Mlodinow, 2009, p.53]




O Problema de Monty Hall teve ampla repercussao nos EUA no ano de1990, apos um artigo publicado na coluna “Ask Marilyn” da revistaParade.

A razao da repercussao: a solucao correta (dada por Marilyn) contrariavaa opiniao da grande maioria das pessoas, cerca de 92% daquelas que secorresponderam com a revista – dentre as quais foram contados “quase milPhDs (...), muitos deles professores de matematica”[Mlodinow, 2009, p.53]




O raciocınio comum e algo assim:

Afinal, ha apenas duas alternativas: uma porta com um carro euma porta com uma cabra, de modo que as chances doparticipante ganhar o carro ou a cabra sao ambas iguais a 50%,independentemente dele trocar ou manter sua escolha; portanto,trocar a escolha nao melhora as expectativas do participanteganhar o carro, ou seja, isso nao e vantajoso (nem desvantajoso).

Contudo, esse raciocınio esta errado, por mais natural, claro e convincenteque pareca!
















Dentre aqueles que se equivocaram com a solucao do problema, cabedestacar o eminente matematico Paul Erdos (1913-1996):

“[Ao ser informado da resposta certa,] Paul Erdos, um dosmaiores matematicos do seculo XX, afirmou: ‘Impossıvel’. Aseguir, quando apresentado a uma prova matematica formal daresposta correta, ainda assim nao acreditou nela, e ficou irritado.Somente depois que um colega preparou uma simulacaocomputadorizada na qual Erdos assistiu a centenas de testes quegeraram um resultado de 2 para 1 a favor da mudanca de escolhada porta, ele admitiu estar errado.”[Mlodinow, 2009, p.54]

O caso de Paul Erdos e dos leitores da revista Parede com o Problema deMonty Hall mostra como nossa intuicao pode errar na estimativa deprobabilidades, bem como ilustra que as simulacoes computacionaispodem nos ajudar a compreender melhor o assunto.














Resolucao Computacional de Problemas de Probabilidade

RESOLUCAO COMPUTACIONAL DE PROBLEMAS DEPROBABILIDADE


Resolucao Computacional de Problemas de Probabilidade Fundamentos

FUNDAMENTOS




A proposta constitui uma heurıstica para resolucao de problemas deprobabilidade que complementa as abordagens analıticas, sendoeventualmente uma alternativa mais atraente ou mais facil de serexecutada.

Destaco tres caracterısticas:

fundamento na interpretacao frequentista das probabilidades;

padronizacao da resolucao de problemas de probabilidade;

evitacao de problemas de combinatoria intermediarios.

Por essas razoes, temos a expectativa de que a proposta pode realmenteajudar os estudantes a compreender melhor a teoria das probabilidades.

















































Esclarecimento: simulacao computacional de um ensaio aleatoriosignifica usar um gerador de numeros pseudo-randomicos para selecionarum elemento de um conjunto finito dado.




A resolucao computacional para o caso de um problema que se resumea determinar a probabilidade de um evento E num espaco amostral finitoU no qual todos os elementos sao igualmente provaveis, pode seresquematizada em quatro etapas:

1 definir o espaco amostral U de modo adequado para realizar ensaiospseudo-ramdomicos;

2 caracterizar o evento E por um conjunto finito de propriedades em U;

3 realizar uma sequencia finita N de simulacoes de ensaios randomicosem U, contando o numero n de vezes nos quais os ensaios resultamnum elemento do evento E ;

4 calcular a probabilidade de E pelo quociente

p (E ) =n

N.









p (E ) =n

N.









p (E ) =n

N.









p (E ) =n

N.









p (E ) =n

N.




Podemos escrever um pseudo-algoritmo para calcular a probabilidade doevento E utilizando a funcao caracterıstica de E (viz., o teste quedetermina se um elemento de U pertence a E ):

ε (u) =

{1 , u ∈ E ,0 , u ∈ U \ E .




Podemos escrever um pseudo-algoritmo para calcular a probabilidade doevento E utilizando a funcao caracterıstica de E (viz., o teste quedetermina se um elemento de U pertence a E ):

ε (u) =

{1 , u ∈ E ,0 , u ∈ U \ E .




Denotando por Random (U) a simulacao computacional de um ensaioaleatorio em U, podemos escrever o algoritmo-solucao do problema daseguinte forma:

Algoritmo-Solucao Generico

1: Entrada: U, E , ε, N;2: n = 03: Para i = 1 ate i = N faca4: Se ε (Random (U)) = 1 entao n = n + 1;5: Retorne: n/N

Naturalmente, um mesmo problema pode ser resolvido por diversosalgoritmos-solucao diferentes, sendo eventualmente mais simples eelegantes do que esse algoritmo-solucao generico.


















Para testar a correcao do algoritmo-solucao e de sua codificacao nocomputador, podemos calcular a probabilidade total definida por umaparticao de U – a qual deve sempre ser igual a 1:

se {E1, ..., Em} e uma particao de U em m ∈ N subconjuntos disjuntos,

U = E1 ∪ ... ∪ Em e Ei ∩ Ej = ∅ ∀i 6= j ∈ {1, ..., m} ,

entao (necessariamente)

p (E1) + ... + p (Em) = 1.




Duas observacoes:

O calculo de uma probabilidade por simulacoes nao resulta no valorexato da probabilidade, mas numa aproximacao cujo erro pode serarbitrariamente reduzido aumentando o numero de ensaios.

Usando Estatıstica, podemos estimar o numero necessarios de ensaiospara que o erro da estimativa esteja abaixo de uma margempreviamente estabelecida com uma probabilidade arbitrariamente alta.Contudo, nao desenvolvemos esse topico nesta breve exposicao.




Duas observacoes:






Duas observacoes:




Resolucao Computacional de Problemas de Probabilidade Exemplos

EXEMPLOS



Probabilidade da soma de dois dados

Problema

No lancamento de dois dados, qual e a probabilidade da soma dosresultados ser igual a k ∈ {1, 2, ..., 12}?




Problema

No lancamento de dois dados, qual e a probabilidade da soma dosresultados ser igual a k ∈ {1, 2, ..., 12}?




Resolucao

Considerando que os resultados dos dados sao numeros entre 1 e 6independentes e igualmente provaveis, o espaco amostral do problemano qual todos os elementos sao igualmente provaveis e dado por:

U = {(a, b) ; a, b ∈ {1, ..., 6}}.

Algoritmo-solucao:

1: Entrada: k, N;2: n = 0;3: Para i = 1 ate i = N faca4: a = Random ({1, 2, 3, 4, 5, 6}) ,5: b = Random ({1, 2, 3, 4, 5, 6}) ,6: Se a + b = k entao n = n + 1;7: Retorne: n/N.




Resolucao


U = {(a, b) ; a, b ∈ {1, ..., 6}}.

Algoritmo-solucao:





Resolucao


U = {(a, b) ; a, b ∈ {1, ..., 6}}.

Algoritmo-solucao:




Probabilidade de aniversarios coincidirem

Problema

Dado um inteiro m ≥ 2, qual e a probabilidade de um grupo de m pessoaspossuir duas pessoas que fazem aniversario num mesmo dia (supondo quetodas as possıveis datas de aniversario sejam igualmente provaveis)?




Resolucao

Considerando que o ano possui 365 dias, associamos biunivocamentecada dia do ano a um numero entre 1 e 365.

Definimos o espaco amostral do problema pelo conjunto U de todas assequencias de m numeros entre 1 e 365 – cada termo representando odia do aniversario de uma determinada pessoa do grupo.

O evento cuja probabilidade devemos calcular e o subconjunto E detodas as sequencias de U que possuem pelo menos dois termos iguais.

A funcao caracterıstica de E e associa uma sequencia u ∈ U ao valor0 ou 1, respectivamente, se u nao possui termos iguais ou se u possuipelo menos dois termos iguais:

ε : U → {0, 1} , ε (u) =

{0 , se u nao possui termos iguais,1 , se u possui dois termos iguais;




Resolucao





ε : U → {0, 1} , ε (u) =





Resolucao





ε : U → {0, 1} , ε (u) =





Resolucao





ε : U → {0, 1} , ε (u) =





Resolucao





ε : U → {0, 1} , ε (u) =





Algoritmo-solucao:

1: Entrada: m, N;2: U = {sequencias com m numeros entre 1 e 365}3: n = 0;

4: ε : U → {0, 1} , ε (u) =


5: Para i = 1 ate i = N faca6: Se ε (Random (U)) = 1 entao n = n + 1;7: Retorne: n/N




Algoritmo-solucao:

1: Entrada: m, N;2: U = {sequencias com m numeros entre 1 e 365}3: n = 0;

4: ε : U → {0, 1} , ε (u) =


5: Para i = 1 ate i = N faca6: Se ε (Random (U)) = 1 entao n = n + 1;7: Retorne: n/N




Esse algoritmo foi programado no software Mathematica e retornou osseguintes resultados para N = 10000 simulacoes em cada caso:

para m = 2, a probabilidade computada foi 0.0022 (o valor exato e1/365 ≈ 0.0027);

para m = 3, a probabilidade computada foi 0.0089 (o valor exato e1/365 + 2× 364/3652 ≈ 0.0082);

para m = 10, a probabilidade computada foi 0.1152 (o valor exatofica para o interessado determinar...).

























Comentario

Quantas pessoas deve haver num grupo para que a probabilidade de haverdois integrantes com aniversario no mesmo dia seja maior do que 50%(supondo que todas as possıveis datas de aniversario sejam igualmenteprovaveis)?

A resolucao deste problema nao se resume a realizar simulacoescomputacionais, mas pode ser facilmente resolvido no computadorextendendo o algoritmo-solucao apresentado para o problema restrito decalcular a probabilidade de um grupo de m pessoas possuir duas pessoasque fazem aniversario num mesmo dia: basta escrever um algoritmo paraaplicar sucessivamente o algoritmo-solucao do problema restrito para umnumero m de pessoas que varie automaticamente m de 2 em diante ateque o resultado ultrapasse 0.5. A resposta exata do problema e 23,numero que parece baixo para a maioria das pessoas.




Comentario






Comentario


A resolucao deste problema nao se resume a realizar simulacoescomputacionais, mas pode ser facilmente resolvido no computadorextendendo o algoritmo-solucao apresentado para o problema restrito decalcular a probabilidade de um grupo de m pessoas possuir duas pessoasque fazem aniversario num mesmo dia:

basta escrever um algoritmo paraaplicar sucessivamente o algoritmo-solucao do problema restrito para umnumero m de pessoas que varie automaticamente m de 2 em diante ateque o resultado ultrapasse 0.5. A resposta exata do problema e 23,numero que parece baixo para a maioria das pessoas.




Comentario


A resolucao deste problema nao se resume a realizar simulacoescomputacionais, mas pode ser facilmente resolvido no computadorextendendo o algoritmo-solucao apresentado para o problema restrito decalcular a probabilidade de um grupo de m pessoas possuir duas pessoasque fazem aniversario num mesmo dia: basta escrever um algoritmo paraaplicar sucessivamente o algoritmo-solucao do problema restrito para umnumero m de pessoas que varie automaticamente m de 2 em diante ateque o resultado ultrapasse 0.5.

A resposta exata do problema e 23,numero que parece baixo para a maioria das pessoas.




Comentario





Probabilidade de um par de pessoas numa roda

Problema

10 pessoas sao colocadas ao acasonuma roda. Qual e a probabilidadede duas pessoas predeterminadasficarem juntas?




Designamos as pessoas pelos numeros de 1 a 10, representando por 1e 2 as duas pessoas predeterminadas para ficarem juntas.

Naturalmente, podemos definir uma disposicao dessas pessoas naroda por uma permutacao do conjunto dos numeros de 1 a 10, porexemplo (3, 5, 4, 1, 10, 7, 2, 8, 9, 6) corresponde a disposicao em que apessoa 3 fica a esquerda da pessoa 5, a pessoa 5 fica a esquerda dapessoa 4 e assim sucessivamente ate cheguar a pessoa 6 que fica aesquerda da pessoa 3 (fechando a roda).Desse modo, o espaco amostral do problema cujos elementos saoigualmente provaveis e o conjunto das permutacoes dos numeros de 1a 10.O evento cuja probabilidade devemos calcular corresponde aspermutacoes em que os numeros 1 e 2 aparecem juntos ou que elesocupem a primeira e decima posicoes.Com base nessas consideracoes, definimos o seguintealgoritmo-solucao onde PermutaRandom (U) denota a sequenciacorrespondente a uma permutacao randomica do conjunto U, A [k]designa o k-esimo termo da sequencia A e N designa o numero deexperimentos aleatorios que serao realizados.




Designamos as pessoas pelos numeros de 1 a 10, representando por 1e 2 as duas pessoas predeterminadas para ficarem juntas.Naturalmente, podemos definir uma disposicao dessas pessoas naroda por uma permutacao do conjunto dos numeros de 1 a 10, porexemplo (3, 5, 4, 1, 10, 7, 2, 8, 9, 6) corresponde a disposicao em que apessoa 3 fica a esquerda da pessoa 5, a pessoa 5 fica a esquerda dapessoa 4 e assim sucessivamente ate cheguar a pessoa 6 que fica aesquerda da pessoa 3 (fechando a roda).

Desse modo, o espaco amostral do problema cujos elementos saoigualmente provaveis e o conjunto das permutacoes dos numeros de 1a 10.O evento cuja probabilidade devemos calcular corresponde aspermutacoes em que os numeros 1 e 2 aparecem juntos ou que elesocupem a primeira e decima posicoes.Com base nessas consideracoes, definimos o seguintealgoritmo-solucao onde PermutaRandom (U) denota a sequenciacorrespondente a uma permutacao randomica do conjunto U, A [k]designa o k-esimo termo da sequencia A e N designa o numero deexperimentos aleatorios que serao realizados.




Designamos as pessoas pelos numeros de 1 a 10, representando por 1e 2 as duas pessoas predeterminadas para ficarem juntas.Naturalmente, podemos definir uma disposicao dessas pessoas naroda por uma permutacao do conjunto dos numeros de 1 a 10, porexemplo (3, 5, 4, 1, 10, 7, 2, 8, 9, 6) corresponde a disposicao em que apessoa 3 fica a esquerda da pessoa 5, a pessoa 5 fica a esquerda dapessoa 4 e assim sucessivamente ate cheguar a pessoa 6 que fica aesquerda da pessoa 3 (fechando a roda).Desse modo, o espaco amostral do problema cujos elementos saoigualmente provaveis e o conjunto das permutacoes dos numeros de 1a 10.

O evento cuja probabilidade devemos calcular corresponde aspermutacoes em que os numeros 1 e 2 aparecem juntos ou que elesocupem a primeira e decima posicoes.Com base nessas consideracoes, definimos o seguintealgoritmo-solucao onde PermutaRandom (U) denota a sequenciacorrespondente a uma permutacao randomica do conjunto U, A [k]designa o k-esimo termo da sequencia A e N designa o numero deexperimentos aleatorios que serao realizados.




Designamos as pessoas pelos numeros de 1 a 10, representando por 1e 2 as duas pessoas predeterminadas para ficarem juntas.Naturalmente, podemos definir uma disposicao dessas pessoas naroda por uma permutacao do conjunto dos numeros de 1 a 10, porexemplo (3, 5, 4, 1, 10, 7, 2, 8, 9, 6) corresponde a disposicao em que apessoa 3 fica a esquerda da pessoa 5, a pessoa 5 fica a esquerda dapessoa 4 e assim sucessivamente ate cheguar a pessoa 6 que fica aesquerda da pessoa 3 (fechando a roda).Desse modo, o espaco amostral do problema cujos elementos saoigualmente provaveis e o conjunto das permutacoes dos numeros de 1a 10.O evento cuja probabilidade devemos calcular corresponde aspermutacoes em que os numeros 1 e 2 aparecem juntos ou que elesocupem a primeira e decima posicoes.

Com base nessas consideracoes, definimos o seguintealgoritmo-solucao onde PermutaRandom (U) denota a sequenciacorrespondente a uma permutacao randomica do conjunto U, A [k]designa o k-esimo termo da sequencia A e N designa o numero deexperimentos aleatorios que serao realizados.




Designamos as pessoas pelos numeros de 1 a 10, representando por 1e 2 as duas pessoas predeterminadas para ficarem juntas.Naturalmente, podemos definir uma disposicao dessas pessoas naroda por uma permutacao do conjunto dos numeros de 1 a 10, porexemplo (3, 5, 4, 1, 10, 7, 2, 8, 9, 6) corresponde a disposicao em que apessoa 3 fica a esquerda da pessoa 5, a pessoa 5 fica a esquerda dapessoa 4 e assim sucessivamente ate cheguar a pessoa 6 que fica aesquerda da pessoa 3 (fechando a roda).Desse modo, o espaco amostral do problema cujos elementos saoigualmente provaveis e o conjunto das permutacoes dos numeros de 1a 10.O evento cuja probabilidade devemos calcular corresponde aspermutacoes em que os numeros 1 e 2 aparecem juntos ou que elesocupem a primeira e decima posicoes.Com base nessas consideracoes, definimos o seguintealgoritmo-solucao onde PermutaRandom (U) denota a sequenciacorrespondente a uma permutacao randomica do conjunto U, A [k]designa o k-esimo termo da sequencia A e N designa o numero deexperimentos aleatorios que serao realizados.




Algoritmo-Solucao

1: Entrada: N;2: n = 0;3: Para i = 1 ate i = N faca4: A = PermutaRandom ({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10})5: Se A [1] = 1 e A [2] = 2 ou A [10] = 2, entao n = n + 1;6: Se A [10] = 1 e A [9] = 2 ou A [1] = 2, entao n = n + 1;7: Para k = 2 ate k = 9 faca8: Se A [k] = 1 e A [k − 1] = 2 ou A [k + 1] = 2, entao n = n + 1;9: Retorne: n/N.




Este algoritmo foi programado no software Mathematica e retornou 0.2228numa execucao com N = 10000 simulacoes; ou seja, a probabilidade dasduas pessoas predeterminadas sentarem juntas nas circunstancias doproblema e de 22%, aproximadamente. O resultado exato e dado por2/9 = 0.222....



Problema da retirada de bolas em gavetas

Problema

Um movel tem tres gavetas iguais. Em uma gaveta ha duas bolas brancas,em outra ha duas bolas pretas, e na terceira ha uma bola branca e outrapreta. Abrimos uma gaveta ao acaso e tiramos uma bola ao acaso semolhar a segunda bola que esta na gaveta. A bola que tiramos e branca.Qual e a probabilidade de que a segunda bola que ficou sozinha na gavetatambem seja branca?




Problema

Um movel tem tres gavetas iguais. Em uma gaveta ha duas bolas brancas,em outra ha duas bolas pretas, e na terceira ha uma bola branca e outrapreta. Abrimos uma gaveta ao acaso e tiramos uma bola ao acaso semolhar a segunda bola que esta na gaveta. A bola que tiramos e branca.Qual e a probabilidade de que a segunda bola que ficou sozinha na gavetatambem seja branca?




Resolucao

Considere que as tres gavetas tem igual probabilidade de seremescolhidas inicialmente e eepresente as bolas pretas por 0 e as bolasbrancas por 1.

Definimos o espaco amostral com elementos igualmente provaveis por

U = {a, b, c} , a = {(0, 0)} , b = {(0, 1) , (1, 0)} , c = {(1, 1)} .

Podemos pensar nos ensaios em duas etapas (como descreve oproblema): primeiro escolhemos aleatoriamente uma das gavetas a, bou c; se a escolha resultar em a ou c , nao e necessario fazer novaescolha para determinar a cor da bola que sera retirada primeiro (elasera necessariamente preta no caso de a e branca no caso de c);entretanto, se o resultado da escolha da gaveta for b, entao devemosrealizar uma escolha aleatoria em {0, 1} para determinar qual e a corda primeira bola retirada (e tambem da segunda, consequentemente).




Resolucao



U = {a, b, c} , a = {(0, 0)} , b = {(0, 1) , (1, 0)} , c = {(1, 1)} .





Resolucao



U = {a, b, c} , a = {(0, 0)} , b = {(0, 1) , (1, 0)} , c = {(1, 1)} .

Podemos pensar nos ensaios em duas etapas (como descreve oproblema): primeiro escolhemos aleatoriamente uma das gavetas a, bou c;

se a escolha resultar em a ou c , nao e necessario fazer novaescolha para determinar a cor da bola que sera retirada primeiro (elasera necessariamente preta no caso de a e branca no caso de c);entretanto, se o resultado da escolha da gaveta for b, entao devemosrealizar uma escolha aleatoria em {0, 1} para determinar qual e a corda primeira bola retirada (e tambem da segunda, consequentemente).




Resolucao



U = {a, b, c} , a = {(0, 0)} , b = {(0, 1) , (1, 0)} , c = {(1, 1)} .

Podemos pensar nos ensaios em duas etapas (como descreve oproblema): primeiro escolhemos aleatoriamente uma das gavetas a, bou c; se a escolha resultar em a ou c , nao e necessario fazer novaescolha para determinar a cor da bola que sera retirada primeiro (elasera necessariamente preta no caso de a e branca no caso de c);

entretanto, se o resultado da escolha da gaveta for b, entao devemosrealizar uma escolha aleatoria em {0, 1} para determinar qual e a corda primeira bola retirada (e tambem da segunda, consequentemente).




Resolucao



U = {a, b, c} , a = {(0, 0)} , b = {(0, 1) , (1, 0)} , c = {(1, 1)} .





Numa sequencia de ensaios aleatorios em U, a informacao de que aprimeira retirada resultou numa bola branca e consideradasimplesmente desprezando todos os casos em que os ensaiosaleatorios em U resultam na gaveta a ou resultam na gaveta b com osubsequente ensaio aleatorio em {0, 1} resultando em 0.

Naturalmente, precisamos contar separadamente o numero de ensaiosvalidos (aqueles que correspondem a primeira bola retirada ser branca)dos ensaios que resultam no evento cuja probabilidade pretendemoscalcular (aqueles que correspondem a escolha da gaveta c).




Numa sequencia de ensaios aleatorios em U, a informacao de que aprimeira retirada resultou numa bola branca e consideradasimplesmente desprezando todos os casos em que os ensaiosaleatorios em U resultam na gaveta a ou resultam na gaveta b com osubsequente ensaio aleatorio em {0, 1} resultando em 0.

Naturalmente, precisamos contar separadamente o numero de ensaiosvalidos (aqueles que correspondem a primeira bola retirada ser branca)dos ensaios que resultam no evento cuja probabilidade pretendemoscalcular (aqueles que correspondem a escolha da gaveta c).




Algoritmo-solucao

1: Entrada: N;2: n = 0; m = 0;3: Para i = 1 ate i = N faca4: x = Random ({a, b, c}) ,4: Se x = a entao m = m e n = n;6: Se x = b e Random {0, 1} = 1 entao m = m + 1 e n = n;7: Se x = c entao m = m + 1 e n = n + 1;8: Retorne: n/m.




Este algoritmo foi programado no software Mathematica e retornou osseguintes resultados:

Numero de Simulacoes(N)

Resultado(P)

1000 0.65564210 000 0.66338

100 000 0.666993

A resposta exata do problema e

2/3 ≈ 0.6666




Este algoritmo foi programado no software Mathematica e retornou osseguintes resultados:

Numero de Simulacoes(N)

Resultado(P)

1000 0.65564210 000 0.66338

100 000 0.666993

A resposta exata do problema e

2/3 ≈ 0.6666


Resolucao Computacional de Problemas de Probabilidade Exercıcios/Problemas

EXERCICIOS/PROBLEMAS



Exercıcio/Problema

Qual e a probabilidade de que duas pessoas escolhidas ao acaso facamaniversario no mesmo dia (supondo que todas as possıveis datas deaniversario sejam igualmente provaveis)?



Exercıcio/Problema

Alice e Bob lancam, cada um, um dado nao-tendencioso. Qual e aprobabilidade do resultado de Alice ser maior ou igual ao resultado de Bob?



Exercıcio/Problema

Os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 sao escritos em 5 cartoes diferentes e colocadosnuma urna. Retira-se aleatoriamente da urna 5 cartoes em sequencia eescreve-se um numero natural de 5 algarismos com a correspondentesequencia de algarismos.

1 Se houver reposicao dos cartoes, qual e a probabilidade de que onumereo obtido seja par?

2 Se nao houver reposicao dos cartoes, qual e a probabilidade de que onumero obtido seja par?



Exercıcio/Problema

10 pessoas sao separadas em 2 grupos de 5 pessoas cada um, uma delas sechama Alice e outra Bob.

1 Qual e a probabilidade de que Alice e Bob facam parte do mesmogrupo?

2 Qual e a probabilidade de que Alice e Bob nao facam parte do mesmogrupo?



Exercıcio/Problema

5 homens e 5 mulheres sentam-se aleatoriamente em 10 cadeiras dispostasem cırculo.

1 Qual e a probabilidade de os homens e as mulheres se sentarem emlugares alternados?

2 Qual e a probabilidade das mulheres se sentarem juntas?



Exercıcio/Problema

Dado um inteiro n > 0, n bolas sao colocadas aleatoriamente em n urnas.

1 Qual e a probabilidade de que uma urna fique vazia?

2 Qual e a probabilidade de que exatamente uma urna fique vazia?



Exercıcio/Problema

Num armario com n pares de sapatos sao retirados p pes de sapato.

1 Qual e a probabilidade de que tenham sido retirados k pares desapatos, pelo menos?

2 Qual e a probabilidade de que tenham sido retirados k pares desapatos, exatamente?



Exercıcio/Problema

Uma prova contem 15 questoes e cada questao contem 5 alternativas, comapenas uma delas sendo correta. Se um candidato “chutar” todas asquestoes, qual e sua probabilidade de zerar a prova?



Exercıcio/Problema

Dois amigos querem decidir quem pagara a conta do restaurante com umaaposta. Cada um deles escolhe uma sequencia de tres caras ou coroas, eeles jogam uma moeda ate que saia uma das duas sequencias: aquele quetiver escolhido a primeira sequencia a sair ganhou a aposta. Por exemplo,Andre (por ser o primeiro em ordem alfabetica) e o primeiro a escolher efica com a sequencia ckc (em que c representa cara e k coroa) enquantoBernardo responde com cck . Eles jogam a moeda obtendo kckkckkkkccck,e neste momento Bernardo declarase o vencedor. Esta aposta e justa?Andre leva vantagem ou desvantagem por ser o primeiro a escolher? Quaissao as probabilidades de vitoria de cada um?



Exercıcio/Problema

Num programa de auditorio, Eugenio foi sorteado e tem direito a umpremio, mas ele deve escolher entre dois envelopes lacrados aparentementeiguais. O apresentador informa que cada envelope tem um cheque e que ovalor de um cheque e o dobro do outro, mas nao diz nada sobre o valordos cheques, nem indica qual envelope contem o cheque de maior valor.Eugenio escolhe e abre um envelope que contem um cheque de, digamos,R$ 100. Neste momento, o apresentador sempre faz uma proposta aoconvidado: ele pode trocar de envelope mediante uma multa de 5% dovalor do cheque que ele tem em maos, no caso, R$ 5. Assim, se Eugenioaceitar, ele pode ganhar R$ 45 (se o cheque no segundo envelope for deR$ 50) ou R$ 195 (se o outro cheque for de R$ 200). Suponhamos queEugenio (que fez um curso de Introducao a Probabilidade no perıodoanterior) queira maximizar o valor esperado de seu premio. Ele deveaceitar a troca?



OBRIGADO


Referencias

References I

F. Le Calvez, H. Giroire, G. Tisseau

Design of a Learning Environment in Combinatorics based on Problem Solving:Modeling Activities, Problems and Errors.

International Journal of Artificial Intelligence in Education, Vol.18, No.1 (2008):59-94.

Hellen F. Gondin: Probabilidade e Probabilidade Geometrica: Conceitos eExemplos Aplicaveis no Ensino Basico

Trabalho de Conclusao de Curso. Programa de Pos-Graduacao em Matematica emRede Nacional do Centro de Ciencias Exatas e Tecnologia – CCET/UFMS

Campo Grande - MS, 2013.

URL: http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/368 Acesso em27/03/2015.


Referencias

References II

Alan Hajek

Interpretations of Probability

In: Edward N. Zalta (ed.): The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2012Edition).

URL: http://plato.stanford.edu/archives/win2012/entries/probability-interpret.

Paul Halmos

The Heart of Mathematics

The American Mathematical Monthly, vol. 87(7) (1980): 519–524.

Leonard Mlodinow

O Andar do Bebado: como o acaso determina nossas vidas

Zahar: Rio de Janeiro, 2009.

Augusto C.O. Morgado et.al.

Analise Combinatoria e Probabilidade com as solucoes dos exercıcios – 7a. edicao.

SBM: Rio de Janeiro, 2005.


Referencias

References III

L. O. Souza

A Educacao Estatıstica no Ensino Fundamental e os recursos tecnologicos

Dissertacao de Mestrado em Ensino de Ciencias e Matematica

Instituicao Educacional Sao Miguel Paulista, Universidade Cruzeiro do Sul: SaoPaulo, 2009.

J.J. Uhl, D. Woods

The crisis we face and how to try to deal with it.

In: S. Li, D. Wang, J.-Z. Zhang: Symbolic Computation and Education

World Scientific: Singapure, 2007: Chapter 1.


Documents

Resolução Computacional de Problemas de Probabilidade · em diversos setores da sociedade, e mesmo em nossas pr oprias vidas. Dadas suas amplas potencialidades, e natural pensarmos