UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Fundamentos de Análise (Tutorial)

Lista 3 – Sequências Numéricas: subseqüência, sequência limitada e operações com limites.

1) Exercício 2.15 – pág. 34 do texto base. Demonstre a seguinte afirmação: se ( )na converge para um número a, então toda

subseqüência ( )kna de ( )na converge também para o mesmo valor a.

Dem: aan =lim então 0>∀ε , Nn ∈∃ 0 tal que c 0nn >∀ . Em particular todos os

termos kna com 0nnk > pertencem a ( )εε +− aa , . Então aa kn =lim .

2) Exercício 2.19 – pág. 36 do texto base.

Calcule cos1

limnn ∞→

Dem: Usando o teorema 2.18 (pág.36). Sabemos que 1cos1 <<− x Nn∈∀ então

temos que 1cos <x . Sabemos também que 01

lim =∞→ nn

. Consideremos então n

an

1= e

nbn cos= , então 0→na e nb é limitada então pelo teorema 2.18 0→⋅ nn ba .

3) Demonstre o teorema 2.20 – pág. 36 do texto base.

Dem: Livro do Elon pág. 27 (teorema 8)

4) Use o teorema 2.20 para provar que:

a) 11

lim =

+n

n

Dem: nn

n 11lim

1lim +=

+ como 11lim = e 0

1lim =

n segue que

1011

1lim =+=+n

b) 2

1

56

73lim =

−+

n

n

Dem:

n

nn

n5

6

73

lim5673

lim−

+=

−+

como 37

3lim =+n

e 65

6lim =−n

segue que

21

63

56

73

lim5673

lim ==−

+=

−+

n

nn

n

c) 23

17

³1325

3²187317lim

5

45

=

++−+

nn

nnn

Dem:

2

53

2

245

1325

3187317

lim1325

3187317lim

n

nnnnn

nnn

+

+−+=

++−+

como 1731873

17lim 53 =+−+nnn

e 2513

25lim 2 =+n

segue que 2517

1325

3187317

lim1325

3187317lim

2

53

2

245

=+

+−+=

++−+

n

nnnnn

nnn

5) Suponha que 3lim =nx , 7lim =ny , e que 0≠ny para todo n. Determine

os seguintes limites: a) )lim( nn yx +

Dem: ( ) 1037limlimlim =+=+=+ nnnn yxyx

b)

−²

3lim

n

nn

y

xy

Dem:4918

49321

73

73

lim3

lim3

lim3

lim 2222 =−=−=−=−=

−

n

n

nn

n

nn

nn

y

x

yy

x

yy

xy

6) Exercício 2.23 – pág. 38 do texto base.

Calcule nn

a∞→

lim , sabendo que Ra∈ e para todo )1( ≥> nNn , n

aan

1<− .

Dem: Temos quen

aan

1<− se, e somente se, n

aan

an

aan nn

1111 +<<−⇔<−<− .

Sabemos an

aan

a =

+=

− 1lim e

1lim então pelo teorema do confronto segue que o

aan =lim .

7) Demonstre as desigualdades apresentadas na seção “Importantes Desigualdades” nas páginas 38 e 39 do texto base.

A) Se r é um número real, tal que 1−≥r , então: ( ) Nnrnr n ∈∀+≤+ 11 Dem: Vamos demonstrar por indução. Para 1=n temos rr +≤+ 11 o que é verdade. Suponhamos verdadeira para n, ou seja:

( ) 11 nrnr +≤+ (*)

Provemos que vale para 1+n , ou seja, ( ) 1)1(1 1++≤++ nrrn .

De fato, pela equação temos (*) ( ) 11 nrnr +≤+ multiplicando a desigualdade por r+1 temos:

( ) ( ) ( ) ( ) 1212 1)1(1111)1(1 ++ +≤+++⇒+≤+++⇒+≤++ nnn rnrrnrnrnrrrrnr

como 02 ≥nr Nn∈∀ segue que ( ) 12 11)1(1 ++≤+++≤++ nrnrnrrrn o que mostra

que ( ) 1)1(1 1++≤++ nrrn . Sendo assim pelo princípio de indução temos que

( ) Nnrnr n ∈∀+≤+ 11 .

8) Exercício 2.26 (1) – pág. 41 do texto base.

V) Se r é um número real, tal que 0≥r , então: ( ) Nnr

nnnrr n ∈∀−++≥+ 2

)1(112

Dem: Vamos demonstrar por indução. Para 1=n temos rr +≤+ 11 o que é verdade. Suponhamos verdadeira para n, ou seja:

( ) Nnr

nnnrr n ∈∀−++≥+ 2

)1(112

(*)

Provemos que vale para 1+n , ou seja, ( )2

))(1()1(112

1 rnnrnr n ++++≥+ + .

De fato, pela equação temos (*) ( ) 2

)1(112r

nnnrr n −++≥+ multiplicando a

desigualdade por r+1 temos:

( ) ( ) 2

1)1(2

)1(1)1(12

222 r

nrrnnnnrrrr

nnnrrr n −+++++=+

−++≥++ =

( )2

)(12

22 rrnnnnnrr −+++++ como 0)( 2 ≥− rnn Nn∈∀ segue que

( ) ( ) 2

))(1()1(12

)(1)1(122

22 rnnrn

rrnnnnnrrrr n ++++≥−+++++≥++ o que

mostra que ( )2

))(1()1(112

1 rnnrnr n ++++≥+ + . Sendo assim pelo princípio de

indução temos que ( ) Nnr

nnnrr n ∈∀−++≥+ 2

)1(112

.

9) Exercício 2.26 (2) – pág. 41 do texto base. 1) Calcular o n

nn

∞→lim .

Dem: Livro do Elon pág. 30 (exemplo14)

2) Demonstrar que ( )x

xxx n

n −=++++

∞→ 11

...1lim 2 se 1<x .

Dem: Pela dica deste exercício temo que do exercício 2.8 que

( )x

xxxx

nn

−−=++++

1)1(1

...1 2 , e do exercício 2.12(3) temos que ( ) 0lim =∞→

n

nx .

Assim temos

( )

⋅−

−

−=

−−=++++

∞→∞→∞→∞→

n

nn

n

n

n

nx

xxx

xxxx

11

lim1

1lim

11

lim...1lim 2

como xxn −

=

−∞→ 11

11

lim e 01

1lim =

⋅−∞→

n

nx

x

segue que ( )x

xxx n

n −=++++

∞→ 11

...1lim 2 .