Resolução de Sistemas Não-Lineares- Parte 1. Sistemas não-lineares Normalmente, em problemas aplicados temos que resolver sistemas de equações não-lineares

  • View
    110

  • Download
    4

Embed Size (px)

Text of Resolução de Sistemas Não-Lineares- Parte 1. Sistemas não-lineares Normalmente, em problemas...

  • Slide 1
  • Resoluo de Sistemas No-Lineares- Parte 1
  • Slide 2
  • Sistemas no-lineares Normalmente, em problemas aplicados temos que resolver sistemas de equaes no-lineares de ordem
  • Slide 3
  • Dada Procuramos a soluo do sistema no-linear Em notao matricial: Sistemas no-lineares
  • Slide 4
  • EXEMPLO DE SISTEMAS NO-LINEARES nxn Exemplo1: Interseco de crculo com hiprbole. Temos 4 solues (interseces)!!!!!!!!!!!!!!!!
  • Slide 5
  • EXEMPLO DE SISTEMAS NO-LINEARES nxn Exemplo2: Interseco de duas parbolas. No temos solues!!!!!!!!!!!!!!!!
  • Slide 6
  • SISTEMAS NO-LINEARES nxn HIPTESES Seja onde um aberto de. Em, suponha que tenha derivadas contnuas. Suponha que exista pelo menos um tal que.
  • Slide 7
  • SISTEMAS NO-LINEARES nxn HIPTESES Seja o vetor gradiente de dado por e a matriz Jacobiana de :
  • Slide 8
  • SISTEMAS NO-LINEARES nxn MTODO DE NEWTON O Mtodo de Newton mtodo bsico. Consiste na linearizao local do sistema no-linear Seja a aproximao. Para qualquer, existe, tal que: Aproximando, temos um modelo local linear
  • Slide 9
  • SISTEMAS NO-LINEARES nxn MTODO DE NEWTON O modelo local linear do sistema no-linear Seja, ento Passo 1: Dado, calcule e. Passo 2: Resolve-se o sistema linear. Neste ponto tcnicas de fatorao, pivoteamento e mtodos iterativos podem ser utilizadas para determinar. O Mtodo de Newton com resoluo do sistema linear de modo iterativo chamado de Mtodo de Newton Inexato.
  • Slide 10
  • SISTEMAS NO-LINEARES nxn Comentrio 1: Estudaremos os mtodos para sistemas no-lineares so iterativos. Dado inicial, gera- se uma seqncia, de modo que Comentrio 2: Critrios de parada a) norma dos vetores de. b) norma infinito. c) tolerncia ou nmero mximo de iteraes.
  • Slide 11
  • SISTEMAS NO-LINEARES nxn MTODO DE NEWTON INEXATO Algoritmo. Dados,,, faa: Passo1: Calcule e. Passo 2: Se, faa e pare. Seno, Passo 3: Obtenha, soluo de Passo 4: Faa Passo 5: Se faa e pare. Seno Passo 6: Faa e volte ao passo 1.
  • Slide 12
  • MTODO DE NEWTON Exemplo Resolva o sistema. Sabemos que as solues so Tomamos, e calculando o Jacobiano, obtemos.
  • Slide 13
  • MTODO DE NEWTON Exemplo Iterao 1: continue! mtodos diretos ou iterativos e continue!!!!!!
  • Slide 14
  • MTODO DE NEWTON Exemplo Passo 1: Comentrio: Note que no processo de resoluo de sistemas no-lineares, devemos resolver um sistema linear a cada iterao. Mtodos diretos: Eliminao de Gauss com pivoteamento parcial ou total, fatorao LU ou Cholesky..... Mtodos iterativos: Mtodo de Gauss-Jacobi o Gauss-Seidel
  • Slide 15
  • MTODO DE NEWTON Exemplo CONTINUANDO. Iterao 2: continue e continue!!!!!!
  • Slide 16
  • MTODO DE NEWTON Exemplo 1-Continuar o processo at que um dos dois critrios de parada seja atingido, ou seja ou 2-Convergncia do Mtodo de Newton Inexato Quadrtica em condies adequadas. 3-Diferentes abordagens do Mtodo de Newton Inexato geram algoritmos alternativos.
  • Slide 17
  • MTODO DE NEWTON MODIFICADO O Mtodo de Newton Modificado consiste em tomar a cada iterao, sempre,, em vez de. O mtodo iterativo dado pela seqncia. Neste procedimento temos que resolver no passo o sistema linear:
  • Slide 18
  • MTODO DE NEWTON MODIFICADO O Mtodo de Newton Modificado tem a vantagem de calcular uma nica vez a matriz Jacobiana. No caso de resolver por fatorao LU, os fatores L e U tambm sero calculados uma nica vez.
  • Slide 19
  • MTODO DE NEWTON MODIFICADO EXEMPLO Resolva o sistema. Sabemos que as solues so Tomamos, e calculando o Jacobiano, obtemos. Fixado!!!!
  • Slide 20
  • MTODO DE NEWTON MODIFICADO Iterao 1: continue! mtodos diretos ou iterativos e continue!!!!!!
  • Slide 21
  • MTODO DE NEWTON MODIFICADO Iterao 2: continue Diferena e continue!!!!!!
  • Slide 22
  • MTODO DE NEWTON CONVERGNCIA O Mtodo de Newton Modificado, Inexato, perde a propriedade de convergncia quadrtica, apesar que neste exemplo, aparentemente, o nvel de convergncia foi semelhante. Verifica-se que o Mtodo de Newton Modificado converge linearmente.
  • Slide 23
  • MTODOS DE QUASE-NEWTON Os Mtodos de Quase-Newton, Inexatos, consistem em gerar seqncias, com Boas propriedades de convergncia, sem ter que avaliar (calcular) a matriz Jacobiana a cada iterao.
  • Slide 24
  • MTODOS DE QUASE-NEWTON No Mtodo de Newton Inexato a seqncia gerada por onde a soluo do sistema linear A idia impor condies sobre gerando a) algum princpio de variao mnima. b) preservar alguma estrutura (simetria, esparsidade,..) da matriz Jacobiana.