Resolucao e Implementacao de Metodos Numericos Para Resolucao de Equacoes Nao Lineares

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RESOLUO E IMPLEMENTAO DE MTODOS NUMRICOS PARA RESOLUO DE EQUAES NO LINEARES Salete Maria Chalub Bandeira1 Simone Maria Chalub Bandeira Bezerra2

RESUMO: Apresenta-se, neste trabalho, o resultado parcial de uma pesquisa realizada nos ltimos 7 anos, desenvolvida em conjunto com discentes dos Cursos de Bacharelado em Sistemas de informao, Licenciatura em Matemtica e Bacharelado em Engenharia Civil, da Universidade Federal do Acre. Nessa pesquisa, verificou-se a importncia da construo de um Software Matemtico para auxiliar na resoluo de equaes no lineares, aplicando os Mtodos Iterativos: Bisseco e Posio Falsa, assunto trabalhado na disciplina de Clculo Numrico/ Mtodos Numricos. Deixou-se, para outra oportunidade, a abordagem dos mtodos do Ponto Fixo, Newton-Raphson e Secante. PALAVRAS-CHAVE: Equaes no lineares, mtodo da bisseco, mtodo da posio falsa. ABSTRACT: This work introduces partial result of a search which it has been carried ou in the early 7 years. It has been developed with Information Systems, Mathematics Licenciatiships and civil Engineerings students in Universidade Federal do Acre. Searchers found out the importance of a mathematic software establishment to be used in solving of not linear equations troughout this present work. It has been applied Iterative Methods: Bissection and False Position. These subjects have been studied in Numeric Calculus/Numeric Methods. Key words Not linear equations, bissection methods, false position methods.

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INTRODUO Nas reas mais diversas das cincias exatas ocorrem, com muita freqncia, situaes

que envolvem a resoluo de uma equao do tipo f(x)=0. Conforme Figura 1a, que representa um dispositivo no linear, a funo g que d a tenso em funo da corrente no linear. Dados E e R e supondo conhecida a caracterstica do dispositivo v = g(i), e desejandose saber a corrente que vai fluir no circuito deve-se resolver a equao ERig(i)=0, aplicando-se a lei de Kirchoff. Esta situao, segundo Ruggiero (1996), tem o aspecto de um polinmio de terceiro grau, assunto que ser discutido no presente estudo.

Professora do Departamento de Matemtica e Estatstica da Universidade Federal do Acre. Mestre em Cincias da Computao: Matemtica Aplicada. Endereo eletrnico para correspondncia: saletechalub@gmail.com 2 Professora do Departamento de Matemtica e Estatstica da Universidade Federal do Acre. Especialista em Matemtica; mestranda do Curso Desenvolvimento Regional na Universidade Federal do Acre. Endereo eletrnico para correspondncia: simonechalub@hotmail.com

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Figura 1a

Sero estudados mtodos numricos para encontrar um valor x, real que anule uma funo f (x) , no linear. Segundo Hattori (1995), procura-se encontrar x que satisfaa aequao no linear f ( x) = 0 . Se f (x) for um polinmio a equao algbrica , caso no seja um polinmio a equao transcendental. Para Sperandio (2003), uma equao polinomial, algbrica ou transcendental representada por f ( x) = 0 (1), onde f uma funo no linear a uma varivel que pode ser uma funo polinomial, algbrica ou transcendental. Entende-se por funo transcendental aquela que envolve funes transcendentais como cos x, e x , ln x , dentre vrias outras. A equao x 5 4 x 3 + 10 x 100 = 0 um exemplo de equao polinomial, e a equao xtg x 1 = 0 , um exemplo de equao transcendental. J a equao 1 ( x 3 + 2 ) 20 x = 0 um exemplo de equao algbrica. As solues da equao (1) so denominadas razes da equao ou zeros da funo f. Em alguns casos de equaes polinomiais, os valores de x que anulam f(x), podem ser reais ou complexos. Neste estudo, o interesse est voltado apenas para os zeros reais de f(x). Os zeros reais so representados pelas abscissas dos pontos onde uma curva intercepta o eixo

ox , conforme ilustraes a seguir. f(x) f(x)

a

a

1Figura 1b

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3 b x

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2Figura 1c

3 b x

Conforme Bandeira (1998) diz-se que o mtodo iterativo quando, partindo de uma aproximao inicial, possvel chegar-se a aproximaes mais precisas que dependem, sempre, de valores anteriormente calculados.

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Em geral, os mtodos iterativos so formados por quatro partes:

Estimativa inicial: parte-se de uma ou mais razes como valores iniciais; Atualizao: h uma forma que permite atualizar a soluo aproximada; Critrio de parada: deve haver um critrio para estabelecer quando o processo iterativo deve parar; Estimativa de exatido: processo associado ao critrio de parada que permite estimar o erro cometido. (ROQUE, 2000).

A idia central dos mtodos numricos para resolver funes no lineares partir de uma aproximao inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximao atravs de um processo iterativo. Assim, o primeiro passo o de isolar uma raiz, o que significa encontrar um intervalo [a, b] que contm a raiz, e em seguida refinar, que consiste em, escolhidas aproximaes iniciais no intervalo encontrado no primeiro passo, melhor-las sucessivamente at obter-se uma aproximao para a raiz dentro de uma preciso prefixada. No isolamento das razes, feita uma anlise terica e grfica da funo f ( x) e o sucesso da fase seguinte, do refinamento depende da preciso desta anlise. Na anlise terica usamos freqentemente o Teorema 1: Se,

(a) f(x) for diferencivel em [a, b]; (b) f(a)f(b)