RESOLUÇÃO DA PROVA FINAL DE MATEMÁTICA - ANO 2007

3a SÉRIE DO E.M. _ COLÉGIO ANCHIETA – BA

ELABORAÇÃO: PROF. OCTAMAR MARQUES.

RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA.

QUESTÃO 01) Na figura, o raio do círculo é igual a 6 cm e o ponto O é o seu centro.

Sabe-se que o6 3x B)Cm(A −=ˆ e

o18 x B)Dm(A +=ˆ.

Calcule o comprimento, em centímetros, do arco .

01) 2

3π

02) 2ππππ 03) 3

2π

04) 4

π

05) 2

3π

RESOLUÇÃO: Os ângulos BCA ˆ e BDA ˆ determinam o arco , portanto são congruentes, logo ooo 12 x 18x6 3x =⇒+=− .

O comprimento do arco é ππ

26

12= .

RESPOSTA: Alternativa 02. QUESTÃO 02) Na figura, BC é um dos lados do hexágono regular inscrito no círculo que tem centro no ponto O.Calcule em milímetros quadrados, a área do setor OBC sabendo que AC =

32 centímetros.

01) 3

100π 02) 50π 03) 9

75π 04) 3

200π 05) 3

95π

RESOLUÇÃO: O triângulo ABC está inscrito na semicircunferência , logo é retângulo. O ângulo COB ˆ mede

60o, então 2r3223

2rACBsenAB =⇒=×⇒=× ˆ ⇒ S(OBC) = 3

2

6

4 ππ= cm2 =

3

200π mm2.

RESPOSTA: Alternativa 04 QUESTÃO 03) Um reservatório tem a forma de um paralelepípedo retângulo cuja base tem as dimensões a = 6m e b = 4m e cuja altura mede 3m. Ele contém água até a altura de x metros. Mergulha-se, nesse reservatório, completamente, um sólido de volume 12m3 fazendo com que a água atinja a altura 3m do reservatório. Calcule x. 01) 1 02) 1,5 03) 2,0 04) 2,5 05) 2,8

2

RESOLUÇÃO:

6×4×(3 – x) = 12 ⇒ 72 – 24x = 12 ⇒ x = 2,5. RESPOSTA: Alternativa 04 QUESTÃO 04) A figura mostra as seções meridianas de um cone e de um cilindro nele inscrito. O raio do cilindro é igual a 1m e sua altura é a metade da altura do cone. Calcule o volume do cilindro, em metros cúbicos, sabendo que o volume do cone é igual a 4πm3.

01) 02) 2

π 03) 2

3π 04) 3

2π 05) 4

3π

RESOLUÇÃO:

Os triângulos ABC e AMN são semelhantes e a razão de semelhança é 2 (a altura do primeiro é o dobro da altura do segundo), logo BC = 2MN = 4. Portanto o raio do cone mede 2m.

Como o volume do cone é 4πm3, temos: 2

3x4

3

x2.4=⇒= π

π

O volume do cilindro é, então, 2

3.

2

3 ππ =

. RESPOSTA: Alternativa 03

3

QUESTÃO 05) Na figura vemos um cubo de aresta 2a e centro º Pode-se afirmar que: 1) As retas HD e AB não são ortogonais. 2) Toda reta não contida no plano EFG é paralela ao plano

ABC. 3) A diagonal do cubo é igual a 22a .

4) Se α é a medida do ângulo BÔC, então 31

cosα = .

5) A tangente do ângulo que a reta EC forma com o plano ABC

é igual a 3

6 .

RESOLUÇÃO: 1) Falso, pois as retas HD e AB são ortogonais, pois HD é perpendicular à reta AD que é

perpendicular à reta AB . 2) Falso, pois a reta AB não está contida no plano EFG e não é paralela ao plano ABC. 3) Falso, pois a diagonal do cubo mede 32a .

4) VERDADEIRO. O triângulo BOC é isósceles, pois BO = CO = 3a2

32a= .

Aplicando a lei dos cossenos neste triângulo :

31

cosα2a.cosα6a.cosα3.a3a3a3a4asα2.BO.CO.coCOBOBC 22222222=⇒=⇒−+=⇒−+= .2 .

5) Falso. No triângulo retângulo CAE, AC = 22a , EC = 32a e

AE = 2a8a12a 22=− , logo,

22

22a

2aC)Etg(A ==ˆ

QUESTÃO 06) Numa faculdade, sobre seus professores, sabe-se que: I) O número de mulheres que não são doutoras é igual a 20. II) O número de doutores é igual a 20. III) O número de homens que não são doutores é igual a 60% do total de professores

desta faculdade. IV) O número de homens que são doutores é igual ao triplo do número de mulheres que

são doutoras. Qual a probabilidade de, escolhendo-se ao acaso um professor dessa faculdade ele seja uma doutora?

01) 1% 02) 2% 03) 3% 04) 4% 05) 5%

4

RESOLUÇÃO:

RESPOSTA: Alternativa 05

O número de doutores da faculdade é 20, então, 3x + x = 20 ⇒ x = 5 (número de mulheres doutoras). Como 60% do número total de professores são homens e doutores, então 40% do total de professores é igual a 40 professores (20 doutores + 20 mulheres não doutoras), logo 0,4n = 40 ⇒ n = 100. Assim a probabilidade de, escolhendo-se ao acaso um professor dessa faculdade ele seja uma doutora

é de 5%100

5= .

QUESTÃO 07) A figura ao lado representa o gráfico do polinômio p(x) do 3o grau tal que p(3) = 4. Calcule p(0). 01) 1 02) 1/2 03) 3/2 04) 2 05) –1 RESOLUÇÃO: Sendo p(x) um polinômio do terceiro grau cujas raízes são –1, 1 e 2, podemos representá-lo com a seguinte equação: p(x) = a(x + 1) (x –1) (x –2). Sendo p(3) = 4, temos a(3 + 1) (3 –1) (3 –2) = 4 ⇒ 8a = 4 ⇒ a = 1/2 ⇒ p(x) = 0,5(x + 1) (x –1) (x –2) ⇒ p(0) = 0,5( 1) ( –1) (–2) ⇒ 1. RESPOSTA: Alternativa 01 QUESTÃO 08) A parábola y = ax2 + bx + c passa no ponto (0,4) e tem vértice no ponto (2, – 1). O coeficiente b é igual a 01) 2 02) –2 03) 3 04) –3 05) –5 RESOLUÇÃO: Como a parábola y = ax2 + bx + c passa no ponto (0,4) podemos representá-la com equação

y = ax2 + bx + 4; e tendo vértice no ponto (2, – 1), temos ⇒=−

22a

b b = –4a. A equação da

5

parábola pode então ser escrita da seguinte forma y = ax2 –4a x + 4 e como ela passa no

ponto (2, –1), 4a – 8a + 4 = –1 ⇒⇒⇒⇒ a = 45 e b = –5.

RESPOSTA: Alternativa 05 QUESTÃO 09) Um fazendeiro possui 60m do material necessário para cercar um terreno retangular, aproveitando um muro existente como um dos lados. Calcule o valor de y de modo que a área cercada seja a mayor possível. 01) 10m 02) 12m 03) 15m 04) 18m 05) 20m

Muro

RESOLUÇÃO: O perímetro da cerca é 2y + x = 60 ⇒ y = 30 – 0,5x. A área do terreno é S = xy ⇒ S = x (30 – 0,5x) ⇒ S = – 0,5x2 + 30x.

S terá valor máximo para xv = 301

30=

−

− ⇒ y = 30 – 15 = 15.

RESPOSTA: Alternativa 03 QUESTÃO 10) Considere as premissas de um argumento.

1) Ser forte é condição suficiente para alguém ser atleta. 2) Nenhum atleta é veloz.

Qual, dentre as proposições abaixo, é a conclusão que torna esse argumento válido? 01) Se alguém é atleta então é forte . 02) Existe alguém forte que é veloz. 03) Não existe alguém veloz que seja forte. 04) Se alguém é veloz então é atleta. 05) É necessário ser forte para ser veloz. RESOLUÇÃO:

01) Falso. Existem atletas que não são fortes pela proposição 01. 02) Falso. Nenhum atleta é veloz pela proposição 02.

6

03) Verdadeiro. Pela proposição 02. 04) Falso. Pela proposição 02. 05) Falso Existem pessoas velozes que não são fortes. QUESTÃO 11) Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, 3) e é paralela à reta 4x – 2y + 5 = 0. 01) y = x + 3 02) y = –2x + 5 03) y = 2x + 5 04) y = –x + 4 05) y = 2x + 1 RESOLUÇÃO: 4x – 2y + 5 = 0 ⇒ 2y = 4x + 5 ⇒ y = 2x + 2,5 ⇒ que o coeficiente angular da reta 4x – 2y + 5 = 0 é 2 ⇒ o coeficiente angular de toda reta paralela aa reta 4x – 2y + 5 = 0 é 2. A reta procurada tem equação da forma y = 2x + b e passa pelo ponto (1, 3), logo, 2 + b = 3 ⇒b = 1. Então a resposta para esta situação particular é y = 2x + 1. RESPOSTA: Alternativa 05. QUESTÃO 12) As retas r : (m +1)x – 2y +4 = 0 s: 3x + my – 2 =0 são perpendiculares. Determine a abscissa do ponto em que a reta r intercepta a reta y = – 2x + 4. 01) – 1 02) 1 03) 1/2 04) –1/2 05) 2 RESOLUÇÃO:

O coeficiente angular de r é 2

1m + e o da reta s é

m3

− .

Como r e s são perpendiculares, 3m2m33m1m3

21m

−=⇒−=−−⇒−=

−

+⇒

r : – 2x – 2y +4 = 0. A interseção procurada é a solução do sistema:

=

=⇒

+−=

=+−−

2x

0y

42xy

042y2x

RESPOSTA: Alternativa 05. QUESTÃO 13) Sejam A = (–4, 0) e B = (2, 0) vértices consecutivos de um quadrado que não possui pontos no 1o quadrante. Determine a equação do círculo inscrito neste quadrado. 01) x2 +y2 – 2x – 6y + 1 = 0 04) x2 +y2 – 2x + 6y – 1 = 0 02) x2 +y2 + 2x + 6y + 1 = 0 05) x2 +y2 + 2x – 6y + 1 = 0 03) x2 +y2 – 4x + 2 = 0

7

RESOLUÇÃO: Analisando a figura ao lado, construída a partir das informações da questão, concluímos que o círculo tem raio 3 e centro no ponto (–1, –3). Sua equação é (x + 1)2 + (x + 3)2 = 9 ⇒ x2 + y2 + 2x + 6y +1 = 0. RESPOSTA: Alternativa 02.

QUESTÃO 14) O sétimo termo de uma P.A. é igual a 8 e o décimo termo é igual a 2. Calcule a soma dos 10 primeiros termos dessa P.A. 01) 85 02) 190 03) 95 04) 110 05) 120 RESOLUÇÃO: a10 = a7 + (10 – 7) r ⇒ 2 = 8 + 3r ⇒ r = –2. a10 = a1 + (10 – 1)( –2) ⇒ 2 = a1 –18 ⇒ a1 = 20.

S10 = ( )

1102

10220=

+.

RESPOSTA: Alternativa 04. QUESTÃO 15) A soma do 1o com o 3o termo de uma P.G. é igual a 117. A soma do 2o com o 4o termo é igual a 78. Calcule o primeiro termo dessa P.G. 01) 81 02) 27 03) 36 04) 48 05) 54 RESOLUÇÃO:

=

×=⇒

=

+

=

⇒

=+

=+⇒

=+

=+

81a139

117a

11794

1a

32

q

78)qq(1a

117)q(1a

78qaqa

117qaa

1

1

1

21

21

311

211

RESPOSTA: Alternativa 01. QUESTÃO 15) Quantos múltiplos de cinco com quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 01) 150 02) 160 03) 180 04) 210 05) 220

8

RESOLUÇÃO: TERMINAÇÃO 0 TERMINAÇÃO 5 OPÇÕES 6 5 4 OPÇÕES 5 5 4 QUANTIDADE DE NÚMEROS

6 × 5 ×.4 = 120

QUANTIDADE DE NÚMEROS

5 × 5 ×.4 = 100

número total de múltiplos de 5 com 4 algarismos distintos: 120 + 100 = 220. RESPOSTA: Alternativa 05. QUESTÃO 17) Calcule o número de soluções inteiras e positivas da inequação:

1xx

62x2

+≤−

.

01) 1 02) 4 03) 2 04) 5 05) 3 RESOLUÇÃO:

.0x

6xx0

xx x 62x

1xx

62x 2222

≤−−

⇒≤−−−

⇒+≤−

As raízes do numerador são 3 e –2 e a do denominador é 0. A solução dessa inequação é 0 intervalo [–2, 0[ ∪ [3, +∞[. Os números inteiros positivos que pertencem a esse intervalo são:, 1, 2 e 3. RESPOSTA: Alternativa 05. QUESTÃO 18) Determine o domínio da função 2)log(xlog21y −−+= . 01) ]0,20] 02) ]2,22] 03) ]2,+∞[ 04) ]– ∞, 2[ 05) ]2,10] RESOLUÇÃO:

22] ]2,x2x

22x

02-x

202-x

2)log(xlog20 0 2)log(xlog212)log(xlog21y

∈⇒

>

≤⇒

>

≤

⇒−≥⇒≥−−+⇒−−+=

RESPOSTA: Alternativa 02.

9

QUESTÃO 19) Sabendo que (fog)(x) = 2x – 1 e g(x) = 3 – x . Calcule f – 1 (1). 01) 0 02) 1 03) 2 04) 3 05) 5 RESOLUÇÃO: (fog)(x) = 2x – 1 ⇒ f(3 – x) = 2x – 1 ⇒ f – 1(2x – 1) = 3 – x. Fazendo 2x – 1 = 1 ⇒ x = 1 ⇒ f – 1 (1) = 3 – 1 = 2 RESPOSTA: Alternativa 03. QUESTÃO 20) Identifique o gráfico da função y = 1)(xlog

2

1 +− .

01)

02)

03)

04)

05)

RESOLUÇÃO: y = (x)log

2

1 .

y = 1)(xlog2

1 + .

y = 1)(xlog2

1 +− .

RESPOSTA: Alternativa 04.

10

QUESTÃO 21) Vendi um objeto com lucro de 20% sobre o custo. Apliquei o valor obtido a juros compostos de 10% ao mês, durante 2 meses, obtendo um montante igual a R$ 4.356,00. Qual o preço de custo dessa mercadoria? 01) R$ 3.000,00 04) R$ 3.500,00 02) R$ 3.200,00 05) R$ 3.600,00 03) R$ 3.400,00 RESOLUÇÃO: V = 1,2C.

M = 1,2C × 1,12 = 4.356 ⇒ C = 000.321,12,1

356.4=

×.

RESPOSTA: Alternativa 01.