RESOLUÇÃO DA PROVA FINAL DE MATEMÁTICA - ANO ?· QUESTÃO 03) Um reservatório tem a forma de um…

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  • RESOLUO DA PROVA FINAL DE MATEMTICA - ANO 2007

    3a SRIE DO E.M. _ COLGIO ANCHIETA BA

    ELABORAO: PROF. OCTAMAR MARQUES.

    RESOLUO: PROFA. MARIA ANTNIA GOUVEIA.

    QUESTO 01) Na figura, o raio do crculo igual a 6 cm e o ponto O o seu centro.

    Sabe-se que o6 3x B)Cm(A = e

    o18 x B)Dm(A += .

    Calcule o comprimento, em centmetros, do arco .

    01) 23

    02) 2 03) 32

    04) 4

    05) 23

    RESOLUO: Os ngulos BCA e BDA determinam o arco , portanto so congruentes, logo ooo 12 x 18x6 3x =+= .

    O comprimento do arco 26

    12= .

    RESPOSTA: Alternativa 02. QUESTO 02) Na figura, BC um dos lados do hexgono regular inscrito no crculo que tem centro no ponto O.Calcule em milmetros quadrados, a rea do setor OBC sabendo que AC =

    32 centmetros.

    01) 3

    100 02) 50 03) 9

    75 04) 3

    200 05) 3

    95

    RESOLUO: O tringulo ABC est inscrito na semicircunferncia , logo retngulo. O ngulo COB mede

    60o, ento 2r3223

    2rACBsenAB === S(OBC) = 3

    2

    6

    4 = cm2 =

    3

    200 mm2.

    RESPOSTA: Alternativa 04 QUESTO 03) Um reservatrio tem a forma de um paraleleppedo retngulo cuja base tem as dimenses a = 6m e b = 4m e cuja altura mede 3m. Ele contm gua at a altura de x metros. Mergulha-se, nesse reservatrio, completamente, um slido de volume 12m3 fazendo com que a gua atinja a altura 3m do reservatrio. Calcule x. 01) 1 02) 1,5 03) 2,0 04) 2,5 05) 2,8

  • 2

    RESOLUO:

    64(3 x) = 12 72 24x = 12 x = 2,5. RESPOSTA: Alternativa 04 QUESTO 04) A figura mostra as sees meridianas de um cone e de um cilindro nele inscrito. O raio do cilindro igual a 1m e sua altura a metade da altura do cone. Calcule o volume do cilindro, em metros cbicos, sabendo que o volume do cone igual a 4m3.

    01) 02) 2

    03) 2

    3 04) 3

    2 05) 4

    3

    RESOLUO:

    Os tringulos ABC e AMN so semelhantes e a razo de semelhana 2 (a altura do primeiro o dobro da altura do segundo), logo BC = 2MN = 4. Portanto o raio do cone mede 2m.

    Como o volume do cone 4m3, temos: 23

    x43

    x2.4==

    O volume do cilindro , ento, 23

    .2

    3 =

    . RESPOSTA: Alternativa 03

  • 3

    QUESTO 05) Na figura vemos um cubo de aresta 2a e centro Pode-se afirmar que: 1) As retas HD e AB no so ortogonais. 2) Toda reta no contida no plano EFG paralela ao plano

    ABC. 3) A diagonal do cubo igual a 22a .

    4) Se a medida do ngulo BC, ento 31

    cos = .

    5) A tangente do ngulo que a reta EC forma com o plano ABC

    igual a 3

    6 .

    RESOLUO: 1) Falso, pois as retas HD e AB so ortogonais, pois HD perpendicular reta AD que

    perpendicular reta AB . 2) Falso, pois a reta AB no est contida no plano EFG e no paralela ao plano ABC. 3) Falso, pois a diagonal do cubo mede 32a .

    4) VERDADEIRO. O tringulo BOC issceles, pois BO = CO = 3a2

    32a= .

    Aplicando a lei dos cossenos neste tringulo :

    31

    cos2a.cos6a.cos3.a3a3a3a4as2.BO.CO.coCOBOBC 22222222 ==+=+= .2 .

    5) Falso. No tringulo retngulo CAE, AC = 22a , EC = 32a e

    AE = 2a8a12a 22 = , logo, 22

    22a

    2aC)Etg(A ==

    QUESTO 06) Numa faculdade, sobre seus professores, sabe-se que: I) O nmero de mulheres que no so doutoras igual a 20. II) O nmero de doutores igual a 20. III) O nmero de homens que no so doutores igual a 60% do total de professores

    desta faculdade. IV) O nmero de homens que so doutores igual ao triplo do nmero de mulheres que

    so doutoras. Qual a probabilidade de, escolhendo-se ao acaso um professor dessa faculdade ele seja uma doutora?

    01) 1% 02) 2% 03) 3% 04) 4% 05) 5%

  • 4

    RESOLUO:

    RESPOSTA: Alternativa 05

    O nmero de doutores da faculdade 20, ento, 3x + x = 20 x = 5 (nmero de mulheres doutoras). Como 60% do nmero total de professores so homens e doutores, ento 40% do total de professores igual a 40 professores (20 doutores + 20 mulheres no doutoras), logo 0,4n = 40 n = 100. Assim a probabilidade de, escolhendo-se ao acaso um professor dessa faculdade ele seja uma doutora

    de 5%100

    5= .

    QUESTO 07) A figura ao lado representa o grfico do polinmio p(x) do 3o grau tal que p(3) = 4. Calcule p(0). 01) 1 02) 1/2 03) 3/2 04) 2 05) 1 RESOLUO: Sendo p(x) um polinmio do terceiro grau cujas razes so 1, 1 e 2, podemos represent-lo com a seguinte equao: p(x) = a(x + 1) (x 1) (x 2). Sendo p(3) = 4, temos a(3 + 1) (3 1) (3 2) = 4 8a = 4 a = 1/2 p(x) = 0,5(x + 1) (x 1) (x 2) p(0) = 0,5( 1) ( 1) (2) 1. RESPOSTA: Alternativa 01 QUESTO 08) A parbola y = ax2 + bx + c passa no ponto (0,4) e tem vrtice no ponto (2, 1). O coeficiente b igual a 01) 2 02) 2 03) 3 04) 3 05) 5 RESOLUO: Como a parbola y = ax2 + bx + c passa no ponto (0,4) podemos represent-la com equao

    y = ax2 + bx + 4; e tendo vrtice no ponto (2, 1), temos = 22a

    b b = 4a. A equao da

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    parbola pode ento ser escrita da seguinte forma y = ax2 4a x + 4 e como ela passa no

    ponto (2, 1), 4a 8a + 4 = 1 a = 45 e b = 5.

    RESPOSTA: Alternativa 05 QUESTO 09) Um fazendeiro possui 60m do material necessrio para cercar um terreno retangular, aproveitando um muro existente como um dos lados. Calcule o valor de y de modo que a rea cercada seja a mayor possvel. 01) 10m 02) 12m 03) 15m 04) 18m 05) 20m

    Muro

    RESOLUO: O permetro da cerca 2y + x = 60 y = 30 0,5x. A rea do terreno S = xy S = x (30 0,5x) S = 0,5x2 + 30x.

    S ter valor mximo para xv = 301

    30=

    y = 30 15 = 15.

    RESPOSTA: Alternativa 03 QUESTO 10) Considere as premissas de um argumento.

    1) Ser forte condio suficiente para algum ser atleta. 2) Nenhum atleta veloz.

    Qual, dentre as proposies abaixo, a concluso que torna esse argumento vlido? 01) Se algum atleta ento forte . 02) Existe algum forte que veloz. 03) No existe algum veloz que seja forte. 04) Se algum veloz ento atleta. 05) necessrio ser forte para ser veloz. RESOLUO:

    01) Falso. Existem atletas que no so fortes pela proposio 01. 02) Falso. Nenhum atleta veloz pela proposio 02.

  • 6

    03) Verdadeiro. Pela proposio 02. 04) Falso. Pela proposio 02. 05) Falso Existem pessoas velozes que no so fortes. QUESTO 11) Determine a equao da reta que passa pelo ponto (1, 3) e paralela reta 4x 2y + 5 = 0. 01) y = x + 3 02) y = 2x + 5 03) y = 2x + 5 04) y = x + 4 05) y = 2x + 1 RESOLUO: 4x 2y + 5 = 0 2y = 4x + 5 y = 2x + 2,5 que o coeficiente angular da reta 4x 2y + 5 = 0 2 o coeficiente angular de toda reta paralela aa reta 4x 2y + 5 = 0 2. A reta procurada tem equao da forma y = 2x + b e passa pelo ponto (1, 3), logo, 2 + b = 3 b = 1. Ento a resposta para esta situao particular y = 2x + 1. RESPOSTA: Alternativa 05. QUESTO 12) As retas r : (m +1)x 2y +4 = 0 s: 3x + my 2 =0 so perpendiculares. Determine a abscissa do ponto em que a reta r intercepta a reta y = 2x + 4. 01) 1 02) 1 03) 1/2 04) 1/2 05) 2 RESOLUO:

    O coeficiente angular de r 2

    1m + e o da reta s

    m3

    .

    Como r e s so perpendiculares, 3m2m33m1m3

    21m

    ===

    +

    r : 2x 2y +4 = 0. A interseo procurada a soluo do sistema:

    =

    =

    +=

    =+

    2x

    0y

    42xy

    042y2x

    RESPOSTA: Alternativa 05. QUESTO 13) Sejam A = (4, 0) e B = (2, 0) vrtices consecutivos de um quadrado que no possui pontos no 1o quadrante. Determine a equao do crculo inscrito neste quadrado. 01) x2 +y2 2x 6y + 1 = 0 04) x2 +y2 2x + 6y 1 = 0 02) x2 +y2 + 2x + 6y + 1 = 0 05) x2 +y2 + 2x 6y + 1 = 0 03) x2 +y2 4x + 2 = 0

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    RESOLUO: Analisando a figura ao lado, construda a partir das informaes da questo, conclumos que o crculo tem raio 3 e centro no ponto (1, 3). Sua equao (x + 1)2 + (x + 3)2 = 9 x2 + y2 + 2x + 6y +1 = 0. RESPOSTA: Alternativa 02.

    QUESTO 14) O stimo termo de uma P.A. igual a 8 e o dcimo termo igual a 2. Calcule a soma dos 10 primeiros termos dessa P.A. 01) 85 02) 190 03) 95 04) 110 05) 120 RESOLUO: a10 = a7 + (10 7) r 2 = 8 + 3r r = 2. a10 = a1 + (10 1)( 2) 2 = a1 18 a1 = 20.

    S10 = ( )

    1102

    10220=

    +.

    RESPOSTA: Alternativa 04. QUESTO 15) A soma do 1o com o 3o termo de uma P.G. igual a 117. A soma do 2o com o 4o termo igual a 78. Calcule o primeiro termo dessa P.G. 01) 81 02) 27 03) 36 04) 48 05) 54 RESOLUO:

    =

    =

    =

    +

    =

    =+

    =+

    =+

    =+

    81a139

    117a

    11794

    1a

    32

    q

    78)qq(1a

    117)q(1a

    78qaqa

    117qaa

    1

    1

    1

    21

    21

    311

    211

    RESPOSTA: Alternativa 01. QUESTO 15) Quantos mltiplos de cinco com quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 01) 150 02) 160 03) 180 04) 210 05) 220

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    RESOLUO: TERMINAO 0 TERMINAO 5 OPES 6 5 4 OPES 5 5 4 QUANTIDADE DE NMEROS

    6 5 .4 = 120

    QUANTIDADE DE NMEROS

    5 5 .4 = 100

    nmero total de mltiplos de 5 com 4 algarismos distintos: 120 + 100 = 220. RESPOSTA: Alternativa 05. QUESTO 17) Calcule o nmero de solues inteiras e positivas da inequao:

    1xx

    62x2+

    .

    01) 1 02) 4 03) 2 04) 5 05) 3 RESOLUO:

    .0x

    6xx0

    xx x 62x

    1xx

    62x 2222

    +

    As razes do numerador so 3 e 2 e a do denominador 0. A soluo dessa inequao 0 intervalo [2, 0[ [3, +[. Os